Sobre uma abordagem do número de estabilidade de um grafo baseada em técnicas de optimização quadrática
Carlos J. Luz
Instituto Politécnico de Setúbal
& CEOC / Universidade de Aveiro
Tardes de Trabalho SPM/CIM - Optimização
Complexo do Observatório Astronómico – Coimbra – 6 de Maio de 2006
2
G
S 1,3,4,5 Conjunto independente de G
C 1,2,6
Clique de G
(G)= Cardinal of the Largest Independent Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Clique Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Independent Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Clique Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Independent Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Clique Set of G
G Cardinal do maior conj.independente de G
G Cardinal da maior clique de G
Para o grafo G, tem-se G 4 e G 3
G
S 1,3,4,5 Conjunto independente de G
C 1,2,6
Clique de G
(G)= Cardinal of the Largest Independent Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Clique Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Independent Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Clique Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Independent Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Clique Set of G
G Cardinal do maior conj.independente de G
G Cardinal da maior clique de G
(G)= Cardinal of the Largest Independent Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Clique Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Independent Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Clique Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Independent Set of G
(G)= Cardinal of the Largest Clique Set of G
G Cardinal do maior conj.independente de G
G Cardinal da maior clique de G
Para o grafo G, tem-se G 4 e G 3
3
Propriedade
G G
G 4 # 1, 3, 4, 5 G
G G
G G
G 4 # 1, 3, 4, 5 G G 4 # 1, 3, 4, 5 G
G G
4
G V, E
AG a ij é uma matriz simétrica tal que
a ij 1, se ij E
0, se i j ou ij E
e vector c/ coordenadas iguaisa1 AG matrizdeadjacência E minAG 1 AG
minAG I semidefinidapositiva
Onúmero G
5
1
2 6
3 4
5
1
2 6
3 4
5 AG
0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1
1 1 1 1 1 0
G G
Exemplo:
minAG 2
G G 4
6
Propriedadesde G
(L, 1995) SeGéumgraforegular deordemn,
G n minAG maxAG minAG
(L,1995) Existeumasoluçãoóptimax de
max 2eTx xT AG
minAG I x : x 0
tal quexi 0, paraumcertovértice i deG.
7
(L, 1995) G G sseparaqualquer estável
máximoSdeG,
minA min|Ni S| : i S
1
23
4
5 6
1
23
4
5 6
min 2
S 3, 6
G 2. 4
min |Ni S | : i S min 2, 1, 2, 1 1
8
(Cardoso2001) x éumasoluçãoóptimade
x0max 2eTx xT AG
minAG I x sse
xi max 0,1 ai
Tx
minAG
(LeCardoso1998) Paraa b 1eb 0, seja
G max aeTx bxT AG
minAG I x : x 0 ;
Então,
G G e G mina,bG
9
(LeCardoso1998) Sendox1 ex2
duassoluçõesóptimasdoproblema
max 2eTx xT AG
minAG I x : x 0 ,
adiferençax1 x2
pertenceaosubespaçopróprioassociadoa minAG.
(LeCardoso1998) Se G G e i pertenceatodososestáveismáximosdeG, então
G NGi G NGi
10
G i G i
(LeCardoso1998) Se G G e i nãopertenceatodososestáveismáximosdeG, então
(LeCardoso1998) SejaG V,E e i V. Então,
G i G
minAG i minAG G G
11
(LeCardoso, 2001) G generaliza-seagrafosponderadosGV,E,w:
wG wG max 2wTx xT AG W x : x 0
W diagw1, ,wn
minW1/2AW1/2
12
G G x0max 2eTx xT AG
minAG I x
Oqueacontece
substituindopor
outramatriz?
Oqueacontece
substituindopor 0 ?
GrafoscomN.E.Q.C.
Comparaçãoc/
thetadeLovász
Paraquegrafos
sedáa igualdade?
Ligaçõescomprograma
deMotzkin-Strause
melhoramentode G
13
(Cardoso2001) SeGéconexo,
G temumemparelhamentoperfeitosseLG Q
(Cardoso2001) SeG V,E éumgrafoconexo
com |E|par, LLG Q
Aclasse Q–grafoscomN.E.Q.C.
14
Aclasse Qeosconjuntosk,-regulares
DadoG V,E, S Vé k,-regular se induzemGumsubgrafok-regular |NGi S| , qualquer queseja i V\S
S 1,4,7,8 é 0,2-regular
1
2
34
56
7
89
10
1
2
34
56
7
89
10
15
(Cardoso2003) SejaG V,E umgraforegular.
EntãoG QseesóseexisteumconjuntoS V
queé 0,-regular, emque minAG.
(CardosoeRama2005) SejaGumgrafocompelo
menosumaarestaeSumconjuntoestável deGqueé 0,-regular.
EntãoG Qseesóse minAG.
16
Reconhecimentodegrafosde Q
(Cardoso2001) SejaG V,E umgrafo.1. SuponhamosqueexisteU V tal que G G U eque
minAG minAGU. Então G G.
2. Seexiste i V tal que G maxG i,G NGi,entãoG Q.
3. Considere-sequeexiste i V tal que G i G NGi.(a) Se G G i, entãoG QseesóseG i Q.(b) Se G G NGi, entãoG QseesóseG NGi Q.
17
1
2
34
5
6
7
8 9
10
1
2
34
5
6
7
8 9
10
GrafosAdversos
minAG 2
G 4 G
1. Gnãotemvértices isolados2. G e minAG são inteiros3. i V, G G NGi4. i V, minAG minAGNGi
G V,E éumgrafoadversose:
18
(Cardoso, 2003) SejaG V,E umgrafoadverso.
EntãoG QsseS V, 0,-regular.
(LeCardoso, 1998) SejaGumgrafoadverso.Então, G Qsse
G max xTx : AG
minAG I x e x 0
19
• Barbosa e Cardoso, 2004, On regular-stable graphs, Ars-Combinatoria, 70, 149-159• Cardoso, 2003, On graphs with stability number equal to the optimal value of a convex quadratic programming, Matemática Contemporânea, 25, 9-24.• Cardoso e Rama, 2004, Equitable bipartitions of graphs and related results, Journal of Math. Sciences, 120, 869-880.• Lozin e Cardoso, 1999, On hereditary properties of the class of graphs with convex quadratic stability number, Cadernos de Matemática, Universidade de Aveiro, CM/I-50.• Rama, 2005, Propriedades Combinatórias e Espectrais de Grafos com Restrições de Regularidade, dissertação de Doutoramento, Universidade de Aveiro, 2005.
OutrosResultados
20
G G x0max 2eTx xT AG
minAG I x
Oqueacontece
substituindopor
outramatriz?
Oqueacontece
substituindopor 0 ?
GrafoscomN.E.Q.C.
Comparaçãoc/
thetadeLovász
Paraquegrafos
sedáa igualdade?
Ligaçõescomprograma
deMotzkin-Strause
melhoramentode G
21
LigaçõescomprogramadeMotzkin-Straus
0, G, x0max 2eTx xT 1
AG Ix
(CardosoeL, 2001) Considere-se
0, G, z0min zT 1
AG Iz : eTz 1 .
Então,
MotzkineStraus, 1965:
1G minxTAG Ix : eTx 1 x 0
G, 1G,
22
Ummelhoramentode G
G x0max 2eTx xT 1
minQ minAG AG I x
com1 minQ 0
(L, 2005) SendoGumgrafocompelomenosumaaresta,
G G minQ minQ2
onde éovalor óptimodeumprograma
quadráticoconvexo.
23
(L, 2005) SendoGumgrafocompelomenosumaaresta,
minQ minAG min|Ni S| : i S
1. G G2. G G sseS, estável máximoG, tal que
G G 5 G 5.2771
24
• Cardoso, 2003, On graphs with stability number equal to the optimal value of a convex quadratic programming, Matemática Contemporânea, 25, 9-24.• Cardoso e L, 2001, Extensions of the Motzkin-Straus result on the stability number of graphs, Cadernos de Matemática, Universidade de Aveiro, CM01/I-17.• L, 2005, Improving an upper bound on the stability number of a graph, Journal of Global Optimization, 31/1 (2005), 61 – 84.
OutrosResultados
25
G G x0max 2eTx xT AG
minAG I x
Oqueacontece
substituindopor
outramatriz?
GrafoscomN.E.Q.C.
Comparaçãoc/
thetadeLovász
Paraquegrafos
sedáa igualdade?
Ligaçõescomprograma
deMotzkin-Strause
melhoramentode G
26
G V,E
C matriz de adjacência ponderada E trC 0 minC 0
C minC I semidefinidapositiva
C c ij é uma matriz simétrica não nula tal que
c ij qq nº real, se ij E
0, se i j ou ij E
Onúmero G,C
G,C x0
max 2eTx xT C minC I x
27
Exemplo:
1
23
4
5 6
AG
0 1 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0
C
0 2 2 0 0 0.5
2 0 2 0 0.5 0
2 2 0 0.5 0 0
0 0 0.5 0 2 2
0 0.5 0 2 0 2
0. 5 0 0 2 2 0
minAG 2
minC 2.5
G G,AG 2.4
G,C 2.1428
28
Onúmero G deLovász
G V, E com |V| n e E
Algumas propriedades:
G G G Se G é perfeito, G G Se G é regular, G n minAG
maxAG minAG
ondeQéumamatrizdeadjacênciaponderadadeG
G Q
min maxeeT Q
29
min t
s.a tI eeT Q
G max eeT, X TreeTX eTXe
s.a X ij 0, ij E
Tr X 1
X 0
G Q
min maxeeT Q
30
Caracterizaçãode G baseadaemprog.quad. convexa
G C
min G,C
(LeSchrijver, 2005) SejaCumamatrizde
G,C x0max 2eTx xT C
minC I x
com
Então,
adjacênciaponderadadeG V,E.
31
Exemplo:
1
23
4
5 6
AG
0 1 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0
G,AG 2.4
G maxeeT Q 2
G, Q 2
Q
0 2 2 0 0 0
2 0 2 0 0 0
2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 2 2
0 0 0 2 0 2
0 0 0 2 2 0
32
Onúmero G deSchrijver edeMcEliece,Rodemich,Rumsey
G V, E com |V| n e E
c ij qq nº real, se ij E
0, se i j
qq nº real 0, se ij E
C c ij é uma matriz simétrica não nula tal que
G G C
min maxeeT C G
C matriz de adjacência ponderada estendida de G, isto é,
33
min t
s.a tI eeT Q
q ij 0, ij E
G G C
min maxeeT C G
G max eeT, X
s.a X ij 0, ij E
Tr X 1
X 0, X 0
34
Caracterizaçãode G baseadaemprog.quad. convexa
G G,C x0
max 2eTx xT C minC I x
e
G C
min G,C
deG V,E,
(L, 2006) Cmatrizdeadjacênciaponderadaestendida
35
c ij qq nº real, se ij E
0, se i j ou ij E
c ij qq nº real, se ij E
0, se i j
qq nº real 0, se ij E
c ij 1, se ij E
0, se i j ou ij E
G, C x 0
max 2eTx xT C minC I x
G, C G
→
→
→
Cmin G, C G
Cmin G, C G
Resumo
36
• L e Schrijver, 2005, A convex quadratic characterization of the Lovász theta number, SIAM Journal on Disc. Math, 19(2), 382-387.• L, 2006, A convex quadratic characterization of the Schrijver and McEliece-Rodemich-Rumsey upper bound on the stability number of a graph, Cadernos de Matemática, Universidade de Aveiro, CM/I-14 • L, 2006, A characterization of Delsarte's bound as a ratio bound, Cadernos de Matemática, Universidade de Aveiro, CM/I-15
OutrosResultados
37
Questõesemaberto
• Reconhecimento dos grafos adversos em tempo polinomial
• Utilização destas caracterizações para obter theta e theta-linha sem recorrer à programação semidefinida
• Utilização destas caracterizações para obter melhores majorantes para o número de estabilidade