SEMÂNTICA
Roteiro Revisão; Sintática x Semântica; Interpretação Semântica; Propriedades Básicas; Relações entre Propriedades.
Revisão O que é lógica?
Estudo do raciocínio Começou com Aristóteles Argumento
Proposições e premissas Consequência Lógica
Revisão
Revisão Objetivo: descobrir se o argumento
é válido Argumento dedutivo
Conclusão a partir das premissas Indutivo
Probabilidade
Revisão Alfabeto – Lógica Proposicional
Símbolos de pontuação: ( ) , Símbolos de verdade: true, false Símbolos proposicionais: P, Q, R, S,
P1, Q1, P2, Q2... Conectivos proposicionais: ,v,^, ,
Semântica Existe uma diferença entre os objetos e seu
significado Existe um mundo sintático e um mundo
semântico Sintático – símbolos do alfabeto e fórmulas
(consideradas apenas como concatenações de símbolos)
Semântico – significado dos símbolos e fórmulas Em Lógica, semântica é a associação entre
um objeto sintático e seu significado, de forma a, num nível de representação, garantir inferências
[Gaiarsa]
Semântica P (símbolo sintático) representa
“Está chovendo”
Q representa“A rua está molhada”
Quando a fórmula (P^Q ) é Verdadeira?
Interpretação
Interpretação
Interpretação de fórmulas Dado uma fórmula E e uma
interpretação I, então o significado de E (I[E]) é dado pelas seguintes regras: Se E=P, onde P é um símbolo
proposicional, I[E]=I[P] Se H é uma fórmula e E=H, então
I[E]=I[H]=T se I[H]=F e I[E]=I[H]=F se I[H]=T
Interpretação de fórmulas (cont.)
Se H e G são fórmulas, e E=(HvG), então I[E]=I[HvG]=T se I[H]=T e/ou I[G]=T e I[E]=I[HvG]=F se I[H]=F e I[G]=F
Se H e G são fórmulas, e E=(H^G), então I[E]=I[H^G]=T se I[H]=T e I[G]=T e I[E]=I[H^G]=F se I[H]=F e/ou I[G]=F
Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então I[E]=I[HG]=T se I[H]=F e/ou I[G]=T e I[E]=I[HG]=F se I[H]=T e I[G]=F
Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então I[E]=I[HG]=T se I[H]=I[G] I[E]=I[HG]=F se I[H]= I[G]
Interpretação de uma fórmula
Se temos a fórmula H=((P)v(Q))R e a interpretação I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T
I[H] = True
Interpretação de uma fórmula (cont.) Se E = ((P)^Q)(RvP1) e
H=(EP) e as interpretações I e J I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T,I[P1]=F I[H]=?
True J[P]=F,J[Q]=T,J[R]=F J[H]=?
False
Propriedades semânticas básicas Uma fórmula H é uma tautologia (ou é
válida) se e somente se para toda interpretação I, I[H]=T
H é factível ou satisfazível se existe uma interpretação I tal que I[H]=T
H é contraditória ou insatisfazível se e somente se para toda interpretação I, I[H]=F
H é Falsificável se existe uma interpretação I tal que I[H]=F
Propriedades semânticas básicas (cont.) Dados H e uma interpretação I, I
satisfaz H se e somente se I[H]=T Dadas 2 fórmulas H e G,HG para
toda interpretação I, se I[H]=T então I[G]=T
Dadas H e G,HG para toda interpretação I ser satisfazível, I[H]=I[G]
Exemplo de Tautologia A fórmula H=PvP é uma tautologia,
pois toda I[H]=T I[H]=T I[PvP]=T
I[P]=T e/ou I[P]=T I[P]=T e/ou I[P]=F
aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a”)
Exemplo de Satisfatibilidade A fórmula H=(PvQ) é satisfazível,
pois há interpretações que a interpretam como verdadeira.
H é tautologia? Por quê?
Exemplo de Contradição A fórmula H=(P^P) é contraditória Suponham (por absurdo) que exista
I[H]=T I[H]=T I[P^P]=T
I[P]=T e I[P]=T I[P]=T e I[P]=F
Exercícios Quais das fórmulas abaixo são
tautologias, satisfazíveis ou contraditórias?
H1=P1^P2^QQ Tautologia
H2=P1^P2^QQ Satisfatível
H3=(PvP)(Q^Q) Contraditória
Implicação Se E=((P^Q)VQ) e H=(P^Q) e G=(PQ)
E G? E H? H G? H E? G H? G E?
Exercício Prove que se temos as fórmulas
proposicionais H=(P^Q) e G=P, então H G
Se H=F, G=? Tabela Verdade Se I[H] = T
Equivalência Exemplo (Lei de Morgan)
H=(P^Q) e G=(PvQ) Temos que demonstrar que, para
toda interpretação I, I[H]=I[G] Casos I[H]=T e I[H]=F
(P^Q) (PvQ) ? Caso I[H]=TI[H]=T I[P^Q]=T I[P]=T e I[Q]=T I[P]=F e I[Q]=F I[PvQ]=F I[(PvQ)]=T I[G]=T I[H]=T I[H]=I[G]
Caso I[H]=F Exercício ou Olhar tabelas
verdade das 2 fórmulas
Relações entre as Propriedades Semânticas Validade e factibilidade
H é válida H é contraditória H é válida H é satisfazível (quer dizer “se … então…”) H não é satisfazível H é
contraditória