RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 1
GEOMETRIA PLANA
► Ângulos
→ Ângulos opostos pelo vértice
Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles
são congruentes.
→ Classificação dos ângulos quanto à sua medida:
→ Classificação dos ângulos quanto à
complementações:
● Ângulos Complementares
● Ângulos Suplementares
● Ângulos Replementares
Dois ângulos são replementares quando a soma
de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o
replemento do outro.
● Ângulos Explementares
Dois ângulos são explementares quando a
diferença de suas medidas é igual a 180°. Neste caso,
cada um é o explemento do outro.
→ Ângulos formados por duas retas paralelas com
uma transversal:
◘ alternos internos 53,64 ee
◘ alternos externos 82,71 ee
(são congruentes)
◘ colaterais internos 54,63 ee
◘ colaterais externos 81,72 ee
(são suplementares)
◘ correspondentes
84,73
51,62
ee
ee
(são congruentes)
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► Polígonos
→ Diagonal de um polígono simples convexo:
( )
→ Polígono Regular:
Um polígono convexo é regular se, e somente se
tem todos os lados congruentes (é equilátero) e todos os
ângulos congruentes (é equiângulo).
Atenção!
→ Polígonos de gênero par (possuem diagonais que
passam pelo centro):
► Número de diagonais que passam pelo centro:
► Número de diagonais que não passam pelo centro:
.
→ Polígonos de gênero ímpar (não possuem
diagonais que passam pelo centro:
Não possuem diagonais radiais!
→ Soma dos ângulos internos de um triângulo:
→ Soma dos ângulos internos de um polígono
convexo:
( )
→ Soma dos ângulos externos de um polígono
convexo:
→ Expressões do ângulo interno e do ângulo externo
de um polígono regular:
▪ Como os ângulos internos de um polígono regular são
congruentes, temos:
( )
▪ Como os ângulos externos de um polígono regular são
congruentes, temos:
► Triângulos
→ Desigualdade triangular:
Ao maior lado opõe-se o maior ângulo, ao menor
lado opõe-se o menor ângulo, e à lados congruentes opõe-
se ângulos congruentes e vice – versa.
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Atenção!
A ângulos congruentes opõe-se lados
congruentes e a lados congruentes opõe – se ângulos
congruentes.
→ Condição de existência para um triângulo:
→ Medida de um ângulo externo de um triângulo:
→ Classificação de um triângulo quanto à medida de
seus lados:
● Isósceles – É um triângulo com pelo menos dois lados
congruentes.
Atenção!
Em todo triângulo isósceles, a mediana relativa
a base é altura, bissetriz interna e está na mediatriz
do triângulo.
◘ Triângulo equilátero:
É todo triângulo isósceles que possui 3 lados
congruentes.
Atenção!
Todo triângulo equilátero é um polígono
regular, pois é equilátero e equiângulo.
● Escaleno – Tem os três lados não congruentes.
→ Classificação de um triângulo quanto à medida de
seus ângulos internos:
● Acutângulo – Um triângulo é acutângulo se, e somente
se, têm os três ângulos agudos.
● Retângulo – Um triângulo é retângulo se, e somente se,
tem um ângulo reto.
● Obtusângulo – Um triângulo é obtusângulo se, e
somente se, tem um ângulo obtuso.
Todos os lados do triângulo são
congruentes, dessa forma, todos
os ângulos internos são
congruentes e medem 60°.
- Lados
congruentes.
é o lado não congruente. É chamado de base do triângulo
isósceles.
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→ Casos de congruência de congruência de
triângulos:
● 1° caso (L A L)
● 2° caso (A L A)
● 3° caso (L L L)
● 4° caso (L A A0)
● Caso especial de congruência de triângulos
retângulos
Se dois triângulos retângulos têm
ordenadamente congruentes um cateto e a
hipotenusa, então esses triângulos são
congruentes.
→ Pontos notáveis do triângulo:
● Baricentro – é o ponto de encontro das três medianas
do triângulo.
Atenção!
Mediana é um segmento com extremidades
num vértice e no ponto médio do lado oposto.
• As três medianas de um triângulo interceptam – se em
um mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes
tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra.
• O baricentro é o centro de gravidade do triângulo, é o
ponto de equilíbrio do triângulo.
● Incentro – O ponto de encontro das três bissetrizes
internas de um triângulo.
Atenção!
Bissetriz interna de um triângulo é o segmento,
com extremidades num vértice e no lado oposto, que
divide o ângulo desse vértice em dois ângulos
congruentes.
• O incentro é o centro da circunferência inscrita no
triângulo.
• O incentro equidista dos lados do triângulo
● Circuncentro – é a interseção das três mediatrizes do
triângulo.
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Atenção!
A mediatriz de um segmento é a reta
perpendicular e que passa pelo ponto médio desse
segmento.
• O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita e
equidista dos vértices do triângulo.
◘ Possíveis posicionamentos do circuncentro:
● Triângulo acutângulo
O circuncentro está na região interna do triângulo
● Triângulo retângulo
O circuncentro está no ponto médio da hipotenusa do
triângulo.
Atenção!
A mediana relativa à hipotenusa de um
triângulo retângulo mede metade da hipotenusa.
● Triângulo obtusângulo
O circuncentro está na região externa ao triângulo.
● Ortocentro – O ponto de encontro das três alturas de
um triângulo.
Atenção!
Altura é um segmento que sai de um dos
vértices do triângulo e é perpendicular ao lado do
triângulo que se opõe ao ângulo ou ao seu
prolongamento.
◘ Possíveis posicionamentos do ortocentro:
● Triângulo acutângulo
O ortocentro está no interior do triângulo.
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● Triângulo retângulo
O ortocentro está no vértice do ângulo reto do triângulo.
● Triângulo obtusângulo
O ortocentro está no exterior do triângulo.
→ Teorema fundamental da semelhança de triângulos:
Se traçarmos uma reta paralela a um dos lados
de um triângulo e interceptá-la com os outros dois lados
em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é
semelhante ao primeiro.
◘ Casos ou critérios de semelhança:
● 1° caso (AA)
Se dois triângulos possuem dois ângulos
ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.
● 2° caso (LAL)
Se dois lados de um triângulo são proporcionais
aos homólogos de outro triângulo e os ângulos
compreendidos são congruentes, então os triângulos são
semelhantes.
● 3° caso (LLL)
Se dois triângulos têm os lados homólogos
proporcionais, então eles são semelhantes.
Atenção:
Se dois triângulos são semelhantes, as medianas, as
bissetrizes internas, as alturas, os perímetros,...,
enfim, os elementos lineares homólogos são
proporcionais e seus ângulos são congruentes.
→ Teorema das bissetrizes
● Teorema da bissetriz interna:
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo
divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos
lados adjacentes.
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● Teorema da bissetriz externa
A bissetriz de um ângulo externo de um triângulo
intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela
divide este lado oposto externamente em segmentos
proporcionais aos lados adjacentes.
→ Relações métricas no triângulo retângulo:
● 1° relação métrica ● 2° relação métrica
macnab .. 22
● 3° relação métrica ● 4° relação métrica
→ Relações trigonométricas num triângulo retângulo:
e
e
e
→ Relações trigonométricas num triângulo qualquer:
● Lei dos Senos
● Lei dos Cossenos
senoscosdosLei
222 cos.bc2cba
→ Reconhecimento da natureza de um triângulo dada
as medidas dos lados (a > b > c):
► Quadriláteros
→ Trapézios
Um quadrilátero convexo é um trapézio se, e
somente se, possui apenas dois lados paralelos.
(// significa paralelismo)
nmh .2
hacb .. 222 cba
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Atenção!
Os lados paralelos do trapézio são
denominados bases.
Em qualquer trapézio ABCD de base AB e
CD , temos que:
180CBDA
● Trapézio isósceles
É todo trapézio que tem os lados não paralelos
com medidas iguais.
● Trapézio retângulo
São todos os trapézios escalenos que têm dois
ângulos retos.
Um dos lados não paralelos é perpendicular às bases
do trapézio!
● Base média do triângulo
● Base média do trapézio
● Mediana de Euler - Em todo trapézio o segmento da
base média compreendido entre as diagonais é igual a
semidiferença das bases.
→ Paralelogramos
Um quadrilátero convexo é um paralelogramo se,
e somente se, possui os lados opostos paralelos.
● Propriedades dos paralelogramos:
1) Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer
são congruentes.
Os ângulos adjacentes a
uma mesma base são
congruentes.
As diagonais são
congruentes.
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2) Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer
são congruentes.
3) Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se
nos respectivos pontos médios.
→ Paralelogramos notáveis:
● Retângulo – Um quadrilátero convexo é um retângulo
se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes
(Equiângulo).
◘ Propriedade específica do Retângulo:
▪ Em todo retângulo as diagonais são congruentes.
● Losango – Um quadrilátero convexo é um losango se, e
somente se, possui os quatro lados congruentes
(Equilátero).
◘ Propriedades específicas do losango:
▪ Todo losango tem diagonais perpendiculares entre si.
▪ As diagonais de todo losango são bissetrizes dos seus
ângulos internos.
Os triângulos AMB, BMC, CMD e DMA são congruentes
pelo caso L A L.
● Quadrado – Um quadrilátero convexo é um quadrado
se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes
(equiângulo) e os quatro lados congruentes (equilátero).
O quadrado é o polígono regular dos quadriláteros.
ABCD é quadrado
DACDBCABeDCBA
◘ Propriedade específica do quadrado:
◘ Todo quadrado é retângulo e também é losango.
Atenção!
A diagonal de um quadrado é dada por:
√ , onde é a diagonal de um quadrado e ,
seu lado.
O seguinte diagrama retrata as definições
consideradas por este material. Observe:
ABCD é retângulo
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► Circunferências
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos
equidistantes de outro chamado centro.
Atenção!
▪ O comprimento de uma circunferência é dado por:
▪ O diâmetro de uma circunferência é dado por:
→ Ângulos na circunferência
● Ângulo central – Ângulo central relativo a uma
circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro da
circunferência.
Atenção!
A medida de um arco de circunferência é igual
à medida do ângulo central correspondente.
● Ângulo inscrito – Ângulo inscrito relativo a uma
circunferência é um ângulo que tem o vértice na
circunferência e os lados são secantes a ela.
Atenção!
Um ângulo inscrito é metade do ângulo central
correspondente ou a medida de um ângulo inscrito é
metade da medida do arco correspondente. Ângulos
inscritos correspondentes ao mesmo arco são
congruentes.
● Ângulo de segmento – Ângulo de segmento é um
ângulo que tem o vértice na circunferência, um lado
secante e o outro lado tangente à circunferência.
Atenção!
Um ângulo de segmento é metade do ângulo
central correspondente ou a medida de um ângulo
de segmento é metade da medida do arco
correspondente.
● Ângulos excêntricos interiores
● Ângulos excêntricos exteriores
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→ Propriedades importantes envolvendo
circunferência, triângulos e quadriláteros:
● 1°- Todo ângulo reto é inscritível numa
semicircunferência e, reciprocamente, todo ângulo inscrito
numa semicircunferência, com os lados passando pelas
extremidades, é ângulo reto.
Atenção!
Se um triângulo inscrito numa semicircunferência
tem um lado igual ao diâmetro, então ele é triângulo
retângulo.
● 2°- Um quadrilátero que tem os vértices numa
circunferência é quadrilátero inscrito na circunferência. Se
um quadrilátero convexo é inscrito numa circunferência,
então os ângulos opostos são suplementares.
● 3°- Propriedade da reta tangente a uma
circunferência:
Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao
raio no ponto de tangência.
● 4°- Propriedade dos segmentos tangentes a uma
circunferência:
Se de um ponto P conduzirmos os segmentos e ,
ambos tangentes a uma circunferência, com A e B na
circunferência, então .
● 5°- Propriedade dos quadriláteros circunscritíveis:
Uma condição necessária e suficiente para um quadrilátero
convexo ser circunscritível a uma circunferência é a soma
de dois lados opostos ser igual à soma dos outros dois.
→ Propriedades das bissetrizes de um ângulo e das
mediatrizes de um segmento:
● 1°- Todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante
dos lados do ângulo.
● 2°- Todo ponto da mediatriz de um segmento é
equidistante das extremidades do segmento.
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→ Potência de um ponto:
● Teorema das secantes
◘ Ponto interno à circunferência
◘ Ponto externo à circunferência
● Teorema das tangentes a um círculo
► Polígonos Regulares
● Lado e apótema de polígonos regulares
◘ Quadrado inscrito e circunscrito:
Apótema
(em função do raio r)
Lado
(em função do raio r)
Quadrado
Inscrito
2
2ra4
2.r4l
Quadrado
Circunscrito
rA4p
r.2L4
◘ Hexágono regular inscrito e circunscrito:
Apótema
(em função do raio r)
Lado
(em função do raio r)
Hexágono
Regular
Inscrito
2
3ra6
r6l
Hexágono
Regular
Circunscrito
rA6p
3
3.r.2L6
Atenção!
A Altura do triângulo equilátero é dada por:
2
3.lh
◘ Triângulo equilátero inscrito e circunscrito:
Apótema
(em função do raio r)
Lado
(em função do raio r)
Triângulo
equilátero
Inscrito
2
ra
3p
3.r3l
RESUMO :REVISÃO - 2015
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Triângulo
equilátero
Circunscrito
rA3p
3r.2L3
► Área de figuras planas
Área de uma superfície limitada é um número real
positivo associado à uma superfície.
● Retângulos
● Quadrados
● Paralelogramos
h.bA
● Losangos
● Triângulos
2
.haA BCtriânguloA
◘ Expressões para a área do triângulo
1) Área do triângulo equilátero de lado l
4
3.2lA
2) Área do triângulo em função de dois lados e do seno do
ângulo compreendido.
3) Área do triângulo em função dos lados e do raio r da
circunferência inscrita.
rpAABC .
4) Área do triângulo em função dos lados e do raio R da
circunferência circunscrita.
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5) Área do triângulo em função dos lados.
cpbpappA ..
● Trapézios
2
hbBA
● Polígonos Regulares
● Hexágonos Regulares
Atenção!
▪ Todo hexágono regular pode ser subdividido
em 6 triângulos equiláteros.
▪ A área de um hexágono regular de lado é
seis vezes a área de um triângulo equilátero de
mesmo lado .
● Área do círculo
● Área do setor circular
▪ Relacionando a medida do ângulo central com a área do
setor circular correspondente.
Ângulo central Área
2ou360 2R
setorA
▪ Relacionando a medida do comprimento de um arco de
circunferência com a área do setor circular
correspondente.
Comprimento Área
R2 2R
l setorA
Atenção!
Relacionando a medida do comprimento de
um arco de circunferência com o ângulo central
correspondente.
Comprimento Ângulo central
R2 2ou360
l
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● Área do segmento circular
● Área da coroa circular
→ Proporções entre áreas de figuras planas
semelhantes:
● Razão entre áreas de dois triângulos semelhantes
A propriedade acima é extensiva a quaisquer
superfícies semelhantes e, por isso, temos:
“A razão entre as áreas de duas superfícies
semelhantes é igual ao quadrado da razão de
semelhança.”
GEOMETRIA ESPACIAL
► Poliedros
Poliedros são sólidos que possuem todas as
faces poligonais e que não estão em um mesmo plano.
→ Poliedros convexos e Poliedros côncavos:
Quando o segmento de reta que ligar dois pontos
quaisquer do poliedro estiver contido no mesmo, ele é
chamado de poliedro convexo, quando não, chama-se
côncavo.
→ Relação de Euler (Poliedros Convexos)
→ Poliedros Regulares
2 AFV
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► Prismas
→ Prisma regular: É todo prisma reto cujas bases são
polígonos regulares.
● Área lateral:
(Onde n é a quantidade de lados do polígono da base.)
● Área total:
● Volume
Atenção!
Diagonal do prisma
3 nnD
-
→ Paralelepípedos – Prismas cujas bases são
paralelogramos.
● Paralelepípedo reto – É um prisma reto cujas bases são
paralelogramos.
● Paralelepípedo retângulo (ou paralelepípedo reto-
retângulo ou ortoedro) – Prisma reto cujas bases são
retângulos.
● Área total, diagonal do paralelepípedo e volume
( )
√
→ Cubo (hexaedro regular ou romboedro) – É um
paralelepípedo retângulo cujas seis faces são quadrados.
√
√
bll aanA ..
blt AAA 2
hAV b .
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► PIRÂMIDE
● Pirâmide Regular – é uma pirâmide cuja base é um
polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o
plano da base é o centro da base.
● Relações métricas entre os elementos das pirâmides
regulares:
I) II)
( ) ( ) ( )
III) IV)
( ) ( ) (
) ( ) ( ) (
)
Seja a Pirâmide hexagonal regular:
● Área lateral (Pirâmide Regular)
2
A.aA
A.nA
ppb
facedatriângulo
facedatriângulo
l
● Área total (Pirâmide Regular)
( = área do polígono da base)
● Volume
hAV b..3
1
● Secção transversal em uma pirâmide
● Tronco de pirâmide
► Cilindro
● Cilindro reto ou Cilindro de revolução:
l
L
d
h
2
d
h
a
A3
d
h
v
V32
a
A
v
V
menorpirâmidemaiorpirâmidetronco VVV
RESUMO :REVISÃO - 2015
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● Secção meridiana: Secção meridiana é a intersecção
do cilindro com um plano que contém o eixo do cilindro. A
secção meridiana de um cilindro oblíquo é um
paralelogramo e a de um cilindro reto é um retângulo.
◘ Cilindro equilátero – é um cilindro cuja
secção meridiana é um quadrado.
● Área lateral:
Área de um retângulo de altura e base .
(Ab = área do círculo da base. )
● Área total e volume
► Cone
● Cone reto ou cone de revolução:
Relação do cone reto:
● Secção meridiana: Secção meridiana é a intersecção
do cone com um plano que contém o eixo do cone.
A secção meridiana de um cone circular reto é um
triângulo isósceles.
◘ Cone equilátero – é aquele cuja secção
meridiana é um triângulo equilátero.
Seja o cone reto:
● Área lateral, área total e volume
● Secção transversal em um cone
RESUMO :REVISÃO - 2015
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● Tronco de cone
► Esfera
Chama-se esfera de centro O e raio r ao conjunto
dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja
menor ou igual a r.
● Área da esfera e volume da esfera:
● Secções na esfera
● Fuso esférico e Cunha esférica
● Área total da cunha
GEOMETRIA ANALÍTICA
► O ponto
→ Distância entre dois pontos
→ Ponto médio de um segmento
→ Coordenadas do baricentro do triângulo
► A reta
→ Coeficiente angular da reta
menorconemaiorconetronco VVV
22 )()( ABABAB yyxxd
33CBA
GCBA
G
yyyy
xxxx
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 20
Observações iniciais da reta:
→ Condição para alinhamento de três pontos
→ Área de triângulos
Atenção!
O cálculo da área de um triângulo, dadas as
coordenadas dos vértices, serve para o cálculo da
área de um polígono convexo, já que um polígono
pode ser dividido em triângulos.
→ Equações da reta
● Fundamental: 0
0
xx
yym
● Reduzida: nmxy
● Geral: 0 CByAx
● Segmentária:
● Paramétrica:
Ex:
→ Posicionamento relativo entre retas
● Paralelas:
● Perpendiculares:
→ Ângulo entre duas retas
→ Distância entre ponto e reta
54
13
ty
tx
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 21
► Circunferência
→ Equação reduzida:
→ Equação geral:
→ Posição relativa entre ponto e circunferência
ou
(Ponto interno à circunferência).
ou
(Ponto na circunferência).
ou
(Ponto externo à circunferência).
→ Posição relativa entre reta e circunferência
Aplicando distância entre ponto e reta:
rdeC - Reta externa à circunferência.
- Reta tangente à circunferência.
rdeC - Reta secante à circunferência.
→ Posição relativa entre duas circunferências
Aplicando distância entre dois pontos, temos:
► Lugar Geométrico
Ex: Desenhe no plano cartesiano o sistema de
inequações:
Resolução:
*A região hachurada é a solução da questão.
FUNÇÃO
► Função polinomial de 1° grau
Função do primeiro grau é toda função que
associa a cada número real x, o número real ax + b, com a
≠ 0. Toda função de primeiro grau é uma relação que
obedece a lei de formação:
( )
222 )()( rbyax
0)(22 22222 rbabyaxyx
rd pc222 )()( rbyax
rd pc 222 )()( rbyax
rd pc222 )()( rbyax
rdCt
02
9)1()4( 22
yx
yx
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 22
Ex:
Dada a função RR:f com 1x)x(f , seu gráfico é
igual a:
▪ é estritamente crescente.
▪ O coeficiente linear ( ) é a ordenada do ponto de
intersecção da reta com o eixo oy.
→ Função Linear:
É toda função polinomial do 1° grau que tem o
coeficiente linear igual a zero.
( ) , e
Ex:
► Função polinomial do 2° grau
Toda função de segundo grau é uma relação que
obedece a lei de formação: .
→ Concavidade da parábola
O termo dominante (a) nos informa a concavidade
da parábola.
Conclusão:
▪ termo dominante positivo (a > 0) → concavidade voltada
para cima.
▪ termo dominante negativo (a < 0) → concavidade voltada
para baixo.
→ Termo independente (c) → A ordenada do ponto de
intersecção da parábola com o eixo oy é igual ao termo
independente da lei de formação da função polinomial do
2° grau.
Ex:
Observe que a parábola intercepta o eixo oy no
ponto (0,2), logo o termo independente (c) da lei de
formação da função acima é igual a 2.
→ Valores do discriminante ( ) relacionados às raízes
da função
É uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano.
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 23
→ Coordenadas do vértice da parábola:
a
bxv
2
aYv
4
→ Relações de Girard:
→ Forma fatorada da função quadrática:
onde 1r e 2r são as raízes da função.
► Função Exponencial
Função exponencial é toda função que associa a
cada número real x, o número real ax.
( )
(Função estritamente crescente)
( ) (
)
(Função estritamente decrescente)
→ Propriedades das potências
1) 1a0 , com 0a
2) nmnm aa.a
3) nnnb.ab.a
4) n.mnm aa
5) nb:a ou n
b
a
= n
n
b
a para 0b .
6) n
n
a
1a
7) n mn
m
aa
► Função Logarítmica
Função logarítmica é toda função que associa a
cada número real x, o número real loga x.
( )
( )
Atenção!
A função logarítmica definida em é a
inversa da função exponencial definida em
.
a
crr
a
brr
2121 .
)).(( 21 rxrxay
RESUMO :REVISÃO - 2015
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→ Propriedades dos logaritmos
1) 01loga , pois 1a0 , qualquer que seja 0a e
1a .
2) 1aloga , pois aa1 , para todo 0a e 1a .
3) nalog na , pois nn aa para todo 0a e 1a e
para todo n .
4) na nloga , com 0n , 0a e 1a .
5) yxylogxlog aa com 0x , 0y , 0a e
1a .
6) bc
acc loglogb.alog
7) bc
acc loglogb:alog
8) alog.kalog ck
c
9)
blog
alogalog
k
kb
10) 1blog.alogblog
1alog ab
a
b
11) alog1
alog bb
, para qualquer , *R e
quaisquer números a e b reais positivos com 1b .
Atenção!
● Gráficos das funções x2)x(f e xlog)x(g 2 :
● Gráficos das funções x
2
1)x(f
e
xlog)x(g2
1 :
► Módulo de um número
É a distância do número até o zero da reta real.
(representação: Rkk , .
A distância do número 1 e do -1 ao zero é 1 unidade de
comprimento.
→ Propriedades do módulo
I - | x | > 0 x R
II - | x | = 0 x = 0
III- | x | = d x = d
IV- | x | . | y | = | x . y | {x, y} R
V- | x |n = x
n n é par
VI- y
x
y
x {x, y} R e y 0
VII - | x |²=| x² | = X²
PROGRESSÕES
► Progressões Aritméticas (P.A.)
→ Termo geral:
11
11
rnaan 11
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 25
→ Propriedades da P.A.
● Média Aritmética:
● Termos equidistantes:
→ Soma dos termos de uma P.A.
2
.1 naaS n
n
→ Notações Especiais
● P.A. de três termos:
▪ Considerando xa 1 e seja r a razão desta P.A. temos:
rxrxx 2,,
▪ Considerando por x o termo médio desta P.A., temos:
rxxrx ,,
(Formato mais utilizado)
● P.A. de quatro termos:
▪ Considerando xa 1 e seja r a razão desta P.A. temos:
rxrxrxx 3,2,,
rxrxrxrx 3,,,3
(Formato mais utilizado)
Neste caso a razão da P.A. ao invés de ser (r) será dada
por (2r).
● P.A. de cinco termos:
▪ Considerando xa 1 e seja r a razão desta P.A. temos:
rxrxrxrxx 4,3,2,,
▪ Considerando por x o termo médio desta P.A., temos:
rxrxxrxrx 2,,,,2
(Formato mais utilizado)
► Progressões Geométricas (P.G.)
→ Termo geral:
→ Propriedades da P.G.
● Média Geométrica:
● Termos equidistantes:
cbdadcba ..,,,
→ Soma dos termos de uma P.G. finita
● Se 1q , então 1.anSn ;
● Se 1q , então
1
11
q
qaS
n
n.
→ Produto dos “n” primeiros termos de uma P.G.
2
1
1 .nn
n
n qaP
→ Soma dos termos de uma P.G. infinita
q
aS
11
→ Notações especiais
● P.G. de três termos:
bca
dcba
2
,,,
cbdadcba ,,,1
1. n
n qaa
2 .,,, cabdcba
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 26
▪ Considerando xa 1 e seja q a razão desta P.G. temos:
2,, xqxqx
▪ Considerando por x o termo médio desta P.G., temos:
xqx
q
x,,
(Formato mais utilizado)
● P.G. de quatro termos:
▪ Considerando xa 1 e seja q a razão desta P.G. temos:
32,,, xqxqxqx
3
3;;; xqxq
q
x
q
x
(Formato mais utilizado)
Neste caso a razão da P.G. ao invés de ser (q) será dada
por (q2).
● P.G. de cinco termos:
▪ Considerando xa 1 e seja q a razão desta P.G. temos:
432 ,,,, xqxqxqxqx
▪ Considerando por x o termo médio desta P.G., temos:
2
2,,,, xqxqx
q
x
q
x
(Formato mais utilizado)
TRIGONOMETRIA
► Em todo triângulo retângulo é verdade que:
( )
“Se dois ângulos agudos são complementares, então o
seno de um deles é igual ao cosseno do outro ângulo
agudo.”
►
► Medidas das razões trigonométricas dos principais
ângulos:
30º 45º 60º
seno
√
√
cosseno
√
√
Tangente
√
√
► Circunferência trigonométrica
→ Circunferência trigonométrica:
→ Seno e cosseno na circunferência trigonométrica:
Arcos do 1°
quadrante
Seno > 0 Cosseno > 0
Arcos do 2°
quadrante
Seno > 0 Cosseno < 0
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 27
Arcos do 3°
quadrante
Seno < 0 Cosseno < 0
Arcos do 4°
quadrante
Seno < 0 Cosseno > 0
→ Arcos notáveis na circunferência trigonométrica:
0°
A(1,0)
90°
B(0,1)
180°
C(-1,0)
270°
D(0,-1)
360°
A(1,0)
→ Relação fundamental da trigonometria
⏟
→ Tangente na circunferência trigonométrica
Arcos do 1°
quadrante
tg > 0
Arcos do 2°
quadrante
tg < 0
Arcos do 3°
quadrante
tg > 0
Arcos do 4°
quadrante
tg < 0
→ Arcos côngruos
São arcos que tem a mesma extremidade e que
diferem pela quantidade de voltas dadas.
Então:
ou
(Equação dos arcos côngruos)
→ Outras razões trigonométricas
1) ( )
2) ( )
3) ( )
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 28
→ Relações derivadas da relação fundamental
1)
2)
► Arcos simétricos (Redução ao 1° quadrante)
→ Seno e cosseno
● Para o arco de 30°
→ Tangente
● Para o arco de 60°
► Funções trigonométricas
→ Função Seno
Denominamos função seno a função que a cada
número real faz corresponder o número .
→ Gráfico da função ( )
Sejam os pontos da função ( )
encontrados anteriormente
quando substituímos esses pontos no plano, teremos:
● Paridade:
A função seno é uma função ímpar. Nela é
verdade que: ( ) ( ). Observe o gráfico:
Ex: (
) (
)
O gráfico da função seno tem simetria em relação à
origem.
Atenção!
→ Análise da paridade na circunferência
trigonométrica:
Seja a circunferência trigonométrica:
perceba que arcos simétricos ( – ) possuem
senos simétricos ( ( ) ( )).
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 29
● Período:
A função seno é periódica – Uma função
é chamada função periódica quando existe um
número real positivo tal que, para todo ,
( ) ( ).
Ex:
( ) ( )⏟ ( )
( )⏟ ( )
O período da função seno é .
→ Função Cosseno
Denominamos função cosseno a função que a
cada número real faz corresponder o número .
→ Gráfico da função ( )
Sejam os pontos da função ( )
encontrados anteriormente
quando substituímos esses pontos no plano, teremos:
● Paridade
A função cosseno é uma função par. Nela é
verdade que: ( ) ( ). Observe o gráfico:
Ex: ( ) ( )
O gráfico da função cosseno tem simetria em relação
ao eixo oy.
Atenção!
→ Análise da paridade na circunferência
trigonométrica:
Seja a circunferência trigonométrica:
perceba que arcos simétricos ( – ) possuem
cossenos iguais ( ( ) ( )).
● Período
A função cosseno é periódica – Uma função
é chamada função periódica quando existe um
número real positivo tal que, para todo , ( )
( ).
Ex:
( ) ( )⏟ ( )
( )⏟ ( )
O período da função cosseno é .
► Construções de gráficos
Ex1: ( )
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 30
Ex2: ( )
Ex3: ( ) ( )
Atenção!
Para uma função circular ( ) ( )
ou ( ) ( ), como o período original era de
rad, podemos afirmar que o novo período é dado
por:
| |
| |
Logo, para , teremos:
| |
Ex4: ( )
Atenção!
Para uma função circular ( ) ( ) ou
( ) ( ) o conjunto imagem é dado da
seguinte forma:
→ Sendo a função ( ) ( ), sua imagem
é o conjunto:
[( ) ( )], com
→ Sendo a função ( ) ( ), sua imagem
é o conjunto:
[( ) ( )], com
Ex5: ( ) (
)
► Transformações trigonométricas
→ Fórmulas de adição e subtração de arcos
● Seno da soma e seno da diferença:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
● Cosseno da soma e o cosseno da diferença:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
● Tangente da soma e tangente da diferença:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
→ Arco duplo
● ( ) ( ) ( )
● ( ) ( ) ( )
● ( ) ( )
( )
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 31
TEORIA DOS CONJUNTOS
→ Conjunto – Formamos ideia de conjunto como uma
coleção qualquer de objetos.
→ Elemento – É cada um dos integrantes do conjunto.
→ Relação de pertinência: ou
Seja A um conjunto e x um elemento. Se x
pertence a A, ou melhor, se x é elemento de A,
escrevemos: Ax mas, se x não pertence a A, ou
melhor, x não é elemento de A, escrevemos: Ax .
Atenção!
É importante perceber que um conjunto pode
ser elemento de outro conjunto.
→ Subconjuntos: ou
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B
se, e somente se, todo elemento de A é elemento de B.
Seja A um conjunto e B outro conjunto. Se A está
contido em B, ou melhor, se A é subconjunto de B,
escrevemos: BA mas, se A não está contido em B, ou
melhor, A não é subconjunto de B, escrevemos: BA
Atenção!
Ser subconjunto é a mesma coisa que ser
parte, de estar contido.
→ Conjunto das partes de um conjunto
Dado o conjunto A, chama – se conjunto das
partes de A, notação P(A), aquele que é formado por todos
os subconjuntos de A, ou seja, são aqueles cujos
elementos são todos os subconjuntos de A.
Axx)A(P
Ex:
Dado o conjunto A = {1, 3,4}, mostre o conjunto das partes
de A.
Resolução:
4,3,1,4,3,4,1,3,1,4,3,1,)A(P
→ Número de elementos do Conjunto das partes:
Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n elementos.
► Operações com conjuntos
→ União de conjuntos
A união (ou reunião) de dois conjuntos A e B, que
indicamos por BA ( A união B ), é o conjunto cujos
elementos são todos aqueles que pertencem a A ou B.
BxouAxxBA
Ex:
• Sendo 3,2,1A e 7,6B , temos que:
7,6,3,2,1BA .
• Sendo 4,3,2,1C e 7,6,5,4,3D , temos que:
7,6,5,4,3,2,1DC7,6,5,4,4,3,3,2,1DC
→ Intersecção de conjuntos
A intersecção de dois conjuntos A e B, que
indicaremos por BA ( A intersecção B ), é o conjunto
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 32
cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A e a
B ao mesmo tempo.
BxeAxxBA
Ex:
• Sendo 4,3,2,1A e 7,6,5,4,3B , temos
4,3BA .
• Sendo 3,2,1C e 8,7,6,5,4D , temos
DCDC .
• Sendo 3,2,1E e 7,6,5,4,3,2,1F , temos
FEEFE3,2,1FE .
→ Diferença entre dois conjuntos
A diferença de dois conjuntos A e B, nessa
ordem, que indicaremos por A – B (ou B – A), é o conjunto
cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A (ou
B se for o caso B - A) e não pertencem a B (ou A se for o
caso B - A).
BxeAxxBA
ou
AxeBxxAB
Ex:
• Sendo 5,4,3,2,1A e 9,8,7,6,5,4B , temos
3,2,1BA e 9,8,7,6AB .
• Sendo 9,8,6,5,3C e 8,6,5D , temos
9,3DC e CD .
► Número de elementos da união de dois conjuntos
Dados dois conjuntos A e B e indicando por n(A),
o número de elementos de A, n(B) o número de elementos
de B, )BA(n , o número de elementos de BA , e
BAn , o número de elementos de BA , vale a
seguinte relação:
BAnBnAnBAn
Quando os conjuntos são disjuntos a intersecção
é o conjunto vazio, ou seja, 0BAn , teremos então:
BnAnBAn
► Número de elementos da união de três conjuntos
Dados três conjuntos A, B e C, o número de
elementos da união desses conjuntos é obtido pela
relação:
CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn
ANÁLISE COMBINATÓRIA
► Princípio fundamental da contagem:
Se um experimento A apresenta n resultados
distintos e um experimento B apresenta k resultados
distintos, então o experimento composto de A e B, nessa
ordem, apresenta n.k resultados distintos.
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 33
Ex1: Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre
passando por São Paulo. Sabendo que para ir de Recife a
São Paulo existem 5 estradas e de São Paulo a Porto
Alegre 3 estradas. De quantas maneiras possíveis essa
pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre?
Resolução:
O número total de formas que uma pessoa pode ir de
Recife a Porto Alegre será: 5. 3 = 15 possibilidades.
► Fatorial
Ex:
Calcular n sabendo que !4
!n
!1n
Resolução:
23n241n!1.2.3.4
!n
!n.1n
!1.2.3.4!n
!n.1n!4
!n
!1n
► Tipos de agrupamentos
→ Arranjo simples:
Ex1:
Em um campeonato de futebol, participam 20 times.
Quantos resultados são possíveis para os três primeiros
lugares?
Resolução:
Esse problema divide-se em 3 etapas. Cada etapa
seleciona um dos colocados no campeonato de
futebol, então:
1° etapa 2° etapa 3° etapa
20 . 19 . 18
= 20.19.18 = 6 840 colocações.
Embora o arranjo simples seja o próprio
princípio fundamental da contagem, a fórmula usada
para calcular o arranjo é: !pn
!nA p,n
.
→ Arranjo com repetição:
É uma técnica de contagem onde leva - se em
conta a ordem e a repetição dos elementos.
Ex:
O número de maneiras de se responder a 40 questões
com 5 alternativas distintas para cada uma é dado por:
a) 40! b) 5. 40! c) 200 d) 405 e) 5
40
Resolução:
O número de formas de se responder a 40 questões
é igual a: 40
40
55.....5.5.5.5 formas.
A resposta se encontra na letra E.
→ Permutação
Quando um arranjo simples for uma permutação,
representamos da seguinte forma: !nP .
Ex:
De quantas maneiras diferentes cinco pessoas podem
formar uma fila indiana?
Resolução:
A fila continua tendo as cinco pessoas. A diferença
está na modificação das posições das mesmas.
Logo, a quantidade de maneiras de dispor essas
cinco pessoas em uma fila indiana é igual a:
12012345
Concluindo, o número total de maneiras será:
1201.2.3.4.5PA 55,5 maneiras.
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 34
→ Permutação com elementos repetidos:
Ex:
Quantos anagramas a palavra ELEGER possui?
Resolução:
1201.2.3
1.2.3.4.5.6
!3
!6P 6
3
Atenção!
▪ A fórmula utilizada na permutação é: !nP
▪ A fórmula utilizada na permutação com elementos
repetidos é: !!.....
!nP
n1
,...,, n21
n
→ Combinação simples
Ex1:
Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas
com um grupo de 7 pessoas?
Resolução:
A ordem de escolha das pessoas das comissões não
tem importância, ou seja, são agrupamentos onde a
ordem não importa, dessa forma são combinações.
Então:
Atenção!
A fórmula utilizada na combinação é:
!pn!p
!nC p,n
Ex2:
Quantos triângulos podem ser formados ligando os pontos
distintos A , B , C , D e E da circunferência abaixo?
Resolução:
Utilizando a fórmula de combinação, teríamos:
10
!2!.3
!3.4.5
!2!.3
!5
!35!.3
!5C 3,5
► Partições
→ Partições ordenadas
Ex1:
De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em
três salas, A, B e C, de modo que em A fiquem 4 pessoas,
em B fiquem 3 pessoas e em C também 3 pessoas?
Resolução:
Repartição das 10 pessoas seria:
C sala na pessoasB sala na pessoasA sala na pessoas
,,,,,,,,,
Então:
3,33,64,10 CCC
,,,,,,,,,
C sala na pessoasB sala na pessoasA sala na pessoas
Logo, o número de partições ordenadas será:
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 35
4200!3
1.2.3.
!3
4.5.6.
!4
7.8.9.10C.C.C 3,33,64,10
Observamos que quando permutamos os grupos
encontramos uma nova sequência, isso nos faz
perceber que a ordem importa. Por isso chamamos
de partição ordenada.
→ Partições não-ordenadas
Ex1:
De quantos modos 12 pessoas podem ser repartidas em
3 grupos, tendo cada grupo 4 pessoas?
Resolução:
Considerando, para fixar a ideia, 3 grupos, temos:
3 grupo2 grupo1 grupo
,,, ,,,,,,,,
Observe que a ordem em que estão os grupos pode
ser qualquer uma e sempre teremos 3 grupos de 4
pessoas. Então, estamos interessados no número de
distribuições não ordenadas possíveis.
Desenvolveremos, inicialmente, da mesma forma das
questões anteriores (partições ordenadas). Logo:
4,44,84,12 CCC
,,,,,,,,
3 grupo2 grupo1 grupo
,,,
Se trocarmos de posicionamento cada grupo do
conjunto acima, teremos a mesma distribuição. Neste
caso, deveremos dividir o resultado pelo número de
permutações possíveis com os elementos (grupos)
do conjunto. Logo, para esse exemplo temos
6!3P3 distribuições iguais. Então:
775.5!3
!4
1.2.3.4.
!4
5.6.7.8.
!4
9.10.11.12
!3
C.C.C 4,44,84,12
► Princípio das gavetas (Princípio de Dirichlet ou
Princípio das casas dos pombos)
Se n objetos forem colocados em, no máximo, n – 1
gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo
menos dois objetos.
Ex:
Covest (adaptada) – 2000 - Considerando que em uma
festa existem 15 pessoas podemos afirmar que:
a) pelo menos duas nasceram no mesmo mês do ano.
Resolução:
Se considerarmos que existe uma pessoa nascida
em cada mês, iremos constatar que sobrarão 3
pessoas das 15. Concluindo que nessa situação
teremos que pelo menos 2 pessoas nasceram no
mesmo mês.
b) pelo menos três nasceram no mesmo dia da semana.
Resolução:
Se considerarmos que existe uma pessoa nascida
em cada dia da semana, iremos constatar que
sobrarão 8. Colocando cada umas das oito em uma
dia da semana, sobram 1 pessoa que poderá ter
nascido em um dos 7 dias da semana. Observe a
figura abaixo:
Dessa forma, constatamos que pelo menos 3
pessoas nasceram no mesmo dia da semana.
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 36
PROBABILIDADE
A probabilidade de ocorrer determinado evento é
dada pela razão entre o número de casos favoráveis (ou
número de casos que nos interessam) e o número de
casos possíveis (ou número total de casos).
Assim:
possíveiscasosdenúmero
favoráveiscasosdenúmero
)E(n
)A(n)A(p
Ex1:
Numa urna existem 2 bolas vermelhas e 6 brancas.
Sorteando-se uma bola qual a probabilidade de ela ser
vermelha?
Resolução:
O cardinal do espaço amostral será 8En e o
cardinal do evento será: n(A) = 2, então
4
1
8
2)A(P .
→ Propriedades das probabilidades
Sendo E um espaço amostral finito e não vazio e
sendo A um evento de E, tem-se que:
I. P(ø) = 0;
(Probabilidade do evento impossível (menor evento))
II. P(E) = 1;
(Probabilidade do evento certo (maior evento))
III. 1)A(P0
→ Probabilidades de eventos complementares:
)A(P1)A(P
)A(P)A(P1
)E(n
)A(n
)E(n
)A(n
)E(n
)E(n
Atenção!
A probabilidade de não ocorrer o evento A é
igual a 1 menos a probabilidade de ocorrer o evento
A.
Ex:
Um experimento aleatório é realizado. A probabilidade de
ocorrer um evento A é 21
8. A probabilidade de não ocorrer
o evento A é:
Resolução:
A probabilidade de não ocorrer o evento A, é o que
chamamos de probabilidade do evento
complementar de A. Logo:
21
13AP
21
81APAP1AP .
→ Probabilidade da união de eventos
Dado dois eventos A e B, a probabilidade de A U B será:
● 1° caso:
Os conjuntos A e B possuem intersecção, ou seja, não são
disjuntos, logo BA .
)BA(P)B(P)A(P)BA(P
)E(n
)BA(n
)E(n
)B(n
)E(n
)A(n
)E(n
)BA(n
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 37
● 2° caso:
Os conjuntos A e B não possuem intersecção, ou seja, A e
B são disjuntos, logo BA .
)B(P)A(P)BA(P
)E(n
)B(n
)E(n
)A(n
)E(n
)BA(n
Atenção!
Quando os eventos são conjuntos disjuntos
dizemos que são eventos mutuamente exclusivos.
Esta propriedade poderá ser estendida para mais
de dois eventos: ...)CBA(P
Ex:
Numa classe de 22 alunos, 12 têm olhos castanhos, 4 têm
olhos negros, 3 têm olhos cinza, 2 têm olhos verdes e um
tem olhos azuis. Qual a probabilidade de um aluno
escolhido ao acaso ter olhos verdes ou azuis?
Resolução:
Considerando por A o evento: “ter olhos verdes” e por
B o evento “ter olhos azuis”, tem – se que estes
eventos são mutuamente exclusivos, já que não
existe aluno com mais de uma cor de olhos. Logo, a
intersecção é o conjunto vazio:
22
3
22
1
22
2)B(P)A(P)BA(P
Ex2:
Uma urna contém exatamente 20 bolas, numeradas de 1 a
20. Retira-se, ao acaso, uma bola da urna. Qual é a
probabilidade de se obter uma bola com um número
múltiplo de 2 ou de 3?
Resolução:
Evento A: número múltiplo de 2.
10)A(n20,18,16,14,12,10,8,6,4,2A
Evento B: número múltiplo de 3.
6)B(n18,15,12,9,6,3B
Evento BA : número múltiplo de 2 e de 3.
3BAn18,12,6BA
20
3)BA(P
20
6)B(P
20
10)A(P
20
13)BA(P
20
3
20
6
20
10)BA(P
BAP)B(P)A(P)BA(P
→ Probabilidade condicional:
Ex1:
Dentre 5 homens e 3 mulheres, com apenas uma de nome
Márcia, foi sorteada uma pessoa. Sabendo-se que a
pessoa foi uma mulher, qual a probabilidade de Márcia ter
sido sorteada?
Resolução:
Estamos diante de uma probabilidade condicional. No
momento em que Márcia tem que ser a sorteada e nos
é afirmado que a pessoa sorteada já é uma mulher,
observamos que o nosso espaço amostral é reduzido
de 8 pessoas para 3 pessoas (já que existem 3
mulheres). Então a probabilidade pedida será:
3
1\ ABP . Onde B é o evento Márcia ser
sorteada e o evento A é o sorteado ser mulher.
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 38
Ex2:
Dois dados foram lançados. Sabendo que caíram, nas
faces voltadas para cima, dois números pares, calcule a
probabilidade de que a soma desses números seja 6.
Resolução:
O espaço amostral é:
A questão afirma que os números voltados para cima
são pares. Então, o nosso espaço amostral ficará
reduzido para (bolinhas branco com preto):
Então, o evento: soma dos números igual a 6 será:
Estamos diante de uma probabilidade condicional,
então:
.
→ Probabilidade de dois eventos simultâneos
De um modo geral, quando )()\( ApAp B , isto
é, o fato de ter ocorrido o evento B não altera a
probabilidade de ocorrer o evento A –, dizemos que A e B
são eventos independentes e o teorema da multiplicação
se reduz a:
Bp.ApBAp
Ex1:
Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a
urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma
urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao
acaso. Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola
vermelha?
Resolução:
Observamos que a probabilidade de urna I e bola
vermelha é dada por: 5
1
5
2.
2
1 . Entre as duas
formas de resolução, indicamos a segunda, por ser
mais simples. Mas, é importante ressaltar que a
melhor forma de resolver um problema é aquela em
que o aluno mais compreende e se sente seguro.
Ex2:
(UPE – Mat 2 – 2008) A urna A tem nove cartas
numeradas de 1 a 9, e a urna B contém cinco cartas
numeradas de 1 a 5. Uma urna é escolhida aleatoriamente,
e uma carta é retirada. Se o número é par, a probabilidade
de a carta ter saído da urna A é igual a:
a) 5
4 b)
19
10 c)
45
19 d)
9
2 e)
19
6
Resolução:
Fazendo o esquema, temos:
● Espaço amostral reduzido:
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 39
45
19
5
2.
2
1
9
4.
2
1En
(o número da carta retirada da urna é par)
● Evento:
9
2
9
4.
2
1An
(Ser uma carta retirada da urna A)
Se o número é par, a probabilidade de a carta ter
saído da urna A é igual a:
19
10
45
199
2
P
→ Método Binomial
Ex1:
Um casal pretende ter 4 filhos e quer saber qual é a
probabilidade de nascerem 3 meninos e 1 menina:
Resolução:
Cada ensaio corresponde à resolução de uma
questão, em que P(homem) = P(mulher) = 1/2.
Os quatro ensaios são independentes entre si. Vamos
inicialmente calcular a probabilidade de ocorrerem
3 meninos e 1 menina numa determinada ordem, por
exemplo: (H,H,H,M).
Temos:
16
1
2
1
2
1.
2
1.
2
1.
2
1P
4
MHHH
Essas respostas, porém, podem ocorrer em outras
ordens, por exemplo: (M,H,H,H) ou (H,M,H,H), etc. A
quantidade de sequências desse tipo corresponde ao
número de permutações de 4 letras, com repetição de
3 letras H. Logo:
4!3
!3.44
3 P
Por fim, como a probabilidade de ocorrerem 4 H e 1
M em uma determinada ordem é dada por
16
1
2
1
2
1.
2
1.
2
1.
2
14
MHHH
P e existem
4!3
!3.44
3 P ordens possíveis; a probabilidade
pedida é igual a:
%254
1
16
1.4 P
Ex2:
Uma prova consta de 6 questões com 4 opções cada uma,
com uma única alternativa correta. Qual a probabilidade de
acertar 2 das 6 questões.
Resolução:
● A probabilidade de acertar cada questão é 4
1.
● A probabilidade de não acertar é 4
3.
Uma possível sequência poderia ser: (C,C,E,E,E,E),
logo:
096.4
1215
4
1
4
3.)(
24
64,2
PAP
MATRIZES E DETERMINANTES
● Matriz quadrada
É toda matriz cujo número de linhas é igual ao
número de colunas.
04
6322xA
910
642
751
33xB
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 40
► Diagonal Principal – É o conjunto dos elementos que
possuem os dois índices iguais.
► Diagonal Secundária – É o conjunto dos elementos
tais que 1 nji , onde n é a ordem da matriz
quadrada.
Atenção!
→ Uma matriz quadrada 33xM é uma matriz que do tipo
3 x 3, desta forma, diz – se que tem ordem 3, ou ainda
que é de ordem 3. Então toda matriz mxnM , com m = n é
quadrada de ordem m.
● Matriz identidade
Chama-se matriz identidade de ordem n, que se
indica por , a matriz que tem todos os elementos da
diagonal principal iguais a 1 e todos os demais elementos
iguais a zero.
10
0122xA
100
010
001
33xB
Atenção!
A matriz identidade é um caso especial de
matrizes escalares e consequentemente pode ser dita
uma matriz diagonal.
► Determinantes
● Matriz quadrada 2x2
“O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é
igual à diferença entre o produto dos elementos da
diagonal principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária, nesta ordem”.
► Matriz quadrada 3x3
Para calcular o determinante de uma matriz
quadrada de ordem 3 será necessária a utilização
da regra de Sarrus. Observe os exemplos abaixo:
A Regra de Sarrus consiste em:
Ex:
Dada a matriz (
), obtenha o determinante
de A:
Resolução:
Utilizando a regra de Sarrus, temos:
[( ) ( ) ( )]
[( ) ( ) ( )]
Ou aplicar a regrinha do coração:
[( ) ( ) ( )]
[( ) ( ) ( )]
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 41
SISTEMAS LINEARES
→ Classificação de um sistema 2x2.
● Solução gráfica para sistemas possíveis
determinados (SPD)
Retas concorrentes
● Solução gráfica para sistemas possíveis
determinados (SPI)
Retas paralelas coincidentes
● Solução gráfica para sistemas impossíveis (SI)
Retas paralelas
● Outra forma de classificar um sistema 2x2:
Seja o sistema genérico 2x2, {
teremos:
→
( )
→
( )
→
( )
ESTATÍSTICA
→ Frequência
Chamamos de frequência o número de vezes que
um determinado dado aparece em uma lista numérica
qualquer.
● Frequência absoluta
Frequência absoluta ( ) do valor de é o
número de vezes que a variável estatística assume o valor
.
● Frequência total
Frequência absoluta total (∑ ) é a soma de
todas as frequências absolutas observadas.
● Frequência absoluta acumulada
É a soma de cada frequência absoluta com os
valores das frequências anteriores.
● Frequência relativa
É quociente entre a frequência absoluta e o
número de elementos da população estatística.
→ Tipos de gráficos
● Gráficos de colunas e de barras
Sistema
Possível
(têm solução)
Determinado (SPD)
(única solução)
Indeterminado (SPI)
(infinitas soluções) Impossível (SI)
(não tem solução)
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 42
● Gráficos de segmentos
● Gráficos de setores
● Gráficos múltiplos
→ Medidas de tendência central
● Média Aritmética Simples
Consideremos uma coleção formada por n
números racionais:
∑
● Média Aritmética Ponderada
Consideremos uma coleção formada por n
números reais:
de forma que cada um esteja sujeito a um peso,
respectivamente, indicado por:
( ) ( ) ( ) ( )
● Média Aritmética com dados agrupados em classes
Ex:
No sábado de carnaval de 2010 foi realizado um
levantamento de dados para identificar o tempo (em
minutos) dos atrasos dos ônibus que partem da rodoviária
da cidade. Os resultados obtidos foram registrados na
tabela de distribuição a seguir:
Tempo
(em minutos)
Número de ônibus
0│― 10 32
10│― 20 11
20│― 30 12
30│― 40 15
40│― 50 17
50│― 60 13
Total 100
Calcule o tempo médio de atrasos dos ônibus na rodoviária
da cidade.
Resolução:
Para encontrar a média aritmética, inicialmente
precisamos encontrar os pontos médios de cada
intervalo:
• 0│― 10 →
.
• 10│― 20→
.
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 43
• 20│― 30→
.
• 30│― 40→
.
• 40│― 50→
.
• 50│― 60→
.
Logo, a média aritmética é dada pela soma do
produto dos pontos médios pela frequência do seu
respectivo intervalo dividido pelo total da frequência
absoluta (quantidade de ônibus observados). O
tempo médio de atrasos é igual a:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Portanto, o tempo médio de atrasos na rodoviária da
cidade é de 26, 3 minutos.
● Moda
É (ou são) o valor (ou valores) que aparece (m)
com maior frequência no conjunto de valores observados.
● Moda com dados agrupados em classes
A moda em uma distribuição de frequências
organizadas em classes é o ponto médio da classe que
apresenta maior frequência absoluta. A classe com
maior frequência absoluta é chamada de classe modal.
Ex:
A distribuição de frequências a seguir apresenta as idades
dos professores de uma escola de Educação Infantil.
Encontre a idade modal desse grupo de professores.
Idades (em anos) Número de
professores
20│― 23 4
23│― 26 12
26│― 29 15
29│― 32 12
32│― 35 7
Total 50
Resolução:
Sendo maior frequência dada pela quantidade de
professores igual a 15, a idade modal será igual ao
ponto médio do seguinte intervalo:
26│― 29 →
.
Portanto, a idade modal dessa distribuição é 27,5
anos.
● Mediana
Dados n números em ordem crescente ou
decrescente, a mediana será:
→ o número que ocupar a posição central se n for ímpar;
→ a média aritmética dos dois números que estiverem no
centro se n for par.
→ Medidas de dispersão
● Amplitude total
É a diferença entre o maior e o menor valor
observado.
● Desvio
É diferença entre cada valor e a média aritmética
do conjunto de dados observados.
Atenção!
A soma de todos os desvios de cada conjunto de dados é
sempre zero.
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 44
→ Variância:
A média aritmética dos quadrados dos desvios de
cada valor observado em um conjunto de dados é
chamada de variância, que é indicada por Var.
( )
( )
∑ ( )
→ Desvio Padrão:
A raiz quadrada da variância representa uma
medida real chamada de desvio padrão que é indicada
por DP.
√( )
( )
√
∑ ( )
Ou ainda √
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 45
● Competência de área 1 - Construir significados para os
números naturais, inteiros, racionais e reais.
(Ex1.) Um palmo de tem 22 cm. Uma pessoa deverá medir o
perímetro do tampo retangular de uma mesa cujas dimensões
são: 1,10 m x 2,86 m. O perímetro, em palmos,
é igual a:
Solução:
palmos
(Ex2.)
Ao lermos o cartaz, ficamos, a
saber, que o exército de Roma fez numa
certa época MCDV prisioneiros de guerra.
Qual o número, no sistema de numeração decimal, que o
exército romano leu?
Solução:
Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor:
. Como antes de não tinha nenhuma letra, buscavam a
segunda letra de maior valor: . Depois tiravam de o
valor da letra que vem antes:
Somavam 400 ao valor de porque está depois de .
Sobrava apenas o . Então MCDV = 1.400 + 5 = 1.405.
(Ex3.)
Em uma enchente, um jornalista viu uma menina com uma lata
de refrigerante de 350 ml. Perguntando à menina o que ela
estava fazendo, ela respondeu que estava tirando a água para
secar a enchente. Sabendo que o volume da enchente era de 70
m3, quantas latas a menina teria que encher para secar toda a
água?
Solução:
Sendo o volume da lata de refrigerante igual a 350 ml. O número
de vezes que a menina deverá encher a lata para retirar o
volume total da enchente é:
vezes.
(Ex4.) No jogo “Encontrando Números Iguais” são lançados 5
dados especialmente preparados para isso. Observe esta
jogada:
Os dados com números iguais são:
Solução:
Os dados com números iguais são: dado1, dado 3 e dado 4.
(Ex5.)
Uma parede de 5 metros por 2 metros deve ser coberta com
azulejos quadrados, de lado 25 cm. Uma caixa de azulejos tem
100 azulejos. Quantas caixas eu devo comprar, no mínimo, para
garantir que não fiquem faltando azulejos?
Solução:
As dimensões da parede em centímetros são: 500 cm e 200 cm.
Como cada azulejo tem lado 25 cm, faremos o seguinte:
→Azulejos na dimensão 500 cm
Aritmética
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 46
■
azulejos
→Azulejos na dimensão 200 cm
■
azulejos
Um total de 160 azulejos. Portanto, serão necessárias duas
caixas.
(Ex6.)
O ônibus A passa na parada a cada 20 minutos. O ônibus B
passa na mesma parada a cada 15 minutos. Neste momento
estes ônibus estão na parada. Daqui a quanto tempo eles
estarão juntos nesta mesma parada?
Solução:
O MMC (20,15) = 60 minutos. Portanto, daqui a 1 hora estes
ônibus estarão juntos na parada.
(Ex7.)
O piso retangular de uma sala, com 2 m de comprimento e 3 m
de largura, deve ser coberto com ladrilhos quadrados.
Admitindo-se que não haverá perda de material e que será
utilizado o menor número de ladrilhos inteiros, pode-se estimar
que serão colocados:
Solução:
A sala retangular tem dimensões 200 cm por 300 cm. Para
serem colocados o menor número de ladrilhos faz – se
necessário que os lados dos ladrilhos quadrados sejam os
maiores possíveis. Portanto:
MDC (200,300) = 100 cm
Logo: e
Um total de: ladrilhos.
(Ex8.)
O dia 1º de outubro de 2014 caiu numa quarta – feira. Daqui a
50 dias, qual será o dia da semana?
Solução:
Como uma semana tem 7 dias:
● : Sete semanas mais um dia! Daqui a 50
dias será uma quinta – feira.
(Ex9.)
Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto,
outubro e dezembro têm 31 dias. O dia 31 de maio de certo ano
ocorreu num sábado. Então, 25 de dezembro do mesmo ano foi:
Solução:
Somando os dias dos meses de junho, julho, agosto, setembro,
outubro e novembro, até 25 dias de dezembro, temos um total
de:
● : 29 semanas mais cinco dias! 25 de
Dezembro do mesmo ano caiu numa quinta – feira.
(Ex10.)
Numa árvore pousam pássaros. Se pousarem dois pássaros em
cada galho, fica um galho sem pássaros. Se pousar um pássaro
em cada galho, fica um pássaro sem galho. Determine o número
de pássaros e o número de galhos.
Solução:
Considerando por x a quantidade de pássaros e y a quantidade
de galhos:
●
( )
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 47
●
Substituindo a segunda equação na primeira:
, portanto, .
São 4 pássaros e 3 galhos.
(Ex11.)
Lia tem bombons e quer dividir entre os alunos de uma escola.
Percebe que dando 3 a cada aluno, sobram 2 bombons. Dando
4 para cada aluno, sobram 2 bombons e dando 5 para cada
aluno sobram 2 bombons. Sabe – se que a quantidade de
bombons é maior que 180 e menor que 240. Quantos bombons
Lia possui para dividir entre os alunos desta escola?
Solução:
Considerando por A e B, respectivamente, a quantidade alunos
da escola e a quantidade de bombons, tem – se:
● ● ●
Portanto:
● ● ●
Concluímos que é um múltiplo de 3, 4 e 5. Portanto, é um
múltiplo de 60:
Sendo , . Dessa forma, .
(Ex12.)
Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei
com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmão, se
dos 28 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo.
Quantos carrinhos eu tenho?
Solução:
Considere por x a quantidade de carrinhos que eu possuo:
Eu possuo 10 carrinhos.
(Ex13.)
Pedro propõe 16 problemas a um de seus amigos, informando
que dará 5 pontos por problema resolvido e lhe tirará 3 pontos
por problema não resolvido. No final seu amigo tinha nota zero.
Quantos problemas seu amigo resolveu?
Solução:
Considerando por x a quantidade de problemas resolvidos e por
y a quantidade de problemas não resolvidos:
●
●
Substituindo a primeira equação na segunda:
( )
(Ex14.)
Dado um número de dois algarismos forma – se um novo
número de três algarismos colocando “1” à direita do número
original. O novo número é:
a) dez vezes o número original, mais um.
b) cem vezes o número original, mais um.
c) cem vezes o número original.
d) o número original, mais um.
Solução:
Sendo o número original:
Colocando o número 1 na direita do número:
Portanto:
( )
(Ex15.)
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 48
Maria terminou um trabalho e numerou todas as páginas,
partindo do número 1. Para isso utilizou 270 algarismos.
Quantas páginas tem esse trabalho?
Solução:
Números com 1 algarismo = 9 algarismos no total.
Números com 2 algarismo =
⏟
⏟
páginas – um total de 2
x 90 algarismos = 180 algarismos.
● 270 – 189 = 81 algarismos (faltam). Dividindo por 3, pois as
próximas páginas terão numerações com 3 algarismos:
páginas.
Este trabalho possui um total de 126 páginas!
● Competência de área 3/ área 4 - Construir
noções de grandezas e medidas para a compreensão da
realidade e a solução de problemas do cotidiano /
Construir noções de variação de grandezas para a
compreensão da realidade e a solução de problemas do
cotidiano.
(Ex1.)
Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18.
Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou
o melhor desempenho?
Solução:
Reduziremos as frações para um mesmo denominador para
podermos comparar:
●Desempenho de Pedrinho:
( )
( )
●Desempenho de Cláudia:
( )
( )
Note que Pedrinho teve um melhor desempenho, acertando
54 problemas de 60.
(Ex2.)
A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está
para a idade do filho, assim como 7 está para 2. Determine a
idade do pai e do filho.
Solução:
Considerando por P e F, as idades do pai e do filho
respectivamente:
●
●
e
(Ex3.)
A razão entre a quantia que gasto e a quantia que recebo como
salário por mês é de 4/5. O que resta coloco em caderneta de
poupança. Se neste mês meu salário foi de R$ 840,00, qual a
quantia que aplicarei na caderneta de poupança?
Solução:
Portanto, este mês aplicarei na caderneta de poupança:
R$ 840,00 – R$ 672,00 = R$ 168,00.
(Ex4.)
A distância entre duas cidades num mapa de escala é
de 8,5 cm. Qual a distância real entre essas duas cidades?
Solução:
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 49
(Ex5.)
Um terreno cuja área mede 100m² será desenhado num papel
na escala 1 : 100. Qual deverá ser a medida deste térreo no
papel?
Solução:
(
)
(Ex6.)
Analisaremos as relações de dependência entre as grandezas
das fórmulas a seguir:
a)
( )
onde:
F é a força em Newtons (N)
M é a massa em quilogramas (kg)
d é a distância em metros (m)
G é a constante gravitacional em Newtons metro quadrado por
quilograma quadrado (Nm2 / kg2).
b)
onde:
T é o período de revolução do Planeta ao redor do Sol;
K é a constante de proporcionalidade;
R é a distância média do Planeta ao Sol.
Solução:
a) Organizando a fórmula a seguir:
( )
( )
Note que a força (F) é diretamente proporcional ao produto das
massas ( ) e inversamente proporcional ao quadrado da
distância ( ). O quadrado da distância é diretamente
proporcional ao produto das massas ( ).
b) Organizando a fórmula a seguir:
Note que o quadrado do período de revolução do Planeta ao
redor do sol ( ) é diretamente proporcional ao cubo da
distância média do Planeta ao sol ( ).
(Ex7.)
Três trabalhadores devem dividir R$ 1.200,00 referentes ao
pagamento por um serviço realizado. Eles trabalharam 2, 3 e 5
dias respectivamente e devem receber uma quantia diretamente
proporcional ao número de dias trabalhados. Quanto deverá
receber cada um?
Solução:
Considerando por x, y e z as quantidades que cada trabalhador
deverá receber e considerando k a constante de
proporcionalidade;
● ● ●
Portanto:
Cada trabalhador receberá, respectivamente:
R$ 240, R$ 360 e R$ 600,00
(Ex8.)
Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de
futebol amador irão receber um prêmio de R$ 3.340,00 rateados
em partes inversamente proporcionais ao número de faltas
cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7
e 11 faltas. Qual a premiação referente a cada um deles
respectivamente?
Solução:
Considerando por x, y e z as quantidades que cada trabalhador
deverá receber e considerando k a constante de
proporcionalidade;
●
●
●
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 50
Portanto:
Cada jogador receberá, respectivamente:
R$ 1.540, R$ 1.100 e R$ 700,00
(Ex9.)
Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De
quanta farinha necessito para fazer 18 pães?
Solução:
As grandezas farinha de trigo e pães são diretamente
proporcionais:
(Ex10.)
Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias.
Dois pedreiros construirá a mesma casa em quanto tempo?
Solução:
As grandezas pedreiros e dias são inversamente proporcionais,
portanto:
( ) ( ) dias.
(Ex11.)
Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas
mesmas condições, 15 homens levarão quantos dias para
montar 50 máquinas?
Solução:
Portanto:
( )
( )
dias
(Ex12.)
Uma torneira enche um tanque em 12 minutos. Outra torneira
enche o mesmo tanque em 8 minutos. Num determinado dia,
Maria resolveu encher o tanque mantendo as duas torneiras
ligadas. Depois de quanto tempo o tanque ficou cheio?
Solução:
● A primeira torneira enche
, em 1h.
● A primeira torneira enche
, em 1h.
Em 1h, juntas, encheria:
Portanto:
1h -------
h ------
As duas torneiras, juntas, enchem o tanque em: 4h e 48 min.
(Ex13.)
30% da população de uma cidade litorânea mora na ilha e os
demais 350.000 habitantes moram na área continental. Quantas
pessoas moram na ilha?
Solução:
Portanto, a quantidade de pessoas que moram na ilha é:
(Ex14.)
Do meu salário de R$ 1.200,00 tive um desconto total
de R$ 240,00. Este desconto equivale a quantos por cento do
meu salário?
Solução:
(Ex15.)
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 51
Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um
desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o
valor do desconto obtido?
Solução:
● O desconto obtido foi de: ( ) .
● Acabei pagando o produto por:
ou ainda: ( ) .
(Ex16.)
Uma jarra de 18 litros está cheia de suco. 20% é água e 80% é
polpa. Após uma perda de água, 10% do suco passaram a ser
de água e 90% passaram a ser de polpa. Qual o volume de água
perdido?
Solução:
Trabalharemos, apenas com a parte fixa (polpa). Portanto:
( )
Logo, o volume de água perdido é dado por: .
(Ex17.)
O salário de Luiz Cláudio era de x reais em janeiro. Em maio, ele
recebeu um aumento de 10% e outro de 20% em novembro. Seu
salário atual é de R$ 1.320,00. Calcule o salário de Luiz em
janeiro.
Solução:
( )
(Ex18.)
Em determinado mês os salários aumentaram 20% e os preços
das mercadorias diminuíram em 20%. O que aconteceu neste
mês com o poder de compra?
Solução:
Definindo poder de compra como:
. Tem –se:
O poder de compra nesse mês aumentou em 50%.
(Ex19.)
Um produto que custa R$ 700,00 é vendido com um prejuízo de
30% sobre o preço de venda. Qual é o preço de venda dessa
mercadoria?
Solução:
Sabe – se
Portanto:
(Ex20.)
Amélia fixou em 20% o lucro sobre o preço de aquisição de uma
mercadoria. Sabendo que ela custou R$ 200,00, por quanto
deverá ser vendida?
Solução:
Sabe – se
Portanto:
(Ex21.)
Em uma feira livre 4 lápis são vendidos por R$ 2,00. Sabe – se o
custo da unidade do lápis foi de R$ 0,20. Qual o lucro percentual
na venda de 160 lápis?
Solução:
Preço de venda: 4 lápis -------- R$ 2,00
Preço de custo: 1 lápis -------- R$ 0,2 4 lápis -------- R$ 0,8
Portanto, o lucro na venda de 4 lápis é dado por:
Para 160 lápis, o lucro será:
O lucro percentual será:
.
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 52
(Ex22.)
Um capital aplicado a juros simples durante dois anos, à taxa de
4% a.m., gerou no período, um montante de R$ 19.600,00. Qual
foi o capital aplicado?
Solução:
( )
( ( ))
(Ex23.)
Uma loja oferece um computador e uma impressora por R$
3.000,00 à vista, ou por 20% do valor à vista como entrada mais
um pagamento de R$ 2.760,00 após 5 meses. Qual a taxa de
juros simples cobrada ao mês?
Solução:
À vista: R$ 3.000,00.
À prazo: R$ 600,00 (entrada) + R$ 2.760,00 (após 5 meses).
Com relação ao pagamento À vista:
R$ 3.000 - R$ 600,00 Após 5 meses R$ 2.400,00
R$ 600,00 Após 5 meses R$ 2.760,00
nos 5 meses. Por mês foi uma taxa de 3%.
(Ex24.)
Um investidor fez uma aplicação de R$ 20.000 num banco a
uma taxa cumulativa de 5% ao ano. Após 2 anos o montante
deverá ser de: (use: ).
Solução:
( )
( )
PRATICANDO NA SALA
01) A tabela a seguir apresenta os principais produtos
exportados pelo Brasil para a China nos anos de 2010, 2011 e
2012 e a quantia em milhões de dólares gastos pela China com
esses produtos.
Se um produto A, entre aqueles contidos na informação Outros
produtos, representar 1% do total do volume monetário das
exportações do Brasil para a China em 2012, então o valor
monetário que esse produto A representou nas exportações
daquele ano foi:
a) trezentos e oitenta e dois milhões e quinhentos e trinta mil
dólares.
b) trinta e oito milhões e duzentos e cinquenta e três mil dólares.
c) quarenta e um milhões e duzentos e vinte e oito mil dólares.
d) quarenta e um bilhões e duzentos e vinte e oito milhões de
dólares.
e) quatrocentos e doze milhões e duzentos e oitenta mil dólares.
02) O lixo do refeitório de uma grande metalúrgica é coletado
diariamente por um caminhão e levado para um aterro sanitário
que fica a aproximadamente 30 quilômetros da empresa. Duas
transportadoras disputam a licitação para o transporte desse lixo
diário, que chega a 240 toneladas por ano. Sabendo que a
transportadora A cobra R$ 160,00 por tonelada de lixo e R$
50,00 por coleta diária, de segunda a sábado; e a transportadora
B cobra R$ 150,00 por tonelada e R$ 0,80 por
quilômetro rodado, na ida e na volta ao aterro. Considerando 26
dias úteis no mês, assinale a alternativa correta:
a) A proposta de A é mais interessante, pois cobra
aproximadamente R$ 3.000,00 por mês.
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 53
b) A proposta de A é mais interessante, pois o preço fixo de
coleta reduz o custo para a empresa.
c) A proposta de B é mais interessante, pois seu custo mensal é
menor do que o de A.
d) A proposta de B é mais interessante, pois cobra pouco a mais
de R$ 3.000,00 por mês.
e) As propostas são igualmente boas, pois ambas têm o mesmo
custo mensal.
03) Em uma fazenda, é necessário transportar um número de
sacos de soja utilizando carros que serão alugados para a
prestação de serviço. O produtor calculou que, se transportasse
40 kg de soja em cada carro, sobraria, 4 carros daqueles que
planejava alugar. Por outro lado, transportando 35 kg por carro,
ainda sobrariam, 10kg de soja para serem transportados.
Nessas condições, o número de carros que o produtor planeja
alugar e a quantidade total, em quilogramas de soja a serem
transportadas, são, respectivamente:
a) 34 e 1 200 b) 34 e 1 500 c) 32 e 1
200
d) 32 e 1 500 e) 36 e 1 200
04) Uma pesquisa foi realizada com a intenção de conhecer o
que as pessoas sabem sobre o diabetes. Nela, utilizou – se um
questionário com 16 perguntas, respondidas pelas pessoas na
entrada de estações do metrô de São Paulo. Os gráficos a
seguir mostram, respectivamente, os percentuais de respostas
dadas às seguintes perguntas do questionário: “Você conhece
alguém com diabetes?” e “Caso conheça, indique onde.”
O percentual do número de entrevistados que conhecem
pessoas diabéticas na escola é mais aproximado por:
a) 6% b) 15% c) 37% d) 41% e)
52%
05) Um ilustrador precisou representar um rancho de 10.000
metros quadrados em um mapa. Essa representação, por causa
do espaço disponível, precisou ser feita por um quadrilátero
semelhante à forma real do rancho, porém com área de nove
centímetros quadrados. Para que o mapa esteja correto, o
ilustrador deve indicar que foi construído na escala:
a) 3:1.000
b) 3:10.000
c) 5:10.000
d) 9:1.000
e) 9 :10.000
06) A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto
entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da intensidade da
corrente elétrica (i) que por ele circula.
Para um chuveiro elétrico qualquer, a energia elétrica (E)
consumida depende da potência elétrica e do intervalo de tempo
de funcionamento ( ). Se o intervalo de tempo for constante
( ), a energia elétrica consumida será diretamente
proporcional à potência elétrica do aparelho e o ( ) será a
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 54
constante de proporcionalidade. Nessas condições, a energia
elétrica (E) pode ser escrita em função da resistência elétrica (R)
e da intensidade da corrente elétrica (i) por meio da expressão:
a)
b)
c)
d)
e)
07) Uma empresa trabalha com dois produtos, A e B. Para
transportar seus produtos, utiliza uma caminhonete. A carga
máxima, permitida por lei, para transporte nessa caminhonete é
igual a 300 latas do produto A ou 210 latas do produto B. Se a
caminhonete abrigar 180 latas do produto A, então o máximo de
latas do produto B, que pode transportar, sem infringir a lei, é:
a) 72
b) 84
c) 98
d) 102
e) 110
08) O litro do combustível X custa R$ 2,00 e do combustível Y,
custa R$ 3,00. O tanque do veículo V, que se move
indiferentemente com os combustíveis X e Y, tem capacidade
total de 54 litros. O veículo V, quando abastecido unicamente
com o combustível X, tem rendimento de 15 quilômetros por litro
e, quando abastecido unicamente com o combustível Y, tem
rendimento de 18 quilômetros por litro. Quantos reais gastará o
proprietário de V, caso resolva abastecer completamente o seu
tanque com uma mistura desses combustíveis, de forma que,
numericamente, os volumes correspondentes de X e Y sejam,
simultaneamente, diretamente proporcionais aos rendimentos e
inversamente proporcionais aos custos de cada um deles?
a) 131,00
b) 132,00
c) 133,00
d) 134,00
e) 135,00
09) Quando se diz que numa determinada região a precipitação
pluviométrica foi de 10 mm, significa que a precipitação naquela
região foi de 10 litros de água por metro quadrado, em média.
Se numa região de 10 km² de área ocorreu uma precipitação de
5 cm, quantos litros de água foram precipitados?
a) 5 x 107.
b) 5 x 108.
c) 5 x 109.
d) 5 x 1010.
e) 5 x 1011.
10) A decoração natalina de uma empresa no ano passado foi a
de uma enorme árvore de Natal constituída por 3.200 lâmpadas
piscas-piscas (que consomem energia por igual) que ficaram
acesas por 45 dias ininterruptos das 18 horas às 2 horas
da manhã, gerando com isso um consumo de energia de R$
64,00 nesse período. Para este ano, a tarifa de energia elétrica
aumentou 25%. A empresa quer novamente enfeitar a árvore de
Natal, mas mantendo as lâmpadas acesas por 60 dias e
pretendendo ter o mesmo gasto, em reais, com a energia
elétrica proveniente desse enfeite, em relação ao ano anterior,
apenas das 18 horas à meia--noite. Analisando essa atitude da
empresa, verifica -se que, para que isso realmente aconteça, o
número de lâmpadas piscas-piscas na árvore deve ser reduzido
para:
a) 2.800 b) 2.560 c) 2.105 d) 1.870 e)
1.600
Resolução:
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 55
x é o custo da energia e L a quantidade de lâmpadas:
11) Durante uma crise econômica, uma pessoa precisou se
desfazer de um imóvel. Com muita dificuldade para encontrar
um comprador, precisou aceitar a oferta de um grande produtor
de milho da região que fez a seguinte proposta:
● 50% de entrada pagos com 7.000 sacas de milho (primeiro
pagamento);
● 25% do valor pagos na safra seguinte, também em sacas de
milho (segundo pagamento);
● o restante em sacas de milho na outra safra seguinte (terceiro
pagamento).
Sabendo – se que, na data da entrada, a saca de milho custava
R$ 20,00 e que a previsão para as duas próximas safras era de
aumento de preço da saca em 12% e 18%, respectivamente, a
quantidade de sacas necessária para efetuar o segundo
pagamento será:
a) 2.648
b) 2.966
c) 3.125
d) 3.500
e) 3.920
12) Observe o anúncio abaixo, que apresenta descontos
promocionais de uma loja.
Admita que essa promoção obedeça à seguinte sequência:
- primeiro desconto de 10% sobre o preço da mercadoria;
- segundo desconto de 10% sobre o valor após o primeiro
desconto;
- desconto de R$100,00 sobre o valor após o segundo desconto.
Determine o preço inicial de uma mercadoria cujo valor, após os
três descontos, é igual a R$ 710,00.
a) R$ 800,00
b) R$ 950,00
c) R$ 1000,00
d) R$ 1.500,00
e) R$ 2.000,00
13) Leia o texto a seguir.
Vinte e sete montadoras já se habilitaram para as regras do
novo regime automotivo, batizado pelo Ministério do
Desenvolvimento, Indústria e Comércio de Inovar Auto, que visa
deixar mais econômicos os veículos menos poluentes. Hoje o
desempenho médio de um veículo fabricado no Brasil está por
volta de 14 km/litro (gasolina) e 9 km/litro (álcool). O objetivo do
Inovar Auto, nesse quesito, é que o desempenho passe a ser de
18,6 km/litro (gasolina) e 12 km/litro (álcool).
Adaptado de Entendendo o Inovar Auto. Revista Cesvi, São Paulo, ano
16, n. 84, p. 38, mar./abr. 2013.
Com base nas informações do texto, podemos inferir que o
ministério espera que o consumo desses combustíveis:
a) diminua em aproximadamente 25%.
b) diminua em aproximadamente 33%.
c) diminua em aproximadamente 36%.
d) aumente em aproximadamente 32%.
e) aumente em aproximadamente 40%.
Resolução:
RESUMO :REVISÃO - 2015
Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 56
14) Um produto foi vendido por R$ 86,40 após um desconto de
10% sobre o preço de venda. Se fosse vendido sem o desconto,
geraria um lucro de 60% sobre o preço de custo. Determine o
preço de custo do produto.
a) R$ 60,00
b) R$ 70,00
c) R$ 80,00
d) R$ 82,00
e) R$ 85,00
15) Um veículo está à venda nas seguintes condições de
pagamento:
• 12 parcelas iguais a R$ 1.000,00, sendo a primeira no ato;
• parcela adicional, 12 meses após a compra, de R$ 20.000,00;
• para a concessionária, o dinheiro vale 2% ao mês, e o
comprador pode antecipar parcelas com esse desconto.
Uma pessoa adquiriu esse veículo e, no ato da compra,
resolveu, além da primeira parcela de R$ 1.000,00, antecipar a
segunda parcela e a adicional. Dessa forma, essa pessoa
pagou, no ato da compra, aproximadamente:
(Se necessário, use os dados da tabela.)
a) R$1.000,00
b) R$ 17.721,00
c) R$ 17.740,00
d) R$21.580,00
e) R$ 26.560,00
16) Três lojas, A, B e C, vendem um mesmo produto cujo preço
é R$ 900,00, mas oferecem formas de pagamento
diferentes, conforme descrito abaixo.
- Loja A – Dá um desconto de 10 % para pagamento a vista.
- Loja B – Parcela o valor em 2 meses, sem juros, com o
primeiro pagamento para 1 mês após a compra.
- Loja C – Dá um desconto de 10 % em metade do valor, que
deve ser pago a vista, e deixa o pagamento da outra metade
para 1 mês após a compra.
João tem exatamente R$ 900,00 depositados em uma aplicação
que lhe rende 10 % ao mês. Suponha que João pretenda utilizar
esse dinheiro para comprar tal produto e que, feita a escolha da
loja, ele irá realizar saques mensais da sua aplicação no dia de
vencimento e no valor exato da parcela que deve pagar.
Nessa situação, assinale o que for correto.
a) Se João comprar na loja A, então, 2 meses após a compra,
ele terá R$ 110,00 aplicados.
b) Se João comprar na loja B, então, exatamente após efetuar o
primeiro pagamento, ele terá R$ 580,00 aplicados.
c) Se João comprar na loja C, então, logo após terminar de
pagar pelo produto, restarão a ele R$ 94,00 aplicados.
d) Se comprar na loja B, João levará mais tempo para pagar o
produto, mas, para ele, essa opção é financeiramente melhor do
que comprar na loja C.
e) Financeiramente, a melhor opção de compra é sempre pagar
a vista com desconto, independentemente de como se pode
aplicar o dinheiro.