Resolução de Sistemas Lineares- Parte 1
• Exemplo 1: Problema da treliça • Treliça: estrutura composta de barras (metálicas
ou de madeira) unidas por rótulas (nós) nas suas extremidades.
• Determinar as componentes horizontal e vertical das forças que atuam nas junções da treliça.
1
23
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1415
16
171
2
3
4
5
6
7
8
910
F1 F2 F3
Fh Fh
• Forças que atuam na treliça: 17• O número de junções (j) está relacionado com o
número de componentes da treliça (m):
2j-3 = m
Neste caso: 2 (10) – 3 = 17
• Logo, as componentes das forças são determinadas pelas condições de equilíbrio nas junções.
• Condições de equilíbrio:• Junção 2:
• Junção 3:
0
0
045cos45cos
531
541
541
faffaF
faffaF
fffF
y
x
aax
0
0
13
62
FfF
ffF
y
x
• Junção 4:
• Junção 5:
• Junção 6:
0
0
2975
10965
FafffaF
ffaffaF
y
x
0
0
7
84
FF
ffF
y
x
0
0
13119
131298
faffaF
faffafF
y
x
• Junção 7:
• Junção 8:
• Junção 9:
• Junção 10:
0
0
11
1410
FF
ffF
y
x
0
0
1615
1612
affaF
fafF
y
x
0
0
101513
171413
fffaF
fffaF
y
x
0 1716 ffaFx
Junção 10:
Junção 1:
Sistema linear com 17 variáveis
e 17 equações
hx FffaF 1716
hx FffaF 21
),...,,,( 17321 ffff
Um sistema linear com m equações e
n incógnitas pode ser escrito na forma:
coeficientes constantes variáveis
nnmnmm
n
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
222222121
11212111
mna nb nx
Resolver o sistema linear
Calcular os valores de , caso existam, que satisfaçam as m equações.
)...,,2,1( njx j
• Notação matricial:
onde
é a matriz dos coeficientes.
BXA
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
é o vetor das variáveis
é o vetor dos termos independentes
nx
x
x
X2
1
nb
b
b
B2
1
• Consideremos a situação de duas equações e de duas variáveis
solução única retas concorrentes
infinitas soluções retas coincidentes
nenhuma solução retas paralelas
23
32
21
21
xx
xx
1
1x
624
32
21
21
xx
xx
23x
224
32
21
21
xx
xx
Comentário 1: no caso geral de equações
e variáveis também temos estas três situa-
ções: solução única, infinitas soluções e ne-
nhuma solução.
Notação: solução exata
solução aproximada
x
mn
x
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES nxn
Métodos Diretos: fornecem solução exata, a
menos de arredondamentos e caso exista,
após um número finito de operações.]
Métodos Iterativos: geram uma seqüência de
vetores , dada aproximação inicial ,
que converge para solução , caso exista.
kx 0x x
MÉTODOS DIRETOS
Método de Cramer pertence a esta classe.
• Para calcular o determinante de um sistema 20x20 temos 21x20!x19 multiplicações, mais este número de adições.
• Um computador de 1GHz (109 operações por segundo) levaria 3X104 anos para calcular a solução deste sistema
• Necessitamos de métodos mais eficientes!!!
AAbAxbAAxAbAx de inversa a é onde 1111
MÉTODOS DIRETOS
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
• O Método da Eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior.
Sistemas equivalentes têm a mesma solução.
Sistema linear triangular tem solução imediata.
MÉTODOS DIRETOSELIMINAÇÃO DE GAUSS
Teorema 1: Seja um sistema linear. Aplicandosobre as equações deste uma seqüência de operaçõeselementares escolhidas entre:
a) trocar a ordem das equações,b) multiplicar uma equação por constante,c) adicionar um multiplo de uma equação a outra;
obtemos um novo sistema equivalente.
bAx
bxA~~
MÉTODOS DIRETOS
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
• Suponha . A eliminação e efetuada por colunas.
• O elemento é denominado pivô na primeira etapa. O elemento é o pivô da segunda etapa. O proces-so repete-se até termos um sistema linear triangular.
• Os elementos são os multiplicadores da primeira etapa. Para gerar os zeros da coluna 1 linha i, faça na linha i. Repita o procso para a coluna 2.
11a
0ADet
22a
1111 aam ii
11 LmLL iii
MÉTODOS DIRETOS
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Exemplo: seja o sistema linear
3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx 3/53/223/1
3/53/23/1
1423
32
32
321
xx
xx
xxx
03/24
3/53/23/1
1423
3
32
321
x
xx
xxx
0
5
3
x
12122 LmLL
3
4,
3
13121 mm
13133 LmLL
13/1
3/132 m
MÉTODOS DIRETOS
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Problema: Pivô nulo ou próximo de zero!!!!
Estratégia de pivoteamento parcial• No início de cada eliminação de Gauss,
trocando as linhas, escolher para o pivô o maior da coluna j.ija
MÉTODOS DIRETOS
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Estratégia de pivoteamento total• No início de cada eliminação de Gauss,
escolher para o pivô o maior entre todos elementos que atuam no processo de eliminação.
• Problema: Muitas operações de comparação!!
ija
MÉTODOS DIRETOS
ELIMINAÇÃO DE GAUSS
Pivoteamento Parcial X Pivoteamento total
parcial continuar
total continuar
150420
77530
63010
5123
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
150420
63010
77530
5123
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
150420
77530
63010
5123
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
152400
61030
73570
5213
2341
2341
2341
2341
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
MÉTODOS DIRETOS
FATORAÇÃO LU
Seja o sistema linear . Este processo de
fatoração consiste em decompor a matriz em
Um produto de dois ou mais fatores.
Exemplo: Seja , então resolver
É equivalente a resolver e depois
.
bxA A
bxA DCAbyC
yxD
MÉTODOS DIRETOS
FATORAÇÃO LU
Na fatoração a matriz é
triangular inferior com diagonal unitária
e a matriz é triangular superior.
LULA
U
MÉTODOS DIRETOS
FATORAÇÃO LU
Teorema da fatoração LUDada uma matriz quadrada nxn. Se
então existe uma única matriz triangular inferior
, com diagonal principal unitária, e uma
única matriz triangular superior , tais
que
, e
0ADet
ijmL
ijuU AUL
n
iiiuA
0
det
MÉTODOS DIRETOS
FATORAÇÃO LU
Exemplo de fatoração LU. Considere
onde
Do método de Gauss sem pivoteamento:
3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx
234
211
423
A
FATORAÇÃO LU
No último passo foi acrescentados os multiplicadores
Os multiplicadores são definidos como segue: da
equação (linha) j subtraímos a equação (linha) i
multiplicada por , de modo a escalonar a matriz
Continuando o processo:
234
211
423
A
3/103/10
3/23/10
423
3/103/13/4
3/23/13/1
423
ijm
ijm A
FATORAÇÃO LU
Assim, as matrizes L e U são
234
211
423
A
3/103/13/4
3/23/13/1
423
113/4
013/1
001
L
413/4
3/23/13/1
423
400
3/23/10
423
U AUL
FATORAÇÃO LU
Resolvendo o sistema por fatoração LU:
Continuando
0
5
3
x
3234
22
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx
bxA
byL
33/4
23/1
1
321
21
1
yyy
yy
y
yxU 04
3/53/23/1
1423
3
32
321
x
xx
xxx
0
3/5
1
y
FATORAÇÃO LU + PIVOTEAMENTO
Fatoração LU com pivoteamento parcial.Fatoração LU com pivoteamento total.
O pivoteamento pode ser implementado por
meio da matriz de permutação.
Definição: Uma matriz quadrada de ordem n é uma matriz de permutação se pode ser obtida da matriz identidade de ordem n permutando-se suas linhas (ou colunas).
FATORAÇÃO LU + PIVOTEAMENTO
Exemplo de matriz permutação
Seja
Note:
001
100
010
P
413
562
951
562
951
413
001
100
010
AP
562
951
413
A
FATORAÇÃO DE CHOLESKY
Definição: Uma matriz quadrada de ordem n é
definida positiva se .
Definição: A fatoração de Cholesky de uma matriz ,
simétrica positiva, é dada por
com uma matriz triangular inferior com elementos da
diagonal estritamente positivos.
AnT xxAx 0
A
,:onde nnGGGA T
G
FATORAÇÃO DE CHOLESKY
Do teorema LU, temos , onde é uma
matriz diagonal de ordem n. Ainda, se for simétrica,
então e a fatoração escreve-se como:
Portanto,
ADUDLA
TLU
iiTT dLDDLLDLA iidonde
DLG
FATORAÇÃO DE CHOLESKY
Considere a matriz
Calculando os fatores L U
83214
214112
1124
412416
A
81000
1100
0210
412416
1104/1
0124/3
0014/1
0001
83214
214112
1124
412416
A
FATORAÇÃO DE CHOLESKY
Calculando os fatores
ULA
81000
1100
0210
412416
1104/1
0124/3
0014/1
0001
83214
214112
1124
412416
UDLDL e
TLDLA
1000
1100
0210
4/14/34/11
81000
0100
0010
00016
1104/1
0124/3
0014/1
0001
FATORAÇÃO DE CHOLESKY
Enfim,
Ou ainda,
TLDDLA
1000
1100
0210
4/14/34/11
9000
0100
0010
0004
9000
0100
0010
0004
1104/1
0124/3
0014/1
0001
TGGA
9000
1100
0210
1314
9101
0123
0011
0004
FATORAÇÃO DE CHOLESKY
Teorema da Fatoração de Cholesky
Se é uma matriz simétrica positiva definida,
então existe uma única matriz triangular inferior
com diagonal estritamente positiva, tal que
A
G
TGGA
FATORAÇÃO DE CHOLESKY
Resolução de sistemas lineares é semelhante
ao método LU. Seja , então resolver
é equivalente a resolver e
depois .
TGGAbxA byG
yxGT
COMPARAÇÃO DOS MÉTODOS
Fatoração de Cholesky: Primeiro verificar se uma matriz simétrica é definida positiva. Em caso positivo, continuar com o método de Cholesky.O método de Cholesky requer
aproximadamente a metade das operações necessárias para a fatoração LU, da ordem de n3/6 operações.