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    Resistncia dos Materiais

    Aplicada a SaneamentoWildemberg Raiol de Assuno

    2013Belm - PA

    INSTITUTO FEDERAL DEEDUCAO,CINCIA E TECNOLOGIAPARCampus Belm

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    O GRANDEO SUL

    NSTITUTO

    EDERAL

    Presidncia da Repblica Federativa do Brasil

    Ministrio da Educao

    Secretaria de Educao Profissional e Tecnolgica

    Equipe de Elaborao

    Instituto Federal de Educao, Cincia e

    Tecnologia do Par IFPA-Belm

    Reitor

    Edson Ary de O. Fontes/IFPA-Belm

    Direo Geral

    Darlindo Maria Pereira Veloso Filho/IFPA-Belm

    Coordenao Institucional

    Erick Alexandre de Oliveira Fontes/IFPA-Belm

    Coordenao de Curso

    Wuyllen Soares Pinheiro/IFPA-Belm

    Professor-autor

    Wildemberg Raiol de Assuno/IFPA-Belm

    Equipe Tcnica

    Carlos Lemos Barboza/IFPA-Belm

    Fabiano Darlindo Veloso/IFPA-Belm

    Gisely Regina Lima Rebelo/IFPA-Belm

    Oscar Jesus Choque Fernandez/IFPA-Belm

    Equipe de Acompanhamento e Validao

    Colgio Tcnico Industrial de Santa Maria CTISM

    Coordenao Institucional

    Paulo Roberto Colusso/CTISM

    Coordenao Tcnica

    Iza Neuza Teixeira Bohrer/CTISM

    Coordenao de DesignErika Goellner/CTISM

    Reviso Pedaggica

    Andressa Rosemrie de Menezes Costa/CTISM

    Francine Netto Martins Tadielo/CTISM

    Marcia Migliore Freo/CTISM

    Reviso Textual

    Eduardo Lehnhart Vargas/CTISM

    Lourdes Maria Grotto de Moura/CTISM

    Vera da Silva Oliveira/CTISM

    Reviso Tcnica

    Marcos Vaghetti/CT - UFSM

    IlustraoGabriel La Rocca Cser/CTISM

    Marcel Santos Jacques/CTISM

    Rafael Cavalli Viapiana/CTISM

    Ricardo Antunes Machado/CTISM

    Diagramao

    Cssio Fernandes Lemos/CTISM

    Leandro Felipe Aguilar Freitas/CTISM

    Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia do ParEste caderno foi elaborado em parceria entre o Instituto Federal de Educao,

    Cincia e Tecnologia do Par Campus Belm e a Universidade Federal de Santa

    Maria para a Rede e-Tec Brasil.

    A851r Assuno, Wildemberg Raiol de Resistncia dos materiais /Wildemberg Raiol de Assuno. Belm, PA : IFPA-Belm ;

    Santa Maria : UFSM, Colgio Tcnico Industrial de Santa Maria ;Rede e-Tec Brasil, 2013.

    71 p. : il. ; 28 cm

    1. Engenharia mecnica 2. Engenharia dos materiais 3.Resistncia dos materiais 4. Saneamento I. Ttulo.

    CDU 620.1

    Ficha catalogrfica elaborada por Maristela Eckhardt CRB 10/737Biblioteca Central da UFSM

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    e-Tec Brasil3

    Apresentao e-Tec Brasil

    Prezado estudante,

    Bem-vindo ao e-Tec Brasil!

    Voc faz parte de uma rede nacional pblica de ensino, a Escola Tcnica

    Aberta do Brasil, instituda pelo Decreto n 6.301, de 12 de dezembro de

    2007, com o objetivo de democratizar o acesso ao ensino tcnico pblico,

    na modalidade a distncia. O programa resultado de uma parceria do

    Ministrio da Educao, por meio das Secretarias de Educao a Distncia

    (SEED) e de Educao Profissional e Tecnolgica (SETEC), as universidades e

    escolas tcnicas estaduais e federais.

    A educao a distncia no nosso pas, de dimenses continentais e grande

    diversidade regional e cultural, longe de distanciar, aproxima as pessoas ao

    garantir acesso educao de qualidade e ao promover o fortalecimento

    da formao de jovens moradores de regies distantes dos grandes centros

    geogrfica e ou economicamente.

    O e-Tec Brasil leva os cursos tcnicos a locais distantes das instituies de ensino

    e para a periferia das grandes cidades, incentivando os jovens a concluir o

    ensino mdio. Os cursos so ofertados pelas instituies pblicas de ensino,

    e o atendimento ao estudante realizado em escolas-polo integrantes das

    redes pblicas municipais e estaduais.

    O Ministrio da Educao, as instituies pblicas de ensino tcnico, seus

    servidores tcnicos e professores acreditam que uma educao profissional

    qualificada integradora do ensino mdio e da educao tcnica, capaz

    de promover o cidado com capacidades para produzir, mas tambm com

    autonomia diante das diferentes dimenses da realidade: cultural, social,

    familiar, esportiva, poltica e tica.

    Ns acreditamos em voc!

    Desejamos sucesso na sua formao profissional!Ministrio da Educao

    Janeiro de 2010

    Nosso contato

    [email protected]

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    e-Tec Brasil5

    Indicao de cones

    Os cones so elementos grficos utilizados para ampliar as formas de

    linguagem e facilitar a organizao e a leitura hipertextual.

    Ateno:indica pontos de maior relevncia no texto.

    Saiba mais: oferece novas informaes que enriquecem o

    assunto ou curiosidades e notcias recentes relacionadas ao

    tema estudado.

    Glossrio: indica a definio de um termo, palavra ou expresso

    utilizada no texto.

    Mdias integradas: sempre que se desejar que os estudantes

    desenvolvam atividades empregando diferentes mdias: vdeos,

    filmes, jornais, ambiente AVEA e outras.

    Atividades de aprendizagem: apresenta atividades em diferentes

    nveis de aprendizagem para que o estudante possa realiz-las e

    conferir o seu domnio do tema estudado.

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    Tecnologia da Informticae-Tec Brasil 6

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    e-Tec Brasil

    Sumrio

    Palavra do professor-autor 9

    Apresentao da disciplina 11

    Projeto instrucional 13

    Aula 1 Consideraes gerais 151.1 Conceito 15

    1.2 Objeto de estudo 16

    1.3 Sistemas de unidades 17

    1.4 Correlao entre as vrias cincias 18

    1.5 Esttica tcnica 18

    1.6 Conceitos diversos 19

    1.7 Leis de Newton 19

    1.8 Estudo de foras coplanares 20

    1.9 Momento 21

    1.10 Princpios fundamentais 22

    1.11 Equilbrio de foras 25

    Aula 2 Equilbrio de corpos rgidos 352.1 Equilbrio de um corpo rgido 35

    2.2 Objetivos da resistncia dos materiais 36

    2.3 Definies bsicas 37

    2.4 Esforos externos ativos 37

    2.5 Tipos de apoios ou vnculos 38

    2.6 Aes 39

    2.7 Reaes de apoio 41

    Aula 3 Trao e compresso 473.1 Materiais slidos x solicitaes 47

    3.2 Solicitao 47

    3.3 Tenso 47

    3.4 Trelias isostticas 49

    3.5 Estudo de trao no ao 54

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    Referncias 70

    Currculo do professor-autor 71

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    Palavra do professor-autor

    Ol!

    Para poder transformar a natureza, o homem precisa de ferramentas e tecnolo-

    gias. Para criar tecnologia, precisa de teorias que correspondam sistematizao

    de conhecimentos e descoberta de leis naturais que orientam seu trabalho.

    Depois de criar uma srie de teorias, algumas das quais superam e substituem

    outras, o homem procura sistematiz-las dando-lhe nomes, delimitando suas

    validades e estabelecendo um grau de hierarquia entre elas.

    Do estudo das estruturas (casas, pontes, veculos, etc.) surge a resistnciados materiais.

    Professor Wildemberg Raiol de Assuno

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    Apresentao da disciplina

    Desde a antiguidade, quando o homem iniciou a arte e a cincia de construir,

    h a necessidade de se obterem conhecimentos da resistncia dos materiais.

    Foi observado que apenas com tais conhecimentos haveria a possibilidade

    de gerar regras, padres e procedimentos para determinar quais dimenses

    seriam seguras para atuar como elementos em dispositivos e estruturas.

    As civilizaes mais antigas da humanidade j haviam se lanado no estudo

    dos materiais. Os egpcios inegavelmente j possuam grandes conhecimentos

    dessa rea, pois sem eles seria impossvel serem construdas as pirmides do

    Egito. Logo frente, os gregos trariam mais um avano na construo, criandoe utilizando princpios de esttica, a qual corresponde a base da resistncia

    dos materiais. Arquimedes (287-212 a.C.) deu uma enorme prova a respeito

    de condies de equilbrio, ao utilizar uma alavanca, esboando mtodos de

    verificao de centro de gravidade dos corpos. Aplicou tambm sua teoria na

    construo de grandes dispositivos, tais como guinchos e guindastes.

    O dimensionamento de peas, que o maior objetivo de resistncia dos mate-

    riais, se resume em analisar as foras atuantes na pea, para que a sua inrcia

    continue existindo e para que ela suporte os esforos empregados. Para isso

    preciso conhecer o limite do material. Isso pode ser obtido atravs de ensaios

    que, basicamente, submetem a pea ao esforo que ela dever sofrer onde ser

    empregada, a condies padro, para que se possa analisar o seu comporta-

    mento. Esses dados so demonstrados em grficos de tenso x deformao. A

    tenso em que nos baseamos o limite entre o regime elstico e o plstico. Mas

    para fins de segurana utilizado um c.s. (coeficiente de segurana) que faz

    com que dimensionemos a pea para suportar uma tenso maior que a tenso

    limite mencionada. Tudo isso necessrio para que se obtenha total certeza

    nos resultados, j que pequenos erros podem acarretar grandes problemas

    mais adiante, isso se agrava mais ainda se estivermos falando de pessoas quepodem ter suas vidas colocadas em perigo por um clculo mal feito. A cincia

    de resistncia dos materiais tambm muito importante para que no se tenha

    prejuzos, gastando mais material do que o necessrio e acarretando tambm

    outro problema que o excesso de peso.

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    Palavra do professor-autor

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    Disciplina: Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamento (carga horria: 60h).

    Ementa: Esttica tcnica. Estudo de foras coplanares. Equilbrio de foras.

    Equilbrio de corpos apoiados. Equilbrio de corpos suspensos. Trao e com-

    presso. Tenso normal. Lei de Hooke. Estudo de trelias isostticas. Estudo

    de trao no ao. Diagrama: tenso x deformao. Tipos de carregamento.

    Vigas isostticas. Diagrama de esforo cortante e momento fletor. Tenso na

    flexo. Cisalhamento na flexo.

    AULA OBJETIVOS DEAPRENDIZAGEM MATERIAISCARGA

    HORRIA(horas)

    1. Consideraesgerais

    Compreender a resistncia dos materiais.Identificar os principais conceitos

    referentes resistncia dos materiais,desde a esttica tcnica e estudo de

    foras coplanares.

    Analisar o estudo do equilbrio de foras.

    Ambiente virtual:

    plataforma Moodle.

    Apostila didtica.Recursos de apoio: links,

    exerccios.

    20

    2. Equilbrio de

    corpos rgidos

    Compreender as estruturas do dia adia, da natureza, de concreto simples,

    armado e outros.

    Identificar os corpos rgidos.

    Analisar o equilbrio de corpos apoiados,equilbrio de corpos suspensos eo equilbrio de corpos apoiados e

    suspensos.

    Ambiente virtual:

    plataforma Moodle.Apostila didtica.

    Recursos de apoio: links,exerccios.

    20

    3. Trao e

    compresso

    Compreender o comportamento

    de materiais slidos submetidos asolicitaes mecnicas de trao e

    compresso.Identificar as formas de combate s

    solicitaes em peas estruturais atravs

    da tenso normal, Lei de Hooke, estudode trelias isostticas.

    Analisar o estudo de trao no ao,

    diagrama: tenso x deformao, tipos de

    carregamento, vigas isostticas, diagramade esforo cortante e momento fletor,tenso na flexo, cisalhamento na flexo.

    Ambiente virtual:

    plataforma Moodle.

    Apostila didtica.Recursos de apoio: links,

    exerccios.

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    Projeto instrucional

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    e-Tec Brasil

    Aula 1 Consideraes gerais

    Objetivos

    Compreender a resistncia dos materiais.

    Identificar os principais conceitos referentes resistncia dos mate-

    riais, desde a esttica tcnica e estudo de foras coplanares.

    Analisar o estudo do equilbriode foras.

    1.1 ConceitoA resistncia dos materiais um ramo da mecnica que estuda as relaes

    entre cargas externas aplicadas a um corpo deformvel e a intensidade das

    foras internas que atuam dentro do corpo com abrangncia no clculo da

    deformaodo corpo e no estudo da estabilidadedo corpo quando ele

    est submetido a foras externas.

    Exemplo

    Vamos supor que se pretenda assentar uma pea de grande peso sobre uma

    estruturade suporte (prancha) que, por sua vez, se assente sobre dois apoios,

    A e B (Figura 1.1).

    Figura 1.1: Estrutura biapoiadaFonte: Hibbeler, 2000

    equilbrio

    Estado ou condio de umsistema sob ao de duas oumais foras que se anulamentre si, o que resulta em suaestabilidade, se no houver aode novas foras; estabilidadede um corpo em sua posturanormal; iIgualdade entreduas ou mais foras opostas;equiparao; proporcionalidade.

    deformaoAo ou resultado dedeformar-se, de mudar deforma; perda da forma original;

    alterao.estabilidadeFirmeza, equilbrio, solidez,segurana; propriedade pela qualum sistema (mecnico, eltrico,aerodinmico) retorna ao estadode equilbrio depois de sofreralguma perturbao.

    estruturaModo como se dispem ouarticulam as partes que formamum todo, seja concreto, sejaabstrato; a parte que constituio elemento de sustentao de

    um todo e de sua resistnciaa cargas, presses, etc.; obraconstruda pela juno ouarticulao de partes; o conjuntode elementos bsicos que dosustentao a uma obra.

    e-Tec BrasilAula 1 - Consideraes gerais 15

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    A estrutura receber essa carga e sofrer com isso uma srie de esforos,

    deformando-se. A resistncia dos materiais determinar tais esforos e a lei

    da deformao dessa viga. Conhecendo o material com que se construiu a

    estrutura-suporte, saberemos:

    Se com o material usado no suporte e em face de suas dimenses, exem-

    plo espessura, a estrutura ou resiste solicitao ou se rompe.

    As deformaes que ocorrero.

    1.2 Objeto de estudoA resistncia dos materiais procura estudar:

    Estruturas que possam ser associadas a barras de eixo retilneo.

    Estruturas que obedeam a uma lei, segundo a qual: se uma barra for

    submetida a uma carga q ela se deformar x e se a carga for 2q

    a deformao dever ser 2x. A importncia dessa lei, chamada Lei de

    Hooke, ser demonstrada neste curso.

    1.2.1 Situaes de pequenas deformaes

    A resistncia dos materiais aqui estudada fornecer os fundamentos para a

    compreenso e o estudo das seguintes estruturas:

    Do dia a dia.

    Da natureza.

    De pedra, de taipa e de alvenaria.

    De ao, de alumnio, etc.

    De concreto simples e armado.

    De equipamentos.

    De outras.

    esforoAplicao, mobilizao de fora

    (fsica ou mental, ou moral),energia, empenho, pertincia,

    etc., para realizar ou alcanarum objetivo.

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 16

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    1.3 Sistemas de unidades

    e-Tec BrasilAula 1 - Consideraes gerais 17

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    1.4 Correlao entre as vrias cincias

    Figura 1.2: Correlao entre as vrias cinciasFonte: CTISM, adapatado de autor

    1.5 Esttica tcnicaO estudo da estticacompreende a ao de foras exteriores sobre um corpo

    rgido, em posio de repouso.

    As foras grupam-se em sistemas que recebem denominaes segundo a

    posio relativa que guardam entre si.

    Temos assim sistemas de foras concorrentes, paralelas e quaisquer direes.

    Qualquer desses sistemas pode ser coplanar ou espacial.

    Todo sistema pode ser substitudo pela ao de duas foras que, em relao

    a um ponto qualquer, venham produzir o mesmo efeito que o sistema dado.

    Esses efeitos so a resultante e o momento resultante.

    rgidoQue resistente a presso,

    flexo, toro; concebido e/oufeito com exatido e rigor; que

    no flexvel, malevel, que exato.

    A finalidade da esttica, comoj foi dito em outras palavras,

    estudar os sistemas emequilbrio, isto , onde so nulosos movimentos de translao e

    rotao.

    A esttica trata do clculo dasforas externas que atuam em

    corpos rgidos em equilbrio.A determinao das tenses edeformaes internas envolve

    uma anlise das caractersticasdo material em questo. Essa

    anlise feita no contextoda mecnica dos corpos

    deformveis que deve seguiro estudo da esttica.

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 18

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    A resultante a soma vetorialdas projees das foras do sistema, portanto,

    capaz de produzir translao segundo a direo do seu suporte.

    O momento a soma vetorial dos momentos das foras do sistema, portanto,

    capaz de produzir rotao.

    1.6 Conceitos diversos1.6.1 Mecnica o ramo das cincias fsicas associadas com o estado de repouso ou de

    movimento de corpos submetidos ao de foras.

    1.6.2 Massa a medida da inrcia de um corpo que, por sua vez, sua resistncia

    mudana de velocidade. Massa tambm pode ser entendida como a quantidadede matria em um corpo. De maior importncia em esttica, massa tambm

    uma propriedade de todos os corpos. Atravs dela eles experimentam atrao

    mtua com outros corpos.

    1.6.3 Fora uma consequncia da ao de um corpo sobre outro. Uma fora tende a

    mover o corpo no qual ela est aplicada, na direo de sua linha de ao. A

    ao de uma fora caracterizada por sua intensidade ou mdulo, sua direo

    e por seu ponto de aplicao. Fora uma quantidade vetorial.

    1.6.4 Corpo rgidoUm corpo considerado rgido, quando um movimento relativo entre suas

    partes desprezvel. Por exemplo, o clculo das tenses em um cabo que

    suporta a lana de um guindaste mvel submetida a um carregamento

    no substancialmente afetado pelas pequenas deformaes que ocorrem

    nos elementos estruturais da lana. Dessa forma, para a determinao das

    foras externas que atuam na lana, considera-se, para todos os propsitos,

    a lana um corpo rgido.

    1.7 Leis de NewtonIsaac Newton foi o primeiro a estabelecer corretamente as leis bsicas que

    governam o movimento de uma partcula, assim como a demonstrar sua

    validade (Quadro 1.1). Adaptadas terminologia moderna, essas leis podem

    ser enunciadas da seguinte forma:

    lana de um guindasteA parte mais identificvel dequalquer guindaste a lana.Trata-se do brao de ao noguindaste que suporta a carga.Saindo de trs da cabine de

    comando do operador, ela apea essencial de um guindaste,permitindo que a mquina elevecargas a grandes alturas.

    vetorialSegmento de reta com mdulo,direo e sentido, que serelaciona aos vetores, diz-se,

    tambm, da anlise que estudaas noes relativas aos camposde vetores (clculo vetorial),diz-se da funo que assumevalores em um espao vetorial;diz-se da grandeza fsica cujadefinio exige valor numrico,direo e sentido, diz-se doprocessador arritmtico dealto desempenho usado paraclculo vetorial.

    e-Tec BrasilAula 1 - Consideraes gerais 19

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    Primeira lei uma partcula permanece em repouso, ou continua a mover-se

    em linha reta com uma velocidade constante, se no existir nenhuma fora

    agindo sobre ela.

    Segunda lei a acelerao de uma partcula proporcional fora resultanteque age sobre ela e possui a mesma direo.

    Terceira lei as foras de ao e reao entre dois corpos que interagem

    entre si so iguais em intensidade, colineares e de sentidos opostos.

    Unidade a mecnica lida com quatro grandezas fundamentais: comprimento,

    massa, fora e tempo.

    Quadro 1.1: Grandeza, unidade e smbolo

    Grandeza Smbolo dimensional Unidade Smbolo

    Massa M quilograma kg

    Comprimento L metro m

    Tempo T segundo s

    Fora F newton N

    Fonte: autor

    1.8 Estudo de foras coplanaresFora a ao exercida por um corpo sobre outro. Os efeitos de uma fora

    sobre um corpo so:

    a) Movimento ou alterao de movimento do corpo.

    b) Deformao do corpo.

    Uma fora representada por um vetor (Figura 1.3).

    Figura 1.3: Representao de uma fora por vetorFonte: autor

    Assista a vdeo aula Fsica Leis de Newton, que traz numa

    abordagem em forma de aulasuma explicao das trs leis de

    Newton. Acesse:http://www.youtube.com/watch?v=v1EVhAp49vI&feature=

    related

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 20

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    As caractersticas de uma fora so:

    a) Direo posio da linha de ao.

    b) Intensidade o valor da fora. Exemplo: 3 kN, 800 N, 1250 kgf.

    c) Sentido de A para B, indicado pela seta (Figura 1.3).

    d) Ponto de aplicao local onde a fora atua.

    1.9 MomentoO momento a intensidade de uma fora pela distncia do ponto linha de

    ao da mesma.

    O ponto O chamado centro de momento, e o eixo Y, em torno do qual o

    momento atua, perpendicular ao plano (Figura 1.4).

    Figura 1.4: MomentoFonte: autor

    A representao do momento feita por uma flecha dupla, ou por uma flecha

    circular orientada (Figura 1.5).

    e-Tec BrasilAula 1 - Consideraes gerais 21

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    Figura 1.5: Representao de um momentoFonte: autor

    1.10 Princpios fundamentais

    1.10.1 Princpio de igualdade da ao e da reaoA toda ao corresponde uma reao igual e contrria, 3 Lei de Newton

    (Figura 1.6), Isaac Newton, 1687.

    Figura 1.6: Ao e reaoFonte: autor

    1.10.2 Princpio de StevinQuando duas foras atuam sobre um mesmo ponto, seus efeitos so os

    mesmos como se atuasse uma fora nica, de intensidade, direo e sentido

    definidos pela diagonal do paralelogramo construdo sobre as duas foras

    (Figura 1.7). Lei de Stevin, Simon Stevin, final do sculo XVI.

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 22

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    Figura 1.7: Princpio de StevinFonte: autor

    O princpio de Stevin pode ser estendido a um nmero maior de foras (Figura 1.8).

    Figura 1.8: Princpio de Stevin com maior nmero de forasFonte: autor

    1.10.3 Teorema de VarignonEm um sistema de foras concorrentes em um ponto O, o momento resultante

    dessas foras em relao a um ponto O, igual ao momento da resultante

    do sistema (Figura 1.9). Tese de Varignon, Pierre Varignon, 1687.

    e-Tec BrasilAula 1 - Consideraes gerais 23

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    Figura 1.9: Teorema de VarignonFonte: autor

    1.10.4 Conjugado binrio

    O momento produzido por duas foras iguais, opostas e paralelas conhecidocomo conjugado ou binrio (Figura 1.10).

    Figura 1.10: Conjugado binrioFonte: autor

    O vetor momento perpendicular ao plano que contm as duas foras

    (Figura 1.11).

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 24

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

    25/72

    Figura 1.11: Vetor momentoFonte: autor

    1.11 Equilbrio de foras1.11.1 Sistemas planos de foras concorrentes1.11.1.1 Decomposio

    A decomposio de uma fora ocorre em dois eixos ortogonais (Figura 1.12).

    Figura 1.12: DecomposioFonte: autor

    Para um sistema plano de foras concorrentes, decompem-se cada fora e,

    por somatria, obtm-se a resultante das projees em cada eixo (Figura 1.13).

    e-Tec BrasilAula 1 - Consideraes gerais 25

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

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    Figura 1.13: Decomposio de um sistema de foras concorrentesFonte: autor

    1.11.1.2 Reduo

    Um sistema plano de foras concorrentes num ponto nico redutvel a uma

    resultante, passando pelo ponto de concorrncia (Figura 1.14).

    Figura 1.14: ResultanteFonte: autor

    Para se obter o valor da resultante do sistema, decompem-se as foras dadas

    segundo um sistema de eixos ortogonais X e Y, em seguida fazem-se.

    Posio da resultante (Figura 1.15).

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 26

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

    27/72

    Figura 1.15: Posio da resultanteFonte: autor

    1.11.1.3 Condies de equilbrio

    1.11.2 Sistemas planos de foras concorrentes1.11.2.1 Reduo

    Este sistema de foras reduz-se a uma fora resultante R e, a um momento

    resultante em relao a um ponto arbitrrio O (MRO) (Figura 1.16).

    Figura 1.16: Sistema de foras no concorrentesFonte: autor

    Assista aos vdeosNovo Telecurso Ensino Mdio Fsica Aula 07 (1 de 2) eNovo Telecurso Ensino Mdio

    Fsica Aula 07 (2 de 2), quetraz numa abordagem em formade aulas com uma explicaosimples sobre fora, momento eequilbrio de foras. Acesse:http://www.youtube.com/watch?v=xXEupGV0-NM&feature=related

    http://www.youtube.com/watch?v=c-un8qvL9aI&feature=related

    e-Tec BrasilAula 1 - Consideraes gerais 27

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

    28/72

    1.11.2.2 Condies de equilbrio

    As condies de equilbrio dos sistemas planos de foras no concorrentes

    expressam-se por trs equaes (duas de projeo e uma de momento).

    Ou ainda por trs equaes de momentos, em relao a trs pontos no

    colineares.

    1.11.3 Sistemas planos de foras paralelas

    Figura 1.17: Sistema de foras paralelasFonte: autor

    1.11.3.1 Reduo

    Reduz-se a uma fora resultante R e a um momento resultante M em relao

    a um ponto arbitrrio O.

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 28

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    Figura 1.18: Fora resultante R e momento resultante MFonte: autor

    1.11.3.2 Posio da resultante

    Figura 1.19: Posio da resultanteFonte: autor

    e-Tec BrasilAula 1 - Consideraes gerais 29

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    1.11.3.3 Condies de equilbrio

    Figura 1.20: Condies de equilbrioFonte: autor

    As equaes de equilbrio desses sistemas de foras podem ser expressas por

    duas equaes de momentos.

    ResumoO dimensionamento de peas, objetivo de maior relevncia na resistncia dos

    materiais, se resume em analisar as foras atuantes na pea, para que a sua

    inrcia continue existindo e para que ela suporte os esforos empregados.

    As foras agrupam-se em sistemas que recebem denominaes segundo a

    posio relativa que guardam entre si. As condies de equilbrio dos sistemas

    planos de foras no concorrentes expressam-se por trs equaes (duas de

    projeo e uma de momento), Fix = 0, Fiy = 0 e Mo = 0 ou ainda por trs

    equaes de momentos, em relao a trs pontos no colineares, Mo1= 0,

    Mo2= 0 e Mo3= 0.

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 30

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

    31/72

    Atividades de aprendizagem1. Determinar Rx e Ry, para o sistema de foras concorrentes que segue:

    F1 = 15 kN F2 = 20 kN

    Exerccio 1.1: Sistema de foras concorrentes

    Fonte: autor

    2. O corpo sobre o plano inclinado est sujeito fora vertical mostrada na

    figura. Determine os componentes da fora ao longo dos eixos X e Y.

    Exerccio 2.1: Plano inclinadoFonte: autor

    3. A chapa quadrada mostrada composta de quadrados de 1 m de lado.Uma fora F = 10 kN est em um ponto A na direo mostrada. Calcular

    o momento MB de F em torno do ponto B. Adotar = 45.

    e-Tec BrasilAula 1 - Consideraes gerais 31

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    Exerccio 3.1: Chapa quadradaFonte: autor

    4. Para erguer o mastro a partir da posio mostrada, a trao T no cabo deve

    fornecer um momento de 72 kN m, em torno do ponto O. Determinar T.

    Exerccio 4.1: Trao T no cabo de foraFonte: autor

    5. Calcule os valores de Va, Vb e Ha, para que os sistemas de foras da figura

    abaixo estejam em equilbrio.

    Exerccio 5.1: Sistema de forasFonte: autor

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 32

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

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    6. A trao T no cabo vertical igual ao peso do caixote. Calcular os com-

    ponentes Tt e Tn, nas direes da lana e normal a ela, respectivamente,

    da fora T aplicada pelo prprio caixote lana em A.

    Exerccio 6.1: Trao T no cabo vertical

    Fonte: autor

    7. Calcule os valores de Ra e Rb, para que o sistema de foras se mantenha

    em equilbrio nas figuras Exerccio 7.1 e 7.2.

    Exerccio 7.1: Sistemas de forasFonte: autor

    Exerccio 7.2: Sistemas de forasFonte: autor

    e-Tec BrasilAula 1 - Consideraes gerais 33

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    e-Tec Brasil

    Aula 2 Equilbrio de corpos rgidos

    Objetivos

    Compreender as estruturas do dia a dia, da natureza, de concreto

    simples, armado e outras.

    Identificar os corpos rgidos.

    Analisar o equilbrio de corpos apoiados, equilbrio de corpos sus-

    pensos e o equilbrio de corpos apoiados e suspensos.

    2.1 Equilbrio de um corpo rgidoNa aula anterior foi referido que as foras exteriores atuantes num corpo

    rgido podem ser reduzidas a um sistema equivalente fora/binrio. Quando

    a fora e o binrio so nulos, o corpo rgido est em equilbrio. Dessa forma

    as condies necessrias e suficientes para o equilbrio de um corpo rgido

    estando ele apoiado ou suspenso sero:

    Onde: F = soma de todas as foras que atuam sobre o corpo

    M = soma dos momentos de todas as foras em relao a um ponto

    qualquer

    Estabelecendo-se um sistema de coordenadas x, y, z com origem no ponto

    O, os vetores fora e momento podem ser decompostos em componentes

    ao longo dos eixos de coordenadas, e as duas equaes anteriores podem

    ser escritas em forma escalar.

    e-Tec BrasilAula 2 - Equilbrio de corpos rgidos 35

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

    36/72

    Sistema coplanar de foras:

    Se o ponto O for a origem das coordenadas, ento os momentos sero sempre

    direcionados ao longo do eixo de z, que perpendicular ao plano que contm

    as foras conforme a Figura 2.1.

    Figura 2.1: Equilbrio de um corpo deformvelFonte: Beer; Johnston, 1995

    A resistncia dos materiais um ramo da mecnica que estuda as relaes

    entre cargas externas aplicadas a um corpo deformvel e a intensidade das

    foras internas que atuam dentro do corpo, com abrangncia no clculo da

    deformao do corpo e no estudo da estabilidade do corpo, quando ele est

    submetido a foras externas.

    2.2 Objetivos da resistncia dos materiaisA Resistncia dos materiais tem como objetivos bsicos, determinar os esfor-os internos de um corpo slido submetido a ao dos esforos externos

    conhecidos (Quadro 2.1), e consequentemente verificar a sua estabilidade e

    dimension-los.

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 36

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

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    Quadro 2.1: Esforos externos conhecidos

    Tenses internas Produzidas pelos esforos externos. (ESTADO DE TENSO).

    Deformaes no corpo slidoDevido ao deslocamento dos ns provocados pelas tenses. (ESTADO DE

    DEFORMAO).

    Dimensionamento

    Escolher a forma do slido, com base nos esforos internos resistentes

    e/ou nas deformaes ocorridas, para que no ultrapassem os limitesadmissveis.

    EstabilidadePara garantir que os estados de tenso e deformao provocados pelosesforos internos resistentes no ultrapassem limites admissveis.

    Fonte: autor

    2.3 Definies bsicas

    Quadro 2.2: Definies bsicas

    Viga ou barra todo slido que apresenta uma das dimenses (comprimento), bem

    maior que qualquer outra.Seo transversal a figura plana cujo movimento de translao origina uma barra.

    Eixo longitudinal o lugar geomtrico (linha) dos baricentros de todas as seestransversais da barra.

    Barra prismtica o slido gerado pelo movimento de translao de uma figura plana,em trajetria retilnea. Caracteriza-se pelo eixo longitudinal reto, e pelas

    sees transversais iguais.

    Estrutura o sistema, formado por uma ou mais barras interligadas entre si e seus

    apoios, destinado a suportar esforos.

    EsforosSo as cargas que atuam diretamente sobre as barras de uma estrutura.

    Podem ser externos ou internos, ativos ou reativos.

    Fonte: autor

    2.4 Esforos externos ativosSo as cargas concentradas, distribudas e momentos que agem sobre as

    barras (estrutura) mostradas na Figura 2.2.

    Figura 2.2: Tipos de carregamentosFonte: autor

    e-Tec BrasilAula 2 - Equilbrio de corpos rgidos 37

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

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    2.5 Tipos de apoios ou vnculos2.5.1 Apoio simplesImpede o movimento de translao na direo perpendicular base do apoio.

    Por isso s aparece uma reao (Figura 2.3). chamado, tambm, de rolete.

    Figura 2.3: Apoio simplesFonte: autor

    2.5.2 Apoio duploImpede o movimento de translao na direo perpendicular e na paralela

    base do apoio. Podem aparecer, por isso, at duas reaes (Figura 2.4).

    Figura 2.4: Apoio duploFonte: autor

    2.5.3 EngasteImpede dois tipos de movimento, dois de translao e um de rotao. Com

    isso podem aparecer at trs reaes (Figura 2.5).

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 38

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    Figura 2.5: EngasteFonte: autor

    2.6 AesAes toda influncia exercida sobre um corpo capaz de produzir um estado

    de tenso ou modificar o estado j existente. Carregamento o conjunto

    de aes que atuam simultaneamente para a determinao dos esforossolicitantes num sistema estrutural.

    Os carregamentos podem ocorrer devido s:

    Aes ativas foras ou momentos aplicados na estrutura.

    Aes reativas foras ou momentos devidos s reaes de apoio.

    2.6.1 ClassificaoAs aes so classificadas em:

    Foras.

    Momentos.

    Estticas ao esttica na estrutura.

    Dinmicas ao varivel na estrutura.

    Diretas cargas permanentes, cargas variveis e cargas acidentais.

    Indiretas deformaes impostas, retrao, fluncia, protenso, deslo-

    camento dos apoios.

    e-Tec BrasilAula 2 - Equilbrio de corpos rgidos 39

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    2.7 Reaes de apoioAs reaes de apoio so responsveis pelo vnculoda estrutura ao solo ou a

    outras partes da mesma, de modo a ficar assegurada sua imobilidade, apesar

    dos pequenos deslocamentos devidos s deformaes.

    Nos sistemas planos, existem trs tipos de movimentos. A Figura 2.9 mostra

    os trs movimentos em relao ao plano XY: o de translao no eixo X, o de

    translao no eixo Y e o de rotao no eixo Z.

    Figura 2.9: Sistema de plano (x, y e z)Fonte: autor

    2.7.1 VnculosOs vnculos podem ser classificados em funo do nmero de movimentos

    que impedem. Portanto temos apoios com trs graus de liberdade: vnculo

    simples, vnculo duplo e vnculo triplo.

    2.7.1.1 Vnculo simples

    Apoio mvel impede apenas um movimento, normalmente o de translao,

    no eixo y (Figura 2.10).

    vnculoAquilo que liga ou ata duas oumais coisas; lao; liame.

    e-Tec BrasilAula 2 - Equilbrio de corpos rgidos 41

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    Figura 2.10: Vnculo simplesFonte: autor

    2.7.1.2 Vnculo duplo

    Apoio fixo impede dois movimentos de translaes nos eixos x e y,permitindo apenas o de rotao em torno do eixo z (Figura 2.11).

    Figura 2.11: Vnculo duploFonte: autor

    2.7.1.3 Vnculo triplo

    Engastamento impede os trs movimentos, os dois de translao nos eixos

    x e y e o de rotao em torno do eixo z (Figura 2.12).

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 42

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    Figura 2.12: Vnculo triploFonte: autor

    2.7.2 Apoios e conexes

    Apoios e conexes so elementos de uma estrutura onde as foras de superfciese desenvolvem.

    A Figura 2.13 ilustra os tipos de apoios mais encontrados em problemas

    bidimensionais.

    Figura 2.13: Tipos de apoiosFonte: Beer; Johnston, 1995

    2.7.2.1 Apoio do 1 gnero

    o apoio que impede o movimento na pea em apenas uma direo (vertical),

    movimento de translao (Figura 2.14).

    e-Tec BrasilAula 2 - Equilbrio de corpos rgidos 43

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

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    Figura 2.14: Smbolo do apoio do 1 gneroFonte: autor

    2.7.2.2 Apoio do 2 gnero

    Impede o movimento de translao da pea em duas direes (Figura 2.15).

    Figura 2.15: Smbolo do apoio do 2 gneroFonte: autor

    2.7.2.3 Apoio do 3 gnero ou engastamento

    Impede trs movimentos: dois movimentos de translao (HA e VA) e um

    movimento de rotao da pea (MA), conforme Figura 2.16.

    Figura 2.16: Smbolo do apoio do 3 gneroFonte: autor

    Resumo

    As condies necessrias e suficientes para o equilbrio de um corpo rgido,estando ele apoiado ou suspenso sero: F = 0 (soma de todas as foras que

    atuam sobre o corpo); M = 0 (soma dos momentos de todas as foras em

    relao a um ponto qualquer). Os carregamentos podem ocorrer devido: s

    aes ativas foras ou momentos aplicados na estrutura, s aes reativas

    foras ou momentos devido s reaes de apoio. As reaes de apoio so

    responsveis pelo vnculo da estrutura ao solo ou a outras partes da mesma, de

    Assista ao vdeo Esforos emvigas, que traz uma explicao

    simples sobre como calcularreaes provenientes de

    carregamentos em vigas. Acesse:http://www.youtube.com/watch?v=jrivGRgW28Q&feature=r

    elatede

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 44

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

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    modo a ficar assegurada sua imobilidade, apesar dos pequenos deslocamentos

    devidos s deformaes. Os vnculos podem ser classificados em funo do

    nmero de movimentos que impedem. Portanto, temos apoios com trs graus

    de liberdade: vnculo simples, vnculo duplo e vnculo triplo.

    Atividades de aprendizagem1. Para as vigas simplesmente apoiadas representadas nas figuras a seguir,

    determine as reaes RVA e RVB nos apoios, de modo a respeitar as con-

    dies de equilbrio da esttica.

    Exerccio 1.1: Viga simplesmente apoiada 1Fonte: autor

    Exerccio 1.2: Viga simplesmente apoiada 2Fonte: autor

    Exerccio 1.3: Viga simplesmente apoiada 3Fonte: autor

    e-Tec BrasilAula 2 - Equilbrio de corpos rgidos 45

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    Exerccio 1.4: Viga simplesmente apoiada 4Fonte: autor

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 46

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    e-Tec Brasil

    Aula 3 Trao e compresso

    Objetivos

    Compreender o comportamento de materiais slidos submetidos a

    solicitaes mecnicas de trao e compresso.

    Identificar as formas de combate s solicitaes em peas estruturais

    atravs da tenso normal, Lei de Hooke, estudo de trelias isostticas.

    Analisar o estudo de trao no ao, diagrama: tenso x deformao,

    tipos de carregamento, vigas isostticas, diagrama de esforo cortan-te e momento fletor, tenso na flexo, cisalhamento na flexo.

    3.1 Materiais slidos x solicitaesMateriais slidos tendem a deformar-se (ou eventualmente se romper) quando

    submetidos a solicitaes mecnicas. A resistncia dos materiais um ramo da

    engenharia que tem como objetivo o estudo do comportamento de elementos

    construtivos sujeitos a esforos, de forma que eles possam ser adequadamente

    dimensionados para suport-los nas condies previstas de utilizao.

    3.2 SolicitaoSolicitao todo esforo ou conjunto de esforos exercidos pelas aes sobre

    uma ou mais sees de um elemento da estrutura. As solicitaes provocam

    na estrutura tenses que podem ser:

    Tenses normais podendo ser de trao ou de compresso.

    Tenses de cisalhamento.

    3.3 Tenso a grandeza fsica definida pela relao entre a fora atuante em uma superfcie

    e a rea dessa superfcie, ou seja, tenso igual fora dividida pela rea.

    e-Tec BrasilAula 3 - Trao e compresso 47

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

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    3.3.1 Classificao3.3.1.1 Tenso normal

    ocasionada pela ao da fora normal (N) que representa a soma algbrica

    de todas as foras contidas no plano YX, portanto, perpendicular seo

    transversal, produzindo no plano YZ tenses normais. Consideramos a fora

    normal como trao (+) (Figura 3.1), se esta dirigida para fora do corpo ou

    compresso (-) (Figura 3.2), se esta dirigida para dentro do corpo.

    Figura 3.1: TraoFonte: autor

    Trao caracteriza-se pela tendncia de alongamento do elemento na

    direo da fora atuante.

    Figura 3.2: CompressoFonte: autor

    perpendicularQue forma um ngulo reto com

    outra linha ou plano.

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 48

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

    49/72

    Compresso a tendncia uma reduo do elemento na direo da

    fora atuante.

    3.3.1.2 Tenso de cisalhamento ou de corte

    ocasionada pela ao da fora cortante (V) que representa a soma algbricade todas as foras contidas no plano YZ, perpendicular ao eixo da pea,

    produzindo esforo que tende a deslizar uma seo em relao outra,

    provocando tenses de cisalhamento (Figura 3.3).

    Figura 3.3: Cisalhamento ou corteFonte: autor

    3.4 Trelias isostticas3.4.1 DefinioTrelia toda estrutura constituda de barras ligadas entre si nas extremidades.

    O ponto de encontro das barras chamado n da trelia. Os esforos externos

    so aplicados unicamente nos ns. Denomina-se trelia plana, quando todas

    as barras de uma trelia esto em um mesmo plano.

    Figura 3.4: Desenho genrico de uma trelia planaFonte: Mesquita, 2009

    e-Tec BrasilAula 3 - Trao e compresso 49

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

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    Para se calcular uma trelia deve-se:

    a) Determinar as reaes de apoio.

    b) Determinar as foras nas barras.

    A condio para que uma trelia de malhas triangulares seja isosttica :

    Onde: b = nmero de barras

    n = nmero de ns

    v = nmero de reaes de apoio

    Adotam-se como conveno de sinais:

    Barras tracionadas positivo (+)

    Figura 3.5: Barra tracionadaFonte: CTISM, adaptado do autor

    Barras comprimidas negativo (-)

    Figura 3.6: Barra comprimidaFonte: CTISM, adaptado do autor

    Os esforos nas barras das trelias podem ser resolvidos por mtodos grficos

    e analticos.

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 50

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

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    Um dos vrios processos analticos usuais o mtodo do equilbrio dos ns,

    exemplificado a seguir.

    3.4.2 Mtodo do equilbrio dos nsInicialmente devem-se identificar os ns e verificar os tipos de reaes de apoio.

    Figura 3.7: Trelia isostticaFonte: Trautwein, 2005

    No caso da trelia da Figura 3.7, no n A tem-se um apoio mvel e no n E,

    um apoio fixo.

    Como os apoios mveis restringem somente deslocamentos, nos perpendi-

    culares ao plano do apoio, tem-se uma reao vertical RA.

    Como os apoios fixos restringem deslocamentos paralelos e perpendiculares

    ao plano do apoio, tm-se uma reao vertical RE e uma reao horizontal HE.

    Verificao se a trelia uma estrutura isosttica:

    e-Tec BrasilAula 3 - Trao e compresso 51

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

    52/72

    a) Clculo do ngulo de inclinao das barras

    b) Clculo das reaes de apoio

    Equao de equilbrio das foras na horizontal:

    Equao de equilbrio das foras na vertical:

    Equao de equilbrio de momentos:

    Como a estrutura est em equilbrio, a somatria dos momentos em relao

    a qualquer ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se, por exemplo, o

    n A como referncia, tem-se:

    Substituindo o valor de REna equao de equilbrio das foras na vertical,

    tem-se:

    c) Clculo das foras nas barras

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 52

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

    53/72

    Iniciar a resoluo pelo n que tiver no mximo duas foras incgnitas. As

    foras devem estar tracionando o n (seta que sai). Como no se sabe a priori

    se as foras nas barras so de trao ou de compresso, considera-se que elas

    sejam tracionadas. Se o valor determinado for negativo, significa que a barra

    est comprimida, portanto o sentido da seta deve ser mudado.

    Figura 3.8: N AFonte: autor

    Figura 3.9: N BFonte: autor

    Figura 3.10: N CFonte: autor

    Figura 3.11: N DFonte: autor

    e-Tec BrasilAula 3 - Trao e compresso 53

  • 7/25/2019 Resistencia Materiais Aplicada a Saneamento

    54/72

    Figura 3.12: N EFonte: autor

    Figura 3.13: N F VerificaoFonte: autor

    Como a trelia simtrica, com carregamentos simtricos, os resultados das

    foras que agem nos ns D e E so iguais aos dos ns B e A, respectivamente.

    Portanto, no h necessidade de se calcularem as foras nos ns D e E.

    Quadro 3.1: Resultados da Figura 3.7

    NAB= -100 kN Compresso

    NAF= 0 kN

    NBC= -50 kN Compresso

    NBF= +70,7 kN Trao

    NCF= -100 kN Compresso

    NCD= -50 kN Compresso

    NDF= +70,7 kN Trao

    NDE= -100 kN Compresso

    NFE= 0 kN

    Fonte: Trautwein, 2005

    3.5 Estudo de trao no ao3.5.1 Tenses e deformaesOs conceitos de tensoe deformaopodem ser ilustrados, de modo ele-

    mentar, considerando-se o alongamento de uma barra prismtica (barra de

    eixo reto e de seo constante em todo o comprimento) conforme Figura 3.14.

    Considera-se uma barra prismtica carregada nas extremidades por foras axiais

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 54

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    P (foras que atuam no eixo da barra) que produzem alongamento uniforme

    ou trao na barra. Sob ao dessas foras originam-se esforos internos no

    interior da barra. Para o estudo desses esforos internos, considere-se um corte

    imaginrio na seo m-m, normal a seu eixo. Removendo-se, por exemplo,

    a parte direita do corpo, os esforos internos na seo considerada (m-m)transformam-se em esforos externos. Supe-se que estes esforos estejam

    distribudos uniformemente sobre toda a seo transversal.

    Figura 3.14: Esforos em uma seo transversalFonte: Beer; Johnston,1995

    Para que no se altere o equilbrio, esses esforos devem ser equivalentes

    resultante tambm axial de intensidade P. Quando essas foras so distribudas

    perpendicular e uniformemente sobre toda a seo transversal, recebem o

    nome de tenso normal, sendo comumente designada pela letra grega

    (sigma). Pode-se ver facilmente que a tenso normal, em qualquer parte da

    seo transversal obtida dividindo-se o valor da fora P pela rea da seo

    transversal, ou seja:

    A tenso tem a mesma unidade de presso, que, no Sistema Internacional

    de Unidades o Pascal (Pa) correspondente carga de 1 N atuando sobre

    uma superfcie de 1 m, ou seja, Pa = N/m. Como a unidade Pascal muito

    pequena, costuma-se utilizar com frequncia seus mltiplos: MPa = N/mm =(Pa 106), GPa = kN/mm = (Pa 109), etc. Em outros sistemas de unidades, a

    tenso ainda pode ser expressa em quilograma fora por centmetro quadrado

    (kgf/cm), libra por polegada quadrada (lb/in ou psi), etc. Quando a barra

    alongada pela fora P, como indica a Figura 3.14, a tenso resultante uma

    tenso de trao; se as foras tiverem o sentido oposto, comprimindo a barra,

    tem-se tenso de compresso.

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    A condio necessria para validar a Equao 3.3 que a tenso seja

    uniforme em toda a seo transversal da barra. O alongamento total de uma

    barra submetida a uma fora axial designado pela letra grega (delta). O

    alongamento por unidade de comprimento denominado deformao espe-

    cfica, representado pela letra grega (psilon) dado pela Equao 3.4:

    Onde: = deformao especfica

    = alongamento ou encurtamento

    L = comprimento total da barra

    3.5.2 Diagrama tenso-deformao

    As relaes entre tenses e deformaes para um determinado material soencontradas por meio de ensaios de trao. Nesses ensaios so medidos os

    alongamentos , correspondentes aos acrscimos de carga axial P, que se

    aplicam barra, at a ruptura do corpo-de-prova.

    Obtm-se as tenses dividindo as foras pela rea da seo transversal do

    escoamento e do material da barra e as deformaes especficas, dividindo o

    alongamento pelo comprimento ao longo do qual a deformao medida.

    Desse modo obtm-se um diagrama tenso-deformao do material em estudo.

    Na Figura 3.15 ilustra-se um diagrama tenso-deformao tpico do ao.

    Figura 3.15: Diagrama tenso-deformaoFonte: Nash,1990

    Onde: r= tenso de ruptura

    e= tenso de escoamento

    p= tenso limite de proporcionalidade

    Nota-se que a deformao uma quantidade adimensional.

    de uso corrente no meiotcnico representar a

    deformao por uma fraopercentual (%) multiplicando-se

    o valor da deformao especficapor 102ou mesmo at

    multiplicando-se por 103.

    Resistncia dos Materiais Aplicada a Saneamentoe-Tec Brasil 56

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    Regio elstica de 0 at A as tenses so diretamente proporcionais s

    deformaes; o material obedece Lei de Hooke e o diagrama linear. O

    ponto A chamado limite de proporcionalidade, pois a partir desse ponto

    deixa de existir a proporcionalidade. Da em diante inicia-se uma curva que

    se afasta da reta A, at que em B comea o chamado escoamento.

    O escoamento caracteriza-se por um aumento considervel da deformao com

    pequeno aumento da fora de trao. No ponto A inicia-se a regio plstica.

    O ponto C o final do escoamento. O material comea a oferecer resistncia

    adicional ao aumento de carga, atingindo o valor mximo ou tenso mxima

    no ponto D denominado limite mximo de resistncia. Alm desse ponto,

    maiores deformaes so acompanhadas por redues da carga, ocorrendo,

    finalmente, a ruptura do corpo-de-prova no ponto E do diagrama.

    A presena de um ponto de escoamento pronunciado seguido de grande

    deformao plstica uma caracterstica do ao, que o mais comum dos

    metais estruturais em uso atualmente. Tanto os aos quanto as ligas de alumnio

    podem sofrer grandes deformaes antes da ruptura.

    Materiais que apresentam grandes deformaes antes da ruptura so classi-

    ficados de materiais dcteis. Outros materiais como o cobre, bronze, lato,

    nquel, etc., tambm possuem comportamento dctil. Por outro lado, os

    materiais frgeis ou quebradios so aqueles que se deformam pouco antes de

    se romperem como, por exemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana,

    cermica, gesso, entre outros.

    3.5.3 Tenso admissvelPara certificar-se de que a estrutura projetada no corra risco de runa, levando

    em conta algumas sobrecargas extras, bem como certas imprecises na constru-

    o e possveis desconhecimentos de algumas variveis na anlise da estrutura,

    normalmente se emprega um coeficiente de segurana (f), majorando-se

    a carga calculada. Outra forma de aplicao do coeficiente de segurana utilizar uma tenso admissvel (ou adm), reduzindo a tenso calculada

    (calc), dividindo-a por um coeficiente de segurana. A tenso admissvel

    normalmente mantida abaixo do limite de proporcionalidade, ou seja, na

    regio de deformao elstica do material.

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    3.5.4 Lei de HookeOs diagramas tenso-deformao ilustram o comportamento de vrios mate-

    riais, quando carregados por trao. Quando um corpo-de-prova do material

    descarregado, isto , quando a carga gradualmente diminuda at zero, a

    deformao sofrida durante o carregamento desaparecer parcial ou comple-tamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a retornar forma

    original denominada elasticidade. Quando a barra volta completamente

    forma original, diz-se que o material perfeitamente elstico; mas se o

    retorno no for total, o material parcialmente elstico. Neste ltimo caso,

    a deformao que permanece depois da retirada da carga denominada

    deformao permanente.

    A relao linear da funo tenso-deformao (Figura 3.16) foi apresentada

    por Robert Hooke em 1678 e conhecida por Lei de Hooke, definida como:

    Figura 3.16: Diagrama tenso-deformaoFonte: Nash,1990

    Onde: = tenso normal (kgf/cm ou Mpa), T (trao) ou C (compresso)

    = deformao unitria (admensional)

    E = mdulo de elasticidade do material ou mdulo de young (kgf/cm

    ou MPa)

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    O mdulo de elasticidade representa o coeficiente angular da parte linear do

    diagrama tenso-deformao e diferente para cada material.

    A Lei de Hooke vlida para a fase elstica dos materiais. Por esse motivo,

    quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitaes sobre o material, valea superposio de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitao

    sobre o material e depois som-los. Alguns valores de E so mostrados na

    Tabela 3.1. Para a maioria dos materiais, o valor do mdulo de elasticidade

    sob compresso ou sob trao so iguais.

    Tabela 3.1: Propriedades mecnicas tpicas de alguns materiais

    Material Peso especfico (kN/m) Mdulo de elasticidade (GPa)

    Ao 78,5 200 a 210

    Alumnio 26,9 70 a 80Bronze 83,2 98

    Cobre 88,8 120

    Ferro fundido 77,7 100

    Madeira 0,6 a 1,2 8 a 12

    Concreto simples 24,0 25,5

    Fonte: autor

    Quando a barra carregada por trao simples, a tenso axial = P/A e a

    deformao especfica = /L. Combinando esses resultados com a Lei de

    Hooke, tem-se a seguinte expresso para o alongamento da barra:

    A Equao 3.5 mostra que o alongamento de uma barra linearmente elstica

    diretamente proporcional carga e ao comprimento e inversamente pro-

    porcional ao mdulo de elasticidade e rea da seo transversal. O produto

    EA conhecido como rigidez axial da barra.

    3.5.5 Coeficiente de PoissonQuando uma barra tracionada, o alongamento axial acompanhado por

    uma contrao lateral, isto , a largura da barra torna-se menor enquanto

    cresce seu comprimento. Quando a barra comprimida, a largura da barra

    aumenta. A Figura 3.17 ilustra essas deformaes.

    e-Tec BrasilAula 3 - Trao e compresso 59

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    Figura 3.17: Deformaes longitudinais e laterais nas barrasFonte: Nash, 1990

    A relao entre as deformaes transversal e longitudinal constante dentro

    da regio elstica e conhecida como relao ou coeficiente de Poisson (v)

    definido como:

    Exemplos

    a) Determinar a tenso de trao e a deformao especfica de uma barra

    prismtica de comprimento L = 5,0 m, seo transversal circular com di-

    metro = 5 cm e mdulo de elasticidade E = 20.000 kN/cm, submetida

    a uma fora axial de trao P = 30 kN, conforme Figura 3.18.

    Figura 3.18: Barra prismticaFonte: autor

    Esse coeficiente assimconhecido em razo do famoso

    matemtico francs S. D. Poisson(1781-1840). Para os materiais

    que possuem as mesmaspropriedades elsticas em

    todas as direes, denominadosisotrpicos, Poisson achou

    v 0,25. Experincias commetais mostram que o valor dev usualmente se encontra entre

    0,25 e 0,35.

    v 0 a 0,50

    Constante regime elstico:0,25 a 0,35.

    Variado regime plstico:0,35 a 0,5.

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    b) A barra da Figura 3.19 constituda de 3 trechos: trecho AB = 300 cm

    e seo transversal com rea A = 10 cm; trecho BC = 200 cm e seo

    transversal com rea A = 15 cm e trecho CD = 200 cm e seo trans-versal com rea A = 18 cm; solicitada pelo sistema de foras indicado

    na Figura 3.19. Determinar as tenses e as deformaes em cada trecho,

    bem como o alongamento total. Dado E = 21.000 kN/cm.

    Figura 3.19: Barra prismticaFonte: autor

    Figura 3.20: Barra prismtica trecho ABFonte: autor

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    Figura 3.21: Barra prismtica trecho BCFonte: autor

    Figura 3.22: Barra prismtica trecho CDFonte: autor

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    Figura 3.23: Tenses trmicas

    Fonte: autor

    Igualando as Equaes 3.7 e 3.8, temos:

    Onde: = tenso trmica

    E = mdulo de elasticidade

    = coeficiente de dilatao trmica

    T = variao de temperatura (C)

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    Tabela 3.2: Valores tpicos do coeficiente de dilatao trmica

    Material Coeficiente de dilatao trmica (10-6C-1)

    Ao 11,7

    Alumnio 21,4 a 23,9

    Magnsio 26,1

    Cobre 16,7

    Concreto 7,2 a 12,6

    Fonte: autor

    Exemplo

    Uma barra prismtica (Figura 3.24) rigidamente presa nas extremidades

    submetida a um aumento de temperatura de 20C, ao mesmo tempo em

    que recebe uma carga P = 30 kN. Determinar as reaes de apoio. Dados:

    A = 1,5 cm; E = 20.000 kN/cm; = 11,7 10-6C-1; T = +20C

    Figura 3.24: Tenses trmicasFonte: autor

    Soluo

    a) Determinao das reaes RA e RB, devido ao aumento de temperatura.

    Figura 3.25: Tenses trmicas soluoFonte: autor

    b) Ao se aplicar a carga P = 30 kN no ponto C, o trecho AC sofrer um

    alongamento exatamente igual ao encurtamento no trecho CB, portanto

    AC = BC. Assim,

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    Fazendo o equilbrio de foras, tem-se:

    Logo:

    Portanto:

    Figura 3.26: Tenses trmicas soluoFonte: autor

    Como se trata de uma estrutura trabalhando no regime elstico, vale a super-

    posio de efeitos, ou seja, os efeitos da temperatura na barra e da carga P:

    ResumoMateriais slidos tendem a deformar-se (ou eventualmente se romper) quando

    submetidos a solicitaes mecnicas. Solicitao todo esforo ou conjunto

    de esforos exercidos pelas aes sobre uma ou mais sees de um elemento

    da estrutura. As solicitaes provocam na estrutura tenses normais, podendo

    ser de trao ou de compresso e tenses de cisalhamento.

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    As relaes entre tenses e deformaes para um determinado material so

    encontradas por meio de ensaios de trao. Nesses ensaios so medidos os

    alongamentos correspondentes aos acrscimos de carga axial P, que se

    aplicam barra, at a ruptura do corpo-de-prova.

    Obtm-se as tenses dividindo as foras pela rea da seo transversal da barra

    e as deformaes especficas, dividindo o alongamento pelo comprimento ao

    longo do qual a deformao medida. Desse modo obtm-se um diagrama

    tenso-deformao do material.

    Atividades de aprendizagem1. Determine a fora em cada barra da trelia ilustrada (Exerccio 1.1). Indique

    se cada barra est tracionada ou comprimida.

    Exerccio 1.1: TreliaFonte: autor

    Respostas:

    FAB= FDE= FBG= FDI= 0

    FAF= FCH= FEJ= 400 N C (compresso)

    FBC= FCD= 800 N C (compresso)

    FBF= FDJ= 849 N C (compresso)FBH= FDH= 283 N T (trao)

    FFG= FGH= FHI= FIJ= 600 N T (trao)

    2. A um tubo de ao se aplica uma carga axial de 200 kN por meio de uma

    placa rgida (Exerccio 2.1). A rea da seo transversal do cilindro de ao

    20 cm2. Determinar o acrscimo de temperatura T para o qual a carga

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    Referncias

    ANDRADE, Fbio Emanuel Garcia. Obteno de materiais com propriedadestrmicas extremas. 2010. Dissertao (Mestrado em Engenharia Mecnica) Faculdadede Cincias e Tecnologia da Universidade de Coimbra, Coimbra, 2010. Disponvel em:

    .

    BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Resistncia dos materiais. 3. ed. Makron Books, 1995.

    GERE, J. M. Mecnica dos materiais. 5. ed. So Paulo: Pioneira Thomson LearningLTDA, 2003.

    GORFIN, B.; OLIVEIRA, M. M. Estruturas isostticas. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1982.

    HIBBELER, R. C. Resistncia dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

    HIBBELER, R. C. Resistncia dos materiais. 7. ed. Editora Pearson, 2010.

    MESQUITA, Lus M. R. Equilbrio de corpos rgidos. In: _____. Mecnica aplicada I.Instituto Politcnico de Bragana, Portugal, 2009. cap. 4. Apostila.

    NASH, W. Resistncia dos materiais. 3. ed. So Paulo: Editora Mc Graw Hill, 1990.

    RILEY, W. F.; STURGES, L. D.; MORRIS D. H. Mecnica dos materiais. 5. ed. Rio deJaneiro: LTC, 2003.

    TIMOSHENKO, S. P. Resistncia dos materiais. Rio de janeiro: LTC, 1982.

    TRAUTWEIN, Leandro M. Resistncia dos materiais. 2005. Notas de aulas.

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    Currculo do professor-autor

    Wildemberg Raiol de Assuno Engenheiro Civil graduado pela UFPA

    (2005), Especialista em Engenharia de Seguranca do Trabalho pela UFPA (2007),

    Mestrando em Engenharia do Ambiente pela UTAD - PT (inicio, 2012). Professordo quadro permanente do Ensino Bsico, Tcnico e Tecnolgico, do Instituto

    Federal de Educao, Cincia e Tecnologia (IFPA Campus Belm), atuando

    na rea de saneamento urbano, agrimensura, construo civil e segurana

    do trabalho. Tambm foi coordenador do Curso Tcnico em Edificaes do

    Trabalho (2008-2009) e do Curso Tcnico em Segurana do Trabalho (2009-

    2010) na mesma Instituio. Consultor tcnico na rea da construo civil e

    segurana do trabalho. Coordenador de projetos de ensino e extenso na rea

    do saneamento urbano, construo civil e segurana no trabalho. Autor de

    projetos na rea de arquitetura, instalaes eltricas e hidrulicas, estruturas

    e combates a incndio.

    e-Tec Brasil71

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