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Resistência dos Materiais

Eng. Mecânica, ProduçãoUNIME – 2016.1

Prof. CoreyLauro de Freitas, Março, 2016.

3 Torção

Prof. Corey

Conteúdo

Introdução

Cargas de Torção em Eixos Circulares

Torque Puro Devido a Tensões Internas

Componentes de Cisalhamento Axial

Deformações em uma Barra de Seção Circu

lar

Deformações de Cisalhamento

Tensões no Regime Elástico

Tensões Normais

Tipos de Falha por Torção

Problema Resolvido 3.1

Ângulo de Torção no Regime Elástico

Eixos Estaticamente Indeterminados

Problema Resolvido 3.4

Projetos de Eixos de Transmissão

Concentração de Tensões

Deformações Plásticas

Materiais Elastoplásticos

Tensões Residuais

Exemplos 3.08, 3.09

Torção de Elementos não Circulares

Eixos Vazados de Paredes Finas

Exemplo 3.10

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Introdução

• Tensões e deformações de eixos circulares submetidos a pares de torção ou torques

• Gerador cria um torque T igual e oposto

• Eixo transmite o torque para o gerador

• Turbina exerce torque T no eixo

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Discussão Preliminar das Tensões em uma Barra de Seção Circular.

T=∫ ρ dF=∫ ρ (τ dA )

• Forças de cisalhamento elementares são equivalentes a um torque interno, igual e oposta ao torque aplicado,

• Embora o momento das forças de cislhamento seja conhecido, a distribuição das tensões na seção tranversal não é.

• Ao contrário da tensão normal devido à carga axial, a distribuição das tensões de cisalhamento devido a cargas de torção não pode ser considerada uniforme.

• Distribuição de tensões de cisalhamento é estaticamente indeterminada por isso deve-se considerar as deformações do eixo.

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Componentes de Cisalhamento Axial

• Torque aplicado ao eixo produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo.

• Condições de equilíbrio requer a existência de tensões iguais no faces formadas pelos dois planos que contêm o eixo da barra.

• As tiras adjacentes deslizam uma em relação à outra, quando torques iguais e opostas são aplicadas nas extremidades da barra.

• A existência de componentes de cisalhamento axial é demonstrada, considerando um eixo formado por tiras separadas e fixadas por meio de pinos.

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• A partir da observação, o ângulo de torção da barra é proporcional ao torque aplicado e ao comprimento da barra.

φ∝Tφ∝L

Deformações em uma Barra de Seção Circular

• Quando uma barra circular é submetida à torção, toda seção transversal plana permanece plana e indeformada.

• Seções transversais circulares cheias ou vazadas permanecem plana e sem distorções, porque um eixo circular é axissimétrico.

• Seções transversais não circulares (não axissimétricas) são distorcidas quando submetidas à torção.

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Deformações de Cisalhamento

• Considerar a seção interna da barra. Como a barra é submetida a um carregamento torcional, o elemento do cilindro interior se deforma em um losango.

• A deformação de cisalhamento é proporcional a distância do eixo da barra

γmax=cφL

e γ=ρc

γmax

Lγ=ρφ ou γ=ρφL

• Segue-se que

• Uma vez que as extremidades do elemento permanecem planas, a deformação de cisalhamento é igual ao ângulo de torção.

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Tensões no Regime Elástico

T=∫ ρτ dA=τ max

c∫ ρ2 dA=

τmax

cJ

• Lembre-se que a soma dos momentos das forças elementares internas é igual ao torque no eixo da seção,

τ max=TcJ

e τ=TρJ

• Os resultados são conhecidos como as fórmulas de torção no regime elástico,

• Multiplicando a equação anterior pelo módulo de elasticidade,

Gγ=ρcGγ max

τ=ρc

τ max

Da Lei de Hooke, τ=Gγ , assim

Tensão de cisalhamento varia linearmente com a distância radial do eixo da barra.

J=1

2πc4

J= 12π (c2

4−c14 )

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Tensões Normais

• Note-se que todas as tensões para os elementos a e c têm a mesma magnitude.

• O elemento c é submetido a uma tensão de tração em duas de suas faces e tensão de compressão nas outras duas.

• Elementos com faces paralelas e perpendiculares ao eixo da barra são submetidos a tensões de cisalhamento apenas. Tensões normais, tensões de cisalhamento ou uma combinação de ambas podem ser encontradas para outras orientações do elemento.

F=2 (τ max A0) cos 45°= τmax A0 √2

σ45o=

FA

=τmax A0 √2

A0 √2=τ max

• Considere um elemento a 45o com o eixo da barra,

• O elemento a está em cisalhamento puro.

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Tipos de Falhas por Torção

• Materiais dúcteis geralmente falham em cisalhamento. Materiais frágeis falham mais em tração do que em cisalhamento.

• Quando submetido à torção, um corpo de prova feito de material dúctil rompe-se ao longo de um plano perpendicular ao seu eixo longitudinal.

• Quando submetido à torção, um material frágil tende a se romper ao longo de planos perpendiculares à direção em que a tensão de tração é máxima, ou seja, ao longo de superfícies em 45º com o eixo longitudinal do corpo de prova.

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Eixo BC é vazado, com diâmetros internos e externos de 90 mm e 120 mm, respectivamente. Os eixos AB e CD são sólidos e tem diâmetro d. Para o carrega-mento mostrado, determine (a) As tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC, (b) o diâmetro d necessário para os eixos AB e CD, se a tensão de cisalhamento admissível nesses eixos for de 65 Mpa.

Problema Resolvido 3.1

SOLUÇÃO:

• Cortar a seção através dos eixos AB e BC, realizar análises de equilíbrio estático para encontrar os torques.

• Dada a tensão de cisalhamento admissível e os torques aplicados, inverter a fórmula de torção elástica para encontrar o diâmetro necessário.

• Aplicar as fórmulas de torção elástica para encontrar as tensões mínimas e máximas no eixo BC.

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Problema Resolvido 3.1SOLUÇÃO:• Cortar a seção através dos eixos AB e BC, realizar análises de

equilíbrio estático para encontrar os torques.

∑M x=0=(6 kN⋅m )−T AB

T AB=6 kN⋅m=TCD

∑ M x=0=(6 kN⋅m )+ (14 kN⋅m )−T BC

T BC=20 kN⋅m

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Problema Resolvido 3.1• Aplicar as fórmulas de

torção elástica para encon-trar as tensões mínimas e máximas no eixo BC.

J=π2 (c2

4−c1

4 )=π2

[ (0 . 060 )4−(0 .045 )4 ]

¿13 .92×10−6m4

τ max=τ2=T BC c2

J=

(20 kN⋅m ) (0 .060 m )

13. 92×10−6m4

¿86 . 2 MPaτ min

τ max

=c1

c2

τ min

86 . 2 MPa=

45 mm60 mm

τ min=64 . 7 MPa

τ max=86 . 2 MPaτ min=64 .7 MPa

• Dada a tensão de cisalhamento admissível e os torques aplicados, inverter a fórmula de torção elástica para encontrar o diâmetro necessário.

τ max=TcJ

=Tcπ2

c465 MPa=

6 kN⋅mπ2c3

c=38 .9×10−3m

d=2c=77 . 8 mm

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Ângulo de Torção no Regime Elástico• Lembre-se que o ângulo de torção e a deformação

de cisalhamento máxima estão relacionados,

γmax=cφL

• No regime elástico, a tensão de cisalhamento e a deformação de cisalhamento estão relacionados pela Lei de Hooke,

γmax=τmax

G=

TcJG

• Igualando as expressões para a tensão de cisalhamento e resolvendo para o ângulo de torção

φ=TLJG

• Se o eixo consistir em várias partes com diferentes seções transversais e diferentes materiais ao longo do seu comprimento, o ângulo de torção é encontrado com a soma dos ângulos de torção de cada componente.φ=∑

i

T i Li

J iGi

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• Dadas as dimensões do eixo e o torque aplicado, encontrar as reações aplicadas no eixo devido aos apoios A e B.

Eixos Estaticamente Indeterminados

• A partir de uma análise de corpo livre do eixo,

que não é suficiente para encontrar os torques desconhecidos. O problema é estaticamente indeterminado.

T A+T B=120 N.m

T A+L1 J2

L2 J1

T A= 120 N .m

• Substitua na equação de equilíbrio original,

φ=φ1+φ2=T A L1

J 1G−

T B L2

J 2G=0 T B=

L1J 2

L2J 1

T A

• Divida o eixo em dois componentes que devem ter deformações compatíveis.

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Problema Resolvido 3.4

Dois eixos cheios de aço estão ligados por engrenagens. Sabendo que para cada eixo G = 77,2 Gpa, e que a tensão de cisalhamento admissível é de 55 MPa, determine (a) o maior torque T0 que pode ser aplicado à extremidade A do eixo AB e (b) o ângulo correspondente pelo qual a extremidade A do eixo AB gira.

SOLUÇÃO:

• Aplicar uma análise de equilíbrio estático sobre os dois eixos para encontrar uma relação entre TCD e T0 .

• Encontrar o ângulo de torção correspondente para cada eixo e da rotação angular da extremidade final A.

• Encontre o torque máximo permitido em cada eixo, escolha o menor.

• Aplicar uma análise cinemática que relacione as rotações angulares das engrenagens.

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Problema resolvido 3.4

• Aplicar uma análise cinemática que relacione as rotações angulares das engrenagens.

rBφB=rC φC

φB=rC

rB

φC=62 mm22 mm

φC

φB=2,82 φC

∑M B=0=F (22 mm )−T0

∑MC=0=F (62 mm )−T CD

TCD=2,8 T 0

SOLUÇÃO:

• Aplicar uma análise de equilíbrio estático sobre os dois eixos para encontrar uma relação entre TCD e T0 .

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