Universidade Federal de Uberlndia

Exerccios propostos de RESISTNCIA DOS MATERIAIS 1

PROJETO PIBEG

Bolsistas: Renata Cristina de Castro Gomide Luciano Barros da Silva

Prof. Eliane Regina Flores Oliveira

NDICE Unidade 1 Solicitao Axial -------------------------------------------------------- 2 Tubo de Parede Fina ---------------------------------------------------------- 10 Unidade 2 Cisalhamento Puro ---------------------------------------------------- 13 Unidade 3 Estudo das Tenses em um ponto ----------------------------------- 18 Unidade 4 Toro Pura ------------------------------------------------------------- 23 Toro Seo Retangular --------------------------------------------------- 28 Molas Helicoidais ------------------------------------------------------------- 29 Unidade 5 Momento de Inrcia --------------------------------------------------- 31 Produto de Inrcia ------------------------------------------------------------- 33 Unidade 6 Flexo Simples --------------------------------------------------------- 37 Flexo Composta -------------------------------------------------------------- 41 Unidade 7 Estado Plano de Tenso ---------------------------------------------- 45 Unidade 8 Deflexo ---------------------------------------------------------------- 51 Respostas ------------------------------------------------------------------------------ 65

1

UNIDADE 1 SOLICITAO AXIAL 1 Trs barras iguais, so articuladas entre si e nas extremidades, como indica a figura. Determinar a fora normal em cada barra, proveniente de P, e o deslocamento vertical de seu ponto de aplicao. As barras tm o mesmo comprimento, a mesma rea de seo transversal e so de mesmo material.

P B60 , 0

C

D

2 Os arames de ao BE e DF, com 25 mm de dimetro (E = 2106 Kgf/cm), esto esticados na ocasio da aplicao da fora de 200 Kgf em C. Considerando a barra AD rgida, determinar: a) A tenso em cada arame; b) O deslocamento do ponto C.

12

0

A0 12 E 0,4 m

F 0,5 m B C D 200Kgf 1m 1m

A

1m

2

3 Seja uma barra ABC, considerada rgida, articulada em A e fixada em C atravs de um tirante de ao (E = 2,1106 Kgf/cm). A rea de seo transversal para o tirante de ao 2 cm e do bloco de alumnio (E = 0,7106 Kgf/cm) 6 cm. Sabendo-se que as tenses normais admissveis para o ao e para o alumnio valem 1400 Kgf/cm e 600 Kgf/cm, pede-se determinar o maior valor que P pode assumir respeitando os limites estabelecidos nas tenses de projeto.D

50 cm

A P0.005 cm

B

C

10 cm

30 cm

30 cm

40 cm

4 Um tubo de ao (E = 30106 psi , = 6,510-6 /F), de dimetro externo igual a 2 e dimetro interno igual a 1 , est envolvendo um cilindro de lato (E = 14106 psi , = 10,410-6 /F), de 1 de dimetro. Ambos esto ligados a placas rgidas nas extremidades. temperatura de 80 F as tenses normais so nulas. Se elevar a temperatura 250 F, qual a tenso normal no ao e no lato?

Ao

1 3/4"

1 1/2"

2"

Lato

3

5 Uma barra composta de uma placa de ao (E = 30106 psi) e duas placas de cobre (E = 13106 psi). As extremidades esto unidas a placas rgidas, e o conjunto est submetido a uma carga normal axial de trao P. Todas as barras tem 4 de largura. A barra de ao tem de espessura e as barras de cobre tem de espessura cada. A resistncia do ao de 80.000 psi e do cobre 30.000 psi. Adotando um coeficiente de segurana igual a 3, determinar o mximo valor que P pode assumir.

P

P

6 A barra rgida AD articulada em A e nas extremidades B e D das barras BC de lato e DE de ao. A temperatura de BC diminui de 20C e a temperatura de DE aumenta de 20C. Desprezada a influencia do peso prprio e a possibilidade de flambagem, pede-se as tenses normais nas barras BC e DE. DADOS: Lato A = 6 cm ; E = 0,98106 Kgf/cm ; = 18,710-6 /C Ao A = 3 cm ; E = 2,1106 Kgf/cm ; = 11,710-6 /C

E 25 cm A B D 30 cm C 25 cm 40 cm

4

7 No sistema da figura abaixo, os tirantes A e C, e o bloco B, so extensveis e os cotovelos D e E so considerados rgidos. Determinar o mximo valor que a carga P pode assumir, se as tenses normais axiais, no devem exceder a 1.400 Kgf/cm para o material A e 200 Kgf / cm para o material B. DADOS: Material A Ao: A = 3 cm ; E = 2,1106 Kgf/cm Material B Concreto : A = 4 cm ; E = 0,14106 Kgf/cm Material C Lato : A = 1 cm ; E = 1106 Kgf/cmA

0,8 m

0,35 m

0,15 m

C D P0,1 m 0,2 m 0,3 m 0,1 m 0,006

E

B

8 O corpo rgido de peso P da figura, suportado por uma barra de ao de 20 ft de comprimento. O corpo pende na posio indicada quando a temperatura de 120 F. Determinar o maior valor que P pode assumir se a tenso normal na barra de ao no pode exceder de 20.000 psi, quando a temperatura reduz a 20F. DADOS: = 6,5106 /F E = 30106 psi

0.2 in

20 ft anteparo

anteparo 0,1 in P

5

9 Os parafusos de ao (E = 2106 Kgf/cm) BE e CD, com 16 mm de dimetro, so rosqueados nas extremidades com rosca de 2,5 mm de passo. Aps ser perfeitamente ajustada a rosca em C apertada uma volta. Determinar: a) A tenso no parafuso CD; b) O deslocamento do ponto C da barra rgida ABC.

A 40 cm B D 2m C 3m E

25 cm

10 Um cilindro de alumnio e outro de bronze, perfeitamente centrados, so presos entre placas rgidas que se podem apertar tensionando os eixos de ao, como se observa na figura. Determinar as tenses que aparecem no alumnio e no bronze e a tenso normal nos eixos de ao, quando se aperta os eixos de ao girando a porca de uma volta. O passo da rosca do parafuso (eixo de ao) de 0,1 cm. DADOS: Alumnio - A = 12 cm ; E = 0,7106 Kgf/cm Bronze - A = 18 cm ; E = 0,84106 Kgf/cm Ao - A = 4,5 cm para cada eixo ; E = 2,1106 Kgf/cm3 9 cm 12 cm 3

Alumnio

Bronze

6

11 A barra rgida, horizontal, AB presa em trs barras verticais como se mostra na figura. O peso prprio das barras desprezvel e no h tenses, antes da aplicao da carga de 12 t. A barra central de lato, a da esquerda de ao e a da direita de cobre. Admita-se que, ao aplicar a carga de 12 t, se acrea a temperatura das barras de 22,5. Pede-se: a) A tenso em cada barra, sabendo-se que, quando assim solicitada, a posio final de AB horizontal; b) A posio x da carga de 12t. DADOS: Lato Ao Cobre L=2m L=3m L = 2,5 m A = 3,5 cm A = 1,5 cm A = 2 cm 6 6 E = 0,9810 Kgf/cm E = 2,110 Kgf/cm E = 1,19106 Kgf/cm = 18,710-6 /C = 11,710-6 /C = 16,710-6 /C

Ao

Lato90 cm 60 cm

Cobre B

Ax

12 t12 A barra rgida CDE presa ao apoio E atravs de um pino e se apia no cilindro BD de 3,0 cm de dimetro. Um parafuso de 2,2 cm de dimetro, passa por um furo na barra rgida em C, e fixo por uma porca simplesmente ajustada. A montagem feita, temperatura de 20C, e no leva nenhuma tenso a esta temperatura. A temperatura do cilindro BD, que de cobre, elevada at temperatura de 50C, enquanto que a temperatura do parafuso, que de ao permanente inalterada. Para esta situao, pede-se determinar a tenso normal no parafuso de ao e a tenso normal no cilindro de cobre. DADOS: Ao E = 2,1106 Kgf/cm ; = 11,710-6 /C Cobre E = 1,0106 Kgf/cm ; = 16,710-6/ C

7

45 cm

30 cm

C

D

E

30 cm 90 cm B

13 Na figura a barra BCD rgida. Determinar a seo transversal do cabo AB, se a tenso admissvel do mesmo 2000 Kgf/cm. DADOS: l = 200 cm K = 10.000 Kgf/cm EAB = 2,1106 Kgf/cm P = 1000 Kgf

D

A

P

lB

C

l2,5 l

14 Para o sistema mostrado, a barra C e o suporte D so considerados rgidos. Os parafusos A e B so de ao (E = 2,1106 Kgf/cm), com mesma rea de seo transversal A = 1 cm. Pede-se: a) Determinar as tenses normais que aparecero nos pinos A e B quando a porca no topo do pino B sofrer o avano de uma volta. O passo da porca em referncia de 0,1 cm;

8

b) Quanto deveria avanar a porca B (a partir da posio inicial) de modo a induzir uma tenso axial de 2000 Kgf/cm no pino A e quais seriam as deformaes axiais nos pinos A e B?

200 mm C

125 mm

1.500 mm

D

A

B

15 - A barra rgida CDE presa ao apoio E por um pino, e se apia no cilindro de lato BD de 30 mm de dimetro. Um parafuso de 22 mm de dimetro, passa por um furo na barra em C, e fixo por uma porca simplesmente ajustada. A montagem feita temperatura de 20C, no leva nenhuma tenso estrutura. A temperatura do cilindro de lato aumentada para 50C, enquanto o parafuso, tem sua temperatura mantida constante. Pede-se determinar para essas condies a tenso normal no cilindro de lato e a tenso normal no parafuso de ao. DADOS: Barra AC:Ao E = 200109 Pa ; = 1210-6 /C Cilindro BD:Lato E = 105109 Pa ; = 18,810-6 /C

C

0,45 m

0,3 m E D

0,9 m

0,3 m B A9

TUBO DE PAREDE FINA 1 Seja um tubo de alumnio (E = 0,7106 Kgf/cm), revestido com um tubo de ao (E = 2,1106 Kgf/cm), coaxialmente. temperatura ambiente os dois tubos se ajustam perfeitamente (sem folga e sem presso entre os mesmos). Determinar: a) A presso que aparecer entre os dois tubos, se elevar a temperatura 20 C; b) A tenso circunferencial em cada tubo.Ao 0.6 cm

0.4 cm

Alumnio

2 So dados dois tubos com as seguintes caractersticas: Tubo A: Material: ao Tubo B: Material: lato 6 E = 2,110 Kgf/cm E = 1106 Kgf/cm Espessura: e A = 0,6 cm Espessura: e B = 0,8 cm r int = r A = 49,9 cm r ext = r B = 50 cm Pede-se: a) A presso de contato entre os dois tubos, quando se introduz o tubo B em A; b) Tenses normais circunfernciais atuantes nos tubos A e B.

A

49

,

m 9c

50, 0 c m

10

0,8 cm

B0 ,6 cm

3 O depsito da figura abaixo construdo com chapas de espessura igual a 3 mm. Sabendo-se que o mesmo est sujeito a uma presso interna de 12 Kgf/cm, pede-se as tenses que atuam nas paredes do depsito.

50 cm

60 cm

4 Um bastidor (equipamento utilizado para pressionar tecido) formado por dois anis, que quando soltos, tm as seguintes dimenses: o menor: espessura eA e raio rA o maior: espessura eB e raio rB Conhece-se o mdulo de elasticidade (E = 1105 Kgf/cm) do material dos anis e a distncia que deve mediar entre eles, quando apertam o tecido com a presso exigida p. Pergunta-se qual deve ser o valor rB, sendo conhecido rA . DADOS: eA = eB = 0,5 cm rA = 20 cm p = 6,0 Kgf/cm d = 0,2 cm

rBrAeB eA

11

5 Um tubo de cobre (E = 1,2106 Kgf/cm), com raio externo de 30 cm, revestido coaxialmente, por um tubo de ao (E = 2,1106 Kgf/cm). Aps a operao de encaixe do tubo de cobre e o tubo de ao, aparece entre os dois tubos uma presso de contato igual a 10 Kgf/cm. Pergunta-se: qual o valor do raio interno do tubo de ao? DADOS: espessura do tubo de cobre = 0,8 cm Espessura do tubo de ao = 0,6 cmAo

Cobre

12

UNIDADE 2 CISALHAMENTO PURO 1 Determinar a fora P necessria para produzir um furo de 2,5 cm de dimetro na chapa de ao ao lado, cuja espessura de 3/8. A chapa de ao em referncia tem limite de resistncia ao cisalhamento de 3.160 Kgf/cm. Se G = 0,84106 Kgf/cm, qual a deformao angular no contorno do furo, no instante em que a tenso de cisalhamento for igual a 1.500 Kgf/cm.

3 8"

2 Seja um pino com dimetro de 1,2 cm, sujeito a carga a 2.000 Kgf. Pede-se: a) A tenso normal; b) A tenso tangencial.

= 1,2 cm 2000 kgf

0,8 cm

13

3 Determinar a tenso de cisalhamento no pino.

N = 1000 kgf

N

= 1,6 cm

4 Um eixo de ao, com dimetro de 3cm acoplado polia, atravs de uma chaveta, como mostra a figura. O sistema de correias que produzem certa rotao do origem a um momento igual a 4.000 Kgfcm. Determinar a tenso cisalhante na chaveta.

2 cm 0,6 T2 3 cm T1 0,4

5 O dispositivo mostrado empregado para determinar a resistncia ao cisalhamento de uma junta colada. Se a carga P, no instante da ruptura 1.250 Kgf, qual a tenso mdia de cisalhamento na junta, por ocasio da ruptura?P

0,5" 1,5"

14

6 A transmisso da carga P = 15.000 lb, do mecanismo abaixo ilustrado, feito atravs de dois pinos de mesmo dimetro. Sabendo-se que a tenso admissvel ao cisalhamento dos pinos de 12.000 psi, determinar qual deve ser o dimetro de cada pino.

15.000 lbs P

7 Para o sistema articulado, pede-se: a) O valor de P para manter o mesmo em equilbrio; b) A tenso de cisalhamento no pino.

P20 cm

30

1.000 Kgf

=1 cm

O40 cm

15

8 No suporte da figura, a haste ABC tem, na parte superior 9 mm de espessura, e na parte inferior 6 mm de espessura de cada lado. Uma resina a base de epoxy usada para colar as partes superior e inferior da haste, no ponto B. Os pinos no ponto A e C tm 9 mm e 6 mm de dimetro, respectivamente. Determinar: a) A tenso de cisalhamento no pino A; b) A tenso de cisalhamento no pino C; c) A maior tenso normal na haste ABC; d) A tenso mdia de cisalhamento nas superfcies coladas no ponto B.D

A 32 mm B 152 mm 45 mm 178 mm E 2200 N 12 mm 25 mm C

9 Na estrutura de ao mostrada, um pino de 6 mm de dimetro usado em C, enquanto que em B e D usam-se pinos de 10 mm de dimetro. A tenso de cisalhamento para todas as ligaes de 150 MPa, e a tenso normal de 400 MPa na viga BD. Sendo o coeficiente de segurana igual a 3 determine a maior carga P que pode ser aplicada em A.18 mmVista lateral D Vista frontal D

A B P C

B

6 mm

160 mm

120 mm

Vista superior A B C

16

10 O esquema abaixo representa um trem de pouso de avio, AB forma um ngulo de 53 com BC. a) Determinar a tenso de compresso na barra AB, produzida na aterrizagem por uma reao no solo de 2000 Kgf. b) Os pinos A e B trabalham a corte duplo e o pino em C a corte simples. Determinar os dimetros necessrios se a tenso cisalhante admissvel de 560 Kgf/cm.

Tirante oco D ext. = 4,2 cm D int. = 3,2 cm

A

B C 20 cm 45 cm

R11 A figura abaixo, mostra a unio de um apoio de uma estrutura de madeira. Pede-se determinar o menor valor que a dimenso b pode assumir, se a tenso admissvel ao cisalhamento da madeira de 9 Kgf/cm.

b

P = 4200 Kgf 30

15 cm

17

UNIDADE 3 ESTUDO DAS TENSES EM UM PONTO 1 Para os estados de tenso esquematizados abaixo, pede-se: a) Esboar o crculo de Mohr; b) Determinar as tenses normais principais; c) Determinar a mxima tenso tangencial; d) Posicionar as direes principais do ponto; e) Posicionar a direo da mxima tenso tangencial.

300 Kgf/cm2

800 Kgf/cm2

500 Kgf/cm2 400 Kgf/cm2

1200 Kgf/cm2 600 Kgf/cm2

60 MPa

80 MPa

30 MPa

2 Um tubo de parede fina, est submetido a uma presso de 15 Kgf/cm. Sabendo-se que o raio do tubo de 50 cm e sua espessura de 2 cm, pede-se: a) Isolar um ponto e traar o crculo de Mohr; b) As tenses principais; c) A mxima tenso tangencial.

18

3 As tenses mostradas, atuam em um ponto de um membro estrutural. A tenso principal de trao conhecida, sendo de 1.200 Kgf/cm. Determine: a) A tenso tangencial mxima no ponto; b) A orientao dos planos nos quais a tenso do item a atua; c) A tenso tangencial no plano horizontal.

yx 800 Kgf/cm2

4 Em um ponto de uma regio sob tenso, num plano vertical h uma tenso normal de 130 MPa de trao e uma tenso tangencial negativa desconhecida. A tenso principal mxima no ponto de 150 MPa de trao e a tenso tangencial mxima tem uma magnitude de 100 MPa. Determinar as tenses desconhecidas nos planos vertical e horizontal, assim como as tenses principais num esboo. 5 Em um ponto de um corpo sob tenso, existem sobre os planos horizontal e vertical tenses, como na figura. As tenses principais no ponto so de 100 MPaC e de 30 MPaT. Determine x e y e mostre sobre um esboo completo as tenses principais e a tenso tangencial mxima no ponto.x

y

25 MPa

19

6 A placa de seo transversal (35) cm , construda de duas peas de madeira coladas na direo indicada = 30. Sabendo-se que esta placa est suportando uma carga P = 450 Kgf, conforme a figura, pede-se: a) Determinar a tenso normal de trao no plano da seo transversal; b) Determinar a tenso normal e a tenso tangencial no plano da cola (plano ), usando as propriedades do crculo de Mohr.

5 cm

P = 450 Kgf

30

3 cm

cola

7 Dado um tubo de parede fina, usado para armazenar gs a uma presso interna de 12 Kgf/cm, com dimetro mdio de 0,8 m e cuja espessura do mesmo de 0,6 cm. Pede-se determinar as tenses normal e tangencial atuantes no cordo de solda indicado. OBS: A espessura do cordo de solda a mesma espessura da parede do tubo.

y

30

x z

cordo de solda

20

8 O Crculo de Mohr dado refere-se ao ponto A ao lado. Pede-se: a) Colocar as tenses no plano y e no plano x adequadamente; b) Determinar as tenses normais principais e a mxima tenso cisalhante; c) Determinar a tenso normal e a tenso cisalhante num plano a 30 antihorrio do plano y.120

yPonto A

80

0

C

30 y

x

x

(Kgf/cm) 9 Para o estado de tenso esquematizado abaixo, pede-se: a) Esboar o crculo de Mohr; b) Determinar as tenses normais principais; c) Determinar a mxima tenso cisalhante; d) Posicionar as direes principais do ponto; e) Posicionar a direo da mxima tenso cisalhante. f) Usando as propriedades do crculo de Mohr, determinar a tenso normal e a tenso cisalhante num plano a 65 anti-horrio em relao ao plano y.

800 Kgf/cm2 65 400 Kgf/cm2 600 Kgf/cm2 x y

21

10 - Para o estado de tenso esquematizado abaixo, pede-se: a) Esboar o crculo de Mohr; b) Determinar as tenses normais principais; c) Determinar a mxima tenso cisalhante; d) Posicionar as direes principais do ponto; e) Posicionar a direo da mxima tenso cisalhante. f) Usando as propriedades do crculo de Mohr, determinar a tenso normal e a tenso cisalhante num plano a 45 anti-horrio em relao ao plano x.

120 MPa y 45 40 MPA 150 MPa x

22

UNIDADE 4 TORO PURA 1 Dado um eixo de ao (G = 0,84106 Kgf/cm) constitudo de um trecho AB com dimetro de 10 cm e um trecho BC com dimetro de 7,5 cm. Pede-se: a) O valor de maior tenso tangencial para um ponto de uma seo de trecho AB; b) O valor de maior tenso tangencial para um ponto de uma seo de trecho BC; c) Determinar o ngulo de toro das sees B e C.

90.000 Kgfxcm 60.000 Kgfxcm A B C

= 10 cm

= 7,5 cm

100 cm

70 cm

2 Sabendo- se que = 900 Kgf/cm. Determinar o dimetro d necessrio ao eixo bi-engastado abaixo.

100.000 Kgfxcm

A

B

0,6 m

0,4 m

23

3 Determinar as tenses normais principais e a mxima tenso tangencial para o eixo mostrado.

4.000 lbxin

6.000 lb 4"

4 Seja um eixo de seo circular vazada, sujeito ao de um momento toror T = 60.000 Kgf cm e uma carga normal de trao de 20.000 Kgf. Para os pontos A e B pede-se: a) Maior tenso tangencial devido ao toror; b) Maior tenso normal devido carga normal; c) As tenses normais principais e a mxima tenso tangencial. Dados: ext = 6 cm int = 4 cmTA B

N

l5 Seja um eixo como o mostrado na figura. Pede-se: a) Calcular o ngulo de toro da extremidade livre (G = 0,84106 Kgf/cm); b) Identificar o ponto mais solicitado, e para este ponto determinar as tenses normais principais e a mxima tenso tangencial; c) Para este ponto, esboar o crculo de Mohr.24

60.000 Kgfxcm 40.000 Kgfxcm A B

= 6 cm

C = 4 cm 30.000 Kgf

80 cm

40 cm

6 A barra de alumnio da figura tem G = 4.000 ksi e rigidamente fixada em C. Mas o apoio A, permite uma rotao de 0,012 rd antes de se tornar rgido. Determinar o mximo torque que poder ser aplicado em B se a tenso de cisalhamento no deve ultrapassar 7 ksi.A

T 6"

B C 3' 6'

7 Um eixo de seco circular vazada, com dimetro externo igual a 5 cm e dimetro intero a 3 cm, est carregado com uma carga normal axial de compresso e dois torores ,tal como mostra a figura. Pede-se: a) Diagrama de momento toror; b) Diagrama de esforo normal; c) Valor do ngulo de toro da extremidade livre; d) Identificar o ponto mais crtico e, para este ponto, determinar as tenses normais principais e a mxima tenso tangencial; e) Para este ponto esboar o crculo de Mohr.

25

T2 = 11.000 Kgfxcm T1 = 4.000 KgfxcmA B C

N = 5.000 Kgf

80 cm

50 cm

8 A figura abaixo, mostra um eixo de seco circular, sendo que parte do mesmo de seco vazada (80 cm) e parte de seco macia (50 cm). O mesmo est engastado na extremidade esquerda, e submetido aos seguintes carregamentos: Momento toror T1 = 500 Kgf cm; Momento toror T2 = 1300 Kgf cm; Carga Axial N = 20.000 Kgf O dimetro externo do referido eixo, vale 6 cm e o dimetro interno vale 4 cm. Pede-se: a) Diagrama de momento toror; b) Diagrama de esforo normal; c) Valor do ngulo de toro da extremidade livre (G = 0,84106 Kgf/cm); d) Identificar o ponto mais crtico e, para este ponto, determinar as tenses normais principais e a mxima tenso cisalhante (esboar o crculo de Mohr).T2 = 1.300 Kgfxcm T1 = 500 KgfxcmA B C

N = 20.000 Kgf 4 cm

6 cm 50 cm

80 cm

26

9 A figura abaixo, mostra um eixo de seco circular, sendo que parte do mesmo de seco vazada (80 cm), com dimetro externo de 6 cm e dimetro interno de 4 cm, e parte de seco macia (50 cm), com dimetro de 5 cm. O mesmo est engastado na extremidade esquerda, e submetido aos seguintes carregamentos: Momento toror T1 = 700 Kgf m; Momento toror T2 = 200 Kgf m; Carga Axial N = 15.000 Kgf Pede-se: a) Diagrama de momento toror; b) Diagrama de esforo normal; c) Valor do ngulo de toro da extremidade livre (G = 0,84106 Kgf/cm);; d) Identificar o ponto mais crtico e, para este ponto, determinar as tenses normais principais e a mxima tenso cisalhante (esboar o crculo de Mohr).T2 = 200 Kgfxm T1 = 700 KgfxmA B C

N = 15.000 Kgf

80 cm

50 cm

27

TORO SEO RETANGULAR 1 Seja a viga de seo retangular (105) cm, de ao (G = 0,8106 Kgf/cm), pede-se: a) ngulo de toro da extremidade livre; b) Tenses normais principais e mxima tenso tangencial para os pontos D, E, c) Isolar estes pontos e traar o crculo de Mohr. DADOS: para a/b = 2; = 0,246; = 0,229; = 0,795

12.000 KgfxcmA 5 cm 10 cm D F E

30.000 Kgf

1m

2 Para a viga de seo retangular (1015) cm, de ao (G = 0,8106 Kgf/cm), pede-se: a) ngulo de toro da extremidade livre; b) Tenses normais principais e mxima tenso tangencial para os pontos A, B, c) Isolar estes pontos e traar o crculo de Mohr. DADOS: para a/b = 2 ; = 0,246; = 0,229; = 0,795

45.000 KgfxcmE 15 cm 30 cm A B C

3.500 Kgf

1,5 m

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MOLAS HELICOIDAIS 1 Uma barra rgida horizontal suportada por duas molas helicoidais. Quando no h cargas a barra horizontal, no havendo fora ou deformao nas molas. Determine a mxima tenso tangencial em B, quando P = 1.200 lb. DADOS: Mola A n = 8; G = 5,6106 psi; D = 4 in; d = 0,8 in Mola B n = 15; G = 6,5106 psi; D = 3,6 in; d = 0,6 in

P

B

A

D 4" 4" 2"

2 Uma barra rgida horizontal suportada por duas molas helicoidais. Quando no h cargas a barra horizontal, no havendo fora ou deformao nas molas. Determine a mxima tenso tangencial nas molas A e B, quando P = 900 lb. DADOS: Mola A n = 8; G = 5,6106 psi; D = 4 in; d = 0,8 in Mola B n = 15; G = 6,5106 psi; D = 3,6 in; d = 0,6 in

900 lb B C A

30 "

20 "

40 "

29

3 Uma barra rgida horizontal suportada por duas molas helicoidais. Quando no h cargas a barra horizontal, no havendo fora ou deformao nas molas. Determinar a carga mxima P para que a tenso nas molas no exceda a 1800 Kgf/cm. DADOS: Mola A n = 24; G = 8,4105 Kgf/cm; D = 10 cm; d = 0,6 cm Mola B n = 48; G = 4,2105 Kgf/cm; D = 15 cm; d = 1,2 cm

A C

B

P

2 cm

2 cm

1 cm

4 Uma placa rgida de peso desprezvel est apoiada na mola central cujo comprimento 2 cm maior que o das molas laterais idnticas, simetricamente posicionadas. Cada uma das molas laterais, tm 18 espirais de dimetro mdio igual a 10 cm, construdas com arame de 1 cm de dimetro. A mola central tm 24 espiras de dimetro mdio igual a 15 cm, construda com arame de 1,8 cm de dimetro. Sabendo-se que, as trs molas so de mesmo material (G = 0,84106 Kgf/cm), e que a tenso admissvel ao cisalhamento de 1050 Kgf/cm, pede-se determinar o maior valor que a carga P pode assumir.

P2 cm A B A

30

UNIDADE 5 MOMENTO DE INRCIA 1 Para as sees representadas, determinar os momentos de inrcia em relao aos eixos centroidais horizontal e vertical. (Cotas em cm).

1

2

3

4

31

54520x10x2.5

2,5

58.75x2.5

60

2,5L 20102,5 Ix = 453 cm4 S = 68,8 cm Iy = 2719 cm4

= 7,625 cm x

y = 2,625 cm

6y C e e bA = 10,7 cm Ix = Iy = 48,2 cm4 e = 2,02 cm b = 7 cm A = 15,6 cm Ix = 491 cm4 Iy = 45,4 cm4 e = 1,67 cm b = 5,8 cm h = 14 cm

e

y

b

x h

C

x

32

PRODUTO DE INRCIA 2 Para as sees representadas, determinar o produto de inrcia em relao aos eixos centroidais horizontal e vertical. (Cotas em cm).

1

2

3

33

3 Para a seo transversal representada, pede-se: a) Determinar os momentos de inrcia em relao aos eixos centroidais horizontal e vertical; b) Determinar o produto de inrcia em relao aos eixos centroidais horizontais e vertical. (Cotas em cm).

4 Dois perfis de 25 cm e 7,65 Kg, so soldados a uma chapa de 30 cm2,5cm para formar a seo transversal de uma viga. Encontre a distncia d para a qual os momentos de inrcia em relao aos eixos centroidais sejam iguais. (Cotas em cm)X0 x

h

Y0

[

b 25 cm - 7,65 Kg

d/2

d/2

I X 0 = 2613 cm 4 I Y 0 = 89,8 cm 4S = 27,9 cm 2

34

5 Para a seo transversal constituda por uma rea retangular 10100 mm, e duas cantoneiras L de 89647,6 mm, pede-se: a) Determinar os momentos de inrcia em relao aos eixos centroidais horizontal e vertical; b) Determinar o produto de inrcia em relao aos eixos centroidais horizontais e vertical. (Cotas em cm).

x110 mm y x 100 mm L = 89x64x7,6 = 391x10 2 A = 1148 mm x = 16 mm y = 29 mm

y1

IX1 IY1

= 912x10

3 3

mm 4 mm 44 3

P X 1 y 1 = 349x10

mm

6 Para a seo transversal representada, pede-se: a) Determinar os momentos de inrcia em relao aos eixos centroidais horizontal e vertical; b) Determinar o produto de inrcia em relao aos eixos centroidais horizontal e vertical. 2 A1 = 32,2 cm A2 = 20,4 cm e1 = 2,01 cm e2 = 1,75 cm 4 4 Ix1 = 1910 cm Ix2 = 62,7 cm 4 4 IY1 = 148 cm Iy2 = 605 cm

35

7,5 cm

14 cm

X2 Y2 X1

20 cm

1,75

2,01

Y1

36

UNIDADE 6 FLEXO SIMPLES Para as vigas esquematizadas abaixo, pede-se: a) Diagrama de momento fletor; b) Diagrama de esforo cortante; c) Determinar a maior tenso normal de trao e a maior tenso normal de compresso, devido flexo.

1)1200 Kgf 600 Kgf/m 1,2 E 3m B 900 Kgfxm 1,5 1,5 D 2m A 8 300 Kgf 1,4

1,4 6 cm

2)400 Kgf

300 Kgf/m 2 A 2m 500 Kgfxm 1 2 B 2 2 6 cm E 1 cm 4 cm

37

3)

1800 Kgf 200 Kgf/m

1

A 4m

B 3

C 3

D 1300 Kgfxm

4 cm

1 5 cm

4)

600 Kgf 400 Kgf/m E 3m B A 1200 Kgfxm 2 2 C 1 D 3m F 2 5 cm 2 800 Kgf/m 1,6

5 cm

38

5)2000 Kgf 400 Kgf /m

1 cm

800 Kgf x m 8 cm

2 cm 6 cm

3m

3m

2m

6)300 Kgf /m P =1000 Kgf 6 cm 2 cm

600 Kgf x m

5 cm

2 cm

3m

3m

2m

39

7)1500 Kgf 300 Kgf /m 200 Kgf /m 1300 Kgf x m 2cm 1cm 1cm

3cm

1cm 5cm

3cm

4cm

4cm

40

FLEXO COMPOSTA 1 Uma coluna de seo transversal em I, est submetida carga de compresso P = 10.000 Kgf, aplicada na posio indicada. Pede-se: a) Posio da L.N.; b) Maior tenso normal de trao; c) Maior tenso normal de compresso.P 1,6 cm y 15 cm 2 cm x 10 cm 1,6 cm

2 Seja uma coluna de seo transversal retangular vazada. O material do qual constituda a coluna no oferece resistncia trao. Esta coluna suporta uma carga P = 20.000 Kgf de compresso, aplicada sobre o eixo y-y, excntrica de e. Pede-se: a) A maior excentricidade e que pode ser dada a carga (material no resistente trao); b) Para esta excentricidade determinar a maior tenso normal de compresso.X 5 40 P Y 5 e 20 5 5 Y

41

3 Para a estrutura representada, pede-se: a) Posio da L.N.; b) Maior tenso normal de trao; c) Maior tenso normal de compresso. Desprezar o efeito do cortante na seo analizada.Z Detalhe da Seo

P = 400 Kgf350cm Y X 90 cm 6cm 10cm

4 Para a estrutura representada, pede-se: a) Posio da L.N.; b) Maior tenso normal de trao; c) Maior tenso normal de compresso.

B

B

F F

2cm 1cm 2cm 3cm 1cm

15cm

42

5 Para a estrutura representada, pede-se: a) Posio da L.N.; b) Maior tenso normal de trao; c) Maior tenso normal de compresso.

5cm

30cm 30 tf

5cm

5cm 40cm

10 tf 5cm

6) A figura abaixo, mostra um grampo utilizado para prender peas. Se seu material ferro fundido, com tenso normal admissvel a trao de 400 Kgf/cm e tenso normal admissvel a compresso de 900 Kgf/cm, pergunta-se qual a capacidade (Pmx) deste grampo.

A

A

15cm

P P

0,8

4,0cm

6,0cm

1,0cm

43

7) Para a coluna dada, pede-se determinar o maior valor que a excentricidade e pode assumir, sabendo-se que o material da coluna tem tenso normal admissvel a trao igual a 1.500 Kgf/cm e tenso normal admissvel a compresso igual a 800 Kgf/cm.

1,4600 Kgf

4 cm 1,6

8 cme

1,6

8) A figura abaixo, mostra uma coluna de concreto armado, com seo transversal vazada constante, sujeita s cargas uniformemente distribudas q. Para a seo engastada, pede-se: a) Posio da L.N.; b) Maior tenso normal de trao; c) Maior tenso normal de compresso.

q = 175 Kgf/m B C

Seo Engastada5 40 z 5 5 5 20

x D A x z Trecho CD = 2 m (paralelo ao eixo z) Trecho BD = 3 m (paralelo ao eixo x) Trecho AB = 6 m (vertical)

44

UNIDADE 7 ESTADO PLANO DE TENSO 1 Para a viga mostrada, pede-se: a) Diagrama dos esforos solicitantes (fletor e toror); b) Isolar a seo engastada, colocando todos os esforos solicitantes; c) Determinar as tenses normais principais e a mxima tenso tangencial, para os pontos A, B, C da seo engastada. Esboar o crculo de Mohr para estes pontos. Para a/b = 2 : = 0,246 ; = 0,795

400 KgfY

200 Kgf 300 Kgf

B A C Z

E 4 cm

50 cm

X 80 cm

8 cm

2 Para a viga dada, de seo quadrada (55) cm, pede-se: a) Diagrama dos esforos solicitantes (fletor e toror); b) Isolar a seo engastada, colocando todos os esforos solicitantes; c) Determinar as tenses normais principais e a mxima tenso tangencial, para os pontos A e B da seo engastada. Esboar o crculo de Mohr para estes pontos. Para a/b = 1 : = 0,208

45

60 cmB A

50 cm 600 Kgf 400 Kgf 800 Kgf

3 Para o eixo mostrado, pede-se: a) Diagrama dos esforos solicitantes (fletor e toror); b) Isolar a seo engastada, colocando todos os esforos solicitantes; c) Determinar as tenses normais principais e a mxima tenso tangencial, para os pontos A e B da seo engastada. Esboar o crculo de Mohr para estes pontos.80 cm XA

Z

40 cm 300 Kgf

B

200 Kgf

6 cm

46

4 Para a viga esquematizada abaixo de seo circular vazada, pede-se determinar as tenses normais principais e a mxima tenso tangencial para os pontos A e B da seo engastada. Esboar o crculo de Mohr para estes pontos.

200 KgfY

300 Kgf

X

A B

Z

60 cm 100 cm6 cm 8 cm

5 Para a viga dada abaixo, pede-se: a) Diagrama de momentos (fletor e toror); b) Isolar a seo engastada, colocando adequadament, todos os esforos; c) Determinar as tenses normais principais e a mxima tenso tangencial, para os pontos A, B e C. (Esboar o crculo de Mohr para cada ponto).

y40 cm

x60 cm

z

100 Kgf

Seo Engastada3 cm

300 Kgf

9 cm

47

6 Para a manivela mostrada na figura, sabendo-se que a = 4 cm e b = 2 cm, pede-se: a) Diagrama de momentos fletor e toror; b) Isolar a seo S, mostrando todos os esforos solicitantes; c) Isolar os pontos A e B da seo S, colocando as tenses convenientemente; d) Esboar o crculo de Mohr e determinar as tenses normais principais e a mxima tenso tangencial, para estes pontos. Dados: Para a/b = 2 : = 0,246 ; = 0,795 ; = 0,229

30 cm 200 Kgf Seo S Y 100 Kgf40 cm b B a

Z A X B

b = 2 cm

a = 4 cm

S

48

7 Para a viga mostrada na figura de seo transversal retangular macia (63) cm, sujeita s cargas Fx = 900 Kgf, Fy = 600 Kgf e Fz = 400 Kgf, pede-se: a) Diagrama de momentos fletor e toror; b) Isolar a seo engastada, mostrando todos os esforos solicitantes; c) Isolar os pontos C e D da seo engastada, colocando as tenses convenientemente; d) Esboar o crculo de Mohr e determinar as tenses normais principais e a mxima tenso tangencial, para estes pontos. Dados: Para a/b = 2 : = 0,246 ; = 0,795 ; = 0,229

YD C 3 cm 6 cm

80 cm X

Z 60 cm

yFx

xFz

z

Fy

8 Para a viga mostrada na figura de seo transversal retangular macia (63) cm, sujeita s cargas Fx = 600 Kgf, Fy = 400 Kgf e Fz = 200 Kgf, pede-se: a) Diagrama de momentos fletor e toror; b) Isolar a seo engastada, mostrando todos os esforos solicitantes;49

c) Isolar os pontos C e D da seo engastada, colocando as tenses convenientemente; d) Esboar o crculo de Mohr e determinar as tenses normais principais e a mxima tenso tangencial, para os pontos C e D, j mencionados. Dados: Para a/b = 2 : = 0,246 ; = 0,795 ; = 0,229

80 cm

Fy

Fx

Seo EngastadaY Z

Fz30 cm X 6 cm

C 3 cm

D

50

UNIDADE 8 DEFLEXO 1 Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: a) Armar a equao de rotao; b) Armar a equao de deflexo; c) Determinar a deflexo para as sees A, B e C.

200 Kgf/m 800 Kgfxm E A 2m 2m B 2m C 2m D

2 Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: a) Armar a equao de rotao; b) Armar a equao de deflexo; c) Determinar a deflexo para as sees A, B, C e D.

200 Kgf 100 Kgf/m 400 Kgfxm E A 1 2m B 1 C 1 D 1 F

51

3 Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: a) Armar a equao de rotao; b) Armar a equao de deflexo; c)Determinar a deflexo para as sees A, B,C e F.

600 Kgf 400 Kgf/m 800 Kgfxm E A 1 2m B 2m C 2m F 2m D

4 Para a viga esquematizada abaixo, pede-se: a) Armar a equao de rotao; b) Armar a equao de deflexo; c) Determinar a deflexo para as sees A, B, C, D, E e H.

5 0 0 K gf 1 2 cm 4 00 K g f/m 6 0 0 K g fx m B A H 1 m 1m 2 m C 2 m D 2 m E 2 m F 2 0 cm

52

5 Para a viga abaixo, sendo dado E = 2,1106 Kgf/cm, d2y = - M , pede-se: dx2 EI a) Armar a equao de rotao das sees; b) Armar a equao de deflexo das sees; c) Determinar a rotao na extremidade livre E; d) Determinar a deflexo na extremidade livre D.

800 Kgf M = 1200 KgfxmE B

600 Kgf/mC D

10 cm

20 cmA F

1m

1m

3m

2m

1m

6 Para a viga dada, pede-se determinar as reaes de apoio.

200 Kgf/m

A 3m

B

53

7 Para a viga dada, pede-se determinar as reaes de apoio.300 K gf 200 K gf/m

A 1 2m 1 1

B

8 Para a viga dada, pede-se determinar as reaes de apoio.

200 Kgf 200 Kgf/m

D E 4m 2m 2m

9 Para a viga dada, pede-se determinar as reaes de apoio.

200 Kgf/m

E

D 6m 3m

54

10 Determinar o deslocamento vertical do ponto P, usando o teorema de Castigliano.200 Kgf 100 Kgf/m

B 3m

P 1

A

11 Usando a Integral de Mohr, determinar o deslocamento vertical do ponto A.50 Kgf 100 Kgf

B A 1 2m 2m E

C

12 Usando a Integral de Mohr, determinar o valor da reao vertical VD.

200 Kgf 800 Kgf/m

C E 2m 1

D

A

1

55

13 Usando a Integral de Mohr, determinar o deslocamento vertical do ponto A e as reaes de apoio.

1000 Kgf 200 Kgf/m

B C 4m 1

A

14 Usando a Integral de Mohr, determinar o valor da reao vertical VD.

600 Kgf 300 Kgf/m

A

D

C

4m

2m

56

15 Para a viga de ao (E = 2,1106 Kgf/cm), e cuja seo transversal retangular (510) cm, pede-se: a) Reao vertical no apoio da direita; b) Deslocamento vertical da extremidade livre (seo C). Lembre-se: 1cm2 = 10-4 m2 1cm4 = 10-8 m4 1cm = 10-2 mP = 800 Kgf5 cm

M = 1000 Kgfxm

10 cm

E

A

D

C

2m

1m

1m

16 Para a viga de ao (E = 2,1106 Kgf/cm), e cuja seo transversal retangular (610) cm, pede-se: a) Reao vertical no apoio da direita; b) Deslocamento vertical da extremidade livre (seo D).

1200 Kgf 200 Kgf/mA B 6 cm

10 cmE C D

3m

2m

1m

57

17 A viga abaixo tem seo retangular macia (1020) cm e seu material tem mdulo de Elasticidade igual a 2,1106 Kgf/cm. Sabendo-se que d2y = - M , dx2 EI Pede-se: a) Determinar todas as reaes de apoio; b) O valor do deslocamento vertical da seo B.800 Kgf 400 Kgf/mB

300 KgfxmD F

10 cm

20 cmA C E

1m

3m

1m

2m

1m

18 A viga abaixo tem seo retangular macia (1020) cm e seu material tem mdulo de Elasticidade igual a 2,1106 Kgf/cm. O apoio intermedirio uma mola, com constante K = 200 Kgf/cm. sabendo-se que d2y = - M , pede-se: dx2 EI a) Determinar todas as raees de apoio; b) O valor do deslocamento do apoio intermedirio ( da mola), em cm.

800 Kgf 1200 Kgfxm 600 Kgf/m 10 cm

20 cmE A B D

2m

4m

3m

58

19 Dado EI, pede-se o deslocamento horizontal da seo A.

C

B

l2 l1A P

20 Determinar o deslocamento horizontal do apoio da direita.

P

A

B

lC F

l

l

E D

59

21 Para a viga mostrada abaixo, dado o mdulo de elasticidade do material da viga E = 200106 KN/m e o momento de Inrcia em relao ao eixo em referncia I = 20010-6 m4, pede-se: a) Usando a Integral de Mohr, determinar a deflexo horizontal em A; b) Usando a Integral de Mohr, determinar a rotao do ponto A.

50 KN

C B

A

5mD

2m

2m

22 Dada a viga abaixo, determinar o deslocamento vertical do ponto A. AB = BC = CD = DE = l

E

D

C

B q A

60

23 Para a viga mostrada abaixo, dado o mdulo de elasticidade do material da viga E = 200106 KN/m e o momento de Inrcia em relao ao eixo em referncia I = 15010-6 m4, pede-se: a) Determinar a deflexo horizontal em C; b) Determinar a rotao do ponto C.

20 KN/mB C

2m 4mD A

4m

24 Dada a viga abaixo, determinar o deslocamento vertical do ponto A. AB = BC = CD = l

D

C

B

q A

61

25 Dado EI = cte, pede-se determinar o deslocamento horizontal da seo da extremidade da direita (ponto A).

P B

C

A

D R R R

26 Para a estrutura espacial da figura abaixo, so dados: EIx , EIy , EIz , GIt . Usando integral de Mohr, pade-se determinar o deslocamento vertical da seo A (extremidade livre). Dados: Segmento AB = 1,0 L Segmento BC = 2,0 L Segmento CD = 3,0 L

Y X Z C

PA

B

D

62

27 A viga ABC, est engastada em A e sustentada em B por um tirante BD. Determinar a trao no tirante BD. DADOS: Material da viga ABC: Ao E = 2,1106 Kgf/cm Material do tirante BD: Alumnio E = 0,7106 Kgf/cm rea da seo transversal do tirante = 2 cm2D 400 Kgf/m 300 Kgf 1m 4 cm

A

C

6 cm

B

3m

1,2 m

28 A viga da figura abaixo de Alumnio, E = 0,7106 Kgf/cm e G = 0,26106 Kgf/cm. A seo transversal retangular (26) cm. Pede-se: a) Traar os diagramas dos esforos simples (fletor e toror); b) Usando a Integral de Mohr, determinar o deslocamento vertical da seo A. Dados: P = 6 Kgf It = ab3 Para a/b = 3 ; = 0,241Y X6 cm 2 cm

Z

D 20 cm C

P

A 15 cm 10 cm B

63

29 A viga da figura abaixo de Alumnio, E = 0,7106 Kgf/cm e G = 0,26106 Kgf/cm. A seo transversal retangular (26) cm. Pede-se: a) Traar os diagramas dos esforos simples (fletor e toror); b) Usando Integral de Mohr, determinar o deslocamento vertical da seo A. Dados: P = 6 Kgf It = ab3 Para a/b = 3 ; = 0,241

Y

DX

6 cm 2 cm

30 cm C B 10 cm y A

Z

20 cm P

64

RESPOSTAS UNIDADE 1

1 0,67 P; 0,33 P; 0,67 Pl/EA 2 a) 9,93 Kgf/cm2 ; 23,84 Kgf/cm2 b) 0,0004 cm 3 13.533 Kgf 4 10.597,82 lb/in2 ; 4.414,26 lb/in2 5 89.230,76 lb 6 382 Kgf/cm2 ; 497 Kgf/cm2 7 2.902,4 Kgf 8 408 lb 9 a) 503,94 Kgf/cm2 b) 0,2 cm 10 2.532,93 Kgf/cm2 ; 1.688,62 Kgf/cm2 ; 3.377,24 Kgf/cm2 11 a) A = 2.302,71 Kgf/cm2 ; C = 1.494,34 Kgf/cm2; L = 1.587,78 Kgf/cm2 b) x = 10,96 cm 12 A = 261,22 Kgf/cm2 ; C = 351 Kgf/cm2 13 AAB = 0,0476 cm2 0,05 cm2 14 a) A = 629,20 Kgf/cm2 ; B = 1.006,72 Kgf/cm2 b) x = 0,318 cm ; A = 9,523 x 10-4 ; B = 1,523 x 10-3 15 A = 30,51 MPa ; L = 40,32 MPaTUBO DE PAREDE FINA

1 a) 2,13 Kgf/cm2 b) 161 Kgf/cm2 ; 105 Kgf/cm2 2 a) 19,7 Kgf/cm2 b) 1.648 Kgf/cm2 ; 1.221 Kgf/cm2 3 1.000 Kgf/cm2 ; 2.200 Kgf/cm2 ; 716,58 Kgf/cm2 4 20,1 cm 5 29,9967 cm

UNIDADE 2

1 23.578 Kgf . 0,00179 rad 2 a) 1.768 Kgf/cm2 b) 663 Kgf/cm2 3 250 Kgf/cm2 4 3.334 Kgf/cm265

5 129 Kgf/cm2 6 0,63 in 7 a) 1.732 Kgf b) 1.524 Kgf/cm2 8 a) 51,18 x 106 Pa b) 57,58 x 106 Pa c) A = 15,73 Mpa d) 1,13 Mpa 910 a) AB = 622,60 Kgf/cm2 b) A = B = 2,03 cm ; C = 2,31 cm 11 -

UNIDADE 3

1 a) 666 Kgf/cm2 ; 466 Kgf/cm2 ; 566 Kgf/cm2 b) 966,19 Kgf/cm2 ; -1.366,19 Kgf/cm2 ; 1.166,19 Kgf/cm2 c) 101,6 MPa; 38,4 MPa; 31,6 MPa 2 b) 375 Kgf/cm2 ; 187,5 Kgf/cm2 c) 93,8 Kgf/cm2 3 a) 800 Kgf/cm2 c) 692,82 Kgf/cm2 4 60 MPa; -30MPa 5 25 MPa; 95 MPa 6 a) 30 Kgf/cm2 b) 7,5 Kgf/cm2 ; 13 Kgf/cm2 7 700 Kgf/cm2 ; 173,21 Kgf/cm2 89 b) 648,53 Kgf/cm2 ; - 1.048,53 Kgf/cm2 c) 848,53 Kgf/cm2 ; f ) - 273,95 Kgf/cm2 ; -845,30 Kgf/cm2 10 b) 130 Kgf/cm2 ; - 210 Kgf/cm2 c) 170Kgf/cm2 ; f ) 80 MPa (horrio) ; - 190 MPa

UNIDADE 4

1 a) 152 ,79 Kgf/cm2 b) 724,33 Kgf/cm2 c) 0,0036 rad; 0,0125 rad 2 3,24 cm66

3 2.000 psi; -500 psi; 1.250 psi 4 PONTO A = 1.273 Kgf/cm2 ; = 1.763 Kgf/cm2 ; 2.511 Kgf/cm2 ; -1.237 Kgf/cm2 ; 1.874 Kgf/cm2 ; PONTO B = 1.273 Kgf/cm2 ; = 1.763 Kgf/cm2 ; 2.511 Kgf/cm2 ; -1.237 Kgf/cm2 ; 1.874 Kgf/cm2 ; 5 a) 0,1507 rad b) 4.594 Kgf/cm2 ; -2.206 Kgf/cm2 ; 3.400 Kgf/cm2 6 530.144 lb x in 78 c) 0,921 x 10-2 rad d) 1.565,5 Kgf/cm2 ; - 2.272,96 Kgf/cm2 ; 1.919,23 Kgf/cm2 9 c) 0,1145 rad d) 2.495,48 Kgf/cm2 ; - 3.259,62 Kgf/cm2 ; 2.877,55 Kgf/cm2

TORO SEO RETANGULAR

1 a) = 0,0052 rad b) PONTO F 25,79 Kgf/cm2 ; -18,1 Kgf/cm2 ; 21,9 Kgf/cm2 PONTO E 0 Kgf/cm2 ; -600 Kgf/cm2 ; 300 Kgf/cm2 PONTO D 637,375 Kgf/cm2 ; -37,675 Kgf/cm2 ; 337,375 Kgf/cm2 2 a) = 0,00036 rad b) PONTO F 25,79 Kgf/cm2 ; -18,1 Kgf/cm2 ; 21,9 Kgf/cm2 PONTO E 31,27 Kgf/cm2 ; -23,49 Kgf/cm2 ; 27,38 Kgf/cm2 PONTO D 7,78 Kgf/cm2 ; 0 Kgf/cm2 ; 3,89 Kgf/cm2

MOLAS HELICOIDAIS

1 60.058,7 psi 2 Mola A 5.592,3 psi Mola B 1.604,28 psi 3 P = 35,196 Kgf 4 P = 205,77 Kgf

UNIDADE 5

1 33,33 cm4 ; 10,83 cm4 2 480,13 cm4 ; 59 cm4 3 69.859,64 cm4 ; 43.506,59 cm4 4 8,04 cm4 ; 37,1 cm467

5 470.133,70 cm4 ; 70.597,55 cm4 6 696,6 cm4 ; 180 cm4

PRODUTO DE INRCIA

2 1 - 1.258 cm4 2 76.875 cm4 3 - 80 cm4 34 16,67 cm 5 a) Ix0 = 4.269.509,33 mm4 ; Iy0 = 4.486.509,33 mm4 b) Px0y0 = 3.352.176 mm4 6 a) Ix0 = 2.822,679 cm4 ; Iy0 = 1.766,80 cm4 b) Px0y0 = 928,28 cm4UNIDADE 6

1 t = c = 4.002,35 Kgf/cm2 2 1.935,48 Kgf/cm2 ; 1.663,86 Kgf/cm2 3 37.491,98 Kgf/cm2 ; 51.579,15 Kgf/cm2 4 5.400 Kgf/cm2 ; 7.714 Kgf/cm2 5 2.519,95 Kgf/cm2 ; 5.375,89 Kgf/cm2 6 2.887,07 Kgf/cm2 ; 2.165,302 Kgf/cm2 7 33.015,06 Kgf/cm2 ; 32.689,69 Kgf/cm2FLEXO COMPOSTA

1 b) 988,4 Kgf/cm2 c) -1311 Kgf/cm2 2 a) 11,76 cm b) -57,14 Kgf/cm2 3 b) 1.624 Kgf/cm2 c) -1.634 Kgf/cm2 4 1,96F ; - 3,91F 5 40 Kgf/cm2 ; -140 Kgf/cm2 6 P = 356,44 Kgf 7 48,1868 cm 8 b) 27,15 Kgf/cm2 (ponto A) c) 29,65 Kgf/cm2 (ponto B)

68

UNIDADE 7

1 PONTO C 187,4 Kgf/cm2 ; - 1.306,16 Kgf/cm2 ; 746,78 Kgf/cm2 PONTO B 0 Kgf/cm2 ; - 134,75 Kgf/cm2 ; 67,375 Kgf/cm2 PONTOA 1.127,325 Kgf/cm2 ; -137 Kgf/cm2 ; 632 Kgf/cm2 2 PONTO A 2.040 Kgf/cm2 ; 0 Kgf/cm2 ; 1.020 Kgf/cm2 PONTO B 1.311 Kgf/cm2 ; - 423 Kgf/cm2 ; 867 Kgf/cm2 3 PONTO A 809,07 Kgf/cm2 ; - 43,975 Kgf/cm2 ; 426,52 Kgf/cm2 PONTO B 837,96Kgf/cm2 ; - 61,49 Kgf/cm2 ; 349,72 Kgf/cm2 4 PONTO A 643,6 Kgf/cm2 ; - 47,6 Kgf/cm2 ; 345,6 Kgf/cm2 PONTO B 600 Kgf/cm2 ; - 62 Kgf/cm2 ; 331 Kgf/cm2 5 PONTO A 666,81 Kgf/cm2 ; - 174,21 Kgf/cm2 ; 520,51 Kgf/cm2 PONTO B 667,19 Kgf/cm2 ; - 226,45 Kgf/cm2 ; 446,82 Kgf/cm2 PONTOC 0 Kgf/cm2 ; - 151,84 Kgf/cm2 ; 75,92 Kgf/cm2 6 PONTO A 2.142,85 Kgf/cm2 ; - 1.031,75 Kgf/cm2 ; 1.587,30 Kgf/cm2 PONTO B 2.165,31 Kgf/cm2 ; - 678,28 Kgf/cm2 ; 1.421,79 Kgf/cm2 7 PONTO C 3.933,51 Kgf/cm2 ; - 1.216,,84 Kgf/cm2 ; 2.575,18 Kgf/cm2 PONTO D 272,23 Kgf/cm2 ; 0 Kgf/cm2 ; 136,115 Kgf/cm2 8 PONTO C 1.076,32 Kgf/cm2 ; - 765,22 Kgf/cm2 ; 920,77 Kgf/cm2 PONTO D 0 Kgf/cm2 ; - 1.244,45 Kgf/cm2 ; 622,225 Kgf/cm2

UNIDADE 8

1 c) Seo A 5.066,67/EI Seo B 7.733,33/EI Seo C 5.733,33/EI 2 c) Seo A 370,27/EI Seo B 845,49/EI Seo C 851,09/EI Seo D 528,87/EI 3 c) Seo A -1.633,33/EI Seo B 4.500/EI Seo C 7.600/EI Seo F 5.765/EI 4 c) Seo A 0,14 cm69

Seo B 0 Seo C 2,25 cm Seo D 4,5 cm Seo E 3,64 cm Seo H -0,14 cm 5 c) 4,6875 x 10-3 rad d) 1,979 10-3 m = 0,1979 cm 6 H A = 0; V A = 375 Kgf; V B = 225 Kgf; M A = 225 Kgf x m 7 H A = 0; V A = 400,8 Kgf; V B = 229,2 Kgf; M A = 504,12 Kgf x m 8 H E = 0; V D = 374,07 Kgf; V E = 225,93 Kgf; M E = 155,58 Kgf x m 9 V D = 355,55 Kgf; M D = 800 Kgf x m ; V e = 844,45 Kgf; M E = 1.200,05 Kgf x m 10 3.712,5/EIZ 11 -16,67/EIZ 12 596,29 Kgf 13 Y A = 3.200/3EIZ ; Y B = 1.675 Kgf 14 1.342,845 Kgf 15 a) 1.644,44 Kgf b) 0,0099 m = 0,99 cm 16 17 a) V C = 530,583 Kgf; V A = 386,893 Kgf; V E = 1.082,524 Kgf b) 0,0453 cm 18 19 Pl1 l22 / 2EI 20 4Pl3 / 3EI 21 a) 3,125 cm b) 0,015 rad 22 (-ql4 / EIz ) - (ql4 / 2GI t ) 23 a) 0,71 cm b) 0,00177 rad 24 (ql4 / 4EIx ) + (ql4 / 2GI t ) 25 -( 1) PR3 / 2EI 26 9 P L3 / EIZ 27 929 Kgf 28 b) 6,25 x 10-3 cm 29 -

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