I
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
RESOLUÇÃO DO EXAME DA ÉPOCA DE RECURSO (02/FEV/2017)
ENCURVADURA
DEFORMAÇÃO (INTEGRAÇÃO DA ELÁSTICA)
ISABEL ALVIM TELES
BF
I
C
G
D
H
A
E
1 m
12 kN
12 kN
2 m
1.5 m
3 m 3 m
1.4 m
4 m
15 kN
Material: BetãoMaterial: Aço S2352 x TNP120
SECÇÃO TRANSVERSALDO CORPO ABCDEFGH
24 cm
12 cm
20 cm
SECÇÃO TRANSVERSALDO PILAR IC
12 cm
plano daestrutura
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
Exame da Época de Recurso – 2/Fev/2017 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 1/5
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ENUNCIADO
Considere a estrutura representada na figura abaixo e o carregamento aí ilustrado.
A secção transversal do pilar IC é
constituída por dois perfis TNP120
soldados conforme representado no
Quadro anexo.
O corpo ABCDEFGH é de betão,
apresentando uma secção transversal
retangular 24 cm x 20 cm (ver Quadro) e
encontra-se impedido de se deslocar na
perpendicular ao plano da estrutura.
Dados:
a) Determine o máximo valor de cálculo do esforço de compressão (NRd) que poderá atuar no pilar
IC, compatível com a verificação da segurança pelo Eurocódigo 3.
b) Desprezando a deformabilidade axial de todas as barras, determine o deslocamento horizontal
e vertical da secção H.
Pilar IC • Material: Aço S235
• Curvas de dimensionamento à encurvadura: curva “c”, nas duas direcções
Corpo
ABCDEFGH
• Material: Betão
• Módulo de Elasticidade E = 20 GPa
Dimensões
Características referidas ao eixo
y - y
Características referidas ao eixo
z - z
Posição do centro
de gravidade
cS cm
Perfil
TNP
Massa
M Kg/m
Área
A cm
2
h
mm
b
mm
t1 mm
Mom. de inércia
Iy
cm4
Raio de giração
iy
cm
Mom. de inércia
Iz
cm4
Raio de giração
iz
cm
120 23,2 29,6 120 120 12,4 366 3,51 178 2,45 3,29
Y
Z
Y
Z
G
b
h
cs
t1
BF
I
C
G
D
H
A
E
1 m
12 kN
12 kN
2 m
1.5 m
3 m 3 m
1.4 m
4 m
15 kN
Material: BetãoMaterial: Aço S2352 x TNP120
SECÇÃO TRANSVERSALDO CORPO ABCDEFGH
24 cm
12 cm
20 cm
SECÇÃO TRANSVERSALDO PILAR IC
12 cm
plano daestrutura
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
Exame da Época de Recurso – 2/Fev/2017 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 2/5
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RESOLUÇÃO
Alínea a
A secção transversal do pilar apresenta dois eixos de simetria, estando o centro de gravidade na interseção
desses eixos.
Área da secção transversal: 2cm 59,2 29,6 2 A =×=
Momentos de inércia ( ) 42
y cm 372,79 1 3,29 x 29,6 366 2 =+×=I
cm 356 178 2 4z =×=I
Raios de giração
cm 4,815 59,2
372,79 1
A i
yy === I
cm 2,452 59,2356
A i z
z === I
• Estudo da encurvadura no plano da estrutura ⇒ encurvadura em relação ao eixo Z (eixo de menor inércia – EC3)
crL = 2 L = 2,8 m = 280 cm
i Z = 2,452 cm
114,19 2,452280
i
L cr ===λ
Lcr = 2 L
12 cm
12 cm
z
y yG
z
z
y yG
z
pl. estrutura
z
y yG
zpl. perpendicularà estrutura
I
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
Exame da Época de Recurso – 2/Fev/2017 ISABEL ALVIM TELES
versão 0 3/5
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• Estudo da encurvadura no plano perpendicular à estrutura ⇒ encurvadura em relação ao eixo Y
(eixo de maior inércia – EC3)
crL = 0,7 L = 0,7 x 1,4 = 0,98 m = 98 cm
i Y = 4,815 cm
20,35 4,815
98 i
L cr ===λ
CONCLUSÃO: A maior esbelteza é obtida quando se faz o estudo no plano da estrutura, ou seja, quando se
faz o estudo da encurvadura em relação ao eixo Z (eixo de menor inércia segundo o EC3 - ver
figuras acima).
A encurvadura em relação ao eixo Z vai ser condicionante porque a esbelteza em relação ao
eixo Z é superior à esbelteza em relação ao eixo Y.
Encurvadura em relação ao eixo Z
1,216 91,93
19,114
93,91
114,19
11
===⇒
=
=
λλλ
λ
λ
Curva c ⇒ α = 0,49
( )[ ] ( )[ ] 1,488 216,1 2,0216,1 49,01 0,5 2,0 1 0,5 2 2 =+−+=+−+= λλαΦ
0,426 1,216 488,1 ,4881
1
1 2222
=−+
=−+
=λΦΦ
χ
kN 593,1 1
2350001059,2 ,4260
f A N
-4y
Rd,b M1
=×××=γ= χ
O máximo valor de cálculo do esforço de compressão que poderá atuar no pilar IC, compatível com a
verificação da segurança pelo Eurocódigo 3, será 593,1 kN.
Lcr = 0,7L
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versão 0 4/5
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Alínea b
Cálculo das reacções
0 M ABCDEFGH Corpo
0 M
0 F
0 F
estrutura a Toda
C
E
Y
X
=
===
∑
∑∑∑
) ( kN 8 V
0 M
) ( kN 7 V
0 H
Reacções
0 6 V 2 15 1,5 12
0 4 15 1,5 12 1,4 H 6 V M
0 15 V V
0 H 12 12
EE
E
↑==
↑==
⇒
=×−×+×=×−×+×−×+
=−+=+−
I
I
I
III
I
I
Características das barras 23
6 m kN 3200 12
0,20 0,24 10 20 E GPa 20 E
m 0,20h
m 0,24 b =×××==
==
I
Barra CD
2113
12
1
12
11
1
1)(Z
C Z C Z 3
3,5 Z 9 y E
C Z 3,5 Z 18 y´ E
Z 7 18 y´´ E
Z 7 16 M 1
++−−=
+−−=−−=
+=
I
I
I
Barra DE
4233
22
2
32
22
2
2)(Z
C Z C Z 34 Z 16 y E
C Z 4 Z 32 y´ E
Z 8 32 y´´ E
Z 8 32 M 2
+++−=
++−=+−=
−=
I
I
I
INTEGRAÇÃO DA ELÁSTICA
E
M 'y'
(Z)
I−=
1
z
0
(Z) C dz M y' E +−= ∫I
21
z
0
(Z)
z
0
C Z C dz M y E ++−= ∫∫I
3 m
1.4 m
15 kN
4 m 3 m
1.5 m
2 m
12 kN
12 kN
1 mA
B C
D
EF
GH
I
VI
HI
MIVE
⇔
18kNm
1.5 m
D
H
7 kN
7 kN
12 kN
D
1 m
2 m
E
I
3 m4 m
4 m2 m
E
A
F
1.4 m
3 m
B
+
15 kN
32 kNm
8 kN
C
G
15 kN
8 kN
12 kN
C
Z2
18 kNm
Z1
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versão 0 5/5
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Condições fronteira
Resolvendo o sistema de equações:
=
=
=
=
3280 C
358 C
0 C
3208 C
4
3
2
1
Rotações na barra DE:
++−=
++−=
358 Z 4 Z 32
32001 C Z 4 Z 32
E1
2223
222
DE
Iθ
Rotação em E: rad 10 1,396 3
58 4 4 4 32 3200
1 22DE 4)(Z
DE E 2
−= ×−=
+×+×−== θθ
________________________________________________________________________________________
tg EE θθ ≈ 0,6
5,2
1,5 sen
8,0 5,2
2 cos
==
==
α
αα
cm 3,49 m 10 3,49 10 1,396 2,5 10 1,396 5,2
tg 5,2
222
EE
=×=××=⇒×=
≈=
−−− δδ
θθδ
) ( cm 2,79 ,80 3,49 cos
) ( cm 2,09 ,60 3,49 sen
vert
hor
↑=×==
←=×==
αδδ
αδδ
0 C C 4 4 34 4 16
C C 2 3,5 2 18
C C C 2 2 3
3,5 2 9
0 C
0 y
y y
0 y
4332
312
4 2132
2
DEE
DED
CDD
DED
CDD
CDC
=++×+×−
=+×−×−
=++−×−
=
⇒
=
=
=
=
θθ
(�)
δ2,5 m δ
hor
vert
δ
E
E
δ
θ
θH
α
1 m
E
2 m
1.5 m
HG
F
