Download - Representacao Ponto Recta Plano
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Representação diédrica de pontos, rectas e planos
Geometria Descritiva2009/2010
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Geometria de Monge
Utilizam-se simultaneamente dois sistemas de projecção paralela ortogonal.
Os planos de projecção são perpendiculares.
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A
A1
Eixo XLinha de terra
n0
A2
j0
X
z
y
y – ordenada ou afastamento
Plano horizontal (n0 )
Plano frontal (j0 )
z – cota ou altura
A1 – Projecção horizontal
A2 – Projecção frontal
Planos de projecção
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Semi-planos de projecção
1º Quadrante2º Quadrante
3º Quadrante 4º Quadrante
n0
j0
Semi plano frontal
superior
Semi plano horizontal anterior
Semi plano frontal in
feriorSemi plano
horizontal
posterior
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Cota e asfastamento
y – ordenada ou afastamento
z – cota ou altura
1º
Quadrante 2º
Quadrante 3º
Quadrante 4º
Quadrante Cota + + - -
Afastamento + - - +
A
A1
A2
z
y
1º Quadrante2º Quadrante
3º Quadrante 4º Quadrante
X
n0
j0
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Representação num plano
Semi plano frontal su
perior
Semi plano horizontal anterior
Semi plano frontal in
feriorSemi plano
horizontal
posteriorX
A
A1
A2
z
y
A2
A1
y (afastamento)
z (cota)
X
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Planos bissectores
X n0
j0
b13b24
b13 - 1º bissectorb24 - 2º bissector
45º
45º
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Representação do ponto
X
X
A
A1
A2 BB1
B2
CC2
C1
D D2
D1
E2 E
E1
A1
A2
B1
B2
C2
C1
E2
E1
D2
D1
Pontos no 1º Quadrante
1º
Quadrante 2º
Quadrante 3º
Quadrante 4º
Quadrante Cota + + - -
Afastamento + - - +
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Representação do ponto
X
X
C C2
C1
D2D
D1
A1
A2
C2
C1
Pontos no 2º Quadrante
B
B1
B2
AA1 A2
B2
B1
D1
D2
1º
Quadrante 2º
Quadrante 3º
Quadrante 4º
Quadrante Cota + + - -
Afastamento + - - +
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Representação do ponto
X
A1
A2
B1
B2
Pontos no 3º Quadrante
X
B2
B1
C C2
C1
A
A1
A2
C2
C1
1º
Quadrante 2º
Quadrante 3º
Quadrante 4º
Quadrante Cota + + - -
Afastamento + - - +
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Representação do ponto
X
XD D1
D2B1
B2
C1C2
D2
D1
Pontos no 4º Quadrante
1º
Quadrante 2º
Quadrante 3º
Quadrante 4º
Quadrante Cota + + - -
Afastamento + - - +
BB2
B1
C2
C
C1
A
A1
A2
A1
A2
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Representação do ponto
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Representação da recta
As projectantes dos vários pontos da recta definem planos projectantes
A intersecção dos planos projectantes com os planos de projecção são as projecções da recta.
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Representação da recta
Recta oblíqua
X
X
A1
A2
B2
B1
AA1
A2
B1
BB2
r
r1
r2
r2
r1
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Representação da recta
Recta vertical
X
XB2
A1B1 r1
AA2
rr2 r2
r1
B
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Representação da recta
Recta de topo
X
X
B1
A2B2 r2 A
A1
r
r1
r2
r1
B
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Representação da recta
Recta horizontal ou recta de nível
X
X
A1
A2 B2
B1
AA2
B1
BB2
r
r1
r2
r2
r1A1
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Representação da recta
Recta frontal ou de frente
X
X
A1
A2
B2
B1
AA2
B1
BB2
r
r1
r2
r2
r1
A1
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Representação da recta
Recta horizontal de frente
X
X
A1
A2 B2
B1
AA2
B1
BB2
r
r1
r2
r2
r1
A1
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Representação da recta
Recta de perfil
X
XB2
A1
AA2
rr2
r2
r1
B
r1
B1
A1
A2
B2
B1
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Representação da recta
Recta passante
X
XB2
A1
AA2
rr2
r2
r1
B
r1B1
A1
A2
B2
B1
![Page 22: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/22.jpg)
Representação da recta
Uma recta do 1º bissector terá projecções simétricas em relação ao eixo X.
X
r2
r1
A1
A2
B2
B1
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Representação da recta
Uma recta do 2º bissector terá projecções coincidentes.
X
r2r1A1 A2
B1 B2
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Traços de uma recta
Traço de uma recta num plano é o ponto de intersecção da recta com o plano.
Traços de uma recta nos planos de projecção:
Traço horizontal da recta (H) Intersecção da recta com o
plano horizontal de projecção
Traço frontal da recta (F) Intersecção da recta com o
plano frontal de projecção
F
H
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Traços de uma recta
Traço horizontal da recta tem cota nula Traço frontal da recta tem afastamento
nulo
H H1F1
H2
F F2
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Traços de uma recta
Para encontrar os traços frontal e horizontal de uma recta procuram-se os pontos da recta que têm respectivamente afastamento e cota nulas.
X
r1
F1
H2
H1
F2
r2
![Page 27: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/27.jpg)
Traços de uma recta
X
r1F1
H2
H1
F2
s2
X
X
X
t2
u2
r2
s1
u1
t1
F2
F2
F2
F1
F1
F1
H2
H2
H2
H1
H1
H1
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Traços de uma recta
Traços de uma recta no plano bissector b13
F F2
F1
F2
F1
![Page 29: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/29.jpg)
Traços de uma recta
Traços de uma recta no plano bissector b24
F F2
F1
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Ponto pertencente a uma recta
Um ponto pertence a uma recta se e só se as projecções do ponto estiverem sobre as projecções homónimas da recta (excepto no caso da recta ser de perfil)
R2
X
r2
L1
r1
C2
A2
C1A1
E2
B2
B1
E1
K2
D2
D1
R1
K1
L2
r1
Apenas A e E pertencem à recta r
O ponto R poderá pertencer ou não à recta definida pelos pontos K e L
![Page 31: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/31.jpg)
Posição relativa de duas rectas
Rectas complanares (rectas situadas sobre o mesmo plano) Concorrentes: têm um e um só ponto
comum Paralelas: não têm nenhum ponto comum
Rectas enviesadas Não existe um plano que
contenha ambas as rectas
![Page 32: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/32.jpg)
Posição relativa de duas rectas
Representação de rectas concorrentes: O ponto comum às duas rectas tem as suas
projecções situadas sobre as projecções homónimas das rectas e sobre a mesma linha de referência.
Rectas pertencentes a um plano de topo
Rectas pertencentes a um plano frontal
Rectas pertencentes a um plano de perfil
r1 s1 r2 s2
![Page 33: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/33.jpg)
Posição relativa de duas rectas
Representação de rectas paralelas: Duas rectas paralelas, não de perfil, têm as
suas projecções homónimas paralelas
Rectas oblíquas pertencentes a um
plano de topoRectas de topo Rectas pertencentes
a um plano de perfil
![Page 34: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/34.jpg)
Representação do plano
Um plano é definido por: Três pontos não colineares
Uma recta e um ponto exterior à recta
![Page 35: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/35.jpg)
Representação do plano
Um plano é definido por: Duas rectas concorrentes
Duas rectas paralelas rectas concorrentes num
ponto impróprio (no infinito)
![Page 36: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/36.jpg)
Representação do plano
Qualquer uma das formas apresentadas serve para definir e representar um plano em Geometria de Monge
No entanto, não dão uma ideia imediata da posição do plano
Assim, recorre-se habitualmente à sua representação pelos seus traços (duas rectas concorrentes especiais)
![Page 37: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/37.jpg)
Representação do plano
Traço de um plano noutro plano é a recta de intersecção dos dois planos Traço horizontal do plano
Recta de intersecção do plano com o plano horizontal de projecção
Traço frontal do plano Recta de intersecção do plano com o
plano frontal de projecção
![Page 38: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/38.jpg)
Representação do plano
![Page 39: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/39.jpg)
Representação do plano
Plano oblíquo
![Page 40: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/40.jpg)
Representação do plano
Plano vertical ou projectante horizontal
![Page 41: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/41.jpg)
Representação do plano
Plano de topo ou projectante frontal
![Page 42: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/42.jpg)
Representação do plano
Plano horizontal ou de nível
(fn1)
![Page 43: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/43.jpg)
Representação do plano
Plano frontal ou de frente
![Page 44: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/44.jpg)
Representação do plano
Plano de perfil
![Page 45: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/45.jpg)
Representação do plano
Plano de rampa
![Page 46: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/46.jpg)
Representação do plano
Plano passante
![Page 47: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/47.jpg)
Determinar os traços de um plano
Definido por duas rectas Se uma recta pertence a um plano os seus
traços encontram-se sobre os traços do mesmo nome do plano.
![Page 48: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/48.jpg)
Determinar os traços de um plano
X
r2
f
hr1
F2r
F1r
F2s
F1s
s2
s1
A1
A2
H1s
H2s
H1r
H2r
Determinam-se os traços da recta
Faz-se passar: pelas projecções
frontais dos traços frontais das rectas o traço frontal do plano
pelas projecções horizontais dos traços horizontais das rectas o traço horizontal do plano
![Page 49: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/49.jpg)
Determinar os traços de um plano
Definido por três pontos não colineares Passa-se pelos três pontos duas rectas Procede-se de acordo com o
procedimento indicado para determinar o traço de um plano definido por duas rectas
![Page 50: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/50.jpg)
Rectas pertencentes a planos
Determinar se uma recta pertence a um plano Uma recta pertence a um plano se contiver
dois pontos desse plano Toda a recta que é concorrente com duas
rectas de um dado plano em pontos diferentes é também recta do plano
Toda a recta que é concorrente com uma recta do plano e paralela a outra recta desse plano é também recta do plano
![Page 51: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/51.jpg)
Rectas pertencentes a planos
Determinar uma recta pertencente a um plano definido por duas rectas concorrentes
Determina-se uma recta concorrente com ambas as rectas que definem o plano
Ou determina-se uma recta concorrente a uma das rectas e paralela à outra
![Page 52: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/52.jpg)
Rectas pertencentes a planos
Determinar uma recta pertencente a um plano definido por duas rectas paralelas
Determina-se uma recta concorrente com ambas as rectas que definem o plano
2
2
A2
2
1
1
1A1
B2
B1
![Page 53: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/53.jpg)
Rectas pertencentes a planos
Determinar uma recta pertencente a um plano definido por uma recta e um ponto Converte-se num dos problemas
anteriores Passando pelo ponto uma recta
concorrente ou paralela à recta dada.
![Page 54: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/54.jpg)
Rectas pertencentes a planos
Determinar se uma recta pertence a um plano Uma recta pertence a um plano (não
paralelo nem a 0 nem a 0) se tiver os seus traços situados sobre os traços homónimos do plano
Uma recta frontal pertence a um plano frontal se o seu único traço pertencer ao único traço (horizontal) do plano
Uma recta horizontal pertence a um plano horizontal se o seu único traço pertencer ao único traço (frontal) do plano
![Page 55: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/55.jpg)
Rectas pertencentes a planos
Determinar uma recta pertencente a um plano definido pelos seus traços
Determina-se a projecção frontal do traço frontal da recta sobre o traço frontal do plano
Determina-se a sua projecção horizontal
Analogamente para o traço horizontal
2
1
1
1
f
2
2
F
F
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Rectas pertencentes a planos
Determinação das rectas horizontais de um plano Uma recta horizontal é uma recta cujos pontos
têm todos a mesma cota Uma recta horizontal de um plano com
determinada cota é o conjunto de todos os pontos do plano com a essa cota
X
f
h
Fn2
n1
Fn1
n2
Todas as rectas horizontais de um plano são paralelas entre si, logo são paralelas ao traço horizontal do plano
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Rectas pertencentes a planos
Determinação das rectas horizontais (com uma cota dada) de um plano dado por duas rectas concorrentes Marca-se a projecção frontal da recta
em função da cota dada (paralela ao eixo X)
Os pontos de intersecção com as rectas que definem o plano determinam a posição da projecção frontal de dois pontos
A projecção horizontal desses pontos determina a projecção horizontal da recta
X
n2
r2
s2
r1s1
n1
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Rectas pertencentes a planos
Determinação das rectas frontais de um plano Uma recta frontal é uma recta cujos pontos
têm todos o mesmo afastamento Uma recta frontal de um plano com
determinado afastamento é o conjunto de todos os pontos do plano com a esse afastamento
Todas as rectas frontais de um plano são paralelas entre si, logo são paralelas ao traço frontal do plano X
f
h
Hf1
f2
Hf2
f1
![Page 59: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/59.jpg)
Rectas pertencentes a planos
Determinação das rectas frontais (com um afastamento dado) de um plano dado por duas rectas concorrentes Marca-se a projecção horizontal da
recta em função do afastamento dado (paralela ao eixo X)
Os pontos de intersecção com as rectas que definem o plano determinam a posição da projecção horizontal de dois pontos
A projecção frontal desses pontos determina a projecção frontal da recta
X
f1
r2
s2
r1s1
f2
![Page 60: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/60.jpg)
Rectas pertencentes a planos
Determinação das rectas de maior declive de um plano Rectas de maior declive de um plano são as
rectas que fazem o maior ângulo com o plano horizontal de projecção
![Page 61: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/61.jpg)
Rectas pertencentes a planos
Determinação das rectas de maior declive de um plano
As suas projecções horizontais são perpendiculares ao traço horizontal do plano
Logo são perpendiculares às projecções horizontais das rectas horizontais
![Page 62: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/62.jpg)
Rectas pertencentes a planos
Determinação das rectas de maior declive de um plano definido por duas rectas concorrentes
![Page 63: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/63.jpg)
Rectas pertencentes a planos
Determinação das rectas de maior inclinação de um plano Rectas de maior inclinação de um plano são as
rectas que fazem o maior ângulo com o plano frontal de projecção
![Page 64: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/64.jpg)
Rectas pertencentes a planos
Determinação das rectas de maior inclinação de um plano
As suas projecções frontais são perpendiculares ao traço frontal do plano
Logo são perpendiculares às projecções frontais das rectas frontais
![Page 65: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/65.jpg)
Rectas pertencentes a planos
Determinação das rectas de maior inclinação de um plano definido por duas rectas paralelas (rectas concorrentes num ponto impróprio)
![Page 66: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/66.jpg)
Pontos pertencentes a planos
Determinar um ponto (de que se conhece uma das projecções) pertencente a um plano dado pelos seus traços Um ponto pertence a um plano
se pertencer a uma recta desse plano
Determine uma recta do plano que contém o ponto
Determine a posição da outra projecção do ponto
X
A2
r1A1Hr1
r2
Hr2
Fr1
Fr2
h
f
![Page 67: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/67.jpg)
Pontos pertencentes a planos
Determinar um ponto pertencente a um plano definido pelos seus traços Escolha a posição de uma das
projecções do ponto Identifique a posição da outra projecção
do ponto utilizando o procedimento indicado no acetato anterior
![Page 68: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/68.jpg)
Pontos pertencentes a planos
Determinar um ponto pertencente a um plano definido por rectas concorrentes
Determina-se uma recta pertencente ao plano
Qualquer ponto dessa recta pertence ao plano (por exemplo o ponto P)
![Page 69: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/69.jpg)
Pontos pertencentes a planos
Determinar se um dado ponto pertence a um plano Parte-se de uma das projecções do ponto
Aplicam-se os métodos anteriores para verificar se a sua outra projecção corresponde ou não à projecção que o ponto deveria ter para pertencer ao plano
![Page 70: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/70.jpg)
![Page 71: Representacao Ponto Recta Plano](https://reader036.vdocuments.com.br/reader036/viewer/2022081502/55876481d8b42a1d558b459b/html5/thumbnails/71.jpg)
Disciplina: Geometria Descritiva A Aluno: Daniel Alexandre Saraiva Monteiro nº4 11ºGProfessore: João Aragão