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Relao de StewartSeja ABC um tringulo de lados que divide em dois segmentos e seja o comprimento de uma ceviana .
A relao de Stewart dada por:
Demonstrao: Aplicando a lei dos cossenos nos tringulos e , vem:
Multiplicando a primeira equao por , vem:
, a segunda por
e sabendo que
Somando as duas equaes acima, temos:
Como
, conclumos que:
Organizao: Lucas Lemos
EXERCCIOS RESOLVIDOS 1) A figura mostra quatro circunferncias tangentes entre si de centros C, D, E e O. Calcule o raio da circunferncia de centro E, sabendo-se que o raio da circunferncia de centro D 1 cm e o raio da circunferncia de centro C igual a 2 cm.
Resoluo Sendo o raio da circunferncia de centro O igual a 3 e centro E, no tringulo DEC, temos: o raio da circunferncia de
Utilizando Stewart, vem
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2) Mostre que a mediana relativa ao ponto
dada por
Resoluo Sendo , a relao de Stewart fornece
Analogamente, o resultado tambm serve para
3) Determinar a bissetriz do ngulo maior de um tringulo cujo permetro
e cujos lados so proporcionais a 4, 6 e 9. Resoluo O permetro do tringulo 38 . Da soma
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Portanto, os lados do tringulo medem 8, 12 e 18.
Do teorema da bissetriz interna, temos:
Usando a relao de Stewart, vem:
Sendo B a medida da bissetriz.
4) Calcule a medida da mediana relativa ao lado , sabendo que
de um tringulo
Resoluo Desenvolvendo a expresso dada no enunciado, temos:
Substituindo no resultando encontrado na questo 2, vem:
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5) Considere uma elipse de focos e , e um ponto qualquer dessa curva. Traa-se por duas secantes e , e que interceptam a elipse em e , respectivamente. Demonstre que a soma constante .
Sugesto: Calcule inicialmente a soma
Resoluo
Aplicando a relao de Stewart no tringulo
, vem:
Tendo em conta que
, temos:
Desenvolvendo a equao acima, chegamos em:
Analogamente,
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Multiplicando
por
e
por
, encontraremos:
Somando as duas equaes, vem:
Sendo
constantes. Portanto,
EXERCCIOS PROPOSTOS 1) Seja a bissetriz interna relativa ao lado de um tringulo. Usando a relao de Stewart, mostre que
2) Seja
a bissetriz externa relativa ao lado
de um tringulo
. Usando a relao de Stewart, mostre que
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