Aula 11
Wooldridge - Capítulo 5
Heij et al., 2004 – Seções 1.3.3 e 4.1
Análise de Regressão Linear Múltipla VIII
Introdução
Nós já vimos que é possível derivar as distribuições exatas dos
estimadores e das estatísticas de testes, sob certas
suposições.
Porém, tais suposições são bastante fortes; assim, na prática,
é difícil de encontrar um caso onde todas elas sejam válidas.
Por exemplo, é comum a suposição de normalidade
multivariada do vetor de erros ser violada.
Dessa forma, se uma ou várias das suposições (de 1 a 6)
forem violadas, então não teremos mais a validade de algumas
(ou todas) propriedades dos estimadores e das estatísticas de
testes.
Logo, seria bastante útil se conseguíssemos entender as
propriedades dos estimadores e a convergência das
estatísticas de testes, no caso em que pudéssemos obter um
número ilimitado de observações.
Introdução
4
Isto é o que, essencialmente, denotamos como teoria
assintótica.
Sabemos que, na prática, trabalhamos com amostras finitas.
Porém, será que não seria possível admitir como verdadeiras
as propriedades assintóticas no caso de amostras
suficientemente grandes?
Introdução
5
Consistência
do Vetor de Estimadores de MQO
Wooldridge - Capítulo 5
Heij et al., 2004 – Seção 4.1
Consistência do vetor de estimadores de MQO
~~
1
~~~
´´plimˆplim yXXX
~~
1
~~~
´1
´1
plim Xn
XXn
~~
1
~~~
´´plim XXX
~~
1
~~~
´1
plim ´1
plim Xn
XXn
(façamos um breve parênteses... )
~~
1
~~~
´´plimplim XXX
~~~~
1
~~´´plim XXXX
~~
1
~~~
´1
´plim Xn
XXn
~~
1
~~~
´´plim XXX
~~
1
~~~
´1
plim´1
plim Xn
XXn
-
7
MLR.3* - Estabilidade dos Regressores. Na amostra (e,
portanto, na população) nenhum regressor é
constante, não há relação linear PERFEITA entre
os regressores e a probabilidade limite de n-1X’X
existe e é não-singular, isto é,
Suposição Adicional
.1
~~~QXX'plim
n
(Para mais detalhes, vide Leitura Complementar I)
8
~~
1
~~
´1
plim Xn
Q
Ainda, é fácil notar que o vetor de estimadores será consistente se, e
somente se,
. 0´1
plim~~~
X
n
(Condição de ortogonalidade)
(cont.)
Dos slides anteriores, vem que
~~
1
~~~~
´1
plim´1
plimˆplim Xn
XXn
-
Consistência do vetor de estimadores de MQO
9
Normalidade Assintótica
Wooldridge - Capítulo 5
Heij et al., 2004 – Seção 4.1
10
Para determinar a distribuição assintótica do vetor de estimadores do
vetor de parâmetros , é interessante utilizarmos a seguinte expressão:
~~
1
~~~~~~~
1
~~~~
1
~~~
´´ ´´´´ˆ XXXXXXXyXXX
Normalidade Assintótica do vetor de estimadores de MQO
~~
1
~~~~
´´ ˆ XXX
Ou seja,
11
Por outro lado, o resultado anterior pode ser escrito como
Ou, ainda
~~
1
~~~~
´1
´1
ˆ Xn
XXn
~~
1
~~~~
´1
´1
ˆ Xn
XXn
n
Normalidade Assintótica do vetor de estimadores de MQO
12
Sob a suposição MLR.3*, o fator converge, em probabilidade,
para a matriz Q-1.
1
~~´
1
XX
n
Normalidade Assintótica do vetor de estimadores de MQO
Por outro lado, sob as suposições MLR.1 a MLR.5, além de algumas
condições de regularidade, prova-se que
~~k
d
~~Q ; σNX´
n
2
1 01
(Resultado baseado numa generalização do TLC (p. 50-51, HEIJ et al.)
13
Dessa forma, assumindo que as suposições anteriores são válidas,
temos que
1
~
2
1~~
0 ˆ Q ; σNn~
k
d
Normalidade Assintótica do vetor de estimadores de MQO
LEITURA COMPLEMENTAR I
(MLR.3*)
15
Considere o seguinte modelo de regressão linear múltipla:
yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + ... + k xki + i, i = 1, 2, ..., n.
que pode ser escrito na forma matricial
~~~~
εβXy
em que
knnn
k
k
k
xxx
xxx
xxx
xxx
X
21
32313
22212
12111
~
1
1
1
1
n
i
ki
n
i
iki
n
i
iki
n
i
ki
n
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kii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
kii
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
ki
n
i
i
n
i
i
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxn
XX
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
1
12
1
2
1
1
1
21
1
2
1
1
1
11
2
1
1
~~´
Assim, a matriz X’X é escrita como
n
x
n
xx
n
xx
x
n
xx
n
x
n
xx
x
n
xx
n
xx
n
x
x
xxx
XXn
n
i
ki
n
i
iki
n
i
iki
k
n
i
kii
n
i
i
n
i
ii
n
i
kii
n
i
ii
n
i
i
k
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
12
2
1
1
1
21
1
2
1
1
21
~~
1
´1
Ainda,
Suposição MLR.3*
Usando o plim(), vem que
n
x
n
xx
n
xx
x
n
xx
n
x
n
xx
x
n
xx
n
xx
n
x
x
xxx
XXn
n
i
ki
n
i
iki
n
i
iki
k
n
i
kii
n
i
i
n
i
ii
n
i
kii
n
i
ii
n
i
i
k
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
12
2
1
1
1
21
1
2
1
1
21
~~
1
plim´1
plim
n
x
pn
xx
pn
xx
pxp
n
xx
pn
x
pn
xx
pxp
n
xx
pn
xx
pn
x
pxp
xpxpxp
XXn
p
n
i
ki
n
i
iki
n
i
iki
k
n
i
kii
n
i
i
n
i
ii
n
i
kii
n
i
ii
n
i
i
k
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
12
2
1
1
1
21
1
2
1
1
21
~~
limlimlimlim
limlimlimlim
limlimlimlim
limlimlim1
´1
lim
Logo,
Suposição MLR.3*
~
22
22
22
~~
2211
222212122
112121111
211
´1
lim QXXn
p
kkkkkkk
kk
kk
k
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxx
Finalmente,
em que
kjXE jx j ..., ,2 ,1 ,
kjXVar jx j ..., ,2 ,1 ,2
lcklkXXCov lcxx lc ; ..., ,2 ,1 ; ..., ,2 ,1c ,,
Suposição MLR.3*
LEITURA COMPLEMENTAR II
(Revisão: Estatística II)
Heij et al., 2004 – Seções 1.3.3 e 4.1
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Consistência
1 ˆ lim 0
nn
P
Seja um parâmetro de interesse e considere um estimador de .
Nós estamos interessados nas propriedades deste estimador quando,
teoricamente, n , sob a suposição de que os dados foram gerados
por um processo com parâmetro 0. O estimador será dito consistente
se ele convergir em probabilidade para 0. Ou seja, se para todo > 0,
a expressão
n̂
for válida, então, teremos um estimador consistente para .
23
0ˆ limp n
Neste caso, 0 é chamado de limite de probabilidade de e
pode ser representado pela seguinte expressão:
n̂
Consistência
24
Propriedades do plim
Suponha que yn e zn sejam duas seqüências de variáveis aleatórias
com plim(yn) = c1 e plim(zn) = c2, então, podemos demonstrar que:
(1) plim(yn + zn) = plim(yn) + plim(zn) = c1 + c2;
(2) plim(ynzn) = plim(yn)plim(zn) = c1c2;
(3) plim(yn / zn) = plim(yn) / plim(zn) = c1 / c2 (c2 0).
Consistência
25
Suponha que g() seja uma função contínua e que não dependa de n,
assim,
(4) plim(g(yn)) = g(plim (yn)) = g(c1).
Este resultado implica que, se um estimador for consistente, então,
qualquer função baseada nele também será consistente, mantidas as
condições do enunciado.
Consistência
Propriedades do plim
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Observações
1) Resultados similares podem ser obtidos para vetores e
matrizes constituídos por variáveis aleatórias.
2) Para mais detalhes, vide, por exemplo, seção 1.3.3 de Heij et
al. (2004).
Consistência
Propriedades do plim