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Razões e proporçõesRazões e proporções1) O conceito de razão1) O conceito de razão
A razão entre dois números A razão entre dois números aa e e bb é o quociente é o quociente entre eles, o seja, o resultado da divisão entre entre eles, o seja, o resultado da divisão entre eles, onde o segundo é diferente de zero (b ≠ eles, onde o segundo é diferente de zero (b ≠ 0).0).
Esse quociente (razão) pode ser dado entre valores de uma mesma grandeza ou de grandezas diferentes.
aou a b
b
O número a é chamado de antecedente e o número b é chamado de conseqüente da razão.
Razões e proporçõesRazões e proporções
2) Razão entre grandezas de mesma 2) Razão entre grandezas de mesma espécieespécie
Observação: Grandeza é tudo o que pode ser medido ou quantificado.
A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.
Razões e proporçõesRazões e proporções
2) Razão entre grandezas de mesma espécie2) Razão entre grandezas de mesma espécie
Exemplo:
1)Numa sala de 30 alunos, 28 são destros e 2 são canhotos. A razão entre o número de canhotos e o total de alunos é:
alunos canhotos2total de alunos30
Podemos perceber que nesta razão as duas grandezas utilizadas são iguais, ou seja, número de alunos.
Razões e proporçõesRazões e proporções
3) Razão entre grandezas de espécies 3) Razão entre grandezas de espécies diferentesdiferentes
Lembre-se: Grandeza é tudo o que pode ser medido ou quantificado.
A razão entre duas grandezas de espécies diferentes não pode ser expressa por apenas um número, mas sim por um número acompanhado da unidade de medida correspondente.
Razões e proporçõesRazões e proporções
3) Razão entre grandezas de espécies diferentes3) Razão entre grandezas de espécies diferentes
Alguns tipos de razões entre grandezas de espécies diferentes:Velocidade Média
distancia percorridaVm
tempo gasto
Densidade demográficaon de habitantes
densidade demograficaarea ocupada
Consumo Médio
distancia percorridaConsumo
combustivel consumido
Razões e proporçõesRazões e proporções
Exemplo:
( )
( )
distancia km240tempo h2
Podemos perceber que nesta razão as duas grandezas utilizadas são diferentes, e neste caso específico, recebe o nome de velocidade.
/240
120km h2
3) Razão entre grandezas de espécies diferentes3) Razão entre grandezas de espécies diferentes
2) Durante uma viagem, uma pessoa percorreu 240 km em duas horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto é dado por:
Razões e proporçõesRazões e proporções
Exemplo:
Podemos perceber que nesta razão as duas grandezas utilizadas são diferentes, e neste caso específico, recebe o nome de consumo.
, /500
C C 12 5km40
Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o número de quilômetros percorridos pelo carro com um litro de combustível. Logo:
3) Um carro percorreu 500 km e gastou 40 l de combustível. Qual o consumo médio desse carro durante a viagem?
3) Razão entre grandezas de espécies diferentes3) Razão entre grandezas de espécies diferentes
Razões e proporçõesRazões e proporções
4) O conceito de proporção4) O conceito de proporção
Dizemos que duas razões são iguais quando expressam Dizemos que duas razões são iguais quando expressam quocientes iguais. Assim, podemos dizer que:quocientes iguais. Assim, podemos dizer que:
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Razões e proporçõesRazões e proporções
4) O conceito de proporção4) O conceito de proporção
De modo geral, podemos dizer que os números a, b, c, d, não-nulos, formam nessa ordem uma proporção quando
a c
b d
Os números a, b, c, d são os termos da proporção.
Os termos a e d são chamados de extremos da proporção.
Os termos b e c são chamados de meios da proporção.
Razões e proporçõesRazões e proporções
4) O conceito de proporção4) O conceito de proporção
Exemplo:
4 2
6 310 2
15 3
As razões são iguais, logo
Portanto, os números 4, 6, 10 e 15 formam, nessa ordem, uma proporção.
4 10
6 15
4) Verifique se os números 4, 6, 10 e 15, nessa ordem, são proporcionais
Razões e proporçõesRazões e proporções
5) Propriedade fundamental das proporções5) Propriedade fundamental das proporções
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Assim, temos de uma maneira geral que:
a ca d b c
b d
Razões e proporçõesRazões e proporções5) Propriedade fundamental das proporções5) Propriedade fundamental das proporções
Exemplo
Logo, podemos concluir que as razões na ordem dada, formam uma proporção.
5) Aplicando a propriedade fundamental das proporções, verifique se o
par de razões formam uma proporção.9 12
6 8
9 12
6 8 9 8 6 12 72 72
Razões e proporçõesRazões e proporções5) Propriedade fundamental das proporções5) Propriedade fundamental das proporções
Exemplo:
6) Calcule o valor de x na proporção a seguir.
6 9
x 12
72
x9
9 x 6 12
x 8
Razões e proporçõesRazões e proporções5) Propriedade fundamental das proporções5) Propriedade fundamental das proporções
Exemplo:
7) Calcule o valor de x na proporção a seguir.
4x 3 15
2x 3 9
9 4x 3 15 2x 3
36x 27 30x 45
36x 30x 45 27
72
6x 72 x6
x 12
Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporções
1ª) Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos
está para o primeiro termo assim como a soma dos dois
últimos termos está para o terceiro.
a c
seb d
a b c d
a c
Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporções
2ª) Em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos
está para o segundo termo assim como a soma dos dois
últimos termos está para o quarto.
a c
seb d
a b c d
b d
Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporções
3ª) Em toda proporção, a diferença dos dois primeiros
termos está para o primeiro termo assim como a diferença
dos dois últimos termos está para o terceiro.
a c
seb d
a b c d
a c
Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporções
4ª) Em toda proporção, a diferença dos dois primeiros
termos está para o segundo termo assim como a diferença
dos dois últimos termos está para o quarto.
a c
seb d
a b c d
b d
Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporções
5ª) Em toda proporção, a soma dos antecedentes está para
a soma dos conseqüentes assim como qualquer
antecedente está para o seu conseqüente.
a c
seb d
a c a
b d b
a c c
eb d d
Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedade das proporções6) Propriedade das proporções
6ª) Em toda proporção, a diferença dos antecedentes está
para a diferença dos conseqüentes assim como qualquer
antecedente está para o seu conseqüente.
a c
seb d
a c c
eb d d
a c a
b d b
Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporções
Exemplo:
8) A razão entre as idades atuais de dois irmãos é 5/3. Calcule a idade
de cada um deles, sabendo que a soma de suas idades e 32 anos.
Resolução: 1º modo
Vamos indicar as idades por x e y e assim obtemos o sistema:
x 5
y 3
x y 32
Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporções
Resolução:
Podemos notar que a primeira equação é uma proporção, na qual aplicaremos
a propriedade fundamental das proporções e obteremos uma outra equação.
x 5
y 3
x y 32
3x 5y 0
x y 32
E assim, encontramos o sistema equivalente a seguir.
3x 5y 3x 5y 0
Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporções
3x 5y 0
x y 32 5
Resolvendo o sistema temos:
Somando as duas equações encontramos a equação
8x 160
Substituindo x por 20 em qualquer equação nos dá que y = 12.
Portanto as idades dos irmão são 20 e 12. anos.
160
x8
x 20
Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporções
Exemplo:
8) A razão entre as idades atuais de dois irmãos é 5/3. Calcule a idade
de cada um deles, sabendo que a soma de suas idades e 32 anos.
Resolução: 2º modo
Vamos indicar as idades por x e y e assim obtemos o sistema:
x 5
y 3
x y 32
Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporções
Resolução:
Podemos notar que a primeira equação é uma proporção, na qual aplicaremos
a 1ª propriedade das proporções que vimos anteriormente.
x 5
y 3
x y 32
Sabemos que x + y = 32 logo, fazendo a substituição na equação I, temos:
x y 5 3
x 5x y 32
x y 5 3
x 5
32 8
x 5
Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporções
Agora, aplicando a propriedade fundamental das proporções na equação I,
temos:
Assim, ao voltarmos na equação II e trocarmos x por 20, temos:
32 8
x 5
x y 32
Portanto as idades dos irmão são 20 e 12. anos.
8x 160 x 20
20 y 32 y 32 20 y 12
Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporções
Exemplo:
9) Resolva o sistema
Resolução:
Vamos utilizar agora a 5ª propriedade anteriormente vista, ou seja:
x y
3 5x y 40
x y
3 5x y 40
x y x
3 5 3
Razões e proporçõesRazões e proporções6) Propriedades das proporções6) Propriedades das proporçõesResolução:
De acordo com a equação II, sabemos que x + y = 40. Assim vamos substituir x
+ y por 40 na equação I e em seguida aplicarmos a propriedade fundamental
das proporções.
x y x
3 5 3
Com isso, ao voltarmos na equação II e trocarmos x por 15, temos:
x y 40
Portanto, a solução deste sistema é o par ordenado (15, 25).
40 x
8 3 x 15
15 y 40 y 40 15 y 25