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Page 1: Razão aurea

Sérgio Nuno Gonçalves Nº18

Curso de Educação e Formação de Adultos (EFA)

Tecnologias de Informação e Comunicação Multimédia (UFCD)

INSTITUITO DO EMPREGO E FORMAÇÃO PROFISSIONAL, IP

A RAZÃO

ÁUREA

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INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como tema a “Proporção Áurea” e assenta sobretudo no

desenvolvimento de três questões: a Origem e contexto histórico do princípio da

Proporção Áurea, a sua constatação e demonstração e ainda a sua aplicação nos

tempos modernos, nomeadamente, design, arquitetura, etc.

O trabalho foi desenvolvido no âmbito do curso de Tecnologias de Informação e

Comunicação do Instituto de Emprego e Formação Profissional, no módulo de Design

Comunicação e Multimédia, ministrado pelo formador Sr. Arquiteto Pereira.

Utilizei diversas figuras ao longo do trabalho, de forma a ser mais fácil explicar

o que pretendia transmitir.

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ORIGEM E CONTEXTO HISTÓRICO DO PRINCIPIO DA PROPORÇÃO ÁUREA

A Proporção Áurea, pode ser designada de diversas formas, nomeadamente:

Proporção áurea, número de ouro, número áureo, secção áurea, proporção de ouro, divina

secção, divina proporção, divisão de extrema razão e ainda razão de Phidias.

O Número de Ouro é um número irracional misterioso e enigmático que surge numa

infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, é considerado por muitos como

uma oferta de Deus ao mundo.

O número de Ouro é designado pela letra grega (PHI).

Convencionou-se que o valor do número áureo seria de: 1,618.

A designação adotada para este número, f (Phi maiúsculo), é a inicial do nome de

Fídias que foi o escultor e arquiteto encarregado da construção do Pártenon, em Atenas.

A história deste enigmático número perde-se na antiguidade.

Pirâmides Egípcias

No Egipto as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: A razão

entre a altura de um face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de

ouro. O Papiro de Rhind (Egípcio) refere-se a uma «razão sagrada» que se crê ser o número de

ouro. Esta razão ou secção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade. Também muitos

hieroglíficos têm proporções baseadas na razão áurea.

Figura 1 – Pirâmides de Gizé Figura 2 – Hieroglíficos Egípcios

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Partenon Grego

Construído muitas centenas de anos depois ( entre 447 e 433 a. C.) , também o Partenon

Grego um templo representativo do século de Péricles contém a razão de Ouro no retângulo

que contêm a fachada (Largura / Altura), o que revela a preocupação de realizar uma obra bela

e harmoniosa. O escultor e arquitecto encarregado da construção deste templo foi Fídias.

Figura 3 - Partenon Grego

Figura 4 - Partenon Grego

Euclides

Também Euclides, no seu livro “Os Elementos”, utilizou o número de ouro para construir o

primeiro pentágono regular e os dois sólidos regulares mais complexos nomeadamente o

dodecaedro (12 faces pentagonais) e o icosaedro (20 faces triangulares).

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Figura 5 - pentágono regular Figura 6 - Dodecaedro

Pitágoras

Também os Pitagóricos usaram a seção de ouro na construção da estrela pentagonal ou

pentagrama. Um pentagrama regular é obtido traçando-se diagonais de um pentágono

regular. O pentágono menor, formado pelas intersecções das diagonais, também está em

proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as

medidas das áreas dos dois pentágonos é igual à quarta potência da razão áurea. Quando

Pitágoras descobriu que as proporções do pentagrama eram a proporção áurea, tornou este

símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Este era um dos motivos

que levava Pitágoras a dizer que " tudo é número ", ou seja, que a natureza surge de padrões

matemáticos. No entanto, não conseguiram exprimir como quociente entre dois números

inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado (pentáculo) e o lado do

pentágono regular inscritos numa circunferência. Quando chegaram a esta conclusão ficaram

muito espantados, pois tudo isto era muito contrário a toda a lógica que conheciam e

defendiam que lhe chamaram irracional. Deste modo, o número de ouro foi o primeiro

número irracional que que se teve consiciência que o era.

Figura 7 – Estrela Pentagonal

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Fibonacci

A contribuição de Fibonacci ou Leonardo de Pisa para o número de ouro está relacionada

com a solução do problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, que deu origem à

sequência de números de Fibonacci. Este matemático que estudava o crescimento das

populações de coelhos criou aquela que é provalmente a mais famosa sequência matemática

(a sequência de Finonacci), tendo-a publicado no seu livro Liber Abaci. A partir de dois coelhos,

Fibonacci foi contando como eles se aumentavam a partir da reprodução de várias gerações e

chegou a uma sequência onde um número é igual à soma dos dois números anteriores, em

que os dois primeiros números são 1 (os 2 coelhos iniciais: o macho e a fêmea):

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, ...

As razões entre um número desta sequência e o que o antecede vão-se aproximando

do número de ouro: 1,618.

1/1=1; 2/1=1; 3/2=1,5; 8/5=1,6; 13/8= 1,625; 21/13=1,6184

Estas razões variam, um pouco acima às vezes, um pouco abaixo, mas a média é 1,618.

exactamente a proporção das pirâmides do Egipto e do rectângulo de ouro. Assim, a

proporção de crescimento média da série é 1,618... Esta descoberta de Fibonacci abriu uma

nova ideia de tal proporção que os ciêntistas começaram a estudar a natureza em termos

matemáticos e começaram a descobrir coisas fantásticas.

Gregos – Retângulo Áureo

Posteriormente também os gregos consideraram que o rectângulo apresentava esta

relação, nomeadamente: se desenharmos um retângulo cuja razão entre os comprimentos

dos lados maior e menor é igual ao número de ouro obtemos um retângulo de ouro. O

retângulo de ouro é um objeto matemático que marca forte presença no domínio das artes,

nomeadamente na arquitetura, na pintura, e até na publicidade.

Figura 8 – Retângulo de Ouro

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Construção de um retângulo de Ouro:

Material necessário: folha de papel, lápis, compasso e régua ou esquadro.

Procedimento:

1. Desenhar um quadrado qualquer na folha (o lado do quadrado será a largura do retângulo de ouro);

2. Marcar os pontos médios dos lados de “cima” e de “baixo” do quadrado; 3. Traçar a reta que passa pelos pontos médios (verificar que o quadrado ficou dividido

em dois retângulos congruentes); 4. Num dos retângulos traçar uma das suas diagonais. 5. Com o compasso desenhar a circunferência que tem centro no ponto médio de onde

parte a diagonal, tendo como raio essa diagonal; 6. Prolongar o lado do quadrado até encontrar a circunferência (este novo segmento é o

comprimento do retângulo de ouro)

Um retângulo de ouro tem uma propriedade muito interessante, nomeadamente: se o

dividirmos num quadrado e num retângulo, o novo retângulo é também de ouro. Repetindo

este processo infinitamente e unidos os cantos dos quadrados gerados, obtém-se uma espiral

a que se dá o nome de Espiral de Ouro.

Figura 9 – Espiral de Ouro

Contribuição de Leonardo da Vinci

Uma contribuição muito importante para a proporção áureia foi a de Leonardo Da

Vinci. A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos, bem como

a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas.

Leonardo da Vinci representou bem o Homem da Renascença, que fazia de tudo um pouco

sem se fixar em nada. Era um génio de pensamento original que usou exaustivamente os seus

conhecimentos de Matemática, nomeadamente o Número de Ouro, nas suas obras de arte.

Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco

pontas, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscritos na circunferência. O

desenho conhecido por “Homem de Vitruvius”, ilustra a velha tese Pitágórica segundo a qual

“o homem é a medida de todas as coisas”. O texto que acompanha o desenho transmite-nos a

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ideia muito concreta de que cada secção do corpo humana é uma medida (percentagem) do

todo.

Figura 10 - Homem de Vitruvius

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporção áurea nas relações entre o tronco

e a cabeça, bem como nos elementos da face, no entanto, como é uma característica inerente

ao ser humano, as tais proporções podem ser encontradas na maioria das pinturas em que a

anatomia tenha sido respeitada.

Figura 11 – Retrato de Mona Lisa

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CONSTAÇÃO E DEMONSTRAÇÃO

Cálculo do número:

A razão áurea é definida algebricamente como:

A equação da direita mostra que o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em:

Cancelando b em ambos os lados, temos:

Multiplicando ambos os lados por resulta:

Finalmente, subtraindo de ambos os membros da equação e multiplicando todas as

parcelas por encontramos:

que é uma equação quadrática da forma

em que

Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:

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A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:

que é o número

Construção do segmento áureo:

O número de ouro pode ser obtido a partir de um segmento de reta qualquer. Considere

um ponto C, dividindo esse segmento em dois segmentos menores e de modo que a

razão entre o comprimento do segmento dividido pelo comprimento do segmento seja

igual à razão do comprimento de dividido pelo comprimento de .

1º Dado um segmento AB qualquer, obtemos o ponto médio de AB da seguinte forma: com

centro do compasso em A e em B traçamos circunferências que se intercetam como mostra a

figura abaixo, ligando os pontos onde os arcos intercetaram:

2º Usando régua e compasso, traçamos uma reta perpendicular a AB , pelo ponto B com

metade do comprimento de AB:

3º Com o compasso faça centro em B, traçando uma circunferência que intercete a

perpendicular no ponto C de raio BM.

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4º O novo segmento BC é perpendicular a AB medindo a metade de AB . Unindo os pontos A e

C obtemos um triângulo ABC:

5º Com o centro do compasso em C abrindo até B, marcamos um novo ponto em AC

(hipotenusa) do triângulo:

6º Finalmente com o centro do compasso no vértice A , abrindo até E marcamos em AB o

ponto D. Este é o ponto que divide o segmento AB em média e extrema razão, ou ainda, a

maior parte de AB é 1,618…vezes a menor parte de AB.

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APLICAÇÃO DA RAZÃO ÁUREA NOS TEMPOS MODERNOS, NO DESIGN, ARQUITETURA, NATUREZA, ETC

A Proporção Áurea está presente em imensas situações.

Arte:

A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de

Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Essa proporção estaria ali aplicada pelo

motivo de o autor representar a perfeição da beleza.

Em O Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as dimensões do quadro

(aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. Na história da arte

renascentista, a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nessa

constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção lhes

dava para retratar a realidade com mais perfeição.

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporção áurea nas relações entre o tronco e a

cabeça, bem como nos elementos da face, mas isso é uma característica inerente ao ser

humano e tais proporções podem ser encontradas na maioria das pinturas em que a anatomia

tenha sido respeitada. Medições feitas por computador mostraram que os olhos de Mona Lisa

estão situados em subdivisões áureas da tela.

Figura 12 – Aplicação da proporção áurea na Arte

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Arquitetura:

Diversos Edifícios projetados por Lê Corbuier, ou a sede das Nações Unidas contêm elementos

arquitetônicos na forma de retângulo de ouro. Assim como obras como o Parthenon.

Figura 13 – Aplicação da proporção áurea na Arquitetura

Nos Tempos Modernos:

Atualmente a proporção áurea ainda é muito usada. A verdade é que ao padronizar–se

internacionalmente algumas medidas usadas no nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram

“respeitar” a proporção divina, nomeadamente a razão entre o comprimento e a largura de

um Cartão de Crédito, identidades, modelo da carta de condução, embalagens, alguns livros,

jornais, uma foto revelada, etc.

Também o logotipo da Apple foi desenhado sobre as Proporções Áureas, bem como, o Iphone.

Figura 14 – Logotipo da Apple Figura 15 – Iphone

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Literatura:

No livro "O Número de Ouro", Matila Ghyka demonstrou a existência da proporção áurea

em textos escritos por Victor Hugo, Shakespeare, Paul Valéry, Pierre Louys. Na pesquisa Ghyka

relacionou as estrofes de acordo com o ritmo da leitura, o que ele chamou de ritmo prosódico.

Música:

O número de ouro está presente em diversas obras de compositores clássicos, sendo o

exemplo mais notável a famosa sinfonia n.º 5 de Beethoven . O compositor húngaro Béla

Bartók também se utilizou desta relação de proporcionalidade constantemente em sua obra ,

bem como o francês Claude Debussy.

Também no jazz há músicos que usam os números da série Fibonacci na divisão rítmica e dos

compassos.

Cinema:

O diretor russo Sergei Eisenstein utilizou a Proporção Áurea no filme “O Encouraçado

Potemkin” para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão pelo

tamanho das fitas de película.

Natureza:

- Vegetais:

Semente de girassol – A razão em que aumenta o diâmetro das espirais de sementes

de um girassol é a razão áurea.

Achillea ptarmica – A Razão do crescimento de seus galhos.

Folhas das Árvores – A Razão em que diminuem as folhas de uma árvore à medida que

subimos de altura.

- Animais:

População de abelhas – A razão entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colméia.

Concha do caramujo Nautilus – A razão em que cresce o raio do interior da concha desta espécie de caramujo. amplamente difundida! (vide "O número de Ouro", Michel Spira, palestra OBMEP, 2006; Colaboração: Prof. Francisco Teodorico Pires de Souza)

Outros – o número de ouro está também presente nas escamas de peixes, presas de elefantes, crescimento de plantas.

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- Corpo Humano:

A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão;

A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça;

A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax;

A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo;

Tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta;

A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão;

A medida do pénis humano e a medida da palma de sua mão.

Figura 16 – Razão áurea numa mão

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CONCLUSÃO

Gostei muito de realizar este trabalho, uma vez que percebi melhor que realmente

muitas coisas do nosso dia-a-dia contêm matemática, desde a arte, até às grandiosas

construções, bem como na natureza.

Falando na natureza, até no nosso próprio corpo, temos uma ligação eterna com a

matemática, estabelecida através da proporção áurea, encontrada nas mais diversas partes do

corpo.

Conclui que o número de ouro é considerado por muitos estudiosos um símbolo da

harmonia. Surgiu da necessidade que os antigos tinham de utilizar a contagem como forma

matemática para aplicá-las em seus negócios. Fibonacci deu uma grande contribuição à

Geometria com a sua descoberta, a qual está relacionada com a solução do problema dos

coelhos. Todos esses exemplos nos levam a perceber quão grande é a importância deste

número que por este motivo foi chamado “de ouro”.


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