Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 1
Uma agência de viagens pretende organizar uma excursão
para 500 pessoas que vão a um concerto de verão.
Para o efeito, terá de alugar autocarros a uma
empresa que apresentou as seguintes condições:
• Dispõe de 7 autocarros de 50 lugares e de 15 pequenos autocarros de 30 lugares;
• O aluguer de um autocarro de 50 lugares custa 850 euros e um de 30 lugares custa 450 euros;
• No dia da excursão apenas estão disponíveis 14 motoristas.
Quantos autocarros de cada tipo deverão ser alugados pela agência, para minimizar o custo da viagem?
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 1 Resolução
• 7 autocarros de 50 lugares (850 € cada)
• 15 autocarros de 30 lugares (450 € cada)
• 14 motoristas disponíveis.
x : “n.º de autocarros de 50 lugares”
y : “n.º de autocarros de 30 lugares”
(n.º de lugares necessários nos autocarros)
(n.º de motoristas disponíveis)
(n.º de autocarros de 50 lugares disponíveis)
(n.º de autocarros de 30 lugares disponíveis)
, 850 450L x y x y
Função objetivo
0
0
x
y
50x + 30y ≥ 500
x + y ≤ 14
x ≤ 7
y ≤ 15
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 1 Resolução
0
0
50 30 500
14
7
15
x
y
x y
x y
x
y
0
0
500
14
7
15
5030
x
y
y x
y
x
y
x
0
0
50 500
14
7
15
30
3
0
x
y
xy
x
y
xy
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 1 Resolução
C. A.
Determinar coordenadas de dois pontos da reta
5 50 10x x
0
0
5 50
3 314
7
15
x
y
xy
y x
x
y
• Se y = 0;
• Se x = 1;
5 50
3 30
x
15 50
3 3y
(10, 0)
(1, 15)
5 50
3 3
xy
45
3y
15y
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 1 Resolução
• Se y = 0;
0
0
5 50
3 314
7
15
x
y
xy
y x
x
y • Se x = 0; 14 140y y
14 10 4x x
(14, 0)
(0, 14)
C. A.
Determinar coordenadas de dois pontos da reta
14y x
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 1 Resolução
10, 0 e 1, 1550
3
10 14
14
O
y
x
15
1 7
A
B
C
5 50
3 3
xy
14, 0 0, 14
14y x
7x
y = 15
5 50
3 3
xy
14y x
7x
y ≤ 15
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 1 Resolução
14
5 50
3 3
y x
xy
14
3 42 5 50
y x
x x
14
2 50 42
y x
x
10
4
y
x4, 10A
Coordenadas
do ponto A 14
5 0
3 31
54
x
x
y
x
(3) (3)
8
4
4
14y
x
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 1 Resolução
Coordenadas
do ponto B
Coordenadas
do ponto C
5 50
3 3 7
xy
x
5 50
3 3
7
7
y
x
35 50
3 37
y
x
15
37
y
x
5
7
y
xB(7, 5)
14
7
y x
x
14
7
7
y
x
7
7
y
xC(7, 7)
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 1 Resolução
10 14
50
3
14
O
y
x 7
A
B
C
4
10
7
5
(x, y) L(x, y)=850x + 450y
A(4, 10) L(A)=3.400+4.500=7.900
B(7, 5) L(B)=5.950+2.250=8.200
C(7, 7) L(C)=5.950+3.150=9.100
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 1 Resolução
10 14
50
3
14
O
y
x 7
A
B
C
4
10
7
5
(x, y) L(x, y)=850x + 450y
A(4, 10) L(A)=3.400+4.500=7.900
B(7, 5) L(B)=5.950+2.250=8.200
C(7, 7) L(C)=5.950+3.150=9.100
A(4, 10) L(A)=3.400+4.500=7.900 Solução ótima
Valor
mínimo
Para que o custo da viagem seja o menor
possível, 7.900 euros, a agência deve alugar
4 autocarros de 50 lugares e 10 autocarros
de 30 lugares.
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 1 Resolução
10 14
50
3
14
O
y
x 7
A
B
C
4
10
7
5 17 ( , )
9 450
L x yy x
( , ) 8 45050L x y x y
( , ) 850 450L x y x y
Retas de nível
Função objetivo
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 1 Resolução
10 14
50
3
14
O
y
x 7
A
B
C
4
10
7
5 17 ( , )
9 450
L x yy x
( , ) 8 45050L x y x y
( , ) 850 450L x y x y
Retas de nível
Função objetivo
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 2
A empresa “Citrex” dedica-se à apanha e recolha de
citrinos na zona de Vila Real e Braga.
Na época da apanha, esta empresa precisa de criar
equipas que vão laborar nestas zonas.
Para criar as equipas, a “Citrex”, sabe que:
• Em Vila Real, cada equipa custa 5 mil euros e tem de ser constituída por 1 chefe e 9 trabalhadores;
• Em Braga, cada equipa custa 8 mil euros e tem de ser constituída
por 1 chefe e 5 trabalhadores;
• Para pôr o projeto no terreno, a “Citrex” dispõe de 20 chefes, 144 trabalhadores e 136 mil euros.
Determine o número máximo de equipas que a empresa pode formar em cada uma destas duas regiões do
país.
Indique todas as soluções possíveis.
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 2 Resolução
• Vila Real: 1 chefe + 9 trabalhadores – 5 mil € por equipa
• Braga: 1 chefe + 5 trabalhadores – 8 mil € por equipa
• Disponibilidade: 20 chefes, 144 trabalhadores e 136 mil euros
x : “n.º de equipas para Vila Real”
y : “n.º de equipas para Braga”
(relativa ao n.º de chefes) x + y ≤ 20
9x + 5y ≤ 144
0
0
x
y
5x + 8y ≤ 136
(relativa ao n.º de trabalhadores)
(relativa ao dinheiro)
Função objetivo
L(x, y) = x + y
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 2 Resolução
x + y ≤ 20
9x + 5y ≤ 144
0
0
x
y
5x + 8y ≤ 136
0
0
20
9 144
5 55
17 8
x
y
y x
y x
y x
…
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 2 Resolução
C. A.
Coordenadas de dois pontos das retas:
(0, 20) e (20, 0)
0
0
20
9 144
5 55
17 8
x
y
y x
y x
y x
20y x
517
8y x
(0, 17) e (8, 12)
(16, 0) e (6, 18)
9 144
5 5y x
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 2 Resolução
O
y
x
12
8 20
20
17
6
18
16
144
5
20y x
(0, 20) e (20, 0)
517
8y x
(0, 17) e (8, 12) 136
5
20y x
(6, 18) e (16, 0)
9 144
5 5y x
9 144
5 5y x
517
8y x
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 2 Resolução
O
y
x 20
20
17
16
144
5
20y x
517
8y x
136
5
9 144
5 5y x
A
B
C
D
A(0, 17)
D(16, 0)
O(0, 0) 5
178
20
y x
y x
Coordenadas do ponto B
B(8, 12)
Coordenadas do ponto C
9 144
5 5
20
y
x
x
y
C(11, 9)
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 2 Resolução
O
y
x 20
20
17
16
144
5
136
5
A
B
C
D
(x, y) L(x, y)=x + y
O(0, 0) L(0, 0) = 0 + 0 = 0
B(8, 12) L(8, 12) = 8 + 12 = 20
C(11, 9) L(11, 9) = 11 + 9 = 20
A(0, 17) L(0, 17) = 0 + 17 = 17
D(16, 0) L(16, 0) = 16 + 0 = 16
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 2 Resolução
O
y
x 20
20
17
16
144
5
136
5
A
B
C
D
(x, y) L(x, y)=x + y
O(0, 0) L(0, 0) = 0 + 0 = 0
B(8, 12) L(8, 12) = 8 + 12 = 20
C(11, 9) L(11, 9) = 11 + 9 = 20
A(0, 17) L(0, 17) = 0 + 17 = 17
D(16, 0) L(16, 0) = 16 + 0 = 16
L(8, 12) = 8 + 12 =
L(11, 9) = 11 + 9 =
B(8, 12) 20
C(11, 9) 20
8
12
11
9
20y x
9 10
10
11 E(9, 11)
F(10, 10)
Matemática B
11.º ano
Proposta de trabalho – 2 Resolução
A empresa tem quatro soluções possíveis que maximizam a função objetivo,
isto é, o número máximo de equipas de trabalho que é possível constituir, em
cada distrito:
8 equipas em Vila Real e 12 em Braga;
9 equipas em Vila Real e 11 em Braga;
10 equipas em Vila Real e 10 em Braga;
11 equipas em Vila Real e 9 em Braga.
Matemática B
11.º ano
Matemática B – 11.º ano
2019/2020
Fim