Download - PROJETO DE LAJES MACIÇAS 12.1 DADOS INICIAISalmeida/ec802/Lajes/Projeto_Lajes_Macicas_EESC.pdf · A laje L4 encontra-se em balanço e não há equilíbrio se ela não for engastada

PROJETO DE LAJES MACIÇAS – CAPÍTULO 12

Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos.

17 maio 2003

PROJETO DE LAJES MACIÇAS

12.1 DADOS INICIAIS

A planta do tabuleiro, com as dimensões das lajes e das vigas, encontra-se

no Desenho 1, no final do capítulo. A partir dessa planta, obtém-se os vãos teóricos

das lajes, considerados até os eixos dos apoios e indicados na Figura 1.

Outros dados: concreto C25, aços CA-50 mm) 6,3( ≥φ e CA-60 mm) 5( =φ e

cobrimento cm 2c = .

Figura 1 – Vãos teóricos

12.2 VINCULAÇÃO

No vínculo L1-L2, há continuidade entre as lajes e elas são de portes

semelhantes: ambas serão consideradas engastadas.

Já no vínculo L1-L3, a laje L1 é bem maior que L3. Esta deve ser

considerada engastada, mas aquela não deveria ser. Resultaria para a L1 a

vinculação indicada na Figura 2.

USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Projeto de lajes maciças

12.2

Figura 2 – Vínculos L1-L2 e L1-L3 (dimensões em centímetros)

Porém, como se verifica a condição yx2 32 ll ≥ , a laje L1 será considerada

engastada ao longo de toda essa borda.

No vínculo L2-L3, a laje L2 é bem maior que a L3. Esta será considerada

engastada e aquela apoiada.

A laje L4 encontra-se em balanço e não há equilíbrio se ela não for

engastada. Porém, ela não tem condições de receber momentos adicionais,

provenientes das lajes vizinhas. Portanto, as lajes L2 e L3 devem ser admitidas

simplesmente apoiadas nos seus vínculos com a L4.

Em conseqüência do que foi exposto, resultam os vínculos indicados na

Figura 3 e os tipos das lajes L1, L2 e L3 são, respectivamente: 2A, 2B e 3.

Figura 3 – Vínculos das lajes

1y2x 32 ll =


12.3

12.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO

Para as lajes L1, L2 e L3, a altura útil d será estimada por meio da

expressão: *

est 100/0,1n)-(2,5d l=

n é o número de bordas engastadas

l* é o menor valor entre lx (menor vão) e 0,7ly

A altura h será adotada considerando o valor aproximado:

cm2,5)(dhcm2,0ccm0,5)cd(h

+==++=

O pré-dimensionamento das lajes L1, L2 e L3 está indicado na Tabela 1.

Tabela 1 – Pré-dimensionamento das lajes L1, L2 e L3.

L1 L2 L3lx (cm) 380 460 230ly (cm) 690 500 500

0,7ly (cm) 483 350 350l* 380 350 230

n 1 1 2

dest (cm) 9,1 8,4 5,3

hest (cm) 11,6 10,9 7,8

h (cm) 11 11 11

Para a Laje L4 em balanço, pode ser adotado o critério da NBR 6118 (1978),

com 5,02 =Ψ e 253 =Ψ , resultando:

cm8,8255,0

110d32

xest ==

ψψ=

l

Será adotada a espessura cm 11h = para todas as lajes.


12.4

12.4 AÇÕES, REAÇÕES E MOMENTOS

O cálculo de L1, L2 e L3 está indicado na Tabela 2. No cálculo das reações

de apoio e dos momentos fletores, foram utilizadas as tabelas de PINHEIRO (1993).

Importante:

Neste projeto, foi considerada uma carga de paredes divisórias de

1,0 kN/m2, atuando em todas as lajes L1, L2 e L3. Quando a posição das paredes

for conhecida, e principalmente quando elas forem de alvenaria, seus efeitos devem

ser cuidadosamente considerados, nos elementos que as suportam.

O cálculo da laje L4 é feito conforme o esquema indicado na Figura 4.

Figura 4 – Esquema da laje L4

As cargas uniformemente distribuídas são:

2

22rppp

kN/m6,753,003,75qgp

kN/m3,00qkN/m75,300,175,2ggg

=+=+=

==+=+= +

Na extremidade, será considerada uma mureta de ½ tijolo cerâmico

(1,9 kN/m2), com 1,10 m de altura, e uma carga variável de 2,0 kN/m.

kN/m09,400,209,2qgpkN/m00,2qkN/m09,210,19,1g

111

11

=+=+===⋅=

Reações de apoio:

kN/m52,1109,410,175,6ppr 1 =+⋅=+= l

Momento fletor:

kNm/m58,810,109,42

10,175,6p2

pm2

1

2=⋅+

⋅=⋅+= l

l

g + qg1 + q1


12.5

L1 L2 L3

Tipo 2B 2A 3

lx (cm) 380 460 230

ly (cm) 690 500 500

ly/lx 1,82 1,09 2,17

Peso Próprio 2,75 2,75 2,75

Piso + Revestimento 1,00 1,00 1,00

Paredes 1,00 1,00 1,00

Carga de uso 3,00 3,00 3,00

g 4,75 4,75 4,75

q 3,00 3,00 3,00

p 7,75 7,75 7,75

νx 3,46 2,01 4,38

ν'x 5,07 - 6,25

νy 1,83 2,85 2,17

ν'y - 4,17 3,17

rx 10,19 7,17 7,81

r'x 14,93 - 11,14

ry 5,39 10,16 3,87

r'y - 14,87 5,65

µx 5,78 3,61 7,03

µ'x 11,89 - 12,50

µy 1,66 3,74 1,60

µ'y - 9,18 8,20

mx 6,47 5,92 2,88

m'x 13,31 - 5,12

my 1,86 6,13 0,66

m'y - 15,05 3,36

Reações de Apoio (kN/m)

Momentos Fletores (kNm/m)

Lajes

Tabela 2 - Esforços nas lajes L1, L2 e L3

Características

Ações (kN/m2)


12.6

As reações de apoio das lajes (dentro dos semicírculos) e os momentos

fletores estão indicados na Figura 5, na qual encontram-se, também, os momentos

fletores compatibilizados (dentro dos retângulos).

5,39 7,17

10,1

9

14,8

7

14,9

3

10,1

6

11,14

7,17

5,65 3,87

11,5

27,815,39

6,47

1,86

14,1813,31 15,05

3,36 3,36

0 0,66

2,88

5,1

2 05,

12

8,58 8,58

0

6,57

5,92

8,580 8,58

6,13

Figura 5 – Reações (semicírculos, kN/m) e momentos (retângulos, kNm/m)

12.5 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS

O dimensionamento das armaduras está indicado na Tabela 3. Inicia-se

pelos momentos nos apoios, em geral os de maior valor, em ordem decrescente.

Em função dos diâmetros e dos espaçamentos obtidos para essas

armaduras, pode ser conveniente modificar a espessura das lajes, situação em que

os cálculos precisam ser alterados.

Em seguida, são calculadas as armaduras de vão. Foi admitido d = 8,5 cm.


12.7

(a) Armadura mínima para (C25) %15,0smin =ρ (b) Armadura mínima para smin 0,67 ρ (c) Armadura de distribuição: 0,2 as,princ; 0,5 asmin ou 0,90 cm2/m

12.5.1 Armadura mínima

Para concreto C25, %15,0smin =ρ

a) Armadura negativa e armadura principal para λ > 2

/mcm28,15,81001000,15bda 2

minmins1, ==⋅ρ=

Vínculo ou laje Momento mk md kc ks

as,nec

(cm2/m)φ e

espaçamentoas,e

(cm2/m)

8 c/ 8 6,25

10 c/ 13 6,15

8 c/ 14 3,57

6,3 c/ 8,5 3,71

6,3 c/ 12 2,62

8 c/ 19 2,63

6,3 c/ 13 2,42

8 c/ 20 2,50

6,3 c/ 12 2,62

8 c/ 19 2,63

0,024

1418

Tabela 3 - Dimensionamento das armaduras (momentos em kNcm/m)

L1/L2 L1/L3

L2/L4 L3/L4

L2/L3

m'

m'

m'

858

512

1985

1201

717

3,6

6,0

10,1

0,026

0,025

0,024

6,07

3,53

2,02

2,34

2,56

2,106,3 c/ 15

L2 l = 1,09

mx

my

592 829 8,7 0,024

657 920 7,9 0,024 2,60

L1 l = 1,82

mx

my

647

186

906

260

8,0

27,8 0,950,023 0,85 (b) 6,3 c/ 33

L3 l = 2,17

mx 288 403

my 66 92 0,95

17,9

78,5 0,023 0,90 (c) 6,3 c/ 33

0,024 1,28 (a) 6,3 c/ 20 1,58


12.8

b) Laje com λ 2

direções)duas(nas/mcm85,028,167,0bd67,0a 2minmins2, ==⋅ρ=

c) Armadura de distribuição e armadura secundária para λ > 2

==ρ≥

/mcm 0,90

/mcm 0,64 1,280,5db,50

a2,0

a2

2min

princs,

mins3,

Nos vínculos L1-L2 e L1-L3, tem-se:

/mcm21,16,07 2,0a 2mins3, == (φ6,3 c/ 26 cm; ase = 1,21 cm2/m)

Nos demais vínculos e na direção x da L3:

/mcm90,0a 2mins3, = (φ6,3 c/ 33 cm; ase = 0,95 cm2/m)

12.5.2 Diâmetro máximo

mm 12,5 mm 12,5 mm 8,138

1108h

maxmax =φ⇒≤===φ

12.5.3 Espaçamento máximo

a) Armadura principal para λ > 2 e nas duas direções para λ 2

cm20s cm 02

cm 22112h2s maxmax =⇒

==

≤

b) Armadura de distribuição e armadura secundária para λ > 2

cm33smax =


12.9

12.6 FLECHA NA LAJE L2

Será verificada a flecha na laje L2, na qual deverá ocorrer a maior flecha.

12.6.1 Verificação se há fissuras

A verificação da existência de fissuras será feita comparando o maior

momento positivo, em serviço, para combinação rara ( cm/m kN 657mm ky,rarad, == ),

com o momento de fissuração mr, dado por:

t

0ctr y

I f m α=

α =1,5 para seção retangular

23232ckct kN/cm 0,2565MPa 565,225 3,0 3,0f f ==⋅==

433

0 cm 1109212

11 10012h bI =

⋅==

cm 5,5211

2h yt ===

Resulta:

cm/m kN 7765,5

11092 0,2565 ,51y

I f m

t

0ctr =

⋅⋅=

α=

Como md,rara < mr, não há fissuras.

12.6.2 Flecha imediata

A flecha imediata pode ser obtida por meio da Tabela 2.2a de PINHEIRO

(1993), com a expressão adaptada:

0c

4x

i I Ep

12b

100 a l

⋅⋅α

=


12.10

4440

2ckc

2x

24-22

cm 10 1092,1cm 11092I

kN/cm 2380 MPa 2380025 5600 85,0f5600 85,0E

cm 10 4,6 cm 460

kN/cm 10 65,5kN/m 5,65 3,00 0,34,75 q gp

cm 100b1,09) 2A, tipo Laje024

⋅==

==⋅=⋅=

⋅==

⋅==⋅+=ψ+=

==λ( ,=α

l

Resulta:

cm 32,0a

cm 32,0101092,12380

106,410

65,512

100100

02,4I E

p12b

100 a

i

4

84

40c

4x

i

=

=⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅α

=l

12.6.3 Flecha total

A flecha total é dada pela flecha inicial mais a flecha diferida. Pode ser

obtida multiplicando-se a inicial pelo coeficiente f1 α+ , com:

'501f ρ+ξ∆

=α

Para um tempo infinito (t ≥ 70 meses) e carregamento aplicado em

t0 = 1 mês, obtém-se:

1,320,682)t()t( 0 =−=ξ−ξ=ξ∆ (tabela 5 do capítulo anterior)

0' =ρ (taxa de armadura de compressão)

Resulta a flecha total:

cm 74,0a1,32)(1 32,0)(1 a a

t

fit=

+=α+=


12.11

12.6.4 Flecha limite

Flecha limite admitida pela NBR 6118 (2001):

cm 1,84250460

250x ==l

Como 250

a xt

l< , a flecha atende as especificações da citada Norma.

Fazendo um cálculo análogo para a laje L1, ter-se-ia: tipo 2B, λ =1,82,

mxk = 6,47 kN.m/m, α = 5,49, lx = 380 cm, ai = 0,204 cm e

cm 1,52250l cm 0,47a x

t =<=

Portanto, com relação às flechas, poderia ser adotada uma espessura menor

para as lajes.

12.7 CISALHAMENTO

Será verificada a resistência sem armadura transversal (estribos), para o

maior valor da força cortante, indicado na Figura 5. Esse valor refere-se à laje L1,

kN/m 14,93 ' v x = .

Deverá ser verificada a condição:

1)d1,6(com)d1,6()501(f

db

Vv

v ' v

q3

ckRd1

Rd1w

Rd1Rd1

Rd1xd

≥−α−ρ+=τ

τ==

≤

l

Para cargas distribuídas e m 19,02080,3

20 m 0,085d ==<=l ,

tem-se 0,17 q =α .


12.12

Considerando-se 19)c/ 8( m/cm 2,63a 2sx φ= :

%3094,01003094,0

8,5 1002,63

d bAs

=ρ

=⋅

==ρ

2Rd1

3Rd1

kN/cm 0,120

MPa 1,2017,0)085,01,6(),803 100

0,3094 501(25

=τ

=−+=τ

kN/m 102,0 100 ,1200 5,8vRd1 =⋅⋅=

Portanto:

kN/m 102,0 v kN/m 20,9 14,93 1,4 ' v Rd1xd =<<=⋅=

Não há necessidade de estribos.

12.8 COMPRIMENTO DAS BARRAS SOBRE OS APOIOS

A armação das lajes encontra-se no Desenho 2A, no final deste capítulo. O

cálculo dos comprimentos das barras sobre os apoios internos é diferente do relativo

à laje L4 em balanço.

12.8.1 Apoios internos

Podem ser adotadas barras alternadas com comprimentos horizontais dados

pela expressão:

d 0,75 2083 a xmax +φ+= l

Nos vínculos L1-L2 e L1-L3 serão adotadas barras de mesmo comprimento,

calculado com cm 460xmax =l (laje L2).


12.13

No vínculo L2-L3 considera-se cm 230xmax =l , da laje L3, pois a L2 foi

admitida simplesmente apoiada nesse vínculo.

O cálculo dos comprimentos das barras para os apoios internos está

indicado na Tabela 4 (ver também Desenho 2A).

(a) valor inteiro mais próximo, múltiplo de 5 cm.

12.8.2 Laje L4 em balanço

Sendo l o comprimento da barra no balanço, adota-se o comprimento total

do trecho horizontal igual a l 2,5 (ver Figura 6 e Desenho 2A).

cm 270 2)-(110 2,5 2,5a === l

14,18

6,57

7,09

8,58

8,58

13,66

14,18

1,5

Figura 6 – Comprimento total do trecho horizontal

Vínculo lx max φ d 3/8lx max 20φ 0,75 d a a/3 (a) 2a/3 (a) aadot

L1-L2 L1-L3 460 1,0 8,5 172,5 20 6,4 199 65 135 200

L2-L3 230 0,63 8,5 86,3 12,6 6,4 105 35 70 105

Tabela 4 - Comprimentos dos trechos horizontais das barras (em centímetros)


12.14

12.9 COMPRIMENTO DAS BARRAS POSITIVAS

O comprimento das barras positivas pode ser calculado conforme indicado

na Figura 7 e no Desenho 1.

Figura 7 – Comprimento das barras positivas

Nos apoios de extremidade, serão adotadas barras com ganchos de 90º,

prolongados até a face externa, respeitando-se o cobrimento.

Nos apoios internos com lajes adjacentes, serão adotadas barras sem

ganchos, prolongadas de pelo menos 10φ a partir da face do apoio.

O cálculo dos comprimentos das barras positivas está indicado na Tabela 5,

na qual:

x é a direção do menor vão

y é a direção do maior vão

φ é o diâmetro da barra

l0 é o vão livre

d e e ll ∆∆ são os acréscimos de comprimento à esquerda e à direita, de

valor c)(t − ou 10φ; para m 10≤φ , pode-se adotar 10 cm no lugar de 10φ

t é a largura do apoio

c é o cobrimento da armadura

de0nech, llll ∆+∆+=


12.15

adoth,l é o valor adotado do trecho horizontal da barra

gadoth,tot lll ∆+=

totl é o comprimento total da barra

gl∆ é o acréscimo de comprimento de um ou de dois ganchos, se houver

(Tabela 1.7a, PINHEIRO, 1993)

Para a laje L1, na direção y, o comprimento cm 706nech, =l é o valor

máximo para que seja respeitado o cobrimento, nas duas extremidades da barra.

Em geral, os valores adotados adoth,l são múltiplos de cm 5 ou de cm 10 .0

Os comprimentos adotados estão indicados no Desenho 2A.

12.10 ARMADURAS DE CANTO

Na laje L1, nos dois cantos esquerdos, e na laje L2, canto superior direito,

não há armadura negativa. Nessas posições serão colocadas armaduras superiores

de canto, conforme o detalhe 2 indicado no Desenho 2A, válido para os três cantos.

Para as lajes L1 e L2, os maiores valores de xl e da armadura positiva são:

m/cm 60,2a

cm 4602

s

x

=

=l

Laje Direção φ l0 ∆ le ∆ ld lh,nec lh,adot ∆ lg l tot

x 0,8 360 18 8 386 390 8,0 398

y 0,63 670 18 18 706 705 6+6 717

x 0,63 440 6,3 18 464 470 6,0 476

y 0,8 480 8 18 506 510 8,0 518

x 0,63 210 18 6,3 234 240 6,0 246

y 0,63 480 6,3 6,3 493 500 - 500

Tabela 5 - Comprimento das barras positivas (em centímetros)

L1

L2

L3


12.16

Então, o comprimento do trecho horizontal das barras de canto, sua área por

unidade de largura e as quantidades serão:

/m)cm 1,31 a 24;c/ 6,3 (Adotado /mcm 3012602

2a

a

cm 11018922205

4602-t5

2se

2ssc

xh

====

=+=−+=+=

φ,,

ll

O detalhe das armaduras de canto encontra-se no Desenho 2B.

12.11 NÚMERO DAS BARRAS

Há várias maneiras de numerar as barras. Como as primeiras a serem

posicionadas nas formas são as barras positivas, recomenda-se começar por elas e,

em seguida, numerar as negativas.

12.11.1 Numeração das barras positivas

O procedimento ora sugerido consiste em numerar primeiro as barras

positivas da laje L1, considerando N1 a de maior área por unidade de largura, N2 a

da outra direção, N3 a de maior área por unidade de largura da L2, e assim

sucessivamente.

Com essa numeração, as barras relativas aos maiores momentos positivos

têm número ímpar e devem ser colocadas por baixo das de números pares. Dessa

maneira, as barras que resistem aos maiores esforços terão o maior braço de

alavanca, sendo portanto mais eficientes.

Para garantir o correto posicionamento das barras, deve ser colocado de

forma clara, nos desenhos de armação das lajes:

BARRAS POSITIVAS DE NÚMERO ÍMPAR (N1, N3 ETC.) DEVEM SER COLOCADAS POR BAIXO DAS DE NÚMERO PAR (N2, N4 ETC.).

A numeração das barras inferiores está indicada no Desenho 2A. Essas

barras são as seguintes: N1, N2, ...N6.


12.17

12.11.2 Numeração das barras negativas

Terminada a numeração das barras positivas, inicia-se a numeração das

barras negativas, com os números subseqüentes (N7, N8 etc.). Elas podem ser

numeradas da esquerda para a direita, de cima para baixo, com o desenho na

posição normal, e em seguida, procedendo da mesma forma, com o desenho

sofrendo uma rotação de 90º no sentido horário, o que equivale ao observador

posicionado à direita do desenho. Obtém-se dessa maneira as barras N7, N8, N9 e

N10, indicadas no Desenho 2A já citado.

Na seqüência, são numeradas as barras de distribuição da armadura

negativa e outras barras eventualmente necessárias.

12.11.3 Barras de distribuição

As barras N10 já citadas são de distribuição, nos vínculos L2-L4 e L3-L4.

Outras barras de distribuição relativas às armaduras negativas são: N11, nos

vínculos L1-L2 e L1-L3, e N12, no vínculo L2-L3 (ver Desenho 2A).

12.11.4 Barras de canto

As barras de canto serão as N13 (Desenho 2B).

12.12 QUANTIDADE DE BARRAS

A quantidade in de barras iN pode ser obtida pela equação:

i

ji s

bn =

bj é a largura livre, na direção perpendicular à das barras

si é o espaçamento das barras Ni

Poucas vezes ni vai resultar um número inteiro. Mesmo nesses casos, e nos

demais, deve-se arredondar ni para o número inteiro imediatamente inferior ao valor

obtido, conforme está indicado na Tabela 6. Somente para as barras de canto,

recomenda-se adotar o número inteiro mais próximo (barra N13 na Tabela 6).


12.18

12.13 DESENHO DE ARMAÇÃO

A armação das lajes encontra-se nos desenhos 2A e 2B, nos quais estão

também a lista das barras, com diâmetros, quantidades e comprimentos, e o resumo

do consumo de aço, com comprimento total e massa total por bitola e a soma

dessas massas.

Barra bj si ni,calc ni,adot

N1 670 19 35,3 35

N2 360 33 10,9 10

N3 440 19 23,2 23

N4 480 13 36,9 36

N5 480 20 24,0 23

N6 210 33 6,4 6

N7 670 13 51,5 51

N8 470 14 33,6 33

N9 480 15 32,0 31

N10 (e) 150 33 4,5 4

N10 (d) 100 33 3,0 2

N11 130 26 5,0 4

N12 70 33 2,1 2

N13 92 24 3,8 4

Tabela 6 - Quantidade das barras (bj e si em cm)

Download - PROJETO DE LAJES MACIÇAS 12.1 DADOS INICIAISalmeida/ec802/Lajes/Projeto_Lajes_Macicas_EESC.pdf · A laje L4 encontra-se em balanço e não há equilíbrio se ela não for engastada

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