Programação Linear – Solução Gráfica
• Não é simples obter a solução ótima de um problema deProgramação Linear;
• Existem diversas maneiras de obter esta soluçãoótima;
• Quando o problema envolver apenas duas variáveis dedecisão, a solução ótima pode ser encontradagraficamente.
• Um desenhista faz quadros artesanais para vendernuma feira que acontece todo dia, à noite;
• Ele faz desenhos grandes e desenhos pequenos, evende-os por R$5,00 e R$2,00, respectivamente;
• Só é possível vender 4 desenhos grandes e 3 desenhospequenos por noite;
• O desenho grande é feito em uma hora (grosseiro) e opequeno é feito em duas horas (detalhado). Alémdisso, o desenhista desenha 8 horas por dia antes deir para a feira.
O Problema do Desenhista
• O que o desenhista precisa decidir?
• O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a suareceita?
• A decisão dele é como usar as 8 horas diárias: quantosdesenhos pequenos e grandes ele deve fazer!
• Chamemos de x1 e x2 as quantidades de desenhosgrandes e pequenos que ele faz, por dia,respectivamente.
A Decisão do Desenhista
Max Z x x 5 21 2faturamento
1s a x (a) 4. . Máximo de desenhos grandes
x (b) 32Máximo de desenhos pequenos
x x (c) 2 81 2Restrição de tempo
Não negatividadex (d) 01 , x 02
Determine o Modelo!
x2
x1
1
2
3
4
1 2 43
Programação Linear – Solução Gráfica
x1 ocupa o eixo dasabcissas e x2 o eixodas ordenadas
Todos os valorespara x1 e x2 sãoconsideradosinicialmente
Programação Linear – Solução Gráfica
A região viávelé reduzida!
O mesmo raciocíniopara x1 resulta:
x2
x1
2 0x
Agora precisamoscolocar a restrição (c):
Solução Gráfica – Região Viável Parcial
x1
1
2
3
4
1 2 43
2 3x
1 4x
1 0x
2 0x 1 22 8x x
Região Viável Parcial é Compreendida entre as retas
x1
1
2
3
4
1 2 43
É importante veraonde a nova retavai passar. Vamos
ver sua interseção com oseixos principais
2 3x
1 4x
1 0x
2 0x
• Toda Interseção é determinada resolvendo umsistema de equações
1 22 8x x
1 0x
1 22 8x x
2 0x
2 4x
(0,4)
1 8x
(8,0)
Intersecção com os Eixos Principais
1
2
3
4
1 2 43
x2
x1
(0,4)
(8,0)
Um Esboço da Nova Reta
Para uma maiorprecisão é importantedefinir os pontosvermelhos
A Nova Reta
(2,3)
(4,2)
1
2
3
4
1 2 43
x2
x1
Como toda restrição,uma parte da antiga região viável será desprezada. Qual?
Esta pergunta é a mesma:
Para onde a restrição aponta? Para baixo ou
para cima?
Como a restrição é <, as pessoas costumam dizerque aponta para baixo.Está errado raciocinar
assim!
Devemos investigar algum ponto que esteja
na região acima ou abaixo da reta
Decidindo sobre a Restrição
(2,3)
(4,2)
1
2
3
4
1 2 43
x2
x1
Vamos escolher, por facilidade o ponto (0,0):
1 22 8x x
0 2 0 0 Aplicando:
Logo, (0,0) está dentro da restrição. Portanto, a reta aponta para baixo.
0 8
Decidindo sobre a rRestrição
(2,3)
(4,2)
RegiãoViável
A região viável é o conjunto de todas assoluções viáveis do
problema
Região Viável
1
2
3
4
1 2 43
x2
x1
São pontos especiais, nos vértices da região
viável
Pontos Extremos
D=(2,3)
C=(4,2)
A=(0,0)
B=(4,0)
E=(0,3)
1
2
3
4
1 2 43
x2
x1
Em todos estespontos, temos
Z = 10
A
Como obter estes
pontos?
O Conjunto de Pontos para Z=10
1
2
3
4
1 2 43
x2
x1
(2;0)
D
C
E
B
(0,8;3)
(2;0)
• Quando Z assume um valor fixo, temos uma reta!
• Entretanto, é possível que vários pontos da regiãoviável possuam um mesmo valor para Z, como foi ocaso anterior;
• Também é possível que nenhum ponto assuma umdeterminado valor de Z.
– Por exemplo, que pontos viáveis dariam Z = 30?
O Valor Fixo de Z
6,0
0,15
4 ; 5
5,5 ; 1,25
O Conjunto de Soluções para Z=30
O Conjunto deSoluções Viáveis para Z = 30 é vazio
Neste caso, sempre que aumentarmos o valor de Z areta irá para a direita!
Z = 10 Z = 30
A reta se deslocou para a direita
Variando o Valor de Z
O que aconteceu, do ponto de vista da reta, quandomudamos o valor de Z?
• Como é um problema de maximizar, a solução ótimaserá o ponto da região viável que esteja mais à direita.
C=(4,2)
Também é importantesaber o valor da funçãoobjetivo no ponto ótimo
A Solução Ótima
• Calcula-se então:
5 4 2 2 24Z
Podemos então concluir que, desenhando 4 quadrosgrandes e 2 quadros pequenos por dia, o Desenhistaterá seu faturamento máximo, de R$24,00 na feira.
O Valor da Função Objetivo na Solução Ótima
• Para obter a solução de forma gráfica, siga os passos:
– Desenhe a região viável, que dependeexclusivamente das restrições;
– Descubra a inclinação da função objetivo (desenheem algum ponto interno à região viável,aleatoriamente)
– Descubra para que lado a função objetivo melhora;
– Projete a função nesta direção; em caso dedúvidas, você sempre pode aplicar a funçãoobjetivo em mais de um ponto, escolhendo o pontomais adequado.
Solução Gráfica - Resumo
Considere o seguinte o problema de LP
a) Encontre a solução ótima.
b) Se a função objetivo fosse alterada para 2x1+6x2, qual seria a solução ótima?
c) Quantos pontos extremos existem?
1 2
1 2
1 2
1 2
3 3
. . 2 4 12
6 4 24
, 0
Max x x
s a x x
x x
x x
Solução Gráfica de um PL - Exercício
Solução Gráfica de um PL - Exercício
(0,0)
1
2
0 1 2 3 4 5 6
3
x2
2 0x
1 0x x1
(0,3)
(6,0)
1 22 4 12x x
(4,0)
(0,6)
1 26 4 24x x 5
4
6
7
Solução Gráfica de um PL - Exercício
(0,0)
1
2
0 1 2 3 4 5 6X1
(0,3)
(6,0)
(4,0)
(0,6)
3
4
5
6
x2 7
(3,3/2)
x1
21 330 xxZ
21 336 xxZ
21 330 xxZ
21 336 xxZ
21 330 xxZ
21 339 xxZ
1 26 3 3Z x x
1 20 3 3Z x x
1 29 3 3Z x x
1 213,5 3 3Z x x
Encontre a solução ótima do seguinte o problema de PL
0,
2045
1553
6
5
2 ..
97 Min
21
21
21
2
1
21
21
xx
xx
xx
x
x
xxas
xx
Solução Gráfica de um PL - Exercício
x11086
1 5x
42
2 6x
1 2 2x x
10
14
12
x2
8
6
4
-2
2
-2
1 23 5 15x x
1 25 4 20x x
2 0x
1 0x
Solução Gráfica de um PL - Exercício
x1108642
10
14
12
x2
8
6
4
-2
2
-2
51 x
62 x
221 xx
2045 21 xx
02 x
01 x
1553 21 xx
Solução Gráfica de um PL - Exercício
• Uma restrição é dita redundante quando a suaexclusão do conjunto de restrições, de um problema,não altera o conjunto de soluções viáveis deste;
• É uma restrição que não participa da determinação doconjunto de soluções viáveis;
• Existe um outro problema sem esta restrição com amesma solução ótima.
Programação Linear – Restrições Redundantes
Considere o problema:
0,
2045
1553
6
5
12
2 ..
106 Min
21
21
21
2
1
21
21
21
xx
xx
xx
x
x
xx
xxas
xx
Programação Linear – Restrições Redundantes
x11086
1 5x
42
2 6x
1 2 2x x
10
14
12
x2
8
6
4
-2
2
-2
1 25 4 20x x
2 0x
1 0x
1 22 1x x
1 23 5 15x x
Restrição Redundante
Programação Linear – Restrições Redundantes
• Um problema de Programação Linear com soluçãomúltipla é aquele que possui mais de uma soluçãoótima, ou seja, existe na região viável mais de umponto que dá o Z ótimo.
• Isto acontece somente quando a função objetivo temcoeficientes proporcionais ao de alguma restrição.
Programação Linear – Solução Múltipla
Considere o seguinte o problema de PL
Encontre a solução ótima.
0,
2045
1553
6
5
2 ..
106 Min
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2
1
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21
xx
xx
xx
x
x
xxas
xx
Programação Linear – Solução Múltipla