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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCGAv Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: 58109-190 – Campina Grande – PBwww.ufcg.edu.br/ – Fones: (0xx83) 310 1467/1192 – Fax: (0xx83) 310 1273
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Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz
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Roteiro
7 Processamento no Domínio da Freqüência Introdução Séries de Fourier Transformada de Fourier Filtragem no Domínio da Freqüência
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Função e Transformada
Função Regra para a obtenção de um resultado
y y sendo dada alguma entrada xx
Transformada Regra para a obtenção de uma função FF a
partir de outra ff Explicitação de propriedades relevantes
de ff Representação mais compacta de ff
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Função Periódica
Definição f(t)f(t) é periódica se existir PP tal que
f(t+P) = f(t)f(t+P) = f(t) Período de uma função Menor
constante PP que satisfaz a condição f(t+P) = f(t)f(t+P) = f(t)
f(t)f(t)
tttt11 tt11+P+P
f(tf(t11))
PP
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Atributos de uma Função Periódica I
Amplitude (AA) Valor máximo de f(t)f(t) em qualquer
período
Período (PP) Intervalo de tempo no qual a função
assume todos os valores possíveis e volta a se repetir
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Atributos de uma Função Periódica II
Freqüência (1/P1/P) Número de repetições da função na
unidade de tempo (1 ciclo/s = 1 Hertz) Fase ()
Posição da função dentro de um período
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Atributos de uma Função Periódica III
Representação gráficaf(t)f(t)
tttt11+P+P
AA
PP
tt11
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.brJean Baptiste Joseph
Fourier21/03/1768 Auxerre, França
1807 On the Propagation of Heat in Solid Bodies (Séries de
Fourier)
16/05/1830 Paris
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Analogia Físico-Matemática
f(x)
F(0)F(1)
F(M-1)
Prisma x Transformada de Fourier
F(2)
Feixe de luz branca
Transformada de Fourier
Luz branca decompostaem diferentes
Função decomposta
em diferentes
Função no domínio espacial
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Tempo e Freqüência I
Exemplo 01 I h(h(tt) = sen(2) = sen(2fftt) +) + 11//33 sen(6sen(6fftt))
h(t)h(t)
tt
11
PP
11//33
f(t)f(t) g(t)g(t)
f(t)f(t)
g(t)g(t)
11//33 P P
h(t)h(t) == f(t) f(t) ++ g(t)g(t)
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Tempo e Freqüência II
Exemplo 01 - Aproximação com 2 harmônicos ímpares f(f(tt) = sen(2) = sen(2fftt) +) + 11//33 sen(6sen(6fftt))
g(t) h(t)F(f)
f
1
1/3
0 f 2f 3f
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Tempo e Freqüência III
Exemplo 02 - Aproximação com 6 harmônicos
Forma de Onda
Espectro
Aproximação daOnda Quadrada
Termo A Fase
f(t)Forma de Onda
Espectro
Aproximação daOnda Quadrada
Termo A Fase
f(t)
6
1f)ft2(sen
f1)t(f
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Tempo e Freqüência IV
Forma de Onda Valor instantâneo em função do tempo
Espectro Amplitude em função da freqüência
Forma de
Onda
Espectro
A
Amplitude
Freqüência
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Tempo e Freqüência V
Forma da função distante de uma forma de onda regular Expansão de Fourier incluirá um número
infinito de componentes de freqüência
Forma de
Onda
Espectro
A
Forma de
Onda
Espectro
A
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Domínio da Freqüência
Espectro do domínio da freqüência Faixa de freqüências
Largura de faixa do domínio da freqüência Largura do espectro
Componente DC Componente de freqüência zero
Componentes AC Todas as demais componentes
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Séries de Fourier Séries trigonométricas infinitas formadas
por senos e/ou co-senos Seja a expressão
Séries de Fourier I
][1m
mm0 )
Lxm(senb)
Lxmcos(a(
2a
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Séries de Fourier No conjunto de pontos nos quais a
expressão converge Definição de uma função ff, cujos valores em cada xx é a soma da série para aquele valor de xx Série de FourierSérie de Fourier de ff
Séries de Fourier II
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Séries de Fourier III
Periodicidade das funções senoseno e co-seno I Função periódicaperiódica com período T > 0T > 0
Domínio de ff contém (x+T)(x+T) sempre que contiver xx e
TT Período fundamental
Se TT é um período de f f 2T2T também o é, como qualquer múltiplo inteiro de TT
x. (x), f T)f(x
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Séries de Fourier IV
Periodicidade das funções senoseno e co-seno II Em particular,
sen [(msen [(mx)/T]x)/T]e
cos [(mcos [(mx)/T]x)/T], m = 1, 2, ...m = 1, 2, ...,são periódicasperiódicas com período fundamental T = 2L/mT = 2L/m
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Séries de Fourier V
Ortogonalidade das funções senoseno e co-seno II Duas funções uu e vv são ditas ortogonaisortogonais
em ≤ x ≤ ≤ x ≤ se seu produto internoproduto interno é nulonulo, i.e., se
0dx)x(v)x(u
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Séries de Fourier VI
Ortogonalidade das funções senoseno e co-seno III sen [(msen [(mx)/T] x)/T] e cos [(mcos [(mx)/T]x)/T], m = 1, 2, ...m = 1, 2, ...,
formam um conjunto ortogonalortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L-L ≤ x ≤ L. Seja
u(x) = v(x) = sen [(mu(x) = v(x) = sen [(mx)/T]x)/T]
então:
nmse0nmseL
dx)L
xn(sen.)
Lxm
(senL
L
nmse0nmseL
dx)L
xn(sen.)
Lxm
(senL
L
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Séries de Fourier VII
Ortogonalidade das funções senoseno e co-seno IV sen [(msen [(mx)/T] x)/T] e cos [(mcos [(mx)/T]x)/T], m = 1, 2, ...m = 1, 2, ...,
formam um conjunto ortogonalortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L-L ≤ x ≤ L. Seja
u(x) = v(x) = cos [(mu(x) = v(x) = cos [(mx)/T]x)/T]
então:
nmse0nmseL
dx)L
xn(cos.)
Lxm
(cosL
L
nmse0nmseL
dx)L
xn(cos.)
Lxm
(cosL
L
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Séries de Fourier VIII
Ortogonalidade das funções senoseno e co-seno V sen [(msen [(mx)/T] x)/T] e cos [(mcos [(mx)/T]x)/T], m = 1, 2, ...m = 1, 2, ...,
formam um conjunto ortogonalortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L-L ≤ x ≤ L. Seja
u(x) = sen [(mu(x) = sen [(mx)/T]x)/T]e
v(x) = cos [(mv(x) = cos [(mx)/T]x)/T]
então:
n,m,0dx)L
xn(cos.)
Lxm
(senL
L
n,m,0dx)L
xn(cos.)
Lxm
(senL
L
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Séries de Fourier IX
Supondo que uma série da forma
converge e Considerando as propriedades de
ortogonalidade apresentadas, conclui-se que:
e
][1m
mm0 )
Lxm(senb)
Lxmcos(a(
2a
...2,1,0n,dx)L
xncos()x(fL1a
L
Ln
...2,1,0n,dx)L
xncos()x(fL1a
L
Ln
...2,1,0n,dx)L
xn(sen)x(fL1b
L
Ln
...2,1,0n,dx)L
xn(sen)x(fL1b
L
Ln
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Séries de Fourier X
Funções ParesPares e ImparesImpares ff é uma função parpar se seu domínio
contém o ponto -x-x sempre que contiver o ponto xx e se f(x) = f(-x)f(x) = f(-x) para cada xx do domínio de ff.
Analogamente, ff é uma função ímparímpar se seu domínio contém o ponto -x-x sempre que contiver o ponto xx e se f(-x) = -f(x)f(-x) = -f(x) para cada xx do domínio de ff.
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Séries de Fourier XI
Propriedades Elementares I1. A soma/diferença e o produto/ quociente
de duas funções parespares é parpar.2. A soma/diferença de duas funções
ímparesímpares é ímparímpar, enquanto o produto/quociente de duas funções ímparesímpares é parpar.
3. A soma/diferença de uma função parpar e uma função ímparímpar não é par nem ímpar, enquanto o produto/quociente é ímparímpar .
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Séries de Fourier XII
Propriedades Elementares II4. Se ff é uma função parpar, então
5. Se ff é uma função ímparímpar, então
dx)x(f2dx)x(fL
0
L
L
dx)x(f2dx)x(fL
0
L
L
0dx)x(fL
L 0dx)x(f
L
L
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Séries de Fourier XIII
Propriedades Elementares III Como conseqüência das Propriedades 44 e
55, os coeficientes de Fourier de ff no caso do co-seno (par) são dados por
e
...2,1,0n,dx)L
xncos()x(fL2a
L
0n ...2,1,0n,dx)
Lxncos()x(f
L2a
L
0n
...2,1,0n,0bn ...2,1,0n,0bn
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Propriedades Elementares IV Analogamente, os coeficientes de Fourier
de ff no caso do seno (ímpar) são dados por
e
Então, a série de Fourier será dada por
)L
xncos(a)x(f1n n
)
Lxncos(a)x(f
1n n
...2,1,0n,dx)L
xn(sen)x(fL2b
L
0n ...2,1,0n,dx)
Lxn(sen)x(f
L2b
L
0n
...2,1,0n,0an ...2,1,0n,0an
Séries de Fourier XIV
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Propriedades Elementares V Analogamente, os coeficientes de Fourier
de ff no caso do seno (ímpar) são dados por
e
Então, a série de Fourier será dada por
...2,1,0n,dx)L
xn(sen)x(fL2b
L
0n ...2,1,0n,dx)
Lxn(sen)x(f
L2b
L
0n
...2,1,0n,0an ...2,1,0n,0an
Séries de Fourier XV
)L
xn(senb)x(f1n n
)
Lxn(senb)x(f
1n n
![Page 31: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/31.jpg)
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Fato Possibilidade de representação de
qualquerqualquer sinal periódico como uma soma de ondas senoidais e cossenoidais com freqüências harmônicas Se a freqüência fundamental de uma
função for ff Harmônicas serão funções com freqüências nfnf (nn inteiro)
Transformada de Fourier I
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.br/
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com
.br
Transformada de Fourier II
ii sensenttcoscosiittee ++== tt
Fórmula de Euler I
Vetor Rotativo (Fasor) eeiitt é periódico |e|eiitt| = 1| = 1
Freqüências negativas: Rotação na direção oposta
ImIm
ReRe11
ii
tt
![Page 33: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/33.jpg)
33
DSC/CCT/UFCG
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.br
Transformada de Fourier III
Fórmula de Euler II
sensenttcoscosAAkk ++kk ttkkBBkk
eeikikttAAkk
22ee-ik-ikttAAkk
22++==
eeikikttBBkk
22ee-ik-ikttBBkk
22++--
eeikikttCCkk ee-ik-iktt++== CC-k-k
(e(eiitt½½ ee-i-itt))++==ttcoscos
(e(eiitt-½-½ ee-i-itt))--==ttsensen
(A(Akk½½ iBiBkk), k>0), k>0--==CCkk
(A(A|k||k|½½ iBiB|k||k|), k<0), k<0--==CCkk
![Page 34: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/34.jpg)
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DSC/CCT/UFCG
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.br
Transformada de Fourier IV
Possibilidade de representação funções nãonão periódicas como somatórios de funções senoidais e cossenoidais de (possivelmente) todas as freqüências
ii sensenttcoscosiittee tt
dd]]ii sensentt[cos[cos))((FF))tt((ff
tt2211
))((FF))tt((ff
iittee dd2211
![Page 35: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/35.jpg)
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.br
F(F()) EspectroEspectro da função f(x)f(x) Distribuição de freqüências presentes
na função Computação a partir de f(x)f(x) mediante a
Transformada deTransformada de FourierFourier
Transformada de Fourier V
))((FF))tt((ff
iittee dd2211
))((FF ))tt((ff
-i-ittee dtdt))tt((ff[[ ]]
![Page 36: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/36.jpg)
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.br ))((FF ))tt((ff
-i-ittee dtdt))tt((ff[[ ]]
-1-1 -i-i//22(e(e
111/21/2
-i-ittee dtdt1/21/2
ii - e- e )) ffffsensen
ii//
22
-0,5
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
xx
f(x)f(x)
Transformada de Fourier VI
Exemplo 02 I – Função boxbox
==
xx0,0,22
11xx1,1,))xx((ff
2211
22ff
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.br
Transformada de Fourier VII
Exemplo 02 I – Função boxbox
ffffsensen))((FF
ff sincsinc
-0,5
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
F(F())
22-2-2 44-4-4 66-6-6
![Page 38: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/38.jpg)
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= 0= 0
xx1,1,
))xx((ffff
ffsensen ≠ ≠ 00, x, x
Transformada de Fourier VIII
Exemplo 03 – Função sincsinc
-0,5
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
xx
f(x)f(x)
F(F())
-0,5
-0,3
-0,1
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
1,1
1,3
1,5
22ff
))((FF
-i-ittee ddffffsensen
(( ))
==
xx0,0,22
11xx1,1,))xx((ff
2211
![Page 39: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/39.jpg)
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Transformada de Fourier IX
Exemplo 04 – Função coscosxx
Se f(x)f(x) for par F(F() ) também será par
11-1-1
F(F())
-1-1
11
xx
f(x)f(x)
00
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Transformada de Fourier X
Exemplo 04 – Função sensenxx
Se f(x)f(x) for ímpar F(F() ) também será ímpar
11
-1-1
F(F())
---1-1
11
xx
f(x)f(x)
00
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Transformada de Fourier XI
Exemplo 05 – Função constanteconstante
Se f(x)f(x) for constante F(F() ) só conterá a componente de freqüência 0
kk
xx
f(x)f(x)
00
2k2k
F(F())
Função na origem
00
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Transformada de Fourier XII
Exemplo 06 – Função impulso unitárioimpulso unitário
A transformada de Fourier e sua inversa são qualitativamentequalitativamente a mesma O conhecimento de uma direção conduz à outra
11
00 xx
f(x)f(x)1/21/2
F(F())
00
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Transformada de Fourier XIII
Exemplo 07 I – Função combcomb
A função combcomb é uma seqüência infinita de impulsos uniformemente distribuídos no tempo (ou espaço)
11
00 xx
f(x)f(x)
combcombTT(x) =(x) =∑∑(x (x –– nTnT))n = n = --∞∞
∞∞combcombTT(x) =(x) =∑∑(x (x –– nTnT))
n = n = --∞∞
∞∞
11
00 xx
g(x)g(x)
TT 2T2T 3T3T 4T4T-4T-4T -3T-3T -2T-2T -T-T
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Transformada de Fourier XIV
Exemplo 07 II – Função combcombA transformada de Fourier de uma função combcomb é também uma função combcomb
11
00 xx
f(x)f(x)
TT 2T2T 3T3T 4T4T-4T-4T -3T-3T -2T-2T -T-T
combcombTT(x) =(x) =∑∑(x (x –– nTnT))n = n = --∞∞
∞∞combcombTT(x) =(x) =∑∑(x (x –– nTnT))
n = n = --∞∞
∞∞
22
00 22/T/T- 2- 2/ T/ T
F(F())
combcombTT ∑∑n = n = --∞∞
∞∞combcombcombTTT(x)) =(x)) = ∑∑
n = n = --∞∞∞(( - - 22nn//TT ))(( 22//TT
combcombTTcombcombcombTTT (x)) =(x)) = 22//TT combcomb22/T /T
(())((
![Page 45: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/45.jpg)
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Transformada de Fourier XV
Exemplo 08 – Função gaussianagaussiana
A transformada de Fourier e sua inversa são qualitativamentequalitativamente a mesma O conhecimento de uma direção conduz à outra
00 xx
f(x)f(x)
F(F())
-0,02-0,02
0,030,03
0,080,08
0,180,18
0,130,13 22xx22
ee2211
00-0,02-0,02
0,030,03
0,080,08
0,180,18
0,130,13
![Page 46: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/46.jpg)
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Propriedades Qualitativas Espectro de uma função Quantidade
relativa de altas e baixas freqüências Aguçamento de bordas Realce de
freqüências altas Suavização de regiões Realce de
freqüências baixas Função limitada em faixalimitada em faixa Espectro sem
freqüências acima de um limite máximo Exemplos Funções seno e cosseno Contra-exemplos Funções box e
gaussiana
Transformada de Fourier XVI
![Page 47: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/47.jpg)
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Imagens Funções 2D discretas Transformada de Fourier 2D Uso do
produto de senos e cossenos Transformada de Fourier de uma
imagem discreta Possibilidade de armazenamento no mesmo espaço de armazenamento da imagem
Algoritmo Numérico Computação de transformadas discretas a partir da Transformada Rápida de FourierTransformada Rápida de Fourier (FFTFFT)
Transformada de Fourier XVII
![Page 48: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/48.jpg)
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Transformada Transformada InversaInversa 1D 1D
==
==uu
iixxddxxff
22F(F()e)e))(( ))))((((
11FF
--==
====xx
iixxdxdxFF
-2-2f(x)ef(x)e))(( ))))(((( xxff==
Transformada 1D Transformada 1D
Transformada Contínua de Fourier I
Transformada Contínua 1D
![Page 49: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/49.jpg)
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Transformada Transformada InversaInversa 2D 2D
Transformada Contínua de Fourier II
Transformada Contínua 2DTransformada 2D Transformada 2D
==
i(i(x+x+y)y)dxdydxdy,,FF
-2-2f(x,y)ef(x,y)e))(( ))))(((( x,yx,yff==
,,i(i(x+x+y)y)
==
ddddx,yx,yff
22))(( ))))((((
11FF
--==
,,FF )e)e((
![Page 50: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/50.jpg)
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Transformada Discreta de Fourier I
Sinais Discretos
Função discreta f f :{ f(0), f(1), f(2), … , f(N-1) }{ f(0), f(1), f(2), … , f(N-1) }
f(x)f(x)
f(xf(x00))f(xf(x00++x)x)
f(xf(x00+2+2x)x)f(xf(x00+3+3x)x)
xx00 xx00++xx xx00+2+2xx xx00+3+3xx xx00
f(x)f(x)
f(xf(x00))f(xf(x00++x)x)
f(xf(x00+2+2x)x)f(xf(x00+3+3x)x)
xx00 xx00++xx xx00+2+2xx xx00+3+3xx xx00
f(n) = f(xf(n) = f(x00 + n+ nx)x)f(x)f(x)
11 22 33 …… xx00 44
f(n) = f(xf(n) = f(x00 + n+ nx)x)f(x)f(x)
11 22 33 …… xx00 44
f(x)f(x)
11 22 33 …… xx00 44
![Page 51: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/51.jpg)
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Transformada 1D Transformada 1D
∑∑==NN -- 11
00==xx
iix/Nx/NuuFF
-2-2f(x)ef(x)e))(( 11
NN
Transformada Transformada InversaInversa 1D 1D
Transformada Discreta de Fourier II
Transformada Discreta 1D
∑∑==NN -- 11
00==
iix/Nx/Nxxff
22F(F()e)e))((
= 0, 1, 2, ..., N-1
x = 0, 1, 2, ..., N-1
![Page 52: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/52.jpg)
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Transformada 2D Transformada 2D
Transformada Transformada InversaInversa 2D 2D
Transformada Discreta de Fourier III
Transformada Discreta 2D
∑∑==NN -- 11
00==xx
i(i(x/N+x/N+y/M)y/M),,FF
-2-2f(x,y)ef(x,y)e))(( 11
NN11MM ∑∑
MM -- 11
00==yy
∑∑==NN -- 11
00==
i(i(x/N+x/N+y/M)y/M)x,yx,yff
22F(F(,,)e)e))(( ∑∑
MM -- 11
00==
= 0, 1, 2, ..., N-1 = 0, 1, 2, ..., M-1
x = 0, 1, 2, ..., N-1y = 0, 1, 2, ..., M-1
![Page 53: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/53.jpg)
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Transformada Discreta 2D – Nota Prática Consideração de xxijij como uma matriz
Possibilidade de computação da DFT 2D Computação da transformada 1D em
todas as linhas da imagem (seguida da) Computação da transformada 1D em
todas as colunas da imagem
Transformada Discreta de Fourier III
Resultado similar com a inversão Resultado similar com a inversão do processo de computação da do processo de computação da transformada 1Dtransformada 1D
![Page 54: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/54.jpg)
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f(x,y) F(,)
Propriedades da FT I
Linearidade I
af(x,y) + bg(x,y) af(x,y) + bg(x,y) aF( aF(, , ) + bG() + bG(, , ) )
g(x,y) G(, )
![Page 55: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/55.jpg)
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Propriedades da FT II
Linearidadeaf(x,y) + bg(x,y) af(x,y) + bg(x,y) aF( aF(,,) + bG() + bG(,,) )
==
i(i(xx++y)y)dxdydxdy
--22[[afaf(x,y) + (x,y) + bgbg(x,y)](x,y)] ee ==
==
i(i(xx++y)y)dxdydxdy
--22[[afaf(x,y) + (x,y) + bgbg(x,y)](x,y)] ee ==
(x,y)(x,y)==
i(i(xx++y)y)dxdydxdy
--22afaf(x,y)(x,y) ee ++
dxdydxdybgbg ee i(i(xx++y)y)--22
==
i(i(xx++y)y)dxdydxdy
--22afaf(x,y)(x,y) ee ++
dxdydxdyee i(i(xx++y)y)--22
(x,y)(x,y)==
i(i(xx++y)y)dxdydxdy
--22afaf(x,y)(x,y) ee ++
dxdydxdybgbg ee i(i(xx++y)y)--22
==
i(i(xx++y)y)dxdydxdy
--22afaf(x,y)(x,y) ee ++
dxdydxdyee i(i(xx++y)y)--22
==
i(i(xx++y)y)dxdydxdy
--22f(x,y)f(x,y) ee ++
dxdydxdyg(x,y)g(x,y) ee
i(i(xx++y)y)--22
bbaa==
i(i(xx++y)y)dxdydxdy
--22f(x,y)f(x,y) ee ++
dxdydxdyg(x,y)g(x,y) ee
i(i(xx++y)y)--22
bbaa
==afaf(x,y) + (x,y) + bgbg(x,y)](x,y)][[
cqd
==(f(x,y))(f(x,y))== aa (g(x,y))(g(x,y))++ bb aaFF(( ,, ) +) + bbGG(( ,, ))==(f(x,y))(f(x,y))== aa (g(x,y))(g(x,y))++ bb aaFF(( ,, ) +) + bbGG(( ,, )) ==(f(x,y))(f(x,y))== aa (g(x,y))(g(x,y))++ bb aaFF(( ,, ) +) + bbGG(( ,, ))==(f(x,y))(f(x,y))== aa (g(x,y))(g(x,y))++ bb aaFF(( ,, ) +) + bbGG(( ,, ))
![Page 56: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/56.jpg)
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com
.br
f(x,y) F(,)
g(x,y) G(,)
Propriedades da FT III
Escalamento ou Ampliação
g(ax,by) g(ax,by) 11//|ab||ab|G(G(/a,/a,/b)/b)
![Page 57: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/57.jpg)
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f(x,y) F(,)
g(x,y) G(,)
Propriedades da FT IV
Deslocamento
f(x-a,y-b) f(x-a,y-b) F( F(,,)e)e-i2-i2(a(a+b+b))
![Page 58: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/58.jpg)
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Propriedades da FT V
Separabilidade
f(x,y) = f1(x)f2(y)
f(x,y) F(,)
ff11(x)f(x)f22(y) (y) F F11(()F)F22(() = F() = F(,,))
ff11(x) (x) F F11(())
ff22(y) (y) F F22(())
![Page 59: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/59.jpg)
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Propriedades da FT VI
Invariância da Rotação
f(xcosf(xcos +ysen +ysen, -xsen, -xsen +ycos +ycos) ) FF11((cos cos + +sensen, -, -sensen + + coscos))
sensen
sensen
sensen
sensen
yyxx
coscoscoscos
yyxx
yyxx
coscoscoscos
yyxx
sen
sensen
sensen
sensen
sen
yyxx
coscoscoscos
yyxx
yyxx
coscoscoscos
yyxx
![Page 60: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/60.jpg)
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f(x,y) F(,)
Propriedades da FT VII
Convolução
g(x,y) G(,)
dd dd ⇔ ⇔ F(F(,,)G()G(,,))f(f(,,))
g(x-g(x-,y-,y-))
![Page 61: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/61.jpg)
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DFT Direta e Inversa 2D I
para u=0, 1, 2, ..., M-1u=0, 1, 2, ..., M-1, v=0, 1, 2, ..., N-1v=0, 1, 2, ..., N-1 e
1M
0u
1N
0v
N/vyM/uxj2ev,uFy,xf π
1M
0u
1N
0v
N/vyM/uxj2ev,uFy,xf π
1M
0x
1N
0y
N/vyM/uxj2e)y,x(fMN
1v,uF π
1M
0x
1N
0y
N/vyM/uxj2e)y,x(fMN
1v,uF π
DFT Bidimensional
I
![Page 62: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/62.jpg)
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DFT Direta e Inversa 2D II f(x,y)f(x,y) representa as amostras da função
f(xf(x00+x+xx,yx,y00+y +y y) y), para x=0, 1, 2, ..., M-1x=0, 1, 2, ..., M-1, e y=0, 1, 2, ..., N-1y=0, 1, 2, ..., N-1
Aplica-se o mesmo a F(u,v)F(u,v) Os incrementos nas amostras em ambos
os domínios estão relacionados por e
DFT Bidimensional
II
xM1uΔ
Δ xM
1uΔ
Δ yN1vΔ
Δ yN
1vΔ
Δ
![Page 63: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/63.jpg)
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DFT Direta e Inversa 2D III f(x,y)f(x,y) é sempre considerada uma função
realreal de dimensão 22, tipicamente uma imagem.
F(u.v)F(u.v) é, em geral, uma função complexa.
DFT Bidimensional
III
v,ujIv,uR)v,u(F
v,ujev,uFv,uF
v,uRv,uItanv,u 1
2/122 v,uIv,uRv,uF
v,ujIv,uR)v,u(F
v,ujev,uFv,uF
v,uRv,uItanv,u 1
2/122 v,uIv,uRv,uF
![Page 64: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/64.jpg)
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DFT Direta e Inversa 2D IV Espectro de Potência de f(x,y)f(x,y)
DFT Bidimensional
IV
v,uIv,uRv,uF)v,u(P 222 v,uIv,uRv,uF)v,u(P 222
![Page 65: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/65.jpg)
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Senos e Cossenos 2D I
cos[2cos[2(0,y)](0,y)] cos[2cos[2 (x,0)] (x,0)] sen[2sen[2 (0,y)] (0,y)] sen[2sen[2 (x,0)] (x,0)]
Exemplo 03 Normalização para ajuste ao intervalo [0:1][0:1]
![Page 66: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/66.jpg)
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Senos e Cossenos 2D II
cos[2cos[2(3x,4y)](3x,4y)] cos[2cos[2 (5x,2y)] (5x,2y)] sen[2sen[2 (3x,-5y)] (3x,-5y)] sen[2sen[2 (-3x,6y)] (-3x,6y)]
Exemplo 04 Normalização para ajuste ao intervalo
[0:1][0:1]
![Page 67: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/67.jpg)
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Periodicidade e Simetria do Conjugado
v,uFNv,MuFv,uF * v,uFNv,MuFv,uF * v,uFv,uF v,uFv,uF
Exemplo 05
![Page 68: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/68.jpg)
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ImagemImagemoriginaloriginal
Transformada Transformada sem deslocamentosem deslocamento
OrigemOrigem
Transformada com Transformada com origem no centro origem no centro
da matrizda matriz
Exemplo 06
Translação
vu1 1u,vF2/Ny,2/Mxf
2/N,v2/MuF1x,yf yx e
vu1 1u,vF2/Ny,2/Mxf
2/N,v2/MuF1x,yf yx
![Page 69: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/69.jpg)
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Uso de coordenadas polares
f(x,y)f(x,y) e F(u,v)F(u,v) se tornam f(r,f(r,)) e F(F(, , ))
Rotação
Imagem Imagem originaloriginal
Imagem Imagem rotacionadarotacionada
EspectrosEspectros
senωvcosωusenθrycosθrx senωvcosωusenθrycosθrx
00 θ,Fθθ,rf 00 θ,Fθθ,rf
![Page 70: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/70.jpg)
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Visualização da FT em 2D I
Visualização usual como uma função de intensidade Facilidade de visualização
onde cc é uma constante arbitráriaarbitrária. )v,u(F1logc)v,u(D)v,u(F )v,u(F1logc)v,u(D)v,u(F
![Page 71: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/71.jpg)
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Visualização da FT em 2D II
Exemplo 07
|F(u,v)||F(u,v)|
D(u,v)D(u,v)
)v,u(F1logc)v,u(D )v,u(F1logc)v,u(D
![Page 72: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/72.jpg)
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Transformada de FourierTransformada de FourierImagemImagemCaracterísticas: Incrustações de óxido Bordas a ±45º±45º
Relações Espaço Espaço ×× Freqüência Freqüência
Filtragem no Domínio da Freqüência I
Imagem microscópica de um circuito integradoImagem microscópica de um circuito integrado
![Page 73: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/73.jpg)
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Filtragem no Domínio da Freqüência
TransformadaTransformadade Fourierde Fourier X
f(x,yf(x,y))
g(x,y)g(x,y)
H(u,v)H(u,v)
G(u,vG(u,v))
F(u,v)F(u,v)Domínio daDomínio daFreqüênciaFreqüência
Parte Parte RealReal
Domínio do EspaçoDomínio do Espaço
TransformadaTransformadaInversa de FourierInversa de Fourier
11
22
4433
![Page 74: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/74.jpg)
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Filtragem no Domínio da Freqüência
Processo de Filtragem no Domínio da Freqüência Multiplica-se a imagem por (-1)(-1)x+yx+y para
centrar a origem das freqüências; Calcula-se F(u,v)F(u,v), i.e, a DFT da imagem; Multiplica-se a F(u,v)F(u,v) pela função filtro
F(u,v)F(u,v); Calcula-se a transformada inversa; Obtém-se a parte real do resultado de
(4); Multiplica-se o resultado em (5) por
(-1)(-1)x+yx+y.
![Page 75: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/75.jpg)
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Filtros Básicos I
Notch Notch II
contráriocaso0,0v,use
,1,0v,uH
contráriocaso0,0v,use
,1,0v,uH
Imagem Original Imagem filtrada
![Page 76: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/76.jpg)
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Filtros Básicos II
Notch II Valores negativos:
Imagens são restritas a valores positivos e para visualização são convertidas para a faixa de 0 a 255;
Removendo-se o nível médio, obtém-se valores negativos;
Valores negativos no slide anterior foram convertidos para 0;
![Page 77: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/77.jpg)
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Filtros Básicos III
Notch III Visualização de uma imagem com valores
negativos no MATLAB Uso de imshowimshow
imshow(img, [low high])imshow(img, [low high])
![Page 78: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/78.jpg)
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Função de Transferência Imagem resultante
Filtros Básicos IV
Passa-BaixasPassa-Baixas Uniformização de grandes regiõesUniformização de grandes regiões
Efeito de “borramento” da imagemEfeito de “borramento” da imagem
![Page 79: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/79.jpg)
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Filtros Básicos V
Passa-AltasPassa-Altas Ênfase de detalhes finos (e.g., bordas, Ênfase de detalhes finos (e.g., bordas,
textura)textura) Efeito de “aguçamento” da imagemEfeito de “aguçamento” da imagem
Função de Transferência Imagem resultante
Origem
![Page 80: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/80.jpg)
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Filtros Básicos VI
Passa-Baixas Ideal Passa-Baixas Ideal II
2122
oo vu)v,u(D,Dv,uDse
Dv,uDse,0,1v,uH
2122
oo vu)v,u(D,Dv,uDse
Dv,uDse,0,1v,uH
Função de Transferência
u
H(u, v)
v
H(u, v)
D(u, v)D0
1
u
v
Espectro Freqüência de Corte
![Page 81: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/81.jpg)
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Filtros Básicos VII
Passa-Baixas Ideal Passa-Baixas Ideal II – Exemplo 08II – Exemplo 08
Imagem 500×500 pixels Saída FPBI, raio=5 Saída FPBI, raio=15
Saída FPBI, raio=30 Saída FPBI, raio=80 Saída FPBI, raio=230
![Page 82: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/82.jpg)
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Filtros Básicos VIII
Passa-Baixas Butterworth Passa-Baixas Butterworth II
n20D/v,uD1
1v,uH
n2
0D/v,uD11v,uH
Freqüência de Corte
Grau
![Page 83: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/83.jpg)
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Filtros Básicos IX
Passa-Baixas Ideal Passa-Baixas Ideal II – Exemplo 09II – Exemplo 09
Imagem 500×500 pixels Saída FPBI, raio=5 Saída FPBI, raio=15
Saída FPBI, raio=30 Saída FPBI, raio=80 Saída FPBI, raio=230
![Page 84: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/84.jpg)
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Filtros Básicos X
Passa-Baixas Gaussiano Passa-Baixas Gaussiano II
Freqüência de CorteAbertura
20
2
22
D2v,uD
2v,uD
eev,uH
20
2
22
D2v,uD
2v,uD
eev,uH
![Page 85: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/85.jpg)
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Filtros Básicos XI
Passa-Baixas Gaussiano Passa-Baixas Gaussiano II – Exemplo 10II – Exemplo 10
Imagem 500×500 pixels Saída FPBI, raio=5 Saída FPBI, raio=15
Saída FPBI, raio=30 Saída FPBI, raio=80 Saída FPBI, raio=230
![Page 86: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/86.jpg)
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Filtros Básicos XII
Passa-Altas Passa-Altas II
Hfpai=1-Hfpbi
Hfpab=1-Hfpbb
Hfpag=1-Hfpbg
![Page 87: Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022051422/5681564e550346895dc3efc6/html5/thumbnails/87.jpg)
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Filtros Básicos XIII
Passa-Altas Passa-Altas IIII
Passa-altas Ideal
Passa-altas Butterworth
D0 = 15 D0 = 30 D0 = 80
Passa-altas Gaussiano
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