Prof. Fernando D’Angelo
Classe 3BS – PNI
a.s.2010/2011
Disequazioni di secondo
grado
In questa presentazione verrà mostrato,
ricorrendo ad alcuni esempi,
come si risolvono le
disequazioni di 2° grado
ed in particolare
come si scrivono le loro soluzioni.
Premessa Premessa
Risolvere la disequazione di secondo gradoRisolvere la disequazione di secondo grado
025102 xx
se si considera la parabolase si considera la parabola 25102 xxy
equivale ad individuare i punti della parabola
aventi ordinata positiva
equivale ad individuare i punti della parabola
aventi ordinata positiva
Pertanto, nella risoluzione di una
disequazione di 2° grado, si può
ricorrere al grafico “qualitativo”
di una parabola che funga da guida
nella scrittura delle soluzioni.
Pertanto, nella risoluzione di una
disequazione di 2° grado, si può
ricorrere al grafico “qualitativo”
di una parabola che funga da guida
nella scrittura delle soluzioni.
Nota Bene: Per semplicità grafica, nei grafici che seguono, non verrà
rappresentato l’asse y.
Nota Bene: Per semplicità grafica, nei grafici che seguono, non verrà
rappresentato l’asse y.
La soluzione di una disequazione, come si
vedrà negli esempi, è un sottoinsieme S (proprio o improprio) dell’insieme dei
numeri reali R
La soluzione di una disequazione, come si
vedrà negli esempi, è un sottoinsieme S (proprio o improprio) dell’insieme dei
numeri reali R
Esempio N°1Esempio N°1
025102 xx
Consideriamo l’equazione associatacorrispondente
Consideriamo l’equazione associatacorrispondente
025102 xx
11
Risolviamola con la formula ridotta trovando le radici reali…
Risolviamola con la formula ridotta trovando le radici reali…
1
251255 x
1
251255 x
025102 xx
05x 05x
05x 05x
5x 5x 5x 5x
radici reali coincidenti
22
5x 5x
Posizioniamo tale valore sull’asse x Posizioniamo tale valore sull’asse x
5 xx
33
5
Disegniamo la parabola che passaper il punto trovato e,Disegniamo la parabola che passaper il punto trovato e,
025101 2 xx
poiché il primo coefficiente a èpositivo, poiché il primo coefficiente a èpositivo,
avente la concavità verso l’alto. avente la concavità verso l’alto.
xx
44
5
Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatapositiva,
Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatapositiva,
025102 xx
>0
25102 xxy
xx
55
>0
5
evidenziamo i punti della parabolache hanno ordinata positiva
evidenziamo i punti della parabolache hanno ordinata positiva
e proiettiamoli sull’asse xe proiettiamoli sull’asse x
xx
L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai valori reali x tali che:
L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai valori reali x tali che:
5
025102 xx
5x 5x 5x 5x
ossia 5RS 5RS
xx
55
0642 xx
Consideriamo l’equazione associatacorrispondente
Consideriamo l’equazione associatacorrispondente
0642 xx
Esempio N°2Esempio N°2
11
Risolviamola con la formula ridotta trovando le eventuali radici reali…Risolviamola con la formula ridotta trovando le eventuali radici reali…
1
6142 x
1
6142 x
0642 xx
22 x 22 x
22
non esistono radici reali!!!non esistono radici reali!!!
…pertanto non possiamo posizionare alcuna radice reale sull’asse x!!!!…pertanto non possiamo posizionare alcuna radice reale sull’asse x!!!!
xx
33
Disegniamo una parabola che nonnon interseca l’asse x e,Disegniamo una parabola che nonnon interseca l’asse x e,
0641 2 xx
poiché il primo coefficiente a èpositivo, poiché il primo coefficiente a èpositivo,
avente la concavità verso l’alto. avente la concavità verso l’alto.
xx
44
0642 xx
>0
Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatapositiva,
Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatapositiva,
522 xxy
xx
55
>0
evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata positiva
evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata positiva
e proiettiamoli sull’asse xe proiettiamoli sull’asse x
xx
0642 xx
ossia R S R S
….da tutti i numeri reali!….da tutti i numeri reali!
L’insieme S di numeri reali in cui la disequazione data è soddisfatta è costituito da……
L’insieme S di numeri reali in cui la disequazione data è soddisfatta è costituito da……
xx
55
Esempio N°3Esempio N°3
01522 xx
Consideriamo l’equazione associatacorrispondente
Consideriamo l’equazione associatacorrispondente
01522 xx
11
Risolviamola, trovando le eventuali radici realiRisolviamola, trovando le eventuali radici reali
1
15111 x
1
15111 x
01522 xx
161x 161x
22
41x 41x
5x 5x 3x 3x
3x 3x
Posizioniamo le radici sopra l’asse xPosizioniamo le radici sopra l’asse x
3
5x 5x
5 xx
33
5
Disegniamo la parabola che passaper i punti trovati e,Disegniamo la parabola che passaper i punti trovati e,
01521 2 xx
poiché il primo coefficiente a èpositivo, poiché il primo coefficiente a èpositivo,
avente la concavità verso l’alto. avente la concavità verso l’alto.
3 xx
44
01522 xx
<05 3
Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatanegativa,
Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatanegativa,
1522 xxy
xx
<0
evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata negativa
evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata negativa
e proiettiamoli sull’asse x.e proiettiamoli sull’asse x.
2 3 xx
55
3
01522 xx
5
35 x 35 x
L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai valori reali x tali che:
L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai valori reali x tali che:
cioè 3x5-Rx S 3x5-Rx S
xx
66
Esempio N°4Esempio N°4
0442 xx
Consideriamo l’equazione associatacorrispondente
Consideriamo l’equazione associatacorrispondente
0442 xx
11
Risolviamola con la formula ridottaRisolviamola con la formula ridotta
1
4142 x
1
4142 x
0442 xx
02 x 02 x
22
02 x 02 x
2x 2x 2x 2x
radici reali coincidenti !radici reali coincidenti !
2x 2x
Posizioniamo tale valore sull’asse x.Posizioniamo tale valore sull’asse x.
2 xx
33
2
Disegniamo la parabola che passaper il punto trovato e,Disegniamo la parabola che passaper il punto trovato e,
0441 2 xx
poiché il primo coefficiente a èpositivo, poiché il primo coefficiente a èpositivo,
avente la concavità verso l’alto. avente la concavità verso l’alto.
xx
44
Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatanegativa,
Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola aventi ordinatanegativa,
0442 xx
<02
442 xxy
xx
55
<0
2
evidenziamo i punti della parabola che hanno ordinata negativa …evidenziamo i punti della parabola che hanno ordinata negativa …
non ci sono puntinon ci sono punticon ordinata negativa!!!con ordinata negativa!!!
non ci sono puntinon ci sono punticon ordinata negativa!!!con ordinata negativa!!!
xx
Pertanto l’insieme di numeri reali, in cui la disequazione è soddisfatta è ……Pertanto l’insieme di numeri reali, in cui la disequazione è soddisfatta è ……
2
0442 xx
ossia S S
...l’insieme vuoto!!!!!...l’insieme vuoto!!!!!
xx
66
Esempio N°5Esempio N°5
042 xx
Consideriamo l’equazione corrispondenteConsideriamo l’equazione corrispondente
042 xx
11
Risolviamola, trovando le radiciRisolviamola, trovando le radici
04 xx 04 xx
042 xx
0x 0x
04 x 04 x
0x 0x
4x 4x
22
4x 4x
Posizioniamo le radici sopra l’asse xPosizioniamo le radici sopra l’asse x
4
0x 0x
0 xx
33
0
Disegniamo la parabola che passaper i punti trovati e,Disegniamo la parabola che passaper i punti trovati e,
041 2 xx
poiché il primo coefficiente a èpositivo, poiché il primo coefficiente a èpositivo,
avente la concavità verso l’alto. avente la concavità verso l’alto.
4 xx
44
Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola che hanno ordinata positiva oppure nulla,
Poiché nella disequazione siamo interessati ai punti della parabola che hanno ordinata positiva oppure nulla,
042 xx
00 4 xx
55
evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata positiva o nulla e proiettiamoli
sull’asse x
evidenziamo i punti della parabola aventi ordinata positiva o nulla e proiettiamoli
sull’asse x
0 4
0
xx
L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai numeri reali x tali che:
L’insieme S di numeri reali, in cui la disequazione data è soddisfatta, è costituito dai numeri reali x tali che:
4
042 xx
0
0x 0x 4x 4x
4x0xRx S 4x0xRx Sossia
xx
66
Esercizi
1 032 xx
2 01272 xx
3 0273 2 xx
4 062 xx
5 0162 x
6 094 2 xx
FINE