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Prof.ª Dr.ª Donizete Ritter
MÓDULO III – PARTE I:
Conjuntos e Diagramas Lógicos
Bacharelado em Sistemas de Informação
Disciplina: Lógica
Teoria de Conjuntos
Conceitos Primitivos (não-definidos):
A idéia de conjunto é a mesma de coleção.
Conjuntos
Elementos
1. Tabular
Representação de um Conjunto
forma de tabela
entre chaves { } e separados por vírgula.
A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}
É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ... .
2. Diagramas de Venn
Representação de um Conjunto
Elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples.
A B
• 1
• 2
• 3
• 4
• a
• e
• i
• o
• u
Representação de um Conjunto
Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por:
A = {x | x tem a propriedade p}.
Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p”.
3. Propriedade
Exemplo:
B = {x | x é número natural par}
o conjunto B é formado por todos os números naturais pares
Representação através de uma propriedade
Relação de Pertinência
A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}
u é elemento do conjunto A e
não é elemento do conjunto B.
u A (lê-se “u pertence a A”) e
u B (lê-se “u não pertence a B”)
Relação de Pertinência
De um modo geral, para relacionar elemento e conjunto, só se pode usar os símbolos:
(pertence) e (não pertence)
Tipos de Conjuntos
Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.
Exemplos:
(a)C = {5}
(b) B = { x | x é estrela do sistema solar}
1. Conjunto unitário
Tipos de Conjuntos
Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por ou { }.
Exemplos:
D = {x | x é número e x . 0 = 5} =
E = {x | x é computador sem memória} = { }
2. Conjunto vazio
Tipos de Conjuntos
Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao “fim” da contagem de seus elementos.
Exemplos:
B = {1, 2, 3, 4}
D = {x | x é brasileiro}
H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol}
3. Conjunto finito
Tipos de Conjuntos
Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao “fim” da contagem.
Exemplos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
A = { x N | x é par} = {0, 2, 4, 6, ...}
4. Conjunto infinito
Conjuntos Iguais• Dois ou mais conjuntos são iguais quando
possuem os mesmos elementos.
temos A = B.
os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos.
• Se A não é igual a B, escrevemos A B (lê-se “A é diferente de B”).
A é o conjunto das letras da palavra “arte”: A = {a, r, t, e}
B é o conjunto das letras da palavra “reta”: B = {r, e, t, a},
Conjunto Universo
Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos desse estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar.
Conjunto Universo
Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo considerado.
Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais: conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}.
Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares: conjunto solução S = {0, 2, 4}.
Subconjunto
Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B.
Notação: A B (lê-se “A está contido em B”), ou ainda, por B A (lê-se “B contém A”).
A B x (x A → x B)
SubconjuntosConjunto B, formado por todos os brasileiros.
Com os elementos de B podemos formar
o conjunto A, dos homens brasileiros,
e
o conjunto C, das mulheres brasileiras.
Dizemos que os conjuntos A e C são subconjuntos de B.
Subconjuntos
{2, 5, 3} {2, 5, 3, 8, 9}
{6, 9, 6, 5} {9, 6}
{2, 8} {2, 8}
Pertinência e Inclusão
1 – A relação de inclusão () é usada exclusivamente para relacionar um subconjunto B com um conjunto A que contém B: B A.
2 – A relação de pertinência () é usada
exclusivamente para relacionar um elemento x
com um conjunto A que possui x como
elemento: x A.
1. Conjunto contido em outro conjunto
Tipos de Relações entre conjuntos
O conjunto B está contido no conjunto A completamente. E não podemos dizer o mesmo da situação inversa.
Exemplos:
a) Toda televisão é um eletrodoméstico, mas nem todo eletrodoméstico é uma televisão.
b) O cigarro é uma droga, mas nem toda droga é cigarro.
c) Todo número natural é um número inteiro, mas nem todo número inteiro é um número natural.
(A B) (B A)
A
B
2. Conjuntos que possuem uma parte dos elementos em comum
Tipos de Relações entre conjuntos
Os conjuntos A e B possuem alguns e somente alguns elementos em comum. Podemos dizer que “algum” elemento de A é elemento do conjunto B e vice-versa.
Exemplo: Motocicletas e automóveis possuem vários elementos em comum. (como as rodas por exemplo).
(A B) ≠ A B
3. Conjuntos que não possuem elementos em comum
Tipos de Relações entre conjuntos
Os conjuntos A e B não possuem nenhum elemento em comum. Podemos dizer que nenhum elemento de A é elemento do conjunto B e vice-versa.
Exemplo: O conjunto dos números pares não tem elementos em comum com o conjunto dos números ímpares.
(A B) =
A B
Interseção entre dois conjuntos
Problemas que podem ser resolvidos com diagramas lógicos
Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente:
• 17% têm casa própria;
• 22% têm automóvel;
• 8% têm casa própria e automóvel.
Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?
a) 31% b) 69% c)23%
d) 13% e) 25%
CarroCasa própria
8%9% 14%
69%
Interseção entre três conjuntos
Problemas que podem ser resolvidos com diagramas lógicos
Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre,
• 20 alunos praticam vôlei e basquete;
• 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete;
• 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei;
• O número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei;
• 17 alunos praticam futebol e vôlei;
• 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.
O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a:
a)93 b)110 c)103 d)99 e)114
FutebolBasquete
Vôlei
15
5 2
3015 13
13
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Propriedades
1 – O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: A, A
Exemplos:
{1, 2, 3}
2 – Todo conjunto A está contido no próprio A, isto é, todo conjunto é subconjunto de si mesmo:
A A, A
Não é Subconjunto
Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se:
A B ( lê-se “A não está contido em B”) ou B A ( lê-se “B não contém A”)
Exemplo:
(a) {a, b, c} {a, b, d}
Conjuntos cujos elementos são conjuntos
Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos:
P = {, {a}, {b}, {a, b}}
Nesse caso, é elemento de P e, portanto, escrevemos
P e não P.
{a} P,
{b} P,
{a, b} P.
Alguns subconjuntos de P:
{} P; {{a}} P; {{a, b}} P; {{a}, {b}} P.
Conjunto das Partes de um Conjunto
Conjunto A = {1, 2}. Escrevendo os subconjuntos de A:
com nenhum elemento:
com um elemento: {1}, {2}
com dois elementos: {1,2}
Chama-se “conjunto das partes de um conjunto A”, P(A), ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}.
Conjunto das Partes de um Conjunto
Conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B):
P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}}
Número de Elementos de P(A)
• A = {1, 2}. P(A) = {, {1}, {2}, {1,2}}.
P(A) tem 4 (22) elementos, isto é, A tem 4 subconjuntos.
• B = {m, n, p}, P(B) = {, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}}
P(B) tem três elementos e obtivemos 8 (23) subconjuntos.
• Se um conjunto A tem n elementos, o números de elementos de P(A) é 2n.