Centro de educación artística

“David Alfaro Siqueiros”

Algebra 1

Trabajo Final

Leslie Alejandra de la rosa olivas

1”A”

1 Í

ndiceObjetivo General…………………………..……..2

Primer ParcialIntroducción…………………………….………...2Suma……………………………………..……….4Resta……………………………………..…….....5Multiplicación…………………………….……….6

Segundo ParcialDivisión algebraica……………………………....9Productos notables………………………….….11

Tercer ParcialFactorización……………………………………15Fracciones Algebraicas………………..…..…..17Ecuaciones Lineales…………………………...19

Ecuaciones de segundo grado………………..24Conclusiones finales……………………...……27

2

Objetivo General

El objetivo generalizado de realizar este trabajo es el del aprendizaje, practica de los ejercicios ya antes realizados y el de una evaluación tanto personal y de capacidades como a nivel académico, representando así este trabajo nuestra calificación semestral.

Primer parcial

1. Introducción¿Qué es algebra?

Es la parte de la matemática que analiza la relación entre números y variables para construir modelos matemáticos y realizar operaciones mediante el uso de símbolos que representan números o elementos no especificados.

Usos del algebra

El algebra tiene muchos usos, tanto profesionales, por ejemplo pueden ser los problemas de movimiento acelerado, ya que siempre se usan ecuaciones cuadráticas, tanto como en la vida diaria, un ejemplo de esto podría ser cuando en tantos % y en cocina para una receta.

Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una

3

exploración sistemática de las propiedades de los números reales.

- Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.

- Permite la formulación de relaciones funcionales.

- Por ejemplo, es muy usada para la resolución de problemas relacionados con la geometría.

Termino algebraico

Es la manera mediante la cual se representan el producto y/o división de una o más variables (factor literal) y un coeficiente o factor numérico.. El termino algebraico cuenta con Signo, puede ser positivo (+), o negativo (-), coeficiente, variable y, en algunos casos, exponente.

Ejemplo:3 x3

Coeficiente.- En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores.

Variable .-Cantidad generalizada. Exponente.-Es el número de veces que se multiplicará

la cantidad generalizada o variable, por sí misma.

Expresión Algebraica

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones que representan cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

4

Exponentes y Grado

El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa un termino como factor para multiplicarse por sí mismo.

En los términos algebraicos el exponente sirve también para clasificarlos por grados.

Por ejemplo:

Lineal(exponente mayor 1) Cuadrático(exponente mayor 2) Cubico(exponente mayor 3) 4, 5,6 …

2. operaciones algebraicas

a) Suma

1. Aplicación de suma algebraica¿Cuál es el perímetro del siguiente rectángulo?

(2x+6)+(X+3)+ (2x+6)+(x+3)= 6x+18

2x+6

X+3

5

2.Resolver

a) (5a2−2a3+a )+ (4 a+3a2 )+(5 a3−2a+7 )+(3a−2a3+5 )=¿a3+8a2+6a+12 Polinomio cubico

b) ( 34 x2−43 x+2)+( 16x−52x2+7

8)=

−74x2−21

18x+ 23

8Trinomio cuadrático

c) (4 y−5 z+3 )+(4 z− y+2 )+(3 y−2 z−1 )=¿6 y−3z+4 Trinomios lineales

d) ( 12m2+35 m−47 )+( 38 m−5

4 )+( 53 m− 310m2)=¿

15m2+317

120m−51

28 Trinomio Cuadrático

e) (2 pq−3 p2q+4 pq2 )+( pq−5 pq2−7 p2q )+(4 p q2+3 pq−p2q )=¿−11 p2q+3 pq2+6 pq Trinomio cubico

b) Resta1. Aplicación de resta algebraicaUn pintor pinta un cuarto que mide 2x+5 por lado y le piden que ponga cenefa en el medio de la pared pero una pared esta tapada por un mueble que mide x+2¿ cuanta cenefa necesitara, si no pondrá donde el mueble tapa?

(8 x+20 )− (x+2 )=¿7x+18

2. Resolver

a)(5m+4 n−7 )−(8n−7 )+(4m−3n+5 )−(−6m+4 n−3 )=¿

15m−11n+8Trinomio lineal

b)(4m4−3m3+6m2+5m−4 )−(6m3−8m2−3m+1 )=.

X+2

2x+5

6

4m4−9m3+14m2+8m−5 Polinomio 4ª

c)(6 x5+3 x2−7 x+2 )−(10 x5+6 x3−5 x2−2x+4 )=¿

−4 x5−6 x3+8x2−5 x−2Polinomio 5º

d)(−x y4+7 y3+x y2)+ (−2x y4+5 y−2 )−(−6 y3+x y2+5 )=¿

−3 x y 4− y3+5 y−¿7 polinomio 5ª

e)( 16 x+ 38 y−5)−( 83 y−54 )+( 32 x+ 29 )=¿

53x−5524y−127

36 Trinomio lineal

3. ejemplo

( 12 x2+ 410 x+3)−(−35 x+ 1217−13 x2)=

5

6 x2+x+ 39

17 Trinomio cuadrático

c) Multiplicación

1. ley de signos en la multiplicación

Signos iguales dan positivo y contrarios dan negativo

(-)(+)= -

(+)(-)=-

(+)(+)=+

(-)(-)=+

2. explica la propiedad distributiva de la multiplicación (usa un ejemplo).

La multiplicación tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma.

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma es aquella por la que la suma de dos o más sumandos,

7

multiplicada por un número, es igual a la suma del producto de cada sumando con el número. Por ejemplo:

Esta propiedad, particularizada para la suma y el producto, se puede generalizar a cualquier otro par de operaciones aritméticas, obteniendo de esta forma la definición de la propiedad distributiva.

indica la ley de los exponentes en la multiplicación, división, radical, potencia.

Multiplicación: Los exponentes se suman

División: los exponentes se restan

Radical: Todo Expresión Radical se puede expresar como un Exponente Fraccionario

Potencia: Cuando tenemos un Termino elevado a mas de una Potencia, las Potencias se Multiplican.

explicación gráfica de los pasos de la multiplicación algebraica.

Los coeficientes se multiplican aplicando la ley de los signos

(2a3+6 a2−4 a¿ (5a2−7 a )=

2x5= 10

10a5

Los exponentes de las mismas literales se suman

Se simplifica sumando términos semejantes

10a5−14a4+30a4−42a3−20a3+28a2

8

−14 a4+30a4=16 a4

Se ordena y clasifica

(2a3+6 a2−4 a¿ (5a2−7 a )=10a5+16 a4−62a3+28a2 polinomio 5

5. resuelve

a)(2 x2−x−3 ) (2 x2−5 x−2 )=¿

4 x4−12 x3−5 x2+17 x+6 Polinomio 4

b)(3 x−1 ) (4 x2−2 x−1 )=¿

12 x3−10x2−x+1 Trinomio cubico

c)( 43 a2−54 a−12 )( 25 a+ 32 )=¿

8

15a3+3

2a2−8340a

−34

Polinomio cubico

d)(9 xy−4 x2 y ) (2x y2+6x2 y2 )=¿

−24 x4 y3+46x3 y3+18 x2 y3 Trinomio 7

e)(5m21−3m32 ) (4m4−3−2m5 )=¿

20m4−1−10m2

11−12m12−1+6m3

17

f)( 25 z2−13 z+ 49 )( 37 z2−72 z−3)=¿

635z4−162

105z3+ 2971890

z2−59z−12

9 Polinomio 4

g)(3 y−5 ) (2 y+4 )=¿

6 y2+2 y−20 Trinomio cuadrático

h)(3 x2−x+7 ) (5 x+2 )=¿

15 x3+x2+33 x+14 Trinomio cubico

9

i)(4 ab+3b ) (6a2b−2ab2 )=¿

24 a3b2−8a2b3+18 a2b2−6ab3 Polinomio 5

6. un terreno rectangular mide 2x-4 metros de largo y 5x+3 metros de ancho ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su área?

(2 x−4 ) (5x+3 )=¿

10 x2−14 x−12

7. en una tienda se compran tres deferentes artículos A, B y c. A cuesta 3x por unidad y se compran 5 unidades, B cuesta 4x+2 por unidad y se compraron 3 unidades y C cuesta 3/4x por unidad y se compraron 7 unidades ¿Cuál es el modelo matemático del costo total de la compra?

(5)(3x)+(3)(4x+2)+(7)(3/4x)= 27+21/4

Segundo parcial

División algebraica

1. Definición

División algebraica es la operación que consiste en obtener una expresión llamada cociente y otra llamada residuo, conociendo otras dos llamadas dividiendo y divisor.

Existen tres tipos de división algebraica:

*Monomio entre monomio

*Polinomio entre monomio

*Polinomio entre polinomio

2. Propiedades fundamentales

5x+3

2x-4

10

q° = D° - d°

En toda división el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

D° ≥ d°

En toda división, el grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor :

d° > r°

En toda división el grado del divisor es mayor que el grado del resto.

r máximo = d° - 1

En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor menos 1

En el caso de polinomios homogéneos el grado del resto es mayor que el grado del divisor : r° > d°

En el caso de polinomios homogéneos no se cumple la propiedad 4

3. Elementos de la división

DIVIDENDO: Es el número que se desea dividir.DIVISOR: Es en cuantas partes se quiere dividir.COCIENTE: Es el resultado RESTO O RESIDUO: Es lo que no se pudo dividir en enteros y sobro.

8m4n3 p8

−4m2n3 p12=−2m2

p4

4. Resolver

8m9n2−10m7n4−20m5n6+12m3n8

2m2n3= 4m

7

n−5m5n−10m3n3+6mn5

11

20x 4−5 x3−10 x2+15 x−5 x

=−4 x3+x2+2 x−3

4 a8−10a6−5a4

2a3=2a5−5a3−5a

2

2x2 y+6 x y2−8 xy+10 x2 y2

2xy=5 xy+x+3 y−4

3x2+2 x−8x+2

=3 x−4

2x3−4 x−22x+2

=x2−x−1

2a4−a3+7a−32a+3

=a3−2a2+3a−1

14 y2−71 y−337 y+3

=2 y−11

5. si un espacio rectangular tiene un área de 6 x2−19 x+15 y la anchura es de 3x-5 ¿Cuánto mide la base?

6 x2−19x+153 x−5

=2 x−3

6. Conclusiones personales sobre la primera unidad operaciones algebraicas”

Cuando revisamos la primera unidad nos damos cuenta de la importancia de las operaciones más simples para la resolución de problemas algebraicos, debido a que es lo mismo y de que, como en todas las matemáticas, todas las operaciones necesitan de todos los procedimientos simples que se nos han ido enseñando a lo largo de nuestras vidas.

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También podemos observar lo importante que es conocer sobre este tema para problemáticas que se nos puedan llegar a presentar.

Productos notables

1. ¿qué es un producto notable?

Es la multiplicación de expresiones algebraicas especiales mediante la aplicación de reglas para obtener un resultado.

2. Reglas

a) binomio cuadrado

1. cuadrado del primer término

2. doble producto de los dos términos

3. cuadrado del segundo término

b) binomio al cubo

1. cubo del primer término.

2. cuadrado del primer término por el segundo, por tres.

3. cuadrado del segundo término por el primero, por tres.

4. cubo del segundo término.

c) Binomios a potencia superior

Se utiliza el triangulo de pascal

Potencia

0

1

2

3

4

5

6

13

1. El primer término inicia con la potencia indicada y disminuye hasta cero

2. El segundo término inicia con cero y aumenta hasta la potencia indicada

Triangulo de pascal

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

d) binomios con término común

1. cuadrado del término común

2. suma (o resta) de los términos diferentes por el común

3. producto de los términos diferentes

e) binomios conjugados

1. cuadrado del primer término

2. (-) menos cuadrado del segundo término

3. resolver

(3a+4 )2=9a2+24 a + 16

(2 x2−5 )2=4 x4−20x2+25

(7m+8n )2=49m2+112mn+64 n2

(4 a+5 )3=64a3+240 a2+300a+125

14

(2a3−7 )3=8a9−84a6+294 a3−343

(5m+4 )3=125m3+300m2+240m+64

(3 x+2 )4=81x4+216 x3+216 x2+96 x+16

(2 x2−4 )5=32 x10−320 x8+1280 x6−2560 x4+2560x2−1024

(4 y3+3 )6=4096 y18+18432 y15+34560 y12+34560 y9+19440 y6+5832 y3+729

(2 x+3 ) (2 x+5 )=4 x2+16x+15

(x2−1 ) (x2+1 )=x4−1

(m+4 ) (m−2 )=m2+2m−8

(3a−7 ) (3a+7 )=9a2−49

(5a+3b ) (5a−2b )=25a2+5ab−6b2

(4 x3+3 ) (4 x3−3 )=16 x6−9

(a2−1 ) (a2−4 )=a4−5a2+4

4. Aplicación de los binomios conjugados en otras áreas

Sirven para sacar áreas, por ejemplo, si alguien quisiera poner piso en un cuarto menos en el lugar donde pondrá el closet usaría esta operación.

5. conclusiones personales sobre la segunda unidad “productos notables”

Al repasar todos los temas de la segunda unidad llego a la conclusión de que en las matemáticas todas las operaciones se relacionan, por ejemplo, en los productos notables se utilizan la multiplicación, la suma y la resta para resolverlos.

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Factorización

Existen diferentes métodos como…

Trinomios cuadrados

Que se dividen en…

Diferencia de cuadrados

Factor común

Agrupación

Suma o diferencia de cubos

Se aplica cuando todos los términos tienen una misma variable y/o sus coeficientes sean múltiplos de un mismo número.

Para aplicarlo no debe de existir factor común; la expresión se divide en parejas comunes para aplicar el factor común.

Para aplicarlo es necesario que sea un binomio donde los términos se restan y tienen raíz cuadrada exacta. Se factoriza a binomios conjugados.

Tercer parcial

Factorización

1. Definición

Es el cambio de una expresión algebraica e el producto de dos o más factores.

2. Mapa conceptual de los distintos métodos de factorización

.

16

3. resolver

a) 25a2−64b2=(5a+8b ) (5a−8b )

b) 8m2−14m−15=(2m−5 ) (4m+3 )

c) x2−15 x+54= (x−9 )(x−6)

d) 5 x2−13 x+6=(5 x−3 ) ( x−2 )

e) 27a9−b3=(3a3−b ) (9a6+3a3b+b2 )f) 5a2+10a=5a(a+2) g) n2−14n+49=(n−7 )2

h) x2−20 x−300=( x−30 ) ( x+10 )

i) 9 x6−1=(3 x3−1 ) (3x3+1 )j) 64 x3+125=(4 x−5 ) (16 x2+20 x+25 )k) x2−144=( x+12 ) ( x−12 )

l) 2 x2+11 x+12=(2 x+3 ) ( x+4 )

m) 4 x2 y−12 x y2=4 xy (x−3 y)

n) xw− yw+xz− yz=(w+z )(x− y )

o) x2+14 x+45=( x+5 )(x+9)p)6 y2− y−2=(3 y−2 )(2 y+1)

q) 4m2−49=(2m−7 )(2m+7)

r) x2−x−42=( x−7 ) ( x+6 )

s) 2m2+3m−35=(2m−7 ) (m+5 )

17

t) a2−24+119=(a−7 )(a−17)

4. Ecuaciones cuadráticas

 Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma a x2+bx+c , donde  a, b, y c son números reales.  Ejemplo:

9 x2+6 x+10 a = 9, b = 6, c = 10

Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:  1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática    

Factorización Simple:

 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.     Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

x2+2x−8=0  a = 1    b = 2    c = - 8  

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x =x2]  

( x +   )   (x  -   ) = 0

(x + 4)(x - 2) = 0

x + 4 = 0      x – 2 = 0 x = 0 – 4      x = 0 + 2 x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.

18

5. Conclusiones personales

Gracias a estos métodos puedo reforzar la teoría de que el sistema se diseña para seguir repasando y utilizando lo que se aprendió antes de cada tema obteniendo así un repaso de los visto en cada tema nuevo.

Fracciones algebraicas

1. Resolver

a) x2−16x2+8 x+16

= x−4x+4

b) 4 x2−20 x

x2−4 x−5= 4 xx+1

c)3a−9b6a−18b

=1/2

d)x2−6 x+9x2−7 x+12

∗x2+6 x+5

3 x2+2 x−1=

( x−3 )(x+5)( x−4 )(3x−1)

e)7 x+21x2−16 y2

∗x2−5 xy+4 y2

4 x2+11 x−3=

(7)(x− y)( x+4 y )(4 x−1)

f)x2−3 x−10x2−25

∗2 x+10

6 x+12=1/3

g)x−42 x+8

∗4 x+8

x2−16=4 (x+2)2 (x+4)2

h)3x−15x+3

÷12 x+184 x+12

=(12)( x−5 )(6) (2x+3 )

i) 4 x2−9x+3 y

÷2 x−32 x+6 y

=¿(2x+3)(2)

j) x2−14 x−15x2−4 x−45

÷x2−12x−45x2−6 x−27

= x+1x+5

k)a−3

a2−3 a+2− a

a2−4a+3= −4 a+9

(a−2 ) (a−1 )(a−3)

l) mm2−1

+ 3mm+1

= 3m2−2m(m+1 )(m−1)

m) 2aa2−a−6

− 4a2−7a+12

= 2a2−12a−8(a−3 ) (a+2 )(a−4)

19

n)2

m2−11m+30− 1m2−36

+ 1m2−25

= 2m2+22+49(m−5 ) (m−6 ) (m+6 ) (m+5 )

o)x

x2−5x−14+ 2x−7

= 3x+4( x−7 )(x+2)

2. Fracción complejaLa fracción compleja es en la que el numerador o el denominador, o ambos, contienen fracciones.Ejemplos:

1+ yx

yx−1

Solución:El mínimo común denominador es x.Multiplicando por el MCD en el numerador,

Se obtiene, x+y x (1+yx)

Multiplicando por en MCD en el denominador, x (yx−1)

Se obtiene, y-x

Así que el resultado es x+ yy−x

3. conclusiones personales sobre la unidad.

En este, como en todos los parciales, nos damos cuenta de lo importante que es aprender bien los métodos aprendidos con anterioridad debido a que cada vez que se empieza un tema nuevo necesitamos de lo que se aprendió en el pasado, por ejemplo factorización en fracciones algebraicas.

Ecuaciones lineales

1. Definición La ecuación lineal es la que tiene un grado mayor de 1, representa una línea recta del tipo

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y=a+bx a= ordenada al origen (intersección en y) b= pendiente (inclinada)Existen ecuaciones lineales con una y dos incógnitas.Las opciones para la resolución de ecuaciones con una incógnita son despeje y por medio de graficas lineales. Los métodos de dos incógnitas son suma-resta, en este se elige una variable, se cruzan los coeficientes cambiando el signo a uno de ellos, se multiplican las ecuaciones, se simplifica, se despeja la variable y se sustituye el valor en una de las ecuaciones para obtener el segundo valor. Otro método es igualación, en este se despeja la misma variable, se igualan los despejes, se realizan las operaciones para la igualación y se sustituye en uno de los despejes. El ultimo es el de determinantes, es esté se aplica la regla de Cramer.

2. Resolver.

a)4 (2x−3 )+5 (x−1 )=7 ( x+2 )−(3 x+4 )

x=3

b)5x−34

+ 2 x3

= x+12

x=1517

c)3 (4 x+3 )+2x−3 (2−x )=2+3 ( x−4 )+5 x−2

x=−159

d)2x+57

−3 x5

= x+22

+3 x

x= 20−267

21

e)5 (2x−3 )+4 (x+1 )−5=2x−32

+ x3

x=8776

3. Graficara) y = 5x-1

Pendiente (+)

x= 0.2

a= -1

b) y = 2x+3

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Pendiente (+)x = -1.5a = 3

c) y = -1/2x+2Pendiente (-)x =4a =2

4. Una joyería vende su mercancía 50% más cara que su costo. Si vende un anillo de diamantes en $1500, ¿qué precio pagó al proveedor?$1000 1500=150 1500-x=$

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X=505. Resolver los sistemas de ecuaciones:

a)2x-3y=4 x= -1 x-4y=7 y= -2

b) 4a+b=6 a= 2017

3a+5b=10 b= 22/17

c) m-n=3 m= 3 3m+4n=9 n= 0

d) 5p+2q= -3 p=13

2p-q= 3 q=−73

e) x+2y= 8 x= -16 3x+5y= 12 y=12f) 3m+2n=7 m= 31/17 m-5n= -2 n= 13/17g) 2h- i= -5 h= -18/5 3h-4i= -2 i= -11/5

6. Graficar a)2x-3y=4 x= -1 x-4y=7 y= -2

24

c) m-n=3 m= 3 3m+4n=9 n= 0

e) x+2y= 8 x= -16 3x+5y= 12 y=12

g) 2h- i= -5 h= -18/5 3h-4i= -2 i= -11/5

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7. Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $1.50 niños. Si se vendieron 1,000 boletos recaudando $3500 ¿Cuántos boletos de cada uno se vendieron?

X+Y=1000 x=boletos de adulto=8004x+1.5y=3500 y=boletos de niños= 200

8. Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que contiene 55% del mismo metal para obtener 800 Kg de aleación 40% ¿Qué cantidad de cada una debe emplearse?x+y=800 x= 30% de Ag=320 kg .30x+.55y=320 y= 55% de Ag=480kg

Ecuaciones de segundo grado

1. Definir qué es una ecuación cuadrática. Una ecuación cuadrática es aquella que representa:

Una parábola vertical, donde la solución (raíces) son los puntos de intersección con x.

2. Definir qué es un número real y qué es un número imaginario.

Números Reales: es el conjunto de números que comprende a los números racionales e irracionales; se pueden representar por números enteros o decimales.

Números racionales: Son aquellas cantidades que se pueden representar como a/b donde a y b son cantidades enteras.

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Números irracionales:Son aquellas cantidades que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero,( no se pueden representar como a/b donde). Son ejemplos de irracionales:

Estos números al colocarlos en forma decimal presenta un número infinito de decimales no periódicos:

= 3,141592653589793238462643 ..................

Números imaginarios: (i) Son aquellas cantidades que

resultan cuando se asocia la cantidad

, ya que no es posible hallar una solución a está raíz en los reales. Se asocia entonces una cantidad imaginaria a la raíz de menos uno llamada i. Todas estas cantidades donde se asocia i se denomina el conjunto de los imaginarios.

Por ejemplo:

3. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas.

7 x2+21x=0x1=0x2=−3

4 x2−16=0x1=2x2=−2

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a2−3a+2=0a1=2a2=1

9m2+2m−5=0m1=.6424m2=−. 8647

x2−3 x=0x1=0x2=3

5 x2+10=0x1=1 .4142x2=−1.4142

7 y2−3 y+10=0y1=.2142+1 .1758iy2=. 2142−1.1758 i

2 t2+t+1=0t1=−. 25+. 6614 it2=− .25−.6614 i

8 x2−7=0x1=0

x2=78=.875

a2−25=0a1=5a2=−5

4. Graficar las siguientes funciones cuadráticas:

1)

28

y=x2−1y1=1y2=−1

2)

y=x2+5x+6=0y1=−2y2=−3

3)

y=− x2−4

Conclusiones finales

Al final de este semestre podemos concluir diciendo que este método de enseñanza (trabajos en cada evaluación y

29

exámenes constantes) es muy conveniente para no dejar los conocimientos adquiridos en el olvido.