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Preparao para prova final do 2 ciclo
Luis Carrilho
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NDICE POR TEMAS
Nmeros primos e nmeros compostos 2
Critrios de divisibilidade 3
Decomposio em fatores primos 3
Mximo divisor comum e mnimo mltiplo comum 4
Potncias 4
Conjuntos de nmeros 5Fraes 6
Valores aproximados e arredondamentos 7
Operaes com nmeros racionais no negativos 8
Operaes com nmeros inteiros 9
Expresses numricas 9
Sequncias 10
Proporcionalidade direta 11
Reta, semirreta e segmento de reta 12
ngulos 13
Polgonos 14
Permetros e reas 15
Slidos geomtricos 16
Volumes 17Unidades de volume e capacidade 17
Recolha de dados 18
Representao de dados 19
Tratamento de dados 20
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NMEROS
Nmeros primos e nmeros compostos
Nmero primo: tem apenas dois divisores (o 1 e ele prprio) Nmero composto: tem mais do que dois divisores
Nota: O nmero 1 no primo nem composto.
Exemplos:
Divisores de 2:2 : 1 = 22 : 2 = 1- 2 tem dois divisores (1 e 2), logo um nmero primo.
Divisores de 3:3 : 1 = 33 : 3 = 1- 3 tem apenas dois divisores (1 e 3), logo um nmero primo.
Divisores de 4:
4 : 1 = 44 : 2 = 24 : 4 = 1- 4 tem trs divisores (1, 2 e 4), logo um nmero composto.
Divisores de 5:5 : 1 = 55 : 5 = 1- 5 tem apenas dois divisores (1 e 5), logo um nmero primo.
Divisores de 6:
6 : 1 = 66 : 2 = 36 : 3 = 26 : 6 = 1- 6 tem quatro divisores (1, 2, 3 e 6), logo um nmero composto.
Divisores de 7:7 : 1 = 77 : 7 = 1- 7 tem apenas dois divisores (1 e 7), logo um nmero primo.
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Critrios de divisibilidade
Nmeros divisveis por 2: nmeros pares Nmeros divisveis por 3: nmeros cuja soma dos seus algarismos
mltiplo de 3 Nmeros divisveis por 4: nmeros em que os dois ltimos algarismos
formam um nmero mltiplo de 4 Nmeros divisveis por 5: nmeros que terminam em 0 ou 5 Nmeros divisveis por 9: nmeros cuja soma dos seus algarismos
mltiplo de 9 Nmeros divisveis por 10: nmeros que terminam em 0
Exemplo:
2145:- No divisvel por 2 porque no par- divisvel por 3 porque a soma dos seus algarismos mltiplo de 3 (2+1+4+5=12)- No divisvel por 4 porque os dois ltimos algarismos (45) no formam um nmeromltiplo de 4- divisvel por 5 porque termina em 5
- No divisvel por 9 porque a soma dos seus algarismos no mltiplo de 9(2+1+4+5=12)- No divisvel por 10 porque no termina em 0
Decomposio em fatores primos
Para decompor um nmero em fatores primos, comeamos a dividi-lo pelo seudivisor primo mais baixo. De seguida, divide-se o quociente obtido pelo seudivisor primo mais baixo, e assim sucessivamente at chegar ao 1.
Exemplo:
630 = 2 32 5 7
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Mximo divisor comum e mnimo mltiplo comum
Mximo divisor comum: fatores comuns de menor expoente Mnimo mltiplo comum: fatores comuns de maior expoente e fatores
no comuns
Exemplo:
10500 = 22 3 53 7504 = 23 32 7- m.d.c. (10500,504) = 22 3 7 = 84- m.m.c. (10500,504) = 23 32 7 53 = 63000
Potncias
Numa multiplicao de potncias:
Com bases iguais: somam-se os expoentes e base mantm-se igual Com expoentes iguais: multiplicam-se as bases e o expoente mantm-
se igual
Numa diviso de potncias: Com bases iguais: subtraem-se os expoentes e base mantm-se igual Com expoentes iguais: dividem-se as bases e o expoente mantm-se
igual
Potncia de potncia:
Multiplicam-se os expoentes e a base mantm-se igual.
Exemplos:
45 43 = 4845 25 = 85
45 : 43 = 4245 : 25 = 25
(43)2 = 46
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Conjuntos de nmeros
Naturais:{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Inteiros:{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Racionais:{nmeros inteiros} U {nmeros fracionrios}
Nota: Um nmero fracionrio um nmero decimal que pode serrepresentado por uma frao. Para saber se um nmero fracionrioverificamos se uma dzima finita ou dizma infinita no peridica.
Exemplos:
2145
- nmero natural (porque superior a 0 e no tem parte decimal)- nmero inteiro (porque no tem parte decimal)- nmero racional (porque nmero inteiro)
0- No nmero natural (porque inferior a 1)- nmero inteiro (porque no tem parte decimal)- nmero racional (porque um nmero inteiro)
-45- No nmero natural (porque inferior a 1)- nmero inteiro (porque no tem parte decimal)- nmero racional (porque um nmero inteiro)
2,145- No nmero natural (porque tem parte decimal)- No nmero inteiro (porque tem parte decimal)- nmero racional (porque um nmero fracionriodizma finita)
-21,(45) = 21,4545454545...- No nmero natural (porque tem parte decimal)
- No nmero inteiro (porque tem parte decimal)- nmero racional (porque um nmero fracionriodizma infinita peridica)
-21,45135781548...- No nmero natural (porque tem parte decimal)- No nmero inteiro (porque tem parte decimal)- No nmero racional (porque um nmero irracionaldizma infinita noperidica)
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Fraes
As fraes so nmeros racionais representados sob a forma de quocienteentre dois nmeros inteiros. Podem representar uma parte de um todo.
Frao como parte de um todo
Um tero de 1200:
Fraes equivalentes
Para obterfraes equivalentes:
Multiplicam-se ou dividem-se os numeradores e denominadores pelomesmo nmero
Exemplo:
- neste caso multiplicaram-se o numerador e o denominador por 2
Forma irredutvel
Para colocar uma frao na forma irredutvel:
Dividir o numerador e o denominador pelo maior divisor comum
Exemplo:
- neste caso o maior divisor comum entre numerador e denominador era o 5, logodividiram-se o numerador e o denominador por 5
1200
400
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Comparao de fraes
Comparar fraes:
Se tiverem o mesmo denominador, a frao maior a que tem maiornumerador
Se tiverem o mesmo numerador, a frao maior a que tem menordenominador
Se tiverem numeradores e denominadores diferentes, obtm-se fraesequivalentes de forma a ter numeradores ou denominadores iguais eseguem-se as regras anteriormente descritas
Exemplos:
,porque
e
Valores aproximados e arredondamentos
Valores aproximados:
Por defeito: no se acrescenta nada ao ltimo algarismo Por excesso: acrescenta-se 1 ao ltimo algarismo
Arredondamentos:
Se o algarismo seguinte ao ltimo for inferior a 5: no se acrescentanada ao ltimo algarismo
Se o algarismo seguinte ao ltimo for igual ou superior a 5: acrescenta-se 1 ao ltimo algarismo
Exemplos:
145,253789456448...- valor aproximado por defeito s unidades: 145 (5+0)- valor aproximado por excesso s unidades: 146 (5+1)
- arredondamento s unidades: 145 (5+0, porque o algarismo seguinte (2) inferior a 5)
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LGEBRA
Operaes com nmeros racionais no negativos
Na adio:o Se as fraes no tiverem o mesmo denominador, primeiro deve-
se obter fraes equivalentes igualando os denominadoreso De seguida, somam-se os numeradores
Na subtrao:o Se as fraes no tiverem o mesmo denominador, primeiro deve-
se obter fraes equivalentes igualando os denominadoreso De seguida, subtraem-se os numeradores
Na multiplicao:o Multiplicam-se o numerador da primeira frao com o
numerador da segunda, e o mesmo se faz com osdenominadores (no necessrio denominadores iguais)
Na diviso:o Multiplica-se a primeira frao com o inverso da segunda
Potncia:o Multiplica-se o numerador e o denominador o nmero de vezes
indicado pelo expoente
Exemplos:
()
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Operaes com nmeros inteiros
Quando aparecem dois sinais juntos (+ ou -), deve-se fazer a simplificao daescrita:
Se aparecerem sinais diferentes ( - + ou + -):o Passam a
Se aparecerem sinais iguais (+ + ou - -):o Passam a +
Exemplos:
4 + 2 = 6-4 + 2 = -2
4 + (-2) = 4 2 = 2-4 + (-2) = -42 = -6
4 - 2 = 2-4 - 2 = -6
4 - (-2) = 4 + 2 = 2-4 - (-2) = -4 + 2 = -6
4 2 = 8-4 2 = -8
4 (-2) = -8-4 (-2) = 8
4 2 = 2-4 2 = -2
4 (-2) = -2-4 (-2) = 2
Expresses numricas
1. Resolvem-se as potncias2. Resolve-se o que est dentro de parenteses3. Resolvem-se as multiplicaes e divises pela ordem em que aparecem4. Resolvem-se as adies e subtraes pela ordem em que aparecem
Exemplo:
42 + (2 + 1 3) 42 2 == 16 + (2 + 1 3) 42 2 == 16 + (2 + 3) 42 2 == 16 + 5 42 2 == 16 + 202 2 == 16 + 201 == 361 =
= 35
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Sequncias
A cada nmero de uma sequncia chama-se termo e a posio que ocupana sequncia chama-se ordem (n).
possvel descobrir qualquer termo de uma sequncia sabendo o seu termogeral.
Exemplos de termos gerais de sequncias:
2, 6, 8, 10, 12, ... 2n (de 2 em 2)
3, 6, 9, 12, 15, ... 3n (de 3 em 3)
4, 7, 10, 13, 16, ... 3n + 1 (de 3 em 3 e comea no 4)
1, 2, 3, 4, 5, ... n (de 1 em 1)
0, 1, 2, 3, 4, ... n - 1 (de 1 em 1 e comea no 0)
-10, -20, -30, -40, -50, ... -10n (de -10 em -10)
5, 0, -5, -10, -15, ... -5n + 10 (de -5 em -5 e comea no 5)
1, 4, 9, 16, 25, ... n2 (quadrados perfeitos)
1, 8, 27, 64, 125, ... n3 (cubos perfeitos)
Exemplo de como se descobre os termos de uma sequncia atravs do seu termo
geral:
Termo geral:
2 (n + 10)
1 termo (n = 1):
2 (1 + 10)= 2 11 = 22
2 termo (n = 2):
2 (2 + 10)= 2 12 = 24
3 termo (n = 3):
2 (3 + 10)= 2 13 = 26
10 termo (n = 10):
2 (10 + 10)= 2 20 = 40
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Proporcionalidade direta
Razo
Uma razo o quociente entre duas grandezas.
Exemplo:
Razo entre o nmero de bolas verdes e o nmero total de bolas:
- neste caso 2 o antecedente e 5 o consequente
Proporo
Uma proporo uma igualdade entre razes. Numa proporo, o produtodos meios igual ao produto dos extermos (lei fundamental das propores).
Exemplo:
- neste caso 2 e 10 so os extremos,5 e 4 so os meios
Constante de proporcionalidade
Se duas grandezas so diretamente proporcionais, ento existe uma constantede proporcionalidade.
Exemplo:
x 1 2 3y 5 10 15
5 1 = 5 ; 10 2 = 5 ; 15 3 = 5- neste caso a constante de proporcionalidade 5, sendo assimas grandezasx e y so diretamente proporcionais
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GEOMETRIA
Reta, semirreta e segmento de reta
Reta
Uma reta no tem princpio nem fim
Exemplo:
Reta AB ou reta s
Semirreta
Uma semirreta tem princpio mas no tem fim
Exemplo:
Semirreta AB
Segmento de reta
Um segmento de reta tem princpio e fim
Exemplo:
Segmento de reta [AB]
A B
s
A B
A B
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ngulos
Classificao de ngulos
Pares de ngulos
90 > 90 < 90
ngulo reto ngulo agudongulo obtuso
360180
ngulo raso ngulo giro
ngulos alterno internosa = b
ngulos verticalmente opostosa = b
ngulos complementares
a + b = 180
ngulos complementares
a + b = 90
ba
aa
a
b
b
b
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Polgonos
Um polgono um conjunto de segmentos de reta interligados entre si.
Classificao de polgonos
Os polgonos podem ser classificados quanto ao nmero de lados:
Tringulos: 3 lados Quadrilteros: 4 lados Pentgonos: 5 lados
Hexgonos: 6 lados Heptgonos: 7 lados Octgonos: 8 lados Enegonos: 9 lados Decgonos: 10 lados
Polgonos regulares
Um polgono regular tem os lados e os ngulos todos iguais.
Classificao de tringulos
Os tringulos podem ser classificados de duas formas:
Quanto aos lados:o Equiltero (lados todos iguais)o Issceles (2 lados iguais)o Escaleno lados todos diferentes)
Quanto aos ngulos:o Retngulo (um ngulo reto)o Obtusngulo (um ngulo obtuso)o Acutngulo (trs angulos agudos)
A soma dos ngulos internos de um tringulo sempre 180.
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Permetros e reas
Quadrado
Retngulo
Tringulo
Crculo
l
c
l
b
l1 l2a
dr
A = c l
P = c + l + c + l
A = l l
P = l + l + l + l
A = P = b + l1 + l2
A = r2
P = d
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Slidos geomtricos
Poliedros
Os poliedros tm apenas faces planas:
Prismas: tm 2 bases e faces laterais retangulareso Prisma triangular(bases triangulares)o Prisma quadrangular(bases quadrangulares)o Prisma pentagonal (bases pentagonais)o ...
Pirmides: tm 1 base e faces laterais triangulareso Pirmide triangular(base triangular)o Pirmide quadrangular(base quadrangular)o Pirmide pentagonal (base pentagonal)o ...
No poliedros
Os no poliedros tm pelo menos uma face curva:
Cilindro: 2 bases e 1 superfcie curva Cone: 1 base e 1 superfcie curva Esfera: 1 superfcie curva
Planificao do cilindro
d (permetro da base)
d
altura do slido
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Volumes
Cubo
Paraleloppedo
Cilindro
Unidades de volume e capacidade
Volume: Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 Capacidade: Kl hl dal l dl cl ml
m3 = kl
dm3
= lcm3 = ml
V = a a a
a
a
lc
V = c l a
V = r2 aa
r
-
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ORGANIZAO E TRATAMENTO DE DADOS
Recolha de dados
Populao/amostra e censo/sondagem
Quando se realiza um estudo, podemos retirar os dados de toda a populao(sobre o qu ou quem se faz o estudo), ou ento retiramos os dados de umaamostra (parte da populao) para se tirarem concluses sobre o geral.
Num estudo pode-se ento realizar: Um censo: quando se retiram os dados de toda a populao Uma sondagem: quando se retiram dados a partir de uma amostra
Exemplos:
Pretende-se saber o nmero de irmos dos alunos de uma escola. Fez-se um inquritoa 10 alunos de cada turma.- neste caso a populao so os alunos da escola e foi utilizada uma amostra para oestudo (os 10 alunos de cada turma que responderam ao inqurito), sendo portanto
uma sondagem.
Natureza dos dados
A varivel sobre o que se estuda. Podemos classific-la como:
Qualitativa: se se refere a qualidades (os dados so expressos porpalavras)
Quantitativa: se se refere a uma quantidade (os dados so expressospor nmeros)
o Discreta: quantidade atravs de contagemo Contnua: quantidade atravs de medio
Exemplos:
Cor dos olhosvarivel qualitativaNmero de irmosvarivel quantitativa discreta
Alturavarivel quantitativa contnua
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Representao de dados
Tabela de frequncias
Frequncia absoluta: nmero de vezes que se repete um dado Frequcia relativa: quociente entre frequncia absoluta e o nmero
total de dados
Exemplo:
Populao: alunos do 5B Varivel: notas a matemtica Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3
Notas fa fr Fr (%)
1 1
5 % (0,05 100)
2 6
30 % (0,3 100)
3 6
30 % (0,3 100)
4 6
30 % (0,3 100)
5 1
5 % (0,05 100)
Total 20 1 100 %
Grficos
0
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5
15%
230%
330%
430%
55%
Grfico de barras Grfico circular
-
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Diagrama de caule-e-folhas
Quando os dados tm dois ou mais algarismos podem ser representadosatravs de um diagrama de caule-e-folhas
Exemplo:
Populao: alunos do 5B Varivel: altura (cm) Dados: 148, 153, 149, 155, 158, 142, 168, 147, 152, 161, 148, 155, 168, 172, 165, 142,
146, 154, 163, 157
14 2 2 6 7 8 8 915 2 3 4 5 5 7 816 1 3 5 8 817 2
Tratamento de dados
Moda: dado que aparece mais vezes Mdia: quociente entre a soma de todos os dados e o nmero total de
dados Extremos: valor mnimo e valor mximo Amplitude: Diferena entre o valor mximo e o valor mnimo
Nota: a mdia, os extremos e a amplitude s se verificam quando temos umavarivel quantitativa.
Exemplo:
Populao: alunos do 5B Varivel: notas a matemtica Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3
Moda: 2, 3 e 4
Mdia:
Mnimo: 1
Mximo: 5Amplitude: 51 = 4