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7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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V o c ê j á d
e v e t e r p e r g u n t a d o a s i m e s m o , o u a s e u p r o f e s s o r :
“ P a
r a q u e e u d e v o e s t u d a r M a t e m á t i c a ? ”
H á t r ê s r e s p o s t a s p o s s í v e i s :
1 .
A M a t e m á t i c a p e r m i t e q u e v o c ê c o n h e ç a m e l h o r a r e a l i d a d e .
2 .
A M a t e m á t i c a p o d e a j u d a r v o c ê a o r g a n i z a r r a c i o c í n i o s .
3 .
A M a t e m á t i c a p o d e a j u d a r v o c ê a f a z e
r d e s c o b e r t a s .
E s t e l i v r o
e a s o r i e n t a ç õ e s d e s e u p r o f e s s o r c o n
s t i t u e m u m p o n t o d e p a r t i d a .
O c a m i n h o p a r a o c o n h e c i m e n t o é v o c ê q u e m
f a z .
O s a u t o r e s
P R E Z A
D O
A L U N O
P R E Z A
D O
A L U N O
4
P R A T I C A N D O
M
A T E M
Á T I C A
“ N ã o h á r a m o d a M a t e m á t i c a ,
p o r a b s t r a t o q u e s e j a , q u e n ã o
p o s s a u m d i a v i r a s e
r a p l i c a d o
a o s f e n ô m e n o s d o m
u n d o r e a l . ”
L o b a c h e v s k y
A g r a d e c e m o s a o p
r o f e s s o r
E d u a r d o W a g n e r p
e l o s c o m e n t á r i o s
e s u g e s t õ e s q u e c o n t r i b u í r a m
p a r a a m e l h o r i a d e s t e t r a b a l h o .
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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N Ú M
E R O S
N A T U R A I S
7
N o d i c i o n á
r i o e n c o n t r a m o s :
A n t e c e s s o
r : a q u e l e q u e v e m a n t e s .
N a s e q u ê n
c i a d o s n ú m e r o s n a t u r a i s :
7 é o a n t e c e s s o r d e 8 ;
4 2 é o a n t e c e s s o r d e 4 3 .
U N I D A D E 1
N ú m
e r o s n a t u r
a i s
1 .
A s e q u ê n c i a d o s n ú m e r o s n a t u r a i s
U N I D A D E
P o d e m o s s e l e c i o n a r n a s e q u ê n c i a d o s n ú m e r o s n a t u r a
i s
d o i s o u m a i s n ú m e r o s c o n s e c u t i v o s :
8 e 9 s ã o
c o n s e c u t i v o s ;
6 3 , 6 4 e
6 5 s ã o c o n s e c u t i v o s ;
1 3 9 , 1 4 0
, 1 4 1 e 1 4 2 s ã o c o n s e c u t i v o s .
D e s c u b r a , c o m s e u s c o l e g a s ,
q u a i s s ã o o s d o i s n ú m e r o s n a -
t u r a i s c o n s e c u t i v o s q u e s o m a -
d o s r e s u l t a m 9
5 . S ó v a l e c á l c u l o
m e n t a l ! 4 7 e 4 8
o s u c e s s o r d e 4 é 5 ;
o s u c e s s o r d e 2 5 é 2 6 ;
o s u c e s s o r d e 1 0 2 9 é 1 0 3 0 e a s s i m p o r d i a n t e .
M a r c e l o e s t á c o n t a n d o s e u s C D s .
P a r a c o n t a
r u s a m o s o s n ú m e r o s : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ,
9 ,
1 0 , 1 1 , . . .
V o c ê s a b e
q u e , c o m
o z e r o , e s s e s n ú m e r o s f o r m a m
a
s e q u ê n c i a d o s n ú m e r o s n a t u r a i s . E s s a s e q u ê n c i a é i n f i n i t
a ,
p o i s t o d o n ú m e r o n a t u r a l t e m u m s u c e s s o r :
0
, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , . . .
P e n s e e r e s p o n d a :
Q u a l é o a n t e c e s s o r d e 1 0 0 ? 9 9
Q u a l é o
ú n i c o n ú m e r o n a t u r a l
q u e n ã o t e m a n t e c e s s o r ?
O z e r o .
I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
8
A l é m d a c o n t a g e m , o
s n ú m e r o s n a t u r a i s t ê m o u t r a s a p l i c a ç õ e s . O b s e r v e c a d a f o t o g r a f i a
a b a i x o e r e s p o n d a o r a l m e n t e q u e f u n ç ã o t ê m o s n ú m e r o s n a t u r a i s n e l a a p r e s e n t a d o s .
N o m a r c o i n i c i a l d e u m a e s t r a d a , f o i c o l o c a d a u m a p l a c a e s c r i t o : k m
0 . A p a r t i r d e l a , d e 2 e m
2 q u i l ô m e t r o s , f o r a m c o l o c
a d a s m a i s p l a c a s i n d i c a n d o a d i s t â n c i a p e r c o
r r i d a , o u a p e r c o r r e r .
P a r o u í m p a r ?
A o c o n t a r o s q u i l ô m e t r o s d e 2 e m 2 , a p a r t i r d o z e r o , i n i c i a m o s
a s e q u ê n c i a d o s n ú m e r o s p
a r e s , q u e é i n f i n i t a : 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 , 1 2 ,
1 4 , 1 6 , 1 8 , 2 0 , 2 2 , . . .
U m
n ú m e r o n a t u r a l é p a r q u a n d o o a l g a r i s m o d a s u n i d a d e s é
i g u a l a 0 , 2 , 4 , 6 , o u 8 .
U m n ú m e r o n a t u r a l é í m p a r q u a n d o o a l g a r i s m o d a s u n i d a d e s é i g u a l a 1 , 3 , 5 , 7 o u 9 .
R e s p o n d a v o c ê :
q u a n d o u m n
ú m e r o
n a t u r a l é í m p a r ?
M i s t o Q u e n t e
M i s t o Q u e n t e
M i s t o Q u e n t e
M i s t o Q u e n t e G e t t y I m a g e s
I d e n t i f i c a ç ã o d o v e í c u l o .
I d e n t i f i c a ç ã o d e t a m a n h o .
I d e n t i f i c a ç ã o e o r d e m d a s p i s t a s .
I d e n t i f i c a ç ã o d a
l i n h a / c o n t a g e m d o t e m p o .
O r d e m .
M i s t o Q u e n t e
L o c a l i z a ç ã o d o s a s s u n t o s .
C o n t a g e m d a s p á g i n a s .
H é l i o S e n a t o r e
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F R A Ç Õ E S
E
N Ú M
E R O S
D E C I M
A I S
2 5
F r a ç
õ e s e n ú m e r o s
d e c i m a i s
1 .
F r a ç ã o e d i v i s ã o
U N I D A D E 2
U N
I D A D E
P e n s e n a s e g u i n t e s i t u a ç ã o :
D u a s b a r r a
s d e c h o c o l a t e d e v e m s e r d i v i -
d i d a s i g u a l m e
n t e e n t r e 5 c r i a n ç a s .
P a r a r e s o l v
ê - l a , p o d e m o s d i v i d i r c a d a b a r r a e m 5 p a r t e s i g u a i s .
C a d a c r i a n ç a r e c e b e
2 5 d a b a r r a d e c h o c o l a t e .
O b s e r v e q u e d i v i d i m o s 2 p o r 5 e o b t i v e m o s
2 5 .
E n t ã o , 2 : 5
2 5 .
E s e t i v é s s e m o s 3 b a r r a s d e c h o c o l a t e p a r a d i v i d i r i g u a l m e n t e e n t r e 2 c r i a n ç a s ?
C a d a c r i a n ç a r e
c e b e r i a
3 2 d a b a r r a d e c h o c o l a t e .
O u s e j a , 3 : 2
3 2 1
1 2
f r a ç ã o
n ú m e r o m i s t o
N a s s i t u a ç õ e s a c i m a e n c o n t r a m o s u m n o v o s i g n i f i c a d o
p a r a a s f r a ç õ e s : o d e q u o c i e n t e e n t r e
n ú m e r o s . P o d
e m o s u s a r o t r a ç o d e f r a ç ã o p a r a i n d i c a r u m
a d i v i s ã o .
D e s a f i o !
Q u e m v a i a o q u a d r o m o s t r a r c o m f i g u r a s q u e 3 : 4
3 4 ?
I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
2 6
J ú l i o p e d i u a o f u n
c i o n á r i o d a m e r c e a r i a
1 4
d e q u i l o ( k g ) d e m u ç a r e l a .
O v i s o r d a b a l a n ç a i n d i c o u 0 , 2 5 k g . P o r q u ê ?
P o r q u e
1 4 1 : 4
0 , 2 5 .
A g o r a , v a m o s e f e t u a r a
d i v i s ã o 2 : 5 .
2
5
2 0
0 , 4
0
E n t ã o , 2 : 5
0 , 4 . O b s e r v e q u e o
q u o c i e n t e é
u m n ú m e r o d e c i m a l .
P o d e m o s r e p r e s e n t a r 2 : 5 a s s i m :
2 5 ( f o r m a f r a c i o n á r i a
)
o u
0 , 4 ( f o r m a d e c i m a l ) .
C o m b a s e n e s s a s i d e i a s
p o d e m o s e s c r e v e r :
1 .
F r a ç õ e s n a f o r m a d e n ú m e r o d e c i m a l
V e j a e x e m p l o s :
1 8 1 : 8 0 ,
1 2 5
3 2 3 : 2 1 ,
5
1 5 3 2 1
5 : 3 2
?
V a m o s f a z e r e s s a ú l t i m a
d i v i s ã o c o m o a u x í l i o d e u m a c a l c u l a d o r a ?
D i g i t a m o s 1 5
3 2
0 , 4 6 8 7 5
L o g o ,
1 5 3 2 0 , 4 6 8 7 5 .
A g o r a o b s e r v e :
5 9 5 : 9 0 , 5 5 5 . . .
U s e a c a l c u l a d o r a p a r a e s
c r e v e r
1 6 1
1 2 5
n a f o r m a d e n ú m e r o d e c i m a l .
1 , 2 8 8
N e s t a d i v i s ã o n ã o é p o s s í v e l c h e g a r a o r e s t o z e r o .
A r e p r e s e n t a ç ã o d e c i m a
l d e
5 9 é u m a d í z i m a p e r i ó -
d i c a . S e u p e r í o d o é 5 .
C o n f i r a !
5
9
5 0
0 , 5
5 5 5
5 0
5 0
5 0
5
C o n f i r a ! 1
8
1 0
0 , 1 2
5
2 0
4 0
0
I l u s t r a ç õ e s : I l u s t r a C a r t o o n
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F R A Ç Õ E S
E
N Ú M
E R O S
D E C I M
A I S
3 1
2 .
F r a ç õ e s e q u i v a l e n t e s
E u v o u c o m e r
2 4 d
a p i z z a .
Q u e f o m e !
E u v o u c o m e r
1 2 d
a p i z z a !
C o m e r
1 2
d a p i z z a o u
2 4 d a m e s m a p i z z a d á n o m e s m o , p o r q u e
1 2 e
2 4
s ã o f r a ç õ e s e
q u i v a l e n t e s , o u s e j a , r e p r e s e n t a m a m e s m a q u a n t i d a d e .
E x i s t e m i n f i n i t a s f r a ç õ e s e q u i v a l e n t e s a u m a f r a ç ã o d a d
a . P a r a o b t ê - l a s ,
b a s t a m u l t i p l i c a r o n u m e r a d o r e o d e n o m i n a d o r d a f r a ç ã o p e l o m e s m o
n ú m e r o n a t u r
a l d i f e r e n t e d e z e r o .
C o m a i d e i a d e f r a ç ã o e q u i v a l e n t e , p o d e m o s e c o n o m i z a r d i v i s õ e s n a h o r a
d e e s c r e v e r f r a ç õ e s n a f o r m a d e n ú m e r o d e c i m a l .
V a l é r i a V a z
1 5
2 1 0 0 , 2
2
2
7 2 5
2 8
1 0 0 0 , 2 8
4
4
1 3 7
2 0 0
6 8 5
1 0 0 0 0 , 6 8 5
5
5
H á f r a ç õ e s
q u e r e p r e s e n t a m n ú m e r o s n a t u r a i s . V e j a a l g
u m a s d e l a s :
8 2 8 : 2 4
1 2 4
1
2 : 4 3
1 8 2
1
8 : 2 9 P
a r a u m a f r a ç ã o d e d e n o m i n a d o r 7 , v o c ê
u s a r i a e s s a i d e i a ? P o r q u ê ?
N ã o , p o i s n ã o h á n ú m e r o n a t u r a l q u e m u l t i p l i c a d o p o r 7 r e s u l t e
e m 1 0 , 1 0 0 , 1 0 0 0 e t c .
O b s e r v e :
5
= 1 0 2
= 1 5 3
= 2 0 4
= …
E
s c r e v a :
3 0 5
2 8 4
L e m b r a n d
o . . .
P o d e m o s s i m p l i f i c a r u m a f r a ç ã o d i v i d i n d o n u m e r a d o r e d e n o m i n a d o r p o r u m d i v i s o r c o m u m a e l e s .
E x e m p l o :
N ã o é m a i s p o s s í v e
l s i m p l i f i c a r .
A f r a ç ã o e s t á n a f o r m a i r r e d u t í v e l .
3 0 4 8
5 8
: 6
: 6
3 0 4 8 1
5 2 4
: 2
: 3
: 2
: 3
o u
5 8
H é l i o S e n a t o r e
3 2
0 , 3
3 3 . . .
d e u m c h o c o l a t e ?
Q u e c o m p l i c a d o ! É m e l h o r
u s a r u m a f r a ç ã o !
E m a l g u m a s s i t u a ç õ e s a
s f r a ç õ e s f a c i l i t a m n o s s a v i d a .
1 . P a r a d i v i d i r i g u a l m e n t
e u m a b a r r a d e c h o c o l a t e e n t r e 3
c r i a n ç a s , b a s t a d i v i d i - l a
e m 3 p a r t e s i g u a i s e d a r
1 3 a c a d a
c r i a n ç a .
N o e n t a n t o , u s a n d o n
ú m e r o s d e c i m a i s , t e m o s :
1 : 3 0 , 3 3 3 … , q u e
é u m a d í z i m a p e r i ó d i c a .
1
3
1 0 1 0
1 0 , 3 3 3
1 0
2 . C o m R $ 7 , 0 0 , q u a n t o
s p a c o t e s d e f i g u r i n h a s d e R $ 0 , 2 5 c a d a u m
p o d e m o s c o m p r a r ?
P a r a d e s c o b r i r , b a s t a f a z e r
7 : 0 , 2
5 .
V e j a e s t a s u g e s t ã o d e
c á l c u l o : 0 , 2 5
1 4 .
7 : 0 , 2 5 7 :
1 4 7 4 2
8
D i v i d i r p o r 0 , 2 5 é o m e
s m o q u e d i v i d i r p o r
1 4 . E d i v i d i r p o r
1 4 é o m e s m o q u e m u l t i p l i c a r p o r 4 .
C o m p a r e e s s a s o l u ç ã o
c o m a q u e m o s t r a m o s a s e g u i r ! R e s p o s t a p e s s o a l .
D e s s e m o d o , c o m
7 r e a i s p o d e m o s c o m p r a r
2 8 p a c o t e s d e f i g u r i n h a s ,
p o i s 7 . 4 2
8 .
E u r e s o l v i a s s i m : s e
c a d a p a c o t e c u s t a
2 5 c e n t a v o s , e n t ã o
4 p a c o t e s c u s t a m
1 r e a l .
I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o
H é l i o S e n a t o r e
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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F R A Ç Õ E S
E
N Ú M
E R O S
D E C I M
A I S
3 3
E x e r c í c i o s
1 7 T r ê s c r i a n ç a s f o r a m à l o u s a e c a d a u m a e s -
c r e v e u u m a f r
a ç ã o .
a ) Q u a i s f r a ç õ e s r e p r e s e n t a m
a m e s m a q u a n -
t i d a d e ?
b ) C o m o s ã o
c h a m a d a s a s f r a ç õ e s q u e r e p r e -
s e n t a m
a m
e s m a q u a n t i d a d e ? F r a ç õ e s e q u i v a l e n t e s .
c ) C o m p r a r 1 2 q u i l o d e c a f é e m
1 p a c o t e d e
1 2 q u i l o o
u 2 p a c o t e s d e
1 4 d e q u i l o é a
m e s m a c o i s a ? S i m .
1 8
C o m p l e t e
n o c a d e r n o e e s c r e v a s u a s c o n -
c l u s õ e s .
a )
b )
c )
d )
1 9 J o ã o d i v i d i u u m
b o l o r e t a n g u l a r e m
8 p a r -
t e s i g u
a i s e c o m e u 4 . Q u a l t e r i a s i d o a f o r m a
m a i s r á p i d a d e f a z e r e s s a d i v i s ã o d e m o d o a
c o m e r a m e s m a q u a n t i d a d e ?
D i v i d i n d o o b o l o e m d u a s p a r t e s i g u a i s .
2 0 E n
c o n t r e u m a f r a ç ã o e q u i v a l e n t e a
1 5 4 5
c o m :
a ) n u m e r a d o r 5 ; 5 1 5
b ) d e n o m i n a d o r 3 0 .
1 0 3 0
2 1 C o n s i d e r e a s f r a ç õ e s :
a ) n ú m e r o s n a t u r a i s ; 6 2 e 1
8 6
b ) n ú m e r o s m e n o r e s q u e 1 ; 1 2 ,
2 7 e
4 8
c ) f r a ç õ e s e q u i v a l e n t e s . 1 2 =
4 8 ,
6 2 =
1 8 6
2 2 C o m p l e t e n o c a d e r n o :
2 3 Q u a l d e s t a s f r a ç õ e s n ã o é e q u i v a l e n t e a 3 8 ?
E s c r e v a - a n o c a d e r n o .
3 0 6 4
9 6
1 2
3 2
2 3
3
3
6 9
6 9
3
3
2 3
6 1 6
2
2
3 8
1 2
7 5
6 2
2 7
1 8 6
4 8
I n d i q u
e a s q u e r e p r e s e n t a m :
a ) 0 , 7
1 0 2 0 2
1 4 0 7 , 1 4 , 3 0 , 2 8
b ) 0 , 5
5 1
1 2 0 4 0 3
3 8 0 5
5 2
2 , 6 0 , 4 4 , 1 0 0
6 1 6
1 5 4 0
2 1 5 6
3 0 6 4
3 3 8 8
1 8 4 8
9 6 e
3 2
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a ç õ e s : D A E
5 6
2
2
1 0 1 2
3 4
3 .
F r a ç õ e s e
n ú m e r o s d e c i m a i s
n a r e t a n u m é r i c a
U s a n d o u m a r é g u a , r e a l i z e a a t i v i d a d e a s e g u i r e m s e u c a d e r n o .
1 . T r a ç a m o s u m a r e t a e
m a r c a m o s n e l a o p o n t o c o r r e s p o n d e n t e a z e r o .
2 . U s a n d o s e m p r e a m e s m a u n i d a d e d e m e d i d a ( 4 c m , p o r e x e m p l o ) ,
m a r c a m o s à d i r e i t a d o z e r o
o s p o n t o s c o r r e s p o n d
e n t e s a 1 , 2 , 3 , 4 e a s s i m p o r d i a n t e .
3 . D i v i d i m o s a u n i d a d e d e m e d i d a e m 4 p a r t e s i g u a i s , m a r c a m o s o s
p o n t o s c o r r e s p o n d e n t e s a
1 4 ,
1 2 ,
3 4 ,
5 4 , e e s c r e v e m o s t a m b é m a f o r m a d e c i m a l d e c a d a
f r a ç ã o .
5 4 = 1 1 4
1 . N a r e t a t r a ç a d a e m s e u c a d e r n o , l o c a l i z e o s p o n t o s c o r r e s p o n d e n t e s a
3 2 ,
7 4 , 2 1 4 , e 3 1 4 .
C o l o q u e a s f r a ç õ e s n a f
o r m a d e c i m a l , c o m o f i z e m o s a c i m a . C o n f i r a s u a s r e p r e s e n t a ç õ e s c o m a s d o s
c o l e g a s .
2 . A g o r a , t r a c e o u t r a r e
t a n u m é r i c a . E m s e g u i d a , d i v i d a a u n i d a d e d e m e d i d a e m 5 p a r t e s i g u a i s e
r e s p o n d e n t e a c a d a n ú m e r o l o c a l i z a d o .
T r o q u e s e u c a d e r n o c o m o
d e s e u c o l e g a . V o c ê c o n f e r e a s r e p r e s e n t a ç õ e s d e l e e e l e a s s u a s . P e n s e m ,
c o n v e r s e m e r e s p o n d a m : q
u a l s e r i a o p r o c e d i m e n t o p a r a r e p r e s e n t a r n a r e t a o
n ú m e r o 3 , 7 4 ?
O p r o c e d i m e n t o s e r i a d i v i d i r a u n
i d a d e d e m e d i d a e m 1 0 0 p a r t e s i g u a i s . C a d a p a r t e r e p r e s e n t a r i a 1 c e n t é
s i m o .
0
1 .
1 , 5 3 2
1 , 7 5
7 4
0
1
2
2 1 4
3
2 , 2 5
3 1 4
3 , 2 5
4
2 .
3 1 1 0
0 , 2
0 , 8
0
1
1 , 6 1 , 8
2
2 , 4 2 , 6
3 3 , 1
4
9 5
1 3 5
0
1
2
3
4
0
1
2
3
0 , 2
5
0 , 5
0 , 7
5
1 , 2
5 5 4
3 4
1 2
1 4
4
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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F R A Ç Õ E S
E
N Ú M
E R O S
D E C I M
A I S
3 5
E x e r c í c i o s
7 2
2 4 V o c ê j á s a
b e r e p r e s e n t a r n ú m e r o s n a t u r a i s
e m
u m a r e t a .
C o p i e a s r e t a s n u m é r i c a s n o c a -
d e r n o e r e p r e
s e n t e o s n ú m e r o s d e c i m a i s i n d i -
c a d o s p e l a s s e t a s v e r m e l h a s .
a )
9
1 0
b )
1 3
1 4
1 5
c )
1 0
1 1
1 2
2 5 N o c a d e r n o , c o n s t r u a u m a r e t a c o m o e s t a
e r e p r e s e n t e n
e l a a s f r a ç õ e s :
2 6 O b s e r v e a
s j a r r a s d a t i a J a n u á r i a e o q u e h á
e m
c a d a u m a .
r e f r i g e r a n t e
c h á
á g u a
l e i t e
l a r a n j a d a
I n d i q u e a j a r r a q u e c o n t é m :
a ) m e n o s d e 0 , 5 L ; C h á .
b ) e n t r e 1 L e
2 L ; R e f r i g e r a n t e e á g u a .
c ) e n t r e 0 , 5 L
e 1 L ; L e i t e .
d ) u m a q u a n t i d a d e e q u i v a l e n t e a 1 0 4
L . L a r a n j a d a .
2 7 O b s e r v e o
s n ú m e r o s :
0 , 8 3
0 , 8 0 0
0 , 7 9 9
0 , 8
a ) Q u a l d e l e s
é o m a i o r ? 0 , 8 3
b ) Q u a l d e l e s
é o m e n o r ? 0 , 7 9 9
c ) Q u a i s d e s s
e s n ú m e r o s s ã o i g u a i s ? 0 , 8 e 0 , 8 0 0
2 8 V e j a o s i n g r e d i e n t e s d e d o i s b o l o s
e r e s p o n d a :
a ) A s
q u a n t i d a d e s d e f a r i n h a n o s d o i s b o l o s
s ã o
i g u a i s ? S i m .
b ) Q u
a l d o s b o l o s l e v a m e n o s a ç ú c a r ?
c ) Q u
a l d o s b o l o s l e v a m a i s m a n t e i g a ?
O b o l o E s p e t a c u l a r .
O b o
l o D e l í c i a .
2 9 D e s c u b r a o n o m e d e u m o b j e t o c o l o c a n d o
o s n ú m
e r o s i n d i c a d o s e m o r d e m
c r e s c e n t e .
1 1 3
1 5
0 , 5
2 , 9 9
3
E
N
A
A
C T C a n e t a .
3 0 U m
d o s c o r r e d o r e s v e n c e u a m a r a t o n a .
D e s c u
b r a q u e m f o i s a b e n d o q u e o n ú m e r o d e
s u a c a
m i s e t a e s t á c o m p r e e n d i d o e n t r e
1 3 5
e
1 3 4 .
◆
P a u
l o
◆
R u i
◆
A r i
◆
S í l v i o
◆
M a r c o s
◆
L é o
A r i .
0
1
2
C
A
B
D
9 , 8
1 4 , 5
1 1 , 7 5
A
B
C
D
1 4
3 2
5 4
3 8
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a ç õ e s : I l u s t r a C a r t o o n
3 6
4 .
E x p r e s s õ e s n u m é r i c a s
C l á u d i a e J a i r f o r a m à d o
c e r i a e c o m p r a r a m 1 p a c o t e d e b a l a s p o r R $ 4
, 0 0 e 3 c a i x a s d e b o m b o n s
p o r R $ 5 , 0 0 c a d a . D i v i d i r a m
a d e s p e s a i g u a l m e n t e . Q u a n t o g a s t o u c a d a u m ?
P a r a r e s o l v e r o p r o b l e m a f a r e m o s :
( 4 3 5 ) : 2
O u , u s a n d o o t r a ç o d e f
r a ç ã o p a r a i n d i c a r a d i v i s ã o :
4 3 5
2
L e m b r e - s e d o q u e v o c ê
j á c o n h e c e s o b r e e x p r e s s õ e s e r e s p o n d a :
N a e x p r e s s ã o n u m é r i c a
4 3 5
2
1 . Q u e o p e r a ç ã o d e v e s
e r r e a l i z a d a e m p r i m e i r o l u g a r ? Q u a l é o s e u r e s u l
t a d o ? M u l t i p l i c a ç ã o ; 3 5 1
5 .
2 . Q u e o p e r a ç ã o s e r á r e a l i z a d a e m s e g u i d a e q u a l é o s e u r e s u l t a d o ? A d i ç ã o ; 4 1
5 1
9 .
3 . Q u a l é a ú l t i m a o p e r
a ç ã o a s e r r e a l i z a d a ? Q u a l é o s e u r e s u l t a d o ? D i v i s ã o
; 1 9 : 2 9 , 5 .
4 . Q u a n t o g a s t o u c a d a
u m ? R $ 9 , 5 0
S ã o c o m u n s e x p r e s s õ e s
n u m é r i c a s c o m t r a ç o d e f r a ç ã o i n d i c a n d o d i v i s ã o .
Q u e r v e r m a i s u m e x e m
p l o ?
P o d e m o s e s c r e v e r a e x p r e s s ã o 2 3
–
1 6 : 3 5 u s a n d o o t r a ç o d e f r a ç ã o p a r a i n d i c a r a d i v i s ã o :
2 3 –
1 6
3 5
O r e s u
l t a d o d e 2 3
–
1 6 d e v e s e r d i v i d i d o p o r 3 5
.
U s a n d o a i d e i a d e f r a ç ã o e q u i v a l e n t e , t e m o s :
2 3 =
4 6 .
E n t ã o ,
2 3 –
1 6
3 5
=
4 6
–
1 6 3 5
=
3 6 3 5
=
3 6 1
5 3 1 =
5 6 , q u e é r e s u l t a d o d a e x p r e s s ã o .
É o m
e s m o q u e
3 6
3 5 , q u e é i g u a l a
3 6
5 3 .
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N Ú M
E R O S
N E G A T I V O S
7 9
E x e r c í c i o s
9 4 C o m p l e t e n o c a d e r n o .
a ) S e 2 3
2
4 9
, e n t ã o 4 9
2 3
b ) S e 5 4
2
, e n t ã o
9 5 Q u a l é a m e d i d a d o l a d o d o q u a d r a d o
r o s a ?
8 4
P o r q u e a
r a i z q u a d r a d a d e 4 0 0 é 2 0 ?
8 5
Q u a l é a r a i z q u a d r a d a ?
P o r q u e 2 0 2 4
0 0 .
1 , 0
1 , 0
8 9
Q u a l é o
n ú m e r o p o s i t i v o q u e m u l t i p l i c a -
d o p o r s i p r ó p
r i o r e s u l t a 8 4 1 ? 2 9
9 0 V e j a o e x e m p l o e c a l c u l e :
a )
0 , 6 4 0 , 8
b )
0 , 0 9 0 , 3
c )
1 , 4 4 1 , 2
d )
2 , 2 5 1 , 5
9 1 Q u a l é m a i o r :
5 0 o u 7 , 1 ? 7 , 1 ; ( 7 , 1 ) 2 5
0 , 4 1
9 2 V o
c ê s a b e q u e
1 6 4 e
2 5 5 . Q u a n -
t o v o c
ê a c h a q u e é o v a l o r d e
1 8 ? E x p l i q u e
s e u r a c i o c í n i o . E s p e r a - s e q u e o a l u n o r e s p o n d a q u e 1 8 é m a i o r d o
q u e 4 ( p o i s 4 2 1
6 ) e m e n o r d o q u e 5 ( p o i s 5 2 2
5 ) ,
o u s e j a : 4 < 1 8 < 5 .
9 3 O
l a d o d e u m q u a d r a d o m e d e e n t r e 2 e 3 c m .
S e a á r e a é d e 5 , 2 9 c m 2 , q u a n t o m e d e o l a d o ?
2 , 3 c m
9 6 Q u a l é a r a i z q u a d r a d a ?
a )
2
5
3
6
5 6
d ) 3 6 6 4
3 4
b )
1
0 0
8
1
1 0 9
e ) 2 5 0
1 5
c )
1
4 7 3
7
f ) 2 1 4
3 2
Á r e a : 1 4
1 , 0
1 , 0
a )
0 0
b )
1 1
c )
8 1 9
d )
1 2 1 1 1
e )
1 6 9 1 3
f )
9 0 0 3 0
8 6
C o n s i d e r e
a s e q u ê n c i a d o s n ú m e r o s i n t e i -
r o s . E x i s t e :
2 5 ? P o r q u ê ?
8 7
C o m p l e t e
n o c a d e r n o .
a ) S e ( 0 , 9 ) 2
0 , 8 1 , e n t ã o
0 , 8 1
. 0 , 9
b ) S e ( 3 , 2 ) 2
, e n t ã o
.
8 8 Q u a l é a
m e d i d a d o l a d o d o q u a d r a d o
v e r d e ? 0 , 8
N ã o , p o i s n e n h u m n ú m e r o i n t e i r o e l e v a d o a o q u a d r a d o r e s u l t a 2 5 .
2 5 1 6 ;
2 5 1 6 ;
5 4
Á r e a : 0 , 6 4
Á r e a :
5 , 2 9 c m 2
1 2
1 , 6 9
1 6 9
1 0 0
1 3 1 0
1 , 3
1 0 , 2 4
1 0 , 2 4
3 , 2
I l u s t r a ç õ e s : D A E
8 0
1 . p a r ê n t e s e s
2 . c o l c h e t e s
3 . c h a v e s
E s s a s r e g r a s c o n t i n u a m
v a l e n d o p a r a e x p r e s s õ e s q u e e n v o l v e m n ú m e r o s n e g a t i v o s .
V e j a e x e m p l o s :
6 4
5 : ( 9 ) 3 · (
4 )
6
5 1 2
1
1 1
2
1
( 4 ) 2 :
( 2 )
8 1 · ( 5 6
)
1
6 : ( 2
) 9 · (
1 )
8 9
1 7
7 , 8 (
6 , 2 3 , 1 )
0 , 0 4
=
=
=
7
8
2
0
2
5
8
0
2
2 9
, ,
, ,
1 2 .
E x p r e s s õ
e s n u m é r i c a s
P a r a r e s o l v e r u m a e x p r e s s ã o n u m é r i c a , p r e c i s a m o s o b e d e c e r à o r d e m
e s t a b e l e c i d a p a r a a s o p e -
r a ç õ e s . V a m o s r e c o r d a r ?
S e a e x p r e s s ã o t e m p a r ê
n t e s e s , c o l c h e t e s , c h a v e s , f a z e m o s :
Q u e m v a i a o
q u a d r o r e s o l v e r a e x p r e s s ã o a b a i x o ? O s c o l e g a s p o d
e m a
j u d a r !
(
)
,
(
, )
−
⋅ −
2
0 8 1
0 4
3
2
4 5 S
e n ã o
h o u v e s s e u m a o r d e m
e s t a b e l e c i d a , c a d a u m r e s o l v e r i a
a e x p r e s s ã o n a o r d e m q u e q u i s e s s e ,
o b t e n d o r e s u l t a d o s d i f e r e n t e s !
S e r i a u m a c o n f u s ã o …
1 . p o t e n c i a ç õ e s e r a í z e s q u a d r a d a s
2 . m u l t i p l i c a ç õ e s e d i v i s õ e s
3 . a d i ç õ e s e s u b t r a ç õ e s
3 5
1 2
1 3
1 1 0 0
1 1 0
3 5
3 6
2 6
1 1 0
1 1 0
:
:
3 5
1 6
1 1 0
1 1 0
1 1 0
1
1 1 0
1 0
1 0
9 1 0
:
= = = = = =
=
=
=
=
=
[ 2 4 : ( 7 1
5 ) 1
3 ] · ( 1 5
)
[
2 4 : ( 8 ) 1
3 ] · ( 4 )
[ 3 1
3 ] · ( 4 )
( 1 6 ) · ( 4 ) 6
4
2
1
H é l i o S e n a t o r e
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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P R O P O R C I O N A L I D A D E
8 7
P r o p o r c i o n a l i d a d e
1 .
O q
u e é g r a n d e z a ?
G r a n d e z a é t u d o o q u e p o d e s e r m e d i d o o u c o n t a d o : c
o m p r i m e n t o , á r e a , t e m p e r a t u r a , m a s s a ,
t e m p o , v e l o c i d a d e , q u a n t i a s e m d i n h e i r o …
U N I D A D E 4
U N
I D A D E
S a n d r a F a n z e r e s M i s t o Q u e n t e
L é o B u r g o s
M i s t o Q u e n t e
M a u r i c i o M o r a i s
V e l o c í m e t r o .
T r e n a ,
f i t a m é t r i c a e m e t r o a r t i c u l a d o .
T e r m ô m e t r o .
H i d r ô m e t r o .
B a l a n ç a .
M u i t a s g r a
n d e z a s r e l a c i o n a m - s e d e f o r m a e s p e c i a l . O b s
e r v a n d o a v a r i a ç ã o d e u m a d e l a s , p o d e -
m o s p r e v e r a v a r i a ç ã o d a o u t r a .
A M a t e m á
t i c a e s t u d a a r e l a ç ã o e n t r e g r a n d e z a s , p r o d u z i n d o u m c o n h e c i m e n t o q u e p o d e m o s
u s a r p a r a r e s o
l v e r p r o b l e m a s d e n o s s o d i a a d i a .
F i c o u i n t e r e s s a d o ? E n t ã o v a m o s e m f r e n t e !
8 8
P r a i a d o F r a n c ê s , A L .
N a g i b Z a h r
M a u r i c i o M o r a i s
A s i n s t r u ç õ e s d
o r ó t u l o d a g a r r a f a d i z e m :
“ M i s t u r e 1 p a r t
e d e s u c o c o n c e n t r a d o c o m
5 p a r t e s d e á g u
a . A d o c e a g o s t o ” .
A s i n s t r u ç õ e s d o r ó t u l o
c o m p a r a m a q u a n t i d a d e d e s u c o c o n c e n t r a d o c o m a q u a n t i d a d e d e
á g u a n e c e s s á r i a p a r a o p r e
p a r o : 1 p a r a 5 . D i z e m o s q u e 1 p a r a 5 é a r a z ã o e n t r e a q u a n t i d a d e d e
s u c o e a q u a n t i d a d e d e á g u a .
A r a z ã o p o d e s e r r e p r e s e n t a d a p o r u m q u o c i e n t e . O b s e r v e :
1 p a r a 5
1 : 5 o u
1 5
V e j a a t a b e l a :
P a r a f a z e r q u a l q u e r q u
a n t i d a d e d e r e f r e s c o , b a s t a a u m e n t a r o u d
i m i n u i r a s q u a n t i d a d e s d e
s u c o c o n c e n t r a d o e d e á g u
a d e f o r m a p r o p o r c i o n a l . O q u e i s s o s i g n i f i c a ?
A s q u a n t i d a d e s d e s u c
o c o n c e n t r a d o e d e á g u a m u d a m , m a s a r a z ã o e n t r e e l a s d e v e m
s e r
s e m p r e 1 : 5 ( 1 p a r a 5 ) .
s u c o c o n c e n t r a d o
á g u a
1 5
2 1 0
3 1 5
4 2 0 . . .
F á c i l ! P a r a u m c o p o d e
s u c o c o n c e n t r a d o , c o l o c o c i n c o c o p o s d e
á g u a . P a r a d o i s c o p o s d e s u c o c o n c e n t r a d o ,
c o l o c o d e z c o p o s d e
á g u a , e a s s i m
p o r d i a n t e .
C o p o s d e s u c o
c o n c e n t r a d o
C o p o s d e
á g u a
1
5
2
1 0
3
1 5
4
2 0
R a z ã o
P e n s e n u m l i n d o d i a d e
v e r ã o . . .
L á p i s M á g i c o
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P R O P O R C I O N A L I D A D E
9 3
O p r
é d i o p r i n c i p a l t e m 2 4 m d e
a l t u r a . N a
m a q u e t e , s u a a l t u r a
é d e
2 0 c m . Q
u a l f o i a e s c a l a u s a d a ?
A e s c a l a é
1 p a r a 1 2 0 .
D e s c o b
r i n d o a e s c a l a
N o s s o d i r e
t o r m a n d o u f a z e r u m a m a q u e t e d a e s c o l a e a p r o v e i t o u p a r a v e r i f i c a r s e s a b í a m o s
l i d a r c o m e s c a l a s . A c o m p a n h e :
V e j a c o m o
D a n i e l a f e z o c á l c u l o d a e s c a l a :
Q u e m v a i a o q u a d r o r e s o l v e r a s q
u e s t õ e s a b a i x o ?
1 . E s s a e
s c o l a t e m u m p
á t i o r e t a n g u l a r q u e t e m 3
6 m d e c o m p r i m e n t o e 1 8 m d e l a r g u r a . Q u a i s s ã o
a s d i m
e n s õ e s d o p á t i o n e s s a m a q u e t e ? 3 0 c m p o r 1 5 c m
2 . R e s p o
n d a , u s a n d o c á l c u l o m e n t a l , q u a i s s e r i a m a s d i m e
n s õ e s d o p á t i o s e a e s c a l a u t i l i z a d a n a
m a q u e t e f o s s e 1 2 0 0 . 1 8 c m p o r 9 c m
I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o
9 4 M
a p a s
M a p a s s ã o r e p r e s e n t a ç õ
e s d a s u p e r f í c i e d a T e r r a p o r m e i o d e d e s e n h o s . H á m a p a s d e
p a í s e s , r e g i õ e s , c i d a d e s , b a i r r o s e t c . C o m o a T e r r a é r e d o n d a e o m a p a é p l a n o , a r e p r e s e n t a ç ã o
n ã o é p e r f e i t a , m a s s e a p r o
x i m a m u i t o d a s i t u a ç ã o r e a l .
O s m a p a s u t i l i z a m l i n h a s , c o r e s , s í m b o l o s e , p a r a q u e s e t e n h a u m a r e
p r o d u ç ã o f i e l e m t a m a n h o
r e d u z i d o , u m a e s c a l a .
V e m o s a b a i x o u m m a p a
d o e s t a d o d o R i o G r a n d e d o S u l .
O b s e r v e q u e a e s c a l a e s
t á r e p r e s e n t a d a d e m o d o d i f e r e n t e d o q u e v
i m o s n a p l a n t a b a i x a .
U s a n d o a r é g u a , p e r c e b
e m o s q u e 1 c m c o r r e s p o n d e a 7 0 k m .
C o n s e q u e n t e m e n t e , 2 c m
c o r r e s p o n d e m a 1 4 0 k m , 3 c m a 2 1 0 k m ,
e a s s i m p o r d i a n t e .
O b s e r v e q u e h á u m a e s
t r a d a p r a t i c a m e n t e r e t i l í n e a p e r t o d a s
c i d a d e s d e B a g é e A c e g u á . M e d i n d o c o m r é g u a , o c o m p r i m e n t o
d e s s a e s t r a d a n o m a p a é d
e a p r o x i m a d a m e n t e 0 , 9 c m .
1 c m
7 0 k m
0 , 9 c m
0 , 9 · 7 0 = 6 3 k m
E s t a é a d i s t â n c i a r o d o v i á r i a a p r o x i m a d a
r e p r e s e n t a d a n o m a p a .
0
1
2
3
4
0
7 0 k m
V o c ê s a b i a q u e o t r a b a
l h o c o m e s c a l a s é i m p o r -
t a n t í s s i m o p a r a a s p r o f i s s õ e s d e a r q u i t e t o , e n g e -
n h e i r o , p r o j e t i s t a , a g r i m e n s o r , g e ó g r a f o . . . ?
F o n t e : G o v e r n o
F e d e r a l . M i n i s t é r i o d o s T r a n s p o r t e s . D i s p o n í v e l e m : < w w w 2 . t r a n s
p o r t e s . g o v . b r /
b i t / m a p a s / m a p
c l i c k / b r s / r o d s u l . h t m > . A
c e s s o e m : m a i o 2 0 1 1 .
© D A E / S o n i a V a z
B R
- 4 6 8
B R -
2 8 5
B R
- 2 8 5
B R - 1 1 6
B R - 1
1 6
B R - 3 8
6
B R - 1 0 1
B R - 1 0 1
B R - 1 1 6
O C E A N O
A T L
 N T I C O
L a g o a d o s
P a t o s
B R
- 2 9 3
B R -
2 9 0
B R - 2
9 0
B R - 1 5 3
B R - 3 9 2
B R - 4 7 1
B R - 2 9 0
B R - 4 7 2
B R - 1 5 3
B R - 1 5 8
B R - 1 5 3
B R
- 2 8 7
B R
- 2 8 7
P a s s o F u n d o
V a c a r i a
C a r a z i n h o
C r u z A l t a
E r e c h i m
F r e d e r i c o
W e s t p h a l e n
S ã o B o r j a
S A N T A C A T
A R I N A
U R U G U A I
A R G E N T I N
A
S a n t a M a r i a
R o s á r i o d o S u l
S a n t a n a d o L i v r a m e n t o B
a g é
U r u g u a i a n a
I t a q u i
A l e g r e t e
C h u í
C a ç a p a v a d o S u l
S a n t a C r u z
d o S u l
C a x
i a s d o S u l
R i o G r a n d e
P e l o t a s
J a g u a r ã o
A c e g u á
Q u a r a í
P o r
t o A l e g r e
R
o d o v i a s f e d e r a i s
p
a v i m e n t a d a s
0
1 4 0 k m
1 c m –
7 0 k m
7 0 N S
O
L
R i o G r a n d
e d o S u l - R o d o v i a s f e d e r a i s
L a g o a
M i r i m
L a g o a
M a n g u e i r a
D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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P R O P O R C I O N A L I D A D E
9 7
R u i e C a r l o s a d o r a m s u r f e . A l é m d e p r a t i c a r
e s s e e s
p o r t e , e l e s f a b r i c a m p r a n c h a s p a r a v e n -
d e r . P a r a a b r i r s u a p e q u e n a e m p r e s a e c o m p r a r
o m a t e r i a l n e c e s s á r i o , R u i e n t r o u c o m u m c a p i t a l
d e R $ 2
. 4 0 0 , 0 0 e C a r l o s c o m R $ 1 . 6 0 0 , 0 0 . P o r -
t a n t o , a e m p r e s a c o m e ç o u c o m u m c a p i t a l d e
R $ 4 . 0 0 0 , 0 0 ( 2 4 0 0 1
6 0 0 4
0 0 0 ) .
O s a m i g o s c o m b i n a r a m q u e o s l u c r o s c o m a
v e n d a d
a s p r a n c h a s s e r i a m d i v i d i d o s p r o p o r c i o n a l -
m e n t e
a o c a p i t a l i n v e s t i d o . N e s t e m ê s , o l u c r o f o i d e
R $ 8 0 0 , 0 0 . Q u a n t o r e c e b e r á c a d a u m d o s s ó c i o s ?
V a m o s c o m p a
r a r o c a p i t a l d a e m p r e s a e o i n v e s t i m e n t o d e
c a d a u m p o r m e i o d e r a z õ e s :
3 .
R a z õ e s e a
d i v i s ã o d e l u c r o s
R u i r e c e b e r á R
$ 4 8 0 , 0 0 e C a r l o s R $ 3 2 0 , 0 0 .
D i v i s ã o j u s t a ,
g r a ç a s à s r a z õ e s e p r o p o r ç õ e s !
O b s e r v e a s r a z õ e s e n t r e o s c a p i t a i s i n v e s t i d o s e o s l u c r o s o
b t i d o s p e l o s s ó c i o s :
2 4 0 0
1 6 0 0 3 2
e 4 8 0 3 2 0
3 2 ( S ã o i g u a i s ! )
c a p i t a l d a e m p r e s a
i n v e s t i m e n t o
d e R u i
4 0 0 0
2 4 0 0
4 0 2 4
5 3
c a p i t a l d a e
m p r e s a
i n v e s t i m e n t o
d e C a r l o s
4 0 0 0
1 6 0 0
4 0 1 6
5 2
I s
s o s i g n i f i c a q u e , p a r a c a d a
R $ 5 , 0 0 d a e m p r e s a , R $ 3 , 0 0 s ã o
d e R u i e R $ 2 , 0 0 s ã o d e C a r l o s .
A e m p r e s a l u c r o u R $ 8 0 0 , 0 0 , q u e d e v e m s e r d i v i d i d o s d e a c o r d o c o m e s t a s r a z õ e s :
R u i
5 3
8 0 0 x
C a r l o s
8 0 0
4 8 0 3
2 0
5 x 3 8 0 0
5 x 2
4 0 0
x
2 4 0 0 5
x 4
8 0
I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
9 8 4
. C o n t r o l a n d o o c o n s
u m o d e c o m b u s t í v e l
N u m a v i a g e m
d e 1 8 0 k m , o a u t o m ó v e l d o s e n h o r S i q u e i r a c o n s u m i u 2 0 L d e g a s o l i n a . N a s
p r ó x i m a s f é r i a s , e l e f a r á u m
a v i a g e m d e 3 7 8 k m c o m s u a f a m í l i a . Q u a n
t o s l i t r o s d e g a s o l i n a o a u -
t o m ó v e l d e v e r á c o n s u m i r ?
H á p r o p o r c i o n a l i d a d e n e s s a s i t u a ç ã o , p o i s , p a r a o d o b r o d a d i s t â n c i a , o c o n s u m o d e v e d o b r a r ,
p a r a o t r i p l o d a d i s t â n c i a o
c o n s u m o d e v e t r i p l i c a r , e a s s i m p o r d i a n t e .
V e j a e s s e s n ú m e r o s n u m
a t a b e l a :
A l e x a n d r e P e r e g r i n o / F o l h a I m a g e m
x
7 5 6 0
1 8 0
x
4
2
L o g o , s e r ã o c o n s u m i d o s 4 2 L d e g a s o l i n a n a v i a g e m .
D i s t â n c i a
( k m )
C o n s u m o d e
g a s o l i n a ( L )
1 8 0
2 0
3 7 8
x
1 8 0 3 7 8
2 0 x
1 8 0 x 3
7 8 2 0
1 8 0 x 7
5 6 0
R e p a r e q u e a r a z ã o e n t r e a d i s t â n c i a p e r c o r r i d a e o c o n s u m o d e c o m b u s t í v e l é c o n s t a n t e :
1 8 0 k m
2 0 L
9 k m 1 L
o u
9 k m / L
3 7 8 k m
4 2 L
9 k
m
1
L o u 9 k m / L
E s s a r a z ã o ( 9 k m / L ) é
o c o n s u m o d e s s e a u t o m ó v e l . E l e p e r c o r r e 9 k m c o m 1 L d e g a s o l i n a .
Q u a n t o m a i o r e s s a r a
z ã o , m a i s e c o n ô m i c o é o c a r r o . E m t e m p o s d e c o m b u s t í v e i s c a r o s , é
i m p o r t a n t e c o n t r o l a r
o c o n s u m o !
M e u c a r r o f a z 1 0 , 3
k m / L
d e g a s o l i n a . C o m
s e u t a n q u e d e 6 0 L c h e i o , s e r
á q u e p o s s o
p e r c o r r e r 5 0 0 k m s e m p r
e c i s a r a b a s t e c e r ?
E s c l a r e ç a a d ú v i d a d o r a p a z . U s e a r r e d o n d a m e n t o e c á l c u l o m
e n t a l .
S i m , e l e p o d e p e
r c o r r e r a p r o x i m a d a m e n t e 6 0 0 k m s e m p r e c i s a r a b a s t e c e r .
I l u s t r a C a r t o o n
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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P R O P O R C I O N A L I D A D E
1 0 1
2 x =
4 7
4 x 1
4
x =
1 4 4
= 3 , 5 . P o r t a n t o , s ã o n e c e s s á r i o s
3 1 2 x í c a r a s d e a
ç ú c a r p a r a 7 o v o s .
1 x =
4 7
4 x 7
x =
7 4 =
1 , 7 5 .
C o m o 0 , 7 5 =
3 4 , d e v e m o s u s a r
1 3 4 d e x í c a r a d e s u c o d e l a r a n j a p a r a 7 o v o s .
O b s e r v e q u e
a p r o p o r ç ã o e n t r e o f e r m e n t o e o s
o v o s é a m e s m a
q u e e n t r e o s u c o e o s o v o s .
E n t ã o , d e v e - s e u s a r
1 3 4 d e c o l h e r d
e s o p a d e f e r m e n t o .
V e j a n a t a b
e l a a b a i x o c o m o f i c a a r e c e i t a c o m p l e t a , a d a p t a d a d e 4 p a r a 7 o v o s .
A ç ú c a r
O v o
( x í c a r a )
( u n i d a d e )
2
4
x
7
S u c o d e l a r a n j a
O v o
( x í c a r a )
( u n i d a d e )
1
4
x
7
F e r m e n t o
O v o
( c o l h e r d e s o p a )
( u n i d a d e )
1
4
x
7
F a r i n h a d e t r i g o
A ç ú c a r
O v o
S u c o d e l a r a n j a
F e r m e n t o
( x í c a r a )
( x í c a r a )
( u n i d a d e )
( x í c a r a )
( c o l h e r d e s o p a )
R e c e i t a o r i g i n a l
p a r a 4 o v o s
3
2
4
1
1
R e c e i t a p a r
a
7 o v o s
5 , 2 5 o u 5 1 4
3 , 5 o u 3 1 2
7
1 , 7 5 o u 1 3 4
1 , 7 5 o u 1 3 4
F o t o s : P . S . S t u d i o
1 0 2
U s a n d o r e g r a s d e t r ê s
J ú n i o r r e s o l v e u u m p r o b l e m a q u e e n v o l v e g r a n d e z a s d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s . A c o m p a n h e :
U m a i m p r e s s o r a i m p r i m
e 4 8 p á g i n a s e m 3 m i n u t o s . Q u a n t a s p á g i n a s
i m p r i m i r á e m 5 m i n u t o s ?
A r e s o l u ç ã o d e P a u l i n h o
e s t á c o r r e t a . E l e e n c o n t r o u o v a l o r p a r a u m
a u n i d a d e b á s i c a ( n o c a s o ,
1 m i n u t o ) e a p a r t i r d a í f i c o u m a i s f á c i l d e s c o b r i r o u t r o s v a l o r e s .
A p r e s e n t a r e m o s a s e g u i r
o u t r a f o r m a d e r e s o l v e r o p r o b l e m a u s a n d o a p
r o p r i e d a d e d a s p r o p o r ç õ e s .
V e j a : H
á p r o p o r c i o n a l i d a d e d i r e t a e n t r e a s g r a n d e z a s . E n t ã o :
4 8 x
3 5
M u l t i p l i c a m o s o s t e r m o s d a p r o p o r ç ã o e m c r u z :
3 x 4
8 5
x
2 4 0 3
8
0
E s s e p r o c e d i m e n t o é c h a m a d o d e r e g r a d e t r ê s e é b a s t a n t e ú t i l n a
r e s o l u ç ã o d e p r o b l e m a s .
P o r q u e e s s e n o m e ? O b s e r v e a t a b e l a c o m a s g r a n d e z a s : c o n h e c e m
o s t r ê s d e l a s e q u e r e m o s
d e t e r m i n a r a q u a r t a . J á u s a m o s e s s e p r o c e d i m e n t o n a s p á g i n a s a n t e r i o r e s p a r a a d a p t a r a r e c e i t a
d o b o l o d e 4 p a r a 7 o v o s , p o r e x e m p l o . A g o r a v o c ê s a b e q u e e l e r e c e b e u m n o m e e s p e c i a l .
P e r c e b a q u e o s d o i s p r o
c e s s o s d e r e s o l u ç ã o e n v o l v e r a m a s m e s m a s o p e r a ç õ e s :
R e s o l u ç ã o d e J ú n i o r :
R e s o l u ç ã o p o
r r e g r a d e t r ê s :
D i v i d i m o s 4 8 p o r 3 e m u
l t i p l i c a m o s
M u l t i p l i c a m o s 4 8 p o r 5 e d i v i d i m o s o
o r e s u l t a d o p o r 5 .
r e s u l t a d o p o r 3
.
D i v i s ã o p o r 3 e m u l t i p l i c a ç ã o p o r 5 .
E x a m i n a n d o o s d a d o s d
e c a d a p r o b l e m a , v o c ê d e c i d i r á q u a l p r o c e d i m e n t o u s a r .
N ú m e r o s d e
p á g i n a s
M i n u t o s
4 8
3
x
5
D r a g a n r / D r e a m s t i m e . c o m
D e s c u b r o q u a n t a s p á g i n a s a
i m p r e s s o r a i m p r i m e e m 1 m i n u t
o
f a z e n d o 4 8 : 3 = 1 6 .
E m 5 m i n u t o s e l a i m p r i m i r á
5 · 1 6 = 8 0 p á g i n a s .
S e d o b r a r m o s o n ú m e r o d e
p á
g i n a s i m p r e s s a s , d o b r a r e m o s
o t e m p o p a r a i m p r i m i - l a s .
3 x 2
4 0
D e s c o b r i m o s
o v a l o r d e x u s a n d o a o p e r a ç ã o i n v e r s a :
H é l i o S e n a t o r e
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7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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P R O P O R C I O N A L I D A D E
1 0 5
2 . F l á v i o t i n h a 1 2 p e r i q u i t o s . U m p a c o t e g r a n d e d e r a ç ã o e r a s u f i c i e n t e p a r a a l i m e n t á - l o s p o r
3 0 d i a s . O n t e m e l e g a n h o u m a i s 3 p e r i q u i t o s , e a g o r a t e m 1 5 p e r i q u i t o s . O m e s m o p a c o t e d e r a ç ã o
v a i a l i m e n t á - l o s p o r q u a n t o s d i a s ?
O n ú m e r o
d e p e r i q u i t o s e o t e m p o e m d i a s q u e d u r a o
p a c o t e d e r a ç ã o s ã o g r a n d e z a s i n v e r s a -
m e n t e p r o p o r
c i o n a i s , p o i s :
d o b r a n d o o n ú m e r o d e p e r i q u i t o s , o p a c o t e d e r a ç ã o
d e v e d u r a r a m e t a d e d o t e m p o ;
t r i p l i c a n d
o o n ú m e r o d e p e r i q u i t o s , o p a c o t e d e r a ç ã
o d e v e d u r a r a t e r ç a p a r t e d o t e m p o , e
a s s i m p o
r d i a n t e .
A s r a z õ e s s ã o i n v e r s a s . P o r t a n t o , p a r a e s c r e v e r a p r o p o r ç ã o e u s a r a r e g r a d e t r ê s , d e v e m o s
i n v e r t e r u m a d e l a s :
N ú m e r o d e
p e r i q u i t o s
T e m p o e m
d i a s
1 2
3 0
1 5
x
A g o r a , c o m
1 5 p e r i q u i t o s , o p a c o t e g r a n d e d e r a ç ã o s ó
s e r á s u f i c i e n t e p a r a 2 4 d i a s .
F a ç a d u p l a c o m u m c o l e g a . R e s p o n d a m à s q u e s t õ e s n o c a d e r n o .
A t a b e l a
a b a i x o m o s t r a c o m o s e r e l a c i o n a m d u a s g r a n d e z a s X e Y .
1 . X e Y s ã o g r a n d e z a s d i r e t a o u i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a i s ? J u s t i f i -
q u e s u a r e s p o s t a .
2 . Q u a l d e v e r á s e r o v a l o r d e
Y q u a n d o X = 5 ?
3 . Q u a l d e v e r á s e r o v a l o r d e
X q u a n d o Y = 0 , 2 5 ?
I n v e r s a m e
n t e p r o p o r c i o n a i s , p o i s , q u a n d o X d o b r a , Y c a i p e l a
m e t a d e . Q
u a n d o X q u a d r u p l i c a , Y c a i p e l a q u a r t a p a r t e .
0 , 4
8
X
Y
0 , 5
4
1
2
2
1
1 2 1 5
x 3 0
1 5 x 1
2 3 0
1 5 x 3
6 0
x
3 6 0 1 5
x 2
4
H é l i o S e n a t o r e
1 0 6
F i q u e e s p e r t o !
E x i s t e m m u i t a s s i t u a ç õ e
s e m q u e n ã o h á p r o p o r c i o n a l i d a d e !
1 . A t a b e l a a b a i x o m o s t
r a a v a r i a ç ã o d a i d a d e e d a a l t u r a d e J o ã o .
I d a d e
( a n o s )
A l t u r a
( m )
1 0
1 , 3 0
1 5
1 , 6 5
2 0
1 , 8 0
2 5
1 , 8 0
3 0
1 , 8 0
E s s a s g r a n d e z a s n ã o s ã o d i r e t a n e m i n v e r -
s a m e n t e p r o p o r c i o n a i s , p o i s n ã o v a r i a m n a
m e s m a r a z ã o , n e m n a r a z ã o i n v e r s a .
2 . N o s p r i m e i r o s 5 m i n u t o s d e u m j o g o d e b a s q u e t e ,
R e n a t o f e z 8 p o n t o s .
Q u a n t o s p o n t o s e l e f a r á
e m 1 0 m i n u t o s d e j o g o ?
T a m b é m a q u i n ã o h á p r
o p o r c i o n a l i d a d e .
N ã o é p o s s í v e l p r e v e r q u a n t o s p o n t o s e l e f a r á !
O b s e r v e a i m a g e m a o l a d o e u s e
o c á l c u l o m e
n t a l p a r a d e s c o b r i r s e h á
p r o p o r c i o n a l
i d a d e e n t r e o n ú m e r o d e
r e f r i g e r a n t e s
e o p r e ç o p a g o p o r e l e s .
N ã o h á p r o p o r c i o n a l i d a d e .
F e r n a n d o F a v o r e t t o
D i s c u t a c o m o s c o l e g a s o u t r o s e x e m p l o s
e s i t u a ç õ e s e m q u e a s g r a n d
e z a s e n v o l v i d a s :
a ) s ã o d i r e t a m e n t e p r o p o r c i o n a i s ;
b ) s ã o i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a i s ;
c ) n ã o s ã o p r o p o r c i o n a i s .
F e r n a n d o F a v o r e t t o
R e s p o s t a s p e s s o a i s .
H é l i o S e n a t o r e
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R A Z Õ E S
E
P O R C E N T A G E N S
1 2 1
E x e r c í c i o s
1 5 R e s p o n d a
.
a ) S e 1 0 % d e
u m
n ú m e r o é 7 , q u a l s e r á o n ú -
m e r o ? 7 0
b ) S e 4 %
d e
u m
n ú m e r o é 2 3 , q u a n t o s e r á
4 0 % d e s s e
n ú m e r o ? 2 3 0
1 6
S a b e n d o q u e 1 0 6 a l u n o s d e u m a e s c o l a
c o r r e s p o n d e m
a 2 0 % d o t o t a l , q u a n t o s a l u n o s
t e m
e s s a e s c o
l a ? 5 3 0 a l u n o s
1 0 0 = 5 3 0
1 7 S e g u n d o o D e p a r t a m e n t o N a c i o n a l d e I n -
f r a e s t r u t u r a d e T r a n s p o r t e , d e t o d o s o s a c i d e n -
t e s r o d o v i á r i o s q u e o c o r r e m p o r a n o n o B r a s i l ,
2 7 % e n v o l v e
m
c a m i n h õ e s . S e , a n u a l m e n -
t e , s ã o r e g i s t r
a d o s 4 8 6 0 0 a c i d e n t e s r o d o v i á -
r i o s e n v o l v e n d o c a m i n h õ e s , q u a n t o s a c i d e n t e s
o c o r r e m
a n u a
l m e n t e n a s e s t r a d a s n a c i o n a i s ?
6 0 0 : 2 7 1
8 0 0 ;
8 0 0 · 1 0 0 1
8 0 0 0 0
1 8
E m
m a i o ,
C a r l o s p a g o u 2 5 % d e u m a d í -
v i d a ; e m
j u n h
o , p a g o u 4 0 % d a m e s m a d í v i d a
e a i n d a f i c o u
d e v e n d o R $ 2 8 0 , 0 0 . Q u a l e r a o
v a l o r t o t a l d a
d í v i d a d e C a r l o s ? R $ 8 0 0 , 0 0
8
1 0 0 8
0 0
1 9 U m a b i c i c l e t a s o f r e u u m a u m e n t o d e 1 5 % ,
p a s s a n
d o a s s i m a c u s t a r R $ 4 6 0 , 0 0 . Q u a l e r a o
p r e ç o
d e s s a b i c i c l e t a a n t e s d o a u m e n t o ? R $ 4 0 0 , 0 0
2 1 V e
j a o c o m p a r e c i m e n t o a u m
c i n e m a d u -
r a n t e u m
f i m
d e s e m a n a e c o m p l e t e a t a b e l a
e m s e u c a d e r n o .
1 2 6
5 0 %
2 2 5
Q u a l é a
l o t a ç ã o d o
c i n e m a ?
3 0 0 p e s s o a s
N ú m e r o d e
c o m p a r e c i m e n t o s
L o t a ç ã o
5 a - f e i r a
4 2 %
6 a - f e i r a
1 5 0
S á b a d o
7 5 %
D o m
i n g o
2 7 0
9 0 %
2 0 U m a q u a d r a d e e s p o r t e s r e t a n g u l a r d e 2 0 m
d e c o m p r i m e n t o p o r 1 5 m
d e l a r g u r a o c u p a r á
7 5 % d
a á r e a d o t e r r e n o o n d e s e r á c o n s t r u í d a .
Q u a l é , e m
m 2 , a á r e a d e s s e t e r r e n o ? 4 0 0 m 2
3
0 0 ;
4 ;
4
0 0
F e r n a n d o F a v o r e t t o
R e i n h o l d F o e g e r / D r e a m s t i m e . c o m
F e r n a n d o F a v o r e t t o
4
4
0 0
L á p i s M á g i c o
1 2 2
4 .
C á l c u l o d i r e t o d e d e s c o n t o s
e a c r é s c i m
o s
D e s c o n t o s
V o c ê j á s a b e c a l c u l a r o d e s c o n t o e d e s c o b r i r o p r e ç o à v i s t a d e s t a T V
:
1 0 0 %
4 2 0
1 %
4 2 0 : 1 0 0 4 , 2 0
1 5 %
1 5 . 4 , 2 0 6
3
( v a l o r d o d e s c o n t o : R $ 6 3 , 0 0 )
V o c ê t a m b é m p o d e r i a f a z e r :
1 5 % d e R $ 4 2 0 , 0 0 0
, 1 5 . 4 2 0 6
3 ( v a l o r d o d e s c o n t o : R $ 6 3 , 0 0
)
E n t ã o , s e o p a g a m e n t o
f o r à v i s t a o p r e ç o s e r á d e :
M a s h á u m a f o r m a d e c
a l c u l a r d i r e t a m e n t e o p r e ç o d a T V j á c o m o d e s c o n t o .
O p r e ç o d a T V c o r r e s p o
n d e a 1 0 0 % . Q u e m c o m p r a r à v i s t a t e r á 1
5 % d e d e s c o n t o , o u s e j a ,
p a g a r á 1 0 0 % 1
5 % 8
5 % d o p r e ç o d a T V .
E n c o n t r a m o s R $ 3 5 7 , 0 0
, q u e é o p r e ç o à v i s t a d a T V !
O u t r o e x e m p l o :
R $ 4 2 0 , 0 0 R
$ 6 3 , 0 0 R
$ 3 5 7 , 0 0
8 5 % d e R $ 4 2 0 , 0 0 0 , 8 5 . 4 2 0 3
5 7
P a r a o b t e r o p r e ç o
d e u m a m e r c a d o r i a c o m
d e s c o n t o d e 8 % , b a s t a m u l t i p l i c a r
o p r e ç o o r i g i n a l p o r 0 , 9
2 , q u e
c o r r e s p o n d e a 9 2 % .
1 0 0 % 8
% 9
2 %
H é l i o S e n a t o r e
L á p i s M á g i c o
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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R A Z Õ E S
E
P O R C E N T A G E N S
1 2 3
A c r é s c i
m o s
A l e x a n d r e
p a g a R $ 1 . 2 0 0 , 0 0 p e l o a l u g u e l d e s u a c a s a
. L e n d o o c o n t r a t o , e l e v e r i f i c o u q u e a
p a r t i r d o p r ó x
i m o m ê s o a l u g u e l s e r á r e a j u s t a d o e m 1 3 % .
A l e x a n d r e
p o d e c a l c u l a r d i r e t a m e n t e o v a l o r d o n o v o a
l u g u e l .
A c o m p a n h
e :
1 0 0 % c o r r e s p o n d e m a o v a l o r a t u a l d o a l u g u e l .
S o m a n d o a p o r c e n t a g e m d e a u m e n t o t e m o s : 1 0 0 % 1
3 % 1
1 3 %
O v a l o r d o
n o v o a l u g u e l c o r r e s p o n d e r á a 1 1 3 % d o v a l o r a t u a l d o a l u g u e l .
1 1 3 % d e R $ 1 . 2 0 0 , 0 0 1 , 1 3 . 1 2 0 0 1
3 5 6
A s s i m , o n o v o a l u g u e l s e r á d e R $ 1 . 3 5 6 , 0 0 .
P a r a c a l c u l a r o n o v o
p r e ç o d e u m a m e r c a d o r i a
q u e t e v e 8 % d e a u m e n t o , b a s t a
m u l t i p l i c a r o p r e ç o o r i g i n a l p o r
1 , 0 8 . V e
j a n o q u a d r o .
L e
m b r e - s e :
1 1
3 %
1 1 3 1 0 0 1 , 1 3
I n v e n t e u m
p r o b l e m a q u e e n v o l v a o c á l c u l o d e d e s c o n t o s o u
a c r é s c i m o s . N ã o é d i f í c i l , p o i s s i t u a ç õ e s
a s s i m s
ã o c o m u n s n o d i a a d i a . T r o q u e d e p o i s o c a d e r n o c o m u
m c o l e g a . C a d a u m r e s o l v e r á o p r o b l e m a
c r i a d o p e l o
o u t r o .
V i n i c i u s R a m a l h o T u p i n a m b a / i S t o c k p h o t o . c o m
L á p i s M á g i c o
1 2 4
E x
e r c í c i o s
E m q u a l d a s l o j a s
s e c o m p r a m a i s b a r a t o ?
P o r q u ê ? N a l o j a A . N a l o
j a B , o p r e ç o f i n a l é d e R $ 3 6 , 4 5 .
D i s c u t a o s p r ó x i m o s e x e r c í c i o s
c o m
s e u s c o l e g a s .
2 2 C a l c u l e m e n t a l m e n t e e
a n o t e o r e s u l t a d o
n o c a d e r n o .
a ) 5 0 % d e R $ 6 2 0 , 0 0 R $ 3 1 0
, 0 0
b ) 2 5 % d e R $ 4 8 0 , 0 0 R $ 1 2 0
, 0 0
c ) 1 0 % d e R $ 2 . 3 0 0 , 0 0 R $ 2 3 0 , 0 0
d ) 3 0 % d e R $ 8 0 0 , 0 0 R $ 2 4 0
, 0 0
2 3 C o p i e e c o m p l e t e o q u a d
r o e m s e u c a d e r n o :
1 0 0 %
1 0 %
1 %
0 , 1
%
0 , 0
1 %
6 0 0 0
2 5 0 0 0
6 0 0 0
6 0 0
6 0
6
0 , 6
2 5 0 0 0
2 5 0 0
2 5
0
2 5
2 , 5
2 5 U m
c o m p u t a d o r c u s t a
R $ 2 . 5 0 0 , 0 0 . S e o
p r e ç o a u m e n t a r 1 0 % a o a n o , q u a n t o c u s t a -
r á n o f i m
d e 2 a n o s ? S e r á
q u e c u s t a r á 2 0 % a
m a i s ? R $ 3 . 0 2 5 , 0 0 . N ã o . C u s t a r á m a i s d
o q u e 2 0 % .
2 6 U m a v e n d e d o r a d e u m a l o j a g a n h a u m s a -
l á r i o f i x o m e n s a l d e R $ 7 5
0 , 0 0 , a c r e s c i d o d e
3 % d o v a l o r d a s v e n d a s e
f e t u a d a s d u r a n t e o
m ê s . Q u a l é o s e u s a l á r i o
q u a n d o v e n d e n o
m ê s R $ 1 6 . 0 0 0 , 0 0 ? R $ 1 . 2 3 0 , 0 0
2 4 U m
l i q u i d i f i c a d o r q u e
c u s t a R $ 6 9 , 0 0 v a i
s o f r e r u m a c r é s c i m o d e 1 2 %
n e s s e v a l o r . Q u a l
s e r á o n o v o p r e ç o ? R $ 7 7 , 2 8
2 7 C o m p r e i u m a g
e l a -
d e i r a p o r R $ 1 . 2 0 0
, 0 0 ,
a s e r e m p a g o s d o m
o d o
i n d i c a d o :
a ) Q u a l é o v a l o r d a
e n -
t r a d a ? R $ 1 8 0 , 0 0
b ) Q u a l é o v a l o r d e c a d a
p r e s t a ç ã o ? R $ 1 7 0 , 0 0
2 8 A l o j a A v e n d e u m
r á d i o d e R $ 4 5 , 0 0 c o m
u m d e s c o n t o d e 2 0 % . A l o j a B v e n d e u m r á d i o
d e i g u a l p r e ç o , m a
s c o m
d o i s d e s c o n t o s , u m
d e 1 0 % s e g u i d o d e
o u t r o , t a m b é m
d e 1 0 % .
2 9 S e o p r e ç o d e
u m a r t i g o b a i x a r 1 0 % e
d e p o i s a u m e n t a r 1 0 % , v o l t a o u n ã o a o p r e ç o
i n i c i a l ? J u s t i f i q u e c o m
u m e x e m p l o .
3 0 S e r e d u z i r m o s
o p r e ç o d e u m
a r t i g o e m
2 0 % e
d e p o i s o a u
m e n t a r m o s e m
2 5 % , v o l -
t a o u n ã o a o p r e ç o
i n i c i a l ? J u s t i f i q u e c o m
u m
e x e m p l o . V o l t a a o p r e ç o
i n i c i a l .
N ã o v o l t a a o p r e ç o i n i c i a l .
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a ç õ e s : I l u s t r a C a r t o o n
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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C O N
S T R U I N D O
E
I N T E R P R E T A N D O
G R Á F I C O S
1 2 9
U N I D A D E 6
U N
I D A D E
P a r a a n a l i s
a r o d e s e m p e n h o d a t u r m a , a p r o f e s s o r a c a l c
u l o u a p o r c e n t a g e m d e a l u n o s d a c l a s s e
c o m c a d a c o n
c e i t o .
C o n
s t r u i n d o e
i n t e
r p r e t a n d o g r á f i c o s
1 .
P o r c e n t a g e n s e g r á f i c o
s
A p r o f e s s o
r a I n ê s a t r i b u i e s t e s c o n c e i t o s a s e u s a l u n o s :
A : ó t
i m o
B : b o
m
C : r e g u l a r
D : i n s a t i s f a t ó r i o
V e j a n a t a b e l a a b a i x o o n ú m e r o d e a l u n o s q u e o b t e v e c a d a c o n c e i t o n o 7 o a n o A .
C o n c e i t
o
F r e q u ê n c i a
A
8
B
1 8
C
1 0
D
4
T o t a l : 4 0 a l u n o s
N ú m e r
o d e a l u n o s q u e o b t e v e c a d a
c o n c e i t o .
C o n c e i
t o A : 8 e m 4 0 a l u n o s
8 4 0
2 1 0
2 0 1 0 0 2
0 %
C o n c e i
t o B : 1 8 e m 4 0 a l u n o s
1 8
4 0
9 2 0
4 5 1 0 0 4
5 %
C o n c e i t o C : 1 0 e m 4 0 a l u n o s
1 0 4 0
1 4
2 5 1 0 0 2
5 %
C o n c e i t o D : 4 e m 4 0 a l u n o s
4 4 0
1 1 0
1 0 1 0 0 1
0 %
L á p i s M á g i c o
1 3 0
A s p o r c e n t a g e n s o b t i d a s f o r a m o r g a n i z a d a s e m u m q u a d r o .
S o m e n t e 1 0 % d o s a l u n o s t i v e r a m
a p r o v e i t a m e n
t o i n s a t i s f a t ó r i o . V o u
a c o m p a n h á - l o s m a i s a t e n t a m e n t e .
6 5 % d a c l a s s e o b t e v e c o n c e i t o
A o u B , o
q u e
é a n i m a d o r !
C o n s t r u í d a a t a b e l a d e p o r c e n t a g e n s , a p r o -
f e s s o r a f e z u m g r á f i c o d e
b a r r a s p a r a v i s u a l i z a r o s
r e s u l t a d o s .
C o n c e i t o
F r
e q u ê n c i a
A
2 0 %
B
4 5 %
C
2 5 %
D
1 0 %
T o t a l : 1 0 0 %
A m a i o r p a r t e d o s a l u n o s
o b t e v e c o n c e i t o B .
N o 7 o a n o B , q u e t e m
3 2 a l u n o s , 4 d e l e s o b t i -
v e r a m c o n c e i t o A :
4 e m 3 2
4 3 2
1 8 1 : 8 0 , 1 2 5 1
2 , 5 %
S ã o c o m u n s a s p o r c e n t a g e n s n ã o i n t e i r a s !
C o n c e i t o s d o 7 o a
n o A
5 0
4 5
4 0
3 5
3 0
2 5
2 0
1 5
1 0 5 0
A
C o n c e i t o
P o r c e n t a g e m ( % )
B
C
D
P r o c u r e e m j o r n a i s e r e
v i s t a s u m g r á f i c o d e b a r r a s q u e e n v o l v a p o r c e n t a g
e n s .
C o l e - o e m s e u c a d e r n o
e r e s p o n d a .
1 . Q u a l é o a s s u n t o t r a t a d o n o g r á f i c o ?
2 . Q u e i n f o r m a ç õ e s e l e
t r a z ?
2 . M o s t r e s e u t r a b a l h o
a o s c o l e g a s .
R e s p o s t a s d e a c o r d o c o m o g r á f i c o e n c o n t r a d o p e l o
a l u n o .
L á p i s M á g i c o
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S Ó L I D O S
G E O M
É T R I C O S
1 5 1
S ó l i d o s g e o m é
t r i c o s
V e j a n a s i l u s t r a ç õ e s e x e m p l o s d e s ó l i d o s g e o m é t r i c o s .
U N I D A D E 7
U N
I D A D E
S ó l i d o s g e o
m é t r i c o s s ã o f i g u r a s t r i d i m e n s i o n a i s . A e s f e r a , o
c u b o , a p i r â m i d e s ã o e x e m p l o s d e s ó l i d o s
g e o m é t r i c o s .
S ó l i d o s g e o m é t r i c o s t ê m v o l u m e . V a l é r i a V a z
P . S . S t u d i o
M u i t o s o b j e t o s e c o n s -
t r u ç õ e s h u m a n a s t ê m a f o r m a
d e s ó l i d o s g e o
m é t r i c o s .
P o r i s s o , é
i m p o r t a n t e e s -
t u d a r a s c a r a
c t e r í s t i c a s e a s
p r o p r i e d a d e s d e s s a s f i g u r a s .
V i c e n t e C o s t a
1 .
P o l i e d r o s
O s s ó l i d o s g e o m é t r i c o s i l u s t r a d o s
a o l a d o s ã o p o
l i e d r o s .
A s u p e r f í c i e d o s p o l i e d r o s é f o r -
m a d a p o r p o l í g o n o s . E s s e s p o l í g o -
n o s s ã o a s f a c
e s d o p o l i e d r o .
I l u s t r a ç õ e s D A E
1 5 2
O s p o l i e d r o s r e c e b e m n o m e s d e a c o r d o c o m o n ú m e r o d e f a c e s q u e a p r e s e n t a m . V e j a o s e x e m p l o s :
4 f a c e s
t e t r a e d r o
6 f a c e s
h
e x a e d r o
8 f a c e s
o
c t a e d r o
1 2 f a c e s
d
o d e c a e d r o
2 0 f a c e s
i c
o s a e d r o
A p a l a v r a
p o l i e d r o s e o r i g i n a
d a l í n g u a g r e g a .
P o l i e m g r e g
o s i g n i f i c a “ m u i t o s ” .
E d r o e m g r e g o s i g n i f i c a “ f a c e ” .
t e t r a e d r o
d o d e c a e d r o
i c o s a e d r o
A l é m d a s f a c e s , i d e n t i f i c a m o s n o s p o l i e d r o s v é r t i c e s e a r e s t a s .
O p o l i e d r o a b a i x o t e m 1
2 a r e s t a s e 6 v é r t i c e s .
T e m 8 f a c e s t r i a n g u l a r e s : é u m o c t a e d r o .
E s t e s ó l i d o é u m c
i l i n d r o .
O c i l i n d r o é u m p o l i e d r o ?
P o r q u ê ?
N ã o . A s u p e r f í c i e d o s p o l i e d r o s é t o d a
f o r m a d a p o r p o l í g o n o s e a s u p e r f í c i e
l a t e r a l d o c i l i n d r o é c u r v a .
N o e x e r c í c i o 4 v
o c ê v a i n o m e a r p o l i e d r o s !
A r e s t a s s ã o
s e g m e n t o s d e r e t a , e
v é r t i c e s s ã o p o n t o s !
v é r t i c e s
a r e s t a s
O b s e r v e a f
i g u r a e r e s p o n d a .
1 . Q u a l é o n o m e d e s t e p o l i e d r o ? H e x a e d r o .
2 . Q u a n t o s
v é r t i c e s e q u a n t a s a r e s t a s e l e
a p r e s e n t a ? 8 v é r t i c e s , 1 2 a r e s t a s
3 . Q u a l é a f o r m a d e s u a s f a c e s ?
P a r a l e l o g r a m o s .
A i n t e r s e c ç ã o d e :
I l u s t r a ç õ e s D A E
L á p i s M á g i c o
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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S Ó L I D O S
G E O M
É T R I C O S
1 5 3
E x e r c í c i o s
1
V e j a a s f i g
u r a s :
A C
B D F
E G
H
I n d i q u e o s s ó l i d o s :
a ) c o m
s u p e r f í c i e ( s ) f o r m a d a s ( s ) a p e n a s p o r f i -
g u r a s p l a n a s ; B , D , E , F e G
b ) q u e t ê m s u
p e r f í c i e s ( s ) c u r v a s ( s ) ; A , C e H
c ) q u e t ê m f a
c e s q u e s ã o t r i â n g u l o s ; D , E e G
d ) q u e t ê m f a
c e s q u e s ã o r e t â n g u l o s . B e E
2
C o p i e e c o m p l e t e e m
s e u c a d e r n o .
O s s ó l i d o s g e o m é t r i c o s q u e s ã o f o r m a d o s
a p e n a s p o r s u p e r f í c i e s p l a n a s s e c h a m a m
e
e s s a s s u p e r f í c i e s p l a n a s s e c h a m a m
.
p o l i e d r o s ; f a c e s
3
V e
j a o s s ó l i d o s g e o m é t r i c o s r e p r e s e n t a d o s :
F
E
D G
H
I L
K
J I n d i q u
e :
a ) a q u e l e s q u e s ã o p o l i e d r o s ; A , B , C , H , J , K e L
b ) a q u e l e s q u e n ã o s ã o p o l i e d r o s . D , E , F , G e I
4
E m
s e u c a d e r n o , f a ç a a c o r r e s p o n d ê n c i a
d o n ú m e r o c o m
a l e t r a : A - 8 ; B - 6 ; C - 5 ; D - 7
A
D
C
B
8 7 6 5
p e n t a e d r o
h e x a e d r o
h e p t a e d r o
o c t a e d r o
A
B
C
I l u s t r a ç õ e s D A E
1 5 4
2 .
P r i s m a s e
p i r â m i d e s
P r i s m a s
H á p o l i e d r o s q u e a p r e s e
n t a m p r o p r i e d a d e s e s p e c i a i s , p o r i s s o r e c e b e m n o m e s e s p e c i a i s .
O s p r i s m a s s ã o p o l i e d r o s q u e a p r e s e n t a m a s s e g u i n t e s c a r a c t e r í s t i c a s :
t ê m d u a s f a c e s o p o s t a s p a r a l e l a s c h a m a d a s b a s e s d o p r i s m a . A s b a
s e s s ã o p o l í g o n o s i d ê n t i c o s
q u e p o d e m s e r t r i â n g u l o s , q u a d r i l á t e r o s , p e n t á g o n o s e t c . ;
a s d e m a i s f a c e s s ã o p a r a l e l o g r a m o s . ( N o s e x e m p l o s a b a i x o , s ã o r e t â n g u l o s . L e m b r e - s e : r e t â n -
g u l o s s ã o p a r a l e l o g r a m o s q u e a p r e s e n t a m 4 â n g u l o s r e t o s . )
E s t e é u m p r i s m a d e b a s e s t r i a n g
u l a r e s . S u a s
f a c e s l a t e r a i s s ã o r e t â n g u l o s .
E s t e é u m p r i s m a d e b
a s e s h e x a g o n a i s . C o m o s ã o p o l i e d r o s ,
a l é m d a s f a c e s o s p r i s
m a s a p r e s e n t a m a r e s t a s e v é r t i c e s .
F a ç a e s t a s a t i v i d a d e s c
o m o s c o l e g a s .
1 . E s c r e v a m u m a l i s t a d e o b j e t o s e m f o r m a d e p r i s m a .
V o c ê s v ã o p e r c e b e r q u e o s b l o c o s r e t a n g u l a r e s e o s c u b o s s ã o o s p r i s m a s c u j a s f o r m a s a p a r e c e m
c o m m a i o r f r e q u ê n c i a n o s
o b j e t o s e n a s c o n s t r u ç õ e s p r e s e n t e s e m n o s s o c o t
i d i a n o .
N o s b l o c o s r e t a n g u l a r e
s e n o s c u b o s , q u a i s q u e r d u a s f a c e s o p o s t a s p o d e m
s e r c o n s i d e r a d a s b a s e s .
2 . O b s e r v e m e r e s p o n d
a m : e s t e p o l i e d r o é u m p r i s m a ? P o r q u ê ?
B l o c o s r e t a n g u l a r e s t ê m
6 f a c e s r e t a n g u l a r e s .
O s c u b o s s ã o b l o c o s r e t a n g u l a r e s
c o m 6 f a c e s q u a d r a d a s .
N ã o . S u a s f a c e s s ã o t o d a s p e n t a g
o n a i s .
a r e s t a s l a t e r a i s
b a s e s
a r e s t a s d a b a s e
v é r t i c e s
R e s p o s t a s p e s s o a i s .
I l u s t r a ç õ e s D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-7-2-por-folha 81/144
S Ó L I D O S
G E O M
É T R I C O S
1 6 1
4 .
C i l i n d r o s , c o n e s e e s f e r
a s
M u i t o s s ó l i d o s , c o m o c i l i n d r o s , c o n e s e e s f e r a s , n ã o s ã o p o l i e d r o s .
S u a s f o r m a s a p a r e c e m c o m f r e q u ê n c i a n o m u n d o r e a l .
V e j a a l g u n s e x e m p l o s :
A b a s e d o
c o n e c i r c u l a r é u m c í r c u l o e s u a s u p e r f í c i e
l a t e r a l é c u r v a . A s s i m c o m o a p i r â m i d e ,
o c o n e a p r e s e
n t a u m v é r t i c e .
V a m o s , e n t ã o , e s t u d a r s u a s c a r a c t e r í s t i c a s .
A s b a s e s d e u m
c i l i n d r o c i r c u l a r s ã o d o i s
c í r c u l o s p a r a l e l o s i d ê n t i c o s . S u a s u p e r f í c i e l a t e r a l
é c u r v a . O c i l i n d r o c o m b i n a f o r m a s p l a n a s e n ã o
p l a n a s .
P a u l o P e p e
v é r t i c e
b a s e
s u p e r f í c i e l a t e r a l
b a s e s
s u
p e r f í c i e l a t e r a l
V i c e n t e C o s t a
c i l í n d r i c o s . V o c ê
s a b e e x p l i c a r p o r q u ê ?
R e s p o s t a p e s s o a l . P o d e - s e o b s e r v a r q u e o c a b o d e v a s s o u r a c i l í n d r i c o s e a d a p t a m e l h o r
à s m ã o s . O s c a n o s c i l í n d
r i c o s e s c o a m á g u a c o m m a i s f a c i l i d a d e .
P . S . S t u d i o
I l u s t r a ç õ e s D A E
1 6 2
N a n a t u r e z a e n c o n t r a m o s f o r m a s m u i t o
p r ó x i m a s d a e s f e r a .
U m a b o l a m a c i ç a é u m a
e s f e r a .
A s u p e r f í c i e d a e s f e r a é f o r m a d a p o r t o d o s
o s p o n t o s d o e s p a ç o q u e e s t ã o a u m a m e s m a
d i s t â n c i a r d e u m p o n t o O
d a d o .
O é o c e n t r o d a e s f e r a
r é a m e d i d a d o r a i o d
a e s f e r a
S i m o n K r z i c / S h u t t e r s t o c k
M a u r i c i o M o r a i s
E n c o n t r a m o s a o n o s s o r e d o r f o r m a s q u e l e m b r a m c o n e s e t r o n c o s d
e c o n e .
E l e n a I t s e n k o / S h u t t e r s t o c k
S e s e c c i o n a r m o s u m c o n
e p a r a l e l a m e n t e à b a s e , c o m o v e m o s n a f i g u r a a b a i x o , o b t e m o s u m n o v o
c o n e e u m t r o n c o d e c o n e .
c e n t r o
r a i o
r
r
O c o r t e
t r o n c o
d e c o n e n
o v o
c o n e
I l u s t r a C a r t o o n
D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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S Ó L I D O S
G E O M
É T R I C O S
1 6 3
P l a n i f i c
a n d o a s u p e r f í c i e d e u m c
i l i n
d r o e d e u m c
o n e
S a b e m o s
q u e a s b a s e s d e u m
c i l i n d r o c i r c u
l a r s ã o d o i s c í r c u l o s
p a r a l e l o s e i d
ê n t i c o s .
C o m o s e r á q u e f i c a a p l a n i f i c a -
ç ã o d a s u p e r f í c i e l a t e r a l d o c i l i n d r o ?
F a ç a e s t e e
x p e r i m e n t o e m g r u p o .
C o n s i g a u
m r o l o d e e s p u m a c i -
l í n d r i c o p r ó p r i o p a r a p i n t a r p a r e d e ,
t i n t a g u a c h e e p a p e l .
F o t o s : P . S . S t u d i o
N a f o l h a f i c a r á p i n t a d a a p l a n i f i c a ç ã o d a s u p e r f í c i e l a t e
r a l d o c i l i n d r o .
A p l a n i f i c a
ç ã o d a s u p e r f í c i e l a t e r a l d o c i l i n d r o é u m r e t â n g u l o .
E n c o n t r e u
m o b j e t o e m f o r m a d e c o n e q u e v o c ê p o s s a p
i n t a r c o m g u a c h e , c o m o u m a c a s q u i n h a
d e s o r v e t e , o u
u m c o n e d e l ã v a z i o . U s e o m e s m o p r o c e d i m
e n t o a c i m a p a r a o b t e r a p l a n i f i c a ç ã o d a
s u p e r f í c i e l a t e
r a l d o c o n e . N ã o s e e s q u e ç a d e d a r a p e n a s u m a v o l t a c o m p l e t a !
A n t e s d e o g u a c h e s e c a r , c o l o q u e o c i l i n d r o d e i t a d o s o b r e
u m a f o
l h a d e p a p e l , e , c o m c u i d a d o ,
f a ç a c o m q u e e l e
d ê u m a
v o l t a c o m p l e t a .
P i n t e a s u p e r f í c i e
l a t e r a l d o c i l i n d r o d e e s p u m a c o m g u a c h e .
P l a n i fi c a ç ã o d
a s u p e r f í c i e l a t e r a l d o c o n e .
A f i g u r a o b t i d a é u m a r e g i ã o d o c í r c u l o c h a m a d a
s e t o r c i r c u l a r . F a l a m o s s o b r e e l a q u a n d o c o n s t r u í m o s
g r á f i c o s d e s e t o
r e s , n a U n i d a d e 6 d e s t e l i v r o .
D A E
1 6 4
E x
e r c í c i o s
M i s t o Q u e n t e
1 2 Q u a l f r u t a n o s f a z l e m b
r a r u m a e s f e r a ? L a r a n j a .
O l i v e r S u c k l i n g / D r e a m s t i m e . c o m
H e m e r a / T h i n k s t o c k V a l é r i a V a z
1 3 O b s e r v e a f i g u r a e r e s p o n d a n o c a d e r n o .
a ) Q u e s ó l i d o g e o m é t r i c o
l e m b r a a p a r t e e m
v e r d e d o l á p i s ( s e m
a p o
n t a ) ? C i l i n d r o .
b ) E a p o n t a d o l á p i s ( o n d e
a p a r e c e m a m a d e i -
r a e o g r a f i t e ) ? C o n e .
1 4
V e r d a d e i r o o u f a l s o ?
a ) A e s f e r a , o c i l i n d r o e o c
o n e t ê m s u p e r f í c i e s
c u r v a s . V
b ) A s u p e r f í c i e d a e s f e r a é
t o t a l m e n t e c u r v a e
a d o c i l i n d r o e d o c o n e
c o m b i n a m
s u p e r f í -
c i e s p l a n a s e n ã o p l a n a s
. V
c ) D o s t r ê s s ó l i d o s r e p r e s e n t a d o s s ó o c o n e
t e m
u m
v é r t i c e . V
1 5 Q u e s ó l i d o g e o -
m é t r i c o
v o c ê o b t é m
a o
g i r a r a p o r t a d
o
b a n c o ? C i l i n d r o .
1 6
D i g a o n o m e d o s s ó l i d o s g e o m é t r i c o s q u e
c o r r e s p o n d e m à s p l a n i f i c a ç õ e s s e g u i n t e s :
C o n e .
C i l i n d r o .
1 7 V e j a q u e c a d a u m
d o s s ó l i d o s f o i s e r r a d o
e m d u a s p a r t e s :
a ) Q u a i s s ó l i d o s t ê
m
a m e s m a f o r m a a n t e s e
d e p o i s d e s e r r a d
o s ? B , D e E
b ) O q u e s e o b t ê m
d o s ó l i d o A
d e p o i s d e
s e r r a d o ? U m t r o n c o
d e c o n e e u m c o n e .
c ) O q u e s e o b t ê m d o s ó l i d o C
d e p o i s d e
s e r r a d o ? U m t r o n c o
d e p i r â m i d e e u m a p i r â m i d e .
A
D
B E E
C
B
A
H é l i o S e n a t o r e
D A E
I l u s t r a C a r t o o n
D A E
D A E
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7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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S Ó L I D O S
G E O M
É T R I C O S
1 6 7
V a l e a p e n a
l e r
O n d e e
n c o n t r a m o s o s p o l i e d r o s d e P l a t ã o ?
O s c i n c o p o l i e d r o s r e g u l a r e s – c u b o , t e t r a e d r o , o c t a e d r o
, d o d e c a e d r o e i c o s a e d r o – s ã o t a m b é m
c o n h e c i d o s c o
m o p o l i e d r o s d e P l a t ã o , m a t e m á t i c o e f i l ó s o f o g r e g o q u e v i v e u n o p e r í o d o d e 4 2 7 a . C
a 3 4 7 a . C . E s s e s p o l i e d r o s e n c a n t a m p o r s u a b e l e z a . E n c o
n t r a m o s s u a s f o r m a s n a n a t u r e z a e n a s
c o n s t r u ç õ e s h
u m a n a s .
V o c ê s a b i a q u e o s c r i s t a i s d e c l o r e t o d e s ó d i o ( s a l d e c o z i n h a )
t ê m a f o r m a d e c u b o s e d
e t e t r a e d r o s ?
N a f o t o à e s q u e r d a , v e
m o s u m c r i s t a l d e f l u o r i t a c o m a f o r m a
d e o c t a e d r o .
A f l u o r i t a é u m m i n e r a
l u s a d o n a s i d e r u r g i a .
A e s t r u t u r a d a m o l é c u
l a d o g á s m e t a n o é t e t r a é d r i c a , c o m o
v e m o s n a r e p r e s e n t a ç ã o a o l a d o . A b a i x o , t e m o s u m d a d o n a f o r m a
d e d o d e c a e d r o e u m b e l o
i c o s a e d r o d e q u a r t z o .
E m r e l a ç ã o
à f o r m a d o c u b o , n e m é p r e c i s o d i z e r o q u a
n t o e l a é f r e q u e n t e …
A g o r a q u e
v o c ê c o n h e c e o s c i n c o p o l i e d r o s d e P l a t ã o e s
u a s c a r a c t e r í s t i c a s , q u e t a l o b s e r v a r c o m
m a i s a t e n ç ã o
a p r e s e n ç a e a s a p l i c a ç õ e s d e s s a s f o r m a s n o
m u n d o q u e n o s c e r c a ?
D a v i d S c h a r f / S P L / L a t i n S t o c k
S o n i a k / D r e a m s t i m e . c o m
C u b o m á g i c o
.
P u f f .
C u b o v e r m e l h o ,
N o v a Y o r k ,
E U A .
C i n t i a S a n c h e z
M i s t o Q u e n t e
S Ó L I D O S
G E O M
É T R I C O S
1 6 7
M i s t o Q u e n t e
C h r i s t o p h e r B r a d s h a w / D r e a m s t i m e . c o m
H é l i o S e n a t o r e
1 6 8
E x
e r c í c i o s
A u
t o a v a l i a ç ã o
A n o t e , e m s
e u c a d e r n o , o n ú m e r o d o e x e r c í c i o
e a l e t r a c o
r r e s p o n d e n t e à r e s p o s t a c o r r e t a .
3 1 ( S a r e s p )
F i g u r a 2
.
F i g u r a 1 .
F i g u r a 3 .
A t e n d a d o í n d i o ( f i g u r a 1 ) , o b l o c o d e c o n s -
t r u ç ã o ( f i g u r a 2 ) e o f u n i l ( f i g u r a 3 ) t ê m
f o r m a s
q u e , e m
G e o m e t r i a , s ã o c o
n h e c i d a s , r e s p e c t i -
v a m e n t e , p e l o s n o m e s d e :
a ) p i r â m i d e , b l o c o r e t a n g u
l a r , c o n e .
b ) p i r â m i d e , c u b o , b l o c o r e t a n g u l a r .
c ) c i l i n d r o , b l o c o r e t a n g u l a r , p i r â m i d e .
d ) e s f e r a , p i r â m i d e , c o n e .
x 3
2 Q u a l q u e r p i r â m i d e t e m
:
a ) p e l o m e n o s 8 v é r t i c e s .
b ) p e l o m e n o s 8 a r e s t a s .
c ) t o d a s a s f a c e s t r i a n g u l a r e s .
d ) o m e s m o n ú m e r o d e f a c
e s e v é r t i c e s .
x 3
3 A o d o b r a r d e f o r m a c o
n v e n i e n t e a s l i n h a s
t r a c e j a d a s d a f i g u r a a b a i x o , v a m o s o b t e r u m
s ó l i d o g e o m é t r i c o d e n o m e
:
a ) p r i s m a .
b ) t e t r a e d r o .
c ) h e x a e d r o .
d ) o c t a e d r o .
x
3 4 ( S a r e s p ) O b s e r v
e o s d i f e r e n t e s t i p o s d e c a i -
x a s u t i l i z a d a s p o r u
m a l o j a d e p r e s e n t e s :
A v e n d e d o r a m o n t a a c a i x a d e a c o r d o c o m
a e s c o l h a d o c l i e n
t e . S e e l a u t i l i z a r o s m o -
d e l o s q u e a p a r e c e m a
b a i x o , v a i o b t e r c a i x a s
d o t i p o :
a ) 1 e 4
b ) 3 e 4
c ) 2 e 3
d ) 1 e 2
x
T i p o 1 .
T i p o 3 .
T i p o
2 .
T i p o 4 .
I l u s t r a ç õ e s I l u s t r a C a r t o o n
1 6 8
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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S Ó L I D O S
G E O M
É T R I C O S
1 6 9
3 5 O s s ó l i d o
s g e o m é t r i c o s n ã o p o l i e d r o s e s -
t ã o d e s e n h a d o s e m :
a )
b )
c )
3 6 ( S a r e s p ) Q u a l d a s f i g u r a s s e g u i n t e s r e p r e -
s e n t a
c o r r e t a m e n t e a p l a n i f i c a ç ã o d e u m a p i -
r â m i d e r e g u l a r p e n t a g o n a l ?
a )
c )
b )
d )
x 3
7 V e
j a e s t a s e q u ê n c i a . D e q u a n t o s “ p e q u e -
n o s c u
b o s ” v o c ê p r e c i s a r i a p a r a f a z e r a p r ó x i -
m a c o
n s t r u ç ã o ?
3 9 ( S a r e s p ) O
p o l i e d r o d a f i g u r a a b a i x o é f o r -
m a d o
c o l a n d o u m
p r i s m a e u m a p i r â m i d e p o r
m e i o d
e u m a b a s e o c t o g o n a l c o m u m . O n ú m e r o
t o t a l d e f a c e s d o p o l i e d r o é :
S Ó L I D O S
G E O M
É T R I C O S
1 6 9
d )
a ) 1 6
b ) 3 2
c ) 6 4
d ) 8 1
x
a ) 9
b ) 1 5
c ) 1 7
d ) 2 4
x
x
3 8 U m a p i r â m i d e q u e t e m
7 v é r t i c e s é :
a ) p e n t a g o n a l .
b ) h e x a g o n a l .
c ) h e p t a g o n a l .
d ) o c t o g o n a l .
x
I l u s t r a ç õ e s D A E
1 7 0
4 0
( U F R - R J ) D u r a n t e a a u l a d e a r t e s , R u b i n h o
m o n t o u u m d a d o d e c a r t o l i
n a e i l u s t r o u q u a t r o
d a s s e i s f a c e s c o m
s í m b o l o
s d o b a r a l h o , c o n -
f o r m e d e m o n s t r a a f i g u r a a b a i x o .
o u r o s
c o p a s
e s p a d a s
p a u s
A o c h e g a r a s u a c a s a , R u b i n h o j o g o u s e u d a d o
s o b r e a m e s a e u m a d a s f a c e s n ã o i l u s t r a d a s
f i c o u v o l t a d a p a r a b a i x o , t o
c a n d o a s u p e r f í c i e
d a m e s a . A s i l u s t r a ç õ e s d o d a d o q u e p o d e r i a m
e s t a r v o l t a d a s p a r a c i m a ( n a f a c e p a r a l e l a à
f a c e q u e f i c o u v o l t a d a p a r a
a m e s a ) s ã o :
a ) c o p a s e o u r o s .
b ) e s p a d a s e c o p a s .
c ) e s p a d a s e p a u s .
d ) c o p a s e f a c e s e m
f i g u r a .
x 4
1 T r ê s d a d o s , c a d a u m c o
m f a c e s n u m e r a d a s
d e 1 a 6 , s ã o c o l o c a d o s n u
m a p i l h a , t a l c o m o
m o s t r a a f i g u r a . O
n ú m e r o
t o t a l d e p o n t i n h o s
q u e n ã o s ã o v i s í v e i s n a f i g u
r a é :
4 2 S i l v i n h o
r e c o r t o u
d o i s t r i â n g u l o s e
t r ê s
q u a d r a d o s p a r a c o n s t r u i r u m a c a i x a . A c a i x a
c o n s t r u í d a p o r S i l v i
n h o t e m
a f o r m a d e :
a ) p i r â m i d e t r i a n g u
l a r .
b ) p i r â m i d e q u a d r a
n g u l a r .
c ) p r i s m a t r i a n g u l a r .
d ) p r i s m a q u a d r a n g
u l a r .
x 4
3 ( S a r e s p ) U m a i n d ú s t r i a p r o d u z p e ç a s m a -
c i ç a s d e m a d e i r a c
o m
f o r m a t o d e p r i s m a s . A
s u p e r f í c i e r e p r e s e n t a d a a b a i x o é f o r m a d a p o r :
4 4 U m s ó l i d o g e o m
é t r i c o t e m s e i s f a c e s e s e i s
v é r t i c e s . T r a t a - s e d e
:
a ) p r i s m a t r i a n g u l a r .
b ) p r i s m a q u a d r a n g
u l a r .
c ) p i r â m i d e p e n t a g o n a l .
d ) p i r â m i d e h e x a g o
n a l .
x 4
5 A s f a c e s d e u m p
r i s m a a p r e s e n t a m a s f o r m a s
d a s f i g u r a s a s e g u i r . O s ó l i d o t e m :
a ) 6 f a c e s .
b ) 8 f a c e s .
c )
2 0 a r e s t a s .
d )
1 0 v é r t i c e s .
x
1 7 0
a ) 1 p e n t á g o n o e 3
r e t â n g u l o s .
b ) 2 p e n t á g o n o s e 5 r e t â n g u l o s .
c ) 3 p e n t á g o n o s e 4 r e t â n g u l o s .
d ) 3 p e n t á g o n o s e 3 r e t â n g u l o s .
x
a ) 2 1
b ) 2 2
c )
3 1
d ) 4 1
x
I l u s t r a ç õ e s D A E
I l u s t r a C a r t o o n
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-7-2-por-folha 86/144
Á R E A S
E
V O L U M
E S
1 7 1
Á r e a s e v o l u m e s
1 .
U m
a ,
d u a s ,
t r ê s d i m e n s õ e s
N o s s o m u n
d o é t r i d i m e n s i o n a l . M a s n e m s e m p r e u t i l i z a
m o s a s t r ê s d i m e n s õ e s d o e s p a ç o .
U N I D A D E 8
U N
I D A D E
A
s l i n h a s s ã o f i g u r a s u n i d i m e n s i o n a i s , p o i s
t ê m
u m a ú n i c a d i m e n s ã o : o c o m p r i m e n t o .
T a m b é m
h á f i g u r a s u n i d i m e n s i o n a i s
n ã o
p l a n a s . V e j a a f i g u r a a o l a d o .
A o t r a ç a r u
m r e t â n g u l o , t r a b a l h a m o s c o m d u a s
d i m e n s õ e s d o
e s p a ç o : c o m p r i m e n t o e l a r g u r a . O
r e t â n g u l o é u m a f i g u r a b i d i m e n s i o n a l .
A s f i g u r a s
b i d i m e n s i o n a i s o c u p a m u m a s u p e r -
f í c i e q u e p o d e s e r m e d i d a – e l a s t ê m á r e a .
I l u s t r a ç õ e s : I l u s t r a C a r t o o n
1 7 2
M u i t a s o u t r a s s i t u a ç õ e s e n v o l v e m c o m p r i m e n t o s , á r e a s e v o l u m e s . V o c ê
e s e u s c o l e g a s
p o d e m c
i t a r m a i s a l g u m a s ? R e s p o s t a p e s s o a l .
F o t o s : F e r n a n d o F a v o r e t t o
H á fi g u r a s b i d i m e n s i o n a i s n ã o p l a n a s .
T o d a s a s fi g u r a s t r i d i m e n s i o n a i s s ã o n ã o p l a n a s .
O s p o l í g o n o s s ã o e x e
m p l o s d e f i g u r a s b i d i m e n s i o n a i s .
J á o s s ó l i d o s g e o m é t r i c o
s s ã o f i g u r a s t r i d i m e n s i o n a i s – o c u p a m u m l u g a r n o e s p a ç o . A s s i m c o m o
a á r e a é a m e d i d a d a s u p e r f í c i e , o v o l u m e é a m e d i d a d o e s p a ç o o c u p a d
o p o r u m s ó l i d o . O s s ó l i d o s
g e o m é t r i c o s t ê m v o l u m e .
A o c o m p r a r f i o s d e a r a
m e p a r a c e r c a r u m
t e r r e n o , e s t a m o s i n t e r e s s a d
o s n o c o m p r i m e n t o
( a p e s a r , é c l a r o , d e o a r a m e t e r e s p e s s u r a ) .
Q u a n d o o p i s o d
e u m a s a l a v a i s e r a c a r p e -
t a d o , é p r e c i s o c a l c u
l a r a á r e a d e s s e p i s o p a r a
c o m p r a r a q u a n t i d a d e c o r r e t a d e m a t e r i a l .
A c a i x a - d ’ á g u a d e u m a c a s a é e s c o l h i d a d e a c o r d o c o m o v o l u m e d e
á g u a q u e s e r á c o n s u m i d o
p o r s e u s m o r a d o r e s .
N e s t a u n i d a d e , t r a b a l h a
r e m o s c o m c á l c u l o d e á r e a s , d e v o l u m e s e c o
m m e d i d a s d e c a p a c i d a d e .
V a m o s l á ?
I l u s t r a ç õ e s : D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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Á R E A S
E
V O L U M
E S
1 7 3
F e r n a n d o F a v o r e t t o
2 .
U n i d a d e s d e m e d i d a d e s u p e r f í c i e
P a r a m e d i r
u m a s u p e r f í c i e , é n e c e s s á r i o u s a r o u t r a s u p e r f í c i e c o m o u n i d a d e d e m e d i d a .
S u p e r f í c i e s
d e q u a d r a d o s s ã o u s a d a s c o m o p a d r ã o d e m
e d i d a . V a m o s r e l e m b r a r a s u n i d a d e s d e
m e d i d a d e s u p e r f í c i e d o S i s t e m a M é t r i c o D e c i m a l ?
O c e n t í m
e t r o q u a d r a d o ( c m 2 ) é a s u p e r f í c i e
o c u p a d a
p e l o q u a d r a d o d e 1 c e n t í m e t r o d e l a d o .
1 c m 2
1 c m
1 c m
O m e t r o
q u a d r a d o ( m 2 ) é a s u p e r f í c i e o c u p a d a p e l o q
u a d r a d o d e 1 m e t r o d e l a d o .
E o q u e s e r i a o m i l í m e t r o q u a d r a d o ?
1 . C o m b a s e n o s i g n i f i c a d o d e c m 2 , m
2 , m m 2 , c o n v e r s e c o m
o s c o l e g a s e e x p l i q u e m o r a l m e n t e o q u e
s i g n i f i c a q u i l ô m e t r o q u a d r a d o ( k m 2 ) . É a s u p e r f í c i e o c u p a d a p o r u m q
u a d r a d o d e 1 k m d e l a d o .
2 . N o c o
t i d i a n o , é p r e c i s o m e d i r s u p e r f í c i e s , d a s m e n o r e s
à s m a i o r e s . Q u e u n i d a d e d e m e d i d a d e
s u p e r
f í c i e v o c ê a c h a a d e q u a d a p a r a e x p r e s s a r a á r e a :
a ) d e u m
a s a l a d e a u l a ? m 2
b ) d o e s t a d o d o A m a z o n a s ? k m 2
c ) d e u m a f o l h a d e c a d e r n o ? c m 2
É a s u p e r f í c i e o c u p a d a
p e l o q u a d r a d o d e 1 m m
d e l a d o !
1 c m 2
V e j a a f o t o
g r a f i a a b a i x o .
1 m
1 m
O m 2 a p a r e c e c o m
f r e q u ê n c i a n o c o -
t i d i a n o .
O s q u a
d r a d i n h o s m e n o r e s t ê m
1 m m d
e l a d o .
L á p i s M á g i c o
I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
D A E
1 7 4
E x
e r c í c i o s
1
A d m i t i n d o q u e a á r e a d
e u m
q u a d r a d i n h o
é 1 c m 2 , c a l c u l e :
a ) a á r e a d e A ; 4 5 c m 2
b ) a á r e a d e B ; 2 4 c m 2
c ) a á r e a d e C . 2 7 c m 2
A
a ) I n d i q u e a s f i g u r a s q u e t ê m
á r e a i g u a l à d a
f i g u r a A . B , D e F .
b ) D e s e n h e
e m p a p e l q u a d r i c u l a d o
f i g u r a s
c o m
á r e a i g u a l à
d a f i g u r a C .
c ) D e s e n h e e m
p a p
e l q u a d r i c u l a d o r e t â n g u l o s
c o m á r e a i g u a l à
d a f i g u r a A .
F i g u r a c o m 1 5 q u a d r a d i n h o s d e á r e a .
R e t â n g u l o c o m 1 6 q u a d r a
d i n h o s d e á r e a .
2
O r i g i n á r i o d a C h i n a , o T a n g r a m
é u m
q u a -
d r a d o c o n s t i t u í d o d e 7 p e ç a
s . U s a m o s u m q u a -
d r a d o d e á r e a 1 6 c m 2 p a r a c o m p o r a s p e ç a s d e
u m
t a n g r a m . E s s a s p e ç a s f o
r a m
n u m e r a d a s d e
1 a 7 , c o n f o r m e a f i g u r a .
Q u a l é a á r e a , e m
c m 2 , d a p e ç a d e n ú m e r o 4 ?
2 c m 2
4
N e s t e p a i n e l c a
b e m
e x a t a m e n t e 7 2 a z u l e -
j o s d o t i p o I . P a r a r e v e s t i r e s s e m e s m o p a i n e l
c o m
a z u l e j o s d o t i p o I I , q u a n t a s p e ç a s s e r ã o
u t i l i z a d a s e x a t a m e n
t e ? 3 6 p e ç a s
T i p o I I
T i p o I
N o t a :
O
a z u l e j o m a i o
r p o d e s e r s e c c i o n a d o
p a r a c o m p l e t a r o
r e v e s t i m e n t o .
3
V e j a a s f i g u r a s :
B
C
A
B
C
D
E
F
2
3
4 5
6 7
1
I l u s t r a ç õ e s : D A E
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Á R E A S
E
V O L U M
E S
1 7 5
3 .
C o n
v e r s õ e s e n t r e a s u n
i d a d e s
d e m e d i d a d e s u p e r f í c i
e
M e t r o q u a d r a d o e c e n t í m e t r o q u a d r a d o
S a b e m o s q
u e 1 m = 1 0 0 c m .
E 1 m
2 ? Q u a n t o s c m
2 e
l e t e m ?
V e j a a o l a d
o a r e p r e s e n t a ç ã o d e 1 m 2 .
C o m o 1 m 1
0 0 c m , e m 1 m 2 t e m o s 1 0 0 f i l e i r a s
c o m 1 0 0 q u a d r a d i n h o s d e 1 c m 2 c a d a u m .
1 0 0 · 1 0 0 1
0 0 0 0
1 m 2 1 0
0 0 0 c m 2
E n t ã o ,
2 m 2 =
2 · 1
0 0 0 0 = 2 0 0 0 0 c m 2
3 m 2 =
3 · 1
0 0 0 0 = 3 0 0 0 0 c m 2
E a s s i m p o
r d i a n t e .
P a r a
t r a n s f o r m a r u m a m e d i d a d e m 2 p a r a c m 2 , b a
s t a m u l t i p l i c á - l a p o r 1 0 0 0 0 .
C o n s
e q u e n t e m e n t e , p a r a c o n v e r t e r c m 2 e m m 2 d i v i d i m o s a m e d i d a p o r 1 0 0 0 0 .
7 , 8 m 2 =
7 8 0 0 0 c m 2
3 4 0 0 0 c m 2 =
3 , 4 m 2
A c o m p a n h
e a s i t u a ç ã o a s e g u i r :
L u c a s m a n
d o u r e v e s t i r c o m f ó r m i c a o t a m p o d e u m a m
e s a q u a d r a d a d e l a d o 8 0 c m . A p e s s o a
q u e f a r á o s e r v i ç o c o b r a R $ 5 0 , 0 0 p o r m e t r o q u a d r a d o d e
f ó r m i c a c o l o c a d a .
P r e c i s o e x p r e s s a r a
á r e a d o t a m p o e m m e t r o s
q u a d r a d o s , p a r a s a b e r
q u a n t o g a s t a r e i !
N e s t a , e e m
o u t r a s s i t u a ç õ e s , é p r e c i s o s a b e r c o m o c o n v
e r t e r u n i d a d e s d e m e d i d a d e s u p e r f í c i e .
1 m 1
0 0 c m
1 m 1 0 0 c m
0 , 0 3 m 2 =
3 0 0
c m 2
5 7 8 c m 2 =
0 , 0 5 7 8 m 2
1 m
2
1 0 0 c m
1 0 0 c m 1
0 0 0 0 c m
2
Q u e m v a i a o
q u a d r o a j u d a r o L u c a s a
c a l c u l a r s e u g a s t o ?
V e j a e x e m p l o s :
G a s t a r á R $ 3 2 , 0 0 .
I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
D A E
1 7 6
1 k m 2 1
0 0 0
0 0 0 m 2
1 0 0 0 m . 1 0 0 0 m 1 0
0 0 0 0 0 m 2
o u
1 k m 2
1 k m 1
0 0 0 m
1 k m 1 0 0 0 m
R e l a c i o n a n d o q u i l ô m e t r o q u a d r a d o e m e t r o
q u a d r a d o
I m a g i n e u m q u a d r a d o c
o m 1 k m d e l a d o .
S a b e m o s q u e 1 k m 1
0 0 0 m . E m 1 k m 2 h
á 1 0 0 0
f i l e i r a s d e 1 0 0 0 q u a d r a d o
s d e 1 m 2 c a d a u m .
1 0 0 0 · 1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
S e 1 k m 2 1
0 0 0 0 0 0 m 2 , p a r a c o n v e r t e r u m a
m e d i d a d e k m 2 p a r a m 2 b a s t a m u l t i p l i c á - l a p o r
1 0 0 0 0 0 0 . E x e m p l o s :
3 k m 2 =
3 0 0 0 0 0 0 m
2
0 , 0 0 2 6 k m 2 =
2 6 0 0 m 2
1 , 4 5 k m 2 =
1 4 5 0 0 0 0
m 2
P a r a c o n v e r t e r u m a m e d i d a d e m 2 p a r a k m 2 , b a s t a d i v i d i - l a p o r 1 0 0 0 0 0 0 . E x e m p l o s :
2 4 7 0 0 0 m 2 0 , 2 4 7 k
m 2
9 0 0 0 0 0 0 m 2 =
9 k m 2
1 8 0 m 2 =
0 , 0 0 0 1 8 k m
2
F a ç a a a t i v
i d a d e e m g r u p o .
L e m b r a n d o q u e 1 c m =
1 0 m m , d e s c u b r a c o m s e u s c o l e g a s c o m
o t r a n s f o r m a r
c m 2 e m m m 2 e
v i c e - v e r s a . M o s t r e m e x e m p l o s d e c o n v e r s ã o .
M e d i d a s a g r á r i a s
É c o m u m v e r m o s á r e a
s r u r a i s c o m o f a z e n d a s , s í t i o s o u r e s e r v a s a m
b i e n t a i s s e r e m
e x p r e s s a s e m u n i d a d e s d e
m e d i d a c o m o o h e c t a r e e o a l q u e i r e .
S a i b a q u e :
1
0 0 0 0 m 2
2 4 2 0 0 m 2
4 8 4 0 0 m 2
2
7 2 2 5 m 2
F r u t a l ( M G ) V o c
ê j á p e n s o u e m
c o m p r a r u m a F a z e n
d a M o d e l o p e r t o d e
U b e r a b a ? 1 2 0 a l q u e i r e s . C o n t a t o c o m
o
p r o p r i e t á r i o ( 8
8 ) 8 8 8 8 - 8 8 8 8 .
D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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Á R E A S
E
V O L U M
E S
1 7 9
E x a t a m e n t
e ! N o 6 o a n o d e s c o b r i m o s q u e , p a r a c a l c u l a r a á r e a d e q u a l q u e r r e t â n g u l o , b a s t a
m u l t i p l i c a r a m
e d i d a d o c o m p r i m e n t o p e l a d a l a r g u r a . G e n e
r a l i z a m o s n o s s a d e s c o b e r t a e s c r e v e n d o :
Á r e a d o r e t â n g u l o ( c o m p r i m e n t o ) ( l a r g u r a ) , o u A C
R e p r e s e n t a m o s a á r e a p o r A , o c o m p r i m e n
t o p o r C e a l a r g u r a p o r
.
5 .
Á r e
a d o r e t â n g u l o e d o
q u a d r a d o
Q u a l é a á r e a d o r e t â n g u l o a b a i x o ?
P a r a o
b t e r a
á r e a
d o r e t â n g u l o s e m p r e c i s a r c o n t a r
q u a d r a d i n h o s , f a z e m o s :
A = 4
· 2 = 8 c m ² .
4 c m
2 c m
1 c m 2
1 c m
1 c m
N o q u a d r a
d o , a m e d i d a d o c o m p r i m e n t o é i g u a l à d a l a r g u r a :
A =
·
o u
A =
2
P o r q u e e s
s a g e n e r a l i z a ç ã o é i m p o r t a n t e ? D e t e r m i n a r
a á r e a d e u m r e t â n g u l o c o n t a n d o q u a -
d r a d o s e s c o l h
i d o s c o m o u n i d a d e d e m e d i d a , m u i t a s v e z e s é c o m p l i c a d o . I m a g i n e q u e q u e i r a m o s
c a l c u l a r a á r e a d e u m g r a n d e t e r r e n o r e t a n g u l a r . E s p a l h a r q u a d r a d o s s o b r e a s u p e r f í c i e d o t e r r e n o
e c o n t á - l o s s e
r i a i n v i á v e l !
Q u a n t o s c e n t í m e t r o s q u a d r a d o s t ê m a c a p a d e
s e u l i v r o ?
P r i m e i r o f a ç a u m a e s t i m a t i v a . E m s e g u i d a m e ç a
c o m u m r
é g u a o c o m p r i m e n -
t o e a l a r g u r a d a c a p a e c a l c u l e a á r e a u s a n d o a
r e l a ç ã o A = C · . S u a e s t i m a -
t i v a f i c o u p r ó x i m a d o v a l o r c o r r e t o ? R e s p o s t a p e s s o a
l . L e m b r e i ! T a m b é m
d e s c o b r i m o s c o m o c a l c u l a r
a á r e
a d e u m q u a d r a d o a p a r t i r
d
a m e d i d a d o s e u l a d o !
I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
D A E
D A E
1 8 0
C á l c u l o d e á r e a
p o r d e c o m p o s i ç ã o e c o m p o s i ç ã o d e f i g u r a s
M a r i a n a e J ú l i o c a l c u l a r a m a á r e a d a f i g u r a a b a i x o .
C a d a u m d e l e s r e s o l v e u
o p r o b l e m a u s a n d o u m r a c i o c í n i o d i f e r e n t e . A c o m p a n h e .
R e s o l u ç ã o d a M a r i a n a
: C
o m o s e i c a l c u l a r
a á
r e a d e r e t â n g u l o s ,
d e c
o m p u s a f i g u r a e m
d o i s r e t â n g u l o s !
A á r e a d a f i g u r a é
i g u a l à s o m a d a s
á r e a s d o s d o i s r e t â n g u
l o s :
A = 6 + 2 0 = 2 6 c m
² 7 c m
5 c m
4 c m
2 c m
7 c m
5 c m
4 c m
2 c m
3 c m
3 c m
R e s o l u ç ã o d o J ú l i o :
E u i m a g i n e i u m
r e t â n
g u l o m a i o r e , d a
á r e a d e l e ,
r e t i r
e i a á r e a d o q u a d r a d o d e
l a d o 3 c m .
A = 7 · 5
– 3 ² = 3 5 – 9 = 2 6 c m ²
O s d o i s a c e r t a r a m !
4 c m
5 c m
4 c m
2 c m
3 c m
3 c m
2 c m
3 c m
2 c m
5 c m
2 c m
2 c m
A 3 2 6 c m 2
A
4 5 2
0 c m 2
O b s e r v e b e m a
f i g u r a a o l a d o e s u a s m e d i d a s .
N e s t e p o l í g o n o , o s l a d o s s ã o t o d o s h o r i z o n t a i s o u v e r t i c a i s .
C a l c u l e s u a á r e a u s a n d o c á l c u l o m e n t a l . 4 0 c m 2
H é l i o S e n a t o r e H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a ç õ e s : D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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Á R E A S
E
V O L U M
E S
1 8 1
E x e r c í c i o s
1 5
( S a r e s p ) A
b a i x o
v e m o s a
v i s t a
s u p e r i o r
( t a m b é m
c h a m a d a d e p l a n t a b a i x a ) d o a p a r -
t a m e n t o d e M
a r i n a . Q u a l a á r e a d e s t e i m ó v e l ?
1 0 6 m 2
1 6
C a l c u l e a
á r e a d a f i g u r a s o m b r e a d a . 2 8 m 2
1 7
V e j a a p l a
n t a d e u m q u a r t o r e t a n g u l a r c o m
u m
a r m á r i o e
m b u t i d o . F o i p r e c i s o d e s c o n t a r
a á r e a d o a r m
á r i o n o m o m e n t o d e c a l c u l a r a
q u a n t i d a d e d e l a d r i l h o p a r a o p i s o . Q u a n t o s
m e t r o s q u a d r a
d o s d e l a d r i l h o f o r a m g a s t o s ?
9 , 4 0 m 2
1 8
O t a p e t e r
e t a n g u l a r d a f i g u r a t e m u m a p a r -
t e c e n t r a l l i s a
e u m a f a i x a d e c o r a d a c o m
1 m
d e l a r g u r a . Q u a l é a á r e a , e m
m 2 , d a p a r t e l i s a
d o t a p e t e ? 1 5 m
2
7 m
1 9
C a l c u l e m e n t a l m e n t e a á r e a d a f i g u r a , s a -
b e n d o
q u e é f o r m a d a p o r t r ê s r e t â n g u l o s . 1 5 m 2
2 0 U m
s e n h o r q u e r c o n s t r u i r u m
c a n i l r e t a n -
g u l a r c o m
2 4 m 2 d e á r e a . I n d i q u e t r ê s p o s s i b i -
l i d a d e
s d i f e r e n t e s p a r a a s d i m e n s õ e s d o c a n i l
( c o m p
r i m e n t o l a r g u r a ) .
P o r e x e m p l o : 3 m 8 m ; 4 m 6 m ; 2 m 1
2 m .
2 1 N a e s c o l a d e J o s é h á d o i s p á t i o s , u m
d e
f o r m a
q u a d r a d a e o u t r o d e f o r m a r e t a n g u l a r .
E s s e s p á t i o s t ê m
a m e s m a á r e a .
a ) Q u a l é o c o m p r i m e n t o d o p á t i o r e t a n g u l a r ?
b ) Q u a l d o s d o i s t e m
m a i o r p e r í m e t r o ? B
1 6 m
2 2 O
s e n h o r P a u l o p o s s u i t r ê s l o t e s q u a d r a -
d o s : u
m
d e l e s t e m
l a d o d e 1 0 m
e o s o u t r o s
d o i s t ê m
l a d o s d e 2 0 m
c a d a . E l e q u e r t r o c a r
o s t r ê
s l o t e s p o r o u t r o
l o t e q u a d r a d o , c u j a
á r e a s e j a a s o m a d a s á r e a s d a q u e l e s t r ê s l o t e s .
Q u a n t o d e v e m e d i r d e l a d o o n o v o l o t e ? 3 0 m
1
0 m
1 0 m
2 0 m
2 0 m
2 0 m
2 0 m
2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
2 m
5 , 2
5 m
3 m
1 , 7
5 m
5 m
9 m
1 2 m A
B 1 , 5
m 1 , 5
m
1 , 5
m
2 , 6
0 m
a r m á r i o r e t a n g u l a r
2 , 9 0 m
3 , 5
0 m
1 , 5 0 m
0 , 5
0 m
L á p i s M á g i c o
I l u s t r a ç õ e s : D A E
T o d o s
o s c a n t o s d a f i g u r a s ã o â n g u l o s r e t o s .
4 m
6 m
1 5 m
4 m
1 8 2
6 .
Á r e a d e p
o l í g o n o s
A i d e i a d e d e c o m p o r f i g u
r a s g e o m é t r i c a s é ú t i l n o c á l c u l o d e á r e a d e a l g u n s p o l í g o n o s .
P a r a l e l o g r a m o é t o d o
q u a d r i l á t e r o q u e t e m d o i s p a r e s d e l a d o s o p o s t o s p a r a l e l o s .
Á r e a d o p a r a l e l o g r a m o T r
a ç a m o s u m p a r a l e l o g r a m o , t o m
a m o s u m d o s l a d o s c o m o
b a s e ( b ) e t r a ç a m o s , p o r u m v é r t i c e , u m s e g m e n t o p e r p e n d i c u -
l a r à b a s e , q u e c h a m a m o s d e a l t u r a ( h ) r e l a t i v a à b a s e b . D e s s e
m o d o , o p a r a l e l o g r a m o f o i d e c o m
p o s t o e m d u a s f i g u r a s .
R e p o s i c i o n a n d o o t r i â n g
u l o , c o m p u s e m o s u m r e t â n g u l o d e b a s e ( b ) e
l a r g u r a ( h ) . A á r e a o r i g i n a l
d a f i g u r a n ã o s e m o d i f i c o u
.
A á r e a d o p a r a l e l o g r a m o é i g u a l à d o r e t â n g u l o o b t i d o !
A p a r a l e l o g r a m o b h
P a r a c a l c u l a r a á r e a d o p
a r a l e l o g r a m o , b a s t a c o n h e c e r a m e d i d a d e u m d e s e u s l a d o s e a m e d i d a
d a a l t u r a r e l a t i v a a e l e .
O s p a r a l e l o g r a m o s d e s e n h a d o s a b a i x o t ê m a m e s m a á r e a . V o c ê s a b e e x p l i c a r p o r q u ê ?
T o d o s t ê m a m e s m a b a s e e a m e s m a a l t u r a .
b
b h
a
a
h
b
h
b
I l u s t r a ç õ e s : D A E
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Á R E A S
E
V O L U M
E S
1 8 7
E x e r c í c i o s
2 3
( S a r e s p ) N
u m a p r a ç a s e r á c o n s t r u í d o u m
j a r d i m
c o m o
f o r m a t o d a f i g u r a a b a i x o e p l a n -
t a d a g r a m a n o
s e u i n t e r i o r . O l a d o d o q u a d r a d o
m e d e 2 m e t r o s , e o s t r i â n g u l o s s ã o t o d o s i g u a i s .
Q u a l é , e m m
2 , a á r e a a s e r p l a n t a d a ? 1 2 m 2
2 4
O
d e s e n h
o
a b a i x o
r e p r e s e n t a p a r t e d o s
t e r r e n o s d e u m
l o t e a m e n t o .
a ) Q u a l é a á r e a d o l o t e A ? 1 6 5 , 6 m 2
b ) Q u a l é a á r e a d o l o t e B ? 1 8 4 , 2 m 2
c ) Q u a l é a á r e a d o l o t e C ? 1 2 5 m 2
d ) Q u a l é a á r e a d o l o t e D ? 1 9 0 m 2
2 5
O
s e n h o r
M a n u e l t r o c o u u m
t e r r e n o r e -
t a n g u l a r d e 8 0 m
p o r 6 0 m
p e l o r e p r e s e n t a d o
n a f i g u r a .
N a t r o c a d o s t e r r e n o s , l e v a n d o e m c o n s i d e r a ç ã o
a á r e a , o s e n h o r M a n u e l g a n h o u o u p e r d e u ?
N ã o g a n h o u , n e m p e
r d e u .
2 6
C a l c u l e a s á r e a s d a s f i g u r a s s o m b r e a d a s
( m e d i d a s e m
c e n t í m e t r o s ) :
A 1 =
8 8 2
= 3 2
A 2 =
4 4 2
= 8
A 1 – A 2 = 2 4
2 4 c m 2
a )
b )
2 7 ( C
P I I - R J ) D e s e j a - s e c o n s t r u i r u m a á r e a d e
l a z e r c o n f o r m e o e s b o ç o d e p l a n t a m o s t r a d o a
s e g u i r : 1 0 9 m 2
D e t e r m i n e a á r e a d o t e r r e n o a c i m a u s a n d o a s
m e d i d
a s i n d i c a d a s n a f i g u r a .
Á r e a d e l a z e r
2 m
L 1 =
2 0 1 0
2
= 1 0 0
L 2 =
1 2 6 2
= 3 6
L 1 – L 2 = 6 4
6 4 c m 2
3
5
6
1 0
I l u s t r a ç ã o f o r a d e e s c a l a .
8
8
4
4
I l u s t r a ç õ e s : D A E
A
m b o s o s q u a d r i l á t e r o s s ã o l o s a n g o s .
3 0 m
1 6 0 m
P a r a l e l o g r a m o
6 m
1 2 m
A C
D
E
F
4 m
B
5 m
Á r e a d o r e t â n g u l o : 1 2 6
7 2
Á r e a d o t r i â n g u l o :
5 6 2
1
5
Á r e a d o t r a p é z i o :
( 8 + 3 ) 4
2
2
2
Á r e a d o t e r r e n o : 7 2
1 5
2 2
1 0 9
3 m
8 m
1 8 8
2 8
A f i g u r a r e p r e s e n t a u m
t e r r e n o g r a m a d o .
C a d a m 2 d e g r a m a d e m o r a ,
e m m é d i a , 5 m i n u -
t o s p a r a s e r c o r t a d o . Q u a l é
o t e m p o p r e v i s í v e l
p a r a c o r t a r t o d a a g r a m a ? 1 1 7 0 m i n o u 1 9 h e 3 0 m i n
2 9
( O b m e p ) O s q u a d r a d o s a b a i x o t ê m
t o d o s
o m e s m o t a m a n h o .
E m q u a l d e l e s a r e g i ã o s o m b r e a d a t e m a m a i o r
á r e a ? E m V .
A
E
B
C
D
3 0
P o r q u e o s t r i â n g u l o s A
B C , D B C e E B C d a
f i g u r a t ê m
a m e s m a á r e a ? P o r q u e t ê m b a s e s d e m e s m a m e d i d a e
a l t u r a s d e m e s m a m e d i d a .
3 1
C a l c u l e a á r e a
d a f i g u r a s o m b r e a d a , s u -
p o n d o a s m e d i d a s e m
c e n t í m e t r o s :
A = 6 · 3 = 1 8
A T =
( 3 + 2 ) 4
2
= 1 0
A t o t a l = 1 8 + 1 0 = 2 8
2 8 c m 2
3 2
T e m
u m
v i d r o p
a r t i d o n a v a r a n d a d a c a s a
d a d o n a M a f a l d a .
O m e t r o q u a d r a d o d e s s e v i d r o c u s t a R $ 8 0 , 0 0 .
Q u a n t o v a i c u s t a r e
s s a p e ç a q u e b r a d a ? R $ 6 , 0 0
3 3
N o b a i r r o e m q
u e R u i m o r a , f o i c o n s t r u í -
d o u m
n o v o j a r d i m
d e f o r m a r e t a n g u l a r . P a r a
f a c i l i t a r a p a s s a g e m
d a s p e s s o a s , f o i a b e r t o u m
c a m i n h o c o m o m o s t r a o d e s e n h o .
a ) Q u a l é a á r e a o c u p a d a p e l o c a m i n h o ? 9 8 m 2
b ) Q u a l é a á r e a d a
p a r t e a j a r d i n a d a ? 1 3 0 2 m 2
I
I I
I I I
I V
V
2 m
2
3
6
1 0
5 0 c m
3 0 c m
3 , 5
m
28 m
5 0 m
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a ç õ e s : D A E
l o s a n g o
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Á R E A S
E
V O L U M
E S
1 8 9
O v o l u m e d e u m c u b o c o m 1 m d e a r e s t a é :
1
m
· 1 m
· 1 m 1 m 3
o u
1
0 d m
· 1 0 d m
· 1 0 d m 1
0 0 0 d m 3
o u a i n d a
1
0 0 c m · 1 0 0 c m · 1 0 0 c m 1
0 0 0 0 0 0 c m 3
E n
t ã o ,
1 m
1 0 d m
1 0 0 c m
1 m
1 0 d m
1 0 0 c m
1 m 1 0 d m 1 0 0 c m
A g o r a , o
b s e r v e :
8 .
R e l a ç õ e s e n t r e a s u n i d a
d e s d e m e d i d a ,
d e v o l u m e e d e c a p a c i d
a d e
R o g é r i o c o
m p r o u u m a q u á r i o d e v i d r o e m f o r m a d e
b l o c o r e t a n g u
l a r . E l e q u e r s a b e r q u a n t o s l i t r o s d e á g u a
s e r ã o n e c e s s á
r i o s p a r a e n c h ê - l o c o m p l e t a m e n t e .
V a m o s a j u d á - l o ?
V i m o s n o l i v r o d o 6 o a n o q u e o v o l u m e d e u m b l o c o
r e t a n g u l a r é o
p r o d u t o d e s u a s t r ê s d i m e n s õ e s .
V c o m p r i m e n t o · l a r g u r a · a l t u r a
o u
V
c
· ·
a
V a q u á r i o = 8
0 · 7 0 · 5 0
2 8 0 0 0 0 c m 3
M a s q u a n t
o i s s o r e p r e s e n t a e m l i t r o s ?
O l i t r o é u
m a m e d i d a d e c a p a c i d a d e .
1 l i t r o “ e n c h e ” c o m p l e t a m e n t e
u m c u b o c o m 1 d m d e a r e s t a :
1
d m 3
1 L
J á c o n s t a t a m o s i s s o
n a p r
á t i c a , n o l i v r o
d o 6 o a n o .
P
a r a m e d i r v o l u m e s u s a m o s c o m o p a -
d
r ã o o v o l u m e d e c u b o s .
P
a r a e n c h e r c o m p l e t a m e n t e o a q u á r i o
s
ã o p r e c i s o s 2 8 0 0 0 0 c u b i n h o s d e 1 c m
d
e a r e s t a .
1
0 0 0
: 1 0 0 0
: 1 0 0 0
1 m
3 1
0 0 0 d m 3 1
0 0 0 0 0 0 c m 3
1
0 0 0
1 c m
1 c m
1 c m
1 c m 3 é o v o l u m e d e u m
c u b o d e 1 c m d e a r e s t a
I l u s t r a C a r t o o n
L á p i s M á g i c o D A E
D A E
I l u s t r a C a r t o o n
1 9 0
D a í p o d e m o s t i r a r r e l a ç õ e s e n t r e a s m e d i d a s d e v o l u m e e d e c a p a c i d
a d e :
1 d m 3 1
L
1 d m 3 1
0 0 0 c m 3
1 m 3 1
0 0 0 d m 3
1 0 0 0
d m 3 1
0 0 0 L
1 L 1
0 0 0 c m 3
1 0 0 0 L 1 m 3
1 . S a b e n d o q u e 1 L = 1 0 0 0
m L e q u e 1 L = 1 0 0 0 c m 3 , d e s c u b r a a r e l a ç ã o e n t r e
m L e c m 3 .
1 m L
1 c m 3
2 . O b s e r v e a s i m a g e n s e r e
s p o n d a :
l i t r o s n e s s a r e s i d ê n c i a ? 1 8 0 0 0 L
O c o n s u m o d e á g u a d e u m a r e s i d ê n
c i a n e s t e m ê s f o i d e 1 8 m 3 .
d e s t a l a t a ,
e m c m 3 ? 3 5 0 c m 3 L é o B u r g o s
O m i l i l i t r o
O u t r a u n i d a d e d e m e d i d a d e c a p a c i d a d e b a s t a n t e f r e q u e n t e é o m i l i l i t r o .
O m i l i l i t r o é a m i l é s i m a p a r t e d o l i t r o .
1 L
1 0 0 0 m L
A g o r a p o d e m o s r e s o l v e r o p r o b l e m a d e R o g é r i o .
O v o l u m e d o a q u á r i o é d e 2 8 0 0 0 0 c m 3 .
C o m o c a d a 1 0 0 0 c m 3 c
o r r e s p o n d e m a 1 L , p a r a e n c h e r c o m p l e t a m
e n t e o a q u á r i o s ã o n e c e s -
s á r i o s 2 8 0 l i t r o s d e á g u a .
2 8 0 0 0 0 : 1 0 0 0 2
8 0
I l u s t r a C a r t o o n
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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E Q U A Ç Õ E S
2 0 7
A p l i c a n
d o o q u e a p r e n d e m o s :
P a r a r e s o l v
e r a e q u a ç ã o 3 x 2
x 1
0 0 5
0 , p o d e m o s
i m a g i n á - l a c o m o u m a b a l a n ç a d e p r a t o s
e m e q u i l í b r i o :
V e j a m a i s e x e m p l o s :
3 x
5 x
8 3 x 6
2 x
8 6
3 x
A í , u s a m
o s a s o p e r a ç õ e s i n v e r s a s :
V a m o s s u b t r a i r
3 x d o s d o i s m e m b r o s d a e q u a ç ã o .
D e s c o b r i m o s a m a s s a d o c u b i n h o : 1 5 0 g .
O e q u i l í b r i o s e m a n t é m .
3 x 2
x 1
0 0 5
0
3 x 2
x 1
5 0
V a m o s r e t i r a r a m e s m a m a s s a d o s d o i s p r a t o s :
2 x
6
8
2 x
1
4
x 1
4 2
x 7
S u b s t i t u a x
r a ç õ e s i n d i c a d
a s . V o c ê o b t e v e u m a i g u a l d a d e
v e r d a d e i r a ? S i m
.
5 ( x 3 )
4
( x 2
) 6
P r i m e i r o a p l i c a m o s a p r o p r i e d a d e d i s t r i b u t i v a :
5 x 1
5 4
x 8
6
x 2
1
5
x 1
7
E f e t u a m o s ( 8 6
) :
S u b t r a i n d o 4 x d e a m b o
s o s m e m b r o s d a e q u a ç ã o , t e m o s :
4 x
4 x
5 x 1
5 4
x 2
x 1 5
2
2 x
3 x 2
x 1
5 0
x 1
5 0
2 x
I l u s t r a ç õ e s : I l u s t r a C a r t o o n
2 0 8
E x
e r c í c i o s
3 1 Q u a i s d a s s e g u i n t e s a
ç õ e s m a n t e r i a m
a
b a l a n ç a e m
e q u i l í b r i o ?
3 2 E s t a b a l a n ç a e s t á e m
e q u i l í b r i o e a s t r ê s
m e l a n c i a s t ê m
o m e s m o p e
s o :
3 3 E s t a s c a i x a s t ê m
o m e s
m o n ú m e r o d e c a -
n e t a s c o l o r i d a s .
3 5 R e s o l v a a s e q u a
ç õ e s .
3 7 R e s o l v a a s e q u a
ç õ e s .
3 4 A s o m a d e t r ê s n ú m e r o s i n t e i r o s c o n s e c u t i -
v o s é 9 3 . Q u a i s s ã o o s n ú
m e r o s ?
3 2 , 3 1 e 3 0 ; x (
x 1
) (
x 2
) –
9 3
3 6 O t r i â n g u l o d a
f i g u r a t e m p e r í m e t r o d e
2 2 c m . D e t e r m i n e
a m e d i d a d o m e n o r l a d o .
5 c m
3 x 1 2
x 1 x 4 2
2
V o c ê d e
s c o b r i u
e m q u e n
ú m e r o e u
p e n s e i ? 1 9
3 8 P e n s e i e m
u m n
ú m e r o ; x
a ) A d i c i o n a r 3 k g e m
c a d a
p r a t o .
b ) T i r a r 5 k g d e c a d a p r a t o .
c ) P a s s a r u m a l a t a d o p r a t o e s q u e r d o p a r a o
p r a t o d i r e i t o .
d ) T i r a r u m a l a t a d e c a d a p
r a t o .
e ) T i r a r d u a s l a t a s d o p r a t o
e s q u e r d o e u m a d o
d i r e i t o .
a ) Q u a l é o p e s o d e c a d a m
e l a n c i a ? 5 k g
b ) Q u a l é a e q u a ç ã o q u e r
e p r e s e n t a e s s a s i t u -
a ç ã o ?
2 m 7 m 1
2
a ) Q u a n t a s c a n e t a s h á e m
c a d a c a i x a ? 6 c a n e t a s
b )
Q u a l é a e q u a ç ã o q u e r
e p r e s e n t a e s s a s i t u -
a ç ã o ? 2 x 2 x 8
a ) 6 x 2
x 1
6 4
b ) 4 x 1
0 2
x
2 6
c ) 2 x 1 4
x 7
4
d ) 3 x 2 4
x 9
1 1
e ) 5 x 4 3
x 2
x 4
0
f ) x x 4 1
7
2
x 1
g ) 3 , 4 x 2 , 6 x 0 , 9 2 0 , 7
h ) 0 , 1 x 3
x 0 , 9
x 1
4 2
x 7
1 1 2
a ) 7 ( x 2
) 5
( x
3 ) 2 9 2
b ) 2 ( x 5
) 4
( x
1 ) 0
c ) 3 ( 2 x 1
) 2
( x 3
)
3 8
d ) 7 ( x 1
) 2
( x
5 ) x 5 2
7 3
s u b t r a í 3 u n i d a d e
s ; x 3
m u l t i p l i q u e i o r e s
u l t a d o p o r 4 ; ( x 3
) 4
s o m e i u m a u n i d a d e ; ( x 3
) 4 1
o r e s u l t a d o d e u 6
5 . ( x 3
) 4 1 6
5
x x x
2 x 1
x 4
3 x 1
I l u s t r a C a r t o o n
H é l i o S e n a t o r e
H é l i o S e n a t o r e
L á p i s M á g i c o
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I N E Q U A Ç Õ E S
2 1 9
7 4
7 4
7 1
1
7 1
1
I n e q
u a ç õ e s
1 .
D e s
i g u a l d a d e s – s í m b o l o s e p r o p r i e d a d e s
U N I D
A D E 1 0
U N I D
A D E
V a m o s c o m
p a r a r n ú m e r o s : 7 7
é u m a i g u a l d a d e ;
O s s i n a i s
( m a i o r q u e ) , ( m e n o r q u e ) e (
d i f e r e n t e ) s ã o s i n a i s d e d e s i g u a l d a d e . A i n d a e x i s t e m
o s s i n a i s :
( m a
i o r o u i g u a l ) e ( m e n o r o u i g u a l )
A s s i m c o m
o a s i g u a l d a d e s , a s d e s i g u a l d a d e s p o s s u e m d o i s m e m b r o s :
3 6
5 1
O b s e r v e o s q u a d r o s q u e p a r t e m s e m p r e d e u m a d e s i g u
a l d a d e v e r d a d e i r a :
E s t e s n ã o s ã o e x e m p l o s p a r t i c u l a r e s .
s ã o d e s i g u a l d a d e s .
1 o m e m b r o
2 o m e m b r
o
6 4
6 4
S o m a n d o o u s u b t r a i n d o o m e s m o n ú m e r o d e a m b o s o s m e m b r o s d e u m a
d e
s i g u a l d a d e v e r d a d e i r a , e l a p e r m a n e c e v e r d a d e i r a !
1 , 5 2
é u m a d e s i g u a l d a d e v e r d a d e i r a
1 . S o m e
2 , 5 a a m b o s o s m e m b r o s d a d e s i g u a l d a d e . A d e s i g
u a l d a d e p e r m a n e c e v e r d a d e i r a ? S i m .
2 . S u b t r a i a 0 , 5 d e a m b o s o s m e m b r o s d a d e s i g u a l d a d e . A d
e s i g u a l d a d e p e r m a n e c e v e r d a d e i r a ? S i m .
S u b t r a i n d o 8 d e a m b o s o s m e m b r o s
d a d e s i g u a l d a d e :
6 8
4 8
2
4 ( V e r d a d e i r a ! )
S o m a n d o 3 a a m b o s o s m e m b r o s d a
d e s i g u a l d a d e :
6 3
4
3
9 7
( V e r d a d e i r a ! )
2 2 0
2 8
2
8
A g o r a , a t e n ç ã o :
2
6
2
6
M a i s u m a p r o p r i e d a d e
M u l t i p l i c a n d o o u d i v i d
i n d o a m b o s o s m e m b r o s d a d e s i g u a l d a d e
p o r u m
m e s m o n ú m e r o
p o s i t i v o , a d e s i g u a l d a d e
s e m a n t é m v e r d a d e i r a .
5
3 é u m a d e s i g u a l d a d e v e r d a d e i r a
1 . M u l t i p l i q u e a m b o s o
s m e m b r o s d a d e s i g u a l d a d e p o r ( 2 ) .
A d e s i g u a l d a d e f i c a v e r d a d e i r a ? E s e t r o c a r m o s o s i n a l p e l o s i n a l ?
2 . A g o r a d i v i d a a m b o s o s m e m b r o s d a d e s i g u a l d a d e 5
3 p o r ( 2 ) .
R e l a t e o q u e v o c ê o b
s e r v o u . É p r e c i s o t r o c a r o s i n a l p o r p a r a q u e a d e s i g u a l d a d e f i q u
e v e r d a d e i r a .
S e m u l t i p l i c a r m o s o u d i v i d i r m o s a m b o s o s m e m b r o s d e u m a d e s i g u a l d a d e p o r u m m e s m o
n ú m e r o n e g a t i v o , é p r e c i s o :
p e l o
; o u
p e l o
s i n a l p a r a a d e s i g u a l d a d e f i c a r v e r d a d e i r a . N
ã o . S i m .
M u l t i p l i c a n d o a m b o s o s m e m b r o s d a
d e s i g u a l d
a d e p o r 5 :
2 5 8 5
1 0 4
0 ( V
e r d a d e i r a ! )
D i v i d i n d o a m b o s
o s m e m b r o s d a
d e s i g u a l d a
d e p o r 2 :
2 : 2
8 : 2
1 4
( V e r d a d e i r a ! )
M u l t i p l i c a n d o a m b o s o s m e m b r o s d a
d e s i g u a l d
a d e p o r ( 3 ) :
2 ( 3 ) 6 ( 3 )
6
1 8
( N ã o é v e r d a d e ! )
P a r a a d e s i g u a l d a d e f i c a r v e r d a d e i r a , p r e c i -
s a m o s t r o c a r o s i n a l p e l o s i n a l :
6
1 8 ( V e r d a d e i r a ! )
D i v i d i n d o a m b o
s o s m e m b r o s d a
d e s i g u a l d a
d e p o r ( 2 ) :
2 : ( 2 ) 6 : ( 2 )
1
3 ( N ã o é v e r d a d e ! )
N o e n t a n t o :
1
3 ( V e r d a d e i r a ! )
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 N G U L O S
E
T R I Â N G U L O S
2 3 1
 n g
u l o s e t r i â n
g u l o s
1 .
R e c o r d a n d o . . .
V o c ê j á s a b
e v á r i a s c o i s a s s o b r e â n g u l o s , p o i s e s t u d a m o s e s s e a s s u n t o n o l i v r o d o 6 o a n o . V a m o s
r e l e m b r a r ?
T r a ç a m o s n
o p l a n o d u a s s e m i r r e t a s d e m e s m a o r i g e m , d i v i d i n d o o p l a n o e m d u a s r e g i õ e s . C a d a u m a
d e s s a s r e g i õ e s
é u m â n g u l o .
o u t r o â n g
u l o
A B u m â n g u l o
O
O A e O B s ã o s e m i r r e t a s
d e o r i g e m n o p o n t o O .
N a p r á t i c a , m a r c a m o s o â n g u l o q u e v a m o s c o n s i d e r a r ,
u s a n d o u m
p e q u e n o a r c o
, c o m o v o c ê v ê n a f i g u r a .
O s l a d o s d o â n g u l o r e p r e s e n t a d o s ã o a s s e m i r r e t a s O A e O
B . A o r i g e m
c o m u m à s d u a
s s e m i r r e t a s é o p o n t o O , c h a m a d o v é r t i c e
d o â n g u l o .
P o d e m o s n
o m e a r e s t e â n g u l o :
A Ô B ( l e m o
s â n g u l o A O B ) o u
 ( l e m o s â n g u l o A ) .
S e o s l a d o s
d o â n g u l o f o r e m s e m i r r e t a s o p o s t a s , t e m o s u m â n g u l o d e
m e i a v o l t a , q u
e é c h a m a d o : â n g u l o r a s o :
U N I D
A D E 1 1
U N I D
A D E
S e o s l a d o s d o â n g u l o f o r e m s e m i r r e t a s q u e c o i n c i d e m , t e m o s u m :
O
A
B
â n g u l o n u l o
O
A
B
â n g u l o d e 1 v o l t a
o u
A
O
B
A B
L a d o s
O V é r t i c e
U m â n g u l o t e m
2 l a d o s e 1 v é r t i c e .
I l u s t r a ç õ e s : D A E
2 3 2
M e d i d a d e â n g u l o s
P a r a m e d i r u m â n g u l o , e s c o l h e m o s o u t r o c o m o u n i d a d e d e m e d i d a e
v e r i f i c a m o s q u a n t a s v e z e s
e l e “ c a b e ” n o â n g u l o a s e r m e d i d o .
A u n i d a d e d e m e d i d a m
a i s u s a d a p a r a â n g u l o s é o g r a u , c u j o s í m b o
l o é º . O â n g u l o d e 1 v o l t a
t e m 3 6 0 g r a u s ( 3 6 0 º ) . O b t e m o s o â n g u l o d e 1 º d i v i d i n d o o â n g u l o d e 1 v o l t a e m 3 6 0 â n g u l o s d e
m e s m a m e d i d a .
O t r a n s f e r i d o r é o i n s t r u
m e n t o u s a d o p a r a m e d i r â n g u l o s .
V e j a a s i l u s t r a ç õ e s :
C o m o r e g i s t r a r e m o s a
m e d i d a d e u m â
n g u l o ?
O b s e r v e a i l u s t r a ç ã o a o l a d o p a r a l e m b r a r c o m o
p o s i c i o n a m o s o t r a n s f e r i d o
r p a r a m e d i r u m â n g u l o . A
m e d i d a d o â n g u l o A Ô B é 6
0 º .
E s c r e v e r e m o s : m e d ( A Ô B
) 6
0 º o u m e d ( Ô ) 6
0 º .
E m v á r i a s s i t u a ç õ e s n e s t e l i v r o u s a r e m o s u m a l e t r a m i -
n ú s c u l a p a r a i n d i c a r a m e d
i d a d e u m â n g u l o :
N e s t a i l u s t r a ç ã o , a l e t r a x r e p r e s e n t a a m e d i d a
e m g r a u s d o â n g u l o  .
1 °
A
x O
â n g u l o d e m e i a v o l t a , o u â n g u l o
r a s o , m e d e 1 8 0 º .
O
â n g u l o d e
1 4 d e v o l t a m e d e 9 0 º .
O
â n g u l o d e 9 0 º c h a m a - s e â n g u l o r e t o .
U s a m o s e
s s e s í m b o l o p a r a
i n d i c a r q u
e o â n g u l o é r e t o .
S e d u a s r e t a s r e s s e c o r t a m f o r m a n d o
4 â n g u l o s d e 9 0
º , d i z e m o s q u e e l a s s ã o
p e r p e n d i c u l a r e s .
N o t a ç ã o : r s
T r a n s f e r i d o r d e 1 8 0 ˚
T r a n s f e r i d o r d e 3 6 0 ˚
O
A
B
I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
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 N G U L O S
E
T R I Â N G U L O S
2 3 5
D e t e r m i n e a
m e d i d a d o â n g u l o A B B D s a b e n d o q u e :
m e d ( A B B C ) 6
0 º e m e d ( D B B C ) 2
0 º 4 0 º
 n g u l o
s
O s â n g u l o s
P ˆ O Q e R ˆ S T i l u s t r a d o s a o l a d o
t ê m
a m e s m a
m e d i d a . C o n f i r a u s a n d o o
t r a n s f e r i d o r .
E s c r e v e m o s : P Ô Q R ˆ S T s e m e d ( P Ô Q ) m e d ( R ˆ S T )
V e j a c o m o
p o d e m o s t r a ç a r u m â n g u l o P ˆ Q R c o n g r u e n
t e a u m â n g u l o A Ô B d a d o s e m u s a r o
t r a n s f e r i d o r :
1 . T r a ç a m o s u m a r e t a r e
m a r c a m o s o p o n t o Q
s o b r e e l a .
2 . C o m a p o n t a s e c a d o
c o m p a s s o e m O e d e p o i s
e m Q e m e s m a a b e r t u r a ,
t r a ç a m o s d o i s a r c o s ,
d e t e r m i n a n d o o s p o n t o s A ,
B e R c o m o v o c ê v ê n a fi g u r a
.
3 . C o m a p o n t a s e c a d o
c o m p a s s o e m R e a b e r t u r a i g u a l a
d i s t â n c i a e n t r e A e B , f a z e m o s u m
n o v o a r c o , d e t e r m i n a d o o p o n t o P .
T r a ç a m o s a s e m i r r e t a Q P ,
o b t e n d o o â n g u l o P Q R .
M a i s u m a
d e f i n i ç ã o :
D o i s â n g u l o s s ã o c h a m a d o s d e a d j a c e n t e s q u a n d o t ê m
o m e s m o
v é r t i c e e u m l a d o e m c o m u m q u e o s s e p a r a . N a f i g u r a a o
l a d o , C Ô B e
B Ô A s ã o â n g u
l o s a d j a c e n t e s . A i n d a n e s s a f i g u r a , o b s e r v e o
â n g u l o A Ô C .
A m e d i d a d e A Ô C é i g u a l à s o m a d a s m e d i d a s d e C Ô B e B
Ô A .
A C
B
O
C
D A
B
N a f i g u r a a o l a d o , P Ô S m e
d e 1 0 0 º p o i s :
1 5 º 2
0 º 6
5 º 1
0 0 º
O
S
P
R
Q
T
O Q
r
O
Q
A
B P
R
O Q
R A
B
r
r
 n g u l o s d e m e s m a m e d i d a s ã o â n g
u l o s c o n g r u e n t e s .
m e d ( A Ô C ) m e d ( C Ô B )
m e d ( B Ô A )
ˆ
6 5 °
2 0 ° 1
5 °
P
Q
R
S
O
H é l i o S e n a t o r e
2 3 6
1 . O b s e r v e n a f i g u r a a o l a d o o s â n g u l o s f o r m a d o s
p e l a A v e n i d a d a s F l o
r e s e a R u a d a s M a r g a r i d a s .
A g o r a r e s p o n d a .
a ) E l e s s ã o s u p l e m e n t a
r e s ? P o r q u ê ?
b ) V o c ê s a b e d i z e r q u a l
d e v e s e r a m e d i d a d o â n g u l o
a s s i n a l a d o e m v e r m
e l h o f o r m a d o p e l a A v e n i d a
d a s F l o r e s e a R u a d o s L í r i o s ? 6 0 º
2 . M a r c o s t r a ç o u u m a r e t a e , u t i l i z a n d o u m d o s s e u s
e s q u a d r o s , t r a ç o u u m
â n g u l o d e 3 0 ° . Q u a l é a m e d i d a d o o u t r o â n g u l o q u
e f i c o u d e t e r m i n a d o ? 1 5 0 °
E s s e s d o i s â n g u l o s s ã o s u p l e m e n t a r e s ? S i m .
S i m , p o i s s u a s m e d i d a s
s o m a m 1 8 0 º .
3 .
 n g u l o s s u p l e m e n t a r e s
N e s t a r u a f o r a m p i n t a d a s f a i x a s d e e s t a c i o n a m e n t o a 4 5 º .
V a m o s e x a m i n a r o m o d e l o g e o m é t r i c o p r e s e n t e n e s t a s i t u a ç ã o :
R u a d o s L í r i o s
R u a d a s M
a r g a r i d a s
A v e n i d a d a s F l o r e s
1 2 0 º
4 0 º
1 4 0 º
U m a f a i x a f o r m a c o m a
c a l ç a d a o â n g u l o A Ô B , d e 4 5 º .
N o e n t a n t o , f i c a d e t e r m i n a d o t a m b é m o â n g u l o B Ô C .
O b s e r v e q u e a s o m a d a s m e d i d a s d o s â n g u l o s A Ô B e B Ô C é 1 8 0 º .
E n t ã o , o â n g u l o B Ô C m e
d e 1 3 5 º , p o i s 4 5 º 1
3 5 º 1
8 0 º .
O s â n g u l o s A Ô B e B Ô C
s ã o â n g u l o s s u p l e m e n t a r e s . S u a s m e d i d a s
s o m a m 1 8 0 º .
T a m b é m p o d e m o s d i z e r
q u e 1 3 5 º é o s u p l e m e n t o d e 4 5 º .
A
C
B
c a l ç a d a
f a i x a
O
4 5 º
A r q u i v o d o a u t o r
3 0 °
?
J . C . R u z z a
3 0 °
0
6 0 °
o
I l u s t r a ç õ e s : D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-7-2-por-folha 119/144
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-7-2-por-folha 120/144
 N G U L O S
E
T R I Â N G U L O S
2 3 9
5 .
 n g
u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e
O s d e s t a q u
e s f e i t o s e m r o s a n a s f o t o g r a f i a s n o s l e m b r a
m â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e :
P e l o s m e s m
o s m o t i v o s , C Ô A e D Ô B t a m b é m
s ã o
â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e .
O q u e
s ã o â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e ?
T r a ç a m o s d
u a s r e t a s q u e s e i n t e r s e c t a m n o p o n t o O .
O s â n g u l o s
B Ô A e C Ô D t ê m o m e s m o v é r t i c e ( p o n t o O ) ,
e s e u s l a d o s s ã o s e m i r r e t a s o p o s t a s .
B Ô A e C Ô D s ã o â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e .
A t e n ç ã o !
N a f i g u r
a a o l a d o , t e m o s â n g u l o s q u e t ê m o m e s m o v é r t i c e , p o r é m n
ã o h á
â n g u l o s o p o
s t o s p e l o v é r t i c e . C o n v e r s e c o m s e u s c o l e g a s e e x p
l i q u e m p o r q u ê .
O s l a d o s n ã o s ã o s e m i r r e t a s o p o s t a s .
A
B D
C
O
A
B D
C
O
F o t o s : F e r n a n d o F a v o r e t t o
I l u s t r a ç õ e s : D A E
2 4 0
A Ô B e A Ô C s ã o s u p l e m
e n t a r e s :
A Ô B e B Ô D s ã o s u p
l e m e n t a r e s :
x
+ y
= 1 8 0 °
x
+ z
= 1 8 0
°
E n t ã o , x + y = x + z . S u b t r a i n d o x d e a m b o s o s m e m b r o s d a i g u a l d a d e , o b t e m o s y = z .
O s â n g u l o s A Ô C e B Ô D , q u e s ã o o p o s t o s p e l o v é r t i c e ( o p v ) , t ê m m e
s m a m e d i d a .
V a m o s a p l i c a r e s s a p r o p
r i e d a d e ? O b s e r v e a f i g u r a :
C o n h e c e n d o o â n g u l o d
e 4 0 ° p o d e m o s d e t e r m i n a r
a s m e d i d a s x , y e z d o s â n g u
l o s a s s i n a l a d o s s e m p r e c i s a r
U m a p r o p r i e d a d e i m p o r t a n t e
O b s e r v e o s p a r e s d e â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e : U
s a n d o o t r a n s f e r i d o r , p o d e m o s v e r i f i c a r q u e :
m e d ( A Ô B ) = m e d ( C Ô D ) = 1 3 0 °
m e d ( A Ô C ) = m e d ( B Ô D ) = 5 0 °
O s â n g u l o s o
p o s t o s p e l o
v é r t i c e t ê m m e s m a m e d i d a .
S e r á q u e t o d o p a r d
e â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e t e m m e s m a m e d i d a ?
V a m o s m o s t r a r q u e s i m :
C o m o q u e r e m o s m o s t r a
r u m a p r o p r i e d a d e d e f o r m a g e r a l , u s a r e m o s l e t r a s p a r a r e p r e s e n t a r a s
m e d i d a s d o s â n g u l o s .
y = 4 0 ° ( â n g u l o s o p v )
x + 4 0 ° = 1 8 0 ° ( â n g u l o s s u p l e m e n t a r e s )
x = 1 4 0 ° e
z = 1 4 0 ° , p o i s x e z s ã o
a s m e d i d a s d e â n g u l o s o p v .
A C
B D
O
z
x
A C
B D
O
y
x
A C
B
D
O 1 3 0 º
1 3 0 º
5 0 º
5 0 º
x
4 0 º
z
y
I l u s t r a ç õ e s : D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatemtica-7-2-por-folha 121/144
 N G U L O S
E
T R I Â N G U L O S
2 4 1
6 .
 n g
u l o s , p r o b l e m a s e e q u a ç õ e s
A p r e n d e m o s a r e s o l v e r e q u a ç õ e s .
P o d e m o s u
s a r e s s e s c o n h e c i m e n t o s p a r a r e s o l v e r p r o b l e m a s e m g e o m e t r i a . V e j a e x e m p l o s :
R e s o l v
e n d o a e q u a ç ã o :
9 x + 4
5 ° = 1 8 0 °
9 x = 1
8 0 ° – 4 5 °
9 x = 1
3 5 °
x =
1 3
5 º
9
x = 1 5
°
J á s a b e m o s q u e o s â n g u l o s B Ô A e C Ô B s ã o
s u p l e m e n t a r e s . E n t ã o :
8 x + 2
0 ° + x + 2 5 ° = 1 8 0 °
1 . N a f i g u r
a a o l a d o v a m o s d e s c o b r i r :
o v a l o r d e x ;
a s m e d i d a s d o s â n g u l o s B Ô A e C Ô B .
2 . D e n i s e “
t i r o u d e l e t r a ” o p r o b l e m a q u e o p r o f e s s o r A l m i r p r o p ô s :
D o i s â n g u l o s s ã o
c o m p l e
m e n t a r e s . U m d e l e s
m e d e 2 0 º a m a i s d o q u e o
o u t r o .
Q u a l é a m e d i d a d e
c a d a â n g u l o ?
S e r e p r e s e n t a r m o s a
m e d i d a d e u m d o s â n g u l o s
p o r x ,
a m e d i d a d o o u t r o s e r á x + 2 0 º . C o m o
o s â n g u l o s s ã o c o m p l e m e n
t a r e s ,
x + x + 2 0 º = 9 0 º .
O s â n g u l o s m e d e m
3 5 º e 5 5 º .
A g o r a é
c o m v o c ê !
D o i s â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e t ê m m e d i d a s r e s p e c t i v a m
e n t e i g u a i s a 3 x + 2 5 ° e 2 x + 4 5 ° . E s c r e v a
e m s e u c a d
e r n o u m a e q u a ç ã o p a r a r e p r e s e n t a r o p r o b l e m a , r e s o l v a - a e d e t e r m i n e a s m e d i d a s d e s s e s
â n g u l o s . 3 x 2
5 º 2
x 4
5 º ; x 2
0 º . E n t ã o 3 x 2
5 º 8
5 º e 2 x 4
5 º 8
5 º .
O
A
C
B
8 x + 2 0 o
x + 2 5 o
m e d ( B Ô
A ) = 8 x + 2 0 o =
8 1 5 + 2 0 o = 1 4 0 o
m e d ( C Ô
B ) = x + 2 5 o =
1 5 o + 2 5 o = 4 0 o
L á p i s M á g i c o
D A E
2 4 2
E x
e r c í c i o s
1 5 Q u a i s l e t r a s c o r r e s p o n
d e m
a m e d i d a s d e
â n g u l o s o p o s t o s p e l o v é r t i c e ? R e s p o n d a n o
c a d e r n o . b e c ; a e m n
1 6 N a f i g u r a , a s l e t r a s r e p r e s e n t a m a s m e d i d a s
d o s â n g u l o s a s s i n a l a d o s . Q
u a i s o s p a r e s c o n -
g r u e n t e s ? a e d ; b e e ; c e f
1 7 C a l c u l e a s m e d i d a s i n d
i c a d a s p e l a s l e t r a s .
a
b
c
m
n
a
b c
d
e f
x 7
2 º , y 7
2 º e z 1
0 8 º
x 1
2 0 º , y 4
5 º e z 6
0 º
1 8
C a l c u l e o v a l o r d e x :
5 x
x 1
0 0 º
x 2
5 º
1 9
O b s e r v e a f i g u r a e r e s p o n d a .
a ) Q u a l é o v a l o r d e x ? 2 0 º
b ) Q u a l é a m e d i d a
d o â n g u l o A Ô B ? 1 2 4 º
c ) Q u a l é a m e d i d a
d o â n g u l o B Ô C ? 5 6 º
2 0
C a l c u l e o v a l o r
d e x : x = 1 0 °
2 1 C a l c u l e o v a l o r
d e x , s a b e n d o q u e o s â n g u -
l o s s ã o c o m p l e m e n
t a r e s .
5 x x 9
0 º ; x 1
5 º
2 x x 1
5 º 9
0 ; x 3
5 º
a )
b )
2 2 C a l c u l e o s v a l o r e s d e x e d e y : x = 3 8 ° e y = 4 6 °
2 3 C a l c u l e a m e d
i d a d e u m
â n g u l o q u e é
i g u a l a o d o b r o d o s
e u c o m p l e m e n t o .
x 2
( 9 0 º x
) ; x 6
0 °
5 x
x
4 5 º
y
x
1 2 0 º
z
A
C
O
5 x 2
4 º
x 3
6 º
B
a )
b )
2 x
3 x 4
0 º
z 1 0 8 º
y
x
2 x
x 1
5 º
2 x 3
0 º
y
3 x 2
0 º
5 x
x 1
0 0 º
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a ç õ e s : D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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 N G U L O S
E
T R I Â N G U L O S
2 4 5
8 .
B i s s
e t r i z d e u m â
n g u l o
N a f i g u r a a o l a d o , o â n g u l o A Ô B m e d e 6 0 º . A s e m i r r e t a O
M
d i v i d i u e s s e â n
g u l o e m d o i s â n g u l o s c o n g r u e n t e s A Ô M e M Ô
B .
m e d ( A Ô M ) =
3 0 º e m e d ( M Ô B ) = 3 0 º
A s e m i r r e t a O M é a b i s s e t r i z d e A Ô B .
P o r t a n t o , a
b i s s e t r i z d e u m â n g u l o :
é u m a s e
m i r r e t a d e o r i g e m n o v é r t i c e ;
d i v i d e e s s e â n g u l o e m d o i s â n g u l o s c o n g r u e n t e s .
P o d e m o s t
r a ç a r a b i s s e t r i z d e u m â n g u l o u t i l i z a n d o r é g u a e c o m p a s s o . T r a c e u m â n g u l o A Ô B
q u a l q u e r e m s e u c a d e r n o e s i g a o s p a s s o s .
A
B
X Y
O
B
X
C
A
Y
O
O
A
B
X
Y
C
1 . C o l o q u e a p o n t a s e c a d o c o m p a s s o
n o p o n t o d e
v é r t i c e d o â n g u l o
e t r a c e u m a r c o c o m a b e r t u r a
q u a l q u e r , c
o m o
v o c ê
v ê
n a
i l u s t r a ç ã o . O
a r c o c o r t a o s l a d o s
d o â n g u l o n o
p o n t o s X e Y .
2 . C o m
a p o n t a s e c a d o c o m
p a s s o
e m
X , t r a c e u m
n o v o a r c o . S e m
m u d a r a a b e r t u r a d o c o m p
a s s o ,
r e p i t a o p r o c e d i m e n t o c o l o c a
n d o a
p o n t a s e c a e m Y . V o c ê d e t e r m
i n o u
o p o n t o C .
3 . T r a c e c o m r é g u a a s e m i r r e t a O C , q u e
é a b i s s e t r i z d e A Ô B .
N a f i g u r a a
o l a d o , B D é b i s s e t r i z d e C ˆ B A .
C o m e s s a i n f o r m a ç ã o , p o d e m o s a f i r m a r q u e :
m e d ( A
ˆ B D ) = 7 0 º
m e d ( A
ˆ B C ) = 1 4 0 º
B
C
7 5 °
7 5 °
A
O
O C é a b i s s e t r i z d e A Ô B
D
O M é a b i s s e t r i z d e C Ô D
B
M
A
O
2 2 , 5
°
2 2 , 5
°
O
C
M
C
D 7 0 °
A
B
I l u s t r a ç õ e s : D A E
H é l i o S e n a t o r e
2 4 6
E x
e r c í c i o s
3 8 T r a c e a b i s s e t r i z e m u m
â n g u l o d e 1 3 0 º .
Q u a l é a m e d i d a d o s â n g u l
o s o b t i d o s ? 6 5 º
4 0 N a f i g u r a , O M é
b i s s e t r i z d e A Ô B , q u e é
u m
â n g u l o r e t o . R e s p o n d a
e m s e u c a d e r n o .
A
M
O
B
4 x
4 1 C a l c u l e o v a l o r d e x , e m
c a d a c a s o , s a b e n -
d o - s e q u e O C é b i s s e t r i z d o
â n g u l o d a d o .
A
C
B
O
2 x
1 0 º
b i s s e t r i z
5 x
2 0 º
C x 1 5 º
b i s s e t r i z
2
3 x
B
A
O
4 2 R e p r o d u z a a f i g
u r a e m
s e u c a d e r n o e r e s -
p o n d a .
x w
z
y
C o m p a r e s u a s r e s p o s t a s c o m a s d e s e u s c o l e g a s .
a ) A Ô X ? 2 5 °
d ) Y Ô C ? 1 5 °
b ) X Ô B ? 2 5 °
e ) X Ô Y ? 4 0 °
c ) B Ô Y ? 1 5 °
f ) A Ô Y ? 6 5 °
Q u a n t o m e d e o â n g u l o :
a ) O
q u e v o c ê s a b e
d o s â n g u l o s x e w ?
b ) E d o s â n g u l o s y e z ?
c ) D i v i d a c a d a â n g u
l o a o m e i o ( m e t a d e d a m e -
d i d a ) c o m u m a r e t a . O q u e v o c ê d e s c o b r i u ?
S ã o o p o s t o s p e l o v é r t i c e .
S ã o o p o s t o s p e l o v é r t i c e .
a )
b )
5 x 2
0 º
2 x 1
0 º
x 1
0 º
2 3 x x 1
5 o
x 4
5 o
a ) Q u a l é a m e d i d a d e
A Ô M ? 4 5 º
b ) Q u a l é , e m
g r a u s , o
v a l o r d e x ? 1 1 º 1 5 ’
3 9 A s s e m i r r e t a s O X e O Y
s ã o b i s s e t r i z e s d o s
â n g u l o s A Ô B e B Ô C , r e s p e
c t i v a m e n t e .
G i r o d e 9 0 ° ( 3 6 0 ° : 4 )
G i r o d e 1 2 0 ° ( 3 6 0 ° : 3 )
F o t o s : F e r n a n d o F a v o r e t t o
A s r o t a ç õ e s e m t
o r n o d e u m p o n t o ( o u g i r o s )
p o d e m s e r i n d i c a d a s c o m â n g u l o s . V e j a :
C u r i o s i d
a d e
R o t a ç ã o
d e
1 4 d
e v o l t a ( 9 0 º )
R o t a ç ã o
d e
1 3 d
e v o l t a ( 1 2 0 º )
Y
A
C X
B
5 0 º
3 0 º
O
I l u s t r a C a r t o o n
I l u s t r a ç õ e s : D A E
I l u s t r a C a r t o o n
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E
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V a l e a p e n a
l e r
 n g u l o
d e v i s ã o
V o c ê s a b i a
q u e o â n g u l o o u c a m p o d e v i s ã o d o s e r h
u m a n o é d e
1 8 0 ° ? I s s o s i g n i f i c a q u e q u a n d o e s t a m o s c o m a c a b e ç a i m ó v e l , p o d e m o s
e n x e r g a r o q u e e s t á a o n o s s o r e d o r n u m â n g u l o m á x i m o
d e 1 8 0 ° s ó
m o v i m e n t a n d
o o s o l h o s .
C u r i o s i d a d e
Q u a n d o s u
r g i r a m o s m o n i t o r e s d e c r i s t a l l í q u i d o
( L C D ) , o s f a b r i c a n t e s e n f r e n t a r a m u m p r o b l e m a : a o
o l h a r l a t e r a l m e
n t e p a r a o m o n i t o r , a i m a g e m p e r d i a
a n i t i d e z e a t é p o d i a d e s a p a r e c e r . I s s o o c o r r i a p o r q u e
a i m a g e m d e
u m L C D s ó e r a v i s t a d e u m â n g u l o
m á x i m o d e 1 4 0 ° , c o m o v e m o s n a f i g u r a . N o v o s
i n v e s t i m e n t o s
e m t e c n o l o g i a p r e c i s a r a m s e r f e i t o s
t o r e s m a i s m o d e r n o s , e s s e p r o b l e m a j á n ã o e x i s t e .
A c o r u j a , a s s i m c o m o n ó s , t e m o s o l h o s n a f r e n t e d a c a b e ç a e
v i s ã o b i n o c u l a r ( e n x e r g a u m
o b j e t o c o m a m b o s o s o l h o s e a o m e s m o
t e m p o ) . N o e n t a n t o , s e u s o l h o s n ã o s e m o v i m e n t a m , o q u e f a z c o m
q u e s e u â n g u l o d e v i s ã o s e j a m e n o r d o q u e o h u m a n o : 1 1 0 ° , s e n d o
s o m e n t e 7 0 ° d e v i s ã o b i n o c u l a r .
M a s a c o r u j a t e m u m a v a
n t a g e m . Q u a n d o n e c e s s i t a o l h a r a l g u m
m e n t a n d o a s s i m o s e u c a m p
o v i s u a l .
J a r n o g z / D r e a m s t i m e . c o m
M c i n i n c h / D r e a m s t i m e . c o m
 N G U L O S
E
T R I Â N G U L O S
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I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
2 4 8
9 .
E x i s t ê n c i a
d e t r i â n g u l o s
L ú c i a f e z u m t r i â n g u l o u s a n d o 3 v a r e t a s d e m a d e i r a .
C o m
e s s a s m e s m a s 3 v a r e
t a s , e l a p o d e r i a t e r f e i t o u m
t r i â n g u l o d i f e r e n t e d e s t e ?
A r e s p o s t a é n ã o . S e f i x a m o s a s m e d i d a s d o s l a d o s d e
u m t r i â n g u l o , e l e f i c a d e f i n i d o , s u a f o r m a n ã o p o d e m u d a r .
V e j a a s m e d i d a s d o s l a d
o s d o t r i â n g u l o q u e L ú c i a m o n t o u .
6 c m
5 c m
4 c m
6 c m
5 c m
4 c m
O l a d o d e m a i o r m e
d i d a t e m 6 c m .
6 < 5 +
4
E m s e g u i d a , e l a t e n t o u m o n t a r u m t r i â n g u l o u s a n d o 3 v a r e t a s c o m c o
m p r i m e n t o s i g u a i s a 2 c m ,
3 c m e 6 c m . V e j a o q u e a c
o n t e c e u :
6 c m
3
c m
2 c m
6 3
2
6 5
6 c m
3 c m
2 c m
F a ç a e s s a e x p e r i ê n c i a : p e g u e 3 v a r e t a s o u p a l i t o s d e s o r v e t e e m o n t e
u m t r i â n g u l o . T e n t e d e f o r m á - l o , m u d a r s u a f o r m a . O t r i â n g u l o é r í g i d o , n ã o
s e d e f o r m a . I s s o n ã o a c o n t e c e c o m q u a d r i l á t e r o s , p e n t á g o n o s , h e x á g o n o s e
o u t r o s p o l í g o n o s .
V e j a : o q u a d r a d o p o d e s e r d e f o r m a d o ; o s â n g u l o s m u d a m d e m e d i d a
, t r a n s f o r m a n d o - o n u m
l o s a n g o !
F o t o s : A n s e l m o J r
N ã o d á p a r a f o r m a r
o t r i â n g u l o !
H é l i o S e n a t o r e
H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a ç õ e s : D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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E x e r c í c i o s
O m e s m o o c o r r e u q u a n d o u s o u 3 v a r e t a s c o m o s c o m p
r i m e n t o s i n d i c a d o s a b a i x o :
4 2
1
4 3 4
c m
1 c m
2 c m
4 c m
2 c m
1 c m
5 3
2
5 5
5 c m
3 c m
2 c m
5 c m
3 c m
2 c m
L ú c i a p e r c e
b e u q u e n e m s e m p r e é p o s s í v e l c o n s t r u i r u m
t r i â n g u l o c o n h e c e n d o a s m e d i d a s d e 3
s e g m e n t o s . H
á u m a c o n d i ç ã o p a r a q u e i s s o a c o n t e ç a .
S ó é p o s s í v e l c o n s t r u i r u m t r i â n g u l o s e a m e d i d a d
o m a i o r l a d o
f o r m e n o
r q u e a s o m a d a s m e d i d a s d o s o u t r o s d o i s l a d o s .
V e j a e x e m p l o s :
O t r i â n
g u l o c u j o s l a d o s m e d e m 8 c m , 5 c m e 7 c m
e x i s t e , p o i s 8 5
7 .
N ã o e
x i s t e o t r i â n g u l o d e l a d o s c o m m e d i d a s 4 , 5
c m , 3 c m , 1 , 5 c m , p o i s 4 , 5 = 3 + 1 , 5 .
4 3 V e r i f i q u e
s e é p o s s í v e l c o n s t r u i r u m
t r i â n -
g u l o c u j o s l a d
o s m e d e m :
a ) 8 c m , 6 c m
e 7 c m
S i m .
b ) 3 c m , 6 c m
e 5 c m
S i m .
c ) 1 0 c m , 4 c
m
e 6 c m
N ã o .
d ) 3 , 5 c m , 5 , 5 c m
e 2 c m
N ã o .
e ) 7 , 2 c m , 3 , 8 c m
e 5 , 2 c m
S i m .
4 4 C o
r t e c a n u d i n h o s d e r e f r e s c o c o m
o s c o m -
p r i m e n
t o s d e 1 2 c m , 9 c m , 7 c m
e 3 c m . C o m
e l e s p r o c u r e c o n s t r u i r t o d o s o s t r i â n g u l o s p o s s í -
v e i s . Q
u a n t o s t r i â n g u l o s c o n s e g u i u c o n s t r u i r ?
P o d e m o s s a b e r
s e o t r i â n g u l o
e x i s t e a n t e s
m e s m o d e
t e n t a r c o n
s t r u í - l o !
E s s a é a c o n d i ç ã o
d e e x i s t ê n c i a
d e u m t r i â n g u l o .
2 t r i â n g u l o s
I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
I l u s t r a ç õ e s : D A E
2 5 0
1 0 .
C l a s s i f i c a
ç ã o e c o n s t r u ç ã o d e
t r i â n g u l o s
C l a s s i f i c a m o s o s t r i â n g u
l o s :
q u a n t o a o s l a d o s
q u a n t o a o s â n g u l o s
R e n a t o p e n s o u e m
c o n s t r u i r u m t r i â n g u l o c o m d o i s â n g u l o s r e t o s .
E s t e t r i â n g u l o e x i s t e ? N ã o .
E x i s t e u m t r i â n g u l o c o m d o i s â n g u l o s o b t u s o s ? N ã o .
E q u i l á t e r o :
3 l a d o s d e m e s m a m e d i d a
I s ó s c e l e s :
2 l a d o s d e m e s m a m e d i d a
E s c a l e n o :
3 l a d o s d e m e d i d a s d i f e r e n t e s
A c u t â n g u l o :
3 â n g u l o s a g u d o s
O b t u s â n g u l o :
1 â n g u l o o b t u s o
R e t â n g u l o :
1 â n g u l o r e t o
3 c m
3 c m
4 c m
3 c m
3 c m
3 c m
V e j a e x e m p l o s d e c o n s t r u ç ã o d e t r i â n g u l o s d a d a s a s m e d i d a s d e s e u
s l a d o s :
V a m o s t r a ç a r u m t r i â n g u l o A B C d e l a d o s A B 4 c m , B C 3 c m
e A C 2 c m . P a r a f a z e r
t a m b é m e s t a c o n s t r u ç ã o , v
o c ê p r e c i s a r á d e r é g u a e d e c o m p a s s o .
1 . T r a c e u
m d o s l a d o s , p o r e x e m p l o , A B 4 c m .
A
B
4 c m
2 .
p l o , A C 2 c m . C o m a p o n t a s e c a d o c o m p a s s o e
m A , t r a c e u m a r c o , c o m o
v o c ê v ê n a i l u s t r a ç ã o .
A
B
3 c m
4 c m
5 c m
I l u s t r a ç õ e s : D A E
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3 . U s e a r é
g u a p a r a o b t e r a b e r t u r a i g u a l à m e d i d a d o
t e r c e i r o l a d o , B C = 3 c m . C o m a p o n t a
s e c a d o
c o m p a s s o e m B , t r a c e o a r c o c o m o n a i l u s t r a ç ã o . V o c ê d e t e r m i n o u o p o n t o C .
4 . T r a c e , c o m a u x í l i o d a r é g u a , o s s e g m e n t o s z A C e z B C , o b t e n d o o t r i â n g u l o A B C .
V a m o s c o n s t r u i r o t r i â n g u l o D E F e q u i l á t e r o , d e l a d o 2
c m .
1 . C o m o o
t r i â n g u l o é e q u i l á t e r o , t e m o s D E = D F = E
F = 2 c m . T r a ç a m o s u m
d o s l a d o s , p o r
e x e m p l o
, D E .
2 . C o m a p
o n t a s e c a d o c o m p a s s o e m D , d e p o i s e m E , m
a n t e n d o a b e r t u r a i g u a l à m e d i d a d e D E ,
t r a ç a m o s d o i s a r c o s q u e s e c o r t a m n o p o n t o F . C o m
r é g u a , t r a ç a m o s o s l a d o s z D F e z
t r u i n d o o t r i â n g u l o D E F .
C o n s t r u a c o m a u x í l i o d a r é g u a e d o c o m p a s s o o t r i â n g u l o :
a ) A B
C , s e n d o A B = 5 c m , A C = 3 , 5 c m e
B C = 6 c m .
b ) D E
F , s e n d o D F = E F = 4 c m e
D E = 2 , 5 c m .
c ) G H
I e q u i l á t e r o d e l a d o 5 c m .
F á c i l , n ã o ?
E
D
A
B
C
F
D
E
D
E
D
E
F
C
A
B
I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
2 5 2
1 1 .
S i m e t r i a
n o t r i â n g u l o i s ó s c e
l e s
C o n s t r u a , e m p a p e l s u l f i t e , c o m r é g u a e c o m p a s s o o t r i â n g u l o A B C
i s ó s c e l e s c o m l a d o s A B 4 c m , B C A
C 5 c m , r e p r e s e n t a d o a o l a d o .
M a r q u e e n o m e i e a s m
e d i d a s d o s â n g u l o s , r e c o r t e a f i g u r a c o m
c u i d a d o .
c e l e s . Â e ˆ B s ã o o s â n g u l o s
d a b a s e .
ˆ C é c h a m a d o â n g u l o d o v é r t i c e .
D o b r e o t r i â n g u l o p e l a l i n h a r e p r e
s e n t a d a a o l a d o , f a z e n d o
c o i n c i d i r o s l a d o s A C e B C .
A l i n h a d e d o b r a é o e i x o d e s i m e t
r i a d o t r i â n g u l o . O e i x o d e
s o b r e p õ e m p e r f e i t a m e n t e q u a n d o d o b r a m o s a f i g u r a p o r e s s e e i x o .
T o d o t r i â n g u l o i s ó s c e l e s t e m u m ú n i c o e i x o d e s i m e t r i a .
C o m o o s â n g u l o s ˆ A e ˆ B s e s o b r e p õ
e m p e r f e i t a m e n t e , t e m o s
q u e a b .
E s s a p r o p r i e d a d e v a l e p a r a t o d o t r i â n g u l o i s ó s c e l e s .
A q u i c o n s t a t a m o s s u a v
a l i d a d e u s a n d o d o b r a d u r a s e s i m e t r i a .
N o v o l u m e d o 8 o a n o p r o v a r e m o s q u e e l a é s e m p r e v á l i d a .
A i n d a p o d e m o s e x p l o r a r u m p o u c o m a i s n o s s a f i g u r a : o e i x o d e
s i m e t r i a d i v i d e o â n g u l o ˆ C
e m d o i s â n g u l o s c o n g r u e n t e s .
O e i x o d e s i m e t r i a d e t e r m i n a a b i s s e t r i z d o â n g u l o d o v é r t i c e .
O s â n g u l o s d a b a s e d e u m t r i â n
g u l o i s ó s c e l e s
s ã o c o n g r u e n t e s .
J u n t e - s e a u m c o l e g a p a r a d e s c o b r i r a s m e d i d a s
x e y i n d i c a d a s n a f i g u
r a , s a b e n d o q u e o t r i â n g u l o
R S T é i s ó s c e l e s c o m R
T S
T e q u e t é e i x o d e s i m e t r i a .
x 4
0 º e y 5
0 º
y
t
x
R
S
T
4 0 o
b i s s e t r i z d e ˆ C
C c
a
b
B
A
C
c
a
b
B
A
C c
B
A
I l u s t r a ç õ e s : D A E
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2 5 5
V i m o s
q u e s e o t r i â n g u l o A B C é e q u i l á t e r o , a = b = c .
P e l a p r o p r i e d a d e a c i m a t e m o s q u e a + b + c = 1 8 0 º .
C o n v e r s e c o m o s c o l e g a s e r e s p o n d a :
Q u a l é
a m e d i d a d e c a d a â n g u l o d e u m t r i â n g u l o e q u i l á t
e r o ? 6 0 º
1 3 .
 n
g u l o s i n t e r n o s d o s
t r i â n g u l o s
O â n g u l o d e s c o n h e c i d o n e s s e t r i â n g u l o
m e d e 7 0 ° , p o i s 5 0 ° + 6 0 ° = 1 1 0 °
1 8 0 ° –
1 1 0 ° = 7 0 °
C o m e s s a s
a t i v i d a d e s , v e r i f i c a m o s e x p e r i m e n t a l m e n t e u
m a p r o p r i e d a d e m u i t o i m p o r t a n t e :
A
s o m a d a s m e d i d a s d o s â n g u l o s i n t e r n o s d e u m t r i â n g u l o é i g u a l a 1 8 0 ° .
D e s e n h e c o m r é g u a , e m s e u c a d e r n o , u m t r i â n g u l o q u
a l q u e r . M e ç a o s â n g u l o s i n t e r n o s d e s s e
t r i â n g u l o e s o
m e a s m e d i d a s . Q u e s o m a v o c ê o b t e v e ?
S e u s c o l e g a s t a m b é m t r a ç a r a m e m e d i r a m o s â n g u l o s i n t e r n o s d e u m t r i â n g u l o . Q u e v a l o r e l e s
e n c o n t r a r a m p a r a a s o m a d a s m e d i d a s d e s s e s â n g u l o s ?
A g o r a d e s e n h e u m t r i â n g u l o q u a l q u e r n u m a f o l h a d e p
a p e l q u e v o c ê p o s s a r e c o r t a r .
P i n t e o s â n
g u l o s i n t e r n o s d o t r i â n g u l o , r e c o r t e - o s e d e p
o i s j u n t e , c o m o m o s t r a a f i g u r a .
C o m s
e u t r a n s f e r i d o r , m e ç a o s â n g u l o s i n t e r n o s
d e s s e t r i â
n g u l o .
O â n g
u l o B n ó s j á m e d i m o s p a r a v o c ê : 7 0 ° .
S o m e
a s m e d i d a s d o s t r ê s â n g u l o s . Q u a l é o
r e s u l t a d o
o b t i d o ? 1 8 0 º
m e d ( A )
m e d ( B ) m
e d ( C ) 1
8 0 o
ˆ
ˆ
ˆ
S e r g e y G a l u s h k o / D r e a m s t i m e . c o m
A
C
B
A
B
C
A
B
C
A a
b
c
C
B
5 0 º
6 0 º
x
I l u s t r a ç õ e s : D A E
2 5 6
E x
e r c í c i o s
5 4 O b s e r v a n d o a s f i g u r a s , d e t e r m i n e o v a l o r
d e x e m
c a d a u m
d o s t r i â n g u l o s .
a ) 1 0 0 °
b ) 8 8 °
c ) 2 0 °
5 6 O s â n g u l o s d e u m t r i â n g u l o m e d e m 3 x , 4 x
e 5 x . D e t e r m i n e o
v a l o r d e x , e m
g r a u s , e a
m e d i d a d o m e n o r â
n g u l o . x = 1 5 ° ; 4 5 °
5 7 O b s e r v e o r e t â n
g u l o A B C D .
Q u a n t o a o s l a d o s ,
q u e n o m e t e m
o t r i â n g u l o
B O C ? E q u i l á t e r o .
5 8 C a l c u l e a s m e d
i d a s i n d i c a d a s p e l a s l e t r a s .
5 9 D e t e r m i n e o v a
l o r d e x e m
c a d a u m
d o s
t r i â n g u l o s .
2 x
x
x 3
0 º
x 1
4 0 º
6 0 N a f i g u r a , a r e t a v e r m e l h a é u m
e i x o d e
s i m e t r i a d o t r i â n g u l
o . D e t e r m i n e a s m e d i d a s
d e x e y .
x = 4 0 ° ; y = 5 0 °
5 5 C a l c u l e e e s c r e v a n o c
a d e r n o a s m e d i d a s
d o s â n g u l o s i n d i c a d o s c o m
a s l e t r a s x , y e z .
a )
b )
a )
b )
x 4
5 º
y 6
0 º
x 8
0 º
y 1
0 0 º
z 2
0 º
x
y
6 0 º
7 0 º 3
0 º
z A
B
C
D
x 7 5 º
y
3 0 º
A
B
C
D E
x
3 0 º
1 1 0 º
5 0 º
y
x
x = 3 5 ° ; y = 5 5 ° ; z = 7 0 °
2 0 º
z
x
3 5 º
5 5 º
y
1 2 0 º
6 0 º
O
A D
C B
4 5 º
3 5 º
4 6
º
7 0 º
4 6 º
x x
x
I l u s t r a ç õ e s : D A E
I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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 N G U L O S
E
T R I Â N G U L O S
2 5 7
1 4 .
S o m a d a s m e d i d a s d o s
â n g u l o s i n t e r n o s
d e
u m q
u a d r i l á t e r o
S e r á q
u e o s q u a d r i l á t e r o s t ê m a l g u m a p r o p r i e d a d e
r e l a t i v a a o s s e u s â n g u l o s i n t e r n o s ?
Q u e t a l i n v
e s t i g a r m o s ?
T r a ç a m
o s u m q u a d r i l á t e r o q u a l q u e r A B C D . V a m o s
i d e n t i f i c a r s e u s e l e m e n t o s .
4 l a d o s : A B , B C , C D , D A
4 v é r t i c e s : A , B , C , D
4 â n g u l o s i n t e r n o s : A ˆ , B ̂, C ̂, D ˆ
2 d i a g o n a i s : A C e B D
S e t r a ç a r m o s s o m e n t e a d i a g o n a l A C , o q u a d r i l á t e r o A B C D f i c a d i v i d i d o e m d o i s t r i â n g u l o s .
A s d i a g o n a i s s ã o s e g m e n t o s d e r e t a c u j a s
e x t r e m i d a d e s s ã o v é r t i c e s n ã o c o n s e c u t i v o s d e
u m p o l í g o n o . U m t r i â n g u l o n ã o t e m d i a g o n a i s .
O s q u a d r i l á
t e r o s t ê m d u a s d i a g o n a i s .
D e a c o
r d o c o m a n o s s a f i g u r a , a s o m a d a s m e d i d a s d
o s â n g u l o s i n t e r n o s d e s s e q u a d r i l á t e r o é :
C o m o
A B C D é u m q u a d r i l á t e r o q u a l q u e r , v e r i f i c a m
o s q u e :
D
C
B A
A
B
C
D
1 0 0 º
x
6 0 º
8 0 º
r s
t
u
y
x 3
6 0 º
1 8 0 º
1 8 0 º
A s o m
a d a s m e d i d a s d o s â n g u l o s i n t e r n o s d e u m q
u a d r i l á t e r o é i g u a l a 3 6 0 º .
U s a n d o
e s s a p r o p r i e d a d e p o d e m o s d e s c o b r i r a m e d i d a
d o â n g u l o
d e s c o n h e c i d o n o q u a d r i l á t e r o a o l a d o .
8 0 º 6
0 º 1
0 0 º 2
4 0 º
A m e d i d a d o â n g u l o d e s c o n h e c i d o é o q u e f a l t a p a
r a
c o m p l e t a r
3 6 0 º , o u s e j a , 3 6 0 º 2
4 0 º
1 2 0 º . P o r t a n t o ,
x 1
2 0 º .
D
C
B A
u
t
s r
x
y
I l u s t r a ç õ e s : D A E
2 5 8
E x
e r c í c i o s
6 1
E m c a d a i t e m , v e r i f i q u e
s e a s r e t a s r e s s ã o
o u n ã o p e r p e n d i c u l a r e s .
6 2 Q u a l é o v a l o r d e x ? 5 8 º
6 3
A r e t a v e r m e l h a r e p r e s e n t a u m
e i x o d e s i -
m e t r i a d o q u a d r i l á t e r o A B C
D . O
â n g u l o B A D
m e d e 7 5 º .
Q u a n t o m e d e , e m
g r a u s , o
â n g u l o C A D ? 3 7 , 5 º
6 4
A c r e s c e n t e à f i g u r a d a e s q u e r d a o s d o i s q u a -
d r a d o s , d e m o d o q u e a s f i g u
r a s o b t i d a s t e n h a m :
a ) u m
e i x o d e s i m e t r i a ;
b ) d o i s e i x o s d e s i m e t r i a .
6 5 C a l c u l e o v a l o r
d e x n o s q u a d r i l á t e r o s .
6 6 C a l c u l e o v a l o r
d e x n a f i g u r a .
x
x
1 0 0 º
6 0 º
6 0 º
x
1 1 0 º
1 2 0 º
x 7
0 º
2 x 8
0 º 1
2 0 º 3
6 0 º
x 8
0 º
x x 2
0 º 6
0 º
7 0 º
3
6 0 º
x 1
0 5 º
O s â n g u l
o s n a a r t e
O b s e r v e a
r e p r o d u ç ã o d o
q u a d r o a s e g u
i r :
N e s t a , e e m
o u t r a s o b r a s d e s u a a u -
t o r i a , W a s s i l y K
a n d i n s k y ( 1 8 6 6 - 1 9 4 4 ) ,
u m d o s m a i o r e s p i n t o r e s d o s é c u l o X X ,
e x p l o r a o e m p r e g o d e â n g u l o s .
W a s s i l y K a n
d i n s k y . S o b r e o s p o n t o s ,
1 9 2 8 .
Ó l e o s o b r e t e l a ,
1 4 0 c m × 1 4 0 c m .
a )
b )
a )
b )
2 0 º
x
x 2
0 º
8 0 º
4 0 º
6 3 º
r
s
2 7 º
s
r
3 5 º
5 3 º
3 2 º
x
7 5 º
A
D
B
C
?
S ã o p e r p e n d i c u l a r e s .
N ã o s ã o p e r p e n d i c u l a r e s .
a )
b )
A n d r e a I n n o c e n t i / C u b o I m a g e s / G l o w i m a g e s
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7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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2 6 7
C O N S E R V E S E U
L I V R O .
T i r e c ó p i a s d o s m o l d e s e d a m a l h a .
D A E
M o l d e s e m a l h a p a r a
a s a
t i v i d a d e s
1 .
P r i s m
a t r i a n g u l a r
( a t i v
i d a d e M o n t a n d o p r i s m a s e p i r â m i d e s )
2 6 8
2 .
P r i s m a p e n
t a g o n a l
C O N S E R V E S E U
L I V R O .
T i r e c
ó p i a s d o s m o l d e s e d a m a l h a .
D A E
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2 6 9
3 .
P r i s m a h e x a g o n a l
C O N S E R V E S E U
L I V R O .
T i r e c ó p i a s d o s m o l d e s e d a m a l h a .
D A E
2 7 0
4 .
P i r â m i d e d e b a s e q u a d r a d a
C O N S E R V E S E U
L I V R O .
T i r e c
ó p i a s d o s m o l d e s e d a m a l h a .
D A E
7/25/2019 Praticandomatemtica 7 2 Por Folha
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2 7 1
5 .
P i r â m i d e d e b a s e p e n t a g o n
a l
C O N S E R V E S E U
L I V R O .
T i r e c ó p i a s d o s m o l d e s e d a m a l h a .
D A E
2 7 2
t e t r a e d r o
r e g u l a r
6 .
T e t r a e d o r e
g u l a r
( a t i v i d a d e P o l i e d r o s r e g u l a r e s )
C O N S E R V E S E U
L I V R O .
T i r e c ó p i a s d o s m o l d e s e d a m a l h a .
D A E
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2 7 3
7 .
C u b o o u h e x a e d r o r e g u l a r
C O N S E R V E S E U
L I V R O .
T i r e c ó p i a s d o s m o l d e s e d a m a l h a .
D A E
2 7 4
8 .
O c t a e d r o r e g u l a r
C O N S E R V E S E U
L I V R O .
T i r e c
ó p i a s d o s m o l d e s e d a m a l h a .
D A E
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2 7 5
9 .
D o d
e c a e d r o r e g u l a r
C O N S E R V E S E U
L I V R O .
T i r e c ó p i a s d o s m o l d e s e d a m a l h a .
D A E
2 7 6
1 0 .
I c o s a e d r o r e g u l a r
C O N S E R V E S E U
L I V R O .
T i r e c
ó p i a s d o s m o l d e s e d a m a l h a .
D A E
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