Pré-Cálculo Apresentação Introdução Produtos Notáveis Produtos Notáveis Frações Radicais Radicais Exercícios Agradecimento Bibliografia
Pré-Cálculo
Camila Perraro SehnEduardo de Sá Bueno Nóbrega
FURG - Universidade Federal de Rio Grande
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Projeto Pré-Cálculo
Este projeto consiste na formulação de uma apostila contendoos principais assuntos trabalhados na disciplina de Matemáticano período do Ensino Médio, tendo a função de fixarconhecimentos para facilitar o aprendizado de novasdisciplinas na faculdade.
A apostila contém assuntos como Polinômios, ProdutosNotáveis, Trigonometria, Funções e outros.Conhecimentos estes que são de extrema importância para oaprendizado de Cálculo Diferencial e Integral, Àlgebra Linear,Geometria Analítica e afins.
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Introdução
Apresentaremos nesta aula os assuntos:
Produtos Notáveis
Frações
Radicais
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PRODUTOS NOTÁVEIS
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Produtos NotáveisQuadrado da soma de dois termos:
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado doprimeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo,mais o quadrado do segundo.
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (1)
Note que: (x + y)2 = (x + y)(x + y)
Exemplo:(x + 3y)2 = (x)2 + 2(x)(3y) + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2
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Produtos NotáveisQuadrado da diferença de dois termos:
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadradodo primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelosegundo, mais o quadrado do segundo.
(x − y)2 = x2 − 2xy + y2 (2)
Note que: (x − y)2 = (x − y)(x − y)
Exemplo:(7x − 4)2 = (7x)2 − 2(7x)(4) + (4)2 = 49x2 − 56x + 16
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Produtos NotáveisProduto da soma pela diferença de dois termos:
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual aoquadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundotermo.
(x + y)(x − y) = x2 − y2 (3)
Exemplo:(3a + x)(3a− x) = (3a)2 − (x)2 = 9a2 − x2
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Produtos NotáveisCubo da soma de dois termos:
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro,mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelosegundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadradodo segundo, mais o cubo do segundo.
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (4)
Note que: (x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y)
Exemplo(a+b)3 = (a)3+3(a)2(b)+3(a)(b)2+(b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
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Produtos NotáveisCubo da diferença de dois termos:
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo doprimeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiropelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro peloquadrado do segundo, menos o cubo do segundo.
(x − y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 (5)
Note que: (x − y)3 = (x − y)(x − y)(x − y)
Exemplo:(2a− y)3 = (2a)3 − 3(2a)2(y) + 3(2a)(y)2 − (y)3 =
8a3 − 12a2y + 6ay2 − y3
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FRAÇÕES
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Simplificação de FraçõesRegras Básicas:
Para simplificar frações deve-se ter conhecimento daspropriedades das frações.
Citaremos algumas formas de operações com númerosfracionários.
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Operações com FraçõesSoma e Subtração:
Quando as frações possuem denominadores iguais:
É necessário somar ou subtrair os numeradores,conservando os denominadores.
Quando as frações possuem denominadoresdiferentes:
Neste caso,o primeiro passo é obter frações equivalentes,de denominadores iguais ao mmc (mínimo múltiplocomum) dos denominadores das frações em questão.
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Operações com FraçõesMultiplicação e Divisão:
Multiplicação:
Multiplica-se o numerador com numerador e denominadorcom denominador. Se necessário, simplifica-se o produto.
Divisão:
Deve-se multiplicar a primeira fração pelo inverso dasegunda. Se necessário, simplifica-se o resultado.
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Operações com FraçõesExponenciação:
É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:
Exemplo:(
12
)2
=12
22 =14
= 0, 25
Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmoresultado:
Exemplo:(
12
)2
= (0, 5)2 = 0, 25
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Operações com FraçõesExpoente Fracionário:
Da mesma forma como na divisão entre frações, a ocorrênciade expoente fracionário causa a inversão da operação.
Exemplo:
823 =
3√
82 = 3√
64 = 4
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RADICAIS
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RadicaisDefinição:
Onde a e b são números reais e n um número inteiro epositivo, podemos escrever:
n√
a = b (6)
Nomenclatura:n√
a = radicala = radicandon = índice do radicalb = raiz
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RadicaisPropriedades dos Radicais
Primeira Propriedade:Quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, araiz é exata e igual à base da potência do radicando.
n√
an = a (7)
Onde a > 0 e n um número inteiro e positivo.
Exemplo:3√
23 = 2
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RadicaisPropriedades dos Radicais
Segunda propriedade:A raiz do produto de dois ou mais fatores é igual ao produtodas raízes de mesmo índice de cada fator.
n√
ab = n√
a n√
b (8)
Onde a > 0, b > 0 e n um número inteiro e positivo.
Exemplo:√
9.16 =√
144 = 12 ou√
9√
16 = 3.4 = 12
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RadicaisPropriedades dos Radicais
Terceira propriedade:A raiz do quociente de dois números é igual ao quociente daraiz de mesmo índice de cada número.
n
√ab
=n√
an√
b(9)
Onde a > 0, b > 0 e n um número inteiro e positivo.
Exemplo:√78
=
√7√8
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RadicaisPropriedades dos Radicais
Quarta propriedade:O valor de um radical não se modifica quando multiplicamos oudividimos o índice do radical e o expoente do radicando por ummesmo número inteiro positivo.
n√
am =n.p√
am.p (10)
Onde a > 0 e m, n, p números inteiros e positivos.
n√
am =n:p√
am:p (11)
Onde a > 0 e m, n, p números inteiros e positivos.
Exemplo:3√
72 =3.3√
72.3 =9√
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RadicaisIntrodução de um fator externo no radicando:
Para introduzir um fator externo em um radicando, devemosescrevê-lo com o mesmo expoente do índice do radical.
p n√
a = n√
pn.a (12)
Onde a > 0, n e p números inteiros e positivos.
Exemplo:3√
5 =√
32.5 =√
9.5 =√
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RadicaisSimplificação de radicais:
Simplificar um radical significa escrevê-lo com termos maissimples, com o auxílio das propriedades citadas anteriormente.Geralmente, é necessário decompor o radicando em fatoresprimos antes de aplicar as propriedades dos radicais.Lembrando que, número primo é aquele que é divisível por umou por ele mesmo.
Exemplos:8√
74 =8:4√
74:4 =√
73√
8x3 = 3√
23x3 = 3√
22.2√
x2x = 3.2√
2x√
x = 6x√
2x
Observação: Note que√
x2 + y2 é diferente de x + y , assimcomo
√x2 − y2 é diferente de x − y .
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RadicaisRedução de radicais ao mesmo índice:
Para reduzir dois ou mais radicais ao mesmo índice:
1 Determinamos o mmc dos índices dos radicais, obtendo oíndice comum.
2 Dividimos o mmc encontrado pelo índice de cada radical.3 Multiplicamos cada quociente pelo expoente do respectivo
radicando.
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RadicaisRedução de radicais ao mesmo índice:
Exemplo:
Reduzir ao mesmo índice os radicais: 4√
23 e 6√
32
1 MMC ( Mínimo Múltiplo Comum) entre 4 e 6= 122 12:4= 3
12:6= 23
4.3√
23.3= 12√
296.2√
32.2= 12√
34
Assim obtemos, 12√
29 e 12√
34.
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RadicaisOperações com radicais:
Adição algébrica de radicais semelhantes:
Para obter a soma algébrica de radicais semelhantes,adicionamos algebricamente os fatores externos e reduzimos aexpressão a um só radical.
Exemplo:2√
3 + 5√
3−√
3 = (2 + 5− 1)√
3 = 6√
3
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RadicaisMultiplicação de radicais:
Radicais de mesmo índice:
A multiplicação de radicais de mesmo índice é igual a outroradical em que o índice é o mesmo e o radicando é igual aoproduto dos radicandos.
n√
a n√
b =n√
ab (13)
Exemplo:√7.8 =
√56 =
√22.2.7 = 2
√14
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RadicaisMultiplicação de radicais:
Radicais de índices diferentes:
Para multiplicar radicais de índices diferentes, devemosreduzi-los a um mesmo índice antes de efetuar a operação.
Exemplo:3√
3 4√
2 =12√
34 12√
23 = 12√
81 12√
8 = 12√
81.8 = 12√
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RadicaisDivisão de radicais:
Radicais de mesmo índice:
A divisão de radicais de mesmo índice é igual a outro radicalem que o índice é o mesmo e o radicando é igual ao quocientedos radicandos.
n√
an√
b= n
√ab
ou n√
a :n√
b =n√
a : b (14)
Exemplo:√10√5
=
√105
=√
2
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RadicaisDivisão de radicais:
Radicais de índices diferentes:
Para dividir radicais de índices diferentes, devemos reduzi-los aum mesmo índice antes de efetuar a operação.
Exemplo:√2
3√
3=
6√
23
6√
32=
6√
86√
9=
6
√89
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RadicaisPotenciação de radicais:
Para elevar um radical a uma potência, elevamos o radicandoao expoente dessa potência.
( n√
a)m =n√
am (15)
Onde a real, m inteiro, n inteiro e positivo.
Exemplo:
(√
3)5 =√
35 =√
34.3 =√
34√
3 =2:2√
34:2√
3 =1√
32√
3 = 32√
3 = 9√
3
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RadicaisRadiciação de radicais:
Para extrair a raiz de uma raiz, multiplicamos os índices econservamos o radicando.
m√
n√
a = m.n√
a (16)
Onde a real, m e n inteiros e positivos.
Exemplo:√√10 = 2.2
√10 = 4
√10
Observação: Antes de calcular a raiz de uma raiz, éconveniente introduzir todos os termos no radicando maisinterior.
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RadicaisRacionalização de denominadores:
Em frações em que os denominadores são raízesnão-exatas(números irracionais), deve-se transformar estesdenominadores em números racionais, multiplicando onumerador e o denominador por um mesmo número diferentede zero. Tal processo chama-se Racionalização dedenominadores.
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RadicaisRacionalização de denominadores:
Fração com denominador na forma n√
am
Quando o denominador da fração é um radical da forma n√
am,multiplicamos o numerador e o denominador por n
√an−m para
racionalizar esse denominador.
Exemplo:
Racionalizar o denominador de1√3
:
Multiplicamos o numerador e o denominador por√
3(2−1):
1√3
=1√
3√3√
3=
√3√
3.3=
√3√32
=
√3
3
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RadicaisRacionalização de denominadores:
Fração com denominador na forma√
a +√
b
Quando o denominador da fração é uma expressão da forma√a +
√b, multiplicamos o numerador e o denominador por√
a−√
b para racionalizar esse denominador.
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RadicaisRacionalização de denominadores:
Exemplo:
Racionalizar o denominador de1√
5 + 1:
Multiplicamos o numerador e o denominador por√
5− 1:
1√5 + 1
=1(√
5− 1)
(√
5 + 1)(√
5− 1)=
√5− 1
(√
5)2 − 12=
√5− 1
5− 1=
√5− 14
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RadicaisRacionalização de denominadores:
Fração com denominador na forma√
a−√
b
Quando o denominador da fração é uma expressão da forma√a−
√b, multiplicamos o numerador e o denominador por√
a +√
b para racionalizar esse denominador.
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RadicaisRacionalização de denominadores:
Exemplo:
Racionalizar o denominador de5√
3− 1:
Multiplicamos o numerador e o denominador por√
3 + 1:
5√3− 1
=5(√
3 + 1)
(√
3− 1)(√
3 + 1)=
5√
3 + 5(√
3)2 − 12=
5√
3 + 53− 1
=5√
3 + 52
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Exercícios
1 Simplifique a equação3n+1 + 3n−1
3n+1 .
2 Calcule 3√
108 + 2 3√
32− 6 3√
4.
3 Calcule(√
3 +12
)2
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Muito obrigado pela atenção!
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Bibliografia
Malveira, Linaldo. Matemática Fácil para 8asérie. 9a edição.São Paulo: Ática, 1993.
Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos. PraticandoMatemática. São Paulo: Editora do Brasil, 1a edição, SãoPaulo.
G.Cavalcante, Luiz. Para Saber Matemática, 6asérie.2aedição. São Paulo: Saraiva, 2006.
Guelli, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento.São Paulo: Ática, 2002.
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