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Calculamos os deslocamentos nodais, as reações de apoio e os esforços nasextremidades das barras do pórtico abaixo, considerando que um dos apoios, existeuma mola, como indica gura abaixo.
(1)
( 2 )
( 3 )
2 3
41
2 k N / m
2 k N / m
10 kN 10 kN
I
I I
I
I II II
X
Y
Sendo:f ck = ! "#a $ resist%ncia caracter&stica do concreto' = ()))))),)) k*+m $ módulo de elasticidade do concreto -' = f ck
!/))01 = ),)! m $ 2rea da seç3o trans4ersal dos elementos da estrutura5 = 6,67!x8) 9 m $ momento de in;rcia da seç3o tipo mais apropriado ; uma barra biarticulada,pois a mesma só responde axialmente.
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2 3
41
2 k N / m
2 k N / m
10 kN 10 kN
Y
5
> k mola ser2 igual a '1+< desta barra. 'nt3o, considerando ' e 1 da no4a barracomo sendo iguais aos das demais, encontramos o seu comprimento.
k mola
= EA
L
L(6 )
= EA
k mola
= 1,26 m
8? 'tapa:@e nido o sistema de global de refer%ncia, a numeraç3o dos nós e das
barras e a incid%ncia na estrutura de cada um delas.
(1)
( 2 )
( 3 )
2 3
41
2 k N / m
2 k N / m
10 kN 10 kN
I
I I
I
I II II
5(6)I II
? 'tapa:
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a0 @eterminaç3o das matriAes de rigideA Bk de cada barra, no sistema localde refer%ncia:
Dodas as barras, exceto a barra -/0 ter3o sua matriA de rigideA da seguinteforma:
'1+< ) ) -9'1+
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Bk -!0 = Bk - 0Farra -/0:
1 barra -/0 ter2 a matriA de rigideA de uma barra de treliça, pois amesma ; articulada em ambas as extremidades.
'1+< ) ) -9'1+
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Farra - 0 e Farra -60:
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BD D-!0 = ) ) 8 ) ) )) ) ) ),/ 9),( )) ) ) ),( ),/ )) ) ) ) ) 8
c0 @eterminaç3o das matriAes de incid%ncia:
1 seguir consta o quadro de incid%ncia das barras:
'xtremidadesFarr
a 5 55
8 *ó *ó 6
*ó 8 *ó 6 *ó *ó 6
*ó 8 *ó 6! *ó *ó / *ó *ó !
Farra -80:
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Farra - 0:
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Farra - 0:
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Farra -!0:
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Farra -/0:
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6? 'tapa:
a0 C2lculo do 4etor Kp ) L e Kp ) LM:
Como apenas as barras - 0 e -60 possuem carregamento fora dos nós, ent3o:
Considerando a barra como sendo uma biengastada, encontramos osesforços nas extremidades.
p ),8- 0 ),)) k*
Kp) L5,- 0 p ), - 0 ,)) k*Kp) L
- 0 =Kp) L55,
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p ), - 0 ),)) k*
p ),!- 0 ,)) k*p ),/- 0 9 ,/7 k*m
p ),8-60 ),)) k*
Kp) L5,-60 p ), -60 ,)) k*Kp) L
-60 =Kp) L55,
-60 = p ),6-60 = ,/7 k*m
p ), -60 ),)) k*
p ),!-60 ,)) k*
p ),/-60 9 ,/7 k*m
' utiliAando Kp ) LN-80 = BD -i0Kp) L-i0, temos:
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b0 C2lculo de K# ) L:
K#) L = OBa D-i0Kp) LN-i0
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c0 >bser4ando a estrutura, montamos K#L.
*ote que # 8) = ), pois ; um esforço localiAado no nó , que tem amo4imentaç3o li4re nessa direç3o. ' # 86 , # 8 e # 8! faAem parte dos esforçosno nó ! que est2 representado como um apoio engastado logo s3oincógnitas.
# 8 # 8# #
# 6 # 6
# )
# ! 98)
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# ( 98)
#G )# 8) )
# 88 # 88
# 8 # 8
# 86 # 86
# 8 # 8
# 8! # 8!
d0 >bser4ando a estrutura montamos K@L:
*ote que @ 8) -deslocamento na direç3o x do nó 0 ; uma incógnita, pois seu4alor ; desconQecido, enquanto os demais deslocamentos deste nó s3o
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impedidos, iguais a Aero. >s deslocamentos @ 86 , @8 e @ 8! s3o nulos, poispertencem ao nó ! que ; engastado, ou seRa, indesloc24el.
@8 )
@ )
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@ @
@! @!
@/ @/K@L = @ 7 = @7
@( @(
@G @G
@8) @8)
@88 )
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@86 )
@8 )
@8! )
? 'tapa:
>btemos as matriAes Bk M de cada barra atra4;s da express3o:
Bk N = BD Bk BD D
Farra -80:
1 barra -80 possui H = )J, ent3o Bk M = Bk .
Bk N-80 = Bk -80
Farra - 0:
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96! 6,7! ) 7 ! 6! 6,7! ) G !)
Farra -60:Como Bk -60 = Bk - 0, ent3o:
Bk N-60 = Bk M- 0Farra - 0:
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Farra -!0:Como Bk -!0 = Bk - 0, ent3o:
Bk N-!0 = Bk M- 0
Farra -/0:1 barra -/0 possui H = )J, ent3o Bk M = Bk .
Bk N-/0 = Bk -/0
!? 'tapa:
a0 >bti4emos a matriA B da estrutura atra4;s da express3o:
B = OBa D-i0Bk N-i0Ba -i0>nde:
#arcela de4ido a barra -80:
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6! 6,7! ) G !) ) ) ) ) ) ) ) ) )
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#arcela de4ido a barra -60:
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xk0 #ara que n3o ocorra modi caç3o no determinante da matriA de rigideA global, desloca9se obrigatoriamente, a posiç3o das colunas8, e 6 -referentes a # 8, # , e # 60 encaixando9as entre as colunas 8) e 88 -referentes a # 8) e # 88 0, como mostra a seguir.
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-
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-
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-
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-
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-
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boU0 ),/86G G 6
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