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n
Maria Augusta Ferreira Neves | Luís Guerreiro | Ana Moura
11
MatemáticaMatemática • 11.o ano
www.portoeditora.pt/manuais
GUIA DO PROFESSOR
Índice
ÍNDICE
2
1. Resolução de problemas envolvendo triângulos 4
2. Ângulo e arco generalizado. Funções trigonométricas.Resolução de equações trigonométricas 15
3. Produto escalar no plano e no espaço 25
4. Complementos de geometria analítica no plano 33
5. Complementos de geometria analítica no espaço 39
6. Introdução ao estudo da programação linear 48
GEOMETRIA II
1
1. Funções racionais 54
2. Funções irracionais. Radicais 71
3. Operações com funções. Resolução de problemas envolvendo funções 80
4. Taxa média de variação e taxa de variação de uma função. Cálculo da derivada de algumas funções 93
FUNÇÕES II
2
1. Sucessões. Sucessões monótonas. Sucessões limitadas 100
2. Progressões aritméticas e progressões geométricas 107
3. Limites de sucessões 114
SUCESSÕES
3
2004 I S B N 9 7 2 - 0 - 9 0 6 1 7 - 0Execução gráfica: Bloco Gráfico, Lda. • R. da Restauração, 387 4050-506 PORTO • PORTUGAL
Apresentação
ApresentaçãoEstamos perante a publicação de um novo livro de Matemática para o 11.° ano.
A experiência dos últimos anos, os trabalhos de investigação que fizemos e
acompanhámos permitiram-nos evoluir para um novo livro, com uma nova estru-
tura e abordagem das matérias, matérias essas apresentadas partindo de exemplos
em contextos reais.
Na abordagem procura-se orientar o pensamento dos alunos usando a desco-
berta guiada e levando-os a compreender os processos de resolução de problemas.
A conexão entre os conteúdos e outros saberes prévios dos alunos foi uma das
nossas opções metodológicas.
Sugerem-se ainda alguns exemplos práticos relacionando a informação mate-
mática com outros conhecimentos da vida real ou de outras ciências.
A solicitação constante dirigida aos alunos para que expliquem e justifiquem
todos os processos usados na resolução dos problemas é uma das mais-valias
deste manual, ao obrigar o aluno ao raciocínio constante.
Para facilitar o estudo e a aprendizagem propõe-se diversos exemplos e problemas
resolvidos com explicações complementares (que acompanham a resolução a cor
azul).
Consideramos que o aluno depois de compreender as matérias deve praticar
e, para tal, o livro disponibiliza um número muito significativo de exercícios e
de problemas.
Porém, a carga horária da disciplina é insuficiente para que se possam resolver
na aula todos os problemas; como tal, optou-se por incluir a sua resolução no
livro do professor. Assim, o professor pode fotocopiar as resoluções dos problemas
que não tenham sido analisados e resolvidos na aula, permitindo, deste modo, que
o aluno tenha acesso a toda a informação que eventualmente possa necessitar.
No final do livro do professor são, ainda, disponibilizadas indicações específicas
sobre a utilização das calculadoras gráficas.
Agradecemos a todos e em especial aos nossos consultores que de uma forma
ou de outra influenciaram o nosso trabalho.
Aprendemos com todos ao partilhar diferentes opiniões, interagindo uns com
os outros.
Os nossos agradecimentos pela vossa ajuda que, por certo, está aqui integrada.
Os autores
3
1 Resolução de problemas envolvendo triângulos
1 Resolução de problemas envolvendotriângulos
1.1. sin q = �187� ; cos q = �
1157� ; tan q = �
185� ; Pág. 16
1.2. sin q = �1123� ; cos q = �
153� ; tan q = �
152� ;
1.3. sin q = �35
� ; cos q = �45
� ; tan q = �34
� ;
1.4. sin q = ��23�� ; cos q = �
12
� ; tan q =�3� ;
1.5. sin q = 0,6 ; cos q = 0,8 ; tan q = 0,75 ;
1.6. sin q = ��22�� ; cos q = �
�22�� ; tan q = 1 .
2.1. sin (25°) ) 0,42 ; 2.2. cos (37°) ) 0,80 ;
2.3. tan (85°) ) 11,43 ; 2.4. tan (12°) ) 0,21 .
3. Num triângulo [ABC] , rectângulo em A , tem-se
que:
• A�B� , A�C� e B�C� são números positivos
• A hipotenusa [BC] é o maior dos lados,
logo, 0 < < 1 e 0 < < 1 , ou seja,
0 < sin q < 1 e 0 < cos q < 1 .
Como A�C� pode ser um número positivo qualquer,
o mesmo acontece com tan q .
4.1. (51,34)° (2 c. d.) ; Pág. 174.2. (70,53)° (2 c. d.) ;
4.3. 30° ;
4.4. 45° .
5.1. ; q ) 56,31° ;
5.2. ; q ) 14,48° ;
5.3. ; q ) 78,46° ;
5.4. ; q = 30° ;
5.5. ; q = 30° ;
5.6. ; q ) 16,43° .
6. sin �cos- 1 ��13
��� ) 0,94° ; tan �cos- 1 ��13
��� ) 2,83
sin a ) 0,94° ; tan a ) 2,83 .
7. tan �sin- 1 ��13
��� ) 0,35° ; cos �sin- 1 ��13
��� ) 0,94
tan a ) 0,35° ; cos a ) 0,94 .
8. cos (tan- 1 (�5�)) ) 0,408 ; sin (tan- 1 (�5�))) 0,913
cos a ) 0,408 ; sin a ) 0,913 .
9. a2 = b2 + c2 ; sin q = �ac
� ; cos q = �ba� ; tan q = �
bc
� .
9.1. c = 6 ; b = 8
a2 = 82 + 62 § a = 10
sin q = �ac
� = �160� = �
35
�
cos q = �ba� = �
180� = �
45
�
tan q = �bc
� = �68
� = �34
�
9.2. a = 7 ; b = 4
72 = 42 + c2 § c =�33�
sin q =��
733�� ; cos q = �
47
� ; tan q =��
433�� ;
9.3. a = 29 ; c = 21
292 = b2 + 212 § b = 20
sin q = �2219� ; cos q = �
2209� ; tan q = �
2210� ;
9.4. a = �13
� ; b = �14
�
��13
��2
= ��14
��2
+ c2 § c2 = �19
� - �116�
§ c = ��1744�� § c = �
�12
7��
sin q = = ��47�� ; cos q = = �
34
� ;
tan q = = ��37�� .
��12
7��
�
�14
�
�14
�
�
�13
�
��12
7��
�
�13
�
A
B
C
a
b
c
q
5 V√2�
2
V√3
�
3
V√3�
5 1�
4 1�
3
2�
Por outro lado, se, por
exemplo, A�B� = 1 ,
tan q = �A
A
��B
C
��� = A�C�
A B
C
�
A�B��B�C�
A�C��B�C�
4
Geometria II
Geometria II
10.1.
A�B�2+ B�C�
2= A�C�
2
A�B�2+ x2 = 1 § A�B�
2= 1 - x2
§ A�B� =�1 - x2�
sin q = �1x
� = x
cos q =�1 - x2�(sin q) (cos q) = x �1 - x2� ;
10.2.
A�B�2+ B�C�
2= A�C�
2
x2 + B�C�2= 25 § B�C�
2= 25 - x2
(tan q)2 = � �2
= =�25
x-2
x2
� ;
10.3.
A�B�2+ B�C�
2= A�C�
2
32 + x2 = A�C�2§ A�C�
2= x2 + 9
(sin q) * (cos q) = * =
=�x2
3+x
9� ;
10.4.
A�B�2+ B�C�
2= A�C�
2
A�B�2+ x2 = 4 § A�B� =�4 - x2�
sin q = �B�2C�� = �
2x
� ; cos q = �A�2B�� =�
�42- x2��
�4 (
csoisn
qq)2
� = = = .
11.1. sin 30° +�3� tan 60° - 2 sin 60° Pág. 18
= �12
� +�3� *�3� - 2 * ��23�� = �
12
� + 3 -�3�
= �72
� -�3� ;
11.2. sin 30° - 2 cos 60° -�2� cos 45° +�3� tan 30°
= �12
� - 2 * �12
� -�2� * ��22�� +�3� * �
�33��
= �12
� - 1 - 1 + 1 = - �12
� .
12.1. �12
x,37� = sin 30° § x = 12,37 * �
12
� Pág. 19
§ x = 6,185 m ;
12.2. �1x2� = cos 60° § 12 = x * �
12
� § x = 24 m ;
12.3. �1x5� = cos 45° § x = 15 * �
�22��
§ x =�15
2�2�� ) 10,61 m ;
12.4. �8x
� = tan 30° § x = 8 * ��33��
§ x =�8 �
33�
� ) 4,62 m ;
12.5. �6x
� = tan 60° § x = 6 �3� ) 10,39 m ;
12.6. �12
x,5� = cos 30° § x = 12,5 * �
�23��
§ x =�25
4�3�� ) 10,83 m .
13.1. �1x5� = tan 48° § x =�
tan1548°� Pág. 21
§ x ) 13,51 m ;
13.2. �2h4� = sin 9,5° § h = 24 * sin 9,5°
§ h ) 3,96 m ;
13.3. tan q =�30
4+00
50� § tan q = �
15
� ;
q = tan- 1 ��15
�� ) 11,3° ;
13.4. �8x� = tan 4,5° § x =�
tan84,5°�
§ x ) 101,6 m ;
13.5. �1x0� = tan 53° § x = 10 tan 53°
h = 10 tan 53° + 1,5 ) 14,8 m ;
13.6. �50x0
� = sin 18° § x = 500 sin 18°
A�B� = 2x = 1000 sin 18° ) 309 m ;
500 m
18ºx
x
1,5
53º
10 m
1,5 m
2x2
��4 - x2�
4� �x4�
2
�
�
��4
2- x2��
4 ��2x
��2
�
��4
2- x2��
A B
C
x2
q
A�B�* B�C��
(A�C�)2
A�B��A�C�
B�C��A�C�
A B
C
x
3
q
B�C�2
�A�B�
2B�C��A�B�
A B
C
x
5
q
A B
C
x1
V√√1- x2
q√ √
5
1 Resolução de problemas envolvendo triângulos
13.7.
�3a� = cos 48° § a =�
cos348°�
�3b
� = sin 62° § b =�sin
362°�
�3c�= sin 45° § c =�
sin345°�
a + b + c =�cos
348°� +�
sin362°� +�
sin345°�
) 12,12 m ;
13.8. a)
tan (MEWD) = �85
� ; MEWD = tan- 1 ��85
��AEWD = 2 tan- 1 ��
85
�� ) 116,0° ;
b) tan (MEWC) = �45
� ; MEWC = tan- 1 ��45
��BEWC ) 2 tan- 1 ��
45
�� ) 77,3° ;
c) CEWD = MEWD - MEWC ) tan- 1 ��85
�� - tan- 1 ��45
��) 19,33 .
14. Pág. 22
x ) 67,85 m ; y ) 61,09 m .
15.
784 m (0 c. d.) .
16.
2,58 m (2 c. d.) .
17. Pág. 23
�3x� = sin 35° § x = 3 sin 35° ) 1,721
�3a
� = cos 35° § a = 3 cos 35°
b = 5 - a = 5 - 3 cos 35° ) 2,543
E�P� =�x2 + b2�)�(1,721�)2 + (2�,543)2� ) 3,07
3 km (0 c. d.) .
18. �1x2� = sin 45° § x = 12 sin 45° = 6 �2�
�1b2� = cos 45° § b = 12 cos 35° § b = 6 �2�
a = 30 - 6 �2�
x3
E
A P35º
a b
5
x ) 2,582
y ) 2,868
abc
§x = y tan 42°
y =�tan 4
72t°an+
3ta2n°
32°�
adbdc
§
x = y tan 42°
y (tan 42° + tan 32°) = 7 tan 32°
abc
§
x = y tan 42°
y tan 42° = 7 tan 32° - y tan 32°
abc
§
�yx
� = tan 42°
�7 -
xy
� = tan 32°
adbdc
x
42º 32º7 – yy
h ) 783,92
x ) 657,78
abc
§h = x tan 50°
x =�tan
75000°ta-nta3n0°
30°�
adbdc
§
h = x tan 50°
x (tan 50° - tan 30°) = 700 tan 30°
abc
§
h = x tan 50°
x tan 50° = x tan 30° + 700 tan 30°
abc
§
�hx� = tan 50°
�x +
h700� = tan 30°
adbdc
30º700 m x
h
50º
y ) 61,09
x ) 67,85
adbdc
§y = x tan 42°
x =�tan
14020°ta-nta2n0°
20°�
adbdc
§
y = x tan 42°
x (tan 42° - tan 20°) = 100 tan 20°
abc
§
y = x tan 42°
x tan 42° = 100 tan 20° + x tan 20°
abc
§
�yx� = tan 42°
�100
y+ x� = tan 20°
adbdc
20º100 x
y
42º
M D
E
4 4C
5
a b c 3
45º62º
48º3
6
Geometria II
A�C� =�x2 + a2� =�(6 �2�)2� + (30 -�6 �2�)2�) 23,13
23,13 km (2 c. d.) .
19.1. Pág. 25
�1h2� = sin 53° § h = 12 sin 53°
A = 24 * 12 sin 53° ) 230 m2 ;
19.2. �1h5� = sin 60° § h = 15 sin 60° = 15 �
�23��
A = 30 * 15 ��23�� = 225 �3� ) 389,7 m2 .
20.1. 360° : 8 = 45°
�2h,5� = tan (67,5)° § h = 2,5 tan (67,5)°
A = 8 *
A = 50 tan (67,5)° ) 120,71 m2 ;
20.2.
�2x0� = tan 60° § 20 = x �3� § x =
Lado: L = 2x =
A = 6 *�20
2* L� = 60 *
= 800 �3� ) 1385,6 m2 .
21.1.
A�C�2= 62 + 102
A�C� =�136� ; tan a =
a = tan- 1 � � ) 23,21° ;
21.2.
D�B�2= a2 + a2
D�B� =�2a2� =�2� a
tan (BDWG) = =
BDWG = tan- 1 � � ) 35,26° .
22.1.
ou
P�C� =�(6 + 1�2)2 + 1�22� =�468� ) 21,63 cm ;
22.2. tan a = �1182� = �
32
�
a = tan- 1 ��32
�� ) 56,31° .
E
A C
P
B
F G
a
H
E BP F
G C
12
126
a
1��2�
1��2�
a��2� a
G
a
Ba
AD
5��136�
5��136�
E
A C
5a
V√√136√
40��3�
40��3�
20��3�
60º20
x
5 * 2,5 tan (67,5)°���
2
45º5
h67,5º
2,5’
45º
h
60º
30
30º
90º15
h
53º
24
12
A B
C
12x45º
a b
30
7
1 Resolução de problemas envolvendo triângulos
23. tan a = �53
� e 0 < a < 90° Pág. 29
1 + tan2 a =�cos
12 a�
1 + ��53
��2
=�cos
12 a� § cos2 a = �
394� ‚M
cos a > 0
§ cos a =
sin2 a = 1 - cos2 a = 1 - �394� = �
2354� ‚M
sin a > 0
sin a =
sin a - 3 cos a = - =
= = .
24. sin a = �14
� e 0 < a < 90°
cos2 a = 1 - sin2 a = 1 - �116� = �
1156�‚M
sin a > 0
cos a =
tan a = = =
tan a - cos a = - = .
25.1. (sin2 a + cos2 a)6 = 16 = 1 ;
25.2. 1 - 2 sin2 a = cos2 a - sin2 acos2 a - sin2 a = (1 - sin2 a) - sin2 a
= 1 - 2 sin2 a ;
25.3. �1
c+os
s
2
ina
a� = 1 - sin a
�1
c+os
s
2
ina
a� =�11-+
ssiinn
2
aa
�
= = 1 - sin a ;
25.4. tan a +�tan
1a� =�
sin a1cos a�
tan a +�tan
1a� =�
csoins
aa� +�
csoins
aa
�
=�sinco
2
sa
a+scinos
a2 a
� =�sin a
1cos a� ;
25.5. (sin a + cos a)2 = 1 + 2 sin a cos a(sin a + cos a)2 = sin2 a + cos2 a + 2 sin a cos a
= 1 + 2 sin a cos a ;
25.6. (cos a - sin a)2 = 2 - (cos a + sin a)2
§ cos2 a + sin2 a - 2 sin a cos a= 2 - (cos2 a + sin2 a + 2 sin a cos a)
§ 1 - 2 sin a cos a� = 2 - 1 - 2 sin a cos a�
§ 1 = 1 ;
25.7. �1 + c
1os a� +�
1 - c1os a� =�
sin22 a�
�1 + c
1os a� +�
1 - c1os a�
= =�1 - c
2os2 a�
=�sin
22 a� ;
25.8. �(csoins2
aa+-csoisn2
aa)2� =�1
1-+
ttaann
aa�
�(csoins2
aa+-csoisn2
aa)2�
=
=�csions
aa+-
csoins
aa� =
= =�11-+
ttaann
aa� ;
25.9. �co
1s2 x� +�
sin12 x� =�
sin2 x -1
sin4 x�
• �co
1s2 x� +�
sin12 x� =�s
siinn
2
2
xx.+
ccooss2
2
xx
�
=�sin2 x.
1cos2 x�
• �sin2 x -
1sin4 x� =�
sin2 x (11- sin2 x)�
=�sin2 x.
1cos2 x� ;
25.10. �1 -
sinco
as a
� +�1 -
sinco
as a� -�
sin2
a�= 0
�1 -
sinco
as a
� +�1 -
sinco
as a� -�
sin2
a�
=
= = 0 .
1.1. Verdadeiro. A hipotenusa é sempre Pág. 34maior do que qualquer um dos catetos;
1.2. Verdadeiro. Os catetos podem ter o mesmo com-
primento;
1.3. a) Verdadeira.
Como 0 < c < a , 0 < �ac
� < 1 .
Logo, 0 < sin a < 1 ;
B
c
AbC
a
�
1 + cos2 a� - 2 cos a� + 1 - cos2 a� - 2 + 2 cos a�������
sin a (1 - cos a)
(1 - cos a)2 + sin2 a - 2 (1 - cos a)����
sin a (1 - cos a)
1 -�csoins
aa�
��
1 +�csoins
aa
�
�cos a
co-s a
sin a�
��
�cos a
co+s a
sin a�
(cos a - sin a) (cos a + sin a)�����
(sin a + cos a)2�
(1 - cos a) + (1 + cos a)���(1 + cos a) (1 - cos a)
(1 - sin a) (1 + sin a)���
1 + sin a
- 11 �15���
60�15��
4�15��
15
�15��
151
��15�
�14
�
�
��
415��
�15��
4
- 2 �34��
17- 4 �34��
34
- 4��34�
9��34�
5��34�
5��34�
3��34�
8
Geometria II
b) Verdadeira.
Como 0 < b < a , 0 < �ba� < 1 .
Logo, 0 < cos a < 1 ;
c) Verdadeira, pois se c > 0 e b > 0 , tem-se
�bc
� > 0 , ou seja , tan a å ]0 , + ?[ .
1.4. Verdadeiro. sin2 a = sin a * sin a 0 sin (a.a) ;
1.5. Verdadeiro. sin2 a = sin a * sin a = (sin a)2 ;
1.6. e 1.7. Verdadeiras;
h2 + �14
� = 1 § h = �1 - �14
�� § h =
sin 30° = = �12
�
sin 60° =
1.8.Verdadeira.
tan 45° = �aa� = 1 .
2. (A) sin 45° + cos 45° = + =�2� (V)
(B) (tan 45°)5 = 15 = 1 (V)
(C) tan 45° > tan 30° § 1 > (V)
(D) tan a =�csoins
aa� (F)
(E) �cos
12 a� = 1 + tan2 a (V)
(F) cos 60° = �12
� = sin 30° (V)
(G) (tan 60°)4 = (�3�)4 = 32 = 9 (V)
(H) cos a = = = (F)
(I) sin a = �1x� (V)
(J) cos a = (V)
(K) tan a = = (V)
São todas verdadeiras, excepto (D) e (H) .
3.1. �3x� = sin 60° § 3 = x * �
�23��
§ x = § x = 2 �3� .
3.2. �5x� = tan 30° § x = 5 tan 30° § x = ;
3.3. �1x0� = cos 45° § x = § x = 5 �2� .
4.1. Consiste em determinar as medidas Pág. 35dos seus elementos (lados e ângulos);
4.2. • a2 = 122 + 52 § a = 13 m
tan BW = �152� ; BW ) 22,62°
CW = 90° - BW ) 67,38°
• CW = 90° - 27° = 63°
= tan 27° § A�B� =�tan
627°� ) 11,78°
= sin 27° § A�C� =�sin
627°� ) 13,22 m
5.
A = A˚ - A
=�15 *
215
� -�π *
8152
� ��34650
� = 8�= 112,5 - 28,125 π ) 24,14 m2
A
C
B
45º
15 m
D
6�A�C�
6�A�B�
C
A B
27 °
6
C
A B12
5 a = 13
10 �2��
2
5 �3��
3
6��3�
�x2 - 1��
x2 - 11
��x2 - 1�
�x2 - 1��x
A B
C
x1
V√√x2 - 1
a√ √
3 �13��
133
��13�
3���32 + 22�
�3��
3
�2��
2�2��
2
45ºa
a
�3��
2
�12
�
�1
�3��
2
30º
60º
1
12
h =2V√3
1 1
9
1 Resolução de problemas envolvendo triângulos
6.1. a)
�1a2� = cos 62° § a = 12 cos (62°)
�1b2� = sin 62° § b = 12 sin (62°)
A = �a2b� = ) 29,85 m2 ;
b)
�6a,2� = cos 33° § a = 6,2 cos (33°)
�6h,2� = sin 33° § h = 6,2 sin (33°)
A =
) 14,69 m2 ;
6.2. a) • A1 = 20 * 8 = 160 m2
• A2 =�8 *
28
� = 32 m2
�2a8� = tan (43,5°)
a =�tan (
2483,5°)�
• A3 =�a * (2
20 + 8)� = 14a =
= 14 *�tan (
2483,5°)� ) 413,08 m2
A ) (160 + 32 + 413,08) m2 ) 605,08 m2 ;
b)
�18
a,13� = tan (29,2)°
a =�tan
1(82,193,2)°
� ) 32,4398 m
A1 =�18,13 *
232,4398� ) 294,067 m2
�18
b,13� = sin (29,2)°
§ b =�sin
1(82,91,32)°
� § b ) 37,1623
�bc
� = tan (30,1)°
§ c =�sin
1(82,91,32)°
� * tan (30,1)°
§ c ) 21,5422
A2 = �b2c� ) 400,280 m2
A1 + A2 ) (294,067 + 400,280) m ) 694,35 m2 ;
c)
�4a,2� = tan 43° § a =�
tan4,
423°
�
�4b,2� = tan 40° § b =�
tan4,
420°
�
A = A1 + A2 + A3
=�a *
24,2� + 2 * 4,2 +�
4,22* b�
= 2,1 *�tan
4,423°
� + 8,4 + 2,1 *�tan
4,420°
� ) 28,37 m2
d) �ha� = tan 28° § a =�
tanh28°�
A = * h
= �h2
2
� �4,4 +�tan
128°�� ) 3,14 h2 m2 .
7.1. Pág. 36
A B
C
V
D
M
10 m
N
5 m
�2,2 h +�tan
h28°�� + 2,2 h
���2
28ºa2,2 h
h
2,2 h
h
43º 40º
A1
A2
A34,2 4,2
2
a b
(29,2)º
(30,1)º
A1
A2b
C
BA a
18,13
D
A B
C
D
20 A1
A2
20 A3
a843,5º
88
(3,5 + 6,2 cos (33°)) (6,2 sin (33°))����
2
6,2 m
33ºa
h
3,5 m
12 cos 62° * 12 sin 62°���
2
b
62º
a
12 m
10
Geometria II
A�C�2= 102 + 102
A�C� = 10 �2� ; A�M� = 5 �2�
tan (VAWC) = = =
VAWC = tan- 1 � � ) (35,26)°
V�M� = M�N� = 5
V�N� =�52 + 52� = 5 �2�
tan a = =
a = tan- 1 � �BVWC = 2a ) 70,53°
7.2. a) Face
�26,5� = sin a
a = sin- 1 ��26,5��
AVWB = 2a ) (49,25)° ;
b) Área da face
a2 + 2,52 = 62 § a =�29,75�
Af =
Área da base
h2 + 2,52 = 52
§ h =�18,75�
Ab =
Área total
+ 3 * ) 51,73 m2 .
8.1.
• tan (EBWC) = �23,,12�
EBWC = tan- 1 ��23,,12�� ) (33,27)°
• A�C� =�5,32 +�3,22� =�38,33�
tan (EAWC) =
EAWC = tan- 1 � � ) (18,74)°
• F�C� = 5,32 + 2,12 =�32,5�
tan (BFWC) =
BFWC = tan- 1 � � ) (29,31)° ;
8.2. Aresta do cubo: �3
15,625� m = 2,5 m
• A�B� = 2,5 m;
• A�F� =�2,52 +�2,52� =�12,5� = 2,5 �2� ) 3,53 m
• A�G�=�2,52 +�2,52 +�2,52� = 2,5 �3� ) 4,33 m
tan (FAWG) = = = =
FAWG = tan- 1 � � ) 35,26°
cos (HGWA) = = =
HGWA = BHWG = cos- 1 � � = 54,7356
GOWH = 180° - 2 HGWA ) 70,53° ;
8.3.
A B
C
GH
E
D
F
4
3
10
�3��
3
�3��
32,5
�2,5 �3�
H�G��A�G�
O
H G
A B
�2��
2
�2��
21
��2�
2,5�2,5 �2�
F�G��A�F�
A B
C
GH
E
D
F
O
3,2��32,5�
3,2��32,5�
2,1��38,33�
2,1��38,33�
A B
C
EF
D
5,3
3,2
2,1
5 �29,75���
25 �18,75���
2
5 *�18,75���
2
h 55
2,5
5 *�29,75���
2
BA
V
2,5
a6 6
a
�2��
2
�2��
25
�5 �2�
�2��
2
�2��
25
�5 �2�
V�M��A�M�
5B CN
V
5V√2
a
11
1 Resolução de problemas envolvendo triângulos
A�C� =�102 + 4�2� =�116�
tan (ACWE) = =
ACWE ) (15,56)°
HDWF = EAWG ) 90° - 15,56° ) 74,44°
H�C� =�102 + 3�2� =�109�
tan (ECWH) = =
ECWH ) (20,96)° .
9.1. Pág. 37
tan (a) = �3105� ; a = tan- 1 (2)
tan (b) = �2105� ; b = tan- 1 ��
43
��a = a - b = tan- 1 (2) - tan- 1 ��
43
�� ) (10,30)° ;
9.2.
�1a5� = cos (42°) § a = 15 cos 42°
�1h5� = sin (42°) § h = 15 sin 42°
�hb
� = tan (35°) § h = b tan (35°)
§ b =�tan (
h35°)� § b =�15
tasnin354°2°
�
A�B� = a + b = 15 cos 42° +�15ta
snin354°2°
� ) 25,48 m ;
9.3.
�2a2� = tan (25°) § a = 22 tan (25°)
�2b2� = cos (25°) § b =�
cos2(225°)�
a + b = 22 tan (25°) +�cos
2(225°)� ) 34,53 m ;
9.4. a)
�50a0
� = sin (40°)
a = 500 sin (40°)
x = 2a = 1000 sin (40°)
x ) 642,79 m ;
b)
Logo,
x =�tan
2(03,123,3)°
� -�tan
2(05,133,4)°
�
x ) 16,89 m ;
c)
0 Logo, x =�15,t1a2ns(i6n2(,438)°,2)°
� ) 5,92 m ;
d)
y = �18,232� - 5,32�2� ) �304,03�05� ) 17,4365
�5,
y32� = tan a
a ) tan- 1 ��175,,433265
�� ) 16,9673
�yx
� = sin a § x = y sin a§ x ) 17,4365 * sin (16,9673)°
x ) 5,09 m .
5,32yx
18,23
a
y = 15,12 sin (48,2)°
x =�tan (6
y2,3)°�
adbdc
§�15
y,12� = sin (48,2)°
�yx�= tan (62,3)°
adbdc
48,2º 62,3º
y15,12
x
y =�tan
2(05,133,4)°
�
x + y =�tan
2(03,123,3)°
�
adbdc
§�20
y,13� = tan (53,4)°
�2x0+,1
y3
� = tan (32,3)°
adbdc
32,3º 53,4º
20,13
yx
40º
500 500
a
b a
22
25º
42º 35º
h15
A Ba b
20 m
10 m
20 m
ab
50 m
15 m
a
4��109�
E�H��H�C�
3��116�
E�A��A�C�
12
Geometria II
10.
11. Pág. 38
h = 24,42 m (2 c. d.) .
12.
�1a,5� = sin (28°) § a = 1,5 sin (28°)
�3b
� = cos (50°) § b = 3 cos (50°)
1 + a + b = 1 + 1,5 sin (28°) + 3 cos (50°)
) 3,63 m .
13.
h ) 2,58 + 1,7 = 4,28 m .
14. 35° 32’ ) (35,533)°
(35,53)° : 2 = (17,767)°
�48a0
� = sin (17,767)°
a = 480 sin (17,767)°
S�1�S�2� = 2a
= 2 * 480 sin (17,767)°
) 292,94 km .
15.1. EOW1O2 = 360° - 215° - 90° = 55°
O1OW2E = 360° - 208° - 90° = 62°
O1EWO2 = 180° - 55° - 62° = 63° ;
15.2. 90° - 55° = 35° ; 90° - 62° = 28°
�ha
� = tan 35°
�1500
h- a
� = tan 28°
adbdc
E
55º
62º
28º
35º h
O2208º
O1215º
a
1500 – a
1500 km
S1
480
17,68º
S2a
a ) 2,58
b ) 3,07
abc
§a = b tan 40°
b =�tan 4
30t°an-
2ta3n°
23°�
adbdc
§
a = b tan 40°
b (tan 40° - tan 23°) = 3 tan 23°
abc
§
a = b tan 40°
b tan 40° = b tan 23° + 3 tan 23°
abc
§
�ab
� = tan 40°
�b +
a3
� = tan 23°
adbdc
23º 40º
3 m b
a
1,7
90º
50º 3 mb
28ºa
1
1,52,2
h ) 24,42
x ) 84,87
abc
§
h = x tan 42°
x =�tan
1402°
ta-n
t2a5n°25°
�
adbdc
§
h = x tan 35°
x (tan 35° - tan 12°) = 80 tan 12°
abc
§
h = x tan 35°
x tan 35° = 80 tan 12° + x tan 12°
abc
§
�hx� = tan 35°
�80
h+ x� = tan 12°
adbdc
12ºh
x80 m
35º
h ) 9,67 m
x ) 10,74 m
abc
§h = x tan 42°
x =�tan
1402°
ta-n
t2a5n°25°
�
adbdc
§
h = x tan 42°
x (tan 42° - tan 25°) = 10 tan 25°
abc
§
h = x tan (42°)
x tan 42° = 10 tan (25°) + x tan (25°)
abc
§
�hx� = tan (42°)
�10
h+ x� = tan (25°)
adbdc
h
x10
25º 42º
13
1 Resolução de problemas envolvendo triângulos
E�O�1 =�a2 + h2� ) 1486,43 km .
16.
17. 180° - 39° -122° = 19° Pág. 3990° - 19° = 71°
90° - 39° = 122° - 71° = 51°
�5a0� = cos (19°) § a = 50 cos 19°
�5h0� = sin (19°) § h = 50 sin 19°
�hb
� = tan (39°) § b =�50ta
snin391°9°
�
B�C� = a + b = 50 cos (19°) +�50ta
snin391°9°
� ) 67,378 km
Vítor: 30 * t = 50 § t = �5300� § t = 1 h 40 min
Sara: 50 * t = 67,378 § t =�67
5,3078
�
§ t ) 1 h 21 min
A Sara demorou cerca de 1 h 21 min enquanto
que o Vítor demorou 1 h 40 min . Logo, a Sara
chegou primeiro.
18.
A�P� =�a2 + h2� ) 60,18 m
B�P� =�h2 + (1�00 - a�)2� ) 79,86 m
60,18 m de A e 79,86 m de B (2 c. d.) .
19.1. �3O�,C�6� = tan 87° § O�C� = 3,6 tan 87°
§ O�C� ) 68,69 cm ;
19.2. 5 m = 500 cm = O�C�
�530,60
� = tan (BAWO)
BAWO = tan- 1 ��530,60
�� ) 89,59° .
20.1. Triângulo [DEF]
• A =�2 *
22
� m2 = 2 m2
E�F� =�4 + 4� = 2 �2�
• P = (2 + 2 + 2 �2�) = 4 + 2 �2� m
A = 2 m2 ; P = (4 + 2 �2�) m ;
3,6 3,6 BA
O
87ºC
h = 48,063
a = 36,218
abc
§h = a tan 53°
a =�tan
15030°ta+nta3n7°
37°�
adbdc
§
h = a tan 53°
a (tan 53° + tan 37°) = 100 tan 37°
abc
§
h = a tan 53°
a tan 53° = 100 tan 37° - a tan 37°
abc
§
�ha� = tan 53°
�100
h- a� = tan 37°
adbdc
A B
P
53º 37ºa 100 - a
h51º
39º
71º
19ºabB C
A
50º
h ) 483,6
x ) 537,10
abc
§h = x tan 42°
x =�tan
54020°ta-nta2n5°
25°�
adbdc
§
h = x tan 42°
x (tan 42° - tan 25°) = 500 tan 25°
abc
§
h = x tan 42°
x tan 42° = 500 tan 25° + x tan 25°
abc
§
�hx� = tan 42°
�500
h+ x� = tan 25°
adbdc
25º 42º
500 x
h
a ) 852,5829
h ) 1217,6145
abc
§a = h tan (35°)
h =�tan 35°
15+00tan 28°�
adbdc
§
a = h tan (35°)
h (tan 35° + tan 28°) = 1500
abc
§
a = h tan (35°)
1500 - h tan (35°) = h tan (28°)
abc
§
14
Geometria II
20.2. Triângulo [ABC]
O ponto E é equidistante dos lados AB e BC .
Logo, BE é a bissectriz do ângulo ABC .
Como ABWC = 45° , ABWE = 22,5°
= tan (22,5°) § Q�B� =�tan (
12,52,5°)�
) 3,621 = P�B� = C�S� = C�R�
A�B� = A�C� = 1,5 + 2 + Q�B� ) 7,1213
C�B� = F�E� + C�S� + P�B�
= 2 �2� +�tan (
322,5)� ) 10,0711
A =�A�B�
2* A�C�� ) 25,36 m2
P = 2 A�B� + P�Q� ) 24,31 m .
21. Pela semelhança de triângulos.
21.1. DCWA = 28° ;
21.2. DAWC = 90° - 28° = 62° ;
21.3. �||
3
«
0
»AD
0
||� = sin (28°)
||«»AD||= 300 sin (28°) ) 140,84 .
2 Ângulo e arco generalizado. Funçõestrigonométricas. Resolução de equaçõestrigonométricas
1.1. 12° 6’ 36’’ = (12 + 6 : 60 + 36 : 602)° Pág. 42= (12,11)° ;
1.2. 52° 10’ 12’’ = (52 + 10 : 60 + 12 : 602)° = (52,17)° .
2.1. (15,35)° = 15° 21’ ; 0,35 * 60 = 21
2.2. (92,18°) = 92° 10’ 48’’ ; 0,18 * 60 = 10,8 ; 0,8 * 60 = 48
2.3. 216 000” = 60° ; 216 000 : 602 = 60
2.4. 1150’ = 19° 10’ . 1150 : 60 ) 19,17 ; 1150 - 19 * 60 = 10
3.1. 60° = 60 * �1π80� rad = �
π3
� rad ; Pág. 45
3.2. 300° = 300 * �1π80� rad = �
53π� rad ;
3.3. 120° 15’ = (120,25)° = 120,25 * �1π80� rad
= �478210
� π rad ) 2,10 rad ;
3.4. 15° 30’ = (15,5)° = 15,5 * �1π80� rad
= �3316π0
� rad ) 0,27 rad ;
3.5. 12° 12’ 10’’ = (12 + 12 : 60 + 10 : 602)°
= ��4336903
��° =�4336903
� * �1π80� rad ) 0,213 rad .
4.1. �56π� rad =�5 *
6180°� = 150° ;
4.2. �1118π
� rad =�11 *18180°� = 110° ;
4.3. 3,14 rad =�3,14 *π
180°� ) (179,91)° ;
4.4. 1 rad =�1 * π180°� ) (57,30)° ;
4.5. 0,2 rad =�0,2 *π180°� ) (11,46)° .
5. 2π ——— 2πrq ——— s s = qr
5.1. s = �π6
� * 5 = �56π� ) 2,62 cm ;
5.2. 155° = 155 * �1π80� rad = �
3316π
� rad
s = ��3316π
� * 6� cm = �3316π
� cm ) 16,23 cm ;
5.3. s = �π2
� * 1 = �π2
� cm ) 1,57 cm ;
5.4. 230° = 230 * �1π80� rad = �
2138π
� rad
�232π
� =�2138π
� * r § r =�2138π
� *�2138π
� § r = 9 cm ;
5.5. 9π = q * 6 § q = �96π� rad § q = �
32π� rad ;
5.6. 8 = 2r § r = 4 cm .
6. 360° —— π * 62 ; A =�2803*60
36π� = 28π ) 87,96 cm2
280° —— A
AL = 28π cm2 ) 87,96 cm2 .
7.1. a = 395° = 360° + 35° ; Pág. 4735° ; 1.° Q ;
7.2. �134π
� = 3π + �π4
� = 2π + �54π�
�54π� ; 3.° Q ;
13 | 41 3
395 | 360°35 1
28º28º
300
A
D
C
E�Q��Q�B�
A Q B
P
ED
F
S
R
C
2 m
1,5 m
1,5
m
1,5 m
22,5º
15
2 Ângulo e arco generalizado. Funções trigonométricas. Resolução de equações trigonométricas
7.3. 2100° = 5 * 360° + 300°
300° ; 4.° Q ;
7.4. �173π
� = 5π + �23π� = 4π + �
53π�
�53π� ; 4.° Q .
8.1. a = 220° = 180° + 40° ; a å 3.° Q Pág. 49sin (220°) < 0 ; cos (220°) < 0 ;
tan (220°) > 0 ;
8.2. a = 1500° = 4 * 360° + 60° ; a å 1.° Q
sin (1500°) > 0 ; cos (1500°) > 0 ;
tan (1500°) > 0 ;
8.3. �296π
� = 4π + �56π� = 4π + π - �
π6
� ; a å 2.° Q
sin ��296π
� rad� > 0 ; cos ��296π
� rad� < 0 ;
tan ��296π
� rad� < 0 ;
8.4. a = - �34π� = - π + �
π4
� ; a å 3.° Q
sin �- �34π� rad� < 0 ; cos �- �
34π� rad� < 0 ;
tan �- �34π� rad� > 0 ;
8.5. a = - 350° = - 360° + 10° ; a å 1.° Q
sin (- 350°) > 0 ; cos (- 350°) > 0 ;
tan (- 350°) > 0 ;
8.6. a = 1 rad ; a å 1.° Q
sin (1 rad) > 0 ; cos (1 rad) > 0 ; tan (1 rad) > 0 ;
8.7. a = 1° ; a å 11.° Q
sin (1°) > 0 ; cos (1°) > 0 ; tan (1°) > 0 ;
8.8. �234π
� = 5π + �34π� = 6π - �
π4
� ; a å 4.° Q
sin ��234π
�� < 0 ; cos ��234π
�� > 0 ; tan ��234π
�� < 0 .
9.1. sin �π2
� + tan π + 2 cos π - �13
� sin ��32π��
= 1 + 0 + 2 * (- 1) - �13
� (- 1) = 1 - 2 + �13
� = - �23
�;
9.2. - 3 cos �π2
� + sin π - 2 cos �32π� + tan 0 + cos 0
= - 3 * 0 + 0 - 2 * 0 + 0 + 1 = 1 .
10. Se P (x , y) for o ponto associado a um ângulo
a no círculo trigonométrico, tem-se - 1 ≤ x ≤ 1
e - 1 ≤ y ≤ 1 . Logo, como cos a é a abcissa
de P e sin a é a ordenada de P , tem-se
- 1 ≤ cos a ≤ 1 e - 1 ≤ sin a ≤ 1 .
11.1. �53π� = 2π - �
π3
� Pág. 54
sin ��53π�� = sin �- �
π3
�� = - sin �π3
� = -
cos ��53π�� = cos �- �
π3
�� = cos �π3
� = �12
�
tan ��53π�� = tan �- �
π3
�� = - tan �π3
� = -�3� ;
11.2. 150° = 180° - 30°
sin (150°) = sin (180° - 30°) = sin (30°) = �12
�
cos (150°) = cos (180° - 30°)
= - cos (30°) = -
tan (150°) = tan (180° - 30°)
= tan (30°) = - ��33�� .
12.1. cos ��87π�� = cos �π + �
π7
�� = - cos �π7
� ;
12.2. tan ��1192π
�� = tan �2π - �51π2�� = tan �- �
51π2��
= - tan ��51π2�� ;
12.3. sin (- 520°) = sin (- 360° - 160°)
= - sin (160°) = - sin (180° - 20°)
= - sin (20°) .
13.1. sin (π + x) + cos (2π - x) + tan (7π - x) -- cos (x - 3π) = - sin x + cos (- x) ++ tan (π - x) - cos (π - x) = - sin x + cos x -- tan x + cos x = 2 cos x - sin x - tan x ;
13.2. cos (x - π) + sin (7π - x) - tan (π - x)
= cos (x - π) + sin (π - x) + tan x
= - cos x + sin x + tan x .
14. Pág. 59
Em radianos
Em graus
O gráfico de y2 = - sin x é simétrico do gráfico
de y1 = sin x , relativamente ao eixo 0x .
Como sin (- x) = sin x , A x å R , fazendo
y1 = sin x e y2 = sin (- x) obtemos o mesmo
resultado.
15. • Os gráficos de y1 = cos x e Pág. 61y2 = - cos x são simétricos relativamente ao
eixo 0x .
360°- 360°
2π- 2π
�3��
2
�3��
2
17 | 32 5
2100 | 360°300 5
Y1 = sin x
16
Y2 = - sin x
Y2 = - sin x
Y1 = sin x
Geometria II
• Os gráficos de y1 = cos x e y2 = cos (- x) são
coincidentes porque cos (- x) = cos x , A x åR .
16. O gráfico de y2 = cos x pode obter-se do gráfico
de y1 = sin x por um deslocamento de �π2
� na
direcção de 0x e no sentido negativo.
17. Pág. 62
17.1. tan x = 1 § x = �π4
� › x = �54π�
tan x = - 1 § x = �34π� › x = �
74π�
tan x = 0 § x = 0 › x = π › x = 2π .
18. O gráfico de y1 = 3 sin x resulta de Pág. 63uma expansão na vertical do gráfico de y = sin x ,
segundo o factor 3 .
O gráfico de y2 = sin (2x) resulta de uma con-
tracção do gráfico de y = sin x , na direcção de
0x e segundo o factor �12
� .
O gráfico de y3 = 3 sin (2x) resulta de uma con-
tracção do gráfico de y = sin (x) , na direcção de
0x e segundo o factor �12
� , seguida de uma
expansão na direcção de 0y segundo o factor 3 .
O gráfico de y4 resulta do gráfico de y = sin x
mantendo os pontos de ordenada positiva ou
nula e efectuando uma simetria relativamente ao
eixo dos xx dos restantes pontos.
19. Por exemplo:
19.1. y1 = cos x e y2 = 2 + cos x ;
19.2. y1 = cos x e y2 = sin x ;
19.3. y1 = cos x e y2 = 2 + sin x .
20.1. sin x = - 1 Pág. 67§ x = �
32π� + 2kπ ,k å Z ;
20.2. sin x = 0 § x = kπ , k å Z ;
20.3. 2 sin x + 1 = 0 § sin x = - �12
�
§ x = - �π6
� + 2kπ › x = π + �π6
� + 2kπ , k åZ ;
20.4. sin (2x) = 0 § 2x = kπ , k å Z
§ x = �k2π� , k å Z ;
20.5. sin x = �15
� sin- 1 ��15
�� ) 0,201
§ x = 0,201 + 2kπ › x = π - 0,201 + 2kπ ,
k å Z§ x = 0,201 + 2kπ › x = 2,94 + 2kπ , k å Z
(2 c. d.) ;
20.6. sin (2x) = ππ ∫ [- 1 , 1] . A equação é impossível ;
20.7. sin x = - ��22��
§ x = - �π4
� + 2kπ › x = π + �π4
� + 2kπ , k å Z
§ x = - �π4
� + 2kπ › x = �54π� + 2kπ , k å Z ;
y4 = |sin(x)|
0 x
y
1
�2
-�- �2
�
y3 = 3 sin (2x)3
-3
0 x
y
�2
-�- �2
�
-1
0 x
y
1y2 = sin 2x
�2
-�- �2
�
3
-3
0 x
y
y1 = 3 sin x
�2
-�- �2
�
2π- 2π
360°- 360°
17
Y1 = cos x
Y2 = - cos x
Y1 = sin xY2 = cos x
M11FNAGP - 2
2 Ângulo e arco generalizado. Funções trigonométricas. Resolução de equações trigonométricas
20.8. sin (3x) = - ��23��
§ 3x = - �π3
� + 2kπ › 3x = π + �π3
� + 2kπ ,
k å Z
§ x = - �π9
� +�23kπ� › x = �
49π� +�
23kπ� , k å Z .
21.1. 6 sin x - 3 = 0 ‹ x å [0 , 2π]
§ sin x = �12
� ‹ x å [0 , 2π]
§ x = �π6
� › x = �56π� ;
21.2. 2 sin x = �12
� ‹ x å [0 , 2π]
§ sin x = �14
� ‹ x å [0 , 2π]
§ x ) 0,253 › x ) 2,889 ;
sin- 1 ��14
�� ) 0,253 ; π - 0,253 ) 2,889
21.3. sin ��2x
�� = ��23�� ‹ x å [0 , 2π]
§ ��2x
� = �π3
� + 2kπ › �2x
� = π - �π3
� + 2kπ� ‹‹ x å [0 , 2π] , k å Z
§ �x = �23π� + 4kπ › x = �
43π� + 4kπ� ‹
‹ x å [0 , 2π] , k å Z
§ x = �23π� › x = �
43π� ;
21.4. sin ��2x
�� = - ��23�� ‹ x å [0 , 2π]
§ ��2x
� = - �π3
� + 2kπ ‹ �2x
� = π + �π3
� + 2kπ�‹ x å [0 , 2π] , k å Z
§ �x = - �23π� + 4kπ › x = �
83π� + 4kπ� ‹
‹ x å [0 , 2π] , k å Z
§ x å O .
22.1. y1 = sin (2x) ; y2 = - �12
�
sin (2x) = - �12
� § 2x = - �π6
� + 2kπ ›
› 2x = �76π� + 2kπ , k å Z
§ x = - �1π2� + kπ › x = �
71π2� + kπ , k å Z ;
22.2. y1 = 2 sin ��2x
�� ; y2 = - 1
2 sin ��2x
�� = - 1 § sin ��2x
�� = - �12
�
§ �2x
� = - �π6
� + 2kπ › �2x
� = �76π� + 2kπ , k å Z
§ x = - �π3
� + 4kπ › x = �73π� + 4kπ , k å Z .
23.1. 2 cos (2x) = 0§ cos (2x) = 0 Pág. 69§ 2x = �
π2
� + kπ , k å Z
§ x = �π4
� + �k2π� , k å Z ;
23.2. cos x + ��23�� = 0 § cos x = - �
�23��
§ x = �56π� + 2kπ › x = - �
56π� + 2kπ, k å Z ;
23.3. 5 cos x = 1 § cos x = �15
� cos- 1 ��15
�� ) 1,37
§ x = 1,37 + 2kπ › x = - 1,37 + 2kπ , k åZ
(2 c. d.) ;
23.4. 2 cos (2x) + 1 = 0 § cos (2x) = - �12
�
§ 2x = �23π� + 2kπ › 2x = - �
23π� + 2kπ , k åZ
§ x = �π3
� + kπ › x = - �π3
� + kπ , k å Z .
24.1. 3 tan x +�3� = 0 Pág. 70
§ tan x = - ��33��
§ x = - �π6
� + kπ , k å Z ;
24.2. tan (2x) = - 2 tan- 1 (- 2) ) - 1,107
§ 2x = - 1,107 + kπ , k å Z
§ x = - 0,55 + �k2π� , k å Z (2 c. d.) .
25.1. sin x > �12
� ‹ x å [0 , 2π] Pág. 71
• sin x = �12
� ‹ x å [0 , 2π] § x = �π6
� › x = �56π�
sin x > �12
� ‹ x å [0 , 2π] § x å ��π6
� , �56π� ;
25.2. cos x < - �12
� ‹ x å [0 , 2π]
• cos x = - �12
� ‹ x å [0 , 2π]
§ x = �23π� › x = �
43π�
0 x
y
y = cos x
p
2p
4p3
2p3
12–
0 x
y
y = sin x
12
1
2pp5p6
p6
x = �83π� + 4kπ
k = 0± x = �83π� > 2π
k = - 1± x = - �43π� < 0
x = - �23π� + 4kπ
k = 0± x = - �23π� < 0
k = 1± x =�103π
� > 2π
18
Geometria II
• cos x < - �12
� ‹ x å [0 , 2π]
§ x å ��23π� , �
43π� ;
25.3. sin ��2x
�� < 1 ‹ x å [0 , 2π]
• sin ��2x
�� = 1 ‹ �2x
� å [0 , π]
§ �2x
� = �π2
� § x = π
sin ��2x
�� < 1 ‹ x å [0 , 2π]
§ x å [0 , 2π] \ {π}
§ x å [0 , π[ ∂ ]π , 2π] ;
25.4. cos (2x) ≤ �12
� ‹ x å [0 , 2π]
• cos (2x) = �12
� ‹ x å [0 , 2π]
§ 2x = �π3
� + 2kπ › 2x = - �π3
� + 2kπ , k åZ
§ x = �π6
� + kπ › x = - �π6
� + kπ , k å Z‚M
x å [0 , 2π]
§ x = �π6
� › x = �56π� › x = �
76π� › x =�
116π
�
cos (2x) ≤ �12
� ‹ x å [0 , 2π]
§ x å �π6
� , �56π�� ∂ �
76π� , �
116π
��
1.1. cos �π + �π3
�� + sin �π + �π2
�� - tan π Pág. 78
= - cos �π3
� - 1 - 0 = - �12
� - 1 = - �32
� ;
1.2. sin ��74π�� + sin �
54π� + cos �
72π� - tan �- �
74π��
= - sin �π4
� - sin �π4
� + 0 - tan �2π - �74π��
= - ��22�� - �
�22�� - 1 = -�2� - 1 ;
1.3. sin �- �76π�� - sin ��
176π
�� + cos �- �23π�� + tan ��
83π��
= - sin �π + �π6
�� - sin �2π + �56π�� +
+ cos �π - �π3
�� + tan �2π + �23π��
= sin �π6
� - sin �π6
� - cos �π3
� - tan �π3
� = - �12
� -�3� .
2.1. E(x) = sin (- x) + cos ��π2
� - x� = - sin x + sin x = 0 ;
2.2. E(x) = cos (- x) + sin (π - x) + cos (π + x)
= cos x + sin x - cos x = sin x ;
2.3. E(x) = cos (π - x) - cos (3π - x) + sin �- �52π� + x�
= - cos x + cos x - sin �2π + �π2
� - x�= - cos x ;
2.4. E(x) = sin (x - 5π) + cos ��32π� + x� - sin ��
π2
� - x�= - sin (4π + π - x) + sin x - cos x
= - sin x + sin x - cos x = - cos x ;
2.5. E(x) = sin �x - �72π�� + cos (5π - x) - cos �- �
72π� + x�
= - sin �2π + �32π� - x� + cos (π - x) -
- cos �2π + �32π� - x� = cos x - cos x + sin x
= sin x .
3. sin x = �35
� ‹ x å 2.° Q
cos2 x = 1 - �295� § cos2 x = �
1265� ‚M
x å 2.° Q
§ cos x = - �45
� ;
tan x =�csoins
xx
� = = - �34
� ;
cos x + tan x = - �45
� - �34
� = - �3210� .
4. sin (π - x)
= sin x
= -��
521�� .
5. cos (π - a) + tan (π + a)
= - cos a + tan a
= - ��37�� + �
��
2�7��
= - ��37�� +�
�714��
= .- 7 �7� + 3 �14���
21
�35
�
�- �
45
�
0 x
y
y = cos (2x)
12
p6
1
5p6
2p7p6
11p6
0 x
y
1y = sin
2x
p 2p
19
sin (π + a) = -��32�
� ‹
‹ 0 < a < �π2
�
• sin a =��32�
� ‹ 0 < a < �π2
�
cos2 a = 1 - �29
� = �79
�
cos a =��37�
� , a å 1.° Q
• tan a = = ���
2�7��
��32��
�
��37��
cos x = - �25
� ‹ x å 3.° Q
sin2 x = 1 - �245�
sin2 x = �2215� ‚
Mx å 3.° Q
sin x = -��
521��
2 Ângulo e arco generalizado. Funções trigonométricas. Resolução de equações trigonométricas
6. tan x = 4 ‹ - π < x < - �π2
�
1 + tan2 x =�co
1s2 x�
1 + 42 =�co
1s2 x� ‚
Mx å 3.° Q
cos x = - ��117�� = -�
�1177�
�
6.1. sin2 x = 1 - �117�
sin2 x = �1167� ‚
Mx å 3.° Q
sin x = -��
4
17�� = -�
4 �17
17�� ;
6.2. cos (π + x) - 2 cos (π - x)
= - cos x + 2 cos x = cos x = -��
717�� .
7. 1 rad corresponde a ��1π80��° ) (57,3)° .
Logo, um ângulo de 1 radiano tem maior ampli-
tude do que um ângulo de 1° .
8. 0° < q < 90° , logo Pág. 79
8.1. 0 < sin q < 1 ;
8.2. 0 < cos q < 1 .
9. A �x , �12
�x�
• x2 + �x4
2
� = 1 § 5x2 = 4 §x > 0
§ x = ��2
5�� § x =�
2 �5
5��
• y = ��55��
Como q å 3° Q
9.1. sin q = - y = - ��55�� ;
9.2. cos q = - x = -�2 �
55�
� ;
9.3. tan q = �--
yx�= = �
12
� .
10. sin2 q + cos2 q = 1
sin2 q + x2 = 1
sin2 q = ¿�1 - x2� , como π < q < 2π , sin q < 0 ,
logo sin q = -�1 - x2� .
11. Por exemplo, sin ��π3
� + �π6
�� = sin �π2
� = 1
e sin ��π3
�� + sin ��π6
�� = ��23�� + �
12
� 0 1 .
12. Por exemplo, cos �2 * �π6
�� = cos ��π3
�� = �12
�
e 2 cos ��π6
�� = 2 * ��23�� =�3� 0 �
12
� .
13. Por exemplo, tan ��π4
� + 1� ) - 4,6 (1 c. d.)
e tan ��π4
�� + tan 1 ) 1 + 1,6 ) 2,6 (1 c. d.) .
14. sin2 q - cos2 q = 1 § 1 - cos2 q - cos2 q = 1
§ cos2 q = 0 § cos q = 0
§ q = �π2
� + kπ , k å Z ,
logo a condição não é universal.
15.1. 15 * �1180� * π rad = �
1π2� rad ;
15.2. 135 * �1180� π rad = �
34π� rad ;
15.3. 150 * �1180� π rad = �
56π� rad ;
15.4. 275 * �1180� π rad = �
5356�π rad ;
15.5. 330 * �1180� π rad = �
116π
� rad .
16.1. ��1π5� * �
1π80��° = 12° ;
16.2. ��76π� * �
1π80��° = 210° ;
16.3. ��73
� * �1π80��° ) 133,69° ;
16.4. ��2135π
� * �1π80��° = 276° ;
16.5. ��115π
� * �1π80��° = 396° .
17. 2 rad + 4 rad = 7 rad > 2π rad
Como 7 > 2π , os dois arcos têm pontos comuns.
18. 360° ——— π * 100
42° ——— a
a =�42 *3π60* 100� ) 36,65 m
200 m = 20 000 cm
�120000π0
� ) 63,7
36,65 cm ; 64 voltas .
- ��55�
�
�
-�2 �
55�
�
1
x
yA
B
y =x1
2
q
20
Geometria II
19. r1 = 2 cm ; r2 = 3 cm ; a = 0,8 rad Pág. 80
• π * 32 - π * 22 = 9π - 4π = 5π cm2
2π ——— 5π cm2
0,8 ——— A
A =�0,8
2*π
5π� = 2 cm2 .
20. cos q = �12
� ‹ tan q = -�3�
-�3� = § sin q = - ��23�� .
21.1. tan ��54π�� = tan �π + �
π4
�� = tan �π4
� = 1 ;
21.2. sin (405°) = sin (360° + 45°) = sin 45° =��22�� ;
21.3. sin (- 135°) = - sin (135°)
= - sin (180° - 45°) = - sin (45°) = -��22�� ;
21.4. cos ��293π
�� = cos �8π + �53π��
= cos �2π� - �π3
�� = cos �π3
� = �12
� .
22.1. sin q = �12
� ‹ 0° ≤ q ≤ 360°
§ q = 30° › q = 150° ;
22.2. cos q = �12
� ‹ 0° ≤ q ≤ 360°
§ q = 60° › q = 300° ;
22.3. sin q = - ��23�� ‹ 0° ≤ q ≤ 360°
§ q = 240° › q = 300° ;
22.4. cos q = - 1 ‹ 0° ≤ q ≤ 360° § q = 180° ;
22.5. tan q = - 1 ‹ 0° ≤ q ≤ 360°
§ q = 135° › q = 315° .
23.1. P11 (cos 30° , sin 30°) 1 ���23�� , �
12
�� ;
P21 (cos 45° , sin 45°) 1 ���22�� , �
�22��� ;
P31 (cos 60° , sin 60°) 1 ��12
� , ��23��� ;
P41 (cos (180° + 30°) , sin (180° + 30°))
P4 1 �- ��23�� , - �
12
�� ;
P51 (cos (180° + 45°) , sin (180° + 45°))
P5 1 �- ��22�� , - �
�22��� ;
P61 (cos (180° + 60°) , sin (180° + 60°))
P6 1 �- �12
� , - ��23��� .
23.2. P1 1 (cos (- 30°) , sin (- 30°))
P1 1 ���23�� , - �
12
�� ;
P2 1 (cos (- 45°) , sin (- 45°))
P2 1 ���22�� , - �
�22��� ;
P3 1 (cos (- 60°) , sin (- 60°))
P3 1 ��12
� , - ��23��� ;
P41 (cos (180° - 30°) , sin (180° - 30°))
P4 1 �- ��23�� , �
12
�� ;
P51 (cos (180° - 45°) , sin (180° - 45°))
P5 1 �- ��22�� , �
�22��� ;
P61 (cos (180° - 60°) , sin (180° - 60°))
P6 1 �- �12
� , ��23��� .
24. As rectas pedidas passam na origem. Pág. 81São da forma y = mx sendo m = �
yx0
0� se (x0 , y0)
é um ponto da recta.
24.1. P3 P6 ; P3 1 ��12
� , ��23��� ; m =�3� ;
P2 P5 ; P2 1 ���22�� , �
�22��� ; m = 1 ;
P1 P4 ; P11 ���23�� , �
12
�� ; m =��1
3�� =�
�33�� ;
P3 P6 : y =�3�x ; P2 P5 : y = x ; P1 P4 : y =��33��x .
24.2. P1 P4 ; P1 1 ���23�� , - �
12
�� ; m = - ��33�� ;
P2 P5 ; P2 1 ���22�� , - �
�22��� ; m = - 1 ;
P3 P6 ; P3 1 ��12
� , - ��23��� ; m = -�3� ;
P1 P4 : y = - ��33��x ; P2 P5 : y = - x ;
P3 P6 : y = -�3�x .
25. P1 ��23
� , - ��35��� ;
25.1. O círculo trigonométrico tem centro na origem
e raio 1 : x2 + y2 = 1
��23
��2
+ �- ��35���
2
= 1 § �49
� + �59
� = 1
§ 1 = 1 (Verdade) ;
25.2. sin q = - ��35�� ; cos q = �
23
� ; tan q = - ��25�� .
26.1. sin a = - ��22��
§ a = �54π� + 2kπ › a = - �
π4
� + 2kπ , k å Z
± tan a = 1 › tan a = - 1 ;
sin q�
�12
�
21
2 Ângulo e arco generalizado. Funções trigonométricas. Resolução de equações trigonométricas
26.2. tan a = - 1 § a = �π4
� + kπ , k å Z
§ a = �34π� + 2kπ › a = - �
π4
� + 2kπ , k å Z
± cos a = - ��22�� › cos a = �
�22�� .
27. 2 sin (π + q) + cos (2π + q) = - 2 sin q + cos q
= - 2 * �- �45
�� + �35
�
= �85
� + �35
� = �151� .
28.1. ��tan1
q� - 1�2
=�sin
12 q� -�
tan2
q�
��tan1
q� - 1�2
=�tan
12 q� -�
tan2
q� + 1
=�csoins2
2
� -�tan
2q� + 1 =�1 -
sins
2
inq2 q
� -�tan
2q� + 1
=�sin
12 q� - 1 -�
tan2
q� + 1 =�sin
12 q� -�
tan2
q� c.q.d. ;
28.2. sin2 q + 2 = 2 cos2 q + 3 sin2 q2 cos2 q + 3 sin2 q = 2 (1 - sin2 q) + 3 sin2 q= 2 - 2 sin2 q + 3 sin2 q = 2 + sin2 q c.q.d. ;
28.3. (1 + cos q) (1 - cos q) =
= =
= = sin2 q = 1 - cos2 q
= (1 + cos q) (1 - cos q) c.q.d. ;
28.4. �1
c+ossinq
q� =�1c-ossinq
q�
�1
c+ossinq
q� =
=�cos1q-(1si-n2
siqn q)
� =�cos qc(o1s2
-qsin q)
�
=�1c-ossinq
q� c.q.d. ;
28.5. =
• =
= =�sin
c2
oqs+q
3sin
coqs2 q�
= =�1co+s2q
csoins2
qq� ;
• =
=�1co+s2qcsoins2
qq� .
29. Por exemplo:
29.1. y = sin (3x) em 0 , �43π�� ;
29.2. y = - 2 sin ��2x
�� em [0 , 2π] ;
29.3. y = 3 sin ��2x
�� em [0 , 2π] ; Pág. 82
29.4. y = - cos (2x) em [0 , 2π] .
30.1. f (x) = �12
� + sin x ; Df = R
- 1 ≤ sin x ≤ 1 § - 1 + �12
� ≤ �12
� + sin x ≤ 1 + �12
�
§ - �12
� ≤ f (x) ≤ �32
�
Df' = - �12
� , �32
�� ;
30.2. g (x) = 2 + sin ��2x
�� ; Dg = R
- 1 ≤ sin ��2x
�� ≤ 1
§ - 1 + 2 ≤ 2 + sin ��2x
�� ≤ 1 + 2
§ 1 ≤ f (x) ≤ 3
Df' = [1 , 3] ;
30.3. h (x) = 1 + 3 cos2 (3x) ; Dh = R
- 1 ≤ cos (3x) ≤ 1
0 ≤ cos2 (3x) ≤ 1
0 ≤ 3 cos2 (3x) ≤ 3
1 ≤ 1 + 3 cos2 (3x) ≤ 4 § 1 ≤ f (x) ≤ 4
Dh' = [1 , 4] ;
30.4. j (x) = 1 + tan2 x ; Dj = R\�π2
� + kπ , k å Z�tan x å R
tan2 x ≥ 0
1 + tan2 x ≥ 1
Dj' = [1 , + ?[ ;
31.1. 2 sin x = -�3� § sin x = - ��23��
§ x = - �π3
� + 2 kπ › x = �43π� + 2 kπ , k å Z
Soluções em [- π , π] : x = - �23π� › x = - �
π3
� ;
31.2. 5 - 3 tan (2x) = - 6
§ tan (2x) = �131� tan- 1 ��
131�� ) 1,3045
§ 2x = 1,3045 + kπ , k å Z
§ x = 0,6523 + �k2π� , k å Z
sin q��
�2 co
cso
2
sqq+ 1
�
sin q��2 cos q +�
co1s q�
cos q sin q���1 - cos2 q + 3 cos2 q
cos q sin2 q���sin q (sin2 q + 3 cos2 q)
�csoins
�
��
�sin2 q
si+n2
3qcos2 q
�
�tan
1q�
��1 + 3 �
tan12 q�
sin q��2 cos q +�
co1s q�
�tan
1q�
��1 + 3 �
tan12 q�
cos q (1 - sin q)���(1 + sin q) (1 - sin q)
1��sin
12 q�
1��
�sin2 q
sin+
2
cqos2 q
�
1��
1 +�csoins2
2
�
1��1 +�
tan1
2 q�
1��1 +�
tan12 q�
22
cos q = �35
� ‹ - �π2
� < q < 0
sin2 q = 1 - �295�
sin2 q = �1265� ‚M
q å 4.° Q
sin q = - �45
�
Geometria II
Em [- π , π] :
x ≈ - 2,49 › x ≈ - 0,92 › x ≈ 0,65 › x ≈ 2,22
§ x ≈ - 0,79π › x ≈ - 0,29π ›
› x ≈ 0,21π › x ≈ 0,71π (1 c. d.) ;
31.3. 8 sin ��2x
�� = - 1 § sin ��2x
�� = �18
�
sin- 1 ��18
�� ) 0,12533
§ �2x
� = 0,12533 + 2kπ ›
› �2x
� = π - 0,12533 + 2kπ , k å Z
§ x ≈ 0,25066 + 4kπ ›› x = 6,0325 + 4kπ , k åZ
Em [- π , π] : x ≈ 0,08π (2 c. d.) ;
31.4. 3 sin (2x) = - 4 § sin (2x) = - �43
� �- �43
� ≤ - 1�§ x å O ;
31.5. 3 cos2 x = 4 § cos2 x = �43
�
§ cos x = ¿ ��43
�� ���43
�� > 1�§ x å O ;
31.6. 12 + cos �x + �1π0�� = - 1
§ cos �x + �1π0�� = - 13 (- 13 < - 1)
§ x å O ;
31.7. - 2 sin2 x + 2 = 1 § - 2 sin2 x = - 1
§ sin2 x = �12
�
§ sin x = - ��22�� › sin x = �
�22��
§ x = �π4
� + �k2π� , k å Z
Em [- π , π] :
x = - �34π� › x = - �
π4
� › x = �π4
� › x = �34π� ;
31.8. cos (2x) = cos x
§ 2x = x + 2kπ › 2 x = - x + 2kπ , k å Z
§ x = 2kπ › x = �23kπ� , k å Z
Em [- π , π] : x = - �23π� › x = 0 › x = �
23π� ;
31.9. sin �- �2x
�� = sin x
§ - �2x� = x + 2kπ› - �
2x� = π - x + 2kπ , k å Z
§ - �32
�x = 2kπ › �2x
� = π + 2kπ , k å Z
§ x = �43kπ� › x = 2π + 4kπ , k å Z
Em [- π , π] : x = 0 ;
31.10. cos (2x) = sin x § cos (2x) = cos ��π2
� - x�§ 2x = �
π2
� - x + 2kπ ›
› 2x = - �π2
� + x + 2kπ , k å Z
§ x = �π6
� + �23kπ� › x = - �
π2
� + 2kπ , k å Z
Em [- π , π] : x = - �π2
� › x = �π6
� › x = �56π� ;
31.11. cos (2x) + cos x = 0
§ cos (2x) = - cos x
§ cos (2x) = cos (π + x)
§ 2x = π + x + 2kπ › 2x = - π - x ++ 2kπ , k å Z
§ x = π + 2kπ › x = - �π3
� + �23kπ� , k å Z
Em [- π , π] :
x = - π › x = - �π3
� › x = �π3
� › x = π ;
31.12. cos2 x + cos x = 0
§ cos x (cos x + 1) = 0
§ cos x = 0 › cos x = - 1
§ x = �π2
� + kπ › x = π + 2kπ , k å Z
Em [- π , π] :
x = - π › x = - �π2
� › x = �π2
� › x = π .
32.1. sin x ≥ �12
� ‹ cos x ≤ 0 ‹ x å [0 , 2π]
§ sin x ≥ �12
� ‹ x å �π2
� , �32π��
§ x å �π6
� , �56π�� © �
π2
� , �32π��
§ x å �π2
� , �56π�� ;
32.2. �cos x ≤ - �12
� › sin x > 0� ‹ x å [0 , 2π]
§ x å �23π� , �
43π�� ∂ [0 , π]
§ x å 0 , �43π�� ;
1
x
y
y = sin x–1
12
– 2p0
y = cos x
p
4p3
2p3
1
y = sin x
12
–1
p6
5p6
23
2 Ângulo e arco generalizado. Funções trigonométricas. Resolução de equações trigonométricas
32.3. \sin x|< 0,2 ‹ x å [0 , 2π]
§ - 0,2 < sin x < 0,2 ‹ x å [0 , 2π]
• Em [0 , 2π]
sin x = - 0,2 sin- 1 (- 0,2) ≈ - 0,201
§ x = 2π - 0,201 › x = π + 0,201
§ x = 6,082 › x = 3,343
sin x = 0,2 sin- 1 (0,2) ≈ 0,201
§ x = 0,201 › x = π - 0,201
§ x = 0,201 › x = 2,940
xå [0 ; 0,201[ ∂ ]2,940 ; 3,343[ ∂ ]6,082 ; 2π] ;
32.4. �cos2 x� ≥ 0,3 § \cos x| ≥ 0,3
§ cos x ≤ - 0,3 › cos x ≥ 0,3
• Em [0 , 2π]
cos x = - 0,3 cos- 1 (- 0,3) ≈ 1,875
§ x = 1,875 › x = 2π - 1,875
§ x = 1,875 › x = 4,408
cos x = 0,3 cos- 1 (0,3) ≈ 1,266
§ x = 1,266 › x = 5,017
x å [0 ; 1,266] ∂ [1,875 ; 4,408] ∂ [5,017 ; 2π] .
33. 2π ——— π * 82 m2
a ——— �163π
� m2
a = =�33*2π64� = �
π6
� rad .
34. 360° - 120° = 240° Pág. 83360° ——— π * 52
240° ——— A
A =�240 *36
π0* 25
� m2 = �503π
� m2 ≈ 52,36 m2 .
35. = cos b
�48
� = cos b ± b = 60°
a = 180 - 2b = 60°
Área do sector circular: A
360° ——— π * 82
60° ——— A
A =�603*6064π� = �
323π
� m2 ≈ 33,51 m2
Perímetro do sector circular: P
360° ——— 2π * 8
60° ——— P
P =�60 *326π0* 8
� m = �83π� m ≈ 8,38 m .
36.1.
360° ——— π * 52
60° ——— A
• A =�60 *36
π0* 52
� = �256π
� m2
�M�5B�� = sin 30° § M�B� = 5 * �
12
�
C�B� = 2 M�B� = 5 m
�M�5A�� = cos 30° § M�A�= 5 �
�23��
• A˚ = = =�25
4�3�� m2
A = ��256π
� -�25
4�3��� m2 ≈ 2,26 m2 ;
�25
2�3��
�2
5 *�5 �
23�
�
��2
C
5
B
A
5
N
M
30º
D
4 m
R C
S
BA
P
4 m 8 m
8 m
Q
a
b
b
P�A��P�Q�
�163π
� * 2�
64π�
1
x
y y = cos x
–1
2p0–0,3
0,3
1,266 1,875 4,408 5,017
1
x
y
y = sin x–1
2p0–0,2
0,2
0,201 2,94 3,343 6,082
24
Geometria II
36.2.
360° ——— π * 132
60° ——— A
• A =�60° *36
π0* 132
� =�16
69π� m2
O triângulo [PAQ] é equilátero.
P�Q� = 10
N�A� =�100 -�25� = 5 �3�
• A˚ = 10 *�5 �
23�
� = 25 �3� m2
A = ��1669π� - 25 �3�� m2 ≈ 45,19 m2 ;
36.3.
360° ——— π * 202
60° ——— A
• A =�60 *3π60* 202
� =�20
30π� m2
A[PAQ] = 25 �3� m2
A = ��2030π� - 25 �3�� m2 ≈ 166,14 m2 .
37. Lados do triângulo [OBC]
BOWC = 180° - 80° = 100°
BCWO = 180° - 100° - 45° = 35°
§ h = a =�195+
ttaann
3355°°
� ≈ 39,12447
= sin 35° § O�C� =�sin
h35°� ≈ 68,21143
37.1. Comprimento do arco AC
360° ——— 2π O�C�160° ——— C
C =�160 *326π0* O�C�
� ≈ 190,4822
Perímetro = 2 B�C� + C ≈ 2 * 95 + C ) 380,48 m ;
37.2. Área do sector OCA
360° ——— π * O�C�2
160° ——— A
A =�160 *36
π0* O�C�2
� ≈ 6496,533 m2
Área do triângulo [BCO]
A˚ =�B�C�
2* h� ≈ 1858,4123
A = A + 2 A˚ ≈ 10 213,4 m2 .
3 Produto escalar no plano e no espaço
1. »u = (- 1 , 3) ; »v = (3 , - 5) Pág. 87
1.1. »u + »v = (- 1 + 3 , 3 - 5) = (2 , - 2) ;
1.2. 2»u = 2 (- 1 , 3) = (- 2 , 6) ;
h�O�C�
h = a
a =�195+
ttaann
3355°°
�
adbdc
§
h = a
a (1 + tan 35°) = 95 tan 35°
abc
§
h = a
a = 95 tan 35° - a tan 35°
abc
§
�ha� = tan 45°
�95
h- a� = tan 35°
adbdc
95 m
C
B
A
80º
O
80º
45º 95 m
h
B
O
45ºC
a 95 – a
35º
95
10 m
P Q
C B
A
N
60º
N
10 m
10 m 10 m
C B
A
10 m
N
N
60º
3 m
60º 60ºP Q
25
3 Produto escalar no plano e no espaço
1.3. - 2»v = - 2 (3 , - 5) = (- 6 , 10) ;
1.4. - »u - 2»v = - (- 1 , 3) - 2 (3, - 5)
= (1 , - 3) + (- 6 , 10) = (- 5 , 7) ;
1.5. �12
� »u - 2»v = �12
� (- 1 , 3) - 2 (3 , - 5)
= �- �12
� , �32
�� + (- 6 , 10)
= �- �123� , �
223�� .
2. »u = (- 1 , 2 , 5) ; »v = (0 , - 3 , 2)
2.1. »u + »v = (- 1 + 0 , 2 - 3 , 5 + 2) = (- 1 , - 1 , 7) ;
2.2. »u - �12
� »v = (- 1 , 2 , 5) - �12
� (0 , - 3 , 2)
= (- 1 , 2 , 5) + �0 , �32
� , - 1�= �- 1 , �
72
� , 4� ;
2.3. 2»u + »v = 2 (- 1 , 2 , 5) + (0 , - 3 , 2)
= (- 2 , 4 , 10) + (0 , - 3 , 2)
= (- 2 , 1 , 12) ;
2.4. - »u - 2»v = - (- 1 , 2 , 5) - 2 (0 , - 3 , 2)
= (1 , - 2 , - 5) + (0 , 6 , - 4)
= (1 , 4 , - 9) ;
2.5. �12
� »u - �14
� »v = �12
� (- 1 , 2 , 5) - �14
� (0 , - 3 , 2)
= �- �12
� , 1 , �52
�� + �0 , �34
� , - �12
��= �- �
12
� , �74
� , 2� .
3. M1 (1 , - 2) ; N1 (0 , - 3) Pág. 88
3.1. «»MN = N - M = (0 , - 3) - (1 , - 2) = (- 1 , - 1) ;
«»NM = (1 , 1) ;
3.2. M + «»NM = (1 , - 2) + (1 , 1) = (2 , - 1) ;
N + «»MN = (0 , - 3) + (- 1 , - 1) = (- 1 , - 4) .
4. A1 (1 , - 3 , 5) ; B1 (2 , 3 , - 4)
4.1. «»AB = B - A = (2 , 3 , - 4) - (1 , - 3 , 5)
= (1 , 6 , - 9) ; «»BA = (- 1 , - 6 , 9) ;
4.2. A + «»AB = B1 (2 , 3 , - 4) ;
B + «»BA = A1 (1 , - 3 , 5) .
5.1. »u = (- 10 , 6) ;
\\»u|\=�100 +�36� =�136� =�4 * 34� = 2�34� ;
5.2. »v = �- �12
� , 4� ;
\\»v|\= ��14
� + 16� = ��645�� =�
�265�� ;
5.3. A1 (- 1 , 2) ; B1 (- 5 , - 3)
»w = «»AB = (- 4 , - 5) ;
\\»w|\ =�16 + 2�5� =�41� ;
5.4. »s = (- 1 , 4 , 3) ; \\»s|\=�1 + 16� + 9� =�26� .
6.1. »u = (2 , 3) ; »v = (- 1 ; - 1,5) Pág. 89»u = - 2»v»u e »v são colineares;
6.2. »u = (2 , - 2 , 6) ; »v = (- 1 , - 2 , 3)
»u = k»v § (2 , - 2 , 6) = k (- 1 , - 2 , 3)
§
§ k = - 2 ‹ k = 1 ‹ k = 2 (impossível)
»u e »v não são colineares;
6.3. »u = (0,1 ; 0,2 ; 0,3) ; »v = (5 , 10 , 15)
»v = 50»u
»u e »v são colineares.
7. »u = (4 , - 1 , 6) ; »v = (6 , a , b)
»v = k»u § (6 , a , b) = k (4 , - 1 , 6)
§
a = - �32
� ; b = 9 .
8. »u = (1 , 0 , �3�) ; »v = k»u e \\»v|\= 1
»v = k»u = (k , 0 , �3�k)
\\»v|\= 1 § �k2 + 02� + (��3�k)2� = 1
§ �4k2� = 1 § 2 \k|= 1 § k = ¿ �12
�
»v = ��12
� , 0 , ��23��� ou »v = �- �
12
� , 0 , - ��23��� .
9.1. A1 (- 1 , 6) ; B1 (1,5 ; 6)
M1 ��- 1 +2
1,5� , �
6 +2
6�� = ��
14
� , 6� ;
9.2. A1 (- 1 , 5) ; B1 (2 ; - 3)
M1 ��- 12+ 2� , �
5-2
3�� = ��
12
� , 1� ;
9.3. A1 (- 1 , 3 , 6) ; B1 (6 , - 9 , - 9)
M1 ��- 12+ 6� , �
3 -2
9� , �
6 -2
9��= ��
52
� , - 3 , - �32
�� ;
9.4. A1 (- 1 , 0 , 2) ; B1 �- �12
� , 0 , �13
��
M1 � , �0 +
20
� , �= �- �
34
� , 0 , �76
�� .
2 + �13
�
�2
- 1 - �12
�
�2
k = �32
�
a = - �32
�
b = 9
addbddc
6 = 4k
a = - �32
� §
b = 6k
adbdc
2 = - k
- 2 = - 2k
6 = 3k
adbdc
26
Geometria II
10.1. »a.»b = 5 * 4 * cos (38°) Pág. 92= 20 cos (38°) ) 15,76 ;
10.2. »a.»b = 3 * 4 * cos 90° = 0 ;
10.3. »a.»b = 6,2 * 8,3 * cos (132°)
= 51,46 cos (132°) ) - 34,43 ;
10.4. »a.»b = 3 * 3,2 * cos ��45π� rad�
= 9,6 cos ��45π� rad� ) - 7,77 ;
10.5. »a.»b = 4 * 3 * cos π = - 12 ;
10.6. »a.»b = 6 * 4 * cos (1 rad) ) 12,97 .
11.1. tan (ABWC) = �32
� ; Pág. 94
11.2. ABWC = tan-1 ��32
�� ) 56,31° ;
11.3. B�C�2 = 22 + 32 § B�C� =�13�
cos (ABWC) = =�2 �
1313�� ;
11.4. DCWB = 90° + 90° - ABWC ) 123,69° ;
11.5. «»DC.«»CB = \\«»DC|\ \\«»CB \\ cos (DCWB)
= 5 *�13� cos (180 - ABWC)
= - 5 *�13� cos ABWC
= - 5 *�13� * 2 = - 10 ;
11.6. «»AB.«»CD = \\«»AB \\ \\«»CD \\ cos («»AB ,W «»CD )= 7 * 5 * (- 1) = - 35 ;
11.7. «»AB.«»DC = \\«»AB \\ \\«»DC \\ cos («»AB ,W «»DC )= 7 * 5 * 1 = 35 ;
11.8. «»AB.«»AD = 0 porque «»AB Y «»AD .
12.1. (»u - »v ).»w = [»u + (- »v )].»w Pág. 95= »u.»w + (- »v ).»w
= »u.»w + (- »v.»w ) = »u.»w - »v.»w .
12.2. \\»u + »v \\2 = (»u + »v ).(»u + »v ) \\»a \\2 = »a.»a
= »u.»u + »u.»v + »v.»u + »v.»v
= \\»u|\2 + \\»v|\2 + 2»u.»v .
13. (»u + »v ).(»u - »v ) = »u.»u - »u.»v + »v.»u - »v.»v
= \\»u|\2 - \\»v|\2
»u + »v e »u - »v são ortogonais
§ (»u.»v ).(»u - »v ) = 0
§ \\»u|\2 - \\»v|\2 = 0
§ \\»u|\2 = \\»v|\2 ‚M\\»u|\ ≥ 0 e \\»v|\ ≥ 0
§ \\»u|\ = \\»v|\ .
14. Seja [ABCD] um losango
«»AC.«»BD
= («»AB + «»BC ).(«»BC + «»CD ) ‚M«»CD = - «»AB
= («»AB + «»BC ).(«»BC - «»AB )
= «»AB.«»BC - «»AB.«»AB + «»BC.«»BC - «»BC.«»AB
= «»AB.«»BC - «»AB.«»BC - \\«»AB \\2 + \\«»BC \\2 ‚M\\«»AB \\= \\«»BC \\
= 0 - \\«»AB \\2 + \\«»AB \\2
= 0
«»AC.«»BD = 0 ± «»AC Y «»BD
Logo, as diagonais [AC] e [BD] são perpendi-
culares.
15.1. Pág. 98
15.2. \\»u|\ =�4 + 25� =�29� ;
\\»v|\ =�9 + 4� =�13� ;
\\»w|\ =�4 + 25� =�29� ;
15.3. »u.»v = (- 2 , 5).(3 , 2) = - 6 + 10 = 4;»v.»w = (3 , 2).(2 , - 5) = 6 - 10 = - 4 ;»u.»w = (- 2 , 5).(2 , - 5) = - 4 - 25 = - 29;
15.4. a) cos (»u ,W »v ) = =
± (»u ,W »v ) ) (78,11)° ;
b) cos (»v ,W »w) = = -
± (»v ,W »w) ) (101,89)° ;
c) cos (»u ,W »w) = = - 1
± (»u ,W »w) ) 180° .
- 29���29� *�29�
4��377�
- 4���13� *�29�
4��377�
4���29� *�13�
0-2 2
2
5
-5
3 x
y
u
w
u = (-2, 5)
v
v = (3, 2)
w = (2, -5)
A
B
C
D
�13��
13
2��13�
27
3 Produto escalar no plano e no espaço
16. A1 (3 , 4) ; B1 (- 2 , 1) e
C1 (- 4 , - 2) ;
16.1. «»AB = B - A = (- 5 , - 3) ; «»BC = C - B = (- 2 , - 3)
«»AC = C - A = (- 7 , - 6) ; «»BA = - «»AB = (5 , 3) ;
a) «»AB.«»BC = (- 5 , - 3).(- 2 , - 3)= 10+ 9= 19 ;
b) «»AC.«»BA = (- 7 , - 6).(5 , 3)
= - 35 - 18 = - 53 ;
16.2. cos («»AB ,W «»BC ) =
= =
± («»AB ,W «»BC ) ) 25,35° .
17. »u = (4 , 2)
17.1. Por exemplo: »a = (2 , 4) , »b = (- 2 , 4) e »c = (4 , - 8) ;
17.2. Seja »n = (a , b) e »n Y »u»n Y »u § (a , b).(4 , 2) = 0
§ 4a + 2b = 0 § 2a + b = 0 § b = - 2a»n = (a , - 2a) , para a å {0} , define a
família de vectores perpendiculares a »u .
18. cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b Pág. 99cos (a + b) = cos [a - (- b)] =
= cos a cos (- b) + sin a sin (- b) = ‚M
cos (- b) = cos bsin (- b)= cos a cos b - sin a sin b
19. Pelo teorema dos co-senos
• x2 = 152 + 102 - 2 * 15 * 10 * cos (50°)
§ x =�325 -�300 co�s (50°�)�
§ x ) 11,50 cm
• 102 = 152 + 11,52 - 2 * 15 * 11,5 cos y
§ 345 cos y = 257,25
§ y = cos- 1 ��25374,525
�� ) 41,8° .
20. A1 (4 , 3) ; B1 (- 2 , 1) Pág. 101
20.1. «»AB = B - A = (- 6 , - 2)
(- 6 , - 2) ;
20.2. a) Seja M o ponto médio de [AB]
M1 (1 , 2)
Seja P (x , y) um ponto da mediatriz de [AB]
«»MP .«»AB = 0
§ (x - 1 , y - 2).(- 6 , - 2) = 0
§ - 6 (x - 1) - 2 (y - 2) = 0
§ - 6x + 6 - 2y + 4 = 0
§ 3x + y - 5 = 0 ;
b) «»AP.«»BP = 0
§ (x - 4 , y - 3).(x + 2 , y - 1) = 0
§ (x - 4) (x + 2) + (y - 3) (y - 1) = 0
§ x2 + 2x - 4x - 8 + y2 - y - 3y + 3 = 0
§ x2 + y2 - 2x - 4y - 5 = 0 ;
c) «»BP.«»AB = 0
§ (x + 2 , y - 1).(- 6, - 2) = 0
§ - 6x - 12 - 2y + 2 = 0
§ 3x + y + 5 = 0 .
21. A1 (1 , 0) ; B1 (- 1 , 4)
21.1. Ponto médio de [AB] : M1 (0 , 2)
«»AB = (- 2 , 4)
«»MP.«»AB = 0
§ (x , y - 2).(- 2 , 4) = 0
§ - 2x + 4y - 8 = 0
§ x - 2y + 4 = 0 ;BA
M (0, 2)
P (x, y)
A B (-2, 1)
P (x, y)
A(4, 3)
P (x, y)
B(-2, 1)
A BM
P (x, y)
A
C
B
10 cm x
15 cm
50º y
19��442�
19���25 + 9� �4 + 9�
«»AB.«»BC��||«»AB||.||«»BC||
28
Geometria II
21.2.
[CB] é um diâmetro da circunferência sendo
C = A + «»BA = (1 , 0) + (2 , - 4) = (3 , - 4)
«»CP.«»BP = 0
§ (x - 3 , y + 4).(x + 1 , y - 4) = 0
§ x2 + y2 - 2x - 19 = 0
ou circunferência de centro A1 (1 , 0)
e raio \\«»AB \\ =�4 + 16� =�20� :
(x - 1)2 + y2 = 20 § x2 + y2 - 2x - 19 = 0 ;
21.3.
«»AP.«»AB = 0 § (x - 1 , y).(- 2 , 4) = 0
§ - 2x + 2 + 4y = 0 § x - 2y - 1 = 0 ;
21.4.
Recta s :
«»OP.«»AB = 0 § (x , y).(- 2 , 4) = 0
§ - 2x + 4y = 0 § x - 2y = 0 .
22. »a = (- 1 , 0 , 2) ; »b = (- 3 , 5, 4) Pág. 103
cos (»a ,W »b ) =
= =
± (»a ,W »b ) ) (45,92)° .
23. »a = (- 1 , 0 , 2) ; \\»a|\= 5
Por exemplo: »b = (2 , 0 , 1) »a.»b = 0 e \\»b \\= 5 .
24. »a = (»i - »j + »k ) ; »a = � , - , �»b = (»j + »k ) ; »b = �0 , , �»c = (- 2»i - »j + »k ) ;
»c = �- , - , �»a.»b = � , - , �.�0 , , �= 0 - + = 0
»a.»b = 0 ± »a Y »b .
»a.»c = � ,- , �.�- ,- , �= - + + = 0
»a.»c = 0 ± »a Y »c .
»c.»b = �- , - , �.�0 , , �= 0 - + = 0
»c.»b = 0 ± »c Y »b .
1.1. Pág. 106
«»AB.«»BC = 0 porque «»AB Y «»BC ;
1.2. «»AB.«»DC = \\«»AB \\ \\«»DC \\ cos («»AB ,W «»DC )= 5 * 5 * cos 0° = 25° ;
1.3. \\«»BD \\= \\«»AC \\=�52 + 52� = 5 �2�
«»AB.«»BD = \\«»AB \\ \\«»BD \\ cos («»AB ,W «»BD)= 5 * 5 �2� * cos (90° + 45°)
= 25 �2� * �- ��22���
= - 25 ;
1.4. «»AO.«»DC = \\«»AO \\ \\«»DC \\ cos («»AO ,W «»DC )
= * 5 * cos (45°)
= *
= 12,5 .
�2��
225 �2��
2
5 �2��
2
D
A
C
B
O
5 cm
1��2�
1��2�
1��2�
1��2�
1��6�
1��6�
2��6�
1��18�
1��18�
2��18�
1��6�
1��6�
2��6�
1��3�
1��3�
1��3�
1��6�
1��6�
1��2�
1��2�
1��3�
1��3�
1��3�
1��6�
1��6�
2��6�
1��6�
1��2�
1��2�
1��2�
1��3�
1��3�
1��3�
1��3�
11��250�
3 + 8���5� �50�
(- 1 , 0 , 2).(- 3 , 5 , 4)����1 + 0 +� 4� �9 + 25� + 16�
AB
rO (0, 0)
s
P (x, y)
P (x, y)
B (-1, 4)A (1, 0)
C (3, -4)
P (x, y)
B (-1, 4)A
29
3 Produto escalar no plano e no espaço
2.1.
«»AB.«»BC = \\«»AB \\ \\«»BC \\ cos («»AB ,W «»BC )= 1 * 1 * cos 60° = �
12
� ;
2.2. «»OF.«»AO = \\«»OF \\ \\«»AO \\ cos («»OF ,W «»AO)= 1 * 1 * cos 120° = - �
12
� ;
2.3. «»AO.«»OC = \\«»AO \\ \\«»OC \\ cos («»AO ,W «»OC )= 1 * 1 * cos 60° = �
12
� .
3. »a = (1 , 0 , 3) , »b = (2 , - 5 , 0) , »c = (0 , 1 , - 3)
3.1. »a.»b = (1 , 0 , 3).(2 , - 5 , 0) = 2 + 0 + 0 = 2 ;
3.2. »a.»c = (1 , 0 , 3).(0 , 1 , - 3) = 0 + 0 - 9 = - 9 ;
3.3. »b.»c = (2 , - 5 , 0).(0 , 1 , - 3) = 0 - 5 + 0 = - 5 .
4. »u = (1 , 1 , 3) , »v = (0 , 2 , 1)
»u.»v = 0 + 2 + 3 = 5 ;
\\»u|\ =�1 + 1 +� 9� =�11� ;
\\»v|\ =�0 + 4 +� 1� =�5� ;
4.1. - 2»u.»v = - 2 * 5 = - 10 ;
4.2. (»u - »v ).(»v + »u ) = »u.»v� + »u.»u - »v.»v - »v.»u�
= \\»u|\2 - \\»v|\2 = 11 - 5 = 6 ;
4.3. (»u - 2»v ).(»u + 2»v ) = \\»u|\2 - 4 \\»v|\2
= 11 - 4 * 5 = - 9 ;
4.4. »O.(»v + 10»u) - »u.(3»v) = O - 3»u.»v = - 3 * 5 = - 15 .
5.1. 3»u.(4»u + 6»v ) = 12»u.»u + 18»u.»v
= 12 * \\»u|\2 + 18 * (- 1)
= 12 * 9 - 18 = 90 ;
5.2. (3»u + »v ).(5»u - »v )= 15»u.»u - 3»u.»v + 5»v.»u - »v.»v
= 15 \\»u|\2 + 2»u.»v - \\»v|\2
= 15 * 4 + 2 * 0 - 1 = 59 .
6. \\»u||= 3 ; \\»v||= 1 , cos (»u ,W »v ) = �13
� .
(k»u + 2»v ) Y »u § (k»u + 2»v ).»u = 0
§ k»u.»u + 2»v.»u = 0
§ k \\»u||2 + 2 \\»u|| \\»v||cos (»u ,W »v ) = 0
§ 9k + 2 * 1 * 3 * �13
� = 0 § 9k + 2 = 0
§ k = - �29
� .
7. Seja »a = (1 , - 3) . Por exemplo, o vector »b = (3 , 1) é perpendicular a »a .
Seja »u tal que »u = k»b e \\»u||= 5
»u = k (3 , 1) = (3k , k)
\\»u||= 5 § �9k2 + k�2� = 5
§ �10k2� = 5 § \k|�10� = 5
§ |k|= § k = ¿
§ k = ¿
Para k = tem-se »u = � , � ,
por exemplo.
8. »a = (4 , 6) - (1 , 4) = (3 , 2)
»b = (3 , 2) - (7 , - 2) = (- 4 , 4)
cos (»a ,W »b ) = =
= = =
(»a ,W »b ) = cos- 1 � � ) 101,31° .
(101,31)° (2 c. d.) .
9. »u = (1 , 3) e »v = (- 5 , 6)
9.1. »u.»v = (1 , 3).(- 5 , 6) = - 5 + 18 = 13 ;
9.2. cos (»u ,W »v ) = =
=
(»u ,W »v ) = cos- 1 � � ) (58,24)° .
10. L (5 , 5) ; U (1 , 1) ; A (5 , 0) Pág. 107«»UL = (4 , 4) ; «»UA = (4 , - 1) ; «»LA = (0 , - 5)
• cos («»UL ,W «»UA ) =
= =
=
(«»UL ,W «»UA ) = cos- 1 � � ) 59°
• cos («»LU ,W «»LA ) =
= = =
(«»LU ,W «»LA ) = 45°
• («»AU ,W «»AL ) ) 180 - 59° - 45° = 76°
UW ) 59° ; LW = 45° ; AW ) 76° .
�2��
220
��4 �2� * 5
(- 4 , 4).(0 , - 5)���
�16 + 1�6�.5
«»LU.«»LA��||«»LU||||«»LA||
12��544�
12��544�
16 - 4���32� �17�
(4 , 4).(4 , - 1)����16 + 1�6� *�16 + 1�
«»UL.«»UA��||«»UL||||«»UA||
13��610�
13��610�
13����1 + 9� �25 + 3�6�
»u.»v��||»u||||»v||
- 1��26�
- 1��26�
- 4���13� * 4 �2�
- 12 + 8���13� �32�
(3 , 2).(- 4 , 4)����9 + 4� �16 + 1�6�
»a.»b��||»a||||»b||
�10��
23 �10��
2�10��
2
�10��
2
5 �10��
105
��10�
A B
CF
E D
O
60º
30
Geometria II
11. \\»u||=�5� ; \\»v||= 1 ; (»u ,W »v ) = 45° ;
»a = »u + »v ; »b = »u - »v
cos (»a ,W »b ) =
=
=
= =
(»a ,W »b ) = cos- 1 � � ) (38,33)° .
12.1.
(M�I�)2+ (I�P�)2
= (M�P�)2
§ M�I�2 + ��12
� M�I��2
= 5 § �54
� (M�I�)2= 5
§ M�I�2 = 4 §M�I�2 > 0
M�I� = 2 ;
12.2. «»MP = «»MI + «»IP = «»MI + �12
� «»MA
= «»MI - �12
� «»AM ;
12.3. cos a = sin (90 - a) = sin («»MI ,W «»MP) =
= = ��55�� ;
12.4. «»AM.«»MP = - «»MA.«»MP = - \\«»MA \\ * \\«»MP \\cos a
= - 2 *�5� * ��55�� = - 2
13. «»AB.«»BC + «»BC.«»CA + «»CA.«»AB
= - «»BA.«»BC - «»CB.«»CA - «»AC.«»AB
= - 1 * 1 * cos 60° - 1 * 1 ** cos 60° - 1 * 1 * cos 60°
= - �32
� .
14. \\»u + »v||2 = (»u + »v ).(»u + »v )
\\»u + »v||2 = »u.»u + »u.»v + »v.»u + »v.»v
\\»u + »v||2 = \\»u||2 + 2»u.»v + \\»v||2
Logo, 2»u.»v = \\»u + »v||2 - \\»u||2 - \\»v||2
15.1. «»OC.«»OE = \\«»OC \\ * \\«»OE \\ cos («»OC ,W «»OE)= r * r cos (2 * 72°)
= r 2 cos (144)° ) - 0,81 r 2
15.2. «»EC.«»CD = - «»CE.«»CD
= - \\«»CE \\ * \\«»CD \\ cos («»CE ,W «»CD)= 2 L cos (36)° * L cos (36)°
�C�LM�� = cos (36)° ; C�M� = L cos (36)° ; C�E� = 2L cos (36)°
= 2 L2 cos2 (36) ) - 1,31 L2
15.3. E�C� = 12 cm
15.3.1. E�C� = 2L cos (36)°
12 = 2L cos (36)° § L =�cos (
636)°�
\\«»ED \\ =�cos (
636)°� cm ) 7,42 cm ;
15.3.2. «»EC.«»ED = \\«»EC \\ * \\«»ED \\ cos («»EC ,W «»ED)= 12 *�
cos (636)°� * cos (36)°
= 72 ;
15.3.3. «»EC.«»DC = - «»CE.(- «»CD) = «»CE.«»CD
= \\«»CE \\ * \\«»CD \\ cos («»CE ,W «»CD)= 12 *�
cos (636)°� * cos (36)°
= 72 .
16. A1 (0 , 3) ; Pág. 108B1 (- 2 , 1) ; P (x , y)
16.1. M1 ��0 -22
� , �3 +
21
�� = (- 1 , 2) ;
«»MP.«»AB = 0 § (x + 1 , y - 2).(- 2 , 2) = 0
§ - 2x - 2 - 2y + 4 = 0
§ x + y - 1 = 0 § y = - x + 1 ;
A B
D
E
108º
O 72ºrM
54º
36º
L
C
L
A B
C
1
1
1
60º
60º
60º
1��5�
I�P���5�
M
A
I
N
P
aa
90 – a
V√5
4��26�
4��26�
4���36 - 1�0�
4����(6 +��10�) (6� -�1�0�)�
4����6 +��10��.�6 -��10��
»a.»b = (»u + »v ).(»u - »v ) = \\»u||2 - \\»v||2
= 5 - 1 = 4
\\»a|| = �»a.»a� = �(»u + »v)�.(»u +�»v )�= �\\»u||2 +� 2»u.»v�+ \\»v||�2�=�5 + 2 ��5� - 1�cos 45�° + 1� =�6 +��10��
\\»b|| = �»b.»b� = �(»u - »v)�.(»u -�»v )� =
= �\\»u||2 -� 2»u.»v�+ \\»v||�2� =�6 -��10��
»a.»b��||»a||||»b||
31
3 Produto escalar no plano e no espaço
16.2. «»AP.«»BP = 0 § (x , y - 3).(x + 2 , y - 1) = 0
§ x2 + 2x + y2 - y - 3y + 3 = 0
§ x2 + y2 + 2x - 4y + 3 = 0 .
17. (x + 1)2 + (y - 1)2 = 5
17.1. (1 + 1)2 + (2 - 1)2 = 5 § 4 + 1 = 5
§ 5 = 5 ; A å C ;
17.2. O1 (- 1 , 1) é o centro da circunferência C .
«»AP.«»OA = 0 § (x - 1 , y - 2).(2 , 1) = 0
§ 2x - 2 + y - 2 = 0
§ y = - 2x + 4 .
18. Seja [ABCDEFGH] um cubo de aresta a .
F�C� =�a2 + a2� =�2�a ;
F�D� =�a2 + a2� + a2� =�3�a
18.1. cos («»FD ,W «»FG ) =
«»FD.«»FG = («»FG + «»GD ).«»FG
= «»FG.«»FG + «»FG.«»GD ‚M«»FG Y «»GD
= \\«»FG \\2+ 0
= a2
cos («»FD ,W «»FG ) = =
(«»FD ,W «»FG ) = cos- 1 � � ) (54,74)° ;
18.2. cos («»FD ,W «»FC ) =
«»FD.«»FC = («»FC + «»CD ).«»FC= «»FC.«»FC + «»CD.«»FC ‚
M«»CD Y «»FC
= \\«»FC \\2+ 0 = (�2�a)2 = 2a2
cos («»FD ,W «»FC ) = =
(«»FD ,W «»FC ) = cos- 1 � � ) (35,26)° .
19. W = 20 * 60 * cos 60° = 600 J .
20.
�1v5x
0� = cos (220°) § vx = 150 cos (220°)
�1v5y
0� = sin (220°) § vy = 150 sin (220°)
»v = (150 cos (220°) , 150 sin (220°))
) (- 114,91 ; - 96,42) .
21. A1 (2 , 2 , 3) ; Pág. 109B1 (0 , - 2 , 1) ; P (x , y , z)
21.1. «»AP.«»BP = 0 define a superfície esférica de diâ-
metro [AB]
(x - 2 , y - 2 , z - 3).(x , y + 2 , z - 1) = 0
§ x2 - 2x + y2 - 4 + z2 - z - 3z + 3 = 0
§ x2 + y2 + z2 - 2x - 4z - 1 = 0
Superfície esférica de diâmetro [AB] :
x2 + y2 + z2 - 2x - 4z - 1 = 0 ;
21.2. M1 (1 , 0 , 2)
«»MP.«»AB = 0 define o plano mediador de [AB] .
(x - 1 , y , z - 2).(- 2 , 4 , - 2) = 0
§ - 2x + 2 - 4y - 2z + 4 = 0
§ x + 2y + z - 3 = 0
Plano mediador de [AB] : x + 2y + z - 3 = 0 .
22.
�2v0x� = cos (52°) § vx = 20 cos (52°)
�2v0y� = sin (52°) § vy = 20 sin (52°)
»v = (20 cos (52°) , 20 sin (52°))
) (12,31 ; 15,76) .
20
52ºx
y
vy
vx
220º
150
vx
vy
2��6�
2��6�
2a2
���3�a.�2�a
«»FD.«»FC��||«»FD||||«»FC||
1��3�
1��3�
a2
��3�a.a
«»FD.«»FG��||«»FD||||«»FG||
A B
CD
FE
GH
O (-1, 1)
P (x, y)
A (1, 2)
32
Geometria II
23.
||»P||= 60 * 9,8 = 588 N
= sin 30°
||»F '||=||»P||sin 30°
||»F '||= 588 * �12
�
||»F '||= 294 N
Logo, F > 294 N .
24. »u = (5 , 2) ; »v = (4 , 5)
24.1. »u + »v = (9 , 7) = »r
\\»u + »v||=�81 + 4�9� =�130� ) 11,40 ;
24.2. cos (»r ,W »i ) =
= =
(»r ,W »i ) = cos- 1 � � ) 38° .
4 Complementos de geometria analíticano plano
1.1. A1 (4 , 1) ; B1 (5 , 3) ; Pág. 115C1 (2 , 3) ; D1 (2 , 6) ;
E1 (- 5 , 2) ; F1 (- 5 , 6) ;
G1 (- 2 , 2) ;
1.2. a) mAB =�35--
14
� = 2 ;
b) mAC =�32--
14
� = �-22� = - 1 ;
c) mBD =�62--
35
� = �-33� = - 1 ;
d) mFD =�-65--62
� = 0 ;
e) Não está definido;
f) mEG =�-22-+25
� = 0 ;
1.3. AB : m = 2 ; A1 (4 , 1)
y - 1 = 2 (x - 4) § y = 2x - 8 + 1
§ y = 2x - 7
AC : m = - 1 ; A1 (4 , 1)
y - 1 = - 1 (x - 4) § y = - x + 4 + 1
§ y = - x + 5
BD : m = - 1 ; B1 (5 , 3)
y - 3 = - 1 (x - 5) § y = - x + 5 + 3
§ y = - x + 8
FD : m = 0 ; F1 (- 5 , 6)
y = 6
EF : É uma recta vertical: x = - 5
EG : m = 0 ; E1 (- 5 , 2)
y = 2 .
2.1. P1 (- 1 , 2) ; m = - �12
�
y - 2 = - �12
� (x + 1) § y = - �12
� x - �12
� + 2
§ y = - �12
� x + �32
� ;
2.2. P1 �0 , - �13
�� ; m = - 2
y + �13
� = - 2 (x - 0) § y = - 2x - �13
� .
3. m = - 3 ; A1 (- 1 , 0)
y - 0 = - 3 (x + 1) § y = - 3x - 3
4.1. A1 (- 1 , 0) ; B1 (- 3 , 0) ;
m =�-03-+01
� = 0 ; y = 0 ;
4.2. A1 �0 , �12
�� ; B1 (- 5 , 3) ;
m = = - �12
�
y - �12
� = - �12
� (x - 0) § y = - �12
� x + �12
� ;
4.3. A1 (- 1 , 0) ; B1 (- 2 , - 5) ;
m =�--
52-+
01
� = 5
y - 0 = 5 (x + 1) § y = 5x + 5 .
5. a : Recta vertical x = 3 ;
b : Recta vertical x = - 4 ;
c : (0 , 0) ; (1 , 1) ; m = 1 ; y = x ;
d : (0 , 0) ; (- 4 , 4) ; m = - 1 ; y = - x ;
e : (- 4 , 4) ; (3 , 4) ; m = 0 ; y = 4 ;
f : Recta horizontal y = - 1 .
3 - �12
�
�- 5 - 0
1
-3
-1 0
y
x
y = -3x - 3
9��130�
9��130�
(9 , 7).(1 , 0)���81 + 4�9� * 1
»r.»i��\\»r|| * \\»i||
||»F '||�||»P||
30º
30º
P
F’
F
33M11FNAGP - 3
4 Complementos de geometria analítica no plano
g : (- 4 , 4) ; (- 6 , 2) ;
m =�-26-+44
� = �--
22� = 1
y - 4 = 1 (x + 4) § y = x + 8
h : (3 , 4) ; (5 , 3) ;
m =�35--
43
� = - �12
�
y - 4 = - �12
� (x - 3) § y = - �12
� x + �32
� + 4
§ y = - �12
� x + �121� .
6.1. A1 (- 1 , 2) ; Pág. 116»v = (3 , - 1)
• Vectorial:
(x , y) = (- 1 , 2) + k (3 , - 1) , k å R ;
• Reduzida: m = - �13
� ;
y - 2 = - �13
� (x + 1) § y = - �13
� x + �53
� ;
6.2. A1 (- 2 , 0) ; »v = �- 1 , �12
��• Vectorial:
(x , y) = (- 2 , 0) + k �- 1 , �12
�� , k å R ;
• Reduzida: m = - �12
� ;
y - 0 = - �12
� (x + 2) § y = - �12
� x - 1 .
7. A1 (2 , 4) ; B1 (- 1 , 2)
7.1. «»AB = B - A = (- 3 , - 2) ;
7.2. a) • Vectorial:
(x , y) = (2 , 4) + k (- 3 , - 2) , k å R ;
• Reduzida: m = �23
� ;
y - 4 = �23
� (x - 2) § y = �23
� x + �83
� ;
b) P 1 (1 , 0)
• Vectorial:
(x , y) = (1 , 0) + k (- 3 , - 2) , k å R ;
• Reduzida: m = �23
� ;
y - 0 = �23
� (x - 1) § y = �23
� x - �23
� .
8.1. r : (0 , 3) + k (1 , 3) , k å R ; Pág. 119
s : (x , y) = (- 1 , 5) + k (- 1 , 2) , k å R
»r = (1 , 3) ; »s = (- 1 , 2)
cos a = =
= = ��22�� ± a = 45° ;
8.2. r : y = 2x + 1 ; s = - 3x
»r = (1 , 2) ; »s = (1 , - 3)
cos a = =
= = ��22�� ± a = 45° ;
8.3. r : x + y - 1 = 0 ; s : y = x + 2
»r = (1 , - 1) ; »s = (1 , 1)
cos a = = 0
± a = 90° ;
8.4. r : y = 2x + 3 ; s : y = 2x - 3
r // s ; (r ,W s) = 0° .
9. A1 (4 , 1) ; B1 (0 , 2) ; C1 (- 2 , - 2)
«»BC = (- 2 , - 4) ; «»BA = (4 , - 1) ; «»CA = (6 , 3)
cos («»BC ,W «»BA) =
= =
± («»BC ,W «»BA) ) (102,529)°
cos («»CB ,W «»CA) =
= = �2340� = �
45
�
± («»CB ,W «»CA) ) (36,870)°
(«»AC ,W «»AB) ) 180° - 102,529° - 36,870° = (40,601)°
AW ) (40,601)° ; BW ) (102,529)° ; CW ) (36,870)° .
10. r : y = x ; »r = (1 , 1)
s : (�3� - 1) x + (�3� + 1) y =�3� ;
»s = (�3� + 1 , -�3� + 1)»r.»s = (�3� + 1) + (-�3� + 1) = 2
\\»r||=�2�
\\»s||=�(�3� + 1)�2+ (-�3�� + 1)2� =
=�3 + 1 +� 2 �3�� + 3 +�1 - 2 ��3�� = 2 �2�
cos a = = = �12
�
± a = 60° .
11.1. a : y = - 3x + 1 Pág. 120a = tan- 1 (- 3) + 180° ) (108,43)° ;
11.2. b : y = 2x + �12
�
a = tan- 1 (2) ) 63,43° ;
2���2� * 2 �2�
|»r.»s|��||»r||||»s||
12 + 12���20� �45�
(2 , 4).(6 , 3)���20� �36 + 9�
- 4��340�
- 8 + 4���20� �17�
(- 2 , - 4).(4 , - 1)����4 + 16� *�16 + 1�
|(1 , - 1).(1 , 1)|���
�1 + 1� *�1 + 1�
5�5 �2�
|1 - 6|���5� �10�
|(1 , 2).(1 , - 3)|���
�1 + 4� *�1 + 9�
5�5 �2�
|- 1 + 6|���10� �5�
|(1 , 3).(- 1 , 2)|���
�1 + 9� *�1 + 4�
34
Geometria II
11.3. c : x + 2y - 2 = 0 § 2y = - x + 2
§ y = - �12
� x + 1
a = tan- 1 �- �12
�� + 180 ) 153,43° ;
11.4. d : y = - 2x
a = tan- 1 (- 2) + 180 ) 116,57° ;
11.5. e : y = - 50
a = tan- 1 (0) = 0° ;
11.6. f : x = 1800
O declive não está definido; a = 90° .
12. A1 (- 1 , 5)
12.1. m = tan ��π3
� rad� =�3�
y - 5 =�3� (x + 1) § y =�3�x +�3� + 5
y =�3�x +�3� + 5 ;
12.2. m = tan (1 rad) ) 1,56 (2 c. d.)
y - 5 = 1,56 (x + 1)
§ y = 1,56x + 6,56 (2 c. d.) ;
12.3. m = tan (45°) = 1
y - 5 = 1 (x + 1) § y = x + 6 ;
12.4. m = tan (15°) ) 0,27
y - 5 = 0,27 (x + 1)
§ y = 0,27x + 5,27 (2 c. d.)
13.1. - 1 ; Pág. 124
13.2. �12
� ;
13.3. �15
� ;
13.4. - 2 ;
13.5. - ��22�� ;
13.6. =
= = - - �12
� ;
13.7. =
=�-�22�--3�3�
� =�2� +�3� .
14. y = �12
� x ; y = �12
� x + 1 ; y = �12
� x + 2 ;
y = �12
� x - 1 ; y = �12
� x - 2 (por exemplo).
15. A1 (1 , 5) ; m = 2
y - 5 = 2 (x - 1) § y = 2x + 3 .
16. A1 (- 1 , 3) Pág. 125
16.1. y = �12
� x - �12
� ; m = - 2
y - 3 = - 2 (x + 1) § y = - 2x + 1 ;
16.2. �x -
31
� =�y +
21
� § 2x - 2 = 3y + 3
§ y = �23
� x - �53
� ; m = - �32
�
y - 3 = - �32
� (x + 1) § y = - �32
� x + �32
� ;
16.3. x = 100 ; y = 3 ;
16.4. y = - 5 ; x = - 1 ;
16.5. 2x + 3y - 1 = 0 § y = - �23
� x + �13
� ; m = �32
�
y - 3 = �32
� (x + 1) § y = �32
� x + �92
� ;
16.6. - �2x
� =�y -
53
� + 1 § - 5x = 2y - 6 + 10
§ 2y = - 5x - 4 § y = - �52
� x - 2 ; m = �25
�
y - 3 = �25
� (x + 1) § y = �25
� x + �157� .
17. A1 (6 , 2) ; B1 (- 3 , - 1) ;
C1 (0 , 7) .
17.1. a) «»AB = B - A = (- 3 - 6 , - 1 - 2) = (- 9 , - 3) ;
b) «»BC = C - B = (0 , 7) - (- 3 , - 1) = (3 , 8) ;
c) «»AC = C - A = (0 , 7) - (6 , 2) = (- 6 , 5) ;
17.2. a) Ponto médio de [AB] : M1 ��32
� , �12
�� ;
P (x , y)
«»MP.«»AB = 0
§ �x - �32
� , y - �12
��.(- 9 , - 3) = 0
§ - 9x + �227� - 3y + �
32
� = 0
§ 3x + y - 5 = 0 ;
b) Ponto médio de [BC] : M1 �- �32
� , 3� ;
P (x , y)
«»MP.«»BC = 0
§ �x + �32
� , y - 3�.(3 , 8) = 0
§ 3x + �92
� + 8y - 24 = 0
§ 3x + 8y - �329� = 0
§ 6x + 16y - 39 = 0 ;
c) Ponto médio de [AC] : M1 �3 , �92
�� ;
P (x , y)
«»MP.«»AC = 0
§ �x - 3 , y - �92
��.(- 6 , 5) = 0
§ - 6x + 18 + 5y - �425� = 0
§ 6x - 5y + �92
� = 0
§ 12x - 10y + 9 = 0 ;
- 1 (�2� +�3�)��(�2� -�3�) (�2� +�3�)
- 1���2� -�3�
�3��
2-�3� - 1��
3 - 1
- 1 (�3� + 1)��(�3� - 1) (�3� + 1)
- 1��3� - 1
35
4 Complementos de geometria analítica no plano
17.3. a) Recta que passa em C 1 (0 , 7) e é
perpendicular a «»AB = (- 9 , - 3) ; m = - 3
y - 7 = - 3 (x - 0) § y = - 3y + 7 ;
b) Recta que passa em A 1 (6 , 2) e é
perpendicular a «»BC = (3 , 8) ; m = - �38
�
y - 2 = - �38
� (x - 6) § y = - �38
� x + �147� ;
c) Recta que passa em B1 (- 3 , - 1) e
é perpendicular a «»AC = (- 6 , 5) ; m = �65
�
y + 1 = �65
� (x + 3) § y = �65
� x + �153� ;
17.4. A1 (6 , 2)
«»BC = (3 , 8) ; m = �83
�
y - 2 = �83
� (x - 6) § y = �83
� x - 14 .
18. r : y = - 2x + 1
s : kx + 3y = 5 § y = - �3k
� x + �53
� ;
18.1. - �3k
� = - 2 § k = 6 ;
18.2. - �3k
� = �12
� § - k = �32
� § k = - �32
� .
19. «»CA = (5 , - 3) ; «»AP = (x - 4 , y)
«»AP.«»CA = 0 § (x - 4 , y).(5 , - 3) = 0
§ 5x - 20 - 3y = 0
§ 3y = 5x - 20
§ y = �53
� x - �230� .
20. A1 (1 , 3) ; r é perpendicular a »v = (- 1 , 2) ;
m = �12
� ; y - 3 = �12
� (x - 1) § y = �12
� x + �52
� .
21. r : y = - 2x + 6 ; »r = (1 , - 2)
21.1.
A1 (0 , 0)
B1 (a , b)
M1 ��2a
� , �2b
��«»AB = (a , b)
21.2. A1 (4 , 6)
B1 (a , b)
M1 ��a +24
� , �b +
26
��«»AB = (a - 4 , b - 6)
21.3. A1 (1 , 2)
B1 (a , b)
M1 ��a +21
� , �b +
22
��«»AB = (a - 1 , b - 2)
; B1 ��153� , �
154�� .
b = �154�
a = �153�
adbdc
§
b = - 2a + 8
a - 2 (- 2a + 8) + 3 = 0
abc
§
b + 2 = - 2a - 2 + 12
a - 1 - 2b + 4 = 0
abc
§
�b +
22
� = - 2 �a +
21
� + 6
(a - 1 , b - 2).(1 , - 2) = 0
adbdc
§M å R«»AB.»r = 0
abc
; B1 �- �152� , �
154�� ;
b = �154�
a = - �152�
adbdc
§
b = - 2a - 2
a - 2 (- 2a - 2) + 8 = 0
abc
§
b + 6 = - 2a - 8 + 12
a - 4 - 2b + 12 = 0
abc
§
�b +
26
� = - 2 �a +
24
� + 6
(a - 4 , b - 6).(1 , - 2) = 0
adbdc
§M å R«»AB.»r = 0
abc
; B1 ��254� , �
152��
b = �152�
a = �254�
adbdc
§
5b = 12
a = 2b
abc
§�2b
� = - 2b + 6
a = 2b
adbdc
§
�2b
� = - 2� �2�a
� + 6
a - 2b = 0
adbdc
§M å R«»AB.»r = 0
abc
A BM
r
A (4, 0)
P (x, y)
(-1, 3)C
36
Geometria II
22.1.Pág. 128
Sistema possível e determinado.
Solução: �5 , �43
�� ;
22.2.
Sistema possível e determinado.
Solução: (1 , - 1) ;
22.3.
Sistema impossível.
As rectas são estritamente paralelas;
22.4.
Sistema possível e determinado.
Solução: (1 , 0) ;
22.5.
Sistema indeterminado.
As rectas são coincidentes;
22.6.
Sistema possível e determinado.
Solução: (3 , 9) .
1 3 x
y
3
6
9
y = x + 6
y = 2x + 3
x = 3
y = 9
abc
§x + 6 = 2x + 3
y = x + 6
abc
§y = 2x + 3
y = x + 6
abc
§
2x - y + 1 = - 2
- 6 - x + y = 0
abc
§x -�
y -2
1� = - 1
- 2 -�x -
3y
� = 0
adbdc
0
1
-1
-1 1
y = -x - 1
y
x
y = - x - 1
y = - x - 1
abc
§- x = y + 1
x + y = - 1
abc
1
y
x
-1
0y = -x + 1
y = x - 11
y = 0
x = 1
abc
§y = - x + 1
x - 1 = - x + 1
abc
§1 - x = y
x - 1 = y
abc
1-1
x
y
0
y = x
- 1y =
x
y = x
0 = - 1
abc
§y = x
y = x - 1
abc
§x - y = 0
2x - 2y = 2
abc
0 4
1
-1
-4
x
y
1
y = x -23
53
y = - x +32
12
3
x = 1
y = - 1
abc
§- �
32
� x + �12
� = �23
� x - �53
�
y = - �32
� x + �12
�
adbdc
§
y = �23
� x - �53
�
y = - �32
� x + �12
�
adbdc
§2x - 3y = 5
3x + 2y = 1
abc
51 x
y
x = 5
y = x -1
3
13
43
0
y = �43
�
x = 5
adbdc
§5 - 3y = 1
x = 5
abc
§
x - 3y = 1
2x - 5 = 5
abc
37
4 Complementos de geometria analítica no plano
23. Por exemplo:
23.1.
23.2.
23.3.
23.4.
24.1. P1 (1 , 3) Pág. 131r : y = - 2x + 5 § 2x + y - 5 = 0
d (P , r) = = 0 ;
P pertence à recta;
24.2. P (0 , 1) é um ponto de r : y = - 3x + 1
s : y = - 3x + 5 § 3x + y - 5 = 0
d (P , s) =
= = = ;
24.3. A1 (4 , 1) ; B1 (1 , - 2) ;
C1 (- 3 , 2)
«»AC = C - A = (- 7 , 1)
Recta AC
y - 1 = - �17
� (x - 4)
§ 7y - 7 = - x + 4 § x + 7y - 11 = 0
h = d (B , AC) = =��2
5
4
0��
A˚ = = = 12 u. a.
1. (A) 0 ≤ a ≤ 90° ; Pág. 134(B) O ângulo das rectas a e b é agudo e o
ângulo dos vectores »u e »v é recto;
(C) Se a é a inclinação de uma recta r e
a 0 90° , o declive de r é tan (a) ;
(D) A inclinação de uma recta é um valor, em
graus, do intervalo [0 , 180[ ;
(F) As rectas não são paralelas porque têm decli-
ves diferentes;
(I) A bissectriz de um ângulo é uma semi-recta.
2. r : x + 7y = 36 ; Q1 ��92
� , �92
��2.1. �
92
� + 7 * �92
� = 36 § 8 * �92
� = 36
§ 4 * 9 = 36 § 36 = 36 ;
2.2. • Seja x o comprimento da semidiagonal do
quadrado.
Então x2 + x2 = 52 § 2x2 = 25
§ x2 = �225� § x = �
�5
2�� .
• »r = (7 , - 1) é um vector director de r .
Então «»QC é colinear com r e \\«»QC|\= ��5
2�� .
«»QC = k (7 , - 1) , k å R
«»QC = (7k , - k)
\\«»QC|\= ��5
2�� § �(7k)2 +� (- k)2� = �
�5
2��
§ �50k2� = ��5
2�� § \k| 5 *�2� = �
�5
2��
§ k = ��5
2�� *�
5�1
2�� § \k|= �
12
�
§ k = - �12
� › k = �12
�
Logo, «»QC = ��72
� , - �12
�� , - «»QC = «»QA = �- �72
� , �12
�� .
As diagonais de um quadrado são perpendicula-
res e bissectam-se. Então, «»QB e «»QD são orto-
gonais a «»QA e «»QC e têm a mesma norma. Ou
seja, «»QB = �- �12
� , - �72
�� e «»QD = ��12
� , �72
�� .
A = Q + «»QA = ��92
� , �92
�� = �- �72
� , �12
�� = (1 , 5)
B = Q + «»QB = ��92
� , �92
�� = �- �12
� , - �72
�� = (4 , 1)
C = Q + «»QC = ��92
� , �92
�� = ��72
� , - �12
�� = (8 , 4)
D = Q + «»QD = ��92
� , �92
�� = ��12
� , �72
�� = (5 , 8)
y
x0
92
92
Q
5
A
B
C
D
r
�49 + 1� *��2
5
4
0��
��2
||«»AC||.h�
2
|1 - 14 - 11|��
�1 + 49�
C
B
A
h
2 �10��
54 �10��
104
��10�
|3 * 0 + 1 - 5|��
�32 + 1�
|2 * 1 + 3 - 5|��
�22 + 1�
y = - x + 2
y = x + 2
abc
y = 2x + 1
y = x + 2
abc
x + y = 1
2x + 2y = 2
abc
y = x
y = x + 1
abc
38
Geometria II
A1 (1 , 5) ; B1 (4 , 1) ;
C1 (8 , 4) ; D1 (5 , 8) .
3.1. »u1 (6 , 4) ; Pág. 135»v1 (6 , 4);
»w1 (- 5 , 3) ;
3.2. \\»w|\=�25 + 9� =�34�
»a = »w = (- 5 , 3)
= � , � , por exemplo.
3.3. cos (»u ,W »w)=
=
= =
(»u ,W »w) = cos- 1 � � ) (115,35)° ;
3.4.1. • A1 (8 , 6) ;
»u = (6 , 4) ; m = �46
� = �23
�
r : y - 6 = �23
� (x - 8) § 3y - 18 = 2x - 16
§ 2x - 3y + 2 = 0
• B1 (- 5 , 3) ;
»w = (- 5 , 3) ; m = - �35
�
s : - 3 = - �35
� (x + 5) § 5y - 15 = - 3x - 15
§ 3x + 5y = 0
r : 2x - 3y + 2 = 0 ; s : 3x + 5y = 0 ;
3.4.2. cos a = =
a = cos- 1 � � ) (64,65)° ;
3.4.3. Inclinação de r : tan- 1 ��23
�� ) (33,69)°
Inclinação de s :
tan- 1 �- �35
�� + 180° ) (149,04)° ;
3.5. A1 (8 , 6)
3.5.1. a = �π2
� rad , t : x = 8 ;
3.5.2. a = 0 rad ; m = tan (0) = 0 ; t : y = 6 ;
3.5.3. a = 2 rad ; m = tan (2) ) - 2,19
t : y - 6 = - 2,19 (x - 8)
§ y = - 2,19x + 23,52 (2 c. d.) ;
3.6. p : 2x + 3y - 5 = 0 ;
»u = (2 , 3) Y »p ;
A1 (8 , 6)
y - 6 = �32
� (x - 8) § y = �32
� x - 6 ;
3.7. »w = (- 5 , 3) ; m = - �35
�
y = - �35
� x § 5y = - 3x § 3x + 5y = 0
A1 (8 , 6)
d = = =
= =�27
1�7
34�� ) 9,26 ;
3.8. Recta OE : «»QE = »u = (6 , 4) ; m = �46
� = �23
�
y = �23
� x § 3y = 2x § 2x - 3y = 0 ;
C1 (2 , 6)
d (CD , OE) = d (C , OE) =
= =�14
1�3
13�� ) 3,88 ;
3.9.
O�E� = \\»u|\=�36 + 1�6� =�52� = 2 �13�
h = d (C , OE) =�14
1�3
13��
A˚ = = 14 u. a.
5 Complementos de geometria analíticano espaço
1.1. ABE : x = 3 ; FOC : x = 0 ; Pág. 138CAD : y = - 3 ; BOF : y = 0 ; ABO : z = 0 ;
DEF : z = 5 ;
1.2. AB : ; BO : ; OC : ;
CA : ; AD : ; BE : ;
OF : ; CG : ; DE : ;
EF : ; FG : ; GD : .
2.1. A1 (- 3 , 1 , 0) ; Pág. 141»u = (- 1 , 1 , 2)
�x-+13
� =�y -
11
� = �2z
� § - x - 3 = y - 1 = �2z
� ;
y = - 3
z = 5abc
x = 0
z = 5abc
y = 0
z = 5abc
x = 3
z = 5abc
x = 0
y = - 3abc
x = 0
y = 0abc
x = 3
y = 0abc
x = 3
y = - 3abc
y = - 3
z = 0abc
x = 0
z = 0abc
y = 0
z = 0abc
x = 3
z = 0abc
2 �13� *�14
1�3
13��
��2
E
O
h
C
14��13�
|2 * 2 - 3 * 6|��
�4 + 9�
54 �34��
34
54��34�
24 + 30�
�34�|3 * 8 + 5 * 6|��
�9 + 25�
18��1768�
18��1768�
|»u.»w|��||»u|| ||»w||
- 18��1768�
- 18��1768�
- 30 + 12���52� �34�
(6 , 4).(- 5 , 3)����36 + 1�6� �25 + 9�
»u.»w��||»u|| ||»w||
3�34��
34- 5�34��
34
�34��
341
��34�
39
5 Complementos de geometria analítica no espaço
2.2. A1 (0 , 1 , 5) ;
»u = (0 , 1 , 6)
;
2.3. A1 (- 2 , - 1 , 0) ;
»u = (2 , 0 , - 1)
.
3.1. �x -
21
� =�y -
31
� = z § �x -
21
� =�y -
31
� =�z -
10
�
A1 (1 , 1 , 0) e »u = (2 , 3 , 1) (p. e.) ;
3.2. �x-+13
� =�y -
21
� = �5z
�
A1 (- 3 , 1 , 0) e »u = (- 1 , 2 , 5) (p. e.) ;
3.3. �4 +
62x
� =�1
2- y� = �
1z
� § �x +
32
� =�y--21
� = �1z
�
A1 (- 2 , 1 , 0) e »u = (3 , - 2 , 1) (p. e.) ;
3.4. �4 +
32x
� =�6 -
22y
� = z + 5
§ =�y--12
� =�z +
15
�
A1 (- 2 , 3 , - 5) e
»u = ��32
� , - 1 , 1� (p. e.) .
4.1. A1 (1 , 2 , 3) ; r : �x -
21
� =�y -
32
� = z ;
»r = (2 , 3 , 1) ; s : �x -
21
� =�y -
32
� = z - 3 ;
4.2. A1 (0 , - 1 , 2) ; r : ;
»r = (0 , 1 , 0) ; s : ; s = r ;
4.3. A1 (- 1 , 1 , 1) ; r : ;
»r = (0 , 1 , 3) ; s : .
5.1. V1 (0 , 0 , h) com h > 0
A1 (3 , 3 , 0) ; A aresta da base mede 6 .
V = �13
� Ab * h § 96 = �13
� * 62 * h § h = 8
Logo, V1 (0 , 0 , 8) ;
5.2. A1 (3 , 3 , 0) ; B1 (- 3 , 3 , 0) ;
C1 (- 3 , - 3 , 0) ; D1 (3 , - 3 , 0) ;
«»AB = «»DC = (- 6 , 0 , 0) ;
«»DA = «»CB = (0 , 6 , 0)
AB : ; BC : ;
CD : ; DA : .
5.3. V1 (0 , 0 , 8)
«»VA = (3 , 3 , - 8)
«»BV = (3 , - 3 , 8)
«»CV = (3 , 3, 8) ;
«»VD = (3 , - 3 , - 8)
VA : �3x
� = �3y
� =�z--88
� ;
BV : �3x
� = �-y3� =�
z -8
8� ;
CV : �3x
� = �3y
� =�z -
88
� ;
VD : �3x
� = �-y3� =�
z--88
� .
6. A1 (2 , 0 , 0) ; Pág. 142B1 (2 , 1 , 0) ; C1 (0 , 1 , 0) ;
E1 (2 , 0 , 3) ; F1 (2 , 1 , 3) ;
G1 (0 , 1 , 3) ; H1 (0 , 0 , 3)
6.1. «»EF = (0 , 1 , 0) ;
«»CB = (2 , 0 , 0)
«»EF.«»CB = 0 ± (EF ,W CB) = 90° ;
6.2. «»HG = (0 , 1 , 0) ;
«»AB = (0 , 1 , 0)
«»HG = «»AB ± (HG ,W AB) = 0° ;
6.3. «»AG = (- 2 , 1 , 3) ;
«»HE = (2 , 0 , 0)
cos a = =
= =
a = cos- 1 ���2
14��� ) (57,69)° ;
6.4. «»EC = (- 2 , 1 , - 3) ;
«»HF = (2 , 1 , 0)
cos a =
= =
a = cos- 1 � � ) (68,99)° .3��70�
3��70�
|- 4 + 1|����4 + 1 +� 9� *�4 + 1�
|«»EC.«»HF|��||«»EC|| * ||«»HF||
2��14�
4��14� * 2
|- 4|���4 + 1 +� 9� *�4�
|«»AG.«»HE|��||«»AG|| * ||«»HE||
x = 3
z = 0abc
y = - 3
z = 0abc
x = - 3
z = 0abc
y = 3
z = 0abc
x = - 1
y - 1 =�z -
31
�
adbdc
x = 0
y - 2 =�z -
31
�
adbdc
x = 0
z = 2abc
x = 0
z = 2abc
x + 2�
�32
�
�x +
22
� = - z
y = - 1
abc
§�x +
22
� = �-z1�
y = - 1
abc
x = 0
y - 1 =�z -
65
�
abc
§x = 0
�y -
11
� =�x -
65
�
abc
40
Geometria II
7.1. A1 (2 , 0 , 0) ; Pág. 147B1 (0 , 2 , 0) ; C1 (- 2 , 0 , 0) ;
D1 (0 , - 2 , 0) ; E1 (0 , 0 , - 2) ;
F 1 (0 , 0 , 2) ;
7.2. a) A1 (2 , 0 , 0) ;
«»AB = (- 2 , 2 , 0)
AB :
b) B1 (0 , 2 , 0) ;
«»BF = (0 , - 2 , 2)
BF :
7.3. «»AB = (- 2 , 2 , 0) ; F1 (0 , 0 , 2)
- 2 (x - 0) + 2 (y - 0) + 0 (z - 2) = 0
§ - 2x + 2y = 0 § x - y = 0 ;
7.4. A1 (2 , 0 , 0) ;
«»AB = (- 2 , 2 , 0) ;
«»AF = (- 2 , 0 , 2)
Seja »n = (a , b , c)
»n = (a , a , a)
Para a = 1 , »n = (1 , 1 , 1)
ABF : 1 (x - 2) + y + z = 0 § x + y + z - 2 = 0 ;
7.5. «»BF = (0 , - 2 , 2) ; O1 (0 , 0 , 0) ;
0 (x - 0) - 2 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0
§ - 2y + 2z = 0 § y - z = 0 ;
7.6. A1 (2 , 0 , 0) ;
«»FC = (- 2 , 0 , - 2) ;
«»BD = (0 , - 4 , 0)
Seja »n = (a , b , c)
»n = (- c , 0 , c)
Para c = - 1 , »n = (1 , 0 , - 1)
1 (x - 2) + 0 (y - 0) - 1 (z - 0) = 0 .
8.1. a) A1 (2 , 0 , 0) ; B1 (2 , 2 , 0) ;
C1 (0 , 2 , 0) ; V1 (1 , 1 , 5) ;
«»AB = (0 , 2 , 0) ; A1 (2 , 0 , 0)
AB :
b) «»BV = (- 1 , - 1 , 5) ;
B1 (2 , 2 , 0)
BV : �x--12
� =�y--12
� = �5z� § 2 - x = 2 - y = �
5z� ;
c) E1 (1 , 1 , 0) ;
«»VE = (0 , 0 , - 5)
VE : ;
8.2. B1 (2 , 2 , 0) ;
«»BV = (- 1 , - 1 , 5)
- 1 (x - 2) - 1 (y - 2) + 5 (z - 0) = 0
§ - x - y + 5z + 4 = 0 § x + y - 5z - 4 = 0 ;
8.3. «»AB = (0 , 2 , 0) ;
«»AV = (- 1 , 1 , 5) ;
»n = (a , b , c)
»n = (5c , 0 , c) ; para c = 1 , »n = (5 , 0 , 1)
B1 (2 , 2 , 0) é um ponto da recta;
»n = (5 , 0 , 1) é um vector director
;
8.4. V = �13
� Ab * h = �13
� 22 * 5 = �230� u. v. ;
8.5.
M�V�2= 12 + 52 ; M�V� =�26�
AL = 4 * AF = 4 * = 2 * 2 *�26�
= 4 �26�
4 �26� u. a.
9. A1 (0 , 1 , 2) ; B1 (- 1 , 0 , 3) ;
C1 (- 1 , 3 , 0) ; D1 (0 , 0 , 5)
9.1. «»BC = (0 , 3 , - 3)
; x = 0
y - 1 = 2 - zabc
§x = 0
�y -
31
� =�z--32
�
abc
A�B� * M�V��
2
V
1
V
5
M EMA B
�x -
52
� = z
y = 2
abc
§�x -
52
� = �1z
�
y = 2
abc
b = 0
a = 5c
abc
§2b = 0
- a + b + 5c = 0
abc
§»n.«»AB = 0
»n.«»AV = 0
abc
x = 1
y = 1abc
x = 2
z = 0abc
a = - c
b = 0
abc
§- 2a - 2c = 0
- 4b = 0
abc
§»n.«»FC = 0
»n.«»BD = 0
abc
b = a
c = a
abc
§- 2a + 2b = 0
- 2a + 2c = 0
abc
§»n.«»AB = 0
»n.«»AF = 0
abc
x = 0 ‹ 2 - y = z§x = 0
�y--22
� = �2z
�
abc
2 - x = y ‹ z = 0§�x--22
� = �2y
�
z = 0
abc
41
5 Complementos de geometria analítica no espaço
9.2. «»CD = (1 , - 3 , 5) ;
A1 (0 , 1 , 2) ;
1 (x - 0) - 3 (y - 1) + 5 (z - 2) = 0
§ x - 3y + 5z - 7 = 0 ;
9.3. Seja »n = (a , b , c) ;
«»BC = (0 , 3 , - 3) ;
«»CD = (1 , - 3 , 5)
»n = (- 2c , c , c) ; para c = - 1 tem-se
»n = (2 , - 1 , - 1)
2 (x - 0) - (y - 1) - (z - 2) = 0
§ 2x - y - z + 3 = 0 .
10. a : x - y + z = 1 Pág. 14910.1. »n = (1 , - 1 , 1) é normal a a .
Logo n Y b , sendo b // a .
O1 (0 , 0 , 0) å b ;
b : 1 (x - 0) - 1 (y - 0) + 1 (z - 0) = 0
§ b : x - y + z = 0 ;
10.2. Seja »t = (a , b , c) um vector normal ao plano
pedido.
Logo (a , b , c).(1 , - 1 , 1) = 0
§ a - b + c = 0 § b = a + c .
Há uma infinidade de soluções.
Por exemplo, para a = 1 e c = 1 tem-se b = 2 .
»t = (1 , 2 , 1) é normal ao plano pedido.
1 (x - 0) + 2 (y - 0) + 1 (z - 0) = 0
§ x + 2y + z = 0 .
x + 2y + z = 0 (por exemplo).
11.1. x = 0 ; x = 3 ; z = 0 ; z = 3 ; Pág. 150
11.2. a) y = 3 ;
b) D1 (3 , 0 , 3) ; C1 (0 , 3 , 0)
«»DC = (- 3 , 3 , - 3)
F1 (0 , 3 , 3)
- 3 (x - 0) + 3 (y - 3) - (z - 3) = 0
§ - 3x + 3y - 3z § x - y + z = 0 .
12.Pág. 152
(x , y , z) = (0 , 1, 2) + k (1 , - 1 , - 3) , kåR .
13.1. Por exemplo:
a) OCF : x = 0 ; ABE : x = 1 ;
b) ABE : x = 1 ; EBC : y = 1 ;
c) ABE : x = 1 ; OBE : x - y = 0 ;
13.2. ABC : z = 0 ; »u = (0 , 0, 1) é normal a ABC .
Plano BCD : B1 (1 , 1 , 0) ;
C1 (0 , 1 , 0) ; D1 (1 , 0 , 1)
«»BC = (- 1 , 0 , 0) ;
«»BD = (0 , - 1 , 1)
Seja »n = (a , b , c) normal a BCD
Para c = 1 , »n = (0 , 1 , 1)
Seja q o ângulo dos dois planos
cos q =
=
= = .
Logo, q = 45° .
14.1. Pág. 154r : (x , y , z) = (1 , 3 , 0) + l (1 , 0 , 2) , låRa : x + y - 2z - 1 = 0
R1 (1 + l , 3 , 2l) , l å R
R å a § (1 + l) + 3 - 2 (2l) - 1 = 0
§ - 3l + 3 = 0 § l = 1
I1 (2 , 3 , 2) ;
14.2. r : �x -
22
� =�y -
31
� = 1 - z
a : x - y - z = 0
r : (x , y , z) = (2 , 1 , 1) + l (2 , 3 , - 1) ,
l å R
R1 (2 + 2l , 1 + 3l , 1 - l) , l å R
R å a § 2 + 2l - (1 + 3l) - (1 - l) = 0
§ 0 = 0
A equação é indeterminada. Logo, a recta está
contida no plano; r © a = r .
�2��
21
��2�
|(0 , 0 , 1).(0 , 1 , 1)|���
1 *�1 + 1�
|»u.»n|��||»u|| ||»n||
a = 0
b = c
abc
§- a = 0
- b + c = 0
abc
§»n.«»BC = 0
»n.«»BD = 0
abc
y =�y--11
� =�z--32
�§x =�- z
3+ 2�
x = - y + 1
abc
§
3x + z = 2
x = - y + 1
abc
§2x - (1 - x) + z = 1
y = 1 - x
abc
§
2x - y + z = 1
x + y = 1
abc
b = c
a = - 2c
abc
§b = c
a - 3c + 5c = 0
abc
§
3b - 3c = 0
a - 3b + 5c = 0
abc
§»n.«»BC = 0
»n.«»CD = 0
abc
42
Geometria II
15.1. A1 (3 , 0 , 0) ; B1 (0 , 0 , 4)
«»AB = (- 3 , 0 , 4) é um vector director de AB .
x = y § x - y = 0 ; »n = (1 , - 1 , 0) é
normal ao plano.
sin q =
=
=
q = sin- 1 � � ) 25,1° .
16. a : x + y + z + 3 = 0 ; Pág. 155b : x + y + z - 1 = 0
A1 (0 , 0 , - 3) å a
d (a , b) = d (A , b) =
= = u. c.
17.1. Pág. 160
Os três planos intersectam-se no ponto
(1 , 0 , 2) ;
17.2.
»u1 = (1 , - 1 , 1) Y a
»u2 = (1 , - 3 , 0) Y b
»u3 = (2 , - 2 , 2) Y p
»u3 = 2 »u1
Os planos a e p são estritamente paralelos
e secantes a b . O sistema é impossível.
17.3.
O sistema é impossível. Como não há planos para-
lelos, estes intersectam-se dois a dois segundo
rectas paralelas.
18.
O sistema é impossível. Como não há planos para-
lelos, estes intersectam-se dois a dois segundo
rectas paralelas.
z = 3x + 2y - 1
x = - y - 3
0 = 18
adbdc
§
z = 3x + 2y - 1
x = - y - 3
- 5x - 15 + 5y = 3
adbdc
§
z = 3x + 2y - 1
5x + 5y = 3
- x - y = 3
adbdc
§
z = 3x + 2y - 1
2x + 3y + 3x + 2y - 1 = 2
2x + y - 3x - 2y + 1 = 4
adbdc
§
3x + 2y - z - 1 = 0
2x + 3y + z - 2 = 0
2x + y - z - 4 = 0
adbdc
ba
p
x = 2 - y
1 = 3
z = - 1
adbdc
§
x + y = 2
x + y - 1 = 3
z = - 1
adbdc
§
x + y = 2 @ a
x + y + z = 3 § @ b
z = - 1 @ p
adbdc
b
a
p
x - y + z = 0 @ a
x - 3y + 2 = 0 @ b
2x - 2y + 2z = 1 @ p
adbdc
x = 1
y = 0
z = 2
adbdc
§
x = 2y - z + 3
y =�3z
7- 6�
9 *�3z
7- 6� - 8z = - 16
addbddc
§
x = 2y - z + 3
7y - 3z = - 6
9y - 8z = - 16
adbdc
§
x = 2y - z + 3
2 (2y - z + 3) + 3y - z = 0
5 (2y - z + 3) - y - 3z = - 1
adbdc
§
x - 2y + z = 0 @ a
2x + 3y - z = 0 @ b
5x - y - 3z + 1 = 0 @ p
adbdc
4 �3��
3|4|��3�
|0 + 0 - 3 - 1 |��
�1 + 1 +� 1�
3�5 �2�
3�5 �2�
|(- 3 , 0 , 4).(1 , - 1 , 0)|����
�9 + 0 +� 16� *�1 + 1�
|«»AB.»n|��||«»AB|| * ||»n||
43
5 Complementos de geometria analítica no espaço
19.1.
2x - 4y - 6z + 2 = 0 § x - 2x - 3z + 1 = 0
§ p1 = p3
p1 e p3 são coincidentes e secantes a p2
A intersecção é a recta r :
19.2.
Os três planos intersectam-se no ponto
P1 (0 , - 4 , 4) .
1.1. P1 (1 , 3 , 4) , Pág. 170»u = (1 , 0 , 2)
1 (x - 1) + 0 (y - 3) + 2 (2 - 4) = 0
§ x + 2z - 9 = 0 ;
1.2. P1 (1 , 0 , 0) , »u = (0 , 0 , 1)
0 (x - 1) + 0 (y - 0) + 1 (z - 0) = 0 § z = 0 ;
1.3. P 1 (0 , 0 , 0) , »u = (1 , - 3 , - 1)
1 (x - 0) - 3 (y - 0) - 1 (z - 0) = 0
§ x - 3y - z = 0 .
2.1. A1 (- 1 , 0 , 2) ;
B1 (0 , 0 , 3) ;
C1 (1 , 0 , 1)
«»AB = (1 , 0 , 1) ; «»AC = (2 , 0 , - 1)
»n = (a , b , c)
Para b = 1 , »n = (0 , 1 , 0)
ABC : 0 (x + 1) + 1 (y - 0) + 0 (z - 0) = 0
§ y = 0 ;
2.2. A1 (1 , - 1 , 0) ;
B1 �- 4 , �12
� , 2� ;
C1 (1 , 0 , 0)
«»AB = �- 5 , �32
� , 2� ;
«»AC = (0 , 1 , 0)
»n = (a , b , c)
Para a = 2 , »n = (2 , 0 , 5)
ABC : 2 (x - 1) + 0 (y + 1) + 5 (z - 0) = 0
§ 2x + 5z - 2 = 0 .
3.1. a : 2x - y + z - 1 = 0 ;
b : 4x - 2y + 2z - 5 = 0
»u = (2 , - 1 , 1) Y a ;
»v = (4 , - 2 , 2) Y b
»v = 2»u e 2 0 5
a e b são estritamente paralelos;
3.2. a : - x + y + 2z = 0 ;
b : 3x - 3y - 6z + 8 = 0
»u = (- 1 , 1 , 2) Y a ;
»v = (3 , - 3 , - 6) Y b
»v = - 3»u e 0 0 8
a e b são estritamente paralelos;
3.3. a : x - �15
� y - �110� z = 0 ;
b : 0,5x - 0,1y - 0,05z + 0,2 = 0
»u = �1 , - �15
� , - �110�� Y a ;
»v = (0,5 ; - 0,1 ; - 0,05)
�01,5� = = = 2
»u = 2»v e 0,4 0 0
a e b são estritamente paralelos.
4. r : (x , y , z) = (1 , 0 , 2) + l (1 , 3 , 2) , l å R
a : x - y + z + 10 = 0
»r = (1 , 3 , 2) é um vector director de r
»n = (1 , - 1 , 1) Y a
»r.»n = (1 , 3 , 2).(1 , - 1 , 1) = 1 - 3 + 2 = 0
± »r Y »n
Como »r Y »n , r // a .
5. a : x - 2y + z - 3 = 0
»n = (1 , - 2 , 1) Y aSeja »r = (a , b , c) o vector director de r
- �110�
�- 0,05
- �15
�
�- 0,1
c = �52
� a
b = 0
abc
§
- 5a + �32
� b + 2c = 0
b = 0
abc
§»n.«»AB = 0
»n.«»AC = 0
abc
c = 0
a = 0
abc
§
c = - a
3a = 0
abc
§a + c = 0
2a - c = 0
abc
§»n.«»AB = 0
»n.«»AC = 0
abc
x = 0
y = - 4
z = 4
adbdc
§
5x - y = 0
x + y + z = 0
x = 0
adbdc
p1 = p3
r p2
x - 2y - 3z + 1 = 0
2x - y + z - 1 = 0abc
x - 2y - 3z + 1 = 0
2x - y + z - 1 = 0
2x - 4y - 6z + 2 = 0
adbdc
44
Geometria II
5.1. r // a § »r Y »n
»r Y »n § »r.»n = 0 § a - 2b + c = 0
§ a = 2b - c
Por exemplo, para b = 1 e c = 1 , tem-se
a = 1 e »r = (1 , 1 , 1)
(x , y , z) = (0 , 0 , 0) + k (1 , 1 , 1) , k å R(por exemplo);
5.2. r Y a § »r e »n são colineares
Por exemplo, »r = (1 , - 2 , 1)
(x , y , z) = (0 , 0 , 0) + k (1 , - 2 , 1) , k å R(por exemplo).
6.1. a : 2x - 2y + 6z - 1 = 0 ; »u = (2 , - 2 , 6) Y a
b : 2x - y - z - 4 = 0 ; »v = (2 , - 1 , - 1) Y b
»u.»v = (2 , - 2 , 6).(2 , - 1 , - 1) = 4 + 2 - 6 = 0
»u.»v = 0 § »u Y »v § a Y b ;
6.2. a : 3x - 3y + z - 8 = 0 ; »u = (3 , - 3 , 1) Y a
b : 4x + 5y + 3z + 8 = 0 ; »v = (4 , 5 , 3) Y b
»u.»v = (3 , - 3 , 1).(4 , 5 , 3) = 12 - 15 + 3 = 0
»u.»v = 0 § »u Y »v § a Y b .
7. r : �x +
21
� =�y -
14
� =�z--11
� ; »r = (2 , 1 , - 1) é
um vector director de r ;
a : 4x + 2y - 2z - 1 = 0 ; »u = (4 , 2 , - 2) Y a
»u = 2»r ; »r é colinear com »u . Então r Y a .
8.1. r : 2 - x = y - 3 = z Pág. 171§ �
x--12
� =�y -
13
� = �1z
�
r : (x , y , z) = (2 , 3 , 0) + k (- 1 , 1 , 1) , kåR
R 1 (2 - k , 3 + k , k) , k å R é um
ponto genérico de r
a : x + y + 2z = 1
R å a § (2 - k) + (3 + k) + 2k = 1
§ 2k = - 4 § k = - 2
Substituindo k por - 2 obtém-se o ponto de
intersecção I1 (4 , 1 , - 2) ;
8.2. r : �x -
21
� =�y -
23
� =�z -
41
�
r : (x , y , z) = (1 , 3 , 1) + k (2 , 2 , 4) , kåR
R 1 (1 + 2k , 3 + 2k , 1 + 4k) , k å R é
um ponto genérico de r
a : x + 3y - 2z - 1 = 0
R å a§ (1 + 2k) + 3 (3 + 2k) - 2 (1 + 4k) - 1 = 0
§ 2k� + 6k� - 8k� + 1 + 9 - 2 - 1 = 0 § 7 = 0
A equação é impossível. Logo, r é estritamente
paralela a a .
9. A1 (1 , 2 , 3)
9.1. x = 1 ;
9.2. y = 2 ;
9.3. z = 3 .
10.1.
Os três planos intersectam-se no ponto
��7145� , �
115� , - �
173�� ;
10.2.
Os três planos intersectam-se no ponto
��37
� , - �27
� , - �17
�� ;
10.3.
O sistema é indeterminado e não há planos para-
lelos. Os três planos intersectam-se numa recta;
z = 1 + 2y
3x - 10y = - 4
- 4 = - 4 Sistema indeterminado
adbdc
§
z = 1 + 2y
3x - 10y = - 4
3x - 10y = - 4
adbdc
§
z = 1 - 2y
3x - 2y + 4 - 8y = 0
3x + 4y + 7 - 14y = 3
adbdc
§
2y + z = 1
3x - 2y + 4z = 0
3x + 4y + 7z = 3
adbdc
y = - �27
�
x = �37
�
z = - �17
�
adddbdddc
§
y = - 2x - 4z
x = - 10z - 1
10z + 1 - 17z = 2
adbdc
§
y = - 2x - 4z
- x - 10z = 1
- x - 17z = 2
adbdc
§
y = - 2x - 4z
3x - 4x - 8z - 2z = 1
5x - 6x - 12z - 5z = 2
adbdc
§
3x + 2y - 2z = 1
2x + y + 4z = 0
5x + 3y - 5z = 2
adbdc
z = - �73
�
x = �7145�
y = �115�
adddbdddc
§
z = - 5y - 2
x = 14y + 4
28y + 8 - 13y = 9
adbdc
§
z = - 5y - 2
2x - 13y = 9
x - 14y = 4
adbdc
§
z = - 5y - 2
2x - 3y - 10y - 4 = 5
x - 4y - 10y - 4 = 0
adbdc
§
2x - 3y + 2z = 5
- 5y - z = 2
x - 4y + 2z = 0
adbdc
45
5 Complementos de geometria analítica no espaço
10.4.
O sistema é impossível e não há planos paralelos.
Os três planos intersectam-se dois a dois segundo
rectas paralelas;
10.5.
2x - y + z = 1 § - 6x + 3y - 3z = - 3
O sistema é indeterminado. Dois planos são
coincidentes. A intersecção dos três planos é
uma recta;
10.6.
Os três planos são estritamente paralelos. O
sistema é impossível;
10.7.
O sistema é impossível. Dois planos são estrita-
mente paralelos, sendo intersectados pelo ter-
ceiro;
10.8.
Os três planos intersectam-se no ponto
�- �4232� , - �
72
� , �1252�� .
11. C1 (0 , - 5 , 0) Pág. 172A1 (4 , 3 , 0) ; r // Oz
11.1. B1 (0 , 5 , 0)
«»AC = (- 4 , - 8 , 0)
«»AB = (- 4 , 2 , 0)
«»AC.«»AB = 16 - 16 = 0 ± «»AC Y «»AB
± AC Y AB .
11.2. Como r // Oz , »e3 = (0 , 0 , 1) é um vector
director de r
r : (x , y , z) = (0 , 5 , 0) + k (0 , 0 , 1) ,
k å R ;
11.3. «»AB = (- 4 , 2 , 0)
«»BD é um vector colinear com »e3 = (0 , 0 , 1) ,
vector director da recta r .
«»AC = (- 4 , 8 , 0)
«»AC.«»AB = (- 4 , 8 , 0).(- 4 , 2 , 0)
= 16 - 16 = 0 ; «»AC Y «»AB
«»AC.»e3 = (- 4 , 8 , 0).(0 , 0 , 1) = 0 ;
«»AC Y «»BD
Como «»AC é perpendicular a dois vectores parale-
los ao plano ABD , «»AC é perpendicular ao plano.
ABD : - 4 (x - 0) - 8 (y - 5) + 0 (z - 0) = 0
§ - 4x - 8y + 40 = 0 § x + 2y - 10 = 0 .
12. Q1 (2 , 2 , 0)
12.1. V1 (0 , 0 , h)
P�Q� = 4
V = �13
� Ab * h
x
y
z
V
R
QP
M
S
6
O
A
C B
x
y
zr
P
O
y = - �72
�
x = - �4232�
z = �1252�
adddbdddc
§
y = - 2x - 5z - 4
x =�- 5
5- 7z�
30 + 42z - 20z = 45
adbdc
§
y = - 2x - 5z - 4
x =�- 5
5- 7z�
- 6 *�- 5
5- 7z� - 4z = 9
addbddc
§
y = - 2x - 5z - 4
5x + 7z = - 5
- 6x - 4z = 9
adbdc
§
y = - 2x - 5z - 4
3x + 2x + 5z + 4 + 2z = - 1
- 4x - 2x - 5z - 4 + z = 5
adbdc
§
- 2x - y - 5z = 4
3x - y + 2z = - 1
- 4x + y + z = 5
adbdc
x + y + z = 1
x + y + z = �32
�
z = 0
adbdc
§
x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 3
z = 0
adbdc
x + y + z = 1
x + y + z = �32
�
x + y + z = �53
�
addbddc
§
x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 3
3x + 3y + 3z = 5
adbdc
2x - y + z = 1
- 6x + 3y - 3z = - 3 ;
x - y = 0
adbdc
2 = 1
x + z = 2
y = 0
adbdc
§
x + z = 1
x + z = 2
y = 0
adbdc
§
x + y + z = 1
x - y + z = 2
y = 0
adbdc
46
Geometria II
32 = �13
� * 42 * h
32 = �136� * h § h = 32 * �
136� § h = 6
V (0 , 0 , 6)
12.2. Q1 (2 , 2 , 0) ; R1 (- 2 , 2 , 0);
V (0 , 0 , 6)
«»QR = (- 4 , 0 , 0) ; «»QV = (- 2 , - 2 , 6)
Seja »n = (a , b , c) normal ao plano QRV
Para c = 1 , »n = (0 , 3 , 1)
QRV : 0 (x - 0) + 3 (y - 0) + 1 (z - 6) = 0
§ 3y + z = 6
12.3. »n = (0 , 3 , 1) é normal ao QRV .
Logo, »n é um vector director da recta r
pedida; (0 , 0 , 0) å R ;
r :
12.4. [«»QV] : P = Q + k «»QV , k å [0 , 1]
[QV] : (x , y , z) = (2 , 2 , 0) + k (- 2 , - 2 , 6) ,
k å [0 , 1]
P 1 (2 - 2k , 2 - 2k , 6k) , k å [0 , 1]
é um ponto genérico de [QV]
a : z = 3
P © a : 6k = 3 § k = �12
�
Para k = �12
� obtém-se o ponto M1 (1 , 1 , 3)
Os triângulos [MVN] e [QVP] são semelhantes.
�N�4M�� = �
V�V�M�Q�� § �
N�4M�� = �
12
�
N�M� = 2
Logo, a secção produzida na pirâmide pelo plano
de equação z = 3 é um quadrado de lado 2 .
A sua área é 4 u. a.
13. C1 (0 , 4 , 0) Pág. 173
13.1.
O�B� = O�C� = A�B� = 4
M�B� = 2
O�B�2 = O�M�2 + M�B�2
42 = O�M�2 + 22
O�M� =�12�
B1 (�12� , 2 , 0)
B' é o simétrico de B relativamente a Oy .
B' é a projecção de G sobre xOy .
Como G pertence ao plano z = 12 , tem-se
G1 (-�12� , 2 , 12) .
13.2. D1 (0 , -4 , 12) ; G1 (-�12� , 2 , 12)«»DG = (-�12� , 6 , 0)
DG :
§ �3� x = - y - 4 ‹ z = 12
§ �3� x + y = - 4 ‹ z = 12
13.3. ABF : x =�12� ;
DG : �3� x + y = - 4 ‹ z = 12
§ (x , y , z) = (�12� , - 10 , 12) .
x =�12�
y = - 10
z = 12
adbdc
§
x =�12�
6 + y = - 4
z = 12
adbdc
§
x =�12�
�3� �12� + y = - 4
z = 12
adbdc
§
x =�12�
�3� x + y = - 4
z = 12
adbdc
�x-�
63�
� =�y +
64
�
z = 12
adbdc
§
�- 2
x
�3�� =�
y +6
4�
z = 12
adbdc
§
�-�
x
12�� =�
y +6
4�
z = 12
adbdc
yC
M
x
BA
B’
O
V
N
QP
Ml
4
§ x = 0 ‹ y = 3z ;x = 0
�3y
� = �1z
�
adbdc
a = 0
b = 3c
abc
§
- 4a = 0
- 2a - 2b + 6c = 0
abc
§»n.«»QR = 0
»n.«»QV = 0
abc
47
6 Introdução ao estudo da programação linear
48
14. A�C� = 6 ; A�V� = 5
V1 (0 , 0 , 8)
14.1. A�B�2 + B�C�2 = A�C�2
‚M
A�B� = B�C�2 A�B�2 = 62
A�B� =�18� § A�B� = 3 �2� u. c. ;
14.2. A�M�2 + M�V�2 = A�V�2 § 32 + h2 = 52
§ h2 = 16 § h = 4 u. c. ;
14.3. Os pontos da base da pirâmide têm cota
O�V� - M�V� = 8 - 4 = 4
A abcissa de A é �B�2C�� = �
A�2B�� =�
3 �2
2��
A ordenada de A é - �A�2B�� = -�
3 �2
2��
Logo, A1 ��3�2
2�� , -�
3�2
2�� , 4�
B1 ��3�2
2�� , �
3�2
2�� , 4� ;
C1 �-�3�
22�
� , �3�
22�
� , 4� ;
D1 �-�3�
22�
� , -�3�
22�
� , 4� ;
14.4. B1 ��3�2
2�� , �
3�2
2�� , 4� ;
C1 �-�3�
22�
� , �3�
22�
� , 4� ;
V1 (0 , 0 , 8)
«»VB = ��3�2
2�� , �
3�2
2�� , - 4� ;
�2� «»VB = (3 , 3 , - 4 �2�) ;
VB : �3x
� = �3y
� = § �3x
� = �3y
� =
«»BC = (- 3 �2� , 0 , 0) = - 3 �2� (1 , 0 , 0)
BC :
14.5. «»VB = ��3�2
2�� , �
3�2
2�� , - 4�
«»VC = �-�3�
22�
� , �3�
22�
� , - 4�
• cos («»VB , «»VC ) =
= = �1265�
BVWC = cos- 1 ��1265�� ) (50,2)°
VBWC =�180 -2
BVWC� ) (64,9)° ;
14.6. Seja N o ponto médio de [BC]
N1 �0 , �3�
22�
� , 0�«»BC = - 3 �2� (1 , 0 , 0) ;
»n = (1 , 0 , 0) é um vector normal ao plano
pedido. Logo, x = 0 ;
14.7. Os pontos A , B e C têm cota 4 ; ABC : z = 4 ;
14.8. A esfera de diâmetro [DB] tem centro em
M1 (0 , 0 , 4) e raio A�M� = 3 .
Equação da esfera: x2 + y2 + (z - 4)2 ≤ 9
6 Introdução ao estudo da programaçãolinear
1.1. Pág. 179
(15 , 0) , (25 , 0) , (20 , 5) , (15 , 5) ;
5
10
15
20
25
30
5 10 15 20 25x = 15
x + y = 25
y = 5(20, 5)
x
y
x + y ≤ 25
x ≥ 15
y ≤ 5
x ≥ 0
y ≥ 0
adddbdddc
x2 + y2 ≤ 9
z = 4
abc
§x2 + y2 + (z - 4)2 ≤ 9
z = 4
abc
- �92
� + �92
� + 16����
��92
� + �92
�� + 16� ��92
� + �92
�� + 16�
«»VB.«»VC��||«»VB|| * ||«»VC||
y =�3 �
22�
�
z = 4
adbdc
8 - z�4�2�
z - 8�- 4�2�
y
C
M
x
BA
D
z
V
O
1.2.
(0 , 0) , (3 , 0) , (2 , 2) , (0 , 3)
1.3.
(0 , 20) , (2 , 10) , (9 , 3) , (18 , 0)
2.1. Pág. 187
Máximo: z = 54 em (6 , 3) ;
2.2.
Máximo: z = 20 em todos os pontos do seg-
mento de recta de extremos (2 , 6) e (5 , 5) .
3.1.
Mínimo: z = 4 em (1 , 1) ;
3.2.
Mínimo: z = 13 em (2 , 3) .
1. Recta r : (3 , 2) , (2 , 0) Pág. 192
m =�23--
02
� = 2
y - 0 = 2 (x - 2)
r : y = 2 x - 4
Recta s : (3 , 2) , (0 , 5)
m = �-33� = - 1
s : y = - x + 5
2.1.
x + 2y = 16
§ y = - �12
�x + 8
3x + y = 18
§ y = - 3x + 18
3x + y ≤ 18
x + 2y ≤ 16
x ≥ 0
y ≥ 0
addbddc
y ≤ 2x - 4
y ≤ - x + 5
abc
IV:y ≥ 2x - 4
y ≤ - x + 5
abc
III:
y ≥ 2x - 4
y ≥ - x + 5
abc
II:y ≤ 2x - 4
y ≥ - x + 5
abc
I:
5
21
r
x
y
3
2
III
IV
II
I
s
10
2
8
4
12
6
2 9 125x + y = 20 x + y = 12
x
y
14161820
18x + 3y = 18
x + y = 12
§ y = - x + 12
x + 3y = 18
§ y = - �13
�x + 6
5x + y = 20
§ y = - 5x + 20
5x + y ≥ 20
x + 3y ≥ 18
x + y ≥ 12
x ≥ 0
y ≥ 0
adddbdddc
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 52x + y = 6
x + 2y = 6
x
(2, 2)
6
y
x + 2y = 6
§ y = - �12
�x + 3
2x + y = 6
§ y = - 2x + 6
2x + y ≤ 6
x + 2y ≤ 6
x ≥ 0
y ≥ 0
addbddc
Geometria II
49M11FNAGP - 4
x y z = x + 3y
0 2 6
0 5 15
1 1 4 @
3 3 12
x y03
30
x y03
60
x y z = 5x + 8y
0 0 0
0 5 40
6 3 54 @
8 0 40
x y z = x + 3y
0 0 0
0 6 18
2 6 20 @
5 5 20 @
10 0 10
x y z = 2x + 3y
0 5 15
0 7 21
2 3 13 @
6 2 18
x y64
06
x y04
86
x y012
120
x y018
60
x y04
200
(0 , 0) , (0 , 8) , (4 , 6) , (6 , 0)
2.2.
(0 , 0) , (0 , 4) , (3,2 ; 2,4) , (4 , 0)
2.3.
2.4.
3. Seja: x o número de banheiras redondas produzi-
das por dia;
y o número de banheiras rectangulares pro-
duzidas por dia.
L = 600x + 300y
Vértices:
(0 , 0) , (0 , 40) , (20 , 30) , (30 , 0)
x
y
30
0
90
20 30
3x + y = 90
80
40
y = - �12
�x + 40
y = - 3x + 903x + y ≤ 90
x + 2y ≤ 80
x ≥ 0
y ≥ 0
addbddc
x – y
= 0
x
y
25
50
25 50
(0, 50)
x = 25
(25, 25)
(0, 0)
x + y = 50O
x + y ≤ 50
x - y ≤ 0
x ≤ 25
x ≥ 0
y ≥ 0
adddbdddc
4
2x + y = 10
x
y
4
0
6
(0, 10)
x + y = 8
8
10
2 5 8 12
(2, 6)
(4, 4)
(12, 0)
x + 2y = 12
y = - 2x + 10
y = - �12
�x + 6
y = - x + 8x + y ≥ 8
x + 2y ≥ 12
2x + y ≥ 10
x ≥ 0
y ≥ 0
adddbdddc
43x + y = 12
x
y
4
0
6
(3,2; 2,4)
x + 2y = 8
x = 3,2
y = 2,4
abc
§x + 2y = 8
3x + y = 12
abc
3x + y = 12
§ y = - 3x + 12
x + 2y = 8
§ y = - �12
�x + 4
x + 2y ≤ 8
3x + y ≤ 12
x ≥ 0
y ≥ 0
addbddc
42
x + 2y = 16
x
y
6
2
4
6
8
03x + y = 18
6 Introdução ao estudo da programação linear
50
5
x y42
06
x y04
42
x y08
80
x y012
60
x y50
010
Fabrico Acabamento Lucro
x 3 h 1 600 Æ
y 1 h 2 300 Æ
90 h 80 h
x y030
900
x y080
400
A empresa pode obter um lucro máximo de
21 000 Æ correspondente ao fabrico diário de 20
banheiras redondas e 30 rectangulares.
4. Pág. 193
Seja: x o número de quilos do tipo A produzidos
diariamente;
y o número de quilos do tipo B produzidos
diariamente.
L = 0,5x + 0,7y
Devem ser produzidos 1000 kg do tipo A e 4500
do tipo B .
5.
L = 4x + 5y
Devem ser produzidas 8 embalagens de doce da
avó e 12 de geleia real.
y
0 x
0,5x + 0,5y = 10
(8, 12)
5
10
15
20
803
5 10 15 20
(10, 10)
203
0,5x + 0,3y = 8
x = 12
(12, )
y = 12
0,5x + 0,5y = 10
§ y = - x + 20
0,5x + 0,3y = 8
§ y = - �53
�x + �830�
0,5x + 0,3y ≤ 8
0,5x + 0,5y ≤ 10
x ≤ 12
y ≤ 12
x ≥ 0
y ≥ 0
adddbdddc
y
0
0,65x + 0,7y = 3800
(1000, 4500)5000
6000
4000 x
0,3x + 0,2y = 1200
10 000
0,05x + 0,1y = 500
y = - �12
�x + 5000
y = - �1143�x +�
387000�
y = - �32
�x + 6000
0,3x + 0,2y ≤ 1200
0,65x + 0,7y ≤ 3800
0,05x + 0,1y ≤ 500
x ≥ 0
y ≥ 0
adddbdddc
Geometria II
51
1000
x y L = 0,5x + 0,7y
4500
0 0 0
3650
0 5000 3500
4000 0 2000
@20
x y L = 600x + 300y
30
0 0 0
21 000
0 40 12 000
30 0 18 000
@ Lucro máximo
x y0
40006000
0
x y0
�76
10300
�
�38
7000� ) 5430
0
x y0
10 0005000
0
Milho Trigo Centeio
A 30% 65% 5%
B 20% 70% 10%
1200 kg 3800 kg 500 kg
0,5 Æ/kg
0,7 Æ/kg
x y020
200
Pêssego Maçã Lucro
Doce da avó 0,5 kg 0,5 kg 4 Æ
Geleia real 0,3 kg 0,5 kg 5 Æ
8 kg 10 kg
x : n.° deembalagens
y : n.° deembalagens
x y
0
16
�830�
0
8
x y L = 4x + 5y
12
0 0 0
92
0 12 60
10 10 90
@
12 0 48
12 �230� ) 34
6 Introdução ao estudo da programação linear
52
6.
L = 0,06x + 0,1y
3150 Æ é o maior lucro que o investidor pode
obter.
7. Pág. 194
L = 80x + 5y
60 pares de sapatos e 100 pares de botas.
8.
x : número de embalagens do tipo A
y : número de embalagens do tipo B
L = 1,5x + 2y
y
40
60 x
80
(30, 20)
400
2x + 3y = 120
2x + y = 80
2x + y = 80
§ y = - 2x + 80
2x + 3y = 120
§ y = - �23
�x + 40
2x + 3y ≤ 120
2x + y ≤ 80
x ≥ 0
y ≥ 0
addbddc
y
100
60 122,5 x
0,25x + 0,5y = 65
196
130(60, 100)
(122,5; 0)
8x + 5y = 98080x + 120y = 0
0,25x + 0,5y = 65
§ y = - �12
�x + 130
8x + 5y = 980
§ y = - �85
�x + 196
8x + 5y ≤ 980
0,25x + 0,5y ≤ 65
x ≥ 0
y ≥ 0
addbddc
y
11 250
0 33 750 45 000 x
x + y = 45 000
45 000
x3
y =
x + y ≤ 45 000
y ≤ �3x
�
x ≥ 0
y ≥ 0
addbddc
x y060
400
x y3040
200
45 000
x y L = 0,06x + 0,1y
0
0 0 0
2700
33 750 11 250 3150 @
Lucro
A 6%
B 10%
x : capital a investir em A
y : capital a investir em B
Horas Pele
Sapatos 8 0,25
Botas 5 0,5
980 65 m2
x : n.° de sapatosa fabricar
y : n.° de botas afabricar
x y060
196100
x y060
130100
60
x y L = 80x + 120y
100
0 0 0
16 800
0 130 15 600
122,5 100 9 800
@
Maçãs
2
Laranjas
A
1
80
2
B
120
3
1,5 Æ
2 Æ
Geometria II
53
Devem-se fazer 30 embalagens do tipo A e 20
embalagens do tipo B .
9.
x : número de unidades de 6 kg de M1
y : número de unidades de 6 kg de M2
R = 120x + 100y
80 * 6 = 480 ; 20 * 6 = 120
Deve fazer 480 kg de A e 120 kg de B .
10.
x : número de unidades de P1
y : número de unidades de P2
Deve comprar 300 unidades de P1 e 100 de P2 .
y
250
x
420 (0, 420)
2100 2x + y = 420
350
420 500
(60, 300)
(300, 100)
(500, 0)
5x + 6y = 2100
x + 2y = 500
5x + 6y = 2100
§ y = - �56
�x + 350
x + 2y = 500
§ y = - �12
�x + 250
2x + y = 420
§ y = - 2x + 420
2x + y ≥ 420
x + 2y ≥ 500
5x + 6y ≥ 2100
x ≥ 0
y ≥ 0
adddbdddc
y
80
x
180
(80, 20)
900
x + y = 200
3x + 4y = 120
2x + y = 180
x + y = 200
§ y = - x + 200
2x + y = 180
§ y = - 2x + 180
3x + 4y = 320
§ y = - �34
�x + 80
3x + 4y ≤ 320
2x + y ≤ 180
x + y ≤ 200
x ≥ 0
y ≥ 0
addbddc
0
30
x y L = 1,5x + 2y
20
0 0 0
85
0 40 80
0 0 60
@
B
2
A
M1
1
180
3
M2
320
4
C
1
1
120 Æ
100 Æ
200
300
x y C = 0,4x + 0,6y
100
0 420 252
180
60 300 204
500 0 200
@
x y0
4203500
x y0
5002500
x y0
2104200
M
1
V
P1
2
500
2
P2
420
1
C
5
6
2100
x y080
8020
x y090
1800
x y0
2002000
80
x y R = 120x + 100y
20
0 0 0
11 600
0 80 8000
90 0 10 800
@
1 Funções racionais
54
Funções II1 Funções racionais
1. f é uma função racional inteira porque Pág. 12é definida por um polinómio; g não é uma função
racional porque a variável x figura no radicando.
2. p (x) =�nd (
(xx))
� , sendo n (x) = p (x) e d (x) = 1 ,
para todo x å R .
3.1. 2x - 2 = 2 (x - 1) ;
3.2. x2 - 4 = (x - 2) (x + 2) ;
3.3. 1 - x2 = (1 - x) (1 + x) ;
3.4. �x4
2
� - 49 = ��2x
� - 7� ��2x
� + 7� ;
3.5. x2 - 4x + 3 = (x - 1) (x - 3) ;
3.6. 2x2 - 11x + 5 = 2 (x - 5) �x - �12
�� = (x - 5) (2x - 1) ;
3.7. x3 - x2 = x2 (x - 1) ;
3.8. x3 - x = x (x2 - 1) = x (x - 1) (x + 1) .
4.1. R \ {1} ;
4.2. R \ {- 2 , 2} ;
4.3. R \ {- 1 , 1} ;
4.4. R \ {- 14 , 14} ;
4.5. R \ {1 , 3} ;
4.6. R \ ��12
� , 5� ;
4.7. R \ {0 , 1} ;
4.8. R \ {- 1 , 0 , 1} ;
4.9. f (x) =�4x2
3-x2
4+x1+ 6
�
Df = {x å R : 4x2 - 4x + 6 0 0} = R ;
4.10. f (x) =�3x2 -
26xx - 9�
Df = {x å R : 3x2 - 6x - 9 0 0} = R \ {- 1 , 3} ;
4.11. f (x) =�x3 -
3x4
5
x+2 -
15x
�
Df = {x å R : x3 - 4x2 - 5x 0 0}
= R \ {- 1 , 0 , 5} ;
4.12. f (x) =�x4 - 2
2xx2 - 3�
Df = {x å R : x4 - 2x2 - 3 0 0}
= R \ {-�3� , �3� } .
5.1. f (x) =�x -
34
� Df = R \ {4} Pág. 19
x = 4 ; y = 0
5.2. f (x) =�2x
3-x
5� Df = R \ ��
52
��x = �
52
� ; y = �32
�
5.3. f (x) = �x12� , Df = R \ {0}
x = 0 ; y = 0
5.4. f (x) =�x2
x--x
3- 6
� =�(x -
x3)-(x3+ 2)
� ,
Df = R \ {- 2 , 3}
x = - 2 ; y = 0
5.5. f (x) =�x2
3+x2
x+-512
� ,
Df = R \ {- 4 , 3}
x = - 4 ; x = 3 ; y = 3
5.6. f (x) =�x2
-+x3
2
x+-3
4� ,
Df = R \ {- 4 , 1}
x = - 4 ; x = 1 ; y = - 1
5.7. f (x) =�xx2 --
116
� ,
Df = R \ {- 2 , 2}
x = - 2 ; x = 2 ; y = 0
5.8. f (x) =�xx
2
2
-+
14
� , Df = R
y = 1
6.
Assimptotas: x = 0 ; y = 0 ; y = 2 .
7.1.
Assimptotas: x = 0 ; y = - 1 ; y = 1 ;
y
0 x
–1
1
–3
�x +
x3
� se x > 0
�x-+x3
� se x < 0
adbdc
f (x) =�x
|
+
x|
3� =
y
0 x
2
�x12� se x > 0
2 se x ≤ 0
adbdc
f (x) =
x2 - 16 = 0
§ (x2 - 4) (x2 + 4) = 0
§ x = 2 › x = - 2
x2 + 3x - 4 = 0
§ x = - 4 › x = 1
x2 + x - 12 = 0
§ x = - 4 › x = 3
x2 - x - 6 = 0 § x = 3 › x = - 2
x4 - 2x2 - 3 = 0 § (x2)2 - 2x2 - 3 = 0 § x2 = - 1 › x2 = 3 § x = -�3� › x =�3�
x3 - 4x2 - 5x = 0 § x (x2 - 4x - 5) = 0 § x = 0 › x = - 1 › x = 5
Funções II
7.2.
Assimptotas: x = 1 ; y = - 2 ; y = 2 ;
7.3.
Assimptotas: x = 1 ; y = - 2 ; y = 2 ;
7.4.
Assimptotas: x = 0 ; y = - 2 ; y = 2 ;
8.1. f (x) =�2xx+-
26
� Pág. 21
• Df = R \ {- 2}
• f (0) = - 3 : Intersecção com Oy : (0 , - 3)
• f (x) = 0 § x = 3 : Intersecção com
Ox : (3 , 0)
• Assimptota vertical: x = - 2
Assimptota horizontal: y = 2 ��2xx� = 2�
8.2. f (x) =�22x-+
x6
�
• Df = R \ {2}
• f (0) = 3 : Intersecção com Oy : (0 , 3)
• f (x) = 0 § 2x + 6 = 0 § x = - 3 :
Intersecção com Ox : (- 3 , 0)
• Assimptota vertical: x = 2
Assimptota horizontal: y = - 2 ��-2x
x�= - 2�
8.3. f (x) =�4x-+
22x
�
• Df = R \ {- 2}
• f (0) = 2 : Intersecção com Oy : (0 , 2)
• f (x) = 0 § 4 - 2x = 0 § x = 2 : Inter-
secção com Ox : (2 , 0)
• Assimptota vertical: x = - 2
Assimptota horizontal: y = - 2 �- �2xx� = - 2�
8.4. f (x) =�2x
3+x
2�
• Df = R \ {- 1}
• f (0) = 0
• f (x) = 0 § x = 0 : Intersecção com os
eixos: (0 , 0)
y
0 x
–2
2–2
2
y
0 x
–2
3
2–3
y
0 x
–3
2
3–2
y
0 x
–2
2
�1 -
x2x
� se x > 0
�1 +
x2x
� se x < 0
adbdc
f (x) =�1 - 2
x|x|� =
y
0 x
–2
2
1
�x2-x1
� se x ≥ 0
�x--2x1
� se x < 0
adbdc
f (x) =�|x
2
-x|1
� =
y
x
–2
2
10
�x2-x1
� se x > 1
�- x
2x+ 1� se x < 1
adbdc
f (x) =�|x
2
-
x
1|� =
55
1 Funções racionais
• Assimptota vertical: x = - 1
Assimptota horizontal: y = �32
�
8.5. f (x) =�x2
x+2
1�
• Df = R \ {0}
• f (x) = 0 § x 2 + 1 = 0 § x å O
• Assimptota vertical: x = 0
Assimptota horizontal: y = 1
8.6. f (x) =�1 -
xx2�
• Df = R \ {- 1 , 1}
• f (0) = 0
• f (x) = 0 § x = 0 : Intersecção com os
eixos: (0 , 0)
• Assimptota vertical: x = - 1 e x = 1
Assimptota horizontal: y = 0
8.7. f (x) =�(2x
6-x2
2)2�
• Df = R \ {1}
• f (0) = 0
• f (x) = 0 § x = 0 : Intersecção com os
eixos: (0 , 0)
• Assimptota vertical: x = 1
Assimptota horizontal: y = �32
� ��64xx
2
2� = �32
��
8.8. f (x) =�xx
2
2
+-xx--122
�
• Df = R \ {- 1 , 2}
• f (0) = 6 : Intersecção com Oy : (0 , 6)
• f (x) = 0 § x = 3 › x = - 4 ; Intersec-
ção com Ox : (3 , 0) e (- 4 , 0)
• Assimptota vertical: x = 2 e x = - 1
Assimptota horizontal: y = 1
9. Seja r : y = x - 2 ; (0 , - 2) e Pág. 23(2 , 0) são pontos de r .
Logo, y = x - 2 é uma equação de t .
Então, limx" +?
[f (x) - (x - 2)] = 0 .
B .
10.1. f (x) =�2xx+-
35
�
• Df = R \ {- 3} ;
• Pontos de intersecção com os eixos:
�0 , - �53
�� , ��52
� , 0�• Assimptotas: x = - 3 ; y = 2
y
0 x–3
2
525
3–
y
0 x2–1–4 3
1
6
x2 + x - 12 = 0
§ x = 3 › x = - 4
x2 - x - 2 = 0
§ x = 2 › x = - 1
y
0 x1
32
y
0
x
1–1
y
0 x
1
y
x–1
32
0
56
Funções II
10.2. f (x) =�xx
2
2
--
19
�
• Df = R \ {- 3 , 3} ;
• Pontos de intersecção com os eixos:
�0 , �19
�� , (- 1 , 0) , (1 , 0) ;
• Assimptotas: x = - 3 ; x = 3 ; y = 1 ;
10.3. f (x) =�(x
3-x2
1)2�
• Df = R \ {1} ;
• Pontos de intersecção com os eixos: (0 , 0) ;
• Assimptotas: x = 1 ; y = 3 ;
10.4. f (x) =�x2
3+x
4�
• Df = R ;
• Pontos de intersecção com os eixos: (0 , 0) ;
• Assimptotas: y = 0 ;
10.5. f (x) =�x2 -
2x - 6� ; x2 - x - 6 = 0
§ x = - 2 › x = 3
• Df = R \ {- 2 , 3} ;
• Pontos de intersecção com os eixos: �0 , - �13
�� ;
• Assimptotas: x = - 2 ; x = 3 ; y = 0 ;
10.6. f (x) =�x2
x+
2
1�
• Df = R ;
• Pontos de intersecção com os eixos: (0 , 0) ;
• Assimptotas: y = 1 ;
11.1. f (x) =�x2
x- 1� = x - �
1x�
• Df = R \ {0} ;
• Pontos de intersecção com os eixos:
(- 1 , 0) , (1 , 0) ;
• Assimptotas: x = 0 ; y = x ;
11.2. g (x) =�x2 -
x5-x3+ 4
� = x - 2 -�x -
23
�
• Df = R \ {3} ;
• Pontos de intersecção com os eixos:
�0 , - �43
�� , (1 , 0) , (4 , 0) ;
y
0 x1
y = x
–1
y
0 x
1
y
0 x3–2
y
x0
y
0 x
3
1
y
0 x–3
1
31–1
57
x2 - 5x + 4 = 0 § x = 1 › x = 4 x2 - 5x + 4 |x - 3- x2 + 3x + 4 x - 2 - 2x + 4
2x - 6- 2
1 Funções racionais
• Assimptotas: x = 3 ; y = x - 2 ;
11.3. f (x) =�x2 -
x4-x2+ 3
� = x - 2 -�x -
12
�
• Df = R \ {2} ;
• Pontos de intersecção com os eixos:
�0 , - �32
�� , (1 , 0) , (3 , 0) ;
• Assimptotas: x = 2 ; y = x - 2 ;
12. N (t) =�t7+51t0
� ; Pág. 24
• Assimptota horizontal: y = 75 ;
O número de peças montadas diariamente por
um empregado experiente tende a estabilizar
num valor próximo de 75 .
13. Pág. 25
13.1. xy = 500 § y = �50x0
�
P (x) = 2x + 2y
P (x) = 2x + 2 *�50x0
�
P (x) =�2x2 +x1000�
13.2.
Calculando o mínimo de P , verifica-se que o
menor gasto de rede corresponde a x = y ) 22,4 m .
14. C (P) =�10
600-0
P� Pág. 26
14.1.
14.2. C (50) =�100
60-050
� = 12
12 000 Æ
14.3. C (P) = 900 § �10
600-0
P� = 900
§ 600 = 90 000 - 900P
§ 900P = 89 400 § P ) 99,3
P ) 99,3%
15. C� (x) =�2,5x + 1x0 0000� Pág. 27
15.1. a) C (50) =�2,5 * 5050+ 10 000� = 202,5 Æ ;
b) C (500) = = 22,5 Æ ;
c) C (5000) = = 4,5 Æ ;
15.2. Assimptota vertical: x = 0 ;
Assimptota horizontal: y = 2,5 ;
2,5 * 5000 + 10 000���
5000
2,5 * 500 + 10 000���
500
p %
C
100
y
x500 m2
N
0 t
75
y
0 x1 2 3
–2
y = x
– 2
y
0 x1 2 4
–2
y = x
– 2
3
58
x2 - 4x + 3 = 0 § x = 1 › x = 3
x2 - 4x + 3 |x - 2- x2 + 2x + 4 x - 2 - 2x + 3
2x - 4- 1
Funções II
15.3.
15.4. Para uma produção muito elevada, o custo
médio por artigo produzido tende a estabilizar
num valor próximo de 2,5 Æ .
16. Vinho Álcool Pág. 28A 100 L 10 LB x L 0,13x
x + 100 0,13x + 10
16.1. C =�0,x13+x1+00
10�
16.2. C = 0,115 § �0,
x13+x1+00
10� = 0,115
§ 0,115x + 11,5 = 0,13x + 10
§ 0,015x = 1,5 § x = 100
100 L .
17. A : 1 h " �1t� da piscina Pág. 29
B : 1 h " �t +
12
� da piscina
A e B : 1 h " �1t� +�
t +1
2� =�
t2(tt++
22)
� da piscina
T (t) =�t2(tt++
22)
� tempo que leva a encher a piscina
com as duas torneiras abertas.
T (t) < 10 § �t2(tt++
22)
� < 10
§t > 0
t2 + 2t < 20t + 20
§ t2 - 18t - 20 < 0
§t > 0
0 < t < 9 +�101�
§ 0 < t < 19,05 (2 c. d.)
t varia entre 0 e 19,05 h (2 c. d.)
18.1. �x -
21
� -�1
3- x� = 1 Pág. 38
§ �x -
21
� +�x -
31
� - 1 = 0
§ �2 + 3
x --
1x + 1� = 0
§ 6 - x = 0 ‹ x - 1 0 0 § x = 6 ;
18.2. �x
x+
2
1� - x �
x +1
1� = �
32
� § �x
x+
2
1� -�
x +x
1� - �
32
� = 0
§ = 0
§ �2x
2
2
(-x5+x1-)3
� = 0
§ 2x2 - 5x - 3 = 0 ‹ 2 (x + 1) 0 0
§ �x = - �12
� › x = 3� ‹ x 0 - 1
§ x = - �12
� › x = 3 ;
18.3. �x -
x1
� -�x -
11
� - �34
� = �43x�
§ �x -
x1
� -�x -
11
� - �34
� - �43x� = 0
§ = 0
§ 4x2 - 4x - 3x2 + 3x - 3x + 3 = 0 ‹‹ 4x (x - 1) 0 0 §
§ x2 - 4x + 3 = 0 ‹ (x 0 0 ‹ x 0 1)
§ (x = 3 › x = 1) ‹ (x 0 0 ‹ x 0 1)
§ x = 3 ;
18.4. �x2
2-4x
16� -�
x3-x4
� =�x +
54
�
§ �(x - 4
2)4(xx + 4)� -�
x3-x4
� -�x +
54
� = 0
(1) (x + 4) (x - 4)
§ = 0
§ = 0
§ - 3x2 + 7x + 20 = 0 ‹ (x - 4) (x + 4) 0 0
§ x = ‹
‹ (x 0 4 ‹ x 0 - 4)
§ �x = - �53
� › x = 4� ‹ (x 0 4 ‹ x 0 - 4)
§ x = - �53
� .
19.1. �3x
� - 1 >�2x
4+ 1� Pág. 40
§ 4x - 12 > 6x + 3 § 2x < - 15
§ x < - �125� § x å �- ? , - �
125��
- 7 ¿�49 + 2�40���
- 6
24x - 3x2 - 12x - 5x + 20���
(x - 4) (x + 4)
24x - 3x (x + 4) - 5 (x - 4)���
(x - 4) (x + 4)
4x2 - 4x - 3x (x - 1) - 3 (x - 1)����
4x (x - 1)
2x2 - 2x - 3 (x + 1)���
2 (x + 1)
x
C
2,5
59
t2 - 18t - 20 = 0 §
§ t =��18 ¿ 1�282 + 80��
§ t =�18 ¿ 22
�101��
§ t = 9 ¿ �101�
9 – V√101 9 + V√101
1 Funções racionais
19.2. �x3+-
1x
� < 0 § x å ]- ? , - 1[ ∂ ]3 , + ?[
19.3. �xx+-
13
� > 2 § �xx+-
13
� - 2 > 0
§ �x + 1
x--
23x + 6
� > 0 § �-xx-+37
� > 0
§ x å ]3 , 7[
19.4. �2x
x+ 3� ≤ 3 § �
2xx+ 3� - 3 ≤ 0
§ �2x + 3
x- 3x� ≤ 0 § �
- xx+ 3� ≤ 0
§ x å ]- ? , 0[ ∂ [3 , + ?[
20.
20.1. �30
x- x� = �
35
� § �30
x- x� - �
35
� = 0
§ 5x - 90 + 3x = 0 ‹ 30- x 0 0
§ 8x = 90 ‹ x 0 30 § x = 11,25
11,25 cm ;
20.2. �30
x- x� < �
35
� § �30
x- x� - �
35
� < 0
§ �5x5-(3
900-+x3)x
� < 0 § �58(x30--90
x)� < 0
§ x å �- ? , �445�� ∂ ]30 , + ?[
8x - 90 = 0 § x = �445�
21. dA = (340t) m Pág. 44dB = 340 (t + 2) m = (340t + 2 * 340) m
dA - dB = 680 m
2a = 680 § a = 340
2c = 10 000 § c = 5000
c2 = a2 + b2 § 50002 = 3402 + b2
§ b2 = 24 884 400
a2 = 3402 = 115 600
A explosão registou-se sobre um dos ramos da
hipérbole �115
x2
600� -�
24 88y4
2
400� = 1 de focos nos
pontos onde se situam os receptores A e B
(dA - dB = 680 m) .
1.1. �x -
x3
� ; Pág. 49
D = {x å R : x - 3 0 0} ;
1.2. �x
x+
3
1� ;
D = {x å R : x2 + 1 0 0} = R ;
1.3. �2x +-
2x
� ;
D = {x å R : x + 2 0 0} = R \ {- 2} ;
1.4. �x2 +
19x
� ;
D = {xåR : x2 + 9x 0 0} = R \ {0 , - 9}
x2 + 9x = 0 § x (x + 9) = 0 § x = 0 › x = - 9 ;
1.5. �51--
xx2� ;
D = {x å R : 5 - x2 0 0} = R \ {-�5� , �5�} ;
1.6. ;
D = {x å R : �xx-+
31
� 0 0 ‹ x + 1 0 0}
= R \ {- 1 , 3} ;
1.7. ;
D = {x å R : (x2 + 1) (x2 - 8x + 7) 0 0}
= R \ {1 , 7}
x2 - 8x + 7 = 0 § x = 1 › x = 7 ;
1.8. ;
D = {x å R : (x2 - 3) (9x2 - 10x + 1) 0 0}
= R \ �-�3� , �19
� , 1 , �3��9x2 - 10x + 1 = 0 § x = �
19
� › x = 1 ;
1.9. �|x|
1
- 5� -�
2xx+-19
� ;
D = {x å R : |x|- 5 0 0 ‹ 2x - 9 0 0}
= R \ �- 5 , �92
� , 5�|x|- 5 = 0 §|x|= 5 § x = - 5 › x = 5 .
4x2 + x + 1���(x2 - 3) (9x2 - 10x + 1)
x���(x2 + 1) (x2 - 8x + 7)
1��xx-+
31
�30 – x x
60
x �445� 30
8x - 9 0 + + +
5 (30 - x) + + 0 -
0 + -
x - 1 3 + ?
x + 1 0 + + +
3 - x + + 0 -
�x3+-
1x
� 0 + -
- ?
-
+
-
-
+
-
x 0 3
- x + 3 + + 0 -
x 0 + + +
+ 0 -
+
-
-
x 3 7 + ?
- x + 7 + + 0 -
x - 3 0 + + +
�-xx-+37
� + 0 -
- ?
+
-
-
Funções II
2.1. A (x) =�3100xx2
2� = �31x� ; DA = R \ {0}
B (x) = �31x� ; DB = R \ {0}
São equivalentes;
2.2. A (x) =�xx
2
2
-+
255x
� =�(xx-(5x)+(x5)+ 5)
� =�x -
x5
� ;
DA = R \ {0 , - 5}
B (x) =�x -
x5
� ; DB = R \ {0}
Não são equivalentes. DA 0 DB .
3.1. �150xx
2
4� = �21x2� ; D = R \ {0}
�21x2� ; R \ {0} ;
3.2. �36(xx2
--
16)2
� =�6 (x
3-(x1)-
(1x)+
2
1)� =�3
6((xx-+
11))
�
=�2
x(x-+11)
� ;
D = R \ {- 1 , 1} ;
3.3. �1x --
xx
3
4� =�(1 -
xx(1
2)-(1
x2
+)
x2)� =�
x2
x+ 1� ;
D = R \ {- 1 , 1} ;
3.4. �x2
x-2 -4x
2+x
4� =�
x(x(x--2)2
2
)� =�
x -x
2� ;
D = R \ {0 , 2} ;
3.5. �x2 -
x2
5-x4+ 6
� =�((xx--
22))((xx-+
32))
� =�xx-+
32
� ;
D = R \ {- 2 , 2} ;
3.6. �342x2
--88x4� =�
-48(x(
2
x4
--24))
� =
=�2 (x-2
1+ 2)� ;
D = R \ {-�2� , �2�} ;
3.7. �2x +
38x++
x13
2+ 4x2� =
=�(x +
34()x
(+24+)x2)
� =�x2
3+ 2� ;
D = R \ {- 4} ;
3.8. �2x3
x2
-+82x2
x--
x24+ 4
� =
=�(x(x-+46))(2(xx2
--41))
� =�2xx2
+-61
� ;
D = R \ {- 6 , 4} ;
3.9. �(x4-x2
3-)2
2-8x
(4+-49
x)2
�
=
=�(2(x2x--7)
7*)2
1� =�
2x1- 7� ;
D = R \ ��72
�� ;
3.10. �(3
1x8+x3
5-)2
8-x9
� =
= =�2x
3(x3x+-82)
� ;
D = R \ �0 , - �23
� , �23
�� ;
3.11. �4x2
4-x2
4-xy
y+2
y2
� =�(2x -
(2yx)-(2yx)2
+ y)�
=�22xx-+
yy
� ‹ y 0 2x ;
3.12. �xx
2
2
-+3aaxx-+22aa2
2
� =�x2
x2
--axa2
-+2aaxx-+
a2
2
a2
�
=
=�(x(x--a)a)(x(x+-a2+a)a)
� =�xx-+
22aa
� ‹ x 0 a .
4.1. �3x
5+ 2� -�
4x1+0
1� =�
3x1+5
1�
(6) (3) (2)
= =�12x
3+0
11� ,
D = R ;
4.2. �2x� + �
23x� - �
x52� =�
4x +23xx2
- 10� =�
7x2-x2
10� ,
(2x) (x) (2)
D = R \ {0} ;
4.3. �4x� -�
x5-x1
� =�4xx-(x
4--15)x2
� =�- 5xx2
(x+-4x1)- 4
� ,
D = R \ {0 , 1} ;
4.4. x + �1x� =�
x2
x+ 1� , D = R \ {0} ;
4.5. �x -
x1
� - 2x =�x - 1x- 2x2
� =�- 2x2 +x
x - 1� ,
D = R \ {0} ;
4.6. �x -
22
� -�x +
32
� =�2(xx+-
42)-(x3x++2)6
� =�-xx2 -+
410
� ,
D = R \ {- 2 , 2} ;
18x + 12 - 12x - 3 + 6x + 2���
30
x (x - a) - 2a (x - a)���(x - a) (x + a) + a (x - a)
(3x + 2) (3x + 8)���2x (3x - 2) (3x + 2)
(3x + 5 - 3) (3x + 5 + 3)���
2x (9x2 - 4)
[(x - 3) - (4 - x)] [(x - 3) + (4 - x)]����
(2x - 7)2
2x2 (x - 4) - (x - 4)���
(x + 6) (x - 4)
3 (x + 4)���2 (x + 4) + x2 (x + 4)
1 (x2 - 2)���- 2 (x2 - 2) (x2 + 2)
61
1 Funções racionais
4.7. �x2
4- 4� -�
22-xx
� +�x +
32
� Pág. 50
=�x2
4- 4� +�
x2-x2
� +�x +
32
�
(x + 2) (x - 2)
= =�2x2
x+2 -7x
4- 2
� ,
D = R \ {- 2 , 2} ;
4.8. �(3xx--11)2� +�
1 -1
x2� =�(3xx--11)2� -�
(x - 1)1(x + 1)�
(x + 1) (x - 1)
=
= =�(x -
31x)
2
2
+(x
x+ 1)
� ,
D = R \ {- 1 , 1} ;
4.9. �4x2
4- 9� -�
4x2 +31x2x + 9� +�
2x1- 3�
=�(2x - 3)
4(2x + 3)� -�
(2x3+x3)2� +�
2x1- 3�
(2x + 3) (2x - 3) (2x + 3)2
=
=�(-2x
2x+
2
3+)2
2(92xx+-231)
� ,
D = R \ �- �32
� , �32
�� ;
4.10. �x3 -
39x
� +�3 (x
2- 3)2� +�
x2 +1
3x�
=�x (x - 3
3) (x + 3)� +�
3 (x2- 3)2� +�
x (x1+ 3)� =
3 (x - 3) x (x + 3) 3 (x - 3)2
=
=�3x (x
5-x2
3-)2
3(xx + 3)
� =�3x (x
x-(5
3x)-2 (
3x)+ 3)
�
=�3 (x -
5x3)-2 (
3x + 3)
� ,
D = R \ {- 3 , 0 , 3} ;
4.11. �2x� * �
x6
2
� = �3x
� ,
D = R \ {0} ;
4.12. �x2 -
x4
16� *�
x2 +x2
4x� =�(x -
x4
4*)x(x
(x++4)
4)* x2
� =�x
x-
3
4� ,
D = R \ {0 , - 4} ;
4.13. �(x
x+
2
1-)1* 5
� =�x -
51
� ,
D = R \ {- 1 , 1} ;
4.14. (x + 1) : �5x2
x2
- 5� =�
5 ((xx-+
11))(*x
x+
2
1)�
=�5 (x
x2
- 1)� ,
D = R \ {- 1 , 0 , 1} ;
4.15. �x2
2-x
9� : �
x2 +46xx2
+ 9� =�(x - 3)
2x(x + 3)� *�
(x4+x2
3)2�
=�2xx(x+-33)
� ,
D = R \ {- 3 , 0} ;
4.16. �22xx
2
2
--
3xx-+110
� : �xx-+
12
�
= *�xx+-
21
� =�22xx--
15
� ,
D = R \ �- 2 , �52
� , 1� .
5.1. �x2
x+2 -4x
2+x
4� *�4
xx2
2
+-21x6
� : �4xx-+28
�
=
=�x2
x-2
4� ,
D = R \ {- 2 , 0 , 2} ;
5.2. �12
� ��x -1
2� + x� : �
x2
2- 1� * (x + 1)
= �12
� �1 +
xx-
2 -2
2x� *�
x2
2- 1� * (x + 1)
= =�xx--
12
� ,
D = R \ {- 1 , 1 , 2} ;
5.3. ��x12� - �
19
�� : (x + 3) =�99-x2
x2
� *�x +
13
�
=�- (9xx-2 (3x)+(x
3+)
3)� =�
39-x2
x� ,
D = R \ {- 3 , 0} ;
5.4. ��4x� - 1�
2
*�x2 -
x2
16� =�
(4 -x2
x)2
� *�(x - 4)
x2
(x + 4)�
=�xx-+
44
� ,
D = R \ {- 4 , 0 , 4} ;
5.5. �x -�x +
x1
�� : ��x -x
1� + x� =�x
2
x++x1- x
� : �x +
xx-
2
1- x
�
=�x
x+
2
1� *�
xx-2
1� =�
xx-+
11
� ,
D = R \ {- 1 , 0 , 1} ;
(x - 1)2 (x + 1)���(x - 2) (x - 1) (x + 1)
(x + 2)2 * 4 (x - 2) (x + 2) * (x - 2)����
x (x - 2) * x (x + 2) * 4 (x + 2)
2 (x - 1) �x - �12
����
2 (x + 2) �x - �52
��
9x - 27 + 2x2 + 6x + 3x2 - 18x + 27����
3x (x - 3)2 (x + 3)
8x + 12 - 6x2 + 9x + 4x2 + 12x + 9����
(2x + 3)2 (2x - 3)
3x2 + 3x - x - 1 - x + 1���
(x - 1)2 (x + 1)
(3x - 1) (x + 1) - (x - 1)���
(x - 1)2 (x + 1)
4 + 2x2 + 4x + 3x - 6���
(x - 2) (x + 2)
62
Funções II
5.6. : �x2
x-2
4� = *�
x2
x-
2
4�
= =�(x-+x2
2
)2� ,
D = R \ {- 2 , 0 , 2} .
6.1. ��a -a
b� -�
a +1
b� -�
a2 -b
b2�� : �b -
aa
�
= *�- (aa- b)�
=�- [aa(a(a++bb))- a]
� =�- aa(a(a++bb-)
1)�
=�- (aa++bb- 1)
� , a 0 b ‹ a 0 - b ‹ a 0 0 ;
6.2. �x2 - 6
5xxy2
+ 9y2
� * ��x2
1-0x9y2
��- 1
=�(x -5x
32
y)2
� *�(x - 3y
1)0(xx + 3y)�
=�2x (
(xx+-
33yy))
� , x 0 3y ‹ x 0 - 3y ‹ x 0 0 .
7.1. �x +
k1
� +�x -
P3
� =�(x +
51x)-(x
3- 3)
�
§ kx - 3k + px + p = 5x - 3
k = 2 ‹ p = 3 ;
7.2. x -�kxx++3p
� =�xx
2
++
34
� § �x2 + 3
xx+-3kx - p
� =�xx
2
++
34
�
k = 3 ‹ p = - 4 .
8.1. �45+-
xx
� = 2 § �45+-
xx
� - 2 = 0
§ �4 + x
5--10x+ 2x
� = 0
§ 3x - 6 = 0 ‹ 5 - x 0 0 § x = 2 ;
8.2. �x +
53
� = 0 § x å O ;
8.3. �1x� +�
x +1
4� =�
x2 +5
4x�
§ �1x� +�
x +1
4� -�
x (x5+ 4)� = 0
§ �x +
x4(x++x4-)
5� = 0 §
§ 2x - 1 = 0 ‹ x (x + 4) 0 0 § x = �12
� ;
8.4. �x2
6-x
9� +�
3 -x
x� =�
x +x
3�
§ �(x - 3)
6x(x + 3)� -�
x -x
3� -�
x +x
3� = 0
§ = 0
§ - 2x2 + 6x = 0 ‹ (x + 3) (x - 3) 0 0
§ - 2x (x - 3) = 0 ‹ (x 0 - 3 ‹ x 0 3)
§ x = 0
8.5. �xx-+ 3
2� +�
22- x� =�
4 -1
x2� Pág. 51
§ �xx+-
32
� -�(x -
22)
� +�(x - 2)
1(x + 2)� = 0
§ = 0
§ x2 + 3x + 3 = 0 ‹ (x - 2) (x + 2) 0 0
§ x å O ;
8.6. �3(x(x--1)22
)� -�
(2x5- 2)� =�
x -3
x2�
§ �3(x(x--1)22
)� -�
2 (x5- 1)� +�
x (x3- 1)� = 0
(2x) x (x - 1) 2 (x - 1)
§ = 0
§ �2xx
2 -(x
x--16)2� = 0
§ x2 - x - 6 = 0 ‹ 2x (x - 1)2 0 0
§ x = - 2 › x = 3 ;
8.7. �x +
x1
� -�x +
x1
� = 1 -�x2
1+ x�
§ �x +
x1
� -�x +
x1
� +�x (x
1+ 1)� - 1 = 0
§ = 0
§ �-x (
xx
2
+-
13)x
� = 0 § �xx(-(x
x+-13))
� = 0
§ x = - 3 ;
8.8. �1x� +�
x +1
2� +�
x +1
3� = 0
§ = 0
§ �x3(xx2
++21)0(xx++
63)
� = 0
§ 3x2 + 10x + 6 = 0 ‹ x (x + 2) (x + 3) 0 0
§ x =�- 10 ¿�6100 -�72�� ‹ x 0 0 ‹
‹ x 0 - 2 ‹ x 0 - 3 § x =�- 10 ¿62 �7��
§ x =�- 5 -3
�7�� › x =�- 5 +
3�7�� ;
x2 + 5x + 6 + x2 + 3x + x2 + 2x����
x (x + 2) (x + 3)
x2 - x2 - 2x - 1 + 1 - x2 - x���
x (x + 1)
6x (x - 2) - 5x (x - 1) + 6 (x - 1)����
2x (x - 1)2
x2 + 5x + 6 - 2x - 4 + 1���
(x - 2) (x + 2)
6x - x2 - 3x - x2 + 3x���
(x + 3) (x - 3)
k = 3
p = - 4
abc
§3 - k = 0
- p = 4
abc
§
p = 3
k = 2
abc
§p = 5 - k
- 4k = - 8
abc
§k + p = 5
- 3k + p = - 3
abc
§
a (a + b) - (a - b) - b���
(a - b) (a + b)
2x (2 - x) * x2
���2x (2 + x) (x + 2) (x - 2)
�22-xx
�
��22+xx
�
�1x� - �
12
�
��1x
� + �12
�
63
1 Funções racionais
9.1. A = {x å R : x2 - 3x = 4} = {- 1 , 4}
x2 - 3x = 4 § x2 - 3x - 4 = 0
§ x = - 1 › x = 4 ;
9.2. B = �x å R : x +�x -
11
� =�x
x-
2
1�� = O
x +�x -
11
� =�x
x-
2
1� § �
x2
x--x
1+ 1
� =�x
x-
2
1�
§ x2 - x + 1 = x2 ‹ x 0 1 § x = 1 ‹ x 0 1
§ x å O ;
9.3. C = {xåR : (x + 3)3 - (x + 3) = 0} = {- 4 , - 3 , - 2}
(x + 3)3 - (x + 3) = 0 § (x + 3) [(x + 3)2 - 1] = 0
§ x + 3 = 0 › (x + 3)2 = 1
§ x = - 3 › x + 3 = 1 › x + 3 = - 1
§ x = - 3 › x = - 2 › x = - 4 ;
9.4. D = �x å R : 2 +�x -
x1
� =�x +
21
�� = �0 , �13
��2 +�
x -x
1� =�
x +2
1� § 2 +�
x -x
1� -�
x +2
1� = 0
§ = 0
§ = 0
§ 3x2 - x = 0 ‹ (x - 1) (x + 1) = 0
§ x (3x - 1) = 0 ‹ x 0 1 ‹ x 0 - 1
§ x = 0 › x = �13
� .
10.1. 3x < 6 § x < 2 ;
10.2. - 3x < 6 § x > - 2 ;
10.3. - 3x < - 6 § x > 2 ;
10.4. 3x < - 6 § x < - 2 .
11.1. (x - 1) (4 + 5x) > 0
(x - 1) (4 + 5x) = 0 § x = 1 › x = - �45
�
§ x å �- ? , - �45
�� ∂ ]1 , + ?[ ;
11.2. (2 - 3x) (x + 3) < 0
(2 - 3x) (x + 3) = 0 § x = �23
� › x = - 3
§ x å ]- ? , - 3[ ∂ ��23
� , + ?� ;
11.3. (x2 + 6) (3x + 5) < 0 § 3x + 5 < 0
§ x < - �53
� § x å �- ? , - �53
�� ;
11.4. (2 - x) (5x + 7) > 0
(2 - x) (5x + 7) > 0 § x = 2 › x = - �75
�
§ x å �- �75
� , 2� ;
11.5. 3x2 + 8x < 0
3x2 + 8x = 0 § x (3x + 8) = 0 § x = 0 › x = - �83
�
§ x å �- �83
� , 0� ;
11.6. (x2 - 9) (x2 + x) < 0 § xå ]- 3 , - 1[ ∂ ]0 , 3[
x2 - 9 = 0 § x = - 3 › x = 3 ;
x2 + x = 0 § x (x + 1) = 0 § x = 0 › x = - 1
11.7. (x - 1) (4 - x2) (x2 - 3x) < 0
§ x å ]- 2 , 0[ ∂ ]1 , 2[ ∂ ]3 , + ?[
• x - 1 = 0 § x = 1 ;
• 4 - x2 = 0 § x = - 2 › x = 2
• x2 - 3x = 0 § x (x - 3) = 0
§ x = 0 › x = 3
11.8. (3x - 1) (x - 1)2 (x - 3)3 ≥ 0
§ x å �- ? , �13
�� ∂ {1} ∂ [3 , + ?[
0–83
–
2+
75
–
––3
–23
+1
+45
–
2x2 - 2 + x2 + x - 2x + 2���
(x - 1) (x + 1)
2 (x2 - 1) + x (x + 1) - 2(x - 1)����
(x - 1) (x + 1)
64
-3 -1
x2 - 9 0 - - -
x2 + x + + 0 -
0 - 0 +
0 3
- - 0 +
0 + + +
0 - 0 +
+
+
+
0
x - 1 - - - -
4 - x2 - + + +
+ - 0 +
1
0 + + +
+ + - -
0 - + -
2
+
0
0
3
+
-
0
x2 - 3x + + 0 - - - - +- 0
-2
-
0
0
+
�13� 1
3x - 1 0 + + +
(x - 1)2 + + 0 +
(x - 3)2 - - - -
3
- +
+
-
+
+
+
+
0 +
0 - 0 - 0 +
Funções II
12.1. �2x
3+ 3� ≥ 0 § 2x + 3 > 0 § x > - �
32
� ;
12.2. �2x2
-+35x
� < 0 § 2 - 3x < 0
§ 3x > 2 § x > �23
� ;
12.3. �xx
2
2
-+
2255
� ≥ 0 § x2 - 25 ≥ 0
§ x ≤ - 5 › x ≥ 5
§ x å ]- ? , - 5] ∂ [5 , + ?[ ;
12.4. �2x--
31x
� ≥ 0 § x å ��23
� , 1�
12.5. �(x - 3)
x2
(4 + x)� ≥ 0
§ x å ]- ? , - 4[ ∂ {0} ∂ ]3 , + ?[
12.6. �1x� > x § x - �
1x� < 0 § �
x2
x- 1� < 0
§ x å ]- ? , - 1[ ∂ ]0 , 1[
12.7. �3x
1+ 1� ≥ �
1x� § �
3x1+ 1� - �
1x� ≥ 0
§ �xx-(3
3xx+-11)
� ≥ 0
§ �x-(32xx+-
11)
� ≥ 0
§ x å �- ? , - �12
�� ∂ �- �13
� , 0�
12.8. �x2
(x(x-+1)3
3
)2�≤ 0 § x - 1 ≤ 0 ‹ x 0 0 ‹ x 0 - 3
§ x ≤ 1 ‹ x 0 0 ‹ x 0 - 3
§ x å ]- ? , - 3[ ∂ ]- 3 , 0[ ∂ ]0 , 1] ;
12.9. �(3xx2
+-1x)4
5
� ≥ 0 § �x2
(x(3+-1)x
5
2)� ≥ 0
§ xå ]-? , -�3�[ ∂ [- 1 , 0[ ∂ ]0 , �3�[
12.10. �-
x(2
x--
13)4
� ≥ 0 § �(xx2
--31)4
� ≤ 0
§ x = 3 › x2 - 1 < 0
§ x = 3 › x å ]- 1 , 1[
§ x å ]- 1 , 1[ ∂ {3}
13.1. f (x) = �1x�
Df = R \ {0} ; x = 0 ; y = 0 ;
13.2. f (x) =�5x
x- 1�
Df = R \ {0} ; ��15
� , 0� ; x = 0 ; y = 5 ;
13.3. f (x) =�xx--�13�
�
Df = R \ {�3�} ; �0 , ��33��� ; (1 , 0) ;
x =�3� ; y = 1 ;
13.4. f (x) =�2xx+-11
� Pág. 52
Df = R \ {- 1} ; (0 , - 1) ; ��12
� , 0� ;
x = - 1 ; y = 2 ;
13.5. f (x) =�xx
2
2
--
14
�
Df = R \ {- 2 , 2} ; �0 , �14
�� ; (- 1 , 0) ;
(1 , 0) ; x = - 2 ; x = 2 ; y = 1 ;
13.6. f (x) =�x2
x+
2
9�
Df = R ; (0 , 0) ; y = 1 ;
13.7. f (x) =�x2
1+-x -
x2
� ; x2 + x - 2 = 0
§ x = 1 › x = - 2
Df = R \ {- 2 , 1} ; �0 , - �12
�� ;
x = - 2 ; y = 0 ;
5–5
65M11FNAGP - 5
-1
(x + 1)5 - - 0 +
x2 + + + +
3 - x2 - + + +
�3�
+
+
- 0
+
+
+
+
0
-
-
0
+ +
+ 0
+ +
+
�23� 1
x - 1 - - 0-
2 - 3x 0 - -+
-
+
-
+ 0 -
- 1 0
x2 - 1 0 - - -
x - - 0 +
+
-
-
1
0
0
+
+
+
- 0
+
+
- �12� - �
13�
- 2x - 1 0 - -
0
x (3x + 1) + + 0
- -
- 0
+
+
+
+
-
+
0 - -
- 4 0
x2 + 0 ++
x - 3 - - -
+
4 + x + + +
3
-
+
- 0
+
0
-
+
+
+
-
+0 +
-
-�3�-
+
0
1 Funções racionais
13.8. f (x) =�x3 +
x2
5x-2
x+ 8x
�
Df = R \ {0} ;
(1 , 0) ; y = 0 ;
13.9. f (x) =�(x4 - 3
xx2 - 4)2�
Df = R \ {- 2 , 2} ;
(0 , 0) ; x = - 2 ;
x = 2 ; y = 0 .
14.1.
(0 , 0)
14.2. f (x) =�(xx
2
++11)2�
Df = R \ {- 1} ; Assimptotas: x = - 1 ; y = 1
(0 , 1)
14.3. f (x) =�x2 -
5x - 6�
Df = R \ {- 2 , 3} ;
Assimptotas: x = - 2 ; x = 3 ; y = 0
�0 , - �56
��
14.4. f (x) =�(2x
5- 1)2�
Df = R \ ��12
�� ; Assimptotas: x = �12
� ; y = 0
(0 , 5)
15. f (x) =�xx++
44
� = 1 , Df = R \ {- 4}
Assimptotas: y = 1
g (x) =�x2
x+ 1� = x + �
1x� , Dg = R \ {0}
Assimptotas: x = 0 ; y = x
h (x) =�x2
x+ 1� , Dh = R
Assimptotas: y = 0
i (x) = �2x
� , Di = R
Assimptotas: y = �2x
�
j (x) = �2x� , Dj = R \ {0}
Assimptotas: x = 0 ; y = 0
k (x) =�21x2
--x2
2� =�
-2 (
(xx
2
2
--
11))
� = - 2 , Dk = R \ {- 1 , 1}
Assimptotas: y = - 2
l (x) =�(x -
x2
5)2� , Df = R \ {5}
Assimptotas: x = 5 , y = 1
15.1. g , i ;
15.2. f , h , i , k ;
15.3. g , i .
16.1. �9x--
x32� =�
(3 - xx)-(33+ x )
� =�x-+13
� ;
D = R \ {- 3 , 3} ;
16.2. �x2 +
x25--5
10x� =�
(xx--
55)2� =�
x -1
5� ;
D = R \ {5} ;
16.3. = =�x (x
2+ 2)� ;
D = R \ {0} ;
�x +
22
�
��1x
�
�2x
� + 1
��1x
�
y
0 x12
5
y
0 x3–2
§ x2 - x - 6 = 0
§ x = - 2 › x = 3
y
0 x
1
–1
y
0 x
1
–1
66
x2 - x = 0
§ x = 0 › x = 1
x3 + 5x2 + 8x = 0
§ x (x2 + 5x + 8) = 0
§ x = 0
x4 - 3x2 - 4 = 0
§ (x2)2 - 3x2 - 4 = 0
§ x2 = - 1 › x2 = 4
§ x = - 2 › x = 2
Funções II
16.4. �3xx++
3x2
� =�x (
x3++3x)
� = x ;
D = R \ {- 3} ;
16.5. �(2x5--5x)2
2
� =�(5 -
(5x)-(x5)2
+ x)� =�
55-+
xx
� ;
D = R \ {- 5 , 5} ;
16.6. �1
1- x� - �
2x� =�x
x-(12-+
x2)x
� =�x3(x1--
2x)
� ;
D = R \ {0 , 1} ;
16.7. �x2
x-2 -3x
4-x
4� =�(x +
x (1x)-(x
4-)
4)� =�
x +x
1� ;
D = R \ {0 , 4} ;
16.8. �x4
x+
5
x-3
x+
2
x2�
=�x2
x(
2
x(2
x+
3 -x +
1)1)
�
= = x - 1 ;
D = R \ {0} ;
16.9. = =�2
3(xx2
*-x1)
� =�2 (x
32
x-
2
1)� ;
D = R \ {- 1 , 0 , 1} .
17.1. x - �1x�= 0 § �
x2
x- 1� = 0 § x = 1 › x = - 1 ;
17.2. �xx
2
--
24
� = 0 § x2 - 4 = 0 ‹ x - 2 0 0
§ x = - 2 ;
17.3. x +�2x
2- 6� +�
x -1
3� = 2
§ x +�x -
13
� +�x -
13
� - 2 = 0
§ = 0
§ x2 - 5x + 8 = 0 ‹ x - 3 0 0 § x å O ;
17.4. 1 -�4x2
x- 1� = 2 +�
1 -x4x2� § �
1 -2x
4x2� + 1 = 0
§ -�4x2
x- 1� = 1 -�
4x2
x- 1� § x å O ;
17.5. �x -
11
� -�x +
21
� = -�1 -
3x2�
§ �x -
11
� -�x +
21
� -�(x - 1)
3(x + 1)� = 0
§ �x + 1 -
x2
2-x
1+ 2 - 3� = 0
§ - x = 0 ‹ x2 - 1 0 0 § x = 0 ;
17.6. �13
� +�16--
23xx
� =�x2
x-
2
4�
§ �13
� +�32(xx--
12)
� -�(x - 2)
x2
(x + 2)� = 0
§ = 0
§ �3 (x -
3x2)-(6x + 2)
� = 0
§ 3x - 6 = 0 ‹ x 0 2 ‹ x 0 - 2
§ x å O .
18.1. �1x� > 4 § �
1x� - 4 > 0 Pág. 53
§ �1 -
x4x
� > 0 § x å �0 , �14
��
18.2. �1x� < x § �
1x� - x < 0 § �
1 -x
x2
� < 0
§ x å ]- 1 , 0[ ∂ ]1 , + ?[
18.3. �1x� < 10- 3 § �
1x� -�
10100� < 0
§ �10100000-xx
� < 0
§ x å ]- ? , 0[ ∂ ]1000 , + ?[
18.4. x ≥ �4x� § x - �
4x� ≥ 0 § �
x2
x- 4� ≥ 0
§ x å [- 2 , 0[ ∂ [2 , + ?[
x2 - 4 + (2x - 1) (x + 2) - 3x2
����3 (x - 2) (x + 2)
x2 - 3x + 1 + 1 - 2x + 6���
x - 3
�2x
2+ x�
�
�x2
x- 1�
x + �12
� x
�x - �
1x
�
x2 (x - 1) (x2 + x + 1)���
x2 (x2 + x + 1)
67
1 0 0 - 11 1 1 1
1 1 1 |0 0 �14�
1 - 4x + + 0+
x 0 + +-
-
-
+
+ 0 -
- 2 0
x2 - 4 0 - -
2
x - - 0
- 0
+ +
- 0
+
-
-
+
+
0 + +
0
+1000 - x + +
-
1000
1000x 0 +
-
0
+
0
-
+
+ -
- 1 0
1 - x2 0 + +
1
x - - 0
+ 0
+ +
+ 0
-
-
+
-
+
0 - -
1 Funções racionais
18.5. �xx-+
55
� > 0 § x å ]- ? , - 5[ ∂ ]5 , + ?[
18.6. �xx-+
21
� ≤ 0 § x å ]- 1 , 2]
18.7. �xx-+
13
� < 1 § �xx-+
13
� - 1 < 0
§ < 0 § �x-+43
� < 0
§ x + 3 > 0 § x > - 3
§ x å ]- 3 , + ?[ ;
18.8. �3xx--42
� ≥ 3 § �3xx--42
� - 3 ≥ 0
§�3x - 2
x--
34x + 12
� ≥ 0 § �x1-04
� ≥ 0
§ x - 4 > 0 § x > 4 § x å ]4 , +?[ .
19. f (x) =�2x2
x2
+-3xx-+
32
� ; g (x) =�x3
x+2
1�
19.1. Df = {x å R : x2 + 3x + 2 0 0} = R \ {- 2 , - 1}
Dg = {x å R : x2 0 0} = R \ {0} ;
19.2. f (x) = 0 § 2x2 - x - 3 ‹ x å Df
§ �x = - 1 › x = �32
�� ‹ x å Df § x = �32
�
g (x) = 0 § x3 + 1 = 0 ‹ x 0 0 § x = - 1 ;
19.3. f (x) = =�2xx+-
23
� , x 0 - 1
g (x) = x + �x12�
Assimptotas de f : x = - 2 ; y = 2
Assimptotas de g : x = 0 ; y = x
19.4.1. f (x) =�2x2
x2
+-3xx--
32
� = 2
§ �2xx+-23
� - 2 = 0 ‹ x 0 - 1
§�2x- 3
x+-
22x- 4
�= 0 ‹ x 0 - 1 § xåO ;
19.4.2. g (x) ≥ x + 1 § �x3
x+2
1� - x - 1 ≥ 0
§ �x3 + 1 -
x2
x3 - x2
� ≥ 0
§ 1 - x2 ≥ 0 ‹ x 0 0
§ x å [- 1 , 0[ ∂ ]0 , 1] .
20.1.
(x - 3) * (y - 4) = 240
y - 4 =�x2-40
3� § y = 4 +�
x2-40
3�
A = x * y
A (x) = x * �4 +�x2-40
3��
§ A (x) = 4x +�x2-40
3�
§ A (x) =�4x2 - 1x2-x3+ 240x�
§ A (x) =�4x2
x+-2328x
�
20.2. x > 3
x ) 16,4
y = 4 +�16
2,440- 3�
) 21,9
D = ]3 , + ?[ , x ) 16,4 cm ; y ) 21,9 cm .
21.1. xy = 1000 § y =�10
x00� , x å R+
f (x) =�10
x00� ; Df = R+ ;
21.2. É porque xy = 1000 (constante) ;
21.3. y = x + 10
�10
x00� = x + 10 §
x > 0x2 + 10x - 1000 = 0
§x > 0
x = 27,02 (2 c. d.)
x = 27,02 ± y = 37,02 (2 c. d.)
x ) 27,02 cm ; y ) 37,02 cm .
240 cm21,5
2 cm
2 cm
1,5
x
y
1
+
–1
2 (x + 1) �x - �32
����
(x + 2) (x + 1)
x - 1 - x - 3��
x + 3
68
- 1 2
x - 2 - - 0-
x + 1 0 + +-
+
+
+
- 0 +
- 5 5
x - 5 - - 0-
x + 5 0 + +-
+
+
+
- 0 +
Funções II
22.1. Sumo Tomate Pág. 54150 L 0,4 * 150 = 60
x L 0,6x
150 + x 60 + 0,6x
C (x) =�6105+0
0+,6xx
� =�1650000++
61x0x
�
22.2. 0 ≤ x ≤ 1000 - 150 § 0 ≤ x ≤ 850
Dc = [0 , 850]
22.3.
22.4. �160xx
� = �160� = �
35
� = b
b = �35
� = 0,6
y = 0,6 . À medida que se aumenta a quanti-
dade de sumo com a concentração de
60% , a concentração do sumo resul-
tante vai-se aproximando deste valor.
22.5.1. C (x) = 0,55 § �1650000++
61x0x
� = 0,55
§x > 0
600 + 6x = 825 + 5,5x
§ 0,5x = 225 § x =�202,55
� § x = 450 L ;
22.5.2. C (x) < 0,6 , A x å D .
É impossível.
22.6. C (x) > 0,5 § �1650000++
61x0x
� > 0,5
§x > 0
600 + 6x > 750 + 5x
§ x > 150 L
150 L < x ≤ 850 L .
23.1.
23.2. C� (55) =�5 * 5555+ 100� ) 23,18
23,18 Æ ;
23.3. C (x) = 20 § �5x +
x1000� = 20
§x > 0
5x + 1000 < 20x § 15x = 1000
§ x ) 66,7
x ) 67 ;
23.4. �5xx� = 5
y = 5 . À medida que o número de unidades
produzidas aumenta, o seu custo médio
tende a estabilizar em 5 Æ .
23.5. C (x) < 20 § �5x +
x1000� < 20
§x > 0
5x + 1000 < 20x § 15x > 2000
§ x > 66,7
A empresa tem de produzir 67 unidades ou mais.
24.1. Sejam A1 (0 , 0) e Pág. 55
B1 (3 , 2)
m =�23--
0a
� =�3 -
2a
�
y - 0 =�3 -
2a
� * (x - a) § y =�23x --
2aa
�
é uma equação da recta AB .
24.2. A˚ =�a *
2b
� = �12
� a *�3--2a
a�
=�6--2a2
2
a�
24.3. y1 = (- 2x2) / (6 - 2x) / (x > 3)
25. h (t) = 5 +�100,1-tt
�
25.1. h (8) = 5 +�01,01-*
88
� = 7,5 Æ @ salário/hora
8 * 7,5 = 60 Æ ;
25.2. s (t) = t * h (t) = t * �5 +�100,1-tt
��= 5t + t �
(10t- t)� * �
01,1� =
= 5t + (10 - t) * 10 = 5t + 100 - 10t
s (t) = 100 - 5t ;
25.3. s (t) = 55 § 100 - 5t = 55
§ 5t = 45 § t = 9
9h .
69
Como (0 , b) pertence
à recta AB tem-se:
b =�2 *30--a2a
� § b =�3--2a
a�
1 Funções racionais
26.
26.1.
26.2. Ao fim de 15 horas.
26.3. Não. Aumenta apenas durante as primeiras
15 horas.
26.4. �05,8� = 0,16
y = 0,16 ; significa que o medicamento não é
totalmente eliminado. A sua concentração no
corpo, decorrido um intervalo de tempo signi-
ficativamente grande tende a estabilizar em
0,16 p. p. m.
26.5.
27. I é falsa. Pág. 56A função é decrescente em ]- ? , 0[ e em
]0 , + ?[ mas não é decrescente em R \ {0} .
II é verdadeira.
Se f (x) = �1x�
, f (- x) =�-1x�= - �
1x�= - f (x) , A xåR .
III é falsa.
O gráfico da função é simétrico relativamente à
origem do referencial.
IV é verdadeira.
As rectas x = 0 e y = 0 são assimptotas.
28. (B) .
29. f (x) = - �x12� + 1 =�
x2
x-2
1�
I é verdadeira. A recta y = 1 é uma assimptota
horizontal do gráfico de f .
II é falsa. limx" +?
f (x) = 1 .
III é verdadeira.
IV é falsa. limx" -?
f (x) = 1 .
(B) .
30. f (x) =�xx2
--
11
� =�(x -
x1)-(x1+ 1)
� =�x +
11
� e x 0 1
A única assimptota vertical é a recta x = - 1 .
(A) .
31. y =�x2 +
x3-x1+ 1
�
= x + 4 +�x -
51
�
a = 4 , b = 5 , c = - 1
(D) .
32. �x2 +
x4+x3+ 3
� = 0 Pág. 57
§ x2 + 4x + 3 = 0 ‹ x + 3 0 0
§ (x = - 3 › x = - 1) ‹ x 0 - 3 § x = - 1
(C) .
33. Teorema A" 5 horas
Teorema B" 4 horas
Em t horas a torneira A enche �5t� do tanque
e a torneira B enche �4t� do tanque.
Logo, terá que ser �4t� + �
5t� = 1 .
(C) .
34. Se limx " a
f (x) = - ? , a recta de equação
x = a é uma assimptota vertical do gráfico de f .
(A) .
35. (D) .
36. (C) . Pág. 58
37. (A) 3 não pertence ao domínio da condição.
(B) �xx
3
2
--
84
� = 0 § x3 - 8 = 0 ‹ x2 - 4 0 0
§ x å O ; x3 - 8 = 0 § x = 2 .
(D) �2 -
xx
� > 0 § 0 < x < 2 ; 2 - x > 0
§ x < 2 .
(I) O domínio é R \ {0} .
(J) 2x + 1 = 0 § x = - �12
� ; (2x + 1) (x + 3) = 0
§ x = - �12
� › x = - 3 .
38. (A) é falsa; o gráfico de h tem assimptota oblíqua;
(B) é verdadeira; y = �25
� é uma assimptota do
gráfico de i ;
(C) é verdadeira; Df = R \ {-��3�� , ��3��}e Dh = R \ {�3�} ;
1,708t se 0 ≤ t < 7,5
�1,6
1t0t++10
400
� se t ≥ 7,5
adbdc
C (t) =
0,854 (2t) se 0 ≤ 2t < 15
�0,8
5(*2t
2)t++14000
� se 2t ≥ 15
adbdc
C (t) = N (2t) =
15
C
t30 60 90
12,81
0
0,854t se 0 ≤ t < 15
�0,8
5tt++14000
� se t ≥ 15
adbdc
N (t) =
70
x2 + 3x + 1 |x - 1 - x2 + x + 4 x + 4
4x + 1- 4x + 4
5
Funções II
(D) é falso; o gráfico de i não tem assimptotas
verticais.
(B) e (C) são verdadeiras.
39. O gráfico de f (x + h) obtém-se do Pág. 59gráfico de f (x) por um deslocamento de h
unidades na direcção de Ox ,
39.1. para a esquerda se h > 0 ;
39.2. para a direita se h < 0 .
40. O gráfico de f (x) + k obtém-se do gráfico de
f (x) por um deslocamento de k unidades na
direcção de Oy ,
40.1. para cima se k > 0 ;
40.2. para baixo se k < 0 .
41. Se a recta x = a é a única assimptota vertical do
gráfico da função racional x 1 f (x) = �nd (
(xx))
�
podemos concluir que a é o único número real
tal que d (a) = 0 e n (a) 0 0 .
42. Por exemplo, x1 f (x) =�xb-xa
� .
43.1. y é directamente proporcional a x se existe
uma constante c å R \ {0} , tal que y = cx .
43.2. y é inversamente proporcional a x se existe
uma constante k å R \ {0} , tal que xy = k .
44. Por exemplo:
44.1.
44.2. f (x) = 3x + 1 +�x2
1+ 1� =�3x3 +
xx2
2
++
13x + 2� ;
44.3. f (x) = x +�x2
1- 1� =�x
3
x-2 -
x +1
1� ;
44.4. f (x) =�xx
2
--
11
� ;
44.5. f (x) =�x2 +
6xx
2
- 6� .
2 Funções irracionais. Radicais
1.1. �315,625� = 2,5 cm ; Pág. 64
1.2. �352� cm .
2. �2� , �3� , �5� , �6� , �7� (por exemplo).
3. �8� .
4.1. 36�12�
+ 32�15�
- 121�12�
+ 81- �
34�
= 6 + 2 - 11 + (34)- �
34�
= - 3 + 3- 3 = - 3 + �217� = - �
8207� ;
4.2. ��196��- �
12�
+ 32- �
25�
- ��6247��- �
43�
- 1- �
12�
= ���43
��2
�- �
12�
+ (25)- �
25�
- ���43
��3
�- �
43�
- 1
= ��43
��-1+ 2-2 - ��
43
��-4- 1 = �
34
� + �14
� -�28516
� - 1 = -�28516
� .
5.1. �(t + 1)�2� = \t + 1|, t å R
\t + 1|, t å R ;
5.2. �3�3x�� = �
63x� , x å R0
+ ;
5.3. � �3
= (x�13� - �
16�)3= (x�
16�)3= x
�12�
= �x� , x å R0+ ;
5.4. = = 2�43� - �
13�
* �xx
4
4� = 2 , xåR\{0} .
6.1. y = ; D = {x å R : x3 > 0} = R+ ;
6.2. y = 6x�23�
= 6 �3x2� ; D = R ;
6.3. y = 3 �3x� ; D = R .
7.1. 18 ; Pág. 66
7.2. 0 ;
7.3. 0,6 ;
7.4. - 12 .
8. Porque (- 4)�12�
= �- 4� e não existem, em R ,
raízes quadradas de números negativos.
9. São os quadrados dos números inteiros: 02 = 0 ,
12 = 1 , 22 = 4 , 32 = 9 , etc.
10. É um número representável por uma dízima infi-
nita não periódica.
11.1. 3 �217�� = �
13
� ;
11.2. �3- 1� = - 1 ;
11.3. 2 �3- 64� = 2 * (- 4) = - 8 ;
11.4. - 3 �30� = 0 .
12. �481� - �
3- 32� - �36� = 3 - (- 2) - 6 = - 1 .
5��x3�
2�43�
* (x3)�43�
�2
�13�
x4
(2x3)�43�
�2
�13�
x4
x�13�
�x
�16�
�x2
1- 1� se x 0 - 1 ‹ x 0 1
0 se x = - 1 › x = 1
adbdc
f (x) =
71
2 Funções irracionais. Radicais
13.1. �x2� = \x| ;
13.2. �4(x - 3)�4� = \x - 3| ;
13.3. �5(- 5 -� x)3� = - 5 - x ;
13.4. �5(1 - x)�5� = 1 - x ;
13.5. 3 �2a7
1
x
8
3�� = 3 ��3ax
6
��3� = �
3ax
6
� ;
13.6. �12
� 3 �6a4
6
x3
�� = �12
� 3 ��4ax2��
3� = �12
� * �4ax2� = �
2ax2� ;
13.7. 2 �4xx
10
6�� = 2 ��2x4
2��� = 2 �x2
2
� = x2 ;
13.8. 4 4 �16x4
a4�� = 4 4 ��2xa��
4� = 4 ��2xa�� = 2 ��a
x�� .
14.1. �3� ;
14.2. �38� ;
14.3. �33a� ;
14.4. - �464� ;
14.5. �5- 32� ;
14.6. 2 �7x3� ;
14.7. �(x - 1)�3� ;
14.8. 2 �5(x - 1)�3� .
15.1. 8- �
43�
+ 64- �
23�
- 16- �
54�
+ 4- �
32�
= (23)- �
43�
+ (43)- �
23�
- (24)- �
54�
+ (22)- �
32�
= 2- 4 + 4- 2 - 2- 5 + 2- 3 = �116� + �
116� - �
312� + �
18
� = �372� ;
15.2. = a�23� + �
53� - �
12�
= a�161�
= a1 + �
56�
= a �6a5� (a ≥ 0) ;
15.3. = a�14� - �
12� + �
32�
= a�54�
= a1 + �
14�
= a �4a� ;
15.4. = a- �
12� (a�
12�
- a�23�) = 1 - a
�23� - �
12�
= 1 - a�16�
= 1 - �6a� .
16.1. x- �
13�
(6 + 2x) = 6x- �
13�
+ 2x�23�
; Pág. 67
16.2. x- �
34�
+ 2x�14�
= x- �
34�
(1 + 2x) .
17.1. �5� * �20� = �100� = 10 ;
17.2. = �36� ;
17.3. = 3 �aa
7
2
bb
6
3�� = �3a5 b3� = ab �
3a2� ;
17.4. �32� + �326�� - �
881��
= �16 * 2� +�26
�� -�2 �
92�
�
= 4 �2� - +�2 �
92�
� = �7118� �2� ;
17.5. �8� - 2 �32� - �18� - 2 �128�
= 2 �2� - 8 �2� - 3 �2� - 16 �2� = - 25 �2� .
18.1. �3� *�32� = 3
�12�
* 2�13�
= 3�36�
* 2�26�
= (33 * 22)�16�
=�6108� ;
18.2. �37� *�2� = 7
�13�
* 2�12�
= 7�26�
* 2�36�
= (72 * 23)�16�
= �6392� ;
18.3. �57� * �
3x� = 7
�15�
* x�13�
= 7�135�
* x�155�
= (73 * x5)�115�
= �15
73 x5� ;
18.4. �34� * �
4b� = 4
�13�
* b�14�
= 4�142�
* b�132�
= (44 * b3)�112�
= �12
256 b3� .
19.1. �3� (�5� + �3�) = �3� �5� + 3 = �15� + 3 ;
19.2. �5x� (�x� + �5�) = �5�x + 5 �x� ;
19.3. (2 �x� - 1) (3 �x� + 1)
= 6x + 2 �x� - 3 �x� - 1 = 6x - �x� - 1 ;
19.4. �3� (�3� + x �3�) = 3 + 3x ;
19.5. (�2x� - 3 �2�) (�2x� + 3 �2�) = 2x - 18
(x ≥ 0) ;
19.6. (�3� - 2)2 = 3 - 4 �3� + 4 = 7 - 4 �3� .
20.1. A = 2 �20� * �13265
�� = 2 �253060
��= 2 * �
560� = �
530� m2
P = 2 * 2 �20� + 2 * �13265
��= 4 * 2 �5� + 2 *�
5 �6
5��
= 8 �5� + �53
� �5� = �239� �5� m
A = �530� m2 ≈ 16,67 m2 ;
P = �239� �5� m ≈ 21,62 m ;
�2��6
�3a7 b6�
��3 a2 b3�
�318�
��3 3�
a�12� (a�
12�
- a�23�)
��a
a�14�
* a- �
12�
�a- �
32�
a�23�
* a�53�
�a
�12�
72
Funções II
20.2. A =�3 �12�2+ �27�� * �12�
=�6 �3� +2
3 �3��* 2 �3� = 6 * 3 + 3 * 3 = 27 m2
P = 3 �12� + �12� + �27� + 3 �3�
= 6 �3� + 2 �3� + 3 �3� + 3 �3� = 14 �3� m
A = 27 m2 ;
P = 14 �3� m ≈ 24,22 m ;
20.3. h2 + ���232���
2
= (�32�)2
§ h2 + �342� = 32 § h2 = 24 § h = �24�
A =��32� *2
�24�� =�4 �2� *
22 �6��
= 4 �12� = 8 �3� m2
P = 3 �32� = 3 * 4 �2� = 12 �2� m
A = 8 �3� m2 ≈ 13,89 m2 ;
P = 12 �2� m ≈ 16,97 m .
21. r = �4Aπ��
21.1. r = �240π0
�� = �5π0�� cm ≈ 3,99 cm ;
21.2. 12,2 = �4Aπ�� § �
4Aπ� = 12,22
§ A = 595,36π cm2 ≈ 1870,38 cm2 .
22.1. Pág. 70
22.2.
22.3.
23.
24. • f (x) = 3 - �8 + x4� Pág. 71
Df = {x å R : 8 + x4 ≥ 0} = R ; f (0) = 3 - �8�
Função f
Df = R ; Zeros: {- 1 , 1} ; f é crescente
em ]- ? , 0] e decrescente em [0 , + ?[ ;
Máximo: 3 - �8� para x = 0 ;
Contradomínio: ]- ? , 3 - �8�]
x
y
1–1
3 – 8
x
y
1
41
2
3–1–2 2
f
0
4
�x� se x ≥ 0
x2 se x < 0
abc
f (x) =
x
y
1
4
2
–3
0–1
V√x3
42V√x
2V√x – 3
1
x
y
1
41
2
–2
0–1
V√x
–1 3
– Vx + 1
x
y
1
41
2
–2
0–1
V√x
–V√x
73
2 Funções irracionais. Radicais
• g (x) = 3 - �8 + x3�
Dg = {x å R : 8 + x3 ≥ 0} = [- 2 , + ?[
8 + x3 ≥ 0 § x3 ≥ - 8 § x ≥ - 2
Função g
Dg = [- 2 , + ?[ ; Zeros: {1} ;
f é decrescente;
Máximo: 3 para x = - 2 ;
Contradomínio: ]- ? , 3] ;
• h (x) = f (x) + g (x)
Dh = Df © Dg = [- 2 , + ?[ ;
h (- 2) = 6 - �24�
Função h
Dh = [- 2 , + ?[ ; Zeros: {1} ;
f é decrescente em [- 2 ; - 1,69[ e em
]- 0,79 ; + ?[ (2 c. d.) ; f é crescente
em ]- 1,69 ; - 0,79[ (2 c. d.);
Máximos relativos: 6 - �24� para x = - 2 e
0,36 para x = - 0,79 (2 c. d.) ;
Mínimo relativo: 0,20 para x = - 1,69 (2 c. d.) ;
Contradomínio : ]- ? , 6 - �24�] .
• i (x) = f (x) - g (x)
Di = [- 2 , + ?[ ;
i (- 2) = - �24�
Função i
Di = [- 2 , + ?[ ; Zeros: {0 , 1} ;
f é crescente em [- 2 ; 0,75[ (2 c. d.) e
decrescente em ]0,75 , + ?[ (2 c. d.) ;
Máximo: 0,018 (3 c. d.) para x = 0,75 (2 c. d.) ;
Mínimo : - �24� para x = - 2 ;
Contradomínio: ]- ? ; 0,018] (3 c. d.) .
25.1. �2x - 1� - 1 = 0 § �2x - 1� = 1 Pág. 75± 2x - 1 = 1 2 * 1 - 1 - 1 = 0
§ x = 1; § 1 - 1 = 0 § 0 =v 0
25.2. �3x + 5� = - 2 § x å O ;
x
y
10–2 0,75
0,018
– 24
x
y
10–0,79–1,69
6 – 24
x
y
1–1–2 2–1
3
74
Funções II
25.3. �31 - 2x� = 3 § 1 - 2x = 33
§ 2x = - 26 § x = - 13 ;
25.4. �12 - x� - x = 0 § �12 - x� = x
§ 12 - x = x2 § x2 + x - 12 = 0
§ x = - 4 › x = 3
x = - 4 : �12 + 4� + 4 = 0 § 8 = 0 (falso)
x = 3 : �12 - 3� - 3 = 0
§ 3 - 3 = 0 (verdadeiro)
Logo, x = 3 ;
25.5. 3 - x =�3x + 1� ± 9 - 6x + x2 = 3x + 1
§ x2 - 9x + 8 = 0 § x = 1 › x = 8
x = 1 : 3 - 1 = �3 + 1�§ 2 = 2 (verdadeiro)
x = 8 : 3 - 8 = �24 + 1� § - 5 = 5 (falso)
Logo, x = 1 ;
25.6. �3 - 2 ��x�� - �x� = 0 § �3 - 2 ��x�� = �x�
± 3 - 2 �x� = x § 3 - x = 2 �x�
§ 9 - 6x + x2 = 4x § x2 - 10x + 9 = 0
§ x = 1 › x = 9
x = 1 : �3 - 2 ��1�� - �1� = 0
§ �1� - �1� = 0 (verdadeiro)
x = 9 : �3 - 2 ��9�� - �9� = 0
§ �- 3� - 3 = 0 (falso)
Logo, x = 1 ;
25.7. �3x + 1� - �x - 1� = 0 § �3x + 1� = �x - 1�
± 3x + 1 = x - 1 § 2x = - 2 § x = - 1
x = - 1 : �- 3 + 1� - �- 2� = 0
- 1 não pertence ao domínio da condição.
{ } ;
25.8. �2x
� = (x - 1)�12�
± �x4
2
� = x - 1
§ x2 - 4x + 4 = 0 § x = 2
x = 2 : �22
� = �2 - 1� § 1 = 1 (verdadeiro);
25.9. (2x + 3)�12�
= 1 + (x + 1)�12�
± 2x + 3 = 1 + x + 1 + 2 �x + 1�
§ x + 1 = 2 �x + 1�
§ x2 + 2x + 1 = 4x + 4
§ x2 - 2x - 3 = 0
§ x = - 1 › x = 3
x = - 1 : �- 2 + 3� = 1 + �- 1 + 1�§ �1� = 1 (verdadeiro)
x = 3 : �6 + 3� = 1 + �3 + 1�§ 3 = 1 + 2 (verdadeiro)
Logo, x = - 1 › x = 3 .
26.1. (3x + 4)�12�
≥ 2 § �3x + 4� ≥ 2
�3x + 4� = 2 ± 3x + 4 = 4
§ x = 0 (�0 + 4� = 2 (v))
Como x1f
�3x + 4� é crescente e
Df = �- �43
� , + ?��3x + 4� ≥ 2 § x ≥ 0
[0 , + ?[ ;
26.2. (15 - 2x)�12�
- x ≥ 0 § �(15 -�2x)� ≥ x
�15 - 2�x� = x ± 15 - 2x = x2
§ x2 + 2x - 15 = 0 § x = - 5 › x = 3
x = - 5 : �15 + 1�0� = - 5 (falso)
x = 3 : �15 - 6� = 3 § 3 = 3 (verdadeiro)
(15 - 2x)�12�
- x = 0 § x = 3
Se f (x) = (15 - 2x)�12�
- x , Df = �-? , �125��
Como f é decrescente,
f (x) > 0 § x å ]- ? , 3[ .
27. F1 (- 6 , 0) ; F2 (6 , 0) ; P (x , y) Pág. 76
P�F�1� + P�F�2� = 20
�(x + 6)�2 + y2� = 20 - �(x - 6)�2 + y2�
§ x2 + 12x + y2 + 36
= - 40 �(x - 6)�2 + y2� + x2 - 12x + y2 + 436
§ 40 �(x - 6)�2 + y2� = 400 - 24x
± 1600x2 - 19 200x + 1600y2 + 57 600
= 576x2 - 19 200x + 160 000
§ 1024x2 + 1600y2 = 102 400
§ �11002244x0
2
0� +�
11062004y0
2
0� = 1
§ �1x0
2
0� + �
6y4
2
� = 1
1.1. Df = Dg = Dh = R0+ ; Df' = Dg' = Dh' = R0
+ ; Pág. 82
f , g e h são estritamente crescentes;
1.2. �x� <�4x� <�
6x� <… <�
2nx� se 0 < x< 1 ;
�x� >�4x� >�
6x� >… >�
2nx� se x> 1 ;
�x� =�4x� =�
6x� =… =�
2nx� se x = 0 v x = 1 ;
75
2 Funções irracionais. Radicais
1.3. Df = Dg = Dh = R ; Df' = Dg' = Dh' = R ;
f , g e h são estritamente crescentes.
�3x� <�
5x� <�
7x� <… < �
2n�1x�
se x< - 1 ou 0 < x< 1 ;
�3x� > �
5x� > �
7x� >… > �
2n�1x�
se x > 1 ou - 1 < x < 0 ;
�3x� = �
5x� = �
7x� =… = �
2n�1x�
se x = - 1 ou x = 0 v x = 1 .
2.1. �x + 1� = 6 ± x + 1 = 36 § x = 35
x = 35 : �35 + 1� = 6 (v)
{35} ;
2.2. 1 = (3x - 2)�12�
± 1 = 3x - 2 § 3x = 3
§ x = 1
x = 1 : 1 = �3 - 2� (v) ;
2.3. (x - 1)�13�
= 2 § x - 1 = 23 § x = 9 ;
2.4. 3 �x + 1� = x + 1 ± 9 (x + 1) = x2 + 2x + 1
§ x2 - 7x - 8 = 0 § x = - 1 › x = 8
x = - 1 : 3 �- 1 + 1� = - 1 + 1 (v)
x = 8 : 3 �8 + 1� = 8 + 1 (v) ;
2.5. - 1 = 2 (x + 3)�14�
§ x å O ;
2.6. �3x2 + x� = x § x2 + x = x3
§ x3 - x2 - x = 0 § x (x2 - x - 1) = 0
§ x = 0 › x =�1 -
2�5�� › x = �
1 +2�5�� ;
2.7. x - �x� = 1 § x - 1 = �x�
± x2 - 2x + 1 = x § x2 - 3x + 1 = 0
§ x =�3 -
2�5�� › x =�
3 +2�5��
x =�3 -
2�5�� : �
3 -2�5�� -�
3 -2��5��� = 1
§ �3 -
2�5�� - 1 =�
3 -2��5���
§ �1 -
2�5�� =�
3 -2��5���
�falso porque �1 -
2�5�� < 0�
x =�3 +
2�5�� : �
3 +2�5�� -�
3 +2��5��� = 1
§ �3 +
2�5�� - 1 =�
3 +2��5���
§ ��5�
2+ 1� =�
3 +2��5���
(> 0) (> 0)
§ �5 + 1 +
42 �5�� =�
3 +2�5��
§ �3 +
2�5�� =�
3 +2�5�� (v)
��3 +2�5��� ;
2.8. �x + 2� - �2x + 2� = - 1
§ �x + 2� + 1 = �2x + 2�
± x + 2 + 1 + 2 �x + 2� = 2x + 2
§ 2 �x + 2� = x - 1 ± 4 (x + 2) = x2 - 2x + 1
§ x2 - 6x - 7 = 0 § x = - 1 › x = 7
x = - 1 : �- 1 + 2� - �- 2 + 2� = - 1
§ 1 = - 1 (f)
x = 7 : �7 + 2� - �14 + 2� = - 1
§ 3 - 4 = - 1 (v)
{7} ;
2.9. �2x + 1� > 5 § �2x + 1� - 5 > 0 ;
Seja f (x) = �2x + 1� - 5
f (x) = 0 § �2x + 1� = 5
± 2x + 1 = 25 § 2x = 24 § x = 12
(�24 + 1� = 5 é verdade)
Como
• Df = �- �12
� , + ?�• f é crescente
• f (x) = 0 § x = 12 ,
f (x) > 0 § x å ]12 , + ?[ ;
2.10. �x2 + x�+ 5� ≥ x + 5
§ �x2 + x�+ 5� - x - 5 ≥ 0
Seja f (x) = �x2 + x�+ 5� - x - 5
Df = {x å R : x2 + x + 5 ≥ 0} = R
f (x) = 0 § �x2 + x�+ 5� = x + 5
± x2 + x + 5 = x2 + 10x + 25 = 0
§ 9x + 20 = 0 § x = - �290�
x = - �290� : �- �
290���
2
- �290�� + 5� = - �
290� + 5
§ �295� = �
295� (v)
76
Funções II
Dado que:
• f é decrescente
• Df = R
• f (x) = 0 § x = - �290�
f (x) ≥ 0 § x å �- ? , - �290�� .
3.1. y =�x - 3�; deslocamento do gráfico Pág. 83de y = �x� de 3 unidades para a direita;
3.2. y = - 2 �x� ; extensão na vertical do gráfico de
y = �x� , segundo o factor 2 , seguida de uma
simetria relativamente ao eixo dos xx ;
3.3. y = - 3 + �x - 1� ; deslocamento do gráfico de
y = �x� de 1 unidade para a direita, seguido
do deslocamento de 3 unidades para baixo.
4. a)" g ; b)" f ; c)" h .
5. P = 2 π r = 17 140 π
g = �14302�+ 8570�2�
A =�17 1240 π� * �14302�+ 8570�2�
≈ 233 924 027 m2 .
6. A = π r 2
30 = π r12 § r 1 = �
3π0�� § r 1 ≈ 3,09 cm
50 = π r22 § r 2 = �
5π0�� § r 2 ≈ 3,99 cm .
7.1. ��5�
2
- 1� =�
(�5�
2
-
(�
1)5�
(�
+
5�
1)+ 1)
�
= 2 �(�
5
5�-
+
1
1)� =�
�5�2+ 1� .
8.1. Pág. 84
B�P�2= x2 + 62
B�P� = �x2 + 36�
A�P�2= (9 - x)2 + 32
A�P� = �81 + x�2 - 18x� + 9�
B�P� + A�P� = �x2 + 36� + �x2 - 18�x + 90�
8.2. y1 = �x2 + 36� + �x2 - 18�x + 90�
P fica a 6 km de B' e a 3 km de A' .
9.1. Tempo =�ve
elospciadçaode
�
B�C� = �25 + x�2�
C�P� = 12 - x
tBC =��25
30+ x�2��
tCP =�12
40- x�
Logo, T (x) =��x2
3+0
25�� +�
1240- x�
9.2. y1 =��(x2
3+0
2�5)�� +�
(1240- x)�
x ≈ 5,67 km .
B
A12 – x
5
C Px
B’
P
x
A’r
B
A3
6
9 – x
h = 1430 ;
r =�17
2140� = 8570
hg
r
77
2 Funções irracionais. Radicais
10.1. g2 = r2 + 142 Pág. 85
g = �r 2 + 14�2�
�P2
� =�2
2π r� = π r
A = �P2
� g = π r �r 2 + 14�2� ;
10.2. A = 282,7
p r �r 2 + 14�2� = 282,7
r 2 (r 2 + 142) = ��28p2,7��
2
‚M
x = r2
x2 + 142x - ��28p2,7��
2
= 0
x ) - 231,0470 › x = 35,04705 ‚Mr2 ) 35,04705 ‚
Mr > 0
r ) 5,9 cm .
11. V = Ab * h
V = �x2y� * 20
V (x) =�x * 2 �225 - x�2�� * 20
§ V (x) = 20x �25 - x�2� ;
V (x) = 60
§ 20x �25 - x�2� = 60
§ x �25 - x�2� = 3
± x2 (25 - x2) = 9 ‚M
a = x2
§ 25a - a2 - 9 = 0
§ a2 - 25a + 9 = 0 ‚M
x2 = ax2 ) 0,365339 › x2 ) 24,63466
‚M
x > 0x ) 0,6044 › x ) 4,9633
Confirmação com a calculadora:
Como y = 2 �25 - x�2� tem-se
12. x2 + y2 = 102
y = �100 -�x2�
A = �x2y�
A (x) = �12
�x �100 -�x2�
A (x) = 20 § �12
�x �100 -�x2� = 20
§ x �100 -�x2� = 40
± x2 (100 - x2) = 1600 ‚M
a = x2
§ 100a - a2 - 1600 = 0
§ a2 - 100a + 1600 = 0
§ a = 20 › a = 80 ‚M
x2 = a§ x = �20� › x = �80�
Se x = �20� y = �100 -�20� = �80� ) 8,9
Impossível, pois y ≤ 6 .
Se x = �80� , então y = �20� .
x = �80� m ) 8,94 m e y = �20� ) 4,47 m .
13. T = 2p �9280��
13.1. e = 20 cm ; T = 2p �92800
�� = �27p� ) 0,9 s ;
13.2. T = 1,2
2p �98e0
�� = 1,2 § �98e0
�� = �12,p2�
± �98e0
� = ��12,p2��
2
§ e = 980 ��12,p2��
2
§ e ) 35,75 cm ;
13.3. T1 = 3T2
2 p �9e81
0�� = 3 * 2 p �
9e82
0�� e1 > 0 ; e2 > 0
§ �9e81
0� = 9.�
9e82
0� § e1 = 9e2
x
6
12
y 10
x ) 4,963 dm
y ) 1,209 dm
abc
oux ) 0,604 dm
y ) 9,927 dm
abc
x2 + ��2y
��2
= 25
§ ��2y
��2
= 25 - x2
§ y = 2 �25 - x�2�x
5
y
x = r2 er2 > 0
r
14g
78
980 *���12,π2��
2
� * �9180��
= �12,π2� (v)
Verificação
�20�.�100 -�20� = 40
�20� * �80� = 40 (v)
�80�.�100 -�80� = 40 (v)
Funções II
O comprimento do pêndulo de menor período
é �19
� do comprimento do pêndulo de maior
período.
14.1. V = 3xy Pág. 86
x2 + y2 = 122 § y = �144 -�x2�
V (x) = 3x �144 -�x2�
Para x = 8,485 , y = �144 -�x2� = x
As dimensões do sabonete são
3 cm * 8,49 * 8,49 cm (2 c. d.) ;
14.2. 216 cm3 .
15.1. h = 3t (espaço = velocidade * tempo)
d 2 = 9002 + (3t)2
d (t) = �9002 +� 9t2� = 3 �t2 + 90� 000�
d (t) = 3 �t2 + 90� 000� ;
15.2. d (t) = 2000 § 3 �t2 + 90� 000� = 2000
± 9 (t 2 + 90 000) = 20002
§ t 2 =�20
9002
� - 90 000
§ t ) 595,352 s § t ) 9 min 55 s .
16. y2 + 102 = (10 + x)2
y2 = (10 + x)2 - 100
y = �(10 +�x)2 - 1�00�
(D) .
17. (B) .
18. (C) . Pág. 87
19. (A) .
20.1. (3 - x2)�12�
(3 - x2)�32�
= (3 - x2)�12� + �
32�
= (3 - x2)2 ;
20.2. �a2 + 4� = a + 2 só é verdade se a = 0
(a + 2)2 = a2 + 4 + 4a ;
20.3. ��x
2
+ 3�� + 2 �x + 3� =�2 +
�2
x
(
+
x
3�+ 3)
� ;
20.4. �2 + 2x� = �2 (1 +� x)� = �2� �1 + x� ;
20.5. �2x3 + x�5� = �x2 (2x�+ x3)� = |x | �2x + x3� ;
20.6. �(x + 1)�2� = |x + 1| ;
20.7. �x- �
12�
+ x�32�� = x
- �12�
(1 + x2) ;
20.8. �4(x + 7)�2� = �x + 7� só se x + 7 ≥ 0 .
21.1. x2 + y2 = 100
y = �100 -�x2�
A = 4xy = 4x �100 -�x2� ;
21.2.
A área máxima do rectângulo é 200 .
A área é máxima quando x = y , ou seja,
quando o rectângulo inscrito é um quadrado.
Neste caso
L2 + L2 = (2r)2
2L2 = 4r 2
L2 = 2r 2
A = 2r 2
Se A1 = 2r 12 , A2 = 2r 2
2 e �AA
1
2
� = 2 , tem-se
�22
rr
1
2
2
2� = 2 § r 12 = 2r 2
2 §r > 0
r 1 = �2�r 2
Para que a área do rectângulo de área máxima
duplique é necessário multiplicar o raio por
�2� .
l
l
r
d
9000 A
h = 3 t
B
x
12 y
79
3 �20
9002
�� - 90 0�00 + 9�0 000� = 2000
é verdade
3 Operações com funções. Resolução de problemas envolvendo funções
3 Operações com funções. Resolução deproblemas envolvendo funções
1.1. f (x) =�xx++
33
� ; g (x) = 1 Pág. 90
Df = R \ {- 3} e Dg = R
Não são iguais. Df 0 Dg ;
1.2. f (x) =�(x + 3)�2� ; g (x) = (x + 3)
f (x) =�(x + 3)�2� = \x + 3|0 x + 3
Não são iguais. Para x < - 3 , f (x) 0 g (x) ;
1.3. f (x) = �(- 2x)2� = \- 2x|= \2x|, A x å R ;
Df = R
g (x) = \2x|; Dg = R
São iguais;
1.4. f (x) =�3\x|� ; g (x) = \�
3x�| ; Df = Dg = R
São iguais.
2.1. f (x) = 3x ; g (x) = x + �12
� Pág. 92
Df = R ; Dg = R ; Df © Df = R
• (f + g) (x) = f (x) + g (x) = 3x + x + �12
� = 4x + �12
�
f + g : R 2" Rx1 4x + �
12
� ;
• (f - g) (x) = f (x) - g (x)
= 3x - �x + �12
�� = 2x - �12
�
f - g : R 2" Rx1 2x - �
12
� ;
• (fg) (x) = f (x) * g (x)
= 3x * �x + �12
�� = 3x2 + �32
�x
fg : R 2" Rx1 3x2 + �
32
�x ;
• Df © Dg © {x å R : g (x) 0 0} = R \ �- �12
����g
f�� (x) =�
gf (
(xx))
� = +
= 3x *�2x
2+ 1� =�
2x6+x
1�
�gf� : R \ �- �
12
�� 2" R
x1�2x
6+x
1� ;
2.2. f (x) =�x +
x3
� ; g (x) =�x +
x4
�
Df = R \ {0} ; Dg = R \ {- 4} ;
g (x) = 0 § x = 0
Df © Dg = R \ {- 4 , 0}
Df © Dg © {x å R : g (x) 0 0} § R \ {- 4 , 0}
• (f + g) (x) =�x +
x3
� +�x +
x4
�
=�(x + 3x)((xx++44)) + x2
�
=�2x2
x+2 +
7x4+x
12�
f + g : R \ {- 4 , 0} 2" R
x1�2x2
x+2 +
7x4+x
12� ;
• (f - g) (x) =�x +
x3
� -�x +
x4
� =�7xx2 ++
41x2
�
f - g : R \ {- 4 , 0} 2" R
x1�7xx2 ++
41x2
� ;
• (fg) (x) =�x +
x3
�.�x +
x4
� =�xx++
34
�
fg : R \ {- 4 , 0} 2" R
x1�xx++
34
� ;
• ��gf�� (x) =�
x +x
3� : �
x +x
4�
=�x +
x3
� *�x +
x4
� =�x2 + 7
xx2
+ 12�
�gf� : R \ {- 4 , 0} 2" R
x1�x2 + 7
xx2
+ 12� ;
2.3. f (x) =�2x
x- 6� ; g (x) =�
xx+-
13
�
Df = R \ {0} ; Dg = R \ {3} ;
g (x) = 0 § x + 1 = 0 § x = - 1
Df © Dg = R \ {0 , 3}
Df © Dg © {x å R : g (x) 0 0}
§ R \ {- 1 , 0 , 3}
• (f + g) (x) =�2x
x- 6� +�
xx+-
13
� =�3x2 -x2
1-1x3x+ 18
�
f + g : R \ {0 , 3} 2" R
x1�3x2 -
x2
1-1x3x+ 18
� ;
• (f - g) (x) =�2x
x- 6� -�
xx+-
13
� =�x2 -
x2
1-3x
3+x
18�
f - g : R \ {0 , 3} 2" R
x1�x2 -
x2
1-3x
3+x
18� ;
• (fg) (x) =�2(x
x- 3)� *�
xx+-
13
� =�2x
x+ 2�
fg : R \ {0 , 3} 2" R
x1�2x
x+ 2� ;
3x��2x
2+ 1�
3x�x + �
12
�
= g (x) -�
3x� se x < 0
�3
x� se x ≥ 0
adbdc
=
�3- x� se x < 0
�3
x� se x ≥ 0
adbdc
f (x) =
80
Funções II
• ��gf�� (x) =�
2xx- 6� : �
xx+-
13
�
=�2 (xx- 3)� *�
(xx-+
31)
� =�2x2 -x2
1+2x
x+ 18
�
�gf� : R \ {- 1 , 0 , 3} 2" R
x1�2x2 -
x2
1+2x
x+ 18
� .
3.1. f (x) = �1x� ; g (x) =�x� Pág. 93
Df = R \ {0} ; Dg = {x å R : x ≥ 0} = [0 , + ?[
Df © Dg = R \ {0} © [0 , + ?[ = ]0 , + ?[ = R+
g (x) = 0 § x = 0
Df © Dg © {x å R : g (x) 0 0} = R+
• (f + g) (x) = �1x� +�x� ; (f - g) (x) = �
1x� -�x� ;
(fg) (x) = ��xx�
� ; ��gf�� (x) = �
1x� : �x�
= = ��x2
x�� ;
f + g : R+ 2" R
x1 �1x� +�x� ;
f - g : R+ 2" R
x1 �1x� -�x� ;
f * g : R+ 2" R
x1 ��xx�
� ;
�gf� : R+ 2" R
x1 ��x2
x�� ;
3.2. f (x) =�x� ; g (x) =
Df = [0 , + ?[
Dg = {x å R : x + 1 ≥ 0 ‹ x - 1 0 0}
= [- 1 , 1[ ∂ ]1 , + ?[
g (x) = 0 § x + 1 = 0 ‹ x å Dg
§ x = - 1
Df © Dg = [0 , 1[ ∂ ]1 , + ?[ = R0+ \ {1}
Df © Dg © {x å R : g (x) 0 0} = R0+ \ {1}
• (fg) (x) =�x� * =x ≥ 0
��gf�� (x) =�x� * =
x ≥ 0 ��x +
x1
�� (x - 1)
f + g : R0+ \ {1} 2" R
x1�x� +
f - g : R0+ \ {1} 2" R
x1�x� -
fg : R0+ \ {1} 2" R
x1
�gf� : R0
+ \ {1} 2" R
x1 ��x +
x1
�� (x - 1) ;
3.3. f (x) =�x + 1� ; g (x) =�6 - x�
Df = [- 1 , + ?[
Dg = ]- ? , 6]
g (x) = 0 § x = 6
Df © Dg = [- 1 , 6]
Df © Dg © {x å R : g (x) 0 0} = [- 1 , 6[
• (fg) (x) =�x + 1� �6 - x�
=x å [- 1, 6]
�- x2 +�5x + 6�
�gf� (x) = =
x å [- 1, 6[ ��x6+-
1x
��f + g : [- 1 , 6] 2" R
x1�x + 1� +�6 - x�
f - g : [- 1 , 6] 2" R
x1�x + 1� -�6 - x�
(fg) : [- 1 , 6] 2" R
x1�- x2 +�5x + 6�
��gf�� : [- 1 , 6[ 2" R
x1 ��x6+-
1x
�� .
4. Pág. 94
Df © Dg = R
g (x) = 0 § (x - 4 = 0 ‹ x ≥ 3) ›
› (- x = 0 ‹ x < 3) §
§ x = 4 › x = 0
Df © Dg © {x å R : g (x) 0 0} = R \ {0 , 4}
Dg = Rx - 4 se x ≥ 3
- x se x < 3
abc
g (x) =
; Df = Rx + 1 se x ≥ - 1
- x - 1 se x < - 1
abc
f (x) = \x + 1|=
�x + 1���6 - x�
�x2 + x��
x - 1
�x + 1��
x - 1
�x + 1��
x - 1
x - 1��x - 1�
�x2 + x��
x - 1�x + 1��
x - 1
�x + 1��
x - 1
1�x �x�
81
x - 1 3
f (x) 0 x + 1 4 x + 1
g (x) 1 - x - 1 x - 4
- x - 1
- x
M11FNAGP - 6
3 Operações com funções. Resolução de problemas envolvendo funções
4.1. Df + g = R
4.2. Df - g = R
4.3. Dfg = R
4.4. D�gf
� = R \ {0 , 4}
5.1.Pág. 95
Df = Dg = R
Df - g = R
5.2. \x|- \x + 1|< �12
�
§ x å �- �34
� , 0� ∂ [0 , + ?[
§ x å �- �34
� , + ?�
› x ≥ 0 x > - �
34
�
- 1 < x < 0
adbdc
§
- 1 < �12
� (v)
x ≥ 0
adbdc
›
›- 2x - 1 < �
12
�
- 1 < x < 0
adbdc
›1 < �
12
� (f)
x ≤ - 1
adbdc
1 se x ≤ - 1
- 2x - 1 se - 1 < x < 0
- 1 se x ≥ 0
adbdc
(f - g) (x) =
- x - 1 se x < - 1
x + 1 se x ≥ - 1abc
g (x) = \x + 1|=
- x se x ≤ 0
x se x ≥ 0abc
f (x) = \x|=
x3
y
1
–4
4–1 0
�x +
x1
� se x ≤ - 1
-�x +
x1
� se - 1 < x < 3 e x 0 0
�xx+-
14
� se x ≥ 3 e x 0 4
adddbdddc
��gf�� (x) =
x3
y
6
1
–12
4 5–3 –1
–4
0
x2 + x se x ≤ - 1
- x2 - x se - 1 < x < 3
x2 - 3x - 4 se x ≥ 3
adbdc
(fg) (x) =
–1 x3
y
1–1
5
7
- 1 se x ≤ - 1
2x + 1 se - 1 < x < 3
5 se x ≥ 3
adbdc
(f - g) (x) =
–1 x0–3 3
y
1
3
5
- 2x + 1 se x ≤ - 1
1 se 1 < x < 3
2x - 3 se x ≥ 3
adbdc
(f + g) (x) =
82
x 0
f (x) - x 0 x
g (x) - x - 1 1 x + 1
- 1
1 - x
0 x + 1
Funções II
6.Pág. 96
g (x) = 2 \x + 3|- 5
f (x) > g (x) § \x - 1|> 2 \x + 3|- 5
§ \x - 1|- 2 \x + 3|+ 5 > 0
§ x å ]- 12 , - 3] ∂ ]- 3 , 0[ ∂ O ∂ O
§ x å ]- 12 , 0[ .
7.1. f (x) = x - 1 ; g (x) = 2x + �12
� Pág. 101
(fog) (- 2) = f (g (- 2)) = f �- �72
�� = - �72
� - 1 = - �92
�
(gof) (- 2) = g (f (- 2)) = g (- 3) = - 6 + �12
� = - �121� ;
7.2. f (x) =�x2� ; g (x) =�x +
11
�
(fog) (- 2) = f (g (- 2)) = f (- 1) =�(- 1)2� = 1
(gof) (- 2) = g (f (- 2)) = g (�4�) § g (2) = �13
� .
8.1. f (x) = x2 + 1 ; g (x) = 2x - 2
Df = R ; Dg = R
• (fog) (x) = f (g (x)) = f (2x - 2)
= (2x - 2)2 + 1 = 4x2 - 8x + 4 + 1 = 4x2 - 8x + 5
Dfog = {x å R : x å Dg ‹ g (x) å Df} = R
• (gof) (x) = g (f (x)) = g (x2 + 1)
= 2 (x2 + 1) - 2 = 2x2
Dgof = {x å R : x å Df ‹ f (x) å Dg} = R
fog : R 2" R gof : R 2" Rx 1 4x2 - 8x + 5 x 1 2x2
8.2. f (x) =�x -
14
� ;
g (x) =�x�
Df = R \ {4} ; Dg = R0+
• (fog) (x) = f (g (x)) = f (�x�) =
Dfog = {x å R : x å Dg ‹ g (x) å Df}
= {x å R : x ≥ 0 ‹ �x� 0 4}
= {x å R : x ≥ 0 ‹ x 0 16} = R0+ \ {16}
• (gof) (x) = g (f (x)) = g ��x -1
4�� = ��
x -1
4��
Dgof = {x å R : x å Df ‹ f (x) å Dg}
= x åR : x 0 4 ‹ �x -
14
� ≥ 0 = ]4 , +?[
fog : R0+ \ {16} 2" R
x 1
gof : ]4 , + ?[ 2" R
x 1 ��x -
14
��
8.3. f (x) = �1x� ; g (x) =�x + 1�
Df = R \ {0} ; Dg = [- 1 , + ?[
• (fog) (x) = f (g (x)) = f (�x + 1�) =
Dfog = {x å R : x å Dg ‹ g (x) å Df}
= {x å R : x ≥ - 1 ‹ �x + 1� 0 0}
• (gof) (x) = g (f (x)) = g ��1x�� = ��
1x� + 1�
Dgof = {x å R : x å Df ‹ f (x) å Dg}
= x å R : x 0 0 ‹ �1x� ≥ - 1
= ]- ? , - 1] ∂ ]0 , + ?[
1��x + 1�
1��x� - 4
1��x� - 4
x < - 2
x > 1 abc
› x å O ›
x < 0
- 3 < x < 1 abc
› x = - 3 ›x > - 12
x < - 3abc
§
- x - 2 > 0
x > 1 abc
›- 3 > 0
x = 1 abc
›- 3x > 0
- 3 < x < 1 abc
›
9 > 0
x = - 3 abc
›x + 12 > 0
x < - 3abc
§f (x) > g (x)
- x - 3 se x < - 3
x + 3 se x ≥ - 3abc
\x + 3|=
- x + 1 se x < 1
x - 1 se x ≥ 1abc
f (x) = \x - 1|=
83
x
\x + 3|
1
\x - 1|
- x - 3
- x + 1 0 x - 1
\x - 1|- 2|x + 3|+ 5
4
x + 12 - 3 - x - 2
- 3
4 - x + 1
9 - 3x
x + 30 x + 3
- 2 \x + 3| 2x + 6 - 8 - 2x - 60 - 2x - 6
�1x� ≥ - 1 § �
1x� + 1 ≥ 0
§ �1 +
xx
� ≥ 0 §
§ x å ]- ? , - 1] ∂ ]0 , + ?[
0––1
++
3 Operações com funções. Resolução de problemas envolvendo funções
fog : ]- 1 , + ?[ 2" R
x 1
gof : ]- ? , - 1] ∂ ]0 , + ?[ 2" R
x 1 ��1x� + 1�
9. f (x) = x - 2 seja g (x) = ax + b
(fog) (x) = f (g (x)) = ax + b - 2
(gof) (x) = g (f (x)) = a (x - 2) + b = ax - 2a + b
ax + b - 2 = ax - 2a + b , A å R
§ b - 2 = - 2a + b § b å R ‹ a = 1
Pode ser qualquer função do tipo:
g (x) = x + b , b å R .
10.1. h (x) = (2x - 1)2 Pág. 102g (x) = 2x - 1 e f (x) = x2 (p. e.) ;
10.2. h (x) =�x + 5�
g (x) = x + 5 e f (x) =�x� (p. e.) ;
10.3. h (x) =�x +
23
�
g (x) = x + 3 e f (x) = �2x� (p. e.) ;
10.4. h (x) = �-�x +
23
��3
g (x) = -�x +
23
� e f (x) = x3 (p. e.) .
11. V = p r2 * 3 Pág. 103V (R) = 3 p R2
(Vor) (t) = V (r (t)) = V (0,6 t�23�)
= 3 p * (0,6 t�23�)2= 3 p * 0,36 t
�43�
= 1,08 p t�43�
V (t) = 1,08 p t�43�
.
12. C (x) = 2,5x + 500
x (t) = 10t , 0 ≤ t ≤ 8
12.1. (Cox) (t) = C (x (t)) = C (10t) = 2,5 * (10t) + 500
= 25t + 500 , 0 ≤ t ≤ 8
(Cox) (t) = 25t + 500 , 0 ≤ t ≤ 8 ;
12.2. (Cox) (8) = 25 * 8 + 500 = 700 Æ
700 Æ . Representa o custo de produção refe-
rente às unidades produzidas em 8 horas.
13.1. f é injectiva. Não é possível traçar Pág. 106uma recta horizontal que intersecte o gráfico
em dois pontos;
13.2.
g não é injectiva: x1 0 x2 e g (x1) = g (x2) ;
13.3.
h não é injectiva: x1 0 x2 e h (x1) = h (x2) .
13.4. f (x) = x2 - 5x + 1
f não é injectiva f (1) = f (4)
13.5. f (x) = \x - 1|
f não é injectiva f (- 1) = f (3)
13.6. f (x) = �x�
f é injectiva
x
y
x
y
1 3–1
x
y
1 4 5 6–3
–1
x
y
x2x1
y1
h
x
y
x2x1
y1g1
��x + 1�
84
Funções II
13.7. f (x) = �3x�
f é injectiva
13.8. f (x) = (x + 1)3
f é injectiva
13.9.
f não é injectiva f ��13
�� = f (2)
14. Se f é estritamente crescente Pág. 107em A então
a > b ± f (a) > f (b) , A a , b å A
Sejam x1 , x2 å A e x1 0 x2
Se x1 0 x2 tem-se x1 > x2 ou x2 > x1
x1 > x2 ± f (x1) > f (x2) ± f (x1) 0 f (x2)
x2 > x1 ± f (x2) > f (x1) ± f (x2) 0 f (x1)
Logo, x1 0 x2 ± f (x1) 0 f (x2) , A x1 , x2 å A
ou seja, f é injectiva.
15. Por exemplo
f é injectiva e não monótona.
16.1. f (x) = �6x� Pág. 110
• Df = R\{0}
• x = �6y� §
y 0 0xy = 6 § y = �
6x�
• Df -1 = R\{0}
f -1 : R\{0} 2" Rx 1 �
6x�
16.2. f (x) = 6x + 1
• Df = R
• x = 6y + 1 § 6y = x - 1 § y =�x -
61
�
• Df -1 = R
f -1 : R 2" Rx 1 �
x -6
1�
16.3. f (x) =�x -
23
�
• Df = R\{3}
• x =�y -
23
� §y 0 3
xy - 3x = 2
§ xy = 2 + 3x § y =�2 +
x3x
�
• Df -1 = R\{0}
f -1 : R 2" Rx 1 �
3xx+ 2�
17. Por exemplo: Pág. 111
17.1. g1 : [0 , 4] 2" Rx 1 y = g (x)
17.2. g2 : [- 3 , 2] 2" Rx 1 y = g (x)
17.3. g3 : [2 , + ?[ 2" Rx 1 y = g (x)
17.4. g4 : [- 5 , 2] 2" Rx 1 y = g (x)
1.1. a) Pág. 114
; Df = Rx se x ≤ 0
�1x� se x > 0
abc
f (x) =
x
y
0–1 1–1
2 3
1
2
3
4
x + 1 se x ≥ 1
�1x� se x < 1
abc
f (x) =
x
y
0–1
1
x
y
1 8–8
–2
2
85
x f (x) g (x)
- 4- 3- 2- 1024
210- 1- 2- 10
0123433
(f + g) (x)
2222223
3 Operações com funções. Resolução de problemas envolvendo funções
b)
1.2.
1.3.
1.4. a) (fg) (- 3) = f (- 3) * g (- 3) = 1 * 1 = 1 ;
b) ��gf�� (2) =�
gf (
(22))
� = �-31� = - �
13
� ;
c) (gof) (0) = g ( f(0)) = g (- 2) = 2 ;
d) (fog) (0) = f (g(0)) = f (4) = 0 .
1.5. a) Df = [- 4 , 4] ;
b) Dg = [- 4 , 4] ;
c) Df + g = [- 4 , 4] ;
d) D�gf�= ]- 4 , 4] ;
e) D�g
f�= [- 4 , - 2[ ∂ ]- 2 , 4[ .
1.6. Não. f e g são funções não injectivas;
1.7. (0 , - 2) ; (4 , 0)
m = �24
� = �12
� ; y = �12
� (x - 4) § y = �12
�x - 2
• h : [0 , 4] 2" R
x 1 �12
�x - 2
• x = �12
�y - 2 § x + 2 = �12
�y § y = 2x + 4
h (0) = - 2 ; h (4) = 0
Dh- 1 = [- 2 , 0]
h- 1 : [- 2 , 0] 2" Rx 1 2x + 4
1.8. Por exemplo:
Se i : [0 , 4] 2" R
x 1 - �12
�x
i + h : [0 , 4] 2" Rx 1 - 2
2.1. Função f : (0 , 2) ; (4 , 0) Pág. 115
m = �-24� = - �
12
�
y = - �12
� (x - 4) § y = - �12
�x + 2
f (x) = - �12
�x + 2 ;
Função g : (- 2 , 0) ; (0 , 2)
y = x + 2
g (x) = x + 2 ;
2.2. a) (f + g) (0) = f (0) + g (0) = 2 + 2 = 4 ;
b) (f - g) (0) = f (0) - g (0) = 2 - 2 = 0 ;
c) (fg) (0) = f (0) * g (0) = 2 * 2 = 4 ;
d) ��gf�� (0) =�
gf (
(00))
� = �22
� = 1 ;
e) (fog) (0) = f (g (0)) = f (2) = 1 ;
f) (gof) (0) = g (f (0)) = g (2) = 4 ;
g) (fog) (5) = f (g (5)) = f (7) = - �12
� * 7 + 2 = - �32
� ;
h) (gof) (- 2) = g (f (- 2)) = g (3) = 5 ;
x
y
h–2
4
h–1 y = x
–2
4
x
y
0
–6
2
2
4
–4 4
f – g
f
g
1
–4
–3
–2
3
x
y
0–2
–2
2
2
4
–3–4 4
f + g
f
g
86
x f (x) g (x)
- 4- 3- 2- 1024
210- 1- 2- 10
0123433
(f – g) (x)
20- 2- 4- 6- 4- 3
Funções II
2.3. f (x) = - �12
�x + 2 Df = R
g (x) = x + 2 Dg = R
Df © Dg = R ; Df © Dg © {x å R :
g (x) 0 0} = R\{- 2}
a) (f + g) (x) = �2x
� + 4
f + g : R 2" Rx 1 �
2x
� + 4
b) (fg) (x) = - �12
�x2 + 2x - x + 4 = - �12
�x2 + x + 4
fg : R 2" Rx 1 - �
12
�x2 + x + 4
c) ��gf�� (x) = =�
-2x
x++
44
�
�gf� : R\{- 2} 2" R
x 1 �-2x
x++
44
�
d) (gof) (x) = g (f (x)) = g �- �12
�x + 2� = - �12
�x + 4
gof : R 2" R
x 1 - �12
�x + 4
2.4. a)
b)
c)
d)
3.1. f (x) = 2x ;
g (x) = x + 1
Df = Dg = Df © Dg = R ; g (x) = 0 § x = - 1
f + g : R 2" Rx 1 3x + 1
f - g : R 2" Rx 1 x - 1
fg : R 2" Rx 1 2x2 + 2x
�gf� : R\{- 1} 2" R
x 1 �x2+x1
�
3.2. f (x) = 2x + 1 ;
g (x) = x2 ;
Df = Dg = Df © Dg = R ; g (x) = 0 § x = 0
f + g : R 2" Rx 1 x2 + 2x + 1
f - g : R 2" Rx 1 - x2 + 2x + 1
fg : R 2" Rx 1 2x3 + x2
�gf� : R\{0} 2" R
x 1 �2x
x+2
1�
3.3. f (x) = x + 5 ;
g (x) = x2 - 4 ;
Df = Dg = Df© Dg =R ; g (x) = 0 § x = - 2 › x = 2
f + g : R 2" Rx 1 x2 + x + 1
f - g : R 2" Rx 1 - x2 + x + 9
fg : R 2" Rx 1 x3 + 5x2 - 4x - 20
�gf� : R\{- 2 , 2} 2" R
x 1 �xx2
+-
54
�
x
y
2
0 4
gof
x
y
–2
1 412
–
fg
x
y
f x g
–2 2
4
4
x
y
f + g
–8 1
4
- �12
�x + 2�
x + 2
87
3 Operações com funções. Resolução de problemas envolvendo funções
4.1. f (x) = x ;
g (x) = 2x ;
Df = Dg = Df © Dg = R ;
g (x) = 0 § x = 0
Dfog = {x å R : x å Dg ‹ g (x) å Df} = R
Dgof = {x å R : x å Df ‹ f (x) å Dg} = R
(fog) (x) = f (g (x)) = f (2x) = 2x
(gof) (x) = g (f (x)) = g (x) = 2x
fog : R 2" Rx 1 2x
gof : R 2" Rx 1 2x
fg : R 2" Rx 1 2x2
�gf� : R\{0} 2" R
x 1 �12
�
4.2. f (x) = �4x� ;
g (x) = 2x - 1 ;
Df = R\{0} ; Dg = R ; Df © Dg = R\{0}
g (x) = 0 § x = �12
�
Dfog = {x å R : x å Dg ‹ g (x) å Df}
= {x å R : x å R ‹ 2x - 1 0 0} = R\�12
�Dgof = {x å R : x å Df ‹ f (x) å Dg}
= x å R : x 0 0 ‹ �4x� å R = R\{0}
(fog) (x) = f (g (x)) = f (2x - 1) =�2x
4- 1�
(gof) (x) = g (f (x)) = g ��4x�� = �
8x� - 1
(fg) (x) = �4x� (2x - 1) =�
8xx- 4�
��gf�� (x) =�
x (2x4- 1)� =�
2x2
4- x�
fog : R\�12
� 2" R
x 1 �2x
4- 1�
gof : R\{0} 2" R
x 1 �8x� - 1
fg : R\{0} 2" R
x 1 �8x
x- 4�
�gf� : R\0 , �
12
� 2" R
x 1 �2x2
4- x�
4.3. f (x) = �x� + 1 ;
g (x) = �x� - 4 ;
Df = Dg = R ; Df © Dg = R0+
g (x) = 0 § �x� = 4 § x = 16
Dfog = {x å R : x å Dg ‹ g (x) å Df}
= {x å R : x ≥ 0 ‹ �x� - 4 ≥ 0}
�x� ≥ 4 § x ≥ 16
= [16 , + ?[
Dgof = {x å R : x å Df ‹ f (x) å Dg}
= {x å R : x ≥ 0 ‹ �x� + 1 ≥ 0} = R0+
(fog) (x) = f (g (x)) = f (�x� - 4) =��x� - 4� + 1
(gof) (x) = g (f (x)) = g (�x� + 1) =��x� + 1� - 4
(fg) (x) = (�x� + 1) (�x� - 4)
=x ≥ 0
x - 4 �x� + �x� - 4 = x - 3 �x� - 4
��gf�� (x) =
fog : [16 , + ?[ 2" R
x 1 ��x� - 4� + 1
gof : R0+ 2" R
x 1 ��x� + 1� - 4
fg : R0+ 2" Rx 1 x - 3 �x� - 4
�gf� : R0
+\{16} 2" R
x 1
4.4. f (x) = \x - 1|;
g (x) =�x +
11
�
Df = R ; Dg = R\{- 1} ; Df © Dg = R\{- 1}
g (x) 0 0 , A x å Dg
Dfog = {x å R : x å Dg ‹ g (x) å Df}
= x å R : x 0 - 1 ‹ �x +
11
� å R = R\{- 1}
Dgof = {x å R : x å Df ‹ f (x) å Dg}
= {x å R : x å R ‹ \x - 1|0 -1} = R
(fog) (x) = f (g (x)) = f ��x +1
1�� = ��x +
11
� - 1�= ��1 -x +
x -1
1�� = ��x +
x1
��(gof) (x) = g (f (x)) = g (\x - 1\) = 1
��|x - 1| + 1
�x� + 1��x� - 4
�x� + 1��x� - 4
88
Funções II
(fg) (x) =�|xx-+
11|
�
��gf�� (x) = \x - 1\ : �
x -1
1� = \x - 1 \(x + 1)
fog : R\{- 1} 2" R
x 1 ��x +x
1��
gof : R 2" R
x 1
fg : R\{- 1} 2" R
x 1 �|xx-+
11|
�
�gf� : R\{- 1} 2" R
x 1 (x + 1) \x - 1 \
5.1. f é injectiva; objectos diferentes Pág. 116têm imagens diferentes;
5.2. g não é injectiva; g (- 1) = g (1) ;
5.3. h não é injectiva (por exemplo, tem três zeros);
5.4. i é injectiva (teste da recta horizontal);
5.5. j é injectiva (teste da recta horizontal);
5.6. k não é injectiva (por exemplo, tem dois zeros);
5.7. f é injectiva
5.8. f não é injectiva (f (- 1) = f (1) , por exemplo);
5.9. f é injectiva
5.10. f não é injectiva (por exemplo, f (- 1) = f (1)) .
6.1. Pág. 117
6.2.
6.3.
6.4.
x
y
0
f = f –1
y = x
f –1
x
y
0
fy =
x
f –1
x
y
0
fy =
x
f –1
x
y
0
f
y = x
y = x + 1
x
y
1
0 3–1
2
x
y
3
0 1
f
– 4
5
1��|x - 1| + 1
89
3 Operações com funções. Resolução de problemas envolvendo funções
7.1. f (x) = 2x
• Df = R
• x = 2y § y = �2x
�
• Df - 1 = R = D'f
f - 1 : R 2" R ; D'f = Rx 1 �
2x
�
7.2. f (x) = 2x - 3
• Df = R
• x = 2y - 3 § 2y = x + 3 § y =�x +
23
�
• Df - 1 = R = D'f
f - 1 : R 2" R ; D'f = R
x 1 �x +
23
�
7.3. f (x) =�1
2- x�
• Df = R\{1}
• x =�1
2- y� §
y 0 1x - xy = 2
§ xy = x - 2 § y =�x -
x2
�
• Df - 1 = D'f = R\{0}
f - 1 : R\{0} 2" R ; D'f = R\{0}
x 1 �x -
x2
�
7.4. f (x) =�2xx+-11
�
• Df = R\{- 1}
• x =�2yy+-11
� § xy + x = 2 - y - 1
§ xy - 2y = - 1 - x
§ y (x - 2) = - 1 - x § y =�x2+-
1x
�
• Df - 1 = D'f = R\{2}
f - 1 : R\{2} 2" R ; D'f = R\{2}
x 1 �x2+-
1x
�
8.1. f (x) =�x2+x1
�
• Df = R\{- 1}
• x =�y2+y1
� § xy + x = 2y
§ xy - 2y = - x § y (x - 2) = - x
§ y =�2 -
xx
�
• Df - 1 = R\{2}
f - 1 : R\{2} 2" R
x 1 �2 -
xx
�
8.2. Como f e f - 1 são inversas.
f - 1of : Df = R\{- 1} 2" Rx 1 x
f of - 1 : Df- 1 = R\{2} 2" Rx 1 x
9. f (x) = �x� ; g (x) = x2 + 3x Pág. 118
9.1. Df = R0+ ; Dg = R ;
9.2.
9.3. x = �y� §y > 0
x2 = y
Df - 1 = Df' = R0+
f - 1 : R0+ 2" Rx 1 x2
9.4. g não é injectiva (por exemplo, g (- 3) = g (0))
logo, g não tem inversa.
Por exemplo:
g : �- ? , - �32
�� 2" R
x 1 y = g (x)
10.
2x - 3 se x ≥ �32
�
- 2x + 3 se x < �32
�
adbdc
g (x) = \- 2x + 3|= \2x - 3|=
x + 1 se x ≥ - 1
- x - 1 se x < - 1
abc
f (x) = \x + 1|=
x
yf –1
1
4
2
1
3
2
x
y g
–1 1
4
0–2–3–4
–2,25
x
y
f
1 4
1
2
90
Funções II
10.1.
10.2. \x + 1|- \- 2x + 3|> 1 §
§ xåO ∂ �1 , �32
��∂ ��32
� , 3�§ xå ]1 , 3[ ;
10.3.
10.4. Por exemplo, se j (x) = x + 1 e i (x) = \x|,
Dj = Di = R (ioj) (x) = \x + 1|= f (x) .
11.1. • Para x < - 2
(- 2 , - 1) ; (- 3 , - 2)
m =�--
12++
23
� = 1
y + 1 = 1 (x + 2) § y = x + 1 ; f (x) = x + 1
• Para - 2 ≤ x ≤ 0 , f (x) = 0
• Para x > 0 , f (x) = x
11.2.
12.1. d 2 = 4 + y2 Pág. 119d (y) = �4 + y2� ;
12.2. espaço = velocidade * tempo
y = 100t
y (t) = 100t ;
12.3. (doy) (t) = d (y (t)) = d (100t) = �4 + (1�00t)2�
= �4 + 10� 000t2�
(doy) (t) = �4 + 10� 000t2� ;
12.4. (doy) (0,05) = �4 + 10� 000 *� (0,05)�2� ) 5,39
(doy) (0,05) ) 5,39 km ; 0,05 h (ou seja,
3 minutos) após ter partido de A , o carro
encontra-se a uma distância de 5,39 km de P .
13.1. f (x) = �95
� x + 32
x = �95
� y + 32 § 5x = 9y + 160 § 9y = 5x - 160
§ x =�5x -
9160�
f - 1 (x) =�5x -
9160� ;
f - 1 converte graus Fahrenheit em graus Celsius;
13.2.
x
y
32 100 212
32
100
212f
f –1
2 se x < - 2
- x + 1 se - 2 ≤ x ≤ 0
1 se 0 < x < 1
2x - 1 se x ≥ 1
addbddc
(f + g) (x) =
x - 1 se x ≥ 1
- x + 1 se x < 1
abc
g (x) = \1 - x| = \x - 1| =
x + 1 se x < - 2
0 se - 2 ≤ x ≤ 0
x se x > 0
adbdc
f (x) =
x
y
1
4
2
1 32
3
–1–3
–5
–7
x < 3
x ≥ �32
�
adbdc
›x > 1
- 1 ≤ x < �32
�
adbdc
›
x > 5
x < - 1
adbdc
§- x + 4 > 1
x ≥ �32
�
adbdc
›
3x - 2 > 1
- 1 ≤ x < �32
�
adbdc
›x - 4 > 1
x < - 1
adbdc
§
x - 4 se x < - 1
3x - 2 se - 1 ≤ x < �32
�
- x + 4 se x ≥ �32
�
addbddc
(f - g) (x) =
91
x
g (x)
�32
�
f (x)
- 2x + 3
- x - 1 �52
� x + 1
0
- 1
0 x + 1
2x - 35 - 2x + 3
f (x) - g (x) x - 4 �52
� - x + 4- 5 3x - 2
x
g (x)
1
f (x)
- x + 1
x + 1 xx
x - 1
2x - 1
- 2 0
0
- x + 1- x + 1
f (x) + g (x) 2 1- x + 1
3 Operações com funções. Resolução de problemas envolvendo funções
13.3. f (x) = f - 1 (x) § �95
� x + 32 =�5x -
9160�
§ 81x + 1440 = 25x - 800
§ 56x = - 2240 § x = - 40
- 40 °F = - 40 °C .
14.1. (s1 , r1) = (6 ; 10)
(s2 , r2) = (8 ; 12,5)
m =�106--182,5
� =�--22,5� = 1,25
r - 10 = 1,25 (s - 6) § r = 1,25s + 2,5
r = 1,25s + 2,5 , o preço real é igual ao preço
em saldo acrescido de 25% e da parcela fixa
de 2,5 Æ ;
14.2. r = 1,25s + 2,5 § 1,25s = r - 2,5
§ s =�r1-,225,5
� § s = �21,5�r -�
12,,255
�
§ s = 0,8r - 2
s = 0,8r - 2 ; o preço de saldo é calculado
abatendo 20% ao preço real e abatendo,
ainda, a parcela fixa de 2 Æ .
15. f (x) = 3x ; g (x) = x - 2
15.1. (fog) (x) = f (g (x)) = f (x - 2) = 3x - 6 ;
15.2. y = 3x - 6 § 3x = y + 6 § x = �3y
� + 2
(fog)- 1 (x) = �3x
� + 2 ;
15.3. y = 3x § x = �3y� ; y = x - 2 § x = y + 2
f - 1 (x) = �3x
� e g- 1 (x) = x + 2 ;
15.4. (g- 1of - 1) (x) = g- 1 (f - 1 (x)) = g- 1 ��3x
�� = �3x
� + 2
(g- 1of - 1) (x) = �3x
� + 2 = (fog)- 1 (x) ;
15.5. f (x) = 2x ; g (x) = x3
(fog) (x) = f (g (x)) = f (x3) = 2x3
2x3 = y § x3 = �2y
� § x = �3 �2y
��(fog)- 1 (x) = �3 �
2x
��f - 1 (x) = �
2x
� ; g- 1 (x) = �3x�
(g- 1of - 1) (x) = g- 1 (f - 1 (x)) = g- 1 ��2x
�� = �3 �2x
��(g- 1of - 1) (x) = �3 �
2x
�� = (fog)- 1 (x) ;
15.6. Se f e g são funções injectivas,
(fog)- 1 (x) = (g- 1of - 1) (x) .
16. f (x) = �x3� ; g (x) = x - 1 Pág. 120(gof) (2) = g (f (2)) = g (�23�) =�23� - 1 = 2 �2� - 1
(D) .
17. f (x) = �x + 1� ; g (x) = �1x�
g (f (x)) = g (�x + 1�) =��x
1
+ 1�� =�
�xx++11�
�
(C) .
18. (D) .
19. (B) .
20. f (x) =�x2
1- 1� ; g (x) = �x�
�gf� (9) =�
gf (
(99))
� = = = �2140�
(C) .
21. (D) .
22. (A) . Pág. 121
23. 1 - x2 > 0
§ - 1 < x < 1
(B) .
24. É simétrico relativamente à recta de equação y = x .
25.1. i) f e g são estritamente crescentes ±gof é estritamente crescente.
Por hipótese:
Ax1 , x2å Df , x1 > x2 ± f (x1) > f (x2) (1)
Ax1 , x2å Dg , x1 > x2 ± g (x1) > g (x2) (2)
Logo,
Ax1 , x2å Dgof , x1 > x2 ±
(1)
f (x1) > f (x2)
±(2)
g (f (x1)) > g (f (x2))
± (gof) é estritamente crescente.
ii) f e g são estritamente decrescentes ±gof é estritamente crescente.
Por hipótese:
Ax1 , x2å Df , x1 > x2 ± f (x1) < f (x2) (1)
Ax1 , x2å Dg , x1 > x2 ± g (x1) < g (x2) (2)
mas, então,
Ax1 , x2å Dgof , x1 > x2 ±
(1)
f (x1) < f (x2)
±(2)
g (f (x1)) > g (f (x2)) ±
± (gof) é estritamente crescente.
De i) e ii) , se f e g são funções com
o mesmo sentido de variação, então gof é
estritamente crescente;
1
+
–1
�810�
�3
�92
1- 1�
��9�
92
Funções II
25.2. i) f é estritamente crescente e g é estrita-
mente decrescente ± gof é estritamente
decrescente
Por hipótese:
Ax1 , x2å Df , x1 > x2 ± f (x1) > f (x2) (1)
Ax1 , x2å Dg , x1 > x2 ± g (x1) < g (x2) (2)
Então:
Ax1 , x2å Dgof , x1 > x2 ±
(1)
f (x1) > f (x2)
±(2)
g (f (x1)) < g (f (x2))
± (gof) é estritamente decrescente.
ii) f é estritamente decrescente e g é estrita-
mente crescente ± gof é estritamente
decrescente
Por hipótese:
Ax1 , x2å Df , x1 > x2 ± f (x1) < f (x2) (1)
Ax1 , x2å Dg , x1 > x2 ± g (x1) > g (x2) (2)
Então:
Ax1 , x2å Dgof , x1 > x2 ±
(1)
f (x1) < f (x2)
±(2)
g (f (x1)) < g (f (x2))
± (gof) é estritamente decrescente.
De i) e ii) , se f e g têm sentidos de
variação diferentes, então gof é estrita-
mente decrescente.
26. Seja f : Df " R estritamente decrescente,
ou seja,
Ax1 , x2å Df , x1 > x2 ± f (x1) < f (x2) (1)
Sejam x1 , x2 å Df tais que x1 0 x2
então: x1 > x2 ou x2 > x1
x1 > x2 ±(1)
f (x1) < f (x2) ± f (x1) 0 f (x2)
x2 > x1 ±(1)
f (x2) < f (x1) ± f (x2) 0 f (x1)
Logo,
Ax1 , x2å Df , x1 0 x2 ± f (x1) 0 f (x2)
pelo que f é injectiva.
27. Por exemplo,
g (x) = ��x2
1+ 1�� + 4� ; Dg = R
f (x) =�x2
1- 4� ; Df = R\{- 2 , 2}
Dfog = {x å R : x å Dg ‹ g (x) å Df}
= {x å R : x å R ‹ g (x) å R\{- 2 , 2}}
g (x) > 2 , A x å R
= R
(fog) (x) = f (g (x)) =
= = = x2 + 1
g (x) = ��x2
1+ 1�� + 4� (por exemplo).
28. f (x) = 2x - 1 ; g (x) =�x +
21
�
Df = R ; Dg = R
Dfog = {x å R : x å Dg ‹ g (x) å Df} = R
Dgof = {x å R : x å Df ‹ f (x) å Dg} = R
(fog) (x) = f (g (x)) = 2 �x +
21
� - 1 = x
(gof) (x) = g (f (x)) =�(2x -21) + 1� = x
gof = fog .
29. Não. Para x < 0 , \�x�| não está definido.
4 Taxa média de variação e taxa de varia-ção de uma função. Cálculo da deri-vada de algumas funções
1. f (x) = 3x2 Pág. 127
f (3) - f (0) = 27 - 0 = 27
tmv[0 , 3] = �237� = 9 .
2. f (x) = 3x2 - 2x
2.1. tmv[0 ; 0,5] =�f (0
0,5,5) --
f0(0)
� =�- 0,02,55- 0
� = - 0,5 ;
2.2. tmv[1 ; 2] =�f (2
2) --
f1
(1)� =�
8 -1
1� = 7 .
3. R(x) = 60x - 0,025x2 , 0 ≤ x ≤ 2400
3.1. tmv[200 ; 600] =�R (6
60000) --
R20
(0200)
�
=�27 0004-00
11 000� = 40 ;
3.2. tmv[1800 ; 2200] =
=�11 0004-00
27 000� = - 40 .
4.1. y = x 4.2. y = 2x Pág. 131y ' = 1 ; y ' = 2 ;
4.3. y = - 3x 4.4. y = - �73
�x
y ' = - 3 ; y ' = - �73
� ;
4.5. y = x2 4.6. y = 5x2
y ' = 2x ; y ' = 10x ;
R (2200) - R (1800)���
2200 - 1800
1���x2
1+ 1� + 4 - 4
1���
���x2
1+ 1�� + 4��
2
- 4
1��(g (x))2 - 4
93
4 Taxa média de variação e taxa de variação de uma função. Cálculo da derivada de algumas funções
4.7. y = - 6x2 4.8. y = - �14
�x2
y ' = - 12x ; y ' = - �12
�x ;
4.9. y = x3 4.10. y = - 5x3
y ' = 3x2 ; y ' = - 15x2 ;
4.11. y = - �37
�x3 4.12. y = - �43
�x3
y ' = - �97
�x2 ; y ' = - 4x2 ;
4.13. y = x4 4.14. y = - 2x4
y ' = 4x3 ; y ' = - 8x3 ;
4.15. y = - �x4
4
� 4.16. y = - 5x4
y ' = - x3 ; y ' = - 20x3 ;
4.17. y = x10 4.18. y = 3x25
y ' = 10x9 ; y ' = 75x24 ;
4.19. y = �39x9
99
� 4.20. y = �1x0
10
0
0
�
y ' = 3x98 ; y ' = x99 .
5.1. y = 2 + 2x 5.2. y = x2 + x
y ' = 2 ; y ' = 2x + 1 ;
5.3. y = x2 + 2x + 1 5.4. y = - 2x2 + 3x - 1
y ' = 2x + 2 ; y ' = - 4x + 3 ;
5.5. y = - x3 + 3x2 + 2x - 1 5.6. y = - x5 + 3x2 - 2
y ' = - 3x2 + 6x + 2 ; y ' = - 5x4 + 6x ;
5.7. y = - �x3
3
� + x2 + �12
� 5.8. y = - �x3
3
� - �x2
2
� + �13
�
y ' = - x2 + 2x ; y ' = - x2 - x .
6.1. f (x) = x2 + 3x ; f ' (x) = 2x + 3 ;
6.2. f ' (0) = 3 ; f ' (- 1) = 1 ; f ' (- 3) = - 3 .
7.1. f (x) = �3x� = 3x- 1 Pág. 133
f ' (x) = - 3x- 2 = - �x32� ;
7.2. f (x) = - �1x32� = - 13x- 2
f ' (x) = 26x- 3 = �2x63� ;
7.3. f (x) = 2x - �x12� = 2x - x- 2
f ' (x) = 2 + 2x- 3 = 2 + �x23� ;
7.4. f (x) = 2x ��x12� + 1� = �
2x� + 2x = 2x- 1 + 2x
f ' (x) = - 2x- 2 + 2 = - �x22� + 2 ;
7.5. f (x) = 8 �x� = 8x�12�
f ' (x) = 4x�12� - 1= 4x
- �12�
= ��4
x�� ;
7.6. f (x) = - ��3
x�� = - 3x
- �12�
f ' (x) = �23
�x- �
32�
=�2x
3
�x�� ;
7.7. f (x) = x�12�
x = x�32�
f ' (x) = �32
�x�12�
=�3 �
2x�
� ;
7.8. f (x) = x2 (x + �x�) = x3 + x�52�
f ' (x) = 3x2 + �52
�x�32�
= 3x2 +�5x
2�x�� ;
7.9. f (x) = �3x� (2 + �x�) = 6x- 1 + 3x
- �12�
f ' (x) = - 6x- 2 - �32
�x- �
32�
= - �x62� -�
2x
3
�x�� .
8. t (x) = x2 - 5x ; t ' (x) = 2x - 5 Pág. 135
8.1. P (- 1 , 6) ; t (- 1) = 1 + 5 = 6
m = t ' (- 1) = - 2 - 5 = - 7
y - 6 = - 7 (x + 1) § y = - 7x - 1
y = - 7x - 1 ;
8.2. P (3 , - 6) ; t (3) = - 6
m = t ' (3) = 6 - 5 = 1
y + 6 = 1 (x - 3) § y = x - 9
y = x - 9 ;
8.3. P (2,5 ; - 6,25) ; t (2,5) = - 6,25
m = t ' (2,5) = 5 - 5 = 0
y = - 6,25 .
9. p (x) = x3 - 3x + 3 ; p' (x) = 3x2 - 3
p' (1) = 0 .
10. f ' - B ; g' - A ; h' - C . Pág. 137
11.1. f (x) = x2 - 5x + 4 ; Df = R Pág. 140
f ' (x) = 2x - 5 ; f ' (x) = 0 § x = �52
�
x
y
1–1–2
–3
3
–3
f ’
1
94
Funções II
f é estritamente decrescente em �- ? , �52
��e é estritamente crescente em ��
52
� , + ?� ;
11.2. f (x) = x3 - 3x2 + 1 ; Df = R
f ' (x) = 3x2 - 6x
f ' (x) = 0 § 3x (x - 2) = 0 § x = 0 › x = 2
f é estritamente crescente em ]- ? , 0] e
em [2 , + ?[ e estritamente decrescente em
[0 , 2] ;
11.3. f (x) = 3x4 - 4x3 ; Df = R
f ' (x) = 12x3 - 12x2 = 12x2 (x - 1)
f ' (x) = 0 § x = 0 › x = 1
f é estritamente decrescente em ]- ? , 1]
e estritamente crescente em [1 , + ?[ .
12.
12.1.
12.2. f tem um mínimo relativo igual a 1 no
ponto x = 0 ;
12.3.
13. f (x) = x�23� = �
3x2� ; Df = R
f ' (x) = �23
�x�23� - 1 = �
23
�x- �
13� =�
3 �23x�
� , A x å R\{0}
f ' (x) ≠ 0 , A x å R\{0}
f é estritamente decrescente em ]- ? , 0] e
estritamente crescente em [0 , + ?[
f (0) = 0 é o valor mínimo de f .
1.1. Por observação do gráfico verifica-se Pág. 148que f ' (- 1) < 0 (a tangente tem declive
negativo) e f ' (1) > 0 (a tangente no ponto
de abcissa 1 tem declive positivo).
1.2. V (0 , 1) é o vértice da parábola.
y = a (x - 0)2 + 1 ‚M
A1 (- 1 , 2) pertenceà parábola2 = a (- 1)2 + 1
a = 1
y = x2 + 1 é uma equação da parábola
Seja y = f (x) = x2 + 1
f ' (x) = 2x
f ' (- 1) = - 2 e f ' (1) = 2 .
2.1. f (x) = 12x2
f ' (x) = 24x ;
2.2. f (x) = - �73
�x3
f ' (x) = - 7x2 ;
2.3. f (x) = 13 - 2x - x2
f ' (x) = - 2 - 2x ;
2.4. f (x) = �x3
3
� - �x2
2
� + 1
f ' (x) = x2 - x ;
2.5. f (x) = �12
�x2 + �14
�x - �13
�
f ' (x) = x + �14
� ;
2.6. f (x) = 3x (x2 - 2) = 3x3 - 6x
f ' (x) = 9x2 - 6 .
3.
Ponto de tangência (- 1 , 3)
y ' = - 2x ; m = 2
Equação da tangente:
y - 3 = 2(x + 1) § y = 2x + 5
y = 2x + 5 .
x
y
1–1
5
0 2–2
3
4
y = 4 – x2
y = 2x + 5
1 se x > 0
- 1 se x < 0
abc
f ' (x) =
x
y
1–1
2
0
1
x + 1 se x > 0
- x + 1 se x ≤ 0
abc
f (x) =
95
x 0 1
12x2 0 + + +
f (x) ¢ £
f (x) 0 - 0 +
(x - 1) - - 0 +
x 0
f ' (x) +
f (x) 0 £
x - ?
-
�52� + ?
f ' (x)
¢
+
f (x) £
x 0 2 + ?
f ' (x) 0 - 0 +
f (x) ¢ £
-?
+
£
+
¢
-
-
-
¢
4 Taxa média de variação e taxa de variação de uma função. Cálculo da derivada de algumas funções
4.1. f (t) = 9 - 2t - 5t2 ; f ' (t) = - 2 - 10t
f ' (1) = - 2 - 10 = - 12 ;
4.2. s (t) = - �3t� + 1 = - 3t - 1 + 1
s' (t) = 3t- 2 = �t32�
s' (- 1) = 3 * (- 1)- 2 = + 3 ;
4.3. y (u) = u3 - 3 �u� = u3 - 3u�12�
y ' (u) = 3u2 - �32
�u- �
12� = 3u2 -�
2 �3
u��
y ' (4) = 3 * 16 -�2 �
3
4�� = 48 - �
34
� = �1849
� .
5. y = x3 - 3x2 + 2x + 1
y ' = 3x2 - 6x + 2
y ' (0) = 2 .
6. y = x (3x - 1) (x + 3)
y = 0 § x = 0 › x = �13
� › x = - 3
y = 3x3 + 8x2 - 3x
y ' = 9x2 + 16x - 3
y ' (0) = - 3
y ' ��13
�� = 9 * ��13
��2
+ 16 ��13
�� - 3 = �130�
y ' (- 3) = 9 * (- 3)2 + 16 (- 3) - 3 = 81 - 48 - 3 = 30 .
7. f (x) = x2 - 7x + 6
f ' (x) = 2x - 7
f ' (x) = - 1 § 2x - 7 = - 1 § x = 3
f (3) = 9 - 21 + 6 = - 6
Ponto de tangência (3 , - 6)
m = - 1
y + 6 = - 1(x - 3) § y = - x - 3
8. f (x) = 7 - 9x - 5x2 + 4x3 Pág. 149f ' (x) = - 9 - 10x + 12x3
f ' (x) = 3 § 12x2 - 10x - 9 = 3
§ 12x2 - 10x - 12 = 0 § x = - �23
� › x = �32
�
São paralelas à recta y = 3x + 2 as tangentes nos
pontos de abcissas - �23
� e �32
� .
9.1. f (x) = x3 - 5x2 + 3x - 20
f ' (x) = 0 § 3x2 - 10x + 3 = 0
§ x = 3 › x = �13
� ;
9.2. g (x) = x5 - 5x3 - 20x
g ' (x) = 0 § 5x4 - 15x2 - 20 = 0 ‚M x2 = a
§ a2 - 3a - 4 = 0
§ a = - 1 › a2 = 4 ‚M x2 = a
§ x2 = - 1 › x2 = 4
§ x = - 2 › x = 2 .
10.1. C e F ;
10.2. B e E ;
10.3. A e D .
11. f , b , e , d , a , c . Pág. 150
12. Por exemplo:
13.1.
13.2.
x
yf ’
0
x
y
1 f ’
0
x
y
A
B
C D
E
x
y
1
–3
5
0 2
6
4
y = 5 – x
–6
3 5 6 7
y = –x – 3
96
Funções II
13.3. Pág. 151
13.4.
13.5.
13.6.
14. x + y = 20 § y = 20 - x
14.1. P = xy
P (x) = x (20 - x)
§ P (x) = 20x - x2 (0 ≤ x ≤ 20)
P ' (x) = 20 - 2x
P ' (x) = 0 § 20 - 2x = 0 § x = 10
x = y = 10 Máx.
14.2. S = x2 + y2
S (x) = x2 + (20 - x)2
S (x) = x2 + 400 - 40x + x2
S (x) = 2x2 - 40x + 400
S ' (x) = 4x - 40
S ' (x) = 0 § x = 10
x = y = 10 Min.
15. 4y + 6x = 300
y =�300
4- 6x�
=�150
2- 3x�
15.1. A = 3x.y
A (x) = 3x *�150
2- 3x� , 0 < x < 50
A (x) =�450x2- 9x2
�
A (x) = 225x - 4,5x2 ;
15.2. A' (x) = 225 - 9x
A' (x) = 0 § 225 - 9x = 0 § x = 25
Máx.
A (25) = 2812,5 m2
x = 25 ± y =�1502- 75� = 37,5
x = 25 m ; y = 37,5 m ;
área máxima: 2812,5 m2 .
16. Pág. 152
V = (12 - 2x)2 * x
V (x) = 4x3 - 48x2 + 144x , 0 < x < 6
V ' (x) = 12x2 - 96x + 144
V ' (x) = 0 § 12x2 - 96x + 144 = 0
§ x = 2 › x = 6 §x < 6
x = 2
Máx.
O quadrado cortado tem
2 cm de lado.62
12 – 2x
x
x
x
y
x x
x
y
0
f ’
x
y
0
f ’
x
y
0
x
y f ’
97
x 0 10
P ' (x) + 0 -
P (x) £ ¢
20
x 10
S ' (x) - 0 +
S (x) ¢ £
x 0 25
A' (x) + 0 -
A (x) £ ¢
50
x 0 2
V ' (x) + 0 -
V (x) £ ¢
6
M11FNAGP - 7
4 Taxa média de variação e taxa de variação de uma função. Cálculo da derivada de algumas funções
17. A (1 , 3) B (0 , 1)
m =�31--
10
� = 2 ; b = 1
y = 2x + 1
Se g (x) = x2 + x , g ' (x) = 2x + 1 = y
(B) .
18. d (t) = 0 § 80t - 5t2 = 0 § 5t (16 - t) = 0
§ t = 0 › t = 16
(A) .
19. Pág. 153
�hh''((ac))
� < 0 ; h' (e) * h (f) = 0 ; h' (d) * h' (f) < 0
h' (a) * h (d) < 0
(D) .
20. D (x) = 1 + 50x - 25x2
20.1. D (0) = 1
1. Na zona da igreja vivem cerca de 100 habi-
tantes por km2 .
20.2. D ' (x) = 50 - 50x
D ' (x) = 0 § 50 - 50x = 0 § x = 1
Máx.
A densidade populacional é máxima a 1 km
da igreja.
21.1. f (0) < f (1) ; Pág. 154
21.2. f ' (0) < f ' (1) ;
21.3. g ' (x1) < g ' (x2) ;
21.4. g' (x2) > g ' (x3) .
22.1. f ' (a) > 0
Por exemplo:
22.2. A (x0 , y0)
B (0 , y1)
f ' (x0) = 0
f ' (0) = y1 > 0
Por exemplo:
23.1.
o que se ajusta a g ,
Pode ser g (x) = f ' (x) ;
23.2. f pode ser definido por Pág. 155
Então,
Pode ser g (x) = f ' (x)
23.3.
Os possíveis valores de f ' (x) ajustam-se ao
gráfico de g .
O gráfico de g pode ser o gráfico de f ' .
23.4. O gráfico de f ajusta-se ao da função f (x) = �1x�
f ' (x) = ��1x��' = (x- 1)' = (- x- 2) = - �
x12�
O gráfico de g pode ser o gráfico de f ' .
- 1 se - 1 ≤ x < 0
1 se 0 < x < 1
- 1 se 1 < x ≤ 2
adbdc
donde se tem f ' (x) =
- x se - 1 ≤ x < 0
x se 0 ≤ x ≤ 1
- x + 2 se 1 < x ≤ 2
adbdc
f (x) =
0 se x < k
m se x > k (m < 0)
abc
Logo, f ' (x) =
a se x ≤ k
mx + b se x > k (m< 0)
abc
f é do tipo f (x) =
x
y
A
B
0x0
y0
y1
m = 0
m = y1
x
y
a
bA f
m =
c
98
x 0 1
D ' (x) + 0 -D (x) £ ¢
x - 1 0 1
f (x) ¢ £f ' (x) - 0 +
a b c d
h 0 + 0 -
h' + + - +
e f
+ +
0 -
Funções II
24.1.
24.2. P (t) = 15t2 - t3
P ' (t) = 30t - 3t2
P ' (5) = 30 * 5 - 75 = 75
P ' (8) = 30 * 8 - 3 * 64 = 48
P ' (5) = 75 , P ' (8) = 48 ; Ao 5.° dia após
o eclodir da epidemia o número de pessoas
afectadas crescia a uma velocidade de 75
pessoas/dia e ao 8.° dia essa taxa de cresci-
mento era de 48 pessoas/dia.
24.3.
Máx. Máx.de P' de P
O número de pessoas afectadas cresceu até ao
10° dia em que atingiu o máximo de 500 .
A partir daí entrou em decrescimento podendo
considerar-se que a epidemia ficou extinta ao
15.° dia.
A taxa de crescimento foi máxima ao 5.°
dia. Neste dia o número de pessoas afectadas
crescia à razão de 75 pessoas/dia. No 10.°
dia o número de doentes deixou de crescer e,
no 12.° dia já decrescia à razão de 72 pes-
soas/dia.
t
P
P’–225
75
250
500
5 10 15
99
t 0 5
P ' (t) 0 + 75 +P (t) 0 £ 250 £
10
0
12
500
- -72 -
¢ 432 ¢
15
-225
0
1 Sucessões. Sucessões monótonas. Sucessões limitadas
1 Sucessões. Sucessões monótonas.Sucessões limitadas
1.1. an = 2n Pág. 14a1 = 2 ; a2 = 4 ; a3 = 8 ; a4 = 16 ; a5 = 32 ;
1.2. bn = 30
b1 = b2 = b3 = b4 = b5 = 30 ;
1.3. cn = 1 - 2n
c1 = - 1 ; c2 = - 3 ; c3 = - 5 ; c4 = - 7 ; c5 = - 9 ;
1.4. cn = (- 1)n + 1 * �1n
�
c1 = 1 ; c2 = - �12
� ; c3 = �13
� ; c4 = - �14
� ; c5 = �15
� .
2. un =�n2
n- 1�
2.1. a) u1 =�12
1- 1� = 0
b) u5 =�52
5- 1� = �
254�
c) un + 1 =�(n +
n1+)2
1- 1
� =�n2 + 2
nn++11 - 1
�
=�nn
2 ++
21n
� ;
2.2. un = 9,9 § �n2
n- 1� = 9,9 § n2 - 1 = 9,9n
§ n2 - 9,9n - 1 = 0 § n =
§ n = - �110� › n = 10 §
nåN§ n = 10
u10 = 9,9 ;
2.3. un = 6 § �n2
n- 1� = 6 § n2 - 1 = 6n
§ n2 - 6n - 1 = 0
§ n =�6 ¿�
236 + 4��
§ n =�6 ¿ 22
�10��
§ n = 3 ¿ �10�
6 não é termo da sucessão. A equação un = 6 §§ n = 3 ¿ �10� é impossível em N .
3.1. an = �6n
� Pág. 15
a1 = 6 ; a2 = 3 ; a3 = 2 ; a4 = �32
� ; a5 = �65
� ;
bn = 2n - 1
b1 = 1 ; b2 = 3 ; b3 = 5 ; b4 = 7 ; b5 = 9 ;
cn = �39n�
c1 = 3 ; c2 = 1 ; c3 = �13
� ; c4 = �19
� ; c5 = �217� ;
dn = (- 1)n �1n
�
d1 = - 1 ; d2 = �12
� ; d3 = - �13
� ; d4 = �14
� ; d5 = - �15
� ;
en = 4 + (- 1)n
e1 = 3 ; e2 = 5 ; e3 = 3 ; e4 = 5 ; e5 = 3 ;
fn = 5 f1 = f2 = f3 = f4 = f5 = 5 .
3.2.
0
en
n
1
3
2 41 3 5
2
4
5
0
dn
n2 41 3 5
1
–1
0
cn
n2 41 3 5
1
2
3
0
bn
n1
5
2 41 3 5
3
7
9
0
an
n2 41 3 5
6
5
4
3
2
1
9,9 ¿ �9,92 +�4���
2
100
Sucessões
Sucessões
Pág. 164.
.
5.1. 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , … ; a diferença entre dois
termos consecutivos é constante e igual a 3 ;
5.2. bn = 3n + 2 .
6.1. 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 ;
6.2.
6.3. bn =�an
a+
n
1�
b1 = �aa
2
1
� = �11
� = 1 ; b2 = �aa
3
2
� = �21
� = 2 ;
b3 = �aa
4
3
� = �32
� ; b4 = �aa
5
4
� = �53
� ; b5 = �aa
6
5
� = �85
� ;
b6 = �aa
7
6
� = �183� ; b7 = �
aa
8
7
� = �2113� ; b8 = �
aa
9
8
� = �3241� ;
b9 = �aa1
9
0� = �5354� .
6.4. bn =�an
a+
n
1�
=�an -
a1
n
+ an�
=�an
a-
n
1� + �
aa
n
n� = + 1
= 1 +�bn
1
- 1
� . bn - 1 =�an
a
-
n
1
�
7.1. an = 6 - �1n
� Pág. 19
an + 1 - an = 6� -�n +
11
� - 6� + �1n
� =�-nn(+n +
n +1)
1�
=�n (n
1+ 1)� > 0 , A n å N
(an) é monótona crescente;
7.2. bn = 6 + (- 1)n
b1 = 5 ; b2 = 7 ; b3 = 5 ; b2 > b1 e b3 < b2
(bn) não é monótona;
7.3. cn =�nn++
31
�
cn + 1 - cn =�nn++
42
� -�nn++
31
�
=
=�(n + 2
-) (
2n + 1)� < 0 , A n å N
(cn) é monótona decrescente.
8. un = (- 3)n ;
u1 = - 3 ; u2 = 9 ; u3 = - 27 ; u2 > u1 e u3 < u2 .
9. vn = (6 - n)2
v5 = 1 ; v6 = 0 ; v7 = 1 ; v6 < v5 e v7 > v6 .
10.1. an = 1 + �1n
� Pág. 23
0 < �1n
� ≤ 1 , A n å N
§ 1 < 1 + �1n
� ≤ 2 , A n å N
§ 1 < an ≤ 2 , A n å N ;
10.2. bn = 5
Toda a sucessão constante é limitada;
10.3. cn = (- 1)n �1n
�
- 1 ≤ cn ≤ �12
� , A n å N ;
10.4.
- 1 ≤ dn ≤ �12
� , A n å N .
11. an =�n +
n3
�
11.1. �14
� ≤ an § �14
� ≤�n +
n3
� § n + 3 ≤ 4n
§ 3n ≥ 3 § n ≥ 1 .
Como n ≥ 1 , A n å N , tem-se que �14
� ≤ an ,
A n å N .
�1n
� se n é ímpar
- 1 se n é par
adbdc
dn =
n2� + n + 4n + 4 - n2� - 2n - 3n - 6����
(n + 2) (n + 1)
1��an
a-
n
1�
substitui-se n por n - 1
em an + 2 = an + an + 1
0
an
n
2
2 41 3
8
5 6 7
35
13
1
4 se n é ímpar
- 3 se n é par
abc
4 , - 3 , 4 , - 3 ; an =
5
0
fn
n
1
3
2 41 3 5
2
4
101
1 Sucessões. Sucessões monótonas. Sucessões limitadas
11.2. Como 0 < n < n + 3 , A n å N
�n +
n3
� < 1 , A n å N .
Então,
�14
� ≤ an < 1 , A n å N .
1.1. an =�2 -
23n� Pág. 28
a1 =�2 -
23
� = - �12
� ;
a2 =�2 - 3
2* 2
� = - 2 ;
a3 =�2 - 3
2* 3
� = - �72
� ;
a4 =�2 - 3
2* 4
� = - 5 ;
a5 =�2 - 3
2* 5
� = - �123� .
1.2. bn = (- 1)n *�1 +
nn
�
b1 = (- 1)1 *�1 +
11
� = - �12
� ;
b2 = (- 1)2 *�1 +
22
� = �23
� ;
b3 = (- 1)3 *�1 +
33
� = - �34
� ;
b4 = (- 1)4 *�1 +
44
� = �45
� ;
b5 = (- 1)5 *�1 +
55
� = - �56
� .
1.3. cn =�2 + (- 1
n)n + 1 * n�
c1 =�2 + (-
11)2 * 1� = 3 ;
c2 =�2 + (-
21)3 * 2� = 0 ;
c3 =�2 + (-
31)4 * 3� = �
53
� ;
c4 =�2 + (-
41)5 * 4� = - �
12
� ;
c5 =�2 + (-
51)6 * 5� = �
75
� .
2.1. an = 10 - 2n
• a2 = 10 - 4 = 6
• an = - 16 § 10 - 2n = - 16
§ - 2n = - 26 § n = 13
• an = - 20 § 10 - 2n = - 20
§ - 2n = - 30 § n = 15
2.2. an = (- 1)n * 2n
• a1 = (- 1)1 * 21 = - 2
• a2 = (- 1)2 * 22 = 4
• an = 16 § (- 1)n * 2n = 16 ‚M
16 > 0n é par§ 2n = 24
§ n = 4
• an = - 32 § (- 1)n * 2n = - 32 ‚M
32 < 0n é ímpar§ - 2n = - 25
§ n = 5
3.1.
3.2.
3.3.
Pág. 293.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
4.1. 8 * 1 = 8 ; 8 * 2 = 16 ; Pág. 308 * 3 = 24 ; 8 * 4 = 32
an = 8n ;
4.2.
an = (- 1)n + 1 * 2 ;
2 se n é ímpar
- 2 se n é par
abc
an =
102
n 1 2 3 4 5 n
an 3 8 15 24 35 n (n + 2)
…
…
n 1 2 3 4 5 n
an 2 8 18 32 50 2n * n = 2n2
…
…
n 1 2 3 4 5 n
an 12 24 36 48 60 12n
…
…
n 1 2 3 4 5 n
an 3 5 7 9 11 2n + 1
…
…
n 1 2 3 4 5 n
an 4 8 12 16 20 4n
…
…
n 1 2 3 4 5 n
an 4 8 12 16 20 4n
…
…
n 1 2 3 4 5 n
an 3 5 7 9 11 2n + 1
…
…
n 1 2 3 4 5 n
an 2 4 6 8 10 2n
…
…
n 1 2 4 5 … n
an - 2 4 16 - 32 … (- 1)n * 2n
n 1 2 13 15 … n
an 8 6 - 16 - 20 … 10 - 2n
Sucessões
4.3.
an = (- 1)n * 2 ;
4.4. 1 2 3 4 5 6 … n
2 4 6 8 10 12 … 2n
4 6 8 10 12 14 … 2n + 2
an = 2n + 2 ;
4.5. 1 2 3 4 5 6 … n
2 4 6 8 10 12 … 2n
3 5 7 9 11 13 … 2n + 1
an = 2n + 1 ;
4.6. 1 2 3 4 5 … n
3 6 9 12 15 … 3n
2 5 8 11 14 … 3n - 1
an = 3n - 1 ;
4.7. 21 = 2 ; 22 = 4 ; 23 = 8 ; 24 = 16 ; 25 = 32 .
an = 2n .
5.1.
u1 = 4 ; u2 = 2u1 = 8 ; u3 = 2u2 = 16 ;
u4 = 2u3 = 32 ; u5 = 2u4 = 64 ;
5.2.
u1 = 10 ; u2 = �23
� u1 = �230� ; u3 = �
23
� u2 = �490� ;
u4 = �23
� u3 = �8207� ; u5 = �
23
� u4 = �18610
� ;
5.3.
u1 = 1 ; u2 = u1 + ��12
��1
= 1 + �12
� = �32
� ;
u3 = u2 + ��12
��2
= �32
� + �14
� = �74
� ;
u4 = u3 + ��12
��3
= �74
� + �18
� = �185� ;
u5 = u4 + ��12
��4
= �185� + �
116� = �
3116� ;
5.4.
u3 = u1 + u2 = 1 + 2 = 3 ;
u4 = u2 + u3 = 2 + 3 = 5 ;
u5 = u3 + u4 = 3 + 5 = 8 .
6.1. u2 = �12
� = �12
� * u1 ; u3 = �14
� = �12
� * u2 ;
u4 = �18
� = �12
� * u3 ; u5 = �116� = �
12
� * u4 ; …
6.2. u2 = - �12
� * u1 ; u3 = - �12
� * u2 ; u4 = - �12
� * u3 ; …
7.1.
7.2. c10 = 2 * 10 - 1 = 19 ; c100 = 2 * 100 - 1 = 199 ;
cn + 1 = 2 (n + 1) - 1 = 2n + 1 ;
ct + 7 = 2 (t + 7) - 1 = 2t + 13 ;
7.3. cn < 100 § 2n - 1 < 100 § 2n < 101
§ n < 50,5 §nåN
n ≤ 50 ;
50 termos;
7.4. cn ≥ 1000 § 2n - 1 ≥ 1000 § 2n ≥ 1001
§ n ≥ 500,5 §nåN
n ≥ 1501 ;
Apenas os primeiros 500 termos são inferiores
a 1000 .
O número de termos maior ou igual a 1000 é
infinito;
7.5. cn + 1 - cn = 2 (n + 1) - 1 - (2n - 1)
= 2n + 2 - 1 - 2n + 1 = 2 > 0 , A n å N ;
(cn) é monótona crescente;
7.6. (cn) é a sucessão 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , … dos
números ímpares. Logo, não é limitada.
8. un =�n +
21
� Pág. 31
8.1. u1 = 1 ;
u2 = �32
� ;
u3 = 2 ;
u4 = �52
� ;
u5 = 3 ;
0
un
n2 41 3 5
1
2
3
0
cn
n1
5
2 41 3 5
3
7
9
u1 = - �12
�
un + 1 = �12
� un , A n å N .
adbdc
u1 = 1
un + 1 = �12
� un , A n å N ;
adbdc
u1 = 1
u2 = 2
un + 2 = un + un + 1
adbdc
u1 = 1
un + 1 = un + ��12
��n
adbdc
u1 = 10
un + 1 = �23
� un
adbdc
u1 = 4
un + 1 = 2un
abc
- 2 se n é ímpar
2 se n é par
abc
an =
103
1 Sucessões. Sucessões monótonas. Sucessões limitadas
8.2. un = 8,5 § �n +
21
� = 8,5
§ n + 1 = 17 § n = 16 ;
u16 = 8,5 ;
8.3. un = 6,1 § �n +
21
� = 6,1 § n + 1 = 12,2
§ n = 11,2 ∫ N ;
6,1 , por exemplo;
8.4. un + 1 - un =�n + 1
2+ 1
� -�n +
21
� =�n + 2 -2
n - 1�
= �12
� > 0 , A n å N ;
(un) é monótona crescente.
8.5. un ≥ 1 § �n +
21
� ≥ 1 § n + 1 ≥ 2
§ n ≥ 1 , condição universal em N .
1 é um minorante do conjunto dos termos de (un) .
9. (D) .
10.1. u3 > u2 e u4 < u3 ;
10.2. Do conhecimento dos primeiros dez termos
não é possível concluir sobre se a sucessão é,
ou não, limitada;
10.4. Por exemplo, a sucessão un = (- 1)n é limi-
tada (- 1 ≤ un ≤ 1 , A n å N ) e não é
monótona (u1 = - 1 , u2 = 1 e u3 = - 1) ;
10.6. Se (un) é crescente, un + 1 ≥ un , A n å N ,
logo un ≥ u1 , A n å N .
11. (C) . Se k = 10 , uk + 1 = u11 = 3 . Pág. 32
12. un = (- 1)n �n +
n1
�
u1 = - 2 ; u2 = �32
� ; u3 = - �43
� ;
u2 > u1 e u3 < u2 , logo (un) não é monótona;
Se n é par,
un =�n +
n1
� = 1 + �1n
� ;
0 < �1n
� ≤ �12
�
0 < 1 + �1n
� ≤ �32
� , qualquer que seja n par.
Se n é ímpar,
un = -�n +
n1
� = - 1 - �1n
� .
0 < �1n
� ≤ 1
- 1 ≤ - �1n
� < 0
- 2 ≤ - 1 - �1n
� < - 1 , qualquer que seja n
ímpar.
Logo, - 2 ≤ un ≤ �32
� , A n å N ;
(un) é limitada porque - 2 ≤ un ≤ �32
� , A n å N .
13.
t1 = 2
t2 = 2 * 3
t3 = 2 * 3 * 3 = 2 * 32
t4 = 2 * 32 * 3 = 2 * 33
Btn = 2 * 3n - 1 .
14.1. Pág. 33
14.2. f (2) = f (0) + f (1) = 1 + 2 = 3
f (3) = f (1) + f (2) = 2 + 3 = 5
f (4) = f (2) + f (3) = 3 + 5 = 8
15.1. a1 = 12 = 1 ; a2 = �12
� a1 = �12
� ; a3 = �12
� a2 = �14
� ;
a4 = �12
� a3 = �18
� ; a5 = �12
� a4 = �116� ;
15.2. A área de cada quadrado
é metade da área do
quadrado precedente, tal
como a figura sugere.
a1 = 1 ; a2 = �12
� ; a3 = �12
� * �12
� = ��12
��2
= �212�
a4 = �212� * �
12
� = �213�
B
an =�2n
1- 1� .
15.3. ln = �an� =�� = ����n - 1
= � �n - 1
;
ln = � �n -
1
.
16.1. Área de F1 : (20 * 10) cm2 = 200 cm2
Área de F2 : �20 *
210
� cm2 = 100 cm2
Área de F3 : (10 * 5) cm2 = 50 cm2
Área de F4 : �10
2* 5� cm2 = 25 cm2
Área de F5 : (5 * 2,5) cm2 = 12,5 cm2
�2��2
�2��2
1�2
1�2n - 1
t1 = 2
tn + 1 = 3tn , A n å Nabc
�n +
n1
� se n é par
-�n +
n1
� se n é ímpar
adbdc
un =
104
Sucessões
16.2.
16.3. Têm-se:
an + 1 = �12
� an §an>0
�an
a+
n
1� = �12
�
§ �an
a+
n
1� < 1 §an>0
an + 1 < an § an + 1 - an < 0
• Como an + 1 - an < 0 , A n å N , (an) é
decrescente
(an) é decrescente ± an ≤ a1 , A n å N± an ≤ 200 , A n å N ,
an > 0 , A n å N (an é uma área).
• 0 < an ≤ 200 , A n å N ± (an) é limitada.
17. f (n) =�n +
n1
�
17.1. f (20) =�20
2+0
1� = �
2210� ;
17.2. f (n) = 1,01 § �n +
n1
� = 1,01
§ n + 1 = 1,01 n
§ 0,01 n = 1
§ n =�0,
101� § n = 100 .
f (100) = 1,01 ;
17.3. f (n) < 1,001 § �n +
n1
� < 1,001
§ n + 1 < 1,001 n
§ 0,001 n > 1
§ n >�0,0
101� § n > 1000 .
A partir do termo de ordem 1001 (inclusive);
17.4. f (n) =�n +
n1
� = 1 + �1n
�
0 < �1n
� ≤ 1
1 < 1 + �1n
� ≤ 2
1 < f (n) ≤ 2 , A n å N .
18. an =�2nn++
16
� Pág. 34
18.1. an = 7,3 § �2nn++
16
� = 7,3
§ 2n + 6 = 7,3 n + 7,3
§ 5,3 n = - 1,3
§ n = - �15,,33� ∫ N ;
Não. A equação an = 7,3 § n = - �15,,33� é
impossível em N ;
18.2. an + 1 - an =�2
n(n++11+) +
26
� -�2nn++
16
�
=�2nn++
38
� -�2nn++
16
�
=
=�(n-+
23n)-(n
1+0
1)� < 0 , A n å N ;
(an) é monótona decrescente.
18.3. an > 2 § �2nn++16
� > 2 § 2n + 6 > 2n + 1
§ 0n + 6 > 1 é universal em N ;
18.4. an > 2 , A n å N (de 18.3.) (an) é decrescente ± an ≤ a1 , A n å N
± an ≤ 4 , A n å N
2 < an ≤ 4 , A n å N ± (an) é limitada.
19. vn =�n3+n6
�
19.1. v1 =�1 +
36
� = �73
� ;
v2 =�2 +
66
� = �43
� ;
v3 =�3 +
96
� = 1 ;
v1 + v2 + v3 = �73
� + �43
� + 1 = �134� ;
19.2. vn + 1 - vn =�n3+(n
1++16)
� -�n3+n6
�
=�3(
nn++
71)
� -�n3+n6
�
=
=�3n (-n6+ 1)� < 0 , A n å N
(vn) é monótona decrescente;
19.3. vn =�n3+n6
� = �3nn� + �
36n� = �
13
� + �2n
� , A n å N
0 < �1n
� ≤ 1
0 < �2n
� ≤ 2
�13
� < �13
� + �2n
� ≤ �13
� + 2
�13
� < vn ≤ �73
� , A n å N ± (vn) é limitada;
19.4. Por exemplo:
w8 = 8 ; w9 = 9 ; w10 = �185� ;
w9 > w8 e w10 < w9 ± (wn) não é
monótona.
n se n < 10
�n3+n6
� se n ≥ 10
adbdcwn =
n2 + 7n - n2 - 7n - 6���
3n (n + 1)
2n2� + 2n + 8n + 8 - 2n2� - 6n - 6n - 18�����
(n + 3) (n + 1)a1 = 200
an + 1 = �12
� an , A n å N
adbdc
105
N.° da figura 1 2 3 4 5
Área da figura 200 100 50 25 12,5
1 Sucessões. Sucessões monótonas. Sucessões limitadas
20. an = (- 1)n + 1 * 3 + 1
20.1.
20.2. - 2 ≤ an ≤ 4 , A n å N ± (an) é limitada;
20.3. Por exemplo,
se bn = (- 1)n * 3 + n , an + bn = n + 1
define uma sucessão monótona crescente.
21.
21.1.
21.2. Se n < 3 , bn + 1 - bn = n + 1 - n = 1 > 0
Se n> 3 , bn+1 - bn = (n + 1 - 2) - (n - 2) = 1 > 0 ;
21.3. b2 = 2 , b3 = 3 , b4 = 2
b3 > b2 ‹ b4 < b3 ± (bn) não é monótona;
21.4. Se, por exemplo,
(bn) é monótona se as diferenças un + 1 - un
(para n < k) , vn + 1 - vn (se n > k) e vk + 1 - uk
forem todas não negativas ou não positivas.
22.1. p (x) = - x2 + 6x - 5 Pág. 35
p (x) = 0 § - x2 + 6x - 5 = 0
§ x =
§ x = 1 › x = 5 ;
p (x) = - (x2 - 6x + 9) + 9 - 5 = - (x - 3)2 + 4
Vértice: V1 (3 , 4)
22.2. (un) é a restrição da função p a N .
• (un) é não monótona: u3 > u2 e u4 < u3 ;
• 4 é um majorante do conjunto dos termos de
(un) .
O conjunto dos termos não é limitado inferior-
mente, logo:
• (un) não é limitada;
• u1 = u5 = 0 .
23.1.
23.2.
k = 1,4k = 1,3
k = 1,2
k = 0,9k = 0,75
k = 0,5
0
y
x
3
2 41 3 5
2
4
6
1
–5
- 6 ¿ �36 - 2�0���
- 2
un se n ≤ k
vn se n > k
abc
bn =
0 n
1
3
2 41 3 5
2
4
6
bn
n se n ≤ 3
n - 2 se n > 3
abc
bn =
an
n
4
0 2 41 3 5
–2
4 se n é ímpar
- 2 se n é par
abc
an =
106
Sucessões
23.3.
24.1.
2 Progressões aritméticas e progressões geométricas
1.1. - 2 , 0 , 2 , 4 , 6 ; Pág. 39
1.2. - 2 , - 5 , - 8 , - 11 , - 14 ;
1.3. - 2 , - �32
� , - 1 , - �12
� , 0 ;
1.4. - 2 , - 2 , - 2 , - 2 , - 2 .
2. an = �12
� - 3n
an + 1 - an = �12
� - 3 (n + 1) - ��12
� - 3n�= �
12
�� - 3n� - 3 - �12
�� + 3n� = - 3 .
bn = n2 - 1
bn + 1 - bn = (n + 1)2 - 1 - (n2 - 1)
= n2� + 2n + 1 - 1� - n2� + 1� = 2n + 1 .
an + 1 - an = �12
� , A n å N (é constante);
bn + 1 - bn = 2n + 1 , A n å N (não é constante).
3. un + 1 = un + 3 § un + 1 = un = 3 , A n å N (é
constante).
4. u5 + r = u6 ; u5 + 2r = u7 ; u5 + 3r = u8 ;
14 + 3r = 23 § 3r = 9 § r = 3 .
5. u500 = u1 + (500 - 1) * r Pág. 41
= - �12
� + 499 * �12
� = 249 .
u500 = 249 .
6.1. u1 = 3 ; r = 10
un = u1 + (n - 1) * r = 3 + (n - 1) * 10
= 3 + 10n - 10 = 10n - 7 ;
un = 10n - 7 ;
6.2. u2 = 10 ; u4 = 20
u4 = u2 + (4 - 2) * r § 20 = 10 + 2r § r = 5
un = u2 + (n - 2) * r = 10 + (n - 2) * 5
= 10 + 5n - 10 = 5n
un = 5n ;
6.3. u3 = - 10 e r = 5
un = u3 + (n - 3) * 5 = - 10 + 5n - 15 = 5n - 25
un = 5n - 25 ;
6.4. u6 + u8 = 28 e r = 3
u6 + u8 = 28 ‚M
u8 = u6 + 2r
§ u6 + u6 + 2r = 28
§ 2u6 + 2 * 3 = 28 § u6 = 11
un = u6 + (n - 6) * r = 11 + (n - 6) * 3
= 11 + 3n - 18 = 3n - 7
un = 3n - 7 ;
6.5. u10 = 5 e u30 = - 5
u30 = u10 + (30 - 10) * r §- 5 = 5 + 20r
§ r = - �12
�
un = u10 + (n - 10) * r = 5 + (n - 10) * �- �12
��= 5 - �
12
� n + 5 = - �12
� n + 10
un = - �12
� n + 10 .
7.1. un = - 2n + 1 Pág. 42
r = - 2 < 0 ± (un) é estritamente decrescente;
7.2. un = 3n + �12
�
r = 3 > 0 ± (un) é estritamente crescente.
8.1. 6 , 18 , 30 , 42 , … n = 20 ; Pág. 46r = 18 - 6 = 12
u20 = u1 + 19r = 6 + 19 * 12 = 234
S20 =�u1 +
2u20� * 20 =�
6 +2234� * 20 = 2400 ;
8.2. - 6 , - 2 , 2 , 6 , … ; n = 10
r = - 2 - (- 6) = 4
u10 = u1 + 9r = - 6 + 9 * 4 = 30
S10 =�u1 +
2u10� * 10 =�
- 62+ 30� * 10 = 120 ;
k = 0k = 0,001
k = 0,01k = 0,1
k = 1,8k = 1,75
k = 1,7
107
2 Progressões aritméticas e progressões geométricas
8.3. 0,5 ; 0,9 ; 1,3 ; 1,7 ; … ; n = 18
r = 0,9 - 0,5 = 0,4
u18 = u1 + 17r = 0,5 + 17 * 0,4 = 7,3
S18 =�u1 +
2u18� * 18 =�0,5 +
27,3
� * 18 = 70,2 ;
8.4. a2 = 3,5 ; a12 = 7,5 ; n = 100
a12 = a2 + (12 - 2) r § 7,5 = 3,5 + 10r
§ r = 0,4
a1 = a2 - r = 3,5 - 0,4 = 3,1
a100 = a1 + 99r = 3,1 + 99 * 0,4 = 42,7
S100 =�a1 +
2a100� * 100 =�3,1 +
242,7� * 100
= 2290 .
9. n1 rn + b é uma progressão aritmética de razão r .
9.1. �10
n = 1n =�
1 +210� * 10 = 55 ;
9.2. �100
n = 13n =�
3 +2300� * 100 = 15 150 ;
9.3. �50
n = 1n - �
30
n = 1n =�
1 +250� * 50 -�
1 +230� * 30
= 1275 - 465 = 810 ;
9.4. �10
n = 1(2n - 1) = * 10 = 100 ;
9.5. �100
n = 1�n +
21
� = * 100 = 2575 ;
9.6. �100
n = 0�8 -
42n� = * 101 = - 2323 .
10. - 20 + (- 19) +… + 50
=�- 202+ 50� * 71 = 1065
11. P. a. (un) ; r = 3 ; u1 = 20
u20 = u1 + 19r = 20 + 19 * 3 = 77
S20 =�u1 +
2u20� *�
20 +2
77� * 20 = 970 .
S20 = 970 km .
12. P. a. (an) ; a1 = 16 800 ; r = 1700
S5 =�a1 +
2a5� * 5 = * 5
= 101 000
S5 = 101 000 Æ .
13. P.a. (an) ; a1 = 15 ; r = 4
S40 =�a1 +
2a40� * 40 =�15 + a
21 + 39r� * 40
=�15 + 152+ 49 * 4� * 40 = 3720
S40 = 3720 lugares.
14. an = n
Sn =�a1 +
2an� * n =�
1 +2
n� * n =�n (n
2+ 1)� .
15.1. - 3 , - 6 , - 12 , - 24 , - 48 ; Pág. 48
15.2. a1 = �ar2� = �-10
2� = - 5
- 5 , 10 , - 20 , 40 , - 80 ;
15.3. r = - 1 ; a4 = - 1 , a3 = �--
11� = 1 ;
a2 = �-11� = - 1 ; a1 = �
--
11� = 1
1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 ;
15.4. a2 * r = a3 ; a2 * r * r = a4 § a4 = a2 * r2 ;
6 = 3 * r2 § r2 = 2 § r = ¿ �2�
Se r = �2� , a1 = �ar2� = =
Se r = - �2� , a1 = -
, 3 , 3�2� , 6 , 6�2� ou - ,
3 , - 3�2� , 6 , - 6�2� .
16.1. an = 51 - n
�an
a+
n
1� =�51
5
-
1
(
-
n +
n
1)
� = 51 - n� - 1 - 1 + n� = 5- 1
= �15
� , A n å N
(an) é uma progressão geométrica de razão �15
� ;
16.2. an = ��12
��n + 3
�an
a+
n
1� = = ��12
��n + 4 - n - 3
= �12
� , A n å N
(an) é uma progressão geométrica de razão �12
� ;
16.3. an = (- 1)2n + 1
�an
a+
n
1� =�(-(-1)
1
2(
)
n
2
+
n +
1)
1
+ 1
� = (- 1)2n� + 3 - 2n� - 1
= 1 , A n å N
(an) é uma progressão geométrica de razão 1
(sucessão constante);
��12
��n + 1 + 3
��
��12
��n + 3
3�2��
23�2��
2
3�2��
2
3�2��
2
3��2�
16 800 + 16 800 + 4 * 1700���
2
�84
� + (- 48)��
2
1 +�100
2+ 1�
��2
(2 - 1) + (2 * 10 - 1)���
2
108
un = n - 21
u1 = 1 - 21 = - 20
un = 50
§ n - 21 = 50
§ n = 71
u71 = 50
Sucessões
16.4. an = 2 * ��13
��3 - n
�an
a+
n
1� = = ��13
��3� - n� - 1 - 3� + n�
= ��13
��- 1
= 3 , A n å N
(an) é uma progressão geométrica de razão 3 ;
16.5. an = �-5n
1�
�an
a+
n
1� = =�55n +
n
1� = 5n - n - 1 = �15
� , A n å N
(an) é uma progressão geométrica de razão �15
� ;
16.6. an = - �n2
� * (0,4)n + 1
�an
a+
n
1� =
= * (0,4)n� + 2 - n� - 1
=�n +
n1
� * 0,4 , não é constante.
(an) não é progressão geométrica.
17. a1 = 5 e a2 = - 10 Pág. 51
r = �aa
2
1
� =�-
510� = - 2
a60 = a1 * r60 - 1 = 5 * (- 2)59 = - 5 * 259 .
18. u7 + u6 = - 488 ; r = 3
u7 + u6 = - 488
§ u6 * r + u6 = - 488
§ u6 * 3 + u6 = - 488 § 4 u6 = - 488
§ u6 = - 122
u10 = u6 * r10 - 6 = - 122 * 34 = - 9882 .
19.1. a2 = 6 ; a3 = 18
r = �aa
3
2
� = �168� = 3 ;
an = a2 * rn - 2 = 6 * 3n - 2 = 2 * 3 * 3n - 2 = 2 * 3n - 1 ;
19.2. a2 = 8 e a4 = 128
a4 = a2 * r 4 - 2 § 128 = 8 * r 2 § r 2 = 16
§ r = ¿ 4
Se r = 4 , an = a2 * r n - 2 = 8 * 4n - 2
= 23 * 22n - 4 = 22n - 1
Se r = - 4 , an = a2 * r n - 2 = 8 * (- 4)n - 2
= 23 * (- 1)n - 2 * 4n - 2
= (- 1)n * 23 * 22n - 4
= (- 1)n * 22n - 1
an = 22n - 1 ou an = (- 1)n * 22n - 1 .
20.1. an = 2 * 3n - 1 (por exemplo);
20.2. an = a3 * r n - 3 . Se r = �12
� :
an = 12 * ��12
��n - 3
= 3 * 22 * 2- n + 3 = 3 * 25 - n
an = 3 * 25 - n (por exemplo);
20.3. a5 = - 16 e r = - 2
an = a5 * r n - 5 = (- 16) * (- 2)n - 5
= - (- 2)4 * (- 2)n - 5 = - (- 2)n - 1
an = - (- 2)n - 1 (por exemplo).
21. an = ��12
��n - 2
Pág. 54
S10 = a1 �11--
rr
n
� = ��12
��- 1
= 2 *
= 4 �1 -�10
124��
=�1205263
� .
22.1. �14
� + �18
� + �116� +… + �
2121� = �
212� + �
213� +… + �
2121�
S20 = �14
� = =
=�220
22
-1
1� =�1
2004987
517552
� ;
22.2. S = �13
� + �16
� + �112� +… +�
15136�
a1 = �13
� ; r = �12
�
an = �13
� ��12
��n - 1
an =�15
136� § �
13
� ��12
��n - 1
=�15
136�
§ ��12
��n - 1
= �5112�
§ ��12
��n - 1
= ��12
��9
§ n - 1 = 9
§ n = 10
S10 = �13
� = �13
�
= �23
� �210
21
-0
1� = �
354112
�
S10 = �23
� �210
21
-0
1� = �
354112
� .
1 - �2110�
�
�12
�
1 - ��12
��10
��
1 - �12
�
�220
22
-0
1�
�2
1 - �2120�
�2
1 - ��12
��20
��1 - �
12
�
1 -�10
124�
���12
�
1 - ��12
��10
��1 - �
12
�
2� (n + 1)�
2�n
-�n +
21
� * (0,4)n + 1 + 1
���- �
n2
� * (0,4)n + 1
�5-n +1
1�
��-5n
1�
2� * ��13
��3 - (n + 1)
��2� * ��
13
��3 - n
109
r =�an
a+
n
1� = = �12
���12
��n + 1 - 2
��
��12
��n - 2
2 Progressões aritméticas e progressões geométricas
23. u3 = 208 e u5 = 3328
u5 = u3 * r 5 - 3 § 3328 = 208 * r 2
§ r 2 = 16 § r = ¿ 4
Como un > 0 , A n å N , tem-se r = 4
u8 = u3 * r 8 - 3 = 208 * 45 = 212 992
u8 + u9 + u10 + u11 + u12 = u8 �11--
rr
5
�
= 212 992 *�11--
44
5
�
= 212 992 * 341 = 72 630 272 .
24. �uu
2
1
� =�44326000
� = �110095
� ; Pág. 55
�uu
3
2
� =�44438680
� = �556415
�
(un) não é uma progressão geométrica porque
�uun +
n
1� não é constante.
25.1. Valor inicial:
50
Decorrido 1 ano:
P1 = 50 + 0,02 * 50 = 50 * (1,02)
Decorridos 2 anos:
P2 = P1 + 0,02 P1 = P1 (1,02) = 50 * (1,02)2
BPn = 50 * (1,02)n ;
25.2. Trata-se de resolver a equação 50 (1,02)n = 100 .
Consultando a tabela da função obtida com a
calculadora
verifica-se que a população duplicará decorridos cerca
de 36 anos.
26.1. Volume inicial:
v0
Após 1 hora :
v1 = v0 - 0,1 v0 = v0 * 0,9
Após 2 horas :
v2 = v1 - 0,1 v1 = v1 * 0,9 = v0 * (0,9)2
Bvn = v0 * (0,9)n
26.2. Trata-se de resolver a equação vn = �12
� v0 .
vn = �12
� v0 § v0 * (0,9)n = �12
� v0 § (0,9)n = �12
�
Obteve-se na calculadora a tabela da sucessão
un = (0,9)n :
Verifica-se que o volume se reduz a metade decorridas
cerca de 7 horas.
1.1. u1 = 3 ; r = 4 Pág. 60• u7 = u1 + (7 - 1) * r = 3 + 6 * 4 = 27
• u15 = u1 + 14 r = 3 + 14 * 4 = 59
• S10 =�u1 +
2u10� * 10 =�3 + (3 +
29 * 4)�* 10 = 210 ;
1.2. u5 = 6 e r = - 2
• u1 = u5 + (1 - 5) * r = 6 + (- 4) * (- 2) = 14
• u10 = u1 + 9 r = 14 + 9 * (- 2) = - 4
• S5 =�u1 +
2u5� * 5 =�
14 + (14 +2
4 * (- 2))� * 5 = 50
1.3. u4 = 16 ; u9 = 34
• u9 = u4 + (9 - 4) r § 34 = 16 + 5r
§ 18 = 5r § r = �158�
• u1 = u4 + (1 - 4) r = 16 - 3 * �158� = �
256� ;
1.4. r = 3 ; u5 = 17 ; Sn = 549
• u1 = u5 + (1 - 5) r = 17 - 4 * 3 = 5
• Sn = 549 § �u1 +
2un� * n = 549
§ �5 + (3
2n + 2)� * n = 549
§ (3n + 7) * n = 1098
§ 3n2 + 7n - 1098 = 0
§ n =
§ n = 18 › n = �631�
Como n å N , tem-se n = 18 ;
1.5. u4 + u5 + u6 = 63 ; u10 + u12 = 102
.u1 = 1
r = 5 abc
§
u1 = 21 - 4r
6r = 30 abc
§u1 = 21 - 4r
21 - 4r + 10r = 51 abc
§
u1 + 4r = 21
u1 + 10r = 51 abc
§3u1 + 12r = 63
2u1 + 20r = 102 abc
§
(u1 + 3r) + (u1 + 4r) + (u1 + 5r) = 63
(u1 + 9r) + (u1 + 11r) = 102 abc
§
u4 + u5 + u6 = 63
u10 + u12 = 102 abc
•
- 7 ¿�49 + 1�3 176����
6
110
un = u1 + (n - 1) r
un = 5 + (n - 1) * 3
un = 3n + 2
Sucessões
2.1. 7 + 14 + 21 +… + 77 " p. a. (an) ; r = 7
an = a1 + (n - 1) * 7
77 = 7 + 7n - 7
§ n = 11 ;
a11 = 77
S11 =�a1 +
2a11� * 11 =�
7 +277� * 11 = 462 ;
2.2. 14 + 10,5 + 7 + 3,5 +… + (- 17,5) " p. a. (an) ;
r = - 3,5
an = a1 + (n - 1) * (- 3,5)
- 17,5 = 14 - 3,5n + 3,5
§ 3,5n = 35
§ n = 10
a10 = - 17,5
S10 =�a1 +
2a10� * 10 =�14 + (-
217,5)� * 10 = - 17,5 ;
2.3. 64 591 + 64 486 +… + 63 436 " p. a. (an) ;
r = - 105
an = a1 + (n - 1) * (- 105)
§ 63 436 = 64 591 - 105n + 105
§ 105n = 1260
§ n = 12 ;
a12 = 63 436
S12 =�a1 +
2a12� * 12 =�64 591 +
263 436� * 12
= 768 162
S12 = 768 162 .
3.1. un = 5 - 7n
un+1 - un = 5 - 7 (n + 1) - (5 - 7n) = - 7 , A nåN
É uma p. a. de razão - 7 ;
3.2. un = n2 + 1
un + 1 - un = (n + 1)2 + 1 - (n2 + 1)
= n2� + 2n + 1 + 1� - n2� - 1� = 2n + 1 , A n å N
Não é uma p. a. ;
3.3. un = �4n
�
un + 1 - un =�n +
41
� - �4n
� =�4nn-(n
4+n
1-)4
�
=�n (-n +
41)
� , A n å N
Não é uma p. a. ;
3.4. un = �23
� n - 1
un + 1 - un = �23
� (n + 1) - 1 - ��23
� n - 1�= �
23
� , A n å N
É uma p. a. de razão �23
� .
4.
4.1. u1 = 2 ; u2 = u1 - 7 = 2 - 7 = - 5 ;
u3 = u2 - 7 = - 5 - 7 = - 12 ;
u4 = u3 - 7 = - 12 - 7 = - 19 ;
4.2. un + 1 - un = - 7 , A n å N ;
É uma progressão aritmética de razão - 7 ;
4.3. un + 1 - un = - 7 < 0 , A n å N ;
(un) é monótona decrescente;
4.4. un = u1 + (n - 1) * r
un = 2 + (n - 1) * (- 7) = 2 - 7n + 7
= - 7n + 9 ;
un = - 7n + 9 ;
4.5. Sp = - 93 § �u1 +
2up� * p = - 93
§ �2 + (-
27p + 9)� * p = - 93
§ (11 - 7p) * p = - 186
§ - 7p2 + 11p + 186 = 0
§ p = 6 › p = - �371�
Como p å N , tem-se p = 6 ou seja, 6 termos.
5. 6 ; x ; 8,64 " p. g.
�8,
x64� = �
6x
� §x 0 0
6 * 8,64 = x2
§ x = ¿ �51,84� § x ) ¿ 7,2 .
6. (an) é uma progressão geométrica
§ �an
a+
n
1� = r , A n å N , com r å R
e r constante.
7. r = 0,3 ; u2 = 0,9 ; p. g.
7.1. un = u2 * r n - 2
un = (0,9) * (0,3)n - 2 = 3 * 0,3 * (0,3)n - 2
= 3 * (0,3)n - 1
un = 3 * (0,3)n - 1 ;
7.2. u20 = 3 * (0,3)19 ;
7.3. S10 = u1 �11--rr
10
� = 3 *�1 -1(001
,0
3)10
�
= 3 * �170� *�101
1
0
0-10
310
� = �37
� �101
1
0
0-
9
310
� .
8. 21 + 22 +… + 210 = 2 *�11--22
10
� = 2 *�--10
123
� = 2046 .
9. u3 = 90 ; u6 = 2430 Pág. 61
9.1. u6 = u3 * r 6 - 3
2430 = 90 * r 3 § r 3 = 27 § r = 3
u1 = u3 * r 1 - 3 = 90 * 3- 2 = �9302� = 10 ;
u1 = 2
un + 1 = un - 7 abc
111
2 Progressões aritméticas e progressões geométricas
9.2. S10 = u1 �11--r1
r
0
� = 10 *�11--33
10
� = 295 240 .
10. P. g. : u2 = 24 ; u6 = 384
10.1. u6 = u2 * r 6 - 2
384 = 24 * r 4 § r 4 = 16
§ r = ¿ �416�
§ r = ¿ 2
Se r = 2 , u1 = �224� = 12
Se r = - 2 , u1 = �-24
2� = - 12
r = 2 e u1 = 12 ou r = - 2 e u1 = - 12 ;
10.2. • Se u1 = 12 e r = 2
S10 = 12 *�11--22
10
� = 12 276 ;
• Se u1 = - 12 e r = - 2
S10 = - 12 *�1 -1(+-
22)10
� = 4092 .
11. �π2
� ; �π4
2
� , �π8
3
� , �1π6
4
� , �3π2
5
� , … ��π2
��n
é uma p. g. (an) sendo r = �π2
� ;
11.1. a10 = ��π2
��10
=�1π0
1
2
0
4� ;
11.2. S10 = a1 =�11--rr
10
� = �π2
� * ) 248,92 .
12.1. un = 1 - �1n
�
un + 1 = 1 -�n +
11
�
un + 1 - un = �1 -�n +
11
�� - �1 - �1n
��= �
1n
� -�n +
11
� =�n (n
1+ 1)� .
(A) é falsa e (B) é verdadeira;
un + 1 = 1 -�n +
11
� ;
(C) é falsa; un + 1 - un =�n (n1+ 1)� ;
12.2. un = 2n + 1
u2n = 22n + 1 ; u3n = 23n + 1 ; u5n = 25n + 1
(A) é falsa; u2n = 22n + 1 ;
(B) é falsa; u3n = 23n + 1 ;
(C) é verdadeira; u5n = 25n + 1 ;
12.3.
• v2 = 2v1 + 3
• v2n - 1 = v(2n - 1 - 1) + 1 = v(2n - 2) + 1
= 2v2n - 2 + 3 , para n > 1 ;
(A) é falsa; v2 = 2v1 + 3 ;
(B) é falsa; v2n - 1 = 2v2n - 2 + 3 , para n > 1 ;
12.4.
(A) é verdadeira; un - 1 - un = - 3 , A n å N ;
(B) é falsa; �vn
v+
n
1� = �85
� , A n å N
± (vn) é uma progressão geométrica
de razão �85
� ;
12.5. a2 = 3 ; p. g.
an = a2 * r n - 2 ± an = 3 * r n - 2
Verdadeira;
12.6. (A) é falsa; por exemplo a progressão (un) :
- 1 , - �12
� , - �14
� , … , - ��12
��n - 1
é crescente e un < 0 , A n å N .
(B) é falso; exemplo anterior.
13. x , y , z estão em progressão aritmética de
razão r
x = y - r ; z = y + r
Se r = 2 , x = 1 + 2 = - 1 ; y = 1 ; z = 1 + 2 = 3
Se r = - 2 , x = 1 + 2 = 3 ; y = 1 ; z = 1 - 2 = - 1
3 , 1 , e - 1 .
14. Seja dn o dinheiro que o Vítor Pág. 62tem no banco decorridos n meses.
dn é uma progressão aritmética sendo d1 = 5500
e a razão r = 500 .
• dn = d1 + (n - 1) * r
dn = 5500 + (n - 1) * 500 § dn = 5000 + 500n
• dn = 50 000 § 5000 + 500n = 50 000
§ 500n = 45 000
§ n = 90
dn = 5000 + 500n ; 90 meses.
y = 1
r = ¿ 2
abc
§y = 1
r 2 = 4
abc
§y = 1
1 - r 2 = - 3
abc
§
y = 1
(1 - r) (1 + r) = - 3
abc
§
(y - r�) + y + (y + r�) = 3
(y - r).y.(y + r) = - 3
abc
v1 = 3
vn + 1 = �85
� vn
abc
u1 = 2
un + 1 = un - 3 , A n å N ,abc
v1 = 2
vn + 1 = 2 vn + 3 , A n å Nabc
1 - ��π2
��10
��1 - �
π2
�
112
Sucessões
15. Seja vn a quantidade de vinho existente na pipa
decorridos n dias
vn + 1 = vn - �14
� vn § vn + 1 = �34
� vn
§ �vn
v+
n
1� = �34
� , A n å N
v1 = 510 * �34
� = 382,5 l
(vn) é uma progressão geométrica de razão �34
� ,
sendo v1 = 382,5 , logo
v10 = v1.r 10 - 1 = 382,5 * ��34
��9
) 28,72 l .
16.1. 21 cm por 29,7 cm
A = (21 * 29,7) cm2 = 623,7 cm2 = 624 cm2 ;
16.2. An é uma progressão geométrica de razão �12
� .
An = A4 * ��12
��n - 4
An = 624 * ��12
��n - 4
A1 = 624 * ��12
��- 3
= 624 * 8 = 4992 cm2
A3 = 624 * ��12
��- 1
= 624 * 2 = 1248 cm2
A8 = 624 * ��12
��4
= 39 cm2 .
17. an + 1 - an = �12
� an ; a3 * a4 = �287�
17.1. an + 1 - an = �12
� an , A n å N
§ an + 1 = an + �12
� an , A n å N
§ an + 1 = �32
� an , A n å N ‚M
an > 0 , A n å N
§ �an
a+
n
1� = �32
� , A n å N
r = �32
� ;
17.2. a3 * a4 = �287�
a3 * a3 * r = �287�
(a3)2 * �
32
� = �287� § (a3)
2 = �94
� §a3 > 0
a3 = �32
�
an = a3 * r n - 3 = �32
� * ��32
��n - 3
= ��32
��n - 2
an = ��32
��n - 2
;
17.3.
Recorrendo à calculadora verifica-se que:
36 < an < 59 § n = 11 › n = 12
18.
= 2 * ��53
��4
*�35
4
4
--
11
� =�63215509
� .
19. P. g. : r = �12
� ; S6 = �683�
19.1. S6 = �683� § u1 �
11--
rr
6
� = �683�
§ u1 = �683�
§ u1 * = �683� § u1 �
6332� = �
683�
§ u1 * 63 = 63 * 4 § u1 = 4 ;
19.2. • un = u1 * r n - 1 ± un = 4 * ��12
��n - 1
§ un = 22 * 21 - n § un = 23 - n
• u20 = 23 - 20 = 2- 17 =�131
1072� ;
19.3. S = u20 �11--r1
r
0
� = 2- 17 *
= 2- 17 * 2 * �1 - �2110�� = 2- 16 (1 - 2- 10) .
20. Sn = 2186 ; an é uma p. g. ; Pág. 63a1 = 2 ; r = 3
Sn = 2186
§ a1 �11--
rr
n
� = 2186
§ 2 *�11--
33
n
� = 2186
§ 3n - 1 = 2186
§ 3n = 37
§ n = 7 .
1 - ��12
��10
��1 - �
12
�
�6634�
��12
�
1 - ��12
��6
�1 - �
12
�
= �53
� * �1120� *�5
3
4
4
((35
4
4
--
11))
�
�32
� *�34
3-4
1�
= �53
� *
�54
� *�54
5-4
1�
�34
3-4
1�
�23
�
= �53
� *
�54
5-4
1�
�45
�
1 - ��13
��4
�13
� *1 - �
13
�
=1 - ��
15
��4
�15
� *1 - �
15
�
�13
� + �19
� + �217� + �
811� @ p. g. de razão �
13
�
=�15
� + �215� + �
1125� + �
6125� @ p. g. de razão �
15
�
113M11FNAGP - 8
2187
729
243
81
27
1
3
3
3
3
33
2187 = 37
3 Limites de sucessões
21.
PG: u1 = 1 ; r = 3
S8 = u1 �11--
rr
8
� = 1 *�11--33
8
� = 3280
3280 pessoas.
22. x , y , z são termos consecutivos de uma pro-
gressão aritmética de razão r .
Então x = y - r e z = y + r
y + r , y - 1 , y - r são termos consecutivos de
uma progressão geométrica
Se r = 3 ; x = 5 - 3 = 2 ; y = 5 ; z = 5 + 3 = 8
Se r = - 3 ; x = 5 + 3 = 8 ; y = 5 ; z = 5 - 3 = 2
2 , 5 , 8 ou 8 , 5 , 2 .
23. x , xr , xr 2 são termos consecutivos de uma
progressão geométrica de razão r ;
4x , 5xr , 4xr2 estão em progressão aritmética;
Se r = 2 ; x = 10 ; xr = 20 ; xr 2 = 40 ;
Se r = �12
� ; x = 40 ; xr = 20 ; xr 2 = 10 ;
10 , 20 , 40 .
24. 1.a hipótese
20 * 50 Æ = 1000 Æ .
2.a hipótese
P. a. (an) , sendo a1 = 8 e r = 5
S20 =�a1 +
2a20� * 20 = (a1 + a1 + 19r) * 10
= (8 + 8 + 19 * 5) * 10 = 1110 Æ .
3.a hipótese
P. g. (an) , sendo a1 = �100,20
� = 0,002 e r = 2
S20 = a1 �11--rr
20
� = 0,002 *�11--22
20
�
= 0,002 * (220 - 1) = 2097,15 Æ .
A 3.a hipótese é a melhor e a 1.a é a pior.
3 Limites de sucessões
1. lim ��1n� + 3� = 0 + 3 = 3 . Pág. 68
2. lim ��1n� - 3� = 0 - 3 = - 3 .
3. lim ��1n� + 5� = 0 + 5 = 5 .
4. lim �n +
n1
� = lim �1 + �1n�� = 1 + 0 = 1 .
5.1. Pág. 72
n > 9998 ± un > 100 ;
5.2.
n > 9 ± un > 100 ;
5.3.
n > 100 ± un > 100 .
6. un = - �n� + 1
6.1. - un = - �n� - 1 ;
6.2. - un > 100 § �n� - 1 > 100
§ �n� > 101 n > 0
§ n > 1012 § n > 10 201 .
x = 40
r = �12
�
abc
›x = 10
r = 2
abc
§
x + 2x + 4x = 70
r = �12
�
abc
›x + 2x + 4x = 70
r = 2
abc
§
x + xr + xr2 = 70
r = 2 › r = �12
�
abc
§
x + xr + xr2 = 70
2r2 - 5r + 2 = 0
abc
x 0 0 §
x + xr + xr2 = 70
4xr2 - 10xr + 4x = 0
abc
§
x + xr + xr2 = 70
4xr2 - 5xr = 5xr - 4x
abc
y = 5
r = ¿ 3
abc
§y = 5
r 2 = 9
abc
§
y = 5
25 - r2 = 16
abc
§
y = 5
�5
4- r� =�
54+ r�
adbdc
§
3y = 15 abc
§
(y - r) + y + (y + r) = 15
�yy--
1r
� =�yy-+
1r
�
adbdc
u1
1 3 9
u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8twuwv10 min
twuwv10 min
114
2r 2 - 5r + 2 = 0
r =�5 ¿�245 - 1�6��
r =�5 ¿
43
�
Sucessões
6.3. Seja L um número positivo qualquer.
- un > L § �n� - 1 > L § �n� > L + 1 n > 0
§ n > (L + 1)2 .
Sendo p o menor inteiro menor ou igual a
(L + 1)2 , podemos afirmar que
A L å R+ , E p å N : n > p ± - un > L ,
ou seja, - un " +? .
- un " +? § un " -? .
7.1. (an) é um infinitamente grande positivo;
7.2. (an) é um infinitamente grande negativo;
7.3. (an) é um infinitamente grande em módulo.
8. un = (- 1)n Pág. 73
8.1. - 1 , 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 ;
8.2. an = - 1 e bn = 1 .
9. Por exemplo: Pág. 749.1. un = (n - 4)2 ; u4 < u3 ‹ u5 > u4 ; un"+? ;
9.2. vn = - (n - 4)2 ; v4 > v3 ‹ v5 < v4 ; vn"-? ;
9.3. an = - �1n� ; (an) é crescente e an " 0 ;
9.4. bn = �1n� ; (bn) é decrescente e bn " 0 .
10. Por exemplo, Pág. 75
11. Por exemplo, na sucessão (un) do exemplo ante-
rior a sucessão dos termos de ordem ímpar é
limitada.
12. an = 8n + (- 1)n * 8n
12.1. a1 = 0 ; a2 = 32 ; a3 = 0 ;
a4 = 64 ; a5 = 0 ; a6 = 96 .
12.2. n = 1 n = 2 n = 3
32 = 16 * 2 64 = 16 * 4 96 = 16 * 6
un = (2n) * 16 = 32n
un = 32n , vn = 0
12.3. (an) não é um infinitamente grande. Se L ≥ 0
não existe uma ordem a partir da qual todos
os termos sejam maiores do que L . (Os ter-
mos de ordem ímpar são todos nulos.)
13.1. an = n + 1 " +? ; Pág. 76
13.2. bn = n2 + 2 " +? ;
13.3. cn = - n + 1 " -? ;
13.4. dn =�n +
11
�" 0 ;
13.5. en =�n2
1+ 2�" 0 ;
13.6. fn =�- n
1+ 1�" 0 .
14.1. lim �3n
1+ 2� = 0 ;
14.2.
Como �n +
13
�" 0 e �- n
1- 3�" 0 ,
(- 1)n �n +
13
�" 0 .
15. an =�12-nn
� Pág. 78
15.1. an + 1 - an =�12-(n(n++11))
� -�12-nn
�
=�2n-+n
2� -�
12-nn
�
=
=�2n (-2n
2+ 2)
� < 0 , A n å N
an + 1 - an < 0 , A n å N § (an) é monó-
tona decrescente;
15.2. an =�12-nn
� = - �12
� + �21n� , A n å N
0 < �1n� ≤ 1
0 < �21n� ≤ �
12
�
- �12
� < - �12
� + �21n� ≤ 0 , A n å N
- �12
� < an ≤ 0 , A n å N ± (an) é limitada;
15.3. Toda a sucessão monótona e limitada é con-
vergente.
16.
(un) é divergente porque tem duas subsucessões
com limites diferentes.
17. A afirmação é verdadeira porque se (an) fosse
convergente para L então todas as subsuces-
sões de (an) eram convergentes para L .
0 se n é ímpar ; 0 " 0 e 1 " 1
1 se n é par
abc
un =�1 + (
2- 1)n
� =
- 2n2� - 2n� + 2n2� - 2 + 2n����
2n (2n + 2)
�n +
13
� se n é par
�- n
1- 3� se n é ímpar
adbdc
(- 1)n *�n +
13
� =
n2 se n é par
1 se n é ímpar
abc
un =
115
3 Limites de sucessões
18. lim (2 + un) = lim 2 + lim un = 2 + 3 = 5 . Pág. 79
19.1. lim �2 + �1n�� = lim 2 + lim �
1n� = 2 + 0 = 2 ;
19.2. lim ��n +n 1�� = lim �1 + �
1n�� = lim 1 + lim �
1n�
= 1 + 0 = 1 ;
19.3. lim ��n2 +
nn2
+ 1�� = lim �1 + �
1n� + �
n12��
= lim 1 + lim �1n� + lim �
n12� = 1 + 0 + 0 = 1 .
20. an " - 1 e bn " �13
� Pág. 81
20.1. lim (an + bn) = - 1 + �13
� = - �23
� ;
20.2. lim (an - bn) = - 1 - �13
� = - �43
� ;
20.3. lim (an * bn) = - 1 * �13
� = - �13
� ;
20.4. lim ��ab
n
n
�� = = - 3 ;
20.5. lim ��an
a+
n
bn��3
= � �3
= ��23
��3
= �287� .
21. Por exemplo:
an = (- 1)n e bn = (- 1)n * 2
an * bn = (- 1)n * (- 1)n * 2 = [(- 1)n]2 * 2 = 2 " 2 .
22.1. un =�1 +
nsin n� Pág. 83
- 1 ≤ sin n ≤ 1 , A n å N
0 ≤ 1 + sin n ≤ 2 , A n å N
1) 0 ≤�1 +
nsin n� ≤ �
2n� , A n å N
2)
De 1) e 2) pelo teorema das sucessões
enquadradas (TSE), lim un = 0 ;
22.2. un = ��n + c2ons (2n)��
2
- 1 ≤ cos (2n) ≤ 1 , A n å N
n - 1 ≤ n + cos (2n) ≤ n + 1 , A n å N
�n2–n1
� ≤�n + c2ons (2n)� ≤�
n2+n1
� , A n å N
‚M �
n2-n1
� ≥ 0 , A n å N
1) ��n2–n1
��2
≤ ��n + c2ons (2n)��
2
≤ ��n2+n1
��2
, A n åN
2)
De 1) e 2) , pelo TSE, lim un = �14
� .
23.1. lim (1 - n) = - ? ; Pág. 86
23.2. lim (n - 3) = + ? ;
23.3. lim (- n + 1) = - ? ;
23.4. lim ��- 3n2+ 2�� = �
12
� * (- ?) = - ? ;
23.5. lim ��1 -n n�� = lim ��
1n� - 1� = 0 - 1 = - 1 ;
23.6. lim ��1 -n n��
2
= lim ��1n� - 1�
2
= (0 - 1)2 = 1 ;
23.7. lim ��n--2n1
��3
= lim �- �12
� + �21n��
3
= �- �12
� + 0�3
= - �18
� ;
23.8.
�75n� " 0 e �
1n� " 0 ± an " 0 ;
23.9. lim ��n +2
1�� = �?
2� = 0 ;
23.10. lim ��2n4+n
3�� = lim ��
12
� + �43n�� = �
12
� + 0 = �12
� ;
23.11. lim ��2n2
n2
+ 1�� = lim �2 + �
n12�� = 2 + 0 = 2 ;
23.12. lim �- �12
� -�n +
11
��2
= �- �12
� - 0�2
= �14
� ;
23.13. lim ��nn
2
3� - �1n�� = lim ��
1n� - �
1n�� = 0 ;
23.14. lim [(n + 1)3 + n3] = + ? + ? = + ? ;
23.15. lim (- n2 - n3) = - ? - ? = - ? ;
23.16.
• lim �2 + �3n�� = 2 + 0 = 2
• lim ��2n2
n2
+ n�� = lim �2 + �
1n�� = 2 + 0 = 2
• lim an = 2 ;
23.17.��3
n�� + 1 se n é par
2 - ��1
n�� se n é ímpar
adbdc
an =
�2 +
n3
� se n é par
�2n2
n2
+ n� se n é ímpar
adbdc
an =
�75n� se n é ímpar
�1n� se n é par
adbdc
an =�6 +
7(-n
1)n
� =
lim ��n2–n1
��2
= lim ��12
� - �21n��
2
= ��12
� - 0�2
= �14
�
lim ��n2+n1
��2
= lim ��12
� + �21n��
2
= ��12
� + 0�2
= �14
�
addbddc
lim 0 = 0
lim �2n� = 0
adbdc
- 1 + �13
�
�- 1
- 1�
�13
�
116
Sucessões
• lim ���3
n�� + 1� = �?
3� + 1 = 0 + 1 = 1
• lim �2 - ��1
n��� = 2 - �?
1� = 2 - 0 = 2
��3
n�� + 1 " 1 e 2 - �
�1
n�� " 2
± (an) não tem limite.
24.1. lim �3nn
2
2
+-
12
� = lim �3nn
2
2� = �13
� ; Pág. 87
24.2. lim �n12
-+
n3
� = lim �-n2
n� = lim �
-n1� = 0 ;
24.3. lim �-
nn2
2
++
13n
� = lim �-nn2
2
� = - 1 ;
24.4. lim �n5 +
13-n2
n+3
5n� = lim �
-nn
5
3� = lim (- n2) = - ? ;
24.5. lim ��n +n1
� -�n2+n3
�� = lim �n +
n1
� - lim �n2+n3
�
= lim �nn
� - lim �2nn� = 1 - �
12
� = �12
� ;
24.6. lim ��1n
� +�n3
n+2
5�� = lim �
1n
� + lim �nn
3
2� = 0 + lim n
= 0 + ? .
25.1. lim �� = �lim�� Pág. 88
= �lim��= ��14
�� = �12
� ;
25.2. lim = lim
= lim = �0 + 0� + 1 = 1 .
26. un = �2n + 3�" +? ; Pág. 89
vn =�2n
1+ 1�" 0 ;
wn = " 0 ;
26.1. lim (un * vn) = lim ��2n + 3� *�2n
1+ 1��
= lim = lim
=��20++00�
� = 0 ;
26.2. lim �wvn
n� = lim
= lim = lim
= lim = = �12
� .
27.1. lim (- 2n3 + n2 + 1) Pág. 90= lim (- 2n3) = - ? ;
27.2. lim (n8 - n5) = lim n8 = + ? ;
27.3. lim (�n2 + 2� - n)
= lim
= lim = lim = 0 ;
27.4. lim (�n2 + n� - n)
= lim
= lim = lim
= lim = = �12
� ;
27.5. lim (n - �n2 + 1�)
= lim
= lim = lim = 0 ;
27.6. lim (�n2 + n� - �n2 + 1�)
= lim
= lim
= lim
= = �12
� .1 - 0���1 + 0� + �1 + 0�
n� �1 - �1n
�����
n� ��1 + �1n
�� + �1 + �n12���
(n2� + n) - (n2� + 1)���
n �1 + �1n
�� + n �1 + �n12��
(�n2 + n� -�n2 + 1�) (�n2 + n� +�n2 + 1�)���
�n2 + n� +�n2 + 1�
- 1��n + �n2 + 1�
n2 - (n2 + 1)��n + �n2 + 1�
(n - �n2 + 1�) (n + �n2 + 1�)���
n + �n2 + 1�
1���1 + 0� + 1
n���
n� ��1 + �1n�� + 1�
n��
n �1 + �1n
�� + n
(n2 + n) - n2
���n2 + n� + n
(�n2 + n� - n) (�n2 + n� + n)���
�n2 + n� + n
2���n2 + 2� + n
(n2 + 2) - n2
���n2 + 2� + n
(�n2 + 2� - n) (�n2 + 2� + n)����
�n2 + 2� + n
�1 + 0� + 1��
4 + 0
n� ��1 + �n22�� + 1�
��n� �4 + �
2n
��
n �1 + �n22�� + n
��4n + 2
�n2 + 2� + n��
4n + 2
�2n
1+ 1�
����n2 +
2
2� + n�
n� ��2n
� + �n3�2��
��n� �2 + �
1n
���2n + 3��2n + 1
2���n2 + 2� + n
n� ���3n
� + �n1�2�� + 1�
��n�
n ��3n
� + �n12�� + n
��n
�3n + 1� + n��
n
n2��4n2�
n2 + 3�4n2 + 1
n2 + 3�4n2 + 1
117
3 Limites de sucessões
28.1. lim �42n +
n
1� = lim �4n
2*
n
4� Pág. 91
= lim ���24
��n
* �14
� = 0 * �14
� = 0 ;
28.2. lim �46n +
n
1� = lim �4n
6*
n
4� = lim ���
64
��n
* �14
�= + ? * �
14
� = + ? ;
28.3. lim �1 +
25
n
n + 1� = lim �1 +
25
n
n * 5�
= lim
= lim =�0 +
05
� = 0 ;
28.4. lim �33
n +
n
1
-+17
�
= lim =�31+-
00
� = 3 ;
28.5. lim �24
n
n
++
38
�
= lim = lim =�01++
00
� = 0 ;
28.6. lim �2n
6-
n
3n
� = lim ���26
��n
- ��36
��n
= 0 - 0 = 0 ;
28.7. lim (2n + 1 - 2n) = lim (2n * 2 - 2n) = lim 2n = +? ;
28.8. lim �1 - ��23
��n
� = 1 - 0 = 1 ;
28.9. lim �1 - ��32
��n
� = 1 - (+ ?) = - ? .
29.1. un = ��2nn+ 3��
n
• �2n
n+ 3� ≥ 0 , A n å N
• �2n
n+ 3� ≤ �
2nn� , A n å N ,
porque 2n + 3 ≥ 2n , A n å N
0 ≤�2n
n+ 3� ≤ �
2nn�
0 ≤�2n
n+ 3� ≤ �
12
� , A n å N
1) 0 ≤ ��2nn+ 3��
n
≤ ��12
��n
, A n å N
2)
De 1) e 2) pelo TSE, lim un = 0 ;
29.2. un = ��6n3+n
1��
n
• �6n
3+n
1� ≥ 0 , A n å N
• �6n
3+n
1� ≤ �
36nn� , porque 6n + 1 ≥ 6n , A n å N
0 ≤�6n
3+n
1� ≤ �
36nn� , A n å N
1) 0 ≤ ��6n3+n
1��
n
≤ ��12
��n
, A n å N
2)
De 1) e 2) pelo TSE, lim un = 0 ;
29.3. un = ��8n2+n
1��
2n
• �8n
2+n
1� ≥ 0 , A n å N
• �8n
2+n
1� ≤ �
28nn� , porque 8n + 1 ≥ 8n , A n å N
0 ≤�8n
2+n
1� ≤ �
28nn� , A n å N
1) 0 ≤ ��8n2+n
1��
2n
≤ ��14
��2n
, A n å N
2)
De 1) e 2), pelo TSE, lim un = 0 .
30.1. �19
� , �217� , �
811� , … ; a1 = �
19
� ; Pág. 93
r = �13
� ; \r|< 1
S = = �16
� ;
30.2. 4 , - 2 , 1 , - �12
� , �14
� , … ; a1 = 4 ;
r = - �12
� ; \r|< 1
S = = �83
� ;
30.3. 2 , 4 , 8 , 16 , … ; a1 = 2 ; r = 2 > 1
Sn é divergente
lim Sn = lim �2 *�11--
22
n
� = + ? .
4�1 - �- �
12
��
�19
�
�
1 - �13
�
lim 0 = 0
lim ��14
��2n
= lim ���14
��2
n
= lim ��116��
n
= 0
adbdc
lim 0 = 0
lim ��12
��n
= 0
adbdc
lim 0 = 0
lim ��12
��n
= 0
adbdc
��24
��n
+ �43n�
��1 + �
48n�
�24
n
n� + �43n�
�1 + �
48n�
�3n�
3*n�
3� + �
37n�
��1 - �
31n�
��25
��n
�
�51n� + 5
�25
n
n�
��
�51n� +�
5n
5*n
5�
118
Sucessões
31.1. 0,(45) = 0,45 + 0,0045 + 0,000 045 +… Pág. 94
=�1 -
0,405,01� =�
00,,4959
� = �4959� = �
151� ;
31.2. 0,(451) = 0,451 + 0,000 451 + 0,000 000 451 +…
=�1 -
0,405,0101
� =�00,,495919
� = �495919
� ;
31.3. 0,2(12) = 0,2 + 0,012 + 0,000 12 + 0,000 001 2 +…
= �120� +�
10-,001,201
� = �120� +�
00,,09192
�
= �120� +�
91920
� = �373� .
32.1. lim �1 + �1n
��n - 1
Pág. 97
= lim �1 + �1n
��n
* lim �1 + �1n
��- 1
= e * 1 = e ;
32.2. lim �1 +�n +
13
��n
= lim �1 +�n +
13
��(n + 3) - 3
= lim �1 +�n +
13
��n + 3
* lim �1 +�n +
13
��- 3
= e * 1 = e ;
32.3. lim �1 + �1n
��8n
= lim �1 + �88n��
8n
= e8 ;
32.4. lim �1 + �1n
���n2
�= �lim �1 + �
1n
��n
�12
�= e
�12
�= �e� ;
32.5. lim �1 + �1n
��- 3n
= �lim �1 + �1n
��n
- 3
= e- 3 ;
32.6. lim �1 + �31n��
n
= lim �1 + �n
= e�13
�= �
3e� ;
32.7. lim �1 - �21n��
n
= lim �1 - �n
= e- �
12
�= �
�1
e�� = �
�ee�� ;
32.8. lim �1 + �34n��
n
= lim �1 + �n
= e�43
�= �
3e4� ;
32.9. lim ��nn-+
12
��n
= lim � �n
= = �ee
-
2
1
� = e- 3 ;
32.10. lim ��nn2
2++
15
��n2
= lim � �n2
= = �ee
1
5� = e- 4 ;
32.11. lim ��55nn-+
23
��3n
= lim � �3n
= � �3
= (e- 1)3 = e- 3 ;
32.12. lim �1 + �21n��
2n + 1
= lim �1 + �21n��
2n * 2
= �lim �1 + �21n��
2n
2
= e2 .
33. M = C �1 + �ni��
nt Pág. 100
C = 10 000 Æ ; i = 0,033 ; t = 3
33.1. n = 2
M = 10 000 �1 +�0,0
233��
2 * 3
= 11 031,75 Æ ;
33.2. lim �10 000 �1 +�0,0
n33��
3n
= 10 000 �lim �1 +�
0,0n33��
n
3
= 10 000 (e0,033)3
= 10 000 e0,099 ) 11 040,66 Æ .
34.Pág. 103
34.1. Seja A(n) a condição un = 1 + 21 - n
i) A(1) é verdadeira, pois
u1 = 1 + 21 - 1 § 2 = 1 + 20 § 2 = 2 .
ii) A(p) ± A(p + 1)
Hipótese: up = 1 + 21 - p
Tese: up + 1 = 1 + 2p \ 1 + 21 - (p + 1) = 1 + 2p
up + 1 =�1 +
2up� = �
12
� + �12
� up ‚M
por hipótese
= �12
� + �12
� (1 + 21 - p)
u1 = 2
un + 1 =�1 +
2un� , A n å N
adbdc
e- �
25
�
�
e�35
�
1 - �52n�
�1 + �
53n�
lim �1 + �n12��
n2
��lim �1 + �
n52��
n2
1 + �n12�
�1 + �
n52�
lim �1 - �1n
��n
�lim �1 + �
2n
��n
1 - �1n
�
�1 + �
2n
�
�43
�
�n
�12
�
�n
�13
�
�n
119
� lim �1 - �n
3
=
lim �1 + �n
�35
�
�n
�25
�
�n
a1 = 0,45
r = 0,01
a1 = 0,451
r = 0,001
a1 = 0,012
r = 0,01
3 Limites de sucessões
= �12
� + �12
� + �12
� * 21 - p
= 1 + 2- 1 * 21 - p = 1 + 2- p
\ A(p) = A(p + 1)
De i) e ii) , pelo princípio de indução mate-
mática, podemos concluir que:
un = 1 + 21 - n , A n å N
34.2. lim (un)2n = lim (1 + 21 - n)2n = lim �1 + �
22n��
2n
= e2 .
1. (A) A sucessão n1 1 - �1n� Pág. 108
é crescente e tende para 1 ;
(B) A sucessão n1
não é limitada superiormente e não tende
para + ? ;
(C) A sucessão un = (n - 2)2 não é crescente
(u2 < u1 ‹ u3 > u2) e tende para + ? ;
(G) A sucessão un = (- 1)n * �1n� é um infinité-
simo e não é monótona;
(I) A sucessão an = (- 1)n é limitada e diver-
gente;
(J) A sucessão an = (- 1)n é não convergente e
limitada;
(K) Se un " a , a partir de certa ordem p ,
todos os termos de (un) pertencem ao
intervalo I = ]a - ∂ , a + ∂[ , por muito
pequeno que seja ∂ > 0 . Logo, o número
de termos que não pertencem a I é finito.
(L) O exemplo dado em (G) .
(M) Por exemplo, se an = 1 + �1n
� , (an) é decres-
cente, an > 0 , A n å N e an " 1 .
(N) Se un > 0 , A n å N e (un) é conver-
gente, então lim un ≥ 0 .
(P) A sucessão un = - 2 + �1n
� tem todos os ter-
mos negativos e un " - 2 , logo, tende
para - 5 + 3 (m = - 5) .
(Q) A sucessão un =�(-
n1)n
� é não monótona, limi-
tada e convergente.
2.1. a2 = �14
� a1 ; a3 = �14
� a2
(an) é uma progressão geométrica de razão �14
� ;
a1 = 1
Logo, an = a1 * r n - 1 § an = ��14
��n - 1
§ an = 41 - n ;
2.2. an = ��14
��n - 1
= ��14
��- 1
* ��14
��n
= 4 * ��14
��n
lim an = lim �4 * ��14
��n
= 4 * 0 = 0 ,
porque \�14
�|< 1 .
3.1. r1 = �π1
� ; Pág. 109
c1 = �14
� * 2 π r1 = �12
� * π * �π1
� = �12
� ‚M
r2 = �12
� * r1
c2 = �14
� * 2 π r2 = �12
� * π * �21π� = �
14
� ‚M
r3 = �12
� * r2
c3 = �14
� * 2 π r3 = �12
� * π * �41π� = �
18
� ‚M
r4 = �12
� * r3
c4 = �14
� * 2 π r4 = �12
� * π * �81π� = �
116� ‚M
r5 = �12
� * r4
c5 = �14
� * 2 π r5 = �12
� * π *�161π
� = �312� ;
3.2. (cn) é uma progressão geométrica de razão �12
� .
cn = c1 * rn - 1 § cn = �12
� * ��12
��n - 1
§ cn = ��12
��n
lim cn = lim ��12
��n
= 0
Logo, (cn) é um infinitésimo.
3.3. S10 = c1 �11--r1
r
0
� = �12
�. = 1 -�10
124� =�
11002234
� .
4.1. An = �12
� 2 π rn = π rn‚M
An = π * r ��12
��n - 1
A1 = π * r ;
A2 = π * r * �12
� = �π2r
� ;
A3 = π * r * �14
� = �π4r
�
A4 = π * r * �18
� = �π8r
� ;
A5 = π * r * �116� = �
π16
r� ;
4.2. A sucessão (dn) dos diâmetros é uma progres-
são geométrica de razão �12
� sendo d1 = 2r .
Sp = �381� r § d1 = �
381� r
§ 2 r = �381� r
§ 4 r �1 - ��12
��p
� = �381� r
1 - ��12
��p
��12
�
1 - ��12
��p
�1 - �
12
�
rn é uma p. g. de razão
�12
� sendo r1 = r
1 - ��12
��10
��1 - �
12
�
n se n é par
2 se n é ímparabc
120
Sucessões
§r > 0
1 - ��12
��p
= �381� r� * �
41r�
�
§ ��12
��p
= 1 - �3312� § ��
12
��p
= �312�
§ ��12
��p
= ��12
��5
§ p = 5 .
5.1. lim �1 + �1n
�� = 1 + 0 = 1 ;
5.2. an = (- 1)n.�n2
n+
3
1�
=
• lim ��n2
n+
3
1�� = lim �
nn
3
2� = lim n = + ?
• lim �-�n2
n+
3
1�� = - ?
Não existe lim (an) ;
5.3. lim (n + (- 1)n * 3)
= lim n = + ? ; | ((- 1)n * 3 = ¿ 3)
5.4. an = 3 + (- 1)n * 3 =
Como 6 " 6 e 0 " 0 , não existe lim (an) ;
5.5. lim �n + (
n- 1)n
� = lim �nn
� = 1 ; | ((- 1)n = ¿ 1)
5.6. lim �n-+3n
1� = lim �
-n3n� = - �
13
� ;
5.7. lim �n
n-
2
1� = lim �
nn2� = lim �
1n
� = 0 ;
5.8. lim �1-+n2
n� = lim �
-nn2
� = lim (- n) = - ? .
6.1. lim �63
n
n� = lim ��63
��n
= lim 2n = + ? ; Pág. 110
6.2. lim �27
-
-
n
n� = lim ��27
��- n
= lim ��72
��n
= + ? ; \ ��72
� > 1�
6.3. lim �72
-
-
n
n� = lim ��72
��- n
= lim ��27
��n
= 0 ; \ ��27
�< 1�
6.4. lim ��3nn++31
��3
= �lim �3nn��
3
= ��13
��3
= �217� ;
6.5. lim =�+
4?� - = + ? .
7. S = 8 e r = - �14
�
S = 8 § = 8
§ = 8 § a1 = 10
a4 = a1 * r4 - 1 = 10 * �- �14
��3
= - �1604� = - �
352� .
8. • A sucessão (dn) das descidas é uma progressão
geométrica de razão 0,75 , sendo d1 = 4 .
• A sucessão (sn) das subidas é uma progressão
geométrica de razão 0,75 , sendo
s1 = d2 = 4 * 0,75 = 3 .
A distância percorrida é
Sd + Ss =�1 -
d01
,75� +�
1 -s01
,75� =�
0,425� +�
0,325�
= 16 + 12 = 28 .
9. vn =�3 + (
n-+1)1
n * 3� =
9.1. v1 = 0 ; v2 =�2 +
61
� = 2 ; v3 = 0 ;
v4 = �65
� ; v5 = 0 ; v6 = �67
� ;
9.2. 0 <�n +
61
� ≤�2 +
61
� (n par)
logo, 0 ≤ vn ≤ 2 , A n å N
(vn) não é monótona (v2 > v1 e v3 < v2) ;
(vn) é limitada (0 ≤ vn ≤ 2 , A n å N) ;
9.3. Como 0 " 0 e �n +
61
�" 0 , lim vn = 0 .
10. un =�2nn++
21
�
10.1. un + 1 - un =�2(nn++
11)++2
1� -�
2nn++
21
�
=�2nn++33
� -�2nn++21
�
=
=�(2n + 3
-) (
32n + 1)� < 0 , A n å N
(un) é monótona decrescente;
10.2. lim un = lim �2nn++
21
� = lim �2n�n�� = �
12
� ;
10.3. un - �12
� ≤ 10- 3 § �2nn++21
� - �12
� ≤�10
100�
§ �2n +
44n-+
22n - 1
� <�10
100�
§ �4n
3+ 2� ≤�
10100� §
4n + 2 > 03000 ≤ 4n + 2
§ 4n ≥ 2998 § n ≥ 749,5n å N§ n ≥ 750 .
2n2� + n + 6n + 3 - 2n2� - 3n - 4n - 6����
(2n + 3) (2n + 1)
0 se n é ímpar
�n +
61
� se n é par
adbdc
a1�
�54
�
a1��1 - �- �
14
��
3 * 5n + 6 * 5n - 1 - 1���
4
6 se n é par
0 se n é ímparabc
�n2
n+
3
1� se n é par
-�n2
n+
3
1� se n é ímpar
adbdc
121
3 Limites de sucessões
11. Por exemplo:
11.1. un = - �1n
� ;
11.2. vn = �1n
� ;
11.3. wn = (- 1)n �1n
� .
12. Por exemplo:
12.1. un = 5 - �1n
� ;
12.2. vn = 5 + �1n
� ;
12.3. wn = 5 +�(-
n1)n
� .
13.1. c1 = c2 = c3 = c4 = cn = 3 Pág. 111cn = 3 ; lim cn = 3 ;
13.2. un = c (constante) ± lim un = c
Se un = c , qualquer que seja ∂ å R+ , tem-se,
a partir de qualquer ordem p ,
|un - c| = |c - c| = 0 < ∂ .
Então, un " c .
14.
14.1. u2 = �74
� * 3 = �241� ;
u3 = �74
� * �241� = �
11467
� ;
u4 = �74
� * �11467
� =�106249
� ;
14.2. (un) é uma progressão geométrica de razão �74
�
e u1 = 3 .
un = 3 * ��74
��n - 1
;
14.3. Com �74
� > 1 lim un = + ?
A área aumentava indefinidamente tendendo
para + ? .
14.4. a10 = 3 * ��74
��9
A área do 2.° círculo é 3 * ��74
��19
cm2
π r 2 = 3 * ��74
��19
§ r = �3 * ��74
���19
* �π1���
§ r ) 198,997 cm
2r ) 397,99 cm ) 3,98 m .
15. Os lados estão em progressão geométrica ln de
razão �12
�
ln = l * ��12
��n - 1
Então An = (ln)2 = �l * ��
12
��n - 1
�2
= l2 * ��14
��n - 1
An é uma progressão geométrica de razão �14
� ,
sendo A1 = l2 .
S = = = �43
� l2 .
16. Por exemplo: Pág. 11216.1. an = n e bn = 2n ;
16.2. an = n e bn = n - �1n
� ;
16.3. an = 2n e bn = n ;
16.4. an = n + 3 e bn = n ;
16.5. Não é possível. Se an" +? e bn" +? ,
an * bn " +? ;
16.6. an = n2 e bn = n ;
16.7. an = n e bn = n2 ;
16.8. an = 5n e bn = n .
17. an =�n +
11
� +�n +
12
� +… +�2n
1- 1� + �
21n�
= �n
k = 1�n
1+ k�
an + 1 =�n +
12
� +�n +
13
� +… + �21n� +�
2n1+ 1� +�
2n1+ 2�
= �n + 1
k = 1�n +
11 + k�
an + 1 - an =�n +
12
� +�n +
13
� +… + �21n� +�
2n1+ 1� +
+�2n
1+ 2� - ��n +
11
� +�n +
12
� +… + �21n��
=�2n
1+ 1� +�
2n1+ 2� -�
n +1
1�
=�2n
1+ 1� +�
2 (n1+ 1)� -�
n +1
1�
2(n + 1) 2n + 1 2 (2n + 1)
=
= > 0 , A n å N
an + 1 - an > 0 , A n å N ± (an) é monótona
crescente.
an =�n +
11
� +�n +
12
� +… + �21n� < �
1n
� + �1n
� +… + �1n
� ,
A n å N
an < n * �1n
� , A n å N
1��2 (n + 1) (2n + 1)
2n + 2 + 2n + 1 - 4n - 2���
2 (n + 1) (2n + 1)
l2�
�34
�
A1�1 - �
14
�
u1 = 3
un + 1 = �74
� un , A n å N
adbdc
122
Sucessões
• an < 1 , A n å N
• Como (an) é crescente, tem-se an ≥ a1 ,
A n å N , ou seja, an ≥ �12
� , A n å N
�12
� ≤ an < 1 , A n å N ± (an) é limitada.
(an) é convergente porque toda a sucessão
monótona e limitada é convergente.
18.1. �80n0
� + (- 1)n =
�80n0
� - 1 " - 1 e �80n0
� + 1 " 1
A sucessão é divergente oscilante;
18.2. lim �800 +�(-
n1)n
�� = 800 + 0 = 800
É convergente;
18.3. 800 + (- 1)n * n =
800 - n" -? e 800 + n" +?
É divergente oscilante;
18.4. n2 [(- 1)n + 1] =
2n2 " +? e 0 " 0
É divergente oscilante;
18.5. lim (3n + (- 1)n) = lim 3n = + ?
É propriamente divergente;
18.6. lim �3 + (-
n12
)n * n� = lim �
(-n1
2
)n n� = lim �
(-n1)n
� = 0
É convergente.
19.1. lim an = lim �11-+3nn
2
2� = lim �-
n3
2
n2� = - �13
�
lim bn = lim �1 +
n2
n3� = lim �nn
2
3� = lim �1n
� = 0
cn =
�n-+53
� - 5 " - 5 ; �n +
53
� - 5 " - 5
lim cn = - 5 ;
19.2. • an =�11-+3nn
2
2�
an + 1 - an =�11-+3((nn++11))
2
2� -�11-+3nn
2
2�
= > 0 , A n å N
± (an) é monótona crescente
± an ≥ a1 , A n å N
± an ≥ - 1 , A n å N
1 + n2 > 0 , A n å N e 1 - 3n2 < 0 ,
A n å N ± an < 0 , A n å N
logo, - 1 ≤ an < 0 , A n å N
• bn =�1 +
n2
n3�
0 < n2 < 1 + n3 , ± 0 <�1 +
n2
n3� < 1 ,
A n å N
logo, 0 < bn < 1 , A n å N
• cn =
Se n é ímpar Se n é par
0 <�n +
53
� ≤ �54
� 0 <�n +
53
� ≤ 1
- �54
� - 5 ≤ -�n +
53
� - 5 < - 5 - 5 <�n +
53
� - 5 ≤ - 4
- �245� ≤ cn < - 5 , A n å N - 5 < cn ≤ - 4 , A nåN
Logo, - �245� ≤ cn ≤ - 4 , A n å N ;
19.3. A afirmação é falsa. Se a sucessão não for
monótona, o limite pode não ser majorante
nem minorante do conjunto dos termos (por
exemplo, cn " - 5 e - 5 não é majorante
nem minorante do conjunto dos termos de
(cn)).
Pág. 113
20. tn = n + (- 1)n + 1 (n + 3) =
2n + 3 " +? ; - 3 " - 3
20.1. (tn) não é limitada superiormente porque a
subsucessão dos termos de ordem ímpar é um
infinitamente grande positivo.
(tn) não é um infinitamente grande porque a
subsucessão dos termos de ordem par é con-
vergente.
20.2. Se, por exemplo, sn = �n12� ,
sn.tn =
lim �2n
n+2
3� = lim �
2nn2� = lim �
2n
� = 0 ; lim �-n2
3� = 0 .
Logo, (sn.tn) " 0 .
�2n
n+2
3� se n é ímpar
- �n32� se n é par
adbdc
2n + 3 se n é ímpar
- 3 se n é par
abc
-�n +
53
� - 5 se n é ímpar
�n +
53
� - 5 se n é par
adbdc
8n + 4���(3n2 - 1) (3n2 + 6n + 2)
�n-+53
� - 5 se n é ímpar
�n +
53
� - 5 se n é par
adbdc
2n2 se n é par
0 se n é ímpar
abc
800 - n se n é par
800 + n se n é ímpar
abc
�80n0
� + 1 se n é par
�80n0
� - 1 se n é ímpar
adbdc
123
3 Limites de sucessões
21.1. lim �1 +
8n--n2
3n2
� = lim �--
3nn2
2
� = 3 ;
21.2. lim � + 3� = lim + 3
= + 3 = 4 ;
21.3. lim = lim
= = 0 ;
21.4. lim (�n2 + 1� - n)
= lim
= lim = 0 ;
21.5. lim (�n3 + 1� -�n2 + 2�)
= lim
= lim
= lim =
= = + ? ;
21.6. lim = lim
= lim = = 1 ;
21.7. lim �nn+-
((--
11))
n
n� = lim �nn
� = 1 ;
21.8. lim �4n
4
+
n
1 ++
33
n
n
+ 1
� = lim
= lim =�4 +1 +
0 *0
3� = 4 .
22.1.1. P1 = �12
� * 2 π R1 = π R ;
P2 = �12
� * 2 π R2 = �π2R� ;
P3 = �12
� * 2 π R3 = �π4R� ;
22.1.2. (Pn) é uma progressão geométrica de razão �12
� .
Pn = P1 ��12
��n - 1
= π R ��12
��n + 1
Pn = π R * ��12
��n - 1
;
22.1.3. lim Pn = lim �π R * ��12
��n - 1
� = 2 π R * ��12
��n
= 0 ;
22.2.1. a1 = �π2R2
� ; a2 = �12
� * π ��R2
��2
= �π8R2
� ;
a3 = �12
� * π ��R4
��2
= �π32R2
� ;
22.2.2. (an) é uma progressão geométrica de razão �14
� .
an = a1 ��14
��n - 1
=�π2R2
� * ��14
��n - 1
= 2 π R2 ��14
��n
;
an = 2 π R2 ��14
��n
;
22.2.3. lim an = lim �2 π R2 ��14
��n
= 0 .
lim an = 0 ; a área de cada um dos sucessivos
semicírculos vai-se aproximando de 0 .
23.1. A sucessão dos diâmetros Pág. 114[T0 T1] , [T1 T2] , … é uma progressão geomé-
trica dn de razão �12
� , sendo d1 = T�0��T�1� . Logo,
S = = = 2 T�0��T�1� = T�0��T�� c.q.d.
23.2. A sucessão rn dos raios das circunferências cn é
uma progressão geométrica de razão �12
� , sendo
r1 = �12
� T�0��T�1� = �12
�
Logo, rn = �12
� * ��12
��n - 1
= ��12
��n
A sucessão pn dos comprimentos das circun-
ferências cn é dada por pn = 2 π * rn , ou
seja,
pn = 2 π ��12
��n
= π ��12
��n - 1
(Pn) é uma progressão geométrica de razão �12
� ,
sendo P1 = π . Logo,
S = = = 2 π ;π��12
�
P1�1 - �
12
�
T�0��T�1���12
�
d1�1 - �
12
�
4 + ��34
��n
* 3
��
1 + ��34
��n
�4n
4*n
4� +�
3n
4*n
3�
���44
n
n� + �34
n
n�
�1 + 0� + 0��
1 + 0
n� ��1 + �1n
�� + �3n
����
n� �1 + �1n
��
n �1 + �1n�� + 3
��n + 1
�n2 + n� + 3��
n + 1
1 - 0 - 0���0 + 0� +�0 + 0�
n3� �1 - �1n
� - �n13��
���n3� ���
n13� + �
n1�6�� + ��
n14� + �
n2�6���
n3 + 1 - n2 - 2���
n3 ��n13� + �
n1�6�� + n3 ��
n14� + �
n2�6��
(�n3 + 1� -�n2 + 2�) (�n3 + 1� +�n2 + 2�)����
�n3 + 1� +�n2 + 2�
n2� + 1 - n2����n2 + 1� + n
(�n2 + 1� - n) (�n2 + 1� + n)���
�n2 + 1� + n
�0 + 0��
1 + 0
n2� ��1n
� + �n12��
��
n2� �1 + �n12��
n �n + 1���
n2 + 1
0 + 1��1 + 0�
n4� ��n14� + 1�
��
n4� �1 + �n18��
1 + n4
��n8 + 1�
124
Sucessões
23.3. A sucessão (an) das áreas dos círculos limita-
dos por cn é
an = π * (rn)2 = π ���
12
��n
2
= π * ��14
��n
= �π4
� ��14
��n - 1
(an) é uma progressão geométrica de razão �14
� ,
sendo a1 = �π4
� . Logo, a soma das áreas de
todos os círculos limitados por cn é
S =�1a-1
r� = = = �
π4
� * �43
� = �π3
�
A área do círculo é c = π * 12 = π .
A área pedida é π - �π3
� = �23π� .
24.1. Pelo teorema de Pitágoras
(ln)2 = (ln + 1)
2 + (ln + 1)2
(ln)2 = 2 (ln + 1)
2
‚M
ln > 0 , A n å Nln =�2� ln + 1
Então,
�lnl+
n
1� = ��22�� , ou seja (ln) é uma
progressão geométrica de razão ��22�� .
• ln = l1 * ���22���
n - 1
= 2 * ���22���
n - 1
an = (ln)2 = �2 * ��
�22���
n - 1
2
= 4 * ����22���
2
n - 1
= 4 * ��12
��n - 1
(an) é uma progressão geométrica de razão
�12
� , sendo a1 = 4 ;
24.2. S = = = 8 .
8 u.a. ;
24.3. A espiral é formada pela sucessão sn de arcos
de circunferência, sendo s1 = �14
� * 2 π * 2 = π
sn = �14
� * 2 π * ln = �14
� * 2 π * 2 * ���22���
n - 1
= π * ���22���
n - 1
(sn) é uma progressão geométrica de razão ��22�� .
Como \��22��|< 1 ,
en = = =
= =
= π (2 +�2�) .
25. A(p + 1) § 3p + 1 = 2p + 3 .
26.1. �5
a = 1a2 = =�
5 * 66* 11� = 55 ;
26.2. �10
a = 5a2 = �
10
a = 1a2 - �
4
a = 1a2
=�10 * 161 * 21� -�
4 * 56* 9
� = 355 .
27. Não. O facto de se saber que a condição se veri-
fica para alguns valores de n não permite con-
cluir que é universal.
28. Não. Pela justificação apresentada Pág. 115no número anterior.
29.1. Seja A(n) a condição
2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
i) A(1) é verdadeira, pois 2 = 1 (1 + 1)
§ 2 = 2 .
ii) A(p) min ± A(p + 1) ;
Hipótese: 2 + 4 + 6 +… + 2p = p (p + 1)
Tese: 2 + 4 + 6 +… + 2p + 2 (p + 1)
= (p + 1) (p + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2p + 2 (p + 1) ‚M
por hipótese twwwuwwwv
= p (p + 1)+ 2 (p + 1)
= (p + 1) (p + 2)
\ A(p) ± A(p + 1)
Por i) e ii) podemos concluir, pelo princípio
de indução matemática, que A(n) é universal
em N ;
29.2. Seja A(n) a condição
1 (1 + 1) + 2 (2 + 1) + 3 (3 + 1) +… + n (n + 1)
=�n (n + 13) (n + 2)�
i) A(1) é verdadeira, dado que
1 (1 + 1) =�1 (1 + 13) (1 + 2)� § 2 = 2 .
5 (5 + 1) (2 * 5 + 1)��
6
2 π (2 +�2�)��
4 - 22 π (2 +�2�)
��(2 -�2�) (2 +�2�)
2 π�2 -�2�
π�
�2 -
2�2��
s1�
1 - ��22��
4�
�12
�
a1�1 - �
12
�
ln
Qn Qn + 1
ln + 1ln
�π4
�
��34
�
�π4
�
�1 - �
14
�
125
3 Limites de sucessões
ii) A(p)± A(p + 1) .
Hipótese:
1 (1 + 1) + 2 (2 + 1) + 3 (3 + 1) +… +
+ p (p + 1) =�p (p + 13) (p + 2)�
Tese:
1 (1 + 1) + 2 (2 + 1) + 3 (3 + 1) +… +
+ p (p + 1) + (p + 1) (p + 2)
=
1 (1 + 1) + 2 (2 + 1) +… + p (p + 1) + (p + 1) (p + 2)twwwwwwwuwwwwwwwv
‚M
por hipótese
=�p (p + 13) (p + 1)� + (p + 1) (p + 2)
=
=
\ A(p) ± A(p + 1) .
Por i) e ii) podemos concluir, pelo princí-
pio de indução matemática, que A(n) é
universal em N .
29.3. Seja A(n) a condição 64n - 1 = 9k , para k åZ
i) A(1) é verdadeira
641 - 1 = 9k para k å Z § 63 = 9k ,
para k å Z
Proposição verdadeira dado que 63 = 9 * 7 .
ii) A(p)± A(p + 1)
Hipótese: 64p - 1 = 9k , para k å Z
Tese: 64p + 1 - 1 = 9k2 , para k2 å Z
64p + 1 - 1 = 64p * 64 - 1
= 64p * (63 + 1) - 1
= 63 * 64p + 64p - 1 ‚M
por hipótese tuv
= 9 * 7 * 64p + 9k1
= 9 * (7 * 64p + k1)‚M= 9k2
A(p)± A(p + 1)
De i) e ii) , pelo princípio de indução mate-
mática, 64n - 1 é múltiplo de 9 , A n å N .
30. an = an2 + bn + c
an = 2n2 - 6n + 7 .
a = 2
b = - 6
c = 7
adbdc
§
c = 3 - 2 + 16
b = - 6
a = 2
adbdc
§
c = 3 - a - b
b = - 3a
15a - 9a = 12
adbdc
§
c = 3 - a - b
3a + b = 0
15a + 3b = 12
adbdc
§
c = 3 - a - b
4a + 2b + 3 - a - b = 3
16a + 4b + 3 - a - b = 15
adbdc
§
a + b + c = 3
4a + 2b + c = 3
16a + 4b + c = 15
adbdc
§
a1 = 3
a2 = 3
a4 = 15
adbdc
k2 = 7 * 64p + k1 å Z ,
A p å N , A k1 å Z
(p + 1) (p + 2) (p + 3)���
3
p (p + 1) (p + 2) + 3 (p + 1) (p + 2)����
3
(p + 1) (p + 2) (p + 3)���
3
126
127
128