Polígonos e
ângulos
Prof. Ilizete
Linha Poligonal: linha formada por segmentos de reta consecutivos, não alinhados
Polígono: superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada
Linha poligonal aberta Linha poligonal fechada
Exemplos:
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOS:
Polígono convexo Polígono côncavo
Todos os seus ângulos são convexos, menores que 1800
Tem pelo menos um ângulo côncavo, maior que 1800
Ângulocôncavo
(se unir quaisquer 2 dos seus pontos, o segmento de reta obtido está sempre contido no polígono)
(existem sempre, pelo menos dois dos seus pontos que unidos, formam um segmento de reta que não está contido no polígono)
Ângulo interno:
(os ângulos assinalados em verde são os ângulos internos)
Ângulo externo:
Ângulo formado por um lado com o prolongamento de um lado
consecutivo
(os ângulos assinalados em amarelo são os ângulos externos)
SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO
Preencher o quadro:
3
4 4
5
10 - 2
n - 2 (n – 2) x 180º
5
6
7
A soma Si das medidas dos ângulos internos de um polígono (convexo) com n lados é dada pela expressão:
Si=(n-2) x 180o
SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONOObserve o polígono [ABCDE] e os seus ângulos externos a, b, c, d, e
Se recortássemos cada um dos ângulos externos da figura, obtínhamos
Se agora juntássemos os ângulos externos pelos seus vértices:
A soma das medodas dos ângulos externosângulos externos deste polígono é 3600
De um modo geral prova-se que:
A soma das medidas dos ângulos externosmedidas dos ângulos externos de um
polígono (convexo) é sempre igual a 3600.
Se=3600
RECORDANDO:
Polígono regular é um polígono com todos os lados
geometricamente iguais e todos os ângulos
geometricamente iguais.
Ângulo agudo:
Ângulo obtuso:
Ângulo raso:
Ângulo reto:
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
90º
= 90º
> 90º
= 180º
Ângulos complementares:
Ângulos replementares:
Ângulos suplementares:
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
+ = 90º
+ = 180º
+ = 360º
ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL.
r
s
abc
d
ef
gh
t
Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g.Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h.Alternos internos: d e f; c e e.Alternos externos: a e g; b e h.Colaterais internos: d e e; c e f.Colaterais externos: a e h; b e g.
Questão 1:
(UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede:a) 45o
b) 48o 30’c) 56o 15’d) 60o e) 78o 45’
Questão 2:
(UFES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então 3 + vale:a)225o
b)195o c)215o d)1750 e)1850
Questão 3:
(UFMG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25o. O ângulo x mede:a)50o b)60o c)70o d)75o e)80o
NÚMERO DE DIAGONAIS
no de diagonais de um polígono c/ n lados:
no de diagonais determinadas a partir de 1 vértice: (n – 3)
2
)3.(
nnd
Questão 5:
Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:a) 11b)12c)10d)15e)18
Questão 6:
Se ABCDE é um polígono regular, então a soma dos ângulos assinalados na figura é: a) 90o b)120o c)144o d)154o e)180o
Questão 7:
No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.a)100o
b)110o c)120o d)130o e)140o
Questão 8:
Na figura seguinte, o valor de é:a) 90o b) 95o c) 100o d) 110o e) 120o
Quadriláteros
TP R
L Q
Trapézio: dois lados paralelos
Paralelogramo: lados opostos paralelos
Retângulo: quatro ângulos
congruentes
Losango: quatro lados congruentes
Quadrado: lados e ângulos congruentes
QuadriláterosResumo
Quadriláteros : quatro ladosTrapézios: pelo menos dois lados
paralelosParalelogramos: lados opostos paralelos
Retângulos:
ângulos retos
Losangos
Quadra
do
Questão 9:(UFJF) Em um pentágono convexo, os ângulos internos formam uma progressão aritmética de razão r. O valor de r tal que o maior ângulo desse pentágono meça 128° é:a) 10°b) 15ºc) 20°d) 27ºe) 36°
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Polígonos regulares inscritos na circunferênciaPolígonos regulares inscritos na circunferência
Apótema (a) é um segmento com uma extremidade no centro da circunferência e outra no ponto médio de um dos lados do polígono.
Raio da circunferência circunscrita (r) é o segmento com uma extremidade no centro da circunferência e a outra na própria circunferência.
3
ra
24
r 2a
26
r 3a
23 r 3l 4 r 2l 6 rl
26
Polígonos regulares circunscritos na circunferênciaPolígonos regulares circunscritos na circunferência
a = r a = r
a = r l = 2r√3l = 2r
l = (2r√3)/3
Questão 10:Uma tora de madeira tem secção circular de comprimento igual a 62,8 cm . Calcule o lado da maior secção quadrangular que pode ser obtida na tora (adote pi=3,14).
Questão 11:Calcule a razão entre os perímetros de dois hexágonos regulares, o primeiro inscrito e o segundo circunscrito a um mesmo círculo.