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Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-1
1 Sistema de Coordenadas Polares e Integrais
1. Represente no plano os pontos ),( onde:
),( 01A , ),( 01B ,
42,C ,
4,1D ,
32,E ,
6
5,3F e
3
8,3G .
Resolução:
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7611
23
0
2
CE
B
D
A
F
G
Resposta:
2. Represente no plano os pontos ),( onde:
)2
,1(
A , )3,3( B ,
4
7,2C ,
4
3,
2
3D ,
6,2E ,
6
31,3F e
4
5,2G .
Resolução:
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35
47
611
23
0
2
C
E
B
DA
FG
Resposta:
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-2
3. Construir o gráfico da função:
, para 0 2.
0 4
2
3
2
4
5
2
3
4
7 2
0 4
2
3
2
4
5
2
3
4
7 2
~ 0 0,8 1,6 2,1 3,1 3,9 4,7 5,5 6,3
Resolução:
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7611
23
0
2
Resposta:
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-3
4. Construir o gráfico da função:
2 2 cos (cardióide).
Resolução:
0 6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
4 2 3 2 2 3 2 1 2 2 2 3 0
~ 4 3,7 3,4 3 2 1 0,6 0,3 0
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7611
23
0
2
Resposta:
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-4
5. Construir o gráfico da função:
2 4 cos (caracol).
Resolução:
0 6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
6 22 3 22 2 4 2 0 22 2 22 3 2
~ 6 5,4 4,8 4 2 0 0,8 1,4 2
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7611
23
0
2
Resposta:
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-5
6. Construir os gráficos das rosáceas nos itens a) e b).
Rosáceas de quatro pétalas (folhas):
a) 3 2sin
Resolução:
0 6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
~ 0 2,6 3 2,6 0 2,6 3 2,6 0
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7611
23
0
2
Resposta:
b) 3 2cos
Resolução:
0 6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
~ 3 1,5 0 1,5 3 1,5 0 1,5 3
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7611
23
0
2
Resposta:
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-6
7. Se considerarmos o quadrado do primeiro termo na rosácea seguinte, temos:
2 4 2cos (Lemniscata de Bernoulli).
Dicas para fazer o gráfico:
2 2cos 0 2cos 1
Tome D como o domínio de tal que:
D {R; 2
2n 2
2
2n, com nZ}
D {R; 4
n
4
n, com nZ}
Resolução:
0 6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
~ 2 1,4 0 0 1,4 2
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7611
23
0
2
Resposta:
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-7
8. Calcule a área da região delimitada pela lemniscata de Bernoulli, de equação 24 2cos .
Resolução:
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7611
23
0
2
A1
Para Xcos , X 1
o e 4
o quadrantes, onde Xcos 0.
Como a curva é simétrica, calcula-se a área da região no 1o quadrante e multiplica-se por
quatro. Obs: XR; 2
2n X
2
2n, com nZ.
2 4 2cos
2cos4 , onde D {R; 4
n
4
n, com nZ}
0 X 2
0 2
2
0
4
.
Para:
0 2;
4
0.
Portanto:
A 4 1A 1A
4/
0
2
21 )( df
4/
0
2
21 d
4/
02cos4
2
1d
4/
02cos2 d
u 2 du 2 d d du2
1.
0 u 0;
4
u
2
.
1A
2/
0 21cos2 duu
2/
0cosudu
2/
0sin
u
2sin
0sin 1 0 1.
A 4 1A 41 4 u.a.
Resposta: A = 4 u.a.
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-8
9. Calcular a área da região interna à rosácea 2sina .
Resolução:
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7611
23
0
2
A1
a
a
a
a
0 2 0 2
. A 4 1A
1A
2/
0
2
21 d
2/
0
22 2sin2
1da
Observação: 2sin 2cos 1
2cos 2cos 2sin
I- 2cos 1 2sin 2sin II- 2cos 2cos (1 2cos )
2 2sin 1 2cos 2 2cos 1 2cos
2sin 2
1
2
12cos 2cos
2
1
2
12cos
Usando I:
1A
2/
0
2 4cos2
1
2
1
2
1da
2/
0
2
4cos14
da
32
2/
0
2/
0
2
4cos4
AA
dda
2A 2/
0
2
0
2
u 4 du 4 d d 4
1du
0 u 0; 2
u 2.
3A 2
0 4cos
duu
2
0
sin4
1u
3A 4
1
00
sin2sin 0.
1A 32
2
4AA
a
0
24
2a
8
2a Então: Resposta: A 4 1A
2
2a u.a.
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-9
10. Calcular a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas 3 cos e 1+ cos .
Resolução:
Tipo de curva 0 6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
Circunferência 3 cos ~ 3 2,6 2,1 1,5 0 1,5 2,1 2,6 3
Cardióide 1+ cos ~ 2 1,9 1,7 1,5 1 0,5 0,3 0,1 0
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7611
23
0
2
1A2A
3 cos 1+ cos cos 2
1
3
.
0 2
;
0 3
1+ cos ;
3
2
3 cos .
A 2( 1A 2A ) 1A
3/
0
2)cos1(2
1d e 2A
2/
3/
2)cos3(2
1d .
1A
3/
0
2)cos1(2
1d
3/
01(
2
12 cos 2cos ) d
1A
1
3/
0
2
3/
0
cossin232
1
I
d 1A 2
1
13
3I .
1I
3/
0
2cos d
3/
0 21
21 2cos d
3/
02
2sin
32
1
1I 6
4
1
0sin
3
2sin
6
4
1
2
3 1I
6
8
3
1A 2
1
13
3I
2
1
8
3
63
3 1A
4
16
39
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-10
2A
2/
3/
2)cos3(2
1d
2/
3/
2cos92
1d
2/
3/
2cos2
9d
2/
3/ 21
21 2cos
2
9d
2A 4
9
2/
3/d
2/
3/2cos d
4
9
2/
3/2
2sin
32
2A 24
9
4
9
2
1
3
2sinsin
8
3
8
9
2
30 2A
8
3
16
39.
A 2( 1A 2A ) 2
16
39
8
3
16
39
4
2
4
3 A
4
5..au
2
3
2 3
A1
2
3
2 3
A2
1+ cos 1A
3/
0
2)cos1(2
1d
3 cos 2A
2/
3/
2)cos3(2
1d
Resposta: A4
5 u.a.
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-11
11. Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordenadas polares por tg ,
com 0 2
, pela reta x 1 (coordenadas cartesianas) e pelo eixo polar.
Dica para a resolução: Considere 1A () como sendo a área da região composta pelo
triângulo OMP, dado na figura abaixo.
tg
O
2
3
4
32
43
65
67
45
34
35
47
611
23
0
21 x
x1Reta:
6
x
tg
3
O 1M3
P3
cos
sen
4
x
tg
O 1M2
P2
sen
cos
6
x
tg
O 1M1
P1
cos
sen
Resolução:
A área que procuramos é (área do triângulo OMP) (área entre a curva e a reta ),
quando M tende para 1 (M 1), ou tende para 2
(
2
).
1A (área do triângulo OMP) 2A (área entre a curva e a reta )
A 1A 2A
1A 2
1(base)(altura) 2A
0
2
21 tg d
1A 2
1( cos )( sin ) É integral imprópria:
2
1A 2
1( tg cos )( tg sin ) 2A
0
2
21 )1(sec d
1A 2
1( sin )( tg sin ) 2A
02
1 tg
1A 2
1 2sin tg 2A
2
1tg
2
1
Então:
A 1A 2A 2
1 2sin tg (
2
1tg
2
1)
A 2
1 tg (1 2sin )
2
1
2
1 tg 2cos
2
1
2
1
cos
sin 2cos
2
1
A 2
1sin cos
2
1 Área
2
1cossin
2
1lim
2
4
Resposta: 4
u.a.
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-12
12. Calcular o volume do sólido formado pela rotação em torno do eixo polar, da cardióide de
equação 2(1 cos ).
Resolução:
Considerando a parte superior da cardióide, intervalo [0,].
V
0
22 sin (’ cos sin ) d
V
0
2)cos1(4 2sin [2 sin cos 2(1 cos ) sin ] d
V 8
0
2)cos1( 2sin ( sin cos sin cos sin ) d
V 8
0
2)cos1( (1 2cos )(2 cos 1)( sin d )
V 8
0
1( 4 cos 4 2cos 2 3cos 5 4cos 2 5cos )( sin d )
U nV dU dVnV n 1
u ncos du 1cosnn ( sin d )
0
1cosn ( sin d )
0
cos
n
n
.
V 8
2
cos4cos
2
3
cos4 3
4
cos2 4
5
cos5 5
0
6
6
cos2
V 8
3
421
2
11
3
112
3
4
2
11
3
1 8
3
8
3
64
Tomando o valor absoluto:
Resposta: V 3
64 u.v.
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-13
13. Refazer o exemplo anterior, 2(1 cos ).
Resolução:
V
0
3)cos1(83
2dsin
V
01(
3
163 cos 3 2cos 3cos ) dsin
V 3
16
2
cos3cos
2
3cos
0
4
4
cos
V 3
16
2
31 1
4
11
2
31
4
1
V 3
64..vu
Resposta: V 3
64 u.v.
14. Achar o comprimento total da cardióide de equação 1 cos.
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7 611
23
0
2
Resolução:
L 2
0ds
ds d22)'( d22
sincos1 d22 sincoscos21
ds d1cos21 ds 2 dcos1
2sin 2
1
2
12cos 2 2sin 1 2cos
2 2
22
2sin 1 cos .
ds 2 d2
2sin2 ds 22
sin d
L 2
0ds 2
0 2sin2 d 4
0 2sin d 42
02cos 8[0 1] 8
Resposta: L 8 u.c.
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-14
15. Considerando a mesma equação 1 cos, calcular a área da superfície formada pela
rotação em torno do eixo polar.
Resolução:
S 2
0yds 2
0
sin 2 dcos1
S 2 2
0
)cos1( 21
)cos1( ( sin d ) 2 2
0
23
)cos1( ( sin d )
u 1 cos du sin d
duu 23
25
25
u c
5
2 25
u c
S 2 2
05
)cos1(2 25
5
24 2
5
2)(
S 5
24 6
5
24 3
5
32
Resposta: S 5
32 u.a.
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-15
16. Encontre a área da região no plano limitada pela cardióide r 2(1 cos).
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7 611
23
0
2
Resolução:
A 2
0
2
21 )]cos1(2[ d
A
0
2)]cos1(2[ d
A
0
2 )coscos21(4 d
A 4
0
2 )coscos21( d
A 4
1
0
2
0cossin2
I
d
A 4 10 I .
1I
0
2cos d
1I
0 2
121 2cos d
1I
02
2sin
2
1
1I 2
4
1 0sin2sin
1I 2
4
1(0 0)
2
Logo,
A 4 1I
A 4
2
A 42
3
A 6
Resposta: 6A u.a.
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-16
17. Encontre a área dentro do laço menor do caracol r 2cos 1.
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7 611
23
0
2
Resolução:
0 6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7
611
23
02
r 3 2,73 2,41 2 1 0 0,41 0,73 1
A 2
3/2
2
2
1 )1cos2( d
A
3/2
2 )1cos4cos4( d
A 4
1
3/2
2cos
I
d
4
3/2sin
3
2 A 4 10 I .
A 4I1 4 2
30 3
A 4 1I 2 3 3
1I
3/2
2cos d
3/2 21
21 2cos d
3/22
2sin
32
1
1I 6
4
1 3
4sin2sin 6
4
1
2
30
6
8
3
Logo,
A 4
8
3
6 2 3
3
A 3
2
2
3 2 3
3
A 3
2
2
343
A 2
33
Resposta: 2
33A u.a.
Cálculo II – (Lauro / Nunes) 1-17
18. Encontre a área da região que está dentro do círculo r 1 e fora da cardióide r 1 cos.
2
3
4
6
32
43
65
67
45
34
35 4
7 611
23
0
2
Resolução:
Interseção do círculo e da cardióide:
0cos
cos11
2
2/
0
2
21
2/
0
2
21 )cos1(212 ddA
2/
0
22/
0)coscos21( ddA
2/
0
2 )coscos211( dA
2/
0
2 )coscos2( dA
1cossin 22 22 cos1sin
22 sincos2cos
)cos1(cos2cos 22
1cos22cos 2
2cos2
1
2
1cos2
2/
02cos
2
1
2
1cos2 dA
2/
02cos
2
1
2
1cos2 dA
2/
0
2sin4
1
2sin2
A
A
0
0
02
0sin4
1
2
00sin2sin
4
1
4)2/sin(2
A 4
2
Resposta: ..4
2 auA
