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Paulo Afonso
Crescer com a… Matemática
Francisco CostaJosé Filipe
Contextualização
Padrões geométricos
Padrões Numéricos
Triângulo Mágico
Encontro de Educadores e Professores do 1º Ciclo
Multiplicação Egípcia
Multiplicação Russa
Tomar, 12 de Setembro de 2006
Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Castelo Branco
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1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 997 + 998 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 997 + 998 + 999 + 1000999 + 1000
Um exercício de adição: adicionar todos os números de 1 a 1000
A resposta foi breve: 500500.
1 + 1000 = 10011 + 1000 = 10012 + 999 = 10012 + 999 = 10013 + 998 = 1001 3 + 998 = 1001 4 + 997 = 10014 + 997 = 10015 + 996 = 10015 + 996 = 1001
……500 + 501 = 500 + 501 =
10011001
Trata-se portanto
de
500 x 1001 = 500500500500
parcelas de 1001.
Então:
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Carl Friedrich Gauss
Nascido(a): 30 de Abril de 1777 , Braunschweig
Falecido(a): 23 de Fevereiro de 1855 , Göttingen
Era conhecido como o príncipe dos matemáticos. Muitos consideram-no o maior génio da história da Matemática. Seu QI foi estimado em cerca de 240.
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8, 9, 10, 11, 8, 9, 10, 11, 12, 1312, 13
Se a sequência for…
10+1110+11= =
21 21
9 + 12 9 + 12 = =
21 21
8 + 13 8 + 13 = =
21 21
Para saber a soma de todos os seus termos:Adiciona-se o 1º termo com o último:8 + 13 = 21 8 + 13 = 21
E multiplica-se por metade das parcelas:
3
6
21 x 21 x 66
2 2 = 21 x 3 = 21 x 3
= = 6363
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6, 8, 10, 12, 6, 8, 10, 12, 14, 1614, 16
E se o padrão numérico for…
10 + 12 10 + 12 = =
22 22
8 + 14 8 + 14 = =
22 22
6 + 16 6 + 16 = =
2222
Será que se verifica o mesmo fenómeno?
22 x 3 = 22 x 3 = 66 66
3
6
A soma de todos os seus termos é
10, 13, 16 10, 13, 16
A soma dos seus termos será, da mesma forma: (10 + 16) x 1,5 = 39
Tratando-se de um padrão numérico idêntico mas com um número ímpar de termos …
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O próprio conceito de média também poderá aqui ser explorado:
3
6
Neste verão, o Gustavo começou a dedicar-se ao ciclismo. Em sete dias percorreu 91km. O Gustavo em cada dia andou mais 1 quilómetro do que no dia anterior.Quantos quilómetros fez por dia?
Em média, por dia é percorrido 91:7 =13, isto é:
__ + __ + __ + __ + __ + __ + __ = 91__ + __ + __ + __ + __ + __ + __ = 91 1313
1313
1313
1313
1313
1313
1313
O valor central, mantém-se
1212
++11
1414
- - 11 ++11
1515
- - 11
1111
++11
1616
- - 11
1010
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B C
D
EF
A5
4 3
2
10
++ + +
Pela noção de média: 3 x 5 = 15Pela noção de média: 3 x 5 = 15
Pela soma da progressão: (1 + 5) x 2,5 = Pela soma da progressão: (1 + 5) x 2,5 = 1515
Num encontro de 6 amigos, quantos apertos de mão poderemos contar, sabendo que todos se cumprimentam desta forma?
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Para o mesmo problema, poder-se-ia recorrer a outro esquema:
A B C D E F
A
B
C
D
E
F 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1515
Nº de amigos
Nº de apertos de mão
6 15
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A B C D E
A
B
C
D
E
1 + 2 + 3 + 4 = 101 + 2 + 3 + 4 = 10
Nº de amigos
Nº de apertos de mão
6 15
E se em vez de 6, fossem 5 amigos. Quantos apertos de mão seriam dados?
5 10
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A B C D
A
B
C
D 1 + 2 + 3 = 61 + 2 + 3 = 6
Nº de amigos
Nº de apertos de mão
6 15
Caso fossem 4 amigos. Quantos apertos de mão seriam?
5 10
4 6
3 3
2 1
7 21
Números Números triangularestriangulares
p
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+ + 11
+ + 22
+ + 33
+ + 44
55
++11 22 33++ 44 55++++
55 5555
= 25 = 25
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 66 + 5 + 4 + + 5 + 4 + 3 + 2 + 13 + 2 + 1
= = 9 9
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 77 + 6 + 5 + + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 14 + 3 + 2 + 1
= 49 = 49
1 + 2 + 3 + 4 + 1 + 2 + 3 + 4 + 55 + 4 + 3 + 2 + + 4 + 3 + 2 + 11
= = 77 x x 77
1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 4 + 3 + 2 + 1+ 3 + 2 + 1
Números quadradosNúmeros quadrados
= = 3366
= = 225 5
= = 1166
1 + 2 + 1 + 2 + 33+ 2 + 1+ 2 + 1
= = 66 x x 66= = 55 x x 55= = 44 x x 44= = 33 x x 33
C
![Page 12: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/12.jpg)
11++22++33++44++55 44++ 33++ 22++ 11++
![Page 13: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/13.jpg)
1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9, 11, … 11, …
Adicionando n termos desta sequência, o que se Adicionando n termos desta sequência, o que se obtém? obtém?
Qualquer número quadrado, resulta da soma de números Qualquer número quadrado, resulta da soma de números ímpares.ímpares.
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11 22
1100
8833
++44 55
1133
1122
66
99
77
1144
1111
11551616 11
8811
9922
0011
7722
1122
2222
3322
44
++
++
++++
++++
++
++
++ ++
++++
++ ++
++
==
==
====
11 33
1144
1111
44
55 77
1199
1188
99
1122
1100 22
0011
6622
112222 2266
2288
3300
2244
3311
3322
3333
3344
==
==
====
++
++
++
++++
++++
++
++
++ ++
++++
++ ++
++
![Page 15: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/15.jpg)
Portanto:
Considerando que temos:
8 notas de 5 euros.
8 x 5
4 x 10
2 x 20
É fácil reconhecer que a mesma quantia se pode obter com metade das notas mas, com o dobro do seu valor.
Isto é,
4 notas de 10 euros.
Ou ainda,
2 notas de 20 euros.
:2 x2
:2 x2
![Page 16: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/16.jpg)
Então, se quisermos multiplicar 32 por 13, poderemos pensar:
Em 32 grupos de 13 elementos cada um.
Grupos elementos32 13
x
de
![Page 17: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/17.jpg)
Grupos elementos
32 13x
16 26 ou
8 52
4 104 2 208 1 416
ou
ou
ou
…ou, finalmente:
…então, 32 x 13 = 416
Neste caso foi fácil, porque 32, é uma potência de base 2 e, portanto, é sempre possível as sucessivas divisões por 2.
Vejamos então um caso em que isso não acontece:
![Page 18: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/18.jpg)
42 13x
21 26
10 52
5 104
2 208
1 416
:2 x2
:2 ? 21 não se deixa dividir exactamente por 2.
Então, uma vez que se trata de 21 grupos de 26 elementos, consideramos apenas 20 grupos, e guardamos 1 grupo de 26 elementos.
x2
:2 x2
:2? 5 não se deixa dividir exactamente por 2.
Então, uma vez que se trata de 5 grupos de 104 elementos, consideramos apenas 4 grupos, e guardamos 1 grupo de 104 elementos.
x2
:2 x2
![Page 19: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/19.jpg)
42 13x
21 26
10 52
5 104
2 208
1 416
416 +…então, 42 x 13 = 104 + 26 = 546
![Page 20: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/20.jpg)
105 12x
52
26
13
6
3
Sistematizando, podemos recorrer ao algoritmo da multiplicação russa (105 x 12), aplicando as seguintes regras:
A coluna da esquerda é preenchida com metade do valor da linha superior até encontrar o valor 1. Caso não seja um número inteiro, considera-se apenas a parte inteira.
A coluna da direita é preenchida com o dobro do valor da linha superior, até ter correspondência com os valores da coluna da esquerda.
A soma dos valores da coluna da direita que têm correspondentes ímpares é o produto procurado.
1
24
48
96
192
384
768 +
1260 105 x 12 =
![Page 21: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/21.jpg)
É do conhecimento de todos que qualquer número inteiro ou é potência de base dois ou então, é possível decompô-lo numa soma de potências de base dois.
Senão, vejamos:
=
=
1 8
=+
21 +
+ =
1
22
+
20
21
1
2 =
=
3 1 2 20
+ = 21
4 =
5 + =4= 20
+ 22
6 =4 21 +
22 2
7 =4 20 +
2 + 1 +
22
23 8 =
9 20 +
= 23 = +
10 8= 21 +
232
+ 2111 =8 20
+ +
23 +
= 21
812 22 +
= 23 = + 4
…
…
![Page 22: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/22.jpg)
Então, se quisermos multiplicar 24 por 17, poderemos pensar:
Em 24 grupos de 17 elementos cada um.
Grupos elementos24 17
x
de
![Page 23: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/23.jpg)
Grupos elementos
24 17x
1 17 (1 grupo tem 17 elementos)
2 34 (2 grupos têm 34 elementos)
4 68 (4 grupos têm 68 elementos)
8 136 (8 grupos têm 136 elementos)
16 272 (16 grupos têm 272 elementos)
![Page 24: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/24.jpg)
Grupos elementos
24 17x
1 17
2 34
4 68 8 136
16 272
Já não interessa duplicar mais, porque as potências de base 2 já são suficientes para formar 24 grupos.
+
24
Então os valores correspondentes a 24 grupos são:
+
408
Então 24 grupos de 17 elementos são: 408
24 x 17 = 408
![Page 25: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/25.jpg)
De quantas maneiras diferentes podemos apresentar a figura tendo disponível apenas uma cor?
4 - Podemos pintar apenas um triângulo.
3 - Podemos pintar dois triângulos.
2 - Podemos pintar três triângulos.
1 - Podemos pintar todos os triângulos.
5 – Ou, simplesmente, não pintar nenhum.
![Page 26: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/26.jpg)
4 – Pintando um triângulo, temos 4 soluções.
3 – Pintando dois triângulos, temos 6 soluções.
2 – Pintando três triângulos, temos 4 soluções.
1 – Pintando quatro triângulos, temos 1 solução.
5 – Não pintando nenhum triângulo, temos 1 solução.
![Page 27: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/27.jpg)
O total de soluções é:
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
Observemos o triângulo numérico seguinte:
11 22
44
11
11 33
1144
33
11
11
66
11
11 1100
1100
5555 11
11 11
66 2200
1155
661155
1111
…… …… …… …… …… …… …… ……
![Page 28: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/28.jpg)
De quantas maneiras diferentes podemos apresentar a figura tendo disponível apenas uma cor?
3 - Podemos pintar um triângulo.
2 - Podemos pintar dois triângulos.
1 - Podemos pintar todos os triângulos.
4 – Ou, simplesmente, não pintar nenhum.
![Page 29: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/29.jpg)
3 – Pintando um triângulo, temos 3 soluções.
2 – Pintando dois triângulos, temos 3 soluções.
4 – Não pintando nenhum triângulo, temos 1 solução.
1 - Pintando todos os triângulos, temos uma solução.
![Page 30: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/30.jpg)
O total de soluções é:
1 + 3 + 3 + 1 = 8
No mesmo triângulo numérico:
11 22
44
11
11 33
1144
33
11
11
66
11
11 1100
1100
5555 11
11 11
66 2200
1155
661155
1111
…… …… …… …… …… …… …… ……
816
42
1
32
64
= 20
= 21
= 22
= 23
= 24
= 25
= 26
![Page 31: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/31.jpg)
Utilizando os números naturais até 9, inclusivé, completar o triângulo seguinte de forma a obter-se uma soma mágica de 10 em cada um dos seus lados (identificar
todos os casos possíveis).
(b) 1 + 3 + 6 = 10 (c) 1 + 4 + 5 = 10
(d) 2 + 3 + 5 = 10
(a) 1 + 2 + 7 = 10
(a) + (b) + (c) (a) + (b) + (d) (a) + (c) + (d) (b) + (c) + (d)
1
7
2 5 3
6
1
7
2 3 5
4
1
6
3 2 5
4
C
![Page 32: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/32.jpg)
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
Iniciando com a adição A
ABC ACD ADE AEF AFG AGH
ABD ACE ADF AEG AFH
ABE ACF ADG AEH
ABF ACG ADH
ABG ACH
ABH
Iniciando com a adição B
BCD BDE BEF BFG BGH
BCE BDF BEG BFH
BCF BDG BEH
BCG BDH
BCH
Iniciando com a adição C
CDE CEF CFG CGH
CDF CEG CFH
CDG CEH
CDH
21
15 10
C
![Page 33: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/33.jpg)
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
6
31
C
Iniciando com a adição E
EFG EGH
EFH
Iniciando com a adição F
FGH
Iniciando com a adição D
DEF DFG DGH
DEG DFH
DEH
P
![Page 34: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/34.jpg)
a + b + c a + b + d a + b + e a + b + f a + b + g a + b + h1
9
5 2 8
6
1
9
5 4 6
8
a + c + d a + c + e a + c + f a + c + g a + c + h2
4
9 1 5
8
9
2
4 6 5
1
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
![Page 35: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/35.jpg)
a + d + e a + d + f a + d + g a + d + h
a + e + f a + e + g a + e + h
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
![Page 36: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/36.jpg)
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
a + f + g a + f + h
a + g + h
![Page 37: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/37.jpg)
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
b + c + d b + c + e b + c + f b + c + g b + c + h
b + d + e b + d + f b + d + g b + d + h5
4
6 1 8
2
2
5
8 1 6
7
![Page 38: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/38.jpg)
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
b + e + f b + e + g b + e + h
b + f + g b + f + h b + g + h2
5
8 1 6
7
![Page 39: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/39.jpg)
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
c + d + e c + d + f c + d + g c + d + h
c + e + f c + e + g c + e + h
4
3
8 5 2
9
2
9
4 6 5
8
2
9
4 5 6
7
![Page 40: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/40.jpg)
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
c + f + g c + f + h
c + g + h
![Page 41: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/41.jpg)
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
d + e + f d + e + g d + e + h
d + f + g d + f + h
2
8
5 3 7
6
4
6
5 2 8
3
2
8
5 4 6
7
3
7
5 2 8
4
d + g + h
![Page 42: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/42.jpg)
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
e + f + g e + f + h
e + g + h f + g + h5
4
6 2 7
3
3
8
4 6 5
7
![Page 43: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/43.jpg)
Fazendo um estudo idêntico, completar o mesmo triângulo de forma a obter-se uma soma mágica de 15 em cada um dos seus lados (identificar todos os casos
possíveis).
(b) 1 + 8 + 6 = 15 (c) 2 + 9 + 4 = 15 (d) 2 + 8 + 5 = 15
(a) 1 + 9 + 5 = 15
(e) 2 + 7 + 6 = 15
(f) 3 + 8 + 4 = 15
(g) 3 + 7 + 5 = 15
(h) 4 + 6 + 5 = 15
a + b + d a + b + h1
9
5 2 8
6
1
9
5 4 6
8
a + c + d a + c + h2
4
9 1 5
8
b + d + e5
4
6 1 8
2
2
5
8 1 6
7
b + g + h2
5
8 1 6
7
9
2
4 6 5
1
b + d + h
c + d + f c + d + h c + e + h
4
3
8 5 2
9
2
9
4 6 5
8
2
9
4 5 6
7
d + e + g d + e + h
d + f + g d + f + h
2
8
5 3 7
6
4
6
5 2 8
3
2
8
5 4 6
7
3
7
5 2 8
4
e + g + h f + g + h5
4
6 2 7
3
3
8
4 6 5
7
![Page 44: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/44.jpg)
(b) 9 + 7 + 5 = 21 (c) 8 + 7 + 6 = 21
(a) 9 + 8 + 4 = 21
9
4
8 6 7
5
Transforme o triângulo seguinte num triângulo mágico de soma 21:
![Page 45: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/45.jpg)
4
3!
3! x4
3!3)!(4
4!C4
3
v
![Page 46: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/46.jpg)
v
565
6x
5! x6 x 7 x8
3!3)!(8
8!C8
3 !
![Page 47: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/47.jpg)
No famoso triângulo de Pascal também os números triangulares não estão esquecidos.
11 22
44
11
11
1144
33 11
66
11
11 1100
1100
5555 11
11 11
66 2200
1155
661155
1111
11 77 2121 3535 3535 2121 77 11…… …… …… …… …… …… …… …………
11
33
v
![Page 48: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/48.jpg)
11 22
44
11
11
1144
33 11
66
11
11 1100
1100
5555 11
11 11
66 2200
1155
661155
1111
11 77 2121 3535 3535 2121 77 11…… …… …… …… …… …… …… …………
11
33
v
Números Números triangularestriangulares
![Page 49: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/49.jpg)
““parece não ser polémica a ideia de que muita da parece não ser polémica a ideia de que muita da matemática que se ensina nas nossas escolas não é matemática que se ensina nas nossas escolas não é compreendida. Muitos são os alunos que não compreendida. Muitos são os alunos que não compreendem o que fazem, limitam-se a escolher compreendem o que fazem, limitam-se a escolher fórmulas e/ou outros algoritmos para darem respostas a fórmulas e/ou outros algoritmos para darem respostas a questões rotineiras cujo enunciado é que vai variando e, questões rotineiras cujo enunciado é que vai variando e, como tal, desmotivadoras...” (Fernandes, 1989, p.como tal, desmotivadoras...” (Fernandes, 1989, p. 4).
QueAvaliação?
QueEnsino?
![Page 50: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/50.jpg)
- Perspectivas Actuais de Ensino-Aprendizagem da - Perspectivas Actuais de Ensino-Aprendizagem da Matemática -Matemática -
PENSARPENSAR CONHECERCONHECER CONCEITOSCONCEITOS
COMPETÊNCIASCOMPETÊNCIAS
ATITUDESATITUDES
RESOLUÇÃO DE PROBLEMASRESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
![Page 51: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/51.jpg)
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
CONTEÚDOCONTEÚDO
METODOLOGIAMETODOLOGIA
OBJECTIVOOBJECTIVO
SOBRESOBRE
ATRAVÉSATRAVÉS
PARAPARA
![Page 52: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/52.jpg)
Situação A:
““Num torneio de ténis de Num torneio de ténis de mesa que se vai realizar na mesa que se vai realizar na escola do Maurício, estão escola do Maurício, estão inscritos 92 participantes. inscritos 92 participantes. Cada participante necessita 3 Cada participante necessita 3 bolas. Quantas bolas serão bolas. Quantas bolas serão distribuídas?”distribuídas?”
ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
92 x 3 = 27692 x 3 = 276
![Page 53: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/53.jpg)
ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
Situação B:
““Num torneio de ténis de Num torneio de ténis de mesa que se vai realizar na mesa que se vai realizar na escola do Maurício, estão escola do Maurício, estão inscritos 92 participantes. inscritos 92 participantes. Uma das regras deste torneio Uma das regras deste torneio é que joguem dois é que joguem dois participantes de cada vez, participantes de cada vez, sendo eliminado sendo eliminado imediatamente do torneio o imediatamente do torneio o jogador que perder. Quantos jogador que perder. Quantos jogos será necessário jogos será necessário organizar para se conhecer o organizar para se conhecer o vencedor dos vencedores?”vencedor dos vencedores?”
92 P 46 J
46 D
46 V 23 J
11 J
11 D
11 V12 V6 J6 D
6 V
3 J
3 D
3 V 2 V 1 J
1 D
1 V 2 V
1 J
campecampeãoão
vice-campeãovice-campeão
23 D
23 V
22 V
![Page 54: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/54.jpg)
ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
46 J23 J
11 J6 J
3 J
1 J
1 J
46 J
11 J
91 J
6 J 3 J 1 J 1 J +
23 J
Situação B:
““Num torneio de ténis de Num torneio de ténis de mesa que se vai realizar na mesa que se vai realizar na escola do Maurício, estão escola do Maurício, estão inscritos inscritos 92 participantes92 participantes. . Uma das regras deste torneio Uma das regras deste torneio é que joguem dois é que joguem dois participantes de cada vez, participantes de cada vez, sendo eliminado sendo eliminado imediatamente do torneio o imediatamente do torneio o jogador que perder. Quantos jogador que perder. Quantos jogos será necessário jogos será necessário organizar para se conhecer o organizar para se conhecer o vencedor dos vencedores?”vencedor dos vencedores?”
j = p - 1j = p - 1
![Page 55: Paulo Afonso Crescer com a… Matemática Francisco Costa José Filipe Contextualização Padrões geométricos Padrões Numéricos Triângulo Mágico Encontro de](https://reader035.vdocuments.com.br/reader035/viewer/2022062512/552fc12c497959413d8d1aef/html5/thumbnails/55.jpg)
ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:ATRAVÉS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
SITUAÇÃO B:SITUAÇÃO A:
RotinaRotina
DesmotivaçãDesmotivaçãooAusência de Ausência de DificuldadeDificuldade
Conhecimento do Processo de Conhecimento do Processo de ResoluçãoResolução
NovidadeNovidade
MotivaçãoMotivação
ResoluçãoResolução Não Imediata Não Imediata
Necessidade de se Procurar a Necessidade de se Procurar a ResoluçãoResolução
MecanizaçãMecanizaçãoo
Resolução Resolução ImediataImediata
DesafioDesafio
ExistênciaExistência de Alguma de Alguma DificuldadeDificuldade
EXERCÍCIO PROBLEMA
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PROBLEMPROBLEMA:A:
“Um indivíduo está perante um problema quando encontra uma questão à qual não consegue responder ou uma situação que não é capaz de resolver usando o conhecimento imediatamente disponível. Tem que pensar num caminho de combinação da informação de que dispõe, no sentido de poder chegar à solução do problema” (Kantowski, 1974, p. 1).
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SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
Diferença entre Problema e Diferença entre Problema e ExercícioExercício
ModelosModelos dede ResoluçãoResolução de ProblemasProblemasTiposTipos dede ProblemasProblemas
PROBLEMAS DE:
1 PassoPasso
2 ou mais Passos2 ou mais Passos
ProcessoProcesso
TipoTipo PuzzlePuzzle
AplicaçãoAplicação
ConteúdoConteúdo
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Estratégias de ResoluçãoEstratégias de Resolução
ESTRATÉGIAS:
FimFim parapara o inícioo início
Dedução LógicaDedução Lógica
Descoberta de um PadrãoDescoberta de um Padrão
Recorrer a Problemas mais Recorrer a Problemas mais SimplesSimplesEsquemaEsquema ouou FiguraFigura
Tentativa e ErroTentativa e Erro
......
DiferençaDiferença entre Problema e entre Problema e ExercícioExercícioModelosModelos dede ResoluçãoResolução dede ProblemasProblemasTipos de ProblemasTipos de Problemas
SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
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Qual dos círculos deves seleccionar para envolver as peças azuis? Porquê? E qual deves seleccionar para envolveres as peças vermelhas? Porquê? (Classificação simples).
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Em que lugar vais colocar o círculo amarelo? Porquê? E onde vais colocar o triângulo vermelho? Porquê? (Classificação simples).
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Quanto à cor, faz corresponder cada elemento da coluna da esquerda a um e um só elemento da coluna da direita. Porque é que fizeste assim? (Correspondência termo a termo).
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Em qual das filas existem mais triângulos? (Conservação da quantidade).
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É fácil de ver que o rectângulo verde é mais pequeno que o rectângulo vermelho. Por sua vez, também é fácil ver que o rectângulo vermelho é mais pequeno que o rectângulo azul. Qual será o rectângulo mais pequeno, o verde ou o azul? (Transitividade).
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Dá seguimento à seguinte sequência de figuras geométricas. Explica como fizeste. (Seriação).
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Ordena, de forma crescente, os seguintes círculos, atendendo ao tamanho. (Ordenação).
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Se um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo, quanto pesa tijolo e meio?
1kg 1kg
1kg
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Quantos são os triângulos desta figura?
1 2 34
567
89
10
10 individuais
10 de dois:
[1,2]; [2,3]; [3,4]; [4,5]; [5,6]; [6,7]; [7,8]; [8,9]; [9,10]; [10,1]
5 de três: [1,2,3]; [3,4,5]; [5,6,7]; [7,8,9]; [9,10,1]
5 de quatro, envolvendo o pentágono:
[1,2,6,10]; [2,3,4,8]; [4,5,6,10]; [2,6,7,8]; [4,8,9,10]
5 de dois, envolvendo o pentágono:
[2,6]; [2,8]; [4,8]; [4,10]; [6,10]
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Uma criança vai passar o fim-de-semana com os pais a uma aldeia, a casa de uns familiares e propõe-se contar as cabeças e as patas de todas as galinhas e coelhos que os tios têm. O resultado é 30 cabeças e 100 patas. Quantas galinhas e quantos coelhos têm os tios da criança?
C G Pc Pg
15 15 60 30
Tcb Tpt
30 90
16 14 64 28 30 92
18 12 72 24 30
20 10 80 20 30 100
96
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Cinco amigos: Pedro, André, Cláudio, Dinis e Bernardo – estão preparando uma peça de teatro, em que os personagens são: um rei, um soldado, um bobo, um guarda e um prisioneiro. - Pedro, André e o prisioneiro ainda não sabem bem os seus papéis; - nos intervalos, o soldado joga cartas com o Dinis; - Pedro, André e Cláudio estão sempre a criticar o guarda; - o bobo gosta de ver representar o André, o Cláudio e o Bernardo, mas detesta ver o soldado. Qual é o papel desempenhado por cada um?
Pedro André Cláudio Dinis
Rei
Soldado
Bobo
Guarda
Bernardo
Prisioneiro
Que EnsinoQue Ensino??
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Dois amigos pretendem jogar o jogo do 30, para verem qual deles pagaria o lanche ao outro. As regras são as seguintes: ganha quem conseguir dizer o número 30. Os jogadores vão intervir de forma alternada, sendo que têm que acrescentar sempre mais uma ou duas unidades ao número que o adversário disser. O jogador que começa pode fazê-lo pelo 1 ou pelo 2. Qual o critério que garante vencer este jogo?
AA BB
2 35 67 9
11 1213 15
AA BB
17 1820 2123 2426 2728 30
Critério vencedor:
3n
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Dois amigos pretendem jogar o jogo do 20, para verem qual deles pagaria o lanche ao outro. As regras são as seguintes: ganha quem conseguir dizer o número 20. Os jogadores vão intervir de forma alternada, sendo que têm que acrescentar sempre mais uma ou duas unidades ao número que o adversário disser. O jogador que começa pode fazê-lo pelo 1 ou pelo 2. Qual o critério que garante vencer este jogo?
AA BB
1 24 57 8
10 1113 14
AA BB
15 1719 20
Critério vencedor:
3n - 1
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Números Triangulares e Números Números Triangulares e Números QuadradosQuadrados
6 10 1531
4 9 16 25
52 = 5 x 542 = 4 x 432 = 3 x 322 = 2 x 2
V