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Progressões Aritméticas
• A sequência numérica onde, a partir do 2º termo, a diferença entre um número e seu antecessor resulta em um valor constante é denominada de Progressão Aritmética. O valor constante dessa sequência é chamado de razão da PA. Observe:
• Crescentes, decrescentes e constantes
20 – 17 = 323 – 20 = 326 – 23 = 329 – 26 = 3
5 – 2 = 38 – 5 = 311 – 8 = 314 – 11 = 317 – 14 = 3
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44
an = a1 + (n – 1) * r
Enésimo Termo
Primeiro Termo
Numero de Termos
Razão
Soma dos Termos
Primeiro TermoEnésimo Termo
Numero de Termos
FormulasEncontrar Ultimo Termo Somar Todos os Termos
Soma de 3 termos
Cronograma de PA E PG
• Razão • Formula geral • Soma de 3 termos • Soma de todos os
termos
Aplicação da fórmula geral
• Achando o trigésimo termo da sequência:
• (5,7,9,11,13....a30)
Exercício
• Na sequência numérica (1, 6, 11, 17, 22, ...), determine o valor do 18º.
an = a1 + (n – 1) * r
a18 = 1 + (18 – 1) * 5a18 = 1 + 17 * 5a18 = 1 + 85a18 = 86
Aplicação da PA de 3 termos
• Defina os 3 termos para uma PA que tem como soma 12 e como produto 60.
• Se a questão não te dá a soma, o termo do meio é a média aritmética dos extremos.
Aplicação da soma dos termos
Exercícios
(UNESP - 04) Num laboratório foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte seqüência de figuras apresenta as populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros minutos.
Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de vírus no final de 1 hora era de:
a) 241b) 238c) 237d) 233e) 232
(UNESP - 04) Num laboratório foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte seqüência de figuras apresenta as populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros minutos.
Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de vírus no final de 1 hora era de:
an = a1 + (n - 1) * ran = 1 + (60 - 1) * 4an = 1 + 59 * 4 an = 1 + 236an = 237
a) 241b) 238c) 237d) 233e) 232
r = 5 - 1r = 4
n = 1 hora = 60 minutos
X
Uma empresa deve instalar telefones de emergência a cada 42 quilômetros, ao longo da rodovia de 2.184 km, que liga Maceió ao Rio de Janeiro. Considere que o primeiro desses telefones é instalado no quilômetro 42 e o último, no quilômetro 2.142. Assim, a quantidade de telefones instalados é igual a:
a) 50 b) 51 c) 52 d) 53e) 55
Uma empresa deve instalar telefones de emergência a cada 42 quilômetros, ao longo da rodovia de 2.184 km, que liga Maceió ao Rio de Janeiro. Considere que o primeiro desses telefones é instalado no quilômetro 42 e o último, no quilômetro 2.142. Assim, a quantidade de telefones instalados é igual a:
a) 50 b) 51 c) 52 d) 53e) 55
an = a1 + (n - 1) * r2142 = 42 + (n - 1) * 422142 = 42 + 42n – 422142 = 42n42n = 2142n = 2142 42n = 51
X
Em um supermercado, as latas de certos produtos são expostas em pilhas, encostadas em uma parede, com 1 lata na primeira fileira (a superior), 2 latas na segunda fileira, 3 latas na terceira e assim por diante. Observe na figura a seguir uma dessas pilhas, com 5 fileiras. Um funcionário deve fazer uma pilha de 1,60 m de altura, com latas de 4 cm de altura cada uma. Se as latas desse produto são embaladas em caixas com 75 latas em cada caixa, ele necessita retirar do estoque .
a) 9 caixas e não haverá sobra de latas. b) 10 caixas, mas sobrarão 12 latas. c) 10 caixas, mas sobrarão 30 latas. d) 11 caixas, mas sobrarão 3 latas. e) 11 caixas, mas sobrarão 5 latas.
Em um supermercado, as latas de certos produtos são expostas em pilhas, encostadas em uma parede, com 1 lata na primeira fileira (a superior), 2 latas na segunda fileira, 3 latas na terceira e assim por diante. Observe na figura a seguir uma dessas pilhas, com 5 fileiras. Um funcionário deve fazer uma pilha de 1,60 m de altura, com latas de 4 cm de altura cada uma. Se as latas desse produto são embaladas em caixas com 75 latas em cada caixa, ele necessita retirar do estoque .
a) 9 caixas e não haverá sobra de latas. b) 10 caixas, mas sobrarão 12 latas. c) 10 caixas, mas sobrarão 30 latas. d) 11 caixas, mas sobrarão 3 latas. e) 11 caixas, mas sobrarão 5 latas.
1,60 m = 160 cm = 40 fileiras 4 cm
Sn = (a1 + na) * n 2
S40 = (1 + 40) * 40 2
S40 = 41 * 40 2
S40 = 1640 2
S40 = 1640 2
S40 = 820
820 75 70 11
X
Progressão Geométrica
Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência:
(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada.
4 : 2 = 28 : 4 = 216 : 8 = 232 : 16 = 264 : 32 = 2
Enésimo Termo
Primeiro Termo
Numero de Termos
Quociente
Soma dos Termo
Primeir
o Termo
Numero de Termos
Quociente
FormulasEncontrar Ultimo Termo Somar Todos os Termos
Aplicação do termo geral da PG
Considerando a PG (3, 9, 27, 81, ...), encontre o 20º e determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG.
a20 = 3 * 319
a20 = 3 * 1.162.261.467a20 = 3.486.784.401