O Princıpio da Inclusao-Exclusao e suas Aplicacoes
Vania de Fatima Lemes de Miranda, Alex Leal Mota,Curso de Licenciatura Plena em Matematica, UNIFAP,
Universidade Federal do Amapa
68.903-419, Macapa, AP
E-mail: [email protected], [email protected],
Simone de Almeida Delphim LealUNIFAP -Colegiado do Curso de Matematica
Campus Universitario Marco Zero do Equador
68.903-419, Macapa, AP
E-mail: [email protected]
Palavras-chave: Paineis de IC, Analise Combinatoria,Probabilidade Finita, Cardinalidade,TeoriaElementar dos Conjuntos
Resumo: A Analise Combinatoria e a parte da Matematica que analisa estruturas e relacoesdiscretas, visando desenvolver metodos que permitam contar, de uma forma indireta, o numerode elementos de um conjunto, sem que seja necessario enumerar seus elementos. Ela tem tidoum crescimento explosivo nas ultimas decadas, devido a sua importancia em varios problemasde enumeracao, e e bastante usada na teoria dos grafos(principalmente em problemas de pes-quisa operacional, de amarzenamento de informacoes em bancos de dados nos computadores, etambem problemas de matematica ”pura”, como o famoso problemas das 4 cores), em analisealgorıtmica, etc. Podendo ainda usar conceitos especıficos, afim de modelar matematicamentevarios tipos de problemas. A Analise Combinatoria visa desenvolver metodos que nos permitemcontar o numero de elementos de um conjunto, sendo estes muitas das vezes agrupamentos for-mados sob certas condicoes. Esses metodos tem papel importantıssimo quando a cardinalidadedesses conjuntos e infinita, pois muitas das vezes sao impossıveis de resolverem.
Quando falamos em Analise Combinatoria associamos a parte de combinacoes, arranjos epermutacoes, no entanto, apesar de serem tecnicas de contagem bastante rigorosas para futurosestudos como, por exemplo, problemas de Probabilidade Finita, podemos contar com variosoutras tecnicas poderosas, o Principio da Inclusao-Exclusao e uma delas. O Princıpio da In-clusao-Exclusao e uma ferramenta fundamental na area de contagem, pois nos fornece umaformula exata para obtemos a cardinalidade de n conjuntos, nao necessariamente disjuntos. Nasua versao mais simples ele afirma que:
N(A ∪B) = N(A) +N(B)−N(A ∩B)
Se os conjuntos A e B sao mutualmente exclusivos, entao temos que:
N(A ∪B) = N(A) +N(B)−N()
De um modo geral temos o seguinte Teorema (Rosen):(Princıpio da Inclusao-Exclusao) Da-dos n conjuntos finitos A1, A2, ..., An ⊂ Ω, o numero de elementos na uniao deles, denotado porN(A1 ∪A2 ∪ ... ∪An) e dado por:
1
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N(A1 ∪A2 ∪ .... ∪Ai) =n∑
i=1
N(Ai)−∑
1≤i≤j
N(Ai ∩Aj) +∑
1≤i≤j≤k
N(Ai ∩Aj ∩Ak)
−∑
1≤i≤j≤k≤p
N(Ai ∩Aj ∩Ak ∩Ap) + ...+ (−1)n−1N(A1 ∩A2 ∩ ... ∩Ap) (1)
A funcao de Euler (1707-1783) φ(n) n ∈ N se define como sendo o numero de inteiros positivosque sao primos com n e nao superiores a n, isto e, que sao pimos com n e menores ou iguais a n.O valor de φ(n) pode ser calculado a partir da decomposicao de n em fatores primos. De acordocom o Teorema Fundamental da Aritmetica a decomposicao de n em fatores primos e :
n = pji1 .pj22 ...p
jrr (p1, p2, ..., pr sao primos distintos )
entao
φ(n) = n
(1− 1
p1
)(1− 1
p2
)...
(1− 1
pr
)A funcao de Euler φ(n), com n ∈ N e uma aplicacao do Princıpio da Inclusao -Eclusao.
O objetivo deste trabalho e fundamentar de maneira rigorosa os princıpios basicos da AnaliseCombinatoria, atraves de uma linguagem matematica de teoria elementar dos conjuntos. Noentanto, esse estudo nos permite aprofundar nossos conhecimentos de Analise Combinatoria eate mesmo em estudos aplicados a teoria das probabilidades.
Referencias
[1] A.C.Morgado, Analise Combinatoria e Probabilidade. 9.ed. -Rio de Janeiro : SBM, 1991
[2] S.LIPSCHUTZ, Teoria dos Conjuntos. 4. ed., Sao Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.
[3] J. P. O.SANTOS, MELLO, M. P., MURARI, I. T. C. Introducao a Analise Combinatoria.4.ed., Campinas: Ciencia Moderna, 2008
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