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Observadores uniformementeacelerados en De Sitter

Universidad de Granada

Master en Fısica y Matematicas

Guillermo Fernandez Melgarejo

Dirigido por Bert Janssen

30 de junio de 2016

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DECLARACION

En cumplimiento de la normativa aprobada en Consejo de Gobierno a 4 de Marzo de2013, sobre Directrices de la Universidad de Granada para el desarrollo de la asignatura“Trabajo Fin de Master” de sus tıtulos de master (Art 8,4)

D. Da...........................................................................

Asume la originalidad del trabajo de fin de master, entendida en el sentido de que noha utilizado fuentes sin citarlas debidamente.

Granada, a ........... de .......... de .........

Fdo.:

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Indice general

Introduccion 7

1. Ecuaciones de campo de Einstein 131.1. Ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2. Accion de Einstein-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. El espacio de De Sitter 212.1. Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Coordenadas estaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Coordenadas FRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Movimiento uniformemente acelerado 353.1. Movimiento uniformemente acelerado en Relatividad General . . . . . . . . 353.2. El espacio de Rindler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3. Calculo geodesicas en De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4. Calculo curvas UA en De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4.1. MUA en coordenadas FRW planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.2. MUA en coordenadas estaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

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Introduccion

El objetivo de este trabajo es el estudio de las trayectorias de observadores uniforme-mente acelerados. En particular, llevaremos a cabo este desarrollo en el espacio-tiempo deDe Sitter. Este calculo se realizara en dos metricas, que son solucion de las ecuaciones decampo de Einstein con constante cosmologica.

En 1915, Albert Einstein publico la teorıa de la Relatividad General, una teorıa del cam-po gravitatorio y de los sistemas de referencia generales. Einstein afirmo que en un puntoconcreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniforme-mente y un campo gravitatorio uniforme. Su nombre se debe a que generaliza la teorıade la Relatividad Especial. Las ideas mas importantes de este teorıa son: la curvatura delespacio-tiempo, el principio de covariancia generalizado y el principio de equivalencia.

La curvatura del espacio-tiempo se interpreta como una consecuencia de la atracciongravitatoria. Es decir, la gravedad hace que la geometrıa del espacio-tiempo no sea planasino curva. Los cuerpos dentro de un campo gravitatorio siguen una trayectoria espacialcurva, aunque sus lıneas del universo sean lo mas rectas posibles. Estas lıneas se llamangeodesicas y son las lıneas donde la curvatura es mınima. Tal y como decıa el fısico teoricoestadounidense John Archibald Wheeler: ((El espacio-tiempo le dice a la materia comomoverse y la materia le dice al espacio-tiempo como curvarse)).

Basado en el principio de covariancia especial que exhibıa la Relatividad Especial, Eins-tein buscaba extender este tipo de invariancia a sistemas de referencia no-inerciales. Esdecir, el buscaba una teorıa cuyas ecuaciones tuvieran la misma forma para cualquierobservador, fuese inercial o no. Para ello, introdujo el principio de covariancia general.

El principio de covariancia general establece que las leyes fısicas (ecuaciones) deben serlas mismas para cualquier sistema de referencia. Es decir, deben quedar invariantes bajocualquier tipo de transformacion de coordenadas. Se puede interpretar este principio comoel hecho de que la Naturaleza no tiene ningun sistema de referencia privilegiado. Ademas,el concepto de coordenada no existe a priori en la naturaleza y, por tanto, el sistema decoordenadas elegido no debe jugar ningun papel fundamental en la formulacion de las leyesfısicas. Einstein pensaba que este principio debıa ser uno de los ingredientes fundamentalesen la formulacion de una nueva teorıa para sistemas de referencia acelerados.

Puesto que las leyes de la Fısica deben quedar invariantes bajo transformaciones gene-rales de coordenadas, Einstein formulo su teorıa en terminos de tensores. Debido a suspropiedades, los tensores transforman de una manera determinada bajo cualquier trans-formacion general de coordenadas.

Una vez introducido el principio de covariancia general y la no existencia de sistemas de

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8 Introduccion

referencia privilegiados, se puede entender de manera natural el principio de equivalenciaque dice ası:

El resultado de cualquier experimento no gravitacional en un laboratorio que se desplaceen un sistema de referencia inercial es independiente de la velocidad del laboratorio o desu localizacion en el espacio-tiempo.

Este principio fısico afirma que si fijamos un evento instantaneo p en un campo gravita-torio, este puede ser descrito por un observador con aceleracion que se encuentre en dichopunto. En otras palabras, existe un observador acelerado que no tiene forma de distinguirsi las partıculas se mueven o no dentro del campo gravitatorio. Por tanto, de forma local,las leyes de la Fısica son las mismas para todos los observadores. Por ejemplo, si cayeramosa la vez que una piedra desde un acantilado, verıamos que la piedra caerıa a velocidadconstante, es decir, como si no existiese el campo gravitatorio que causa la caıda. Exacta-mente lo mismo les ocurre a los astronautas cuando estan en su nave espacial, pues ellospueden pensar que todo flota e imaginar que no sufren la atraccion hacia la Tierra u otroplaneta.

A continuacion, veamos cuales son las herramientas matematicas con las que se construyela teorıa y sus implicaciones locales y globales. La teorıa se formula en terminos de campostensoriales definidos en un espacio-tiempo que se representa con una variedad de Lorentz.Esto es debido a, como se ha mencionado anteriormente, la condicion de covariancia generalde la teorıa. Es decir, los tensores admiten las transformaciones generales de coordenadasque la teorıa precisa para quedar invariante. El elemento principal de la teorıa es el tensormetrico gµν . La metrica es un tensor de orden 2 que se utiliza para definir conceptosmetricos como distancia, angulo y volumen en un espacio localmente euclıdeo.

El nucleo fundamental de dicha teorıa son las ecuaciones de campo de Einstein,

Rµν −1

2gµνR = Tµν , (0.1)

donde, Rµν es el tensor de Ricci, R es el escalar de curvatura, gµν es la metrica y Tµνes el tensor energıa-momento. Basicamente, estas ecuaciones de Einstein son un sistemade 10 ecuaciones en derivadas parciales no lineales en las variables gµν , que describen lainteraccion gravitatoria como resultado de que el espacio-tiempo esta siendo deformadopor la materia y la energıa.

Tanto en Fısica como en Matematicas, es importante hacer una distincion entre estruc-turas locales y globales. Ya que las mediciones se realizan en una region relativamentepequena del espacio-tiempo, esta es una de las razones por las que hacer un estudio localdel espacio-tiempo. La determinacion de la estructura global es de gran importancia enproblemas cosmologicos.

A la hora de afirmar si dos espacio-tiempos son el mismo, esto supone un gran proble-ma a nivel local en Relatividad General. Previamente en la teorıa de variedades, ya sequerıa determinar si dos variedades de Riemann de iguales dimensiones eran localmenteisometricas. Este problema ha sido resuelto y se adapta a la Relatividad General mediante

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Introduccion 9

un algoritmo1.

Volviendo a (0.1), observese que la parte izquierda de la ecuacion esta escrita en termi-nos puramente geometricos, mientras que en la parte derecha se tiene el tensor energıa-momento, que parametriza el contenido de materia y energıa de nuestro espacio-tiempo.Es decir, matematicamente, Einstein conjeturo que la geometrıa del Universo deja deser plana por la presencia de masa. Por consiguiente, penso que el Universo era un tipode espacio-tiempo curvo dado por una variedad pseudoriemanniana y cuyas ecuacionesde campo establecen que en un punto la curvatura seccional se relaciona con el tensorde energıa-momento. Dicho tensor describe el contenido de energıa y materia de nuestroespacio-tiempo. Ası, las trayectorias de las partıculas se ven afectadas por la curvatura y,recıprocamente, la presencia de muchas partıculas afecta a la curvatura.

A continuacion, es interesante preguntarse que significa la interaccion gravitatoria enRelatividad General y sus diferencias con respecto a la teorıa de Newton. Se supone unapartıcula fija de masa m1 en un cierto espacio-tiempo. Dicha partıcula va a curvar elespacio de acuerdo a su masa m1. Si ahora se introduce una segunda partıcula de masa m2,el espacio-tiempo se deformara y dicha perturbacion (equivalente a una ola en un lago)se propagara a una velocidad c. Por tanto, la primera partıcula no sentira la presenciade la segunda de manera instantanea. Estas perturbaciones del espacio-tiempo, que sepropagan como ondas, reciben el nombre de ondas gravitacionales. Este pasado mes deFebrero, David Reitze, director ejecutivo del Observatorio Avanzado de InterferometrıaLaser de Ondas Gravitacionales(LIGO), pudo anunciar la primera deteccion de las ondasgravitacionales.

Por otro lado, en las teorıas clasicas de gravitacion, el concepto de velocidad de lagravedad se entiende como la velocidad con la que su campo gravitatorio se propaga. Esdecir, es la velocidad de propagacion de cualquier cambio en la distribucion de energıao impulso de la materia causado por el campo gravitacional. En un sentido mas fısico,la velocidad de la gravedad se refiere a la velocidad de una onda gravitacional. Es decir,cualguier cambio en la distribucion de energıa o materia genera ondas gravitacionales.

Este concepto de propagacion es radicalmente diferente al de la teorıa clasica. En laley de Gravitacion Universal de Newton, estas interaccionan instantaneamente con cual-quier otra independientemente de la distancia que las separe. Es decir, la gravitacion sedescribe clasicamente mediante la ecuacion de Poisson, cuyo campo gravitatorio se ajus-ta instantaneamente en caso de algun cambio en la distribucion de masa. Por lo tanto,se asume que la velocidad de propagacion sea infinita. Esta suposicion ayudo a precisarmuchos fenomenos de la epoca, aunque no fue hasta el siglo XIX, cuando se observo unaanomalıa en las observaciones astronomicas que no pudo ser relacionada con el modelonewtoniano de accion instantanea. Finalmente, ya en 1859, el astronomo frances UrbainLe Verrier determino que la orbita elıptica de Mercurio tiene una precesion del perihelioque difiere de la prediccion de la teorıa newtoniana.

Otro aspecto interesante de la Relatividad General ocurre cuando tenemos partıculas

1Dicho algoritmo es el algoritmo de Cartan-Karlhede (cf. [4]).

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muy compactas y muy masivas, dandose situaciones interesantes. En el caso de estrellassupermasivas, estas acaban su vida bien mediante una explosion como supernova o bienmediante un colapso gravitatorio. Ambos procesos conducen a la formacion de agujerosnegros, aunque hasta ahora no se tenıan pruebas de ninguno de ellos. Un agujero negro esuna region del espacio-tiempo que posee una fuerza gravitatoria tan atractiva que ningunapartıcula puede escapar de ella. La teorıa de la Relatividad General predice que una masalo suficientemente compacta puede deformar el espacio-tiempo y convertirse en un agujeronegro. El lımite de la region de la que es posible escapar se llama el horizonte de sucesos.Un horizonte de sucesos es un lımite en el espacio-tiempo donde los eventos no puedenafectar a observadores externos. Es el punto de no retorno, es decir, el punto en el que laatraccion gravitatoria es tan grande como para que sea imposible escapar. Ademas desdeel agujero negro, la luz que se emita nunca puede escapar ni alcanzar a un observadorexterno.

A pesar de la dificultad para obtener soluciones a dichas ecuaciones (0.1), se conocenalgunas, aunque muy pocas tienen aplicaciones fısicas directas. A menudo, es frecuenteapoyarse en la integracion numerica de las ecuaciones. En la Relatividad numerica, exis-ten potentes ordenadores para simular la geometrıa del espacio-tiempo y ası resolver lasecuaciones de Einstein en situaciones interesantes, como es el caso de dos agujeros negrosen colision.

Algunas soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein son: la solucion de Schwarzs-child, la solucion de Reissner-Nordstrom, la metrica de Kerr y la solucion de Robertson-Friedmann-Walker-Lemaıtre, que describe un universo homogeneo, isotropo y en expansion(o contraccion). Este tipo de solucion es utilizada en Fısica para la descripcion de nuestroUniverso.

En este trabajo nos centraremos en el estudio de un caso particular de solucion FRW:el espacio de De Sitter. El espacio de De Sitter,

ds2 = dt2 − e2t/R0δijdxidxj , (0.2)

donde R0 es el radio de De Sitter, fue propuesto como modelo de universo por el astronomoWilliam de Sitter (1872-1934) poco despues de conocerse el modelo de universo estatico deAlbert Einstein. De Sitter mostro a la comunidad cientıfica una solucion para un universovacıo, sin materia y sin radiacion. Ademas, partio de tres hipotesis: curvatura constante,estaticidad e isotropıa del universo.

Figura . El espacio de De Sitter.

no creo que eso es historicamente cierto. creo que De Sitter sólo asumió estaticidad, por analogia con schwarzschild. el resto sale solo
historicamente De Sitter público su solucion en coordenadss (0.4). quizá es mas correcto intercambiar las metricas (0.2) y (0.4) y sus respectivas discusiones.
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Introduccion 11

El espacio de De Sitter puede describirse en coordenadas FRW con secciones espacialestridimensionales de curvatura constante k, que pueden ser hiperboloides(k = −1), esfericas(k = 1) o planas (k = 0). Ademas, se trata de un espacio-tiempo maximamente simetrico,es decir, su tensor de Riemann es de la forma

Rµνρλ = −R−20 (gµλgνρ − gµρgνλ). (0.3)

Este espacio representa un universo en el que no hay materia y que esta en expansionexponencial, debido a la constante cosmologica positiva. La expansion de este tipo deuniverso es tan grande que si, en un instante de tiempo t1 tenemos dos partıculas relati-vamente cerca, llegara un momento t2 en el que estas partıculas esten tan alejadas que nopodran ni comunicarse. Es decir, estaran tan lejos que si una de ellas lanza un pulsar deluz, jamas le llegara a la otra partıcula.

A parte de las coordenadas FRW planas previamente enunciadas, existe otra metricade especial interes en este trabajo. Esta metrica es

ds2 =

(1− r2

R20

)dt2 −

(1− r2

R20

)−1

dr2 − r2dΩ22 (0.4)

y se conoce como la metrica de De Sitter en coordenadas estaticas.

El objetivo principal de este trabajo tras la presentacion del espacio de De Sitter, esel calculo de trayectorias uniformemente aceleradas. Este calculo se va a realizar tantoen coordenadas FRW planas como en coordenadas estaticas. Para ello, tendremos quedesmenuzar unas ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de tercer orden.

Ası, diremos que una curva γ describe un movimiento uniformemente acelerado (MUA)o es un observador uniformemente acelerado (UA) si satisface

γρ∇ραµ = −αναν γµ, (0.5)

donde αµ := γρ∇ργµ es la 4-aceleracion. Es decir, si el transporte paralelo de la acele-racion a lo largo de γ es proporcional a la 4-velocidad, γµ.

En resumen, la Relatividad General es un modelo que hasta ahora ha tenido gran exitoen la gravitacion y descripcion de nuestro Universo. Hasta hoy, ha pasado con exito muchaspruebas observacionales y experimentales. En cambio, hay indicios de que la teorıa estaincompleta. El problema de la gravedad cuantica y las preguntas acerca de las singulari-dades del espacio-tiempo estan aun sin responder. Ademas, las evidencias experimentalesde la existencia de energıa oscura y materia oscura podrıan indicar la necesidad de unanueva teorıa fısica. Numerosos fısicos y matematicos tratan de comprender la naturalezade la interaccion gravitatoria o ir mas alla de las ecuaciones de Einstein, teniendolas comoingrediente fundamental.

Para finalizar esta introduccion, resumamos este trabajo que esta estructurado en 3capıtulos. En el primer capıtulo, se presentaran las ecuaciones de campo de Einstein. A

un pulso! un pulsar es una estrella que emite pulsos
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12 Introduccion

continuacion, se obtendran estas ecuaciones a partir de la minimizacion de la accion deEinstein-Hilbert.

En el segundo capıtulo, se presentara el espacio-tiempo de De Sitter. En un primerlugar, se introduciran las propiedades geometricas de este espacio. Despues, se calcularandos metricas equivalentes, que son solucion de (0.1) y que modelan la geometrıa del espaciode De Sitter.

Para concluir este trabajo, se calcularan las trayectorias de observadores que siguen unmovimiento uniformemente acelerado. En primer lugar, se describira matematicamente elMUA, teniendo en cuenta el formalismo de los Vielbeins. A continuacion, se calcularanlos observadores acelerados en el espacio de Minkowski. En tercer lugar, se calcularan lascurvas de aceleracion nula en De Sitter. Y por ultimo, se concluira con el desarrollo de lasecuaciones (0.5) en De Sitter.

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1 Ecuaciones de campo de Einstein

En este primer capıtulo se presenta al lector las famosas ecuaciones de campo de Eins-tein. A continuacion, se obtendran dichas ecuaciones minimizando un funcional que depen-de de la metrica. Por ultimo, se dara una simplificacion de estas ecuaciones y se presentarael concepto de variedad de Einstein.

1.1. Ecuaciones de campo

En primer lugar, se introduciran las ecuaciones de campo de Einstein junto con cier-tas restricciones matematicas que deben de cumplir. Ası, se presenta un sistema de 10ecuaciones diferenciales ordinarias que son covariantes, es decir, tienen la misma formaindependientemente de las coordenadas elegidas.

Con la afirmacion de que la materia se mueve siguiendo geodesicas en el espacio-tiempo,describimos como la geometrıa del espacio-tiempo influye en la materia. Para completar lateorıa, es necesario describir el proceso inverso: como la materia determina la geometrıa.Para ello, nos apoyaremos en unas ecuaciones que relacionan los coeficientes de la metricagµν con la distribucion de la materia.

Dadas por primera vez en The Foundation of the General Theory of Relativity en elano 1915, estas son conocidas como las ecuaciones de campo de Albert Einstein. En estaseccion, se tratara de introducir y presentar al lector dichas ecuaciones.

Los coeficientes de la metrica juegan el papel de la funcion gravitacional del potencialen la teorıa de Einstein, ya que los sımbolos de Christoffel contienen las primeras deri-vadas parciales de estos coeficientes. Ademas, si se sigue una analogıa con la ecuacion deLaplace, ∇2φ = 0, cabe esperar que las ecuaciones de campo en el vacıo sean un sistemade ecuaciones de la forma

G(gµν) = 0, (1.1)

donde G es una expresion que relaciona las segundas derivadas parciales de las funciones“potenciales”gµν . Esta ecuacion debe ser invariante mediante cambios de coordenadas,es decir, siempre ha de tener la misma forma independientemente de cada sistema decoordenadas. Ademas, Gµν ha de ser puramente geometrico, esto es, funcion de la metricay sus derivadas.

Por otro lado, en el caso de una distribucion continua de materia en el espacio-tiempo,el segundo miembro no serıa nulo. ¿Cual es la forma exacta de estas ecuaciones? ¿Comoes posible describir cualitativamente la interaccion entre el espacio-tiempo y la materia?

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14 1.1 Ecuaciones de campo

En particular, las ecuaciones de Einstein han de ser de la forma

Gµν = −κTµν , (1.2)

donde κ es una constante de proporcionalidad con signo menos por convenio y un tensorTµν , que se conoce como el tensor energıa momento. Este ultimo mide la energıa, densidady presion de la materia en dicho espacio-tiempo.

Ademas, existen algunas restricciones matematicas y fısicas que se tienen que cumplir:

G y T han de ser tensores simetricos: Gµν = Gνµ y Tµν = Tνµ.

La ley de conservacion de la energıa: ∇µTµν = 0 ⇒ ∇µGµν = 0.

La componente g00 de la metrica se ha de identificar con el potencial gravitacionalnewtoniano. Ademas, para tener una teorıa dinamica y poder recuperar la ecuacionde Poisson, ∇2φ = 4πρ, el tensor Gµν ha de contener segundas derivadas de lametrica.

Y Gµν ha de ser lineal en el tensor de Riemann. Si no, contracciones del tipo RµρRρν

o RµρλσRρλσν darıan lugar a ecuaciones diferenciales de orden mayor que 2.

La expresion mas general para un tensor simetrico de rango (0, 2), funcion de la metricay sus derivadas y lineal en Rµνρλ tiene la forma

Gµν = Rµν + α gµν R+ gµν Λ(x), (1.3)

donde α es una constante y Λ(x) una funcion escalar cuyas dimensiones son ML−3. Masen particular, se le exige que

∇µGµν = 0 ⇒ α = −1

2y Λ es constante, (1.4)

Gµν = 0 en el vacıo ⇒ Λ = 0. (1.5)

Ası, G es un tensor que describe la curvatura del espacio y es conocido como el tensorcurvatura de Einstein. Por tanto, este sistema de ecuaciones en el vacıo adopta la forma

Gµν := Rµν −1

2Rgµν + Λgµν = 0, (1.6)

donde Rµν es el tensor de curvatura de Ricci, R es el escalar de curvatura y Λ es laconstante cosmologica 1.

Finalmente, Einstein selecciono como las ecuaciones de campo para un campo gravita-

1En Cosmologıa, la constante cosmologica, Λ, es el valor de la densidad de energıa del vacıo. AlbertEinstein la introdujo en 1917 en la teorıa de la Relatividad General con el fin de lograr un universoestatico. En 1929, Einstein abandono tal idea despues de que Hubble descubriera que todas las galaxiasexternas al Grupo Local (el grupo que contiene la Vıa Lactea) se alejaban unas de otras (el universo enexpansion global). Hasta principios de 1990, la mayorıa de los investigadores en Cosmologıa asumieronque la constante cosmologica debıa de ser cero.

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1 Ecuaciones de campo de Einstein 15

torio en el vacıo

Rµν −1

2gµνR = 0, µ, ν = 0, 1, 2, 3, (1.7)

donde se ha seleccionado Λ = 0. Se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales desegundo orden, en donde las incognitas son los coeficientes de la metrica gµν . Mas aun, sinos quedamos con la traza de (1.7), se obtiene que

Rµνgµν − 1

2gµνg

µν R = R− 1

2δµµR = R− 1

24R = −R = 0. (1.8)

Es decir, que el tensor curvatura escalar es R = 0. Ası que, si ahora sustituimos en (1.7),se puede escribir

Rµν = 0 µ, ν = 0, 1, 2, 3. (1.9)

Ası que, las ecuaciones de campo de Einstein en el vacıo quedan reducidas a que lascomponentes del tensor de Ricci sean nulas.

Una vez presentas las ecuaciones en el vacıo, se continua con el caso de una distribucionde materia en el espacio-tiempo. Debido a la comparacion en el lımite newtoniano, se tieneque la constante de proporcionalidad previa, ha de valer κ = 8πGN si c = 1, donde GNes la famosa constante de Newton. Por tanto, las ecuaciones de Einstein en el caso de unadistribucion continua de materia tienen la forma

Rµν −1

2gµν R = −8πGNTµν . (1.10)

Se trata de un sistema de 10 ecuaciones diferenciales parciales no-lineales acopladas yde segundo orden, lo que hace de su resolucion algo muy complicado. A dıa de hoy, noexisten tecnicas conocidas para obtener una solucion general y las soluciones conocidasson casos de mucha simetrıa o casos muy trivial.

Estas ecuaciones relacionan la presencia de materia con la curvatura del espacio-tiempo.Cuanto mayor sea la concentracion de materia, representada por el tensor T , mayor serala curvatura. Ademas, en el lımite clasico no-relativista, es decir, cuando se manejanvelocidades muy pequenas comparadas con la luz y campos gravitacionales debiles, lasecuaciones del campo de Einstein se reducen a la ecuacion de Poisson para el campogravitatorio que es equivalente a la ley de gravitacion de Newton.

Observacion 1.1.1. Notese que aunque estas ecuaciones tengan 10 componentes, la con-dicion ∇µGµν = 0 impone 4 ligaduras. Entonces, solo 6 ecuaciones son independientes ypor tanto, solo 6 de las 10 componentes de la metrica estan determinadas por las ecua-ciones de Einstein. Y por otro lado, las otras 4 componentes son componentes no-fısicasy vienen determinadas por la eleccion del sistema de coordenadas.

Si gµν es solucion de (1.10) en ciertas coordenadas xµ, si se cambia a otro sistema decoordenadas yα, esta metrica gαβ tambien debe de ser solucion. Esto es solo posible si lametrica contiene los 4 grados de libertad de los que antes se hablaban. Estos representan

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16 1.2 Accion de Einstein-Hilbert

la libertad de poder aplicar cambios de coordenadas

xµ → yα = yα(xµ). (1.11)

1.2. Accion de Einstein-Hilbert

Para cerrar este primer capıtulo, se procedera a obtener estas ecuaciones con constantecosmologica minimizando una accion. Para ello se presenta la accion de Einstein-Hilbert yse varıa con respecto a la inversa de la metrica. Finalmente, las ecuaciones de movimientoobtenidas son simplificadas tras quitarles la traza.

En primer lugar, se van a obtener las ecuaciones de campo de Einstein con constantecosmologica a partir de la minimizacion de una accion, S. Esto permitira formular la teorıade la Relatividad General del mismo modo en que otras teorıas de campos clasicas sonformuladas en Fısica. A continuacion, introduzcase brevemente la nocion de accion.

Definicion 1.2.1. En una teorıa de campos φi(x), una accion S[φi(x)] es un funcionalde las variables (x, φi, ∂µφi(x))

S [φi] =

∫L(xµ, φi(x),

∂φi(x)

∂xµ

)dnx, (1.12)

donde x = xµ es el conjunto de n variables independientes del sistema, con µ = 1, . . . , n.

En el caso de la Relatividad General, obtendremos las ecuaciones de campo de Einsteina partir de la minimizacion de la accion de Einstein-Hilbert, que es un funcional de lametrica. Es decir,

δS[g]

δgµν= 0 =⇒ Gµν = 0 . (1.13)

La accion propuesta por David Hilbert en 1915, fue la siguiente:

Definicion 1.2.2. La accion de Einstein-Hilbert es el funcional

S =1

∫(R− 2κΛ)

√−g d4x, (1.14)

donde g = det(gµν) es el determinante del tensor metrico, R es la curvatura escalar yκ = 8πGc−4 si c 6= 1.

Si igualamos a 0 una variacion de esta accion con respecto a la inversa de la metrica, se

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1 Ecuaciones de campo de Einstein 17

obtiene que

0 = δS

=1

∫δ

δgµν[(R− 2κΛ)

√−g]δgµνd4x

=1

∫ [(δR

δgµν+

R√−g

δ√−g

δgµν− 2κΛ√−g

δ√−g

δgµν

)]δgµν√−g d4x. (1.15)

Como esta ecuacion se mantendrıa para cualquier variacion δgµν , entonces, escribimos laecuacion de movimiento

δR

δgµν+

R√−g

δ√−g

δgµν− 2κΛ√−g

δ√−g

δgµν= 0 (1.16)

Por consiguiente, para calcular el primer miembro de la ecuacion (1.16), antes hay queobtener las variaciones de R y de la raız del menos determinante de la metrica.

En primer lugar, para el calculo de la variacion de R, calcularemos la variacion del ten-sor curvatura de Riemann y posteriormente, la del tensor de Ricci. Ası, el tensor curvaturade Riemann es

R ρσµν = ∂µΓρνσ − ∂νΓρµσ + ΓρµλΓλνσ − ΓρνλΓλµσ. (1.17)

Ya que el tensor curvatura de Riemann depende solo de la conexion de Levi-Civita, suvariacion puede calcularse como

δRρσµν = ∂µδΓρνσ − ∂νδΓρµσ + δΓρµλΓλνσ + ΓρµλδΓ

λνσ − δΓ

ρνλΓλµσ − ΓρνλδΓ

λµσ. (1.18)

Debido a que δΓρνµ es una diferencia de dos conexiones, es un tensor. Por ello podemoscalcularle su derivada covariante,

∇λ(δΓρνµ) = ∂λ(δΓρνµ) + ΓρσλδΓσνµ − ΓσνλδΓ

ρσµ − ΓσµλδΓ

ρνσ. (1.19)

Se puede observar que la expresion de la variacion del tensor de Riemann es igual a ladiferencia de las conexiones

δR ρσµν = ∇µ(δΓρνσ)−∇ν(δΓρµσ). (1.20)

A continuacion, pasemos a calcular la variacion del tensor de Ricci. Contrayendo dosındices en el tensor de Riemann, se obtiene la identidad de Palatini

δRµν = δR ρµρν = ∇ρ(δΓρνµ)−∇ν(δΓρρµ). (1.21)

que es la variacion del tensor de Ricci.

Si a la curvatura escalar R,R = gµνRµν , (1.22)

Page 18: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

18 1.2 Accion de Einstein-Hilbert

le calculamos su variacion con respecto a la inversa de la metrica gµν , se obtiene que

δR = Rµνδgµν + gµνδRµν (1.23)

= Rµνδgµν +∇σ

(gµνδΓσνµ − gµσδΓρρµ

). (1.24)

donde en la segundad igualdad, se ha usado (1.21) y la compatibilidad de la metrica de laderivada

∇σgµν = 0, (1.25)

ya que se puede introducir dentro por la definicion de la derivada del producto.

El ultimo sumando,∇σ(gµνδΓσνµ − gµσδΓρρµ), (1.26)

al multiplicarlo por√−g, se puede escribir como una derivada total

√−g∇σ

(gµνδΓσνµ − gµσδΓρρµ

)= ∂σ

[√−g(gµνδΓσνµ − gµσδΓρρµ

)](1.27)

= ∂σ

[√−g(gµν

δΓσνµδg

δg − gµσ δΓρρµ

δgδg

)]. (1.28)

A esta derivada total, si le aplicamos el Teorema de Stokes sobre nuestro Universo M ,es posible escribir∫

M∂σ

[√−g(gµν

δΓσνµδgµν

δgµν − gµσ δΓρρµ

δgµνδgµν

)]d4x (1.29)

=

∫∂M

√−g(gµν

δΓσνµδgµν

δgµν − gµσ δΓρρµ

δgµνδgµν

)d3y = 0. (1.30)

Esta ultima integral se anula ya que la metrica en la frontera de nuestro Universo, ∂M ,es constante (Minkowski en el infinito). Por tanto, la variacion de una metrica constantees 0. Y finalmente, la inversa de la metrica tambien: δgµν = 0.

Teniendo en cuenta esto en la variacion de R (1.24), se obtiene la igualdad

δR

δgµν= Rµν . (1.31)

En segundo y ultimo lugar, continuemos con el calculo de la variacion de la raız del menosdeterminante de la metrica. Aplicando la Formula de Jacobi, regla de derivacion del de-terminante, se tiene que

δg = δ det(gµν) = g gµνδgµν . (1.32)

Por otro lado, se tiene quegµνδg

µν = −gµνδgµν , (1.33)

Page 19: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

1 Ecuaciones de campo de Einstein 19

por la regla de derivacion de la inversa de una matriz

δgµν = −gµα(δgαβ)gβν . (1.34)

Usando (1.32) y (1.33), podemos escribir

δ√−g = − 1

2√−g

δg =1

2

√−g(gµνδgµν) = −1

2

√−g(gµνδg

µν). (1.35)

Para concluir finalmente con la variacion

1√−g

δ√−g

δgµν= −1

2gµν . (1.36)

Sustituyendo en la ecuacion de movimiento (1.16), las variaciones (1.31) y (1.36) obte-nidas, se obtiene

Rµν −1

2gµνR+ κΛgµν = 0, (1.37)

que son las ecuaciones de campo de Einstein para cierta constante cosmologica Λ.

Si en esta ultima ecuacion (1.37) aplicamos la traza en ambos miembros, queda

Rµνgµν − 1

2gµνg

µνR+ κΛgµνgµν = R− 2R+ 4κΛ = −R+ 4κΛ = 0, (1.38)

ya que, por el convenio de sumacion de Einstein, gµνgµν = traza(I4) = 4. Por tanto, el

escalar de curvatura es proporcional a la constante cosmologica

R = 4κΛ. (1.39)

A continuacion, si sustituimos el valor del escalar de curvatura en las ecuaciones decampo de Einstein (1.37), quedarıa que

Rµν −1

2gµν4κΛ + κΛgµν = Rµν − κΛgµν = 0. (1.40)

Por tanto, las ecuaciones de campo de Einstein con constante cosmologica y sin traza sereducen a

Rµν = κΛgµν . (1.41)

Esta ultima ecuacion da lugar a la siguiente definicion:

Definicion 1.2.3. En Geometrıa Diferencial y en Fısica Teorica, una variedad de Eins-tein es una variedad riemanniana o pseudo-riemanniana que cumple (1.41).

Estas variedades llevan el nombre de Albert Einstein porque esta condicion es equiva-

Page 20: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

20 1.2 Accion de Einstein-Hilbert

lente a que la metrica es una solucion de las ecuaciones de campo de Einstein en el vacıocon constante cosmologica. Algunos ejemplos de variedades de Einstein son:

las variedades con curvatura seccional constante: espacio euclıdeo En, la n-esfera Sny el espacio hiperbolico Hn;

el espacio proyectivo complejo CPn junto con la metrica de Fubini-Study;

las variedades de Calabi-Yau que son variedades de Kahler2 compactas con unaprimera clase de Chern nula.3

2Una variedad de Kahler es una variedad con 3 estructuras compatibles entre sı: una variedad compleja,una variedad de Riemann y una variedad simplectica.

3En 1957, el matematico Eugenio Calabi conjeturo que las variedades de Calabi admiten una metrica concurvatura de Ricci nula, esto es, una variedad plana.

Page 21: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

2 El espacio de De Sitter

En este segundo capıtulo se describe al lector que es el espacio de De Sitter. Este serael espacio-tiempo en el que se calcularan trayectorias aceleradas en el ultimo capıtulo. Larazon principal de haber elegido este espacio se debe a que es uno de los espacio-tiemposdonde la simetrıa es maxima y ademas es un modelo de universo en expansion.

En un primer lugar, se comienza viendo una serie de propiedades geometricas del mismoy despues, se calculan dos metricas en las que se calcularan los observadores acelerados en elproximo capıtulo. La forma de estas metricas viene predeterminada por ciertas condicionesfısico-matematicas que se detallaran a continuacion.

2.1. Propiedades generales

En esta seccion se comienza introduciendo el concepto de maximamente simetrico. Des-pues, desde un punto de vista matematico, se presenta al espacio de De Sitter como unahipersuperficie embebida en un espacio plano de 5 dimensiones.

En primer lugar, se presenta el concepto de espacio homogeneo:

Definicion 2.1.1. Dada una variedad (M, g), se dice que es homogenea si para cada parde puntos p, q ∈M existe una isometrıa global A : M →M tal que A(p) = q.

Es decir, que todos los puntos de la variedad son indistinguibles, pues son equivalentes.Desde el punto de vista de las Matematicas, esto significa que la metrica g de M tiene tantasimetrıa que es posible relacionar dos puntos cualesquiera a traves de una transformacionde simetrıa. Ademas, notese que la homogeneidad es una propiedad global de una variedad.

Definicion 2.1.2. Dada una variedad (M, g), se dice que es isotropa en un punto p ∈Msi dados v, w ∈ TpM existe una isometrıa A : TpM → TpM tal que A(v) = w.

Es decir, no hay ninguna direccion privilegiada. Esto es, las superficies isotropas tienenla misma forma en todas sus direcciones. Matematicamente, esto se interpreta como quela metrica es esfericamente simetrica. Notese que el concepto de isotropıa no es global, alcontrario de lo que sucedıa con la homogeneidad.

¿Son la homogeneidad y la isotropıa conceptos independientes? En principio sı. Porejemplo, el cilindro es homogeneo pero no isotropo. En cambio, un cono es isotropo en elvertice pero no homogeneo.

21

Page 22: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

22 2.1 Propiedades generales

En cambio, existen situaciones en las que hay una profunda relacion entre ambos con-ceptos. En primer lugar, en el caso en el que la superficie sea isotropa en todo punto,entonces se tiene que es globalmente isotropa. Esto es,

globalmente isotropa =⇒ homogenea. (2.1)

Y viceversa, tambien se tiene que, dado p ∈M fijo,

isotropa en phomogenea

=⇒ globalmente isotropa. (2.2)

En particular, se tiene la siguiente definicion:

Definicion 2.1.3. Una variedad (M, g) que es homogenea e isotropa se dice que es maxi-mamente simetrica, es decir, tiene el maximo numero de simetrıas.

Matematicamente, la variedades maximamente simetricas son espacios con curvaturaconstante. Es decir, que el tensor de Riemann tenga la forma

Rµνρλ = K (gµλgνρ − gµρgνλ) , (2.3)

donde K es una constante de dimensiones L−2. Un analisis dimensional indica que K esbasicamente R−2

0 , donde R0 es el radio de curvatura de la variedad. El signo de K varıa enfuncion de los convenios establecidos. En nuestro caso, en funcion de como se ha definidoel tensor de Riemann (??), en el caso riemanniano (respectivamente lorentziano)1 se tieneque

si K > 0, se trata de la esfera N -dimensional SN (resp. el espacio de anti-De Sitter);

si K = 0 se tiene siempre al plano RN ;

y si K < 0, se trata del hiperboloide HN (resp. el espacio de De Sitter).

1Tengase en cuenta que en el caso lorentziano el convenio es al reves, si la curvatura K es positiva,entonces el Riemann tiene la forma Rµνρλ = −K (gµλgνρ − gµρgνλ).

Page 23: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

2 El espacio de De Sitter 23

Figura 2.1. Los tres espacios de curvatura constante de izquierda a derecha: la N -esferaSN , el plano RN y el hiperboloide HN ; donde θ es el angulo azimutal.

Este trabajo esta centrado en el estudio del espacio de De Sitter, descartando ası tantoel espacio plano como el espacio de anti-De Sitter en nuestro estudio.

El espacio de De Sitter es una solucion exacta de las ecuaciones de campo de Einsteinque describen un universo en expansion. Como esta solucion es maximamente simetrica,es posible embeberla en un espacio plano 5-dimensional como lo hizo Schrodinger en 1956.Efectivamente, si consideramos el espacio de Minkowski 5-dimensional,

ds2 = ηµνdXµdX ν , (2.4)

entonces la definicion matematica del espacio de De Sitter serıa la hipersuperficie a dis-tancia espacial R0 del origen

ηµνXµX ν = −R2

0. (2.5)

Una parametrizacion de las coordenadas X µ que satisfaga la ligadura (2.5) puede serX0 = R0 sinh(R−1

0 t),

Xi = R0 cosh(R−10 t) sinχXi i = 1, 2, 3,

X4 = R0 cosh(R−10 t) cosχ,

(2.6)

donde las Xi forman una parametrizacion de la 2-esfera S2 de radio la unidad, es decir,δijX

iXj = 1 y δijdXidXj = dΩ2

3.

Ası, si se sustituye esta parametrizacion en (2.4), se obtiene la metrica

ds2 = dt2 −R20 cosh2(R−1

0 t)dΩ23. (2.7)

Esta es la metrica de De Sitter en coordenadas globales. En estas coordenadas, la coorde-nada temporal t coincide con X0, mientras que las secciones espaciales son las 3-esferasque son parametrizadas por X1, ..., X4. Debido a que estas coordenadas espaciales cubren

Page 24: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

24 2.2 Coordenadas estaticas

la S3 al completo y que t ∈ R, las coordenadas (2.6) cubren toda la variedad. Ademas, latopologıa que tiene coincide con la topologıa de R× S3.

Figura 2.1. El espacio de De Sitter es una hipersuperficie a distancia espacial R0 delorigen.

Como se aprecia en la figura (2.1), el espacio de De Sitter representa un universo que secontrae hasta el radio del mismo R0 y mas tarde, un universo en expansion de manera ex-ponencial. Las coordenadas (t,Ω3) cubren el espacio al completo y las secciones espacialescon t = constante son esferas tridimensionales, esto es, son cırculos con X0 = constante.

En este sentido, De Sitter es el equivalente lorentziano de una esfera SN embebida enRN+1. Notese al igual que la SN , este tiene curvatura constante positiva y donde el radiode De Sitter R0 esta relacionado con la constante cosmologica Λ tal y como se demuestraen (2.27).

El hecho de que De Sitter tenga curvatura constante implica que tiene un grupo desimetrıa grande, SO(1, 4), que no incluye traslaciones. De hecho, tiene el mismo numerode simetrıas que el espacio de Minkowski 4-dimensional, pues su grupo de simetrıa esISO(1, 3), ya que en este caso sı se incluyen las traslaciones. Tanto la metrica (2.4) comola ligadura (2.5) son invariantes bajo el grupo de Lorentz 5-dimensional. Por tanto, elespacio de De Sitter 4-dimensional tambien hereda esta simetrıa.

2.2. Coordenadas estaticas

En esta seccion se calcula la metrica mas sencila del espacio de De Sitter cuyas coordena-das sean estaticas. El porque de elegir esta metrica es el calculo de curvas uniformementeaceleradas y por ello, se elige la metrica no plana mas sencilla posible.

eso es lo mismo que decir que tiene grupo SO(1,4)
mejor! en otro lado? esto es importante!
Page 25: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

2 El espacio de De Sitter 25

Tal y como se ha visto en la seccion anterior, el espacio de De Sitter es un modelo deuniverso en expansion, maximamente simetrico y con curvatura positiva. A continuacion,se pretende obtener una metrica en ciertas coordenadas en las que se mantenga dichasimetrıa maxima y haya estaticidad. Es decir, que los coeficientes de esta metrica nodependan del tiempo y sean esfericamente simetricos. Por tanto, el Ansatz que ha decumplir estas condiciones viene dado por

ds2 = e2A(r)dt2 − e2B(r)dr2 − r2dθ2 − r2 sin2 θdφ2, (2.8)

donde el objetivo es obtener las funciones A(r) y B(r), que solo dependen de la coordenadaradial r y no del tiempo t.

Si se calculan los sımbolos de Christoffel, los no nulos son

Γrtt = e2(A−B)A′, Γrrr = B′,Γtrt = Γttr = A′, Γrφφ = −r sin2 θe−2B,

Γφθφ = Γφφθ = cot θ, Γθrθ = Γθθr = r−1,

Γφrφ = Γφφr = r−1, Γrθθ = −re−2B,

Γθφφ = − sin θ cos θ.

(2.9)

Por otro lado, si se calcula el tensor de Ricci de la metrica (2.8), se obtiene que lascomponentes no nulas son

Rtt = −e2(A−B)

[A′′ + (A′)2 −A′B′ + 2

rA′], (2.10)

Rrr = A′′ + (A′)2 −A′B′ − 2

rB′, (2.11)

Rθθ = e−2B[rA′ − rB′ + 1

]− 1, (2.12)

Rφφ = sin2 θRθθ = sin2 θe−2B[rA′ − rB′ + 1

]− sin2 θ. (2.13)

Ademas, si se contrae con la metrica para calcular el escalar de curvatura, se obtiene

R =Rµνgµν

=− 2e−2B

[A′′ + (A′)2 −A′B′ + 2

r(A′ −B′) +

1

r2

]+

2

r2. (2.14)

Como lo que se quiere es que se de

Rµν = κΛgµν , (2.15)

Page 26: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

26 2.2 Coordenadas estaticas

entonces se tiene que

Rtt = −e2(A−B)[A′′ + (A′)2 −A′B′ + 2

rA′] = κΛe2A,

Rrr = A′′ + (A′)2 −A′B′ − 2rB′ = −κΛe2B,

Rθθ = e−2B [rA′ − rB′ + 1]− 1 = −κΛr2,

Rφφ = sin2 θRθθ = sin2 θe−2B [rA′ − rB′ + 1]− sin2 θ = −κΛr2 sin2 θ.

(2.16)

Si se escribe e−2(A−B)1aec + 2aec, queda

− 2

r(A′ +B′) = 0 =⇒ A′ = −B′ =⇒ A = −B + c. (2.17)

La constante de integracion c no tiene ningun significado fısico, ya que se puede redefinirla coordenada temporal como t′ = ect. Ası, sin perdida de generalidad, se puede suponerque c = 0 y entonces

A = −B. (2.18)

Si se sustituye (2.18) en la 1a ecuacion de (2.16), se tiene que

e2A[2A′r + 1

]− 1 = −κΛr2 ⇐⇒ d

dr

(e2Ar

)− 1 = −κΛr2. (2.19)

Por ultimo, al integrar con respecto de r en la ecuacion previa, se llega a

e2Ar − r = −κΛ

3r3 − 2M, (2.20)

donde c = −2M es la constante de integracion. Finalmente, si se despeja la primeracomponente de la metrica (2.8), se obtiene

e2A = 1− κΛ

3r2 − 2M

r. (2.21)

Ası, el Ansatz de (2.8) se reescribe como

ds2 =

(1− κΛ

3r2 − 2M

r

)dt2 −

(1− κΛ

3r2 − 2M

r

)−1

dr2 − r2dΩ22. (2.22)

Fue Willem de Sitter quien obtuvo esta metrica y la independencia de esta metrica conrespecto a la coordenada temporal creo mucha confusion sobre si la solucion era estaticao no. Mas tarde, Lemaıtre obtuvo la solucion en coordenadas planas y demostro que larazon de la estaticidad se debe unicamente a la eleccion de las coordenadas. Esta metricadescribe un agujero negro de Schwarzschild en el centro del espacio de De Sitter. Noteseque cuando M → 0 se obtiene la metrica de De Sitter en coordenadas estaticas (tal y comovamos a ver a continuacion) y que cuando Λ→ 0 se obtiene la solucion de Schwarzschild.Por tanto, es muy razonable entender que esta metrica sea conocida como la metrica de

Page 27: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

2 El espacio de De Sitter 27

Schwarzschild-De Sitter, donde Λ y R0 son dos parametros.

A continuacion, se va a eliminar un parametro de esta metrica. Al estudiar el caso enque M = 0 en la metrica de Schwarzschild-De Sitter, resulta que cumple la condicion deser maximamente simetrico, es decir, el Riemann es de la forma (2.3).

Veamos que forma tiene el tensor de Riemann si M = 0 en la metrica anterior. Lascomponentes no nulas del tensor de Riemann con M = 0 valen

Rtitj = Ritjt = −Λ2e2Λtδij , Rijkl = −Λ2e4Λt (δilδjk − δjlδik) . (2.23)

Por tanto, se puede afirmar que efectivamente el tensor de Riemann tiene la forma queadopta en los espacios maximamente simetricos (2.3),

Rµνρλ = −R−20 (gµλgνρ − gµρgνλ), (2.24)

para cierto R0 radio.

Por lo tanto, tras calcular en la metrica de Schwarzschild-De Sitter el tensor de Riemanncon M = 0, comprobar que adopta la misma forma que en los espacios maximamentesimetricos y teniendo en cuenta que 2M/r rompe la homogeneidad del espacio, se tieneque M = 0 es una solucion para el Ansatz. Ademas, la condicion de ser maximamentesimetrico es equivalente a cumplir una ecuacion diferencial. Ası que por resultados deunicidad de las ecuaciones diferenciales, esta solucion es unica.

Ası, la metrica adopta la forma

ds2 =

(1− κΛ

3r2

)dt2 −

(1− κΛ

3r2

)−1

dr2 − r2dΩ22. (2.25)

Por otro lado, se puede reescribir esta metrica en funcion del radio de De Sitter R0. Ası,si se calcula el tensor de Ricci, se obtiene que

Rνλ = Rµνρλgµρ = −R−2

0 (gµλgνρgµρ − gµρgνλgµρ) = −R−2

0 (gνλ − 3gνλ) =3

R20

gνλ. (2.26)

Entonces se tiene que el tensor de Ricci cumple

Rνλ =3

R20

gνρ = κΛgνλ =⇒ R0 =

√3

κΛ. (2.27)

Por tanto, la metrica que describe el espacio de De Sitter en coordenadas estaticas quedaunıvocamente determinada por

ds2 =

(1− r2

R20

)dt2 −

(1− r2

R20

)−1

dr2 − r2dΩ22. (2.28)

Page 28: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

28 2.2 Coordenadas estaticas

Existe otra forma de obtener esta metrica de De Sitter en coordenadas estaticas. Si seelige la parametrizacion

X0 = R0 sinh(R−10 t)

(1− r2

R20

)1/2,

Xi = rXi, i = 1, 2, 3,

X4 = R0 cosh(R−10 t)

(1− r2

R20

)1/2,

(2.29)

y se sustituye en (2.4), se obtiene

ds2 =

(1− r2

R20

)dt2 −

(1− r2

R20

)−1

dr2 − r2dΩ22. (2.30)

Esta es la metrica de De Sitter en coordenadas estaticas, ya que la metrica no dependeexplıcitamente de la coordenada temporal t. Curiosamente, esta solucion que represen-ta un universo en expansion inflacionario, tiene unas coordenadas estaticas. Pero estascoordenadas solo cubren la parte con

X0 +X4 = et/R0

√R2

0 − r2 ≥ 0 y X0 −X4 = −et/R0

√R2

0 − r2 ≤ 0, (2.31)

es decir, es la cuna entre los planos X0 +X4 = 0 y X0 −X4 = 0.

Las coordenadas estaticas solo cubren la cuna entre X0 +X4 > 0 y X0 −X4 < 0, estoes, la parte en gris de la grafica de la derecha. Notese tambien, que los planos X0 = X4

son horizontes en estas coordenadas, estos son las lıneas discontinuas que dividen cadauno de los cuadrantes de ambas graficas. Ademas, cuando se tiene el lımite t → −∞ noregresa un tiempo infinito hacia el pasado, se tiene un comportamiento asintotico al planoX0 = X4.

Figura 2.2. El espacio de De Sitter en coordenadas estaticas.

Page 29: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

2 El espacio de De Sitter 29

Salvo si r = 0, las curvas con r constante no son geodesicas y corresponde a observadoresacelerados. Ademas, estos observadores acelerados muestran un corrimiento hacia el rojogravitacional desde el punto de vista del observador en r = 0. Esto es conocido como elefecto De Sitter. Tengase en cuenta que la singularidad en r = R0 es una singularidad decoordenadas, ya que el espacio de De Sitter es un espacio completamente regular. Estasingularidad corresponde con los planos X0 = X4 y se comporta como un horizonte desucesos parecido al horizonte de Rindler.

2.3. Coordenadas FRW

Con la llegada de la Relatividad General, una ciencia tan antigua como la Cosmologıavolvio a tener un papel importante en Fısica. Gracias a la Cosmologıa, que es el estudio deluniverso, se pudo concebir al universo como un sistema dinamico. Tal y como se ha vistoen el primer capıtulo, Einstein predijo satisfactoriamente con sus ecuaciones que habıauna profunda relacion entre la estructura del universo y el contenido de materia y energıadel mismo. Por tanto, se disponıa de unas leyes fısicas que describıan la forma, evoluciony contenido del universo.

La Cosmologıa Relativista esta basada en dos principios basicos que permiten modelarla forma y evolucion del universo: el Principio Cosmologico y el Postulado de Weyl.

En primer lugar, el Principio Cosmologico afirma que el universo es igual en todos los

puntos y en todas las direcciones independientemente de la evolucion del universo. Estese puede formular como:

Principio Cosmologico: En cualquier momento, el universo es homogeneo e isotropoa grandes escalas.

Por tanto, este primer principio obliga a que la metrica del universo se tenga que escribircomo una familia de hipersuperficies espaciales, cada una de ellas homogenea e isotropa yque representan al universo en cada momento t. Estas hipersuperficies son superficies tri-dimensionales en las que cada punto del espacio esta situado en una unica hipersuperficie.Cuando se describe un espacio-tiempo de esta forma, al conjunto de hipersuperficies se ledenomina foliacion.

Ademas, los Principios Cosmologicos afirman que los espacio-tiempos que describen so-luciones cosmologicas son foliaciones cuyas secciones espaciales tienen curvatura constante.Ası, este principio resume que el universo tiene la misma forma en todos los sitios a escalascosmologicas.

En segundo lugar, el segundo principio basico de la Cosmologıa Relativista intentamodelar el contenido de materia del universo. Este principio es el Postulado de Weyl y sepuede enunciar como:

Postulado de Weyl: A escalas cosmologicas, la materia se comporta como un fluidoperfecto, donde sus componentes se mueven a lo largo de geodesicas temporales que no

Page 30: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

30 2.3 Coordenadas FRW

intersectan entre sı, salvo en puntos del pasado.

El Principio Cosmologico y el Postulado de Weyl determinan la que forma ha de tenerla metrica del espacio-tiempo. Por un lado, el Postulado de Weyl indica que el espacio-tiempo se tiene que foliar mediante una familia de hipersuperficies espaciales (superficies desimultaneidad t = cte con respecto al tiempo cosmologico t). Y por otro lado, el PrincipioCosmologico dicta que estas superficies han de ser maximamente simetricas.

Por tanto, el Ansatz que la metrica ha de tener segun estos principios es

ds2 = dt2 − a(t)2gij(x)dxidxj , (2.32)

donde gij es la metrica de las secciones espaciales tridimensionales con curvatura constante.La funcion a(t)2 es conocida como el factor de escala y se trata de una funcion del tiempocosmologico que mide la expansion o contraccion del universo.

Ademas, por la propiedad geometrica de simetrıa maxima, tambien se quiere que eltensor de Riemann tenga la forma

Rijkl = K(gilgjk − gikgjl

). (2.33)

Por tanto, es esta metrica (2.32) junto con (2.33) la metrica mas general de un universohomogeneo e isotropo.

El objetivo de la Cosmologıa Relativista se centra en determinar las funciones a(t)2 ygij en (2.32) en funcion del contenido de energıa y materia del universo. El factor a(t)2 seobtiene a traves de las ecuaciones de Einstein, pues estas describen la dinamica del sistema.Hallar g(x) es un problema puramente geometrico, es decir, se obtiene tras resolver (2.33).

Las soluciones de estas ecuaciones son tres superficies tridimensionales con curvaturaconstante: la esfera S3, el plano R3 y el hiperboloide H3.

Una serie de calculos de baja relevancia en este trabajo, indican que la metrica de ununiverso homogeneo e isotropo ha de tener la forma

ds2 = dt2 − a2(t)

[1

1− kr2dr2 + r2

(dθ2 + sin2 θdφ2

)], (2.34)

donde k es la curvatura de las secciones espaciales tridimensionales. Esta metrica obtenida(2.34) se llama la metrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW). Su nombre provienedel fısico-meteorologo ruso Alexander Friedmann, del fısico americano Howard Robertsony del matematico ingles Arthur Walker. En 1922, Friedmann propuso la metrica (2.34)como Ansatz para el universo, dedujo las ecuaciones de Friedmann y obtuvo una de lasprimeras soluciones para un universo en expansion.

Ademas, para cada t = constante, las secciones espaciales son superficies de curvaturaconstante donde el factor de escala2 a(t) representa, de algun modo, el tamano de estasuperficie espacial. Ademas, el aumento (resp. disminucion) de a(t) se interpreta como una

2Este factor de escala a(t) tiene dimensiones adimensionales si k = 0 y dimensiones L en otro caso.

Page 31: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

2 El espacio de De Sitter 31

expansion (resp. contraccion) de las secciones espaciales.

Como el objetivo principal de este trabajo es el calculo de trayectorias aceleradas en DeSitter, se busca simplificar lo maximo posible el problema para reducir su dificultad. Portanto, observando la metrica, suponer que las secciones espaciales 3-dimensionales tienencurvatura constante nula simplifica mucho la forma de la metrica. Es decir, tendrıamosque k = 0. En otras palabras, las secciones espaciales son planas y la metrica de las mismastiene la forma gij = δij .

De acuerdo a toda esta motivacion previa y de modo que el espacio-tiempo este foliadopor unas secciones espaciales planas con t = constante, homogeneas e isotropas, el Anstazviene determinado por

ds2 = dt2 − e2A(t)δijdxidxj , (2.35)

donde hay que obtener la funcion A(t) y el factor de escala es a(t) = eA(t).

En primer lugar, se calculan los sımbolos de Christoffel. Los no nulos son

Γtij = A′e2Aδij , Γjti = A′δji . (2.36)

Por otro lado, las coordenadas del tensor de Ricci no nulas son

Rtt = 3A′′ + 3(A′)2,

Rij = −e2A(A′′ + 3(A′)2

)δij .

Al igual que antes, se ha de cumplir queRtt = 3A′′ + 3(A′)2 = κΛ,Rij = −e2A

(A′′ + 3(A′)2

)δij = −κΛe2Aδij .

(2.37)

Si en el sistema (2.37), primero se simplifica −e2Aδij de la segunda ecuacion y despues sele resta la 2a ecuacion a la 1a ecuacion, queda

2A′′(t) = 0 ⇐⇒ A(t) = mt+ n. (2.38)

Ademas, se puede suponer que n = 0, pues no tiene ningun significado fısico. Ahora, si seintroduce A(t) = mt en la 1a ecuacion de (2.37), se obtiene que

3 · 0 + 3m2 = κΛ =⇒ m =

√κΛ

3. (2.39)

Ası, se obtiene que

A(t) =

√κΛ

3t = R−1

0 t. (2.40)

Y finalmente, el Anstaz propuesto para describir el espacio de De Sitter en coordenadasFRW planas viene dado por

Page 32: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

32 2.3 Coordenadas FRW

ds2 = dt2 − e2t/R0δijdxidxj . (2.41)

Esta metrica es conocida como la metrica de De Sitter en coordenadas FRW planas.

¿Es esta metrica valida para modelar la geometrıa del espacio de De Sitter? Pues si yase dispone de una metrica valida de la seccion anterior, ¿son ambas metricas equivalentes?Si se calcula el tensor de Riemann, las componentes no nulas son

Rtitj = Ritjt = −R20e

2t/R0δij , Rijkl = −R20e

4t/R0 (δilδjk − δjlδik.) . (2.42)

Por tanto, se tiene que el tensor de Riemann se puede expresar como

Rµνρλ = −R−20 (gµλgνρ − gµρgνλ). (2.43)

Notese que, en principio la simetrıa maxima impuesta por el Ansatz solo afectaba a lassecciones espaciales planas y observando el tensor de Riemann (2.43), esta propiedad desimetrıa maxima resulta ser valida tambien fuera de las secciones espaciales.

Ademas, por resultados de unicidad en ecuaciones diferenciales, la condicion de sermaximamente simetrico tiene solucion unica. Por tanto, a la pregunta de si ambas metricasson equivalentes, debemos de responder con un sı, ya que ambas metricas son solucion dela misma ecuacion diferencial.

Antes de comenzar con el calculo de trayectorias aceleradas, se cerrara este capıtulo conla obtencion de esta ultima metrica a partir de la parametrizacion

X0 = R0 sinh(R−10 t) + 1

2R−10 δijx

ixjet/R0 ,

Xi = xiet/R0 , i = 1, 2, 3,

X4 = −R0 cosh(R−10 t) + 1

2R−10 δijx

ixjet/R0 .

(2.44)

Ası, sustituyendo en (2.4), la metrica se reescribe como

ds2 = dt2 − e2t/R0δijdxidxj . (2.45)

En este caso, la coordenada temporal t esta caracterizada por

X0 −X4 = R0et/R0 , (2.46)

de modo que las secciones espaciales son los planos donde X0 −X4 es constante.

Como se aprecia en la figura (2.3), las coordenadas FRW cubren nada mas que la mitadde la variedad donde X0 −X4 = R0e

t/R0 ≥ 0, es decir, la parte en gris de la grafica a laizquierda.

cuidado! eso es una argumehto muy flojo, que cualquier matematico o fisico te puede rebatir. El argumentomrigurosomes que ambas expresiones son soluciones de (2.43), de lamque se sabe que la solucion es única. yo mencionaria entonces que eso implica que ambas expresiones describen el mismo espacio en coordenadas distintas
Page 33: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

2 El espacio de De Sitter 33

Figura 2.3. El espacio de De Sitter en coordenadas FRW planas.

Observese que en esta parametrizacion X0 − X4 ≥ 0, de modo que las coordenadas(t, xi) no cubren la variedad al completo, sino la parte superior al plano X0 = X4.

Page 34: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo
Page 35: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

3 Movimiento uniformemente acelerado

En este ultimo capıtulo se describira con rigor a los observadores uniformemente acele-rados. Ademas, se definira una nueva conexion que esta profundamente relacionada con elformalismo de los Vielbeins.

A continuacion, se procedera al calculo de los observadores acelerados en el espacio-tiempo mas trivial posible: el espacio de Lorentz-Minkowski. Despues se calcularan lasgeodesicas tanto en coordenadas estaticas como en coordenadas FRW planas, ya que sonel caso mas trivial de curvas con aceleracion constante nula.

En ultimo lugar para cerrar el capıtulo y el trabajo, se procedera al desarrollo practicode las ecuaciones que caracterizan el movimiento uniformemente acelerado. Este procedi-miento se realizara, al igual que con las geodesicas, tanto en coordenadas estaticas comoen coordenadas FRW planas.

3.1. Movimiento uniformemente acelerado en RelatividadGeneral

El concepto de movimiento uniformemente acelerado (MUA) de un observador en unespacio-tiempo arbitrario se analizara detalladamente en esta primera seccion.

Definicion 3.1.1. Un espacio-tiempo es una variedad lorentziana n-dimensional (conn ≥ 2) y orientable (M, g)1 dotada de una cierta orientacion temporal.

A lo largo de este trabajo, denotaremos mediante M a los espacio-tiempos. Ademas,identificaremos a los puntos de M como los eventos que ocurren en el espacio-tiempo.Ademas, se considerara que un observador de M es una curva diferenciable γ : I → Mtal que:

el dominio de definicion de la curva, I, es un intervalo abierto de R,

si se denota γµ = uµ, la curva γ esta parametrizada por el arco uµuµ = 1 y

γ(τ) apunta hacia el futuro para cualquier tiempo propio τ de la curva.

A lo largo de cada curva γ de M es interesante poder hacer mediciones e ir obteniendoresultados fısicos con ellas. Para ello, es necesario conocer que direcciones se pueden mediry estudiar como van cambiando a lo largo de la vida de γ.

1La signatura de la metrica Lorentziana es (+, −, −, −)).

35

Page 36: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

36 3.1 Movimiento uniformemente acelerado en Relatividad General

El formalismo de los Vielbeins es una herramienta matematica que da una formulacionalternativa a la Geometrıa Diferencial y que proporciona un significado fısico en terminosde coordenadas. Todos los observadores parametrizan los eventos cercanos con respecto asu reloj y posicion propia. De hecho, su tiempo propio indica el momento en el que unevento ocurrio y construyen una base cartesiana que determina la posicion relativa a ellos(aunque esta base este acelerada con respecto a cierto observador geodesico). Esto es, encada punto de una trayectoria γ(τ) se tiene una base local de cuatro vectores ortonormales|ea〉 con a = 0, ..., 3, que permite hacer mediciones de manera local a lo largo de cadacurva.

El hecho de ser una base ortonormal, en coordenadas curvilıneas arbitrarias xµ, se puedetraducir en

gµνeµaeνb = ηab, (3.1)

donde eµa coincide con las componentes del vector |ea〉 en la base de coordenadas |eµ〉.Por tanto, la base ortonormal local de cualquier observador coincide con los Vielbeins.

Esto encaja con el concepto extrınseco de curvatura, pues la curva no nota la curvaturade la variedad a su alrededor, pues lo aproxima a traves del espacio tangente y usa lascoordenadas cartesianas en este espacio tangente. Ademas, como la coordenada temporalde nuestro observador coincide con el tiempo propio, en cada instante τ el vector de basetemporal es su cuadrivelocidad eµ0(τ) = γµ(τ).

A continuacion, se procede a descomponer el espacio tangente en dos tipos de direcciones:las que se pueden medir y las que no. Ası, en cada evento γ(τ) el espacio tangente Tγ(τ)Mse puede descomponer como

Tγ(τ)M = span(γ(τ))⊕ span(γ(τ))⊥ = spane0 ⊕ span(e1, e2, e3) := Tτ ⊕Rτ , (3.2)

donde Tτ es el espacio generado por γ y son las direcciones que la curva no puede medir ypor otro lado, (Rτ , g) es un hiperplano espacial del espacio tangente para cada τ e incluyetodas las direcciones que sı puede medir γ. Tambien se dice que Rτ es el conjunto generadopor e1, e2, e3 de direcciones observables por la curva γ.

Ademas, el observador γ es capaz de comparar direcciones espaciales para cada τ . EnGeometrıa Diferencial, el transporte paralelo es una manera de transportar datos geometri-cos a lo largo de curvas diferenciables en una variedad M . Si dicha variedad viene con unaconexion afın, es decir, una derivada covariante o conexion en el fibrado tangente, entoncesesta conexion permite transportar vectores de la variedad a traves de curvas de forma quepermanecen paralelos con respecto a la conexion.

Es decir, dados dos vectores observables en tiempos de la curva τ1 y τ2, esto es, v1 ∈ Rτ1y v2 ∈ Rτ2 , con τ1 < τ2 y |v1| = |v2|, el observador γ podrıa usar el transporte paralelo atraves de γ definido por la derivada covariante de Levi-Civita,

X : Tγ(τ1) → Tγ(τ2). (3.3)

Se define el transporte paralelo de v1 a lo largo de γ como la extension de v1 mediante un

Page 37: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

3 Movimiento uniformemente acelerado 37

campo paralelo X a lo largo de dicha curva tal que cumple

si τ = τ1, el campo coincide con v1: Xγ(τ1) = v1,

si τ = τ2, el campo vale v2: Xγ(τ2) = v2 y

X es un campo paralelo a lo largo de γ: γρ∇ρXµ = 0.

Figura 3.1. Transporte paralelo del vector v ∈ TpM a lo largo las curvas α y β hasta elpunto q ∈M .

Tal y como se visualiza en la figura (3.1), el campo paralelo que lleva el vector v ∈ TpM alo largo de la curva α o β hasta q ∈M , se transporta a lo largo de cada curva de manera queαρ∇ρXµ = βρ∇ρXµ = 0. Ademas, apreciese graficamente que la definicion de transporteparalelo no depende de la curva elegida. Es decir, dadas dos curvas α y β como en eldibujo, aunque los campos paralelos construidos sean distintos desde p = α(τ1) = β(τ1)hasta q = α(τ2) = β(τ2), han de coincidir tanto en p como en q.

Ademas, la conexion de Levi-Civita garantiza que el producto escalar entre dos vecto-res es invariante bajo transporte paralelo. Si partimos de los Vielbeins |eµ〉, se puedeinterpretar como que en un punto p de la trayectoria, la base se mantendra ortonormal alo largo de toda la curva. En cambio, el transporte paralelo de eµ0(τ) = γµ a lo largo de lacurva, solo coincide con γµ(τ) si es una geodesica (pues la propia definicion de geodesicaobliga a que γρ∇ργµ = 0). Ası, resulta que la conexion de Levi-Civita no puede mantenerla base ortonormal previa tangente a una trayectoria acelerada. Por tanto, si el observa-dor quiere usar esta base para parametrizar la region a su alrededor, hay que definir untransporte paralelo mas generalizado.

A continuacion se introduce una nueva herramienta matematica que permitira, indepen-dientemente de la curva, transportar paralelamente direcciones observables. Esta nuevaherramienta es una conexion, que denotaremos mediante ∇. Esta conexion se denominala conexion de Fermi-Walker.

Para construir esta nueva conexion que relacione las distintas bases |ea〉 a lo largo decualquier trayectoria, se puede suponer que bajo un transporte infinitesimal los vectores debase previos y posteriores al transporte estan relacionados a traves de una transformacion

Page 38: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

38 3.1 Movimiento uniformemente acelerado en Relatividad General

de Lorentz infinitesimal,γρ∇ρeµa = −θµνeνa, (3.4)

donde θµν = −θνµ es el parametro de la transformacion de Lorentz. En particular, sesabe que θ0i = βi es el parametro de los boosts, mientras que θij = εijkΩk es la rotacionalrededor del eje |ek〉.

Ademas, en nuestro caso del observador acelerado, el boost infinitesimal induce unaaceleracion αµ := dγµ

dτ := d2xµ

dτ2(campo en su cuadrivelocidad γµ) y la parte rotacional

representa una rotacion puramente espacial de la base con respecto a un observador iner-cial (deja a γµ invariante). La aceleracion αµ es un cuadrivector espacial que siempre esortogonal a γµ:

γµαµ = gµν γ

µαν = gµν γµdγ

ν

dτ=

1

2

d

dτ(gµν γ

µγν) = 0. (3.5)

Por tanto, la aceleracion siempre es un vector espacial. Ası, un boost infinitesimal enun momento τ0 corresponde a una transformacion de Lorentz infinitesimal en el planogenerado por γµ(τ0) y αµ(τ0), cuyo parametro es

θµνFW = γµαν − γναµ. (3.6)

Efectivamente representa un boost, ya que el cambio de la cuadrivelocidad γµ es la acele-racion

γρ∇ργµ = γρ∇ρeµ0 = θµνFW eν0 = (γναµ − γµαν)γν = αµ. (3.7)

Ademas, no contempla rotaciones espaciales, ya que dado V µ vector espacial ortogonal aγµ y αµ queda invariante bajo este boost, pues

γρ∇ρV µ = (γναµ − γµαν)Vν = 0. (3.8)

Por otro lado, una rotacion espacial de la base con respecto a un observador inercial estagenerada por el parametro

θµνrot = εµνρλγρΩλ, (3.9)

donde Ωλ es un vector espacial y ortogonal a γµ, que representa la velocidad angular ~Ω.Efectivamente es una rotacion infinitesimal con velocidad angular contenida en el planoperpendicular a γµ y Ωµ, ya que

γρ∇ργµ = θµνrotγν = 0, γρ∇ρΩµ = θµνrotΩν = 0, (3.10)

γρ∇ρeia = −εij0ku0Ωkeja = εijkΩjeka = (~Ω× ~ea)i. (3.11)

De una manera mas general, los vectores de la base |ea〉 son transportados a lo largode una curva como

γρ∇ρeµa = −[γµαν − γναµ + εµνρλγρΩλ

]eνa. (3.12)

derivada covariante!
Page 39: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

3 Movimiento uniformemente acelerado 39

Los observadores acelerados sin rotacion utilizan los Vielbeins |ea como una base or-tonormal a traves de su trayectoria. Estos observadores eligen su tiempo propio como lacoordenada temporal y la hipersuperficie ortogonal a su cuadrivelocidad γµ en cada mo-mento como su ahora. La conexion de Fermi-Walker garantiza que la base se transporteparalelamente a lo largo de la trayectoria.

Ademas, en cada momento los eventos cercanos a la trayectoria(zona gris de la figura(3.1) pueden ser parametrizados mediante geodesicas espaciales radiales desde la posiciondel observador (lıneas discontinuas del dibujo). Tal y como se puede apreciar graficamente,estas coordenadas tienen un alcance limitado. Esto es debido a que distintas geodesicasespaciales en distintos momentos de tiempo pueden llegar a cruzarse lejos de la trayectoriaacelerada (punto p del dibujo).

Figura 3.1. Observador acelerado transporta los Vielbeins a lo largo de la trayectoria quedescribe.

Observese que si αµ = Ωµ = 0 en (3.12), se tiene que γρ∇ρeµa = 0, es decir, que la curvaes una geodesica y el transporte paralelo es el usual de la conexion de Levi-Civita.

En segundo lugar, si la aceleracion es nula pero no lo es la velocidad angular, la base|ea〉 coincide con la de una geodesica que rota alrededor de un eje espacial.

Finalmente, si αµ 6= 0 y Ωµ = 0, se tiene una base acelerada sin rotacion. Esta conexionque identifica como paralelos a dos vectores cualesquiera a lo largo de una curva temporalacelerada, V (τ1) y V (τ2), se llama conexion de Fermi-Walker. Ası, diremos que unvector esta sometido a un transporte Fermi-Walker si

γρ∇ρV µ = − (γµαν − γναµ)Vν . (3.13)

eso mismi cuentas debajo de (3.22).une los parrafos y mueve el dibujo a la disvusion debajo de (3.22)
Page 40: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

40 3.1 Movimiento uniformemente acelerado en Relatividad General

Proposicion 3.1.2. Sea γ una curva en M . Entonces existe una unica conexion ∇ a lolargo de γ que se define como

Xρ∇ρY µ := −(ανYν)Xµ + (XνYν)αµ, (3.14)

donde αµ := γρ∇ργµ y para cualesquiera X e Y campos diferenciables a lo largo de γ.

Demostracion.

En primer lugar, esta claro que ∇ es R-lineal en X:

(aXρ + b Zρ)∇ρY µ = aXρ∇ρY µ + b Zρ∇ρY µ, (3.15)

para cualesquiera a, b ∈ R y Z campo diferenciable a lo largo de γ.

En segundo lugar, se comprueba que es C∞(M)-lineal en Y :

Xρ∇ρ(fY )µ = −(ανfYν)Xµ + (XνfYν)αµ = f [−(ανYν)Xµ + (XνYν)αµ] = fXρ∇ρY µ,(3.16)

para cualquier f ∈ C∞(M).

Y por ultimo, se tiene que

(fXρ)∇ρY µ = f(Xρ∇ρY µ) +Xρ(f∇ρY µ) = f(Xρ∇ρY µ) + Y X(f)µ. (3.17)

Por tanto, ∇ es una conexion a lo largo de la curva γ.

Observacion 3.1.3. Observese que la conexion de Fermi-Walker tiene la propiedad deque dado cualquier vector medido por la curva Y ∈ Rτ := span(e1, e2, e3) en un ciertotiempo τ , entonces la conexion de Fermi-Walker a lo largo de cualquier vector Xν a lolargo de γ cumple que

(Xρ∇ρY µ)τ ∈ Rτ . (3.18)

Es decir, gracias a la conexion de Fermi-Walker, los campos de vectores observables que sontransportados a traves de campos a lo largo de curvas continuan siendo vectores observablespor dichas curvas.

Por otro lado, es importante recordar que la conexion de Levi-Civita ∇ de M induce unaconexion a lo largo de cada observador γ tal que la correspondiente derivada covariante esla bien conocida

DY µ

dτ= γρ∇ρY µ, (3.19)

para cualquier campo vectorial Y µ a lo largo de γ, donde τ denota el tiempo propio de γ.

Y tambien, se puede definir una nueva derivada covariante, la derivada de Fermi, quese define como

DFVµ = γρ∇ργµ + (γµαν − γναµ)Vν . (3.20)

Tambien se denotara la derivada covariante Fermi-Walker como D/dτ .

Page 41: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

3 Movimiento uniformemente acelerado 41

Por tanto, el transporte Fermi-Walker de un vector V µ implica que su derivada de Fermies cero: DFV

µ = 0.

Observacion 3.1.4. Notese que la derivada de Fermi (3.20) se reduce a la derivadacovariante usual cuando la curva no tiene aceleracion, esto es, αµ = 0.

Relativo a la conexion de Fermi-Walker, se tiene el transporte paralelo a lo largo de γ,X : Tγ(τ1)M → Tγ(τ2)M , donde ahora esta isometrıa lineal sı satisface la condicion quebuscabamos anteriormente

X(Rτ1) = Rτ2 . (3.21)

Es decir, gracias a esta nueva conexion sı es posible transportar de manera paralelavectores observables por nuestra curva en cualquier instante de tiempo. Mas aun, estaherramienta permite comparar direcciones espaciales para cualquier tiempo a lo largo decualquier curva γ.

Con esta generalizacion de transporte paralelo, podemos dar un sentido mas matematicoa las coordenadas naturales de un observador acelerado, al menos de manera local en sutrayectoria γ(τ0), definiendo las coordenadas de Fermi. En primer lugar, τ es el tiempopropio de la curva que permite distinguir eventos a lo largo de su trayectoria. Ası, en cadamomento τ0, trazando geodesicas espaciales γτ0~n(σ) localmente, se pueden parametrizar lospuntos cercanos a su posicion. Cada una de estas geodesicas espaciales esta caracterizadapor su parametro σ, el momento τ0 en el que se emite y el vector tangente a la geodesicanµ = dxµ

dσ (σ) que indica la direccion.

Para cada τ0, la familia de geodesicas espaciales γτ0~n(σ) define una hipersuperficie deeventos simultaneos. Ası, el observador puede atribuir a cualquier evento cercano a lageodesica las coordenadas

xµ =

(x0 = τ~x = σ~n

), (3.22)

donde ~n = na|ea, ya que n0 = 0 por ser nµ ortogonal a γµ. En otras palabras, los eventoscercanos estan completamente determinados por el momento τ0, la geodesica espacialγτ0~n(σ) y el punto σ0 a lo largo de la curva geodesica.

Sin embargo, las coordenadas de Fermi solo tienen un alcance limitado local. Por cadapunto cercano a cada evento γ(τ0) pasa una unica geodesica espacial γτ0~n(σ). Sin em-bargo, por la curvatura del espacio o aceleraciones de la trayectoria, es posible que estasgeodesicas se puedan cruzar. Es decir, es posible que eventos lejanos pertenezcan a variashipersuperficies de simultaneidad a la vez, lo que implica singularidades en las coordenadasde Fermi. Desde un punto de vista matematico, esto se interpreta como que estas hipersu-perficies ortogonales a la cuadrivelocidad γµ no forman una foliacion del espacio-tiempogloblamente definida, solamente en una region local.

Una vez introducidos todos estos conceptos, se puede presentar de forma rigurosa elconcepto de observador uniformemente acelerado (UA):

Page 42: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

42 3.1 Movimiento uniformemente acelerado en Relatividad General

Definicion 3.1.5. Se dice que un observador γ : I → M obedece un movimiento uni-formemente acelerado (MUA) o es un observador uniformemente acelerado si

X (γρ∇ργµ(τ1)) = γρ∇ργµ(τ2), (3.23)

para cualesquiera τ1, τ2 ∈ I con τ1 < τ2 y donde X hace referencia al transporte paraleloa lo largo de γ. O equivalentemente

D

(Dγµ

)= 0 ⇐⇒ γρ∇ρ

(γλ∇λγµ

)= 0, (3.24)

es decir, Dγµ/dτ es Fermi-Walker paralelo a lo largo de γ.

Ejemplo 3.1.6. En Fısica, existen numerosas situaciones donde el movimiento uniforme-mente acelerado (MUA) aparece. Por ejemplo, considerese una partıcula cargada electri-camente (γ(τ),m, q) en presencia de un campo electromagnetico F . Ası, la dinamica de lapartıcula esta totalmente descrita por la ecuacion de la fuerza de Lorentz,

mDγµ

dτ= qFµ(γ), (3.25)

donde F es el (1, 1)-campo tensorial metricamente equivalente a la 2-forma cerrada F . Elcampo vectorial Fµ(γ) a lo largo de γ es el campo electrico relativo a la curva γ.

Ası, la conexion de Fermi-Walker a lo largo de γ permite definir que γ percibe un campoelectrico constante si

D

(Fµ(γ)

)=m

q

D

(Dγµ

)= 0 =⇒ D

(Dγµ

)= 0, (3.26)

donde se ha usado la ecuacion de la fuerza de Lorentz (3.25) y que m y q son constantes.

Por tanto, si una partıcula se esta moviendo en presencia de un campo electromagneticoFµ y su campo electrico satisface la ecuacion previa, entonces se puede afirmar que γ sigueun MUA.

Ejemplo 3.1.7. Otro ejemplo de observadores que siguen un movimiento uniformementeacelerado son los observadores de Rindler en Lorentz-Minkowski Ln. Este ejemplo seradesarrollado con mas detalle en la siguiente seccion.

Las ecuaciones anteriores (3.23) y (3.24) representan un sistema de ecuaciones diferen-ciales ordinarias (EDO) de 3er orden. Ası, el siguiente problema de valores iniciales tienesolucion local unica:

Ddτ

(Dγdτ

)= 0,

γ(0) = p, γ(0) = v, Dγdτ (0) = w,

(3.27)

donde p ∈ M punto de la curva a tiempo propio τ = 0, v, w ∈ TpM son vectores delespacio tangente tales que |v|2 = 1, 〈v, w〉 = 0 y |w|2 = −a2 para cierta constante positiva

la derivada covariante exterior no debe ser fermi-walker? es decir, no lleva sombrero?
Page 43: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

3 Movimiento uniformemente acelerado 43

a.

Ademas, independientemente del observador se tiene el siguiente resultado donde sepresenta una cantidad conservada:

Lema 3.1.8. Sea γ : I ⊂ R→M que satisface la ecuacion

D2γµ

dτ2= −

∣∣∣∣Dγdτ∣∣∣∣2 γµ + γν

Dγν

Dγµ

dτ, (3.28)

donde Dγµ/dτ = γρ∇ργµ. Entonces∣∣∣Dγµdτ ∣∣∣2 (t) ≡ constante para cada t ∈ I.

Demostracion.

En primer lugar, si se denota αµ = γρ∇ργµ y se multiplica la ecuacion (3.28) por Dγµ

dτ =γλ∇λγµ, entonces queda

γρ∇ρ(γλ∇λαµ)γβ∇β γµ = −(γρ∇ργσγλ∇λγσ)γβ∇β γµγµ+(γσγρ∇ργσ)γλ∇λγµγβ∇β γµ = 0.(3.29)

Ademas, si se ve el primer miembro γρ∇ρ(γλ∇λαµ)γβ∇β γµ como una derivada, se puedeescribir finalmente que

1

2

d

(γρ∇ργµγλ∇λγµ

)= 0 ⇐⇒ γρ∇ργµγλ∇λγµ =

∣∣∣∣Dγµdτ

∣∣∣∣2 = cte, (3.30)

que es lo que se querıa probar.

Observacion 3.1.9. Es importante destacar que el resultado anterior es valido para cual-quier espacio-tiempo, pues no hay ninguna restriccion en el resultado anterior que afectea M .

Por otro lado, mencionar que la familia de los observadores uniformemente aceleradospuede incluirse en otra familia mas grande que es importante en el estudio de Geometrıaglobal de espacio-tiempos. Se trata de los observadores de aceleracion acotada que sedefinen como curvas γ : I →M tales que existe una constante B > 0 tal que∣∣∣∣Dγdτ (τ)

∣∣∣∣ ≤ B ∀τ ∈ I. (3.31)

Es decir, se tiene que

observadores UA ⊂ observadores de aceleracion acotada . (3.32)

Por ultimo, notese que si γ es un observador uniformemente acelerado y no esta en caıdalibre, entonces siempre se tiene que∣∣∣∣Dγdτ

∣∣∣∣−1 Dγµ

dτes Fermi-Walker paralelo⇐⇒

∣∣∣∣Dγdτ∣∣∣∣−1 D

(Dγµ

)= 0. (3.33)

Page 44: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

44 3.1 Movimiento uniformemente acelerado en Relatividad General

Ası, un observador γ obedece un movimiento uniformemente acelerado si cumple lasiguiente ecuacion diferencial ordinaria de 3er orden:

Proposicion 3.1.10. γ es Fermi-Walker paralela si y solo si

D2γµ

dτ2= −

∣∣∣∣Dγdτ∣∣∣∣2 γµ. ⇐⇒ γρ∇ραµ = −αναν γµ, (3.34)

donde αµ = γρ∇ργµ.

O equivalentemente, γ satisface (3.34) si y solo si la 4-aceleracion y la 4-velocidad soncolineales para cada τ ∈ I.

Nota: tengase muy presente este resultado, pues sera el que se utilizara en el calculode trayectorias aceleradas en el espacio de De Sitter en las proximas secciones.

Ejemplo 3.1.11. En cualquier Robertson-Walker generalizado, cada curva integral de lascoordenadas elegidas es un observador uniformemente acelerado.

Ahora, considerese un observador uniformemente acelerado γ : I →M con a = |Dγµ

dτ | >0 constante por el Lema enunciado en esta seccion. Si denotamos e1 = γ y e2 = a−1Dγ/dτ ,entonces la ecuacion (3.34) permite escribir

De1dτ = ae2,

De2dτ = ae1.

(3.35)

Recıprocamente, si se asume cierto este ultimo sistema de ecuaciones (3.35) para cual-quier observador γ con a > 0 constante, entonces se tiene que γ sigue un movimientouniformemente acelerado. En otras palabras, los observadores uniformemente aceleradosson cırculos lorentzianos de curvatura constante a y de torsion identicamente nula.

En general, los cırculos en variedades riemannianas fueron estudiados por Nomizu yYano para caracterizar las subvariedades umbilicales2 cuya curvatura media era paralelaen cualquier variedad riemanniana. Ambos describieron los cırculos como solucion de unsistema de ecuaciones de tercer orden tambien. Los resultados fueron extendidos al casolorentziano por Ikawa.

Finalmente, reagrupando toda esta informacion, es posible presentar un resultado decaracterizacion de los observadores uniformemente acelerados:

Proposicion 3.1.12. Dado γ : I →M , son equivalentes:

a) γ sigue un MUA.

b) γ es solucion deγρ∇ραµ = −αναν γµ. (3.36)

2Una variedad umbilical (M, g) es aquella cuya segunda forma fundamental h es proporcional a la metricag (primera forma fundamental). Esto es, h = g ~H donde ~H es el vector curvatura media.

no habia caido en esto.... entonces deberiamos ser capaces de sacar una solución para de sitter en coord frw : las lineas integrales. pero supongo que ya no habra tiempo de comprobarlo. ..
Page 45: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

3 Movimiento uniformemente acelerado 45

c) γ es un cırculo lorentziano o esta en caıda libre(geodesica).

d) γ tiene curvatura constante y el resto de las curvaturas son cero.

e) γ es totalmente umbilical con la curvatura media paralela, vista la curva como unainmersion isometrica de (I, dt2) en M .

3.2. El espacio de Rindler

En esta seccion se presentan al lector los observadores que siguen un movimiento uni-formemente acelerado en el espacio-tiempo mas sencillo posible: observadores de Rindleren el espacio de Lorentz-Minkowski. La razon de estudiar estas trayectorias aceleradas esverdaderamente util, pues nos permitira comprobar si las ecuaciones que caracterizan a losobservadores uniformemente acelerados son validas para este caso tan trivial y ası afirmarque vamos en la direccion adecuada.

Considerese un observador inercial en el espacio de Minkowski R1,3 que ve a un obser-vador acelerado siguiendo la siguiente trayectoria a lo largo del eje x,

xµ(τ) =1

a

sinh(aτ)cosh(aτ)

00

, (3.37)

donde a es una constante de dimensiones L−1 y τ es el tiempo propio del observadoracelerado. A este tipo de observadores se le llaman observadores de Rindler.

Ahora, calculamos su vector aceleracion

γµ(τ) =dxµ

dτ(τ) =

cosh(aτ)sinh(aτ)

00

=⇒ αµ(τ) =dγµ

dτ(τ) =

a sinh(aτ)a cosh(aτ)

00

, (3.38)

y su moduloαµα

µ = a2 sinh2(aτ)− a2 cosh2(aτ) = 3 − a2, (3.39)

donde el signo aparece por ser αµ un vector espacial. La trayectoria que sigue el observadorde Rindler forma una hiperbola a una distancia espacial fija con respecto al origen decoordenadas cartesianas. Ademas, describe un observador que se acerca el observadorinercial a lo largo del eje x, decelerando constantemente hasta que se para en t = 0 auna distancia 1

a del observador inercial y se aleja otra vez de manera acelerada. En otraspalabras, la distancia de acercamiento es inversamente proporcional a la aceleracion.

El espacio de Rindler describe el mismo espacio de Minkowski, pero visto por el obser-

3Para cualquier x ∈ R se tiene que cosh2 x− sinh2 x = 1.

en esta seccion el texto aun se parece mucho al texto de mi libro. intenta contarlo tú conntus palabras...
Page 46: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

46 3.2 El espacio de Rindler

vador acelerado. Si consideramos el siguiente cambio de coordenadas

t = X sinh(aT ), x = X cosh(aT ), y = Y, z = Z, (3.40)

y su inversa

T = a−1Arctgh

(t

x

), X =

√x2 − t2, Y = y, Z = z. (3.41)

Ası, se tiene que dY = dy, dZ = dz, y tambien que

dt = aX cosh(aT ) dT + sinh(aT ) dX, (3.42)

dx = aX sinh(aT ) dT + cosh(aT ) dX. (3.43)

(3.44)

Ası, la metrica del espacio de Minkowski en coordenadas cartesianas se puede reescribircomo

ds2 = dt2 − dx2 − dy2 − dz2 =

= (aX)2[cosh2(aT )− sinh2(aT )

]dT 2 −

[cosh2(aT )− sinh2(aT )

]dX2 − dY 2 − dZ2 =

= (aX)2dT 2 − dX2 = a2X2dT 2 − dX2 − dY 2 − dZ2.

(3.45)

Ası, tal y como se puede apreciar en (3.45), el espacio de Rindler no es mas que un trozodel espacio de Minkowski escrito en unas coordenadas especıficas. Ademas, el tensor deRiemann de la metrica (3.45) es identicamente nulo.

En cambio, el cambio de coordenadas realizado previamente (3.40)-(3.41) no esta globla-mente definido en Minkowski. Es decir, las coordenadas de Rindler no cubren el espaciode Minkowski entero, sino solo una parte. De hecho, solo estan definidas para x > 0 yx2 − t2 > 0 y describen solo la parte de fuera del cono de luz del origen que contiene aleje x positivo, tal y como se aprecia en la figura (3.2):

Las coordenadas de Rindler T y X describen la parte de fuera del cono de luz del origen(parte en blanco en la figura) que contiene al eje x positivo. Las lıneas con T constanteson rectas que pasan por el origen, mientras que las curvas con X constante son hiperbolasque siempre estan a una distancia espacial constante del origen.

Ademas, la recta t = x es un horizonte para los observadores de Rindler, pues nuncapodran recibir senales que provengan de la zona t ≥ x, que son las flechas discontinuas en lazona gris. Por otro lado, los observadores inerciales (lınea en negrita) parecen observadoresen caıda libre en coordenadas de Rindler, pero desaparecen detras del horizonte t = xcuando T →∞ tras un tiempo propio finito.

Notese que de alguna forma las coordenadas de Rindler (T,X) son el equivalente loren-tziano a las coordenadas polares (r, φ) en R2. Es X quien juega el papel de la coordenadaradial r y aT la del angulo polar φ. Debido a su signatura (+,−,−,−), la unica diferencia

Page 47: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

3 Movimiento uniformemente acelerado 47

Figura 3.2. El espacio de Rindler visto como una seccion del espacio de Minkowski.

del espacio de Minkowski es que X = 0 corresponde en coordenadas cartesianas al conode luz t±x, mientras que en las coordenadas de Rindler son singulares. Ademas, restringeel cambio de coordenadas (3.40) a una cuna del plano tx.

Se podrıan cubrir las demas cunas, aunque no de manera simultanea, con ligeras modifi-caciones de las reglas de transformacion. Ası, si se cubre el cono de luz futuro del origen, serecupera basicamente el universo de Milne4, donde las secciones espaciales vienen descritaspor (X,Y, Z) en vez de (r, θ, φ). Las metricas del universo de Milne y la metrica (3.45)estan relacionadas mediante una rotacion de Wick5 doble T iX.

Con esta interpretacion, esta claro que las lıneas con T constantes forman un abanicode rectas que convergen en el origen del sistema cartesiano, mientras que las curvas Xconstante hacen referencia a las lıneas del universo de una familia de observadores acele-rados, cada uno con una aceleracion propia a = 1

X . En particular, en las coordenadas deRindler la curva (3.37) se corresponde con

X(τ) =1

a, T (τ) = τ. (3.47)

La coordenada radial es constante y el tiempo de Rindler T mide el tiempo propio delobservador de Rindler con aceleracion a.

Ademas, del Principio de Equivalencia sabemos que si un observador se mueve con una

4El universo de Milne es un caso especial de modelo Friedmann-Lemaıtre-Robertson-Walker con constantecosmologica Λ = 0, curvatura espacia negativa y que, en coordenadas hiperesfericas, su metrica adoptaa forma

ds2 = dt2 − t2(dχ2 + sinh2 χdΩ2) (3.46)

donde χ = sinh−1 r.5Una rotacion de Wick es un metodo para encontrar soluciones a problemas del espacio de Minkowski

a partir de soluciones relativas al espacio euclıdeo, en el que se sustituyen variables imaginarias porvariables reales.

Page 48: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

48 3.2 El espacio de Rindler

aceleracion constante, este puede pensar que se encuentra bajo un campo gravitatorioconstante. Ası, el observador que usa las coordenadas de Rindler (T,X) es equivalente aun observador en un ascensor. En realidad, desde un punto de vista geometrico, un campogravitatorio constante es el espacio plano visto por un observador de Rindler.

Ahora, si se consideran las geodesicas del espacio de Rindler, cuyas ecuaciones sonT + 2X−1XT = 0,

X + a2XT 2 = 0,

a2X2T 2 − X2 = 1.

(3.48)

O bien, si aplicamos el cambio de coordenadas (3.40) a la expresion de las geodesicas encartesianas x(t) = v0t+ x0. En ambos casos, se obtiene

T (τ) =1

aarctan

X0

)+ T0, X(τ) =

√X2

0 − τ2, (3.49)

o equivalentemente,

X =X

cosh(aT − aT0), (3.50)

donde τ es el tiempo propio a lo largo de la geodesica y T0 y X0 son constantes deintegracion relacionadas con v0 y x0 a traves de

v0 = tanh(aT0), x0 =X0

cosh(aT0). (3.51)

Aunque una geodesica temporal en el espacio de Minkowski describe una partıcula que semueve de manera uniforme y rectilınea con respecto al observador inercial, esta parece unamasa en caıda libre en coordenadas de Rindler. Quiza esto no esta claro en (3.50) debidoa los efectos de la dilatacion temporal de Relatividad Especial. Sin embargo, en intervalosde tiempo pequenos en comparacion con a−1 (de modo que el aumento de velocidad esdespreciable), esto es, cuando aT 1, (3.50) se puede expandir en una serie de Taylorcomo

X = X0 −1

2a2X0T

2 + ... (3.52)

Esta expresion corresponde con la trayectoria de una partıcula en caıda libre en la gravedadgalileana con g = a2X0 aceleracion gravitatoria.

Ademas, notese que la geodesica (3.49) llega al borde del espacio de Rindler, X = 0,despues de un tiempo propio finito t = X0. En cambio, el observador de Rindler alcanzael borde cuando T → ∞. Mientras que el observador inercial solo tarde una cantidadfinito de tiempo propio en atravesar la cuna de Rindler, para el observador de Rindler escomo si siempre hubiera estado en su universo y siempre estara. Es decir, el espacio deRindler no es geodesicamente completo. Ademas, es bien sabido que en X = 0 se tieneuna singularidad en coordenadas de Rindler que puede ser atravesada por observadores

Page 49: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

3 Movimiento uniformemente acelerado 49

inerciales.

En coordenadas de Rindler, la lınea X = 0 en realidad es un horizonte para los observa-dores de Rindler(t = x en coordenadas cartesianas). Dado que los observadores aceleradosse quedan siempre dentro de la cuna de Rindler, ninguna senal emitida desde la zona t ≥ xpuede llegar a influenciarles. Es decir, la mitad del espacio de Minkowski es completamen-te invisible para los observadores de Rindler. Esto sucede mientras siguen acelerando, encambio si frenan y salen de la cuna, sı pueden ver las senales emitidas desde t ≥ x.

Ademas, es sorprendente que un espacio tan sencillo como Minkowski tenga horizontes.Este horizonte no se debe a las propiedades geometricas del espacio, sino a la manera demoverse de una familia de observadores acelerados. De esta forma, el horizonte de Rindleres mas parecido a los horizontes cosmicos de universos en expansion acelerada que a los desucesos de agujeros negros. Sin embargo, el horizonte de Rindler se puede relacionar conel horizonte de sucesos de la solucion de Schwarzschild. La metrica de Schwarzschild era

ds2 =

(1− 2M

r

)dt2 −

(1− 2M

r

)−1

dr2 − r2dΩ22, (3.53)

donde dΩ22 = dθ2 + sin2 θdφ es el elemento de lınea de la 2-esfera S2.

Si ahora a (3.53) se le aplica el cambio de coordenadas

r − 2M =1

8Mρ2 ⇐⇒ r =

1

8Mρ2 + 2M =

ρ2 + 16M2

8M, (3.54)

tras un calculo breve, se obtiene que los coeficientes de la metrica valen

1− 2M

r=

ρ2

ρ2 + 16M2, r2 =

(ρ2 + 16M2)2

16M2, dr =

ρ

4Mdρ. (3.55)

Si ahora se toma el lımite cuando ρ→ 0, entonces estos coeficientes se reducen a

1− 2M

rdt2 =

1

16M2dt2,

(1− 2M

r

)−1

dr2 = 1 dρ2 r2dΩ22 = 16M2dΩ2

2. (3.56)

Por tanto, la metrica de Schwarzschild quedarıa como

ds2 =1

16M2dt2 − dρ2 − 4M2dΩ2

2. (3.57)

Esto es, para un observador estatico (no-inercial) que este flotando encima del radio deSchwarzschild, la metrica de Schwarzschild toma la forma (3.57). Ademas, esta metrica esde la forma R1,1

Rindler×S2, donde el horizonte de Rindler en ρ = 0 coincide con el horizontede Schwarzschild.

Por otro lado, el efecto Unruh es un supuesto fenomeno fısico que consiste en la deteccion

Page 50: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

50 3.3 Calculo geodesicas en De Sitter

de la radiacion de cuerpo negro6 con espectro en el vacıo. Este fenomeno fısico solo essentido por observadores acelerados, es decir, un observador inercial no detectarıa esteefecto.

Ası, un observador uniformemente acelerado con aceleracion propia a observa un banode partıculas con una temperatura T proporcional a

kBT =~a2πc

, (3.58)

donde kB es la constante de Boltzmann, ~ la constante de Planck racionalizada y c lavelocidad de la luz.

Ademas, observese que la aceleracion que nota el observador de Rindler es exactamentela gravedad de superficie KH de la solucion de Schwarzschild,

a = KH =1

4M. (3.59)

Esto confirma la profunda relacion que existe entre la radiacion de Hawking en el horizontede agujeros negros y el efecto Unruh en el horizonte de Rindler.

3.3. Calculo geodesicas en De Sitter

A continuacion, se calcularan las curvas geodesicas unitarias y temporales en las dosmetricas del espacio de De Sitter obtenidas en el capıtulo previo: coordenadas FRW planasy coordenadas estaticas. Al igual que sucedıa con los observadores de Rindler, es muyutil conocer la expresion de las geodesicas para verificar que las ecuaciones que rigen elmovimiento de observadores uniformemente acelerados son correctas o no.

El porque del calculo de geodesicas en este trabajo se debe a que estas curvas son lascurvas uniformemente aceleradas mas triviales que existen. De hecho, su 4-aceleracion essiempre un vector nulo, esto es, αµ.

En primer lugar, recuerdese la metrica de De Sitter en coordenadas FRW planas obte-nida en el capıtulo anterior

ds2 = dt2 − e2t/R0δijdxidxj (3.60)

y calculese los sımbolos de Christoffel de la misma. Estos se definen como

Γρµν :=1

2gρλ (∂νgλµ + ∂µgλν − ∂λgµν) . (3.61)

Tras numerosos calculos rutinarios, los sımbolos de Christoffel no nulos que se obtienen

6Un cuerpo negro es un objeto teorico que absorbe toda la luz y energıa radiante que incide sobre el.

Page 51: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

3 Movimiento uniformemente acelerado 51

sonΓtij = R−1

0 e2t/R0δij , Γjti = Γjit = R−10 δji . (3.62)

A continuacion, se procedera al calculo de las geodesicas (primera ecuacion de (3.63))en la metrica (3.61) y ademas, supondremos que son curvas temporales unitarias (segundaecuacion de (3.63)). Esto se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones diferencialesdonde Λ = R−1

0 =√

3/κΛ.

Teniendo en cuenta que se busca una curva de la forma γ(τ) = (t(τ), x(τ), 0, 0), entoncest+ Γtij x

ixj = 0,

xi + 2Γitj txj = 0,

gttt2 + gij x

ixj = 1,

⇐⇒

t+ Λe2Λtδij x

ixj = 0,

xi + 2Λδji txj = 0,

t2 − e2Λtδij xixj = 1.

(3.63)

Tras simplificar y despues multiplicar por Λ la tercera ecuacion, quedat+ Λe2Λtx2 = 0,

xi + 2Λtxi = 0,

t2 − e2Λtx2 = 1,

⇐⇒

t+ Λe2Λtx2 = 0,

xi + 2Λtxi = 0,

Λt2 − Λe2Λtx2 = Λ.

(3.64)

Si ahora sumamos la primera y la tercera ecuacion en (3.64), queda

t+ Λt2 = Λ. (3.65)

Entonces, la solucion de esta ecuacion diferencial es

t(τ) = −Λ−1 ln |a sinh(Λτ)|, (3.66)

donde a es una constante de integracion. Por otro lado, el valor de x es

x(τ) = − 1

4Λsinh(2Λτ)− τ

2. (3.67)

Ası, la familia de curvas geodesicas obtenidas son de la forma

γ(τ) = (−Λ−1 ln |a sinh(Λτ)|,− 1

4Λsinh(2Λτ)− τ

2, 0, 0). (3.68)

En segundo lugar, continuamos con el calculo de las curvas geodesicas en coordenadasestaticas. Recordemos que la metrica de De Sitter en estas coordenadas era

ds2 =

(1− r2

R20

)dt2 −

(1− r2

R20

)−1

dr2 − r2dΩ22. (3.69)

Page 52: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

52 3.3 Calculo geodesicas en De Sitter

A continuacion, si se calculan los sımbolos de Christoffel, los no nulos son

Γrtt = − rR2

0

(1− r2

R20

), Γbra = Γbar = 1

r gba,

Γtrt = Γttr = −rR2

0

(1− r2

R20

)−1, Γrab = −r

(1− r2

R20

)gab,

Γrrr = rR2

0

(1− r2

R20

)−1, Γθφφ = − sin θ cos θ,

Γφθφ = Γφφθ = cot θ,

(3.70)

donde gab es la metrica de dΩ22. En esta metrica, se quiere calcular geodesicas radiales,

esto es, que cumplanθ = θ = φ = φ = 0, (3.71)

las ecuaciones de las geodesicas junto con la condicion de que la curva sea unitaria ytemporal, se escriben como

t+ 2Γtrttr = 0,

r + Γrttt2 + Γrrrr

2 = 0,

gttt2 + grrr

2 = 1,

⇐⇒

t+ 2 rR2

0

(1− r2

R20

)−1tr = 0,

r + rR2

0

(1− r2

R20

)t2 + r

R20

(1− r2

R20

)−1r2 = 0,

(1− r2

R20

)t2 +

(1− r2

R20

)−1r2 = 1,

(3.72)Si ahora introducimos la 3a ecuacion en la 2a ecuacion, queda

r − r

R20

= 0 =⇒ r(τ) = c1eτ/R0 + c2e

−τ/R0 , (3.73)

donde c1, c2 son constantes. Si elegimos c1 = c2 = a, se tiene que

r(τ) = a cosh

R0

). (3.74)

Ahora, si sustituimos (3.74) en la primera ecuacion del sistema, se obtiene

t(τ) =c√

a2 −R20

arctan

(R0 tanh( τ

R0)√

a2 −R20

), (3.75)

donde c es una constante de integracion.

Por tanto, la familia de curvas geodesicas obtenidas en De Sitter en coordenadas estaticasson

γ(τ) =

(c√

a2 −R20

arctan

(R0 tanh( τ

R0)√

a2 −R20

), a cosh

R0

), 0, 0

). (3.76)

Una vez obtenidos los casos mas sencillos de observadores uniformemente acelerados:

Page 53: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

3 Movimiento uniformemente acelerado 53

los observadores de Rindler y las curvas geodesicas; se presenta al lector cuales son lasecuaciones que todo observador uniformemente acelerado en el espacio-tiempo de De Sitterdebe de satisfacer.

3.4. Calculo curvas UA en De Sitter

En esta ultima seccion se muestra cuales son las ecuaciones que ha de cumplir unobservador uniformemente acelerado en el espacio de De Sitter. Ademas, se comprobaraque tanto los observadores acelerados del espacio de Rindler como las geodesicas en DeSitter son solucion de dichas ecuaciones. Este proceso se realizara dos veces: en coordenadasFRW y coordenadas estaticas.

Tal y como se ha visto anteriormente, un observador esta uniformemente acelerado sisatisface el sistema de ecuaciones

DFVµ = γρ∇ρV µ + ανVν γ

µ − γνVναµ, (3.77)

donde αµ = γρ∇ργµ. Si bien ahora se considera que curvas son Fermi-Walker paralelas,esto equivale a escribir

0 = DFαµ = γρ∇ραµ + αναν γ

µ −γναναµ, (3.78)

ya que la 4-aceleracion y la 4-velocidad son ortogonales.

Es decir, si ahora despejamos, podemos afirmar que una curva γ sigue un MUA osu aceleracion αµ es Fermi-Walker paralela si satisface

γρ∇ραµ = −αναν γµ. (3.79)

3.4.1. MUA en coordenadas FRW planas

En primer lugar, presentaremos estas ecuaciones (3.79) en coordenadas FRW planas,cuya metrica era

ds2 = dt2 − e2Λtδijdxidxj . (3.80)

Observese que las curvas que nos interesan son las que tienen la forma xµ(τ) = (t(τ), x(τ), y(τ), z(τ)).Ademas, sin perdida de generalidad, se supondra que la curva solo viaja en la direccionen la coordenada x. Esto es, se tiene que

xµ(τ) = (t(τ), x(τ), 0, 0) =⇒ uµ(τ) =dxµ

dτ(τ) = (t(τ), x(τ), 0, 0). (3.81)

A continuacion, se procedera al calculo de αµ, que se define como

αµ = uρ∇ραµ = uρ∂ρuµ + uρΓµρλu

λ = uµ + Γµρλuρuλ, (3.82)

Page 54: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

54 3.4 Calculo curvas UA en De Sitter

ya que uµ = ddτ u

µ = uρ∂ρuµ. Ası, se tiene que

αt = t+ Γtρλuρuλ = t+ Λe2Λtx2,

αx = x+ Γxρλuρuλ = x+ 2Λtx,

ya que ut = t y ux = x. Por otro lado, se tiene que

αναν = αµανgµν = (αt)2 − e2Λt[(αx)2 + 02 + 02]

= (t+ Λe2Λtx2)2 − e2Λt(x+ 2Λtx)2.

Por tanto, si ahora planteamos las ecuaciones (3.79), se tiene que si µ = t:

αt + Γtλρuλαρ = −αναν t, (3.83)

o equivalentemente, tras desarrollar cuadrados y operar,

...t + 4Λ2e2Λttx2 + 3Λe2Λtxx =− tt2 − 2Λe2Λttx2t− Λ2e4Λttx4

+ e2Λttx2 + 4Λe2Λtt2xx+ 4Λ2e2Λtt3x2,

Por otro lado, si µ = x, se tiene

αx + Γxλρuλαρ = −αναν x. (3.84)

Al igual que antes, tras desarrollar (3.84), queda

...x + 2Λxt+ 3Λtx+ 2Λ2xt2 =− xt2 − 2Λe2Λtx3t− Λ2e4Λtx5 + e2Λtxx2

+ 4Λe2Λttx2x+ 4Λ2e2Λtt2x3.

Observese que para µ = y, z ambas ecuaciones son 0 = 0 y por tanto no se contemplan.

Finalmente, si se agrupan todos los sumandos en un mismo miembro, se tiene que elsistema de ecuaciones se puede reescribir como

...t + 4Λ2e2Λttx2 + 3Λe2Λtxx+ tt2 + 2Λe2Λttx2t+

Λ2e4Λttx4 − e2Λttx2 − 4Λe2Λtt2xx− 4Λ2e2Λtt3x2 = 0

...x + 2Λxt+ 3Λtx+ 2Λ2xt2 + xt2 + 2Λe2Λtx3t− Λ2e4Λtx5

−e2Λtxx2 − 4Λe2Λttx2x− 4Λ2e2Λtt2x3 = 0

(3.85)

Este es el resultado que buscabamos. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de3er orden que han de cumplir las trayectorias uniformemente aceleradas en el espacio deDe Sitter en coordenadas FRW planas.

Page 55: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

3 Movimiento uniformemente acelerado 55

Lamentablemente, no ha sido posible obtener una solucion generica de las curvas quesatisfacen (3.90). Debido a la no linealidad de estas ecuaciones y su gran nivel de dificultad,se acudio a un programa informatico de resolucion de ecuaciones diferenciales. Aun ası,Mathematica tambien ha sido incapaz de proporcionar solucion alguna a dicho problema.

Como bien hemos mencionado y comprobado en la seccion 3.2, los observadores deRindler eran los observadores uniformemente acelerados del espacio de Lorentz-Minkowski.¿Como podrıamos comprobar que estos observadores son solucion del sistema de ecuaciones(3.90)?

Para realizar esta comprobacion, es necesario transformar la metrica de De Sitter encoordenadas FRW planas en la metrica de Minkowski. Esto equivale a que

e2Λt → 1 ⇐⇒ 2Λt→ 0 ⇐⇒ Λ→ 0. (3.86)

Es decir, si Λ = 0, entonces los observadores de Rindler han de cumplir el sistemade ecuaciones previo(3.90). Por tanto, ¿que ecuaciones se obtienen al hacer Λ = 0? Sisustituimos Λ = 0 en (3.90), el sistema resultante es

...t + tt2 − tx2 = 0

...x + xt2 − xx2 = 0

(3.87)

Como bien hemos visto en la seccion 3.2, los observadores uniformemente acelerados enMinkowski adoptan la forma

xµ(τ) =1

a

sinh(aτ)cosh(aτ)

00

, (3.88)

donde la primera y segunda derivada de (3.37) son

xµ(τ) =

cosh(aτ)sinh(aτ)

00

, =⇒ xµ(τ) = a

sinh(aτ)cosh(aτ)

00

. (3.89)

Por tanto, si sustituimos (3.89) en (3.90), se tiene que

a2 cosh(aτ) + a2 cosh(aτ) sinh2(aτ)− a2 cosh(aτ) cosh2(aτ)

= a2(cosh(aτ)− cosh(aτ)) = 0

a2 sinh(aτ) + a2 sinh(aτ) sinh2(aτ)− a2 sinh(aτ) cosh2(aτ)= a2(sinh(aτ)− sinh(aτ)) = 0

(3.90)

Page 56: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

56 3.4 Calculo curvas UA en De Sitter

ya que cosh2(x)− sinh2(x) = 1 para cualquier x ∈ R.

Es decir, en la metrica de De Sitter en coordenadas FRW planas con Λ = 0, ¡los ob-servadores de Rindler son solucion del sistema de ecuaciones diferenciales de 3er orden(3.90)!

Tal y como hemos visto en la seccion anterior, las curvas en caıda libre en FRW planasson el caso mas trivial de trayectorias aceleradas. Es decir, estas tienen 4-aceleracionconstante e identicamente nula. Por tanto, nos preguntamos si al sustituir estas ecuacionesen el sistema (3.90), tambien son solucion o no.

Para ver si las curvas geodesicas son solucion de (3.90), nos preguntamos que sucede sihacemos αµ = 0 en (3.90). Esto es, ¿que sucede si en las ecuaciones citadas hacemos quelas componentes de la aceleracion sean nulas?

Ası, el objetivo es expresar el sistema (3.90) en funcion de las ecuaciones de las geodesicascalculadas previamente, que son t+ Λe2Λtx2 = 0,

x+ 2Λtx = 0.

(3.91)

A continuacion, si derivamos estas ecuaciones, se obtiene el sistema en el que transforma-remos nuestras ecuaciones en esta situacion lımite

...t + 2Λ2e2Λttx2 + 2Λe2Λtxx = 0,

...x + 2Λtx+ 2Λ t x = 0.

(3.92)

Tras calculos hechos previamente, se conoce que

αt = t+ Λe2Λtx2 = 0 =⇒ t = −Λe2Λtx2, (3.93)

αx = x+ 2Λtx = 0 =⇒ x = −2Λtx. (3.94)

En primer lugar, si µ = t, se consideran las ecuaciones (3.90) y (3.92). Teniendo encuenta que αt = αx = 0, se puede escribir

...t + (2 + 2)Λ2e2Λttx2 + (2 + 1)Λe2Λtxx+ tt2 + 2Λe2Λttx2t+ Λ2e4Λttx4

− e2Λttx2 − 4Λe2Λtt2xx− 4Λ2e2Λtt3x2 =

(donde se ha usado que...t + 2Λ2e2Λttx2 + 2Λe2Λtxx = 0)

2Λ2e2Λttx2 + Λe2Λtxx+ tt2 + 2Λe2Λttx2t+ Λ2e4Λttx4 − e2Λttx2 − 4Λe2Λtt2xx− 4Λ2e2Λtt3x2 =

2Λ2e2Λttx2 − 2Λ2e2Λttx2 + Λ2e4Λttx4 − 2Λ2e2Λttx4

+ Λ2e4Λttx4 − 4Λ2e2Λtt3x2 + 8Λ2e2Λtt3x2 − 4Λ2e2Λtt3x2 = 0,

Page 57: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

3 Movimiento uniformemente acelerado 57

Por otro lado, si µ = x, se tiene que

...x + 2Λxt+ (2 + 1)Λtx+ 2Λ2xt2 + xt2 + 2Λe2Λtx3t

− Λ2e4Λtx5 − e2Λtxx2 − 4Λe2Λttx2x− 4Λ2e2Λtt2x3 =

Λtx+ 2Λ2xt2 + xt2 + 2Λe2Λtx3t− Λ2e4Λtx5 − e2Λtxx2 − 4Λe2Λttx2x− 4Λ2e2Λtt2x3 =

− 2Λ2t2x+ 2Λ2xt2 + Λ2e4Λtx5 − 2Λ2e4Λtx5 + Λ2e4Λtx5 − 4Λ2e2Λtt2x3+

8Λ2e2Λtt2x3 − 4Λ2e2Λtt2x3 = 0

Ası, acabamos de comprobar que el sistema (3.90) con αµ = 0 equivale a la derivada de lasecuaciones de las geodesicas. Por consiguiente, podemos afirmar que, ¡las curvas geodesicastambien son solucion del sistema de ecuaciones diferenciales de tercer orden (3.90)!

En resumen, podemos afirmar que no ha sido posible dar una solucion generica de estasecuaciones debido a la gran dificultad del sistema, especialmente por ser no lineal y detercer orden. Aunque afortunadamente, aunque las ecuaciones (3.79) en la metrica de DeSitter en coordenadas FRW planas cumplen que

si Λ = 0, las ecuaciones de observadores uniformemente acelerados tienen comosolucion los observadores acelerados en el espacio de Rindler;

y si αµ = 0, las ecuaciones de observadores uniformemente acelerados equivalena derivar las ecuaciones de las geodesicas.

3.4.2. MUA en coordenadas estaticas

Analogamente al caso de coordenadas FRW planas, se calcularan las ecuaciones de losobservadores uniformemente acelerados en el espacio-tiempo de De Sitter en coordenadasestaticas. Recuerdese que estas coordenadas venıan asociadas a la metrica

ds2 =

(1− r2

R20

)dt2 −

(1− r2

R20

)−1

dr2 − r2dΩ22, (3.95)

de las curvas de ecuacion xµ(τ) = (t(τ), r(τ), θ(τ), φ(τ)) que cumplan (3.79). Ademas, eneste trabajo nos limitaremos a calcular las curvas que solo viajen en la direccion en lacoordenada radial r. Esto es, nuestras curvas han de tener la forma

xµ(τ) = (t(τ), r(τ), 0, 0) =⇒ uµ(τ) =dxµ

dτ(τ) = (t(τ), r(τ), 0, 0). (3.96)

Page 58: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

58 3.4 Calculo curvas UA en De Sitter

A continuacion y como se hizo anteriormente, se procedera al calculo de αµ, que se definecomo

αµ = uρ∇ραµ = uρ∂ρuµ + uρΓµρλu

λ = uµ + Γµρλuρuλ, (3.97)

ya que uµ = ddτ u

µ = uρ∂ρuµ. Ası, se tiene que

αt = t+ 2Γttttr = t− 2rR2

0

(1− r2

R20

)−1tr

αr = r + Γxρλuρuλ = r − 2r

R20

(1− r2

R20

)t2 + r

R20

(1− r2

R20

)−1r2,

ya que ut = t y ur = r. Por otro lado, se tiene que el modulo de la aceleracion vale

αναν = αµανgµν =

(1− r2

R20

)(αt)2 −

(1− r2

R20

)−1

(αr)2 −r2(02 + 02) =

=

(1− r2

R20

)[t− 2r

R20

(1− r2

R20

)−1

tr

]2

−(

1− r2

R20

)−1[r − 2r

R20

(1− r2

R20

)t2 +

r

R20

(1− r2

R20

)−1

r2

]2

.

Por tanto, si ahora planteamos las ecuaciones (3.79), se tiene que si µ = t:

αt + Γtλρuλαρ = −αναν t, (3.98)

o equivalentemente, tras desarrollar cuadrados y agrupar terminos, queda

...t −

2

R20

(1− r2

R20

)−1

tr2 − 4r2

R40

(1− r2

R20

)−2

tr2 − 2r

R20

(1− r2

R20

)−1

rt

− 2r

R20

(1− r2

R20

)−1

tr − 2r

R20

(1− r2

R20

)−1

tr +4r2

R40

t3 − 2r2

R40

(1− r2

R20

)−2

tr2 =(1− r2

R20

)tt2 − 4r

R20

t2rt+4r2

R40

(1− r2

R20

)−1

t3r2 −(

1− r2

R20

)−1

tr2

− 4r2

R40

(1− r2

R20

)t5 − r2

R40

(1− r2

R20

)−3

tr4 +4r

R20

t3r − 2r

R20

(1− r2

R20

)−2

r2tr

+4r2

R40

(1− r2

R20

)−1

t3r2

Por otro lado, si µ = r, se tiene que

αr + Γrλρuλαρ = −αναν r. (3.99)

Page 59: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

3 Movimiento uniformemente acelerado 59

Al igual que antes, tras desarrollar cuadrados y agrupar terminos, queda

...r − 2

R20

(1− r2

R20

)t2r +

4r2

R40

t2r − 4r

R20

(1− r2

R20

)tt+

1

R20

(1− r2

R20

)−1

r3 +2r2

R40

(1− r2

R20

)−2

r3

+2r

R20

(1− r2

R20

)−1

rr − r

R20

(1− r2

R20

)tt+

r

R20

(1− r2

R20

)−1

rr +r2

R40

(1− r2

R20

)−2

r3

=

(1− r2

R20

)rt2 − 4r

R20

tr2t+4r2

R40

(1− r2

R20

)−1

t2r3 −(

1− r2

R20

)−1

rr2 − 4r2

R40

(1− r2

R20

)t4r

− r2

R40

(1− r2

R20

)−3

r5 +4r

R40

t2rr − 2r

R20

(1− r2

R20

)−2

r3r +4r2

R40

(1− r2

R20

)−1

t2r3.

Ademas, observese que para µ = θ, φ ambas ecuaciones son 0 = 0 y por tanto, no secontemplan.

Finalmente, si se agrupan todos los sumandos en un mismo miembro, el sistema deecuaciones puede verse como

...t − 2

R20

(1− r2

R20

)−1tr2 − 4r2

R40

(1− r2

R20

)−2tr2 − 2r

R20

(1− r2

R20

)−1rt

− 2rR2

0

(1− r2

R20

)−1tr − 2r

R20

(1− r2

R20

)−1tr + 4r2

R40t3 − 2r2

R40

(1− r2

R20

)−2tr2

−(

1− r2

R20

)tt2 + 4r

R20t2rt− 4r2

R40

(1− r2

R20

)−1t3r2 +

(1− r2

R20

)−1tr2 + 4r2

R40

(1− r2

R20

)t5

+ r2

R40

(1− r2

R20

)−3tr4 − 4r

R20t3r + 2r

R20

(1− r2

R20

)−2r2tr − 4r2

R40

(1− r2

R20

)−1t3r2 = 0

...r − 2

R20

(1− r2

R20

)t2r + 4r2

R40t2r − 4r

R20

(1− r2

R20

)tt+ 1

R20

(1− r2

R20

)−1r3 + 2r2

R40

(1− r2

R20

)−2r3

+ 2rR2

0

(1− r2

R20

)−1rr − r

R20

(1− r2

R20

)tt+ r

R20

(1− r2

R20

)−1rr + r2

R40

(1− r2

R20

)−2r3

−(

1− r2

R20

)rt2 + 4r

R20tr2t− 4r2

R40

(1− r2

R20

)−1t2r3 +

(1− r2

R20

)−1rr2 + 4r2

R40

(1− r2

R20

)t4r

+ r2

R40

(1− r2

R20

)−3r5 − 4r

R40t2rr + 2r

R20

(1− r2

R20

)−2r3r − 4r2

R40

(1− r2

R20

)−1t2r3 = 0.

(3.100)Este es el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de 3er orden que buscabamos.Por tanto, las trayectorias uniformemente aceleradas en De Sitter dadas en coordenadasestaticas han de cumplir el sistema (3.100).

Al igual que ha sucedido en el caso de coordenadas FRW planas con el sistema (3.90),el nivel de complejidad de este sistema de ecuaciones no lineales hace imposible dar unasolucion explıcita de estas curvas UA. De nuevo, las tecnicas de resolucion de sistemasdiferenciales del programa Mathematica tampoco han podido dado resultado para obtenertal solucion.

Siguiendo la analogıa con el caso de los observadores de Rindler en coordenadas FRWplanas, nos preguntamos que es necesario para que la metrica en estaticas adopte la forma

Page 60: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

60 3.4 Calculo curvas UA en De Sitter

de la metrica de Minkowski. Al igual que antes se tenıa que Λ = 0, ahora queremos que(1− r2

R20

)→ 1 ⇐⇒ − r

2

R20

= 0 ⇐⇒ 1

R20

→ 0 ⇐⇒ R0 → ±∞. (3.101)

Solamente se realizara este calculo con R0 → +∞, pues el otro es similar y se obtieneexactamente lo mismo. Ası, si ahora se introducen lımites cuando R0 → +∞ en (3.100),se obtiene, teniendo en cuenta que 1/Rn0 → 0 para cualquier n ∈ N, que

...t + tt2 − tr2 = 0

...r + rt2 − rr2 = 0.

(3.102)

Es decir, si identificamos x con r en el sistema (3.87) de la seccion anterior, ambos sistemasson equivalentes. Es decir, de nuevo se puede afirmar que, ¡los observadores de Rindler sonsolucion del sistema (3.100)!

Para finalizar el trabajo y siguiendo la analogıa de la seccion anterior, nos gustarıa sabersi en coordenadas estaticas las curvas en caıda libre son solucion o no del sistema (3.100).Esto es, ¿que comportamiento tienen las ecuaciones cuando las curvas tienen aceleracionnula en coordenadas estaticas? Es decir, si αµ = 0, ¿las ecuaciones se pueden reescribircomo la derivada de las ecuaciones de las geodesicas?

La respuesta vuelve a ser sı, pues si la aceleracion es nula, se tiene que

t− 2 r

R20

(1− r2

R20

)−1tr = 0,

r − 2rR2

0

(1− r2

R20

)t2 + r

R20

(1− r2

R20

)−1r2 = 0,

⇐⇒

t = 2 r

R20

(1− r2

R20

)−1tr = 0,

r = rR2

0

(1− r2

R20

)t2

− rR2

0

(1− r2

R20

)−1r2 = 0,

(3.103)Si derivamos la ecuacion de las geodesicas en estas coordenadas se obtiene

...t − 2

R20

(1− r2

R20

)−1tr2 − 4r2

R40

(1− r2

R20

)−2tr2 − 2r

R20

(1− r2

R20

)−1rt− 2r

R20

(1− r2

R20

)−1tr = 0

...r − 2

R20

(1− r2

R20

)t2r + 4r2

R40t2r − 4r

R20

(1− r2

R20

)tt+ 1

R20

(1− r2

R20

)−1r3 + 2r2

R40

(1− r2

R20

)−2r3

+ 2rR2

0

(1− r2

R20

)−1rr = 0

(3.104)

Si introducimos el sistema anterior (3.104) en (3.100) y se tiene en cuenta αµ = 0, sevuelve a obtener que

ecuaciones MUA =d

dτ[ecuaciones geodesicas] . (3.105)

Es decir, tambien podemos afirmar que, ¡las curvas geodesicas son solucion del complicado

Page 61: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

3 Movimiento uniformemente acelerado 61

sistema de ecuaciones (3.100)!

Por lo tanto y al igual que antes, las ecuaciones (3.79) en la metrica de De Sitter encoordenadas estaticas cumplen que

si R0 → ∞, las ecuaciones de observadores uniformemente acelerados tienencomo solucion los observadores acelerados en el espacio de Rindler;

y si αµ = 0, las ecuaciones de observadores uniformemente acelerados equivalena derivar las ecuaciones de las geodesicas.

En conclusion, no se ha conseguido obtener una solucion explıcita de los sistemas (3.90)y (3.100). Ademas, el programa informatico de resolucion de ecuaciones diferenciales co-nocido por Mathematica tampoco ha conseguido proporcionar una solucion generica comose esperaba.

Desafortunadamente, tanto en coordenadas estaticas como en coordenadas FRW planasdel espacio de De Sitter, no se ha obtenido una expresion generica de estas ecuaciones.La principal razon es la gran complejidad que muestran estos sistemas. Dos sistemas deecuaciones diferenciales ordinarios de 3er orden que son no lineales.

Afortunadamente y en ambas metricas, tanto los observadores de Rindler (situacionescuando Λ = 0 en (3.90) y R0 → ∞ en (3.100)) como las curvas geodesicas previamentecalculadas (con aceleracion nula αµ = 0) SI son soluciones de estos sistemas de ecuacionesque caracterizan a los observadores uniformemente acelerados.

Ası, el difıcil problema de la no linealidad de ambos sistemas y el gran nivel de com-plejidad piden a gritos el desarrollo de nuevas tecnicas de resolucion en el campo de lasecuaciones diferenciales para que ası, estos sistemas puedan ser resueltos en el futuro.

falta un apqrtado de resumen, donde recapitulas que has hecho y donde vuelves a comentar tus conclusiones. no pasa nada si te repites. pero este final es demasiado brusco
Page 62: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo
Page 63: Observadores uniformemente acelerados en De Sitter Guillermo

Bibliografıa

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