MÉTODOS PARAMÉTRICOS PARA A ANÁLISE DE DADOS DE SOBREVIVÊNCIA
� Nesta abordagem paramétrica, para estimar as funções básicas da análise de sobrevida, assume-se que o tempo de falha T segue uma distribuição conhecida de probabilidade.
� PERGUNTA: Que tipo de distribuição de probabilidade poderia representar T?
� LEMBRANDO: T é uma V.A. contínua não-negativa.I. T é uma V.A. contínua não-negativa.
II. T apresenta forte assimetria.
�Dessa forma, a distribuição normal, que permite valores negativos, não é adequada para modelar o tempo de sobrevida.
� Alguns modelos mais utilizados, por se adaptarem a uma grande variedade de situações, são: exponencial, weibull e lognormal.
DISTRIBUIÇÕES BÁSICAS EM SOBREVIVÊNCIA
1. DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
� Em termos matemáticos, a distribuição exponencial é um dos modelos probabilísticos mais simples para descrever o tempo de vida .
� Esta distribuição apresenta um único parâmetro e é a única que se caracteriza por ter uma função de risco constante.
� É bastante utilizada para descrever o tempo de vida de certos produtos, bem como, o tempo de vida e remissão em doenças crônicas e infecciosas.
�A função densidade de probabilidade é dada por:
�Em que o parâmetro λ tem a mesma unidade do tempo de vida T.
.0),exp()( >−= λλλ ttf
� Utilizando-se as relações entre as funções básicas é possível obter as demais funções de sobrevivência.
� A função de sobrevivência é dada por:
� As funções de risco é dada por:
ILUSTRAÇÃO DAS FUNÇÕES DE SOBREVIVÊNCIA SEGUNDO O MODELO EXPONENCIAL.
� O fato da taxa de falha (função de risco) ser constante significa que tanto uma unidade velha, quanto uma nova, que ainda não falharam, tem o mesmo risco de falhar em um intervalo futuro.
� Esta propriedade é chamada de falta de memória da distribuição exponencial.
� Apesar da simplicidade matemática, a suposição de risco constante é pouco plausível na maioria dos fenômenos da saúde e engenharia.pouco plausível na maioria dos fenômenos da saúde e engenharia.
� A distribuição exponencial pode ser uma boa aproximação quando o tempo de acompanhamento é curto o suficiente para que o risco naquele período possa ser considerado constante.
� Por exemplo, o risco de óbito de crianças entre dois e cinco anos pode ser considerado constante nesse intervalo.
� Lembrando: E(T)=1/λ e Var(T)=1/ λ2.
� TEMPO MÉDIO:
� TEMPO MEDIANO:
Como a variável T é assimétrica, muitas vezes faz mais sentido calcular o tempo mediano.
CARACTERÍSTICAS DE INTERESSE.
λ
1=médiot
� PERCENTIL 100p%:
5,0)( =medtS 5,0=− medte
λ
λλ
=−
=pp
t p
1ln
ln
PROPRIEDADE DE FALTA DE MEMÓRIADA EXPONENCIAL
� EXEMPLO: Considere um estudo de 193 pacientes com aids, onde observou-se o tempo desde o diagnóstico até o óbito. Um modelo exponencial foi utilizado com λ=0,000497.
a) Obtenha o tempo médio de vida dos pacientes.
b) Qual o tempo mediano de vida?
c) Qual o tempo tal que cerca de 90% dos pacientes ainda estarão vivos?
d) Qual o percentual de pacientes que ainda estarão vivos após 10 anos do início do estudo?
DISTRIBUIÇÕES BÁSICAS EM SOBREVIVÊNCIA
2. DISTRIBUIÇÃO WEIBULL
� A distribuição Weibull é uma generalização da distribuição exponencial.
� É bastante utilizada em aplicações práticas por apresentar uma grande variedade de formas: a sua função de risco é monótona, isto é, ela é variedade de formas: a sua função de risco é monótona, isto é, ela é crescente, decrescente ou constante.
� A distribuição Weibull é uma das mais utilizada para modelar tempos de sobrevida, particularmente em estudos nas áreas biomédica e industrial.
� Alguns exemplos: tempo até a ocorrência de tumores, estudo de mortalidade por causas específicas e tempo de incubação do HIV.
� A f.d.p. de uma V.A. T com distribuição de Weibull é dada por:
� O parâmetro de forma, e o de escala, são ambos positivos.
� O parâmetro λ tem a mesma unidade de medida do tempo e γ não tem unidade de medida.
� Função de sobrevivência:
γλγλλγ )(1)()( tettf
−−=
γ λ
� Funções de risco:
� Observe que para γ > 1: A função de risco é estritamente crescente.
γ < 1: A função de risco é estritamente decrescente.
γ = 1: A função de risco é constante, equivalendo ao modelo exponencial.
ILUSTRAÇÃO DAS FUNÇÕES DE SOBREVIVÊNCIA SEGUNDO O MODELO WEIBULL.
CARACTERÍSTICAS DE INTERESSE.
� As expressões para a média e a variância da Weibull incluem o uso da função gama.
λ
γ
+Γ
=
11
)(TE
+Γ−
+Γ=
2
21121
1)(
γγλTVar
∞
com
� Tempo mediano:
∫∞
−−=Γo
xkdxexk
1)(
CARACTERÍSTICAS DE INTERESSE.
� Percentil: O percentil tp pode ser obtido por:
λ
γ1
1ln
=p
t p
� EXEMPLO: O tempo em dias para desenvolvimento de tumor em ratos expostios a uma substância cancerígena segue uma distribuição de Weibull com λ=0,01 e γ=2.
a) Qual é a probabilidade de um rato sobreviver sem tumor aos primeiros 30 dias?
b) Qual o tempo mediano até o aparecimento do tumor?
c) Ache a taxa de falha (risco) de aparecimento de tumor aos 30, 45 e 60 dias. Interprete esses valores.
3. DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL
� É muito utilizada para caracterizar tempos de vida de produtos e indivíduos.
� Alguns exemplos: fadiga de metal, semicondutores e pacientes com leucemia.
� Existe uma relação entre as distribuições lognormal e normal que facilita a apresentação e análise de dados. que facilita a apresentação e análise de dados.
� O logaritmo de uma variável com distribuição lognormal segue uma distribuição normal com parâmetros e .
� A f.d.p. de uma variável aleatória T com distribuição lognormal é dada por:
0,)ln(
2
1exp
2
1)(
2
>
−−= t
t
ttf
σ
µ
πσ
µ 2σ
� A função de sobrevivência de uma variável lognormal não apresenta uma forma analítica explícita e é representada por:
em que é a função de distribuição acumulada de uma normal padrão.
� A função de risco apresenta uma forma analítica explícita e é representada por:
−−=−=
σ
µφ
)ln(1)(1)(
ttFtS
(.)φ
)()(
tfth =
representada por:
� A média (tempo médio) e a variância da distribuição lognormal são dadas, respectivamente, por
)(
)()(
tS
tfth =
{ }2
exp)(2σµ +=TE { }( ) { }22 2exp1exp)( σµσ +−=TVar
ILUSTRAÇÃO DAS FUNÇÕES DE SOBREVIVÊNCIA SEGUNDO O MODELO LOGNORMAL.
� Observe que as funções de risco não são monótonas como as da distribuição Weibull. Elas crescem, atingem um valor máximo e depois decrescem.
� Os percentis podem ser obtidos por
Com zp o 100p% percentil da distribuição normal padrão (ver tabela da distribuição normal padrão).
[ ]µσ += pp zt exp
distribuição normal padrão).
� O tempo mediano:
� A popularidade dessa distribuição é em parte devido ao fato de que o valor acumulado de ln(t) pode ser obtido da tabela da distribuição normal padrão e o correspondente valor de t é então encontrado pela aplicação de antilogaritmo.
[ ]µσ += 5,0exp ztmed
� EXEMPLO: Considere que o tempo de duração de um equipamento seja uma V.A. modelada por uma distribuição log-normal com µ=0 e σ2=0,5. Encontre o tempo médio e o tempo mediano de duração do equipamento.