Download - Monografia Isadora
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Departamento de Física
O Limite Clássico da Mecânica Quântica
Isadora Migliori Hossri
São Paulo/2008
2
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Departamento de Física
O Limite Clássico da Mecânica Quântica
Isadora Migliori Hossri
Monografia apresentada como parte dos
requisitos para a conclusão do curso
de graduação de bacharel em Física.
Orientadora: Profa. Dra. Sonia Geraij Mokarzel
São Paulo/2008
3
Agradecimento
A professora Sonia por em todos os momentos descortinar a beleza da
física, nos dando entusiasmo e muito conhecimento sempre com clareza e
alegria.
A professora Maria Inês que nos deu boas aulas de apoio.
Aos amigos e familiares, sem os quais a realização deste trabalho não
seria possível.
Ao PIBIC, pelo apoio financeiro fornecido para a execução deste
projeto.
4
Valeu a pena?
Tudo Vale a pena se a alma não é pequena (...)
Fernando Pessoa
5
Resumo
Neste trabalho será apresentada uma breve recapitulação de conceitos
básicos de estrutura da matéria e mecânica quântica, que serão ferramentas
necessárias para a realização da análise do problema da medição quântica. A
abordagem da decoerência será utilizada para análise de tal questão.
A diferença entre do tempo de perda de coerência e do tempo de
dissipação de energia de um sistema serão calculados analiticamente neste
trabalho
As técnicas da álgebra de Lee descrita ao longo do texto, serão um
caminho para a construção do formalismo matemático da teoria.
6
Sumário
1. OBJETIVOS ........................................................................................................ 8
2. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 9
3. METODOLOGIA ............................................................................................... 11
4. INÍCIO DA MECÂNICA QUÂNTICA .................................................................. 11
4.1 Radiação do Corpo negro ............................................................................ 11
4.2 Efeito Fotoelétrico ........................................................................................ 13
4.3 Efeito Compton ............................................................................................ 15
4.4 Átomo de Hidrogênio ................................................................................... 16
5. A TEORIA QUÂNTICA ...................................................................................... 19
5.1 Dualidade onda-partícula ............................................................................. 19
5.2 Princípio da Incerteza de Heisenberg .......................................................... 21
5.3 Equação de Schrödinger ............................................................................ 22
5.3.1 Autovalores e autofunções .................................................................... 24
5.3.2 Superposição de estados ...................................................................... 25
5.4 Espaço de Hilbert ......................................................................................... 26
5.5 Operadores .................................................................................................. 27
5.5.1 Operadores hermitianos ........................................................................ 27
5.5.2 Representação matricial de um operador .............................................. 28
5.5.3 Relação da completeza ......................................................................... 29
5.5.4 Operador unitário .................................................................................. 30
5.6 Oscilador harmônico ................................................................................... 30
5.7 Quantização do campo eletromagnético ...................................................... 33
5.7.1 Estado de Fock ...................................................................................... 35
5.7.2 Estados coerentes ................................................................................. 36
5.8 Operador densidade .................................................................................... 37
5.9 Evolução temporal de um sistema quântico ................................................ 40
6. RESULTADOS .................................................................................................. 45
6.1 O Problema da Medição .............................................................................. 45
6.2 Coerência e decoerência ............................................................................. 47
6.3 Tempo de dissipação e decoerência para um estado de “gato” .................. 49
7. CONCLUSÃO ................................................................................................... 50
8. APÊNDICE ........................................................................................................ 51
7
A – Efeito Comton .............................................................................................. 51
B – Átomo de hidrogênio ................................................................................... 52
C - Pacote de onda ............................................................................................ 54
D – Princípio da Incerteza .................................................................................. 56
E – Equação de Schrödinger ............................................................................. 57
F – Autovalores e autofunções .......................................................................... 58
G - Espaço de Hilbert ......................................................................................... 59
H – Oscilador harmônico ................................................................................... 60
I – Técnicas da Álgebra de Lee ......................................................................... 61
J – Evolução temporal de um estado coerente .................................................. 65
K – Cálculo de )(2 tTrρ ....................................................................................... 66
L – Tempo de dissipação ................................................................................... 68
M – Tempo de perda de coerência .................................................................... 69
9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS .................................................................. 70
8
1. OBJETIVOS
Compreender o problema da medição quântica, que é um dos
problemas ainda em aberto e sob investigação na literatura atual, que se refere à
não observação de superposições no mundo clássico. Aprofundar as reflexões
sobre o problema da não localidade na Mecânica Quântica.
Ter contato com experimentos que comprovam tal modelo.
Para tanto será necessário o contato com algumas técnicas matemáticas
adequadas.
9
2. INTRODUÇÃO
Um dos problemas mais sutis da física contemporânea é a relação
entre o mundo macroscópico, descrito pela física clássica, e o mundo
microscópico, regido pelas leis da física quântica.
Classicamente, uma descrição completa do estado de uma partícula[1]
é obtida dando-se a posição e o momento que é igual ao produto da massa pela
velocidade da partícula. Se as forças que atuam na partícula dependerem
também de sua velocidade a relação entre momento e velocidade já não é tão
simples.
Conhecendo-se as forças que atuam sobre a partícula, e que
representam a interação da partícula com o resto do Universo, é possível em
princípio a partir das informações iniciais obter a posição e a velocidade (ou
momento) da mesma em qualquer instante futuro, ou seja, o estado futuro da
partícula. Dizemos assim que a física clássica é determinística (ainda que
freqüentemente o movimento futuro do sistema possa ser extremamente sensível
a uma pequena variação das condições iniciais, como ocorre no comportamento
caótico). Descrições probabilísticas são muitas vezes adotadas na física clássica,
quando não temos uma informação completa sobre o sistema em questão. Por
exemplo, se tivermos muitas partículas de um gás em uma caixa, é praticamente
impossível conhecer a posição e a velocidade de cada partícula, por isso
recorremos a uma descrição estatística. Mas admitimos sempre que, caso
conhecêssemos as interações entre as partículas, e suas posições e velocidades
em um dado instante, seria possível prever exatamente o valor dessas
quantidades em qualquer instante futuro.
Na teoria quântica, por outro lado, devemos abrir mão da descrição do
estado de uma partícula [2] em termos da posição e do momento, uma vez que
essas duas grandezas não podem ser conhecidas simultaneamente: a
determinação da posição de uma partícula modifica de forma não controlada o
seu momento,ou seja, à medida em que a determinação da posição da partícula
torna-se mais precisa, a incerteza de seu momento aumenta. O produto das duas
incertezas satisfaz à desigualdade de Heisenberg[3]: não pode nunca ser menor
que uma certa constante universal, a constante de Planck, que estabelece uma
escala fundamental para o mundo microscópico. O estado do sistema é descrito
10
por uma função de onda, em termos da qual pode ser calculada a probabilidade
da partícula ser encontrada em alguma região do espaço, ou então com
velocidade (ou momento) dentro de uma certa faixa. Essa função de onda tem
uma amplitude maior nas regiões do espaço onde é mais provável encontrar a
partícula. Segundo o grande físico dinamarquês Niels Bohr (1885-1962), as
medidas de posição e momento são excludentes, e satisfazem ao princípio da
complementaridade: exigem para sua realização arranjos experimentais
diferentes, que exibem aspectos complementares do sistema observado. Além
disso, embora em cada experimento seja possível obter um certo valor da posição
(ou do momento), a repetição do experimento com as mesmas condições iniciais
(isto é, com a partícula sendo preparada da mesma maneira inicialmente) leva em
geral em cada realização a resultados diferentes, de modo que o conjunto de
experimentos deve ser descrito por uma distribuição estatística, que caracteriza
as probabilidades de obtenção dos diversos valores observados[4]. Essa
distribuição de probabilidades é obtida a partir da função de onda da partícula[5],
e constitui-se em aspecto essencial do mundo quântico: não é possível eliminar
esse comportamento probabilístico através de um conhecimento mais completo
do sistema. A função de onda de um sistema engloba tudo que se pode conhecer
sobre ele.
11
3. METODOLOGIA
Para a realização do presente trabalho foi necessário o estudo
aprofundado dos seguintes conceitos: radiação do corpo negro, efeito fotoelétrico,
efeito Compton, espectro do átomo de hidrogênio, pacotes de ondas e as
relações de incerteza[6], equação de Schrödinger [7], autofunção e auto vetor,
operadores e variáveis dinâmicas, notação de Dirac[8], oscilador harmônico,
operadores de projeção, matriz densidade[9] e técnicas de álgebra de Lie.
Análise sobre o problema da medição quântica[10] na abordagem da
decoerência, utilizando o formalismo matemático adequado.
4. INÍCIO DA MECÂNICA QUÂNTICA
4.1 Radiação do Corpo negro
A superfície de um corpo negro é um caso limite, em que toda a
energia incidente desde o exterior é absorvida, e toda a energia incidente desde o
interior é emitida.
No entanto, um corpo negro pode ser substituído com grande
aproximação por uma cavidade com uma pequena abertura. A energia radiante
incidente através da abertura, é absorvida pelas paredes em múltiplas reflexões e
somente uma mínima proporção escapa (se reflete) através da abertura.
Podemos portanto dizer, que toda a energia incidente é absorvida.
Consideremos uma cavidade cujas paredes estão a uma certa
temperatura[6]. Os átomos que compõem as paredes estão emitindo radiação
eletromagnética e ao mesmo tempo absorvem a radiação emitida por outros
átomos das paredes. Quando a radiação encerrada dentro da cavidade alcança o
equilíbrio com os átomos das paredes, a quantidade de energia que emitem os
átomos na unidade de tempo é igual a que absorvem. Em conseqüência, a
densidade de energia do campo eletromagnético existente na cavidade é
constante.
12
A cada freqüência corresponde uma densidade de energia que
depende somente da temperatura das paredes e é independente do material de
que são feitas.
Se for aberto um pequeno orifício no recipiente, parte da radiação
escapa e pode ser analisada. O orifício é visto muito brilhante quando o corpo
está a alta temperatura, e se vê completamente negro a baixas temperaturas.
Historicamente, o nascimento da Mecânica Quântica, se situa no
momento no qual Max Panck explica o mecanismo que faz com que os átomos
radiantes produzam a distribuição de energia observada. Max Planck sugeriu em
1900 que:
A radiação dentro da cavidade está em equilíbrio com os átomos das
paredes que se comportam como osciladores harmônicos de freqüência dada f .
Cada oscilador pode absorver ou emitir energia da radiação em uma quantidade
proporcional a f. Quando um oscilador absorve ou emite radiação
eletromagnética, sua energia aumenta ou diminui em uma quantidade hf .
A segunda hipótese de Planck, estabelece que a energia dos
osciladores é quantizada. A energia de um oscilador de freqüência f só pode ter
certos valores que são múltiplos inteiros de hf 1
A distribuição espectral de radiação é contínua e tem um máximo
dependente da temperatura. A distribuição espectral pode ser expressa em
termos do comprimento de onda ou da freqüência da radiação.
dfdEf / é a densidade de energia para a freqüência f da radiação contida em
uma cavidade a temperatura absoluta T. Sua unidade é(J·m-3)·s.
1
8 3
3
−=
KT
hf
f
e
f
c
h
df
dE π
onde k é a constante de Boltzmann cujo valor é k=1.3805·10-23 J/K.
λλ ddE / é a densidade de energia por unidade de comprimento de onda para o
comprimento de onda λ da radiação contida em uma cavidade a temperatura
absoluta T. Sua unidade é (J·m-3)·m-1.
λc
f = 2λλc
d
df −=
1 Onde h é a Constante de Planck h=6,62609x10-34J.s
13
1
185
−=−=
KT
hc
f
e
hc
d
df
df
dE
d
dE
λ
λ
λπ
λλ
4.2 Efeito Fotoelétrico
Enquanto Planck considerava a quantização da energia, na sua teoria
da radiação do corpo negro, como um artifício de cálculo, Einstein enunciou a
audaciosa hipótese da quantização da energia ser uma propriedade fundamental
da energia eletromagnética. Três anos mais tarde, aplicou a idéia da quantização
da energia às energias moleculares para resolver outro enigma da física, a
discrepância entre os calores específicos, calculados pelo teorema da
eqüipartição da energia, e os calores observados experimentalmente em
temperaturas baixas. Depois, as idéias da quantização da energia foram
aplicadas às energias atômicas, por Niels Bohr, na primeira tentativa de explicar
os espectros atômicos. A hipótese de Einstein sugere que a luz, ao atravessar o
espaço, não se comporta como uma onda, mas sim com uma partícula.
O efeito fotoelétrico foi descoberto por Hertz, em 1887, e estudado por
Lenard em 1900. Quando a luz incide sobre a superfície metálica limpa, no
catodo, provoca a emissão de elétrons pela superfície. Se alguns destes elétrons
atingirem o anodo, haverá uma corrente no circuito externo. O número de elétrons
emitidos que atingem o anodo, pode ser aumentado ou diminuído fazendo-se o
anodo mais positivo, ou mais negativo, em relação ao catodo. Seja V a diferença
de potencial entre o catodo e o anodo, quando V for positivo, todos os elétrons
emitidos atingem o anodo e a corrente tem o seu valor máximo.
Observa-se, experimentalmente, que um aumento extra de V não afeta
a corrente. Lenard observou que a corrente máxima era proporcional à
intensidade da luz, quando V for negativo, os elétrons são repelidos pelo anodo e
somente os elétrons que tenham as energias cinéticas iniciais2
2mv maiores que
|eV| podem atingir o anodo. Então se V for menor que –Vo, nenhum elétron
consegue chegar ao anodo. O potencial Vo é o potencial frenador o qual está
relacionado com a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície
pela relação:
14
02
2
1eVmv
máx
=
O resultado experimental, da independência de Vo em relação à intensidade da
luz incidente, era surpreendente.
Na visão clássica, o aumento da taxa da energia luminosa incidente
sobre a superfície do catodo deveria aumentar a energia absorvida pelos elétrons
e deveria, por isso, aumentar a energia cinética máxima dos elétrons emitidos.
Em 1905, Einstein demonstrou que este resultado experimental poderia
ser explicado se a energia luminosa não fosse distribuída continuamente no
espaço, mas fosse quantizada , como pequenos pulsos, cada qual denominado
um fóton. A energia de cada fóton é hν , onde ν é a freqüência e h a constante de
Planck. Um elétron ejetado de uma superfície metálica exposta à luz, recebe a
energia necessária de um único fóton.
Quando a intensidade da luz, de uma certa freqüência(ν ), for
aumentada, maior será o número de fótons que atingirão a superfície por unidade
de tempo, porém a energia absorvida por um elétron ficará imutável. Se Ф for a
energia necessária para remover um elétron de uma superfície metálica, a
energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície será
φν −==
heVmv
máx0
2
2
1
Esta equação é conhecida como a equação do efeito fotoelétrico. A
grandeza φ é a função trabalho, característica do metal. Alguns elétrons terão
energias cinéticas menores que hν -φ em virtude da perda de energia que sofrem
ao atravessar o metal. A partir da equação do efeito fotoelétrico, podemos ver que
o coeficiente angular da reta Vo x ν deve ser igual a e
h.
Em resumo podemos ressaltar três pontos importantes da hipótese de
Einstein:
15
• A energia cinética de cada elétron não depende da intensidade da luz. Isto
significa que dobrando a intensidade da luz teremos mais elétrons
ejetados, mas as velocidades não serão modificadas.
• Quando a energia cinética de um elétron for igual a zero significa que o
elétron adquiriu energia suficiente apenas para ser arrancado do metal.
• A ausência de um lapso de tempo entre a incidência da radiação e a ejeção
do fotoelétron.
A verificação experimental da teoria de Einstein era bastante difícil.
Experiências cuidadosas de Millikan, publicadas pela primeira vez em 1914, e
depois com maior detalhe em 1916, mostraram que a equação de Einstein estava
correta e que as medidas de h concordavam com o valor encontrado por Planck.
Os fótons com as freqüências menores que o limiar fotoelétrico, e
portanto com comprimentos de onda maiores que o limiar fotoelétrico em
comprimento de onda, não tem energia suficiente para arrancar um elétron de
uma certa superfície metálica. O limiar fotoelétrico, e o comprimento de onda
correspondente podem ser relacionados à função trabalho φ , igualando-se a zero
a energia cinética máxima dos elétrons na equação de Einstein.
4.3 Efeito Compton
Seguido das descobertas de Planck e Einstein, foram feitos muitos
outros experimentos, que só poderiam ser explicados usando o comportamento
corpuscular (fótons) da luz. Um desses experimentos é o efeito Compton proposto
por A. H. Compton (1923). Compton estudou o espalhamento de raios-x
em materiais. Em seus experimentos ele mostrou que a luz espalhada tinha uma
freqüência mais baixa do que a incidente, indicando com isto uma perda de
energia no processo de espalhamento. Este fenômeno não pôde ser explicado
usando a luz como um fenômeno ondulatório. Compton explicou este fenômeno
ao estudar a colisão de elétrons com fótons, aplicando as leis de conservação de
energia e momento, obteve (Apêndice A)
=−′=∆2
20
φλλλλ sen onde 0
0
2
cm
h=λ
16
Ou seja, há variação do comprimento de onda e conseqüentemente da
freqüência, observado experimentalmente, no choque de um elétron com fóton.
Isto significa que realmente o fóton perde energia no choque. Esta energia
perdida é transformada em energia cinética usada pelo elétron.
Com isto, mostrou-se que a descrição do efeito Compton fica bem estabelecida
quando a sua interpretação é feita a partir do choque entre um fóton e um elétron,
assumindo o comportamento corpuscular da luz.
4.4 Átomo de Hidrogênio
A radiação emitida por qualquer fonte de luz pode ser estudada para
determinar que comprimento de onda ou freqüência estão presentes neste
sistema. Por exemplo, uma lâmpada incandescente exibe um espectro contínuo
de radiação. Por outro lado, muitas outras fontes de luz emitem apenas em
algumas freqüências bem definidas denominadas "linhas espectrais". Em
particular observa-se que o gás hidrogênio emite radiações em um espectro
reduzido e limitado. Antes do desenvolvimento da teoria quântica, esses
complicados espectros de linha foram tomados como evidência de uma estrutura
interna mais envolvida por átomos. Acreditava-se então que os átomos tinham
muitos modos possíveis de oscilações, como cordas de violinos ou tubos de
órgãos, e que a excitação destes modos dava origem à radiação correspondente
às suas freqüências individuais. Até 1885, 14 linhas espectrais de hidrogênio
tinham sido identificadas e seus comprimentos de onda precisamente medidos.
Johann Balmer então conseguiu achar uma expressão matemática empírica que
descreveu precisamente todos estes comprimentos de ondas conhecidos. Ele
achou que as séries observadas de comprimentos de onda espectrais poderiam
ser expressa por
Balmer:
−=22
1
2
11
nR
λ n = 3, 4, 5 .....
onde R é uma constante que agora é denominada de constante de Rydberg. Na
época o valor desta constante era de R =1,09678 x 107 m-1.
17
Em seguida outras séries espectrais foram determinas teoricamente
com base na expressão de Balmer. A primeira delas foi apresentada por Paschen
(1908) usando a relação;
Paschen
−=22
1
3
11
nR
λ n = 4, 5, 6 .....
Em seguida vieram as séries de Lyman e Brackett, as quais referiam a
região do ultravioleta e infravermelho do espectro de emissão do gás de
hidrogênio, respectivamente. Estes espectros podem ser descrito pelas equações
de Balmer modificada,
Lyman
−=22
1
1
11
nR
λ n = 2, 3, 4 .....
Brackett
−=22
1
4
11
nR
λ n = 5, 6, 7 .....
Assim determinou-se, empiricamente, que os espectros de linhas
distintos emitidos pelo hidrogênio poderiam ser ajustados pela relação de Balmer
generalizada;
−=22
111
nmR
λ n > m
onde m e n são números inteiros. Como λ é positivo, os inteiros m e n devem
satisfazer a desigualdade m < n.
Investigações do espectro de hidrogênio levaram Niels Bohr a postular
que as órbitas circulares dos elétrons fossem quantizadas, ou seja, que os seus
momentos angulares pudessem assumir apenas múltiplos inteiros de um certo
valor básico. Bohr propôs um modelo de átomo de hidrogênio, com notável
sucesso no cálculo dos comprimentos de onda das linhas do espectro conhecido
do hidrogênio e na previsão das linhas do espectro nas regiões do infravermelhos
e do ultravioleta.
O modelo de Bohr, embora deficiente sob diversos aspectos ilustra as
idéias da quantização dentro da moldura matemática mais simples da Física
Clássica. As teorias clássicas vigentes na época e usadas na descrição das
18
órbitas eletrônicas eram incapazes de explicar o espectro do átomo de hidrogênio.
Usando a idéia dos osciladores de Planck, Bohr propôs um modelo que
explicasse o espectro do átomo de hidrogênio. De acordo com Bohr, neste átomo,
só existem estados estacionários, nos quais não há irradiação, mesmo que os
elétrons estejam em movimento. A irradiação só aparece quando o átomo efetua
uma mudança de um dado estado, de energia Ek, para outro de menor energia Ej.
Matematicamente podemos equacionar esta hipótese por,
jk EEh −=ν
onde hν é o quantum de energia associado ao fóton que é emitido pelo átomo
durante a processo de emissão de luz. Para saber as freqüência permitidas, na
equação de Bohr será necessário conhecer as energias dos diversos estados
estacionários em que um átomo de hidrogênio pode existir. Esse cálculo foi
efetuado, pela primeira vez, por Bohr baseando-se em um modelo específico do
átomo de hidrogênio por ele imaginado. O modelo de Bohr teve sucesso apenas
no caso do átomo de hidrogênio, mas mesmo assim influenciou muito o
desenvolvimento posterior na Física Quântica.
Bohr supôs que o elétron do átomo de hidrogênio percorra uma órbita
circular de raio r, concêntrica com o núcleo. Admitiu, ainda, que o núcleo, que
consiste de um único próton que tenha uma massa muito superior à do elétron.
Neste caso, pode-se considerar que o centro de massa do átomo esteja na
posição do núcleo. Usando as leis de Newton, é possível escrever as equações
que relacionam o movimento do elétron em torno do núcleo e obter (Apêndice B)
2220
2 1
8
)(
nh
qemE
∈−=
Seja por exemplo dois níveis eletrônicos k e j, sendo j superior a k,
então a diferença de energia para ir de j até k deve ser emitida pelo átomo na
forma de luz cuja freqüência pode ser determinada calculando a diferença de
energia entre os dois níveis, como a seguir
−
∈=
−
∈−=−
22220
2
22220
2 11
8
)(11
8
)(
jkh
qem
kjh
qemEE kj
se k = 1 e j = 2, tem-se que
19
νhh
qem
h
qemEE =
∈=
−∈
=−22
0
2
22220
2
12 32
)(3
2
1
1
1
8
)(
A freqüência da radiação associada no processo de transição destes
níveis é
320
2
32
)(3
h
qemkj ∈
=→ν
Analisando a equação para a diferença de energia, nota-se que para
níveis altos ou n grande, o espaçamento entre eles passa a ser quase um
contínuo. Este limite seria, em princípio, um dos limites entre a teorias clássica e
quântica. Pode-se mostrar matematicamente, usando a equação para diferença
de energia, que para n no infinito é obtido um contínuo na separação entre os
níveis.
5. A TEORIA QUÂNTICA
5.1 Dualidade onda-partícula
Bohr ao elaborar seu modelo para explicar as linhas espectrais foi
obrigado a impor determinadas restrições ao movimento do elétron em torno do
núcleo. Para de Broglie, tais restrições eram mais do que sintomas para a
necessidade de uma nova concepção do comportamento da natureza. Segundo
ele, a natureza essencialmente descontínua da quantização, expressa pelo
surgimento de números quânticos inteiros, apresentava um estranho contraste
com a natureza contínua dos movimentos suportados pela dinâmica newtoniana e
mesmo pela dinâmica einsteiniana. Portanto, seria necessário uma nova
mecânica onde as idéias quânticas ocupassem um lugar de base, e não fossem
acessoriamente postuladas, como na antiga teoria quântica.
Um aspecto que chamou a atenção de de Broglie, foi o fato de que as
regras de quantização envolviam números inteiros. Ora, sabia-se, desde muito
tempo, que os números inteiros eram fundamentais em todos os ramos da física
onde fenômenos ondulatórios estavam presentes: elasticidade, acústica e ótica.
Eles são necessários para explicar a existência de ondas estacionárias, de
interferência e de ressonância. Seria, portanto, permitido pensar que a
20
interpretação das condições de quantização conduziriam à introdução de um
aspecto ondulatório no comportamento dos elétrons atômicos. Dever-se-ia fazer
um esforço para atribuir ao elétron, e mais geralmente a todos os corpúsculos,
uma natureza dualística análoga àquela do fóton, para dotá-los de um aspecto
ondulatório e de um aspecto corpuscular interligados pelo quantum de ação (a
constante de Planck).
Para chegar à sua relação fundamental, de Broglie na espectativa
intuitiva de que a natureza é simétrica, afirmou que a equação para o
comprimento de onda de um fóton é
p
h=λ e para a energia é νhE =
São estas formulas gerais, aplicada tanto a partículas materiais como a fotons. O
momento de uma partícula de massa m e velocidade v é dado por
mvp = , onde 0mm γ= e
2
2
1
1
c
v−=γ
Conseqüentemente o comprimento de onda de de Broglie é
mv
h=λ e a velocidade de onda de de Broglie será então λν=V
Dado que h
E=ν e 2mcE =
então cv
cV >>=
2
!!!
Acontece que a onda associada à partícula móvel corresponde a um
pacote de onda (Apêndice C), cuja velocidade é dada por dk
dwV = , ou seja, o
grupo de onda de de Broglie associado ao corpo desloca-se com a mesma
velocidade do corpo.
O valor extremamente pequeno da constante h explica porque o
aspecto ondulatório da matéria é muito difícil de ser observado.
A hipótese de de Broglie foi comprovada em 1927 (3 anos após a data
em que de Broglie fez sua proposta), por Davisson e Germer ao estudarem a
natureza da superfície de um cristal de Níquel. Eles perceberam que ao incidirem
21
um feixe de elétrons (partículas) contra a superfície do crista, ao invés de haver
reflexão difusa, houve uma reflexão similar à observada na incidência de raios X.
A incidência de raios X num cristal geram uma forte reflexão a certo
ângulo de tal maneira que haja interferência construtiva e um reforço seja
perceptível. Analisando os ângulos nos quais isso aconteciam para o Raio X e os
ângulos nos quais isso aconteciam para os elétrons, percebeu-se que nessas
situações os elétrons possuíam o exato comprimento de onda proposto por de
Broglie.
5.2 Princípio da Incerteza de Heisenberg
O Princípio da Incerteza marca o rompimento definitivo com a “velha”
mecânica quântica que tentou preservar a mecânica clássica. Ela foi formulada
inicialmente em 1927 por Werner Heisenberg, impondo restrições à precisão com
que se podem efetuar medidas simultâneas de uma classe de pares de
observáveis. O produto da incerteza associada ao valor de uma coordenada xi e a
incerteza associada ao seu correspondente momento linear pi não pode ser
inferior, em grandeza, à constante de Planck normalizada. Em termos
matemáticos, exprime-se assim:
)1(
2h≥∆∆ ii px
Quando se quer encontrar a posição de um elétron, por exemplo, é
necessário fazê-lo interagir com algum instrumento de medida, direta ou
indiretamente. Por exemplo, faz-se incidir sobre ele algum tipo de radiação. Tanto
faz aqui que se considere a radiação do modo clássico - constituída por ondas
eletromagnéticas - ou do modo quântico - constituída por fótons. Quando se quer
determinar a posição do elétron, é necessário que a radiação tenha comprimento
de onda da ordem da incerteza com que se quer determinar a posição.
Neste caso, quanto menor for o comprimento de onda (maior
freqüência) maior é a precisão. Contudo, maior será a energia cedida pela
radiação (onda ou fóton) em virtude da relação de Planck entre energia e
freqüência da radiação νhE = o elétron então sofrerá um recuo tanto maior
22
quanto maior for essa energia, em virtude do efeito Compton. Como
conseqüência, a velocidade sofrerá uma alteração não de todo previsível, ao
contrário do que afirmaria a mecânica clássica.
Argumentos análogos poderiam ser usados para se demonstrar que ao
se medir a velocidade com precisão, alterar-se-ia a posição de modo não
totalmente previsível.
Pode-se dizer que tudo se passa de forma que quanto mais
precisamente se medir uma grandeza, forçosamente mais será imprecisa a
medida da grandeza correspondente, chamada de canonicamente conjugada[4].
Expressando o princípio da incerteza na notação de operadores (Apêndice D),
temos:
[ ] hipx =,
Quando dois operadores possuem a mesma auto função, então eles
comutam.
Fazendo o comutador do momento linear com a energia cinética, é obtido o
seguinte resultado:
[ ħ/i d/dx, -ħ2/2m d2/dx2]
[ ħ/i d/dx, -ħ2/2m d2/dx2] f = - ħ3/2mi ·(d/dx d2/dx2 - d2/dx2 d/dx) f
= - ħ3/2mi (f ''' - f ''') = 0
Logo, conclui-se que o operador linear p comuta com o operador da
energia cinética m
p
2
2
. Ou seja, ao medirmos o momento linear de uma partícula é
possível obter informações precisas sobre sua energia cinética.
5.3 Equação de Schrödinger
Nos itens anteriores foi mostrado a necessidade de se construir uma
nova mecânica para os sistemas atômicos e moleculares, para os quais a teoria
de Newton ou mecânica Newtoniana não se aplicava. Devido a fatos tais como, a
quantização da radiação emitida por um corpo negro, a quantização do átomo de
Bohr, a dualidade onda corpúsculo tanto para a luz quanto para o elétron, assim
como o princípio da incerteza de Heisenberg a nova mecânica deveria ter uma
formulação compatível com estes fatos. A primeira formulação para esta nova
teoria foi proposta pelo físico austríaco Erwin Schrödinger em 1926. De acordo
23
com Schrödinger devido a dualidade onda-corpúsculo da matéria, mesmo que
uma partícula se mova em uma trajetória definida ela estará distribuída em todo o
espaço como uma onda. Neste sentido, uma onda na nova mecânica (mecânica
quântica) elimina o conceito de trajetória da mecânica clássica, sendo
representada por uma função denominada função de onda, ψ (psi).
Nesta mesma época Schrödinger propôs uma equação diferencial, nas
coordenadas espaciais e no tempo cuja solução era a função de onda. Esta
equação ficou conhecida como equação de Schrödinger.
),()],(2
[),(2
22
txtxVxm
txdt
di ψψ +
∂∂−= h
h
Esta é a equação de Schrödinger dependente do tempo em uma
dimensão (Apêndice E).
A mecânica quântica tem como base à solução da equação de
Schrödinger que é uma equação diferencial nas coordenadas espaciais e
temporal [7]. As grandezas físicas observáveis são representadas, nesta nova
teoria, por operadores que são entes matemáticos abstratos. Para tornar este
procedimento abstrato um pouco mais concreto, é necessário aplicá-lo dentro das
novas regras da mecânica quântica, no sentido de obter as grandezas físicas
realmente observáveis.
Este procedimento pode ser resumido pela seguinte definição: Define-
se como observável (O) toda grandeza real que podem ser medida em laboratório
e, dentro da nova teoria quântica, é representada por operador, tal como;
xx =ˆ dx
d
ipx
h=ˆ dt
d
iE
h−=
que representam a posição da partícula no eixo x, o seu momento linear e a sua
energia dependente do tempo, respectivamente. Estes operadores terão
realização física quando aplicados na função de onda, o que nos leva a concluir
que o observável posição opera apenas aplicando o operador x sobre a função
de onda, enquanto os outros dois, momento e energia, são obtidos por derivadas
da função de onda.
24
5.3.1 Autovalores e autofunções
Para extrair informações sobre um dado sistema quântico é necessário
resolver a equação de Schrödinger, cuja solução é uma função de onda (ψ).
Neste sentido se diz que ψ é uma autofunção do operador Hamiltoniano H , isto
é, satisfaz a equação
ψψ EH =ˆ
onde E é a energia que é o autovalor do operador H . Resumidamente, diz-se
que a equação de Schrödinger é uma equação de autovalor da forma;
(operador)(função) = (fator constante) x (a mesma função)
ou simbolicamente,
ψψ oO =ˆ
onde o fator constante o é o autovalor do operador. Desta forma, podemos dizer
que: resolver a equação de Schrödinger é encontrar os autovalores e autofunções
do operador hamiltoniano do sistema. Os autovalores de um dado operador
representam os valores das grandezas físicas observáveis permitidos.
Temos assim que a função ikxAe=ψ é uma autofunção do operador momento
linear ( p ) e que a função 2ikxAe=ψ não é autofunção de p . (Apêndice F)
Então, na prática, em mecânica quântica, procura-se sempre por
funções que são autofunções de um dado operador, especialmente do operador
hamiltoniano usado para se calcular a energia, isto é
(operador hamiltoniano) (função de onda) = (energia) x (a mesma função de onda)
Este procedimento é aplicável a qualquer observável física. Isto
significa que os autovalores de um dado operador devem ser reais, caso contrário
eles não representarão observáveis que possam ser medidas em laboratório.
Em resumo, as autofunções de um dado operador geram sempre
autovalores reais e, portanto são observáveis físicas.
25
5.3.2 Superposição de estados
É fácil verificar que a função de onda kxAcos2=ψ é uma solução da
equação de Schrödinger e autofunção do operador energia, isto é;
ψψψm
kkxA
dx
d
dx
d
mkxA
dx
d
mdx
d
mH
2)]cos2([
2)cos2(
22ˆ
222
2
22
2
22hhhh =−=−=−=
ou m
kE
2
22h=
Agora será verificado se esta função de onda é também autofunção do
operador momento p . Para isto, basta aplicar o operador p em ψ , isto é;
Asenkxi
kkxA
dx
d
idx
d
ip
hhh 2)cos2(ˆ −=== ψψ
Claramente percebe-se que esta expressão não é uma equação de
autovalor para o operador p, por que a função de onda do lado direito é diferente
da função do lado esquerdo. Com isto, conclui-se que nem todas as funções que
são soluções da equação de Schrödinger e são autofunções da energia são
autofunções do momento linear.
Analisando o seguinte caso:
Por definição de funções trigonométricas complexas temos que:
isenkxkxeikx += cos isenkxkxe ikx −=− cos
Somando estas duas equações tira-se que o cosseno pode ser escrito
como uma combinação de funções exponenciais complexas, isto é;
kxee ikxikx cos2=+ −
Com este resultado se pode reescrever a função de onda do caso
anterior da seguinte forma,
21)(cos2 ψψψ +=+== −ikxikx eeAkxA
Agora se esta função é autofunção do operador momento.
ikxikxikxikx Aedx
d
iAe
dx
d
ieeA
dx
d
idx
d
ip −− +=+== hhhh
)(ˆψψ
ou
2211ˆ Ψ+=−=−= −− ppAekAekikAei
ikAei
p ikxikxikxikx ψψ hhhh
26
onde hkp +=1 e hkp −=2 são os valores do momento da partícula nas
direções +x em –x, respectivamente.
Este é um resultado bastante interessante que leva a seguinte
conclusão:
Quando a função de onda de uma partícula não é uma autofunção de
um dado operador, a propriedade que corresponde ao operador não tem valor
definido.
Contudo, no exemplo em questão, o momento não está completamente
indefinido porque a função cosseno pode ser escrita como uma combinação linear
de funções que são autofunções do operador p , isto é, uma soma de
funções ikxe=1ψ e ikxe−=2ψ as quais são individualmente autofunção de p
com estados bem definidos. Isto leva a pensar que a função de onda, no seu
caso mais geral, pode ser expressa por uma combinação linear de autofunções
dos operadores, isto é
∑=++=n
nnccc ψψψψ ...2211
onde cn são coeficientes numéricos e nψ corresponde aos diferentes estados do
momento ou valores que ele pode assumir. Neste caso, a probabilidade de medir
o observável em um particular estado ou autovetor é dada pelo quadrado do
módulo dos coeficientes 2
kc .
5.4 Espaço de Hilbert
Na Mecânica Quântica, o estado de uma partícula é representado
matematicamente por um vetor num espaço vetorial complexo, chamado espaço
de Hilbert (H). Será usada aqui a notação de Dirac: ket: Ig> = g(x); bra: <f I = f*(x);
braket: <f I g> = ∫f*g dx.
As operações no espaço de Hilbert seguem determinadas regras.
(Apêndice G)
27
5.5 Operadores
5.5.1 Operadores hermitianos
São três as propriedades dos operadores hermitianos que são de
máxima importância:
1.Os operadores hermitianos possuem autovalores reais.
2. As autofunções de um operador hermitiano são, ou podem ser
escolhidas de tal forma que sejam ortogonais.
3. As autofunções de um operador linear hermitiano formam um
conjunto completo e ortogonal de funções.
Um operador O é hermitiano se para todo par de funções f e g se
cumpre a igualdade ∫ ∫= gdvOfdvOgf *)()(* .
Na notação de Dirac: gOfgOfgOf ==
Diz-se que O+ é um operador adjunto de O quando se verifica que
gfOgOf +=
Quando O+ = O, diz-se que o operador é autoadjunto ou hermitiano.
Na Mecânica Quântica todos os operadores que representam
grandezas físicas são hermitianos, o que nos possibilita realizar medidas de
observáveis em laboratório, porem respeitando o princípio da incerteza de
Heisenberg.
Demonstração de que a hamiltoniana é hemitiana
Se ψ0 é normalizada 12 =∫ ψdq
dqdt
d
dt
ddq
dt
ddq
dt
d∫ ∫∫
+=== ψψψψψψψ **
*0 2
Substituindo a equação de Schrödinger
)(2
)()( tt
hittH ψ
πψ
∂∂=
( ))(0 ∫ ∫+++ −= ψψψψ HdqHdqi
( )∫ ∫−= + ψψψψ HdqHdqi *)(*0
28
ψψ )(*(0 HHh
i −= +
+= HH , H é hermitiano, ou seja, podemos medir a energia de uma partícula!
5.5.2 Representação matricial de um operador
Seja Ô um operador linear num espaço vetorial ε e uma base }{ Kê de
dimensão n, isto é, com K= 1,2,3...,n. Se aplicarmos Ô a um elemento da base
teremos um novo vetor do espaço, que pode ser expandido na base dada. Esta
expansão é escrita:
∑=
=n
jjjii eOeÔ
1
rr
Onde os jiO são números complexos, denominados elementos de matriz de Ô na
base }{ Kê .
Seja um vetor qualquer de ε, tal que,
∑=
=n
iiievv
1
rr , então
{ { ∑∑∑∑∑== ===
=
⇒===
n
ijii
j
n
ii
n
jjjii
n
i subst
ii
n
iii
subst
OvvÔveÔveÔvevÔvÔ11 11 .1.
rrrrr
De posse dos elementos da matriz Ô é possível determinar a ação
deste operador sobre qualquer vetor. Assim, escolhida uma base, o operador
pode ser substituído pelo conjunto de seus elementos de matriz. Se
representarmos os vetores por matrizes coluna cujos elementos são as suas
componentes, podemos representar assim
=
nnnnn
n
n
v
v
v
OOO
OOO
OOO
vÔ...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
r
A matriz que representa um operador hermitiano é hermitiana, logo
29
+≡==⇒= ÔÔÔÔOO Tnmmn
T ***
Seja
Kf^
uma outra base, então
( )∑=
=n
jjijfi fOfÔ
1
rr
As matrizes Of e Oe são ditas equivalentes pois representam o mesmo
operador em bases distintas {f} e {e} respectivamente.
5.5.3 Relação da completeza
Quando um operador atua sobre um ket, produz outro ket
φψ Ô=
Uma base no espaço de Hilbert é constituída por um conjunto completo
de kets { }ie ortonormais onde para índices discretos escrevemos ijji ee δ= .
Um ket arbitrário ψ pode ser expandido em termos da base { }ie na forma:
∑=k
kk ecψ
Para acharmos os coeficientes da expansão, multiplicamos por ne
obtendo
∑=k
knkn eece ψ .
Fazendo uso da ortonormalidade da base
ψδψ kknk
nkkk
knkn eccceece =⇒=== ∑∑
Substituindo na expansão
ψψψ ∑ ∑∑
===k k
kkkkk
kk eeeeec
⇒=∑ 1k
kk ee Relação de completeza
30
5.5.4 Operador unitário
Os operadores unitários são a generalização dos operadores
ortogonais num espaço complexo de qualquer dimensão, inclusive infinita. Eles
satisfazem a condição
+− == ÛÛÛ T*1 ,com isto == ++ UUUU І
Propriedades do operador unitário
Um operador unitário ao atuar sobre um vetor, não altera o produto escalar nem a
norma. Seja
ψψ Û=~ e φφ Û=~, então
{ φφφφφψφψφψ =⇒===
+ ~~~~1
ÛÛ
2) O operador unitário transforma os vetores de uma base ortonormal
{ }n em outra base também ortonormal nÛn =~ mantendo a relação da
completeza.
3) A representação de um operador na nova representação será:
( ) +++ =⇒=== ∑∑∑ ÛÔÛÔÛmnOÛÛmnÛOmnOÕ
Ô
mnmnmn
~~~44 344 21
4) A transformação unitária não altera os autovalores de um operador.
5) Se nnn uuuÛ = então nnnnnn uuuuuÛÛu *1===+
Logo ni
n eu α= , αn real
Isto sugere escrever o operador unitário na forma
*1 iÂi eÛÛeÛ −+− ==⇒=
5.6 Oscilador harmônico
O estudo do oscilador harmônico para sistemas microscópicos é
igualmente importante ao estudo de sistemas oscilatórios macroscópicos. Em
particular o movimento vibracional de dois átomos numa molécula diatômica é
bem representado por um oscilador harmônico. A análise do oscilador harmônico
em mecânica quântica envolve a determinação das soluções da equação de
31
Schrödinger para uma partícula de massa m e coordenada x movendo-se numa
região onde a energia potencial V(x) tem a forma do oscilador harmônico da pela
equação;
( )2
2xCxV =
Energia potencial do oscilador esboçada em função do
deslocamento das partículas[9].
No caso macroscópico, a constante C define a dureza da mola do
oscilador. Num sistema macroscópico a “mola” pode envolver forças elétricas ou
nucleares, cuja “dureza” pode ser expressa pelo valor da constante C. Mas, como
a equação de Schrödinger envolve a energia potencial do sistema, e não a força
agindo sobre a partícula, é melhor pensar em C como uma constante que
descreve quão bruscamente a energia potencial do sistema aumenta do seu valor
de referência V = 0 na posição de equilíbrio x = 0, à medida que a partícula se
afasta do ponto de equilíbrio.
O oscilador harmônico unidimensional de massa m e constante de
mola C é regido pela Lagrangiana
22
2
1
2
1, CxxmxxL −=
••
onde x é a posição da partícula. O momento canonicamente conjugado a x é
32
•
•=
∂
∂= xmx
Lp .
O hamiltoniano do oscilador pode ser escrito como (Apêndice H)
+=2
1NwH h , onde N=a+a, é o operador número.
Definem-se os operadores a e a+ na forma
( )pixa +=2
1 ( )pixa −=+
2
1
Podemos assim obter as relações de comutação entre H e os operadores a e a+
[ ] waaH h−=, [ ] ++ = waaH h,
Se φ é um autovetor de H com energia E, então a+ φ e a φ são
autovetores de H com energias wE h+ e wE h− , respectivamente, pois
[ ] ( ) φφφφ ++++ +=⇒= awEHawaaH hh,
[ ] ( ) φφφφ awEHawaaH hh −=⇒=,
Logo, a aniquila um quantum de energia wh e a+ cria o mesmo quantum.
O espectro de N é formado por inteiros não negativos.
Conseqüentemente, os níveis de energia são discretos e dados por
+=2
1nwEn h n=(0,1,2,...)
A menor energia permitida é a chamada energia de ponto zero
wE h2
10 =
33
O estado fundamental, denotado por 0 , é tal que 00 =a pois o operador a não
pode criar níveis com energia menor do que E0.
A atuação dos operadores de criação e aniquilação sobre os auto-estados do
oscilador harmônico é dada por
1−= nnna 11 ++=+ nnna
Assim, o n-ésimo estado excitado é construído a partir do estado fundamental,
aplicando-se o operador de criação n vezes sobre o estado fundamental
( ) 0!
1 na
nn += onde
!
1
né a constante de normalização.
Pode-se demonstrar que a função de onda do estado n é dada por
( ) ( )2
2
1x
mw
nn exHnxx h−
==φ
onde Hn(x) é o polinômio de Hermite de ordem n.
5.7 Quantização do campo eletromagnético
Em uma cavidade refletora, podem existir infinitos modos normais de
vibração das ondas estacionárias e o campo eletromagnético pode ser expandido
em termos desses modos.
Cada termo da expansão obedece as equações diferenciais de
osciladores harmônicos, cada um vibrando com a mesma freqüência do modo
normal da cavidade.
O campo eletromagnético escrito em termos do potencial vetor A(r,t) é
dado por
ABrrr
×∇=
34
Escolhendo um potencial vetor A de modo que 0=⋅∇ A (calibre de
Coulomb). Na ausência de carga V = 0, podemos escrever
t
AE
∂∂−=
E ainda que o potencial vetor A(r,t)
satisfaz a uma equação de onda
2
2
22 )(1
),(t
rA
ctrA
∂∂=∇
A expansão em série de Fourier do campo será realizada em termos de
um conjunto discreto de funções, os modos normais, ortogonais Uk(r), isto é
( ) ( )rutctrA kkk k∑
∞
=
=
0 02
1),(
εωh
Onde os coeficientes ck se tornarão operadores quando o campo for quantizado,
satisfazendo regras de comutação específicas.
Essa equação tem solução do tipo ( ) tik
tikk
kk ebeatc ωω += −.
Da equação acima podemos verificar que *)( kk uru −= e que estas funções
formam um conjunto completo, ou seja,
∫ =−v kkkk drruru ´)()( ´* δ
É verificado que cada modo de k satisfaz as equações
)()(2
22 ru
c
wru k
kk ±=∇ )(2
2
2
tcwdt
cdkk
k ±=
Com ωk representando a freqüência de cada modo do campo
eletromagnético.
Desta forma, o campo pode ser escrito como
[ ]tiwkk
tiwkk
k k
kk eruaeruaw
B )()(2
1 **
0 0
×∇+×∇
= −
∞
=∑ ε
h
A quantização do campo é feita substituindo ak e a*k por operadores
mutuamente adjuntos ak e a+k.
35
Uma vez que os fótons são bósons, as relações de comutação
apropriadas para tais operadores são dadas por
[ ] [ ] 0,, ´´ == ++kkkk aaaa [ ] ´´,
kkkk aa δ=++
O Hamiltoniano do campo eletromagnético substituindo os operadores e utilizando
na forma quantizada é
∑∞
+
+=k
kkk aawH2
1h
Portanto, o campo eletromagnético é equivalente a um conjunto de
osciladores harmônicos independentes.
5.7.1 Estado de Fock
Os estados de Fock formam uma base completa para o espaço de
estados do campo. Se nos limitamos, por simplicidade, a um sistema com um só
tipo de partícula e um só modo, um estado de Fock [11] representa-se por |n>,
onde n é um valor inteiro. Isto significa que existem n quanta de excitação nesse
modo. Assim, |0> corresponde ao estado fundamental (sem excitação), ou estado
que representa o vazio quântico (isto é diferente de 0, que é o vetor nulo que não
é um estado possível do sistema por não ser um vetor unitário - ver mais abaixo).
Os estados de Fock formam a forma mais conveniente de base do espaço de
Fock.
11 ++=+ nnna 1−= nnna
( ) 0!
1 na
nn +=
onde a é o operador de aniquilação e a+ o de criação.
Os estados de número são, por definição, autoestados do operador
número de fótons N= a†a. Se aplicarmos este operador a um estado de número
como n que satisfaça as relações acima pode-se comprovar que:
( ) ( ) nnnnnnannnanaanaa =+−=−=−== ++++ 1111
isto permite comprovar que naa =+ , de fato os estados de Fock são
autovetores do operador número de partículas e, por tanto, (a†a)=0. Isto implica
36
que a medida do número de partículas N = a†a num estado de Fock sempre
resulta num valor definido, sem flutuações. A variável canonicamente conjugada
ao operador número é a fase, assim, uma completa definição no número de
fótons implica em uma completa indefinição na fase do campo associado.
5.7.2 Estados coerentes
Introduzido por Glauber [12][13] e Sudarshan [14], os estados
coerentes possuem o número de fótons indefinido, mas, uma fase razoavelmente
definida. Estes estados são definidos como auto-estados do operador de
aniquilação de fótons, isto é
αα=αâ *αα=α +â
Como â não é hermiteano, o autovalor a é um número complexo, iqeα=a .
O estado coerente do oscilador pode ser expresso em termos do
operador deslocamento de Glauber D(a) atuando no vácuo
0)(αα D= onde ( )aaeD*
)( ααα −+
=
Usando a formula de Zassenhaus para operadores dada por:
[ ]
nCB,A2
1BABA eeeee
ˆˆˆˆˆˆˆ
L−+ = onde Cn constitui uma soma de produtos de
comutadores de n-ésimo grau, tomando += aA α e ⇒α−= aB *
[ ][ ] [ ][ ] 0,,,, == BABBAA
concluímos que aa eeeD
*2
2
1
)( αααα −− +
=
Assim
37
( )( )
( )
( )∑
α=
=∑α−=
==α=α
∞
=
+α
αα
+α−
∞
=
αα
α−αα
++
+
0
2
2
1-
a
2
2
1-
1
0
a
2
2
1-
aa
2
2
1-
0e
0ee0ee
0eee0 D
n
n
n
n*
*
n!n!
n!*
43421
43421L
n
n
a
a
a
nn
e0
2
2
1-
∑α=α
∞
=
α
n n!
Calculando αβ iremos obter:
( )
2
2
0n
2
2
1-
2
2
1-
0n,
2
2
1-
2
2
1-
0n,
2
2
1-
2
2
1-
0n,
2
2
1-
2
2
1-
22
n! ee
!
n!ee
!
n!ee
!
n!ee
−+−
∞
=
∗
∗∞
=
∗∞
=
∗∞
=
∗
∗
=⇒
=
==
=
∑
∑∑
∑
αβ
βα
βαβα
βα
βα
αβ
αβ
αβ
δβαβα
βααβ
e
mnm
m
mm
n
e
n
mn
m
m
nm
m
n
m
m
n
43421
5.8 Operador densidade
O operador densidade [15] é usado para indicar que nosso
conhecimento é incompleto devido às imperfeições na preparação dos estados
(estados mistos), ou devido a nossa impossibilidade do conhecimento completo
do estado quântico do sistema (por vezes só temos acesso a uma parte do
sistema total). Quando conhecemos o vetor de estado do sistema, este é descrito
por um estado puro. Por exemplo:
2211 ψαψαψ +=
38
ψ pode exibir efeitos de interferência (termos cruzados)
( )( )22112*21
*1 ψαψαψαψαψψ ++=
121*2212
*1
2
2
2
2
2
1
2
1 ψψααψψααψαψα +++=
Neste caso ψ , descrito pela equação, 2211 ψαψαψ += , está numa
superposição coerente dos estados 1ψ e 2ψ .
Existem situações nas quais não se sabe em que estado o sistema se
encontra, há apenas uma probabilidade p do sistema ser encontrado no estado
ψ . Mais precisamente, supondo que um sistema quântico esteja em algum
estado iψ de um conjunto de estados, com respectiva probabilidade ip . Desta
maneira { }1, ψip é um conjunto de estados puros. O operador densidade
ρ para o sistema é definido como:
∑=i
iiip ψψρ
onde 10 ≤≤ ip como esperado para os pesos probabilísticos.
Por exemplo, se a evolução de um sistema quântico fechado é descrita
pelo operador unitário U e se o sistema estava inicialmente no estado iψ com
probabilidade ip , então, após a evolução ter ocorrido o sistema estará no estado
iU ψ , com probabilidade ip . Assim a evolução do operador densidade é
descrito pela equação:
++ == ∑∑ → UUUUppi
iiii
U
iii ρψψψψρ
Medições são descritas facilmente na linguagem do operador
densidade. Ao efetuarmos uma medição descrita pelo operador de medição mM ,
se o estado inicial era iψ , então a probabilidade de ter o resultado m é:
( ) ( )iimmimmi MMtrMMimp ψψψψ ++ ==
Pela lei da probabilidade total, a probabilidade de obter o resultado m é:
39
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ++ ===i i
mmiimmii MMtrMMtrppimpmp ρψψ
Qual é o operador densidade do sistema depois de obter o resultado m
de uma medição? Se o estado inicial era iψ então o estado final é:
immi
immi
MM
M
ψψ
ψψ
+=
Assim, após a medição que leva ao resultado m temos um conjunto de
estados miψ com respectivas probabilidade ( )mip . O operador densidade
correspondente mρ é:
( ) ( )∑∑ +
+
==i immi
miim
i
mi
mim
MM
MMmipmip
ψψ
ψψψψρ
Mas pela teoria elementar da probabilidade,
( ) ( )( )
( )( )mp
pimp
mp
impmip i== ,
Substituindo as equações acima obtemos:
( ) ( )ρρ
ρψψ
ρmm
mm
i mm
miimim
MMtr
MM
MMtr
MMp +
+
+
+
==∑
O sistema quântico cujo estado ψ é conhecido exatamente, é dito
ser um estado puro. Nesse caso, o operador densidade é simplesmente
ψψρ = . Se não, ρ está num estado de mistura, isto é, está em uma mistura
dos diferentes estado puros do conjunto para ρ .
Qualquer operador densidade ρ satisfaz as seguintes propriedades:
ρ é hermitiano
ρψψψψρ ==
= ∑∑+
+
iiii
iiii pp
ρ é um operador positivo semidefinido, isto é,
∑∑∑ ≥==
=i
iii
iiiii
iiiiii ppp 02ψψψψψψψψψψψρψ
40
( ) 1=ρtr
Esta prova segue do fato de que as probabilidades são normalizadas.
Isto é: 1=∑i
ip
Então podemos ver que:
( ) } } ∑∑∑ == ==
ii
iiii
iiii ptrpptrtr 1ψψψψρ
Algumas propriedades podem ser derivadas desse teorema:
ρρ =2 se e somente se ρ é um estado puro.
Todos os autovalores de ρ estão no intervalo [ ]0,1 .
O cálculo do valor esperado de um operador A é dado por:
}{ { }ρψψψψ AtrpAtrAtrpAi
iiii
iii =
== ∑∑
Se derivarmos o operador densidade em relação ao tempo obtemos:
∑
+=•••
iiiiiip ψψψψρ
A equação de Schrödinger para o estado iψ é dada por: ii H
i ψψh
−=•
,
com isto obtemos a equação de movimento para a matriz densidade
( ) ( )[ ]tHi
t ρρ ,h
−=•
Definindo o superoperador linear de Liouville
[ ] H, •−=•h
iL teremos
dt
d ρρL=
Conhecida como equação de Von Newmann, sendo mais geral que a
equação de Schrödinger, pois utiliza o operador densidade ao invés de um vetor
de estado específico iψ . Assim podemos obter informações estatísticas da
mecânica quântica envolvida no sistema.
5.9 Evolução temporal de um sistema quântico
A evolução temporal de um sistema pode ser escrita na representação
de Schrödinger, onde os vetores de estado evoluem no espaço de Hilbert, ou na
41
representação de Heisenberg quando assumimos que o operador evolui no
espaço de Hilbert. Estes dois aspectos podem ser observados na equação
abaixo, onde Ô não depende explicitamente do tempo
[ ] nHOmi
nOm ˆ,ˆ1ˆdt
d
h=
Obtida a partir da evolução temporal dos elementos de matriz
Omn=<m|Ô|n> de um operador quântico arbitrário Ô:
+
+∂∂= n
dt
dOmnOm
dt
dnO
tmnOm
dt
d ˆˆˆˆ
Para um estado genérico |n> a equação de Schrödinger na notação de
Dirac é dada por:
ˆ nHndt
di =h e seu hermitiano conjugado é H
dt
di ˆmm- =h
Substituindo os termos acima a equação fica
[ ]nHOmi
nOt
mnOm ˆ,ˆ1ˆˆdt
d
h+
∂∂=
Podemos notar que a matriz que representa qualquer variável dinâmica
na representação da energia, ou seja em termos dos autovalores do hamiltoniano
H|n>=En|n>,terá os elementos da diagonal constante e fora dela os elementos
oscilam com a freqüência de Bohr.
Seja a matriz do operador Ô representada na base |ne>, dos
autovalores de energia, ene nEne
=H , substituindo teremos:
[ ]
( )⇓
=−=
−=
−=
=
.nˆmnˆmEE1
nˆEm1
nEˆm1
nˆˆm1
nˆˆm1
n ˆ,ˆm1
nˆmdt
d
eenmeemn
emeene
eeee
eeee
eeee
ee
OiOi
Oi
Oi
OHi
HOi
HOi
O
ωh
hh
hh
h
( ) tee
emeneconstnˆmωi
O−=
Se tomarmos os elementos da diagonal ,me=ne, então
42
ctenˆn ee =O
Dirac introduziu uma representação intermediária as duas anteriores,
que chamou de representação de interação, na qual o vetor de estado evolui
devido apenas a presença das interações. Seja o hamiltoniano do sistema dado
por: H=H0+Hint onde H0 é o hamiltoniano das partículas (ou campos) livres e Hint é
o hamiltoniano de interação entre elas. Para tanto é necessário construir uma
transformação unitária Û(t) definida em termos do hamiltoniano livre e com ela
passaremos da descrição de Schrödinger para a descrição de interação. Então:
(t)ˆSI U ψψ = onde
h
t
U0H
ie(t)ˆ =
Substituindo na equação de Schorödinger
( ) ( )
∂∂
+
∂∂=
∂∂
=∂
∂⇒+=
∂∂
t(t)ˆ
t
(t)ˆ
t
(t)ˆ
tˆˆ
ti nt0
SS
SISi
S iUU
iU
iiHHψ
ψψψ
ψψ
hhhhh
( )
SiSI
SiS
HUHU
HHUU
I
ψψψ
ψψψ
nt00
nt00
ˆ(t)ˆˆ(t)ˆH
ˆˆ(t)ˆ(t)ˆH
++−=
++−=43421
Como 1,(t)ˆ(t)ˆ(t)ˆ(t)ˆ e (t)ˆˆˆ(t)ˆ00 === ++ UUUUUHHU então
4342143421h
II
SiSII UUHUUHi
ψψ
ψψψψ
(t)ˆ(t)ˆˆ(t)ˆ(t)ˆˆHt nt00
+++−=∂
∂
( ) ˆt nt IIiI Hi ψ
ψ=
∂∂
h ,onde ( ) (t)ˆˆ(t)ˆ ˆntnt
+= UHUH iIi
O vetor de estado na descrição de interação evolui devido apenas a
interação dos subsistemas.
Por outro lado se ÔS representa um operador arbitrário na descrição de
Schrödinger, na descrição de interação terá a forma ÔI=Û(t)ÔSÛ+(t).
( ) ( ) ( )
[ ]0
0
ˆˆ
0
ˆ,ˆ ˆ
ˆ(t)ˆˆ(t)ˆ(t)ˆˆ(t)ˆˆ-
(t)ˆˆ(t)ˆ(t)ˆˆ(t)ˆ(t)ˆˆ(t)ˆˆ
HOdt
Odi
HUOUUOUH
dt
UdOUiUO
dt
Udi
dt
UOUdi
dt
Odi
II
O
S
O
S
SSSI
II
=⇒
+=
+==
++
++
+
h
44344214434421
hhhh
43
A evolução de ÔI se dá devido apenas ao hamiltoniano intrínseco do
sistema, H0.
Para realizar o estudo da dissipação de energia de um sistema
devemos considerar no momento dos cálculos, o sistema em si, o ambiente, e a
interação entre eles, assim será possível retirar informações diretamente de suas
equações dinâmicas.
Se considerarmos um sistema acoplado a um reservatório (banho)
térmico (R) onde a energia dissipada é armazenada, de modo que o sistema mais
o banho tenham energia conservada. O hamiltoniano referente a este caso é dado
por:
RSint0
RSintRS
servatorioSistema/ReinteraçãoioReservatórSistema HHHHHHHHH +≡++=++=
A quantização canônica não permite dissipação, isto é, ela não permite
termos que não possam ser escritos como uma potencia, este é o motivo da
inserção do termo RSintH no hamiltoniano acima.
Para analisar a dinâmica apenas do sistema S será necessário
escrever o operador densidade reduzido Sρ definido por
(t)Tr (t) RS ρρ =
Evoluindo este operador no tempo teremos
( )
==
−+ hhhhh
tHtH
I
00
e edt
diUU
dt
di
dt
di
iiρρρ
[ ](t),H1
(t) III ρρh
&i
=
Que é a equação Liouville-von Neumann na representação de
interação.
Ao calcularmos o traço da equação Liouville-von Neumann na
representação de interação sobre os graus de liberdade do reservatório, vamos
obter
[ ] [ ][ ] Lh
+′′′−′−=∂∂
∫t
rri0
IIIR2IIRSI )t(),t(H(t),HtdT1
(0)),t(HT(t)t
ρρρ
44
Onde é possível observar que o sistema é não markoviano, pois o
futuro de SIρ depende sempre do passado, isto é, exibe efeito de memória.
As aproximações utilizadas na literatura [16] são:
• Considerar o reservatório grande o suficiente para que não seja afetado
pelo sistema durante toda evolução,isto é, não sofra mudança de seu
estado inicial durante a interação, assim podemos escrever o operador
densidade por (0)(t)(t) RSI ρρρ ⊗≅
• Assumir que o reservatório é um ensemble canônico em equilíbrio térmico
a temperatura T, assim podemos escrever
)tr(e
eρ
Tk
H
Tk
H
R
B
R
B
R
−
−
= ; KB é a constante de Boltzmann
• Particularizar o sistema quântico por um oscilador interagindo com um
reservatório representado por um banho osciladores e uma interação linear
na aproximação de ondas girantes RWA. Onde os hamiltonianos
individuais serão dados por
( )∑∑ +∗+++ +==
+=j
jjjjjjj
j abbabbaa γγωω RSintR0S H H ,
2
1H hh
• Assumir que o sistema é markoviano, seu o futuro é determinado pelo
presente e não pelo passado, assegurando assim que a energia que vai
para o reservatório não volte mais para o sistema.
Com isso, escreve-se para um banho frio, a equação mestra
markoviana do sistema S na representação de Schrödinger
[ ] ( )aaaaaa +++ −−+−= (t)(t)(t)2k(t),H(t)dt
d SSSSSS ρρρρρ
h
i
E o liuvilliano correspondente, escrito na linguagem de
superoperadores, será dado por
( ) ( )PPPP----MMMM----JJJJPPPP----MMMM----LLLL 0000 2k+= ωi
A álgebra de Lee nos permite escrever LLLL em forma de multiplicação, o
que nos é muito conveniente. Obtemos então a exponencial eLt na forma
completamente desacoplada [20]
45
tp(t) tm(t) tj(t)t eeee PPPPMMMMJJJJLLLL =
Onde
( )( )k p(t)
k- m(t)
1e j(t)
0
0
2kt
−=+=
−=
ωω
i
i (Apêndice I)
Temos agora ferramentas suficientes para calcular a evolução temporal
de um estado coerente.Seja o operador densidade de um estado coerente
ααρ =(0)
Ao realizar a evolução temporal deste operador, obtemos
( )tk-t 0e (t) onde (t)(t)e +== ωαβββαα iLLLL
(Apêndice J)
Vemos com o resultado, que o estado coerente foi mantido, acrescido
de uma fase.
6. RESULTADOS
6.1 O Problema da Medição
De acordo com a mecânica quântica os objetos quânticos sempre têm
indefinidos os valores de algumas de suas propriedades.
O problema da medida resulta quando se investiga o que ocorre
quando se efetua uma medida de uma propriedade cujo valor é indefinido.
Tomaremos como exemplo a medida da propriedade que chamaremos S.
Quando medimos S, sempre encontramos um valor preciso, +1 ou -1.
Como a teoria quântica não permite que este valor seja interpretado como uma
propriedade intrínseca do objeto quântico, nele presente antes da efetivação da
medida, temos que atribuir o seu surgimento à interação entre o objeto e o
aparelho de medida.
Apontamos que o resultado assim “criado” pela interação entre o objeto
e o aparelho de medida, é completamente aleatório; a teoria quântica
simplesmente não o prevê. Isto representa um rompimento com o determinismo
das teorias clássicas, o que já é algo notável.
46
No entanto, ainda não chegamos ao maior problema, que surge
quando aplicamos a lei da evolução temporal dos estados quânticos ao estado do
objeto quântico antes da medida.
Tal lei se expressa através de uma equação diferencial parcial, a
equação de Schrödinger, que é a equação fundamental da teoria quântica.
Analogamente ao que ocorre na mecânica newtoniana, a especificação do estado
quântico em um dado instante, juntamente com as forças que atuam sobre o
objeto quântico, possibilita, através dessa equação, a dedução do estado quântico
em um instante posterior qualquer. Nesse sentido, dizemos que a evolução de
estado regida pela equação de Schrödinger é determinista[18].
Inserindo porém o estado pré-medida do objeto quântico nessa
equação, obtemos o resultado de que a medida simplesmente nunca ocorre! Isto
acontece porque, segundo a descrição quântica da interação entre o objeto
(microscópico) e o aparelho de medida (macroscópico) a indefinição das
propriedades do objeto transmite-se, ou “contamina”, o estado do aparelho: o
ponteiro deste, que deveria marcar ou +1 ou -1, assume uma posição indefinida.
É importante não confundir isso com posição oscilante, ou
intermediária: trata-se de uma completa indefinição. É extremamente difícil para
nós, quase impossível, visualizarmos ou concebermos um ponteiro neste estado.
47
Este problema foi descoberto pelo próprio Schrödinger, em 1935. Ele
destacou sua gravidade através de um exemplo dramático. A seguir uma versão
adaptada do problema.
Imaginemos que ao nosso aparelho de medida da propriedade S seja
acoplado um “mecanismo infernal” (expressão de Schrödinger) tal que, se o
ponteiro marcar +1, nada ocorre, mas se marcar -1, aciona-se um relê, que liga
um motor, que aciona um martelo, que quebra uma garrafa cheia de um gás letal
no interior de uma caixa fechada na qual foi colocado um gato vivo. Assim, o
resultado +1 significa que o gato continuará vivo. e o resultado -1 acarreta a morte
do gato.
Ora, se o aparelho medir a propriedade S de um objeto quântico, já
vimos que a teoria rigorosamente prevê que o próprio ponteiro do aparelho ficará
em uma posição indefinida. E isso significa que o pobre gato também ficará em
uma posição indefinida de mistura de vida e de morte![15] (Não se deve confundir
esse estado com um trivial estado de doença grave.)
Parece óbvio, que sempre que inspecionarmos a caixa encontraremos
o gato ou vivo ou morto, nunca no bizarro e inimaginável estado previsto pela
teoria. E mais: se continuarmos aplicando a equação de Schrödinger ao sistema
físico ampliado ¾ objeto quântico, aparelho, mecanismo infernal, gato e nós
próprios, a teoria prevê que se abrirmos a caixa para inspecionar o gato, nós
também entraremos em um estado indefinido, em uma superposição quântica de
alguém que tem a consciência de haver observado um gato vivo e de alguém que
tem a consciência de haver observado um gato morto. Aparentemente, alguma
coisa deve estar errada.
6.2 Coerência e decoerência
Quando colocamos um sistema em estado emaranhado dizemos que
ele permanece coerente enquanto não for possível encontrar estados individuais
para cada parte do sistema independente do resto do sistema. Isso é quase o
mesmo que dizer que o sistema permaneceu isolado sem interagir com nenhum
outro sistema. Quando é efetuada uma medição, essa interação entre o sistema e
o aparato de medição é que faz o sistema perder a coerência. Essa interação
pode ocorrer com qualquer sistema quântico.
48
Estudar o mecanismo da decoerência é verificar como ocorre essa
transição de um sistema em um estado superposto para um estado específico, ou
quando tratamos de muitos sistemas, para uma mistura estatística.
Antes de medir dois elétrons descritos por uma superposição, eles não
possuem valores definidos. Se forem descritos por uma mistura estatística,
possuiriam valores definidos, mas não saberíamos quais. À medida que a ordem
de grandeza de um sistema vai aumentando, o número de interações desse
sistema também cresce, e o tempo que leva para perder a coerência diminui. No
caso de sistemas macroscópicos o tempo é quase instantâneo. De fato não é
verdade que o sistema efetivamente deixa de ser coerente. Ele continua sendo,
porém envolvendo um número infinitamente grande de sistemas, e como não é
possível correlacionar todos eles para identificar a superposição, parece que o
sistema se tornou decoêrente.
O emaranhamento é um dos fenômenos tipicamente quânticos, sem
nenhuma correspondência clássica. Quando dizemos que um sistema esta
emaranhado, isto significa que partes distintas do sistema não possuem
comportamento individual independente um do outro. Ou seja, se fizermos dois
sistemas quânticos interagirem, esses sistemas passam a ser descritos por uma
única função de onda, e dessa forma seus comportamentos permanecem
interligados.
O exemplo utilizado em experimentos como o do gato de Schrödinger,
(descrito no item 6,1) é o de uma superposição entre gato vivo e gato morto, cada
possibilidade com 50% de chance.
Quando a teoria quântica prevê esse tipo de resultado para um sistema
microscópico (um elétron estar em dois lugares ao mesmo tempo, por exemplo)
isso não é tão complicado para nossa intuição, pois não somos tão familiarizados
com elétrons e assim aceitamos que talvez isso realmente aconteça com elétrons.
Porém nós conhecemos gato muito bem, e sabemos que não existem gatos
mortos-e-vivos ao mesmo tempo. Uma teoria que prevê um resultado desse tipo
está em desacordo com a nossa mais simples intuição de que não existe nada
morto e vivo ao mesmo tempo. Em termos mais técnicos, nossa intuição nos diz
que há algo errado com a previsão de superposição de estados quânticos em
escala macroscópica, ou que superposições próprias do mundo quântico não
devem aparecer no domínio clássico.
49
Essa situação é conhecida como o problema da medição quântica.
6.3 Tempo de dissipação e decoerência para um estad o de “gato”
Ao observarmos a evolução temporal de um estado de “gato” ( apêndiceJ)
( ){ })()()()()()()()(1
),(22
)((2
20
tttteettttN
t ti ββββββββθρ βαθ −+−+−−+= −−
com ( ) tiwkttkwi eee 00(t) −+− α=α=β podemos constatar que:
• A perda de coerência é dada quando o termo 022
2 →β−α− )(( te . Para
grandes amplitudes |α|>>1 e numa escala de tempo pequena kt<<1
encontramos (apêndice M)
k
Tα
=4
1dec
• A Amplitude kteα é atenuada, devido ao termo –kt, numa escala de tempo
1/kt.
Por outro lado, definindo a entropia linear ou índice de pureza δ(t),
(t)-1(t) 2ρδ tr=
Correspondente aos primeiros termos da expansão da entropia de von Neumann,
que é uma generalização da entropia de Boltzmann da mecânica estatística
Clássica.
Calculando para a evolução temporal do operador densidade, (Apendice K ),
iremos obter:
( )
( )
θ+
θ++−=δα
αβ−αβ
22-
2-(t)4-(t)4-
2
2222
e1
e2ee1
21
(t)cos
cos
Iremos obter o instante em que a entropia linear atinge seu valor máximo[19]
(Apêndice L):
ktdiss 2
2ln=
Assim constatamos que, o sistema já estará descrito por uma mistura estatística
dos estados gato par e impar com probabilidade ½ .
50
7. CONCLUSÃO
Os conceitos fundamentais abordados ao longo do trabalho nos
conduziram a uma reflexão sobre como se comportam sistemas quântico e qual a
conjectura atual da mecânica quântica.
Ao realizar a evolução temporal de um estado coerente foi possível
identificar o momento em que a superposição se transforma em uma mistura
estatística clássica, a qual pode ser estudada com técnicas conhecidas de
mecânica estatística. Sendo possível assim analisar qual será o comportamento
probabilístico futuro do sistema.
Os resultados alcançados no cálculo do tempo de perda de coerência,
e no tempo de dissipação de energia de um sistema, mostram que a perda de
coerência ocorre muito antes que a dissipação da energia. Estes resultados
explicam o porque não observamos superposições no mundo macroscópico, pois
quanto maior o sistema mais interações com o ambiente ocorrerão e mais rápido
ele perderá a coerência.
Experimentos como o realizado na Ecole Normale Supérieure [20], em
Paris, que não apenas levou à construção de uma superposição coerente de dois
estados classicamente distintos do campo eletromagnético em uma cavidade,
como possibilitou pela primeira vez o acompanhamento em tempo real do
processo de perda de coerência, e a medida do tempo característico desse
processo, verificando-se em particular que esse tempo decresce quando a
distância entre os estados aumenta (ou seja, quando aumenta o número médio de
fótons em cada estado).
Os resultados experimentais confirmaram com extrema precisão as
previsões teóricas, publicadas anteriormente [15]. De fato, os estados construídos
continham um número pequeno de fótons, da ordem de cinco, e portanto não
poderiam ainda ser considerados como macroscópicos. Não obstante, o
experimento permitiu acompanhar o processo pelo qual a superposição quântica
transforma-se em uma mistura estatística clássica (ou seja, a transformação de
um sistema capaz de exibir interferência em um sistema que exibe apenas uma
alternativa clássica), explorando assim a fronteira sutil entre o mundo
microscópico e quântico de um lado, e o mundo macroscópico e clássico do outro.
51
8. APÊNDICE
A – Efeito Comton
Para analisar o efeito Compton, é necessário levar em conta que o
efeito é relativístico já que o fóton é uma partícula relativística e viaja à velocidade
da luz. Então devemos usar as equações da relatividade para a variação da
massa, da energia e do momento linear. A massa m de uma dada partícula é
dada por
2
2
0
1c
v
mm
−
= sendo mo a massa de repouso, c a velocidade da luz.
As energias total antes e depois do choque são dadas respectivamente por;
2mchE += ν e 2mchE +′= ν
Aplicando a conservação da energia e momento linear, obtem-se:
- Sobre a conservação da energia
220 mchcmh +′=+ νν
220 mc
chcm
ch +
′=+
λλ
Reorganizando a equação acima e elevando ambos lados ao quadrado
obtem-se
42
2
20
11cmcmhc =
+
′−
λλ ou
42420
2
03
222 11
211
cmcmmhcch =+
′
−+
′
−λλλλ
- Sobre a conservação do momento linear
Conservação do momento linear componente x e componente y respectivamente
θφλλ
coscos mvhh +′
= e θφλ
mvsensenh +′
=0
Eliminando os termos contendo θ nas equações acima. Para isto faz-se
o quadrado de ambos lados das duas equações acima.
θλ
φλ
2222
2 coscos1
vmh =
′
− e θφλ
2222
2
2
senvmsenh =
′
somando ambas equações,
222222222
2
222 cos
cos1vmsenvmvmsen
hh =+=
′+
′
− θθφλλ
φλ
52
multiplicando por c2 ambos lados da equação acima, chega-se a
( )222
2
2222
2
222222
2
22222 cos2cos1
cvmhchchc
vmcsenhc
hc =′
+′
−→=′
+
′
−λλλ
φλ
φλλ
φλ
Subtraindo as duas equação acima
2224222
0342
0
22
cos211
22
cvmcmch
mhccmch c −=
′+
′−++
′− φ
λλλλλλ
O segundo membro da equação acima pode ser rescrito
420
22
2
22
220222222242 )(
)()( cmvc
c
vc
cmvccmcvmcm =−
−=−=−
Com isto a equação acima assume a forma
λλλλ
λλφ
λλ ′−′
=
′
−=−′ 0
30
322
211
2)cos1(2
mhcmhcch
Simplificando ambos lados da equação acima
=−=−′=∆2
2)cos1( 2
00
φφλλλ sencm
h
cm
h
onde foi usado a relação trigonométrica
+
−=
+−=−22
cos122
cos1cos1 22 φφφφφ sen
Definindo0
0
2
cm
h=λ como sendo o comprimento de onda de Compton, temos que
=−′=∆2
20
φλλλλ sen
B – Átomo de hidrogênio
Para o elétron ficar na órbita circular é necessário que as forças
centrípeta e coulombiana sejam iguais;
mr
qev
r
vm
r
qe
0
2
20 44 ∈
=→=∈ ππ
onde q é a carga do núcleo, e é a carga do elétron e v é a velocidade do elétron
em torno do núcleo. Com isto pode-se calcular as energias cinética e potencial do
elétron, por
53
r
qemvk
0
2
82
1
∈==
π e
r
qeeVU
04 ∈−=−=
π
onde r é o raio da órbita do elétron e 0∈ a constante dielétrica. Dessa forma a
energia total é igual a
r
qe
r
qe
r
qeUkE
000 848 ∈−=
∈−
∈=+=
πππ
Dado que a freqüência, o momento linear e o momento angular, são
respectivamente
30
3162 mr
qe
r
v
∈==
ππν ,
r
qemvp
04 ∈==
π e
04 ∈==
πmqer
prL
Conclui-se que conhecendo-se r, todos os parâmetros da órbita
discutidos acima serão determinados. Até este estágio, Bohr não dispunha de
regras que o orientassem, de modo que foi forçado a fazer a hipótese de
quantização do momento angular, isto é, o momento angular deveria ser igual a
um múltiplo inteiro da constante de Planck dividida por 2π.
Assim, hnh
nL ==π2
n=1,2,3...
onde n é um número inteiro ou um número quântico. Combinando esta equação
com a equação anterior para o momento angular percebemos que r será
quantizado,
020
22 rn
mqe
hnr =
∈=
π n=1,2,3...
Onde ro é o raio de Bohr. Substituindo r na equação para a energia total obtem-
se:
2220
2 1
8
)(
nh
qemE
∈−=
O sinal menos indica que é necessário ceder energia ao átomo para
fazer a transição eletrônica para níveis superiores. Com isto os valores das
energias dos estados estacionários permitidos podem ser determinados.
Procedendo de forma análoga ao que foi feito na quantização da
energia pode-se encontrar uma equação para a freqüência de transição
54
−
∈=
22220
2 11
8
)(
kjh
qemν
sendo k e j (números inteiros), que descrevem duas órbitas consecutivas.
Para um elétron passar de um nível para outro ele deve emitir ou
receber energia em quantidade bem determinada, isto é receber um quantum de
energia.
C - Pacote de onda
Uma onda plana, propagando no eixo x, pode ser representada por
uma função senoidal tal como:
)cos(),( wtkxAtxF −=
que é solução da equação da onda com velocidade v.
2
2
22
2
2
2
2
2 1
t
F
vz
F
y
F
x
F
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂
a função F oscila no tempo, e a freqüência de oscilação é dada por
π2
wF =
o número de onda k é relacionado com o comprimento de onda λ por
πλ2
=K
A velocidade de propagação é dada por
K
wfv == λ .
Uma função igualmente válida é a função seno ou uma função
exponencial com expoente imaginário, como
)(),( wtKxiAetxF −=
que é solução da equação da onda com
K
wv =
Uma onda descrita desta forma possui uma única freqüência e é
chamada harmônica pura ou onda plana. Vamos construir uma forma de onda
55
mais complexa adicionando termos que são múltiplos inteiros da freqüência
fundamenta w:
∑+
−=
−=x
xn
wtKxinneAtxF )(),( que é também solução da equação da onda. Num dado
instante a forma da onda periódica pode ser representada por:
∑+
−=
=x
xn
inKxneAxf )( Através de uma escolha apropriada da constante An, é
possível representar qualquer função periódica pela soma da forma de uma onda
plana (funções harmônicas) chamadas série de Fourier. O coeficiente é obtido
multiplicando cada lado da igualdade por e-imkx e integrando sobre um período:
∫ ∑∫∞+
−∞=
−−− =k
n
Kxnmin
kimkx eAdxexdxF
ππ 2
0
)(
2
0
)(
A integral à direita só não é zero se n = m.
∫∫ ==−k
mm
kimkx
k
AdxAexdxF
ππ
π2
0
2
0
2)( ∫
−=k
imkxn exdxF
kA
π
π
2
0
)(2
Um pacote de onda é uma forma de onda não periódica que é diferente
de zero em uma região localizada do espaço. A onda formada é composta por
ikxe termos onde k é tratado como uma variável contínua. A distribuição dos k
(número de onda) é dado por uma função g(k). A função Ψ(x) é escrita em termos
de g(k) como :
∫+∞
∞−
−= ikxekdkgx )(2
1)(
πψ , onde ∫
+∞
∞−
= ikxexdxkg )(2
1)( ψ
π
A operação pode ser descrita como o mapeamento da função g(k) no
espaço k para uma outra função Ψ(x) no espaço x e ela é chamada transformada
de Fourier. Como exemplo vamos calcular a distribuição do número de ondas g(k)
para uma onda quadrada correspondendo a igual probabilidade da partícula ser
encontrada no intervalo –L<x<L, ou seja Ψ(x)=C.
Da condição de normalização (área sobre a curva |Ψ(x)|2 vale 1)
∫+∞
∞−
== 2221)( LCxdxψ obtemos
LC
2
1=
56
e a função de onda normalizada será L
x2
1)( =ψ . A função g(k) será dada pela
transformada de Fourier
∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
===k
kLsen
Le
Ldxexdxkg ikxikx )(1
2
1
2
1)(
2
1)(
ππψ
π
Note que ax
axsenx
=→
)(lim
0.
Uma propriedade geral de funções que são transformadas de Fourier
umas das outras é que a largura das distribuições em x e em k sempre são
maiores que 1, ou seja, 1≥∆∆ kx .
[3]
D – Princípio da Incerteza
Sejam nlnl px e elementos de matrizes hermitianas, que descreve as
coodenadas espaciais dos átomos e momenum associados a cada possível
transição, dados por:
xeX nliw
nlnl &== t
nlx elemento da matriz hermitiana x wnl=- wnl
nlnltiw
nl ximwep nl === nlnl imw xm&
57
Substituindo na relação de Heisenberg
( )∑∑ +=⇒==n
nlnlnlnlnlnln
nlnlnl xxwxxwmxxwmh
&&h&h 22π
( ) h4342143421
h ixppxxximwximwxin
nlnln
p
nlnl
p
nlnl
nl
=−⇒
−−= ∑∑ lnlnlnln
ln
A regra de comutação entre matrizes de posição e momentum é a
relação fundamental na conexão entre a mecânica clássica e quântica
[ ] hipx =.
E – Equação de Schrödinger
Podemos chegar a equação de Schrödinger partindo da relação de
dispersão.
Se considerarmos a equação de uma onda eletromagnética em uma direção
0),(1),(
2
2
22
2
=∂
∂−∂
∂t
tx
cx
tx ψψ
Cuja solução é uma onda plana
)( kxwtiAe −=ψ
Substituindo a solução na equação da onda eletromagnética, obtemos
a relação de dispersão 222 kcw =
Por outro lado, dada a relação de dispersão podemos chegar a
equação da onda fazendo as seguintes substituições
tiw
∂∂→
xik
∂∂→
Ou seja
),(),(2
22
2
2
2
22
2
2
txx
ctxtx
ct
ψψ∂∂=
∂∂→
∂∂−=
∂∂−
Schrödinger escreveu a relação de dispersão para uma partícula livre
cuja energia é m
pE
2
2
= , assim foi obtido o seguinte resultado
58
wE h= m
kw
m
kwkp
22
222hh
hh =→=→=
Substituindo:
tiw
E
∂∂→=
h
xik
p
∂∂−→=
h
Obtem-se
),(2
),(2
22
txxm
txt
i ψψ∂∂−=
∂∂ h
h
Para uma partícula sujeita a um potencial V(x), sua energia será dada
classicamente por )(2
2
xVm
pE += . Escrevendo a relação da dispersão:
),(2
22
txVm
kw += h
h
Substituindo
tiw
∂∂→
xik
∂∂→
Encontra-se
),()],(2
[),(2
22
txtxVxm
txdt
di ψψ +
∂∂−= h
h
Esta é a equação de Schrödinger dependente do tempo em uma dimensão.
F – Autovalores e autofunções
Para esclarecer estes novos conceitos será mostrado que a função
ikxAe=ψ é uma autofunção do operador momento linear ( p ) e que a função
2ikxAe=ψ não é autofunção de p . Para verificar isto basta aplicar o
operador p na função de onda, como a seguir. Por definição o operador
momento é igual a;
dx
d
ipx
h=ˆ
Então:
ψψψ kAekikAei
Aedx
d
idx
d
ip ikxikxikx
x hhhhh ===== )()(ˆ
59
que pode ser reescrita na forma,
ψψψ pkpx == hˆ
Assim é possível dizer que a função de onda ikxAe=ψ é autofunção
do operador p com autovalor kh . Como o número de onda k pode ser escrito em
termos do comprimento de onda λ , temos que;
λλπ
ππhh
kh
kp ==== 2
22h
que é equivalente ao resulto obtido por Bohr na quantização do átomo de
hidrogênio.
A agora será verificado que a função2ikxAe=ψ não é autofunção do
operador p .
ψψ )2()(2)2()(ˆ222
kxAekxAeikxi
Aedx
d
ip ikxikxikx
x hhhh ====
Analisando o último termo entre parêntese na equação acima nota-se
que ele não é uma constante, mas sim depende da posição. E se esta equação
fosse escrita por;
ψψψ ′== kxkpx hh 2)(2ˆ
Ela seria uma equação de autovalor? Não, mesmo nesta forma ela
não é uma equação de autovalor por que as funções ψ e ψ ′ são diferentes.
G - Espaço de Hilbert
As operações no espaço de Hilbert seguem as seguintes regras:
H é um conjunto de objetos, com uma operação de soma de vetores definida de
tal forma que:
Se dois vetores If> e Ig> Є H então a soma If> + Ig> também é um vetor de H.
A soma é comutativa e associativa: If > + Ig> = Ig> + If> e (If> + Ig>) + Ih> = If> +
(Ig> + Ih> ).
Existe em H um vetor chamado nulo de tal forma que: If> + 0 = If> para
qualquer If> Є H.
60
Também está definida uma operação de produto escalar de tal forma
que, se α e β pertencem ao conjunto dos complexos, e If> e Ig> são elementos
de H, então:
α If> Є H
(αβ) If>= α (β If>)
(α +β) If>= α If>+ β If>
α(If>+ Ig>) = α If>+ α Ig>
1. If>= If>
H tem um produto interno, ou seja, pode-se definir uma operação entre dois
vetores If> e Ig> que fornece um escalar, denotada por, If>. Ig> que possui as
seguintes propriedades:
(If>. Ig>) = (Ig>. If>)*
(If>. Ig>+ Ih>) = (If>. Ig>) + (If>. Ih>)
(If>. αIg>) = α(If>. Ig>)
(αIf>. Ig>) = α*(If>. Ig>)
(If>. If>) ≥ 0 e (If>. If>) = 0 se e somente se If> = 0 ( vetor nulo )
H – Oscilador harmônico
O Hamiltoniano, que deve ser escrito como função de x e p, é
( ) 22
2
1
2, Cx
m
pLxppxH +=−=
A quantização do movimento da partícula é feita associando-se a x e p
operadores Hermitianos que satisfazem a relação de comutação canônica
[ ] hipx =, .
Queremos encontrar as soluções da equação de Schrödinger
independente do tempo
φφ EH =
61
onde os valores de E são as energias permitidas do sistema. Para isso, definem-
se os operadores adimensionais
xmw
xh
= pwm
ph
1=
onde m
cw = , que satisfazem [ ] ipx =, . O Hamiltoniano fica então
( )22
2
1xpwH += h
Definem-se os operadores a e a+ na forma
( )pixa +=2
1 ( )pixa −=+
2
1
Invertendo essas relações, obtemos
( )++= aax2
1 ( )+−−= aa
ip
2
E ainda [ ] 1=+ +aa
Substituindo e , obtemos H na forma
+=2
1NwH h , onde N =a+a é o operador número.
I – Técnicas da Álgebra de Lee
Uma álgebra de Lee é definida por um conjunto de operadores
{ } [ ] ,ˆˆˆˆˆˆˆ ∑==N
kk
kijc AA,A,...A,A,AA
ji321 comutação, sob fechado onde o número de
elementos da álgebra N, define sua dimensionalidade e kijc são denominadas
constantes de estrutura da álgebra que satisfaz a identidade de Jacobi,
62
0=++∑ )(,
mlj
lki
mli
lik
ml
mlk
lij cccccc
Considerando que o hamiltoniano descrito pela soma dos
hamiltonianos de um sistema, de um reservatório no qual o sistema está imerso e
da interação entre eles seja dado por
SAAS HHHH ++=
Cada hamiltoniano pode ser escrito individualmente como
kkk
kkSA
kkkkA
S
caacH
ccH
aaH
+++
+
+
+=
+=
+=
∑
∑
γγ
ω
ω
2
1
2
10
h
h
Concentrando a atenção no hamiltoniano apenas do sistema fazemos:
[ ]
tsss
s
ssssSs
ettdt
td
aaaaaaktHi
dttd
LL )()()()(
)()(,)(
0
2
ρ=ρ⇒ρ=ρ
ρ−ρ−ρ+ρ−=ρ +++
h
Obtendo assim
[ ] )(, ++++ •−•−•+•ω−= aaaaaakaai 20L
Definindo as operações da álgebra de Lee
[ ][ ][ ][ ]
[ ] ... 1,
1)(
.)()(
)(,
0,
1,
1,
dqcaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaa
aa
aa
aa
s
ssss
ss
=••∴
=−⇒−⇒
⇒−⇒•−•⇒
⇒••−••=••
=••−=••
=••
+
++++
++++
+++
+
+
+
ρρρρρ
ρρ
E ainda
))(()²(²
))(()²())(()²(
aaaa
aaaaaaaa
••=•=•••=•=•••=•=• 22
63
))(()²(
))(()(
))(())(()(
))(()²(²
))(()²())(()²( 22
••=•
••=•
••=••=•
••=•=•••=•=•••=•=•
+++
++
+++
aaaaaa
aaaa
aaaaaa
aaaa
aaaaaaaa
Podendo definir assim
J
P
M
ˆ
ˆ
ˆ
=•=•=•
+
+
+
aa
aa
aa
E aplicar as propriedades
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] 0===
=−=M,MP,PP,M
J,PJJ,M
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆ
Podemos escrever L na forma
( ) ( ) kkiwiwk 200 JPML ˆˆˆ +−+−−=
Reescrevendo L na forma exponencial
Pp(t)Mm(t)Jj(t)Pp(t)Jj(t)Pp(t)Mm(t)Lt
Pp(t)Mm(t)Jj(t)Pp(t)Mm(t)Jj(t)Pp(t)Mm(t)Jj(t)Lt
Pp(t)Mm(t)Jj(t)Lt
Pp(t)Mm(t)Jj(t)Lt
eP(t)peeeM(t)em)e(eJ(t)jLe
)(edt
d)e(e))(e(e
dt
de)e)(e(e
dt
dLe
)ee(edt
d
dt
de
eeee
ˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ &&& ++=
++=
=
=
Para resolver esta equação e encontrarmos os coeficientes
utilizaremos a fórmula de Baker – Campbell –Hausdorff (BCH) que é dado por
[ ] [ ][ ] ...ˆ,ˆ,ˆ!2
²ˆ,ˆˆˆ ˆˆ +++=− BAAx
BAxBeBe AxAx
Assim reescrevendo
64
Pp(t)Mm(t)
II
Mm(t)Mm(t)Jj(t)Pp(t)Mm(t)Jj(t)
I
Jj(t)Jj(t)LtLt (t)epeePeeeeeeMe(t)meJ(t)jLeˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆ &4342143421&& −− ++=
Calculando
I: [ ] [ ][ ] Jj(t)M...M,J,J2!
j(t)²M,Jj(t)MeMe Jj(t)Jj(t) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆ +=+++=−
II: [ ] [ ][ ] P...P,M,M2!
m(t)²P,Mm(t)PePe Mm(t)Mm(t) ˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆ =+++=−
A equação fica então
Pp(t)Mm(t)Jj(t)
III
Jj(t)Jj(t)LtLtLt eeeePe(t)p]eJj(t)M(t)[meJ(t)jLeˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆ
43421&&& −+++=
Calculando III
[ ] [ ][ ] Jj(t)P...P,J,J2!
j(t)²P,Jj(t)PePe Jj(t)Jj(t) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆ +=+++=−
Obtemos assim
( ) LtLtLtLt eJj(t)P(t)p]eJj(t)M(t)[meJ(t)jLe ˆˆˆˆˆ ++++= &&&
( )Jj(t)P(t)p]Jj(t)M(t)[mJ(t)jL ˆˆˆˆˆ ++++= &&&
Relacionando
( )Jj(t)P(t)p]Jj(t)M(t)[mJ(t)jL ˆˆˆˆˆ ++++= &&&
( ) ( ) 2kJkiwPiwkML 00ˆˆˆ +−+−−=
Obtemos
( )( )k p(t)
k- m(t)
1e j(t)
0
0
2kt
−=+=
−=
ωω
i
i
Podemos então escrever
( ) ( ) ( )tPkiwtMkiw12ktLt 00 eeee −−−=
65
J – Evolução temporal de um estado coerente
Dado que
( ) ( ) ( ) (0)(0)(t) 0012 ρ=ρ=ρ −−− PMJL tkiwtkiwktt eeee
tomemos um estado inicial coerente α , cujo operador densidade é dado por
( ) αα=ρ 0
Utilizando o operador deslocamento de Glauber
0)(αα D= , onde 0 é o estado fundamental do fóton.
( )
( ) ( )
∑α=α
∑
α=∑α=
=
∑α−=
=α
∞
=
α
∞
=
+α∞
=
+α−
αα−
∞
=
αα−
α−αα−
+
+
+
0
2
2
1-
0
2
2
1-
0
2
1
2
1
abaixar que o temnão zero em atuando a
0
2
1
2
1
e
0e0
0
0
0
2
2
2
2
n
n
n
*
n!
n!n!!
!
*
n
ana
e
ee
na
ee
eee
n
n
n
n
n
a
n
n
a
aa
43421
4434421
Dado que
( )( ) ( )( )nen
nntm
nn
aatmne
n
tm
n
n
n
n
tm∑=∑=∑
•=∞
=
∞
=
∞
=
+
000 nM )()(
!!
Podemos então escrever
( )
( )
)()(
n
)(
n
)(
n
)(
n
)()(
)(
)(
)()(
n!
n!n!n!
tmetm
e
ntmee
ntmtm
ntm
ntm
ee
ne
ne
nenee
tm
tm
tmtm
α=α⇒
∑α=
∑α=∑
α=∑α=α
αα
α
∞
=
ααα
∞
=
α∞
=
α∞
=
α
2
2
12
2
1-
0
2
2
1-
2
2
12
2
1-
0
2
2
1-
0
2
2
1-
0
2
2
1-
ee
eee
eee
M
nMM
444 3444 21
Realizando operação análoga para os demais termos chegamos que
66
( )tkwit ettte +−α=βββ=αα 0 onde )()()(L
Considerando agora um estado coerente dado por
( )
obtemos22
2 )()(
)(
)( ttee
t
tLt β−β=α=α
α−α=ρ
β−α−
Dado um estado inicial
( )
( ) 12
obtemos 1 ãonormalizaç de codição Da
ímpar gato
0par gatopor conhecida é função a onde
N1
22 α−θ
θ
θ
θ
+=
=ψψ
π=θ→=θ→
α−+α=ψ
eeN
e
i
i
O operador densidade ficará
( )( )
( ) ( ) α−α−+αα−+α−α+αα=
α−+αα−+α=ψψ=ρ
θθ−
θ
θ−θ
θ
ii
ii
ee
ee
2
20
N1
N1
Assim, a evolução temporal do operador densidade será:
( ){ })()()()()()()()(1
),(22
)((2
20
tttteettttN
t ti ββββββββθρ βαθ −+−+−−+= −−
K – Cálculo de )(2 tTrρ
Sabendo que
( )( ){ }( )( ){ }
−+−+−−+
•
−+−+−−+=
−−
−−
)()()()()()()()(1
)()()()()()()()(1
)(
22
22
(t)2-
2
(t)2-
22
ttetteettttN
ttetteettttN
t
ii
ii
ββββββββ
ββββββββρ
θθβα
θθβα
67
Para calcular (t)2ρtr , separaremos os traços
• 1)()()()()()()()(1
=== ttTrttTrttttTr ββββββββ43421
•
2422
22
)()()()()()(ββ
β
ββββββ−−
−
=−=−− ettTrettttTr
e
4434421
• 222222
2222
222222
22
1
22
)()(
)()()()()()(
αθβαθββαθ
βαθβαθ
ββ
ββββββ
−−−−−
−−
==−=
−=−
iii
ii
eeeeettTreee
ttTreeettttTreee43421
• 2222522
22
22
)()(
)()()()(
22
22
αθβ
β
ββ
ββββ
βαθ
βαθ
−−−
−
==
=−
−−
−−
i
ettTreeee
ttttTreee
i
e
i
4434421
• 1)()()()()()(1
=−−=−−−− ttTrttttTr ββββββ44 344 21
•
22
22
22
)()()()(22 αθ
β
βββββαθ −−
−
=−−−− i
ettttTreee
e
i
4434421
• )(42)(2
)(2
222222
22
22
cos)()(
)()()()(
βαβαθθ
βαθθ
θββ
ββββ
αθ
β
−−−−−
−−−
=−=
=−−
−−
−
ettTreeee
ttttTreee
iii
e
ii
4434421
)(4
1
22
)()()()()()( βαββββββ −−==−− ettTrttttTr44 344 21
Para finalmente escrever
68
++++=
−−−−−−−− )22(422222
2cos28221
)( 4)(42244
2 βαββααθβ θρ eeeeeN
tTr i
++++=−−−−−−− )22(4222
4
22
2cos2cos4221
)( 4)(42
4
244
2 βαββααβ θθρ eeeeeN
tTrN
43421
( )( )( )22
2222
242
4422
cos2cos214
cos221
)(αα
βαβα
θθρ
−−
−−−−
+++++=
ee
eeetTr
L – Tempo de dissipação
0*44*42
=+ −− BBBB edt
dee
dt
d α
04*4 *44*42
=+− −− BBBB edt
deeBB
dt
d α
)( kteB −−= ωα
kteBB 22* −= α
{ } 0*4 *44*42
=+−− −− BBBB eeeBBdt
d α
022222
444 =+−−− −− ktkt ee eee ααα
( )ktkt ee ee2222
144 −− −−− = αα
( )ktkt ee 2222144 −− −−=− αα
12 2 =− kte 2
12 =− kte 2
1ln2 =− kt 2ln2 =kt
k
tdiss 22ln= Tempo de dissipação
69
M – Tempo de perda de coerência
022
22 →+− βαe 0222
22 →−+− kTee αα
( ) 022
12 →−−− kTee α
( ) 0121 22 =−− − kTeα
22
2
11
α=− − kTe
22
12
α=kT
kT
α=
41
dec
70
9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] L. Davidovich, EINSTEIN E A MECÂNICA QUÂNTICA, Instituto de Física –
Universidade Federal do Rio de Janeiro. Disponível em:
http://omnis.if.ufrj.br/%7Eldavid/arquivos/Einstein%20e%20a%20Mecanica%20Qu
antica%20-%20Ciencia%20e%20Meio%20Ambiente.pdf. Acesso em 23/05/2008.
[2] S.R. Dahmen. Bose e Einstein: do nascimento da estatística quântica à
condensação sem interação I. Revista Brasileira de ensino de Física, São
Paulo, vol.27, nº2, 2005.
[3] EISBERG, RESNICK, Mecânica quântica , Ed. Campus: Rio de Janeiro, 1994.
[4] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lectures on Physics, Addison-
Wesley Publishing Company, 1975
[5] J. Leite Lopes , A estrutura quântica da matéria , ed. UFRJ: Rio de Janeiro,
2005.
[6] H. Moyses Nussensveig , Ótica relatividade Física Quântica , ed.Edigard
Blücher Ltda, 1998)
[7] C. Cohen-Tannoudji, F. Laloë, B. Diu. Quantum Mechanics , Jonh Wiley: New
York, 1977)
[8] S. Gasiorowicz, Física Quântica , ed. Guanabara dois,Rio de Janeiro, 1979.
[9] R.L. Rodrigues. Mecânica Quântica na descrição de Schrödinger. Revista
Brasileira de ensino de Física, São Paulo, vol.19, nº1, 1997.
[10] B.J. Mokross. Não-Localidade na Mecânica Quântica. Revista Brasileira de
ensino de Física, São Paulo, vol.19, nº1, 1997.
71
[11] Quantum Optics D.F.Walls G.J.Milburn Springer- Verlag
[12] R.J. Glauber, Phys. Rev 130 (1963)2559
[13] R.J. Glauber, Phys. Rev Let 10 (1963)84
[14] E.C.G. Sudarshan, Phys. Rev Let 10, 277(1963)
[15] L. Davidovich et al., Phys. Rev. Lett. 71,2360 (1993); L. Davidovich et al.,
Phys. Rev. A 53, 1295 (1996).
[16] Lima, João Paulo Camargo de. Processos de relaxação em sistemas
quânticos e álgebras de operadores não-lineares / Tese (Doutorado) – São
Carlos: UFSCar, 2006.
[17] Ponte, Mickel Abreude. Dinamicas de coerencia de estados em redes de
osciladores quânticos dissipados / Tese (Doutorado) São Carlos: UFSCar, 2006.
[18] A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Can quantum-mechanical description
of physical reality be considered complete? Physical Review, Princeton, vol 47,
pg. 777-780, (1935).
[19] Mokarzel, G.Sonia. Decoerência e Dissipação de Sistemas Quânticos:
Técnicas e Aplicação”/Tese (Doutorado)
[20] L. Davidovich, M. Brune, J.M. Raimond, S. Haroche. Mesoscopic quantum
coherences in cavity QED: Preparation and decoherence monitoring schemes.
The American Physical Society , vol. 53, pág. 1295-1309. Mercço, 1996.