MÉTODOS NUMÉRICOSAPLICADOS EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE
POTÊNCIA
Professor: Lissandro Brito Viena e-mail: [email protected]
[email protected] Site: www.ifba.edu.br/professores/lissandro
REVISÃO DE FLUXO DE POTÊNCIA
Trata-se da análise em regime permanente de um sistema de potência interconectado durante operação normal.
O sistema de potência é considerado estar operando em condição balanceada e pode ser representado através de um diagrama unifilar.
Importância do estudo do fluxo de potência:
- Planejamento;- Operação econômica;- Estabilidade transitória;- Estabilidade dinâmica;- Contingênciá;
REVISÃO DE FLUXO DE POTÊNCIA
- O método das tensões nodais é comumente usado para análise de sistema de potência.
CLASSIFICAÇÃO DAS BARRAS
Quatro quantidades são associadas com cada barra. São elas:
- Módulo da tensão de barra;
- Ângulo de fase;
- Potência ativa;
- Potência reativa;
No estudo de fluxo de potência, dua dessas quantidades são especificadas e duas quantidades restantes são obtidas através da solução de equações.
O sistema de barras são geralmente classificados em três categorias:
- Barra slack: Conhecida também como barra swing onde o módulo e o ângulo de fase da tensão são conhecidos.
- Barra de carga: Também conhecida como barra PQ . Nesse tipo de barra as potências ativas e reativas são conhecidas. O módulo e o ângulo de fase da tensão da barra são deconhecidos até a obtenção da solução final.
- Barra de tensão controlada: Também conhecida como barra de geração ou barra reguladora ou barra P- V . Neste tipo de barra, a potência ativa e o módulo da tensão são especificados. O ângulo de fase da tensão e a potência reativa são desconhecido até que a solução final seja obtida. Os limites dos valores de potência reativa também são especificados.
MATRIZ ADMITÂNCIA DE BARRA
De maneira simplificada as resistências das linhas são desprezadas e as impedâncias estão em pu numa base comum.
As impedâncias devem ser convertidas em em admitâncias.
j0,8 j1
j0,5
j0,4j0,4
j0,04
1 2
3
4
A figura abaixo apresenta o diagrama de admitância e a transformação para fontes de corrente e correntes injetadas I1 e I2 .
O nó O serve como referência.
-j1.25 -j1
-j2
-j2.5 -j2.5
-j25
I1I2
O
1 2
3
4
Aplicando a lei de Kirchhoff:
Rearrumando as equações acima, obtém-se:
1 10 1 12 1 2 13 1 3
2 20 2 12 2 1 23 2 3
23 3 2 13 3 1
34 4 3
I y V y (V V ) y (V V )
I y V y (V V ) y (V V )
0 y (V V ) y (V V )
0 y (V V )
1 10 12 13 1 12 2 13 3
2 12 1 20 12 23 2 23 3
13 1 23 2 13 23 34 3 34 4
34 3 34 4
I (y y y )V y V y V
I y V (y y y )V y V
0 y V y V (y y y )V y V
0 y V y V
Seja:
11 10 12 13
22 20 12 23
33 13 23 34
44 34
12 21 12
13 31 13
23 32 23
34 43 34
Y (y y y )
Y (y y y )
Y (y y y )
Y y
Y Y y
Y Y y
Y Y y
Y Y y
As equações nodais equivalentes são:
A notação matricial é dada da seguinte maneira:
- vetor da correntes injetadas
- vetor das tensões de barra
1 11 1 12 2 13 3 14 4
2 21 1 22 2 23 3 24 4
3 31 1 32 2 33 3 34 4
4 41 1 42 2 43 3 44 4
I Y V Y V Y V Y V
I Y V Y V Y V Y V
I Y V Y V Y V Y V
I Y V Y V Y V Y V
barra barra barraI Y V
barraI
barraV
Os elementos da diagonal principal da matriz admitância de barra são conhecidos como admitância própria.
Os elementos fora da diagonal principal da matriz admitância de barra são conhecidos como admitância de transferência ou admitância mútua.
EQUAÇÕES DE CARREGAMENTO DAS BARRAS
Considera uma barra i do sistema de potência como mostrada na figura abaixo:
n
ii ikk 0
Y y ,k i
ViV1
V2
Vn
Ii
yi0
yi1
yi2
yin
A corrente líquida injetada na barra i pode ser escrita como:
As seguintes variáveis são definidas:
i i0 i i1 i 1 i2 i 2 i2 i nI y V y (V V ) y (V V ) y (V V )
i i0 i1 i2 in 1 i1 1 i2 2 in nI (y y y y )V y V y V y V
ii i0 i1 i2 in
i1 i1
i2 i2
in in
Y y y y y
Y y
Y y
Y y
i ii i i1 1 i2 2 in nI Y V Y V Y V Y V n
i ii i ik kk 1k i
I Y V Y V
A potência ativa e a potência reativa injetada na barra i são:
*i i i iP jQ V I i i
i *i
P jQI
V
ni i
ii i ik k*k 1ik i
P jQY V Y V
V
ni i
ii i ik k*k 1ik i
P jQY V Y V
V
ni i
i ik k*k 1ii ik i
P jQ1V Y V
Y V
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
Considere a barra 1 como barra slack em que a módulo e ângulo da tensão são conhecidos.
3 4
12
G1 G2
Neste caso, n=4 (quatro barras) e a barra slack s=1.
Da equação:
Para i≠s, isto é, i = 2,3,4
ni i
i ik k*k 1ii ik i
P jQ1V Y V
Y V
42 2
2 2k k*k 122 2k 2
P jQ1V Y V
Y V
2 22 21 1 23 3 24 4*
22 2
P jQ1V Y V Y V Y V
Y V
Dando continuidade para as outras barras:
No método de Gauss Seidel, a nova tensão calculada em (p+1), isto é substitui e é usada na solução das equações subsequentes. As equações podem ser escritas como:
3 33 31 1 32 2 34 4*
33 3
P jQ1V Y V Y V Y V
Y V
4 44 41 1 42 2 43 3*
44 4
P jQ1V Y V Y V Y V
Y V
(p 1)iV (p)
iV
(p 1) (p) (p)2 22 21 1 23 3 24 4*(p)
22 2
P jQ1V Y V Y V Y V
Y V
(p 1) (p 1) (p)3 33 31 1 32 2 34 4*(p)
33 3
P jQ1V Y V Y V Y V
Y V
(p 1) (p 1) (p 1)4 44 41 1 42 2 43 3*(p)
44 4
P jQ1V Y V Y V Y V
Y V
OBS:
A barra 1 é a slack. Em condição de operação normal o módulo da tensão das barras está próximo de 1 pu ou próximo do módulo da tensão da barra slack. Consequentemente, a tensão de partida inicial será igual a (1 +0j) para as tensões desconhecidas.
CÁLCULO DA POTÊNCIA LÍQUIDA INJETADA
ni i
ii i ik k*k 1ik i
P jQY V Y V
V
n*
i i i ii i ik kk 1k i
P jQ V Y V Y V
Seja:
n*
i i i ii i ik kk 1k i
P jQ V Y V Y V
ii ii ii
ik ik ik
i i i
*i i i
k k k
Y Y
Y Y
V V
V V
V V
Seja:
Separando a parte real e a parte imaginária resulta em:
n2
i i i ii ii ik i k ik k ik 1k i
P jQ V Y Y V V ( )
2 2
i i i ii ii i ii ii
n n
ik i k ik k i ik i k ik k ik 1 k 1k i k i
P jQ V Y cos( ) j V Y sen( ) ...
Y V V cos( ) j Y V V sen( )
n2
i i ii ii ik i k ik k ik 1k i
P V Y cos( ) Y V V cos( )
n2
i i ii ii ik i k ik k ik 1k i
Q V Y sen( ) Y V V sen( )
Seja:n
2
i i ii ii ik i k ik k ik 1k i
n
i ik i k ik k ik 1
P V Y cos( ) Y V V cos( )
P Y V V cos( )
n2
i i ii ii ik i k ik k ik 1k i
n
i ik i k ik k ik 1
Q V Y sen( ) Y V V sen( )
Q Y V V sen( )
CONSIDERAÇÕES SOBRE A BARRA P-
Para as barras P-Q, as potências ativa e reativa são conhecidas. Partindo com os valores iniciais das tensões, as equações então para estas podem ser resolvidas iterativamente.
Para barras de tensão controlada (P - ), em que a potência ativa é especificada e o módulo da tensão também, o valor da potência reativa é resolvido conforme fórmula abaixo:
Então o conjunto das equações de tensão são resolvidas. Entretanto, nas barras P – V, desde que o módulo da tensão é conhecido, somente a parte imaginária é retida enquanto sua parte
V
V
(p 1)iQ
np pp 1 p p
i ik i k ik k ik 1
Q Y V V sen( )
real é selecionada para satisfazer a fórmula abaixo:
PROCEDIMENTOS DE CONVERGÊNCIA
As tensões atualizadas imediatamente substituem os valores anteriores na solução das equações subsequentes. Este procedimento continua até que variações das tensões de barra entre iterações sucessivas ficam dentro de uma precisão especificada.
, i = 1,2,..., n
2 2 2p 1 p 1i i ie f V
(p 1) pi iV max V V
V
CÁLCULO DO FLUXO DE POTÊNCIA E DE PERDAS NA LINHA
Considere uma linha conectada entre duas barras i e j. A linha e o transformador conectados em cada terminal pode ser representado por um circuito com admitância serie e duas adtmitâncias shunts.
Barra i Barra kVi Vk
yik0iky 0
kiyikS
kiSikI
0ikI
0kiI
kiI'ikI
' 0ik ik ikI I I 'ik i k ikI (V V )y
0 0ik i ikI V y
Reorganizando as fórmulas anteriores tem-se que:
A potência fornecida da barra i para dentro da linha é : - conjugado da corrente
Usando as equações anteriores resulta em:
0ik i k ik i ikI (V V )y V y
ik ik ik
*ik ik i ik
S P jQ
P jQ V I
*ikI
*0ik ik i i k ik i ik
** * * * 0ik ik i i k ik i i ik
P jQ V (V V )y V y
P jQ V (V V )y V V y
Aplicando o conjugado na equação abaixo resulta em:
CONJUGADO
De maneira similar, a potência fornecida para dentro da linha da barra k é:
*0ik ik i i k ik i ik
** * * * 0ik ik i i k ik i i ik
P jQ V (V V )y V y
P jQ V (V V )y V V y
* * 0ik ik i i k ik i i ik
2 2* 0ik ik i ik i k ik i ik
P jQ V (V V )y V V y
P jQ V y V V y V y
2 2* 0ki ki k ik k i ik k kiP jQ V y V V y V y
Sabemos também que:
Modificando a equação abaixo resulta em:
É dado que:
ik ik
ik ik
Y y
y Y
2 2* 0ik ik i ik i k ik i ik
2 2* 0ik ik i ik i k ik i ik
P jQ V y V V y V y
P jQ V Y V V Y V y
ik ik ik
i i i
*i i i
0 0ik ik
Y Y
V V
V V
y j y
Substituindo as fórmulas anteriores em:
O fluxo de potência ativa entre a barra i e k é dada por:
2 2* 0ik ik i ik i k ik i ik
2
ik ik i ik ik
i i k k ik ik
2 0i ik
2 2
ik ik i ik ik i ik ik
i k ik ik i k
i k ik ik i k
2 0i ik
P jQ V Y V V Y V y
P jQ V Y
V V Y
j V y
P jQ V Y cos( ) j V Y sen( )
V V Y cos( )
j V V Y sen( )
j V y
O fluxo de potência ativa e reativa é dada por:
De maneira similar, o fluxo de potência entre a barra k e i pode ser escrita como:
2
ik i ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( ) 2
ik i ik ik i k ik ik i k
2 0i ik
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
V y
2
ki k ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( )
2
ki k ik ik i k ik ik i k
2 0k ik
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
V y
O cálculo das perdas na linha (i k) é a soma dos fluxos de potência nos dois sentidos calculados anteriormente.
loss ik ki
2
loss i ik ik i k ik ik i k
2
k ik ik i k ik ik i k
2 2
loss i k ik ik
i k ik ik i k ik i k
2 2
loss i k ik ik
i k ik
P P P
P V Y cos( ) V V Y cos( )
V Y cos( ) V V Y cos( )
P ( V V ) Y cos( )
V V Y cos{ ( } cos{ ( )
P ( V V ) Y cos( )
2 V V Y cos(
ik i k)cos( )
O cálculo das perdas na linha (i k) é a soma dos fluxos de potência nos dois sentidos calculados anteriormente.
Seja:
As perdas podem ser calculadas também por:
2 2
loss i k ik i k i k ik ikP 2 V V Y cos( ) V V Y cos( )
ik ik ik
ik ik ik
ik ik ik
Y G jB
G Y cos( )
B Y sen( )
2 2
loss ik i k ik i k i kP G 2 V V Y cos( ) V V
A perda de potência reativa na linha é a soma dos fluxos de potência determinados pelas equações:
2
ik i ik ik i k ik ik i k
2 0i ik
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
V y
2
ki k ik ik i k ik ik i k
2 0k ik
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
V y
2
loss i ik ik i k ik ik i k
2 20i ik k ik ik i k ik ik i k
2 0k ik
2 2
loss i k ik i k ik ik i k ik i k
2 20 0i ik k ik
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
V y V Y sen( ) V V Y sen( )
V y
Q ( V V )B V V Y sen( ) sen( )
( V y V y )
Seja:
EXEMPLO DE CÁCULO DE FLUXO DE POTÊNCIAUTILIZANDO O MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
A figura abaixo mostra um diagram unifilar de um sistema de potência de três barras. Os dados para o sistema é dado na tabela abaixo:
2 2 2 20 0loss i k ik i k ik i k i ik k ikQ ( V V )B 2 V V B cos( ) ( V y V y )
Barra Tensãoassumida
GERAÇÃO CARGA
MW MVAr MW MVAr
1(Slack) 1,05+0j ---------- ------------ 0 0
2 1+0j 50 30 305.6 140.2
3 1+0j 0 0 138.6 45.2
Os dados da linha são:
Código da barrai – k
ImpedânciaZik
1-2 0,02+j0,04
1-3 0,01+j0,03
2-3 0,0125+j0,025
1 3
2
SOLUÇÃO:
PASSO 1:
Converter todas as cargas em valores em pu.
Converter todas as gerações em pu:
2
2
3
3
305,6PL 3,056pu
100140,2
QL 1,402pu100
138.6PL 1,386pu
10045,2
QL 0,452pu100
2
2
3
3
2 g2 L
2 g2 L
3 g3 L
3 g3 L
P P P 0,5 3,056 2.556pu
Q Q Q 0,3 1,402 1,102pu
P P P 0 1,386 1,386pu
Q Q Q 0 0,452 0,452pu
Converter todas as gerações em pu:
PASSO 2:Formação Ybarra
Inicialmente as impedâncias das linhas devem ser transformadas em admitâncias.
g2
g2
50P 0,5pu
10030
Q 0,3pu100
12 2112
13 3131
23 3223
1 1y y (10 j20)
Z 0,02 j0,04
1 1y y (10 j30)
Z 0,01 j0,03
1 1y y (16 j32)
Z 0,0125 j0,025
PASSO 2:Formação Ybarra
O elemento (1,1) da matriz admitância de barra é:
Entretanto, a admitância shunt da linha foi desprezada. Os elementos da diagonal principal da matriz admitância de barra são:
11 12 13 10Y y y y
11 12 13
22 12 23
33 13 23
Y y y (10 j20) (10 j30) (20 j50)
Y y y (10 j20) (16 j32) (26 j52)
Y y y (10 j30) (16 j32) (26 j62)
o11
o22
o33
Y (20 j50) 53,85 68,2
Y (26 j52) 58,13 63,4
Y (26 j62) 67,23 67,2
PASSO 2:Formação Ybarra
Os elementos fora da diagonal principal são:
A matriz admitância de barra é formada a partir dos elementos calculados anteriormente:
o12 21 12
o13 31 13
o23 32 23
Y Y y (10 j20) 10 j20 22,36 116,6
Y Y y (10 j30) 10 j30 31,62 108,4
Y Y y (16 j32) 16 j32 35,77 116,6
o o o
o o obarra
o o o
53,85 68,2 22,36 116,6 31,62 108,4
Y 22,36 116,6 58,13 63,4 35,77 116,6
31,62 108,4 35,77 116,6 v 67,23 67,2
PASSO 3:PROCEDIMENTO ITERATIVO
A tensão da barra slack: V1= 1,05+0j
Tensão de partida:
Os seguintes cálculos serão realizados separadamente:
(p 1) (p)2 22 21 1 23 3*(p)
22 2
P jQ1V Y V Y V
Y V
(0)2
(0)3
V 1 0j
V 1 0j
o2 2o
22
P jQ 2,556 j1,1020,0478 220,1
Y 58,13 63,4
PASSO 3:PROCEDIMENTO ITERATIVO
A equação para a tensão na barra 2 pode ser escrita como:
oo21
o22
Y 22,36 116,60,3846 180 0,3846
Y 58,13 63,4
oo23
o22
Y 35,77 116,60,6153 180 0,6153
Y 58,13 63,4
o(p 1) (p)2 1 3(p) *
2
0,0478 220,1V 0,3846V 0,6153V
(V )
PASSO 3:PROCEDIMENTO ITERATIVO
Para a barra 3, a equação da tensão é:
Realizando os cálculos da fórmula acima separadamente:
(p 1) (p 1)3 33 31 1 32 2*(p)
33 3
P jQ1V Y V Y V
Y V
o3 3o
33
P jQ 1,386 j0,4520,0217 229,2
Y 67,23 67,2
o
o31o
33
Y 31,62 108,40,47 175,6
Y 67,23 67,2
o
o32o
33
Y 35,77 116,60,532 183,8
Y 67,23 67,2
PASSO 3:PROCEDIMENTO ITERATIVO
Para a barra 3, a equação da tensão é:
A equação acima fica então da seguinte forma:
Resolvendo a equação das duas barras:
(p 1) (p 1)3 33 31 1 32 2*(p)
33 3
P jQ1V Y V Y V
Y V
o
(p 1) o o (p 1)3 1 2*(p)
33 3
1 0,0217 229,2V 0,47 175,6 V 0,532 183,8 V
Y V
PASSO 3:PROCEDIMENTO ITERATIVOResolvendo a equação das duas barras iterativamente:Para p = 0
o(p 1) (0)2 1 3(0) *
2
o(p 1)2 *
(1) o2
0,0478 220,1V 0,3846V 0,6153V
(V )
0,0478 220,1V 0,3846 1,05 0,6153(1 0j)
(1 0j)
V 0,98305 1,8
oo
*(1)3
o o
(1) o3
0,0217 229,20,47 175,6 1,05
1 0jV
0,532 183,8 0,98305 1,8
V 1,0011 2,06
PASSO 3:PROCEDIMENTO ITERATIVOResolvendo a equação das duas barras iterativamente:
Após a primeira iteração, o resultado da tensão fasorial das barras 2 e 3 é:
Para segunda iteração (p = 2):
(1) o2V 0,98305 1,8
(1) o3V 1,0011 2,06
PASSO 3:PROCEDIMENTO ITERATIVOPara segunda iteração (p = 2):
Após a segunda iteração:
o
(2) o2 o
(2) o2
0,0478 220,1V 0,3846 1,05 0,6153 1,001 2,06
0,98305 1,8
V 0,98265 3,048
oo
*o(2)3
o o
(2) o3
0,0217 229,20,47 175,6 1,05
1,011 2,06V
0,532 183,8 0,98265 3,048
V 1,00099 2,68
(2) o2V 0,98265 3,048 (2) o
3V 1,00099 2,68
CÁLCULO DA POTÊNCIA INJETADA NA BARRA SLACK
As seguintes fórmulas serão retomadas:
n2
i i ii ii ik i k ik k ik 1k i
n
i ik i k ik k ik 1
P V Y cos( ) Y V V cos( )
P Y V V cos( )
n2
i i ii ii ik i k ik k ik 1k i
n
i ik i k ik k ik 1
Q V Y sen( ) Y V V sen( )
Q Y V V sen( )
CÁLCULO DA POTÊNCIA INJETADA NA BARRA SLACK
A questão pede esses dados após a segunda iteração:Seja:
n
i ik i k ik k ik 1
3
1 1k 1 k 1k 1 kk 1
2
1 1 11 11 1 2 12 12 1 2
1 3 13 13 1 3
P Y V V cos( )
P Y V V cos( )
P V Y cos( ) V V Y cos( )
V V Y cos( )
o1 1
o2 2
o3 3
o11 11
V 1,05 0
V 0,98265 3,048
V 1,00099 2,68
Y 53,85 68,2
CÁLCULO DA POTÊNCIA INJETADA NA BARRA SLACK
Substituindo os valores na fórmula da potência líquida injetada:
o12 12
o13 13
Y 22,36 116,56
Y 31,62 108,4
2 o1
o o o o
1
1
P (1,05) 53,85 1,05 0,98265 22,36cos(116,56
0 3,048 ) 1,05 1,00099 31,62cos(108,4 0 2,68 )
P 22,048 9,2038 9,004
P 3,84pu 3,84 100 384MW
1P 3,84pu 3,84 100 384MW
CÁLCULO DA POTÊNCIA INJETADA NA BARRA SLACKO cálculo da potência reativa líquida injetada é:
n
i ik i k ik k ik 1
1 11 1 1 11 1 1 12 1 2 12 2 1
13 1 3 13 3 1
2 o1
o o
Q Y V V sen( )
Q Y V V sen( ) Y V V sen( )
Y V V sen( )
Q 1,05 53,85 sen( 68,2 )......
1,05 0,98265 22,36sen(116,56 3,048 )....
1,05 1,00099 31,62sen(10
o o
1
1
8,4 2,68 )
Q 55,1238 21,1552 31,99
Q 1,9786pu 197,86MW
1Q 1,9786pu 197,86MVAr
PASSO 5:O cálculo do fluxo de potência na linha :
O fluxo de potência entre as barras 1 e 2:
2
ik i ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( )
2
12 1 12 12 1 2 12 12 1 2
2 o12
o o
12
P V Y cos( ) V V Y cos( )
P (1,05) 22,36 cos(116,56 ) 1,05 0,98265
22,36cos(116,56 0 3,048 )
P 11,0227 9,2038 1,8189pu
12P 11,0227 9,2038 1,8189pu
PASSO 5:O cálculo do fluxo de potência na linha :
O fluxo de potência entre as barras 1 e 3:
2
ik i ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( )
2
13 1 13 13 1 3 13 13 1 3
2 o13
o o
13
P V Y cos( ) V V Y cos( )
P (1,05) 31,62 cos(108,4 ) 1,05 1,00099
31,62cos(108,4 0 2,68 )
P 11,0038 9,0042 2pu
13P 11,0038 9,0042 2pu
PASSO 5:O cálculo do fluxo de potência na linha :
O fluxo de potência entre as barras 2 e 3:
2
ik i ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( )
2
23 2 23 23 2 3 23 23 2 3
2 o23
o o o
23
P V Y cos( ) V V Y cos( )
P (0,98265) 33,77 cos(116,6 ) 0,98265 1,00099
35,77cos(116,6 3,048 2,68 )
P 15,4654 15,9557 0,4903pu
23P 15,4654 15,9557 0,4903pu
PASSO 5:O cálculo do fluxo de potência na linha :
O fluxo de potência entre as barras 2 e 1:
2
21 2 12 12 1 2 12 12 2 1
2 o21
o o o
21
P V Y cos( ) V V Y cos( )
P (0,98265) 22,36 cos(116,56 ) 1,05 0,98265
22,36cos(116,56 3,048 0 )
P 9,654 11,398 1,744pu
2
ki k ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( )
21P 9,654 11,398 1,744pu
PASSO 5:O cálculo do fluxo de potência na linha :
O fluxo de potência entre as barras 3 e 1:
2
31 3 13 13 1 3 13 13 3 1
2 o31
o o o
31
P V Y cos( ) V V Y cos( )
P (1,00099) 31,62 cos(108,4 ) 1,05 1,00099
31,62cos(108,4 2,68 0 )
P 10 11,953 1,95pu
2
ki k ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( )
31P 10 11,953 1,95pu
PASSO 5:O cálculo do fluxo de potência na linha :
O fluxo de potência entre as barras 3 e 2:
2
32 3 23 23 3 2 23 23 3 2
2 o32
o o o
32
P V Y cos( ) V V Y cos( )
P (1,00099) 35,77 cos(116,6 ) 0,98265 1,00099
35,77cos(116,6 3,048 2,68 )
P 16,048 15,551 0,496pu
2
ki k ik ik i k ik ik i kP V Y cos( ) V V Y cos( )
32P 16,048 15,551 0,496pu
As perdas de potência ativa nas linhas 1-2; 2-3; 1-3 são:
12 12 21
12
13 13 31
13
23 23 32
23
PLoss P P 1,8189 1,744 0,049pu
PLoss 7,49MW
PLoss P P 2 1,95 0,05pu
PLoss 5MW
PLoss P P 0,4903 0,496 0,0057pu
PLoss 0,57MW
O fluxo de potência reativa nas linhas pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:
O cálculo do fluxo de potência na linha :
2
ik i ik ik i k ik ik i k
2 0i ik
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
V y
2
ki k ik ik i k ik ik i k
2 0k ik
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
V y
O fluxo de potência reativa nas linhas pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:
O cálculo do fluxo de potência na linha 1-2 :
2
ik i ik ik i k ik ik i k
2 0i ik
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
V y
2
12 1 12 12 1 2 12 12 1 2
2 o12
o o
12
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
Q (1,05) 22,36sen(116,56 ) 1,05 0,98265
22,36sen(116,56 3,048 )
Q 22,05 21,1552 0,8948pu
12Q 22,05 21,1552 0,8948pu
O fluxo de potência reativa nas linhas pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:
O cálculo do fluxo de potência na linha 1-3 :
2
ik i ik ik i k ik ik i k
2 0i ik
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
V y
2
13 1 13 13 1 3 13 13 1 3
2 o13
o o
13
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
Q (1,05) 31,62sen(108,4 ) 1,05 1,000099
31,62sen(108,4 2,68 )
Q 33,0788 31,9908 1,088pu
13Q 33,0788 31,9908 1,088pu
O fluxo de potência reativa nas linhas pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:
O cálculo do fluxo de potência na linha 2-3 :
2
ik i ik ik i k ik ik i k
2 0i ik
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
V y
2 o23
o o o
23
Q (0,98265) 35,77sen(116,6 ) 0,98265 1,000099
35,77sen(116,6 3,048 2,68 )
Q 30,8836 31,3582 0,4746pu
23Q 30,8836 31,3582 0,4746pu
O fluxo de potência reativa nas linhas pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:
O cálculo do fluxo de potência na linha 2-1 :
2 o21
o o
21
Q (0,98265) 22,36sen(116,56 ) 1,05 0,98265
22,36sen(116,56 3,048 )
Q 19,3122 20,0582 0,746pu
2
ki k ik ik i k ik ik i k
2 0k ik
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
V y
21Q 19,3122 20,0582 0,746pu
O fluxo de potência reativa nas linhas pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:
O cálculo do fluxo de potência na linha 3-1 :
2 o31
o o
31
Q (1,00099) 31,62sen(108,4 ) 1,05 1,000099
31,62sen(108,4 2,68 )
Q 30,0629 31,0098 0,9469pu
2
ki k ik ik i k ik ik i k
2 0k ik
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
V y
31Q 30,0629 31,0098 0,9469pu
O fluxo de potência reativa nas linhas pode ser calculado pelas seguintes fórmulas:
O cálculo do fluxo de potência na linha 2-3 :
2
ik i ik ik i k ik ik i k
2 0i ik
Q V Y sen( ) V V Y sen( )
V y
2 o32
o o o
32
Q (1,00099) 35,77sen(116,6 ) 1,000099 0,98265
35,77sen(116,6 2,68 3,048 )
Q 32,0472 31,5606 0,4866pu
32Q 32,0472 31,5606 0,4866pu
O cálculo das perdas de potência reativa nas linhas 1-2; 2-3 e 1-3 são:
loss12 12 21
loss12
loss13 13 31
loss13
loss23 23 32
loss23
Q Q Q 0,8948 0,746 0,1488pu
Q 14,88MVAr
Q Q Q 1,088 0,9469 0,1411pu
Q 14,11MVAr
Q Q Q 0,4746 0,4866 0,012pu
Q 1,2MVAr
Até a segunda iteração o esquema do fluxo de potência no sistema de três barras é mostrado abaixo.
384 MW197,86 MVAr
181,89 MW 200 MW
-49,03 MW
+49,6 MW
CONSIDERAÇÕES SOBRE BARRAS P-V
Para barras do tipo P-Q, as potencias ativas e reativas são especificadas. Partindo com os valores das tensões, um conjunto de equações de tensões podem ser resolvidas iterativamente.
Para barras de tensão controlada, P – V, em que a potência ativa é especificada e o módulo da tensão, primeiro se resolve para encontrar:Considere que:
i i i
2 22
i i i
i i i
i i i
V real(V ) jimag(V )
V real(V ) imag(V )
real(V ) V cos
imag(V ) V sen