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Mecânica Quântica
Carlos Eduardo Aguiar
Programa de Pós-Graduação em Ensino de FísicaInstituto de Física - UFRJ
1º período letivo, 2014
2
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• Dificuldades conceituais– Superposição quântica – Probabilidade subjetiva x objetiva– Complementaridade – O problema da medida– Realismo vs. localidade
• Dificuldades matemáticas– Vetores– Números complexos– Espaços vetoriais complexos– Operadores, autovalores, autovetores– Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics 64 , 31, 1996.
• I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20 , 427, 1998.
• S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, 2000.
• G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15, 2000.
• M. A. Moreira, I. M. Greca, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001.
• I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, 2001.
• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, 2001.• E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization
understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of Physics 70, 238, 2002.
• K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students’ conceptions of wave- and particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, 2002.
• R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal of Physics 70, 200, 2002; ver também Am. J. Phys. 70, 887, 2002.
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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students’ understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12 , 541, 2003.
• F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica: um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, 2004.
• D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 3, 010105, 2007.
• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, 2008.
• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction, American Journal of Physics 76, 277, 2008.
• C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76, 400, 2008.
• L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77, 308, 2009.
• M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference Proceedings 1179, 137, 2009.
• C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, 2009.
• C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010.
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Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics
Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 020121, 2010.• L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching
methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 010101, 2011.• M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographic
categories of description of tertiary physics students’ depictions, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 020113, 2011.
• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlach experiment, American Journal of Physics 79, 499, 2011.
• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101117, 2012.
• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. II. Development of research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101118, 2012.
• O. Levrini, P. Fantini, Encountering Productive Forms of Complexity in Learning Modern Physics, Science & Education 22,1895, 2013.
• A. Kohnle et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics 35, 015001, 2014.
• J. Castrillon, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecánica cuántica fundamental, una propuesta didáctica, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1505, 2014.
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Leituras recomendadas
• R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008. • R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988.• H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002.• O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003.• A. Zeilinger, A Face Oculta da Natureza, Globo, 2005.• M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, 2013.• T. Hey, P. Walters, The New Quantum Universe, Cambridge UP, 2003.• V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006.• B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP,
2006.• L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014• A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012. • J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, 2002. • D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000.• D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-
Wesley, 2012.• M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006.
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Simulações
• Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/
• Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~betz/quantum/SGtexto.htm
• QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg)http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html
• PhET (University of Colorado)http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantum-phenomena
• SPINS (Oregon State University)http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html
• Quantum physics (École Polytechnique)http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/index.html
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Internet
• Quantum Physics (IoP)http://quantumphysics.iop.org/
• Quantum Mechanics (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-mechanics/2012/winter
• Quantum Entanglement (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-entanglement/2006/fall
• Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/advanced-quantum-mechanics/2013/fall
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Sumário
1. Fenômenos quânticos2. Princípios da mecânica quântica3. Sistemas quânticos simples: aplicações4. Realismo, contextualidade e não-localidade5. Partículas idênticas6. Operadores, autovalores e autovetores7. Simetrias8. Posição e momentum9. Partícula em uma dimensão
não estão nestas notas
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Charles Addams, New Yorker, 1940
Fenômenos Quânticos
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Um experimento com a luz
feixe luminoso pouco intenso
semiespelho (50-50%)
espelho
espelho
detetores de luz D1
D2
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Resultado do experimento
• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.
D1
D2
D1
D2
ou
50% 50%probabilidade
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Se a luz fosse uma onda
... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.
D1
D2
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Se a luz é composta por partículas
... ou D1 dispara, ou D2 dispara.
ou
D1
D2
D1
D2
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Conclusão
• A luz é composta por partículas: os fótons.
• O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou.
caminho 2
caminho 1
D2
D1
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O experimento de Grangier, Roger & Aspect
• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.
• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir.
ν1
ν2
átomo de cálcio τ = 4,7 ns
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O experimento de Grangier, Roger & Aspect
w = 9 ns
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
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Resultado do experimento de Grangier et al.
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Sobre o ensino do conceito de fóton
• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz.
• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico.
• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton.– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)
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Outro experimento com a luz
interferômetro de Mach-Zehnder
D2
D1
segundosemiespelho
feixe luminoso“fóton a fóton”
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Preliminares: um feixe bloqueado
1
2
50%
25%
25%
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O outro feixe bloqueado
1
2
50%
25%
25%
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Resultado fácil de entender com partículas
= caminho do fóton
1
2
50%
25%
25%
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De volta ao interferômetro
D1
D2
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Resultado do experimento:
0%
100%D1
D2
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Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos
caminho 1 caminho 2
1
25%
25%2
25%
25%
Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar.
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)2(D
)1(DD nnn
PPP
probabilidade dodetetor Dn disparar apenas o caminho
1 aberto
apenas o caminho 2 aberto
Proposição:*
Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2
consequência:
* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5
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Teste da Proposição
Experimentalmente:
)2(D
)1(DD nnn
PPP
%100P1D
%25P )1(D1
%25P )2(D1
%25P )1(D2
%0P2D
%25P )2(D2
a proposição é falsa!
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Repetindo:
A afirmativa
“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”
é falsa.
“… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.”
R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1
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Por onde vai o fóton?
1 e 2
ou 1 ou 2
nem 1 nem 2
1 2
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Por onde vai o fóton?
• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.
• Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detetores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável.
• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo.
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Uma resposta melhor
• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhos 1 e 2.
• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta.
Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado.
- W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics
(o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)
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Fácil de entender num modelo ondulatório
D1
D2
interferênciaconstrutiva
interferênciadestrutiva
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Comprimentos variáveis
L1
L2
PD2
PD1
L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro
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Resultado experimental:
• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.
• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com ele mesmo”.
• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.
L1 – L2
0
1PD1
L1 – L2
1
0
PD2
(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD
(2))
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O experimento de Grangier, Roger & Aspect
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
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O experimento de Grangier, Roger & Aspect
L1 – L2 (λ/50) L1 – L2 (λ/50)
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Interferência de nêutrons
interferômetro de nêutrons
S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)
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Interferência de átomos
interferômetro de átomos
A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)
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Interferência de elétrons
A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)
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E se os caminhos forem distinguíveis?
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
diferença de “caminhos” (ajustável)
interferênciadesaparece !
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P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
E se os caminhos forem distinguíveis?
N Massa
• Massa = 0• caminho
identificado• não há padrão de
interferência
• Massa ∞• caminho não
identificado• padrão de
interferência
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P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
E se a informação sobre o caminho for apagada?
impossível determinar o caminho
interferência
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Quando há interferência?
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente
interferência(“1 e 2”)
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente
(“ou 1 ou 2”)
não há interferência
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Princípios da Mecânica Quântica
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Princípios da Mecânica Quântica
• Vetores de estado e o princípio da superposição
• A regra de Born
• Complementaridade e o princípio da incerteza
• Colapso do vetor de estado
• Evolução unitária
• Sistemas de N estados
• Sistemas compostos. Emaranhamento
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Vetores de Estado e o
Princípio da Superposição
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Sistemas de dois estados
• esquerda / direita
• horizontal / vertical
• para cima / para baixo
• sim / não
• 0 / 1
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Sistemas de dois estados
cara coroa
fóton refletido
fóton transmitido
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Sistemas de dois estados
A = ? a2a1
2
1
aa
Agrandeza física observável:
a2a1
a2a1medidor de “A”
ou
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Sistemas clássicos
• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: pontos no “eixo A”
Aa1 a2
sistema temA = a1
sistema temA = a2
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Sistemas quânticos: vetores de estado
• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões
1a
2a
sistema temA = a2
sistema tem A = a1
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A notação de Dirac
vetor ↔
identificação
21 aa
direitaesquerda
10
exemplos:
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O que muda?
Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.
1a
2a
Aa1 a2
O que muda é o seguinte:
?
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O Princípio da Superposição
Qualquer combinação linear dos vetores |a1ñ e |a2ñ representa um estado físico do sistema.
2211 acac
1a
2a
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Significado de |ñ
• A = a1 e A = a2 ?• esquerda e direita?• horizontal e vertical?• sim e não?• 0 e 1?1a
2a
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O espaço de estados é grande
• Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados.
• Os estados |a1ñ e |a2ñ formam uma “base” do espaço de estados.
1a
2a
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Princípio da Superposição: formulação geral
Se |ñ e |ñ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do
sistema.
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Uma complicação
• As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo).
• Deve-se ter cuidado com figuras como esta:
1a
2a
c2
c1
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Outras complicações
• Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo?
• Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço?
1a
2a
?
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Produto escalar
O produto escalar |ñ dos vetores |ñ e |ñ é um número complexo com as seguintes propriedades:
1. |ñ = |1ñ + |2ñ |ñ = |1ñ + |2ñ
2. |ñ = c |ñ |ñ = c |ñ
3. |ñ = |ñ* (* indica o conjugado complexo)
4. |ñ 0 (note que (3) implica em |ñ real)
5. |ñ = 0 |ñ = 0 (“0” é o vetor nulo)
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Produto escalar
Forçando um pouco a notação de Dirac, podemos escrever as propriedades (1) e (2) como
1. | 1+2ñ = |1ñ + |2ñ
2. | c ñ = c |ñ
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Produto escalar
• É importante notar que num espaço vetorial complexo o produto escalar não é comutativo; pela propriedade (3), a ordem dos fatores altera o produto.
• Uma consequência disso é que o produto escalar é antilinear no primeiro argumento:
c |ñ = c* |ñ
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Ortogonalidade
Os vetores |ñ e |ñ são ortogonais se seu produto escalar é zero:
0
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Norma
A norma |||| do vetor |ñ é definida por
• |||| é o “comprimento”, “tamanho”, “módulo” do vetor |ñ
• |ñ = c |ñ |||| = |c| ||||• |||| = 0 |ñ = 0• outra notação: || |ñ || ||||
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O produto escalar em termos das componentes
2211
2211
adad
acac
121*2212
*1222
*2111
*1 aacdaacdaacdaacd
• Usando as propriedades (1), (2) e (3):
• Como |a1ñ e |a2ñ são ortogonais, a1|a2ñ = a2|a1ñ = 0 e portanto
222*2111
*1 aacdaacd
• Como |a1ñ e |a2ñ têm comprimento unitário, a1|a1ñ = a2|a2ñ = 1, temos finalmente que:
2*21
*1 cdcd
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As componentes em termos do produto escalar
2211 acac
2121111 aacaaca
• Usando as propriedades (1) e (2) temos
• Como a1|a1ñ = 1 e a1|a2ñ = 0,
11 ac• Da mesma forma,
22 ac
2,1n,ac nn • Ou seja:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 69
A norma em termos das componentes
2*21
*1 cdcd
22
212
*21
*1 cccccc
22
21 cc
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A Regra de Born
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A Regra de Born
2211 acac
1a
2a
c2
c1
A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é
22
21
2n
ncc
c)a(P
(n = 1, 2)
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A Regra de Born
2211 acac
|ñ a2a1
a2a1
a2a1
medidor de “A”
22
21
21
1cc
c)a(P
22
21
22
2cc
c)a(P
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A regra de Born
2
2n
n
a)a(P
Como
e
a regra de Born pode ser escrita de forma independente das coordenadas:
nn ac
22
21 cc
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Probabilidade total
Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.
1cc
ccc
c)a(P)a(P 2
22
1
22
22
21
21
21
A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)
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Normalização do vetor de estado
2211 acac 2211 acac
|ñ e |ñ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!
)a(Pcc
ccc
c)a(P n2
22
1
2n
22
21
2n
n
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 76
Normalização do vetor de estado
Todos os vetores ao longo de uma dada “direção” representam o mesmo estado
físico.
Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:
1
1cc,acac 22
212211 ou seja,
1aa 21 Note que |a1ñ e |a2ñ já estão normalizados:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 77
2nn c)a(P
Vetores normalizados: a Regra de Born
2211 acac
a2a1
a2a1
a2a1
medidor de “A”
211 c)a(P
222 c)a(P
(normalizado)
|ñ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 78
Vetores normalizados: a Regra de Born
Em termos do produto escalar, se |ñ está normalizado a probabilidade é dada por:
2nn a)a(P
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 79
Amplitude de probabilidade
cn = an|ñ amplitude de probabilidade
probabilidade = |amplitude de probabilidade|2
nn x)x(função de onda:
2nn )x()x(P
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 80
Amplitude de probabilidade
De forma mais geral:
• |ñ = amplitude de probabilidade de uma medida resultar em |ñ, para um sistema no estado |ñ
• P( ) = ||ñ|2 = probabilidade de uma medida resultar em |ñ, para um sistema no estado |ñ
• P( ) = P( ) embora |ñ |ñ (|ñ = |ñ*)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 81
Frequência dos resultados de medidas
N medidas de A(N )
a2a1
a2a1
a2a1
N1 a1
N2 a2
podemos prevera frequência dos
resultados:
211
1 c)a(PNN
222
2 c)a(PNN
2211 acac
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 82
Valor médio dos resultados
valor médio de A:
NaNaNA 2211
a2a1
a2a1
a2a1
2211 acac
22
212
1 acacA
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 83
Incerteza
2211 acac
possível prever o resultado(probabilidade = 100%):
valor de A “bem definido”
1a
2a
c2
c1
c1, c2 0
impossível prever o resultado de uma medida
0c,1ca 211 ouSe
1c,0ca 212
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 84
Incerteza
2211 acac
A = incerteza de A no estado |ñ
2222 AAAA)A(
1aou
2aA = 0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 85
Complementaridade e o
Princípio da Incerteza
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 86
Complementaridade
a2a1
B
A
b2b1
1a
2a
2b
1b
duas grandezasfísicas: A e B
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 87
Grandezas compatíveis e incompatíveis
1a
2a
1b
2b
2b
1b
2a
1a
A e B compatíveis
A e B incompatíveis
A e B complementares: incompatibilidade “máxima”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 88
O Princípio da Incerteza
2b
1b
2a
1a
A e B incertos ( A 0, B 0)
A bem definido, B incerto( A = 0, B 0)
B bem definido, A incerto( B = 0, A 0)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 89
O Princípio da Incerteza
2b
1b
2a
1a
A e B incompatíveis nenhum estado |ñ com A = 0 e B = 0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 90
Exemplo: posição e momentum
Xx1 x2
duas posições: |x1ñ, |x2ñ (“aqui”, “ali”)
dois estados de movimento: |p1ñ, |p2ñ (“repouso”, “movimento”)
2p 1p2x
1x
impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 91
Resumo da “cinemática” quântica
estado físico vetor no espaço de estados
grandeza físicasistema de eixos (uma “base”) no
espaço de estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 92
Resumo da “cinemática” quântica
probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1
ou A = a2
grandezas físicasincompatíveis
(complementares)
diferentes sistemas de eixos no espaço
de estados
2a
1a
projeção do vetor de estado no eixo |anñ
probabilidade damedida resultar
em A = an
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 93
• “Colapso” durante uma medida• Evolução unitária (equação de
Schroedinger)
Como o vetor de estado muda com o tempo?
Colapso do Vetor de Estado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 95
Colapso do vetor de estado
a2a1
a2a1 2a
antes damedida
depois damedida
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 96
Colapso do vetor de estado
1a
2a
resultadoA = a2
resultadoA = a1
medida de A resulta em an logo após a medida o vetor de estado do sistema é |anñ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 97
Colapso do vetor de estado
• O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade.
• O estado | an ñ é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade.
• |ñ |anñ: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.
• O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo:– Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção – não há mais
fóton após a primeira medida.– Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm
resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 98
Medidas simultâneas de duas grandezas
a2a1
b2b1
(A, B)
( A 0, B 0) ( A = 0, B = 0)
Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado |ñ com A = 0 e B = 0.
É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível).
Evolução Unitária
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 100
A equação de Schroedinger
• Evolução temporal do vetor de estado:|(0)ñ |(t)ñ
• Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante).
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 101
A (solução da) equação de Schroedinger
2E
1E
Sistema de dois estados
Dois níveis de energia: E1, E2
2211 EcEc)0t(
2/tEi
21/tEi
1 EecEec)t( 21
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 102
• ћ = constante de Planck ( 2) 110-34 Js
• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t 0 elas serão complexas:
• A evolução |(0)ñ |(t)ñ ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinista (sem elementos probabilísticos).
/tEinn
nec)t(c
A (solução da) equação de Schroedinger
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 103
Propriedades da equação de Schroedinger
• Linearidade:
)t()0(
)t()0(
bb
aa
)0()0()0( ba
)t()t()t( ba
t = 0 t 0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 104
Demonstração da linearidade
2211b
2211a
EdEd)0(
EcEc)0(
222111
ba
E)dc(E)dc(
)0()0()0(
)t()t(
EecEecEecEec
Ee)dc(Ee)dc()t(
ba
2/tEi
21/tEi
12/tEi
21/tEi
1
2/tEi
221/tEi
11
2121
21
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 105
Propriedades da equação de Schroedinger
• Conservação da norma do vetor de estado:
)0()t( )t(
)0(
• Conservação da ortogonalidade entre vetores:
tamanho não muda
)0(
)t(
)0()t(
dois vetores perpendicularescontinuam perpendiculares
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 106
Conservação do produto escalar
2/tEi
21/tEi
1
2/tEi
21/tEi
1
EedEed)t(
EecEec)t(21
21
2*21
*1
/tEi2
/tEi*2
/tEi1
/tEi*1
cdcd
)ec)(ed()ec)(ed()t()t( 2211
)0()0()t()t(
conservação da norma:
conservação da ortogonalidade:
)0()t(
0)t()t(0)0()0(
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 107
• Determinismo• Continuidade• Linearidade• Conservação da norma• Conservação da ortogonalidade
Propriedades da equação de Schroedinger
“evolução unitária”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 108
Estados estacionários
• |(0)ñ e |(t)ñ representam o mesmo estado físico.
• Estados de energia bem definida são “estacionários”.
nE)0( n/tEi Ee)t( n
mesma “direção” que |Enñ
• Estado de energia bem definida En:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 109
Conservação da energia
2/tEi
21/tEi
1 EecEec)t( 21
2n
2/tEinn cec)t,E(P n
)0()t(EE
)0t,E(P)t,E(P nn
22
212
12211)t(EcEcE)t,E(PE)t,E(PE
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 110
Eq. de Schroedinger x Processos de medida
• Equação de Schroedinger:– contínua– determinista– válida enquanto não se faz uma medida
• Colapso do vetor de estado:– descontínuo– probabilístico– ocorre durante a medida
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 111
Eq. de Schroedinger x Processos de medida
Dois tipos de evolução temporal?• Equação de Schroedinger:
– interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos.
– A = a1 e A = a2
• Colapso do vetor de estado: – interação do sistema quântico com um aparato
clássico, o aparelho de medida (o “observador”).– A = a1 ou A = a2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 112
O “problema da medida”Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?
a2a1 a2a1 a2a1
Descrição quântica do aparelho de medida:
| ñ| ñ | ñ
22 aa
11 aa 22112211 acacacac
equação de Schroedinger:
o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo !
aparelho de medida:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 113
O “problema da medida”
• Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico?– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em
duas direções ao mesmo tempo.– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.
• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos?
Uma descrição do processo de medida baseada na equação de Schroedinger deve dar respostas a essas questões.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 114
Física quântica x física clássica
• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos…
L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,
não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica.
N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em
uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica.
J. Bell, Against measurement
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 115
Física quântica x física clássica
físicaquântica
físicaclássica
…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...
- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 116
Sistemas de N Estados
Você está emtodo lugar
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 117
Sistemas de 3 estados
2a
1a
3a
a3a1a2
332211 acacac
Três valores possíveis para a grandeza A:
3,2,1,||)( 2 ncaP nn
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 118
Sistemas de N estados
2a
1a
3aNa...
(impossível desenharN eixos perpendiculares)
N valores possíveis para a grandeza A:
aNa1a2 ...
N
1nnn ac
N,2,1n,|c|)a(P 2nn
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 119
Sistemas de infinitos estados
• N pode ser infinito:
1n
nn ac
• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:
a)a(cda
a
a
2|)a(c|da)a,a(P
2|)a(c|)a(p densidade de probabilidade:
probabilidade:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 120
Exemplo: a = x = posição de uma partícula
Sistemas de infinitos estados
x)x(dx
2
1
x
x
221 |)x(|dx)x,x(P
2|)x(|)x(p densidade de probabilidade:
probabilidade:
função de onda: (x)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 121
Sistemas de infinitos estados
• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:
a)a(cdaacn
nn
Exemplo: a = E = energia de uma partícula
E)E(cdEEcn
nn
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 122
Produto escalar
NN
1nnn
1nnn ab,ac
1n
nn1n
nn ab,ac
N
1nnn c*b
1n
nn c*b
x)x(dx,x)x(dx
)x()x(*dx
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 123
Produto escalar
E)E(bdEEb
E)E(cdEEc
nnn
nnn
)E(c)E(*bdEc*bn
nn
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 124
Sistemas Compostos
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 125
Sistemas compostos
|anñI
sistema I
|bsñII
sistema II
s
IIssIIb
nInnI
a
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 126
Sistemas compostos
s,n
sns,n b,ac
subsistema I
|an, bs ñ
subsistema II
sistema composto
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 127
Produto tensorial
IIsInIIsInsn babab,a
A notação do produto tensorial torna evidentes algumas propriedades que os estados do sistema composto devem ter.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 128
Produto tensorial
Por exemplo:
s
IIssIIb
n
InnIa• sistema I no estado
• sistema II no estado
sistema composto no estado
s,nsnsn
s,nIIsInsn
sIIss
nInnIII
b,a
ba
ba,
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 129
Produto tensorial
IIsIIInIsnsn ba,b,a
Note que
ou, de maneira geral,
IIIIII
sss
nnnsn
s,nsn **)(*)(,,
)b(P)a(P)b,a(P sIInIsn
Uma consequência disso é
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 130
Estados separáveis
• Estados separáveis (estados “produto” ou “fatorizáveis”):
III sistema I no estado |ñ, sistema II no estado |ñ
s,n
snsn b,a
s,n
sns,n b,acEstado geral do sistema composto:
sns,nc
Nem todo estado é separável, pois nem sempre .sns,nc
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 131
Estados emaranhados
2211 b,a2
1b,a2
1
0e2
112212211
Estados não-separáveis são chamados deestados emaranhados.
Exemplo: o estado
não é separável, do contrário deveríamos ter
o que é impossível. A primeira equação diz que todos os ’s e ’s são diferentes de 0 e a segunda diz que pelo menos dois deles são nulos.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 132
Estados emaranhados
212121 x,x)x,x(dxdx
)x()x()x,x( 2121
Outro exemplo: a função de onda de duas partículas
O estado |ñ é separável se
pois nesse caso
IIIII222I111 x)x(dxx)x(dx
Se o estado |ñ é emaranhado.)x()x()x,x( 2121
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 133
Emaranhamento
• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas individuais.
• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando os subsistemas estão separados por distâncias macroscópicas,
• Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da mecânica quântica.
“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o melhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmo quando essas estão completamente separadas umas das outras e no momento não influenciam umas às outras.”
- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics(o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)
134
Aplicações a sistemas simples
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Instituto de Física Quântica
Vocêestá
aqui e aqui
135
Informação quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 136
Aplicações a sistemas simples
• Interferômetro de Mach-Zehnder• Medida sem interação• O problema de Deutsch• Molécula de H2
+
• Benzeno, amônia• Polarização do fóton• Oscilação de neutrinos• Spin ½• Informação quântica
ainda não estãonestas notas
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 137
Interferômetro de Mach-Zehnder
• Interferência de uma partícula• Descrição quântica do interferômetro• Interferência e indistinguibilidade• Defasagem
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 138
O interferômetro de Mach-Zehnder
0%
100%D1
D2
interferênciaconstrutiva
interferênciadestrutiva
“ondas”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 139
O interferômetro de Mach-Zehnder
D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas”
1
2
50%
25%
25%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 140
Descrição quântica do interferômetro
1
2
(caminho 1)
(caminho 2)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 141
Espaço de estados
2c1c 21
222
211
cPcP
probabilidades:
2
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 142
Semiespelho
22
112
11
22
112
12
1 1
2
1
2
2
probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2
evoluçãounitária
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 143
Semiespelho
22
112
1
22
112
1
2
1 sinal negativo: evolução unitária conserva a
ortogonalidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 144
Interferômetro
D1
D2
1
2
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 145
Interferômetro
Primeiro semiespelho: 22
112
11
Estado inicial: 1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 146
InterferômetroSegundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
2
211
21
212
211
21
212
211
21
1221
211
21
21
interferência destrutiva
interferência construtiva
P1 = 100%P2 = 0%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 147
O que interfere?
221
211
21
21
(1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2)
1
1
1
2
1 1
22
soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 148
Caminho bloqueado
1
2
D2
D1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 149
Caminho bloqueado
Primeiro semiespelho: 22
112
11
Estado inicial: 1
Bloqueio: 2
112
122
112
1
fóton bloqueado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 150
Caminho bloqueado
Segundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
212
211
21
21
211
21
2
12211
21 P1 = 25%
P2 = 25%P = 50%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 151
Por que não há interferência?
(1-1-1) (1-1-2)
não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais não há interferência
1
1
1
2
12211
21
(1-2-)
1 1
2
1
2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 152
Caminhos alternativos distinguíveis
D1
D2
mola
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 153
Caminhos alternativos distinguíveis
Primeiro semiespelho: M22
1R12
1R1
Estado inicial: R1
• 1, 2: caminho do fóton• R: espelho em repouso• M: espelho em movimento
M2,M1,R2,R1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 154
Caminhos alternativos distinguíveis
Segundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
M2
21M1
21
21R2
21R1
21
21M2
21R1
21
M221R2
21M1
21R1
21
P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%
P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%
soma de probabilidades,não de amplitudes
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 155
Apagando a informação sobre o caminho
D1 100%
D2 0%
mola
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 156
Apagando a informação sobre o caminho
Segundo semiespelho:
ou seja, o estado final é
M2
21R1
21
21M2
21R1
21
21M2
21R1
21
R1
a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 157
Defasagem
L1 – L2 (λ/50)
As probabilidades P1 e P2 dependem de diferenças entre os dois caminhos.
distânciapercorrida
densidade do material atravessado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 158
Defasagem
características do caminho percorrido “fase”
1
1e 1i1
2
2e 2i2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 159
Defasagem
D1
D2
1
2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 160
Defasagem
Primeiro semiespelho: 22
112
11
Estado inicial: 1
Defasadores:
2e2
11e2
122
112
121 ii
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 161
Defasagem
Segundo semiespelho:
ou seja,
22
112
12
e22
112
12
e22
e12
e 2121 iiii
22
ee12
ee22
e12
e 212121 iiiiii
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 162
Defasagem
2c1c 21 • Após o segundo semiespelho:
2eec
21 ii
1
2
eec21 ii
2
• Probabilidades:
212
11 cos121cP )cos(1
21cP 21
222
1 – 2
0
1P1
1 – 2
1
0
P2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 163
Defasagem
L1 – L2 (λ/50)
nnn LkL2
após uma distância “extra” x: nen xki
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 164
Medida sem interação
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 165
O palito de fósforo quântico
fóton
fóton
• fósforo “bom”
• fósforo “ruim”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 166
O palito de fósforo quântico
palitos bons e ruins misturados
Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 167
Teste clássico
palito ruim
palito bomqueimado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 168
Teste quântico
D1
D2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 169
Palito ruim
D1 100%
D2 0%
transparente
palito ruim D2 nunca dispara
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 170
Palito bom
D2 25%
D1 25%50%
palito bom D2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 171
Teste quântico
• D2 fósforo bom intacto
• D1 fósforo bom intacto ou fósforo ruim
• Fósforo acende fósforo bom queimado
Dos fósforos bons:• 25% estão identificados e intactos• 50% foram queimados• 25% em dúvida
Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 172
O problema de Deutsch
Como saber se uma moeda é honesta ou viciada?
1ª lado 2ª lado
moeda honesta
1ª lado 2ª lado
moeda viciada
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 173
O problema de Deutsch
Resposta “clássica”: olhando os dois lados
1ª lado 2ª lado
4 possibilidades
honesta
viciada
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 174
O problema de Deutsch
Podemos espiar os dois lados da moeda com um único fóton?
Aparentemente, não!
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 175
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
2
1
cara: = 0 coroa: =
D1
D2
2
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 176
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
cara: = 0 coroa: = D1
D2
2
11
2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 177
Vendo os dois lados da moeda com um único fóton
D1
D2
2
11
2
moeda honesta:1 2
1 2
fóton em D2
moeda viciada:1 2
1 2 0
fóton em D1
212
11 cos121cP
)cos(121cP 21
222
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 178
O início da computação quântica
• D. Deutsch, Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer, Proceedings of the Royal Society A 400, p. 97-117 (1985).
• D. Deutsch, R. Jozsa. Rapid solutions of problems by quantum computation, Proceedings of the Royal Society of London A 439, p. 553-558 (1992).
• R. Cleve, A. Ekert, C. Macchiavello, M. Mosca, Quantum algorithms revisited, Proceedings of the Royal Society of London A 454, p. 339-354 (1998).
x = 0 x = 1f1 0 0
f2 1 1
f3 0 1
f4 1 0
f constante
f “balanceada”
}1,0{}1,0{:f
É possível descobrir se a função é constante com um único cálculo de f ?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 181
Realismo, Contextualidade e Localidade
“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 182
Variáveis ocultas
)(A
variável “oculta” quedetermina o valor de A
Medidas:• revelam um valor preexistente?• criam o resultado encontrado?
grandeza medidano experimento
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 183
Experimentos com um sistema composto
I II
AI = 1 AII = 1
BII = 1BI = 1
incompatíveis
compatíveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 184
Quatro experimentos com um sistema composto
Quatro experimentos possíveis:
1) Medida de AI e AII
AI = +1 e AII = +1 encontrado algumas vezes
2) Medida de AI e BII
AI = +1 e BII = +1 nunca encontrado
3) Medida de BI e AII
BI = +1 e AII = +1 nunca encontrado
4) Medida de BI e BII
BI = -1 e BII = -1 nunca encontrado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 185
Quatro experimentos com um sistema composto
A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999)
1) P(AI, AII) (em %)
grau de emaranhamento
2) P(AI, BII) = 03) P(BI, AII) = 04) P(BI, BII) = 0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 186
Experimentos com um sistema composto
AI = +1 AII = +1
BI = -1 BII = -1
sempre
Se os valores de AI, AII, BI e BII já existiam antes das medidas:
!!
Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)!
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 187
Estados de Hardy
IIIIIIIII B,BB,BB,B31
estado emaranhado
P(BI, BII) = 0 experimento 4
L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992).L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 188
Estados de Hardy
AA2
1B
AA2
1B BB
A
A
Experimentos 1, 2 e 3:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 189
Estados de Hardy
IIIIIIIII B,AB,AB,A26
1
IIIIIIIII A,BA,BA,B26
1
IIIIIIIIIIII A,A3A,AA,AA,A121
Experimentos 1, 2 e 3:
3)
2)
1)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 190
Contextualidade
)C,(A 21
o que está sendo medido em 2 (A2 ou B2)
)C,(B 21
a2a1
b2b1
(A, B)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 191
Contextualidade
)C,(A III
o que está sendo
medido em II (AII ou BII)
)C,(A III
o que está sendo medido em I (AI ou BI)
)C,(B III
)C,(B III
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 192
Não-localidade
I II
AI AII
BIIBI
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 193
O teorema de Bell
Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica
é necessariamente não-local.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 204
Pauli
• The first question is . . . why not the p's as well as the q's can be prescribed with arbitrary precision . . . One can look at the world with the p-eye and one can look at it with the q-eye but when one would like to open both eyes, then one gets dizzy.
W. Pauli, letter to W. Heisenberg, 19 October 1926, p. 340(ver A. Pais, Niels Bohr’s times, p. 304)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 219
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 220
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 221
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 222