Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Origami Matemático
Augusto Ícaro F. da Cunha
Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. SimõesTabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970
Professora: Anayara Gomes dos [email protected]
30 de Março 2012
Origami Matemático Projetos I
Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Sumário
MotivaçãoHistória doOrigamiConstruçõesMatemáticasProblema daTrissecção deÂngulos
Origami Matemático Projetos I
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Sumário
MotivaçãoHistória doOrigamiConstruçõesMatemáticasProblema daTrissecção deÂngulos
Origami Matemático Projetos I
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Sumário
MotivaçãoHistória doOrigamiConstruçõesMatemáticasProblema daTrissecção deÂngulos
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Sumário
MotivaçãoHistória doOrigamiConstruçõesMatemáticasProblema daTrissecção deÂngulos
Origami Matemático Projetos I
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Motivação
Dar uma breve explanação sobre OrigamiMatemático para a turma de Projetos I
Mostrar uma das áreas de atuação na grandeárea da Matemática Aplicada
Origami Matemático Projetos I
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História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I
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História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I
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História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I
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História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I
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História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional
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História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
Mas qual a relação de origami com matemática?
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Axiomas
Dados 2 pontos P1 eP2, podemos dobraruma linha que os uneDados 2 pontos P1 eP2, podemos dobrarP1 em P2
Dadas 2 linhas l1 el2, podemos dobrar l1em l2
p1
p2lf
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lf
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l1
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Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Axiomas
Dados 2 pontos P1 eP2, podemos dobraruma linha que os uneDados 2 pontos P1 eP2, podemos dobrarP1 em P2
Dadas 2 linhas l1 el2, podemos dobrar l1em l2
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Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Axiomas
Dados 2 pontos P1 eP2, podemos dobraruma linha que os uneDados 2 pontos P1 eP2, podemos dobrarP1 em P2
Dadas 2 linhas l1 el2, podemos dobrar l1em l2
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Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Axiomas
Dado um ponto P1 e umalinha l1, podemos dobraruma linha perpendicular a l1que passa por P1
Dados 2 pontos P1 e P2uma linha l1, podemosdobrar P1 em l1 de tal formaque a nova dobra passe porP2
Dados 2 pontos P1 e P2 e 2linhas l1 e l2, podemosachar a linha que projeta P1em l1 e projeta P2 em l2
lf
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p1p2
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Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Axiomas
Dado um ponto P1 e umalinha l1, podemos dobraruma linha perpendicular a l1que passa por P1
Dados 2 pontos P1 e P2uma linha l1, podemosdobrar P1 em l1 de tal formaque a nova dobra passe porP2
Dados 2 pontos P1 e P2 e 2linhas l1 e l2, podemosachar a linha que projeta P1em l1 e projeta P2 em l2
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Construções Matemáticas - Axiomas
Dado um ponto P1 e umalinha l1, podemos dobraruma linha perpendicular a l1que passa por P1
Dados 2 pontos P1 e P2uma linha l1, podemosdobrar P1 em l1 de tal formaque a nova dobra passe porP2
Dados 2 pontos P1 e P2 e 2linhas l1 e l2, podemosachar a linha que projeta P1em l1 e projeta P2 em l2
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Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
Construção de retângulo numpedaço de papel qualquerConstrução de quadradoConstrução de TriânguloEquilátero
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
Construção de retângulo numpedaço de papel qualquerConstrução de quadradoConstrução de TriânguloEquilátero
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Construções Matemáticas
Construção de retângulo numpedaço de papel qualquerConstrução de quadradoConstrução de TriânguloEquilátero
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Mas como contruir um triângulo equilátero a partir deum quadrado?
A B
C
O
B' A'
C'
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Obtenha um pedaço depapel quadradoDobre uma reta de apoio nametade do quadradoLeve uma das pontas A ouB do quadrado para a linhade apoio de forma tal quese forme uma diagonal daquina oposta até a linha deapoioRepita o processo para aponta oposta A B
C
O
B' A'
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Obtenha um pedaço depapel quadradoDobre uma reta de apoio nametade do quadradoLeve uma das pontas A ouB do quadrado para a linhade apoio de forma tal quese forme uma diagonal daquina oposta até a linha deapoioRepita o processo para aponta oposta A B
C
O
B' A'
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Obtenha um pedaço depapel quadradoDobre uma reta de apoio nametade do quadradoLeve uma das pontas A ouB do quadrado para a linhade apoio de forma tal quese forme uma diagonal daquina oposta até a linha deapoioRepita o processo para aponta oposta A B
C
O
B' A'
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Obtenha um pedaço depapel quadradoDobre uma reta de apoio nametade do quadradoLeve uma das pontas A ouB do quadrado para a linhade apoio de forma tal quese forme uma diagonal daquina oposta até a linha deapoioRepita o processo para aponta oposta A B
C
O
B' A'
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Marque o ponto da reta deapoio que liga os 2 lados,que chamaremos de CDobre uma reta de apoioentre AC e BCVemos que a projeção de Bem AC é B′ e a projeção deA em BC é C ′
Observe que o Triânguloformado por ABC e A′B′C ′
são equiláterosA B
C
O
B' A'
C'
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Marque o ponto da reta deapoio que liga os 2 lados,que chamaremos de CDobre uma reta de apoioentre AC e BCVemos que a projeção de Bem AC é B′ e a projeção deA em BC é C ′
Observe que o Triânguloformado por ABC e A′B′C ′
são equiláterosA B
C
O
B' A'
C'
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Marque o ponto da reta deapoio que liga os 2 lados,que chamaremos de CDobre uma reta de apoioentre AC e BCVemos que a projeção de Bem AC é B′ e a projeção deA em BC é C ′
Observe que o Triânguloformado por ABC e A′B′C ′
são equiláterosA B
C
O
B' A'
C'
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Marque o ponto da reta deapoio que liga os 2 lados,que chamaremos de CDobre uma reta de apoioentre AC e BCVemos que a projeção de Bem AC é B′ e a projeção deA em BC é C ′
Observe que o Triânguloformado por ABC e A′B′C ′
são equiláterosA B
C
O
B' A'
C'
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Mas como fazer a trissecção de um ângulo agudo noorigami?
Q
C
P
A'
BA
P'
Q'
ROrigami Matemático Projetos I
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Trissecção de Ãngulos
Marque o ângulo para atrissecção e este anguloserá o ]PCBDobre uma reta de apoioqualquer EF paralela a BCAgora dobre BC sobre EFformando a reta de apoioGHFaça uma dobra de formatal que o ponto B ∈ GH eE ∈ BP
D
A
B
D
C
A
B
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E F
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G H
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Trissecção de Ãngulos
Marque o ângulo para atrissecção e este anguloserá o ]PCBDobre uma reta de apoioqualquer EF paralela a BCAgora dobre BC sobre EFformando a reta de apoioGHFaça uma dobra de formatal que o ponto B ∈ GH eE ∈ BP
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Origami Matemático Projetos I
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Trissecção de Ãngulos
Marque o ângulo para atrissecção e este anguloserá o ]PCBDobre uma reta de apoioqualquer EF paralela a BCAgora dobre BC sobre EFformando a reta de apoioGHFaça uma dobra de formatal que o ponto B ∈ GH eE ∈ BP
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Trissecção de Ãngulos
Marque o ângulo para atrissecção e este anguloserá o ]PCBDobre uma reta de apoioqualquer EF paralela a BCAgora dobre BC sobre EFformando a reta de apoioGHFaça uma dobra de formatal que o ponto B ∈ GH eE ∈ BP
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Origami Matemático Projetos I
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Trissecção de Ãngulos
Dobre ao longo da linhademarcada por G, criando oponto JDesdobreEstenda a dobra anterioraté a quina formando BJ edobre BC sobre BJPronto, agora observe queo ângulo foi trisectado
A
B
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C
EF
G
H
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Trissecção de Ãngulos
Dobre ao longo da linhademarcada por G, criando oponto JDesdobreEstenda a dobra anterioraté a quina formando BJ edobre BC sobre BJPronto, agora observe queo ângulo foi trisectado
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Trissecção de Ãngulos
Dobre ao longo da linhademarcada por G, criando oponto JDesdobreEstenda a dobra anterioraté a quina formando BJ edobre BC sobre BJPronto, agora observe queo ângulo foi trisectado
A
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Trissecção de Ãngulos
Dobre ao longo da linhademarcada por G, criando oponto JDesdobreEstenda a dobra anterioraté a quina formando BJ edobre BC sobre BJPronto, agora observe queo ângulo foi trisectado
A
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Agradecimentos
Grato Pela Atenção!
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Contatos
Como me contactar?Augusto Ícaro - [email protected]
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