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Matemática discreta e Lógica Matemática
AULA - Conjuntos, Funções, Indução e Grafos
Prof. Dr. Hércules A. OliveiraUTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Ponta Grossa
Departamento Acadêmico de Matemática
Prof. Dr. Hércules Oliveira - UTFPR Matemática discreta e Lógica Matemática
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Conjuntos
Definição 1
1 Um Conjunto é uma coleção de objetos não ordenada.
Definição 2
1 Os objetos são chamados de elementos. Diz-se que elespertencem ao conjunto.
a ∈ A (1)
Exemplo:A = {a, b, c, d}
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Definição 3
1 Dois conjuntos sãoIguais se e somente se eles tem os mesmoselementos.
Diagrama de Venn
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Definição 3
1 Dois conjuntos sãoIguais se e somente se eles tem os mesmoselementos.
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Definição 4
Definição 4
O conjunto A é umSubconjuntode B se e somente se todo elementode A for também um elemento de B.
A ⊆ B (2)
Definição 5
ConsidereS um conjunto. Se há exatamenten elementos distintos emS, em quen é um número inteiro não negativo, dizemos queS é umconjunto finitoem quen écardinaldeS. O cardinal é representadopor |S|.
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Definição 6
Um conjunto é ditoinfinito se ele não é finito.
Definição 7
Dado um conjuntoS, o conjunto das partesdeS é o conjunto de todosos subconjunto do conjuntoS. O conjunto de partes deS é indicadoporP(S).
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Produto Cartesiano
Definição 8
A n-upla ordenada(a1, a2, · · · , an) é a coleção ordenada que tema1
como o primeiro elemento, ea1 como o n-ésimo elemento.
Exemplo: Pares ordenados:(a, b) = (x, y).
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Definição 9
O Produto CartesianodeA comB, indicado por
A× B (3)
é o conjunto de todos os pares ordenados(a, b), em quea ∈ A eb ∈ B.
A× B = {(a, b)|a ∈ A∧ b ∈ B} (4)
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Operação com conjuntos
Definição 1
SejamA eB conjuntos. Auniãodos conjuntosA eB, indicada porA∪ B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão emA ouemB, ou em ambos.
Definição 1
SejamA eB conjuntos. Ainterseçãodos conjuntosA eB, indicadaporA∩ B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão emAe emB, simultaneamente.
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Definição 4
SejamA eB conjuntos. AdiferençaentreA eB, indicada porA− B, éo conjunto que contém aqueles elementos que estão emA, mas nãoestão emB. Complemento.
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Definição 5
ConsidereU como o conjunto universo. O complemento do conjuntoA, indicado por̄A , é o complemento deA em relação aU. U − A
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Definição 6
A uniãode uma coleção de conjuntos é o conjunto que contémaqueles elementos que são membros de, pelo menos, um dosconjuntos da coleção.
A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An =
n⋃
i=1
Ai (5)
Definição 7
A interseçãode uma coleção de conjuntos é o conjunto que contémaqueles elementos que são membros de todos os conjuntos da coleção.
A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An =n⋂
i=1
Ai (6)
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Funções
Definição 1
SejamA eB conjuntos não vazios. Umafunçãof deA paraB é umadeterminação exatamente um elemento deB emA. Escrevemosf (a) = b seb for o único elemento deB determinado pela funçãofpara o elementoa deA. Sef é uma função deA paraB, escrevemosf : A → B.
Função - mapeamento ou transformação.
Definição 2
Sef é uma função deA paraB, dizemos queA é odomíniodef eB éo contradomíniodef . Sef (a) = b, dizemos queb é aimagemdea ea é aimagem inversadeb.Além disso, sef é uma função deA paraB,dizemos quef mapeiaA paraB.
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Definição 3
Sejamf1 e f2 funções deA paraR. Então,f1 + f2 e f1f2 também sãofunções deA paraR definidas por
(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x), (7)
(f1f2)(x) = f1(x)f2(x). (8)
Exemplo
Consideref1 e f2 funções deR aR, tal quef1(x) = x2 ef2(x) = x− x2. Quais são as funçõesf1 + f2 e f1f2?
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Princípios da Indução Matemática
Para demonstrar queP(n) é verdadeira para todos os números inteirosn, em queP(n) é uma função proposicional, completamos doispassos:
Passo base
Verificamos queP(1) é verdadeira.
Passo de Indução
Mostramos que a proposição condicionalP(k) → P(k+ 1) éverdadeira para todos os números inteiros positivosk.
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Exemplo
Mostre que sen for um número inteiro positivo, então
1+ 2+ · · ·+ n =n(n+ 1)
2. (9)
Solução
P(n) = n(n+1)2 . Mostrar queP(1) é verdadeira e queP(k) implica em
P(k+ 1).
P(1)
1 =1(1+ 1)
2. (10)
1+ 2+ · · ·+ k =k(k+ 1)
2(11)
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Exemplo
P(k+ 1)
1+ 2+ · · ·+ k =k(k+ 1)
2(12)
1+ 2+ · · ·+ k+ (k+ 1) =(k+ 1)((k+ 1) + 1)
2=
(k+ 1)(k+ 2)2
(13)
P(k+ 1)
1+ 2+ · · ·+ k+ (k+ 1) =k(k+ 1)
2+ (k+ 1) (14)
1+ 2+ · · ·+ k+ (k+ 1) =k(k+ 1) + 2(k+ 1)
2(15)
1+ 2+ · · ·+ k+ (k+ 1) =(k+ 1)(k+ 2)
2. (16)
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Exemplo
Conjecture uma fórmula para a soma dos primeirosn númerosinteiros positivos e ímpares. Então, demonstre sua conjectura usandoa indução matemática.
Soma
1 = 1 (17)
1 +3 = 4 (18)
1 +3+ 5 = 9 (19)
1 +3+ 5+ 7 = 16 (20)
1 +3+ 5+ 7+ 9 = 25. (21)
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Exemplo
Conjecture uma fórmula para a soma dos primeirosn númerosinteiros positivos e ímpares. Então, demonstre sua conjectura usandoa indução matemática.
Conjectura
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2n− 1) = n2 (22)
P(1)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2n− 1) = n2 (23)
(1)2 = 1 (24)
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Exemplo
Conjecture uma fórmula para a soma dos primeirosn númerosinteiros positivos e ímpares. Então, demonstre sua conjectura usandoa indução matemática.
P(k)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) = k2 (25)
P(k+1)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2(k+ 1)− 1) = (k+ 1)2 (26)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k+ 1) = (k+ 1)2 (27)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = (k+ 1)2 (28)
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Exemplo
Conjecture uma fórmula para a soma dos primeirosn númerosinteiros positivos e ímpares. Então, demonstre sua conjectura usandoa indução matemática.
P(k)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) = k2 (25)
P(k+1)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2(k+ 1)− 1) = (k+ 1)2 (26)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k+ 1) = (k+ 1)2 (27)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = (k+ 1)2 (28)
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Exemplo
Conjecture uma fórmula para a soma dos primeirosn númerosinteiros positivos e ímpares. Então, demonstre sua conjectura usandoa indução matemática.
P(k)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) = k2 (25)
P(k+1)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2(k+ 1)− 1) = (k+ 1)2 (26)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k+ 1) = (k+ 1)2 (27)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = (k+ 1)2 (28)
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Exemplo
P(k)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) = (k)2 (29)
somando 2k+ 1
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = k2 + (2k+ 1) (30)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = k2 + 2k+ 1 (31)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = (k+ 1)2 (32)
Então, comoP(1) é verdadeira eP(k) → P(k+ 1), a soma dosnúmeros inteiros ímpares én2.
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Exemplo
P(k)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) = (k)2 (29)
somando 2k+ 1
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = k2 + (2k+ 1) (30)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = k2 + 2k+ 1 (31)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = (k+ 1)2 (32)
Então, comoP(1) é verdadeira eP(k) → P(k+ 1), a soma dosnúmeros inteiros ímpares én2.
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Exemplo
P(k)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) = (k)2 (29)
somando 2k+ 1
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = k2 + (2k+ 1) (30)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = k2 + 2k+ 1 (31)
1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = (k+ 1)2 (32)
Então, comoP(1) é verdadeira eP(k) → P(k+ 1), a soma dosnúmeros inteiros ímpares én2.
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Exemplo
P(n)
Use a indução matemática para mostrar que
1+ 2+ 22 + · · ·+ 2n = 2n+1 − 1 (33)
P(0)
20 = 1 = 20+1 − 1 (34)
P(k)
1+ 2+ 22 + · · ·+ 2k = 2k+1 − 1 (35)
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Exemplo
P(k+1)
Use a indução matemática para mostrar que
1+ 2+ 22 + · · ·+ 2k+1 = 2(k+1)+1 − 1 (36)
P(k+1)
1+ 2+ 22 + · · ·+ 2k+1 = 2(k+2) − 1 (37)
1+ 2+ 22 + · · ·+ 2k + 2k+1 = 2(k+2) − 1 (38)
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Exemplo
P(k+1)
Use a indução matemática para mostrar que
1+ 2+ 22 + · · ·+ 2k + 2k+1 = 2k+1 − 1+ 2k+1 (39)
P(k+1)
1+ 2+ 22 + · · ·+ 2k + 2k+1 = 2(2k+1)− 1 (40)
1+ 2+ 22 + · · ·+ 2k + 2k+1 = 2k+2 − 1 (41)
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Grafos
Definição 1
Um Grafo G = (V,E) consiste emV, um conjunto não vazio devértices(ou nós), eE, um conjunto dearestas. Cada aresta tem um oudois vértices associados a ela, chamados de suasextremidades.Dizemos que uma arestaliga ouconectasuas extremidades.
OBS:
O conjunto de vérticesV deG pode ser infinito. Este é chamado deGrafo infinito . Caso contrário é umGrafo finito .
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Definição 2
Um Grafo orientado (ou dígrafo)(V,E) consiste emV, um conjuntonão vazio devértices(ou nós), eE, um conjunto dearestas. E cadaaresta orientada está associada a um par ordenado de vértices. É ditoque aresta orientada associada ao par ordenado(u, v) começa emu etermina emv.
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Tipos
Grafo Simples: cada aresta conecta dois vértices diferentesu, v.Multigrafos: arestas multiplas: várias arestas conectadas ao mesmovértices.Multiplicidade m.Laços: Arestas que conectam um vértices a sí mesmo.
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Tipos
Grafo Simples: cada aresta conecta dois vértices diferentes{u, v}.Multigrafos: arestas multiplas: várias arestas conectadas ao mesmovértices.Multiplicidade m.Laços: Arestas que conectam um vértices a sí mesmo.
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FIM
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