MATEMÁTICA 8º ANOENSINO FUNDAMENTAL
PROF. CARLOS ALBERTO B. BASTOS
PROF. EMERSON MARÃO
PLANO DIDÁTICO PEDAGÓGICO
2
Unidade IIILetras que representam números, uma nova forma de calcular!
CONTEÚDOS E HABILIDADES
3
Aula 31.1ConteúdoRevisão e Avaliação
REVISÃO 1
4
Expressões Algébricas – definição e aplicaçõesExpressões Algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações.Por exemplo:
A expressão que representa a área de um retângulo:
Área = b • a
REVISÃO 1
5
A expressão algébrica que representa o perímetro desse retângulo é 2a + 2b.
REVISÃO 1
6
As VariáveisSão essas letras que aparecem em uma expressão algébrica, e representam um valor desconhecido.Por exemplo:
1. A diferença entre o número x e o número 7;x — 7
2. A soma do número m com o triplo do número n;m — 3n
REVISÃO 1
7
Escreva a expressão algébrica que traduz as seguintes sentenças do dia a dia.
a) O dobro de um número subtraído de 20 é igual a 100.
b) A diferença entre 75 e o triplo de um número natural resulta em 30.
c) O triplo de um número subtraído de duas unidades é igual a esse número acrescido de dez unidades.
REVISÃO 1
8
Por exemplo:
Expressões algébricas
Valor numérico de uma expressão algébrica
Para x = 3, temos:x2 — 2x + 2 =32 — 2 • 3 + 2 =9 — 6 + 2 = +5
REVISÃO 1
9
Monômio – é uma expressão algébrica racional inteira que representa um produto de números reais.
A parte numérica também é chamada de coeficiente.
parte numérica (número)
parte literal (letra)2x→
→
REVISÃO 1
10
O número zero é chamado de monômio nulo.
x = 1x → coeficiente é 1
–y = –1y → coeficiente é –1
REVISÃO 1
11
Por exemplo:Monômio Coeficiente 2x 2
3ab 3
–5x2 –5
1 a2b2c 1 2 2Termos Semelhantes – são termos que possuem as partes literais (letras) iguais.
REVISÃO 1
12
Adição ou subtração de Monômios– Adiciona ou subtrai monômios semelhantes3ab + ab = 4ab2x2 y + 3x2 y – x2 y = 4x2 y
Multiplicação de Monômios2x2 y • 5xy3 z = 2 • 5 • x2 + 1 y1 + 3 = 10x3 y4 z
Divisão de Monômio12x9 : 3x4 = 4x9 — 4 = 4x5
–30x4 y3 z : 5x2 y = –6x4 — 2 y3 — 1 z1 — 0 = –6x2 y2 z
REVISÃO 1
13
PolinômioÉ uma expressão algébrica racional inteira.
Exemplos:
1 termo – monômio 2x2 y 2 termos – binômios 2x2 y + 3x 3 termos – trinômios 4x2 + 4x + 1 4 termos – polinômios x4 + x3 +x2 + x + 1
REVISÃO 1
14
Polinômios – adição e subtraçãoSoma-se ou subtrai-se os termos semelhantes.
(4x2 + 3xy + y2) + (–3x2 + 4xy) + (x2 – y2) =
(4x2 – 3x2 + x2) + (3xy + 4xy) + (y2 – y2) =
= 2x2 + 7xy + 0z
REVISÃO 1
15
Multiplicação de Polinômios
(5x + 1) • (3x – 5) = 15x2 – 22x – 5
(x2 – 3x + 5) • (x3 – 2x) = x5 – 3x4 + 3x3 + 6x2 – 10x
REVISÃO 1
16
Divisão de PolinômiosColoca todos os termos em ordem decrescente.Completa os termos que não existem com zero, e efetua a divisão normalmente.
1° Caso: Divisão de Polinômio por Monômio(15x4 – 21x3 + 12x2) : (3x2) = 5x2 – 7x1 + 4
REVISÃO 2
17
2° Caso: Divisão de Polinômio por Polinômio
(5x3 – 3x2 + 2x – 3) : (x – 1) =5x2 + 2x + 4 → quociente+ 1 → resto
(6x4 – 5x3 + 12x2 – 4x + 3) : (3x2 – x + 1) =(2x2 – x + 3) → quociente0 → resto
REVISÃO 1
18
Produto Notável
Quadrado da soma de dois números(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Quadrado da diferença entre dois números(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
REVISÃO 2
19
Produto da soma pela diferença de dois números(a + b) • (a – b) = a2 – b2
Fatoração de PolinômiosFator Comum
ax + x = x • (a + b), onde x é o fator comum.10a + 5b = 5 • (2a + b), onde 5 é o fator comum.3x2 + 6xy = 3x • (1x + 2y), onde 3x é o fator comum.
REVISÃO 2
20
Fator comum
REVISÃO 2
21
Vejamos outros exemplos...
4a – 8 = 4 • (a – 2)
ap + bp + cp = p • (a + b + c)
xyz + yz + z = z • (xy + y + 1)
REVISÃO 2
22
Por Agrupamento
ax + bx + ay + by
x(a + b) + y(a + b)
(a + b) + (x + y)
REVISÃO 2
23
Outros exemplos:
Ex.: 1.
a2 + ab + ac + bc
a • (a + b) + c • (a + b)
(a + b) • (a + c)
REVISÃO 2
24
Ex.: 2.
ab + a + b + 1
a • (b + 1) + (b + 1)
(b + 1) • (a + 1)
REVISÃO 2
25
Ex.: 3.
ab + an + bm + mn
a • (b + n) + m • (b + n)
(b + n) • (a + m)
REVISÃO 2
26
Trinômio do quadrado perfeito
Produto Notável – desenvolve os termos do parêntesis...
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
REVISÃO 2
27
Trinômio do Quadrado Perfeito – faz o processo inverso.(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
REVISÃO 2
28
PRODUTO NOTÁVEL QUADRADO DA SOMA
4x2 + 20xy + 25y2
(2 x + 5 y)2 = 4x2 + 20xy + 25y2
√x2 = x
√4 = 2
4x2 25y2
√25 = 5
√ y2 = y
+ 2 • 2 • 5 • x • y +
REVISÃO 2
29
Trinômio do quadrado perfeito
REVISÃO 2
30
Diferença de dois quadrados(a2 — b2) = (a + b) • (a — b)
REVISÃO 2
31
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS
TERMOS (PRODUTO NOTÁVEL)
9x8 – 36y10
(3x4 + 6y5) • (3x4 – 6y5)
2√x8 = x2 = x4
2√9 = 38
9x8
3x4 6y5
36y10
2√y10 = y2 = y5
2√36 = 610
REVISÃO 2
32
Segundo o diagrama que elaboramos, o primeiro passo é calcular a raiz quadrada de 9x8 e de 36y10.
Em seguida, uma vez conhecidos os valores correspondentes às raízes, escrevemos as mesmas como forma de produto da soma pela diferença entre dois termos.
REVISÃO 2
33
Diferença entre o quadrado de dois termos
REVISÃO 2
34
a) (81x2 – 169y12) =
b)
c)
4 9
2564
425
x4
49a8
y12
b6
–
–
=
=
REVISÃO 2
35
Frações Algébricas
3x4y
ab – 1
3a2 + 2 a
x2 – 4x + 5 2x + 4
; ; ; ;
REVISÃO 2
36
Frações Algébricas: Operações1° Caso: Denominadores Iguais– Soma ou subtrai e repete o denominador.Por exemplo:
3xx + 1
3x2
x + 1
5xyx2 – y2
3xyx2 – y2
8xyx2 – y2
5xy + 3xy x2 – y2
3x2 + 3x x + 1
3x • (x + 1) x + 1
+
+ = =
= = = 3x.
REVISÃO 2
37
2° Caso: Denominadores Diferentes– transforma no mesmo denominador e, depois, efetua a soma ou subtração.
Por exemplo:1x2
2a b
3b a
2x
2a • a + 3b • b ab
2a2 + 3b2
ab
1 + 2x – 3x2
x2+
x x
::
+ = =
– 3 =
REVISÃO 2
38
Por exemplo:
3ax2by
3ax2by
1218
a2b b
xxy2
4ab9xy
4ab9xy
2a2
3y2
3 • 4 • a • a • b • x2 • 9 • b • x • y • y
•
•
• •=
=
= →
REVISÃO 2
39
Divisão de frações algébricas
a3
b2
a3
b2
a2
b3
b3
a2• = ab=: