Transcript
Page 1: Matemática - Pré-Vestibular Dom Bosco - gab-mat1-se3

1Matemática 1SE3

GabaritoMatemática 1

UNIDADE 14 — FUNÇÕES

Testes (página 2)

1. a) Resposta: f(– 1, 2) = (– 1, 2)2 = +1, 44f(–3) = (–3)2 = 9

f95

= 2

95

=8125

f 2( 3 1) ( 3 1)+ = + = 4 + 2 3

b) Resposta: 36 = x2, x = ± 6c) Resposta: – 64 = x2, ∅ (vazio)d) Resposta: 0 = x2, 0 (zero)

2. Resposta: 07 (01+02+04)01) f(–2) = (–2)2 = 4

f(–1) = (–1)2 = 1f(0) = 02 = 0f(1) = 12 = 1Im = {0, 1, 4}

02) f(–2) = –4 + 2 = – 2f(–1) = – 2 + 2 = 0f(0) = 0 + 2 = 2f(1) = 2 + 2 = 4Im = {–2, 0, 2, 4}

04) f(–2) = 4 – 1 = 3f(–1) = 1 – 1 = 0f(0) = 0 – 1 = –1f(1) = 1 – 1 = 0Im = {–1, 0, 3}

3. Resposta: 05 (01+04)01) f(–1) = 1 + 1 = 2

02) 4 = x2 + 1 x = 3±04) 5 = x2 + 1 x2 = 4 x = ± 208) 6 não é imagem de nenhum elemento de A.

4. Resposta: 64 . (x – 1) = 3x + 24x – 4 = 3x + 2x = 6

5. Resposta: f(36) = 6; f(81) = 9; f(2) = 2; f(1) = 1f(36) = f(4 . 9) = f(4) . f(9) = 2 . 3 = 6f(81) = f(9 . 9) = f(9) . f(9) = 3 . 3 = 9

f(x) = x

f(2) = 2f(1) = 1

Álgebra6. Resposta: b

f(3) = 120

8 −

. 103

f(3) =160 1

8−

. 103 = 159

8. 103

f(2) = 120

4 −

. 103 =80 1

4−

. 103 =

794

. 103

R =159 79

8 4 − . 103 =

159 1588−

. 103

R =18

. 103 = 0,125 . 103 = 125 hab.

7. a) Resposta: 1, 8v(0) = 1,8 . 104 ((10–2)2)v(0) = 1,8 . 104 . 10–4 cm/sv(0) = 1,8 cm/s

b) Resposta: 1,35

v210

2

= 1,8 . 104 .4

4 1010

4

−−

v210

2

= 1,8 . 104 .43 . 10

4

v210

2

= 1,35 cm/s

8. Resposta: d

f 1x

= 21

1 1x

+

f 1x

=2

2 2

2 2

1 1 x1 1 x 1 x1

x x

= =+ ++

9. Resposta: df(0 + 1) = 4 . f(0)4 = 4 . f(10)f(0) = 1f(2) = 4 . f(1)f(2) = 16

R

r

R

Eixo central

f(2) = 4 . f(1)f(2) = 16{1, 4, 16, 64, ...}a1 = 1a11 = 1. 410 = 410

Page 2: Matemática - Pré-Vestibular Dom Bosco - gab-mat1-se3

2 Matemática 1SE3

10. Resposta: b

( ) ( )( )

( )f 78 . f 7 f 7x

f 7

−= =

( )( ). 8 1

f 7

−7=

UNIDADE 15 — FUNÇÕES

Testes (página 4)

1. a) Resposta: R

b) Rsposta: R

c) Resposta: x ≠ 5

d) Resposta: x2 – 9 ≠ 0

x ≠ 3 e x ≠ – 3

e) Resposta: R

2. a) Resposta: x ≠ 1 e x 0D(f) 1 :

x – 1 ≠ 0

x ≠ 1

D(f) 2 :

x 0

x ≠ 1 e x 0

b) Resposta: x 3D(f) 1 :

x – 3 0

x 3

D(f) 2 :

x – 1 > 0

x > 1

x 3

c) Resposta: x 3 e x ≠ 5x – 3 0 1

x – 5 ≠ 0 2

∴ x 3 e x ≠ 5

d) Resposta: x ≠ 2D(f)

x3 – 8 ≠ 0

x3 ≠ 8

x ≠ 2

3

31

3. Resposta: {1}D(f) 1 :1 – x 0–x –1x 1

D(f) = {1}

4. a) Resposta: 23

< x 3

x 32 3x

−−

0

Raízes:1 x – 3 = 0

x = 3

2 –3x + 2 = 0

x = 23

23

< x 3

1

1

–5 3

2

–5

3

b) Resposta: –5 x < 3 e x ≠ 2Raízes:1 x + 5 = 0

x = –5

2 3 – x = 0x = 3

3 x – 2 ≠ 0x ≠ 2

–5 x < 3 e x ≠ 2

x – 1 0x 1

3

23

Page 3: Matemática - Pré-Vestibular Dom Bosco - gab-mat1-se3

3Matemática 1SE3

0

1

b) Resposta: R*

c) Resposta: x > 2 e x ≠ 52

Raízes:

1 6x + 1 = 0

x =16

2 2x – 4 = 0x = 2

3 2x – 4 = 1

x =52

x > 2 e x ≠ 52

5. Resposta: R

1 – x2 + 6x – 10 = 0– x2 – 9 = 0Idem ao 1 :

6. Resposta: x < 1 e x ≠ –1 ou x 5Raízes:

1 x2 – 4x – 5 = 0x1 = 5x2 = – 1

2 x2 – 1 = 0x2 = 1

x = 1±

x < 1 e x ≠ –1 ou x 5

7. a) Resposta: x < 1 ou x > 4Raízes:x2 – 5x + 4 = 0x1 = 4 e x2 = 1

x < 1 ou x > 4

1 4

1–1

5

R

–1

8. Resposta: a

1–1x

> 0, x ≠ 0

x 1x . 1

x

−> 0

Raízes:1 x – 1 = 0

x = 1

2 x = 0

]–∞; 0[ ou ] 1; +∞[

9. Resposta: b

1 x – 3 = 0x = 3

2 x2 + 2x – 8 = 0x1 = –4x2 = 2

3 x2 + 4x + 3x1 = –1x2 = – 3

–4

–3 –1

2

3

–4 x < –3 ou –1 < x 2 ou x 3

10. Resposta: eb2 – 4ac 036 – 4 . k 0– 4 k – 364 k > 36k 9

UNIDADE 16 — FUNÇÕES

Atividades (página 5)

1. Resposta: y = –4x 5

3+

y =5 3x

4−

x =5 3y

4−

4x = 5 – 3y

2

16−

52

–3y = 4x – 5

3y = –4x + 5

y =–4x 5

3+

Page 4: Matemática - Pré-Vestibular Dom Bosco - gab-mat1-se3

4 Matemática 1SE3

Testes (página 6)

1. a) Resposta: f–1(x) = x 14+

y = 4x – 1x = 4y – 14y = x + 1

y = x 14+

b) Resposta: f–1(x) = 5x 3x 2

+−

y =2x 3x 5

+−

x =2y 3y 5

+−

yx – 5x = 2y + 3yx – 2y = 3 + 5xy(x – 2) = 3 + 5x

y =5x 3x 2

+−

2. Resposta: ey = 3x – 2x = 3y – 2

5. Resposta: 5x

y = log5 xx = log5 yy = 5x

6. a) Resposta: y = log3 x – 2x = 3y + 2

log3 x = log3 3y + 2

log3 x = (y + 2) . log3 3y = log3 x – 2

b) Resposta: y = 13

(2 + log5 x)

log5 x = log5 53y – 2

log5 x = 3y – 2 . log5 53y = log5 x + 2

y = 5log x 23

+ = 13

(2 + log5 x)

2. Resposta: –4x

2x 1−

y =x

2x 4+

x =y

2y 4+

2yx + 4x = y

2yx – y = –4x

y(2x – 1) = –4x

y =–4x

2x 1−

3. Resposta: –10f(x) = 3x + ag(x) = 2x – 5f(g(x)) = g(f(x))

3(2x – 5) + a = 2(3x + a) – 56x – 15 + a = 6x + 2a – 5a = –10

4. Resposta: g(x) =5x 8

3−

f(x) = 3x + 7f(g(x)) = 5x – 1

5x – 1 = 3 . (g(x)) + 7

g(x) =5x 8

3−

y = x 2

3+

f–1(–1) =1 2 13 3

− + =

3. Resposta: a

y =x 1

x−

x =y 1

y−

yx = y –1yx – y = –1y(x – 1) = –1

y =( )( )–11 1

x 1 –1 1 – x− =−

4. a) Resposta: y = 2x 3x 1

+−

y =x 3x 2

+−

x =y 3y 2

+−

y . (x – 1) = 2x + 3

y = 2x 3x 1

+−

b) Resposta: g–1(x) = 8x 25 x

+−

y =5x 2x 8

−+

x =5y 2y 8

−+

yx + 8x = 5y – 2

y . (x – 5) = –2 – 8x

y =–2 – 8x

x – 5= 8x 2

5 x+

Page 5: Matemática - Pré-Vestibular Dom Bosco - gab-mat1-se3

5Matemática 1SE3

11. Resposta: cf(1 + 1) = f(1) + f(1)1 = 2 f(1)

f(1) =12

f(0 + 1) = f(0) + f(1)f(0) = 0

f(1) =12

f(2) = 1

an = a1 + (n – 1) . ra5 = a1 + 4 . r

a5 = 12

+ 4 . 12

= 52

f(5) = 52

12. Resposta: k = –2 e m = 12

g(f(x)) = m(2x + k) + 1g(f(x)) = 2mx + mk + 1Condição:2mx + mk + 1 = x

P.I.P 12m 1 m2

mk 1 0

= ∴ = + =

13. Resposta: ef(g(x)) = 2 (x2 – 1) + 1f(g(x)) = 2x2 – 2 + 1f(g(x)) = 2x2 – 12x2 – 1 = 0

x2 =12

7. Resposta: 1

y = x 2x 2

−+

x =y 2y 2

−+

yx + 2x = y –2y (x + 1) = – 2 – 2x

y =2 2xx 1

− −−

a = 1

8. a) f(x) = x – 3f(–x) = –x – 3Nem par nem ímpar

b) f(x) = x2 + 1f(–x) = (–x)2

+ 1 = x2 + 1Par

c) f(x) =3x

f(–x) =3x−

Ímpar

d) f(x) = –3xf(–x) = –3(–x) = 3xÍmpar

e) f(x) = 5x2

f(–x) = 5(–x)2 = 5x2

Par

f) f(x) = –3f(–x) = –3Par

9. Resposta: a

f(x) = 21

x

f(–x) =( )2 2

1 1.

xx−

10. Resposta: c2 = a . (–1)3 + b4 = a . (1)3 + b

+ 2 = –a + b 14 = a + b 2

6 = 2bb = 3

Em 2 :

4 = a + 3a = 1

2x

2= +

2x

2= −

12

k +1 = 0

k2

= – 1 ∴ k = –2

14. Resposta: d

–5 = 2m + p–10 = –3m + p

–5 = –5mm = 1

–5 = 2 + pp = –7

f(18) = 1 . 18 – 7 = 11f(11) = 1 . 11 – 7 = 4

15. Resposta: 601f(0 + 1) = f(0) + 2f(1) = 3f(1 + 1) = f(1) + 2f(2) = 5

an = a1 + (n – 1) . ra301 = a1 + 300 . ra301 = 1 + 300 . 2 = 601

Page 6: Matemática - Pré-Vestibular Dom Bosco - gab-mat1-se3

6 Matemática 1SE3

1–1

9. Resposta: y = 1a1 = 1a1 000 = 1 000n = 1 000

s1 000 = 1 1 0002

+ . 1 000 = (1 001) . 500 = 500 500 = i500 500 =

= i0 = 1

10. Resposta: x ∈ ] –1, 1[

2 2 2 2

2 2 2 2 2x i x i x 2xi i x 2xi 1 x 1 2xiz .x i x i x i x 1 x 1 x 1

− − − + − − −= = = = −+ − − + + +

x2 – 1 < 0x ∈ ] –1, 1[2. Resposta: a

2m 9 0

m 3 0

− =

− ≠

3. Resposta: d5(a + bi) + a – bi = 12 + 16i5a + 5bi + a – bi = 12 + 16i6a + 4bi = 12 + 16i

m = ± 3

m ≠ 3 m = –3

Atividades (página 9)

1. a) Resposta: –ii627 ∴ = i3 = –i

b) Resposta: 1i1 008 ∴ = i0 = 1

c) REsposta: –1i–22 ∴ =

1 12i

= −

2. Resposta: – 41i + 61(5 – 7i)(8 + 3i) = 40 + 15i – 56i – 21i2 = –41i + 61

3. Resposta: 33i 413

+

2

26 7i 3 2i 18 12i 21i 14i 33i 4.3 2i 3 2i 139 6i 6i 4i

+ + + + + += =− + + − −

4. Resposta: b(2 + mi) (3 + i) = 6 + 2i + 3mi + mi2

6 – m = 0m = 6

Testes (página 9)

1. Resposta: ek 1 02 2

− =

k = 1

41 0082520

42252

46271563

UNIDADE 17 — NÚMEROS COMPLEXOS

Teoria (página 8)

z z –z3 + 5i 3 – 5i –3 – 5i7 – 3i 7 + 3i –7 + 3i

2i –2i –2i6 6 –6

16. Resposta: ay = 2x + 1x = 2y + 1

y =x 1

2−

f12

= 2 .

12

+ 1 = 2

f(2) = 2 . 2 + 1 = 5

f–1(5) =5 1

2−

= 2

5 – 2 = 3 = f(1)

3a + 2bi = 6 + 8i3a = 6 a = 22b = 8 b = 4Z = 2 + 4i

4. Resposta: b

1 2 i 3 1 2i 2 i 3 6i 5 5i. . 1 i2 i 2 i 1 2i 1 2i 5 5 5

− + − + ++ = + = = ++ − − +

5. Resposta: e2

2 2

2 2

2 i 2i 2 4i i 2i.2i 2i 4i

2 2 i ( 4 )2 4i 2 i 24 4

+ α − α − + α −= =α + α − α −

α + + − + αα − + α += =α + α +

–4 + α = 0 ∴ α = 4

6. Resposta: bZ1 = iZ2 = 1 – 2i

7. Resposta: 32

( ) ( )24 2 2

2

1 i 1 2i i 4iN 4–1 1i

+ + += = = =−

8 . N = 8 . 4 = 32

8. Resposta: –1 + i

U = 1 + i

V = 1 – i

U52 = [(1 + i)2]26 = (2i)26 = 226 . i26 = (–2)26

V51 = [(1 – i)3]17 = [–2(i + 1)]17 = (–2)17 . [(i + 1)2]8 . (1 + i) =

= (–2)17 . (2i)8 . (1 + i) = (–2)17 . 28 . i8 . (1 + i) = (–2)25 . (1 + i)

U52 . 511

V = (–2)26 .

( ) ( )251 2 1 i.

1 i 1 i–2 . 1 i

− −= =+ −+

22 2i 2 2i 1 i

21 i− + − += = = − +

( ) ( ) ( )( )

2 2i i 1 2i 1 i 2i 1 i 1 2i 1 3i 2.1 2i 1 2i 1 2i 1 41 – 2i

+ − − + − + + + −= = = =− − + +

1 3i5

− +=

Page 7: Matemática - Pré-Vestibular Dom Bosco - gab-mat1-se3

7Matemática 1SE3

c) Resposta: 13 (3 + 2i) (2 + 3i) = 6 + 13i + 6i2 = 13i = 13

3. Resposta: 2Z = i6 – i7 = i2 – i3 = –1 + i

Z = 1 1 2+ =

4. Resposta: bZ = i4 . i16 = i20 = i0 = 1

Z =1

1 11

=

5. Resposta: 5

1 221

Z Z 5 2 i 10 5i 10 5i. 2 iZ 2 – i 2 i 54 i

+ + + += = = = ++ −

1 2 2 2

1

Z Z2 1 5

Z+

= + =

6. a) Resposta: 2 2 (cos 315° + i sen 315°)

UNIDADE 18 — NÚMEROS COMPLEXOS

Atividades (página 10)

1. Resposta: 4(cos 120o + i sen 120o)

Z = –2 + 2 3 i

ρ = ( )2 22 (2 3 ) 4 12 4− + = + =

a = –2

b = 2 3

–2 = 4 . (cos θ) ∴ cos θ = – 12

→ θ = 120°

2 3 = 4 . (sen θ) ∴ sen θ = 32

Z = 4(cos 120o + i sen 120o)

2. Resposta: Z = 2(cos 315o + i sen 315o)

a = 2

b = 2−

ρ = 2 2 2+ =

2 = 2 . cos θ ∴ cos θ = 2

2 → θ = 315°

– 2 = 2 . sen θ ∴ sen θ = –2

2Z = 2(cos 315o + i sen 315o)

Testes (página 10)

1. a) Resposta: ρ = 1 1 2+ =

cos θ = 12

θ = 45o

b) Resposta: ρ = 3θ = 0o

c) Resposta: ρ = 2θ = 90o

d) Resposta: ρ = 1 1 2+ =

cos θ = 21

22

−− =

θ = 225o

e) Resposta: ρ = 3 1 2+ =

cos θ = 3

2θ = 30o

2. a) Resposta: 5 2

3 + 2i + 2 + 3i = 5 + 5i = 25 25 50 5 2+ = =

b) Resposta: 2

3 + 2i – 2 – 3i = 1 – i = 1 1 2+ =

ρ = 4 4 2 2+ =

cos θ = 22

22 2=

θ = 315o

Z = 2 2 (cos 315° + i sen 315°)

i

R

θ

2

2

b) Resposta: 4(cos 45o + i sen 45o)

ρ = 8 8 4+ =θ = 45o

Z = 4(cos 45o + i sen 45o)

i

2 2

2 2

Page 8: Matemática - Pré-Vestibular Dom Bosco - gab-mat1-se3

8 Matemática 1SE3

UNIDADE 19 — NÚMEROS COMPLEXOS

Atividades (página 12)

1. a) Resposta: Z1 . Z2 = 2 2 (cos 180° + i sen 180°)

b) Resposta: Z2/Z1 = 2 (cos 60° + i sen 60°)

c) Resposta: Z16 = 8(cos 360° + i sen 360°)

2. Resposta: 1Z 3 i= +

2Z 3 i= − −

o

o o1

1

o o2

2

4 12 4

2 3tg 3 60

2

360 60 1Z 2 . cos i sen 2 . i2 2 2 2

Z 3 i

3 1Z 2 . cos 210 i sen 210 2 . i2 2

Z 3 i

ρ = + =

θ = = θ =

= + = +

= +

= + = − + − = − −

3. Resposta:3 31 12; 1 3 i; 1 3 i; 1; i; i

2 2 2 2− + − − − + −

(x3)2 – 7(x3) – 8 = 0

x3 = y

y2 – 7y – 8 = 0

y1 = 8

y2 = –1

x3 = 8

Im

R

θ2

2 3

ρ = 5θ = 90o

Z = 5(cos 90o + i sen 90o)

c) Resposta: 4(cos 210o + i sen 210o)

ρ = 12 4 4+ =

cos θ = –2 3 34 2

= −

θ = 210o

Z = 4(cos 210o + i sen 210o)

d) Resposta: 5(cos 90o + i sen 90o)

i

R

θ

–2

2 3−

R

θ

i

9. Resposta: a

ρ = 3 2

cos o 23 cos 1354 2

π = = −

sen o 23 sen 1354 2

π = =

2 2Z 3 2 i 3 3i

2 2

= − + = − +

tg γ = a 33

a=

γ = 60o

o5 . 60550

6 6γ

= =

8. Resposta: 50Z = a + bi

Z = a – bi

Z = 2a

2 2a b 2a+ =a2 + b2 = 4a2

3a2 = b2

a 3 b=

Z = a + i a 3

2 2 2ρ = + =Z = 2(cos 45o + i sen 45o)

i

R

2

2

θ

a

a 3

γ

7. Resposta: b

i

R

θ

ρ = 1θ = 270o

Z = (cos 270o + i sen 270o)

10. Resposta: cZ = – 2 + 2i

2

2Z –2 2i 2 2i 4 – 8i 4i 8i. i

2 2i 2 2i 84 4iZ

+ − + + −= = = = −− − − + −

Page 9: Matemática - Pré-Vestibular Dom Bosco - gab-mat1-se3

9Matemática 1SE3

4. a) Resposta: 5 35 i

2 2+

( ) ( )( )1 o o o o

2

Z 15 cos 70 10 i sen 70 10Z 3

= − + − =

( )o o 3 5 31 55 cos 60 i sen 60 5 i i2 2 2 2

= + = + = +

b) Resposta: 3 1 i

6 6+

( ) ( )( )3 o o o o

2

Z 1 cos 40 10 i sen 40 10Z 3

= − + − =

3 1i 3 12 2 i

3 6 6

+= = +

c) Resposta: 15 3 15 i

2 2+

( )( ) ( )1

3

Z 15 3 1515 cos 70 40 i sen 70 40 iZ 2 2

= ° − ° + ° − ° = +

Testes (página 12)

1. Resposta: 6 + 6 3 i

Z1 . Z2 = 12(cos 60o + i sen 60o) = 12 31 i 6 6 3 i2 2

+ = +

2. Resposta: 3 3 3i+

Z1/Z2 = 6(cos 30o + i sen 30o) = 63 1i 3 3 3i

2 2

+ = +

3. a) Resposta: 5 56 cos i . sen6 6

π π+

Z1 . Z2 = 2 26 cos i sen6 3 6 3

π π π π+ + + =

= Z1 . Z2 = 5 56 cos i . sen6 6

π π+

b) Resposta: 23

2 2Z 16 cos i . sen3 3

π π= +

c) Resposta: 8(cos 2π + i . sen 2π)

32

4 4 2 2Z 4 cos i sen . 2 cos i sen3 3 3 3

π π π π= + + =

= 8(cos 2π + i . sen 2π)

x1 = 2, x2 = –1 + i 3 , x3 = –1– i 3

x3 = –1

x4 = –1, x5 = 12

+ i 3

2, x6 =

31 i2 2

6. Resposta: b

30

Z cos i sen4 4

π π= −

3015 15cos i sen cos i sen

4 4 2 2 π π π π− = − =

3 3cos i sen 0 i( 1) i2 2π π= − = − − =

7. Resposta: a

(U)

(V)

f cos U i sen Ucos (U V) i sen (U V)

f cos V i sen V+

= = − + − =+

f(U V)= −

8. Resposta: eEu = cos u + i sen uEv = cos v + i sen v

Eu . Ev = (cos u + i sen v) (cos v + i sen v) == cos (u + v) + i sen (u + v) = Eu + v

9. Resposta: d

( )

( )

o o

o o2

1

1

2

o o2

2

Z 1 3 i

Z 2 cos 60 i sen 60

420 420Z 2 . cos i sen2 2

3 6 21Z 2 . i i2 2 2 2

780 780Z 2 . cos i sen2 2

Z 2 . cos 390 i sen 390

6 2Z i

2 2

= +

= +

= +

= − − = − − = +

= +

= +

10. Resposta: a

i = 1. cos i sen2 2

π π+ o o450 450 i 1. cos i sen

2 2

= +

= (cos 225o + i sen 225o) =

= (–cos 45o – i sen 45o) =2 2

i2 2

− −

5. Resposta: 65

Z = 2(cos 60o – i sen 60o) = (1 + i 3 )

ω = –i – 1 + i = –1

6 3 2 3

2

Z (Z ) Z (1 3 i) (1 3 i) (1 3 i)

(1 2 3 i 3) (1 3 i)

( 2 2 3 i) (1 3 i)

2 2 3 i 2 3 i 6i 8

= ∴ = + + + =

= + − + =

= − + + =

= − − + + = −

Z6 = (–8)2 = 64ω6 = (–1)6 =1

y = Z6 + ω6 = 65

Page 10: Matemática - Pré-Vestibular Dom Bosco - gab-mat1-se3

10 Matemática 1SE3

2. Resposta: a = 3, b = 2

( )( ) ( )( )( )

( )( )5x 1 a(x 1) b x 1

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

+ + −= +− + − + − +

5x + 1 = ax + a + bx – b

5x + 1 = x(a + b) + (a – b)

3. Resposta: k = 0, m = 13

a b 5

a b 1

+ = − =

Testes (página 14)

1. a) Resposta: Q = 3x4 + 2x3 + x – 3 R = 2x + 6

2a = 6 a = 3 b = 2

2x5 – 10x4 + 13x3 – 8x2 + 23x – 12

3x6 – 13x5 + 8x4 + 13x3 – 8x2 + 23x –12

–3x6 + 15x5 – 18x4

–2x5 + 10x4 – 12x3

x3 – 8x2 + 23x – 12

–x3 + 5x2 – 6x

–3x2 + 17x – 12

+3x2 – 15x + 18

2x + 6

x2 – 5x + 6

3x4 + 2x3 + x – 3

o o810 810 i 1. cos i sen2 2

= +

= (cos 405o + i sen 405o) =

=2 2

i2 2

+

11. Resposta: 56 (08+16+32)1 = 1 . (cos 0o + i sen 0o)Z1 = 1

Z2 = 1 . (cos 120o + i sen 120o) = 31 i

2 2− +

Z3 = 1 . (cos 240o + i sen 240o) =31 i

2 2− −

12. Resposta: 07 (01+02+04)–8 = 8(cos 180o + i sen 180o)Z1 = –2Z2 = 2 . (cos 60o + i sen 60o)

Z2 = 1 + i 3

Z3 = 1 – i 3

13. Resposta: 63 (01+02+04+08+16+32)(x3)2 + 7x3 – 8 = 0x3 = yy2 + 7y – 8 = 0y1 = –8y2 = 1

x3 = –8Z1 = –2

Z2 = 1 + i 3

Z3 = 1 – i 3

x3 = 1Z4 = 1

Z5 = 31 i

2 2− +

Z6 = 31 i

2 2− −

14. Resposta: a(x4)2 – 17 x4 + 16 = 0x4 = yy2 – 17y + 16 = 0

y1 = 16y2 = 1

x4 = 24

x1 = ±2x2 = ±2i

x4 = 14

x3 = ±1x4 = ±i

15. Resposta: e

x4 = –1 –1 = 1(cos 180o + i sen 180o)

4x 1= −

x1 = cos 45o + i sen 45o =2 2

i2 2

+

x2 =2 2

i2 2

UNIDADE 20 — POLINÔMIOS

Atividades (página 14)

1. Resposta: m = 3, n = 1

m2 – 1 = 8 m = ± 3

(m – 3) = 0 m = 3

(m – n) = 2 3 – n = 2 n = 1

x3 = cos 225o + i sen 225o = 2 2

i2 2

− −

x4 = 2 2

i2 2

− −

Sabendo que Z = ρ eθi.k

4 2e π π+ ; k = 1, 2, 3, 4

x2 + 3xx4 + 3x3 + mx2 + x + k

0 ax2 + bx + c

x4 + 3x3 + mx2 + x + k = ax4 + 3ax3 + bx3 + 3bx2 + cx2 + 3 cx =

= x4(a) + x3(3a + b) + x2(3b + c) + x(3c)

a = 13a + b = 3 b = 0

3b + c = m c = m

3c = 1 c = 13

k = 0

m = 13

Page 11: Matemática - Pré-Vestibular Dom Bosco - gab-mat1-se3

11Matemática 1SE3

c) Resposta: Q = 4x + 19 R = 78x3 + 29x2 + 6x – 22

d) Resposta: Q = 3x3 – 2x2 – 3x + 2 R = 8x2 + 6x + 8

2. Resposta: a = 3, b = –1

(2x2 + ax + b)(4x + 2) + x + b = 8x3 + (17 + b) x2 + 3x – a

8x3 + 4x2 + 4ax2 + 2ax + 4bx + 2b + x + b →→ 8x3 + (17 + b) x2 + 3x – a

8x3 + x2 (4 + 4a) + x (2a + 4b + 1) + 3b =

= 8x3 + (17 + b) x2 + 3x – a

4 4a 17 b

2a 4b 1 3

3b –a

+ = + + + = =

ab3

= −

13 em :

3. Resposta: P(x) = x5 – 2x4 + 2x3 – 3x2 – x + 6

P(x) = x5 – 2x4 + 2x3 – 4x2 + x2 – 2x + x – 2 + 8

P(x) = x5 – 2x4 + 2x3 – 3x2 – x + 6

4. Resposta: dO maior grau possível para o resto é 4.

a4 4a 173

a4a 133

12a a 133

13a 13 . 3

a 3

b 1

+ = −

+ =

+ =

=== −

x4 + 2x2 + x + 1

P(x) x – 2

8

1

2

3

8x5 + 26x4 + 17x3 + 10x2 +10x – 3–8x5 + 12x4 + 4x3 – 4x

38x4 + 21x3 + 10x2 + 6x – 3–38x4 + 57x3 + 19x2 –19

78x3 + 29x2 + 6x – 22

4x + 192x4 – 3x3 – x2 + 1

5. Resposta: c

x3 – 4x2 + 7x – 3 D(x)x – 12x – 1

x3 – 4x2 + 7x – 3 = (x – 1)(ax2 + bx + c) + 2x – 1

x3 – 4x2 + 7x – 3 = ax3 + bx2 + cx – ax2 – bx – c + 2x – 1

x3 – 4x2 + 7x – 3 = x3(a) + x2(b – a) + x(c – b + 2) + (– c –1)

a = 1b – a = – 4 b = –3c – b + 2 = 7 c = 2

6. Resposta: eP(–x) + P(x) ≡ 0–x3 + ax2 – bx + c + x3 + ax2 + bx + c ≡ 0∴ 2ax2 + 2c ≡ 0 ∴ a = 0 e c = 0

Logo: P(x) = x3 + bxP(1) = 0, então:13 + b . 1 = 0 ∴ b = –1

P(x) = x3 – xPortanto: P(2) = 6

7. Resposta: c

( )( )( )

( )( )( )2

A x 1 B x 12x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

− += +− + − − +

2 = Ax + Bx – A + B

B – (–B) = 22B = 2B = 1A = –1

8. Resposta: b

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )2

2 2

A x 1 Bx C x 11

x 1 x 1 x 1 x 1

+ + + −=

− + − +

1 = Ax2 + A + Bx2 – Bx + Cx – C1 = x2 (A + B) + x(–B + C) + (A – C)

A B 0

B A 2

+ = − =

A = –B

A B 0

–B C 0

A C 1

+ = + = − =

A C 0

A C 1

+ =− =

2A = 1+

1A2

1B21C2

=

= −

= −

9. Resposta: ax4 + px3 – 8x2 + qx + 15

ax2 + bx + cx2 + 2x – 3

0

x4 + px3 – 8x2 + qx + 15 =

= ax4 + 2ax3 – 3ax2 + bx3 + 2bx2 – 3bx + cx2 + 2cx – 3c =

= x4(a) + x3(2a + b) + x2(–3a + 2b + c) + x(–3b + 2c) – 3c

a = 1

2 + b = p b = p – 2

–3 + 2b + c = –8 c = –5 – 2b

1

2

b) Resposta: Q = x3 + x2 + x + 1 R = 0

x2 – 1–x2 + x

x4 – 1–x4 + x3

x – 1x + 1

0

x – 1x3 + x2 + x + 1

x3 – 1–x3 + x2

9x6 – 4x4 – x2 + 6x + 12–9x6 – 6x5 – 9x4 – 6x3

–6x5 – 13x4 – 6x3 – x2 + 6x + 126x5 + 4x4 + 6x3 + 4x2

–9x4 + 3x2 + 6x + 129x4 + 6x3 + 9x2 + 6x

6x3 + 12x2 + 12x + 12–6x3 – 4x2 – 6x – 4

8x2 + 6x + 8

3x2 + 2x2 + 3x + 23x3 – 2x2 – 3x + 2

Page 12: Matemática - Pré-Vestibular Dom Bosco - gab-mat1-se3

12 Matemática 1SE3

Testes (página 17)

1. a) Resposta: Q(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 R(x) = 0

Q(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1R(x) = 0

b) Resposta: Q(x) = 2x2 + 5x + 2 R(x) = 0

1 1 0 0 0 0 –1

1 1 1 1 1 0

1 2 3 –3 –2

2 5 2 0

Q(x) = 2x2 + 5x + 2R(x) = 0

2. Resposta: –5

5 + k = 0k = –5

1 1 3 1 k

1 4 5 5 + k

3. Resposta: 2

2 1 0 k k –7

1 2 4 + K 8 + 3k 9 + 6k

9 + 6k = 216k = 12k = 2

4. Resposta: eP(–1) = R

4 = 3(–1)5 + 2(–1)4 + 3p(–1)3 + (–1) – 14 = –3 + 2 – 3p – 1 – 1–3p = 7

p = 73

5. Resposta: a

1 2 5 0 –12 7

2 7 7 –5 2

Q(x) = 2x3 + 7x2 + 7x – 5R(x) = 2

6. Resposta: b

2 1 –4 3 5 0 1

1 –2 –1 3 6 13

R(x) = 13

5. Resposta: Q(x) = 8x3 + 8x2 + 12x + 13, R(x) = 40

16 –8 0 –10 1

16 16 24 26 40

32

Q(x) = 8x3 + 8x2 + 12x + 13R(x) = 40

10. Resposta: by5 – my3 + n

ay2 + by + c

y3 + 3y2

y5 – my3 + n = ay5 + 3ay4 + by4 + 3by3 + cy3 + 3cy2 + 5

y5 – my3 + n = y5(a) + y4(3a + b) + y3(3b + c) + y2(3c) + 5

a = 1

3a + b = 0b = –3

3b + c = –mc = –m + 9

3c = 0c = 0

m = 9

n = 5

UNIDADE 21 — POLINÔMIOS

Teoria (página 16)

multiplicado, dividido, permanece o mesmo

Atividades (página 16)

1. Resposta: Q(x) = 6x3 + 11x2 + 25x + 51 R(x) = 100

2 6 – 1 3 1 –2

6 11 25 51 100

Q(x) = 6x3 + 11x2 + 25x + 51R(x) = 100

2. Resposta: Q(x) = 2x4 – 2x3 + 3x2 – 3x R(x) = 1

Q(x) = 2x4 – 2x3 + 3x2 – 3xR(x) = 1

3. Resposta: 33P(2) = 3 . 24 – 2 . 23 + 1 = 48 – 16 + 1 = 33

4. Resposta: e10 = 54 – 4 . 53 – 5k – 7510 = 625 – 500 – 5k – 7510 = 50 – 5k5k = 40k = 8

–1 2 0 1 0 –3 1

2 –2 3 –3 0 1

5

3

1 :

2 :

3 :

–3b + 2c = q–3c = 15c = –5

Substituindo em–5 = –5 – 2b b = 0

Substituindo em0 = p – 2 p = 2

Substituindo em q = –10

Page 13: Matemática - Pré-Vestibular Dom Bosco - gab-mat1-se3

13Matemática 1SE3

P(x) x – 1

10 q(x)

P(x) = q(x) (x–1) + 100 = q(3) . (2) + 10q(3) = –5

8. Resposta: cP(1) = –14P(–1) = 0

–14 = 1 + a + 2 – 3 – 5b

a = –14 + 5b

0 = 1 – a + 2 + 3 – 5b

a = 6 – 5b

1 em 2 :

6 – 5b = –14 + 5b10b = 20b = 2

a = –14 + 10 = –4a = –4

9. Resposta: 0P(x) = a0 x

n + a1 xn –1 + a2 xn – 2 + ... + an

P(x) = 1 2 nn0 2 n

a a ax a ...

x x x

+ + + +

P(1) = 1(a0 + a1 + a2 + ... + an)

P(1) = 1 . 0 = 0

10. Resposta: aP(3) = 0P(1) = 10

2

1

11. a) Resposta: Q(x) = 4 3 2x x 2x x 1– – –3 3 3 3 3

+ R(x) = –2

Q(x) = 4 3 2x x 2x x 1– – –3 3 3 3 3

+

R(x) = –2

1 1 0 –3 1 0 –1

1 1 –2 –1 –1 –2

b) Q(x) = 2 3x 73x2 4

+ + R(x) = 154

Q(x) = 2 3x 73x2 4

+ +

R(x) = 154

c) Resposta: Q(x) = –x5 – 2x4 – 4x3 – 8x2 – 16x – 32R(x) = 63

6 0 2 2

6 3 72

154

12

Q(x) = 3 2 11x 21x 2x2 2

+ + +

R(x) = 44

b) Resposta: Q(x) = 16x4 – 8x3 + 4x2 – x R(x) = –1

12. a) Resposta: Q(x) = 3 2 11x 21x 2x2 2

+ + + R(x) = 44

32 0 0 2 –1 –1

32 –16 8 –2 0 –1

12

Q(x) = 16x4 – 8x3 + 4x2 – xR(x) = –1

c) Resposta: Q(x) = 2 12x2

− − R(x) = 92

Q(x) = 2 12x2

− −

R(x) = 92

13. Resposta: Q(x) = 2 13x 4x2

+ − , R(x) = 5

4 –2 1 –5

4 0 1 9–2

12

P(x) x – 36x2 + 8x – 15

Q(x) = 2

26x 8x 1 13x 4x2 2

+ − = + −

14. Resposta: 33

P(x) 2(x – 3)

5 34 a –8

5 35 7 + a 33 a5

− +

15

33 a 05

− + =

a = 33

15. Resposta: b

6 5 2 –m

6 –4 8 –m – 12

32

–m – 12 = 0 ∴ m = –12

7. Resposta: bR = P(1)R = 1 + 5 + 9 + 13 +...+ 797

a1 = 1an = 797r = 4

797 = 1 + (n – 1) . 4797 = 1 + 4n – 44n = 800n = 200

S200 = 1 7972

+ . 200 = 79 800

2 1 0 0 0 0 0 –1

1 2 4 8 16 32 63

Q(x) = –x5 – 2x4 – 4x3 – 8x2 – 16x – 32R(x) = 63

2 2 0 3 –1 2

2 4 11 21 44


Top Related