Matemática e suas Tecnologias - MatemáticaEnsino Médio, 2ª Série
Arranjos Simples
Matemática, 2ª Série do Ensino MédioArranjos Simples
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Matemática, 2ª Série do Ensino MédioArranjos Simples
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Anne, Gil, Pedro e Bento observavam seus colegas correndo, tentando pegar os melhores lugares na
fila!
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A ordenação das filas apresenta-se como um problema de Arranjos Simples
Os arranjos são agrupamentos em que se considera a ordem
dos elementos agrupados. Por
exemplo, a palavra LAGO é um arranjo de letras, pois, mudando-
se a ordem dessas letras, obtém-se outra
palavra.
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A ordenação das filas apresenta-se como um problema de Arranjos Simples
LAGO GALOLAGO GALO
Palavras Palavras diferentesdiferentes
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A ordenação das filas apresenta-se como um problema de Arranjos Simples
Assim, com 3 pessoas Assim, com 3 pessoas numa fila, poderemos numa fila, poderemos
ter os seguintes arranjos ter os seguintes arranjos de ordenação:de ordenação:
1ABC
2ACB
3BAC
4BCA
5CAB
6CBA
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A ordenação das filas apresenta-se como um problema de Arranjos Simples
E se um grupo de 4 pessoas formarem a fila, teremos agora 24 E se um grupo de 4 pessoas formarem a fila, teremos agora 24 diferentes combinações!diferentes combinações!
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ABCD
ABDC
ACBD
ACDB
ADBC
ADCB
BCDA
BDCA
CBDA
CDBA
DBCA
DCBA
CDAB
DCAB
BDAC
DBAC
BCAD
CBAD
DABC
CABD
DACB
BACD
CADB
BADC
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Chama-se Chama-se Arranjo Arranjo SimplesSimples de de nn
elementos distintos elementos distintos tomados tomados pp a a pp ((p p n n), todo ), todo agrupamento agrupamento
ordenado formado por ordenado formado por pp elementos elementos escolhidos escolhidos
entre os entre os nn elementos elementos dados.dados.
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Arranjos Simples
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O número p é O número p é denominado classe ou denominado classe ou
ordem do arranjo ordem do arranjo simples e pela simples e pela
definição de arranjo definição de arranjo facilmente facilmente
percebemos que p ≤ npercebemos que p ≤ n
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Arranjos Simples
Indica-se o número Indica-se o número total de Arranjos total de Arranjos
Simples por:Simples por:
AAn,p ou n,p ou AApp nn
Para o cálculo de An,p temos:
Escolha Nº de Possibilidades
Do 1º elemento n
Do 2º, depois de escolhido o 1º n – 1
Do 3º, depois de escolhidos o 1º e o 2º n – 2
...
Do p-ésimo, depois de escolhidos os anteriores n – (p – 1)
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Portanto:
An,1 = nAn,2 = n(n – 1)An,3 = n(n – 1)(n – 2)...
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Arranjos Simples
Portanto:
A4,1 = 4A4,2 = 4·(4 – 1)=4·3=12A4,3 = 4·(4 – 1)(4 – 2)=4·3·2=24A4,4 = 4·(4 – 1)(4 – 2)(4 – 1)=4·3·2·1=24
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Problemas de Arranjos Simples
O número total de Arranjos Simples é dado por:
Indicando a quantidade de pessoas na fila
?
nAssim...
An,p = nn n-1n-1 n-2n-2 ......
=
n-p+1n-p+1
An,p
Lembre-se! Nesse exemplo Lembre-se! Nesse exemplo nn = = pp, já que , já que nn é o total de pessoas no é o total de pessoas no grupo, e grupo, e pp o total de pessoas que estarão na fila! o total de pessoas que estarão na fila!
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Problemas de Arranjos Simples
O número total de Arranjos Simples é dado por:
Indicando a quantidade de pessoas na fila
720
6Assim...
A6,6 = 66 55 44 ......
=
11
A6,6
Lembre-se! Nesse exemplo Lembre-se! Nesse exemplo nn = = pp, já que , já que nn é o total de pessoas no é o total de pessoas no grupo, e grupo, e pp o total de pessoas que estarão na fila! o total de pessoas que estarão na fila!
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Fatorial
Em problemas de Em problemas de Análise Análise
Combinatória, Combinatória, surgem com surgem com frequência, frequência,
expressões como:expressões como:
3x2x1 4x3x2x13x2x1 4x3x2x1
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Fatorial
Assim,Assim,
Dado um número Dado um número natural natural nn, com , com nn
>1, definimos seu >1, definimos seu fatorial, indicado fatorial, indicado
por por nn!, como o !, como o produto dos produto dos nn
números números consecutivos de 1 consecutivos de 1
até até nn..
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Fatorial
Utilizando Utilizando símbolos, temos:símbolos, temos:
n! = n·(n – 1)·(n – n! = n·(n – 1)·(n – 2)·...·3·2·12)·...·3·2·1
Definimos ainda:Definimos ainda:
1! = 1 e 0! = 11! = 1 e 0! = 1
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Fatorial
Com o auxílio dos Com o auxílio dos fatoriais, podemos fatoriais, podemos
apresentar apresentar fórmulas de uma fórmulas de uma
maneira mais maneira mais simples simples
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Hoje aprendemos
• Para resolver Para resolver algumas situações algumas situações envolvendo envolvendo análise análise combinatória, combinatória, temos que temos que recorrer a cálculos recorrer a cálculos em que é em que é necessário realizar necessário realizar o produto entre o produto entre números números consecutivos;consecutivos;
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Hoje aprendemos
• Dizemos que um Dizemos que um arranjo é simples arranjo é simples quando não há quando não há repetição dos repetição dos elementos em elementos em cada cada agrupamento;agrupamento;
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Hoje aprendemos
• Num Arranjo Num Arranjo Simples, os Simples, os agrupamentos de agrupamentos de nn elementos elementos distintos diferem distintos diferem entre si somente entre si somente pela ordem dos pela ordem dos elementos;elementos;
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Hoje aprendemos
• Permutação Permutação simples é o caso simples é o caso particular de particular de arranjo simples arranjo simples em que em que n = pn = p, ou , ou seja, trata-se de seja, trata-se de um arranjo de um arranjo de nn elementos.elementos.
Texto Complementar
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http://www.brasilescola.com/matematica/arranjo-simples.htm
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. Volume 2. São Paulo: Ática, 2010.
PAIVA, M. Matemática. Volume único. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2005.
RIBEIRO, J. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. Ensino Médio. Volume 2. São Paulo: Scipione, 2010.
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, I. S. V. Matemática: Ensino Médio. Volume 2. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
Referências
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23/04/2012
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