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Filipe Rodrigues de S. MoreiraGraduando em Engenharia Mecânica –

Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA)

(Fevereiro 2005)

Trigonometria

Capítulo I. Um pouco de História

A palavra trigonometria tem origem na Grécia da palavra trigonos (triângulo) + metrûm (medida).Etimologicamente, trigonometria significa medida de triângulos.

Por vezes pensa-se que a origem da Trigonometria está exclusivamente ligada à resolução de situaçõesde medição de terrenos ou determinação de medidas sobre a superfície da terra. No entanto, enquanto ramo doconhecimento científico, é impossível separar a Trigonometria da Astronomia. Daí que o seudesenvolvimento como ciência exata viesse a exigir medições e cálculos de grande precisão. É neste contextoque o astrônomo grego Hiparco de Niceia (180-125 a.C.) é considerado o fundador da Trigonometria. Foi eleque introduziu as medidas sexagesimais em Astronomia e elaborou a primeira tabela trigonométrica. Hiparcoutilizou a trigonometria para fazer medições, prever eclipses, fazer calendários e na navegação.

A Hiparco seguiram-se outros no estudo e desenvolvimento da trigonometria, como, por exemplo,Ptolomeu.

No séc.III, os indianos e os árabes deram nova dimensão à trigonometria ao introduzirem a trigonometriaesférica. A Trigonometria tem como objetivo principal o estudo das relações entre lados e ângulos de umtriângulo e constitui instrumento indispensável na resposta a necessidades da Astronomia e ainda danavegação, cartografia e da topografia. O estabelecimento de certas relações que hoje chamamos fórmulas fundamentais da Trigonometria deve-se aos matemáticos hindus, do séc. V ao séc. XII. De entre eles destaca-se Aryabhata (séc.VI), um astrônomo indiano, tendo já nesta altura associado o seno de um ângulo ao centro àmedida da corda correspondente e elaborado também uma tábua de valores do seno. Matemáticos árabes,depois de traduzirem as obras deixadas pelos hindus, desenvolveram o estudo das razões trigonométricas emtriângulos retângulos e estabeleceram, para qualquer triângulo, o chamado teorema ou lei dos senos.

A trigonometria começa a afirmar-se como ciência autônoma a partir do séc.XI quando Al-Biurine

reúne todas as demonstrações, quer de origem grega, quer de origem indiana, até então conhecidas e usadasem Trigonometria. Deve-se ainda aos árabes a introdução desta ciência na Europa Ocidental. Na Europa, ainstituição da Trigonometria como ciência autônoma em relação à Astronomia, é iniciada através da traduçãoe publicação dos manuscritos clássicos, bem como da elaboração de uma introdução completa àTrigonometria, e ficou a dever-se a Johaness Müller, um astrônomo prussiano, mais conhecido por Regiomontano(1436-1476).A obra de Regiomontano continha, por exemplo, a "Lei dos senos" aplicada atriângulos esféricos. No séc.XVI, François Viète (1540-1603) estabeleceu várias relações trigonométricastendo-as associado às soluções de equações do 3ºgrau - é a ligação da trigonometria à Álgebra. Vièteintroduziu novos teoremas que permitiram relacionar lados e ângulos de triângulos não retângulos. Neper eBriggs usaram o cálculo logarítmico para estabelecerem novas fórmulas trigonométricas (séc.XVII). Noséc.XIX, a trigonometria atinge o seu ponto máximo, ficando ligada à análise através das séries. Hoje, a

trigonometria usa-se em muitas situações, nomeadamente na física.



2

Capítulo II. O Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo é construído utilizando-se dois lados perpendiculares entre si chamados catetos e

um outro lado chamado hipotenusa. A partir dessa construção muitos teoremas importantíssimos foramconstruídos e um dos mais importantes é o chamado Teorema de Pitágoras.

º90=+ β α

II.1 – O Teorema de Pitágoras

Esse talvez seja o principal teorema que expressa uma relação métrica para os lados de um triânguloretângulo.

“O quadrado da medida da hipotenusa de um triangulo retângulo é igual à soma dos quadrados das medidasdos catetos”.

222 cba +=

Veja que na figura ao lado, há uma série de semelhanças de triângulos.

ABC CAE BEA ∆≈∆≈∆ . Com isso conseguimos algumas relações entre elas:

a

bch

a

b

c

h=⇒= . Também temos que: amab

a

b

b

ma−=⇒=

− 22 (I)

Uma terceira relação é dada por b

chm

b

h

c

m=⇒= . Como

a

bch = , temos que:

a

c

a

bc

b

cm

2

. == . Substituindo o valor de m na equação (I) vem:

222 cba += Teorema de Pitágoras



3

II-) Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Tendo como base o triângulo retângulo da fig.1, podemos definir algumas relações que envolvem os

ângulos do triângulo retângulo. São elas o seno, o cosseno e a tangente. Definimos essas linhastrigonométricas da seguinte forma:

hipotenusa

àopostocat α α

.sen =

hipotenusa

àajacentecat α α

.cos =

α

α α

àajacentecat

àopostocat

.

.tan =

Da figura:

ângulos sen cos tan

α

a

c=α sen

a

b=α cos

b

c=α tan

β

a

b

= β sen a

c

= β cos c

b

= β tan

Repare que para quaisquer α e β β α cos= sen e α β cos= sen assim, tiramos uma das relações maisimportantes da Trigonometria:

)90cos(sen α α −=

“O seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complementar”

Existem alguns ângulos notáveis e é necessário que todo pré-vestibulando conheça o seno o cosseno ea tangente desses arcos. Veja a tabela abaixo:

Ângulos 0º °30 °45 °60 °90

seno 0 12

22 2

3 1

cosseno 12

3 2

2 21 0

tangente 03

3 1 3 ∞



4

Nível I

P1-) Dados as figuras abaixo, determine o que se pede:

a) o valor de AE; b) o valor de CE;c) o valor de DE;d) o valor de α α α tg sen ,cos, ;

e) o valor de β β β tg sen ,cos, ;

P2-) Dados os grupos de três números abaixo, diga quaisdesses não podem representar lados de triângulos retângulos.

a-) 2,3 e 4 b-) 3, 4 e 5 c-) 6, 7 e 8 d-) 1, 3 e 2 e-) 2, 60 , 8 f-) 6, 8, 10

P3-) Uma mulher sobe numa mesa quando vê um rato nochão. A altura da mesa é de 50 cm e a altura da mulher é de1,50 m. O rato se encontra parado, rindo da cara dela, à 5metros da mesa. Calcule a distância dos olhos da mulher aorato.

P4-) Um poste de luz de 5 metros de altura produz umasombra no chão de 8 metros. Qual a distância da ponta do

poste à ponta da sombra deste no chão?

P5-) A figura mostra a posição de um avião observado a partir de dois pontos, A e B, localizados no solo e distantes 1Km um do outro. Sabe-se que, nesse instante, o avião dista,

respectivamente, 88 km e 9km, dos pontos A e B. Nessascondições, determine a altura do avião, em relação ao solo,no instante considerado.

P6-) (FUVEST) Na figura a seguir o ângulo do vértice B éreto, quanto vale x?

60°

x

B30°

10 cm

C

AD

P7-) Calcule o valor da expressão abaixo:

)89).(cos88)...(cos2).(cos1).(cos0(cos

)90).(89)....(3).(2).(1(22222

22222 sen sen sen sen sen

I =

P8-) Dado o triângulo retângulo ABC. O valor de x + y é:

a) 35 − b) 35 + c) )31(5 −

d) )31(5 + e) 33 −

P9-) Uma roda de bicicleta tem 40cm de diâmtero. Quantasvoltas completas ela dá em 1km ?

GabaritoP1)(a)10 3

3(b) 109 (c) 20 3

3(d) 10 109

109 senα =

3 109cos

109α = 10

3tg α = (e) 3 109

109 sen β = 10 109

cos109

β =

3

10tg β =

P2) a, c P3) 29d = P4) 89d = P5) 6 2 H = P6) 5 3 x = P7)1P8) d P9) 795



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Capítulo III. Círculo Trigonométrico

A circunferência trigonométrica é de extrema importância para o nosso estudo da Trigonometria, pois

é baseado nela que todos os teoremas serão deduzidos.Trata-se de uma circunferência com centro na origem do sistema de eixos coordenados e de raio 1,como é mostrado na figura abaixo:

III.1 – Ângulo central

Qualquer ângulo cujo vértice é o centro da circunferência chamamos de ângulo central. Como exemplotemos o ângulo (AÔB).

III.2 – Unidades de medidas de ângulos;

Existem algumas unidades conhecidas com as quais podemos medir um ângulo. A mais conhecida é o

grau, mas há algumas outras que podem aparecer no nosso vestibular!!!! Vamos entender como cada umadessas unidades foram definidas.

• Grau: Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, ligamos o centro a cada um desses pontosmarcados nessa circunferência. Com essa operação conseguimos determinar 360 ângulos centrais.Cada um desses ângulos é chamado de 1 grau.

• Grado: Da mesma forma que foi feita a definição de um grau, faremos para definir um grado. A únicadiferença entre essas medidas é que para o grau dividimos a circunferência em 360 arcos iguais e parao grado dividiremos essa mesma circunferência em 400 partes iguais.

• Radiano: Outra unidade é chamada de radiano. Essa é uma das mais importantes e é a que maisfaremos uso no nosso curso de trigonometria. Sejamos práticos: Desenhamos no chão umacircunferência de raio r. Agora fazemos uma formiga andar sobre essa circunferência (sobre a curva) oequivalente à r. Marcamos o lugar que ela pára. Agora marcamos o ângulo central que corresponde àesse arco que a formiga andou. Esse ângulo central formado mede 1 radiano (1 rd).

Faça a seguinte experiência!!!! 1. Com o auxílio de um compasso, desenhe uma circunferência de raio R =

10cm.2. Pegue um pedaço de barbante e cubra essa circunferência por inteiro.3. Estique esse barbante e meça o seu tamanho (L) com uma régua.

Os eixos dividem a circunferência em 4 partesiguais denominados quadrantes.Convenciona-se que o sentido anti-horário é o

sentido positivo na circunferência trigonométrica.



6

4. Calcule o valor da razão expressa por R

Lk = .

5. Anote o resultado em uma tabela.

6.

Repita esse procedimento para circunferências de raios 5cm e 8cm.7. Compare a sua tabela com a tabela abaixo.

R = 10cmR

Lk = R = 8cm

R

Lk = R = 5cm

R

Lk =

L = 62,8cm ≈6,28 L = 50,4 cm ≈6,28 L = 31,4cm ≈6,28

Repare que não importa o valor de R que você use, quando você calcular o valor deR

Lk = o resultado

surpreendentemente, é sempre o mesmo e aproximadamente igual à 6,28. Essa constante pode ser calculadacom exatidão, mas para isso é necessário o uso de uma matemática mais pesada, essa constante chamamos de

2π. Assim, o comprimento de qualquer circunferência é dado por L = 2π R. No caso do nosso estudo, o raio vale 1 por definição. Assim, a nossa circunferência mede 2π.

Como foi dito acima, 1(um) radiano é o valor de um ângulo que equivale à um arco que mede r (no nosso casor = 1). Como nossa circunferência mede 2π, cabem nela 2π radianos. Assim, dizemos que na circunferênciainteira temos:

º360 ............equivale à.............2π radianos........... que equivale à...........400 grados

Para efeito de conversões, temos a seguinte relação: gd rad 200º180 ≡≡ π

III.3 – Arcos

Quando marcamos dois pontos A, B sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes.Podemos ainda definir arco como sendo a porção da circunferência delimitada por um ângulo centralqualquer. Veja!!!!

Tanto a parte I como a parte II são chamadas de arcos de circunferência. Se A coincide com B, diz-seque temos o arco nulo (I) e o arco de volta inteira (II).Muito importante: se não for mencionado qual dos arcos se está falando, assume-se que trata-se do menor arco.

III.4 – Unidades de medidas de arcos

Vamos medir um arco:



7

Acabamos de ver que para qualquer circunferência, o seu comprimento é dado pela expressão: RC π 2= . Vamos achar uma expressão que dá o comprimento de um arco sobre uma circunferência de raio R.

Vamos usar uma regra de três:

θ

π π

_____

2 _____ 2

c

R ⇒ θ Rc = , em que c é o comprimento do arco.

OBS.: No caso da circunferência trigonométrica, por definição, ela tem raio 1, logo a expressão acima ficareduzida à: θ =c

III.5 – Expressão geral dos arcos

Imagine a seguinte situação: estamos caminhando sobre uma pista circular, logo, sairemos de um

marco zero e vamos prosseguindo de tal forma que num determinado momento chegamos o mesmo ponto de partida. A posição (sobre a pista circular) é a mesma daquela que começamos a caminhada, porém os arcossão diferentes, pois no início não tínhamos andado nada e agora temos um segundo arco que vale 2π. Veja afigura:

Quando acontecem de termos dois arcos diferentes que terminam na mesma posição da circunferência,dizemos que esses arcos são arcos côngruos.

Ex.:4

9

4

π π e são côngruos.

2

7

2

3 π π e são côngruos.

Assim, podemos ver que qualquer arco β é côngruocom outros infinitos arcos definidos pela soma de β

com múltiplos de 2π, ou seja, se estamos sobre o arco β e andamos mais 2π sobre a circunferência voltamos

para a mesma posição e se andarmos mais 2π voltamosnovamente para a mesma posição original e se formosandando mais múltiplos de 2π estaremos semprevoltando para a mesma posição assim, podemosescrever que qualquer arco côngruo de β é da forma:

Z k k AB ∈+= ),2( π β

.

│k │ é o número de voltas e o sinal de k indica o sentido (horário-negativo ou anti-horário-positivo) do giro.Apresentamos abaixo a figura da circunferência trigonométrica em que são evidenciados os ângulos maisnotáveis expressos em radianos e em graus.



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Nível I

P1-) Determine os menores arcos côngruos dos arcosmostrados abaixo bem como quantas voltas nacircunferência foram dadas para que cada um dessesarcos fossem gerados.

a-) 3000º b-) 5200º c-)3

760π

d-)5

29π e-) 20000º f-)5

2956π

g-) 720º

P2-) Para cada caso abaixo faça a conversão do sistemadado para o indicado.

a-)1000gd ≡ ( ) º b-) 1200º ≡ ( ) rd

c-)10º ≡ ( ) rd d-)120π rd ≡ ( ) gd

e-)200 rd ≡ ( ) gd f-)10º ≡ ( ) rd

g-)1000º ≡ ( ) gd

P3-) Invente um sistema de medidas, em que você vaidividir a circunferência em 70 partes iguais. Deduzauma fórmula para produzir a conversão de graus para oseu sistema de unidades e outra para converter deradianos em seu sistema de unidades.

P4-) Desenvolva um sistema de medida de ângulos emque uma circunferência é dividida em 140 partes iguais.Deduza uma fórmula para a conversão desse novosistema para o sistema grau e para os sistema radiano.

P5-) Um engenheiro civil precisa fazer uma planilha decustos para uma obra e um dos itens a ser resolvido équantos metros de cerca de arame farpado devem ser comprados para cercar o terreno. Sabe-se que o terrenotem a geometria da figura abaixo. O preço por metro decerca é de R$ 3,00. Quanto será gasto nessa cerca?

Dados: 4,12 = , 7,13 = , 2,25 = e 3=π .

P6-) Determine:

a-) sen (2000π) b-) cos

4

17π

c-) tg

4

25π d-) sen

6

25π

e-) cos

6

37π f-) tg

3

55π

g-) sen

2

25π

P7-) Dada uma circunferência de raio R, dê o valor docomprimento do arco compreendido entre os pontos



9

abaixo, em que0θ é o ângulo inicial e

1θ é o ângulo

final.

Sugestão: Calcule o valor de f θ θ θ −=∆ 1 . O valor docomprimento do arco vai ser dado por: θ ∆= Rc

a-)3

0,1 10

π θ θ === e R b-)

34,5 10

π θ

π θ === e R

c-) π θ π

θ 25

3,15 10 === e R d-)

3

5

4

5,5 10

π θ

π θ === e R

e-)3

50,2 10

π θ θ === e R f-)

6

5

4,3 10

π θ

π θ === e R

P8-) Qual o ângulo (em graus) formado pelos ponteirosdo relógio quando ele marca os seguintes horários:

a-) 10:00 h. b-) 10:30 h. c-) 12: 40 h

d-) 1:25 h e-) 3: 37 h f-) 6: 50 h

g-) 7:25 h

P9-) Os arcos cujas medidas algébricas, em radianos,

são os números da forma ,3 4

k x k

π π = + ∈ ,

delimitam na circunferência trigonométrica pontos quesão vértices de um polígono regular de n lados. O valor de n é:

a) 5 b) 6 c) 8

d) 9 e) 10

P10-) Represente, para cada item, em umacircunferência orientada, as extremidades dos arcoscujas expressões gerais são:

a) .90º 45º , x k k = + ∈ b) . ,6

x k k π

π = ± ∈

c) . ( 1) . ,6

k x k k π

π = + − ∈ d) .144º, x k k = ∈

e) .45º 30º , x k k = + ∈ f) . ,2 6

x k k π π

= + ∈

g) . ( 1) . ,3 3

k x k k π π

= + − ∈ g) .180º 30º x k = ±

P11-) O arco de 108º, mede em radianos:a) 0,5π b) 0,6π c) 0,4π d) 0,7π e) 0,8π

P12-) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutosde um relógio em 50 minutos?

a) 16

9

π b) 5

3

π c) 4

3

π

d) 4

2

π e) 3

3

π

P13-) Após às 13h, a primeira vez que os ponteiros dashoras e dos minutos formarão um ângulo de 36º seráàs?a) 1h 10min b)1h 11minc) 1h 12min d) 1h 13mine) 1h 14min

P14-) Determinar a expressão geral dos arcos a sabendo

que 2a + 40º e 50º - 3a são côngruos.

P15-) Determine todos os arcos entre 13

5

π e 47

5

π

côngruos com5

π .

Gabarito

P1)(a) 120º; 3voltas (b)160º; 14voltas

(c) 4

3

π ; 126voltas (d) 9

5

π ; 2voltas (e)200º; 55voltas

(f) 6

5

π ;295voltas (g)0º;2voltas

P2)(a)900º (b) 20

3

π (c)18

π (d)24000gd (e) 40000

π

P3) 7

36

g M = e 35 g

M π

= P4) 18

7

m g = e

70

m g

π =

P5) R$ 105,50 P6) (a)0 (b) 2

2(c)1 (d)0,5 (e) 3

2

(f) 3 (g) 1

P7)(a)3π (b) 5

12π (c) 21π (d) 25

12π (e) 10

3π

(f) 7

4

π

P8) (a)60º (b)45º (c)140º (d)107,5º (e)113,5º (f) 95º(g)72,5ºP9) c P11) b P12) b P13) c P14) 2º 360º .a k = +

P15) 21 31 41, ,

5 5 5

π π π



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IV. Funções Nesse capítulo vamos começar a estudar um pouco sobre essas máquinas (funções) que transformam

um número em outro tipo de número. Essas máquinas podem ser separadas de acordo com um grupo de

características as quais veremos também nesse capítulo.

IV.1 – FunçõesAs funções podem ser vistas como máquinas. Em geral uma máquina manufatureira recebe a matéria

prima e transforma num produto manufaturado. Veja que uma máquina de moer carne transforma carne em pedaços grandes, em carne moída, uma máquina de fazer algodão doce transforma açúcar cristal em algodãodoce. Veja que nesses exemplos a matéria prima faz parte de um tipo de conjunto e o produto manufaturadofaz parte de um outro conjunto. No exemplo da máquina de moer carne a matéria prima faz parte do conjuntoque contêm todos os tipos de carne em pedaço, pois qualquer tipo de carne em pedaços pode entrar nessamáquina e essa vai moê-lo com facilidade já a carne moída, que é o produto, é o que sai da máquina, essa faz parte de um outro conjunto, o conjunto de todos os tipos de carne moída.

Vamos trazer esses exemplos do dia a dia para o nosso contexto. As funções numéricas são máquinasnuméricas, ou seja, são máquinas que transforma números de um certo conjunto em números de outroconjunto.

Veja que aqui nesse exemplo foi colocado na máquina um número “a” (um que possa entrar na máquina) e amáquina devolveu um número “f(a)”. Essa é a principal característica deuma função, ou seja, um certo elemento que entra na função produz apenasum novo elemento. É importante observar que existe um certo conjunto quecontêm todos os elementos que podem entrar na máquina, esse conjunto échamado conjunto DOMÍNIO. Há também o conjunto de todos oselementos que a máquina gera, esse é o conjunto IMAGEM.

Quando nos referimos a uma certa função escrevemos assim:f:A→B. Essa notação quer dizer que a função f é uma que transformaelementos do conjunto A em elementos do conjunto B.

IV.2 – Tipos de funções

Existem alguns tipos particulares de funções e vamos estudá-los a fim de utilizarmos esse conteúdo posteriormente.

• Função par – É toda função que quando aplicamos um número “a” nessa função, ou seja, calculamoso f(a), obtemos um certo valor e quando calculamos o f(-a) obtemos o mesmo valor. Assim:

f(a) = f(-a) Ex. 2( ) f x x= . Para qualquer número “a”: 2( ) f a a= e 2 2( ) ( ) f a a a− = − =

• Função ímpar – É toda função que quando calculamos o f(a) obtemos um certo valor e quandocalculamos o f(-a) obtemos o valor de “–f(a)”. Assim:

f(-a) = - f(a) Ex. 3( ) f x x= . Para qualquer número “a”: 3( ) f a a= e 3 3( ) ( ) f a a a− = − = −



11

V. Funções Trigonométricas

Já vimos no capítulo anterior um breve resumo sobre a definição de função e algumas de suas

características. Nesse capítulo vamos definir outros tipos de funções as quais chamaremos de funçõestrigonométricas.

V.1 – Função seno

No segundo capítulo vimos a definição de seno, que para um ângulo agudo de um triângulo retângulo,

a razãocateto oposto

hipotenusaé equivalente ao seno desse referido ângulo. Vamos nos valer dessa definição para

definir a função seno.Veja na figura ao lado que para um dado ângu

lo x, dentro da circunferênciatrigonométrica, podemos obter um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 1(raio da circunferência trigonométrica) e catetos AB e OB. Vamos calcular o

seno do ângulo x.1

AB senx AB= = . Veja que o valor do cateto AB é o próprio

seno e que quando mudamos o valor de x o cateto AB, o seno, também muda.Assim podemos escrever um expressão para o cateto AB, o seno de x, quedependa do ângulo x. Definimos então a função: ( ) ( ) f x sen x= .

Vejamos algumas particularidades sobre essa função:Conforme x vai aumentando AB também aumenta até que x chegue a valer 90º. Nesse caso AB será igual aoraio da circunferência e então será igual a 1. Quando x ultrapassa 90°, AB volta a diminuir até que x alcance ovalor de 180º onde não haverá mais triângulo e então AB valerá zero. Aumentando ainda mais o valor de x, o

triângulo passa a pertencer ao 3º quadrante e AB torna-se negativo chegando ao mínimo de valer -1 quando xalcança o ângulo de 270º. Quando x ultrapassa esse ângulo de 270º, AB volta a aumentar e vai até zeroquando x alcança um ângulo de volta inteira. Veja que quando x ultrapassar esse ângulo de volta inteira (360º)todo o processo passa a se repetir. Com isso, podemos dizer que o seno é uma função limitada, pois ele variade -1 até 1. Podemos também dizer que a função seno é periódica pois quando x varia de zero até 360º elaadquire uma gama de valores e quando ele ultrapassa 360º ela repete tudo que fez na primeira volta nacircunferência. Vamos aqui utilizar ângulos em radianos. A figura abaixo mostra um gráfico que traz ocomportamento da função seno quando variamos o valor do ângulo x.



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V.1.1 – Particularidades da função senoVimos que por mais que variemos o valor de x entre os números reais, o seno de x está sempre

compreendido entre -1 e 1. Assim, definimos formalmente f: R → [-1, 1] tal que f(x) = sen x.

Da figura temos que, sen x = P1P3 ; Calculamos o valor de sen(-x) = - P1P3 ;Como ∆OP1P3 ≡∆OP1P4 ,→P1P3 ≡ P1P4 . Assim, x x sen)sen( −=− , para todox, logo, f(x) = sen x é uma função ímpar.Assim, podemos resumir três particularidades dessa função, uma que afunção seno é periódica (de período 2π), outra que é função impar e aterceira é que a função seno é limitada (vale no máximo 1 e no mínimo -1).Vejamos em que casos o seno assume valor zero, 1 ou -1:

Forma dos ângulos Valores do seno, x k k Z π = ∈ 0 senx =

(2 ) ,2

k k Z π

π = + ∈ 1 senx =

(2 ) ,2

k k Z π

π = − ∈ 1 senx = −

V.2 – Função cosseno;

No segundo capítulo vimos a definição de cosseno, que para um ângulo agudo de um triânguloretângulo, a razão

cateto adjacente

hipotenusaé equivalente ao seno desse referido ângulo. Vamos nos valer dessa

definição para definir a função cosseno.Veja na figura ao lado que para um dado ângulo x, dentro da circunferênciatrigonométrica, podemos obter um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 1(raio da circunferência trigonométrica) e catetos AB e OB. Vamos calcular o

cosseno do ângulo x. cos1

OB x OB= = . Veja que o valor do cateto OB é o

próprio cosseno e que quando mudamos o valor de x o cateto OB, o cosseno,também muda. Assim podemos escrever um expressão para o cateto OB, o

cosseno de x, que dependa do ângulo x. Definimos então afunção: ( ) cos( ) f x x= .Vejamos algumas particularidades sobre essa função:

Quando x é igual a zero veja que não existe triângulo e OB é igual ao raio que vale 1 (por definição).Conforme x vai aumentando OB diminui até que x chegue a valer 90º. Nesse caso OB será igual a zero.Quando x ultrapassa 90°, OB continua a diminuir até que x alcance o valor de 180º onde não haverá maistriângulo e então OB valerá -1. Aumentando ainda mais o valor de x, o triângulo passa a pertencer ao 3ºquadrante e OB que já era negativo vai aumentando até valer zero, quando x alcança o ângulo de 270º.Quando x ultrapassa esse ângulo de 270º, OB volta a aumentar e vai até 1 quando x alcança um ângulo devolta inteira. Veja que quando x ultrapassar esse ângulo de volta inteira (360º) todo o processo passa a serepetir. Com isso, podemos dizer que o cosseno é uma função limitada, pois ele varia de -1 até 1. Podemostambém dizer que a função cosseno é periódica pois quando x varia de zero até 360º ela adquire uma gama de



13

valores e quando ele ultrapassa 360º ela repete tudo que fez na primeira volta na circunferência. Vamos aquiutilizar ângulos em radianos. A figura abaixo mostra um gráfico que traz o comportamento da função cossenoquando variamos o valor do ângulo x.

Conforme vimos, a função cosseno atinge o seu máximo quando OB = OC = 1. Assim -1≤ cos x ≤ 1, para todo x pertencente a R. Definimos f: R → [-1, 1] tal que f(x) = cos x. Vejamos o seu gráfico.

V.2.1 – Particularidades da função cosseno

Vimos que por mais que variemos o valor de x entre os números reais, o cosseno de x está semprecompreendido entre -1 e 1. Assim, definimos formalmente f: R → [-1, 1] talque f(x) = cos x.

Da figura temos que, cos x = OP1; Calculamos o valor de cos(-x) = OP1, poisos triângulos 3 1OP P e 4 1OP P são congruentes pelo caso ângulo, ângulo, lado

em comum. Assim, cos( ) cos x− = , para todo x, logo, f(x) = cos x é umafunção par.Assim, podemos resumir três particularidades dessa função, uma que afunção cosseno é periódica (de período 2π), outra que é função par e aterceira é que a função seno é limitada (vale no máximo 1 e no mínimo -1). Na tabela abaixo está sendo mostrado em que casos o cosseno assume valor zero, 1 ou -1:

Forma dos ângulos Valores do cosseno(2 ) ,k k Z π π = + ∈ cos 1 x = −

(2 ),k k Z π = ∈ cos 1 x =

,2

k k Z π

π = + ∈ cos 0 x =



14

Nível I01) Determine todos os valores de m para que

2 senx m= − e 2cos 2 m= − .

02) Determinar os valores de n para que a expressão2 1 I n= − seja um valor de seno de um número real.

03) Determinar os valores de m para que a expressão21 3 I n= − seja um valor de cosseno de um número

real.

04) Quantas e quais as soluções entre o intervalo

[ ]0,2π a equação senx = 0 admite?

05)Quantas e quais as soluções entre o intervalo

[ ]0,2π a equação cos 1= admite?

06)Quantas e quais as soluções entre o intervalo

[ ]0,2π a equação cos3 1 x = − admite?

07)(UNITAU-95) Indique a função trigonométrica f(x)de domínio R; Im=[-1, 1] e período π que érepresentada, aproximadamente, pelo gráfico a seguir:a) y = 1 + cos x. b) y = 1 - sen x.c) y = sen (-2x).d) y = cos (-2x).e) y = - cos x.

08)(FUVEST-96) A figura a seguir mostra parte do

gráfico da função:a) sen x b) 2 sen (x/2) c) 2 sen xd) 2 sen 2x e) sen 2x

09) (FATEC-97) Considerando as funçõestrigonométricas definidas por f(x) = 2senx, g(x) = sen2xe h(x) = 2 + senx, tem-se

a) f(x) > h(x), para todo x ∈ IR. b) g(x) ≤ h(x), para todo x ∈ IR.

c) f(x) e g(x) têm períodos iguais.d) f(x) e h(x) têm períodos diferentes.e) g(x) ≤ senx ≤ f(x), para todo x ∈ IR.

Nível II

01) (FUVEST) O ângulo agudo formado pelos ponteiros de um relógio à 1 hora e 12 minutos é :a) 27o b) 30o c) 36o

d) 42o e) 72o

02) (PUC) Sendo θ um ângulo agudo, então (5π/2 - θ) pertence a qual quadrante :a) 1º b) 2º c) 3º d) 4o e) n.d.a.

03) (PUC) Todos os valores de x, de modo que a

expressão3

12sen

−=

xθ exista, são :

a) –1 ≤ x < 1 b) –1 < x ≤ 0c) –1 ≤ x ≤ 2 d) –1 ≤ x ≤ ½e) –1 ≤ x < 1/3

04) (CESCEM) Se x ∈ ] π; 3π/2[ e cos x =2k-1, então k varia no intervalo:a)]-1,0[ b) [-1,0[ c) ]0, ½[d) ]0,1[ e) ] ½ ,1[

05) (PUC) O valor numérico da expressão :y = cos 4x + sen 2x + tg 2x – sec 8x para x = π/2 é:a) 2 b) 1 c) 3d) 0 e) 4

06) (CESCEM) O menor valor que assume a expressão

(6 - senx), para x variando de 0o

a 360o

é:a) 7 b) 6 c)5d) 1 e) -1

07) (CESCEM) Os quadrantes onde estão os ângulos α,β e θ tais que :sen α < 0 e cos α < 0cos β < 0 e tg β < 0sen θ > 0 e cotg θ > 0 são respectivamente :a) 3o, 2o, 1o b) 2o, 1o, 3o c) 3o, 1o, 2o d) 1o, 2o, 3o

e) 3o, 2o, 2o



15

08) (CESCEA) Seja A ⊂ B, B = {x∈R| 0 ≤ x ≤ 2π} o

domínio da função f, dada por: f x x

x( )

sen

sen=

−+

1

1

2

.

Então, A é igual a :a) {x∈B| x ≠ π/2 e x ≠ 0 } b) {x∈B| x ≠ π }c) {x∈B| x ≠ 3π/2 }d) {x∈B| x = 3π/2 }

09) (CESCEA) As raízes da equaçãox2 – (2 tg a)x – 1 = 0 são :

a) tg a ± cossec a b) tg a ± cos ac) tg a ± seca d) não sei

10) (CESCEM) O seno de um dos ângulos agudos de

um losango é igual a ½ portanto a tangente do maior ângulo interno é :

a) –1 b) − 3

2c) − 3

3

d) 3

3e) 3

2

11) (MACK) Sendo 4sen x = 3 cos x , para qualquer valor real de x então tg x vale :a) ¾ b) 4/3 c) 1d) – ¾ e) – 4/3

12) (FUVEST) O menor valor de 13 − cos x , com x real,

é :a) 1/6 b) ¼ c) ½d) 1 e) 3

13) (FUVEST) Dado o ângulo α = 1782o , então :a) sen α = - sen 18o; cos α = cos 18o; tg α = - tg 18o.

b) sen α = - sen 18o; cos α = - cos 18o; tg α = - tg 18o.

c) sen α = sen 18o; cos α = cos 18o; tg α = tg 18o.

d) sen α = sen 18o; cos α = - cos 18o; tg α = tg 18o.

e) sen α = sen 18o; cos α = cos 18o; tg α = - tg 18o.

14) (MACK) Assinale a alternativa correta :a) sen 1 > sen 3 b) sen 3 < sen 5 c) sen 5 >sen 6 d) sen 6 > sen 7 e) sen 7 > sen π/2

15) (FATEC) Se x é um número real tal quesen2x – 3sen x = - 2, então x é igual a :a) π/2 + hπ, h ∈ Z b) 3π/2 + hπ, h ∈ Zc) 3π/2 + h2π, h ∈ Z d) π/2 + h2π, h ∈ Ze) π/4 + hπ, h ∈ Z

16) (GV) O menor real positivo que satisfaz a equação2sen2x – 3cos x − 3 = 0 é :a) π b) 8π/3 c) 3π

d) 14π/3 e) nda17) (FEI) Se 0 < x < π/4, é válido afirmar-se que:a) sen (π/2 - x) = sen x b) cos (π - x) = cos xc) sen (π + x) = sen xd) sen (π/2 - x) = cos xe) cos (π + x) = sen x

18) (UNAERP) Sendo sen x = ½ ; x∈Q, o valor daexpressão (cos2 x). (sec2 x) + 2senx é:a) zero b) 1 c) 3/2

d) 2 e) 3

19) (CESGRANRIO)O número de raízes reais daequação

3/2 + cosx = 0 é:a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) maior do que 3

GABARITO

Nível I

01)5

4m = 02) 0 1n≤ ≤

03)6 6

3 3n ou n≥ ≤ −

04) 3 soluções 05) 2 soluções06) 3 soluções 07)C 08)B 09)B

Nível II

01) C 02) A 03) C 04) C 05) D 06) C 07) A08) C 09) C 10) C 11) A 12) B 13) A 14) A15) D 16) E 17) D 18) D 19) A 20) D



16

VI. Funções Complementares

VI.1 – Função Tangente;

Definimos como tangente a função dada pela seguinte relação:

x

xtgx

cos

sen=

Vamos analisar o seu domínio. Comotemos um cosseno no denominador, temos queassegurar que esse cosseno nunca seja zero, casocontrário se teria uma operação proibida namatemática, que é a divisão por zero. Do capítuloanterior vimos que o cosseno é zero apenas nos

ângulos da forma ,2

k k Z π

π + ∈ . Assim, podemos

dizer que a função tangente é definida em todos osreais exceto nos ângulos que zeram o cosseno.Logo, definimos formalmente:

: \ ,2

f k k Z π

π + ∈ →

tal que ( ) f x tgx= .

A respeito da sua paridade, temos que a funçãotangente é ímpar, pois é a razão de uma funçãoímpar com uma função par. Como fazem parte doseu domínio ângulos da circunferênciatrigonométrica, a partir do ângulo 180º tudo serepete, isso caracteriza a função tangente com umafunção periódica. Segue a baixo o gráfico dafunção tangente.

VI.2 – Função Secante;

Definimos como secante como sendo afunção dada pela seguinte relação:

1sec

cos x

x=

Vamos analisar o seu domínio. Comotemos um cosseno no denominador, temos queassegurar que esse cosseno nunca seja zero, casocontrário, teria uma operação proibida namatemática, que é a divisão por zero. Do capítuloanterior vimos que o cosseno é zero apenas nos

ângulos da forma ,2

k k Z π

π + ∈ . Assim, podemos

dizer que a função secante é definida em todos osreais exceto nos ângulos que zeram o cosseno.Logo, definimos formalmente:

: \ ,2

f k k Z π

π + ∈ →

com ( ) sec x x= .

A respeito da sua paridade, temos que a funçãosecante é par, pois é proporcional ao inverso do

cosseno, apenas, que é uma função par. Comofazem parte do seu domínio ângulos dacircunferência trigonométrica, a partir do ângulo360º tudo se repete, isso caracteriza a funçãosecante com uma função periódica. Segue a baixoo gráfico da função secante.

VI.3 – Função Cossecante;

Definimos cossecante como sendo a funçãoque é dada pela relação:



17

1cossec x

senx=

Vamos analisar o seu domínio. Comotemos um seno no denominador, temos queassegurar que esse seno nunca seja zero, casocontrário terá uma operação proibida namatemática, que é a divisão por zero. Do capítuloanterior vimos que o seno é zero apenas nosângulos da forma ,k k Z π ∈ . Assim, podemosdizer que a função cossecante é definida em todosos reais exceto nos ângulos que zeram o cosseno.Logo, definimos formalmente:

{ }: \ , f k k Z π ∈ → tal que ( ) cossec f x x= .A respeito da sua paridade, temos que a funçãosecante é ímpar, pois só depende (de maneirainversamente proporcional) do seno, que é umafunção ímpar. Como fazem parte do seu domínioângulos da circunferência trigonométrica, a partir do ângulo 360º tudo se repete, isso caracteriza afunção cossecante com uma função periódica.Segue a baixo o gráfico da função cossecante.

VI.4 – Função Cotangente;Definimos como cotangente como sendo a

relação expressa por:

coscot

x gx

senx=

Vamos analisar o seu domínio. Comotemos um seno no denominador, temos queassegurar que esse seno nunca seja zero, casocontrário teria uma operação proibida namatemática, que é a divisão por zero. Do capítuloanterior vimos que o seno é zero apenas nosângulos da forma ,k k Z π ∈ . Assim, podemos

dizer que a função cotangente é definida em todosos reais exceto nos ângulos que zeram o seno.Logo, definimos formalmente:

{ }: \ , f k k Z π ∈ → , tal que, ( ) cot f x gx= .A respeito da sua paridade, temos que a

função cotangente é ímpar, pois se trata de umarazão entre funções par e ímpar. Como fazem partedo seu domínio ângulos da circunferênciatrigonométrica, a partir do ângulo 180º tudo serepete, isso caracteriza a função cotangente comuma função periódica. Segue a baixo o gráfico dafunção cotangente.

VI.5 – Resumo dos períodos das funçõescomplementares;

A tabela abaixo mostra como se comportamos períodos das funções complementares, tendo por base os seus gráficos. Admitirmos que essasfunções sejam periódicas é um tanto quanto óbvio, pois como vimos elas dependem diretamente dasfunções seno e cosseno que apresentam períodos bem definidos.

Função Períodotangente π

secante 2π

cossecante 2π

cotangente π



18

VI.6 – Relação Fundamental da Trigonometria;Da figura acima, como o triângulo ∆OP1P3

é retângulo de lados sen(x), cos(x) e 1, podemos

aplicar o teorema de Pitágoras. Daí temos aseguinte relação:

1sencos 22 =+ x x

Esta relação é uma das mais importantes datrigonometria e é conhecida como RelaçãoFundamental.

VI.7 – Relações Decorrentes;

A partir da relação fundamental datrigonometria, podemos desenvolver duas outrasrelações muito importantes que serão muito úteis para a resolução de exercícios de maiores graus dedificuldade: Veja!!!!Sabe-se que: 1sencos 22 =+ x x (I) , ℜ∈∀ x .

1. Seja 0cos ≠ x . Dividindo (I) por x2cos temos:

x xtg 22 sec1 =+

2. Seja 0sen ≠ x . Dividindo (I) por x2sen temos:

x x g 22 seccos1cot =+

VI.8 – Localização da tangente, da secante, dacossecante e da cotangente no circulotrigonométrica;

Onde estão a tangente, secante, cossecante

e a cotangente no círculo trigonométrico?

1. C P tgx 2= ;

2. 2sec OP x = ;

Veja graficamente, que

podemos estabelecer uma desigualdade importantíssima:

1 1 2 2 sen sec PB PC P C P O x x tgx x< < < ⇒ < < <

3. 2cot DP gx = ;4. 2seccos OP x = ;

Nível I

1-) Simplifique as expressões abaixo:

a-) x sen x senx

x sen32

2

cos + b-)

x x sen x

x xsen x

coscos

coscos23

2

+

−

c-) x sen x x sen

x sen xtg 422

22

cos +

−

2-) (UFRJ – 2000) Sejam O = ( 0 , 0 ) , P = ( 5 , 2 ) e P'= ( 2 , 5 ) . Girando em torno de O, no sentidotrigonométrico (anti-horário), o segmento OP de umcerto ângulo q, o ponto P transforma-se no ponto P’.Determine cosq.

3-) (UFES – 2002). Os valores ℜ∈ x , para os quais a

expressão é o seno de um ângulo, são

4-) (UFBA – 1999) As expressões

x x sen x

x4244

4

1 cos

1Ee

cos

tg1E =

−−

= são equivalentes.

Justifique.

5-) (UFCE) Supondo tg a definida , calcule o valor daexpressão: ( 1 - sen2 a). ( 1 + tg2 a ) é igual a:

6-) Calcule o valor numérico de I tal que:

( ) º18cos30º2260cosº22cos

º18º30cosº30cos23232

2

sen sen

sen I

+

−=

7-) Calcule o valor numérico de I tal que:( )

( ) º79cos30º63cos60cosº27cos

º79º360cosº360cos422222

2

sen

sen I

nn

+

−=



19

8-) Determine o período e calcule os valores máximos emínimos das funções abaixo:

a-) senx x f 2)( = b-) senx x f 52)( +=

c-) x sen x f 234)( −= d-)2

5)(x

sen x f =

e-) x sen x f 3)( π = f-)3

2)(x

sen x f π =

9-) Determine os valores máximos e mínimos dasfunções abaixo:

a-) ( )37)( x sen x f = b-) ( )kx sen x f log2)( π =

c-)

−=

−

2

10)( x x ee

sen x f d-) ( )3cos2)( −= x x f

e-) ( )1cos2

)( −= x xe

n x f

π π f-) senx x f 7 2)( π =

g-) ( )( )tgx sen x f log2)( = h-)30!cos

( )cot

x f x

gx=

i-) ( ) 102

f x senπ =

k-) ( ) 10cos( ) f x π =

10-) Analise as funções e diga se essas são pares,ímpares ou nem pares e nem ímpares:

a-) x senx x f cos2)( = b-) xtgx

senx x f

cos

2)( =

c-) x senx

xtgx x sen x f

2

3

cos1

cos)(

−+=

π d-) xsenx x f =)(

e-) xtgxsen x f 34)( = f)2

cos( )

1

xtgx f x

sen x

π =

−

g-)2 2

cos sec( )

1

x x f x

sen x cotg x

π =

+g)

21 cos( )

2

x f x

−=

11-) Simplifique as expressões expressando-as apenasem função de senos e cossenos.

a) xtgx

x sen

cos

2

b)( )( )( )( ) xtg x

x x sen22

32

sec

cos

c)( )( ) x x

x g

cosseccos

cot5

2

d)tgx x

x sen32

2

)cos1( −

e)( )( )

2

5 2

( 1)

cossec cos (1 cos )

cotg x

x x

+

−

12-) Esboce os gráficos das funções abaixo:

a) senx x f 3)( = b) senx x f 21)( += c) senx x f 21)( −= d) x x f 2cos2)( =

e) x sen x f 22)( −= f)

+=

23)( π x sen x f

g)

−+=

2cos2)(

π x x f h) ( ) 1 cos

2 f x x

π = − −

13) (FUVEST) Na figura a seguir, a reta r passa pelo ponto T = (0,1) e é paralela ao eixo Ox. A semi-reta Otforma um ângulo α com o semi-eixo Ox (0° < α < 90°)e intercepta a circunferência trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, respectivamente.A área do triângulo TAB, em função de α, é dada por:

a) (1 - senα)/2. cosα b) (1 - senα)/2. senα c) (1 - senα)/2. tgα d) (1 - senα)/2. cotgα e) (1 - senα)/2. secα

GABARITO

Nível I

1) (a) senx (b) 2cos x (c) 2tg x

2) 20cos 29q = 3) 12 x ≥ − 5) 1

6) 4 3 7) 168) (a) 2 P π = ; Max = 2; mim = -2

(b) 2 P π = ; Max = 7; mim = -3(c) P π = ; Max = 7; mim = 1(d) 4 P π = ; Max = 5; mim = -5

(e) 2

3 P

π = ; Max = π; mim = -π

(d) 6 P π = ; Max = 2π; mim = -2π

9) (a)ímpar (b)constante (c)ímpar (d)par



20

(e)par (f) ímpar (g)ímpar (h)ímpar

10) (a) Max = 7; mim = -7(b) Max = 2π; mim = -2π (c) Max = 10; mim = -10(d) Max = 2; mim = -2

(e) Max =2

n

π ; mim =

2

n

π −

(f) Max = 7 2π ; mim = 7 2π (g) Max = 2; mim = -2(h) Max = 30!; mim = -30!(i) Max = 10; mim = -10(j) Max = -10; mim = -10

11) (a) senx (b) 7cos x (c) 3 cos sen x x

(d) 5cos sen x (e) cos senx x

13) C



21

VII. Operações com Somas e Subtrações

Para o aprofundamento do estudo detrigonometria, faz-se necessário o desenvolvimentode novas relações que envolvam seno, cosseno etangentes de soma e subtração de ângulos. Anecessidade desses desenvolvimentos se dá, principalmente, quando estudamos equações queenvolvem termos trigonométricos. A partir deagora estaremos colocando uma série dedemonstrações e vamos utilizar alguns conceitosde geometria analítica. Acompanhe o raciocínioabaixo:

Vamos achar a expressão de cada ponto dodesenho acima.

1 2

3

4

(cos( ),sen( )) (1,0)

(cos ,sen )

(cos( ),sen( ))

P P

P

P

β β

α α

α β α β

− −

+ +

Como sabemos que, numa circunferência, ângulosiguais subentendem arcos iguais, temos:

2 4 1 3 P P P P =

Assim:1 3

2 2 2( ) (cos cos ) ( sen sen ) P P d β α β α = − + − − =

= 2 2sen sen 2cos cosα β α β + −

2 4

2 2 2( ) (1 cos( )) (0 sen( )) P P d α β α β = − + + − + =

2 2cos( )α β = − + 2)(

42 P P d = ⇒2)(31 P P d

)cos(22 β α +− = β α β α coscos2sensen22 −+ assim chegamos que:

β α β α β α sensencoscos)cos( −=+

Para calcular )cos( β α − basta substituir β por )( β − e utilizar a paridade das funções seno e

cosseno. Logo chegamos que:

β α β α β α sensencoscos)cos( +=−

Sabendo que sen( )α β + = cos ( )2

π α β

− + =

=cos2

π α β

− −

aplicamos a formula acima,já

demonstrada. Veja que:

cos cos cos2 2

senα

π π α β α β

− − = − +

64748

cos

2 sen sen

β

π

α β

+ − = 14243 cos cos sen senα β β α + .

Assim:

α β β α β α cossencossen)sen( +=+

Para calcular ( ) sen α β − basta substituir β por )( β − e utilizar a paridade das funções seno e


α β β α β α cossencossen)sen( −=−

Vamos calcular )( batg + :



22

=++

=+)cos(

)sen()(

β α

β α batg

sen cos sen cos

.cos cos sen sen

α β β α

α β α β

+

− Dividindo toda a fração pelo produto cos cosα β , temos:

( )tg a b+ =

sen cos sen coscos cos cos coscos cos sen sencos cos cos cos

α β β α

α β α β

α β α β

α β α β

+=

−

.1

tg tg

tg tg

α β

α β

+=

−

Assim,

tgatgb

tgbtgabatg

−+

=+1

)(

Para calcular ( )tg α β − basta substituir β por )( β − e utilizar a paridade das funções seno e


( )1tga tgbtg a b

tgatgb−− =

+

Utilizando as fórmulas demostradas acima, vamoscalcular alguns resultados muito importantes quenos pouparão tempo em resolução de determinadasquestões:

a) sen(2 ) ( ) sen cos cos x sen x x x x senx x= + = + =

sen(2 ) 2 cos x senx x=

b) cos(2 ) cos( ) .cos . x x cox x senx senx= + = − =

2 2cos(2 ) cos x x sen x= −

Da relação fundamental temos que:2 2cos 1 sen x x= − . Substituindo na expressão

acima temos uma segunda maneira de escrever ocos(2 ) .

2cos(2 ) 1 2 x sen x= −

Podemos ainda substituir na expressão acima arelação fundamental 2 2sen 1 cos x x= − . Com essasubstituição chegamos em uma terceira maneira deescrever o cos(2 ) x .

2cos(2 ) 2cos 1 x x= −

c) (2 ) ( )1 .

tgx tgxtg x tg x x

tgx tgx

+= + = =

−

2

2(2 ) 1

tgxtg x tg x= −

Desenvolvendo as expressões do cos(2 ) ,demonstradas acima, chegamos nas seguintesrelações:

2

)2cos(1sen 2 x

x−

=

2

)2cos(1cos2 x

x+

=

No capítulo que envolve a resolução de equaçõestrigonométricas, veremos a necessidade de se ter expressões de seno, cosseno e tangente em funçãode uma única linha trigonométrica. Vamos então

expressar tgxe x x cos,sen em função de

2

xtg :

a) sen 2sen cos2 2

x x

=

. Vamos multiplicar e

ao mesmo tempo dividir essa equação por

2sec2

.



23

2

2

2

12

sec2

2sen cos .2 2

sec 2 x

tg

x

x x senx

x

+

= = 14243

2

2

2 2

sec

2sen cos .sec 22 2 2 2

1 12 2

x

x x xtg

x xtg tg

= =

+ +14243

2

2

21

2

tg

senx xtg

=+

Utilizando o mesmo raciocínio chegamos que:

21

21

cos2

2

xtg

xtg

x

+

−=

Aplicando a fórmula da tangente de (2a), temos:

21

22

2 xtg

xtg

tgx

−=

Nível I

1-) Calcule:

a) º75 sen b) ( )º5,22 sen c) º120 sen d) º15 sen e) º105 sen f) º75cos g) º105cos h) )º5,22cos( i) º15cos j) º75tg l) º15tg m) ( )º5,22tg

2-) Determine entre que valores a variável m podevariar para que as igualdades abaixo façam sentido.a) (2 1) 3 5 sen x m+ = − b) ( 3) 1 sen x m− = −

3-) Os valores de x que satisfazem, ao mesmo

tempo, as equações 1 sena x= − e cos 2a x= − são:a)0 e -1 b)0 e 1 c)1 e 2d)1 e -2 e)nda

4-)Dado que 3 1

27 sen x = , com 0

2 x

π < < , o valor

de 3cos é:

a) 2627 b) 827 c) 1627

d)16 2

27e)

1

3

5-) Verifique as identidades abaixo:

a)2

2

.cos .

(1 cos )

sen x x tgx senx

x=

−

b)2

2

.cos .

(1 )

sen x x cotgx senx

sen x=

−

c)2 2

2

sec .cos .(1 ). cos

x x tgx sen x

tg x cotgx x=

+

d)2 2 2

2 22 2

( ).cos( ). ( )( )

(1 cos ( )) ( )

sen x y x cotg xcotg x

x y sen x

−=

− −

e) 2 2 2 2.cos coscotg a a cotg a a= −

f) 2 2(1 ) .(1 ) 0tga cotg a cotga tg a− + − =

g) 2 2 2 2sec sectg a tg b a b− = −

h)2

2

1cos2

1

tg x x

tg x

−=

+

i)3

3

2

2cos cos

sena sen atga

a a

−=

−

Nível II

01) (FEI-95) Se cosx = 0,8 e 0< x < π/2 então ovalor de sen2x é:a) 0,6 b) 0,8 c) 0,96d) 0,36 e) 0,49

02) (FUVEST-95) Considere um arco AB de 110°

numa circunferência de raio 10cm. Considere, a



24

seguir, um arco A'B' de 60° numa circunferênciade raio 5cm.Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do

arco A'B', obtém-se:a) 11/6 b) 2 c) 11/3d) 22/3 e) 11

03) (MACK-96) Se sen x = 4/5 e tg x < 0, então tg2x vale:a) 24/7 b) -24/7 c) -8/3d) 8/3 e) -4/3

04) (FEI-94) Se cotg(x) + tg(x) = 3, então sen(2x)é igual a:

a) 1/3 b) 3/2 c) 3d) 2/3 e) n.d.a.

05) (FUVEST-94) O valor de (tg 10º + cotg 10º).sen 20º é:

a) ½ b) 1 c) 2d) 5/2 e) 4

06) (CESGRANRIO-95) Se senx - cosx = 1/2, ovalor de senx. cosx é igual a:a) -3/16 b) -3/8 c) 3/8

d) ¾ e) 3/207) (FATEC-95) Se sen 2x = 1/2, então tg x + cotgx é igual a:a) 8 b) 6 c) 4d) 2 e) 1

08) (FUVEST-89) A tangente do ângulo 2x é dadaem função da tangente de x pela seguinte fórmula:tg 2x = 2 tgx/(1 - tg2x).Calcule um valor aproximado da tangente do

ângulo 22°30'.a) 0,22 b) 0,41 c) 0,50d) 0,72 e) 1,00

09) (MACK) O valor de x

x y

o

cos

)45sen(.2 += , x ≠ π/2 +

k π, k ∈Z, é :a) sec x. sen x + 1 b) tg xc) sen x + cos x d) sec x – tg xe) 1 + sec x

10) (UNICAMP-95) Encontre todas as soluções dosistema:

sen (x + y) = 0 e sen (x - y) = 0que satisfaçam 0 ≤ x ≤ π e 0 ≤ y ≤ π.

11) (FUVEST-93 - Adaptada) O valor máximo de:f(x, y) = 3cos x + 2sen y é:

a)2

2 b) 3 c) 52

2 d) 13

e) 5

12) (FATEC-96) Se x - y = 60°, então o valor de(senx + seny)2 + (cosx + cosy)2 é igual a:a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

13) (FGV-94) Reduza à expressão mais simples possível:a) (cos 15° + sen 15°)2;

14) Dado que sen x. cos x = m, calcule o valor de:y = sen4 x + cos4 x e z = sen6 x + cos6 x, em funçãode m.

15-) Calcule o valor numérico de I tal que:( )

( ) º79cos30º63cos60cosº27cos

º79º360cosº360cos422222

2

sen

sen I

nn

+

−=

16-) Elimine x do sistema.

a)sec

sec

tgx x m

x tgx n

+ =

− =b)

(2 ) cos(2 )

cos(2 ) (2 )

sen x x m

sen x n

+ =

− =

c)21 (2 )

s cos

sen x m

enx x n

− =

+ =d)

22cos 1

s cos

x m

enx x n

− =

− =

17-) Verifique as identidades abaixo:a) 2 4 42 1 cos sen x sen x x− = −

b)

2 2 2 2

(2 cos )(2 ) (1 2 )(2 )tg x tg x sen x− + = + −

GABARITO

Nível I

1)(a)2 6

4

+(b) 2 2

2

− (c)3

2

(c)6 2

4

−(e)

2 6

4

+(f)

6 2

4

−

(g)2 6

4

−(h) 2 2

2

+ (i)2 6

4

+



25

(j) 2 3+ (l) 2 3− (m) 2 1−

2)(a)4

23

m≤ ≤ (b) 0 2m≤ ≤

3) C 4)D

Nível II

01) C 02) C 03) A 04) D 05) C 06) C 07) C08) B 09) A 10) S = { (0, 0), (0, π), (π, 0), (π,π),(π/2, π/2) } 11) E 12) D 13) a) 3/2; b) 1

14) y = 1 − 2m2

; z = 1 − 3m2

15)

VIII. Transformações

VIII.1 – Transformação de soma de senos emproduto;

Nessa seção vamos ver como fazer transformações que simplificam muitos problemasno momento em que aparece soma de senos.Muitas vezes transformar essas somas em produtossimplifica as coisas.

sen sen ?a b+ = Vamos chamar a p q= + eb p q= − . Resolvendo o sistema abaixo temos:

a p q

b p q

= +

= − 2 2

a b a b p e q

+ −⇒ = =

sen( ) sen( ) p q p q+ + − = (sen cos sen cos p q q p+ )(sen cos sen cos p q q p+ − ) = 2sen cos p q . Como

22

baqe

ba p

−=

+= , ao substituir na

expressão acima chegamos à:

).2

cos()2

sen(2sensenbaba

ba−+

=+

VIII.2 – Transformação de diferença de senosem produto;

No caso da diferença de senos temos:

sen( ) sen( ) p q p q+ − − = ( sen cos p q cos ) senq p+

( sen cos p q− cos ) senq p− = 2 sen cosq p

Como22

baqe

ba p

−=



)2cos()2sen(2sensen

baba

ba

+−

=−

VIII.3 – Transformação de soma de cossenos emproduto;

cos cos ?a b+ = Vamos chamar a p q= + eb p q= − . Resolvendo o sistema abaixo temos:

a p q

b p q

= +

= − 2 2

a b a b p e q

+ −⇒ = =

cos( ) cos( ) p q p q+ + − = (cos cos sen sen p q q p− )

(cos cos sen sen p q q p+ + ) = 2 cos cos p q . Como

22

baqe

ba p

−=



)2

cos()2

cos(2coscosbaba

ba−+

=+

VIII.4 – Transformação de diferença decossenos em produto;

Queremos: cos cos ?a b− = Vamos chamar a p q= + e b p q= − . Resolvendo o sistemaabaixo temos:

a p q

b p q

= +

= − 2 2

a b a b p e q

+ −⇒ = =

cos( ) cos( ) p q p q+ − − = ( cos cos p q sen sen )q p−

( cos cos p q− sen sen )q p+ = 2 sen senq p− .



26

Como22

baqe

ba p

−=



)2

sen()2

sen(2coscosbaba

ba−+

−=−

VIII.4 – Fazendo o processo inverso;

Muitas vezes temos que fazer o processo inverso,

ou seja, transformar produtos de linhastrigonométricas em somas ou diferenças. A técnica para esse processo é semelhante à usada acima.Vamos chamar a p q e b p q= + = − . Resolvendoesse sistema, temos que:

. :2 2

a b a b p e q OBS p q

+ −= = > . Fazendo a

substituição na formula da soma de senos, temos:

( )1

sen cos sen( ) sen( )2

q p q p q= + + −

Adotando o mesmo raciocínio, temos as expressõesabaixo:

( ))sen()sen(2

1cossen q pq p pq −−+=

( ))cos()cos(2

1

coscos q pq pq p −++=

( )1

sen sen cos( ) cos( )2

q p q p q= − + − −

Nível I1-) Calcule x sen4 em função de x sen2 e cos 2 x.

2-) Calcular x sen3 em função de senx e xcos .

3-) Calcule cos 4 x em função de x sen2 e cos 2 x.

4-) Calcule tg6x em função de tg3x.

5-) Calcule sen(6A) em função de sen(3A) ecos(3A).

6-) Transforme em produto as expressões:a) x sen x sen 35 + b) x sen x sen 73 +

c) x sen x sen 35 − d) x sen x sen 28 − e) x x 11cos7cos + f) x x 3coscos + g) x x 2cos4cos − g’) x x 5cos9cos −

h) x2cos4

cos −

π i)

−4

5cos4cos

π x

j)

++2

24cosπ

x sen x k)

+2

8cosπ

sen x

l)

+−2

35cosπ

x sen x m) x sen x 59cos +

n) ++ − 6763π π

x sen x sen

o)

++

−6

7cos6

3cosπ π

x x

p)

+−

−6

76

3π π

x sen x sen

q)

+−

−6

7cos6

3cosπ π

x x

7-) Calcule x sen2 em função de

2

xtg .

8-) Calcule x2cos em função de

2

xtg .

9-) Calcule xtg 2 em função de

2

xtg .

10-) Calcule x2sec em função de

2

xtg .

11-) Calcule xcot em função de

2

xtg .

12-) Calcule x sen4 em função de tgx .



27

13-) Calcule x4cos em função de tgx .

14-) Simplifique as expressões abaixo:

a) x sen sen x x

535cos3cos

+− b)

sen sen x x62

cos7cos+−

c) senx x sen

x x

−+

9

6cos4cosd)

senx x sen

x x

−+

7

6cos2cos

e))2(

6cos4cos

x sen

x x +f)

−

2

5cos2

6cos4cos

x

x x

g)

−

2).4(

7cos9cos

x sen x sen

x xh)

senx x sen

x x sen

−

9

2

5cos)2(4

15-) Faça o processo inverso, ou seja, transformeos produtos em soma ou diferenças.a) ( ) ( ) x x sen 3cos42 b) ( ) ( ) x x 3cos4cos

c) ( ) ( ) x sen x sen 25 d) ( ) ( ) x sen x sen 2

e) ( ) ( ) x x sen 5cos f) ( ) ( ) x sen x 35cos

g)

−

+2

22

3π π

x sen x sen

h)

+

− 25cos22

π π

x x sen

i)

−

−6

4cos3

cosπ π

x x

j)

+

−3

66

52

π π x sen x sen

16-) Calcule x sen3 em função de senx apenas.

17-) Calcule xtg 3 em função de tgx apenas.

18-) Calcule xtg 4 em função de tgx apenas.

Nível II

1) (FEI-94) Transformando a expressão:(sen a + sen b)/(cos a + cos b), onde existir, temos:a) sen (a + b) b) 1/cos(a + b)c) cotg[(a + b)/2] d) tg[(a + b)/2] e)

1/sen(a + b)

2) Se a – b = π/2, determinar o valor de

ba

ba y

coscos

sensen

+−

= :

a) 2 b) 1 c) 0 d) - 1e) - 2

3) (FEI) A expressão y = sen x + cos x pode ser escrita na forma y = k. cos(x - π/4). Determine ocoeficiente k.a) 2− b) -1 c) 0 d) 1e) 2

4) (FUVEST-96) Os números reais sen (π/12), sena, sen (5π/12) formam, nesta ordem, uma

progressão aritmética. Então o valor de sen a é:a)

4

1 b)6

3 c)4

2 d)4

6

e)2

3

5) (FGV-94) Reduza à expressão mais simples possível:

a) (cos 15° + sen 15°)2; b)o

oo

20cos

10sen10cos 44 −

6) Calcule o valor numérico das expressões:a) A = sen12

11π .sen12

13π b) B =

cos8

7π .cos8

π

7) Prove que: 16 sen 10o. sen 30o. sen 50o. sen 70o = 1.

GABARITONível I1) 2 (2 )cos(2 ) sen x x 2) 2 33 cos senx x sen x−

3) 2 2cos (2 ) (2 ) x sen x− 4)2

2 3

1 3

tg x

tg x−

5) 2 (3 )cos(3 ) sen A A 6)(a) 2 (4 )cos( ) sen x x (b) 2 (5 )cos(2 ) sen x x (c) 2 ( )cos(4 ) sen x x (d) 2 (3 )cos(5 ) sen x x (e) 2cos(2 )cos(9 ) x x (f) 2cos(2 )cos( ) x (g) 2 (3 ) ( ) sen x sen x− (g’) 2 (7 ) (2 ) sen x sen x−

(h)8 8

28 8

x sen sen

π π + − −



28

(i)16 5 16 5

28 8

x x sen sen

π π + − −

(j) 2cos(3 )cos( ) x (l) 2 (4 ) ( ) sen x sen x−

m) 2 7 24 4

sen x sen xπ π − + −

n) ( )2 9 cos 26

sen x xπ +

o) ( )2cos 5 cos 26

x xπ +

p) ( )2cos 5 s 26

x en xπ − +

q) ( )2 5 s 26

sen x en xπ +

7)

2

2

2

4 12 2

12

x xtg tg

xtg

− −

8)

2 4

2

2

1 6

2 2

12

x xtg tg

xtg

− +

+

9)2

2

2 2

4 12 2

1 42 2

x xtg tg

x xtg tg

−

− −

10)

2

2

2 4

12

1 62 2

xtg

x xtg tg

+

− +

12) ( )

( )

2

22

4 1

1

tgx tg x

tg x

−

−

13)( )

2 4

22

1 6

1

tg x tg x

tg x

− +

+

Nível II

1) D 2) B 3) E 4) D 5) a) 3/2; b) 1 6) a)4

23 − ; b)4

22 −− ;

IX. Equações Trigonométricas

Finalmente chegamos ao assunto principaldesse ano. Repare que você aprendeu muitostópicos de Trigonometria, na verdade, vocêadquiriu muitas ferramentas, que até agora só puderam serem usadas em tópicos específicos paratais assuntos. Essa parte da Trigonometria é desuma importância, pois muitos fenômenos danatureza, situações do dia a dia, se comportam demaneira cíclica, ou periódica e podem ser definidas

ou externadas sob funções trigonométricas. Paraisso é necessário que saibamos resolver algunstipos de equações que envolvem linhastrigonométricas, seno, cosseno e tangente.

O fato é que qualquer equaçãotrigonométrica que possa ser resolvida, no final, seresumirá a uma equação do seguinte tipo:

1. sen senα β = 2. cos cosα β = 3. tg tg α β =

Vejamos com detalhes como resolver essasequações.

IX.1 – Equação do tipo senα = senβ;

Nosso objetivo aqui é descobrir querelações devem existir entre α e β, para que os seussenos sejam iguais. Para isso ser possível, temosque conhecer β e tentar expressar α como funçãode β.

Chamamos de β o ângulo AÔB e de α o ânguloBÔD. Veja que α e β têm o mesmo seno e o

ângulo DÔK também vale β. Como o ângulo CÔK é um ângulo raso, mede 180°, então temos que



29

CÔD + DÔK = CÔK = 180º, ou seja, α β π + = .Assim, vemos que todo par de ângulos, cuja somaé π, têm senos iguais. Logo, chegamos às seguintes

soluções:

⇒= β α sen sen ou

α β

α π β

= = −

Claro que essas são soluções da minha equação,mas... e o ângulo 2 β π + . Será que esse também ésolução? Ele também é solução, pois é côngruo como ângulo β. Na verdade todo ângulo que é côngruocom β também é solução, pois as funçõestrigonométricas não estão preocupadas com ângulose sim com as posições desses ângulos nacircunferência trigonométrica. Assim, são soluçõesda equação, os ângulos β + (múltiplos de 2π ), ouseja, os ângulos da forma 2k β π + . Resumindo,temos:

⇒= β α sen sen

+−=

+=

π β π α

π β α

k

k

2

2

Veja o exemplo: Resolver a equação2

3= senx .

Não sabemos comparar senos com números, mas

sabemos comparer senos com outros senos, assim podemos reescrever a equação como sendo:

3 senx sen

π =

, logo:

23

22 2

3 3

x k

k

x k k

π π

π π π π π

= + ∈ = − + = +

1-) Resolver as equações trigonométricas. Todas

essas são do tipo senα = senβ:Resumo: ⇒= β α sen sen

+−=

+=

π β π α

π β α

k

k

2

2

a) 1−= senx b)2

3= senx

c)2

2= senx n) x sen x sen 35 =

d) 02 =− senx x sen j)2

12 = x sen

e) 0132 2 =+− senx x sen f) senx x −= 1cos2 2 g)

0611424

=+− x sen x sen

h) 1seccos2 =− x senx i) xtgx cos23 =

k)2

23 = x sen l) senx x sen =2 m)

2

3

3=

−

π x sen

o) 232 =+ senx senx senx

p)

=−

=+

π y x

y x sen 0)(

IX.2 – Equação do tipo cosα = cosβ;

Nosso objetivo aqui é descobrir querelações devem existir entre α e β, para que os seuscossenos sejam iguais. Para isso ser possível,temos que conhecer β e tentar expressar α como

função de β.Chamamos de β oângulo AÔB e de α oângulo BÔD. Vejaque α e β têm omesmo cosseno.Veja que ostriângulos ∆AOB e o∆BOD são

congruentes, pois AO é igual a OD que é igual a 1,OB é comum para ambos e ambos são triângulos

retângulos (caso LLA), assim possuem ambos amesma abertura AÔB e BÔD que é igual a β .Como α está no sentido negativo, dizemos queα β = − . Como vimos no caso dos senos, naverdade existem infinitas soluções para essaequação, pois qualquer ângulo côngruo com β oucom β − , satisfaz essa equação. Logo temos asseguintes soluções para essa equação:

⇒= β α coscos 2

,

2

k com k

k

α β π

α β π

= +∈

= − +

Veja o exemplo: Resolver a equação 3cos

2 x = .

Não sabemos comparar cossenos com números,mas sabemos comparar cossenos com outroscossenos, assim podemos reescrever a equaçãocomo sendo: cos cos

3 x

π =

, logo:



30

23

2

3

x k

k

x k

π π

π π

= +∈

= − +

2-) Resolver as equações trigonométricas. Todasessas são do tipo cosα =cosβ:

Resumo: ⇒= β α coscos

+−=

+=

π β α

π β α

k

k

2

2

a) 1cos −= x b)2

3cos = x c)

2

2cos = x

d) 0coscos 2 =+ x x e) x x sen cos12 += f) 02cos32cos =++ x x g) 8sec3cos4 =+ x x

h) x x x sen 2cos5cos622

+=+ i) x x coscos2 2 = j) 0cos3cos =− x x

k) 0cos

34

34

22=

−

−

x x sen

l)

+=

3cos5cos

π x x m) 3642 =++ x sen x sen x sen

n) 244

=

−−

+

π π x sen x sen

o)

=+

=+2log t seny senx

y x π ache os valores de t para que o

sistema tenha solução.

IX.3 – Equação do tipo tgα = tgβ;

Nosso objetivo aqui é descobrir querelações devem existir entre α e β, para que os suastangentes sejam iguais. Para isso ser possível,temos que conhecer β (é dado) e tentar expressar α como função de β.

Chamamos de β o ângulo AÔB e de α o ânguloBÔD. Veja que α e β são os únicos ângulos, dentrode uma volta na circunferência, que possuem essevalor (EC) de tangente. Da figura, temos que osângulos AÔB e FÔD são opostos pelo vértice, logosão iguais. Assim, dizemos que α = β + 180ºsatisfaz essa equação. Logo vemos que umasolução para a equação é α = β é outra solução é α = β + 180º. Certamente que existem infinitassoluções, que serão todos os ângulos côngruos de β e β + 180º.

Veja:Se o ângulo está na posição do ponto A ele ésolução. Se está na posição do ponto D essetambém é solução. Caso o ângulo esteja no pontoA, se a ele for somado π, chega-se no ponto D, sefor somado mais π, volta-se para o ponto A. Isso

resulta em um ciclo e para chegar a qualquer solução, basta acrescentar qualquer múltiplo de π ao ângulo β. Logo qualquer solução dessa equação pode ser escrita como:

,k com k α β π = + ∈

3-) Resolver as equações trigonométricas.Todas essas são do tipo tg α = tg β

:

Resumo: ⇒= β α tg tg

++=

+=

π β π α

π β α

k

k

2

2

a) 1=tgx b) 03 = xtg c) 3−=tgx d) xtg xtg 35 = e) tgx x += 1sec 2 f) 2cot =+ gxtgx g) x x sen 22 cos=

h) 0cos3 =− x senx i) gx x cot1seccos 2 −=

j)

+=

+

4.2cos

4cos.2

π π x sen x x x sen

Resumo teórico

( ) a senbb senaba sen coscos ±=± (I)

( ) senbsenababa mcoscoscos =± (II)

±=±

2cos

22

y x y x sen seny senx

m (III)

−

+=+

2cos

2cos2coscos

y x y x y x (IV)

−

+−=−

222coscos

y x sen

y x sen y x (V)

+

=

21

22

2 xtg

xtg

senx(VI)



31

+

−=

21

21

cos2

2

xtg

xtg

x(VII)

22cos12 x

x sen −= (VIII)

2

2cos1cos2 x

x+

= (IX)

2

21cos

244 x sen x x sen −≡+ (X)

4

231cos

266 x sen x x sen −≡+ (XI)

4-) Resolver as equações trigonométricas. Aqui

você vai ter que desenvolver a sua própriatécnica, até cair em uma daquelas do tipo quevimos.i) Algumas equações clássicas: c xb senxa =+ cos.. a,

b, c ε R.

Resolvo o sistema:

=+

=+

1cos

cos..22 x x sen

c xb senxa , acho o valor

do senx e do cos x. Pronto agora tenho duasequações que sei resolver: m senx = e n x =cos .ii) Outra técnica importante é: substituir senx por (VI) e cosx por (VII) e teremos uma equação do 2ª

grau em

2

xtg .

a) 14cos4 =+ x x sen b) 3cos.3 −=− x senx c) 1cos =+ x senx d) 1cos −=+ x senx

iii) equações do tipo ∑ = 0)( x senf i ou ∑ = 0)(cos x f i ,

passamos a soma para produto e analisamos oanulamento de cada fator do produto.a) 057 =+ x sen x sen b) 0=+ senbx senax a, b ε R\{0} c) 02cos6cos =+ x x d) 0coscos =+ bxax a, b ε R\{0}

e)

+= 4cos2

π x x sex f) x sen senx x sen 325 =+

g) 0)23cos()2cos(cos =++++ a xa x x h) 0643 =+++ x sen x sen x sen senx i) 1)(cos)(cos 22 =−++ a xa x j) 12cos3 =−+ senx x x sen k) 01coscos =+++ x senx x senx

l)

=+

=−++

2cos

2)()(

y senx

y x sen y x sen

iv) Equações do tipo a x x sen =+ 44 cos , aplicamos arelação (X) e antes de resolver verificamos se a

obedece a relação: 12

1

≤≤ a .

v) Equações do tipo a x x sen =+ 66 cos , aplicamos arelação (XI) e antes de resolver verificamos se a

obedece a relação: 1

4

1≤≤ a .

a)8

5cos66 =+ x x sen b)

16

7

2cos

266 =+

x x sen

c)2

1cos44 =+ x x sen d)

8

5cos44 =+ x x sen

e) 1cos33 =+ x x sen Quaisquer Equações:

a) 02530

4cos5=

+−+

x sen

x x sen senx , π 20 ≤≤ x

b)Discuta, segundo m, as equações: b.1) m senxm xm =+− ).1(cos

b.2) m x senx =+ cos c) )3(2)2( atg atg tga =+ , a ε [0,π/2).

GABARITO

1-) Resolver as equações trigonométricas. Todasessas são do tipo: senα = senβ:

a)

+=ℜ∈= π π

k x xS 22

3|

b)

+=+=ℜ∈= π

π

π

π

k xouk x xS 23

2

23|

c)

+=+=ℜ∈= π π

π π

k xouk x xS 24

32

4|

n)

+==ℜ∈=48

|π π

π k

xouk x xS

d)

+==ℜ∈= π π

π k xouk x xS 22

|

j)

+=+=ℜ∈= π π

π π

k xouk x xS 212

5

12|

e)

+=+=+=ℜ∈= π

π

π

π

π

π

k xouk xouk x xS 26

5

2622| f)

+=+−

=+=ℜ∈= π π

π π

π π

k xouk xouk x xS 26

72

62

2|

g)

+±

=ℜ∈= π π

k x xS 23

|

h)

+=+−

=+=ℜ∈= π π

π π

π π

k xouk xouk x xS 26

72

62

2|

i)

+=+=ℜ∈= π

π

π

π

k xouk x xS 26

5

26|



32

k)

+=+=ℜ∈=3

2

123

2

4|

π π π π k xou

k x xS

l)

+==ℜ∈=

3

2

32|

π π π

k xouk x xS

m)

+=+=ℜ∈= π π π π

k xouk x xS 223

2|

o)

+=+=ℜ∈= π π

π π

k xouk x xS 26

52

6|

p)

+

−=+=ℜ∈=

2222|,

π π π π k you

k x y xS

2-) Resolver as equações trigonométricas. Todas

essas são do tipo:cosα =cosβ:

a) { }π π k x xS 2| +=ℜ∈= b)

+±

=ℜ∈= π π

k x xS 26

|

c)

+±

=ℜ∈= π π

k x xS 24

|

d)

+=+=ℜ∈= π π

π π k xouk x xS 2

2|

e)

+=+=ℜ∈= π π

π π k xouk x xS 2

2|

f)

+=+±=ℜ∈= π π π π k xouk x xS 22

32|

g)

+±

=ℜ∈= π π

k x xS 23

|

h)

=+

±=ℜ∈= π π

π k xouk x xS 22

3|

i)

+=+±

=ℜ∈= π π

π π

k xouk x xS 2

23

|

j)

==ℜ∈=

2|

π π

k xouk x xS

k)

+±==+±=ℜ∈= π

π π

π k x xouk x xS 2

32

32|

l)

+

−==+=ℜ∈=

318212|

π π π π k x xou

k x xS

m)

+

ℜ∈=2

)12(|

π k xS

n) { }π k xS 2|ℜ∈= o) 101,0 ≤< t

3-) Resolver as equações trigonométricas. Todasessas são do tipo tg α = tg β:

a)

+=ℜ∈=

4

|π

π k x xS b)

=ℜ∈=

3

2|

π k x xS

c)

+=ℜ∈= π π

k x xS 3

2|

d)

=ℜ∈= par k k

x xS ,2

|π

e)

=+=ℜ∈= π π

π k xouk x xS 4

|

f)

+=ℜ∈=4

|π

π k x xS

g)

+=+=ℜ∈=

4

3

4|

π π

π π k xouk x xS

h)

+=ℜ∈=3

|π

π k x xS

i)

+=+=ℜ∈=4

3

2|

π π

π π k xouk x xS

j)

+=ℜ∈=4

|π

π k x xS

4-) (i) e (ii)

a)

+==ℜ∈=

282| π π π k xouk x xS

b)

+=+=ℜ∈=2

32

6

112|

π π

π π k xouk x xS

c)

=+=ℜ∈= π

π π k xouk x xS

2|

d)

+=+=ℜ∈= π π π

π k xouk x xS 22

32|

(iii)

a)

+==ℜ∈=26

|π

π π

k xouk

x xS

b)

−+

−=

+=ℜ∈=

baba

k xou

ba

k x xS

π π π 22|

c)

+=+=ℜ∈=4824

|π π π π k

xouk

x xS

d)

−−

−=

++

+=ℜ∈=

baba

k xou

ba

k

ba x xS

π π π π 22|

e)

+=+=ℜ∈= π π π π

k xouk

x xS 24

3

3

2

12|

f)

==ℜ∈= π

π

k xou

k

x xS 3|



33

g)

+−=+−±

=ℜ∈= π π

π π

k a xouk a

x xS 23

2

24| ou

+−= π π

k a x 23

4

h)

+=+=+=ℜ∈=

3

2

32

7

2

2|

π π π

π π

π k xouk

k xouk x xS

i)

+=+=ℜ∈=4

3

4|

π π

π π k xouk x xS

j) ouk xouk xouk x xS

=+=+=ℜ∈= π π π

π π

26

52

6|

+= π π

k x 22

3

k)

+=+=ℜ∈= π π π

π k xouk x xS 22

2

3|

l)

=+=ℜ∈= π π π

k xouk x xS 222

|

(iv) e (v)

a) ouk xouk xouk x xS +=+=+=ℜ∈= π

π π

π π

π

85

83

8|

+= π

π k x

87

b)

+=+=ℜ∈= π π

π π

k xouk x xS 3

2

3|

c)

+=+=ℜ∈= π π

π π

k xouk x xS 4

3

4|

d) ouk xouk xouk x xS

+=+=+=ℜ∈= π π

π π

π π

36

5

6|

+= π π

k x3

2

e)

=+=ℜ∈= π π π

k xouk x xS 222

|

Quaisquer Equações:

a)

ℜ∈ π π π π π π π π π

2,5

9,

4

7,

5

7,

4

5,

4

3,

5

3,

4,

5,0| x

b)Discuta, segundo m, as equações: b.1) ℜ∈∀m b.2) 22 ≤≤− m

c)

ℜ∈3

,0|π

x

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