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    Unidade IVMateMtica Financeira

    A notao para os elementos da Matemtica Financeira varia para cada autor. Dessa forma, no recomendvel a memorizao de uma s notao, nem sua adoo como padro. Recomenda-se o aprendizado dos conceitos fundamentais da Matemtica Financeira, independentemente da notao utilizada, de modo que qualquer problema possa ser resolvido.

    7 conceitos bsicos

    Custo: o gasto relativo ao bem ou servio utilizado na produo de outros bens e servios, ou seja, so todos os gastos relativos atividade de produo.

    Custo fixo: a parcela do custo que se mantm fixa quando a produo varia. o caso, por exemplo, do aluguel. Esse ser cobrado pelo mesmo valor, qualquer que seja o nvel de produo, inclusive no caso de no se produzir nada.

    Custo varivel: so aqueles custos cujos valores se alteram em funo do volume de produo da empresa. Por exemplo: matria-prima consumida. Se no houver quantidade produzida, o custo varivel ser nulo. Os custos variveis aumentam medida que aumenta a produo.

    Custo total: o gasto total da empresa com fatores de produo. Compe-se de custos variveis e custos fixos.

    Depreciao: o custo decorrente do desgaste ou da obsolescncia dos ativos imobilizados (mquinas, veculos, mveis, imveis e instalaes) da empresa.

    Dumping: prtica comercial que consiste em vender produtos a preos inferiores ao seu custo, com a finalidade de eliminar concorrentes e/ou ganhar mais participao no mercado.

    Fluxo de caixa: o fluxo de caixa tem por objetivo principal a projeo das entradas e das sadas dos recursos financeiros da empresa, em um determinado perodo de tempo.

    Lucro bruto: simplificadamente, nada mais do que o resultado positivo deduzido das vendas os custos e despesas. Diferena entre a receita e o custo de produo, incluindo-se os gastos com insumos, energia e outras despesas, mais impostos e remunerao dos empregados.

    Lucro lquido: equivale ao lucro bruto menos as dedues de imposto de renda e de outras taxas que a empresa tenha que pagar.

    Lucro operacional: o lucro operacional igual s receitas totais das operaes menos os respectivos custos totais.

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    MateMtIca aplIcada

    Lucratividade: a relao do valor do lucro com o montante de vendas, ou seja, divide-se o valor do lucro pelo volume de vendas.

    Margem bruta: calculada pela subtrao da receita total dos custos variveis, sendo um dos melhores indicadores de produtividade. Se compararmos duas empresas de mesma atividade, aquela que tem maior margem bruta a mais produtiva (seja por eficincia nos processos, ganho de escala, estrutura de custos etc.).

    Margem lquida: calculada pela subtrao da receita total dos custos variveis e custos fixos, sendo um indicativo de lucratividade. Se compararmos duas empresas de mesma atividade, aquela que tem maior margem lquida a que apresenta melhor rentabilidade no negcio, incluindo-se a a questo operacional, financeira e extraoperacional.

    Margem operacional: calculada pela diviso do lucro operacional pela receita lquida, sendo um bom indicador de eficincia operacional: se compararmos duas empresas de mesma atividade, aquela que tem maior margem operacional a que apresenta melhores resultados para cada real vendido, tendo assim, custos operacionais mais reduzidos.

    Mark-up: a margem da receita de vendas (faturamento) sobre os custos diretos de produo. Essa margem deve ser tal que permita empresa cobrir os custos diretos (ou variveis), os custos fixos e a parcela desejada de lucro da empresa.

    Ponto de equilbrio: significa a quantidade que equilibra a receita total com a soma dos custos e despesas relativos aos produtos vendidos.

    Receita bruta: o preo unitrio multiplicado pela quantidade vendida do bem.

    Receita lquida: a receita bruta menos as devolues de produtos e os impostos pagos pela empresa.

    Rentabilidade: uma medida do retorno de um investimento. Calcula-se dividindo o lucro obtido pelo valor do investimento inicial. Pode-se dizer que a rentabilidade a quantidade de dinheiro que o investidor ganha para cada quantia investida.

    Capital: o valor aplicado por meio de alguma operao financeira. Tambm conhecido como: principal, valor atual, valor presente ou valor aplicado. Em ingls, usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

    Juros: representam a remunerao do capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

    Juros simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

    Juros compostos: o juro de cada intervalo de tempo calculado a partir do saldo no incio de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambm.

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    Importante: o juro a remunerao pelo emprstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato e est disposta a pagar um preo por isto. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponvel no mercado para emprstimos definem qual dever ser a remunerao, mais conhecida como taxa de juros.

    Taxa de juros: a taxa de juros indica qual remunerao ser paga ao dinheiro emprestado, para um determinado perodo. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, seguida da especificao do perodo de tempo a que se refere:

    8 % a.a. - (a.a. significa ao ano); 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre); outra forma de apresentao da taxa de juros a unitria, que igual taxa percentual

    dividida por 100, sem o smbolo %:

    0,15 a.m. - (a.m. significa ao ms); 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre).

    Taxa efetiva: a taxa efetiva pressupe incidncia de juros apenas uma nica vez em cada perodo a que se refere a taxa, isto , a unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao, ou seja, a taxa efetiva a taxa por perodo de capitalizao. Quando o perodo de capitalizao no mencionado, fica subentendido que coincide com o perodo de tempo da taxa.

    Exemplos:

    24% ao ano, capitalizao anual ou 24% ao ano; 10% ao ms, capitalizao mensal ou 10% ao ms.

    Taxa nominal: a taxa nominal pressupe incidncia de juros mais de uma vez em cada perodo a que se refere a taxa, isto , tal unidade de tempo no coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao. Quando uma taxa for enunciada dessa forma, para que seja aplicvel s frmulas com as quais trabalhamos, devemos primeiramente transform-la em taxa efetiva, utilizando o critrio da proporcionalidade, fazendo coincidir a unidade de tempo da taxa com a unidade de tempo do perodo de capitalizao.

    Exemplos:

    24% ao ano, capitalizao mensal ou 2% ao ms; 6% ao ms, capitalizao diria ou 0,2% ao dia (1 ms com 30 dias).

    Taxas equivalentes: duas taxas so ditas equivalentes quando, embora referidas a unidades de tempo diferentes, se aplicadas sobre o mesmo capital durante o mesmo perodo, produzem o mesmo valor.

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    Notao adotada:

    taxa que queremos calcular iq; taxa que temos it; unidade da taxa que queremos calcular q; unidade da taxa que temos t;

    clculo da taxa equivalente: iq =(1 + it)qt

    1.

    Montante: a soma do capital com os juros no final do prazo.

    Capitalizao simples: o juro de qualquer perodo constante, pois sempre calculado sobre o capital inicial.

    Capitalizao composta: o juro de cada perodo calculado sobre o capital inicial mais os juros acumulados at o perodo anterior.

    Prazo: tempo que decorre desde o incio at o final de uma operao financeira.

    Lembrete

    Uma equao denominada de exponencial quando apresenta a incgnita no expoente.

    observao

    H diversos tipos de equaes exponenciais e, para resolver algumas delas, preciso usar logaritmos. Como muitos problemas de juros compostos so resolvidos por meio de uma equao exponencial, voc vai precisar do logaritmo para resolver essas situaes.

    7.1 Fator de formao do juro

    O valor do juro obtido aplicando-se a taxa de juros sobre um valor. A taxa representada na forma percentual e o valor a que esse percentual incide pode ser o valor aplicado (inicial de um investimento), o valor original de uma prestao, ou seja, sobre qualquer valor.

    Valor juro = valor aplicado x fator de juro

    ou

    VJ = VA j

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    Onde:

    Fator de juro = j = taxa de juros % = Taxa de juros100

    Exemplo:

    1) Uma determinada aplicao rende 5 % a.m. (ao ms), qual o valor do juro em um ms, para R$ 10.000,00 aplicados?

    Soluo:

    VJ = (10.000,00) (0,05) => VJ = R$ 500,00

    Esse conceito pode ser aplicado para calcularmos o aumento de preo de um determinado produto. Basta usar o valor do aumento no lugar do VJ e o valor atual no lugar de VA.

    2) Um comerciante deseja aumentar seus produtos em 4%. Qual o valor do aumento para um produto que custa R$ 500,00?

    Soluo:

    Valor do aumento = 500,00 0,04 => Valor do aumento = R$ 20,00

    A partir desse fator, podemos determinar o capital corrigido, que o resultado da soma do valor inicial (valor aplicado) com o valor do juro.

    Valor corrigido = valor aplicado + valor do juro

    Sabemos que o valor do juro = valor aplicado x j.

    Ento: valor corrigido = valor aplicado + valor aplicado x j.

    Simplificando, temos valor corrigido = valor aplicado x (1 + j).

    Usaremos a seguinte notao: FV = PV (1 + j).

    Onde: FV (Future Value) = valor futuro = valor corrigido e PV (Present Value) = valor presente = valor aplicado.

    observao As siglas so em ingls, pois como encontramos na maioria das

    calculadoras, planilhas eletrnicas e softwares.

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    Exemplo:

    1) Se uma determinada aplicao rende 5% a.m., quanto ter ao final de um ms quem aplicar R$ 10.000,00?

    Soluo:

    FV = 10.000,00 (1 + 0,05) => FV = R$ 10.500,00

    Importante: da mesma forma, podemos aplicar esse conceito na variao dos preos dos produtos, isto , no lugar de valor corrigido, obteremos o preo corrigido e, no lugar de valor atual, usaremos o preo atual.

    2) Um comerciante deseja aumentar seus produtos em 4%. Qual o novo valor de um produto que custa atualmente R$ 500,00?

    Soluo:

    FV = 500,00 (1 + 0,04) => FV = R$ 520,00

    7.2 Juros simples

    O juro simples calculado somente sobre o capital, no havendo interferncia dos juros passados em seu clculo.

    O valor calculado a partir do juro simples resultante da multiplicao do fator de juros pelo valor inicial e pelo nmero de perodos (n).

    Isto : VJ = PV j n, e como FV = PV + VJ, temos ento:

    FV = PV (1 + j n)

    Exemplo: se uma determinada aplicao rende 5% a.m., qual o valor do juro em 4 meses para R$ 10.000,00 aplicados, e qual o valor no futuro?

    Soluo:

    VJ = 10.000,00 0,05 4 => VJ = R$ 2.000,00

    FV = 10.000,00 (1 + 0,05 4) => FV = R$ 12.000,00

    7.3 Juros compostos

    O juro composto calculado com base no capital e nos juros passados. Tambm conhecido como juro capitalizado. Com juros compostos, no final de cada perodo, o juro incorporado ao principal ou

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    capital, passando assim a tambm render juros no prximo perodo. Podemos deduzir a expresso da seguinte maneira:

    No primeiro perodo:

    FV1 = PV + PV . i = PV(1 + i)

    No segundo perodo:

    FV2 = FV1 + FV1 i = FV1(1 + i) = PV (1 + i)(1 + i) = PV(1 + i)

    No terceiro perodo:

    FV3 = FV2 + FV2 i = FV2(1 + i) = PV(1 + i) (1 + i) = PV(1 + i)

    No ensimo perodo, ento, teremos: FV = PV (1 + i)n

    Exemplo:

    1) Vamos imaginar um emprstimo de R$ 100.000,00 com uma taxa de 5% a.m. por 3 meses, com um nico pagamento no final.

    Tabela 9

    Juros Simples Juros Composto

    1 ms 105.000,00 105.000,00

    2 ms 110.000,00 110.250,00

    3 ms 115.000,00 115.762,50

    De acordo com a definio, o juro simples calculado somente sobre o capital, portanto, o valor devido de R$ 115.000,00 => 100.000,00 (1 + 0,05 3).

    Porm, no juro composto, o clculo feito sobre o saldo devedor:

    1 ms => 100.000,00 (1 + 0,05) = 105.000,00

    2 ms => 105.000,00 (1 + 0,05) = 110.250,00

    3 ms => 110.250,00 (1 + 0,05) = 115.762,50

    Ou seja, 115.762,50 = 100.000,00 1,05 1,05 1,05 115.762,50 = 100.000,00 (1,05)

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    Importante: para calcularmos somente o juro, necessrio que o capital seja desconsiderado. Temos a seguinte frmula:

    VJ = PV [(1 + j)n - 1]

    2) Se uma determinada aplicao rende 5% a.m., qual o valor do juro em 4 meses, para R$ 10.000,00 aplicados, e qual o valor no futuro?

    Soluo:

    VJ = 10.000,00 [(1 + 0,05)4 - 1] => VJ = R$ 2.155,06 e

    FV = 10.000,00 (1 + 0,05)4 => FV = R$ 12.155,06

    7.4 taxa de juros equivalentes

    So aquelas que representam a mesma taxa em um determinado perodo. Quando tratamos com juros simples, denominamos a taxa de juros equivalente de taxas proporcionais e calculamos com a frmula:

    ip = i p

    Onde:

    ip = taxa proporcional procurada;

    i = a taxa de juros dada.

    p o nmero de perodos de capitalizao da taxa proporcional desejada, contidos na base de capitalizao da taxa de juros dada.

    Exemplo:

    1) 10% em 2 perodos com juros simples.

    ip = 10% 2

    = 0,10(2) = 20%

    Em outras palavras, 20% em dois perodos equivale a 10% em um perodo. Para juros compostos, a frmula de clculo da taxa de juros equivalente dada por:

    ieq = ( )1 1 1+ ef

    kp

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    Onde:

    ieq = taxa equivalente desejada num ano;

    ief = taxa efetiva dada contida num ano;

    k = nmero de perodos de capitalizao da taxa efetiva dada;

    p = nmero de perodos de capitalizao da taxa equivalente desejada.

    2) 10 % em 2 perodos com juros compostos.

    ieq = ( ) ( , ) %1 1 1 1 0 10 1 2121+ = + =ef

    kp

    Em outras palavras, 21% em dois perodos equivalem a 10 % em um perodo.

    Lembrete

    No mercado financeiro brasileiro as taxas equivalentes so calculadas no modo composto, enquanto que na maioria dos pases so calculadas no modo simples.

    7.5 Fluxo de caixa

    O fluxo de caixa a representao grfica de lanamentos, que so as entradas e sadas. Representamos da seguinte maneira:

    i = 2%

    R$ 10.612,08

    R$ 10.000,00

    0

    3

    Figura 62

    Nesse caso, o fluxo anterior representa, por exemplo, um emprstimo (entrada de dinheiro) no valor de R$ 10.000,00 e, aps trs perodos, foram pagos R$ 10.612,08 (sada de dinheiro), que representa capital mais juro com uma taxa de emprstimo de 2%.

    As setas representam os fluxos de entrada e sada de capital, e usaremos a seguinte conveno:

    seta para baixo sada de dinheiro (custos, desembolsos, despesas);

    seta para cima entrada de dinheiro (benefcios, recebimentos, receitas).

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    O fluxo de caixa em que existe apenas uma entrada e vrias sadas, sendo que as sadas so do mesmo valor e com perodos consecutivos, conhecido como srie uniforme. O caso tpico o de emprstimo com pagamento mensal das parcelas.

    Na srie uniforme, a varivel n representar o nmero de pagamentos e no o nmero de perodos.

    PMT PMTPMT PMT

    PV

    0

    2 n

    j

    n - 11

    Figura 63

    PV = principal ou valor presente (Present Value);

    PMT = Pagamento (payment);

    j = juros;

    n = nmero de parcelas.

    A taxa de um fluxo de caixa representada com juro composto e faz com que o fluxo seja anulado, ou seja, o somatrio dos pagamentos calculados no incio do fluxo deve ser igual ao valor inicial.

    Os valores dos pagamentos calculados no incio do fluxo so obtidos por meio da aplicao da frmula do juro composto:

    FV = PV (1 + j)n

    portanto PV = FV

    j n( )1+

    para a 1 prestao, temos: PV1 = PMT

    j( )1 1+;

    para a 2 prestao, temos: PV2 = PMT

    j( )1 2+;

    para a 3 prestao, temos: PV3 = PMT

    j( )1 3+;

    para a n prestao, temos: PVn = PMT

    j n( )1+.

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    E como o valor inicial deve ser igual ao somatrio, ento obtemos a seguinte frmula para fluxos de caixa sem entrada:

    PVPMT

    j

    PMT

    j

    PMT

    j

    PMT

    j

    PV PMTj

    n= ++

    ++

    ++ +

    +

    =

    +

    ( ) ( ) ( )...

    ( )

    ( )

    1 1 1 1

    1

    1 2 3

    nn

    nj j

    +

    1

    1( )

    No caso de um financiamento com entrada, o fluxo de caixa ficaria assim:

    PMTPMT PMTPMT PMT

    PV

    02 n

    j

    n - 11

    Figura 64

    para a 1 prestao, temos: PV0 = PMT

    j( )1 0+;

    para a 2 prestao, temos: PV1 = PMT

    j( )1 1+;

    para a 3 prestao, temos: PV2 = PMT

    j( )1 2+;

    para a n prestao, temos: PVn-1 = PMT

    j n( )1 1+ .

    E como o valor inicial deve ser igual ao somatrio, ento obtemos a seguinte frmula para fluxos de caixa com entrada:

    PVPMT

    j

    PMT

    j

    PMT

    j

    PMT

    j

    PMT

    jn n=

    ++

    ++

    ++ +

    ++

    +( ) ( ) ( )...

    ( ) ( )1 1 1 1 10 1 2 1

    PPV PMTj

    j j

    n

    n=+

    +

    ( )

    ( )

    1 1

    1 1

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    Exemplo:

    1) Considerando i = 4%, vamos analisar os seguintes fluxos de caixa:

    a)

    PMT PMT PMT PMT PMT

    1.500,00

    02 3 4 51

    Figura 65

    b)

    PMTPMT PMT PMT PMT PMT

    1.839,00

    02 3 4 51

    Figura 66

    Queremos saber qual o valor das prestaes em ambos os casos, em que estamos financiando R$ 1.500,00. No caso (a) sem entrada, mas no caso (b) temos uma entrada de R$ 336,94.

    Aplicaremos as frmulas:

    a) PV PMTj

    j j

    n

    n=+

    +

    ( )

    ( )

    1 1

    1 1 PMT PV

    j

    j

    n

    n=+

    +

    ( )

    ( )

    1 1

    1 1

    PMT = 1.500,00 ( , ) ,

    ( , )

    1 0 04 0 04

    1 0 04

    5

    5 1+

    + PMT = 336,94

    b) PV = PMT ( )

    ( )

    1 1

    1 1+

    + j

    j j

    n

    n

    PMT = PV ( )

    ( )

    1

    1 1

    1+

    +

    j j

    j

    n

    n

    PMT = 1.836,94 ( , ) ,

    ( , )

    1 0 04 0 04

    1 0 04

    6 1

    6 1+

    +

    PMT = 336,94

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    Concluso: no h diferena entre financiar R$ 1.500,00 sem entrada ou financiar R$ 1.836,94 com entrada de R$ 336,94. Nesse caso, notamos que os fluxos so iguais.

    observao

    Quando no h entrada, o nmero de pagamentos igual ao nmero de perodos do fluxo e, no caso de haver entrada, o nmero de pagamentos maior que o nmero de perodos do fluxo.

    No caso em que a soma das parcelas representadas no futuro seja igual ao valor futuro, teremos o

    seguinte fluxo de caixa:

    PMT PMT PMTPMT

    FV

    0 2nj

    n - 11

    Figura 67

    E para calcular esse fluxo de caixa sem entrada faremos:

    para a 1 parcela: prestao_1 = PMT (1 + j)n;

    para a 2 parcela: prestao_2 = PMT (1 + j)n-1;

    para a n parcela: prestao_n = PMT (1 + j).

    Ento, a somatria das parcelas ficar:

    FV = PMT (1+j) + PMT (1 + j)2 + PMT (1 + j)3+ ... + PMT (1 + j)n

    FV PMTj j

    j

    n

    =

    + ++

    ( ) ( )1 11

    Da mesma, teremos o fluxo de caixa com entrada:

    PMT PMT PMTPMT

    FV

    0 2 nj

    n - 11

    Figura 68

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    Portanto, a frmula para o fluxo de caixa com entrada ser:

    FV PMTjj

    n

    =

    +

    ( )1 1

    2) Uma loja vende um determinado produto por R$10.000,00 vista. Pode-se parcelar em at 4 vezes mensais e consecutivas. Quais os valores das parcelas com e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada de 5 % a.m.?

    Soluo:

    Sem entrada:

    1 pagamento PMT = 10.000,00 ( , ) ,

    ( , )

    1 0 05 0 05

    1 0 05 1

    1

    1+

    +

    PMT = R$ 10.500,00

    2 pagamento PMT = 10.000,00 ( , ) ,

    ( , )

    1 0 05 0 05

    1 0 05 1

    2

    2+

    +

    PMT = R$ 5.378,05

    3 pagamento PMT = 10.000,00 ( , ) ,

    ( , )

    1 0 05 0 05

    1 0 05 1

    3

    3+

    +

    PMT = R$ 3.672,09

    4 pagamento PMT = 10.000,00 ( , ) ,

    ( , )

    1 0 05 0 05

    1 0 05 1

    4

    4+

    +

    PMT = R$ 2.820,12

    Com entrada:

    1 pagamento PMT = 10.000,00 ( , ) ,

    ( , )

    1 0 05 0 05

    1 0 05 1

    1 1

    1+

    +

    PMT = R$ 10.000,00

    2 pagamento PMT = 10.000,00 ( , ) ,

    ( , )

    1 0 05 0 05

    1 0 05 1

    2 1

    2+

    +

    PMT = R$ 5.121,95

    3 pagamento PMT = 10.000,00 ( , ) ,

    ( , )

    1 0 05 0 05

    1 0 05 1

    3 1

    3+

    +

    PMT = R$ 3.497,22

    4 pagamento PMT = 10.000,00 ( , ) ,

    ( , )

    1 0 05 0 05

    1 0 05 1

    4 1

    4+

    +

    PMT = R$ 2.685,83

    8 Usando a caLcULadora HP 12c

    Comandos na HP12C para determinao de PV (Valor Presente), FV (Valor Futuro), i (taxa de juros) e n (nmero de perodos). Consideremos a seguinte simbologia:

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    Unidade IV

    Reviso: Virg

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    ao

    : Fab

    io - 14/05

    /12

    Quadro 1

    i taxa de juros por perodo

    n nmero de perodos

    P capital inicial , valor atual ou valor presente

    S capital no final do perodo n ou valor futuro

    R pagamentos peridicos

    observao

    P indicado pela tecla PV, que significa Present Value (valor presente);

    S indicado pela tecla FV, que significa Future Value (valor futuro);

    R indicado pela tecla PMT, que significa Payment (pagamento).

    Lembrete

    Para calcular os pagamentos peridicos efetuados no incio, voc precisa teclar g begin, pois as calculadoras esto normalmente no estado end.

    8.1 clculo de FV

    Digite o valor presente PV e depois tecle CHS.

    O CHS (abreviatura de change signal) muda o sinal para armazenar o valor de PV (Present Value) - dinheiro pago, conforme conveno.

    tecle PV;

    digite 0;

    tecle PMT;

    digite a taxa i (em %; ex.: i = 12% , digite 12);

    tecle i;

    digite o nmero de perodos n;

    tecle n;

    tecle FV.

    Resposta no visor: o valor futuro procurado.

  • 85

    Reviso: Virg

    inia - Diagram

    ao

    : Fab

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    MateMtIca aplIcada

    8.2 clculo de PV

    entre com o valor de FV;

    CHS ......FV;

    0;

    PMT;

    entre com o valor de n;

    tecle n;

    entre com o valor de i;

    tecle i;

    tecle PV.

    8.3 clculo de n

    entre com o valor de PV;

    CHS ......PV;

    0;

    PMT;

    entre com o valor de FV;

    tecle FV;

    entre com o valor de i;

    tecle i;

    tecle n.

    8.4 clculo de i

    entre com o valor de PV;

    CHS PV;

    0;

    PMT;

    entre com o valor de FV;

    tecle FV;

    entre com o valor de n;

  • 86

    Unidade IV

    Reviso: Virg

    inia - Diagram

    ao

    : Fab

    io - 14/05

    /12

    tecle n;

    tecle i.

    observao

    a) Antes de usar a HP12C, teclar f clear reg para limpar os registradores, ou teclar f clear fin para limpar os registradores financeiros sem limpar o visor.

    b) Para alterar o nmero de casa decimal, tecle f seguido de um nmero. Por exemplo, o comando f4, far a calculadora para exibir no visor 4 casas decimais.

    8.5 clculo de juros simples

    entre com o nmero de dias n;

    entre com a taxa anual i;

    entre com o valor principal CHS PV;

    tecle f INT: obtm-se os juros;

    tecle + para obter o montante.

    Lembrete

    Na HP12C, para o clculo de juros simples, o perodo deve ser expresso em dias, e a taxa de juros deve ser a taxa anual.

    8.6 clculo de porcentagens

    A calculadora HP12C possui trs teclas para resoluo de problemas de clculo de porcentagem:

    %

    %T

    %

    Para calcular x% de N:

    digite o nmero N;

    tecle enter;

  • 87

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    ao

    : Fab

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    MateMtIca aplIcada

    digite o nmero x;

    pressione a tecla %.

    Para achar a diferena percentual entre dois nmeros M (nmero base) e N:

    digite o nmero base M;

    tecle enter;

    digite o outro nmero;

    pressione a tecla %.

    Uso da tecla%T:

    Permite calcular qual percentual um nmero representa em relao a outro.

    Exemplo:

    Suponha que uma fbrica vendeu no ms passado $3,92 milhes na Regio Sudeste do Brasil, $2,36 milhes na Regio Sul e $1,67 milhes nas outras regies do Brasil. Qual o percentual sobre o total de vendas corresponde s outras regies?

    Usando a HP 12C, teremos:

    3,92;

    ENTER;

    2,36 +;

    1,67 +;

    1,67;

    %T.

    Aparecer no visor o nmero 21,00, que corresponde ao percentual de 21,00%.

    saiba mais

    MLODINOW, L. O andar do bbado: como o acaso determina nossas vidas. Rio de janeiro: Editora Jorge Zahar, 2008.

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    Unidade IV

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    saiba mais

    Na internet, voc encontra diversos emuladores da calculadora HP-12C, alm de emuladores para iPhone. Alm disso, existem diversos guias e tutoriais. Para obter mais aplicaes da calculadora, consulte o livro Manual de aplicaes financeiras HP- 12C, do autor Jos Dutra Vieira Sobrinho, pela Editora Atlas.

    resumo

    Finalmente, nesta unidade voc aprendeu os conceitos fundamentais da matemtica financeira e suas aplicaes mais bsicas, como clculo dos juros simples e composto. Como gestor de TI, voc usar esses conceitos aqui apresentados para calcular o custo e planejar o pagamento a prazo, quando contratar servios de terceiros, por exemplo.

    Caso voc no possua uma calculadora cientfica ou financeira,

    atualmente possvel encontrar emuladores na internet e at aplicativos para smartphones.

    exerccios

    Questo 1 (ATE/SEFAZ/MT-2001). Trs capitais so aplicados a juros simples pelo mesmo prazo. O capital de R$ 3.000,00 aplicado taxa de 3% ao ms, o capital de R$ 2.000,00 aplicado a 4% ao ms e o capital de R$ 5.000,00 aplicado a 2% ao ms. A taxa mdia mensal de aplicao destes capitais de:

    a) 3,0%

    b) 2,7%

    c) 2,5%

    d) 2,4%

    e) 2,0%

    Resposta correta: alternativa B.

  • 89

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    : Fab

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    MateMtIca aplIcada

    Anlise das alternativas:

    A presente questo versa sobre taxa mdia. Sendo assim, temos que:

    Partimos do princpio de que J = C.i.n e que J = 1, onde J = juros, C = capital ou principal ou valor presente, i = taxa unitria e n = nmero de perodos.

    Podemos utilizar o mesmo raciocnio quando possumos diversos capitais aplicados a diversas taxas em diversos perodos. Assim, a taxa mdia (im) obtida pelo somatrio dos juros dividido pelo somatrio dos produtos do capital com o tempo.

    iC inCnm

    . ..

    Como o prazo de aplicao nico, atribumos a ele o valor 1. Ento:

    i im m=+ +

    + + =

    3000 0 03 2000 0 04 5000 0 023000 1 2000 1 5000 1

    27. , . , . ,. . .

    0010000

    0 027 2 7 = =i im m, , %

    Logo, a taxa mdia mensal de aplicao destes capitais de 2,7%.

    Sendo assim,A) Alternativa incorreta.Justificativa: de acordo com os clculos.

    B) Alternativa correta.Justificativa: de acordo com os clculos.

    C) Alternativa incorreta.Justificativa: de acordo com os clculos.

    D) Alternativa incorreta.Justificativa: de acordo com os clculos.

    E) Alternativa incorreta.Justificativa: de acordo com os clculos.

    Questo 2 (FUVEST/2007). Uma fazenda estende-se por dois municpios A e B. A parte da fazenda que est em A ocupa 8% da rea desse municpio. A parte da fazenda que est em B ocupa 1% da rea desse municpio. Sabendo-se que a rea do municpio B dez vezes a rea do municpio A, a razo entre a rea da parte da fazenda que est em A e a rea total da fazenda igual a:

    A) 29

  • 90

    Unidade IV

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    : Fab

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    /12

    B) 39

    C) 49

    D) 59

    E) 79

    Resoluo desta questo na plataforma.

  • 91

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    ao

    : Fab

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    /12

    MateMtIca aplIcada

    REFERNCIAS

    Audiovisuais

    Gnio indomvel. Ttulo original: Good Will Hunting. Dir.: Gus Van Sant. EUA: 1997.

    O cubo. Ttulo original: Cube. Dir.: Vincenzo Natali. EUA: 1997.

    O homem que mudou o jogo. Ttulo original: Moneyball. Dir. Bennett Miller. EUA: 2011.

    Uma mente brilhante. Ttulo original: A beautiful mind. Dir. Ron Howard. EUA: 2001.

    Textuais

    ASSAF NETO, A. Matemtica financeira e suas aplicaes. So Paulo: Atlas, 1994.

    BARROSO, L. C. et al. Clculo numrico (com aplicaes). 2 ed. So Paulo: Harbra, 1987.

    BOYLER, C. B. Histria da matemtica, Traduo de Elza F. Gomide, 2 ed. So Paulo: Edgard Blcher, 2009.

    BUCCHI, P. Matemtica 2 grau, 1 ed, So Paulo: Moderna, 1992.

    CREPALDI, S. A. Curso bsico de contabilidade de custos. So Paulo: Atlas, 1999.

    CURY, M. V. Q. Finanas corporativas, 1 ed. Rio de Janeiro: FGV Management Cursos de Educao Continuada, 2008.

    GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R., GIOVANNI JR., J. R. Matemtica 2 grau orientao para o professor. So Paulo: FTD, 1988.

    MARTINS, E. Contabilidade de custos. So Paulo: Atlas,1999.

    MLODINOW, L. O andar do bbado como o acaso determina nossas vidas. Rio de Janeiro: Editora Jorge Zahar, 2009.

    MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. O. Mtodos quantitativos para economistas e administradores. In: Clculo funes de vrias variveis. So Paulo: Atual, 1982.

    NAGLE, T. T. Estratgia e tticas de preos: um guia para decises lucrativas. 3 ed. So Paulo: Pretince-Hall, 2003.

    SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; MONKEN e SILVA, L. H. Clculo numrico - caractersticas matemticas e computacionais dos mtodos numricos. So Paulo: Prentice-Hall, 2003.

  • 92

    TAHAN, M. As maravilhas da matemtica; 2 ed. Rio de Janeiro: Bloch Editores, 1973.

    TOLEDO, G. L.; OVALLE, I. I. Estatstica bsica. 2 ed. So Paulo: Atlas, 1995.

    VERGARA, S. C. Projetos e relatrios de pesquisa em administrao. So Paulo: Atlas, 2000, 1999.Sites

    Exerccios

    Unidade I Questo 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANSIO TEIXEIRA. Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2008: Matemtica. Questo 20 (adaptada). Disponvel em: . Acesso em: 8 mai. 2012.

    Unidade I Questo 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANSIO TEIXEIRA. Exame Nacional do Ensino Mdio (ENEM) 2011: caderno azul. Questo 152 (adaptada). Disponvel em: . Acesso em: 8 mai. 2012.

    Unidade II Questo 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANSIO TEIXEIRA. Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2008: Matemtica. Questo 11. Disponvel em: . Acesso em: 8 mai. 2012.

    Unidade II Questo 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANSIO TEIXEIRA. Exame Nacional do Ensino Mdio (ENEM) 2007: caderno amarelo. Questo 7. Disponvel em: . Acesso em: 8 mai. 2012.

    Unidade IV Questo 1: SECRETARIA DA FAZENDA DO ESTADO DO MATO GROSSO. Concurso pblico para agente tributrio estadual 2001: prova A. Questo 31. Disponvel em: . Acesso em: 8 mai. 2012.

    Unidade IV Questo 2: FUNDAO UNIVERSITRIA PARA O VESTIBULAR. Prova primeira fase 2007: caderno V. Questo 31. Disponvel em: . Acesso em: 8 mai. 2012.

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  • Informaes:www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000


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