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FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA – DME

CAMPUS DE JI-PARANÁ

CLAYDAIANE FERRAZ ANDRADE

MATEMÁTICA APLICADA Á AGRIMENSURA

Ji-Paraná

2012

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CLAYDAIANE FERRAZ ANDRADE

MATEMÁTICA APLICADA Á AGRIMENSURA

Trabalho de Conclusão de Curso

apresentado à Banca Avaliadora do

Departamento de Matemática e

Estatística - DME, Fundação

Universidade Federal de Rondônia -

UNIR, Campus de Ji-Paraná, como

parte dos requisitos para obtenção do

título de Licenciatura em Matemática

sob a orientação do Prof. Dr. Ariveltom

Cosme da Silva.

.

Ji-Paraná

2012

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CLAYDAIANE FERRAZ ANDRADE

MATEMÁTICA APLICADA Á AGRIMENSURA

Banca examinadora

Prof. Ms. Lenilson Sergio Candido

Prof. Dr. Ricardo José Souza da Silva

Ji-Paraná

2012

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Dedicatória

Este trabalho é dedicado à minha família, especialmente aos

meus pais Clézio e Aparecida e meu irmão Clayton pelo

amor, atenção e apoio, por sempre acreditarem no meu

potencial e estarem do meu lado em todos os momentos que

precisei, aos meus professores que me ensinaram muitas

coisas, pela paciência e sabedoria para transmitir seus

conhecimentos, entre estes estão Ariveltom, Kécio, Marcos,

Reginaldo ,Marlos, Emerson, Reginaldo, Ricardo, Alberto,

Neidimar, Lenilson, Fernando, Irene, Lidiane ,Aparecida, Ângelo,

Vania, Gisera, Elisabete e Fanny.

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Agradecimentos

Agradeço a Deus primeiramente pela minha vida por ter me dado sabedoria e

força para concluir mais esta etapa.

Aos meus pais pela dedicação e amor que sempre tiveram comigo, meu eterno e

sincero obrigada, pois me incentivaram a sempre buscar o melhor, mas sem deixar

de lado os princípios. Agradeço Mãe pelo exemplo de vida e superação que és e

Pai por ser dedicado e batalhador que abriu mão de muitas coisas para nos

oferecer e proporcionar o melhor.

Ao meu irmão pela confiança em mim depositada e apoio em todos os momentos.

Aos meus amigos pelo carinho e atenção. As amizades que fiz durante o curso,

por todos os momentos que passamos juntos, boas recordações ficarão na

memória.

Agradeço a todos os meus professores pelos conhecimentos compartilhados,

incentivo e pelas amizades construídas.

Ao meu orientador professor Ariveltom pela dedicação e atenção dispensados no

auxílio à realização deste trabalho.

Assim como, ao Sr. Valdessir Gomes Alves (técnico em Agrimensura e

Agropecuária) pelo auxílio à pesquisa de campo, fornecimento e indicação de

materiais necessários ao desenvolvimento desse trabalho.

Enfim, agradeço a todos, familiares, amigos e àqueles que contribuíram

direta ou indiretamente para que esse momento fosse concretizado.

MEU SINCERO OBRIGADA!

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RESUMO

Sendo a matemática uma importante ciência e que está presente em diversos setores da

vida do homem é de extrema relevância que todos tenham uma compreensão e

conhecimento de onde ela está aplicada. Contudo nota-se que muitas pessoas, inclusive

alunos do ensino básico desconhecem muitas aplicações da matemática e suas teorias,

criando um ponto de interrogação na cabeça de alguns, “Onde vou utilizar tal fórmula e

conceito matemático na minha vida?”. Criando assim, um rótulo para a matemática

“Meras teorias inutilizadas fora da sala de aula!”; desta forma nota-se que muitos não

veem aplicação da matemática em até mesmo objetos e serviços que utilizam no dia-a-

dia. Diante de tal situação, pretende-se mostrar conceitos e conteúdos matemáticos

ligados à trigonometria e geometria que são utilizados na agrimensura e topografia.

Atualmente, o serviço de topografia e agrimensura é necessário ao efetuar uma divisão

de terras ou loteamentos. Assim, o presente trabalho tem como objetivos mostrar a

evolução dos equipamentos topográficos ao longo da história, identificar e conhecer

com mais detalhes os conteúdos matemáticos usados pelo agrimensor tanto nos

levantamentos de campo como nos trabalhos finais de escritório, bem como, evidenciar

alguns cálculos e medições presentes em um levantamento de uma divisão rural ou

urbana. Diante disso, mostrar a possibilidade do educador usar tais conceitos aplicados

à este serviço em sala de aula.

Palavras-chaves: Agrimensura; conteúdos matemáticos; medição.

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Sumário

Introdução.....................................................................................................................08

Capítulo 1

Um pouco da história da agrimensura..............................................................12

Instrumentos.......................................................................................................16

Capítulo 2

Particularidades da agrimensura.......................................................................24

Capítulo 3

Metodologia..........................................................................................................26

Capítulo 4

Processos para medição de um terreno.............................................................27

Unidades de medidas...........................................................................................31

Medidas de área............................................................................................31

Medidas angulares........................................................................................33

Memorial descritivo............................................................................................34

Desenho ...............................................................................................................36

Tipos de escalas...........................................................................................36

Orientação geográfica .......................................................................................39

Azimutes e contra azimutes...............................................................................40

Poligonais abertas e fechadas............................................................................47

Capítulo 5

Considerações finais..........................................................................................50

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Introdução

O presente Trabalho de Conclusão de Curso- TCC busca fazer uma discussão a

respeito da matemática que está inserida dentro da agrimensura, isto é, acerca da

importância dos números no desenvolvimento desta técnica, bem como, quais

conteúdos e conceitos matemáticos o agrimensor utiliza em sua prática.

Uma das possibilidades da matemática é o poder que ela tem de ser aplicada

em vários segmentos do cotidiano. Entretanto, pelo fato dela nem sempre estar explícita,

a maioria das pessoas não a correlaciona com os fenômenos naturais circundantes,

sejam eles, físicos, químicos, econômicos e sociais, entre outros. Por isso, muitos alunos

não relacionam alguns conceitos que são vistos em sala de aula com aplicações práticas

para os mesmos.

Faz-se necessário que os educadores mostrem a matemática como uma ciência

que não é meramente composta de teorias, mas que está presente nos mais diversos

setores. Como exemplo, a área da tecnologia tem alcançado enormes avanços nos

últimos anos, que só é possível, graças à matemática, que se apresenta como um dos

pilares responsáveis por esse crescimento. A contribuição da matemática na vida do ser

humano é importante no sentido de facilitar, organizar, inovar e representar quantidades,

formas, localização, ordem, massa, força, volume, áreas, etc.

Os números têm contribuído muito para o meio científico, sendo a ferramenta

indispensável para fundamentar com veracidade, coisas essenciais à vida humana, isto é,

a matemática servindo como apoio para o desenvolvimento da ciência, assim como,

mediante os cálculos e representação numérica explicar algum fenômeno da natureza,

expor e aperfeiçoar instrumentos necessários da utilização humana, que vai desde uma

simples medição de um terreno até o mais complexo algoritmo usado na construção de

um aparelho eletrônico. De acordo com D’ Ambrósio (2003, p. 04),

A matemática começa a se organizar como um instrumento de análise

das condições do céu e das necessidades do cotidiano, e foram se

desenvolvendo ideias matemáticas, importantes na criação de

sistemas de conhecimento e, comportamentos, necessários para lidar

com o ambiente, para sobreviver, e para explicar o visível e o

invisível.

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Deste modo, diante da complexidade da matemática pretende-se aqui

apresentar entre outros ramos da matemática a geometria e trigonometria na prática da

agrimensura. Segundo o dicionário Global da Língua Portuguesa Ilustrado a

agrimensura é o “Ramo da engenharia voltada para a demarcação de terrenos,

loteamentos, divisões de terras, como também sua representação gráfica e análise das

características gerais da área em estudo”. Ainda, conforme a Enciclopédia Agrícola

Brasileira (1995,p. 84),

Agrimensura é a parte da topografia quem tem por fim o

levantamento e o cálculo das áreas de propriedades públicas e

privadas. Os limites das propriedades constam dos títulos de

propriedade (escritura) originários dos títulos primitivos

proprietários, passando pelos donos sucessivos ou desmembramentos

em parcelas autônomas, em virtude de partilhas.

A agrimensura, atividade técnica de grande utilidade, é um importante ramo da

engenharia aplicável em vários setores, que vai desde obras de pequeno porte, até obras

maiores, demarcações de terrenos de imóveis rurais e urbanos. O engenheiro agrimensor

é o profissional desta área responsável pela análise do ambiente onde será realizada a

obra, limites do terreno, entre outras funções que ele exerce; tendo como base técnicas

de medições topográficas. De acordo com a Enciclopédia Agrícola Brasileira (1995, p.

84),

[...] os principais trabalhos de agrimensura são: levantamento da

planta do terreno; demarcação dos limites; cálculo da área; partilha

ou divisão de terrenos. Sinteticamente, diz-se que a finalidade da

agrimensura é a medição de terras.

A topografia pode ser definida em linhas gerais como a ciência aplicada cujo

principal finalidade é descrever, analisar e representar uma porção limitada de superfície

terrestre após um minucioso estudo e levantamento de campo, deste modo, na

agrimensura é utilizado a topografia, principalmente na fase de execução do desenho do

terreno. Por isso, pode se dizer que a topografia e a agrimensura andam juntas, ambas

são utilizadas no levantamento de determinada superfície.

A topografia hoje tem se expandido estando presente principalmente nas

engenharias, arquitetura e agronomia, constituindo desse modo, uma prática importante

e necessária à vida do homem, pelo fato de tais áreas estarem em constante

aperfeiçoamento. Sabe-se que quando o agrimensor se utiliza da topografia, ele se

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apropria de um conjunto de operações, que podem ser: distâncias, áreas, volumes,

ângulos, orientações, entre outras, tendo como característica geral cálculos que precisam

ser feitos após levantamento de campo; desta forma para efetuar tais operações, o

profissional utiliza-se muitas vezes como apoio, cálculos matemáticos, físicos,

estatísticos e etc. Logo, destaca-se aqui a grande importância das ciências exatas no

ramo da agrimensura e topografia, mais principalmente a matemática.

A matemática exerce papel importante no desenvolvimento da topografia,

sendo uma das responsáveis pelo aperfeiçoamento dos instrumentos usados na mesma,

o que demonstra que a agrimensura e a topografia evoluíram em termos tecnológicos,

isto é, os procedimentos e técnicas atuais empregadas para fazer, por exemplo, um

desmembramento (divisão em parcelas de uma determinada superfície de terra seja

urbano ou rural) não são as mesmas de quando a agrimensura surgiu.

O TCC está estruturado da seguinte forma:

No Capítulo 1 faz uma breve discussão a respeito dos aspectos históricos no

contexto da agrimensura, isto é, cita algumas fontes que falam sobre como se deu o

desenvolvimento desta ciência. E os primeiros povos que começaram a utilizá-la, se

não, pelo menos os primeiros às que se encontram registrados de acordo com alguns

historiadores e pesquisadores. Ainda neste capítulo são abordados alguns procedimentos

que eram utilizados para medir terras, bem como os instrumentos, sua evolução com o

passar dos anos, deixando transparecer a matemática como forte propulsora ao

desenvolvimento da agrimensura.

No Capitulo 2 são discutidas algumas particularidades da agrimensura, assim

como, algumas definições relativas a esta técnica, quais os aspectos, sua abrangência e

função no mundo atual.

O Capítulo 3 discorre sobre a metodologia utilizada para responder às questões

e discussões apresentadas, isto é, como se deu a pesquisa, como foi feita a coleta de

dados e sua análise.

No capitulo 4 apresenta-se a interpretação dos dados, resultantes da

investigação em uma pesquisa de campo, com um agrimensor especializado, prestador

de serviços à cidade de Ji-paraná e regiões vizinhas.

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Por último no capítulo 5 expõem-se as considerações finais e as discussões que

norteiam todo o universo da pesquisa e, finalmente as referências bibliográficas que

foram usadas para o embasamento e fundamentação da investigação, isto é, matérias e

acervos que discutam sobre este assunto pesquisado da presente monografia.

Acredita-se que esta pesquisa ao ser publicada contribua para fomentar aqueles

que desejam saber qual o papel da matemática e onde ela está inserida na prática, assim

como a importância da mesma não só com teorias matemáticas, mas também, como

facilitadora e inovadora na vida do homem.

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Capítulo 1

1.1 - Um pouco da história da agrimensura

Desde os tempos remotos, a muitos séculos ou milênios atrás, a raça humana

era composta por famílias patriarcas ou tribos, que para seu sustento extraíam o

alimento da própria natureza. Com o crescimento de suas populações, sentiram a

necessidade de demarcar suas próprias áreas, por motivos também dos conflitos que

eram constantes. A área era de acordo com a população e sua atividade rural, sendo que

uma parte era agrícola, outra para criadores de rebanhos diversos. Para demarcação

dessas áreas utilizavam-se medidas como, por exemplo, dedo, palmo, côvado, braças e

jeira, sendo estas algumas medidas antigas, que se relacionam com o sistema métrico

decimal da seguinte forma:

1 Dedo = 1,80 cm

1 Palmo = 22,2 cm

1 Côvado = 44,4 cm

1 Braça = 1,80 m

1 Jeira = 1 quadrado de 50m x 50m = 2500 m²

Com o desenvolvimento tecnológico novas medidas e aparelhos foram sendo

criados; as medidas como metro (m) e seus submúltiplos (dm, cm e mm) , hectares¹ (e

seus submúltiplos, ares e centiares) e alqueires são de suma importância para a

agrimensura.

A técnica de agrimensura desde muito cedo se fez presente na vida das pessoas,

notadamente no Egito. De acordo com Boyer (1996, p.04)

O fato de os geômetras egípcios serem às vezes chamados

“estiradores de corda” (ou agrimensores) pode ser tomado como

apoio de qualquer das duas teorias, pois cordas eram

indubitavelmente usadas tanto para traçar as bases de templos como

para realinhar demarcações apagadas de terras.

Nas enchentes periódicas do Rio Nilo os egípcios desenvolveram sua

matemática de forma indutiva, isto é, sendo de forma prática (tanto na agrimensura, na

¹ 1 ha (hectare) = 10 000 m²

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arquitetura e também nas obras de irrigação). Nos períodos das plantações às margens

do Nilo era feitas delimitações dos terrenos para o plantio, por exemplo, de arroz; mas

com a enchente anuais do Rio Nilo a demarcação dos loteamentos para a plantação era

apagada com a água, assim sendo, para a delimitação dos pedações de terras novamente

os egípcios utilizavam-se de aparelhos e métodos baseados nos cálculos geométricos e

trigonométricos. Conforme Garbi (2006, p.15),

Escrevendo, no século V a. C., sobre a história do Egito, o grego

Heródoto (o pai da História) disse o seguinte: “Esse faraó (Sesóstris)

realizou a partilha das terras, concedendo a cada egípcio uma porção

igual, com a condição de ser-lhe pago todos os anos certo tributo; se

o rio carregava alguma parte do lote de alguém, o prejudicado ia

procurar o rei e expor-lhe o ocorrido.” O soberano enviava

agrimensores para o local, para determinar a redução sofrida pelo

terreno, passando o proprietário a pagar um tributo proporcional ao

que restara.

Essa prática não só esteve presente no Egito antigo, mas também no mundo

Árabe e Grego, onde utilizavam a agrimensura para delimitar terras e descrevê-las,

assim como o uso da topografia para elaboração de mapas e plantas; desta forma com o

uso dessa técnica continuamente aperfeiçoaram instrumentos necessários que

facilitavam a avaliação das propriedades. Espartel (1969, p. 04) menciona que:

Os egípcios, os gregos, os árabes e os romanos nos legaram

instrumentos e processos que, embora primitivos, serviram para

descrever, delimitar e avaliar propriedades rurais, com finalidades

cadastrais; na História da Topografia,... são mencionadas plantas e

cartas militares e geográficas bem interessantes, organizadas nos

primórdios da Topografia, ou melhor, da chamada Geometria

aplicada.

Para Borges (1997, p.01), “a topografia [do grego topos (lugar) e graphein

(descrever)] é a ciência aplicada cujo objetivo é representar, no papel, a configuração de

uma porção de terreno com as benfeitorias que estão em sua superfície.” De acordo

Comastri (1992, p. 13),

“Para a satisfação dos diversos desejos do homem na sua vida

profissional, tem ele às vezes necessidade de um estudo mais

detalhado e da representação gráfica de uma parte da superfície

terrestre, bem como suas divisões internas, entre outras

características. Para a execução desse trabalho, o engenheiro

agrimensor se apropria de alguns recursos entre eles, recorrer ao

estudo da topografia”.

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Segundo Espartel (1969, p.08), “a medida das superfícies agrárias foi a

primeira tarefa de que se incumbiu a Topografia desde a antiguidade, razão por que a

mesma era chamada agrimensura...”

Não só a questão da medição era importante naquela época, os egípcios

também utilizavam a representação no papel das áreas mapeadas. Nota-se que desde o

passado a topografia e agrimensura vêm se expandindo e desenvolvendo, mesmo com a

queda de certos povos, como, por exemplo, no Império Romano. Para Assad (1998,

p.04),

No antigo Egito e durante o império Romano, os agrimensores com

seus mapas formavam um setor importante dentro da organização

governamental. Com a queda do império Romano, o conhecimento

geográfico foi ampliado pelo Islã.

Segundo Assad (1998, p.04), “somente com o início das navegações oceânicas,

nos séculos XIV e XV, é que os governos europeus resgataram a importância de

mapas”. Desta forma, para o mapeamento sistemático dos seus territórios foram criados

mapas para definir a topografia de suas colônias e territórios. De acordo com Assad

(1998, p.04),

Com o desenvolvimento dos países europeus ocidentais, houve um

crescimento da influência de sua cultura para o resto do mundo e,

consequentemente, das ideias e dos métodos de como fazer mapas. A

realização de novos estudos... principalmente relacionados ao

recursos naturais, levou o surgimento de mapeamentos específicos,

como os de distribuição de tipos de solos, de uso do solo, vegetação,

etc.

No período do Egito Antigo a economia daquele lugar se baseava nas

plantações do Rio Nilo, deste modo, a agricultura era uma prática muito importante e

constante para os moradores daquela região, sendo assim, existiam os agrimensores,

funcionários estes do governo que eram responsáveis para divisão das áreas e

acompanhamento desses plantios a beira do Rio. “Nos tempos dos romanos, os

agrimensores participavam como um importante segmento de poder no governo” (Silva,

2003, p.38). Com o declínio do Império romano, os levantamentos topográficos e a

confecção de mapas também foram influenciados, entrando em desvanecimento. Ainda

segundo Silva (2003, p.38),

Somente no século XVIII, a civilização europeia retomou a realização

de mapeamentos sistemáticos, quando corporações governamentais

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foram instaladas a produzir mapas topográficos em vários países.

Como o poder da Europa cresceu globalmente, sua influência em

termos de ideias e métodos de confecção de mapas deixou marcas

ainda hoje presentes na cartografia clássica.

Não só o processo técnico se desenvolveu ao longo do tempo na agrimensura e

topografia, mas também junto alguns instrumentos, ou seja, alguns grandes nomes como

Kleper em 1600 e outros personagens foram grandemente responsáveis pelo

aperfeiçoamento desses aparelhos. Conforme Espartel (1969, p.05),

Os progressos realizados na parte óptica dos instrumentos, devidos a

Kleper (1600), Porro, Zeiss, Wild e outros; na medida direta das

distâncias, devidas a Porro, Bessel, Jaderin; na leitura de ângulos,

devidas a Vernier e P. Nonius, Bauerfeind... deram à topografia o

valor que realmente tem como ciência e como técnica no

levantamento topométrico preciso do terreno e na representação

gráfica equivalente, servindo como apoio de qualquer trabalho de

engenharia e agrimensura.

A criação da fotogrametria (segundo o dicionário Aurélio é a técnica de

determinação da altimetria, nos levantamentos cartográficos, por meio de pares de

fotografias tiradas simultaneamente por duas câmeras mantidas a distância constante

uma da outra) e o sensoriamento remoto (De acordo com Novo, “a aquisição de

informação sobre um objeto sem que se entre em contato físico com ele”) contribuíram

muito para o desenvolvimento da topografia tanto no aspecto de mapeamento e sua

representação quanto nos sistemas de aparelhagem, o que mais a frente contribuiria para

geração de registro de dados e sensores funcionando como sistema de aquisição de

informações relativas a questões astronômicas. Desta forma, tais dados poderiam depois

ser utilizados na topografia e agrimensura. Segundo Novo (1998, p 02),

Podemos, então, a partir de agora, definir sensoriamento remoto

como sendo a utilização conjunta de modernos sensores,

equipamentos para processamento de dados, equipamentos de

transmissão de dados, aeronaves, espaçonaves, etc... com o objetivo

de estudar o ambiente terrestre através do registro e análise das

interações [...].

Desta forma, com o tempo o sensoriamento remoto e a fotogrametria foram sendo

aperfeiçoadas contribuindo para a criação da estação total e o GPS (Global Positioning

System), que são aparelhos que trabalham basicamente com informações via satélite com

coordenadas e pontos conhecidos da terra, ou seja, possui um sistema de informações da terra

(imagens, levantamentos aéreos, espaciais e terrestres, análise monitoramento dos aspectos

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geográficos aplicados a geomorfologia ambiental, radares e monitoramento da terra). Para

Assad (1998, p.04),

“No século XX, a confecção de mapas topográficos e temáticos foi

intensificada. A fotogrametria e o sensoriamento remoto permitiram o

mapeamento de amplas áreas, com elevado grau de exatidão.

Também surgiram os métodos matemáticos e estatísticos para o

tratamento das informações geográficas contidas nos mapas.”

Os sistemas de sensoriamento remoto que são utilizados atualmente fornecem

dados sobre a superfície da terra, tais dados são de grande utilidade nas áreas urbanas,

agrícolas, florestais, geológicas, militares e destacando também na área cartográfica (no

mapeamento topográfico usado na agrimensura e topografia, mapeamento temático e

atualização dos dados sobre a terra).

Dentro da história é de suma importância destacar a agrimensura na vida do ser

humano, ela veio para facilitar tanto na medição de áreas como na repartição de terras

para herdeiros e sucessores, evitando muitos conflitos e até mortes de pessoas

envolvidas em partilhas de espólio².

Para o desenvolvimento de muitos povos e, hoje nações, a agrimensura foi e é

de grande relevância para o governo, na demarcação e distribuição de terras para

assentamentos. Deste modo, gerando emprego, renda e melhoria na qualidade de vida

de milhares de pessoas que viviam no anonimato e precárias condições de vida, dando

as elas dignidade e condições de crédito para se desenvolverem e consequentemente

aumentando a renda do país em que vivem.

A agrimensura foi e é de extrema importância na abertura de rodovias e

estradas vicinais para o escoamento da produção e transporte de pessoas, fortalecendo o

comércio e assim aumentando a receita dos governos municipais, estaduais e federais,

como consequência aumentando a riqueza da nação.

1.2 INSTRUMENTOS

Ao longo do tempo, muitos foram os intrumentos utilizados na agrimensura,

assim como outras áreas evoluíram tanto em questões de técnicas ou aparelhos, na

agrimensura também não diferente, com o passar dos anos com o desenvolvimento do

²Segundo o dicionário Global da Língua Portuguesa Ilustrado, espólio é: bens que ficam por

morte de alguém.

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ser humano, os aparelhos de medição e de uso do agrimensor foram sendo

aperfeiçoados, desta forma, abaixo segue alguns desses instrumentos, deixando claro

que podem existir alguns aparelhos que não foram citados por falta de registros e

bibliografia que fale do mesmo claramente. Porém vale lembrar que o mesmo aparelho

dependendo da região onde se utilizava poderia variar o modelo, ou ter pequenas

diferenças em relação ao material usado para confecção.

A corda se não é o primeiro instrumento usado para facilitar a medição dos

terrenos, mas é um dos mais rudimentares utilizados para demarcar as porções de terras

principalmente entre os povos antigos, principalmente entre os babilônios conhecidos

como “estiradores de corda”.

Já usando a ideia de ângulos, outro instrumento utilizado foi o “Gnômom”, de

acordo com o dicionário Global da Língua Portuguesa Ilustrado, é “um instrumento que

marca a altura do sol; relógio solar”. Dados registram que um dos primeiros a utilizá-lo

foi Eratóstenes um dos que se prôpos a calcular a circunferência da terra. De acordo

com González e Mingorance,

Por volta do ano de 560 a.C. não se tem referência a existência e

construção de nova instrumentação até que Anaximandro de Mileto,

introduzisse o "Gnômon". Acredita-se que este se baseou em alguma

referência dos babilônios ou egípcios. Entre os primeiros usuários

deste novo instrumento encontramos Metón, que determinou a direção

do Norte e Eratóstenes que calculou a circunferência da Terra.

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Figura 1: Metódo empregado por Erastótenes para medir a circunferência da terra

Fonte:http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/index.php?idSecao=112&idSubSecao=&idTexto=9

6

Ainda usando os conceitos de ângulos entra outro aparelho muito utilizado no

passado para medição, que seria a “Diopra”. Um instrumento necessário para medir

ângulos e também para nivelamento de um terreno ou plataforma.

Figura 2: Diopra

Fonte: http://www.ufrgs.br/museudetopografia/Artigos/Instrumentos_de_topografia.pdf

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Para o lançamento, no campo, utilizam-se o nivelamento geométrico (simples ou

composto). Sendo que os instrumentos utilizados denominados níveis, variam que podem ser de

luneta, de mangueira, de pedreiro, ou até mesmo, os rudimentares chamados “trapézios”

(Figura. 03) ou “pés de galinha” (Figura. 04) (JOSÉ ANIBAL; COMASTRI & TULER, 2010).

Figura 03: Trapézio utilizado em marcação de

curvas de nível

Figura 04: Pé de Galinha utilizado em marcação de

curvas de nível

Fonte: Comastri & Tuler. Topografia altimetria. Pág. 59 e 193.

Para medir ângulos verticais antigamente era usado o quadrante, um instrumento

de medição que possui formato de um leque aberto. “Ptolomeu, no ano de 150 a. C.,

descreveu o quadrante, aplicando-o nas observações astronômicas. Para ângulos

verticais, as réguas de Ptolomeu foram utilizadas até a idade média” (GONZALEZ, p.

03).

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Figura 5: Quadrante

Fonte: http://www.ufrgs.br/museudetopografia/Artigos/Instrumentos_de_topografia.pdf

A Groma considerada no passado como o símbolo do agrimensor consistia em

um esquadro óptico suspenso por um prumo que possui quatro quadrantes, muitos

utilizadas para traçar linhas retas contendo ângulos retos, que por sua vez muito

utilizada pelos romanos nas medições topográficas. Segundo GONZALEZ (2008, p.

04),

Os romanos foram os portadores dos conhecimentos gregos para a

Europa, usaram a "Groma", que consta de uma cruz excêntrica, com

prumadas em seus extremos... Vitruvio faz referência aos carros

medidores de distâncias por meio de contadores de voltas, embora as

medidas de precisão fossem obtidas a passos mediante contadores de

passos. Além das descrições de Vitruvio, se encontraram em Pompéia

distintos instrumentos no laboratório de um Agrimensor. Também

Vitruvio foi o construtor do primeiro esquadro aplicando o

fundamento do triângulo retângulo de Pitágoras (lados de 3-4-5

metros).

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Figura 6: Groma

Fonte: http://www.ufrgs.br/museudetopografia/Artigos/Instrumentos_de_topografia.pdf

A bússola consiste em um aparelho que contém uma agulha magnética móvel

em torno de um eixo central de gravidade. Segundo Comastri (p. 34 e 35, 2002),

Consta de uma agulha imantada, que repousa sobre um pivô no

centro de um limbo graduado. Mede os ângulos formados pelas linhas

do terreno com direção do meridiano magnético... acondicionada em

uma caixa metálica[...]o ângulo entre o meridiano magnético de um

ponto qualquer do terreno e o plano de alinhamento que passa pelo

mesmo ponto chama-se azimute.

O limbo graduado da bússola pode ser de 0° a 360° ou de 0° a 90° em quadrante.

Chama-se rumo quando o limbo for graduado em quadrantes.

Figura 7: Bússola

Fonte: http://www.gianodo.it/cur/?page_id=3

A bússola foi e é um dos objetos fundamentais na topografia, até porque sua

função é determinar a orientação em direção horizontal, o que possibilita medir os

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azimutes e contra azimutes. A bússola e a invenção do telescópio foram importantes

para o desenvolvimento do teodolito posteriormente.

A criação do teodolito foi de grande importância para os agrimensores e

topógrafos, por mais que os primeiros foram mecânicos, mas eles reduziam

significativamente o tempo para se fazer um levantamento topográfico e além disso,

também sendo mais precisos.

Definição de teodolito segundo dicionário Aurélio:

“Instrumento óptico para medir com precisão ângulos horizontais e verticais, muito

usado em trabalhos topográficos e geodésicos.”

Figura 8: Exemplo de um Teodolito mecânico ou ótico.

Atualmente, os engenheiros agrimensores ou técnicos em agrimensura utilizam

ferramentas modernas aliadas à matemática, geografia e estatística, disciplinas estas,

grandes responsáveis pelo desenvolvimento tecnológico dos instrumentos e aparelhos

utilizados pelo agrimensor. Estas tecnologias modernas são imprescindíveis para

executar o sensoriamento remoto, o posicionamento e localização através de satélites,

geoprocessamento, georreferenciamento, entre outras técnicas e serviços que estão

ligadas a agrimensura.

Um dos aparelhos mais recentes usados na topografia e agrimensura, para fazer

as medições e colher os dados do terreno tais como as coordenadas das posições ( x, y,

z) é a estação total, na qual se permite a transmissão de dados através dos satélites por

exemplo. É um instrumento eletrônico de grande utilidade na medição de ângulos e

distâncias, em que seu banco de dados é feito basicamente através da trigonometria. A

estação é capaz de recolher dados e efetuar alguns cálculos mesmo estando no campo.

Page 23: Matemática aplicada a agrimensura

23

Figura 9: Estação total com precisão de erro de até 10 segundos.

Page 24: Matemática aplicada a agrimensura

24

Capitulo 2

2.1.Particularidades da agrimensura

O profissional formando em engenharia de agrimensura (engenheiro

agrimensor) é o responsável em fazer muitos serviços principalmente de caráter

geográfico, ou seja, o agrimensor faz o levantamento topográfico, a fim de representar

superfícies terrenas, projetando para determinada obra, convertendo assim para o papel

tais superfícies geométricas em planas, garantindo o mapeamento do espaço físico.

Umas das funções do agrimensor são projetar estradas, fazer as demarcações e

análises necessárias para terraplanagem e construções de barragens, determinação de

limites de terreno e sua mensuração, demarcação de linhas para montagem de redes de

alta tensão, coletar e formar bancos de dados com informações topográficas sobre

determinadas regiões rurais e urbanas, fazer levantamento planialtimétrico, orçar

propriedades que envolvam hipotecas e penhora, mapear superfícies territoriais,

desmembramento ou parcelamento de imóveis rurais (como divisão de bens,

inventário), ou urbanos, determinação dos pontos notáveis da obra, levantamentos de

projetos de plantio, entre outras. Desta forma, por se tratar de uma área bem abrangente,

e que está presente em vários campos, pretende-se aqui concentrar esse estudo somente

em um deles, destacando alguns conceitos matemáticos presentes no trabalho do

agrimensor ao realizar um “desmembramento”, isto é, de terrenos rurais e urbanos.

Para representar e projetar qualquer obra na engenharia, arquitetura e também

na agrimensura é necessário fazer um levantamento ou medição, a qual deve ser precisa;

para efetuar esse processo é utilizada a topografia, que se responsabiliza em fazer o

levantamento topográfico.

Dentre as competências que cabe a topografia realizar, está a representação da

extensão da área do terreno através da planta definitiva (planta ou desenho topográfico),

que consiste em representar por meio de desenho o levantamento realizado, isto é, sua

configuração visual, bem como localização, medições, enfim suas características

necessárias para o detalhamento do objeto analisado. A representação topográfica

consiste em uma projeção ortogonal contendo todas as características de uma superfície

Page 25: Matemática aplicada a agrimensura

25

em análise, sendo as distâncias medidas com trenas ou equipamentos eletrônicos. Por

meio de pontos obtidos no levantamento do terreno são medidos ângulos, bem como sao

feitos alinhamentos, sendo estes horizontalmente ou verticalmente a fim de melhor

representar geometricamente a área estudada.

Page 26: Matemática aplicada a agrimensura

26

Capitulo 3

3.1. Metodologia

Inicialmente foi realizada uma revisão bibliográfica e histórica, para se ter

embasamento teórico, começando pelo surgimento da necessidade e utilização da

agrimensura, os principais teoremas e conceitos da geometria e trigonometria, bem

como outros tópicos relacionados.

Posteriormente foi feito uma pesquisa de campo de acompanhamento de um

agrimensor da região, com o objetivo de conhecer o trabalho de campo e de escritório

deste técnico, quais as técnicas utilizadas por ele, bem como os instrumentos que utiliza

em sua prática profissional. Como a agrimensura é uma área bastante ampla, este

trabalho detalhará apenas a parte necessária a divisões de terras e loteamentos urbanos

trabalho que ele realiza ao fazer divisões de terras e loteamentos.

Neste caso, a pesquisa de campo, foi realizada na TOPOGEO- Topografia e

Georreferenciamento de Imóveis rurais e urbanos, localizada em Ji-paraná – RO, cujo

responsável técnico é o Sr. Valdessir Gomes Alves (técnico em Agrimensura e

Agropecuária).

Em seguida fez-se uma entrevista com o agrimensor sobre a história e evolução

dos diversos equipamentos utilizados na agrimensura, mostrando as dificuldades na

realização dos cálculos antes do advento da calculadora e dos computadores e softwares

usados na confecção de mapas topográficos. Finalmente mostrar a utilização de quais

conteúdos matemáticos principais o técnico utiliza em sua prática de trabalho e, assim a

partir de definidos os conteúdos matemáticos, elucidar as definições e propriedades dos

mesmos.

Page 27: Matemática aplicada a agrimensura

27

Capitulo 4

4.1. Processos para medição de um terreno

Para o trabalho de campo na agrimensura e topografia, necessitam-se do

engenheiro agrimensor e também os técnicos habilitados - os chamados assistentes para

efetuar o manuseamento dos aparelhos de medição assim como, dar suporte técnico ao

agrimensor, na qual cabe a tarefa de realizar as medições e marcações (a parte prática in

loco).

Na necessidade de realizar seja um loteamento ou um inventário, contrata-se um

agrimensor para fazer as divisões dos pedações de terra, com as medições devidas e

elaboração de documentos a partir dos dados colhidos para certificação e validação que

comprove a autenticidade do processo. Até porque para efetuar uma divisão de terra

dentro da legalidade, deve-se ter um levantamento exato do objeto a ser avaliado e

dividido. Segundo Comastri (2002, p.13),

A ação de divisão consiste em dividir um imóvel comum entre dois ou

mais condôminos, proporcionalmente à força de seus títulos de

domínio. Para proceder a uma divisão, é necessário que sejam certos

os limites do imóvel e os extremos que o confinam, fazendo dele um

todo distinto e autônomo.

Por exemplo, quando morre alguém que possua bens e dentre estes seja sítio,

os respectivos herdeiros para tomarem posse desse imovél deverão fazer o inventário,

isto é, neste inventário, constará a escritura individual de cada herdeiro, ou seja, do seu

pedaço de terra.

A demarcação e a divisão de terras podem ocorrer de duas maneiras:

sendo judiciais ou amigáveis (comum acordo entre as partes). Não

importando qual destes, a demarcação in locco deve ser executado

pelo agrimensor. “[...] Os trabalhos técnicos são feitos pelo

agrimensor.” Comastri (2002, p.14).

O agrimensor fará a partilha do sítio em partes iguais para cada filho, desta

forma, fará o levantamento da área total; em seguida fazer a divisao em loco, ou seja,

dividirá o sítio de acordo com o número de herdeiros, conforme acordo entre os

mesmos. De acordo com os escritos de Comastri (2002, p.14),

Para a validade da demarcação e divisão amigavéis, exigem-se:

consentimento de todos os confrontantes, em se tratando de

demarcação, ou de todos os condomínios, em caso de divisão.

Page 28: Matemática aplicada a agrimensura

28

Outorga uxória (participaçao obrigatória dos cônjuges em cada um

dos atos), se os confinantes foram casados. Capacidade de

manifestação livre da vontade dos confinantes ou condôminos.

Ao anotar os dados necessários in loco, o agrimensor jutamente com sua equipe,

fará a escritura de cada parte do sítio, na mesma deverá constar o memorial descritivo,

que consiste em um papel contendo todas as informações relativas ao pedaço de terra,

sua localização, suas coordenadas, medição, mapa ou planta, entres outras.

Procedimentos para fazer uma divisão de terra:

Após chegar ao local, o agrimensor primeiramente fará a localização dos marcos

de concreto conforme a Figura 10, isto é, são uma espécie de mini-blocos de concreto

que limita a terra ou sítio nos quatro cantos da mesma. Esse tipo de divisão ocorre

quando a área a ser dividida já é limitada, ou seja, desse modo fará a divisão em

parcelas menores dessa parte.

Figura 10: Modelo de um marco de concreto.

Fonte: http://www.artecpc.com.br/prod_marco.htm

Os marcos foram implantados nos lotes rurais. Esses marcos foram colocados

pelo INCRA (Instituto Nacional de Colonização e Reforma Agrária), na época da

divisão e distribuiçao de terra para cada pessoa. Por exemplo, na região de Rondônia a

maior concetraçao de demarcação de lotes foi no período da década de 70 aonde vieram

muitos migrantes principalmente dos estados da região Sudeste e da região Sul do

Brasil, em busca de terras, visando melhores condições de vida.

Page 29: Matemática aplicada a agrimensura

29

Este primeiro contato do agrimensor consiste na execução de serviço de campo

através do profissional habilitado e credenciado, assim como, a preparação dos

materiais e documentos necessários para o envio ao INCRA, obedecendo aos trâmites

legais. O agrimensor fica de posse da estação e os outros dois assistentes com os

prismas (o prisma tem a finalidade de refletir o sinal da estação total, onde esse local

seria o ponto de interesse) distanciados.

Figura 11: Prisma refletor circular com suporte.

Fonte: http://tiendacarto.com/prisma-circular-con-soporte-metalico-estandar.html

Basicamente o levantamento de um terreno é constuído destas etapas

principais:

1- Planejamento e preparação dos equipamentos

2- Coleta de dados

3- Transferência dos dados para o computador

4- Manipulação dos dados para execução de cálculos

5- Elaboração do desenho

Assim, após a localização dos marcos nas extremidades do lote, em seguida

posiciona-se a estação total (aparelho de medição usado atualmente) devidademente no

ponto, caso o terreno seja irregular, o agrimensor deverá regular de acordo com o nível

padrão da estação. Depois de instalar o aparelho no ponto da estação, o próximo

procedimento será informar o nome do arquivo para ser arquivado (para arquivo novo),

ou selecionar o arquivo em list (continuação do mesmo trabalho); informar a estação e o

Page 30: Matemática aplicada a agrimensura

30

nome do ponto, isto é, ponto tomado como referência inicial da medição, chamado

ponto significativo e informar a altura do instrumento. Localizar o prisma e colocar a

altura do sinal do mesmo.

Segue abaixo o visor de uma estação total, fazendo medições em um perímetro

urbano. Sendo:

Pt = número do ponto

Hp = altura do instrumento

Hz = ângulo horizontal

V= ângulo vertical

Dh: diferença de altura

Figura 12: Visor de uma estação total ou teodolito digital.

Se as medições forem em regiões rurais deve-se procurar o local mais

apropriado para instalação do aparelho retirando as barreiras que impedem a visão do

agrimensor como, por exemplo, árvores ou galhos, se não for possível retirar tais

obstáculos o agrimensor pode fazer um desvio angular, ou seja, girar 90° a fim de que a

leitura seja feita sem nehuma obstáculo.

Após colher os dados com o aparelho de medição, os dados serão levados para

o escritório a fim de fazer os cálculos necessários e o memorial descritivo do local. Nos

dias atuais os dados obtidos da estação total (aparelho usado atualmente) são

transferidos para um sofware de computador que compete realizar os cálculos, para

gerar os relatórios, fazer o desenho ou planta do imóvel e o memorial descritivo. Os

Page 31: Matemática aplicada a agrimensura

31

mais utilizados hoje são o Auto CAD e o Topograph. De acordo com o tutorial do

sistema Topograph, Char*Pointer informática, (p.01),

O sistema Topograph é responsavel pelos cálculos de topografia... As

cardenetas de levantamento de campo podem ser introduzidas a partir

de dados levantados por diversos tipos de equipamentos, como

estações totais, distanciômetros... a introdução desses dados é feita de

forma manual... Ou a partir da transferência automática de dados

entre uma estação total eletrônica e o computador. O número de

poligonais por cardeneta é ilimitado.

4.2.Unidades de medidas

4.2.1.Medidas de área

As grandezas mais utilizadas na agrimensura e na topografia são distâncias e

ângulos, assim como, áreas (metro quadrado) e volumes (metros cúbicos). Entretanto

em particular na agrimensura quando se trata de medições rurais, são empregadas outras

medidas, no caso o alqueire, podendo este ser alqueire paulista ou mineiro e o hectare.

1 alqueire paulista= 24200 m²

1 alqueire mineiro= 2 vezes o alqueire paulista= 48400 m²

1 hectare (ha) =10000 m²

Para levantamento topográfico de um lote são necessárias as medidas de áreas e

perímetro do imóvel. Conceitos estes da geometria indispensáveis para demarcação de

um terreno por exemplo. Como foi visto anteriormente o conceito de área e perímetro

surgiu da necessidade prática do homem; no Egito era usada na delimitação de terras

para serem cultivadas, sendo os impostos calculados à serem pagos ao Faraó de acordo

com a proporção do terreno.

A área por ser uma superfície plana esta pode ser irregular ou regular; dentro da

geometria plana na matemática encontramos tais figuras como retângulo, trapézio,

quadrado, elipse e outras formas de figuras planas. Todas estas podem ser medidas em

metro quadrado, sendo que cada uma possui uma fórmula diferente para que seja

calculada a área. Segue abaixo um exemplo de cálculo de área em uma superfície

regular, no caso o quadrado.

Page 32: Matemática aplicada a agrimensura

32

Figura 13: Demonstração de cálculo de área.

Portanto, nesta figura 13, têm-se 36 quadradinhos de um metro cada um, isto é,

toda esta região medindo 6 x 6 foi dividada em quadrados, obtendo no total 36

quadrados.

Assim, para calcular a área de qualquer superfície quadrada basta tomar sua

medida de comprimento lateral e elevar ao quadrado.

=> A= L² = L. L

E na agrimensura dependendo do formato do terreno teremos uma maneira de

calcular sua área, que antigamente era calculado à mão, já hoje, existem os aparelhos

para executar tais cálculos.

Já o perímetro seria a medida de toda superficie na lateral, ou seja medida de

todo o cortono da superfície. Na agrimensura é indispensável a medida do perímetro,

(conforme a Figura 16) visto que, se faz necessário para efetuar as divisóes

devidamente, considerando todas as proporções. Ou seja, a posição das divisões do

terreno dependerá de seu respectivo contorno.

1 m

1 m

6 quadrados medindo

um metro cada um.

6 quadrados

medindo um metro

cada um.

Total de quadrados:

6m x 6m = 36 m²

Page 33: Matemática aplicada a agrimensura

33

Figura 14: Demonstraçao de cálculo do perímetro.

4.2.2.Medidas angulares

Nas medidas de ângulos são usados os graus sexagesimais ou grados centésimos.

Na trigonometria o grau sexagesimal se baseia na circunferência. Parte do conceito de

que a mesma possui 360 graus e que cada grau corresponde a 60 minutos e cada minuto

corresponde a 60 segundos, ou seja,

Umas das unidades de medida utilizada na planta de um terreno é: graus

minutos e segundos citados acima. Ou seja, as medições laterais do terreno são em

graus minutos e segundos conforme mostra a Figura 14.

Quadrado de lado 6 metros

Perímetro= (6m). ( 4 lados)

Ou 6 + 6 + 6 + 6= 24 metros

Page 34: Matemática aplicada a agrimensura

34

Figura 14: Desenho de um terreno

4.3. Memorial descritivo

Depois de feitas as medições e colher todos os dados necessários em campo, tais

dados são levados para o trabalho de escritório. Como parte do documento que será

feito a respeito da área em estudo, isto é, na escritura do terreno deve conter o memorial

descritivo do local. Nele deve ter as especificações tais como, o número do lote, o

nome do proprietário, o município, comarca, estado, código, medida de área geralmente

dada em hectares, perímetro, também conter o método empregado, isto é, o instrumento

utilizado para medir, estação (vértice) a descrição do perímetro e por último anexado ao

memorial deve ter o desenho do lote ou terreno. Os tipos de memorial descritivo podem

variar, ou seja, no mesmo deve ter obrigatóriamente certos dados do lote, mas sua forma

Medida

em graus

minutos e

segundos

Page 35: Matemática aplicada a agrimensura

35

de apresentá-los (layout ou configuração da página) podem variar dependendo do

agrimensor responsável. Abaixo são apresentados dois modelos diferentes de memorial

descritivo, conforme as Figuras 15 e 16, (memorial descritivo relativo à mesma área da

Figura anterior) dois modelos de memorial descritivo, que são utilizados na região.

Lembrando que mesmo em uma mesma região, podem ter modelos diferentes, isto é,

contendo as mesmas informações, mas reorganizados de forma diferenciada.

Figura 15: Memorial descritivo

Page 36: Matemática aplicada a agrimensura

36

Figura 16: Memorial descritivo

4.4. Desenho

Os desenhos são feitos em ambiente digital, isto é, por meio de softwares são

geradas representações de determinado local a partir de delimitações fornecidas em

planilhas do computador, em ambiente digital apropriado (software).

4.4.1.Tipos de escalas

Quando se deseja ampliar alguma imagem, ou reduzir, quer seja uma imagem

apenas criada ou representativa a partir de uma superfécie específica usa-se a escala.

Quando se desenha uma planta em escala, plantas de casas, loteamentos, prédios, entre

outros, intenção é ter uma visão global do objeto em estudo.

Orientação

geográfica

Page 37: Matemática aplicada a agrimensura

37

Os mapas geográficos são feitos a partir de uma escala, isto é, ao visualizar um

mapa do Brasil, por exemplo, observa-se que houve uma diminuição da àrea real, a fim

de poder representar no papel, mas não deixando de mostrar as limitações das fronteiras

e divisão dos estados, bem como a configuração original e seus cortes; sendo que

independente do tamanho do mapa, a sua proporcionalidade é mantida. As fotos ou

desenhos geralmente obedecem a um padrão de tamanho, mas na hora de fazer uma

redução ou apliação da imagem em questão, a proporção deve ser matinda a fim de

evitar as distorções, isto é, se a largura for dobrada, a altura também deverá ser dobrada;

o mesmo ocorre nas reduções.

Deste modo, na confecção de qualquer mapa usa-se a proporção entre as

distâncias do desenho e as distâncias reais, ou seja, seu tamanho original. Existem

alguns tipos de escalas, a mais apropriada varia de acordo com o objeto a ser

representado e também de acordo com o tamanho da superfície em questão. Para Silva

(2003, p.79),

A noção de escala está muito ligada a qualquer representação de

feições do mundo real em papel. A escala é definida como sendo o

mecanismo de transformar distâncias reais na superfície da terra em

distâncias compatíveis com os tamanhos de um determinado mapa.

Segundo Silva (2003, p.79) “dois tipos de escalas podem ser classificadas: a

escala principal e a local.” A escala principal é definida como sendo a razão do

comprimento verdadeiro do desenho e o comprimento equivalente sobre a superfície. Já

a escala local é a razão entre o comprimento real da linha do desenho ou do mapa, e o

comprimento verdadeiro da linha expressa em porcentagem. Transformando em

linguagem matemática, se configura dessa maneira, podendo variar conforme metódo

usado para calcular a escala da superfície.

I. Escala principal:

, sendo p= a escala principal, = comprimento no mapa e =

comprimento equivalente da superfície da terra.

II. Escala local

Page 38: Matemática aplicada a agrimensura

38

, sendo L=escala local, =comprimento da linha no

mapa e = comprimento verdadeiro da linha.

As escalas grandes são usadas quando se deseja apresentar informações

detalhadas, permitindo que pequenos detalhes sejam desenhados. Já as escalas

pequenas, permitem a representação de áreas grandes, com isso, as mesmas omitem

alguns detalhes ou pormenores. Segundo Comastri (2002, p.17),

O engenheiro agrimensor deve usar a escala adequada ao trabalho,

ao terreno e às condições de economia de tempo e papel... Para

reduzir as dimensões naturais do terreno e representá-las no gráfico,

torna-se necessário adotar uma escala, que é a razão constante entre

o comprimento de uma linha medida na planta e o comprimento de

sua hómologa no terreno.

De acordo com Comastri (2002, p.17), “as escalas podem variar dentro de

certos limites, 1:500 (1/500), 1:5000 (1/5000) e 1:10000 (1/10000), esta última admitida

para as propriedades de mais de 5 km². Segundo Silva (2003, p.31),

Países adotam diferentes escalas para seus produtos cartográficos.

No Brasil, usa-se mais frequentemente escalas de 1:100.000, 1:50.000

e 1:25.000. Nos Estados Unidos, as escalas mais encontradas são

1:100.000, 1:62.500 e 1:24.000. A Grã-Bretanha está toda coberta

por produtos nas escalas 1:1250 e 1:10.000.

Exemplo 1.1 Representar, no desenho, o comprimento de 350 m em escala 1:500

Portanto 70 cm.

Exemplo 1.2 Uma planta com escala 1:200, dois pontos, B e C, estão afastados de 20

cm. Qual a distância real entre eles?

Page 39: Matemática aplicada a agrimensura

39

Costuma-se usar escalas cujos valores sejam facéis de operar, para facilitar a

multiplicação e divisão e também para facilidade na representação do desenho, como

por exemplo, escalas que terminam em 0 ou valores mútiplos de 5, isto é, 1:5, 1:100,

1:200, 1:500 e etc. Desta forma, dificilmente se utiliza uma escala, por exemplo, 1:342,

pois dificultaria a confecção do desenho, assim como, na conversão das distâncias

gráficas em valores reais. Da mesma forma, na agrimensura ao realizar o desenho

topográfico ou planta também é utilizada a escala para representar a superfície medida.

Segue abaixo um exemplo de um desenho com escala, conforme Figura 17.

Figura 17: Exemplo do rodapé contendo a escala de uma planta de uma subdivisão de um lote

4.5. Orientaçao geográfica

Como o próprio nome já diz, a orientação significa em linhas gerais, a fixação

de um rumo na qual se baseia para se manter localizado, isto é, um dos rumos na qual os

seres humanos se basearam desde a antiguidade, lembrando que nossos antepassados

não dispunham de nehuma tecnologia, ou seja, se localizavam através da direção do sol.

E a partir disso, se origina os pontos cardeais que são: Leste, Oeste, Norte e Sul. A

direção correspondente ao nascer do sol é o oriente (nascente ou leste). E até hoje tais

pontos referenciais são tomados principalmente na agrimensura para efeitos de

localização. Na Figura 16, têm-se um exemplo de memorial que utiliza essse tipo de

orientação que na agrimensura é chamado de limites e confrotações. Sendo seu uso

indispensável para que qualquer um possa através desses limites localizar o terreno ou

imovél em questão.

Page 40: Matemática aplicada a agrimensura

40

4.6.Azimutes (az) e contra azimutes

Segundo o dicionário Global da Língua Portuguesa Ilustrado, “azimute é a

marcação da distância angular sobre o horizonte”, isto é, medidas dadas em ângulo, “a

partir de um ponto, no sentido horário ou no sentido inverso”. O azimute toma como

direção inicial sempre a partir do norte, isto é, quando se deseja o azimute de

determinado local, em linhas gerais, seria o posicionamento de determinada marcação

em relação ao norte, ou seja, se a mesma está a esquerda ou a direita do norte. Desse

modo, o azimute sendo uma medida angular isso implica dizer que o mesmo, varia de 0º

a 360º. Além dos graus tem também os azimutes em Grado e Milésimo, porém o mais

utilizado é o grau, conforme visto anteriormente em medidas angulares.

O azimute é o termo muito usado dentro da agrimensura, sendo necessária sua

determinação para realizar qualquer levantamento topográfico, em que há necessidade

da elaboração da planta ou carta topográfica; pois, para construir toda planta topográfica

a determinação do Norte é indispensável.

Segue a seguir, conforme a figura 18, dois exemplos de plantas topográficas

com o Norte determinado em direções diferentes:

Figura 18: Planta topográfica rural.

Indicação da

direção do NORTE

Page 41: Matemática aplicada a agrimensura

41

Figura 19: Planta topográfica urbana.

Os azimutes são determinados com base nos pontos cardeais e colaterais

conforme segue na Figura 20.

Figura 20: Pontos cardeais.

N

L

N

S

O

NE NO

SO SE

Colaterais:

NO= Noroeste

NE= Nordeste

SO= Sudoeste

SE= Sudeste

Indicação da

direção do NORTE

Page 42: Matemática aplicada a agrimensura

42

Cardeais:

N= Norte

S= Sul

L= Leste ou Oriente (o sol nasce a Leste).

O= Oeste ou ocidente (o sol se põe a Oeste)

Na trigonometria se estuda o circulo trigonométrico, onde o círculo é dividido

em ângulos, que variam de 0° a 360º conforme mostra a Figura 21 abaixo, mostrando os

principais ângulos, sendo, portanto uma volta completa igual a 360 graus.

Figura 21: Círculo trigonométrico

Fonte: http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/batalha-naval-no-circulo-trigonometrico.htm

Conforme a definição acima de azimute, o mesmo é medido em ângulos, sendo

tomado como direção inicial o Norte. Desta forma, o agrimensor quando vai medir os

azimutes, parte deste princípio de direção posicional, norte, sul, leste e oeste, e as

medidas em ângulos. A Figura a seguir mostra medidas de azimutes:

Page 43: Matemática aplicada a agrimensura

43

Figura22: Cincunferência contendo medidas de azimutes.

Figura 23: Medidas azimutais e sua orientação

Onde:

Az 1= 30º

Az 2= 135°

Az 3= 240°

Observa-se que as medidas de azimutes no círculo seguem em sentido horário,

isto é, sentido do movimento dos ponteiros do relógio e tem como ponto inicial a

direção (N) Norte, ao contrário do círculo trigonométrico, em que, por convenção, o

Ângulo = 30°

Ângulo= 135°

Az 1

Az 2

Az 3

Az 4

30° 315°

90°

0° ou 360°

180°

270°

240°

N (norte)

Page 44: Matemática aplicada a agrimensura

44

sentido anti-horário é positivo, enquanto que o sentido horário é negativo. Em sentido

anti-horário o ponto N estaria no ângulo de 90º, já no sentido horário que parte do ponto

no caso L (leste), onde seria o ângulo 0° e 360°.

O contra-azimute é a medida em ângulos assim como o azimute, porém é o

azimute da direção no sentido oposto, isto é, sentido contrário. O azimute é medido de

acordo com o sentido horário, entretanto os contra – azimutes são medidos em sentido

anti-horário. Exemplificando, se o marco 3 está ao norte do marco 2 → (2-3), o seu

contra-azimute, ou seja, o seu retorno do marco 3 ao marco 2 é o sul.

O azimute é chamado magnético se baseado no pólo Norte magnético, que são

detectados pelas bussólas. Antigamente, os azimutes eram medidos através da bússola,

que possuem um sistema contendo os pontos cardeais e posicionamentos de localidade.

Figura 24: Graduação do círculo nas bussólas para azimutes à esquerda

Em seguida, com os azimutes obtidos, era então calculado manualmente (a

mão) a área e o perímetro da porção do terreno através de cálculos envolvendo

trigonometria e conceitos da geometria plana. Abaixo segue alguns exemplos de como

os cálculos eram feitos antes de ter aparelhos mais sofisticados como existem hoje para

realizar tais procedimentos.

0

180

90

30

60

120

150

270

210

240

330

300

N

L

S

O

Page 45: Matemática aplicada a agrimensura

45

Figura 25: Rumos e azimutes

Càlculos dos azimutes à direita

Estaca Ponto visado Ângulo á direita Azimute à direita

2 1 e 3 115° 15’ 40° 20’

155° 35’

3 2 e 4 190° 40’ 165° 75’

Procedimentos dos cálculos acima:

40° 20’ + 115° 15’ = 155° 35’

155° 35’ + 10° 40’ = 165° 75’

190° 40’ – 180° = 10° 40’ -> azimute de 2-3

40° 20’

115° 15’

190° 40’

Page 46: Matemática aplicada a agrimensura

46

Exemplo de Cálculo do erro de fechamento angular do polígono – através dos

rumos calculados e pela somatória dos ângulos. Dados valores de ângulos á direita

quaisquer, segue o rumo calculado dos mesmos.

N= norte

O= oeste

L= Leste

S= Sul

Estaca Ponto visado Ângulo á direita Rumo Calculado

1 0 e 2 82° 07’ N 42° 00’ W

2 1 e 3 114° 28’

S 72° 28’ W

3 2 e 4 202° 04’ S 85°28’W

4 3 e 5 88°43’ S 3°15’ W

5 4 e 0 178°50’ S 2°05’W

0 5 e 1 53°46’ N 55°51’ E

Total= 719°58’

Fonte: Borges. Topografia Aplicada à Engenharia Civil, pág. 05

Desta forma com os rumos calculados pode-se calcular o erro do fechamento

angular usando a fórmula:

S= (n - 2). 180°

n= 6 → número de vértices do polígono

S= (6 – 2).180°

S= 720°

Page 47: Matemática aplicada a agrimensura

47

E= erro

E= S – Total

E= 720 - 719°58’

E= 2’’

Portanto o erro é de 2 segundos.

4.7. Poligonais abertas e fechadas

Quando as medições e o levantamento são feitos sob o sistema de poligonais,

por exemplo, na medição de uma certa área, de acordo com a configuração do terreno

ela pode ser classificada como poligonal aberta ou fechada. Dentro da topografia

poligonal seria uma sequência de retas, sendo colocado uma estaca no começo da

poligonal e outra no final de cada reta. Nas propriedades da matemática estas estacas

seriam o mesmo que vétice (encontro de duas retas: bolinhas pretas).

Figura 28: Poligonal aberta

Conforme mostra a Figura acima, os pontos 1 e 7 não se encontram

(extremidas abertas), logo só estão ligados pela própria poligonal, portanto é chamada

poligonal aberta. E os pontos B e C, são pontos conhecidos e, a partir deles é possível o

agrimensor determinar os outros vértices, assim como, os azimutes.

B

Direção referencial: Norte verdadeiro

N

C

Azimute de B-1

Page 48: Matemática aplicada a agrimensura

48

Já a poligonal fechada, diferente da aberta, forma uma figura onde terá ponto

inicial e ponto final e eles se encontrarão. Ou seja, a estaca 1 é ao mesmo tempo o ponto

inicial e final da poligonal. Neste caso entra o caso do erro de fechamento de uma

poligonal visto anteriormente, onde a soma dos ângulos da mesma deve obedecer a

regra da soma interna dos angulos internos de um polígono convexo. Assim, abaixo

temos 10 vértices, então:

S= (n – 2).180

S= ( 10 – 2).180

S= 1440°

Figura 29: Poligonal fechada

A caderneta de campo é necessária para o agrimensor e os seus técnicos, para

anotar os dados necessários que são coletados a partir das medições e extraídas dos

aparelhos para o levantamento de campo, quer seja dos teodolitos, luneta,

distânciomentro ou estação total, este último conforme já dito, o mais moderno e em

maior uso atualmente. Na caderneta de campo, geralmente tem-se o nome da obra, a

data em que foi feito o levantamento, assim como, os marcos onde a partir deles são

1

2 3

4 5

6

7

8

9

10

Page 49: Matemática aplicada a agrimensura

49

tirados os azimutes, os ângulos horizontais, as distâncias, croquis/observações que são

uma réplica do terreno delimitado pelos marcos. Assim como, o memorial descritivo

visto anteriormente o modelo da caderneta de campo também pode variar. Abaixo segue

um dos modelos de caderneta de campo utilizados conforme a Figura 30:

Figura 30: Modelo de caderneta de campo utilizada pelo agrimensor

Na caderneta acima, temos um exemplo de dados que foram coletados e

anotados pelo agrimensor, tais como, a identificação dos marcos, assim como também o

croquis (rascunho ou desenho do terreno ou área), cujo objetivo é a representação

geométrica da área. Neste caso, o terreno em questão possuía quatro “marcos”, isto é,

uma área delimitada por quatros lados.

Page 50: Matemática aplicada a agrimensura

50

CAPÍTULO 5

Considerações finais

Na topografia e agrimensura podem-se extrair vários conteúdos matemáticos

que são usados, dentre estes os mais principais e destacados nesse trabalho são os

conceitos de:

Área;

Perímetro;

Medidas de distância;

Medidas de tempo: Graus, minutos e segundos;

Operações de soma e subtração de ângulos, graus minutos e

segundos;

Polígonos: soma dos ângulos internos;

Círculo trigonométrico;

Escala: proporção e comprimento

Ângulos e vértices;

Noções de desenhos geométricos,

Construção de plantas e memoriais;

Noções básicas de tabelas;

Noções principais de localização e organização territoriais

numeradas;

Sistema métrico decimal;

Figuras geométricas.

Page 51: Matemática aplicada a agrimensura

51

Desta forma muitas teorias matemáticas formam a base da agrimensura,

demonstrando assim, que os conteúdos vistos em sala de aula no ensino básico são de

grande utilidade na vida do homem. Sem a matemática não existiria a agrimensura e

topografia, pois sua base e todo o seu desenvolvimento se firmou na aplicação desses

cálculos, que possibilitou a criação de métodos e aparelhos para que este ramo crescesse

ao longo do tempo, facilitando assim a vida do homem atualmente.

Muitos conceitos matemáticos apresentados aos alunos em sala de aula,

inclusive referentes a geometria e trigonometria, são muitas vezes por eles tachados

como meras teorias inutilizáveis, quando os estudantes não vêem aplicação desses

conhecimentos. Desse modo, é importante aplicar a matemática em diferentes

contextos, tendo em vista desenvolver propostas que envolvam questões reais, ou seja,

para que assim o ensinar matemática esteja tendo sentido e significado para o aluno. Do

mesmo modo não só existem conceitos matemáticos na topografia e agrimensura, mas

também conteúdos de geografia, como orientação, localização, escala, mapas, etc. Para

Lopes et al (2005, p.29),

Cabe aos programas pedagógicos organizarem situações que levem o

aluno a investigar, a experimentar e não apenas a ouvir e repetir

sinais e técnicas que muitas vezes são destituídos totalmente de

significado para ele. Um conteúdo só é significativo e compreendido

pelo aluno à medida que este possa inseri-lo num sistema de relações,

ou seja, assimila-lo a outros conhecimentos previamente construídos.

“A matemática é uma ferramenta que melhor descreve nosso mundo, desde a

explicação de um motivo, até a explicação formal de porque o ano não tem uma

quantidade exata de dias, horas, minutos e segundos” (SÉRGIO ROBERTO; LOPES et al,

2005). Logo, surge a necessidade de mostrar e conscientizar os alunos da grande

relevância de estudar matemática, e também de aprender. Todavia para que isto se torne

real, os conceitos teóricos deverão estar associados a suas respectivas aplicações. Assim

é importante buscar e identificar mais detalhadamente tais aplicações e inseri-las no

contexto escolar, para que o aluno possa não só dar significado a sua aprendizagem, mas

também expandir seus conhecimentos e conhecer sobre outros segmentos da vida

prática que se apropria dos números para seu desenvolvimento. De acordo com Garbi

(2006, p.07),

Page 52: Matemática aplicada a agrimensura

52

A civilização moderna e nosso modo de viver atual só se tornaram

possíveis porque o Homem, por meio da Matemática, acumulou, ao

longo dos séculos, vastos conhecimentos sobre o mundo físico e com

isso conseguiu, parcialmente, domina-lo e colocá-lo a seu serviço.

Energia elétrica, telecomunicações, computadores... para citar

apenas alguns exemplos, simplesmente não estariam ao nosso alcance

se não dispuséssemos de um grande arsenal matemático com que

trata-los. Mesmo coisas do uso corrente como televisores, aparelhos

de som, prédios, pontes [...] etc. exigem em sua concepção e produção

elevados conhecimentos matemáticos desenvolvidos ao longo, pelo

menos, dos quatros últimos milênios.

Conforme o PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais) do Ensino Médio (MEC;

PORTAL, p.15) “uma das quatro premissas como eixos estruturais da educação na sociedade

contemporânea” é o “aprender a conhecer” cujo seu fundamento está no prazer de compreender,

de conhecer e descobrir. Sendo que também na premissa “aprender a fazer” “um de seus

objetivos é privilegiar a aplicação da teoria na prática.” Portanto, é de suma importância que o

professor possibilite uma aprendizagem com significância, onde o aluno possa adquirir um

conhecimento de maneira contextualizada, refletindo assim na compreensão minuciosa dos

objetos e fatos que compõe o cenário ao seu redor.

Portanto, na agrimensura e topografia existem muitos conteúdos matemáticos que

podem ser explorados, isto é, o professor pode usar, por exemplo, a aplicação das medidas

angulares que foram mencionadas anteriormente até mesmo dentro da sala de aula na

explanação dos assuntos ou até mesmo nas noções de escalas e ao mesmo tempo possibilitar a

visualização das tecnologias que são utilizadas nesse serviço. Dessa forma, dando significado e

realidade a tais conceitos matemáticos para os alunos (tirar o mito da abstração), ou seja,

mostrando onde é usado determinado conteúdo a aprendizagem fica bem mais satisfatória e

significativa, para que assim possas provocar a curiosidade do discente e ao mesmo tempo

espera-se que eles veêm a importância da matemática em sua vida prática.

Page 53: Matemática aplicada a agrimensura

53

Bibliografia

ARTECPC. Disponível em: <http://www.artecpc.com.br/prod_marco.htm>. Acesso

em: 08 novembro de 2012.

ASSAD, Eduardo Delgado. Edson Eyji Sano. Sistema de Informações Geográficas:

Aplicações na agricultura- 2.ed, ver. E ampl-Brasília: Embrapa- SPI/ Embrapa-CPAC,

1998.

AURÉLIO, NOVO. Aurélio Buarque de Holanda Ferreira. O Dicionário da Língua

Portuguesa – Século XXI. Editora Nova Fronteira, 1999, 2128p.

BORGES, Alberto de Campos. Topografia Aplicada à Engenharia Civil. 2 ed. São

Paulo: Edgard Blücher LTDA , 1977. v.1, 191p.

BORGES, Alberto de Campos. Exercícios de Topografia. 3 ed. São Paulo: Edgard

Blücher LTDA , 2011, 192p.

BOYER, Carl B. História da Matemática. Revista por uta C. Merzbach; tradução Elza

F. Gomide- 2 ed. – São Paulo: Edgard Blucher, 1996, 512p.

COMASTRI, José Anibal. Joel Gripp Júnior. Topografia Aplicada: medição, divisão

e demarcação. Viçosa: Imprensa Universitária, 2002, 203p.

COMASTRI, José Anibal. Topografia Planimetria. Viçosa: imprensa universitária,

1992,336p.

COMASTRI,José Anibal. José Claudio Tuler.Topografia Altimetria. 3 ed. Viçosa:

UFV, 2010, 200p.

D’ AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática – Elo entre as tradições e a

modernidade. Disponível em: http://www.feis.unesp.br/extensao/teia-

saber/Teia2003/Trabalhos/matematica/Apresentacoes/Apresentacao_06.pdf. Acesso em:

08 novembro de 2012.

ESCOLA, Brasil. Estratégias de Ensino. Disponível em

http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/batalha-naval-no-circulo-

trigonometrico.htm. Acesso em: 08 novembro de 2012.

ESPARTEL, Lelis. Curso de Topografia. Porto Alegre: Globo. 1ª ed.1969, 655p.

FÍSICO, Mundo. Como Medir a Terra com uma Vara?. Disponível em:<

http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/index.php?idSecao=112&idSubSecao=

&idTexto=96> Acesso em: 08 novembro de 2012.

GARBI, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo

maravilhoso mundo da matemática. São Paulo: Livraria da Física-2006-1ª ed, 346p.

Page 54: Matemática aplicada a agrimensura

54

GONZALEZ, José Luís de La Cruz. José Luís de Mesa Mingorance. Disponível em

<http://www.ufrgs.br/museudetopografia/Artigos/Instrumentos_de_topografia.pdf

> Acesso em: 25 de maio de 2012.

LOPES, Sérgio Roberto. Ricardo Luiz Viana. Shiderlene Vieira de Almeida Lopes. A

construção de Conceitos Matemáticos e a prática docente. Curitiba: IBPEX, 2005,

89p.

MEC, Portal. PCN MATEMÁTICA (Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino

Médio). 2000, 109p. Disponível em

<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/blegais.pdf>. Acesso em: 22 maio 2011.

NOVO, Evlyn M. L. de Moraes. Sensoriamento remoto – Princípios e Aplicações.

São Paulo: Editora EDGARD BLUCHER LTDA, 1998 - 2º ed, 308 p.

NOVO, Evlyn M. L. de Moraes. Sensoriamento remoto – Princípios e Aplicações.

São Paulo: Editora EDGARD BLUCHER LTDA, 2010 - 4º ed, 387 p.

ODOARDI, Giancarlo. Disponível em:< http://www.gianodo.it/cur/?page_id=3>

Acesso em: 08 novembro de 2012.

POINTER, Char informática. Sistema TopoGRAPH. 2ª ed. Disponível

em<www.charpointer.com.br> Acesso em: 25 de maio de 2012.

RIOS, Dermival Ribeiro. Dicionário Global da Língua Portuguesa Ilustrado. São

Paulo: Difusão Cultural do Livro-DCL,2004, 748p.

SILVA, Ardemirio de Barros. Sistemas de informações Geo-referenciadas-

Conceitos e Fundamentos- Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2003- 235pg.

SOUSA, Julio S. Aristeu Mendes Peixoto. Francisco Ferraz de Toledo. Enciclopédia

Agrícola Brasileira A-B/ ESALQ, Apresentação Humberto de Campos – São Paulo:

Editora da Universidade de São Paulo, 1995. 499 p.

TIENDACARTO. La Tienda de Topografía On-line. Disponível em:

<http://tiendacarto.com/prisma-circular-con-soporte-metalico-estandar.html> Acesso

em: 08 novembro de 2012.


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