EducaoProf issional CursoTcnicoemMecnica MduloI MecnicoI ndust rial MATEMTI CAAPLI CADA Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional1SUMRI O 1CONJUNTOSNUMRI COS03 1.1 CONJ UNTOS DOS NMEROS I NTEI ROS 04 1.2 FRAES 07 1.3 NMEROS DECI MAI S 11 1.4 RAZO 13 1.5 PROPORO 14 1.6 REGRA DE TRS 16 1.7 PORCENTAGEM 18 2EQUAES20 2.1 EQUAES DO 1 GRAU COM UMA VARI VEL 20 2.2 EQUAES DO 2 GRAU 25 2.3 EQUAES BI QUADRADAS 32 2.4 SI STEMAS DO 1GRAU 33 2.5 SI STEMAS DO 2 GRAU 34 3GEOMATRI A36 3.1 PONTO, RETA E PLANO 36 3.2 SEGMENTO DE RETA 37 3.3 SEMI -RETA 37 3.4 TRI NGULOS 38 3.5 TEOREMA DE TALES 39 3.6 TI POS DE RETAS 41 3.7 FI GURAS GEOMTRI CAS 42 3.8 POL GONOS 42 4MEDI DAS44 4.1 MEDI NDO COMPRI MENTO 44 4.2 MLTI PLOS E SUBMLTI PLOS DO METRO 44 4.3 TRANSFORMANDO UNI DADES 44 5PER METRO45 5.1 MEDI NDO SUPERF CI ES 46 5.2 UNI DADE DE MEDI DA DE SUPERF CI E 46 5.3 QUADRO DE UNI DADES USADAS PARA MEDI R SUPERF CI ES 47 5.4 LENDO UNI DADES DE REA 47 5.5 TRANSFORMANDO UNI DADES 47 5.6 REAS DAS PRI NCI PAI S FI GURAS PLANAS 47 5.7 CALCULANDO REAS 50 6CI RCUNFERNCI AEC RCULO51 6.1 REGI O I NTERI OR E EXTERI OR DE UMA CI RCUNFERNCI A 51 6.2 CORDA, DI METRO E RAI O 51 6.3 ARCO DA CI RCUNFERNCI A 51 6.4 SEMI CI RCUNFERNCI A 51 6.5 C RCULO 51 Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional26.6 POSI ES RELATI VAS DE RETA E CI RCUNFERNCI A 53 6.7 COMPRI MENTO DA CI RCUNFERNCI A 53 6.8 CALCULANDO P 54 6.9 CALCULANDO O COMPRI MENTO DA CI RCUNFERNCI A 54 6.10 CALCULANDO A REA DE UM C RCULO 55 6.11 VOLUME 55 6.12 MEDI NDO VOLUME 55 6.13 MLTI PLOS E SUBMLTI PLOS DO METRO CBI CO 55 6.14 LENDO UNI DADES DE VOLUME 56 6.15 TRANSFORMANDO UNI DADES 56 6.16 VOLUME DOS PRI NCI PAI S SLI DOS GEOMTRI COS 56 6.17 CALCULANDO VOLUMES 59 7RELAESMTRI CASNOTRI NGULORETNGULO59 7.1 TEOREMA DE PI TGORAS 61 7.2 TRI GONOMETRI A NO TRI NGULO RETNGULO 62 BI BLI OGRAFI A64 Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional31- CONJUNTOSNUMRI COS NmerosNat urais N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... } NmerosI nt eiros Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... } Obs. : Todo nmer o nat ur al int eir o, ist o , N um subconj unt o de Z. NmerosRacionais Soaquelesquepodemser expr essosnaf or maa/ b,onde aebsonmer osint eir osquaisquer , com b dif er ent e de 0.Q={x/ x=a/ bcomaebpert encent esaZcombdif erent ede0} Assim, como exemplo,podemos cit aro -1/ 2 , 1 , 2,5 , et c... Nmer os decimais exat os so r acionais, pois: 0,1 = 1/ 102,3 = 23/ 10 Nmer os decimais per idicos so r acionais.0,1111... = 1/ 90,3232 ...= 32/ 992,3333 ...= 21/ 90,2111 ...= 19/ 90Toda dzima per idica 0,9999 ... 9 ... uma out r a r epr esent ao do nmer o 1.NmerosI rracionais Soaquelesquenopodemser expr essosnaf or maa/ b,comaebsendonmer osint eir oseb dif er ent e de 0.)`= e e = = 0 , , q Z q Z pqpx IAlgunsnmerosirracionais: 7182818 , 27320508 , 1 34142135 , 1 21415926 , 3= ===e Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional4So compost os pordzimas inf init as no per idicas.NmerosReais a r eunio do conj unt o dos nmer os ir r acionais com o dos r acionais. 1.1 - CONJ UNTO DOS NMEROS I NTEI ROS Voc viu ant er ior ment e, o Conj unt odosNmerosNat urais r epr esent ado pela let r a N. Obser vou ainda que o conj unt o dos nmer os int eir os r epr esent ado pela let r a Z. O conj unt oN={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14........................},est econj unt oinf init o,ousej a, no t em f im. Est e f icou pequeno par a a mat emt ica, obser ve os exemplos: a) 9 - 12 = ?b) 8 - 100 = ? Dent r odoconj unt odosnmer onat ur aisnoexist er espost apar aest asper gunt as,ousej aas r espost as est o dent r o do conj unt o dos nmer os int eir os. Vamos conhecerest e conj unt o: O conj unt o Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}.Obser vequeest econj unt of or madopor nmer osnegat ivos,zer oenmer osposit ivos.Vale lembr ar ,que zer o um nmer o nulo ou neut r o, no negat ivo e nem posit ivo. Noseudia adia,vocj dever t er depar adocomnmer osint eir os.Quandoset emumcr dit o, t emumnmer oposit ivo,umdbit oumnmer onegat ivo,t emper at ur asacimadezer oso posit ivas,abaixodezer osonegat ivas,t ambmemr elaoaonveldomar ,ospasesque est o acima do nvel do mart em alt it udes posit ivas, abaixo do nvel do maralt it udes negat ivas, se voc pr est arat eno ao seu r edorvai encont r armuit os nmer os negat ivo e posit ivos. 1. 1. 1- Ret aNumricaI nt eira Obser vequear et at emumaset aqueindicaaor demdecr esciment odosnmer os,elesest o cr escendo da esquer da par a a dir eit a, -7 menorque -6, 0 maiorque -1 e assim em diant e. Compar e alguns nmer os int eir os. a) -5 > -10 b) +8 > -1000 c) -1 >-200.000 -4 -3 -2 -10 +1+2 +3 +4 +5Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional5d) -200 x =500000/ 20000=> x =25% X 5 000 05 - O pr eo de uma casa sof r eu um aument o de 20%, passando a servendida por35 000 r eais. Qual er a o pr eo dest a casa ant es dest e aument o?Por cent agemPr eo120% 35 000 120 x =3500000=>x =35000/ 120=> x =29.166,67 100% xLogo, o pr eo ant er iorer a 29 166,67 Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional202- EQUAES 2.1 - EQUAES DO 1 GRAU COM UMA VARI VEL Equao t oda sent ena mat emt ica aber t a r epr esent ada poruma igualdade, em que exist a uma ou mais let r as que r epr esent am nmer os desconhecidos.Exemplo: X + 3 = 12 - 4 uma sent ena mat emt ica aber t a; uma igualdade Por t ant o, uma equao Formageral:ax=b,emque xr epr esent a avar ivel(incgnit a)eaebsonmer osr acionais, com a = 0. Dizemos que a e b so os coef icient es da equao.(ax=b, a f or ma mais simples da equao do 1 gr au)Exemplos:x - 4 = 2 + 7, (var ivel x)2m + 6 = 12 - 3 ,(var ivel m)-2r+ 3 = 31, (var ivel r )5t+ 3 = 2t- 1 , (var ivel t )3(b - 2) = 3 + b,(var ivel b) 4 + 7 = 11, ( uma igualdade, mas no possui uma var ivel, por t ant o no uma equao do 1 gr au)3x-12>13,(possuiumavar ivel,masnoumaigualdade,por t ant onoumaequaodo1 gr au)Obs:Deve-se obser varduas par t es em uma equao, o 1 membr o esquer da do sinal de igual e o 2membr o dir eit a do sinal de igual. Conj unt oUniverso:Conj unt of or madopor t odososvalor esqueavar ivelpodeassumir . Repr esent e pela let r aU.Conj unt oSoluo:Conj unt of or madopor valor esdoconj unt oUquet or namasent ena ver dadeir a. Repr esent e pela let r a S.Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional21Exemplo:Dent r eoselement osdoconj unt oF={0,2,3,6,8,9},qualdelest or naasent enamat emt ica2x - 4 = 2, ver dadeir a.2(0) - 4 = 2 Er r ado2(2) - 4 = 2 Er r ado2(3)- 4=2Verdadeiro 2(6) - 4 = 2 Er r ado2(8) - 4 = 2 Er r ado2(9) - 4 = 2 Er r adoDeve-se obser varque o conj unt o U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e conj unt o S= {3} 2. 1. 1- Raizdaequao Um dado nmer o chamado de r aiz da equao, quando est e t or na a igualdade ver dadeir a.Ver if icando se um dado nmer o r aiz da equao:Exemplos:01 - Ver if ique se o nmer o 4 r aiz da equao 9a - 4 = 8 + 6aEquao 9a - 4 = 8 + 6aSubst it ua a por4 9(4) - 4 = 8 + 6(4)36 - 4 = 8 + 24 32 = 32Ent o, o nmer o 4 r aiz da equao ou sej a conj unt o soluo.02 - Ver if ique se o nmer o - 3 r aiz da equao 2x - 3 = 3x + 2.Vamos subst it uirx por 32(-3) - 3 = 3(-3) + 2- 6 - 3 = - 9 + 2- 9 = - 7 , sent ena f alsa - 9 dif er ent e de -7 (- 9 - 7).Ent o - 3 no r aiz da equao ou sej a no conj unt o soluo da equao. Obser ve que em t odas as equaes apr esent adas a r aiz ou o conj unt o soluo o mesmo. Poresse mot ivo, so chamadas equaes equivalent es. 2. 1. 2- ResolvendoEquaesdo1 grau Resolver umaequaodo1 gr auemumdet er minadoconj unt ouniver sosignif icadet er minar a r aiz ou conj unt o soluo dessa equao, caso exist a soluo.Exemplo:5a + 11 = - 4 Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional225a = - 11 - 4 a = - 15/ 5 a = - 3 S = {-3} OBS:Se voc pr est ou at eno na r esoluo, deve t erobser vado que o nmer o que est ava em um membr ocomdet er minadosinalapar ecenoout r omembr ocomsinaldif er ent e,equemest ava mult iplicando apar ece no out r o membr o dividindo. No pr ocesso pr t ico f eit o assim. 2. 1. 3- Resolvendoequaespelomt odoprt ico Exemplos: 1)Resolva as seguint es equaes do 1 gr au com uma var ivel sendo U=Q a)Y + 5 = 8 Y = 8 5 y = 3 S = {3} b)13x 16 = - 3x 13x + 3x = 16 16x = 16 x = 1 S = {1} c)3(x-2) (1-x) = 13 3x 6 1 + x = 13 3x + x = 13 + 6 + 1 4x = 20 x = 5 S = {5} Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional23d)t / 4 7/ 10 = 2t / 5 1 ( t ir e o mmc) 5t 14/ 20 = 8t 20/ 20 5t 14/ 20 = 8t 20/ 20 ( cancele os denominador es) 5t 14 = 8t 20 5t 8t= -20 + 14 -3t= -6 (x1) 3t= 6 t= 6/ 3 t= 2 S = {2} e)5x 7 = 5x 5 5x 5x = -5 + 7 0x = 2 x = 2/ 0 x=0Noexist edivisopor zer o,ent of ala-seque,aequaoimpossvelemQ, ent o S = { } (vazio). f )5x 4 = -4 + 5x 5x 5x = -4 + 4 0x = 0 Fala-se que est a equao indet er minada ( inf init as solues) 2. 1. 4- ResolvendoProblemasdo1 grau Ant esdeiniciar ar esoluodeumpr oblemausandoasequaes,deve-sedet er minar aequao que o r esolve. 1 .I dent if ique uma incgnit a do pr oblema que ser r epr esent ada poruma let r a (x, y, m...); 2 .Escr eva a equao do pr oblema; 3 .Resolva a equao; 4 .Ver if ique se o r esult ado encont r ado at ende ao pr oblema; Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional24Exemplos: a)Um nmer o: x ( a let r a x a incgnit a ou o t er mo desconhecido); b)O t r iplo de um nmer o: 3x c)O dobr o de um nmer o acr escido de 4: 2x+4 d)Um nmer o somado com seu dobr o igual a 10: x+2x=10 e)A met ade de um nmer o: x/ 2 f )Um nmer o somando a sua t er a par t e: x+x/ 3 Exemplos: a)Um nmer o somado com o seu dobr o igual a quinze. Det er mine est e nmer o. x+2x=15 3x=15 x=5 O nmer o pr ocur ado 5. b)Emum t er r eir ohgalinhasecoelhos,numt ot alde13animaise46ps.Quant asgalinhase quant os coelhos h nesse t er r eir o? Coelho = x Galinhas= 13 x ( t ot al de animais menos o nmer o de coelhos) Logo, 4x + 2(13-x)=46 ( nmer o de ps de coelho vezes o nmer o de coelhos + nmer o de ps de galinhas vezes o nmer o de galinha igual ao t ot al de ps). 4x + 2(13 - x)=46 4x + 26 2x = 46 4x 2x = 46 26 2x = 20 x = 10 Nmer o de coelhos = 10 Nmer o de galinhas = 13 10 = 3 Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional252.2 - EQUAES DO 2 GRAU De f or ma ger al, chama-se equao do 2gr au com um var ivel t oda equao que pode serescr it a naf or ma, ax+bx+c=0,em quex avar ivele a,b,csooscoef icient esdaequaodo2 gr au.A r epr esent a o coef ient e de x; B r epr esent a o coef icinet e de x; C r epr esent a o t er mo independent e. Exemplos de equaes do 2gr au: 5x- 3x + 3 = 0 onde: a =5; b = -3 e c = 2 x+ 6x + 9 = 0 onde: a = 1; b = 6 e c = 9 -3x + 7x + 1 = 0 onde: a = -3; b = 7 e c = 1 -x+ 5x 6 = 0 onde: a = -1; b = 5 e c = -6 3x- 5 = 0 onde: a = 3; b = 0 e c = -5 x+ 4x = 0 onde: a = 1; b = 4 e c = 0 2. 2. 1- Equaesdo2 graucomplet aseincomplet as Complet as:ax +bx+c=0 Quando possui os coef icient es a, b e c.Exemplos: x- 4x 12 = 0 onde: a = 1; b = -4 e c = -12 -x+ 11x 18 = 0, onde: a = -1, b = 11 e c = -18 I ncomplet as:ax2+bx=0, ax2+c=0ouax =0 Quando b ou c igual a zer o, ou ambos iguais a zer o.Exemplos:3x 4a = 0, onde: a = 3, b = - 4 e c = 02x2 + 5 = 0, onde: a = 2, b = 0 e c = 53x2 = 0, onde: a = 3, b = 0 e c = 0 2. 2. 2- Razesdeumaequaodo2 grau Fala-se que um nmer o r aiz da equao, quando est e t or na a sent ena mat emt ica ver dadeir a.Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional26Exemplos:1. Ver if ique se o nmer o 9 r aiz da equao x2 11x + 18 = 0.x2 11x + 18 = 0(9)2 11(9) + 18 = 0 (subst it ua a var ivel x por9)81 99 + 18 = 00 = 0 (sim, 9 r aiz da equao, obser ve que os dois membr os so iguais)2. Ver if ique se 3 r aiz da equao 2x2 + 5x 3 = 0.2x2 + 5x 3 = 02(3)2 + 5(3) 3 = 0 (subst it ua a var ivel x por3)2(9) + 15 3 = 018 + 15 3 = 030 = 0 (no, 3 no r aiz da equao, obser ve que os dois membr os so def er ent es) 2. 2. 3- ResolvendoEquaesdo2 Grau 2.2.3.1 - Equaes I ncomplet asax2 bx = 0, (c = 0)a) x2 4x = 0x(x 4) = 0 (obser ve: x f oi colocado em evidncia)x = 0x 4 = 0x = 4S = {0;4}b) -2x2 8x = 0x(-2x 8) = 0 (obser ve: x f oi colocado em evidncia)x = 0-2x = 8 (-1)2x = - 8x = - 4S = {0;-4}Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional27Concluso: Nest e t ipo de equao sempr e umas das r azes vai serigual a zer o. ax2 + c = 0, (b = 0)a) x2 16 = 0x =16 (dois nmer os que elevado ao quadr ado d dezesseis, -4 e +4). 16 = xx=4 S = {- 4; 4} b) -2x2 + 8 = 0-2x2 = - 8(-1)2x2 = 8x2 =8/ 2 X2 = 4 4 = xx = 2S = {- 2; + 2}Concluso: Nest e t ipo de equao sempr e as r azes vo seropost as. ax2 = 0, (b = 0, c = 0)5x2 = 0X2 = 0/ 5 X2 = 0 x = 0(zer o nulo)S = { 0 }Concluso: Nest e t ipo de equao sempr e a r aiz vai serigual a zer o. 2.2.3.2 - Equaes Complet asax2 + bx + c = 0 ->Use a f r mula de Bskar a. Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional28abx2A == Al-se Delt a ac b 42 = A, A o discr iminant e da equao Obser ve, que a, b e c so os coef icient es da equao do 2 gr au. Resoluo Exemplos: x2 8x + 12 = 0-> a = 1,b = - 8ec = 12ac b 42 = A ( pr imeir o vamos calcularo valorde delt a) ) 12 )( 1 ( 4 ) 8 (2 = A (subst it ua a por1, b por-8 e c por12) A= 64-48 A= 16 (delt a posit ivo) abx2A =(f r mula de Baskar a) abx2A =(subst it ua b por8, delt a por16 e a por1. 24 8= x 621224 8' ==+= x 22424 8' ' === x { } 2 ; 6 = S x2 12x + 36 = 0 ->a = 1,b = - 12ec = 36ac b 42 = A ( ) ( )( ) 36 1 4 122 = A 144 144 = ACreated with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional29 0 = A(Delt a igual a 0) abx2A = ( )( ) 1 20 12 = x 20 12 = x 621220 12' = =+= x 621220 12' ' = == x {} 6 = S 2x2 4x + 3 = 0 -> a = 2,b = - 4ec = 3ac b 42 = A ( ) ( )( ) 3 2 4 42 = A 24 16 = A 8 = A (delt a negat ivo) S = { }, no exist e r aiz de nmer o r eal negat ivo I mport ant e: >0(Posit ivo)->A equao possui duas r azes r eais e dif er ent es. (x = x) A equao no possui r azes r eais.=0-> A equao possui duas r azes r eais e iguais. (x = x)ProblemasEnvolvendooDiscriminant e(Delt a) Exemplo:Det er mine o valorde m na equao 2x2 + 3x + m, par a que as r azes sej am r eais e iguais.=0->(Razes r eais e iguais)->a = 2,b = 3ec = m ac b 42 = A Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional300 42= ac b ( ) ( )( ) 0 2 4 32= m 0 8 9 = m () 1 9 8 = m 9 8 = m 89= m (Est a equao s vai possuirr azes r eais e iguais quando m = 9/ 8) Det er mine o valorde m na equao 2x2 - 4x + 5r , par a que as r azes sej am r eais e dif er ent es.>0- >a = 2,b = - 4ec = 5r ac b 42 = A ac b 42 >0 ( ) ( )( ) r 5 2 4 42 >0 0 40 16 > r ) 1 ( 16 40 > r 16 40 < r 8 : 408 : 16< r 52< r (Est a equao s vai possuirr azes r eais e dif er ent es quando r k 2425> k SomaeProdut odasRazesdaEquaodo2 Grau possvelcalcular asomaoupr odut odasr azesdaequaodo2 gr ausempr ecisar r esolver a equao. Gr aas as r elaes de Gir ar d. Somadasrazes abx x= + " ' ouabS=Produt odasrazes acx x = " '. ouacP = Exemplos:Calcule a soma e o pr odut o das r azes equaes do 2 gr au.x2 + 7x + 12 = 0->a = 1,b = 7ec = 12( )717 = = = S SabS 12112= = = P PacP Det er mine o valorde pm na equao 4x2 (m 2)x + 3 = 0 par a que a soma das r azes sej a 3/ 4.abS= ( ) | | | |= =+ = = =42434243424343 m m mabS ( ) ( ) 8 12 4 12 8 4 3 . 4 2 4 + = = = m m m 542020 4 = = = m m m Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional322.3 - EQUAES BI QUADRADAS Vocj est udouaolongodesuavidaescolar asequaesde1 gr au,asequaesde2 gr au, agor a chegou a hor a de apr enderas equaes biquadr adas (Bi = duas vezes) def inido como equaes biquadr adas as equaes escr it as na seguint e f or ma: ax4+bx2+c=0 a, b e c so chamados coef icient e numr icos. a per t ence a R* Ou sej a a um nmer o dif er ent e de zer o. b per t ence a R e c per t ence a R, Ou sej a "b" e "c" podem serqualquernmer o r eal. Exemplos:x4 - 2x2 + 6 = 09x4 - 42x2 = 0 3x4 - x2 + 8 = 0-x4 + 6 = 0 -7x4 - 5x2 + 8 = 0-2x4 - x2 + 8 = 0 Obs:Not equenosexemplost emosequaesbiquadr adascomplet as(quandopossuit odosos coef icient esnumr icos)eincomplet as(quandof alt aumdoscoef icient esnumr icosbouc, lembr ando que o coef icient e a exist ir sempr e). 2. 3. 1- Resolvendoequaesbiquadradas Resolva a equao x4- 10x2+9=0, obser vando que se t r at a de uma equao biquadr ada x4= (x2)2 , que est elevado ao quadr ado duas vezes (biquadr ada). Escr eva a equao x4- 10x2+9=0, da seguint e f or ma (x2)2- 10x2+9=0 obser ve que t emos x2 duas vezes, vamos subst it u-lo poryou qualquerlet r a, sendo assim a nova equao ser y2 -10y + 9 = 0. 0 9 102= + y y , 1 = ae b 10 = 9 = c ac b 42 = A ( ) ( )( ) 64 36 100 9 1 4 102= A = A = A aby2A = Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional33( )( ) 28 101 264 10 = = y y 921828 101 = =+= y 22228 101 = == y Lembr e-se que x =y logo: 3 9 92 = = = x x x 1 1 12 = = = x x x { } 3 ; 1 ; 1 ; 3 = S 2.4 - SI STEMAS DO 1GRAU Af ir ma-se que duas equaes do 1gr au, f or mam um sist ema quando possuem uma soluo comum (mesma soluo). Nesse caso as duas equaes t em o mesmo conj unt o univer so. 2. 4. 1- Resolvendosist emasdo1 grau 1 )Mt ododaadio: Essemt odoconsist eemadicionar asduasequaesmembr oamembr o,obser vandoquenest a oper ao dever e eliminaruma var ivel. Exemplo 1: 1some as duas equaes membr o a membr o: Logo:2x = 14 x = 14/ 2 x = 7 Volt e na 1ou 2equao:14 0 2) 2 ( 5) 1 ( 9= += = +y xy xy xCreated with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional341equao: x + y = 9 2 + y = 9y = 9 2 y = 7S = {(2;7)} Obs: no conj unt o soluo de um sist ema, deve colocaro parde nmer os dent r o de um par nt ese porserum paror denado, pr imeir o x depois y.Exemplo 2:= = 11 3 75 3 4y xy x Obser vequenaf or maemqueseencont r amasequaes.Seadicionar mosnoeliminar emos nenhumadasvar iveis.Mult ipliquea1 ou2 equaopor (-1),par aqueoscoef icient esdey f iquem opost os 3 e +3.6 0 311 3 75 3 411 3 7) 1 ( 5 3 4= = = + = = y xy xy xy xy x Volt ando na 1equao subst it ua x por2. 3x = 6 x = 6/ 3 x = 2 s = {(2;1)} 2.5 - SI STEMAS DO 2 GRAU Vej a os seguint es sist emas de equaes, com var iveis xe y.= = +65xyy xe = += 242 2y xy x Not eque,emcadasist emat emosumaequaodo2 gr aueumaequaodo1gr au.Est esso chamados sist emas do 2 gr au. 2. 5. 1- Resolvendosist emasdo2 grau Resolva pelo mt odo da subst it uio. Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional35= = +) 2 ( 6) 1 ( 5xyy x I solando a var ivel x na 1equao. x + y = 5 x = 5 y Subst it ua o valorde x na 2equao. xy = 6 Y (5 - y) = 6 5y - y2 = 6 - y2+ 5y - 6 = 0 Resolvendo a equao do 2 gr au. 0 6 52= + y y ( ) ()( ) 6 1 4 52 = Alogo 24 25 = A logo 1 = A 21 5 = y logo 26'= y logoy=3 24"= y logoy=2 Volt ando na 1equao. x = 5 y x" = 5 - 3 x" = 2 x'= 5 - 2 x'= 3 S = {(3;2),(2;3) Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional363- GEOMETRI A OnomeGeomet r ia,emgr ego,signif icamedidadat er r a(geo=t er r aemet r ia=medida).No ant igoEgit o,ageomet r iaer aamplament eut ilizada.Osagr imensor esusava-napar amedirt er r enos, enquant o os const r ut or es r ecor r iam a ela par a f azeredif icaes. As f amosas pir mides const r udas pr ximas ao r io Nilo, um t imo exemplo disso.OsEgpiciosganhar amt ant af amaqueosmat emt icosgr egosiamconst ant ement eaoEgit oem busca de novas aplicaes na geomet r ia.Por volt ade600a.C.osmat emt icosgr egoscomeamasist emat izar osconheciment os geomt r icoquef or amadquir indo,f azendocomqueoGeomet r iadeixassedeser pur ament e exper iment al. Esse t r abalho de or ganizao lgica dos conheciment os f oi f eit o, pr incipalment e, pelo mat emt ico gr ego Euclides, porvolt a de 300 a.C., e r euniu uma obr a de 13 volumes, chamada os Element os. Toda a geomet r ia que est uda-se hoj e pr at icament e a mesma daquela poca. 3.1 - PONTO, RETA E PLANO Pont o,r et aeplanonosodef inidos,apenasset emaidiaint uit ivadepont o(olhandouma est r ela no cu, localizando uma cidade no mapa, et c.), de r et a (obser vando as linhas do campo de f ut ebol,deumaquadr adef ut sal,osf iosdar edeelt r icabemest icado,et c.),deplano (obser vandoopisodesuacasa,ocampodef ut ebol,asuper f ciedeumapsicina,et c.). Obser vando bem a nossa volt a, vamos nos depar arcom est es a t odo moment o.Pont o O pont o no possui dimenses, r epr esent ado poruma let r a maiscula do alf abet o lat ino. Pont o A Pont o B Pont o H Ret aAr et aimaginadasemespessur a,not emcomeoenemf im,sendor epr esent adaporumalet r a minscula doalf abet olat ino, quando desenha-seumar et anocader noouquadr o,est a r epr esent ado par t e da r et a. Exemplos: Os pont os F, H, A e D per t encem a r et a rPlanoOplanoimaginadocomoumconj unt oinf init odepont os.Planoimaginadosem limit es em t odas as dir ees, como acont ece com a r et a impossvel r epr esent aro plano no papel ou no quadr o.Por isso,r epr esent a-separ t edest e.Oplanor epr esent adopor umalet r adoalf abet o gr ego. Como alf a (a), bet a (b) e gama (g). r FHAD Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional37Exemplos: Plano alf a Obser ve: Deve-selembr arque,usa-seper t enceenoper t encepar ar elacionar element oe conj unt o,est cont idoenoest cont idopar ar elacionar conj unt ocomconj unt o.Valelembr ar que,pont oe element o, r et a e plano so conj unt os. 3.2 - SEGMENTO DE RETADadosdoispont osdist int os(dif er ent es),ar euniodoconj unt odessesdoispont oscomo conj unt o dos pont os que est o ent r e eles um seguiment o de r et a. Exemplo: TR um segment o de r et a sendo T e R suas ext r emidades. Repr esent amos assim:TR 3.3 - SEMI -RETAEm geomet r ia, a r et a consider ada um conj unt o de pont os. Consider e um pont o O que per t ence a uma r et a r. Af ir marque esse pont o O separ a a r et a em dois conj unt os de pont os. Cada um desses conj unt os de pont os denominado semi-r et a. O pont o O chamado or igem das semi-r et as. Exemplo: T R m AOB A r et a r e o pont o P per t encem ao plano alf a, porest ardent r o dele.A r et a m e o pont o E no per t encem ao plano alf a, porest arf or a dele. Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional38OA Semi-r et a de or igem O passando pelo pont o A. OBSemi-r et a de or igem O passando pelo pont o B. 3.4 TRI NGULOS Chama-se de t r ingulos t odo polgono que possui t r s lados. Exemplo: 3. 4. 1- Classif icandoost ringulosquant oaoslados Tringuloissceles:Possui dois lados congr uent es (iguais) e o t er ceir o lado dif er ent e. ABigual aAC Tringuloeqilt ero: Possui os t r s lados congr uent es (iguais). Os ladosBC AB, eACso iguais. Tringuloescaleno: Possui o t r s lado com medidas dif er ent es. Os ladosBC AB,eAC so dif er ent es. CD BC AB , ,so os lados do t r ingulo. a, b, e c so os ngulos int er nos do t r ingulo. A, B e C so os vr t ices do t r ingulo. Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional393. 4. 2- Classif icandoost ringulosquant oaosngulos Tringuloret ngulo: Possui um ngulo r et o (ngulo de 90 ) Obser ve que o ngulo A mede 90. Tringuloacut ngulo: Possui t r s ngulos agudos (ngulos menor es que 90) Obser ve que as medidas dos ngulos A, B e C so menor es que 90. Tringuloobt usngulo: Possui um ngulo obt uso (ngulos maior es que 90 ) Obser ve que o ngulo A maiorque 90. 3.5 - TEOREMA DE TALES Feixederet asparalelas: Quandoset mmaisdeduasr et aspar alelasemummesmoplano,denomina-sef eixeder et as par alelas. h / /m / /rFeixe de r et as par alelas Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional40Umf eixederet asparalelasdet erminamsobreduast ransversaissegment osproporcionais.Obser ve:Pelo Teor ema t emos: LOPLDVAD=Lemos:AD est par aDV assim comoPL est par aLO. Pode-se f alart ambm que:EFEHABACPHEHBCACFHBCEFAB= = = ; ; Exemplos:Det er mine os valor es desconhecidos dos segment os abaixo.FHEFBCAB=logo4106 =x logo 60 4 = xlogo 460= xlogo15 = xFHEFBCAB=logo2 45=xx logo ) 2 ( 5 4 = x xlogo10 5 4 = x xlogox 4- 5x = -10 Logo) 1 ( 10 = xlogo 10 = x Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional413.6 - TI POS DE RETASRet asparalelas: Duas r et as so par alelas quando est o em um mesmo plano e no t em pont o em comum. Exemplo: As r et as r e m so par alelas r / /m (/ /par alelas ) As r et as s e b no so par alelas. Obser ve que elas vo se encont r ar . Ret asconcorrent es: Duas r et as so concor r ent es quando possui um nico pont o em comum. Exemplo: As r et as fe p encont r am em um nico pont o (A). Ret asperpendiculares:Duasr et assoper pendicular esse,esoment ese,soconcor r ent ese f or mam ngulos de 90 . Exemplo:A r et a m per pendiculara r et a p. m p (per pendicular ) Ret asoblquas: Duas r et as so oblquas, quando so concor r ent es e no so per pendicular es. Exemplo: As r et as r e fso oblquoas. Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional423.7 - FI GURAS GEOMTRI CAFigurageomt ricaplana: Uma f igur a geomt r ica plana se t odos os seus pont os per t encem a um mesmo plano. Exemplos: Obser vequet odosospont osdest af igur aper t encema um s plano. Figurageomt ricanoplana:Senemt odososseuspont osper t encemaummesmoplano.A maior ia dos obj et os que nos cer camno so planas. A f igur a ao lado no per t ence a um s plano. 3.8 - POL GONOSPoli (Vr ios ), gono(ngulos) , f igur a geomt r ica plana de vr ios ngulos. Polgono a r eunio de uma linha poligonal simples f or mada apenas porsegment os de r et a com a sua r egio int er na. Exemplos: Quadr ilt er o (4 lados)Tr ingulo (3 lados)Hexgono (6 lados) 3. 8. 1- TiposdepolgonosConvexos: Exemplos: Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional43Noconvexos: Exemplos: 3. 8. 2- Part esdeumPolgono DA CD BC AB , , ,so lados. 3. 8. 3- Classif icaodosPolgonosOspolgonossoclassif icadosdeacor docomonmer odelados,deve-seobser var queem qualquerpolgono o nmer o de lados igual ao nmer o de ngulos e igual ao nmer o de vr t ice. NMERODE LADOSNOME 3 LadosTr ingulo 4 LadosQuadr ilt er o 5 LadosPent gono 6 LadosHexgono 7 LadosHept gono 8 LadosOct gono 9 LadosEnegono 10 LadosDecgono 11 LadosUndecgono 12 LadosDodecgono 15 LadosPent adecgono20 LadosI cosgono Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional444- MEDI DAS 4.1 - MEDI NDO COMPRI MENTO Deve-se saberque a unidade f undament al par a medircompr iment o o met ro, que r epr esent ada pela let r a m. A palavr a met r o vem do gr ego, met ron,que signif ica oquesemede. Est a medida f oi adot ada como padr o. 4.2 - MLTI PLOS E SUBMLTI PLOS DO METROMlt iplosUnidade principal Submlt iplos qui lomet r o hect met r o decmet r o met r o decmet r o cent met r o mi lmet r okm hm dam m dm cm mm1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001mObser vequecadaunidadedecompr iment odezvezesmaior queaunidadeimediat ament e inf er ior .At eno:Deve-seobser var queexist emout r asunidadesdemedidas,bast ant eusadas.Polegada, que equivale a 25,4 mm.J ar da, que equivale a 91,44 cm.Milha, que equivale a 1069 m.Lgua, que equivale a 5555 m.P, que equivale a 30,44 cm.LendoMedidasdeCompriment odeve-seobser varque aleit ur a das medidasde compr iment o f eit a de f or ma semelhant e a leit ur a dos nmer os decimais.Exemplos:2, 23m = dois met r os e vint e e t r s cent met r os ou t r s vr gula vint e e t r s met r os.12, 45dm=dozedecmet r oequar ent aecincocent met r ooudozevr gulaquar ent aecinco decmet r o. 0, 23km= zer o quilmet r o e vint e e t r s decmet r o ou zer o vr gula vint e e t r s quilmet r o.13, 47m= t r eze met r os e quar ent a e set e cent met r o ou t r eze vr gula quar ent a e set e met r os. 4.3 - TRANSFORMANDO UNI DADESAot r abalhar ,como mt odode andar com avr gula,onmer ode casasnecessr iaspar a chegarna unidade desej ada.Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional45Exemplos:2, 3mparacm = 230,0 ou 230 cm (par a chegarat o cent met r o desloca-se a vr gula duas casas par a a dir eit a) 12, 47mparadm=124,7dm(par a chegarat odecmet r o desloca-seavr gulaumacasapar a dir eit a)3mparamm = 3000,0 ou 3000 mm (par a chegarat o milmet r o desloca-se a vr gula t r s casas par a a dir eit a) 4, 23kmparam=4230,0ou4230 m(par a chegar at o met r o desloca-seavr gulat r scasas par a a dir eit a) 300cmparam=3,00ou3 m(par a chegarat o met r o desloca-seavir guladuascasaspar aa esquer da) 123, 4mmparam=0,1234m(par achegar at omet r odesloca-seavr gulat r scasaspar aa esquer da) 14mparakm=0,014km(par achegarat oquilmet r odesloca-seavr gulat r scasaspar a a esquer da, como f alt ou nmer o complet a-se com zer o) . 5- PER METRO Per met r ocont or nodeumpolgono,ousej aasomadasmedidasdosladosdeumpolgono medida na mesma unidade.Exemplos: Calcule o per met r o das seguint es f igur as.a) b) Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional46c) Paulodesej acer car seut er r enodef or mar et angular com5volt asdear amef ar pado.Calculea quant idade de ar ame a sergast o, sabendo que o t er r eno possui 26 m de compr iment o por20 m de lar gur a. 5.1 - MEDI NDO SUPERF CI ESAssim como se mede compr iment o, t ambm se mede super f cies planas. Quando se f ala em mediruma super f cie plana, t em-se que compar -la com out r a t omada como unidade padr o e ver if ica-se quant as vezes essa unidade de medida cabe na super f cie que se quermedir . 5.2 - UNI DADE DE MEDI DA DE SUPERF CI E Deve-sesaber que aunidadef undament alusadapar amedir super f cieo met r o quadr ado(m ),que cor r esponde a r ea de um quadr ado que possui os lados medindo 1 m cada um. Est equadr adopossui1mdecadaladologopossuiummet r o quadr ado. Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional475.3 - QUADRO DE UNI DADES USADAS PARA MEDI R SUPERF CI ES Mlt iplosUnidade f undament alSubmlt iplos kmhm dammdmcm mm1.000.000m10.000m100m1m0,01m0,0001m0,000001m Obser ve que cada unidade 100 vezes maiorque a unidade imediat ament e ant er ior . 5.4 - LENDO UNI DADES DE REA 4,35 cm2 = Quat r o cent met r os quadr ados e t r int a e cinco milmet r os quadr ados ou quat r o vr gula t r int a e cinco cent met r os quadr ados. 12,12m2=Dozemet r osquadr adosedozedecmet r osquadr adosoudozevr guladozemet r os quadr ados. 5.5 - TRANSFORMANDO UNI DADES2,234 m2 par a dm2 = 223,4 dm2 (Obser ve que a vr gula deslocou par a dir eit a 2 casas) 4,4567 dm2 par a cm2 = 445,67 cm2 (Obser ve que a vr gula deslocou par a dir eit a 2 casas) 4567,5 dm2 par a dam2 = 0,45675 m2 (Obser ve que a vr gula deslocou par a esquer da 4 casas) 45cm2par am2=0,0045m2(Obser vequeavr guladeslocoupar aesquer da4casascomono t nhamos mais nmer os complet amos com zer os) 5.6 REAS DAS PRI NCI PAI S FI GURAS PLANAS 5. 6. 1readoquadrado 5. 6. 2readoret ngulo Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional485. 6. 3readot ringulo 5. 6. 4readoparalelogramo 5. 6. 5readot rapzio 5. 6. 6readolosango Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional495. 6. 7readocrculo EXERC CI OSRESOLVI DOS 1) Tr ansf or me: a) 1,02 hmem damb) 0,05 mem cmc) 1,36 mmem cmd) 4,1 dmem damSoluo: No sist ema mt r ico decimal, as medidas de super f cies apr esent am a seguint e escala: km hm dam m dm cm mma) 1,02 hm= 102 damb) 0,05 m= 500 cmc) 1,36 mm= 0,0136 cmd) 4,1 dm= 0,00041 dam2) Calculara r ea de um quadr ado, sabendo-se que seu per met r o 8 cm. Soluo: 4 = Pcm 2484 8 = = = 2 = A22 = A24cm A =3) Calcule as dimenses de um r et ngulo, sabendo-se que a medida da base o dobr o da alt ur a e a sua r ea de 16cm . Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional50Soluo: = A b . hcm h h h h h h 2 2 82162 16 . 2 162 2 2= = = = =cm b b h b 2 4 2 2 . 2 2 = = = R: As dimenses do r et ngulo so: basecm 2 4 e a alt ur acm 2 2 . 4) Calculara r ea de um cr culo, que t em 6 cm de dimet r o. Soluo: 22293 .3262 62cm AAr Acm r r rr d==== = == 5.7 - CALCULANDO REAS Exemplos: 01) Calcule a r ea de um t er r eno quadr ado de 25 m de lado. A = l2 =>A =252=>A = 625 m2 02)Calcule a r ea de umcampodef ut ebolcuj asdimensesso, 150mdecompr iment opor75m de lar gur a.(o campo t em af or mar et angular , comest anahor izont al euf alocompr iment ovezes lar gur a). A =b xh=> A = 150 x 75=>A = 11.250 m2 RESOLVA OS EXERC COS ABAI XO. 01. Det er mine a r ea de um par alelogr amo em que a alt ur a mede 10 cm e sua base mede 6 cm. (R = 60) 02.Sabendo-sequea alt ur adeumt r ingulo mede 8cmesuabasemede13cm.Det er minesua r ea. (R = 52)03.Umlosangopossuiadiagonalmaior medindo8cmeamenor medindo6cm.Calculear ea dest e losango. (R = 24)Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional5104.Abasemaior deumt r apziomede40cmesuabasemenor mede25cm.Calculesuar ea sabendo que a alt ur a mede 20 cm. (R = 650) Observao:Exist emmedidasespecf icaspar a medir gr andesext enses,comost ios, chcar as e f azendas. So elas o hect ar e e o ar e. 1 hect ar e(ha) = 10.000(m ) 1 ar e(a) = 100(m )Exemplos:Uma f azenda possui 120 000 mde r ea, qual a sua medida em hect ar e?120.0000 : 10.000 = 120 ha. Uma f azenda possui 23,4 ha de r ea, qual a sua r ea em m ? 23,4 x 10.000 = 234.000 m 6- CI RCUNFERNCI AEC RCULO Cir cunf er ncia um conj unt o de pont os de um mesmo plano que est o a uma mesma dist ncia de um pont o per t encent e a est e mesmo plano. Est e pont o o cent r o da cir cunf er ncia, a dist ncia do cent r o cir cunf er ncia chamamos de r aio (r ). Exemplo: O o cent r o da cir cunf er ncia e OP o r aio da cir cunf er ncia. 6.1 - REGI O I NTERI OR E EXTERI OR DE UMA CI RCUNFERNCI AExemplo: Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional526.2 - CORDA, DI METRO E RAI OCorda:umsegment oder et aquet ocaacir cunf er nciaemdoispont osdist int os. Dimet ro:acor daquepassapelocent r oedivideacir cunf er nciaemduaspar t esiguais. Raio:osegment oder et a quet emumaext r emidadenocent r o da cir cunf er nciaeoout r ona pr pr ia cir cunf er ncia. Exemplo: OPr aio da cir cunf er ncia TEcor da da cir cunf er ncia SF dimet r o da cir cunf er ncia 6.3 - ARCO DA CI RCUNFERNCI AExemplos: 6.4 - SEMI CI RCUNFERNCI ANot a-sequeodimet r odivideacir cunf er nciaemduaspar t es,cadaumadest aspar t es chamada de semicir cunf er ncia. Exemplo: 6.5 - C RCULO a r eunio da cir cunf er ncia com sua r egio int er na. Cent r o, r aio, cor da, dimet r o e ar co de um cr culo so o cent r o, o r aio, a cor da, o dimet r o e o ar co da cir cunf er ncia. Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional53Exemplo: 6.6 - POSI ES RELATI VAS DE RETA E CI RCUNFERNCI ARet asecant e: a r et a que t oca a cir cunf er ncia em dois pont os dist int os. Exemplo: Ret at angent e: a r et a que t oca a cir cunf er ncia em apenas um pont o. Exemplo: Ret aext erna: a r et a que no t oca nenhum pont o da cir cunf er ncia. Exemplo:

6.7 - COMPRI MENTO DA CI RCUNFERNCI ACreated with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional54Ocompr iment odeumacir cunf er nciaonmer oquer epr esent aosper met r osdospolgonos inscr it osnessacir cunf er nciaquandoonmer odeladosaument aindef inidament e. Ent ende-se compr iment o como sendo o cont or no da cir cunf er ncia. Exemplo: Uma volt a complet a em t or no da t er r a. O compr iment o de um ar o de biciclet a. O compr iment o da r oda de um car r o. O compr iment o da bola cent r al de um campo de f ut ebol. 6.8 CALCULANDOt Est a uma const ant e (seu valorno muda nunca). Est asur giudadivisodocompr iment opelodimet r odacir cunf er ncia.Ver if icou-sequeno impor t avaocompr iment odacir cunf er ncia,sempr equedividiaocompr iment opelodimet r oo r esult ado er a o mesmo (3,14159265....), par a no t erque escr everest e nmer o a t odo o moment o f icou def inido que est a ser ia r epr esent ado pela let r a t (pi) do alf abet o gr ego, lembr e-se usa-se apenas com duas casas decimais= 3,14. 6.9 - CALCULANDO O COMPRI MENTO DA CI RCUNFERNCI APar a calcularo compr iment o da cir cunf er ncia, D CDC = =devemos lembr arquer D 2 =dimet r o igual ao dobr o do r aio. logor C 2 =(compr iment o =2 vezesvezes o r aio). Par a calcularo compr iment o de uma cir cunf er ncia usa-se a f r mula. Exemplos: 01. Det er mine o compr iment o de uma cir cunf er ncia em que o r aio mede 3 cm. r C 2 =bast a subst it uir mos o rpor3cm epor3,14. cm C cm x x C 84 , 18 3 14 , 3 2 = = 02. Vamos calcularo r aio de uma cir cunf er ncia sabendo que o compr iment o mede 62,8 m.r C 2 =bast a subst it uir mos C por62,8m epor3,14. m rmr xr m xr x m 1028 , 68 , 6228 , 6 8 , 62 14 , 3 2 8 , 62 = = = = Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional556.10 - CALCULANDO A REA DE UM C RCULOPar a calculara r ea de um cr culo usa-se a f r mula: 2r A =Exemplos:01. Calcule a r ea de um cr culo, sabendo que seu r aio mede 4 m.2r A =devemos subst it uir por3,14 e rpor4m. 2 2 224 , 50 16 14 , 3 ) 4 ( 14 , 3 m A m x A m x A = = = 02. Det er mine o r aio de uma cir cunf er ncia sabendo que sua r ea igual 314 cm .2r A =vamos subst it uirA por314cm por3,14. 10 100 10014 , 331414 , 3 314222 2 2= = = = r r rcmr xr cm cm6.11 - VOLUMEChama-se de volume de um slido geomt r ico, o espao que esse slido ocupa.6.12 - MEDI NDO VOLUMEPar a medirvolume, usamos a unidade denominada met r o cbico (m ). Oque1m ? o volume de um cubo, em que suas ar est as medem 1m. Exemplo: 6.13 - MLTI PLOS E SUBMLTI PLOS DO METRO CBI COMlt iplosUnidade f undament al Submlt iplos kmhm dam m dm cm mm1 000 000 000 m 1 000 000 m 1 000 m 1 m 0,001 m 0,000 001m 0,000 000 001 mCreated with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional56At eno:Vocdevet er not adoque cadaunidademaior queaunidadeimediat ament einf er ior1000 vezes ou 1000 vezes menorque a unidade imediat ament e super ior .No seu dia a dia, voc deve t erobser vado que as unidades mais usadas so, o m , cm e dm . 6.14 - LENDO UNI DADES DE VOLUME4,35 cm= Quat r o cent met r os cbicos e t r int a e cinco milmet r os cbicos ou quat r o vir gula 35 cent met r os cbicos. 12,123 m= Doze met r os cbicos e cent o e vint e e t r s decmet r os cbicos ou doze vr gula cent o e vint e e t r s met r os cbicos. 6.15 - TRANSFORMANDO UNI DADES2,234 mpar a dm= 2234 dm(Obser ve que a vr gula deslocou par a dir eit a 3 casas) 4,4567 dmpar a cm= 4456,7 cm(Obser ve que a vr gula deslocou par a dir eit a 3 casas) 4567,5 dmpar a m= 4,5675 (Obser ve que a vr gula deslocou par a esquer da 3 casas) 45cm par am =0,000045(Obser vequeavr guladeslocoupar aesquer da6casascomono t nhamos mais nmer os complet amos com zer os) 6.16 VOLUME DOS PRI NCI PAI S SLI DOS GEOMTRI COS 6. 16. 1Cubo 3a V = 6. 16. 2- ParaleleppedoRet ngulo 3a V = Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional576. 16. 3Cilindro H A Vb. = 6. 16. 4Prisma H A Vb. = 6. 16. 5- Pirmide 3.H AVb= 6. 16. 6Cone 3.H AVb= Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional586. 16. 7- Esf era 334r V = EXERC CI OSRESOLVI DOS 1) Tr ansf or me: a) 2,6 hm= 2600 damb) 0,016 km= 16000 damc) 1,06cm= 0,00106 dm 2) O volume de um cubo 27 cm . Calcule a medida da ar est a desse cubo. Soluo: cm aa aa V327 273 3 3 33== == 3) O volume de um par aleleppedo r et ngulo de 24cm , sabendo-se que o compr iment o 4cm, a lar gur a 3cm. A alt ur a desse par aleleppedo : cm cccc b a V212 24. 4 . 3 24. .==== Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional596.17 - CALCULANDO VOLUMES Det er mine o volume da seguint e f igur a. Exemplos: Calcule o volume de uma caixa cbica, cuj a ar est a mede 9 m. V = a3 V = (9 m)3 V = 729 m3 Quant os m3 de gua so necessr ios par a encheruma piscina em que as dimenses so: compr iment o = 12 m, lar gur a = 6 m e pr of undidade = 1,5 m.V = c x l x h V = 12 m x 6 m x 1,5 m V = 108 m3 7- RELAESMTRI CASNOTRI NGULORETNGULO Tr ingulo r et ngulo aquele que possui um ngulo de 90 . Relaes Podemos af ir marque:b =am,c =an,h =mn,ah=bce a=m+n Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional60Det er mine o valorde x nas seguint es f igur as: Relao b = am 6 , 3103636 10) 1 ( 36 1010 3610 62=== = ==xxxxxx Relao h = m n 63636364 , 9222=====xxxxx Relao ah = bc 108 , 44848 8 , 46 , 8 8 , 4 .====xxxx Relao c = na636364 , 9222=====xxxxan x Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional617.1 - TEOREMA DE PI TGORASOquadradodahipot enusaigualasomadosquadradosdoscat et os.Exemplos: Calcule o valorde x nas seguint es f igur as: 525259 163 4222 2 2===+ =+ =xxxxx 6 "2 '18 4) 1 ( 264 ) 4 (6448 16) 12 )( 1 ( 4 ) 4 (0 12 44 4 16 84 4 16 8) 2 ( ) 4 (222 2 22 2 22 2 2= = = == A+ = A = A= + + + ++ + + = + ++ + = +xexxxx xx x x x xx x x x xx x x Como no exist e medida negat ivo x=6 98181225 144144 22512 152222 2 2=== = + =+ =xxxxxx Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional627.2 - TRI GONOMETRI A NO TRI NGULO RETNGULO Apalavr at r igonomet r iasignif ica medida dost r s ngulosdeumt r inguloedet er minaumr amo da mat emt ica que est uda a r elao ent r e as mediadas dos lados e dos ngulos de um t r ingulo. Cont aahist r iadamat emt icaqueTalesf oiumgr andeest udiosodesser amodamat emt ica, masnopodemosaf ir mar queest ef oiseuinvent or .At r igonomet r ianof oiobr adeums homem, nem de um povo s. 7. 2. 1- Seno, CossenoeTangent edeumnguloAgudo Obser ve o t r ingulo r et ngulo abaixo, onde a a hipot enusa (lado opost o ao ngulo de 90 ), b e c so os cat et os do t r ingulo r et ngulo. Observao:Cat et os so os lado que f or mam o ngulo de 90 . Lembr e-se, os cat et os var iam de nome de acor do com a posio do ngulo. Seno de y =Hipotenusay toaongulo CatetoOposou semacy =Cosseno de y =Hipotenusauloy centeaong CatetoAdjaou cosaby =Tangent e de y =uloy centeaong CatetoAdjay toaongulo CatetoOposou t gbcy =Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional63Razes Tr igonomt r icas Especiais 304560 Seno 21 22 23 Cosseno 23 22 21 Tangent e 33 1 3 Exist emout r ongulos,seussenos,cossenos,t angent esecot angent es,seencont r amemuma t abela chamada t abela t r igonomt r ica.Exemplos: 1. Calcule o valorde x na f igur a abaixo.(obser ve na t abela sen 30 ) 2. Det er mine o valorde y na f igur a abaixo.(obser ve na t abela con 30 ) Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)EducaoProf issional64BI BLI OGRAFI A Colet nia Obj et ivo par a concur sos Mat emt icaeRaciocnioLgicoeQuant it at ivo 2003. GI OVANNI ,Cast r uccieGI OVANNI J r .Aconquist adaMat emt ica,6 sr ieSoPaulo, Edit or a FTD, 1988. GI OVANNI , J os Ruy. Aconquist adaMat emt ica, 7sr ie So Paulo, Edit or a FTD, 1988. J AKUBOeLELLI S,J ose Mar celo.Mat emt icanaMedidaCert a,5 ,6 , 7 e 8 sr ies.So Paulo Edit or a Scipione, 1994. MALVEI RA, Linaldo. Mat emt icaFcil, 5 , 6 , 7e 8sr ies. So Paulo Edit or a t ica, 1993. www.somat emat ica.com.brwww.t er r a.com.br / mat emat ica www.mat emat ica.com.brwww.exat as.hpg.com.brwww.zmais.com.br Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)