Download - Mate Matic a Element a Riv
MatemáticaElementar IV
Audemir Lima de SouzaDário Souza Rocha
Genilce Ferreira Oliveira
Manaus 2007
FICHA TÉCNICA
GovernadorEduardo Braga
Vice-GovernadorOmar Aziz
ReitorLourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-ReitorCarlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto
Pró-Reitor de Extensão e Assuntos ComunitáriosAdemar R. M. Teixeira
Pró-Reitor de Ensino de GraduaçãoCarlos Eduardo S. Gonçalves
Pró-Reitor de Pós-Graduação e PesquisaWalmir de Albuquerque Barbosa
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)Carlos Alberto Farias Jennings
Coordenador PedagógicoLuciano Balbino dos Santos
NUPROMNúcleo de Produção de Material
Coordenador GeralJoão Batista Gomes
Projeto GráficoMário Lima
Editoração EletrônicaHelcio Ferreira Junior
Revisão Técnico-gramaticalJoão Batista Gomes
Souza, Audemir Lima de.
S729m Matemática elementar IV / Audemir Lima de Souza, Dário SouzaRocha, Genilce Ferreira Oliveira. – Manaus/AM: UEA, 2007. –(Licenciatura em Matemática. 2. Período)
179 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia
1. Matemática – Estudo e ensino. I. Rocha, Dário Souza. II.Oliveira, Genilce Ferreira. III. Série. IV. Título
CDU (1997): 51
CDD (19.ed.): 510
SUMÁRIO
Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
UNIDADE I – Razões trigonométricas no triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09
TEMA 01 – Trigonometria no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Relações entre seno, cosseno e Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17TEMA 03 – Resolução de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
UNIDADE II – Trigonometria na circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
TEMA 04 – Arcos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 05 – Ciclo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34TEMA 06 – Seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38TEMA 07 – Razões recíprocas do seno, cosseno e tangente e outras relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42TEMA 08 – Redução ao 1.º quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
UNIDADE III – Funções circulares e identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
TEMA 09 – Função seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TEMA 10 – Função cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 11 – Função tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57TEMA 12 – Outras funções circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59TEMA 13 – Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
UNIDADE IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
TEMA 14 – Transformações: Fórmulas de adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65TEMA 15 – Arco duplo e triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67TEMA 16 – Arco metade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69TEMA 17 – Fórmulas de transformação em produto para seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
UNIDADE V – Equações e inequações trigonométricas | Funções trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . 75
TEMA 18 – Equações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TEMA 19 – Inequações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81TEMA 20 – Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
UNIDADE VI – Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
TEMA 21 – Forma algébrica e potências de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93TEMA 22 – Igualdade, soma e subtração de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95TEMA 23 – Multiplicação, conjugado e divisão de números complexos na forma algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
UNIDADE VII – Números complexos na forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
TEMA 24 – Representação geométrica, módulo e argumento de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105TEMA 25 – Forma trigonométrica de um número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110TEMA 26 – Multiplicação e divisão com números complexos na forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112TEMA 27 – Potenciação e Radiciação de números complexos na forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
UNIDADE VIII – Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
TEMA 28 – Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125TEMA 29 – Polinômios Idênticos e Operações com polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129TEMA 30 – Divisão de Polinômios (parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131TEMA 31 – Divisão de Polinômios (parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133TEMA 32 – Divisão de Polinômios (parte III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
UNIDADE IX – Equaçãoes algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
TEMA 33 – Equações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 TEMA 34 – Multiplicidade das raízes e raízes complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146TEMA 35 – Raízes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 TEMA 36 – Relações de Girard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Audemir Lima de SouzaLicenciado em Matemática – UFAM
Bacharel em Processamento de Dados – UFAM
Especialista em Engenharia de Produção – UFAM
Dário Souza Rocha Licenciado e Bacharel em Matemática – UFAM
Especialista em Matemática – UFAM
Genilce Ferreira OliveiraLicenciada em Matemática – UFAM
Especialista em Matemática – UFAM
PERFIL DOS AUTORES
PALAVRA DO REITOR
A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada
à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do
Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon-
der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em
dinamismo técnico−científico.
Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere-
cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis-
tenciais, estimulando−lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando−lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.
Os livros−textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história
da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos-
tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi-
no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.
A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios
que se impõem hoje.
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
UNIDADE IRazões trigonométricas no triângulo
TEMA 01
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1.1 Um pouco de história
As dimensões do universo sempre fascinaramos cientistas. O astrônomo grego Aristarco deSamos (310 a.C. - 230 a.C.) foi um dos pri-meiros a calcular as distâncias entre a Terra, aLua e o Sol; o matemático grego Arquimedes(287 a.C. – 212 a.C.) estimou o número degrãos de areia necessários para preencher oUniverso conhecido até então; o físico alemãoAlbert Einstein (1879–1955) avaliou o raio doUniverso, que, de acordo com seus estudos, éfinito.
O papiro de Rhind, escrito no Egito em 1650 a.C. aproximadamente, é uma das principais fon-tes de informação sobre a matemática egípicia.Esse documento, constituído de um texto ma-temático com 85 problemas, apresenta no pro-blema 56 um dos mais antigos registros co-nhecidos sobre trigonometria.
Na construção de pirâmides, era essencialmanter uma inclinação constante nas faces, epode ter sido essa preocupação que levou osconstrutores a usar razões entre medidas doslados de triângulos, chamadas atualmente de
razões trigonométricas.
Hoje, com o auxílio de um teodolito (instru-mento portátil utilizado em topografia e em as-tronomia com a finalidade de medir ângulos)
podem ser calculadas, através da trigonome-tria, alturas de montanhas, larguras de rios,distância entre corpos celestes, etc.
1.2 Alguns conceitos de ângulos
Ângulo é a reunião de duas semi-retas demesma origem, mas não contidas na mesmareta. O ponto O é chamado de vértice, e assemi-retas e são os lados do ângulo.Denotaremos o ângulo pelo símbolo AOB.
Ângulo Raso é o ângulo formado por duassemi-retas opostas.
Ângulo de uma volta e ângulo nulo são for-mados por duas semi-retas coincidentes.
Interior do ângulo AOB é a intersecção dedois semiplanos cujas origens são retas con-correntes.
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Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
Os pontos do interior de um ângulo são pon-tos internos ao ângulo.
Exterior de ângulo AOB é o conjunto dos pon-tos que não pertencem nem ao ângulo AOBnem ao seu interior.
Os pontos do exterior de um ângulo são pon-tos externos ao ângulo.
Unidade de medida de ângulos
Consideraremos um ângulo raso AOB. Divi-dindo esse ângulo em 180 partes iguais,chama-se ângulo de 1o (um grau) ao ângulo
que corresponde a do ângulo raso.
Submúltiplos do grau
Dois submúltiplos do grau merecem destaque:o minuto e o segundo.
Um minuto (1’) é igual a do grau:
Um segundo (1”) é igual a do minuto:
Dois ângulos são suplementares se, e so-mente se, a soma de suas medidas é 180o.
Se dois ângulos são adjacentes (um lado co-mum, mas não têm pontos internos comuns),suplementares e têm medidas iguais, entãocada um deles é chamado de ângulo reto esua medida é 90o.
O ângulo que mede menos que 90o é chama-do ângulo agudo, e o ângulo cuja medida estáentre 90o e 180o é chamado de ângulo obtuso.
Dois ângulos são complementares se, e so-mente se, a soma de suas medidas é 90o.
1.3 Triângulo
Três pontos A, B e C, não colineares, deter-minam três segmentos de reta:
⎯AB,
⎯BC e
⎯AC.
A reunião dos segmentos de reta ⎯AB,
⎯BC e
⎯AC
é chamado de Triângulo ABC.
Vértices: A, B e C.
Lados: ⎯AB,
⎯BC e
⎯AC.
Medidas dos lados: ⎯AB = c,
⎯BC = a e
⎯AC = b.
1.4 Razões trigonométricas no triângulo retân-gulo
Dado um ângulo agudo qualquer de medida α,considere os infinitos triângulos retângulos quepossuem ângulos de medida α. Alguns dessestriângulos são:
Observe que os triângulos OAB, OCD, OEF eOGH são semelhantes. Assim, a razão entredois lados quaisquer de um deles é igual à ra-zão entre os lados correspondentes dos outrosdois, ou seja:
As constantes r1, r2 e r3 dependem exclusiva-mente da medida α, e não das dimensões dotriângulo escolhido para obtê-las. Como osinfinitos triângulos retângulos que possuem oângulo agudo de medida α são semelhantes
12
UEA – Licenciatura em Matemática
entre si, as constantes r1, r2 e r3 podem ser ob-tidas, de maneira análoga, a partir de qualquerum deles, ou seja:
Estas razões trigonométricas r1, r2 e r3 são cha-madas, respectivamente, de seno do ângulo(sen α), co-seno do ângulo (cosα) e tangentedo ângulo (tg α).
Dado o triângulo retângulo abaixo:
Podemos dizer que:
Exemplos:
1. Com o auxílio de régua graduada e transfe-ridor, calcular sen 42°, cos 42° e tg 42°.
Solução:
Construímos um ângulo de 42°:
Traçamos uma perpendicular a um dos ladosdesse ângulo e obtemos o seguinte triânguloretângulo:
Medimos, com o auxílio da régua, os lados dotriângulo ABO. Temos:
AB = 2,7cm; AO = 3,0cm;
BO = 4,1cm.
Calculamos:
;
;
Nota: Com o uso da régua, cometemos, inevi-tavelmente, erros de aproximação. Portanto osresultados obtidos são valores aproximados.Existem métodos mais eficientes, que calculamesses valores com precisão desejada.
2. Sabendo que sen 36° = 0,58, cos 36° = 0,80 etg 36° = 0,72. Calcular o valor de x em cadafigura:
a)
b)
c)
Solução:
a) A razão trigonométrica que deve ser apli-cada é aquela que se relaciona com oselementos (queremos cateto oposto e te-mos a hipotenusa). A razão é o seno.
Temos:
Logo, x = 5,8cm
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Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
b) Temos a hipotenusa e queremos encontrarcateto adjacente ao ângulo de 36°. A razãoé o co-seno.
Logo, x = 4m
c) Temos o cateto oposto e queremos o cate-to adjacente, ao ângulo de 36°. A razão é atangente.
Logo, x = 27,8km (aprox.).
3. Um engenheiro deve medir a largura de um rio.Para isso, fixa um ponto A na margem em quese encontra e um ponto B na margem oposta(conforme a figura). A seguir, desloca-se 40mperpendicularmente à reta até o ponto C emede o ângulo ACB, obtendo 44°. Qual é a lar-gura do rio? (Dados: sen 44º = 0,69, cos 44º =0,71 e tg 44º = 0,96)
Solução:
Relacionando com ângulo de 44°, queremoscalcular o cateto oposto e temos a medidado cateto adjacente que é 40m. A razão trigo-nométrica que usaremos é a tangente. Logo,temos:
A largura do rio é 38,4m.
1. Dado o triângulo ABC retângulo em A, calcule:
a) sen B b) cos B
c) tg B d) sen C
e) cos C f) tg C
2. Calcule as razões trigonométricas seno, co-seno, tangente dos ângulos agudos do tri-ângulo retângulo em que um dos catetos me-de 3 e a hipotenusa 2 .
3. Num triângulo ABC reto em A, determine asmedidas dos catetos, sabendo que a hipo-
tenusa vale 50 e .
4. Seja ABC um triângulo retângulo em A. São
dados e hipotenusa a = 6. Calcule
os catetos b e c.
5. Sabendo que sen 28º = 0,46, cos 28º = 0,88 etg 28º = 0,53, calcule o valor de x na figura:
a)
b)
c)
6. Um alpinista deseja calcular a altura de uma
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UEA – Licenciatura em Matemática
encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se,horizontalmente, 80m do pé da encosta (con-forme a figura) e visualiza o topo sob um ângu-lo de 55° com o plano horizontal. Calcule aaltura da encosta. (Dados: sen 55° = 0,81, cos55° = 0,57 e tg 55° = 1,42)
7. Um teleférico deve unir os topos A e B de doismorros. Para calcular a quantidade de cabosde aço necessária para unir A e B, um en-genheiro mediu as alturas dos morros emrelação a um mesmo plano horizontal, obtendo108m e 144m. A seguir, mediu o ângulo que areta forma com a horizontal, obtendo 32°.
a) Desenhe na figura abaixo um esquema querepresente a situação.
b) Calcule a distância entre os pontos A e B,sabendo que sen 32º = 0,52, cos 32º = 0,84e tg 32º = 0,62.
8. A figura a seguir mostra um de uma circun-
ferência de centro O dividido em seis partescongruentes. Com o auxílio do esquadro, tracepelos pontos B, C, D, E e F as retas per-pendiculares ao raio OA, que cruzam esse raionos pontos B’, C’, D’, E’ e F’, respectivamente.
b) Usando a régua graduada para medir seg-mentos, complete as igualdades abaixo comas medidas em centímetros (com uma casadecimal):
OA = .......................
CC’ = .......................
DD’ = .......................
OD’ = .......................
OE’ = .......................
c) Considerando a medida do raio⎯OA como
uma unidade u, complete as igualdadesabaixo com as medidas na unidade u (comuma casa decimal):
OA = .......................
CC’ = .......................
DD’ = .......................
OD’ = .......................
OE’ = .......................
d) Usando as medidas que você obteve, com-plete as igualdades:
sen 30º = .......................
sen 45º = .......................
cos 45º = .......................
cols 60º = .......................
tg 45º = .......................
9. Se as medidas dos lados de um triângulo re-tângulo estão expressas em uma mesma uni-dade tal que a hipotenusa mede 1, completeas sentenças de modo a torná-las verdadeiras:
a) O seno de qualquer ângulo agudo dessetriângulo é a própria medida do cateto............... a esse ângulo.
b) O co-seno de qualquer ângulo agudo dessetriângulo é a própria medida do cateto............... a esse ângulo.
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Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
1. (U. Católica de Salvador–BA) Na figura abaixo,tem-se o triângulo ABC, retângulo em B, noqual o lado
⎯BC = 8cm. A altura
⎯BH, relativa ao
vértice B, mede 4,8cm. A tangente do ânguloB AH é igual a:
a) b)
c) 1 d)
e)
2. (U. F. Santa Maria–RS) Num triângulo retân-
gulo, o co-seno de um ângulo é e a hipo-
tenusa mede 10cm. A soma dos catetos, emcentímetros, é:
a) 10 b) 12
c) 14 d) 16
e) 10
3. (UFRS) No triângulo retângulo da figura,⎯BC = 10 e cos α = 0,8. O valor de
⎯AB é:
a) 8
b) 6
c) 5
d) 4
e) 2
4. Se os raios solares formam um ângulo α com osolo, qual é, aproximadamente, o comprimentoda sombra de um prédio com 10m de altura?
(Dado )
a) 16,6m
b) 15,5m
c) 14,4m
d) 13,3m
e) 12,2m
5. O valor de sen 30° – cos 60° é:
a) 0
b) 1
c)
d)
e)
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UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 02
RELAÇÕES ENTRE SENO, CO-SENO ETANGENTE
2.1 Propriedades e relação fundamental
Veremos algumas relações muito importantesentre as razões trigonométricas estudadas.
Observe o triângulo retângulo ABC da figuraabaixo.
Temos: e
Logo, sen A = cos C
Temos ainda: e
Logo, sen C = cos A
Concluímos, então:
Se dois ângulos são complementares (somaigual a 90°), o seno de um deles é igual ao co-seno do outro.
Calculemos agora o valor da expressão(sen A)2 + (cos A)2, a qual também indicamospor sen2 A + cos2 A.
Como e temos:
sen2 A + cos2 A =
Mas a2 + c2 = b2 pelo teorema de Pitágoras.
Portanto:
⇒ sen2 A + cos2 A = 1
Observe que esse resultado não depende doângulo A. De modo análogo, teremos para oângulo C que, sen2 C + cos2 C = 1. Então,concluímos:
Se x é a medida de um dos ângulos agudos de
um triângulo retângulo, temos:
sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental)
Calculemos agora o valor da tangente de um
dos ângulos agudos, por exemplo, o ângulo A.
Temos:
Notemos que:
Logo, (o mesmo ocorre com C).
Então, concluímos:
Se x é a medida de um dos ângulos agudos de
um triângulo retângulo, temos:
Observação – Você verá mais adiante que as
relações acima são verdadeiras para outros
ângulos.
Exemplos:
Se α e β são as medidas dos ângulos agudos
de um triângulo retângulo e , deter-
minar sen β, cos β, cos α, tg α e tg β.
Solução:
Como α + β = 90° , temos que sen α = cos β,
então: .
Como sen2 α + cos2 α = 1 ⇒
.
Sabendo que cos α = sen β, temos que
.
Calculando as tangentes, temos:
17
Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
Observação – No triângulo retângulo, a hipo-tenusa é o maior dos lados; concluímos quepara 0º < α < 90º temos:
0 < sen α < 1; 0 < cos α < 1 ; tg α > 0.
2.2 Razões trigonométricas especiais
Os valores do seno, do cosseno e da tangentepodem ser determinadas utilizando-se umacalculadora científica ou fazendo-se uso de ta-belas, chamadas tábuas.
Para alguns ângulos, esses valores podem serdeterminados facilmente, conforme veremos.
a) Ângulo de 45°
Consideremos um quadrado cujo lado medea unidades (ver figura abaixo). O teoremade Pitágoras fornece-nos a diagonal d:
a2 + a2 = d2 ⇒ d2 = 2a2 ⇒ d = a .
Então, no triângulo retângulo ABC, temos:
b) Ângulo de 60º
Consideremos um triângulo eqüilátero cujolado mede a unidades (ver figura abaixo).Como todo triângulo eqüilátero é tambémeqüiângulo, cada um de seus ângulos me-de 60°.
Traçando a altura CH, temos que, sendo umtriângulo eqüilátero, ela será também medianade
⎯AB e bissetriz de C.
A medida da altura será determinada aplicandoo teorema de Pitágoras no triângulo retânguloAHC:
.
Então, .
Desse modo, temos:
c) Ângulo de 30°
Como 30° + 60° = 90° (30° e 60° são com-plementares), temos:
Observação – Os valores encontrados não de-pendem do valor de a.
18
UEA – Licenciatura em Matemática
Essas razões trigonométricas podem ser co-
locadas numa tabela de dupla entrada:
Exemplos:
1. Um foguete é lançado a 200m/s, segundo um
ângulo de inclinação de 60° (ver figura). De-
terminar a altura do foguete após 4s, supondo
a trajetória retilínea e a velocidade constante.
Solução:
Após 4s, ele percorre 4.(200m) = 800m .
Temos que:
A altura é aproximadamente 692,8m.
2. Uma pessoa está na margem de um rio, onde
existem duas árvores (B e C na figura). Na ou-
tra margem, em frente a B, existe uma árvore A,
vista de C segundo um ângulo de 30°, com
relação a B. Se a distância de B a C é de 150m,
Qual é a largura do rio, nesse trecho?
Solução:
Temos:
x = 50 . ⇒ x ≈ 86,7m.
2.3 Como calcular os valores das razões trigo-nométricas com o auxílio de calculadoracientífica ou da tábua trigonométrica
Vimos exemplos apenas com ângulos que co-nhecemos os valores trigonométricos, casosparticulares (30°, 45° e 60°).
Veremos como calcular as razões trigonomé-tricas de um ângulo agudo qualquer.
Para usar uma calculadora científica, é neces-sário primeiramente dar uma boa lida no ma-nual de instruções para saber quais teclasserão utilizadas em seus cálculos.
Tenha o cuidado de verificar a unidade de me-dida de ângulos com que a calculadora estáoperando, ou seja, se o “modo” está em grausou não.
As calculadoras usam as seguintes teclas:
Seno – sin para encontrar o seno do ânguloque está no visor; sin–1 para encontrar o ângu-lo cujo seno está mostrado no visor.
Cosseno – cos para encontrar o co-seno doângulo que está no visor; cos–1 para encontraro ângulo cujo cosseno está mostrado no visor.
Exemplos:
1. Calcular sen 42°.
Solução:
Verifique se o “modo” está em DEG; se nãoestiver, coloque-o. Depois digite 42 e pressionesin. Deverá aparecer 0,6691 (aproxim.).
θ sen θ cos θ tg θ
30º
45º 1
60º
19
Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
2. Sendo A um ângulo de um triângulo retângulotal que cos A = 0,8290, determinar quantosgraus mede o ângulo A.
Solução:
Verifique o “modo”, digite 0,8290 e pressionesin–1. Aparecerá 42° (aproxim.)
Veremos como operar, no caso de não poder-mos contar com este recurso.
Para isso, necessitamos da seguinte tábua, naqual apareçam os senos e cossenos dos ân-gulos de 1° a 45°.
Tábua dos senos e cossenos
Exemplos:
1. Calcular:
a) sen 71º
b) cos 50º
Solução:
a) O ângulo de 71° não consta em nossatábua, pois ela só vai até 45°. Mas sen71º = cos 19º (ângulos complementares)
Esse valor está na tábua.
Como cos 19º = 0,9455, temos quesen 71º = 0,9455
b) O ângulo de 50° também não consta natábua, mas cos 50º = sen 40º e comosen 40º = 0,6428, temos que cos 50º = 0,6428
2. Calcular tg 23º.
Solução:
Na tábua, não existe coluna referente à tan-gente (há tábuas que possuem). No entantotemos que:
1. Determine o seno, o cosseno e a tangente domaior ângulo agudo de um triângulo ABC,onde a, b e c são as medidas dos seus lados,nos casos:
a) a = 4cm, b = 8cm e o ângulo C é reto.
b) a = 4cm, b = 8cm e o ângulo B é reto.
2. O perímetro de um triângulo retângulo mede264m e a hipotenusa mede 110m. Qual o senodo menor ângulo agudo desse triângulo?
3. Um triângulo retângulo ABC é reto em B. Sa-be-se que tg A = 1 e que um dos catetos mede15cm. Ache o perímetro do triângulo.
4. Sendo α e β as medidas dos ângulos agudosde um triângulo retângulo, determine:
a) cos α, sen β, cos β, tg α e tg β, sabendo que
.
20
UEA – Licenciatura em Matemática
b) sen α, cos α, sen β, tg α e tg β, sabendo que
.
5. Em um triângulo retângulo um ângulo agudomede 30°, e o lado oposto a esse ângulo mede120m. Calcule quanto mede cada um dos ou-tros lados.
6. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede60m, e um dos seus ângulos mede 60°. De-termine o perímetro desse triângulo.
7. O menor cateto de um triângulo retângulo me-de 15cm e o maior dos ângulos agudos mede60°. Ache a hipotenusa.
8. Utilizando a tábua de senos e co-senos, cal-cule:
a) sen 39º b) cos 16º
c) sen 70º d) cos 85º
e) tg 47º f) tg 29º
1. Sabendo que sen 15º ≅ 0,2588, podemos dizerque cos 75º (aprox.), é igual a:
a) 0,9659;
b) 0,3256;
c) 0,2588;
d) 0,0872;
e) nenhuma das respostas anteriores.
2. Um terreno triangular tem frentes de 6m e 8m,em ruas que formam um ângulo de 90°. A me-dida do terceiro lado do triângulo é igual a:
a) 9m b) 10m
c) 11m d) 12m
e) 13m
3. (CESEP–82) Num terreno de forma triangularem que o lado maior mede 100m, o maior ân-gulo entre os lados é 90° e um dos outros doisângulos é a metade do outro, seu lado menormede:
a) 12m
b) 33,3m
c) 17m
d) 66,6m
e) 50m
4. (COVEST–89) Um barco atravessa um rio numtrecho onde a largura é 100m seguindo umadireção que forma um ângulo de 30° com umadas margens. Assinale a alternativa certa paraa distância percorrida pelo barco para atra-vessar o rio.
a) 100m
b) 200m
c) m
d) 150m
e) 250m
5. Uma rampa lisa de 20m de comprimento fazum ângulo de 30° com o plano horizontal. Umapessoa que sobe a rampa inteira eleva-se ver-ticalmente:
a) 17m
b) 10m
c) 15m
d) 5m
e) 8m
21
Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
TEMA 03
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS
3.1 Introdução
Vamos estender para quaisquer triângulos aspropriedades trigonométricas aplicáveis aostriângulos retângulos. Trataremos não só deseus lados e tipos de ângulos, mas também desua área. Por tratarmos de triângulos obtusân-gulos, apresentaremos senos e cossenos deângulos suplementares.
3.2 Ângulos suplementares
Os valores dos senos de dois ângulos suple-mentares coincidem, isto é:
sen(180° – x) = sen x, sendo x a medida de umângulo de um triângulo.
Exemplo:
Sendo x = 45°, temos:
Logo, sen(180º – x) = sen(180º – 45) = sen 135º ⇒
Os valores dos co-senos de dois ângulos su-plementares diferem apenas no sinal, ou seja:
cos( 180° – x) = – cos x, sendo x a medida deum ângulo de um triângulo.
Exemplo:
Sendo x = 60°, temos:
Logo,
cos( 180° – x) = cos( 180° – 60) = cos 120° ⇒
Observação – Para o caso particular dex = 90°, temos sen 90° = 1 e cos 90° = 0.
3.3 Lei dos senos
Iremos aprender agora uma relação muito im-portante, envolvendo as medidas dos lados comos senos dos ângulos de um triângulo. Essarelação é chamada lei dos senos.
Mostraremos que ela é verdadeira apenas quan-do um triângulo for acutângulo. Mais adiante,no momento oportuno, você verá como ela éaplicada para qualquer tipo de triângulo.
Assim sendo, tomemos um triângulo acutân-gulo ABC, no qual a, b e c são as medidas deseus lados, e mostremos que é verdadeira aseguinte afirmação:
(Lei dos senos)
Para isso, observe a figura a seguir.
Traçamos a altura relativa ao lado AB.
A figura acima mostra que:
(1)
Na figura abaixo, temos o mesmo triângulo coma altura relativa ao lado BC.
Temos que:
22
UEA – Licenciatura em Matemática
(2)
De (1) e (2), concluímos que é verdadeira a afir-mação:
(Lei dos senos)
Exemplo:
Na figura abaixo, determinar os valores de x e y.
Solução:
Temos que α + 45° + 60° = 180°, portantoα = 75°.
A lei dos senos permite escrever:
Nessa igualdade de três razões, podemos en-contrar os valores das variáveis igualando duasa duas, de forma que cada igualdade fiqueapenas com uma variável.
1. Temos que:
2. Temos também que:
Então, os lados medem: x ≅ 7,32cm e y ≅ 8,97cm.
3.4 Lei dos co-senos
Assim com a lei dos senos, a lei dos co-senosé muito importante para determinação de la-dos e ângulos de um triângulo.
Consideremos um triângulo acutângulo ABC e
mostremos que é verdadeira a seguinte afir-mação:
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos A
(Lei dos co-senos)
Demonstração:
No triângulo retângulo CHB, da figura abaixo,pelo teorema de Pitágoras, temos a2 = h2 + n2,como h = c – m, podemos escrever quea2 = h2 + (c – m)2.
Como
Portanto, como h = b . sen A e m = b . cos A,temos:
a2 = (b . sen A)2 + (c – b . cos A)2
a2 = b2 . sen2 A + c2 – 2 . b . c . cos A + b2 . cos2 A
. c . cos A
Dessa forma, concluímos:
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos A
(Lei dos co-senos)
De modo análogo, demonstra-se que:
b2 = a2 + c2 – 2 . a . c . cos B
e
c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos C
Exemplo:
Dado o triângulo ABC (ver figura), determinarx, α e β.
23
Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
Solução:
Pela lei dos cossenos, temos:
x2 = 502 + 402 – 2 . 50 . 40 . cos 60°
Substituindo cos 60° por 0,5, obtemos:
x2 = 2100, portanto x ≅ 45,83.
Aplicando a lei dos senos, temos:
.
Com o auxílio de calculadora científica ou con-sultando a tábua trigonométrica, teremos: α ≅ 71°.
Como β = 180° – 60° – α, temos que:
β ≅ 180° – 60° – 71°, portanto β ≅ 49°.
3.5 Cálculo da área de um triângulo em funçãodas medidas de dois lados e do ângulocompreendido por eles.
Para calcular a área do triângulo MNP, vamosindicar por h a medida da altura relativa ao lado⎯NP:
Assim, a área A desse triângulo é dada por:
(I)
No triângulo MNQ, temos , ou ainda:
h = a . sen α (II)
Substituindo (II) em (I), obtemos a área do tri-ângulo em função de a, b e α:
ou seja:
Observe que esse cálculo foi feito para α < 90°;porém o resultado vale também para α = 90°ou α > 90°.
Exemplo:
Determine, em centímetros quadrados, a áreado triângulo representado na figura abaixo.
Temos:
Como sen 30° = 0,5
Logo,
A = 10cm2
1. Dois lados consecutivos de um paralelogramomedem cm e 2cm e formam entre si um ân-gulo de 30°. Calcule a medida da maior dia-gonal desse paralelogramo.
2. Seja ABC um triângulo isósceles tal que ⎯AB =
⎯AC = 18cm e , onde α é a medi-
da do ângulo B AC. Sendo M o ponto médio dolado
⎯AB e P o ponto de
⎯AC tal que
⎯AP = 6cm,
calcule o perímetro do quadrilátero MPCB.
3. Dois lados consecutivos de um paralelogramomedem 5cm e 10cm e formam entre si um ân-gulo de 120°. Calcule as medidas das diago-nais desse polígono.
4. Um triângulo ABC está inscrito numa circun-ferência de raio r. A medida do lado
⎯BC é igual
a r. Calcule a medida do ângulo A.
5. (Vunesp) Os lados de triângulo medem 2 ,e 3 + . Determine a medida do
ângu-lo oposto ao lado de medida .
24
UEA – Licenciatura em Matemática
1. (Fuvest) Um triângulo ABC é retângulo em A.Se o seno do ângulo B é 0,8, qual o valor datangente de C?
a) 0,25
b) 0,50
c) 0,75
d) 1,00
e) 1,25
2. (UEPB) Com uma velocidade constante de30km/h, um móvel parte de A e segue numadireção que forma com a reta um ângulode 30°. Após 4h de percurso, a que distância omóvel se encontra da reta ?
a) 60km
b) 60 km
c) 120km
d) 75km
e) 50km
3. (UF–PI) Um avião decola, percorrendo uma tra-jetória retilínea, formando com o solo um ân-gulo de 30° (suponha que a região sobrevoadapelo avião seja plana). Depois de percorrer1000 metros, a altura atingida pelo avião, emmetros, é:
a) 500
b) 750
c) 1000
d) 1250
e) 1500
4. (UF–CE) Sejam α e β os ângulos agudos deum triângulo retângulo. Se sen α = sen β e sea medida da hipotenusa é 4cm, a área dessetriângulo (em cm2) é:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 12
e) 165. (UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um
triângulo retângulo medem 2a e 4a, respec-
tivamente, então a tangente do ângulo opostoao menor lado é:
a) 2
b)
c)
d)
e) 3
6. (UF–PI) Sejam e os ângulos internos de um tri-ângulo retângulo, satisfazendo a condiçãosen α = 2 sen β. Se a medida do lado opostoao ângulo α mede 20cm, a medida, em cen-tímetros, do lado oposto ao ângulo β é:
a) 10 b) 20
c) 30 d) 40
e) 50
7. (Cefet–MG) Uma escada que mede 6m estáapoiada em uma parede. Sabendo-se que ela
forma com solo um ângulo α e que ,
a distância de seu ponto de apoio na paredeaté o solo, em metros, é:
a) 4
b) 5
c) 2
d) 3
e)
8. (UF–PR) Calcule o seno do maior ângulo de umtriângulo cujos lados medem 4, 6 e 8 metros.
a) b)
c) d)
e)
9. (Mackenzie–SP) Num retângulo de lados 1cme 3cm, o seno do menor ângulo formado pelas
25
Matemática Elementar IV – Razões trigonométricas no triângulo
diagonais é:
a) b)
c) d)
e)
10. (Unifor–CE) Um terreno de forma triangular temfrentes de 10m e 20m, em ruas que formam,entre si, um ângulo de 120°. A medida do ter-ceiro lado do terreno, em metros, é:
a) 10
b) 10
c) 10
d) 26
e) 20
11. (Unifor–CE) As medidas de dois lados conse-cutivos de um paralelogramo são x cm e xcm, e a diagonal maior tem medida 2xcm.Então, a medida da outra diagonal, em cen-tímetros, é igual a:
a) x
b) x
c) x
d) x
e) x
12. (U.F.Ouro Preto–MG) Um ciclista de uma provade resistência deve percorrer 500km em tornode uma pista circular de raio 200m. O númeroaproximado de voltas que ele deve dar é:
a) 100 b) 200
c) 300 d) 400
e) 500
13. (UFAM) A medida do menor ângulo central for-mado pelos ponteiros de um relógio que estámarcando 10h30min, em graus, é:
a) 150 b) 120
c) 105 d) 135
e) 11514. (PUC–MG) Ao mesmo tempo em que anda em
uma pista, um menino acompanha e faz girar
um pneu circular cujo diâmetro mede 1m. Quan-do o pneu tiver dado 100 voltas, o menino terápercorrido aproximadamente:
a) 156m
b) 314m
c) 412m
d) 628m
e) n.d.a.
15. (UF–CE) Um relógio marca que faltam 15 minu-tos para as 2 horas. Então, o menor dos doisângulos formados pelos ponteiros das horas edos minutos mede:
a) 142°30’
b) 150°
c) 157°30’
d) 135°
e) 127°30’
26
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE IITrigonometria na Circunferência
TEMA 04
ARCOS E ÂNGULOS
4.1 Introdução
Trabalhamos com várias relações envolvendoas medidas de lados e ângulos de um triân-gulo. Entre as relações estudadas, estavam asrazões trigonométricas de ângulos agudos: se-no, cosseno e tangente.
O ramo da matemática que estuda esses tiposde relações é chamado trigonometria (do gre-go trígonon, triângulo, e metria, medição, atode medir). O vocábulo foi criado em 1595, pelomatemático alemão Bartholomäus Pitiscus(1561-1613).
Nesta unidade, prepararemos o terreno para oestudo das funções trigonométricas. Essas fun-ções são muito importantes, pois inúmerosfenômenos que ocorrem em nossa volta sãodescritos por funções desse tipo. Por exemplo,ocorre com a eletricidade, com as ondas so-noras, com os estudos topográficos, etc.
4.2 Arcos e ângulos
Se um ponto móvel em uma circunferência par-tir de A e parar em M, ele descreve um arco
. O ponto A é a origem do arco, e M é aextremidade do arco.
Quando escolhemos um dos sentidos de per-curso, o arco é denominado arco orientado esimplesmente pode ser denotado por se osentido de percurso for de A para B e quan-do o sentido de percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orientação dosarcos formados por dois pontos A e B sobreuma circunferência, temos dois arcos não- ori-entados sendo A e B as suas extremidades.
Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita
por comparação com um outro arco da mesma
circunferência tomado como a unidade de
arco. Se u for um arco de comprimento unitário
(igual a 1), a medida do arco é o número
de vezes que o arco u cabe no arco .
Na figura abaixo, a medida do arco é 5
vezes a medida do arco u. Denotando a me-
dida do arco por m( ) e a medida do
arco u por m(u), temos m( )=5 m(u)
A medida de um arco de circunferência é a
mesma em qualquer um dos sentidos. A medi-
da algébrica de um arco AB desta circunfe-
rência é o comprimento deste arco, associado
a um sinal positivo se o sentido de A para B for
anti-horário, e negativo se o sentido for horário.
O número pi
Para toda circunferência, a razão entre o perí-
metro e o diâmetro é constante. Esta constante
é denotada pela letra grega , que é um número
irracional, isto é, não pode ser expresso como
a divisão de dois números inteiros. Uma apro-
ximação para o número é dada por:
π = 3,141592653589793238462643383...
Unidades de Medidas de arco
A unidade de medida de arco do Sistema In-
ternacional (SI) é o radiano, mas existem ou-
tras medidas utilizadas pelos técnicos que são
o grau e o grado. Este último não é muito usa-
do, por isso não falaremos sobre ele..
Radiano – Medida de um arco que tem o mes-
mo comprimento que o raio da circunferência
na qual estamos medindo o arco. Assim, o arco
tomado como unidade tem comprimento igual
ao comprimento do raio ou 1 radiano, que de-
notaremos por 1 rad.
29
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
30
UEA – Licenciatura em Matemática
Grau – Medida de um arco que corresponde a
do arco completo da circunferência na
qual estamos medindo o arco. Portanto a cir-cunferência tem 360°.
Podemos estabelecer os resultados seguintes:
Podemos expressar esse arco por: 90° ou .
Temos a metade da circunferência que cor-responde a 180° ou π rad
Corresponde 270° ou rad.
Temos uma volta completa na circunferência,que corresponde 360° ou 2πrad.
Observação: 0° = 0 rad.
O grau tem seus submúltiplos. Sabemos que:
1° = 60’ e que 1’ = 60”.
Faremos algumas operações com medidas emgraus, minutos e segundos.
Adição
Na adição de duas medidas em graus, minu-tos e segundos, somamos separadamente, osgraus, os minutos e os segundos.
Exemplos:
1. Efetuar: 32°45’17” + 26°36’50”
Solução:
Como 60”= 1’, podemos escrever 67’ = 1’7”.
Logo, 58° 82’ 67” = 58° 82’ 7”
Temos, ainda, que 60’ = 1°, o que nos permiteescrever 82’ = 1°22’.
Logo, 58° 81’ 7” = 28° 22’ 7”
Subtração:
2. Efetuar: 53° 26’ 17” – 53° 34’ 15”
Solução:
3. Considerando-se um relógio com ponteiro dashoras e dos minutos, calcular:
a) O deslocamento do ponteiro das horas em1 hora.
b) O deslocamento do ponteiro das horas em1 minuto.
c) O deslocamento do ponteiro dos minutosem 1 hora.
d) O deslocamento do ponteiro dos minutosem 1 minuto.
e) O menor arco determinado pelos ponteirosquando for 3h10min.
31
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
Solução:
a) Veja o que ocorre, por exemplo, das 3h às
4h.
O mostrador está dividido em 12 partes
iguais; para cada hora, corresponderá um
deslocamento de 360 dividido por 12, ou
seja, em 1 hora o ponteiro das horas deslo-
ca-se 30°.
b) Sabemos que em 1 hora (60 min) o ponteiro
das horas se desloca 30°. Efetuamos,
então, uma regra de três simples e direta:
Tempos (min) Deslocamento (graus)
60 → 30
1 → x
Temos que:
Então, em cada minuto o ponteiro das ho-
ras desloca-se 0,5°.
c) Em 1 hora, o ponteiro dos minutos dá uma
volta completa, ou seja, o deslocamento é
de 360°.
d) Em 1 hora (60 min), o ponteiro dos minutos
se desloca 360°. Temos a regra de três sim-
ples e direta:
Tempos (min) Deslocamento (graus)
60 → 360
1 → x
Temos que:
Então, em cada minuto o ponteiro dos mi-
nutos desloca-se 6°.
d) Vamos analisar o que ocorre desde as 3h
até 3h10min.
Às 3h, o arco das horas era de 3 . 30, ouseja 90°.
Nos 10min, o ponteiro das horas deslocou-se 10 . 0,5º grau, ou seja, 5° (aumentou oarco).
Nos mesmos 10min, o ponteiro dos minutosdeslocou-se 10 . 6°, ou seja, 60°. Paraencontrarmos o arco procurado, efetuamosuma subtração do percurso feito pelo pon-teiros das horas com o percurso feito peloponteiro dos minutos.
Temos: (90° + 5°) – 60° = 35°
Então, o menor arco às 3h10min mede 35°.
Conversão de Graus para radiano e vice-versa.
Dado um arco em graus, para conhecermosseu valor em radianos, ou vice-versa, usaremosa relação (considerada mais simples):
180° - - - - - - - - π rad
Exemplos:
1. Para determinar a medida em radianos de umarco de medida 60 graus, fazemos:
Solução:
180° - - - - - - - - π rad
60° - - - - - - - - - x
Como é uma regra de três simples e direta,podemos escrever:
rad.
2. Determinar a medida em graus de um arco demedida 1 radiano.
Solução:
180° - - - - - - - - π rad
x - - - - - - - - - - 1 rad
32
UEA – Licenciatura em Matemática
Temos que:
(como π ≅ 3,14), x ≅ 57,32°
4.3 Medida de um ângulo central
Um ângulo, com vértice no centro de uma cir-cunferência, é chamado de ângulo central.
A figura abaixo mostra o ângulo central AOB.
O número que exprime a medida de um ângu-lo AOB (central) é o mesmo que exprime amedida do arco . Assim, se a medida doarco for em graus, o ângulo terá sua medidaem graus; se a medida do arco for em radianos,o ângulo terá sua medida em radianos.
Exemplos:
1. A circunferência abaixo tem 8cm de raio. Uminseto parte do ponto A e anda sobre ela até oponto B. Sabendo que a medida do ângulocentral AOB é 60°, determinar quantos cen-tímetros andou o inseto.
Solução:
Lembrando que o comprimento da circunfe-rência é C = 2 . π . r e que o raio r = 8cm, te-mos a seguinte regra de três simples:
Ângulo central comprimento do arco
360° ----------------------------------- 2 . π . 8
60° ----------------------------------- x
Então:
O inseto andou aproximadamente 8,37cm.
2. Numa circunferência que tem 28cm de diâme-tro, um arco tem 12cm de comprimento. Qualé a medida (em rad) do ângulo central corre-spondente?
Solução:
Se o diâmetro mede 28cm, então o raio mede14cm. Temos a seguinte regra de três simplese direta:
Ângulo central (rad) Comprimento do arco (cm)
2 . π 2 . π . 14
x 12
Temos que:
Portanto o ângulo central mede aproximada-mente 0,86rad.
3. Determinar quanto mede o raio de uma circun-ferência, sabendo que um arco que mede
10cm corresponde a um ângulo central de
radianos.
Solução:
Ângulo central (rad) Comprimento do arco (cm)
2 . π 2 . π . r10
Temos que:
Portanto o raio da circunferência mede 12cm.
1. Efetue:
a) 50º 35’ 40” + 27º 30’ 35”
b) 30º – 23º 7’ 30”
33
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
2. Exprima em radianos:
a) 60° c) 270°
b) 120° d) 330°
3. Usando π = 3,14, determine:
a) O comprimento de um arco de circunferên-cia (em cm), sabendo que ela tem 12cm deraio, e o ângulo central correspondente mede20°.
b) O ângulo central (em rad) correspondente aum arco de 15cm de comprimento, saben-do que ela tem raio de 20cm.
c) A medida do raio de uma circunferência (emcm), sabendo que nela um ângulo centralde 15° corresponde a um arco de 30cm.
4. A roda dianteira de uma bicicíeta tem 40cm deraio.
a) Quantos metros ela percorre ao dar 5000voltas?
b) Quantas voltas ela deve dar para percorrer9420m?
5. Quando Pedrinho comprou sua bicicleta, opneu era bem borrachudo e tinha 35cm deraio. Nessa época, para ir de sua casa à esco-la, o pneu girava 345 vezes. Depois de muitouso, o pneu ficou “careca”, tendo perdido 0,5cm de sua casca. Quantas vezes a roda dabicicleta deverá girar para fazer o mesmo traje-to, agora com pneu “careca”? (Usar π = 3,14)
6. Numa pista de autorama, uma curva tem 60cme é arco de uma circunferência. Se o ângulo
central correspondente é de , determine
o raio da circunferência.
1. (Fesp–SP) A medida em radianos de uma arcode 12° é:
a) b)
c) d)
e)
2. O ângulo agudo formado pelos ponteiros deum relógio quando ele marca 1h20min é:
a) 120°
b) 110°
c) 100°
d) 90°
e) 80°
3. (UFPI) Supondo que o movimento dos ponteirosde um relógio seja contínuo (não aos saltos), oângulo que esses ponteiros formam quando orelógio marca 11 horas e 45 minutos é:
a) 60°30’
b) 72°
c) 60°
d) 82°30’
e) 85°
4. (Faap–SP) Dois ciclistas percorrem, no mesmosentido, uma pista circular de 50 metros de diâ-metro. A cada volta, o primeiro percorre 2,5m amais do que o segundo. Supondo que man-tenham o mesmo ritmo, o primeiro ciclista terápercorrido 1 radiano a mais do que o segundoapós:
a) 20 voltas;
b) 15 voltas;
c) 10 voltas;
d) 5 voltas;
e) 2,5 voltas.
TEMA 05
CICLO TRIGONOMÉTRICO
5.1 Noções gerais
Considere uma circunferência de raio unitáriocom centro na origem de um sistema carte-siano ortogonal e o ponto A=(1,0). O ponto Aserá tomado como a origem dos arcos orien-tados nessa circunferência, e o sentido posi-tivo considerado será o anti-horário. A regiãocontendo essa circunferência e todos os seuspontos interiores é denominada círculo trigo-nométrico.
Nos livros de língua inglesa, a palavra “círculo”refere-se à curva envolvente da região circular,enquanto circunferência de círculo é a medidadessa curva. No Brasil, a circunferência é acurva que envolve a região circular.
Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigo-nométrico em quatro quadrantes, que são enu-merados como segue:
1.° Quadrante – abscissa: positiva; ordenada:positiva; 0° < ângulo < 90°
2.° Quadrante – abscissa: negativa; ordenada:positiva; 90° < ângulo < 180°
3.° Quadrante – abscissa: negativa; ordenada:negativa; 180° < ângulo < 270°
4.° Quadrante – abscissa: positiva; ordenada:negativa; 270° < ângulo < 360°
Os quadrantes são usados para localizar pon-tos e a caracterização de ângulos trigonomé-tricos. Por convenção, os pontos situados so-bre os eixos não pertencem a qualquer um dosquadrantes.
5.2 Arcos com mais de uma volta
Em Trigonometria, algumas vezes precisamosconsiderar arcos cujas medidas sejam maioresdo que 360°. Por exemplo, se um ponto móvelparte de um ponto A sobre uma circunferênciano sentido anti-horário e para em um ponto M,ele descreve um arco . A medida dessearco (em graus) poderá ser menor ou igual a360° ou ser maior do que 360°. Se essa medi-da for menor ou igual a 360°, dizemos que essearco está em sua primeira determinação.
Acontece que o ponto móvel poderá percorrera circunferência uma ou mais vezes em umdeterminado sentido, antes de parar no pontoM, determinando arcos maiores do que 360°ou arcos com mais de uma volta. Existe umainfinidade de arcos mas com medidas diferen-tes, cuja origem é o ponto A e cuja extremi-dade é o ponto M.
Seja o arco , cuja primeira determinaçãotenha medida igual a m. Um ponto móvel queparta de A e pare em M pode ter várias me-didas algébricas, dependendo do percurso.
34
UEA – Licenciatura em Matemática
34
Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da
circunferência trigonométrica será extremidade
de uma infinidade de arcos positivos de medi-
das algébricas.
m, m + 2π, m + 4π, m + 6π...
Se o sentido for o horário, o ponto M será
extremidade de uma infinidade de arcos nega-
tivos de medidas algébricas.
m – 2π, m – 4π, m – 6π...
Temos, assim, uma coleção infinita de arcos com
extremidade no ponto M.
Generalizando esse conceito, se m é a medida
da primeira determinação positiva do arco AM,
podemos representar as medidas desses arcos
por: µ( ) = m + 2 . k . π, onde k é um
número inteiro.
Família de arcos – Uma família de arcos { }
é o conjunto de todos os arcos com ponto ini-
cial em A e extremidade em M.
Exemplo:
Se um arco de circunferência tem origem em A
e extremidade em M, com a primeira determi-
nação positiva medindo , então os arcos
desta família { }, medem:
Determinações positivas:
k = 0
k = 1
k = 2
k = 3
...
...
k = n
Determinações negativas:
k = –1
k = –2
k = –3
k = –4
...
...
k = –n
5.3 Arcos côngruos e ângulos
Arcos côngruos – Dois arcos são côngruos sea diferença de suas medidas é um múltiplo de2π.
Exemplo: Arcos de uma mesma família sãoarcos côngruos.
Ângulos – As noções de orientação e medidaalgébrica de arcos podem ser estendidas paraângulos, uma vez que cada arco da cir-cunferência trigonométrica corresponde a umângulo central determinado pelas semi-retas→
OA e →
OM.
Como no caso dos arcos, podemos considerardois ângulos orientados: um positivo (sentidoanti-horário) com medida algébrica a corres-pondente ao arco e outro negativo (sen-tido horário) com medida b = a – 2π corres-pondente ao arco .
Existem também ângulos com mais de umavolta, e as mesmas noções apresentadas paraarcos aplicam-se para ângulos.
5.4 Arcos de mesma origem, simétricos emrelação ao eixo OX.
Sejam os arcos e na circunferênciatrigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M eM' simétricos em relação ao eixo horizontal OX.Se a medida do arco é igual a m, então amedida do arco é dada por:
µ( ) = 2π – m.
35
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
5.5 Arcos de mesma origem, simétricos emrelação ao eixo OY.
Sejam os arcos e na circunferênciatrigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M'simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se amedida do arco for igual a m, então amedida do arco será dada pela expressão
µ( ) = π – m.
Os arcos da família { }, isto é, aqueles comorigem em A e extremidade em M', medem:
µ( )= 2kπ + π – m = (2k + 1)π – m, em quek é um número inteiro.
5.6 Arcos de mesma origem, simétricos emrelação à origem.
Sejam os arcos e na circunferênciatrigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M'simétricos em relação a origem (0,0).
Se a medida do arco é igual a m, então amedida do arco é dada por:
µ( )= π + m.
Arcos genéricos com origem em A e extremi-dade em M' medem:
µ( )= 2kπ + π + m = (2k + 1)π + m
Exemplos:
1. Obter a primeira determinação positiva dosarcos cujas medidas são:
a) 125° b) 1250°
c) d) 380°30’
Solução:
a) 125°
Como 0° < 125° < 360°, então a primeiradeterminação positiva é 125°.
b) 1250°
Observando que cada 360° corresponde auma volta no ciclo, temos que:
portanto 1250º = 3 . 360 + 170º.
Então, a primeira determinação positiva é 170°.
c)
Lembrando que cada 2π rad corresponde auma volta no ciclo, temos:
assim sendo, a primeira determinação po-
sitiva é .
c) 380°30’
Temos que:
Então, a primeira determinação positiva é20°30’.
2. Calcular a primeira determinação positiva, e aprimeira determinação negativa dos arcos cujasmedidas são:
a) –45° b) 400°
c) –800° d)
Solução:
a) –45°
Essa é a primeira determinação negativa.Como a primeira determinação negativa doarco trigonométrico µ(AM) = m + k . 360º,com k ∈ , ocorre quando k = –1, temosque:
–45º = m – 1 . 360 ⇒ m = 360º – 45º = 315º
36
UEA – Licenciatura em Matemática
Então a primeira determinação positiva é 315°e a primeira determinação negativa é –45°.
Veja a ilustração:
b) 400°
Temos que 400° = 360° + 40°.
Assim sendo, a primeira determinação posi-tiva é 40°.
O arco trigonométrico é, portanto:
µ(AM) = 40° + k . 360º, com k ∈ ,
Como a primeira determinação negativaocorre quando k = –1, temos:
m = 40° – 360° = –320°
Dessa forma, concluímos que a primeiradeterminação positiva é 40° e a primeiradeterminação negativa é –320°.
Veja a ilustração:
c) –800°
Note que cada -360° corresponde a umavolta no ciclo, dada no sentido negativo.Então:
Assim, a primeira determinação negativa é–80°.
Como no arco trigonométrico µ(AM) = m +k . 360º, com k ∈ , a primeira determi-nação negativa ocorre quando k = –1,temos:
–80° = m – 360° ⇒ m = 360° – 80° = 280°
d)
Como cada –2π rad corresponde a umavolta no ciclo, dada no sentido negativo,temos que:
Assim, é a primeira determinação
negativa. Como no arco trigonométricoµ(AM) = 40° + k . 2π, com k ∈ , a primei-ra determinação negativa ocorre quando k= –1, temos:
concluí-mos que a primeira determinação
positiva é e a primeira determinação
negativa é .
1. Dê a primeira determinação positiva e a primei-ra dos arcos cujas medidas são:a) 54°
c)
b) 840°
d)
2. Calcule a primeira determinação negativa dosarcos cujas medidas são:
a) 64°
b) 540°24’
c)
d)
3. Obtenha a primeira determinação positiva e aprimeira determinação negativa dos arcos demedidas:
37
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
a) –100° b) –800°
c)
d)
4. No arco trigonométrico µ = m + 2 . k . π, k ∈ ,calcule:
a) a primeira determinação negativa, se a pri-
meira determinação positiva for .
b) a primeira determinação positiva primeira
determinação negativa for .
5. No arco trigonométrico µ = m + 2 . k . π, k ∈ ,calcule:
a) a primeira determinação negativa, se a pri-meira determinação positiva for 145°.
b) a primeira determinação positiva, se a pri-meira determinação negativa for –240°.
TEMA 06
SENO, COSSENO E TANGENTE
6.1 Seno e co-seno
Dada uma circunferência trigonométrica con-tendo o ponto A=(1,0) e um número real x,existe sempre um arco orientado sobreessa circunferência, cuja medida algébrica cor-responde a x radianos.
Seno – No plano cartesiano, consideremosuma circunferência trigonométrica, de centroem (0,0) e raio unitário. Seja M=(x',y') um pontodessa circunferência, localizado no primeiroquadrante; este ponto determina um arco que corresponde ao ângulo central a. A proje-ção ortogonal do ponto M sobre o eixo OXdetermina um ponto C=(x',0) e a projeção or-togonal do ponto M sobre o eixo OY determinaoutro ponto B=(0,y').
A medida do segmento ⎯OB coincide com a or-
denada y' do ponto M e é definida como o senodo arco que corresponde ao ângulo a,denotado por sen( ) ou sen(a).
Como temos várias determinações para o mes-mo ângulo, escreveremos:
sen( ) = sen(a) = sen(a + 2kπ) = y’
Para simplificar os enunciados e as definiçõesseguintes, escreveremos sen(x) para denotar oseno do arco de medida x radianos.
Cosseno
Como antes, existem várias determinações para
38
UEA – Licenciatura em Matemática
este ângulo, razão pela qual, escrevemos:
cos( ) = cos(a) = cos(a + 2kπ) = x’
6.2 Tangente
Seja a reta t tangente à circunferência trigo-nométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpen-dicular ao eixo OX. A reta que passa pelo pontoM e pelo centro da circunferência intercepta areta tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenadadeste ponto T é definida como a tangente doarco correspondente ao ângulo a.
Assim, a tangente do ângulo a é dada pelassuas várias determinações:
tg( ) = tg(a) = tg(a + kπ) = t’
6.3 Ângulos no segundo quadranteArcos no primeiro quadrante
Podemos escrever M = ((cos a), (sen a)) eT = (1, tag(a)), para cada ângulo a do primeiroquadrante. O seno, o cosseno e a tangentede ângulos do primeiro quadrante são todospositivos.
Um caso particular importante é quando o pon-to M está sobre o eixo horizontal OX. Nessecaso:
cos(0)=1, sen(0) = 0 e tg(0) = 0
Ampliaremos essas noções para ângulos nosoutros quadrantes.
6.4 Arcos no segundo quadrante
Se, na circunferência trigonométrica, tomamoso ponto M no segundo quadrante, então o ân-gulo a entre o eixo OX e o segmento
⎯OM
pertence ao intervalo . Do mesmo
modo que no primeiro quadrante, o co-seno
está relacionado com a abscissa do ponto M eo seno com a ordenada deste ponto. Como o
ponto M = (x, y) possui abscissa negativa eordenada positiva, o sinal do seno do ângulo ano segundo quadrante é positivo, o co-senodo ângulo a é negativo e a tangente do ângu-lo a é negativa.
Outro caso particular importante é quando o
ponto M está sobre o eixo vertical OY ( ) e
neste caso:
, e
6.5 Arcos no terceiro quadrante
O ponto M=(x,y) está localizado no terceiroquadrante, o que significa que o ângulo per-
tence ao intervalo: . Este ponto
M = (x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) doprimeiro quadrante, em relação à origem dosistema, indicando que tanto a sua abscissaqaunto a sua ordenada são negativos. O senoe o co-seno de um ângulo no terceiro qua-drante são negativos, e a tangente é positiva.
Em particular, se a = π radianos, temos que:
cos π = –1, sen π = 0 e tg π = 0
6.6 Arcos no quarto quadrante.
O ponto M está no quarto quadrante,
. O seno de ângulos no quarto
39
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
quadrante é negativo, o cosseno é positivoe a tangente é negativa.
Quando o ângulo mede , a tangente não
está definida, pois a reta não intercepta a
reta t, estas são paralelas. Quando ,
temos:
,
6.7 Simetria em relação ao OX e OY
Em uma circunferência trigonométrica, se M éum ponto no primeiro quadrante e M' o simé-trico de M em relação ao eixo OX, estes pontosM e M' possuem a mesma abscissa e as orde-nadas possuem sinais opostos.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a oângulo correspondente ao arco e b o ân-gulo correspondente ao arco , obtemos:
sen(b) = –sen(a)
cos(b) = cos(a)
tg(b) = –tg(a)
Seja M um ponto da circunferência trigonomé-trica localizado no primeiro quadrante, e sejaM' simétrico a M em relação ao eixo OY, estespontos M e M' possuem a mesma ordenada, eas abscissa são simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a oângulo correspondente ao arco e b o ân-gulo correspondente ao arco . Desse mo-do:
sen(b) = sen(a)
cos(b) = –cos(a)
tg(b) = –tg(a)
6.8 Simetría em relação à origem.
Seja M um ponto da circunferência trigonomé-trica localizado no primeiro quadrante, e sejaM’ simétrico de M em relação à origem; estespontos M e M' possuem ordenadas e abscis-sas simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a oângulo correspondente ao arco e b o ân-gulo correspondente ao arco . Desse modo:
sen(b) = –sen(a)
cos(b) = –cos(a)
tg(b) = tg(a)
6.9 Seno e co-seno de ângulos notáveis
Uma maneira de obter o valor do seno e co-seno de alguns ângulos que aparecem commuita frequência em exercícios e aplicações,sem necessidade de memorização, é pormeio de simples observação no círculotrigonométrico.
40
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1. Calcule as expressões:
a)
b)
2. Sabendo que , qual é o valor do
seno de:
a) b)
3. Calcule as expressões:
a)
b)
4. Sabendo que , qual é o valor do co-
seno de:
a) b)
5. Qual é o sinal de cada uma das expressões:
a) y1 = sen 45º + cos 45º
b)
6. Calcule as expressões:
a)
b)
7. Sabendo que , qual é o valor da
tangente de:
a)
b)
41
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
TEMA 07
RAZÕES RECÍPROCAS DO SENO, CO-SENO, DA TANGENTE E OUTRASRELAÇÕES.
7.1 Cotangente, secante e cossecante de umarco trigonométrico
Essas três novas relações têm relativa impor-tância na trigonometria, pois sempre que exi-gidas podem ser substituídas por expressõesem seno, cosseno e tangente.
Indicamos a cotangente de um arco α, a se-cante de α e a cossecante de α pelos símbo-los cotg α, sec α e cosec α, respectivamente.
Definições:
, para sen α ≠ 0;
, para cos α ≠ 0;
, para sen α ≠ 0;
Observe, pela definição de cotg α, que, sealém de sen α ≠ 0 tivermos também cos ≠ 0,então:
Exemplos:
1. Calcular:
a) cotg 30º
b) sec 180º
c) cosec 90º
Solução:
a)
b)
c)
7.2 Relações entre as razões trigonométricas
A figura abaixo mostra um ciclo trigonométrico,no qual foi destacado um arco que medex rad.
O triângulo retângulo OMM1 fornece-nos:
Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos arelação fundamental:
sen2 x + cos2 x = 1
Analisando agora, o triângulo retângulo OATfornece-nos:
Os triângulos OMM1 e OAT são semelhantes,pois possuem ângulos de mesma medida. As-sim sendo, seus lados homólogos são propor-cionais. Portanto:
42
UEA – Licenciatura em Matemática
, esta relação é verdadeira
para todo x tal que cos ≠ 0.
Sabendo, portanto, que OT = sec x, temos:
Aplicando teorema de Pitágoras no triânguloretângulo OAT, encontramos:
1 + tg2 x = sec2 x
A relação acima é verdadeira sempre que asrazões envolvidas existam, ou seja, quando Mnão coincidir com B ou com B1.
Além disso, temos:
.
Logo, 1 + cotg2 x = cos sec2 x
Relações desse tipo, que fornecem sentençasnuméricas verdadeiras para qualquer valor dex, são chamadas de identidades.
Exemplos:
1. Sabendo que , com , deter-
mine:
a) cos α
b) tg α
c) sec α
Solução:
a) cos α = ?
Temos que :
Como x é do 2.o quadrante, o valor do co-seno é negativo.
Portanto: .
b) tg α =?
Temos que:
2. Sendo tg x = com , determinar
cos x.
Solução:
Temos que 1 + tg2 x = sec2 x.
Então: 1 + ( )2 = sec2 x = 1 + 2 + 3 ⇒
Como o co-seno é negativo no 3.º quadrante,
temos:
1. Calcule as expressões:
a)
b)
2. Sabendo que , qual é o valor da
co-tangente de:
a) b)
3. Sabendo que , qual é o valor da se-
cante de:
a)
b)
43
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
4. Qual é o sinal de cada uma das expressões:
a) y1 = sec 269º + sen 178º
b)
5. Sabendo que , qual é o valor
da secante de:
a)
b)
6. Qual é o sinal de cada uma das expressões:
a) y1 = cos91º + cosec 91º
b) y2 = sen 107º + sec 107º
TEMA 08
REDUÇÃO AO 1.º QUADRANTE
Vamos deduzir fórmulas para calcular as ra-zões trigonométricas de x, com x não perten-cente ao 1.o Quadrante, relacionando com al-gum elemento do 1.o quadrante. A meta é ficarconhecendo sen x, cos x e tg x a partir de umatabela que dê as razões circulares dos reais
entre .
8.1 Redução do 2.o ao 1.o quadrante
Dado o número real x tal que , seja P
a imagem de x no ciclo (ou seja, = x). SejaP’ o ponto do ciclo, simétrico de P em relaçãoao eixo dos senos.
Temos:
+ ’ = π (no sentido anti-horário) e,como = ’, vem: + ’ = π, portan-to ’ = π – x.
Podemos concluir que:
sen x = sen(π – x)
cos x = –cos(π – x)
Levando em conta as relações fundamentais,também temos que:
cot gx = –cot g (π – x)
sec x = –sec(π – x)
cosec x = cosec(π – x)
Exemplos:
sen 115º = sen(180º – 115º) = sen 65º
cos 120º = –cos(180º – 120º) = –cos 60º
44
UEA – Licenciatura em Matemática
8.2 Redução do 3.o ao 1.o quadrante
Dado o número real x tal que , seja P
a imagem de x no ciclo (ou seja, = x). SejaP’ o ponto do ciclo, simétrico de P em relaçãoao centro.
Temos:
– ’ = π (no sentido anti-horário), por-tanto ’ = x – π.
Podemos concluir que:
sen x = –sen(x – π)
cos x = –cos(x – π)
Em conseqüência, temos:
cotgx = cotg(x – π)
sec x = –sec(x – π)
cosec x = –cosec(x – π)
Exemplos:
sen 115º = sen(180º – 115º) = sen 65º
cos 225º = –cos(225º – 180º) = –cos 45º
8.3 Redução do 4.o ao 1.o quadrante
Dado o número real x tal que , seja
P a imagem de x no ciclo (ou seja, AP = x).Seja P’ o ponto do ciclo, simétrico de P emrelação ao eixo dos co-senos.
Temos:
+ ’ = 2π (no sentido anti-horário) e,como ’ = , vem: + = 2π, por-tanto ’ = 2π – x.
Podemos concluir que:
sen x = –sen(2π – x)cos x = cos(2π – x)
Em conseqüência, temos:
cotgx = –cotg(2π – x)sec x = sec(2π – x)cosec x = –cosec(2π – x)
Exemplos:
sen 280º = –sen(360º – 280º) = –sen 80º
cos 340º = cos(360º – 3400º) = cos 20º
8.4 Redução de a
Dado o número real x tal que , seja P
a imagem de x no ciclo (ou seja, AP = x). SejaP’ o ponto do ciclo, simétrico de P em relaçãoà bissetriz do 1.o quadrante.
45
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
Temos: (no sentido anti-horário) e,
como = ’, vem: , então
.
Considerando a congruência de triângulosOPP2 e OP’P’1 , temos:
Em conseqüência, temos:
Exemplos:
sen 71º = cos(90º – 71º) = cos 19º
cos 60º = sen(90º – 60º) = sen 30º
tg 50º = cotg(90º – 50º) = cotg 40º
1. Reduza ao intervalo .
a) sen 261º b)
c) d)
e)
2. Sabendo que e , calcule:
a) cos x b)
c) d)
e) f)
g)
3. Calcule:
01. (Cefet–MG) Os valores de x, de modo que a ex-
pressão exista, são:
a) –1 ≤ x ≤ 1
b) –2 ≤ x ≤ 2
c) –1 ≤ x ≤ 2
d) 1 ≤ x ≤ 2
e) 1 ≤ x ≤ –1 ou 1 ≤ x ≤ 2
02. (EU–CE) Se ,
então n2 + 1 é igual a:
a) 2
b)
c) 4
d)
e) 5
03. (Unifor–CE) Sendo e ,
conclui-se que, dos intervalos abaixo, o únicoao qual x pode pertencer é:
46
UEA – Licenciatura em Matemática
a)
b)
c)
d)
e) n.d.a.
04. (UFAM) A área do triângulo mostrado a seguiré: (sendo )
a)
b) 3
c) 12
d)
e) 4
05. (unifor–CE) O valor de tg 150º + 2 sen 120º – cos330º é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
06. (UF–AM) Quando simplificamos a expressão
, obtemos:
a) 2 sec x
b) 2 cosec x
c) 2 sec2 x
d) 2 cos x
e) cos x
7. (FMU/Fiam/Faam–SP) Sabendo que tg α = 2eque α é um arco do 3º quadrante, sen α vale:
a) b)
c) – d)
e) –
8. (Ucsal–BA) Se x e y são números reais tais que
, então y é igual a:
a) 2 . sec x . tg x
b) 2 . sen x . cos x
c) 2 . cos2 x
d) 2 . sec x
e) sen x
47
Matemática Elementar IV – Trigonometria na Circunferência
UNIDADE IIIFunções Circulares e Identidades
51
Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades
TEMA 09
FUNÇÃO SENO
9.1 Introdução
Vamos estudar as seis razões trigonométricasdo ponto de vista das funções. Para um bomentendimento, devemos ter um conhecimentorazoável das definições e propriedades que ca-racterizam essa teoria.
9.2 Conceito de função
Dados dois conjuntos A e B, diferentes do con-junto vazio, uma função ƒ, de A em B, é umacorrespondência que associa a cada elementode A um único elemento de B.
O conjunto A é denominado domínio de ƒ; oconjunto B é denominado contradomínio deƒ; se x é um elemento qualquer de A, então oúnico y de B, associado a x, é denominadoimagem de x pela função ƒ e é indicado pory = ƒ(x).
O conjunto de todos os elementos de B quesão imagem de alguns elementos de A é de-nominado conjunto imagem de ƒ e é indicadopor Im(ƒ).
Função real de variável real
Uma função ƒ, de A em B, diz-se função realde variável real se A ⊂ |R e B ⊂ |R.
Correspondência entre um número real eum ponto da circunferência trigonométrica
Consideremos a circunferência trigonométricadada abaixo. Já sabemos que, dado um núme-ro real x, existe sempre um arco orientado ,cuja medida algébrica é x radianos.
Portanto é claro que, dado x, fica determinadoum único ponto P da circunferência trigonomé-trica, extremidade do arco .
Temos, então, definida a seguinte correspon-dência:
A todo número real x está associado um únicoponto P da circunferência trigonométrica.
9.3 Função seno
Na circunferência trigonométrica dada abaixo,seja P o ponto associado a um número real x;P1 é a projeção ortogonal de P em Oy. Sabe-mos que a ordenada OP1 do ponto P é o senodo arco de medida algébrica x, cuja extremi-dade é P.
Escrevemos, então, que:
A ordenada OP1 do ponto P denomina-se senodo número real x.
Deve ser observado que ao número real xassociamos o ponto P, extremidade de um arco
; por sua vez, ao arco está associadoum único número real OP1, que é o seno de ;assim, fica definida uma função ƒ de lR em lRpara a qual f(x) = sen x. que é denominadafunção seno.
O domínio da função é lR.
Para todo x real –1 ≤ sen x ≤ 1, temos que:
Im (f) = [–1; 1]
Definição de função periódica
Uma função f, de domínio A ⊂ lR, diz-se perió-dica se existe um real T, não nulo, tal que
F (x + T) = f (x), ∀ x ∈ A
Período de uma função periódica f é o menor Tpositivo que satisfaz a condição acima.
Gráfico da função seno
Comparando agora com a definição de funçãoperiódica, temos T = 2kπ; o menor valor de T,positivo, é obtido fazendo k = 1; temos, assim, operíodo 2π da função seno. Pois, sen x = sen=(x + 2π) = sen (x + 4π) = … = sen (x + 2kπ).
A
52
UEA – Licenciatura em Matemática
Sendo assim, para a construção do gráfico def(x) = sen x, vamos considerar alguns valoresparticulares para x no intervalo [0; 2π], já pre-viamente sabendo que a “figura” obtida nessetrecho será repetida à esquerda de 0 e à direi-ta de 2π.
Tabela:
Devemos observar que:
• A função seno é crescente no intervalo
e decrescente no intervalo ,
voltando a ser crescente no intervalo
.
• O sinal da função é positivo nos 1.o e 2.o
quadrantes e negativo nos 3.o e 4.o qua-drantes.
• Também podemos dizer que é uma funçãoímpar, pois sen(–x) = –sen x para todo x real.
Exemplos:
1. Determinar o domínio, a imagem, o gráfico e operíodo da função ƒ(x) = 2sen x.
Solução:
Tabela
O domínio é D(ƒ) = lR
A imagem é Im(ƒ) = [–2, 2]
O período é 2πrad.
2. Construa o gráfico e determine o domínio, a
imagem e o período da função .
Solução:Tabela
D(ƒ) = lR
Im(ƒ) = [–1, 1]
O período é 4πrad.3. Determinar os valores reais de m de modo que
exista a igualdade sen x = 5m – 1.
Solução:
sen x
0 0 0
π 1
π 2π 0
3π –1
2π 4π 0
x rad sen x y = 2 sen x
0 0 0
1 2
π 1 0
–1 –2
2π 0 0
53
Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades
Sabemos que –1 ≤ sen x ≤ 1. Logo, –1 ≤ 5m –1≤ 1. Somando 1 a cada membro dessa dupladesigualdade, temos:
– 1 +1 ≤ 5m – 1 + 1 ≤ 1 + 1
ou seja:
0 ≤ 5m ≤ 2
Dividindo os membros dessa última desigual-
dade por 5, obtemos .
Portanto a desigualdade sen x = 5m – 1 só
existe m ∈ lR e
Observamos que pode haver mudança no pe-ríodo. Essa mudança ocorre quando multipli-camos o arco por uma constante (não-nula ediferente de 1).
De modo geral, temos que o período da função
y = sen kx é dado por .
Exemplos:
a) temos .
Logo, o período é .
b) y = sen (–2x) temos k = –2.
Logo, o período é
1. Lembrando que a função seno é uma funçãoímpar, verifique quais das sentenças abaixosão verdadeiras:
a) sen (–30º) = –sen 30º
b) –sen (–45º) = sen 45º
c) sen (–60º) = sen 60º
d)
2. Dê o domínio, a imagem, o período, e construao gráfico das funções:
a) y = 3 . sen x
b) y = –2 + sen x
3. Dê o domínio e a imagem das funções:
a)
b) y = sen(–3 x)
4. Dê o período das seguintes funções:
a) y = sen(7x)
b)
c)
5. Na função f(x) = sen(k . x), determine k demodo que o período da função seja:
a)
b)
6. Construa o gráfico das funções:
a) b) f(x) = sen(–x)
9.4 História
A idéia da função corda, precursora da nossafunção seno, foi trabalhada com bastante in-tensidade durante muitos séculos anteriores aPtolomeu. No seu Almagesto, obra compostade 13 livros, em que são estudados os movi-mentos dos planetas, aparece uma tábua dafunção corda, desde 0,5 grau até 180 graus, demeio em meio grau.
A função corda relacionava um arco de circun-ferência com a corda respectiva. Com a naturalevolução do pensamento matemático, quandoalguém pensou em utilizar uma tábua relacio-nando a metade da corda de um arco duplo,estava inventada a nossa função seno, que emlatim era designada sinus. Há registros de que,por volta do século V de nossa era, o matemá-tico hindu Aryabhata já calculava essas semi-cordas.
54
UEA – Licenciatura em Matemática
O termo co-sinus foi utilizado pela primeira vezno século XVII, por Edmund Gunter, para in-dicar o seno do complemento, combinando aspalavras “complemento” e “sinus”, que emportuguês ficou co-seno.
Idéias equivalentes às nossas conhecidas fun-ções tangente e co-tangente apareceram hámais de três milênios, tanto em cálculos relati-vos à construção de pirâmides, como em cál-culos envolvendo relógios de sol. Esses reló-gios mostravam a relação entre as horas do diacom o comprimento da sombra de uma vara,chamada gnômon.
No caso de a vara ser vertical, a sombra eraprojetada no chão, e no caso de ser horizontal,a sombra era projetada numa parede. Veja issonas figuras seguintes.
55
Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades
TEMA 10
FUNÇÃO COSSENO
Na circunferência trigonométrica dada abaixo,
seja P o ponto associado a um número real x;
P2 é a projeção ortogonal de P em Ox. Sabe-
mos que a abscissa OP2 do ponto P é o co-
seno do arco de medida algébrica x, cuja ex-
tremidade é o ponto P.
Escrevemos, então, que
A abscissa OP2 do ponto P denomina-se co-
seno do número real x.
Fica, assim, estabelecido que ao número real x
associamos um único número real OP2, que é
o co-seno de x; está, então, definida uma fun-
ção f de lR em lR, denominada função co-
seno, para a qual:
f(x) = cos x. que é denominada função co-
seno.
O domínio da função é lR.
Para todo x real –1 ≤ cos x ≤ 1, temos que:
Im (f) = [–1; 1]
Gráfico da função co-seno.
O menor valor de T, positivo, é obtido fazendo
k = 1; temos, assim, o período 2π da função
co-seno. Pois, cos x = cos (x + 2π) = cos (x +
4π) = … = cos (x + 2kπ).
A exemplo do que fizemos para a função seno,
vamos construir o gráfico de f (x) = cos x no
intervalo [0; 2π] e “completá-lo em seguida”.
Temos, assim:
Observe que:
A função cosseno é decrescente no intervalo[0; π] e crescente no intervalo [π; 2π].
O sinal da função é positivo nos 1.o e 4.o qua-drantes e negativo nos 2.o e 3.o quadrantes.
É uma função par, pois cos (–x) = cos x paratodo x real.
Exemplos:
1. Determinar o domínio, a imagem, o gráfico e operíodo da função ƒ(x) = 2 cos x.
Solução:
Tabela
x rad cos x y = 2cos x
0 1 –2
0 –3
π 1 –4
0 –3
2π 1 –2
56
UEA – Licenciatura em Matemática
O domínio é D(ƒ) = lR
A imagem é Im(ƒ) = [–2, 2]
O período é 2πrad.
2. Determinar o domínio, a imagem, o gráfico e operíodo da função ƒ(x) = –3 + cox x.
Solução:
Tabela
O domínio é D(ƒ) = lR
A imagem é Im (ƒ) = [–2, 2]
O período é 2πrad.
O valor do período é calculado da mesma for-ma que foi feita para a função seno, ou seja
dividindo-se 2πrad por |k|, ou seja, .
Exemplos:
1.,
, portanto o período é:
rad
2. ƒ(x) = cos(–2x), k = 2, portanto o período é:
rad
1. Lembrando que a função seno é uma funçãoímpar, verifique quais das sentenças abaixo sãoverdadeiras:
a) cos(–30º) = –cos 30º
b) –cos(–45º) = cos 45º
c) cos(–60º) = cos 60º
d)
2. Dê o domínio, a imagem, o período e o gráficoda função:
a) y = 3 . cos x b) ƒ(x) = –2 – cos x
3. Dê o período das funções:
a) y = 8 cos x
b) ƒ(x) = cos x(–5x)
c)
d)
01. (PUC–MG) Considere a função f: lR → lR defi-nida por ƒ(x) = 1 + cos x. O conjunto imagemdessa função é o intervalo:
a) [–3, 4] b) [–3, 5]
c) [3, 4] d) [3, 5]
e) n.d.a.
02. (Vunesp–SP) Se x é a medida de um ângulo
em radianos e , então:
a) cos x > 0 b) cos 2x < 0
c) tg x > 0 d) sen x < 0
e) sen 2x > 0
x rad cos x y = –3 + cos x
0 1 2
0 0
π –1 –2
0 0
2π 1 2
03. (CESGRANRIO–91) Se tg x = , então sen2 xé igual a:
a) b)
c) d)
e)
04. (CESGRANRIO–91) Se x é um arco do 3.o qua-drante e tg x = 1, então cos x é:
a) b) –1
c) – d)
e)
05. (UF–PA–84) Sendo x um arco do 2.o quadrantee sec x = –3, então cosec x é:
a) – b)
c) 2 d)
e)
06. ( UF–PA–85) Qual a menor determinação posi-tiva de um arco de 1000°?
a) 270° b) 280°
c) 290° d) 300°
e) 310°
07. (PUC–SP) sen 1200º é igual a:
a) cos 60º b) –sen 60º
c) cos 30º d) –sen 60º
e) cos 45º
08. (UNICAMP–87)Para x = 1410º, assinale a alter- nativa que corresponde ao valor de
.
a) 1 + b) 1 –
c) – 1 + d) –1 –
TEMA 11
FUNÇÃO TANGENTE
Na circunferência trigonométrica dada abaixo,seja P o ponto associado a um número real x;T é o ponto de interseção da reta com oeixo Az. Sabemos que a ordenada AT, do pon-to T, é a tangente do arco de medida algébricax, enquanto que OP1 e OP2 são, respectiva-mente, o seno e o co-seno desse mesmo arco.
Lembrando que, se o ponto P coincidir com B
ou com B’, isto é, se , não existe a
tangente; excluindo esses pontos, temos as-sociado ao número real x um único númeroreal tg x, que sabemos ser igual ao quocienteentre sen x e cos x.
Fica, então, definida uma função f de lR
- em lR, para a qual ƒ(x) = tg x e
tg x = .
Deve ser notado que o domínio da função
tangente é em que
estão excluídos os reais x para os quais cos x= 0.
A tangente pode assumir qualquer valor real;assim: Im(f) = lR.
Pela definição, temos T = kπ, de onde tiramos,para k = 1, o período π da função tangente.
Podemos obter o gráfico de ƒ(x) = tg x no in-
tervalo e, em seguida, ampliá-lo para
o domínio A.
57
Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades
Vamos analisar, na figura abaixo, o gráficof(x) = tg x no intervalo de ]0; π[; a tangentecresce indefinidamente, percorrendo todo oconjunto imagem lR, de –∞ a +∞.
O sinal da função é:
Positivo no 1.o e no 3.o quadrante.
Negativo no 2.o e no 4.o quadrante.
A função é impar, pois tg(–x) = –tg x.
Observações:
O período da função ƒ(x) = tg(kx) para k ≠ 0 édado por:
Exemplos:
1. A função y = tg 8x é periódica, de período ,ou seja, rad.
2. Achar o domínio e o período das funções:
a) b) ƒ(x) = tg(4x)
Solução:
Para determinarmos o domínio, devemos ter:
O domínio é:
Período – O coeficiente do arco x é k = 1.Logo, p = πrad.
3. Determinar tg x e o quadrante do arco x, sen-
do e .
Solução:
tg x = ?Temos: .
Então:
Como o seno e cosseno são negativos, con-cluímos que x é do 3.o quadrante.
1. Dê o período das funções:
a) b)
c) d)
2. Dê o domínio das funções:
a) b)
c) d)
3. Determinar sen x e o arco x, sendo e
.
4. Esboce o gráfico de cada uma das funções:
a) y = tg 3x
b)
58
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 12
OUTRAS FUNÇÕES CIRCULARES
12.1Função cotangente
Na circunferência trigonométrica dada abaixo,seja P o ponto associado a um número real x;S é o ponto de interseção da reta com oeixo Bs. Sabemos que a abscissa Bs do pontoS, é a cotangente do arco de medida algébricax, enquanto que OP1 e OP2 são, respectiva-mente, o seno e o cosseno desse mesmo arco.
Lembrando que, se o ponto P coincidir com Aou com A’, isto é, se x = kπ, não existe acotangente; excluindo esses pontos, temosassociado ao número real x um único númeroreal cotg x, que sabemos ser igual ao quoci-ente entre cos x e sen x.
Fica, então, definida uma função f de lR - {kπ,k ∈ Z} em lR, para a qual f(x) = cotg x e
cotg x = .
Deve ser notado que o domínio da função co-tangente é A = {x ∈ lR | x ≠ kπ, k ∈ Z} em queestão excluídos os reais x para os quais sen x = 0.
A tangente pode assumir qualquer valor real;assim: Im (f) = lR.
Deve-se observar, inicialmente, que para todo xdo domínio A da função
cotg x = cotg (x +π) = cotg (x + 2π) = cotg (x + 3π) = ... = cotg (x + kπ), k ∈ Z, ver-emos que a função co-tangente é periódica eseu período é p = π.
O gráfico da função f(x) = cotgx é chamadoco-tangentóide e aparece na figura abaixo.
12.2Função secante
Já vimos que a todo número real x está asso-ciado um único número real cos x.
Se cos x ≠ 0, isto é, se x ≠ , existe e é
único, o seu inverso = sec x. Definimos,
então, função secante como sendo uma fun-
ção f de R - em lR, dada por
f(x) = sec x =
O domínio da função secante é
A =
Como para todo x ∈ A, temos sec x ≤ –1 ousec x ≥ 1,
Im (f) = {y ∈ R / y ≤ –1 ou y ≥ 1}
É claro que, se x ∈ Asec x = sec (x + 2π) = sec (x + 4π) = … =sec (x + 2kπ) e, por isso, a função secante éperiódica e seu período é p = 2π.
12.3Função co-secante
Já vimos que a todo número real x está asso-ciado um único número real sem x. Se sen x ≠ 0, isto é, se x ≠ k , existe, e é único,
oseu inverso = cosec x. Definimos, en-
tão, função co-secante como sendo uma fun-
59
Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades
função f de lR - {kπ, k ∈ Z} em lR, dada por
f(x) = cosec x = .
O domínio da função co-secante éA = {x ∈ R / x ≠ kπ, k ∈ Z}
Como para todo x ∈ A temos cosec x ≤ –1 ouy ≥ 1,
Im (f) = {y ∈ R / y ≤ –1 ou y ≥ 1}
É claro que, se x ∈ A
cosec x = cosec (x + 2π) = cosec (x + 4π) =… = cosec (x + 2kπ), a função co-secante éperiódica e seu período é p = 2π.
1. Determine domínio e período das funções rais:
a)
b) g(x) = sec 2x
c)
2. Em cada caso, determine o conjunto ao qual mdeve pertencer de modo que existe x, satis-fazendo a igualdade:
a)
b) sec x = 3m – 2
c) cosec x =
3. Simplifique
4. Dê uma expressão, em função de cotg x, equi-
lente a
TEMA 13
IDENTIDADES
13.1 Definição
Sejam f e g duas funções de domínio D1 e D2
respectivamente. Dizemos que ƒ é idêntica a g,(indicamos por ƒ ≡ g) se, e somente se, ƒ(x) =g(x) para todo x em que ambas as funçõesestão definidas. Colocando em símbolos:
ƒ ≡ g ⇔ ƒ(x) = g(x), ∀x ∈ D1 ∩ D2
Exemplos:
1. ƒ: ℜ → ℜ tal que ƒ(x) = (x +1)2 – (x – 1)2 eg : ℜ → ℜ tal que g(x) = 4x são idênticas, pois:
ƒ(x) = x2 + 2x + 1 – x2 + 2x – 1 = 4x
ƒ(x) = g(x), ∀x ∈ ℜ.
2. ƒ: ℜ → ℜ tal que ƒ(x) = x + 1 e g : ℜ – {1} → ℜ
tal que são idênticas, pois:
ƒ(x) = g(x), ∀x ∈ ℜ – {1}
3. ƒ: ℜ → ℜ tal que ƒ(x) = sen2 x e g : ℜ → ℜ talque g(x) = 1 – cos2 x são idênticas, pois:
ƒ(x) = sen2 x = 1 – cos2 x
ƒ(x) = g(x), ∀x ∈ ℜ
4. tal que
ƒ(x) = sec2 x – tg2 x e g : ℜ → ℜ tal queg(x) = 1 são idênticas, pois:
ƒ(x) = sec2 x – tg2 x = (1 + tg2 x) – tg2 x = 1
ƒ(x) = g(x) para todo .
13.2Demonstração de identidade
Para demonstrar uma identidade trigonométri-ca, podemos aplicar qualquer uma das fórmu-las (que são também identidades) estabeleci-das na teoria, a saber, as relações fundamen-tais, as fórmulas de redução, as de adição, as
60
UEA – Licenciatura em Matemática
de multiplicação, as de divisão e as de trans-formação em produto (estas últimas veremosem unidades posteriores).
Existem basicamente três processos para pro-var uma identidade. Conforme a dificuldade dademonstração, escolhemos o método mais ade-quado entre os seguintes:
1.o) Partimos de um dos membros (geralmenteo mais complicado) da identidade e trans-formamos no outro.
2.o) Transformamos o 1.o membro (ƒ) e, separa-damente, o segundo membro (g), chegan-do com ambos na mesma expressão (h). Avalidade deste método é justificada pelapropriedade:
3.o) Construímos uma função h = ƒ – g e pro-vamos que h ≡ 0. A validade deste métodoé justificada pela propriedade:
ƒ – g ≡ 0 ⇔ ƒ ≡ g
Exemplos:
1. Prove que .
Solução:
A expressão do 2.o membro g(x) é mais com-plicada.
Então ƒ(x) = g(x) é verdadeira para qualquervalor de x onde as funções estão definidas.
2. Prove que (1 + cotg2 x)(1 – cos2 x) = 1 paratodo x real, x ≠ kπ.
Solução:
Fazendo ƒ(x) = (1 + cotg2 x) (1 – cos2 x)
3. Prove que
para
todo x real, .
Solução:
Fazendo ƒ(x) = 2 . sec x . tg x e
Começaremos nosso desenvolvimento por g.
4. Prove que a igualdade tgx . cotg x = sec x .
cosec x, sendo U = {x ∈ ℜ | sen x ≠ 0 e cos x ≠0}.
Solução:Temos:
Logo, tg x . cotg x = sec x . cosec x em U.
1. Verifique as seguintes identidades:
a) sec x + cotg x = (cosec x)(cos x + tg x)
b) sec2 θ + cosec2 θ = sec2 θ . cosec2 θ
c) tg2 x + tg4 x = sec4 x – sec2 x
2. Prove que (1 – tg x)2 + (1 – cotg x)2 = (sec x – cosec x)2
para todo x real, .
61
Matemática Elementar IV – Funções Circulares e Identidades
3. Demonstre as identidades:
a)
b) (tg x + cotg x) . sen x = sec x em
U = {x ∈ ℜ | sen x . cos x ≠ 0}.
4. Verifique se as identidades abaixo são ou nãoidentidades nos respectivos conjuntos universo:
a) tg x . cotg x = 1 em U = R
b) 1 + cot g2 x = cosec2 x em U = {x ∈ ℜ | sen x ≠ 0}
5. Demonstre a identidade:
1. (PUC–PR) Sendo x um número real em que asfunções são definidas e o denominador diferente
de zero, a expressão é
igual a:
a) 1
b) 1 – cos x
c) 1 + cos x
d) sen x
e) –sen x
2. (Cescem–SP) Se sen θ ≠ 1, a expressão
é igual a:
a) tg θ
b) sen θ . cos θ
c) 1 + cos θ
d) 1 + sen θ
e) Nenhuma das respostas anteriores.
3. (FGV) A expressão para
sen x ≠ 0, é idêntica a:
a)
b)
c) sec x
d) 2 cosec x
e)
4. (PUC–SP) A expressão com
cos x ≠ 0 e sen x ≠ 0, é identicamente igual a:
a) cotg3 x
b) sec2 x
c) sen2 x + cos x
d) tg2 x + sec x
e) cosec3 x
62
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE IVFórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos
65
Matemática Elementar IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos
TEMA 14
TRANSFORMAÇÕES: FÓRMULAS DEADIÇÃO
Vamos deduzir as fórmulas para calcular as fun-ções trigonométricas da soma (a + b) e da di-ferença (a – b) de dois números reais quais-quer a e b, conhecidas as funções circularesde a e b.
1. Co-seno da soma
Sejam P, Q e R os pontos do ciclo associadosaos números a, (a + b) e –b, respectivamente.Em relação ao sistema cartesiano, as coorde-nadas desses pontos são:
P(cos a, sen a)
Q(cos (a + b), sen(a + b))
R(cos b, –sen b)
Os arcos e têm a mesma medida, por-tanto as cordas
⎯AQ e
⎯RP têm medidas iguais.
Aplicando, então, a fórmula da distância entredois pontos da Geometria Analítica, temos:
d2AQ = (XQ – XA)
2 + (YQ – YA)2 =
= [cos (a + b) – 1]2 + [sen(a + b) – 0]2 =
= cos(a + b)2 – 2 . cos(a + b) + 1 +
+ sen2 (a + b) = 2 – 2 cos(a + b)
d2RP = (XP – XR)2 + (YP – YR)2 =
= [cos a – cos b]2 + [sen a + sen b]2 =
= cos2 a – 2 . cos a . cos b + cos2 b +
+ sen2 a + 2 . sen a . sen b + sen2 b =
= 2 – 2 . cos a . cos b + 2 sen a . sen b
d2AQ = d2
RP
2 – 2 . cos(a + b) = 2 – 2 . cos a . cos b +
+ 2 . sen a . sen b
e, então temos a fórmula:
cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
2. Co-seno da diferença
cos (a – b) = cos[a + (–b)]
cos(a – b) = cos a . cos(–b) – sen a . sen(–b)
Sabemos que cos(–b) = cos b e sen(–b) = –sen b.
Então:
cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
3. Seno da soma
Então:
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
4. Seno da diferença
sen(a – b) = sen[a + (–b)] =
= sen a . cos(–b) + sen(– b) . cos a =
sen a . cos b + (–sen b) . cos a
Então:
sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
5. Tangente da soma
=
Então:
66
UEA – Licenciatura em Matemática
Essa fórmula só é aplicável se:
6. Tangente da diferença
então:
Essa fórmula só é aplicável se:
Exemplos:
1. Calcule os valores de:
a) cos 15º b) sen 105ºc) tg 75º d) sec 285ºSolução:
a) cos 15º = cos(45º – 30º) == cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º =
b) sen 105º = sen(60º + 45º) == sen 60º . cos 45º + sen 45º . cos 60º =
c)
d)
2. Dado: e , calcule o
cos(x + y), sabendo que e
.
Solução:
1.
2.
3. cos(x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y =
1. Calcule cotg165º, sec 255º e cosec 15º.
2. Dados tg A = 2 e tg B = 1, determine tg (A – B).
3. Calcule o valor da expressão sen 105º – cos 75º.
4. Sabendo que e com
, calcule tg(a + b).
5. Sabendo que ,
e , calcule sen(x + 1), cos(s + y) e
tg(x + y).
6. Sabendo que tg 75º = 2 + e tg 60º = ,calcule tg 15º.
1. (FMU/FIAM–SP) O co-seno de de 105° vale:
a) b)
c) – d)
e)
2. (F. Ibero-Americana–SP) Dado ,
calcule cos 2x.
a) b)
c) d)
e)
3. (U. E. Ponta Grossa–PR) Sendo ,
então é correto afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
4. (UFCE) Se , então , e o valor
de é:
a) 25;
b) 30;
c) 35;
d) 40;
e) 45.
5. Sejam α um arco do 1.o quadrante e β um arcodo 2.o quadrante tais que cos α = 0,8 esen β = 0,6. O valor de sen(α + β) é:
a) 0,00
b) 1,40
c) 0,96
d) 0,48
e) 0,70
TEMA 15
ARCO DUPLO E TRIPLO
Vamos agora achar as funções trigonométri-cas do dobro de um arco.
15.1Seno do arco duplo
Fazendo b = a na expressão
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a,obtemos:
sen 2a = sen(a + a) = sen a . cos a + sen a . cos a
sen 2a = 2sen a . cos a
15.2Co-seno do arco duplo
Fazendo b = a na expressão
cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b, obte-mos:
cos 2a = cos(a + a) = cos a . cos a – sen a . sen a
cos 2a = cos2 a – sen2 a
Podemos também representar o cos 2a de ou-tras formas:
• Fazendo cos2 a = 1 – sen2 a, obtemos:
cos 2a = 1 – sen2 a – sen2 a ou
cos 2a = 1 – 2 . sen2 a
• Fazendo sen2 a = 1 – cos2 a, obtemos:
cos 2a = cos2 a – (1 – cos2 a) ou
cos 2a = 2 . cos2 a – 1
15.3Tangente do arco duplo
Fazendo b = a na expressão
, obtemos:
. Portanto:
, para e ,com k∈ .
Exemplos:
1. Sabendo que sen 27º = 0,454 e cos 27º = 0,891,calcular sen 54º.
67
Matemática Elementar IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos
68
UEA – Licenciatura em Matemática
Solução:
sen 2x = 2 . sen x . cos x
sen 54° = 2 – sen 27° . cos 27°
sen 54° = 2 . 0,454 . 0,891 = 0,809
2. Dado , com , calcule
a) sen 2x b) cos 2x c) tg 2x
Solução:
a) sen 2x
como x é um arco do primeiro quadrante,
então . Daí:
b)
c)
3. Sabendo que , calcular o valor
de sen 2a.
Solução:
4. Sabendo que tg x + cotg x = 5, determinar ovalor de sen 2x.
Solução:
1. Determine sen 2x, cos 2x, e tg 2x nos seguintescasos:
a) e
b) cotg x = –5 e
2. Se , com e
, determine o valor de y.
3. Sabendo que sen 20° = 0,342 e cos 20° = 0,940,qual o valor de sen 40°?
4. (FEI–SP) Calcule sen 2x sabendo que tg x + cot gx = 3.
5. Dado , , calcule cos 2x e
sen 2x.
6. Dada tg 35° ≅ 70, calcule tg 70° e cotg 70°.
15.4Seno do arco triplo
sen 3a = 3sen a – 4sen3 a
Demonstração:
sen 3a = 2sen a cos a cos a + sen a(1 – 2sen2 a)
sen 3a = 2sen x (1 – sen2 a) + sen a – 2sen3 asen 3a = 2sen a – 2sen3 a + sen a – 2sen3 asen 3a = 3sen a – 4sen3 a
15.5Co-seno do arco triplo
cos 3a = 4cos3 a – 3cos a
Demonstração:
cos 3a = (2cos2 a – 1)cos a – 2sen a cos a sen a
cos 3a = 2cos3 a – cos a – 2cos a(1 – cos2 a)
cos 3a = 2cos3 a – cos a – 2cos a + 2cos3 a
cos 3a = 4cos3 a – 3cos a
Exemplos:
1. Sendo , calcular sen3 a.
Solução:
sen 3a = 3sen a – 4sen3 a
2. Sendo , calcular cos 3a.
Solução:
cos 3a = 4cos3 a – 3cos a
1. Calcule:
a) sen 3a, sendo sen a = 1
b) cos 3a, sendo .
2. Calcule sen 9x, sabendo que .
3. Sendo , calcular cos 6a.
TEMA 16
ARCO METADE
Vamos agora achar as funções trigonométricasda metade de um arco, partindo das anteriores.
16.1Seno do arco metade
Podemos escrever:
cos 2a = (1 – sen2 a) – sen2 a = 1 – 2sen2 a
Daí vem:
Fazendo , vem:
Podemos escrever, então, a fórmula do senodo arco metade como segue:
Observação: o sinal algébrico vai depender do
quadrante ao qual pertenceo arco .
16.2Co-seno do arco metade
Sabemos que cos(2a) = cos2 a – sen2 a.Substituindo sen2 a, por 1 – cos2 a, já quesen2 a + cos2 a = 1, vem: cos 2a = 2 . cos2 a – 1.
Daí, vem:
Fazendo , vem, .
Podemos escrever, então, a fórmula do co-seno do arco metade como:
em que o sinal algébrico vai depender do qua-
drante ao qual pertence o arco .
16.3Tangente do arco metade
Dividindo membro a membro as equações (I)e (II) anteriores, lembrando que
, vem:
69
Matemática Elementar IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos
em que o sinal algébrico vai depender do qua-
drante ao qual pertence o arco .
Exemplos:
1. Sendo , calcular
e .
Solução:
Como o arco x pertence ao primeiro quadran-te, a função seno é positiva.
Logo:
Como o arco x pertence ao primeiro quadran-te, a função co-seno é positiva.
Logo:
Como o arco x pertence ao primeiro quad-rante, a função tangente é positiva.
Logo:
2. Calcular o valor de sen 112º 30’.
Solução:
Temos:
sen 112º 30’ = sen(90º + 22º 30’)
Pelas identidades trigonométricas,
sen(90º + x) = cos x. Assim :
sen(90º + 22º 30’) = cos 22º 30’
Mas, . Logo:
Portanto .
3. Verifique a identidade:
Solução:
1. Dado , com , calcule
e .
2. Dado , com , calcule .
3. Calcule sen 22°30’.
4. Mostre que tg 22°30’ = – 1
5. , quais são os possíveis valores de
?
6. Se , com , calcule e
.
7. Dado , calcule o valor de cos x.
8. Dado , calcule os valores possíveis
de sen x.
70
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 17
FÓRMULAS DE TRANFORMAÇÃO EM PRO-DUTO PARA SENO, CO-SENO E TAN-GENTE
17.1Fórmulas de tranformação em produto paraseno, co-seno
O uso da fatoração em cálculos algébricos temfacilitado a resolução de vários problemas.
Em trigonometria, a fatoração tem sido útil naresolução de algumas equações trigonométri-cas, bem como na adaptação de expressõestrigonométricas ao cálculo logarítmico.
Vamos relembrar as fórmulas do seno e co-seno da adição e subtração de dois arcos.
(I) sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
(II) sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
(III) cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
(IV) cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
Fazendo:
(I) + (II) ⇒
sen(a + b) + sen(a – b) = 2 . sen a . cos b (V)
(I) – (II) ⇒
sen(a + b) – sen(a – b) = 2 . sen b . cos a (VI)
(III) + (IV) ⇒
cos(a + b) + cos(a – b) = 2 . cos a . cos b (VII)
(III) – (IV) ⇒
cos(a + b) – cos(a – b) = –2 . sen a . sen b (VIII)
Chamando p, e ∈ lR e resolvendo o
sistema, vamos encontrar:
Substituindo (a + b) por p, (a – b) por q, a por
e b por nas expressões (V), (VI),
(VII) e (VIII), obtemos:
Exemplos:
1. Transformar em produto a soma sen 80º + sen20º.
Solução:
Aplicando a fórmula de transformação da so-ma em produto, temos:
sen 80º + sen 20º =
= 2 . sen 50º . cos 30º =
2. Transformar em produto y = sen 70º + cos 30º.
Solução:
sen 70º = cos(90º – 70º) = cos 20º
Então temos: y = cos 20º + cos 30º
Pela fórmula de transformação em produto,obtemos:
y = 2 . cos 25º . cos(–5º)
Como cos(–5º) = cos 5º, temos:
y = 2 . cos 25º . cos 5º.
Podemos também resolver esse item fazendo:
cos 30° = sen(90° – 30°) = sen 60°
Dessa forma, teríamos y = sen 70° + sen 60° eassim obteríamos y = 2 . sen 65° . cos 5°.
3. Transformar em produto a soma + sen 10°,
sendo o valor de um arco no 1.o quadrante.
Solução:
71
Matemática Elementar IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos
4. Transforme em produto:
a) y = sen 2x + sen x
b) y = 1 + sen x
c) y = cos 2x – 1
d) y = sen x + cos x
Solução:
a) y = sen 2x + sen x
b) y = 1 + sen x
Substituindo-se 1 por , temos:
c) y = cos 2x – 1y = cos 2x – cos 0
y = –2 . sen x . sen x = –2 sen2 x
d) y = sen x + cos x1.° modo – Substituindo-se sen x por
:
2.° modo – Substituindo-se cos x por
:
Observação – Os dois modos conduzemà mesma resposta, pois
, devido à identi-
dade cos(–α) = cos α.
5. Fatore a expressão y = sen x + sen 3x + sen 5x + sen 7x.
Solução:
Agrupando os termos dois a dois, temos:
y = (sen x + sen 3x) + (sen 5x + sen 7x)
y = 2 . sen 2x . cos(–x) + 2 .sen 6x . cos (–x)
Sendo cos(–x) = cos x, vem:
y = 2 . cos x . (sen 2x + sen 6x)
y = 4 . cos x . sen 4x . cos (–2x)
logo, y = 4cos x . cos 2x . sen 4x.
1. Transforme em produto:
a) sen 36º + sen 22º
b) sen 72º – sen 8º
2. Transforme em produto:
a) cos 23º + cos 7º
b) cos 258º + cos 12º
3. Transforme em produto:
a) y = sen 7x + sen 5x
b) y = 1 – sen 2x
c) y = cos 9x + cos x
d) y = cos(3x – π ) – cos x
4. Fatore as expressões:
a) y = sen x – cos x
b) y = sen 2x + 2cos x
c) y = cos 8x + cos 6x + cos 4x + cos 2x
d) y = sen x + 2sen 3x + sen 5x
72
UEA – Licenciatura em Matemática
17.2Fórmulas de tranformação em produto paratangente
Considerando e , com
k∈ , são válidas as segintes fórmulas:
Demonstração:
Exemplos:
1. Transformar em produto as expressões:
a) y = tg 2x + tg x
b) y = 1 – tg x
Solução:
a) y = tg 2x + tg x
b) y = 1 – tg x
1. Transforme em produto as seguintes expres-sões:
a) y = tg 50º – tg 32º
b) y = 1 + tg x
Observação:
Há casos em que será preciso “desfazer” algunsprodutos e transformá-los em somas.
Exemplos:
1. Calcular o valor de: .
Solução:
Sabemos que,
cos(a + b) + cos(a – b) = 2 . cos a . cos b
Então:
1. Transforme em produto a expressão y = tg 50º – tg 30º.
2. Transforme em produto a expressão y = 1 + tg x.
73
Matemática Elementar IV – Fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos
UNIDADE VEquações e Inequações Trigonométricas
77
Matemática Elementar V – Equações e inequações trigonométricas
TEMA 18
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
18.1 Introdução
Equações trigonométricas são igualdades queenvolvem uma ou mais funções trigonométri-cas de arcos incógnitos.
Exemplos:
1. sen x = 1
2. sen x – cos x = 0
3. sec2 x – 1 = tg x
Resolver uma equação trigonométrica significadeterminar o conjunto de valores dos arcos,para os quais essa equação é verdadeira.
Toda equação trigonométrica é verdadeira parauma infinidade de arcos. A equação sen x = 1,por exemplo, é verdadeira para arcos e medi-da
com κ∈ . Acompanhe pelo gráfico:
Observe que existem infinitos arcos que satis-fazem à equação sen x = 1, entre os quais
estão os arcos , e .
A equação sen x = 1 tem como solução geralo seguinte conjunto solução:
S = {x ∈ lR }
18.2 Soluções particulares
Na resolução de equações trigonométricas, po-demos obter soluções particulares. Para isso,basta estabelecer intervalos dentro dos quaisessas equações são verdadeiras.
Voltando ao gráfico, observe que, se estabele-cermos o intervalo 0 ≤ 2 < 2π, o conjuntosolução da equação sen x = 1 passará a ser
.
As soluções particulares podem ser obtidas apartir da solução geral, bastando para isso atri-buir valores a κ (κ∈ ) e verificar se a soluçãopertence ao intervalo considerado.
Por exemplo, na equação sen x = 1, cuja solu-
ção geral é se considerarmos o
intervalo 0 ≤ x < 2π, obteremos:
• para κ = 0,
• para κ = 1,
Observe que o arco não pertence ao inter-
valo 0 ≤ x < 2π. Logo:
Na verdade, não há um processo único pararesolver todas as equações trigonométricas.
Diante disso, procuramos reduzi-las a equa-ções mais simples, do tipo sen x = a, cos x =a e tg x = a, denominadas equações fun-damentais, as quais passaremos a estudar.
Observação:
Quando não se fizer menção do intervalo a serconsiderado, admite-se como tal o conjunto lR.
18.3 Equações do tipo sen x = a
A equação sen x = a terá solução somente se–1 ≤ a < 1.
Para determinar os valores de x que satisfazemessa equação, vamo-nos basear na seguintepropriedade:
Se dois arcos têm senos iguais, então eles sãocôngruos ou suplementares.
Seja x = α uma solução da equação
sen x = a.
As outras soluções são todos os arcos côn-gruos ao arco α ou ao arco π – α, isto é:
sen x = sen α ,
78
UEA – Licenciatura em Matemática
com κ∈ .
Portanto a solução geral da equação sen x = a é:
S{x∈lR| ∈ }
Exemplos:
1. Resolva a equação
Solução:
Então, a equação tem como solu-
ção todos os arcos côngruos ao arco ou ao
arco π – , isto é:
sen x = sen
Portanto:
2. Resolver a equação sen2 x = 1.
Resolução:
sen2 x = 1 ⇒ sen x = ≠ 1 ⇒
Então temos:
Portanto:
S = {x ∈ lR ∈ }
3. Resolver a equação sen 2x = sen x.
Resolução:
• Quando os arcos 2x e x são côngruos:
• Quando os arcos 2x e x são côngruos:
Portanto:
S = {x∈ lR ∈ }
1. Resolva as seguintes equações :
a)
b) sen x = 1
c) , no intervalo 0 ≤ 2 ≤ 2π.
2. Resolva a equação no in-
tervalo [0, 2π]
3. Resolva a equação sen 5x = sen 3x.
18.4 Equações do tipo cos x = a
A equação cos x = a tem solução somente se–1 ≤ a < 1
Vamos então obter todos os valores de x quesatisfazem à equação proposta, a partir da se-guinte propriedade:
Se dois arcos têm co-senos iguais, então elessão côngruos ou replementares.
Seja x = α uma solução particular da equaçãocos x = a.
79
Matemática Elementar V – Equações e inequações trigonométricas
As outras soluções são todos os arcos côn-gruos ao arco α ou ao arco –α (ou ao arco 2π– α), isto é:
cos x = cos α
com κ∈ .
A solução geral é dada por:
S = {x ∈ lR }
Exemplos:
1. Resolver a equação .
Solução:
Observe que:
Portanto:
S = {x ∈ lR }
2. Resolver a equação cos 2x = cos x.
Solução:
• Quando os arcos 3x e x são côngruos:
• Quando os arcos 2x e x são côngruos:
Portanto:
S = {x ∈ lR }
3. Resolver a equação no inter-
valo 0 ≤ 2 < 2π.
Solução:
Então, temos:
Observa que – não pertence ao intervalo con-
siderado. Portanto:
1. Resolva as equações:
a) cox = 1
b) no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.
c) 2 . cos x – = 0, no intervalo 0 ≤ x ≤ π.
2. Resolva a equação cos 4x – cox x = 0
3. Resolva a equação cos(x – π) = 0, no intervalo0 ≤ x ≤ 2π.
18.5 Equações do tipo tg x = a
A equação tg x = a tem solução para todoa∈lR.
Os valores de x tais que com κ∈
que satisfazem essas equações podem ser ob-tidos a partir da seguinte propriedade:
Se dois arcos têm tangentes iguais, então elessão côngruos ou explementares.
Seja x = α uma solução particular da equaçãotg x = a.
As outras soluções são todos os arcos côn-gruos ao arco α ou ao arco π + α, isto é:
80
UEA – Licenciatura em Matemática
tg x = tg α
com κ∈ .
Portanto a solução geral da equação é dadapor:
S = {x ∈ lR }
Exemplos:
1. Vamos resolver a equação
Solução:
Observe, na figura, que todos os arcos de ex-tremidades em M e em M1 são soluções dessaequação. Portanto uma das soluções é
e outra é .
• Se x [0, 2π], a solução é:
• Se x ∈ lR a solução é:
S = {x ∈ lR }
2. Vamos resolver a equação com
x ∈ lR.Solução:
Um valor possível para 2x é: pois:
Então, temos
Portanto,
Logo, o conjunto solução é:
S = {x ∈ lR }
1. Resolva as equações que seguem.
a) tg (4x) = com x ∈ lR
b) tg (2x) = –1, com x x ∈ lRc) – tg x = 0 com 0 ≤ x ≤ 2π.
2. Resolva a equação 2 . cos x = 3 . tg x, com x∈ lR.
3. Se e tg x = 1, quanto vale x?
4. Resolva a equação tg2 x – 3 = 0, com 0 ≤ x ≤ 2π.
5. Se , determine os valores de x para os
quais se tenha:
3 . tg2 x – 4 . tg x + 3 = 0
81
Matemática Elementar V – Equações e inequações trigonométricas
TEMA 19
INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
19.1 Introdução
Um jardineiro precisa construir um canteiro tri-angular, com um lado medindo 8m, outro me-dindo 10m e uma área de, no mínimo, 20m2.Qual deve ser o ângulo de abertura dos dois la-dos citados?
Seja α a medida de um ângulo que satisfaz ascondições dessa situação.
Note que a área o triângulo, em m2, é dada por
em que o valor de h é h = 8 . sen α.
Dessa forma, para 0 < α < π a área do triân-gulo é:
Como a área deve ser de, no mínimo, 20m2, te-mos que:
Sabemos que e, para
qualquer valor de α entre e , o valor de
sen é maior que .
Assim, o problema proposto possui infinitassoluções, pois qualquer valor real de α tal que
≤ α ≤ torna a sentença sen α ≥ ver-
dadeira.
Veja isso na figura a seguir, na qual B e C sãodois dos vértices do canteiro.
A inequação sen α ≥ é exemplo de inequa-
ção trigonométrica.
Chamamos de inequação trigonométrica qual-quer inequação em que a incógnita está asso-ciada a alguma função trigonométrica.
Veja outros exemplos de inequações trigono-métricas.
a)
b)
c) tg 2x ≤ π
d) 0 < sen α < 1
19.2 Resolução de inequações trigonométricas
Do mesmo modo que fizemos para as equa-ções trigonométricas, estudaremos alguns ti-pos de inequações trigonométricas Em geral,essas inequações recaem em inequações trigo-nométricas mais simples, porém equivalentes.
19.2.1 Inequações do 1.o tipo
São inequações que podem ser colocadas emuma das seguintes formas:
sen x > a ou sen x ≥ a ou sen x < a ou sen x ≤a, com –1 ≤ a ≤ 1
82
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplos:
1. Resolva a inequação com x ∈ lR.
Solução:
Observando a figura abaixo, notamos que per-correndo o ciclo no sentido positivo, a partir deA, temos:
e
O conjunto solução é obtido ao se percorrer ociclo no sentido positivo, a partir de A, até com-pletar uma volta e, em seguida, generalizamosa medida do arco obtido para qualquer volta:
S = {x ∈ lR }
2. Resolva a inequação com x ∈ lR.
Solução:
Observando a figura do exemplo anterior, nota-mos que os arcos 2x são tais que:
ou
com κ∈ .
•
•
Logo,
S = {x ∈ lR ou
, κ∈ }
3. Resolva a inequação com 0 ≤ x ≤ 2π.
Solução:
Observe o gráfico da função y = sen x e ospontos que nesse gráfico correspondem às
soluções da inequação no interva-
lo 0 ≤ x ≤ 2π.
Logo,
S = {x ∈ lR
1. Considerando o gráfico da função y = sen x,determine os valores de x, com 0 ≤ x ≤ 2π, paraos quais se tem:
a) sen x < 0b) sen x ≥ 0
c)
2. Qual é a inequação trigonométrica cuja solu-ção no intervalo [0, 2π] está representada nociclo trigonométrico abaixo?
83
Matemática Elementar V – Equações e inequações trigonométricas
3. Resolva a inequação |sen 2x| ≤ , para
0 < x < π.
19.2.2 Inequações do 2.o tipo
São inequações que podem ser colocadas emuma das seguintes formas:
cos x > a ou cos x ≥ a ou cos x < a ou cos x ≤ a com –1 ≤ a ≤ 1
Exemplos:
1. Resolva a inequação com x ∈ lR.
Resolução:Procedendo como nas inequações do 1.o tipo,temos:
e
Veja a figura:
Logo, o conjunto solução obtido é:
S = {x ∈ lR }
2. Resolva a inequação cos x > , com x ∈ lR.
Solução:
Observando a figura do exemplo anterior, en-contramos o conjunto solução:
S = {x ∈ lR
∈ }
1. Resolva as inequações trigonométricas, comx ∈ lR.
a) cos x ≤ 0
b)
c)
2. Resolva:
a) com 0 ≤ x ≤ 2π
b) com 0 ≤ x ≤ 2π
19.2.3 Inequações do 3.o tipo
São inequações que podem ser colocadas emuma das seguintes formas:
tg x > a ou tg x ≥ a ou tg x < a ou tg x ≤ a, com
com κ∈ .
Exemplos:
1. Resolva a inequação tg x > , com x ∈ lR.
Solução:
Percorrendo o ciclo no sentido positivo, a par-tir de A, temos:
Veja a figura:
84
UEA – Licenciatura em Matemática
Logo, o conjunto solução obtido é:
S = {x ∈ lR
}
2. Resolva a inequação tg x ≤ , com x ∈ lR .
Solução:
Observando a figura do exemplo anterior, en-
contramos o conjunto solução:
S = {x ∈ lR
}
1. Resolva as inequações:
a) tg x ≥ 1, com x ∈ [0, 2π]
b) |tg x | ≤ 1, com x ∈ [0, π]
c) 0 < tg x ≤ 1 com
d) 3 . tg x ≥ , com x ∈ lR
TEMA 20
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
20.1 Introdução
Quando, na disciplina Matemática elementar III,aprendemos os conceitos de função inversa,vimos que somente as funções bijetoras (ouseja, injetoras e sobrejetoras) tinham inversa.
Veremos agora como ajustar aqueles concei-tos para as funções trigonométricas aprendidas.
20.2 Função arco seno
Vamos rever a definição da função seno:
f: lR: → lR tal que f(x) = sen x
Agora veja o gráfico dessa função:
Por ele, vemos que a função não é sobrejetora,pois a imagem dela é im(f) = [–1, 1], e o seucontradomínio é lR.
A figura mostra também que a função não éinjetora, pois, para um mesmo valor x1∈lR,existem infinitos valores de x, tais que senx = sen x1 como, por exemplo,
Então, nas condições apresentadas, a funçãoy = sen x não possui inversa.
No entanto, podemos restringir o contrado-mínio ao conjunto [-1,1], intervalo esse ondeestão todos os valores de sen x para qualquerx ∈ lR. Fazendo isso, a função é sobrejetora.
Vamos agora restringir o domínio, de modo quea função seja também injetora.
Existem infinitos intervalos onde tal peculiari-dade ocorre, como, por exemplo,
(veja figura). No entanto conven-
cionamos adotar para domínio o intervalo
85
Matemática Elementar V – Equações e inequações trigonométricas
no qual a mesma peculiaridade tam-
bém ocorre.
Dessa forma, temos a função
F: → [–1, 1]
definida por F(x) = sen x.
Nessas condições, a função é bijetora e, por-tanto, tem inversa. Ela é definida assim:
F–1: [–1, 1] →
tal que F–1(y) = arc sen y
(entende-se: arco cujo seno é y).
Veja o esquema:
Exemplos:
Achar y nos casos seguintes
a) y = arc sen
b)
Solução:
a) y = arc sen
Portanto rad.
b)
Portanto rad.
1. Determine o valor de y nos casos:
a)
b)
c) y = 2 . arc sen (0,342)
2. Calcule y = 2 . cos(arc sen 0,8).
3. Calcule o valor de N, sendo
.
20.3 Função arco co-seno
Do mesmo modo que a função seno, a funçãoco-seno definida por
f: lR → lR tal que f(x) = cos x,
não é bijetora e, portanto, não tem inversa.
Restringindo o contradomínio ao intervalo [–1, 1],a função é sobrejetora.
Convencionamos restringir o domínio ao inter-valo [0, π], no qual a função é injetora. Dessaforma, temos a função:
86
UEA – Licenciatura em Matemática
F: [0, π] → [–1, 1], tal que F(x) = cos x.
Agora, então, a função é bijetora e, portanto, tem
inversa:
F–1 : [–1, 1] → [0, π]
tal que
F–1(y) = arc cos y
(entende-se: arco cujo co-seno é y).
Veja o esquema:
Exemplos:
Determine y:
a) y = arc cos
b)
Solução:
a) y = arc cos
Portanto rad.
b)
Portanto rad.
1. Determine y sabendo que:
a)
b) y = arc cos (–1)
c)
2. Calcule o valor de N para:
a) N = arc cos(0,9703)
b)
20.4 Função arco tangente
A função tangente foi definida assim:
f: lR1 → lR tal que f(x) = tg x,
com lR1 = {x ∈ lR }.
Nessas condições, a função é sobrejetora, poistg x assume qualquer valor real, mas não é in-jetora. Desse modo, não é bijetora e, portanto,não tem inversa.
Vamos restringir o domínio a um intervalo ondeela assuma todos os valores reais e, além dis-so, seja injetora. Existem infinitos intervalos on-de isso ocorre.
Convencionamos restringir o domínio ao
87
Matemática Elementar V – Equações e inequações trigonométricas
intervalo aberto . A função fica assim
determinada:
F: → lR, definida por F(x) = tg x
A função agora é bijetora e, portanto, tem inver-sa:
F–1: → definida por F–1(y) = arc tg y
(arco cuja tangente é y).
Veja o esquema:
Exemplos:
Determine y nos casos abaixo::
a) y = arc tg
b)
Solução:
a) y = arc tg
Temos que
Portanto rad.
b)
Chamando z = arc tg 1, temos:
rad
Chamando , temos:
rad
Como
rad.
Portanto rad.
1. Determine y nos casos:
a) y = arc tg (–1)
b)
c) y = sen(arc tg 3) + cos(arc tg 3)
d) y = tg(arc tg 4) – arc tg 1
2. (U.MACK–82)Para todo n inteiro sen(b + nπ) éigual a:
a) sen b
b) (–1)n cos b
c) (–1)n+1 sen b
d) (–1)n sen b
e) cos b
3. (CESGRANRIO–83) Para κ= 1, 2, 3,... o núme-
ro de valores distintos de é:
a) 2;
b) 6;
c) 8;
d) 16;
e) infinito.
4. (V.UNIF–RS) O período e a imagem da funçãoreal ƒ definida por ƒ(x) = 3sen 2x, respecti-vamente, são:
a) π e [–3, 3]
b) 4πe [–3, 3]
c) e [–2, 2]
d) 6π e [–2, 2]
e) 2π e [–1, 1]
5. (CESGRANRIO–90) Se e ,
então tg x vale:
a) b)
c) d)
e)
6. (U.C.mg–81) Seja ƒ(x) ≠ 0 uma função definidapara todo número real x > 0. Então, a função
é:
a) apenas ímpar;
b) apenas par;
c) par e ímpar;
d) nem par nem ímpar;
e) simétrica em relação ao eixo x.
7. (UNICAP–87) Sabendo que x – y = 60º, assi-nale a alternativa que corresponde à expressão(cos x + cos y)2 + (sen x + sen y)2.
a) 1 b)
c) 2 d) 3
e)
8. (EAESP–FVG) Se , então
(1 + tg α)(1 + tg β) é igual a:
a) 1 b) 2
c) 2tg α d) 2tg β
e) tg α . tg β
9. (UF–GO) Se , então cos 2θ vale:
a) b)
c) d)
e)
10. (PUC–SP) O valor de
(cos2 1º + cos2 2º + ... + cos2 89º)2 –
– (sen2 1º + sen2 2º + ... + sen2 89º)2 é:
a) –1;
b) 0;
c) 1;
d) 89;
e) impossível calcular sem tabela trigonométrica.
11. (FUVEST) Se , então cos x vale:
a) b)
c) d)
e)
12. (U.F.PA) Qual das expressões abaixo é idêntica
a ?
a) sen x
b) cos x
c) tg x
d) cosec x
e) cotg x
13. (UF–RN) A expressão (sec x – tg x)(sec x + tgx) é equivalente a:
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
88
UEA – Licenciatura em Matemática
14. (UF–PA) A expressão mais simples de
é:
a) sec 2a
b) sec2 a
c) sen2 a
d) cot2 a
e) tg 2a
15. (UF–PR) Qualquer que seja o valor de x,(sen x + cos x)2 é igual a:
a) sen 2x
b) 2sen x
c) 2sen2 x – 1
d) 2cos2 x – 1
e) . sen x . cos x
16. (UCDB–MS) Sendo sen x + cos x = , o valor
de sen 2x é:
a) 0,48
b) –0,48
c) –0,96
d) –0,8
e) –0,6
17. (UNIFOR–Ce) O período da função ƒ: ℜ → ℜ,definida por ƒ(x) = cos2 x – sen2 x é:
a) b)
c) π d)
e) 2π
18. (CESGRANRIO–88) Sendoκ∈ , as soluções
da equação são da forma:
a) b)
c) d)
e)
19. (CESGRANRIO–90) O número de raízes reais
da equação + cos x = 0 é:
a) 0;
b) 1;
c) 2;
d) 3;
e) maior do que 3.
20. (PUC–SP) A igualdade sen πx = 0 é verdadeirase, e somente se, sen x é:
a) Real.
b) Inteiro.
c) Complexo.
d) Racional.
e) Irracional.
21. (CESGRANRIO–88) O arco x é medido em ra-dianos. Então, a soma das duas menores raí-
zes positivas de é:
a) b) π
c) d)
e)
22. (F.SANTANA–83) Uma das soluções da equa-ção sen 3x = sen x é:
a) – b)
c) d)
e)
23. (CESGRANRIO–80) O menor zero positivo da
função é:
a) b)
c) d)
e)
89
Matemática Elementar V – Equações e inequações trigonométricas
24. (UC–PR–82) Para ser verdadeira a desigualda-de tg θ . sec θ < 0, θ deve ser um arco perten-cente apenas:
a) ao 1.o quadrante;
b) ao 2.o quadrante;
c) ao 4.o quadrante;
d) ao 2.o ou 4.o quadrantes;
e) ao 3.o ou 4.o quadrantes.
25. (FEI–SP) Se 0 < x < 2π e sen x > cos x, então:
a) b)
c) d)
e)
26. (PUC–RS) Se x ∈ [0, 2π], o conjunto soluçãopara a inequação x – sen x ≥ 0 é:
a) b) [0, 2π]
c) [0, π] d) (0, +∞)
e) ℜ
27. (Unifor-CE) Se , então tg α é
igual a:
a) –
b) –1
c) –
d)
e)
28. (Unit-SE) A solução da equação
arc sen(arc cos x) = 0 é:
a) x = 0
b) x =
c) x = 1
d) x = πe) n.d.a.
29. (PUC–PR) O conjunto domínio deƒ(x) = arc sen (2x – 3) está contido no intervalo:
a)
b) [–1, 1]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e)
30. (Unifor–CE) Se , então cos θ é
igual a:
a) b)
c) d)
e)
90
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE VINúmeros Complexos
93
Matemática Elementar IV – Números Complexos
TEMA 21
FORMA ALGÉBRICA E POTÊNCIAS DE i
21.1. Um pouco de história
Os números complexos, assim como são co-nhecidos hoje, surgiram por volta do século XVI,quando ainda os matemáticos ocidentais malhaviam superado as dificuldades com os nú-meros irracionais e negativos.
As primeiras idéias sobre esses novos núme-ros foram observadas em trabalhos de váriosmatemáticos italianos quando da descobertada solução algébrica de equações cúbicas.
Em 1545, Cardano publica Ars magna (Artemaior), uma obra dedicada à álgebra, em querelata a solução da equação x3 + px = q. Nes-sa obra, ele faz uma observação acerca dessesnovos números.
Inspirado no trabalho de Cardano, o matemá-tico bolonhês Rafael Bombelli (cerca de 1526-1573), ao resolver a equação cúbica incom-pleta x3 – 15x – 4 = 0, passou a operar com osímbolo .
Mais tarde, outros matemáticos também utiliza-ram esse símbolo. A partir daí, os números com-plexos começaram a perder um pouco do ca-ráter sobrenatural que tinham até então, massó foram totalmente aceitos no século XIX.
Esses números inauguraram um extenso cam-po de estudos na matemática. Um exemplo dis-so são suas aplicações no estudo das equa-ções algébricas.
Na física, eles são usados, por exemplo, no ele-tromagnetismo e na eletricidade, em circuitoselétricos
21.2 O número iAo resolver a equação x2 + 4 = 0, obtemos asraízes – e , ou seja, números não-reais.
Se considerarmos U = lR, teremos como con-junto solução o conjunto vazio, isto é, S= ∅.
A solução de equações como essa passou a serpossível devido à introdução de um elementomatemático, denominado unidade imaginária,que será indicado pela letra i, tal que:
i = ou i2 = –1
Em manuscrito datado de 1777 e publicadoposteriormente em 1794, o matemático suíçoLeonhard Euler (1707-1783) foi o primeiro a uti-lizar a letra i para representar .
A partir da unidade imaginária, começava a con-figurar-se um novo conjunto, o dos númeroscomplexos, que será indicado por .
21.3 Potências de iVejamos agora como podemos calcular potên-cias de i.i0 = 1
i1 = i
i2 = –1
i3 = i2 . i = –1 . i = –i
i4 = i3 . i = –i . i = –i2 = 1
i5 = i4 . i = 1 . i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = –1
i7 = i6 . i = –1 . i = –1
i8 = i7 . i = –i . i = i2 = 1
:.
Observando os valores obtidos para essas po-tências, verificamos que eles se repetem a gru-po de quatro potências, assumindo os valores1, i, –1 e –i.
21.4 Processo prático para calcular potênciasde i
Dado in, com n ∈ lN, temos:
O resto r da divisão de n por 4 será sempre umdestes valores: 0, 1, 2 ou 3.
Portanto o valor da potência de i depende doresto r. Observe o quadro:
94
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplos:
1. Calcular:
a) i250
b) i931
Solução:
a) i250
Logo, i250 = i2 = –1
b) i931
Logo, i931 = i3 = –i
2. Calcular o valor das seguintes expressões:
a) i39 + i42 – i14
b) i25 + i148 – 2i79
Solução:
a) i39 + i42 – i14
Logo, i39 + i42 – i14 = i3 + i2 – i2 = –i
b) i25 + i148 – 2i79
Logo,
i25 + i148 – 2i79 = i1 + i0 – 2i3 =
= i + 1 – 2 (–i) = i + 1 + 2i = i + 3i
1. Calcule:
a) i329
b) i105
c) i94
2. Calcule:
a) i4n – 2
b) i3 + 8n
3. Calcule o valor de:
21.5 Forma algébrica de um número complexo
Todo número complexo pode ser colocado naforma
z= a + bi
denominada forma algébrica, em que a e bsão números reais, e i é a unidade imaginária.
O número a é a parte real de z, e indicamospor Re(z) = a.
O número b é a parte imaginária de z, e indi-camos por Im(z) = b.
• Se Re(z) = 0, então z é um número imagi-nário puro.
• Se Im(z) = 0, então z é um número real.
Todo número real a é o número complexo a +0i.Logo, lR ⊂ . Podemos visualizar essa relaçãode inclusão no diagrama:
Exemplos:
1. z = 2 + 7i ⇒ Re(z) = 2 e Im(z) = 7
2. z = –4i ⇒ Re(z) = 0 e Im(z) = –4
3. z = 2 ⇒ Re(z) = 2 e Im(z) = 0
Valor de r 0 1 2 3
valor de ir 1 i –1 –i
95
Matemática Elementar IV – Números Complexos
4. Considerando o número complexo z = (3 – 5m) + (2k + 3)i, determinar m e k reais,tais que:
a) z seja um número real;
b) z seja um número imaginário puro.
Solução:
a) z é um número real se Im(z) = 0. Então,devemos fazer:
2k + 3 = 0, ou seja, k = –
b) z é um número imaginário puro se Re(z) = 0.Então:
3 – 5m = 0, isto é, m =
Nesse caso, devemos ter k ≠ – .
1. Determine a parte real e a parte imaginária decada um dos números complexos:
a) z = –3 + 4i e) z = 3
b) z = 2 – 1i f) z = – i
c) z = 4 + i g) z = 3 + 2πi
d) z = 5i
2. Dado z =(m2 – 4) + (k – 5)i, determine m e kreais, tais que:
a) z seja um número real;
b) z seja um núero imaginário puro.
3. Determine os números reais p e q, tais que z = 0,nos seguintes casos:
a) z = 2p – 10 + (q + 1)ib) z = p – 2 + (q2 – 9)ic) z = p2 + 3p – 4 + (q + 4)i
4. Qual deve ser o valor de x para que o númerocomplexo z = (x – 4) + (x2 – 4x + 3)i seja umnúmero real?
5. Determine o valor de x para que o número com-plexo z seja imaginário puro:
a) z = (x2 – 4x + 4) + (x – 2)ib) z = (x2 – 6x + 5) + (x – 5)i
TEMA 22
IGUALDADE, SOMA E SUBTRAÇÃO DENÚMEROS COMPLEXOS
22.1 Igualdade de números complexos
Dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di são iguais se, e somente se, suaspartes reais e imaginárias forem respectiva-mente iguais, ou seja:
z1 = z2 ⇔ a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d
Exemplos:
1. Sendo z1 = 8x + 3i e z2 = –5 + 4yi, deter-minar os números reais z e y de modo que z1 = z2.
Solução:
Se z1 = z2, devemos ter:
2. Determinar os números reais x e y de modo que
3x = –5x + 2 + (y + 3)i
Solução:
Devemos ter:
1. Determine os números x e y nas seguintesigualdades:
a) 5x –3yi = 2 + 12ib) (x – 3) + (y + 1)i = 6 + 4ic) (x2 – 2x – 15) + (3y – 9)i = 3id) (4 – x + 5y) + 3yi = 0e) 15 + 3x + 6i = –2yi
2. Calcule os números reais a e b para que se te-nha a + 7i = –5 + bi.
3. Determine os reais x e y para que seja válida aigualdade (2x – 1) + 5i = 11 – (y + 2)i.
22.2 Adição de números complexos
Sejam os números complexos z1 = a + bi ez2 = c + di, com a, b, c, d ∈ lR. Então, temos:
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di ⇒
Exemplos:
1. Sendo z1 = 3 + 4i e z2 = –1 + 2i, determinarz1 + z2.
Solução:
2. Dados z1 = 3 + 6i, z2 = –2 – 5i e ,
calcule:
a) z1 + z2
b) z2 + z3
c) z1 + z2 + z3
Solução:
a) z1 + z2
(3 + 6i) + (–2 – 5i) = (3 – 2) + (6 – 5)i = 1 + i
b) z1 + z3
c) z1 + z2 + z3
22.2.1 Propriedades
A adição de números complexos goza das pro-priedades seguintes:
1. Associativa:
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3), ∀z1 ∈ , ∀z2 ∈
e ∀z3 ∈
2. Comutativa:
z1 + z2 = z2 + z1, ∀z1 ∈ e ∀z2 ∈
3. Elemento neutro:
0 = 0 + 0i é o elemento neutro da adição, poisz + 0 = 0 + z = z, ∀z∈ .
4. Oposto:
Todo complexo z = a + bi possui um oposto,–z = –a – bi, tal que z + (–z) = 0
22.3 Subtração de números complexos
Sejam os números complexos z1 = a + bi ez1 = c + di, com a, c, d ∈ lR. Então, temos:
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = a + bi – c – di ⇒
Exemplos:
1. Sendo z1 = 5 + i e z2 = –1 + 3i, calcularz1 – z2.
Solução:
2. Dados z1 = 1 + 2i, z2 = –3 – i e z3 = 5i,calcule:
a) z1 – z2
b) z1 + z2 – z3
Solução:
a) z1 – z2
b) z1 + z2 – z3
3. Calcular os reais x e y de modo que se verifiquea igualdade 2x + xi + 3y – yi – 2 = 0 .
Solução:
Igualando as partes reias e as partes imaginá-rias, temos:
96
UEA – Licenciatura em Matemática
1. Efetue:
a) (3 + 7i) + (2 – 6i)b) (3 – 4i) + (2 + 3i)c) (1 + 2i) – (1 + i)d) (3 – 5i) + (2 + 3i) – (1 – i)
2. Determine a parte real e a parte imaginária dosseguintes números complexos:
a) z = (5 + i) – (–2i)
b) z = (1 – i) + 2(3i – 4)
3. Determine os números reais x e y nas seguin-tes igualdades:
a) (2x – i) + (x – 2yi) = –2ib) –3yi – (2x + yi) = 1 – ic) (x + y) + (x – yi) = 0
d) (x – 3yi) – (2yi) = 3 – i
4. Dada a igualdade 1 +(x + y)i = 2y – x – 4i, emque i é a unidade imaginária, determine a rela-
ção , sendo x e y números reais.
5. Dados z1 = 2 + 5i, z2 = –6 + i, z3 = 1 – 3i ez4 = –2 – i, calcule:
a) z1 + z2
b) z3 + z4
c) z2 – z3
d) z1 – z4
e) z1 + z2 + z3 + z4
f) z1 – z2 – z3 – z4
6. Dados , cal-
cule:
a) z1 + z2
b) z2 – z3
c) z1 – z2 – z3
7. Dados ,
calcule:
a) z1 + z2
b) z3 – z1
c) z3 – z2 + z1
8. Calcule:
a) 4 + 2 –(–4 – 2i)
b) – 6 + 8i –(–6 – 8i)
c)
d)
9. Calcule:
a)
b)
c) (m + ni) – (–m + ni)
d) –(a + bi) + (a – bi)
10. Calcule:
a)
b)
c)
d)
11. Calcule os reais x e y nas igualdades:
a)
b)
12. Calcule os reais x e y na igualdade:
13. Calcule os reais x e y na igualdade:
97
Matemática Elementar IV – Números Complexos
TEMA 23
MULTIPLICAÇÃO, CONJUGADO E DIVISÃODE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMAALGÉBRICA
23.1 Multiplicação de números complexos na forma algébrica
Consideremos os números complexosz1 = a + bi e z2 = c + di, com a, b, c, d ∈lR. Assim:
Exemplos:
1. Sendo z1 = 2 – 3i e z2 = 1 + i, determinarz1 . z2.
Solução:
2. Dados z1 = 3 – 4i e z1 = 5 – i, calcular:
a) X = 3z1 – 2z2
b) Y = (z2)2
c) K = z1 – 2(z2)2
Solução:
a) X = 3z1 – 2z2
X = 3(3 – 4i) – 2(5 – i)
X = 9 – 12i – 10 + 2i
X = –1 – 10i
b) Y = (z2)2
Y = (5 – i)2 = 25 – 10i + i2
Y = 25 – 10i – 1 = 24 – 10i
c) K = z1 – 2(z2)2
K = 3 – 4i – 2(5 – i)2
K = 3 – 4i – 2(25 – 10i – 1)
k = 3 – 4i – 50 + 20i + 2 = –45 + 16i
3. Determinar o valor de A para que o produto(a + 2i)(3 – 2i) seja real.
Solução:
(a + 2i)(3 – 2i) = 3a – 2ai + 6i – 4i2
(a + 2i)(3 – 2i) = 3a – 2ai + 6i + 4
(a + 2i)(3 – 2i) = (3a + 4)+ (–2a +6)i
para que o produto seja real, devemos ter–2a + 6 = 0, ou seja, a = 3
4. Determinar os números reais x e y para que:2(x – yi) + (x + 3y)i = 1 – 2i.
Solução:
2(x – yi) + (x + 3y)i = 1 – 2i
2x – 2yi + xi + 3yi = 1 – 2i
2x + (–2y + x + 3y)i = 1 – 2i
2x + (y + x)i = 1 – 2i
e
5. Dado o número complexo z = 2 + 3i, calcule:
a) –z b) i . z c) z2 d) z3 e) z4
Solução:
a) –z = (–1) . z = (–1)(2 + 3i) = –2 – 3i
b) i . z = i(2 + 3i) = 2i + 3i2 =2i + 3(–1) = –3 + 2i
c) z2 = z . z = (2 + 3i)(2 + 3i) =4 + 6i + 6i + 9i2 = –5 + 12i
d) z3 = z2 . z = (–5 + 12i)(2 + 3i) =–10 – 15i + 24i + 36i2 = –46 + 9i
e) z4 = z2 . z2 = (–5 + 12i)(–5 + 12i) =25 – 60i – 60i + 144i2 = –119 – 120i
23.1.1 Propriedades
A multiplicação de números complexos gozadas propriedades seguintes:
1. Associativa:
(z1 . z2). z3 = z1 . (z2 . z3), ∀z1 ∈ , ∀z2 ∈ e ∀z3 ∈
2. Comutativa:
z1 . z2 = z2 . z1, ∀z1 ∈ e ∀z2 ∈ .
98
UEA – Licenciatura em Matemática
3. Elemento neutro:
1 = 1 + 0i é o elemento neutro da multipli-cação, pois z . 1 = 1 . z = z, ∀z ∈
4. Inverso:
Todo complexo não nulo z possui um inver-
so , tal que .
1. Sendo z1 = 2 – 2i e z2 = 1 + 3i, calcule:
a) z1 + z2 e) (z1)2
b) z1 – z2 f) (z2)2
c) z2 – z1 g) (z1)2 . (z2)2
d) z1 . z2 h) 2z1 – z2
2. Dado o produto (3x – i)(2 – 3i), determine o valorde x para que esse produto seja um númeroreal.
3. Mostre que o número (2 – 3i)(2 + 3i) é um nú-mero real.
4. Determine o valor de x para que (x – 3i)(2 + 6i)seja real.
5. Efetue:
a) (3 + i) . (7 – 3i)
b) (3 – 2i) . (1 + 2i)
c) (5 – 4i) . (5 + 2i) . i
d) (4 + i) . (1 + i) . (–2i)
6. Efetue:
a) (5 + i) . (5 – i) + (2 + i). i
b) (1 + i) . (1 – 2i) – (1 + i)2. i
c) i . (1 + i) + (1 + i) . (2 + i) – (2 + i). (3 + 2i)
7. Obtenha a parte real x e a parte imaginária y docomplexo x + yi = (1 + i) . i .(1 – 3i).
8. Calcule x e y reais de modo quex = yi . (2 + 3i) = 1 + 8i.
9. Efetue os produtos z1 = i(2 – 3i)(3 – 2i) ez2 = (1 + 2i)(2 + 3i)(1 – 2i)(2i + 3) e respon-da:
a) Qual deles é real?
b) Qual deles é imaginário puro?
10. Determine dois números complexos cuja somaé 4 e cujo produto é 29.
11. Obtenha dois números cuja soma seja -6 e cujoproduto seja 10.
12. Dados , calcule:
a) z1 . z2
b) z2 . z3
c) z1 . z3
d) z1 . z2 . z3
13. Dados ,
calcule:
a) z1 . z2
b) z2 . z3
c) z3 . z4
d) z4 . z2 . z1
14. Dados , calcule:
a) z1 . z2
b) z1 . z3
c) z2 . z3
15. Calcule:
a) i(2 + 3i)
b) –3i(–1 – 2i)
c) 2(3 – i) + i(–1 + 2i)
d)
16. Calcule:
a) (2 – 6i)(3 – i)
b)
c)
99
Matemática Elementar IV – Números Complexos
d)
17. Calcule:
a)
b)
18. Calcule:
a)
b)
19. Calcule os reais x e y em cada igualdade:
a)
b)
23.2. Conjugado de um número complexo
Dado um número complexo z = a + bi, deno-minamos conjugado de z ao número complexo
z– = a – bi
Exemplos:
1. Se z = 2 + 5i, então: z– = 2 – 5i
2. Se z = –4 + 2i, então: z– = –4 – 2i
3. Se z = 3i, então: z– = –3i
4. Se z = 2, então: z– = 2
Observação:
O conjugado de um número real é o próprionúmero.
5. Sendo z – 2z– = 3 + 2i, calcular z.
Solução:
Façamos z = a + bi, com a e b reais. Então, z– = a – bi.
Substituindo z e z– na expressão dada, temos:
z – 2z– = 3 + 2i ⇒ a + bi – 2(a – bi) = 3 + 2i ⇒a + bi – 2a + 2bi = 3 + 2i ⇒ –a + 3bi = 3 + 2i
Pela igualdade de dois números complexos,temos:
–a = 3 ⇒ a = –3
3b = 2 ⇒ b =
Portanto, o número procurado é: z = –3 + i
6. Determine o número complexo z tal que2z + iz– = 7 – i.Solução:
Fazendo z = a + bi e, portanto, z– = a – bi,temos:
2a + 2bi + ai + b = 7 – i ⇒ (2a + b) + i(2b + a) = 7 – iE então:
cuja solução é a = 5 e b = –3, logo z = 5 – 3i.
23.2.1 Propriedades do conjugado
Sejam z1, z2 e z3 números complexos quais-quer. Então, são válidas as seguintes proprie-dades:
1.
2.
3. z = z– ⇒ z ∈ lR4. , com n ∈ lN5. z= = z
1. Determine o conjugado dos seguintes núme-ros complexos:
a) z = 8 – ib) z = 1 – ic) z = 13d) z = 7ie) z = p – qi, sendo p e q reais
2. Determine o valor de z, com z ∈ , em cada ex-pressão:
a) 2z – z– = 3 – 6ib) z + 5z– = 6 + 16ic) z– – 2z = –2 +6id) 3z – 2z– = 5ie) z . z– + (z – z–) = 2 – 2i
3. Dados os complexos z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + i,verifique a validade das seguintes igualdades:
100
UEA – Licenciatura em Matemática
a)
b)
4. Sendo z =(4 + 3i) + (5 – 2i) – (11 – 7i),determine seu conjugado z–.
5. Sabendo que z = (2 + i)(3 + i)(4 + i), calculeseu conjugado z–.
6. Mostre que z = z– se, e somente se, z é real.
7. Calcule o número complexo z que satisfaz acondição (z – z– – 1)i + (z + z– – 2) = z.
8. Obtenha o número complexo z que verifica acondição z . z– + (z – z–) = 13 + 6i
23.3 Divisão de números complexos na forma algébrica
Sejam os números complexos z1 e z2, com z2 ≠ 0.
O número complexo é obtido multiplicando
o numerador e o denominador pelo conjugadodo denominador, isto é:
Exemplos:
1. Sendo z1 = 5 + 3i e z2 = 1 – 4i, calcular z1 ÷ z2.
Solução:
2. Colocar na forma a + bi a expresão:
.
Solução:
Colocando na forma a + bi
Fazendo o mesmo para
, logo,
3. Dado z = 2 + i, calcular .
Solução:
4. Determine x ∈ lR de modo que o número
complexo seja imaginário puro.
Solução:
Devemos ter 2 – 2x2 = 0 e –5x ≠ 0, portanto, re-solvendo a equação –2x2 + 2 = 0, obtemos x = 1 ou x = –1.
1. Calcule:
a) e)
b) f)
c) g)
d)
2. Coloque na forma a + bi as seguintes expres-sões:
101
Matemática Elementar IV – Números Complexos
a) b)
3. (UFBA) Existe um número real x tal que o
quociente é um número imaginário puro.
Determine o simétrico de x.
4. Dado z = 3 + 5i, determine o complexo z=.
5. Determine o valor de k, com k ∈ lR, para que
o número complexo seja:
a) real; b) imaginário puro.
6. Dado o complexo z = 2 + 5i, verifique se z + z–
é um número real.
7. Determine o número complexo z tal que
.
8. Divida 2 + i por 1 + i.
9. Calcule os quocientes:
a)
b)
c)
d)
10. Calcule o inverso de z em cada caso:
a) z = 4 – 3i
b) z = 12 + 5i
c) z = i
d) z = 1 + i
102
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE VIINúmeros complexos na forma trigonométrica
105
Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica
TEMA 24
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA, MÓDULO EARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
História
No fim do século XVIII, em 1797, um topógrafonorueguês, Caspar Wessel, entregou à Aca-demia Dinamarquesa de Ciências e Letras umaMemória, publicada em 1799, “Sobre a repre-sentação analítica da Direção” em que, pelaprimeira vez, foi apresentada uma representa-ção geométrica dos números complexos. Háqualquer coisa de novo, para além da idéia decoordenadas cartesianas, pois, na representa-ção a que acabamos de nos referir, todos oscomplexos da forma O + bi, isto é, todos osimaginários puros têm representação sobre oeixo Oy.
Mas o trabalho de Wessel foi esquecido duran-te um século e, só alguns anos depois, em1806, o suiço Jean-Robert Argand (1768-1822)criava, por sua vez, a mesma representação.
Foi o seu nome que ficou ligado a ela durantemuitas dezenas de anos.
Entretanto Gauss escreveu, numa carta datadade 1811:
“... da mesma maneira que se pode representar
todo o domínio das quantidades reais por meio
de uma linha recta indefinida, pode representar-
se o domínio complexo de todas as quantidades,
as reais e as imaginárias, por meio de um plano
indefinido; onde cada ponto determinado pela
sua abcissa a e pela sua ordenada b representa,
ao mesmo tempo, a quantidade a + bi.”
24.1 Representação geométrica de um número complexo
Entre os séculos XVIII e XIX, três obras sobre arepresentação geométrica dos número com-plexos foram publicadas: a de Caspar Wessel,a de Gauss e a de Argand.
Atualmente, essa representação é conhecidacomo Argand-Gauss.
Agora, observe, no gráfico, a representação do
número complexo z = a + bi, sendo a e bnúmeros reais:
O ponto P do plano denomina-se imagem ouafixo de z.
O eixo Ox, das abscissas, é chamado eixo real,e o eixo Oy, das ordenadas, é chamado eixoimaginário.
Podemo também indicar um número complexoz = a + bi como par ordenado, isto é, z = (a, b).
Exemplos
1. Representar no plano de Argand-Gauss os com-plexos:
z1 = 4 + 9i, z2 = 4i, z3 = –2 + 6i, z4 = 7 ez5 = 6 – 4i.Solução:
2. Colocar na forma algébrica o complexoz = (–2, 5).
Solução:
Sendo z = (–2, 5), então temos a = –2 e b = 5.Logo, z = –2 + 5i.
106
UEA – Licenciatura em Matemática
1. Represente em um único plano os pontos cor-respondentes aos seguintes números comple-xos:
z1 = –3 + 5i, z2 = –3i, z3 = 5, z4 = 7 – 2i,z5 = –4 e z6 = 5 + 3i
2. Coloque na forma algébrica os seguintes nú-meros complexos:
a) z1 = (–3, 1) b) z2 = (0, 3)
c) z3 = (4, –0) d) z4 = (–5, 0)
e) z5 = (–1, 1) f) z6 = (–2, –2)
3. Dado o número complexo z = 2 + 3i, repre-sente, no plano complexo de Argand-Gauss, osafixos de z, i . z, i2 . z e i3 . z.
4. Dado o número complexo z = –3 + 4i, repre-sente, no plano complexo de Argand-Gauss, osafixos de z, do seu conjugado z– e do seu opos-to –z.
5. Represente, no plano complexo, os afixos dez = –4 – 5i, do seu conjugado e do seu oposto –z.
6. Sendo z = 2i, represente, no plano complexo,os afixos z, iz, i2z e i3z.
7. Marque, no plano complexo, os afixos z, iz, i2z,i3z e i4z, sendo z = 3.
24.2 Módulo de um número complexo
Seja P o afixo do número complexo z = a + bi.Denomina-se módulo de z a distância de P àorigem (0, 0).
O módulo de z será indicado por |z| ou pelaletra grega ρ (rô).
Graficamente, temos:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triânguloretângulo, vem:
Portanto o módulo do número complexo z édado por:
Observação:
ρ é real não-negativo.
Exemplos:
1. Calcular os módulos de z1 = 3 + 4i, z2 = –3 + 4i,z3 = 4 – 3i e z4 = –4 –3i.
Solução:
Os afixos de z1, z2, z3 e z4 estão todos na cir-cunferência de centro O(0,0) e raio r = 5.
2. Calcular o módulo do número complexoz = –6i.
Solução:
Como z = –6i, temos a = 0 e b = –6. Daí:
3. Calcular o módulo do número complexoz = + i.
Solução:
107
Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica
24.2.1 Propriedades do módulo
• |z| ≥ 0
• |z1 . z2| = |z1 |.|z2|
• |z| = 0 ⇔ z = 0
•
• |zn| = |z|n
Exemplos:
1. Dado z1 = 3 + i, z2 = 1 + 2i e z3 = 3 + 4i, cal-cular:
a) |z1 . z2| b) c)
Solução:
a) =
b)
c)
Observação:
Se z = a + bi for real, ou seja, b = 0, temos:
Isto é, o módulo de z é igual ao módulo de a,noção já estudada no campo dos números reais.Por exemplo:
z = 5 ⇒ |z| = 5
z = –3 ⇒ |z| = 3
z = 0 ⇒ |z| = 0
1. Determine módulo dos seguintes númeroscomplexos:
a) z1 = 3 + 4ib) z2 = 2 – 2ic) z3 = 5id) z4 = 1 + 2ie) z5 = 2 + 3i
2. Dados z1 = 1 + 2i e z2 = 3 + i, calcule:
a) |z1 + z2| d)
b) |z1|+|z2| e) |z1|.|z2|
c) f) |z–2|
3. Calcule o módulo de cada um dos seguintesnúmeros complexos:
a) (1 – 2i)(3 – 2i)b) (4 + 3i)4
c)
4. Calcule o módulo dos seguintes números com-plexos:
a) 2 + 2 i e) 3ib) –3 + 4i f) –3ic) –12 – 5i g) 4
d) h) –
5. Calcule o módulo do número complexo z talque z = (2 – 7i) + (3 – 3i) – 2i.
6. Calcule o módulo do número complexo z talque z = (2 + 2i)(1 – i).
7. Determine o módulo do complexo .
8. Sendo , calcule |z|.
24.3 Argumento de um número complexo
Seja P o afixo do número complexo z = a + bi,representado no plano:
θ
108
UEA – Licenciatura em Matemática
Denomina-se argumento de z a medida doângulo θ, formado pelo segmento
⎯OP e pelo
eixo x, medido em radianos no sentido anti-horário, com 0 ≤ θ < 2π.
Então, temos:
e
Indicamos por arg(z) = θ (leia: argumento dezê igual a teta) .
Geometricamente, temos: Conhencendo e , determi-
namos um único valor de θ no intervalo 0 ≤ θ< 2π. Na figura abaixo, indicamos os “arcosnotáveis” do intervalo [0, 2π[ com seus respec-tivos co-senos e senos.
Exemplos
1. Representar, geometricamente, cada um dos se-guintes números complexos:
a) z1 = 5ib) z2 = –4ic) z3 = + iSolução:
a) z1 = 5i ⇒ z1 = 0 + 5iMódulo:
Sendo a = 0 e b = 5, temos:
(I)
e (II)
109
Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica
O ângulo , que satisfaz as con-
dições (I) e (II), é: .
b) z1 = 4i ⇒ z1 = 0 – 4i
Módulo:
Sendo a = 0 e b = –4, temos:
(I)
e
(II)
O ângulo satisfaz as condi-
ções (I) e (II).
Então, temos:
c)
Módulo:
(I)
e
(II)
O ângulo satisfaz as con-
dições (I) e (II).
Então, temos o seguinte gráfico:
2. Determinar o argumento de z = 1 + i.Solução:
Temos:
3. Determinar o argumento de z = – i.
Solução:
Temos:
1. Determinar o módulo ρ e o argumento θ decada um dos seguintes números complexos:
a) z1 = 2 – 2i b) z2 = 4i
c) z3 = –3 d) z2 = 1 + i
e) z5 = –3 – 3i
110
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 25
FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UMNÚMERO COMPLEXO
Vimos, anteriormente, que:
(I)
e
(II)
Substituindo (I) e (II) em z = a + bi, temos:
Portanto:
Essa expressão é a forma trigonométrica ouforma polar do número complexo z = a + bi,de módulo ρ e argumento θ.
Exemplos
1. Dar a forma trigonométrica dos seguintes nú-meros complexos:
a) z = – 1 + ib) z = –3iSolução:
a) z = – 1 + iTemos: a = – 1 e b = 1
Módulo:
Portanto
Graficamente, temos:
b) z = –3iTemos: a = 0 e b = –3
Módulo:
Temos ainda:
Portanto
Graficamente, temos:
2. Colocar z = 1 + i na forma trigonométrica.
Solução:
Temos: a = 1 e b = 1
Módulo:
Portanto
ou
3. Colocar z = – i na forma trigonométrica.
Solução:
Temos: a = e b = –1
Módulo:
Portanto
111
Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica
4. Escrever, na forma algébrica, o número complexo:
.
Solução:
O arco é do quarto quadrante. Então, temos:
Substituindo os valores encontrados na expres-são dada, vem:
5. Escrever, na forma algébrica, os seguintes nú-meros complexos:
e
.
Solução:
e
6. Escrever, na forma algébrica, os seguintes nú-meros complexos:
a)
b)
c)
Solução:
a)
b)
c)
1. Calcule o módulo, o argumento e escreva osseguintes números complexos na forma trigo-nométrica. Em seguida, represente-os no pla-no complexo, indicando na figura o módulo e oargumento.
a) z = 5 + 5i i) z = 3i
b) z = 1 – i j)
c) z = –2 + 2i k) z = – i
d) z = –1 – il)
e) z = 1 + i m)
f) z = + i n) z = 5
g) z = – i o) z = –5
h) z = 2i
112
UEA – Licenciatura em Matemática
2. Escreva na forma algébrica os seguintesnúmeros complexos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3. Dado z = 1 + i, escreva na forma trigo-nométrica os seguintes números complexos:
a) z= b) z2 c) z2 . z–
4. Dada a representação geométrica do afixo deum número complexo z, escreva-o na formatrigonométrica:
a) b)
5. Coloque na forma trigonométrica o complexo
.
6. Coloque na forma algébrica os complexos:
a) z1 = 2(cos 135º + isen 135º)
b) z2 = 30(cos 300º + isen 300º)
7. Escreva na forma trigonométrica o complexo ztal que z = (i + 1)+(i + 2)+(i – 3).
8. Escreva na forma trigonométrica o complexo ztal que z = (1 – 2i)(3 + 4i)+2i(1 + i).
9. Obtenha na forma trigonométrica, o complexo
z tal que .
TEMA 26
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO COMNÚMEROS COMPLEXOS NA FORMATRIGONOMÉTRICA
26.1 Multiplicação
Sejam os números complexos
z1 = ρ1 . (cos θ1 + i . sen θ1) e
z2 = ρ2 . (cos θ2 + i . sen θ2)
O produto desses dois números é dado por:
z1 . z2 = ρ1ρ2[(cos θ1 cos θ2 + isen θ2 cos θ2 +
+ isen θ1 cos θ2 – sen θ1 sen θ2)]
Então, temos:
z1 . z2 = ρ1ρ2[(cos θ1 cos θ2 – sen θ1 sen θ2 )+
+ i(sen θ1 cos θ2 + sen θ2 cos θ1)]
Sabendo que:
cos(θ1 + θ2 ) = cos θ1 cos θ2 – sen θ1 sen θ2
sen(θ1 + θ2 ) = sen θ1 cos θ2 + sen θ2 cos θ1
Concluímos:
z1 . z2 = ρ1 . ρ2 [cos(θ1 + θ2 ) + i . sen(θ1 + θ2 )]
Note que, para obter o módulo de z1 . z2, mul-tiplicamos os módulos de z1 e z2 e para obter oargumento de z1 . z2, somamos os argumentosde z1 e z2.
Exemplos
1. Dados
e ,
determinar z1 . z2.
Solução:
Temos:
ρ1 . ρ2 = 4 . 5 = 20
Portanto:
113
Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica
2. Sendo
e ,
calcule z1 . z2.Solução:
Temos:
ρ1 . ρ2 = 2
Portanto:
3. Sendo
e ,
calcule z1 . z2.
Solução:
Temos:
ρ1 . ρ2 = 3 . 2 = 6
Portanto:
4. Calcule o produto z1 . z2 com
e .
Solução:
Fazendo a interpretação geométrica desteproblema temos:
Em z1 . z2 houve uma rotação positiva a z1 deum ângulo igual ao ângulo de z2. Ou seja,
nesse caso, houve uma rotação de a z1.
Como o argumento de z1 era e z1 recebeu
uma rotação de , o produto z1 . z2 passa a ter
argumento igual a . Já o módulo de
z1 . z2 é 6, que corresponde a 2 . 3 ou |z1|.|z2|.
Observação:
Considerando o produto de n números com-plexos, temos:
Exemplo
Sendo ,
e ,
calcule z1 . z2 . z3.
Solução:
Temos:
Portanto:
1. Dados os números complexos
,
,
e
, calcule:
114
UEA – Licenciatura em Matemática
a) z1 . z2 f) z2 . z3 . z4
b) z1 . z3 g) z1 . z2 . z3 . z4
c) z1 . z4 h) (z4)2
d) z2 . z3 i) (z3)3
e) z1 . z2 . z3 j) (z1)3
2. Obtenha, na forma trigonométrica, o complexou . v, sendo dados u = i – 1 e v = i – .
3. Obtenha, na forma trigonométrica, o complexot . u . v, sendo dados t = 1 + i, u = i ev = –1 + i .
26.2 Divisão
Considere os números complexos:z1 = ρ1 . (cos θ1 + i . sen θ1) e
z2 = ρ2 . (cos θ2 + i . sen θ2).
Aplicando o raciocínio análogo ao da multipli-cação, chegaremos à expressão:
, com z2 ≠ 0.
Note que para obter o módulo de , dividi-
mos o módulo de z1 pelo módulo de z2.
Exemplos:
1. Dados
e ,
calcular .
Solução:
.
2. Calcule o quociente para
e
Solução:
1. Dados os números complexos
, e
, calcule:
a)
b)
c)
2. Dados os números complexos
e ,
calcule e .
115
Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica
TEMA 27
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMATRIGONOMÉTRICA
27.1 Potenciação
Considere o número complexo z = ρ . (cos θ + i . sen θ). Então, temos:
z2 = z . z = ρ2 . (cos 2θ + i . sen 2θ)
z3 = z2 . z ⇒ z3 = ρ3 . (cos 3θ + i . sen 3θ)
z4 = z3 . z ⇒ z4 = ρ4 . (cos 4θ + i . sen 4θ)
Generalizando, temos:
zn = ρn . (cos nθ + i . sen nθ).
Essa fómula é denominada primeira fómulade De Moivre.
Exemplos:
1. Dado , calcule z6.
Solução:
Aplicando a primeira fómula de De Moivre, te-mos:
Portanto
2. Dado o número , deter-
mine z7.
Solução:
Aplicando a primeira fómula de De Moivre, temos:
Escrevendo na forma algébrica, temos:
Logo, .
2. Calcular ( + i)10.
Solução:
Temos: ( + i)10 = z10.
Vamos passar o número complexo z = + ipara a forma trigonométrica.
Módulo:
A forma trigonométrica é .
Aplicando a primeira fómula de De Moivre, temos:
Portanto .
3. Determine o menor valor de n ∈ lN*, para o qual(2 i + 2)n é real positivo.
Passando o número complexo z = 2 i + 2para a forma trigonométrica:
Módulo:
A forma trigonométrica é .
Aplicando a primeira fómula de De Moivre, te-mos:
116
UEA – Licenciatura em Matemática
Para que zn seja real e positivo, devemos ter:
Como n ∈ lN*, fazemos:
:.
Logo, o menor valor de n ∈ lN* é 6.
Nesse caso, temos:
que é um número real positivo.
1. Dados
,
, z3 = 1 + i,
, e
, calcule:
a) (z1)4 e) (z5)3
b) (z2)8 f) (z6)4
c) (z3)6 g) (z3)100
d) (z4)9
2. Dado , calcule as potên-
cias:
a) z2 b) z6 c) z9 d) z12
3. Usando a fórmula de De Moivre, calcule as po-tências:
a) (1 – 3i)3 e) (1 + i)4
b) (3 – 3i)5 f) ( + i )9
c) ( + i )7 g)
d) (–1 – i)100 h) (– 3i)17
4. (UFMG) Determine o menor inteiro n, tal que( – i )n seja um número real negativo.
Abraham de Moivre nasceu no dia 26 demaio de 1667, em Vitry (próximo a Paris),França, e morreu no dia 27 de novembro de1754, em Londres, Inglaterra. Depois de passarcinco anos em uma academia protestante, emSedan, Moivre estudou lógica em Saumur, de1682 até as 1684. Ele foi, então, para Paris,estudando no Collège de Harcourt, e tendo au-las particulares de matemática com Ozanam.
Um protestante francês, Moivre emigrou paraa Inglaterra, em 1685, seguindo a revogação doÉdito de Nantes e a expulsão de Huguenots.Ele se tornou tutor particular de matemática eesperou por uma cadeira da matéria, mas nãoconseguiu, visto que os estrangeiros estavamem desvantagem. Em 1697, ele foi eleito ummembro da Sociedade Real.
Em 1710, Moivre foi designado à Comissãomontada pela Sociedade Real para revisar asreivindicações rivais de Newton e Leibniz de
quem seria o descobridor do cálculo. Suanomeação para esta Comissão foi devido àsua amizade com Newton. A Sociedade Realsoube a resposta que queria!
Moivre abriu caminho para o desenvolvimentoda geometria analítica e a teoria de probabi-lidade. Ele publicou A Doutrina de Chance em1718. A definição de independência estatísticaaparece neste livro junto com muitos problemascom dados e outros jogos. Ele também inves-tigou estatísticas de mortalidade e a fundaçãoda teoria de anuidades.
Em Miscellanea Analytica (1730), aparece afórmula de Stirling (injustamente atribuída aStirling) que Moivre usou em 1733 para deri-var a curva normal como uma aproximaçãopara a binomial. Na segunda edição do livro,em 1738, Moivre dá crédito a Stirling por umamelhoria para a fórmula.
Moivre é lembrado também pela sua fórmulapara (cos x + isin x)n que levou trigonometriaem análise.
Apesar da eminência científica de Moivre, asua renda principal estava no ensino da ma-temática, e ele morreu na pobreza. Ele, comoCardan, é afamado por predizer o dia da pró-pria morte. Ele achou que estava dormindo15 minutos a mais cada noite, e somando aprogressão aritmética, calculou que ele mor-reria no dia que dormisse durante 24 horas.Ele estava certo!
27.2 Radiciação
Considere o número complexo z, não-nulo, da-do na forma trigonométrica:
z = ρ . (cos θ + i . sen θ)
Denomina-se raiz n-ésima de z o número com-plexo , com n ∈ lN*, dado por:
W = r(cos θ + i . sen θ)
Então, temos:
⇒ Wn = z ⇒ rn(cos θ + i . sen θ) =
= ρ (cos θ + i . sen θ)
Dessa igualdade, obtemos:
e
Portanto:
,
com k ∈ e 0 ≤ k < n
Essa expressão é conhecida como segundafórmula de De Moivre.
Para k = 0, temos :
Para k = 1, temos:
..........................................................................
Para k = n – 1, temos:
Para k = n, temos: Wn = W0
A partir daí, para k = n + 1, k = n + 2, etc.,recairemos em valores já obtidos. Então, pode-mos concluir:
O número de raízes n-ésimas de um númerocomplexo z é igual a n.
Observações:
1. As n raízes do número complexo z têm omesmo módulo .
2. Como é constante, verifica-se que osafixos estão situados sobre uma mesma cir-cunferência de centro na origem e raio ,e dividem essa circunferência em n partesiguais.
3. Os n argumentos ϕ0, ϕ1, ϕ2,...., ϕn – 1, das nraízes, estão em progressão aritmética de
razão e cujo primeiro elemento é .
Temos , etc.
Exemplos:
1. Calcular as raízes cúbicas de i.
117
Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica
Solução:
Temos:
Para as raízes cúbicas (n = 3), temos:
Módulo :
Aplicando a segunda fórmula de De Moivre, asraízes cúbicas de i são:
• k = 0
• k = 1
• k = 2
Geometricamente,
Os afixos das raízes cúbicas de i estão numacircunferência de centro O(0,0), raio r = 1 e di-videm essa circunferência em três partes iguais.
2. Calcular as raízes cúbicas de –1 e representá-las geometricamente.
Solução:
Temos:
z = –1 ⇒ ρ = 1 e θ = π
Para as raízes cúbicas (n = 3), temos:
Módulo :
Aplicando a segunda fórmula de De Moivre, asraízes cúbicas de i são:
• k = 0
• k = 1
W1 = 1 . (cos π + i sen π) = –1
• κ = 2
Geometricamente, temos:
Observe que as raízes cúbicas de z = –1, re-presentadas no plano de Argand-Gauss, formamum triângulo eqüilátero inscrito em uma cir-cunferência de raio unitário e centro na origem.
3. Encontre as raízes quartas do número com-plexo 1 + i.
Solução:
118
UEA – Licenciatura em Matemática
Temos:
Para as raízes quartas (n = 4), temos:
Módulo :
Aplicando a segunda fórmula de De Moivre, as
raízes quartas de z são:
• k = 0
• k = 1
• k = 2
• k = 3
Geometricamente, as quatro raízes quartas es-
tão sobre uma circunferência de raio e di-
videm a circunferência em quatro arcos congru-
entes a , formando um quadrado de vér-
tices P0, P1, P2, e P3.
1. Determine as raízes quartas de 16.
2. Calcule as raízes cúbicas de –27i.
3. Calcule e represente geometricamente as raí-zes cúbicas de 8i.
4. Encontre as raízes quartas dos seguintes nú-meros complexos :
a) –1 d) –8 – 8 ib) –1 – i e) + ic) –i
5. Calcule e represente geometricamente as raí-zes cúbicas de –i.
1. (CEFET–PR) A expressão , na qual i
é a unidade imaginária, é igual a:
a) b)
c) 1 + 2i d) 1 – 2i
e)
2. (UFAL) seja o número complexo
z = i101+ i102+ i103+ i104+ i105+ i106.
Calculando-se z2, obtém-se:
a) –2i b) 2ic) –1 + i d) 2 – 2ie) –6 + 6i
119
Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica
3. (PUC–MG) O produto (a + bi)(3 + 2i) é um nú-mero real. O valor de 2a + 3b é:
a) –3
b) –2
c) 0
d) 2
e) 3
4. A forma de a + bi de é:
a) b)
c) d)
e)
5. A representação cartesiana dos números com-plexos 1 + 2i, –2 + i e –1 –2i são vértices deum quadrado. O quarto vértice desse quadra-do corresponde a:
a) 1 – i
b) 2 – i
c) 1 + i
d) 1 – 2i
e) –2 – 2i
6. (MACK–SP) O valor da expressão
é:
a) 1
b) i
c) –i
d) –1
e) –6 + 6i
7. (UF–BA) O número complexo z que satisfaz aigualdade é:
a) b)
c) d)
e)
8. (UEFS–92) O valor da expressão E = x–1 + x2,para x = 1 – i, é:
a) –3i
b) 1 – i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 - (3/2)i
e) 1/2 – (3/2)i
9. (UEFS–93) Simplificando-se a expressão
E = i7 + i5 + (i3 + 2i4)2, obtém-se:
a) –1 + 2ib) 1 + 2ic) 1 – 2id) 3 – 4ie) 3 + 4i
10. (UEFS–93) Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i),então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10
b) 5 e 10
c) 7 e 9
d) 5 e 9
e) 0 e -9
11. (UEFS–94) A soma de um numero complexo zcom o triplo do seu conjugado é igual a –8 – 6i.O módulo de z é:
a)
b)
c) 13
d) 7
e) 5
12. (FESP/UPE) Seja z = 1 + i , onde i é a unidadeimaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16 b) 161
c) 32 d) 32ie) 32+16i
13. (UCS–AL) Sabendo que (1+i)2 = 2i, então ovalor da expressão y = (1+i)48 – (1+i)49 é:
a) 1 + i b) –1 + i
120
UEA – Licenciatura em Matemática
c) 224 . i d) 248 . ie) –224 . i
14. (CESCEM–SP) O conjugado de vale:
a)
b) –
c) 1 + i
d)
e) (1 – i)–1
15. (UFS–SE) Se o número complexo z é tal queZ = 3 – 2i, então (z–)2 é igual a:
a) 5
b) 5 – 6ic) 5 + 12id) 9 + 4ie) 13 + 12i
16. (CESGRANRIO-RJ) Se , então
z + z– + z . z– vale:
a) 0 b) 1
c) –1 d) –
e)
17. (PUC–MG) O número complexo z, tal que5z + z– = 12 + 16i é igual a:
a) –2 + 2ib) 2 – 3ic) 1 + 2id) 2 + 4ie) 3 + i
18. (UEL–PR) O número complexo tem
módulo igual ao valor de:
a) sen 150º
b) cos 315º
c) sen 60º
d) tg 225º
e) sen 45º
19. (UFS–SE) O módulo de um número complexo
é igual a 2 , e seu argumento é igual a ;
a expressão algébrica deste número é:
a) 4 + 4ib) 2 + 2ic) –2 – 2id) – ie) + i
20. A forma trigonométrica do número complexoy = 4 + 4i é:
a) 8(cos 30º + isen 30º)
b) 8(cos 45º + isen 45º)
c) 8(cos 60º + isen 60º)
d) 8(cos 120º + isen 120º)
e) 8(cos 150º + isen 150º)
21. (FEI–SP) o módulo do número complexo
é:
a) b) 1
c) d)
e)
22. A forma algébrica do número complexo
é:
a) b)
c) d)
e)
23. (Unificado–RJ) Sejam z1 e z2 os números com-plexos z1 = 3(cos 30º + isen 30º) ez2 = 5(cos 45º + isen 45º). O produto de z1 por
121
Matemática Elementar IV – Numéricos Complexos na forma Trigonométrica
z2 é o número complexo:
a) 15(cos 1350º + isen 1350º)
b) 8(cos 75º + isen 75º)
c) 8(cos 1350º + isen 1350º)
d) 15(cos 15º + isen 15º)
e) 15(cos 75º + isen 75º)
24. (UNICAMP–SP) Dado o número complexo w = cos 60º + isen 60º, assinale a alternativaque corresponde à soma 1 + w + w2 + w3:
a) i
b) i
c) i
d) i
e) i
25. (UFPE) Considere o seguinte gráfico, que re-presenta o número complexo z = a + bi
Sabendo que o segmento⎯OZ mede duas uni-
dades de comprimento, assinale a alternativacorreta:
a) z = + i
b) z = + i
c) z = 1 + + i
d) z = + i
e) z = 1 – i
26. (ULBRA–RS) Sendo z = 1 + i na formaalgébrica, o valor de z5 é:
a) 16 b) 16 + i
c) d) 16 + 16i
e) 16 – 16i
27. (CESGRANRIO-RJ) Entre os complexos abai-xo, aquele que é uma raiz quadrada de
é:
a)
b)
c)
d)
e)
28. (FGV–SP) As raízes quadradas do número 3 + 4i onde, i representa a unidade imagináriasão:
a) {2 + 2i; –2 – i}
b) {1 + i; –1 – i}
c) {3 + i; –3 – i}
d) {4 + i; –4 – i}
e) n.d.a.
29. (UCS–BA) Considere o número complexo z, talque z6 = –64. O número z pode ser:
a) + i
b) 1 + i
c)
d)
e) –i
122
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE VIIIPolinômios
Matemática Elementar IV – Polinômios
TEMA 28
POLINÔMIOS
28.1 História
Originalmente, a história dos polinômios asso-cia-se à busca de solução para equações line-ares e quadráticas. O problema clássico de re-solver equações polinomiais é bastante antigoe influenciou muito o desenvolvimento da Ma-temática ao longo de vários séculos. Já na Me-sopotâmia, os babilônios encontraram um pri-meiro algoritmo que resultaria em uma equa-ção quadrática, embora não tivessem noção deequação. Nas culturas grega, hindu e árabe, osmatemáticos também lidavam implicitamentecom equações quadráticas.
Estamparia da Renascença, do frontispício
de um livro de Erasmo de Roterdam.
Durante o Renascimento, a Matemática passatambém a assumir um outro papel, mais apli-cada aos avanços da época. Em meados doséculo XV, deu-se um sensível aumento na pro-dução de trabalhos matemáticos. Para isso,contribuíram fatos relevantes, como a queda deConstantinopla, em 1453, as grandes navega-ções e o invento da impressão com tipos mó-veis, que possibilitaria a maior difusão das obras.
Com a contribuição de Johann Gensfleisch Gutemberg –
que inventou a composição com letras móveis de metal –
houve um aumento na produção e divulgação dos trabal-
hos matemáticos.
Como conseqüência desse período demudanças, o estudo matemático, no Renas-cimento, assumiu características de Mate-mática Aplicada, a qual passou a ser utilizadaem campos como arte, óptica, mecânica, car-tografia e contabilidade.
Somente no século XVI, as primeiras equaçõescúbicas foram resolvidas algebricamente pelomatemático Scipione del Ferro (1465–1526),que utilizou o conhecimento hindu de númerosnegativos. Nessa época, matemáticos comoNiccolo Tartaglia (1500–1557) e LudovicoFerrari (1522–1565) contribuíram para a res-olução das equações cúbicas e quadráticas,respectivamente. Mas somente em 1545,Gerônimo Cardano (1501–1576) publica ArsMagna com a resolução dessas equações,constituindo-se num marco importante para osalgebristas da época.
Cardano, médico e jogador, dedicou grandeparte da sua vida à álgebra e ao reconheci-mento da importância das raízes negativas,chamadas por ele de “fictícias”. Embora falas-se das raízes quadradas dos números nega-tivos, não chegou ao conceito dos imaginários.A continuidade desse seu estudo foi realizadapor Bombelli.
Os polinômios possuem diferentes aplicaçõesna Matemática, por exemplo, em aproximaçõesde funções que são usadas na teoria e prática
125
126
UEA – Licenciatura em Matemática
de computação, nos cálculos realizados em umamáquina de calcular.
Frontispício de uma edição (1529) de Rechenmeister, de Adam Riese, que representa uma
competição entre um algorista e um abacista. A algoritmia é uma c do cálculo e envolve a
aritmética e a álgebra. Os polinômios e as equações polinomi-ais são ferramentas fundamentais da álgebra.
28.2 Polinômios
Já estudamos, na Teoria das Funções, o binô-mio do 1.o grau f(x) = ax + b e o trinômio do 2.o
grau f(x) = ax2 + bx + c (ambos com a ≠ 0).
Essas expressões ax + b e ax2 + bx + c sãoos primeiros exemplos de polinômios que te-mos.
Então, P(x) = 2x – 3, Q(x) = –x + 4 são exem-plos de polinômios do 1.o grau na variável x, eP(x) = x2 – 4x + 6, Q(x) = x2 – 3 são exemplosde polinômios do 2.o grau na variável x.
De modo geral, as expressões redutíveis àforma:
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ....+ an–1xn–1 + anxn
(em que n é um número natural, a0, a1, a2, ..., an,são números quaisquer (ai ∈ , com i{0, 1, 2, 3, ..., n}), denominados coeficientes,e x uma variável do conjunto), tais expressõessão chamadas polinômios na variável x.
28.3 Grau de um polinômio
Se an ≠ 0, dizemos que n é o grau de P(x), eindicamos gr(P) = n.
Assim, o grau de P(x) é o maior dos expoentesde x com coeficiente não-nulo.
Por exemplo, no polinômio:
P(x) = (a – 1)x3 + 3x2 – 5x + 6
• se a ≠ 1, gr(P) = 3.
• se a = 1, gr(P) = 2.
28.4 Polinômio reduzido e ordenado
Observe, como exemplo, o polinômio
P(x) = 2x3 – 5x4 + 2x – 3x2 + x3 – 1 + 8x
P(x) apresenta termos semelhantes que podemser somados (2x3 e x3, 2x e 8x). Se escrever-mos P(x) com essas somas efetuadas e orde-narmos seus termos segundo potências cres-centes ou decrescentes de x, diremos que eleestá reduzido e ordenado.
28.5 Valor numérico de um polinômio
Consideremos o polinômio
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ....+ an–1xn–1 + anxn
e o número complexo. Substituindo x por α,obtemos o número complexo P(α), tal que:
P(x) = a0 + a1α + a2α2 + a3α3 +....+ an–1αn–1 + anαn
que é chamado de valor numérico de P(x) parax = α.
Por exemplo, sendo
P(x) = 2x3 – 5x2 + x – 2,
temos:
• para x = 3:
P(3) = 2 . 33 – 5 . 32 + 3 – 2
P(3) = 54 – 45 + 1
P(3) = 10
10 é o valor numérico de P(x) para x = 3.
• para x = –1:
P(–1) = 2 . (–1)3 – 5 . (–1)2 + (–1) – 2
P(–1) = –2 – 5 – 3
P(–1) = –10
–10 é o valor numérico de P(x) para x = –1.
• para x = 2:
P(2) = 2 . 23 – 5 . 22 + 2 – 2
P(2) = 16 – 20
P(2) = –4
–4 é o valor numérico de P(x) para x = 2.
Considere, agora,
127
Matemática Elementar IV – Polinômios
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +....+ an–1xn–1 + anxn
com an ≠ 0.
São de grande importância e utilidade os se-guintes resultados:
I. Se P(α) = 0, isto é:
a0 + a1α + a2α2 + a3α3 +....+ an–1αn–1 + anαn = 0
α é a raiz ou zero de P(x).
P(α) = 0 ⇔ α é a raiz de P(x)
Por exemplo, em P(x) = x4 – 3x2 + 5x – 14,temos:
P(2) = 24 – 3 . 22 + 5 . 2 – 14
P(2) = 16 – 12 + 10 – 14
P(2) = 0
Então, 2 é raiz (ou zero) de P(x).
II. Para x = 1, temos:
ou seja, em qualquer polinômio, P(1) represen-ta a soma dos coeficientes.
III. Para x = 0, temos P(0) = a0, ou seja, em qual-quer polinômio, P(0) é o seu termo indepen-dente.
P(0) = termo independente de P(x)
28.6 Polinômio identicamente nulo
Se todos os coeficientes de um polinômio P(x)são iguais a zero, dizemos que P(x) é um po-linômio identicamente nulo, e indicamos :
P(x) ≡ 0
(É evidente que, neste caso, P(x) assume o valorzero para todo x.)
Por exemplo, se P(x) = ax2 + bx + c ≡ 0, deve-mos ter a = b = c = 0.
É importante que você saiba que não se definegrau para o polinômio identicamente nulo.
Exemplos:
1. Dado P(x) = ax3 + 3x2 – bx2 + x3 + x – 8, discu-ta, segundo os valores de a e b, o grau de P(x).
Solução:
Vamos reduzir e ordenar o polinômio:
P(x) = ax3 + 3x2 – bx2 + x3 + x – 8
P(x) = (a + 1)x3 + (3 – b)x2 + x – 8
Então, temos:
• Se a + 1 ≠ 0, isto é, a ≠ –1, então gr(P) = 3.
• Se a = –1 e 3 – b ≠ 0, isto é, b ≠ 3, entãogr(P) = 2.
• se a = –1 e b = 3 então gr(P) = 1.
2. Calcule a soma dos coeficientes e o termo in-dependente do polinômio
P(x) = (x3 + 3x – 5)7
Solução:
Para determinar a soma dos coeficientes, bas-ta fazer x = 1:
P(1) = (13 + 3 . 1 – 5)7
P(1) = (1 + 3 – 5)7
P(1) = (–1)7
P(1) = –1
P(1) = (1 + 3 – 5)’ –(–1)’ = –1
Logo, Scoef = –1
Para determinar o termo independente, bastafazer x = 0:
P(0) = (03 + 3 . 0 – 5)7
P(0) = (–5)7
P(0) = –57
Logo, a0 = –57.
3. Determine k no polinômio
P(x) = 2x3 – x2 + (2 + k)x + 1
de modo que:
a) P(2) = 5
b) –2 seja raiz de P(x)
Solução:
a) P(2) = 5
P(2) = 2 . 23 – 22 + (2 + k) . 2 + 1
5 = 16 – 4 + 4 + 2k + 1
5 = 17 + 2k
2k = –12
k = –6
b) Se –2 é raiz de P(x), então
P(–2) = 0
128
UEA – Licenciatura em Matemática
P(–2) = 2 .(–2)3 – (–2)2 + (2 + k) . (–2) + 1
0 = –16 – 4 – 4 – 2k + 1
0 = –23 – 2k
2k = –23
4. Determine a e b de modo que o polinômio
P(x) = (a + b)x2 – a + 2b – 3 seja identicamen-te nulo.
Solução:
Para que P(x) ≡ 0, devemos ter todos os seuscoeficientes nulos:
a + b = 0 e –a + 2b – 3 = 0
Resolvemos, então, o sistema:
----------------------3b – 3 = 0
b = 1
Substituindo o valor de b primeira equação,vem: a = –1.
1. Dê o grau de cada um dos polinômios na variá-vel x:
a) P(x)=x4 –3x5+7x3–2x2+5x+3x5+2x4 – 8+x – 1
b) R(x) = ax3 + 3x2 + 5x – 1
c) Q(x) = ax2 + 3x – 5 + 8 + 6x – 3x2
d) A(x) = x3 – 3x2 + 5x + 3x2 – x3 + 1
e) B(x) = 0x2 + 0x + 7
f) R(x) = ax2 + bx + c
2. Determine a soma S dos coeficientes e o termoindependente (t) dos polinômios:
a) P(x) = (x2 + 7x – 8)2
b) P(x) = (2x + 1)(3x – 4)(7x2 – 1)
c) P(x) = (x – 1)13 + (x2 + 1)5
d) P(x) = (x3 + 1)(x3 – 2) – (x – 3)3
3. a) Dado P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6, calcule P(1),P(–1), P(2) e P(–2).
b) Dos elementos do conjunto {1; –1; 2; –2},quais são raízes do polinômio dado no item a?
c) Dado P(x) = x3 + (k – 1)x2 + 8x + k, deter-mine k de modo que P(1) = 10.
d) No polinômio do item c, determine k de mo-do que P(–3) = 20.
e) No polinômio do item c, determine k de mo-do que 2 seja raiz.
f) No polinômio do item c, determine k de mo-do que –1 seja raiz.
g) Determine a e b em P(x) = ax + b de modoque P(2) = 7 e P(–1) = –2.
h) Determine a e b em P(x) = 2x3 – ax + b demodo que P(1) = 5 e –2 seja raiz.
4. a) Determine a, b e c para que
A(x) = (a – 1)x3 + (b + 2)x2 + (c + 1)x sejaidênticamente nulo.
b) Sendo
P(x) = (a + b + c)x2 + (a – b –3c)x + c – 4 ≡ 0,determine a, b e c.
129
Matemática Elementar IV – Polinômios
TEMA 29
POLINÔMIOS IDÊNTICOS E OPERAÇÕESCOM POLINÔMIOS
29.1 Polinômios Idênticos
Dois polinômios A(x) e B(x) são idênticos (in-dica–se A(x) ≡ B(x)), quando todos os coe-ficientes de A(x) são iguais aos corresponden-tes coeficientes de B(x).
A(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +....+ an–1xn–1 + anxn
B(x)= b0 + b1x + b2x2 + b3x3 +....+ bn–1xn–1 + bnxn
A(x) ≡ B(x) ⇔ ai = bi, ∀i∈ {0, 1, 2, 3,...,n}.
Por exemplo, se A(x) = ax3 + bx2 + cx + de B(x) = 5x2 – 7x + 8, para que A(x) ≡ B(x)devemos ter:
a = 0, b = 5, c = –7 e d = 8
(É claro que, sendo idênticos, A(x) e B(x) têmvalores numéricos iguais para todo x.)
Exemplos:
1. Determine a e b para que se tenha:
(a + b –2)x2 + (a – 2b – 3)x + 5 ≡ x2 + 6x + 5.
Solução:
Para que a identidade se verifique, devemos ter:
---------------------3b + 1 = –5
b = –2
a = 5
2. Escreva o binômio 2x+4 na forma (x+a)2 – (x+b)2.
Solução:
Devemos ter (x + a)2 – (x + b)2 ≡ 2x + 4. Então:
x2 + 2ax + a2 – (x2 + 2bx + b2) ≡ 2x + 4
x2 + 2ax + a2 – x2 – 2bx – b2 ≡ 2x + 4
(2a – 2b)x + a2 – b2 ≡ 2x + 4
Daí temos:
Multiplicando a equação (i) por , temos:
Observe que a2 – b2 = (a + b)(a – b), logo
Vamos substituir (i) em (ii) e adicioná-las:
---------------2a = 5
Portanto podemos escrever:
1. a) Determine a, b e c para que se tenha
b) Determine a, b e c para que a identidade
se verifique.
c) Determine a e b para que se tenhaA(x) ≡ B(x), sendo
A(x) = (2a + b + 1)x2 + 3x + a – b + 4 eB(x) = –x2 + 3x – 3.
d) Determine a para que se tenha
(x + a) (x2 – 3) ≡ x3 + a2 x2 – 3x – 3a.
2. a) Escreva o binômio 6x – 15 na forma(x + a)2 – (x + b)2.
b) Escreva o binômio 8x + 8 na forma(x + a)2 – (x – b)2.
130
UEA – Licenciatura em Matemática
c) Escreva a fração polinomial naforma
d) Escreva a fração polinomial na
forma
29.2 Adição e subtração
A soma de dois ou mais polinômios é o polinô-mio cujos coeficientes são obtidos adicionan-do-se os coeficientes dos termos que apresen-tam o mesmo grau. E a diferença é feita de for-ma análoga, ou seja, o polinômio cujos coefici-entes são obtidos subtraindo-se, numa certaordem, os coeficientes dos termos que apre-sentam o mesmo grau.
Vamos relembrar com exemplos. Considere osseguintes polinômios:
• P1(x) = 2x3 – x2 + 4x + 1
• P2(x) = x3 – 2x2 + 2x – 1
• P3(x) = x2 – 3x + 2
29.2.1 Adição
P1(x) + P2(x) =
= (2x3 – x2 + 4x + 1)+(x3 – 2x2 + 2x – 1)
Eliminamos os parênteses e fazemos a redu-ção dos termos semelhantes.
= 2x3 – x2 + 4x + 1 + x3 – 2x2 + 2x – 1
P1(x) + P2(x) = 3x3 – 3x2 + 6x
29.2.2 Subtração (diferença)
P1(x) – P3(x) = (2x3 – x2 + 4x + 1) – (x2 – 3x + 2)
Eliminamos os parênteses e fazemos a redu-ção dos termos semelhantes.
= 2x3 – x2 + 4x + 1 – x2 + 3x – 2
P1(x) – P3(x) = 2x3 – 2x2 + 7x – 1
29.3 Multiplicação
Para se obter o produto de dois polinômios,faremos, inicialmente, a multiplicação de cadatermo de um deles, por todos os termos dooutro (propriedade distributiva dos númeroscomplexos). Posteriormente, faremos a adiçãodos resultados.
Observe o exemplo:
Considere os seguintes polinômios:
• P1(x) = 2x3 – x2 + 4x + 1
• P2(x) = x3 – 2x2 + 2x – 1
• P3(x) = x2 – 3x + 2
Vamos multiplicar P1(x) por P3(x) e fazer [P3(x)]2.
Resolução:
a) P1(x) . P3(x) =
= (2x3 – x2 + 4x + 1).(x2 – 3x + 2)
Aplicamos a propriedade distributiva da mul-tiplicação e reduzimos os termos semelhan-tes.
= 2x3 . (x2 – 3x + 2) – x2 . (x2 – 3x + 2)++ 4x . (x2 – 3x + 2) + 1 . (x2 – 3x + 2)+
= 2x5 – 6x4 + 4x3 – x4 + 3x3 – 2x2
+ 4x3 – 12x2 + 8x + x2 – 3x + 2
P1(x) . P3(x) = 2x5 – 7x4 + 11x3 – 13x2 + 5x + 2
b) [P3(x)]2 = (x2 – 3x + 2)2
= (x2 – 3x + 2) . (x2 – 3x + 2)
= x2.(x2 – 3x+2)– 3x.(x2 – 3x+2)+2.(x2 – 3x+ 2)
= x4 – 3x3 + 2x2 – 3x3 + 9x2 – 6x + 2x2 – 6x + 4
[P3(x)]2 = x4 – 6x3 + 13x2 – 12x + 4
Exemplo:
Determine o polinômio P(x) do 2.o grau tal queP(0) = 3 e P(x) – P(x + 1) ≡ 2x.
Solução:
Seja P(x) = ax2 + bx + c
Devemos, inicialmente, ter P(0) = 3.
P(0) = a . 02 + b . 0 + c
P(0) = c ⇒ c = 3
Então, escrevemos P(x) = ax2 + bx + 3.Equacionemos, agora, P(x) – P(x + 1) ≡ 2x(lembrando que P(x + 1)obtém-se substituin-do-se, em P(x), x por x + 1).
ax2 + bx + 3 – [a(x + 1)2 + b(x + 1) + 3] ≡ 2x
ax2 + bx + 3 – [ax2 + 2ax + a + bx + b + 3] ≡ 2x
ax2 + bx + 3 – ax2 – 2ax – a – bx – b – 3 ≡ 2x
–2ax – a – b ≡ 2x
131
Entao:
Portanto o polinômio pedido é:
P(x) = ax2 + bx + 3.
P(x) = –x2 + x + 3.
1. a) Determine o polinômio P(x) do 2.o grau talque P(0) = 5 e P(2) ≡ 15x2 – 3x.
b) Determine o polinômio P(x) do 2.o grau talque P(0) = –1 e P(x + 1) – P(x) ≡ 6x + 1.
c) Determine o polinômio P(x) do 2.o grau talque P(0) = 0 e P(x + 1) – P(x – 1) ≡ 2x.
2. Calcule m e n de modo que sejam idênticos ospolinômios:
(x2 – 3x + 3)(mx + n) e 2x3 – 2x2 – 6x + 12
TEMA 30
DIVISÃO DE POLINÔMIOS (PARTE I)
30.1 Introdução
Observe as duas contas de divisão entre nú-meros naturais:
Evidentemente, a conta da direita está incor-reta, apesar de verificar a condição:
(Dividendo) = (divisor) . (quociente) + (resto)
17 = 3 . 5 + 2 17 = 3 . 4 + 5
Isso ocorre porque, na divisão de naturais, nãobasta que a condição acima fique satisfeita. Énecessário, você lembra, que o resto seja menorque o divisor.
Assim, são duas condições que devem ser satis-feitas na divisão entre os naturais a e b (b ≠ 0):
(i) a = b . q + r(ii) r < b
(r ∈ IN e q ∈ IN)
(r ∈ IN e q ∈ IN)a = b . q + rr < b
Há uma grande similaridade entre a divisão denaturais e a divisão de polinômios (não apenasna definição, mas também no mecanismo dedividir).
Observe:
Dados os polinômios A(x) e B(x), B(x) não nulo,dividir A(x) por B(x) é determinar dois poli-nômios Q(x) e R(x) (chamados quociente e resto,respectivamente), que satisfaçam as duas con-dições:
(i) A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x)
(ii) gr(R) < gr(B)
Vamos, agora, fazer a divisão de polinômiosestudando alguns métodos de resolução.
Matemática Elementar IV – Polinômios
132
UEA – Licenciatura em Matemática
30.2 Método da chave
Vamos ver esse método por meio dos exem-plos a seguir.
1. Vamos dividir P(x) = 6x3 – 13x2 + x + 3 por D(x) = 2x2 – 3x – 1.
• Tanto o dividendo P(x) como o divisor D(x)estão ordenados segundo as potências de-crescentes de x. Caso não estivessem, de-veríamos, inicialmente, ordená-los dessemodo.
6x2 – 13x2 + x + 3
• Dividimos o primeiro termo do dividendo 6x3
pelo primeiro termo do divisor 2x2, obtendo,assim, o primeiro termo do quociente 3x.
6x2 – 13x2 + x + 3
• Multiplicamos o quociente obtido pelo di-visor 2x2 – 3x – 1 e obtemos o produto: 6x3 – 9x2 – 3x, que será subtraído do divi-dendo.
Subtrair 6x3 – 9x2 – 3x do dividendo é equi-valente a somar com o polinômio oposto.
• A divisão encerra-se quando o grau do res-to for menor que o grau do divisor. Comoisso ainda não ocorreu, devemos prosseguira divisão, considerando, agora, o resto–4x2 + 4x + 3 como novo dividendo, eprocedendo como nos itens anteriores.
• Agora, o grau do resto é menor que o graudo divisor, logo a divisão está encerrada.Obtivemos para quociente Q(x) = 3x – 2, epara resto R(x) = – 2x + 1.
2. Agora, vamos dividir o polinômio P(x) = 4x3 + 3x + 18 por D(x) = 2x + 3.
Como o polinômio P(x) é incompleto, ele será
escrito na forma completa e, a seguir, proce-demos como no exemplo anterior.
1. Calcule o quociente da divisão de:3x3 + 17x2 + 7x – 2 por 3x + 2.
2. Determine o resto da divisão de:2x4 + 9x3 + x2 – 15x + 6 por x2 – 3x + 2.
3. Determine o resto da divisão de: x4 – 3x2 + 8x + 5 por x2 – x + 2.
4. Divida 6a3 +7a2 – 8a – 5 por 3a2 + 2x – 5; aseguir, determine o valor numérico do
quociente para a = – .
133
TEMA 31
DIVISÃO DE POLINÔMIOS (PARTE II)
31.1 Método dos coeficientes a determinar (ou de Descartes)
Quando temos a divisão de P(x) por D(x), obte-mos a seguinte identidade de polinômios:
Por meio dessa identidade, podemos determi-nar um desses polinômios, conhecendo-se osdemais. Esse método é chamado de métododos coeficientes a determinar ou método deDescartes.
Vejamos alguns exemplos de aplicação dessemétodo.
1.
Solução:
• gr(Q) = gr(P) – gr(D) ⇒ gr(Q) = 3 – 2 = 1
O polinômio quociente é de grau 1 e, por-tanto, da forma: Q(x) = ax + b (a ≠ 0)
• gr(R) < gr(D), ou seja, gr(R) < 2, portanto oresto é da forma R(x) = cx + d.
Então:
Para que se verifique a identidade devemos ter:
logo, Q(x) = 3x – 2 e R(x) = –2x + 1.
2. Vamos obter o quociente e o resto da divisão deP(x) = 2x4 – 5x3 – 2x + 4 por D(x) = x3 + x + 1,usando o método de Descartes.
Solução:
gr(Q) = gr(P) – gr(D) ⇒ gr(Q) = 4 – 3 = 1 egr(R) < gr(D), ou seja, gr(R) < 3.
Façamos Q(x) = ax + b e R(x) = cx2 + dx + e.
Então, temos:
Portanto:
Logo, Q(x) = 2x – 5 e R(x) = –2x2 + x + 9.
1. Determine o quociente e o resto da divisão dex4 + 5x2 – 27 por x2 + x – 3.
2. Aplicando o método de descartes, dê o quo-ciente da divisão de:3x5 + 2x4 + 7x3 – x2 + 3x – 2 por 3x3 – x2 + 2x – 1.
3. Divida o polinômio 18x3 + 3x2 – 28x – 12 por(3x + 2)2. Subtraia x – 2 do quociente encon-trado. Qual o resultado obtido?
31.2 Divisão de um polinômio por um binômiodo 1.o Grau
Observe o que ocorre com o resto da divisãode um polinômio P(x) por um binômio do tipo(x + b).
Como o divisor x + b tem grau 1, o resto R(x)tem grau zero ou é nulo e, portanto, R(x) é umaconstante.
Então, temos: P(x) ≡ (x + b) . Q(x) + R
Calculando o valor de P(x) para x = –b, temos:
P(–b) = (–b + b) . Q(b) + R
P(–b) = R
Matemática Elementar IV – Polinômios
134
UEA – Licenciatura em Matemática
Então, obtemos uma importante conclusão:
O resto da divisão de um polinômio P(x) por(x + b) é o valor numérico de P(x) para x = –b.
Assim, por exemplo, o resto da divisão de
P(x) = 2x3 – 4x2 + 2x – 1 por (x + 2) é:
P(–2) = 2(–2)3 – 4(–2)2 + 2(–2) – 1
P(–) = –16 – 16 – 4 – 1
P(–2) = –37
O resto da divisão de P(x) por (x – 3) é P(3),pois (x – 3) = [x + (–3)]’. Então, o resto é:
P(3) = 2 . 33 – 4 . 32 + 2 . 3 – 1
P(3) = 54 – 36 + 6 – 1
P(3) = 23
Vamos generalizar esse resultado consideran-do a divisão de um polinômio P(x) por umbinômio da forma (ax + b).
Quando dividimos um polinômio P(x) pelobinômio do 1.o grau ax + b, já vimos que o restoé uma constante. Então, temos:
P(x) ≡ (ax + b) . Q(x) + R
Calculando o valor de P(x) para , obte-
mos:
Com isso, provamos o seguinte teorema:
Teorema do resto:
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelobinômio ax + b é igual ao valor numérico de
P(x) para .
Exemplo:
Vamos calcular o resto da divisão de:
a) 2x3 – 5x2 + 4x – 4 por 2x – 3
Resolução:
b) 5x3 – 11x2 + 3x – 2 por x – 2
R = 5(2)3 – 11(2)2 + 3(2) – 2
R = 0
Do teorema do resto, temos como conseqüên-cia o teorema de D’Alembert:
Um polinômio P(x) é divisível pelo polinômio
ax + b se, e somente se,
Assim, por exemplo, o polinômio
P(x) = 2x3 – 5x2 + 4x – 4 é divisível por x – 2,pois P(2) = 2(2)3 – 5(2)2 + 4(2) – 4 = 0
Exemplos:
1. Vamos verificar se o polinômio P(x) = x3 – 4x2 – 11x + 30 é divisível porB(x)= x2 – 7x + 10.
Solução:
Observe que x2 – 7x + 10 = (x – 2)(x – 5). Paraque P(x) seja divisível por B(x), devemos terP(x) divisível por (x – 2) e por (x – 5).
P(2) = 23 – 4 . 22 – 11 . 2 + 30
P(2) = 8 – 16 – 22 +30
P(2) = 0
Logo, P(x) divisível por (x – 2).
P(5) = 53 – 4 . 52 – 11 . 5 + 30
P(2) = 125 – 100 – 55 + 30
P(2) = 0
Portanto, P(x) divisível por (x – 5).
Logo, P(x) é divisível por B(x).
2. Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 6,e dividido por (x – 3) dá resto 2. Vamos calcularo resto da divisão de P(x) por (x + 1)(x – 3).
Solução:
Temos (x + 1)(x – 3) = x2 – 2x – 3. O divisor éum polinômio do 2.o grau, portanto o resto éum polinômio cujo grau é no máximo 1, isto é,o resto é da forma ax + b.
Isso nos leva a P(x) ≡ (x2 – 2x – 3) Q(x) + R(x)
P(x) ≡ (x + 1)(x – 3)Q(x) + ax + b
Então:
P(–1) = (–1 + 1)(–1 – 3)Q(–1) + a(–1) + b
P(–1) = –a + b = 6
P(3) ≡ (3 + 1)(3 – 3)Q(3) + a(3) + b
P(3) = 3a + b = 2
Resolvemos o sistema:
a = –1 e b = 5.
Logo, R(x) = –x + 5.
1. Aplicando o teorema do resto, calcule o restoda divisão de 5x3 – 3x2 + 4x – 3 por x – 2.
2. Qual o resto da divisão de 2x4 – 3x3 + 5x2 – 2x + 1por 2x – 1?
3. Verifique se o polinômio de P(x)= x3 – 3x2 – 6x + 1é divisível por 3x + 2.
4. Determine m e n de modo que o polinômiox4 + mx3 – 3x2 – nx + 6 seja divisível por (x – 1) e (x + 2).
5. Um polinômio P(x), quando dividido por (x – 4),dá resto 2, e quando dividido por (x + 3), dáresto –5. Qual o resto da divisão por (x – 4) . (x + 3)?
TEMA 32
DIVISÃO DE POLINÔMIOS (PARTE III)
32.1 Dispositivo de Briot–Ruffini
A divisão de um polinômio P(x) por um binômioda forma (x – a) também pode ser feita utilizan-do-se o dispositivo de Briot–Ruffini.
Acompanhe o exemplo para ver como esse dis-positivo funciona.
Vamos dividir o polinômio P(x) = 5x4 – 3x2 + x – 1 pelo binômio (x – 2).
Identificando (x – a) com (x – 2), temos que a = 2.
As setas indicam os passos do dispositivo deBriot a serem seguidos.
Coeficientes de P(x) ordenados segundo aspotências decrescentes de x
Cálculo: 5 . 2 + 0 = 10
Cálculo: 10 . 2 +(–3) = 17
Cálculo: 17 . 2 + 1 = 35
Cálculo: 35 . 2 + (–1) = 69
135
Matemática Elementar IV – Polinômios
136
UEA – Licenciatura em Matemática
Na última linha do dispositivo, temos os núme-ros 5, 10, 17, 35 e 69. O último deles (69) é oresto da divisão. Os outros são os coeficientesdo quociente Q(x) que tem grau 3.
Logo, o quociente é:Q(x) = 5x3 + 10x2 + 17x + 35;o resto é R = 69.
Exemplos:
1. Vamos dividir o polinômio 3x3 – 5x2 + 2x – 3por x + 3.
Solução:
Temos: x + 3 = x – (–3) ⇒ a = –3
Cálculos:
3.(–3) – 5 = –14
–14.(–3) + 2 = 44
44 .(–3) – 3 = –135
Logo, o quociente é Q(x) = 3x2 – 14x + 44, e oresto é R = – 135.
2. Vamos verificar se P(x) = x4 – x3 – 4x2 + 16x – 24é divisível por (x – 2) . (x + 3).
Solução:
Em primeiro lugar, calculamos o resto da divi-são de P(x) por (x – 2). Se o resultado for zero,calculamos o resto da divisão do quociente obti-do por (x + 3).
Logo, P(x) é divisível por (x – 2) . (x + 3).
1. Aplicando o dispositivo de Briot–Ruffini, determi-ne o quociente e o resto de P(x) por D(x) nosseguintes casos:
a) P(x) = 5x4 – 14x3 + 10x2 – 7x + 7 eD(x) = x – 2.
b) P(x) = x5 – 4x4 – 3x3 – 11x2 + 7x – 10 eD(x) = x – 5.
c) P(x) = x3 – 5 e D(x) = x + 1.
d) P(x) = x4 – 9 e D(x) = x + 3.
2. Determine p para que o polinômio
P(x) = 3x3 – 4x2 + px + 3 seja divisível por x – 1.
POLINÔMIOS
1. (CEFET–PR) Os valores de A e B de forma que
são, respectivamente:
a) 1 e –2 b) –1 e –2
c) –1 e 2 d) 1 e 2
e) –2 e –1
2. (UF–PA) Dos polinômios abaixo, qual o únicoque pode ser identicamente nulo?
a) a2 . x3 + (a – 1)x2 – (7–b)x
b) (a + 1)x2 + (b2 – 1)x + (a – 1)
c) (a2 + 1)x3 – (a – 1)x2
d) (a – 1)x3 – (b + 3)x2 + (a1 – 1)
e) a2 x3 – (3 + b) x2 – 5x
3. (UNIFOR–CE) Dados os polinômios p, q e r degraus 2, 4 e 5, respectivamente, é verdade queo grau de p + q + r :
a) não pode ser determinados;
b) pode ser igual a 2;
c) pode ser igual a 4;
d) pode ser menor que 5;
e) é igual a 5.
4. (PUC–BA) Se os polinômios x2 – x + 4 e (x – a)2 + (x + b) são idênticos, então a + b éigual a:
a) 0 b) 1
c) 2 d) 3
e) 4
137
5. (PUC–MG) Se com x ≠ 0
e x ≠ –1, é correto afirmar que o produto A.B éigual a:
a) –3 b) –2
c) 0 d) 2
e) 3
6. (UEPG–PR) Os valores de a e b que tornamidênticos os polinômios P1(x) = x2 – x – 6 eP2(x) = (x + a)2 – b são, respectivamente:
a) 1 e 7 b) –1 e –5
c) –1 e 7 d) 1 e 5
e) –1/2 e 25/4
7. (UEL – PR) – Sendo f, g e h polinômios degraus 4, 6 e 3, respectivamente, o grau de(f + g).h será:
a. 9 b. 10
c. 12 d. 18
e. 30
8. (UFRS)–Se P(x) é um polinômio de grau 5,então o grau de [P(x)]3 + [P(x)]2 + 2P(x) é:
a) 3 b) 8
c) 15 d) 20
e) 30
9. (CEFET–PR) Se A(x – 3)(x – 2) + Bx( x – 3 ) +Cx(x – 2) = 12, então:
a. A = 2; B = 1 e C = –3;
b. A = 2; B = –6 e C = 4;
c. A = 2; B = 0 e C = –2;
d. A = 2; B = 1; C qualquer;
e. Não existem valores reais de A, B e C.
10. (UF–PR) Se os polinômios P(x) = 4x4 – (r + 2)x3 – 5 e Q(x) = sx4 + 5x3 – 5são idênticos, então r3 – s3 é:
a. 279 b) –343
c. –407 d) –64
e. –279
11. (PUC–BA) Dado o polinômio P(x) = x3 – 2x2 + mx – 1, onde m ∈ lR e sejaP(a) o valor de P para x = a. Se P(2) = 3.P(0),então P(m) é igual a:
a) –5 b) –3
c) –1 d) 1
e) 14
12. (UEL–PR) Sejam os polinômios f = 2x3 – 3x2 + 3;g = x2 + 3 e h = x3 – 2x2. Os números reais ae b, tais que f = a.g + b.h, são, respectiva-mente:
a) –2 e –1 b) –2 e 1
c) –1 e –2 d) 1 e –2
e) 1 e 2
13. (PUCC–SP) Dado o polinômio P(x) = xn + xn–1 +...+ x2 + x + 3, se n for ímpar,então P(–1) vale:
a) –1 b) 0
c) 2 d) 1
e) 3
14. (PUC–SP) O polinômio P(x) = (x – 1).(x – 2)2.(x – 3)3 .(…).(x – 10)10 temgrau:
a) 10 b) 10!
c) 102 d) 110
e) 55
15. (UF–BA) O polinômio P(x) = (C2
m – 1)x2 + (Amn – 20)x + (p – 8)! – 2 é
identicamente nulo, se mnp é:
a) 10 b) 20
c) 50 d) 80
e) 100
16. (FUVEST–SP) Um polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c satisfaz as seguintescondições: P(1) = 0; P(–x) + P(x) = 0, qual-quer que seja x real. Qual o valor de P(2)?
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5
e) 6
17. (UFV–MG) Para que o polinômio de segundograu P(x) = ax2 – bx + c seja o quadrado dopolinômio Q(x) = dx + e, é necessário que:
Matemática Elementar IV – Polinômios
138
UEA – Licenciatura em Matemática
a) b2 = 4c b) b2 = 4ac
c) b2 = 4a d) b2 = 4a2c
e) b2 = 4a2
18. (UMPA) – Sejam P(x) e Q(x) dois polinômios degrau n. Se p é o grau de P(x) + Q(x),temos:
a) p < n b) p ≤ n
c) p = n d) p ≥ n
e) p > n
19. (VUNESP–SP) Sabe–se que a soma dos n pri-meiros termos da sucessão ak = k.(k + 1), k = 1, 2, 3,... é um polinômio degrau 3. Esse polinômio é:
a) b)
c) d) 3n3–n
e) n3
POLINÔMIOS – OPERAÇÕES
1. (UF–MG) O quociente da divisão de P(x) = 4x4 – 4x3 + x – 1 por q(x) = 4x3 +1 é:
a) x – 5 b) x – 1
c) x + 5 d) 4x – 5
e) 4x + 8
2. (UF–PE) Qual o resto da divisão do polinômiox3 – 2x2 + x + 1 por x2 – x + 2 ?
a) x + 1 b) 3x + 2
c) –2x + 3 d) x – 1
e) x – 2
3. (CEFE–PR) O quociente da divisão de P(x) = x3 – 7x2 +16x – 12 por Q(x) = x – 3 é:
a) x – 3 b) x3 – x2 + 1
c) x2 – 5x + 6 d) x2 – 4x + 4
e) x2 + 4x – 4
4. (UNICAMP–SP) O resto da divisão do polinômioP(x) = x3 – 2x2 + 4 pelo polinômio Q(x) = x2 – 4 é:
a) R(x) = 2x – 2 b) R(x) = –2x + 4
c) R(x) = x + 2 d) R(x) = 4x – 4
e) R(x) = –x + 4
5. (PUC–PR) O resto da divisão de x4 – 2x3 + 2x2 + 5x + 1 por x – 2 é:
a) 1 b) 20
c) 0 d) 19
e) 2
6. (PUC–BA) O quociente da divisão do polinô-mio P = x3 – 3x2 + 3x – 1 pelo polinômio q = x – 1 é:
a) x b) x – 1
c) x2 – 1 d) x2 – 2x + 1
e) x2 – 3x + 3
7. (UEM–PR) A divisão do polinômio 2x4 + 5x3 – 12x + 7 por x – 1 oferece o seguinteresultado:
a) Q = 2x3 + 7x2 + 7x – 5 e R = 2
b) Q = 2x3 + 7x2 – 5x + 2 e R = 2
c) Q = 2x3 + 3x2 – 3x – 9 e R = 16
d) Q = 2x3 + 7x2 – 5x + 2 e R = 0
e) Q = 2x3 + 3x2 – 15x + 22 e R = 2
8. (CESGRANRIO–RJ) O resto da divisão de 4x9 + 7x6 + 4x3 + 3 por x + 1 vale:
a) 0 b) 1
c) 2 d) 3
e) 4
9. (UF–RS) A divisão de p(x) por x2 + 1 tem quo-ciente x – 2 e resto 1. O polinômio P(x) é:
a) x2 + x – 1
b) x2 + x + 1
c) x2 + x
d) x3 – 2x2 + x – 2
e) x3 – 2x2 + x – 1
10. (UF–SE) Dividindo-se o polinômio f = x4 pelopolinômio g = x2 – 1, obtém-se quociente eresto, respectivamente, iguais a:
139
a) x2 + 1 e x + 1 d) x2 – 1 e –1
b) x2 – 1 e x + 1 e) x2 + 1 e 1
c) x2 + 1 e x – 1
11. (FATEC–SP) Se um fator do polinômio P(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2 é Q(x) = x2– 3x + 1,então o outro fator é:
a) x – 2 b) x + 2
c) –x – 2 d) –x + 2
e) x + 1
12. (CESCEM–SP) Dividindo x3 – 4x2 + 7x – 3 porum certo polinômio P(x), obtemos como quo-ciente x – 1 e resto 2x –1. O polinômio P(x) éigual a:
a) 2x2 – 3x + 2 b) x2 – 3x + 2
c) x2 – x + 1 d) 2x2 – 3x + 1
e) n.d.a.
13. (UFU–MG) Dividindo–se um polinômio f por (x – 3), resulta um resto (–7) e um quociente (x – 4) . O polinômio é:
a) 2x
b) x + 4 / x – 4
c) 2x2 – x + 14
d) x2 – 14x + 33
e) x2 – 7x + 5
14. (S. CASA–SP) Dividindo–se um polinômio f porx2 – 3x + 1 obtém–se quociente x + 1 e resto2x + 1. O resto da divisão de f por x + 1 é:
a) –2 b) –1
c) 3 d) 2x – 1
e) 2x + 1
15. (UF–PA) O polinômio x3 – 5x2 + mx – n é divisí-vel por x2 – 3x + 6 . Então, os números m e nsão tais que m + n é igual a:
a) 0 b) 12
c) 24 d) 18
e) 28
16. (UF–GO) Se o polinômio x3 + kx2 – 2x + 3 édivisível pelo polinômio x2 – x + 1, então o quo-ciente é:
a) x – 3 b) x + 3
c) x – 1 d) x + 1
e) x + 2
17. (UFPA) Sejam P e Q dois polinômios de grau ne m respectivamente. Então, se r é o grau de R,resto da divisão de P por Q , temos:
a) r = n/m b) r = n – m
c) r ≤ m d) r < m
e) r < n – m
18. (EESCU–SP) – Seja Q o quociente e R o restoda divisão de um polinômio A por um polinô-mio B . Então, quando A é dividido por 2B:
a) quociente é 2Q e o resto 2R;
b) quociente é Q/2 e o resto R/2;
c) quociente é Q/2 e o resto é R;
d) quociente é 2Q e o resto R;
e) quociente é 2Q e o resto R/2.
19. (PUC–PR) O resto da divisão de P(x) = 3x3+4x2 –2x+1 por x+1 é :
a) 2 b) 4
c) –1 d) 0
e) 5
20. (PUC–SP) O resto da divisão do polinômioP(x)= x4–2x3+x2–x+1 por x+1 é:
a) 3 b) 4
c) 7 d) 5
e) 6
21. (UNESP–SP) Indique o resto da divisão
.
a) 32 b) 30
c) –60 d) 28
e) 62
22. (CESGRANRIO–RJ) O resto da divisão do poli-nômio x100 por x+1 é:
a) x–1 b) x
c) –1 d) 0
e) 1
Matemática Elementar IV – Polinômios
140
UEA – Licenciatura em Matemática
23. (FGV–SP) O resto da divisão de 5x2n – 4x2n+1 – 2(n é natural) por x+1 é igual a:
a) 7 b) 8
c) –7 d) 9
e) –9
24. (UF–RN) Se o polinômio f(x)= 3x2+7x–6K édivisível por x–3, então K é igual a:
a) 2 b) 3
c) 5 d) 7
e) 8
25. (PUC–SP) Qual é o resto da divisão de x31+31por x+1?
a) 0;
b) 1;
c) 30x;
d) 31;
e) um polinômio de grau 30.
26. (UF–RS) O resto da divisão de p(x)= x3+ax2–x+a por x–1 é 4. O valor de a é:
a) 0 b) 1
c) 2 d) 4
e) 6
27. (UFCE) Se x2+px–q é divisível por (x+a),então:
a. a2=ap b. a2+pa=q
c. a2–q=ap d. p–q=a
e. nda
28. (UEL–PR) O valor de K para que o polinômiop(x)= kx2+kx+1 satisfaça a sentença p(x) –x = p(x–1) é :
a) –1/2 d) 1
b) 0 e) 3/2
c) 1/2
29. (UF–PA) Sabendo-se que os restos das divi-sões de x2+px+1 por x–a e x+2 são iguais,então o valor de p é:
a) –2 b) –1
c) 0 d) 1
e) 2
30. (UEPG–PR) Sabendo-se que o polinômioP(x)= 6x3+ax2+4x+b é divisível por D(x)= x2+4x+6, então a+b vale:
a) 8 b) –32
c) –8 d) 32
e) 64
31. (UEL–PR) Se o resto da divisão do polinômiop= x4–4x3–kx2–75 por (x–5) é 10, o valor de k é:
a) –5 b) –4
c) 5 d) 6
e) 8
32. (PUC–BA) Dividindo-se um polinômio f por8x2+1 obtém-se quociente 3x–1 e resto 4x–2.Qual é o resto da divisão de f por x–1
a) 22 b) 20
c) 10 d) –2
e) –10
33. (PUC–PR) O resto da divisão de f(x)= xn–an porg(x)= x–a, é:
a) 0; d) 2an, se n for par;
b) 1; e) 2an, se s for ímpar.
c) –a;
34. (FGV–P) Para que o polinômio P(x)= x3–8x2+mx–n seja divisível por (x+1). (x–2), m.n deve ser igual a :
a) –8 d) 8
b) 10 e) –6
c) –70
35. (UF–PE) Seja p(x) um polinômio com coefici-entes reais. Assinale a alternativa certa para oresto da divisão de p(x) por x2–5x+6, sabendo-se que p(2)= 2 e p(3)= 3:
a) 2x+1 d) x–2
b) x+1 e) x
c) x–3
36. (PUC–SP) O resto da divisão do polinômiop(x)= (x–1). (x–2).(...).(x–n)+b pelo polinômiog(x)= x é:
a) b d) (–1)n n!
b) (–1)n b e) (–1)n n! + b
c) n! + b
UNIDADE IXEquações Algébricas
Matemática Elementar IV – Equações algébricas
TEMA 33
Equações algébricas
33.1 Introdução
Equação polinomial ou algébrica na incógnitax é toda equação do tipo P(x) = 0, onde
P(x) = anxn + an–1xn–1+....+ a3x3 + a2x2 + a1 + a0
sendo n ∈ lN e an, an–1,...., a3, a2, a1 e a0
números complexos. O maior expoente de xde coeficiente não-nulo é o grau da equação.
São exemplos de equações algébricas:
a) 5x3 – 3x2 + 2x – 1 = 0, que é uma equaçãopolinomial do 3.o grau na incógnita x.
b) 3y4 – 5y2 + 1 = 0, que é uma equação po-linomial do 4.o grau na incógnita y.
33.2 Raiz de uma equação algébrica
Dizemos que o número complexo z é raiz daequação P(x) = 0 se, e somente se, P(z) = 0.Como exemplo, vamos verificar quais númerosdo conjunto A ={1, 2, 3, i} são raízes da equa-ção x3 – x2 – 14x + 24 = 0.
a) Para x = 1, temos:
13 – 12 – 14 . 1 + 24 = 1 – 1 – 14 + 24 = 10
Logo 1 não é raiz.
b) Para x = 2, temos:
23 – 22 – 14 . 2 + 24 = 8 – 4 – 28 + 24 = 0
Logo 2 é raiz.
c) Para x = 3, temos:
33 – 32 – 14 . 3 + 24 = 27 – 9 – 42 + 24
x = 0
Logo 3 é raiz.
d) Para x = i, temos:
i3 – i2 – 14 . i + 24 = –i + 1 – 14i + 24 = 25 – 15i
Logo i não é raiz.
Vejamos como encontrar as raízes de algumasequações do 3.o grau, tendo como universo oconjunto dos números complexos e usando afatoração.
1. x3 – 7x2 + 12x = 0
Resolução:
Como não há termo independente, podemos co-locar x em evidência, assim:
x3 – 7x2 + 12x = 0
x(x2 – 7x + 12) = 0
x = 0 ou x2 – 7x + 12 = 0
Resolvendo a equação x2 – 7x + 12 = 0,encontramos x = 3 ou x = 4.
Logo, as raízes complexas dessa equação são0, 3 e 4.
2. x3 – 5x2 + 14x – 20 = 0
Resolução:
Fatorando o polinômio do 1.o membro, temos:
x2(x – 5) + 4(x – 5) = 0
(x – 5)(x2 + 4) = 0
Resolvendo as equações obtidas, temos:
• x – 5 = 0 ⇒ x = 5
• x2 + 4 = 0 ⇒ x2 = –4 ⇒ x ± 2i
Logo, as raízes complexas dessa equação são5, –2i e 2i.
1. A equação x3 + 2x2 – 5x – 6 = 0 tem três raízesque pertencem ao conjunto {–3, –1, 1, 2}.Quais são elas?
2. Quais dos números – 2, – 1, 1, 2, – i e i sãoraízes da equação x4 – 3x3 + 3x2 – 3x + 2 = 0?
3. Ache o valor de k de modo que a equaçãox5 + kx4 – 2x2 + 8 = 0 tenha o número – 2 comoraiz.
4. Resolva as equações abaixo, sendo o conjun-to dos números complexos o universo.
a) 2x3 + 10x = 0b) x3 – 9x2 + 18x = 0c) x3 + 2x2 – 9x – 18 = 0d) x4 + x3 – 7x2 – x + 6 = 0
143
144
UEA – Licenciatura em Matemática
33.3 Decomposição de um polinômio em um produto de fatores do 1.o grau.
Para as equações algébricas, é válida a se-guinte propriedade, demonstrada pelo mate-mático CarI Friedrich Gauss em sua tese dedoutorado, em 1799, que ficou conhecida comoteorema fundamental da álgebra.
Toda equação algébrica de grau (n ≥ 1) possuipelo menos uma raiz complexa.
Considerando
P(x) = anxn + an–1xn–1+....+ a3x3 + a2x2 + a1x+ a0
e com base no teorema fundamental da ál-gebra, temos:
a) Se z1 é raiz da equação P(x) = 0, então,dividindo P(x) por x – z1, encontramos oquociente Q1(x) e o resto P1(z1) = 0. Logo,podemos escrever a equação:
P(x) = (x – z1) . Q1(x) = 0 na qual x – z1 = 0ou Q1(x) = 0, sendo que Q1(x) tem grau n – 1.
b) Se z2 é raiz da equação Q1(x) = 0, então,dividindo Q1(x) por x – z2, encontramos oquociente Q2(x) e o resto Q2(z2) = 0. Logo,podemos escrever a equação:
P(x) = (x – z1) . (x – z2) . Q2(x) = 0 na qualx – z1 = 0, x – z2 = 0 ou Q2(x) = 0, sendoque Q2(x) tem grau n – 2.
Procedendo dessa maneira, tantas vezesquantas for o grau da equação P(x) = 0, che-garemos a:
P(x) = an(x – z1) . (x – z2) . (x – z3)...(x – zn)
o que nos permite concluir que:
Toda equação algébrica de grau n (n ≥ 1)admite n raízes complexas.
Exemplos:
1. Vamos escrever o polinômio P(x) = x3 – 3x2 – 10x + 24 na forma fatorada,sabendo que uma da raízes é 2.
Resolução:
Se 2 é raiz de P(x), então P(x) é divisível por x – 2 . Daí: P(x) = (x – 2) . Q(x).
Aplicando o dispositivo de Briot–Ruffini, vamos
dividir P(x) por x – 2:
Logo, Q(x) = x2 – x – 12.
Resolvendo a equação x2 – x – 12 = 0, encon-tramos as raízes – 3 e 4. Logo, as raízes de P(x)são –3, 2 e 4; assim, a decomposição de P(x) é:
P(x) = an(x – z1) . (x – z2) . (x – z3)P(x) = 1.[x – (–3)] . (x – 2) . (x – 4)P(x) = (x + 3) . (x – 2) . (x – 4)
2. Vamos resolver a equação polinomial
x4 – 5x3 + 10x2 – 10x + 4 = 0, sabendo queduas de suas raízes são 1 e 2.
Resolução:
Como 1 e 2 são raízes da equação, podemosescrever:
P(x) = (x – 1)(x – 2) . Q(x) = 0.
Para achar Q(x), vamos dividir P(x) por x – 1 e,a seguir, dividir o resultado obtido por x – 2:
Logo, Q(x) = x2 – 2x + 2.
Para encontrarmos as outras raízes, devemosresolver a equação:
x2 – 2x + 2 = 0
∆ = (–2)2 – 4 . 1 . 2
∆ = –4
Logo, o conjunto solução é S = {1, 2, 1 – i, 1 + i}.
1. Fatore o polinômio x3 – 8x2 + 4x + 48, saben-do que P(6) = 0.
2. Fatore o polinômio P(x)=x4 –2x3 – 10x2 + 10x –75,sabendo que duas de sua raízes são 3 e –5.
3. Fatore o primeiro membro da equação x4 – 16 = 0 e determine suas quatro raízes.
4. Fatore o primeiro membro da equação x3 – x2 + 10x – 10 = 0 e determine suas raízes.
Nieis Henrik Abel (1802 – 1829)
E o que fazemos com a equação do quinto grau?
Passaram-se aproximadamente três mil anospara ir das equações de primeiro ou segundograu às equações de terceiro e quarto graus.Foi necessário que transcorressem mais unstrezentos anos para que a equação de quintograu fosse compreendida, [...] Viète resolveuequações de terceiro grau por redução ao se-gundo grau, e equações de quarto grau porredução ao terceiro grau. Tanto Euler quantoLagrange (1770) tentaram encontrar reduçõescorrespondentes para a equação do quintograu. Paolo Ruffini (1799) mostrou que a es-tratégia de Lagrange não podia levar ao resul-tado.
Foi o norueguês Nieis Henrik Abel que resol-veu este importante problema em 1824. Co-mo ele mesmo diz:
Os matemáticos têm-se ocupado muito, ten-tando encontrar soluções gerais de equaçõesalgébricas, e são muitos os que têm tentadomostrar que é impossível. Se não me engano,
ainda não tiveram êxito. [...] É impossívelresolver a equação geral do quinto grau porradicais.
Conseqüentemente: também é impossível re-solver por radicais equações de graus maio-res que cinco.
Mais tarde, Abel perguntou-se se tambémera impossível averiguar quais as equaçõesde quinto grau que podiam ser solucionadas.Este problema foi resolvido em 1831, porÉvariste Galois. Penetrar nos pensamentosde Abel e Galois leva-nos à álgebra moderna[...] algo que ultrapassa nosso tema ele-mentar. [...]
Fonte: Reproduzido de BEKKEN, Otto B. Equaçães de Ahmes
até Abel. Trad. José Paulo Guimarães Carneiro. Rio de Janeiro,
Universidade Santa Úrsula/GEPEM,1994.
145
Matemática Elementar IV – Equações algébricas
146
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 34
MULTIPLICIDADE DAS RAÍZES E RAÍZESCOMPLEXAS
34.1 Multiplicidade de uma raiz
Ao fatorarmos um polinômio P(x), pode acon-tecer que um fator (x – z) apareça exatamentem vezes. Dizemos, então, que o número z é araiz de multiplicidade m do polinômio P(x) ouda equação P(x) = 0
Assim, no polinômio
P(x) = x4 (x – 2)3 (x + 1)2 (x – 5), dizemos que:
• o número zero é a raiz de multiplicidade 4(ou raiz quádrupla);
• o número 2 é raiz de multiplicidade 3 (ouraiz tripla);
• o número –1 é raiz de multiplicidade 2 (ouraiz dupla);
• o número 5 é raiz de multiplicidade 1 (ouraiz simples).
Exemplos:
1. Dada a equação algébrica (x – 5)(x + 3)4(x – 1)2=0, vamos determinar oque se pede.
Resolução:
a) O grau da equação
Somando os graus de cada fator, obtemoso grau da equação: 1 + 4 + 2 = 7
Logo, o grau é 7.
b) O conjunto solução nos complexos
(x – 5)(x + 3)4(x – 1)2 = 0
x – 5 = 0 ⇒ x = 5
(x + 3)4 = 0 ⇒ x + 3 = 0 ⇒ x = –3
(x – 1)2 = 0 ⇒ x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Logo, o conjunto solução é:
S = {–3, 1, 5}
c) A multiplicidade da raiz –3
A raiz –3 tem multiplicidade quatro, pois opolinômio x + 3 aparece quatro vezes naforma fatorada da equação.
2. Vamos verificar qual é a multiplicidade da raiz2 na equação x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8 = 0.
Resolução:
Devemos dividir o polinômio do 1.o membro daequação por x – 2 o quociente encontrado porx – 2, o novo quociente por x – 2, e assim pordiante, até obtermos um resto diferente de zero,ou todos os restos nulos.
Logo, 2 é raiz de multiplicidade 3.
3. Vamos resolver a equação x4 – 10x3 + 32x2 – 38x + 15 = 0, sabendo que1 é raiz de multiplicidade 2.
Resolução:
Se 1 é raiz de multiplicidade 2, então podemosescrever: P(x) = (x – 1)2 . Q(x)
Para obtermos Q(x), devemos dividir P(x) por(x – 1) duas vezes seguidas:
Logo, Q(x) = x2 – 8x + 15.
Resolvendo a equação Q(x) = 0, encontramosas outras raízes: 3 e 5.
Logo, o conjunto solução é: S = {1, 3, 5}.
1. Na equação 3(x + 2)3 (x – 5)2 (x + 4) = 0, dê amultiplicidade da raiz:
a) –4 b) –2 c) 5
2. Determine a multiplicidade:
a) da raiz 5 na equação polinomialx4 – 14x3 + 60x2 – 50x – 125 = 0
b) da raiz 1 na equação polinomial
x4 – 5x3 + 9x2 – 7x + 2 = 0.
147
Matemática Elementar IV – Equações algébricas
34.2 Raízes complexas
Teorema:
Se um número complexo z = a + bi (b ≠ 0) éraiz de uma equação algébrica de coeficientesreais, então o conjugado de z, z– = a – bi, tam-bém é raiz da equação.
Demonstração:
Seja P(x) = 0 uma equação com raiz z = a +bi com b ≠ 0. Para demonstrar o teorema,basta que P(x) seja divisível por (x – z–).
Dividindo P(x) por (x – z) . (x – z–), obtemos umquociente Q(x) e um resto R(x) = px + q.Assim, temos:
P(x) = (x – z)(x – z–) Q(x) + R(x)
P(x) = (x – z)(x – z–) Q(x) + px + q
Calculando P(z), temos:
P(z) = (z – z)(z – z–) Q(x) + pz + q = 0
pz + q = 0 ⇒ p(a + bi) + q = 0
pa + q + pbi = 0
Temos, então, p = 0; substituindo na primeiraequação do sistema, temos q = 0, portantoR(x) = 0. Assim, temos P(x) divisível por z–, logoz– é raiz de P(x) = 0.
Conseqüências do teorema
1.a) Se uma equação algébrica de coeficientes reaisadmite a raiz z = a + bi (b ≠ 0) de multipli-cidade m, então admite também como raiz oconjugado z– = a – bi de mesma multiplicidade.
2.a) Toda equação algébrica de coeficientes reais egrau ímpar admite pelo menos uma raiz real,pois o número de raízes não-reais é semprepar.
Exemplos:
1. Vamos ver qual é o menor grau que pode teruma equação de coeficientes reais que admitaas raízes 2, 3i e 1 + i.
Resolução:
A equação algébrica terá no mínimo 5 raízes:2, 3i, – 3i, 1 + i, 1 – i.
Logo, o menor grau da equação é 5.
2. Vamos resolver a equação x4 – 4x3 + 12x2 + 4x – 13 = 0, sabendo queuma de suas raízes é 2 – 3i.
Resolução:
Se 2 – 3i é raiz da equação, então 2 + 3i tam-bém é raiz.
Portanto:
P(x) = [x – (2 + 3i)].[x – (2 – 3i)].Q(x) = 0
P(x) = [x2 – 4x + 13).Q(x) = 0
Dividindo P(x) por x2 – 4x + 13, encontramosQ(x) = x2 – 1.
Para obtermos as outras raízes, devemos ter:x2 – 1 = 0 ⇒ x = ±1
Logo, S {–1, 1, 2 – 3i, 2 + 3i}
1. Qual o menor grau de uma equação que tem 4, 2 + 3i e 1 + i por raízes.
2. Encontre uma equação de menor grau possí-vel que tenha por raízes 2 e 1 + 5i.
3. Resolva a equação x4 – 5x3 + 5x2 + 25x – 26 = 0,sabendo que 3 + 2i é uma de suas raízes.
4. A equação x3 – x2 + 2x – 2 = 0 tem duas raízescomplexas não-reais. Quais são essas raízes?
148
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 35
RAÍZES RACIONAIS
35.1 Introdução
A seguinte propriedade possibilitar-nos-á de-terminar todas as raízes racionais de uma equa-ção algébrica de coeficientes inteiros.
Se com p e q primos entre si é uma raiz
racional da equação algébrica de coeficientesinteiros anxn + an–1xn–1+....+ a2x2 + a1x + a0 = 0,
então p é divisor de a0 e q é divisor de an (coman ≠ 0 e a0 ≠ 0)
Demonstração:
Sejam p e q inteiros, primos entre si eP(x)= anxn + an–1xn–1+....+ a2x2 + a1x + a0 = 0,uma equação algébrica de coeficientesinteiros.
Fazendo x = , temos:
Multiplicando os dois membros da igualdadepor qn, temos:
anxn + an–1xn–1+....+ a1pqn–1 + a0qn = 0
Isolando a0qn no 2º membro, vem:
anpn + an–1pn–1q+....+ a1pqn–1 = –a0qn
Dividindo os dois membros por p, temos:
No 1.o membro, os números p, q, n e os coe-ficientes são números inteiros, portanto o 1.o
membro representa um número inteiro.
Então, a0qn é múltiplo de p e, como p e q sãonúmeros primos entre si, qn não é múltiplo dep, ou seja, p é divisor de a0.
De modo análogo, podemos provar que an émúltiplo de q, isto é, que é divisor de an.
Exemplo:
Vamos resolver a equação
6x4 – 11x3 – 6x2 + 9x – 2 = 0
Solução:
A equação tem coeficientes inteiros.
Como a0 = –2 e p é divisor de a0 temos que
p ∈{±1, ±2}.
Como an = 6 e q é divisor de an., temos que
q∈{±1, ±2, ±3, ±6}.
Dividindo p por q, obtemos as possíveis raízes
racionais da equação dada:
Primeiro, vamos determinar as raízes inteiras,
se existirem. Observe que elas são divisores do
termo independente. Achando o valor numérico
do polinômio do 1.o membro da equação para
as possíveis raízes inteiras, temos:
P(–2) = 6(–2)4 – 11(–2)3 – 6(–2)2 + 9(–2) – 2
P(–2) = 140 ⇒ –2 não é raiz.
P(–1) = 6(–1)4 – 11(–1)3 – 6(–1)2 + 9(–1) – 2
P(–1) = 0 ⇒ –1 é raiz.
P(1) = 6(1)4 – 11(1)3 – 6(1)2 + 9(1) – 2
P(1) = –4 ⇒ 1 não é raiz.
P(2) = 6(2)4 – 11(2)3 – 6(2)2 + 9(2) – 2
P(2) = 0 ⇒ 2 é raiz.
Dividindo P(x) por (x + 1).(x – 2), temos:
P(x) = (x + 1).(x – 2)Q(x)
Logo, Q(x) = 6x2 – 5x + 1.
Igualando Q(x) a zero, temos 6x2 – 5x + 1= 0.
Resolvendo essa equação, encontramos as
outra raízes: , .
Logo,
149
1. Determine as possíveis raízes inteiras da equa-ção 6x4 – 4x3 + 15x2 – x + 4 = 0.
2. Quais as possíveis raízes fracionárias positivasda equação 6x3 – 13x2 + x + 2 = 0?
3. Resolva as equações seguintes:
a) x3 – 2x2 + 9x + 18 = 0
b) 2x3 + 5x2 – 9x – 18 = 0
c) 6x4 – x3 – 25x2 + 4x + 4 = 0
4. Uma piscina tem a forma de um paralelepípe-do retângulo. Suas dimensões, expressas emmetros, são 2a, a + 1 e a – 3. Calcule o valorde a, sabendo que essa piscina comporta até40.000 litros.
5. O volume de um prisma, em cm3, é represen-tado pelo polinômio 2a3 – 9a2 + 7a + 6.
Determine o valor que a deve ter para que oprisma tenha 18cm3 de volume.
6. A altura de um prisma hexagonal regular mede(3x – 2)cm, e uma aresta da base mede xcm.
a) Expresse o polinômio que representa o vo-lume desse prisma.
b) Se o volume desse prisma for 24 cm3, qualo valor de x?
7. Gabriela pensou em um número natural. Ele-vou esse número ao cubo e somou o resultadocom o triplo dele. Danilo pensou no mesmonúmero, multiplicou por 3 o quadrado dele esomou 65 ao resultado. Os dois obtiveram omesmo número. Em que número eles pensa-ram?
8. Um recipiente cilíndrico tem internamente 6dmde atura. Seu espaço interior é ocupado poruma esfera cujo raio tem a mesma medida doraio do recipiente e por 18dm3 de água. Deter-mine a medida do raio desse recipiente.
TEMA 36
RELAÇÕES DE GIRARD
36.1 Introdução
As relações entre os coeficientes de uma equa-ção algébrica e as raízes da mesma equaçãoforam enunciadas em 1629, pelo matemáticoAlbert Girard (1590–1632). Essas relações po-derão ser-nos úteis na resolução de equaçõesalgébricas quando tivermos mais alguma infor-mação a respeito de suas raízes.
Vejamos essas relações para uma equação do2.o grau.
Sendo x1 e x2 as raízes da equação
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), temos:
ax2 + bx + c = a(x – x1).(x – x2)
Dividindo os dois membros por a, obtemos:
Essas são as relações de Girard para umaequação do 2.o grau.
Consideremos, agora, uma equação qualquerdo 3.o grau:
ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0),
cujas raízes são x1, x2 e x3. Procedendo domesmo modo, temos:
ax3 + bx2 + cx + d = a(x – x1).(x – x2).(x – x3)
Logo,
Portanto,
Matemática Elementar IV – Equações algébricas
150
UEA – Licenciatura em Matemática
Essas são as relações de Girard para umaequação do 3.o grau.
Prosseguindo com esse raciocínio, encontra-mos para uma equação algébrica de grau n daforma
anxn + an–1xn–1+....+ a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0
(n > 1 e an ≠ 0) as seguintes relações:
• A soma das raízes é
• A soma dos produtos das raízes tomadas
duas a duas é
• A soma dos produtos das raízes tomadas
três a três é
:.
• O produto das n raízes da equação é
Exemplos:
1. Vamos escrever as relações de Girard paraequação ax4 – 2x3 – 25x2 + 26x + 120 = 0.
Solução:
Temos:
a = 2, b = – 2, c = – 25, d = 26 e e = 120
Sendo x1, x2, x3 e x4 as raízes da equação,temos:
2. Dada a equação 6x3 – 13x2 + 9x – 2 = 0 deraízes y, z, e w, vamos calcular:
a)
b)
c) y2 + z2 + w2
Solução:
Como a = 6, b = – 13, c = 9 e d = –2, pelasrelações de Girard, temos:
a)
b)
c) (y + z + w)2 = y2 + z2 + w2 + 2(yz + yw + zw)
3. Vamos resolver a equação x3 – 3x2 – 4x + 12= 0,sabendo que duas raízes são opostas.
Solução:
Temos: a = 1, b = – 3, c = – 4, e d =12
Digamos que as raízes da equação sejam p, –p e m. Então, pelas relações de Girard ob-temos:
p – p + m = –(–3) = 3 ⇒ m = 3
p(–p) + pm + (–p)m = –4
–p2 = –4 ⇒ p2 = 4 ⇒ p = ±2
Logo, S{–2, 2, 3}
4. Vamos resolver a equação x3 – 15x2 + 66x – 80 = 0, sabendo que suas raí-zes estão em PA.
151
Matemática Elementar IV – Equações algébricas
Solução:
Temos: a = 1, b = – 15, c = 66 e d = – 80
Sejam as raízes p – r, p e p + r, com r > 0.Então, pelas relações de Girard, temos:
p – r + p + p + r = –(–15)
3p = 15 ⇒ p = 5
(p – r).p.(p + r) = –(–80)
(5 – r).5.(5 + r) = (80)
25 – r2 = 16 ⇒ r2 = 9 ⇒ r = 3
p – r = 5 – 3 = 2
p = 5
p + r = 5 + 3 = 8
Logo, S = {2, 5, 8}.
1. Sendo a, b e c as raízes da equaçãox3 – 2x2 – 13x – 10 = 0, calcule:
a) a + b + c
b) ab + ac + bc
c) abc
2. Determine m, n e p, sabendo que a equaçãox3 + mx2 + nx + p = 0 tem raízes 2, 3 e 5.
3. Encontre uma equação de grau 3 que tenhapor raízes –2, 3 e .
4. Estabeleça as relações de Girard para as equa-ções:
a) 3x4 + 19x3 – 23x2 – 59x + 30= 0
b) x3 – 15x2 + 74x – 120 = 0
5. Dada a equação x3 – 11x2 + 38x – 40 = 0, deter-mine:
a) a2bc + ab2c + abc2
b) a2 + b2 + c2
c)
6. Resolva a equação x3 – x2 – 49x + 49 = 0, sa-bendo que duas de suas raízes são opostas.
7. Uma das raízes da equação x3 + 6x2 – x – 30 = 0é a soma das outras duas. Qual o conjunto so-lução dessa equação.
8. Determine quais são as raízes da equaçãox3 – x3 – 6x2 – 4x + 24 = 0, sabendo que elasestão em PA.
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO
TEOREMA DE D' ALEMBERT
1. (FGV–SP) O valor de m , de modo que –1 sejaraiz da equação x ³ + (m+2)x² + (1–m)x – 2 =0, é igual a:
a) 0 b) –1
c) 1 d) –2
e) 2
2. (UF–RN) Seja P(x) = x³ + 6x – x – 30. Se P(2) = 0, então oconjunto solução de P(x) = 0 é :
a) {–2, –3, –5}
b) {2, –3, –5}
c) {2, –2}
d) {2, 3, 5}
e) {2, 6, 30}
3. (PUC–SP) A equação do terceiro grau cujasraízes são 1, 2 e 3 é:
a) x³ – 6x² + 11x – 6 =0
b) x³ – 4x² + 3x – 5 = 0
c) x³ + x² + 3x – 5 = 0
d) x³ + x² +2x + 3 = 0
e) x³ + 6x² – 11x + 5 = 0
4. (FGV–SP) Na equação x4 + px³ + px² + p = 0,sabendo–se que 1 é raiz, então:
a) p = –1/4
b) p = 0 ou p = 1
c) p = 0 ou p = –1
152
UEA – Licenciatura em Matemática
d) p = 1 ou p = –1
e) p = –1/3
5. (CESGRANRIO–RJ) A soma das raízes da
equação vale:
a) –10 b) –7
c) –3 d) 7
e) 21
6. (ACAFE–SC) A maior raiz da equação x³ + 4x² + 3x = 0 é:
a) –4 b) –1
c) 0 d) 2
e) 3
7. (CESCEM–SP) A equação 2x³ – 5x² – x + 6 = 0 admite uma raiz igual a 2.Então, as outras duas raízes são:
a) –3/2 e 1 b) –2 e 1
c) 3 e –1 d) 3/2 e –1
e) 3/2 e 2
8. (UEL–SP) A equação 2x³ – 5x² + x + 2 = 0 temtrês raízes reais. Uma delas é 1. As outras duassão tais que:
a) ambas são números inteiros;
b) ambas são números negativos;
c) estão compreendidas entre –1 e 1;
d) uma é o oposto do inverso da outra;
e) uma é a Terça parte da outra.
9. (PUC–BA) É verdade que a equação (x – 4x).(x² + 2x + 1) = 0, no inverso IR:
a) tem quatro soluções distintas;
b) tem uma solução que é número irracional;
c) tem cinco soluções distintas;
d) não tem soluções;
e) tem apenas duas soluções distintas.
10. (PUC–SP) O polinômio P(x) = x³ + x² – 26x + 24 é divisível por x – 4.Os zeros deste polinômio são:
a) –6, –4, 1 b) –6, 1, 4
c) –4, –1, 6 d) –1, 4, 6
e) 1, 4, 6
11. (UFSE) Sabe-se que –1 é raiz de multiplicidade2 da equação 2x³ + x² – 4x – 3 = 0. A outra raizdessa equação é um número:
a) racional e não inteiro;
b) inteiro;
c) irracional e negativo;
d) irracional positivo;
e) complexo e não real.
12. (UF–RN) Se 2 é raiz de multiplicidade 3 da equa-ção x4 – 9x³ + 30x² – 44x + 24 = 0, então seuconjunto solução é:
a) {1; 2} b) {1;3}
c) {2;3} d) {1;2;3}
e) {1;2;3;4}
13. (PUC–SP) A raiz x = 1 da equação x4 – x³ – 3x² + 5x – 2 = 0 é:
a) simples b) dupla
c) tripla d) quádrupla
e) quíntupla
14. (FATEC–SP) Se a, b e –1/2 são as raízes daequação 2x³ + 3x² – 3x – 2 = 0, então ab é iguala:
a) –1 ou 0 b) –1/2 ou 2
c) 2 d) 1/2 ou –1/2
e) –2 ou 1
15. (OSEC–SP) O grau de uma equação polino-mial P(x) = 0 , cujas raízes são 3, 2 e 4 commultiplicidade de 5, 6 e 10, respectivamente, é:
a) 9; b) 300;
c) menor que 20; d) 21/9;
e) 21.
16. (MACK–SP) Na equação (x³ – x² + x – 1 ) = 0,a multiplicidade da raiz x = 1 é:
a) 1 b) 9
c) 18 d) 36
e) 54
153
Matemática Elementar IV – Equações algébricas
17. (CESCEA–SP) Assinale, entre as equações abai-xo, a que representa raiz de multiplicidade três:
a) x³ – 1 = 0
b) (x–2) = 0
c) x – 4x² = 0
d) (x–1)3 . (x+1) = 0
e) n.d.a.
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS TEOREMA DASRAÍZES RACIONAIS E COMPLEXAS
1. (UF–MG) Sabe–se que a equação x4 – 6x3 +15x 2 – 18x + 10 = 0 admite as raízescomplexas 1 – i e 2 + i. Quais as demais raízesdessa equação?
a) –1 – i e –2 + i
b) 1 + i e 2 + i
c) –1 + i e –2 – i
d) 1 – i e 2 – i
e) 1 + i e 2 – i
2. (PUC–SP) Qual dos números abaixo é raiz daequação 15x3 + 7x2 – 7x + 1 = 0 ?
a) 7/15 b) 1/2
c) 2/3 d) 3/5
e) 1/3
3. (VUNE–SP) Uma das raízes da equação 2x3 +x2 – 7x – 6 = 0 é x = 2.pode–se afirmar que:
a. as outras raízes são imaginárias;
b. as outras raízes são 17 e – 19;
c. as outras raízes são iguais;
d. as outras raízes estão entre – 2 e 0;
e. só uma das outras raízes é real.
4. (UF–RN) A equação (x + 1) (x2 + 4) = 0 tem:
a) duas raízes reais e uma imaginária;
b) uma raiz real e uma imaginária;
c) duas raízes reais e duas imaginárias;
d) uma raiz real e duas imaginárias;
e) apenas raízes reais.
5. (PUC–SP) As raízes da equação 3x3 – 13x2 + 13x – 3 = 0 são:
a) 7; 6 e 1/7 b) 6; 5 e 1/6
c) 1; 3 e 1/3 d) 2; 4 e 1/2
e) 5; 7 e 1/5
6. (PUC–RJ) Sobre as raízes da equação x3 – x2 + 3x – 3 = 0, podemos afirmar que :
a) nenhuma raiz é real;
b) há uma raiz real e duas imaginárias;
c) há três raízes reais, cuja soma é 3;
d) há três raízes reais, cuja soma é 1;
e) há três raízes reais, cuja soma é – 3.
7. (ITA–SP) A equação (1 – x) (1 – x).x = 1 – x2 tem:
a) três raízes reais;
b) uma raiz dupla igual a 1;
c) não tem raízes complexas;
d) S = {1; i ; – i};
e) n.d.a.
8. (CEFET–PR) Os valores de p e q para que iseja raiz da equação 2x3 + px2 + qx + 2= 0,são respectivamente:
a) 2 e 2 b) –1 e 0
c) 1 e –1 d) 1/2 e 2
e) 1/2 e 0
9. (UEPG–PR) O polinômio P(x) = x3 – x2 + x + aé divisível por x – 1.Suas raízes são:
a) 1, i e – i b) –1, – i e i
c) 0, 1 e i d) 1, – 1 e – i
e) n.d.a.
10. (PUC–SP) O grau mínimo que um polinômio decoeficientes reais admite, sabendo-se que 1 + i e – 1 + i são raízes, é :
a) 1.o grau; b) 2.o grau;
c) 3.o grau; d) 4.o grau;
e) 5.o grau.
11. (ITA–SP) A equação 4x3 – 3x2 – 4x – 3 = 0admite uma raiz igual a i (unidade imaginária).
154
UEA – Licenciatura em Matemática
Deduzimos que :
a) tal equação não admite raiz real menor que2;
b) tal equação admite como raiz um númeroracional;
c) tal equação não admite como raiz umnúmero positivo;
d) tal equação não possui raiz da forma bi,com b < 1;
e) n.d.a.
12. (MACK–SP) A equação 2x4 – 3x3 – 13x2 + 37x – 15 = 0 tem uma raizigual a 2 + i. As outras raízes da equação são:
a) 2 – i; – 3; 1/2
b) 2 + i; 3; –1/2
c) 3 – i; –3; 1/2
d) 3 + i; – 1 ;–3/2
e) 2 – i; 1; 3/2
EQUAÇÕES ALGÉBRICASRELAÇÕES DE GIRARD
1. (AMAN–RJ) A soma das raízes da equação x4– x3– 4x2+ 4x = 0 é igual a:
a) 0 b) 1
c) –4 d) 4
e) n.d.a.
2. (UF–PR) A média aritmética das raízes da equa-ção x3 – x2 – 6x = 0 é:
a) 1 b) 1/3
c) 8/3 d) 7/3
e) 5/3
3. (CESGRANRIO–RJ) A soma das raízes de x4 + 1 = 0 é:
a) 1 b) –1
c) 0 d) i
e) –i
4. (UF–SE) A soma e o produto das raízes daequação x3 + x2 – 8x – 4 = 0 são, respectiva-mente:
a) – 8 e – 4
b) – 8 e 4
c) – 4 e 1
d) – 1 e 4
e) 4 e 8
5. (FGV–SP) A soma e o produto das raízes daequação x4 – 5x3+ 3x2+ 4x – 6 = 0 formamqual seguinte par de valores?a) –5; 6
b) 5; –6
c) 3; 4
d) 1; 6
e) 4; 3
6. (PUC–PR) Se a, b e c são raízes da equaçãox3– 4x2– 31x + 70 = 0, podemos afirmar quelog2(a + b + c) é igual a:
a) 4
b) 0
c) 1
d) 2
e) n.d.a.
7. (UNESP–SP) Consideremos a equação x2+ ax + b = 0. Sabendo-se que 4 e –5 são asraízes dessa equação, então:
a) a = 1, b = 7
b) a = 1, b= –20
c) a = 3, b = –20
d) a = –20, b = –20
e) a = b = 1
8. (PUC–SP) Os números complexos 1 e 2 + isão raízes do polinômio x3+ ax2 + bx + c,onde a, b e c são números reais. O valor de cé:
a) –5
b) –3
c) 3
d) 5
e) 9
9. (UFMT)– Sejam –2 e 3 duas das raízes daequação 2x3– x2 + kx + t =0, onde k, t ∈ lR. A terceira raiz é:
155
a) –1
b) –1/2
c) 1/2
d) 1
e) n.d.a.
10. (UE–CE) Se p e q são as raízes da equação2x2– 6x + 7= 0, então (p + 3)(q + 3) é igual a:
a) 41/2
b) 43/2
c) 45/2
d) 47/2
11. (UF–MG) As raízes da equação 2x2 – 2bx + 3 = 0são positivas, e uma é o triplo da outra. Então,o valor de b é:
a) –2 b) –2
c) 2 d) 2
e) 4
12. (MACK–SP) Uma das raízes da equaçãox2+ ax + 2b =0, a e b reais, é 1 – i. Os val-ores de a e b são, respectivamente:
a) –2 e 3/2
b) –2 e –3/2
c) 2 e –3/2
d) 2 e 2/3
e) 2 e 3/2
13. (FGV–SP) Se a soma das raízes da equaçãokx2 + 3x – 4 = 0 é 10, podemos afirmar que oproduto das raízes é:
a) 40/3 b) –40/3
c) 80/3 d) –80/3
e) –3/10
14. (UFP–RS) A soma dos inversos das raízes daequação x3– 2x2 + 3x – 4 = 0 é igual a:
a) –3/4 b) –1/2
c) 3/4 d) 4/3
e) 2
15. (MACK–SP) Uma raiz da equação x3– 4x2 + x + 6 = 0 é igual à soma das outrasduas. As raízes dessa equação são:
a) 2, –2, 1
b) 2, –1, 3
c) 3, –2, 1
d) 1, –1, –2
e) n.d.a.
16. (CEFET–PR) Se a, b, e c são raízes da equaçãox3– 8x2 + 24x – 16 = 0, então o valor de sen(p /a + p /b + p /c) será:
a) –1
b) 1
c) –8/24
d) –16/24
e) 1/2
17. (ITA–SP) A soma dos quadrados das raízes daequação x3+ x2 + 2 + 8 = 0 é igual a:
a) 5
b) 5 – 4
c) 12
d) 9 + + 2
e) n.d.a.
18. (PUC–SP) O produto de duas das raízes daequação 4x3– 33x2 + 68x – 15 = 0 é 3/4. Asoma das duas maiores raízes da equação é:
a) 13/4
b) –2
c) 21/2
d) 8
e) 11
19. (MACK–SP) As raízes (x1, x2, x3) da equaçãox3– 3x2 + cx + d = 0 formam uma progressãoaritmética de razão 3, então o valor de x1 . x2 . x3 é:
a) –8
b) 12
c) 3
d) 9
e) 6
Matemática Elementar IV – Equações algébricas
Respostas dos Exercícios
159
Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios
UNIDADE IRazões trigonométricas no triângulo
TEMA 1
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Pág. 14
1. a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Seno: e
Cosseno: e
Tangente: e
3. b = 40 e c = 304. b = 2 e c = 45. a) x = 3,52cm
b) x = 2,3cmc) x = 5,3dm
6. 113,6m 7. b) 69,23m, aprox. 8. a) OA = 5,0 cm
CC’ = 2,5 cmDD’ = 3,5 cmOD’ = 3,5 cmOE’ = 2,5 cm
b) OA = 1 uCC’ = 0,5 uDD’ = 0,7 uOD’ = 0,7 uOE’ = 0,5 u
c) sen 30º = 0,5
sen 45º = 0,7
cos 45º = 0,7
sen 60º = 0,5
tg 45º = 1
9. a) oposto
b) Adjacente
Pág. 16
1. b 2. c 3. b 4. d 5. a
TEMA 02
RELAÇÕES ENTRE SENO,
COSSENO E TANGENTE
Pág. 20
1. a)
b)
2.
3. (30 + 15 )cm
4. a)
b)
5. 240 m e aprox. 207,8 m
6. Aprox. 141,96 m
7. 30cm
8. a) 0,6293 b) 0,9613 c) 0,9397
d) 0,0872 e) ≅1,0724 f) ≅0,5543
160
UEA – Licenciatura em Matemática
Pág. 21
1. c 2. b 3. e 4. b 5. b
TEMA 03
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS
Pág. 24
1. 2. 27 + 93. 5 cm e 5 cm4. A = 30º5. α = 30º
Pág. 25
1. c 2. a 3. a 4. b 5. b6. a 7. a 8. a 9. e 10. c11. a 12. d 13. d 14. b 15. a
UNIDADE IITrigonometria na circunferência
TEMA 04
ARCOS E ÂNGULOS
Pág. 33
1. a) 78°06’15” b) 6°52’30”
2. a)
b)
c)
d)
3. a) aprox. 4,19 cmb) aprox. 43°c) aprox. 115 cm
4. a)12560mb) 3750 voltas
5. 350 voltas6. ≅ 229,3cm
Pág. 33
1.a 2. e 3. d 4. c
TEMA 05
CICLO TRIGONOMÉTRICO
Pág. 37
1. a) 54° b) 120°
c)
d)
2. a) –296° b) –(179°36’)
c)
d)
3. a) 1ª determinação positiva é 260° e 1ª deter-minação negativa é -100°
b) 1ª determinação positiva é 280° e 1ª deter-minação negativa é –80°
c) 1ª determinação positiva é e 1ª
determinação negativa é
161
Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios
d) 1ª determinação positiva é e 1ª de-
terminação negativa é
4. a) –
b)
5. a) –215°
b) 120°
TEMA 06
SENO, COSSENO E TANGENTE
Pág. 41
1. a)
b)
2. a)
b) –
3. a)
b)
4. a) –
b) –
5. a) y1 > 0
b) y2 = 0
6. a) 1 +
b)
7. a) –
b)
TEMA 07
RAZÕES RECÍPROCAS DO SENO, COSSENOE TANGENTE E OUTRAS RELAÇÕES.
Pág. 43
1. a)
b)
2. a) –
b)
3. a) –2b) –2
4. a) y1<0b) y2 >0
5. a)
b) –
6. a) y1 > 0 b) y2 <0
TEMA 08
REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE
Pág. 46
1. a) –cos 9º
b) –cos
c) –cos
d) –cos
e) –cot g
162
UEA – Licenciatura em Matemática
2. a)
b) –
c)d) –
e) –
f) – 2
g)
3. –1
Pág. 46
1. b 2. a 3. c 4. b5. e 6. a 7. c 8. a
UNIDADE IIIFunções circulares e identidades
TEMA 09
FUNÇÃO SENO
Pág. 53
1. a, b e d2. a) D(ƒ) = lR
Im(ƒ) = [–3, 3]período = 2π rad
b) D(ƒ) = lR
Im(ƒ) = [–3, –1]período = 2π rad
3. a) D(ƒ) = lRIm(ƒ) = [–1, 1]
b) D(ƒ) = lRIm(ƒ) = [–1, 1]
4. a) rad
b) 10π rad
c) rad
5. a) ±
b) ±12
6. a)
b)
TEMA 10
FUNÇÃO COSSENO
Pág. 56
1. c 2. a)
163
O domínio é D(ƒ) = lR A imagem é Im(ƒ) = [–3, 3]O período é 2π rad
b)
O domínio é D(ƒ) = lR A imagem é Im(ƒ) = [–3, 1]O período é 2π rad
3. a) rad
b)
c)
d) 8π rad
Pág. 56
1. b 2. b 3. e 4. d5. e 6. b 7. c 8. b
TEMA 11
FUNÇÃO TANGENTE
Pág. 58
1. a) πradb) 2πrad
c) rad
d) 2πrad
2. a) D(ƒ) = {x∈lR|
b) D(ƒ) = {x∈lR|
c) D(ƒ) = {x∈lR|
d) D(ƒ) = {x∈lR|
3. e x é do 4º
4. a)
b)
TEMA 12
OUTRAS FUNÇÕES CIRCULARES
Pág. 60
1. a) e p(ƒ) = π
b) e p(g) = π
c) e p(h) = 2π
2. a) m ≤ 2
b) m ≤ ou m ≥ 1
c) 0 ≤ m < ou < m ≤
3. cotg x4. cotg3 x
Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios
164
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 13
IDENTIDADES
Pág. 61
1. Demonstração2. Demonstração3. Demonstração4. a) Não é identidade em ℜ
b) É identidade em U5. Demonstração
Pág. 62
1. e 2. d 3. d 4. a
UNIDADE IVFórmulas da adição,
multiplicação e divisão de arcos
TEMA 14
TRANSFORMAÇÕES: FÓRMULAS DE ADIÇÃO
Pág. 66
1. a) cot g 165º = –(2 + ) b) sec 255º = –( + )c) cos sec 15º = +
2.
3.
4.
5.
6. tg 15º = 2 –
Pág. 66
1. e 2. a 3. a 4. a 5. a
TEMA 15
ARCO DUPLO E TRIPLO
Pág. 68
1. a)
b)
2.
3. 0,643
4.
5.
6. tg 70º ≅ 2,7; cot g 70º ≅ 0,36
Pág. 69
1 a) –1
b) –1
2. –1
3. 1
165
TEMA 16
ARCO METADE
Pág. 70
1.
2.
3.
4. Demonstração
5.
6.
7. –
8.
TEMA 17
FÓRMULAS DE TRANFORMAÇÃO EM PRODU-TO PARA SENO, COSSENO E TANGENTE
Pág. 72
1. a) 2 . sen 29º . cos 7ºb) 2 . sen 32º . cos 40º
2. a) 2 . cos 15º . cos 8ºb) –2 . sen 35º . sen 23º
3. a) 2 . sen 6x . cos x
b)
c) 2 . cos 5x . cos 4xd) –2 . cos 2x . cos x
4. a)
b)
c) 4 . cos x . cos 2x . cos 5x
d) 4 . cos2 x . sen 3x
Pág. 73
1. a)
b)
Pág. 73
1.
2.
UNIDADE VEquações e Inequações Trigonométricas
Funções Trigonométricas Inversas
TEMA 17
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Pág. 78
1. a) S={x∈lR }
b) S={x∈lR }
c)
2.
3. S={x∈lR }
Pág. 79
Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios
166
UEA – Licenciatura em Matemática
1. a) S = {x∈lR }
b)
c)
2. S = {x∈lR }
3.
Pág. 80
1. a) S = {x∈lR }
b) S = {x∈lR }
c)
2. S = {x∈lR }
3.
4.
5.
TEMA 19
INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Pág. 82
1. a) π ≤ x ≤ 2πb) 0 ≤ x ≤ π
c) 0 ≤ x ≤ ou ≤ x ≤ 2π
2. sen x ≥
3. {x∈lR
Pág. 83
1. a) {x∈lR κ∈ }
b) {x∈lR
}
c) {x∈lR
}
2. a) {x∈lR
b) {x∈lR
Pág. 84
1. a) {x∈lR
b) {x∈lR
c) {x∈lR
d) {x∈lR
}
TEMA 20
167
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Pág. 85
1. a) rad b) – rad c) 40º
2. 1,23. 1,1
Pág. 86
1. a) rad
b) πrad
c) rad
2. a) 14º
b)
Pág. 87
1. a) – rad
b) – rad
c)
d) 4 –
2.d 3.c 4.a 5.a 6.b 7.d 8.b 9.e 10.b 11.d 12.b 13.d14.b 15.a 16.c 17.c 18.a 19.a 20.b 21.b 22.b 23.e 24.e 25.a26.b 27.e 28.c 29.d 30.a
UNIDADE VINúmeros complexos
TEMA 21
FORMA ALGÉBRICA E POTÊNCIAS DE i
Pág. 94
1. a) ib) ic) –1
2. a) –1
b) –i3) i
Pág. 95
1. a) Re(z) = –3 e Im(z) = 4
b) Re(z) = 2 e Im(z) = –1
c) Re(z) = 4 e Im(z) =
d) Re(z) = 0 e Im(z) = 5
e) Re(z) = 3 e Im(z) = 0
f) Re(z) = e Im(z) = –
g) Re(z) = 3 e Im(z) = 2π2. a) K = 5
b) m = ± 2 e k ≠ 5 (k real)
3. a) p = 5 e q = –1
b) p = 2 e q = 3 ou p = 2 e q = –3
c) p = 1 e q = –4 ou p = –4 e q = –4
4. x = 1 ou x = 3
5. a)
b) x = 1
TEMA 22
Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios
168
UEA – Licenciatura em Matemática
IGUALDADE, SOMA E SUBTRAÇÃO DENÚMEROS COMPLEXOS
Pág. 95
1. a) x = 4 e y = –4b) x = 9 e y = 3c) x = –3 e y = 4 ou x = 5 e y = 4d) x = 4 e y = 0e) x = –5 e y = –3
2. a = –5 e b = 73. x = 6 e y = –7
Pág. 97
1. a) 5 + i b) 5 – ic) –3i d) 4 – i
2. a) Re(z) = 5 e Im(z) = 3 b) Re(z) = –7 e Im(z) = 5
3. a) x = 0 e y =
c) x = 0 e y = 0
b) x = – e y =
d) x = 3 e y =
4.
5. a) –4 + 6ib) –1 – 4ic) –7 + 4id) 4 + 6ie) –5 – 2if) 11 + 2i
6. a)
b)
c)
7. a) 3 ib) + 1 + (– – 1)ic) 2 + + (–1 – )i
8. a) 8 + 4i c) – 2i
b) 16i d) – i
9. a) 6
b)
c) 2md) –2bi
10. a) c)
b)
d) 7x – 5yi
11. a) x = –2, y = –
b) x = 4, y = 2 12. x = 5, y = 613. x = 2, y = 3
TEMA 23
MULTIPLICAÇÃO, CONJUGADO E DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
NA FORMA ALGÉBRICA
Pág. 99
1. a) 3 + i e) –8ib) 1 – 5i f) –8 + 6ic) –1 + 5i g) 48 + 64id) 8 + 4i h) 3 + 7i
2.
3. Demonstração4. x = 15. a) 24 – 2i c) 17 + 30i
b) 7 + 4i d) 10 – 6i6. a) 25 + 2i
b) –3 + 3ic) –4 – 3i
7. x = 2 y = 4 8. x = 2 e y = 19. a) z1
b) z2
10. 2 + 5i e 2 – 5i11. –3 + i e –3 – i
169
12. a) 1+ 5ib) 26c) 10 + 2id) 26 + 26i
13. a) 17
b)
c)
d)
14. a) –6b) 6 + 12ic) 2 + 2 i
15. a) –3 + 2ib) –6 + 3ic) 4 – 3i
d) 16. a) 12 + 6i
b)
c) 2 – id) –1 – 12 i
17. a) –10 – 4ib) 24 – 7i
18. a) –3 + 9ib) –25 + 22i
19. a) x = –1, y = 1 ou x = –2, y = 2b) x = y = ±1
Pág. 100
1. a) z– = 8 + ib) z– = 1 + ic) z– = 13 d) z– = –7ie) z– = p + qi
2. a) z = 3 – 2ib) z = 1 – 4ic) z = 2 – 2id) z = ie) z = 1 – i ou z = 1 + i
3. Demonstração4. z– = –2 – 8i5. z– = 15 – 25i
6. Demonstração7. z = –i8. z = 2 + 3i ou z = –2 + 3i
Pág. 101
1. a) e)
b) f) –2i
c) g)
d) + i
2. a)
b) 3. 34. z= = 3 + 5i5. a) k = 4
b) k = –16. Demonstração7. z = 3 + 2i
8.
9. a)
b)
c) d) – i
10. a)
b)
c)
d)
Unidade VIINúmeros complexos na forma
Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios
170
UEA – Licenciatura em Matemática
trigonométrica
TEMA 24
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA, MÓDULO EARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Pág. 106
1.
2. a) z1 = –3 + ib) z2 = 3ie) z5 = –1 + ic) z5 = –4 – 3id) z4 = –5f) z5 = –2 + 2i
3.
4.
5.
6.
7.
Pág. 107
1. a) ρ1 = 5 d) ρ4 = b) ρ2 = 2 e) ρ5 = c) ρ3 = 5
2. a) 5 b) +
c)
d) 10e) 5f)
3. a) b) 625 c) 2
4. a) 4 e) 3b) 5 f) 3c) 13 g) 4
171
d) 1 h)
5. 136. 4
7.
8. |z| = 10
Pág. 109
1. a)
b)
c)
TEMA 25
FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
Pág. 111
1. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios
172
UEA – Licenciatura em Matemática
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n) ρ = 5, θ = 0z = 5(cos 0 + isen 0)
o) ρ = 5, θ = πz = 5(cos π + isen π)
2. a) z = 3 + 3 ib) z = – + i
c)
d) z = –2 – 2ie) z = –7f) z = –2 –2i
173
3. a)
b)
c)
4. a)
b)
5.
6. a)b)
7.
8. z = 9(cos 0 + isen 0)
9.
TEMA 26
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO COM NÚMEROSCOMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Pág. 113
1. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2.
3.
Pág. 114
1. a)
b)
c)
2. a)
b)
TEMA 27
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROSCOMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Pág. 116
1. a) –4 e) 64b) 256 f) –104
c) –8i g) –250
d) 81 i
2. a) c) –625 i
b) –125 d) 156253. a) – 2 – 2i b) –972 + 972i
c) 64 – 64 i d) –299 – 299 ie) – 8 – 8 i f) –512i
g) h) –317i
4. n = 4
Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios
174
UEA – Licenciatura em Matemática
Pág. 119
1. –2i, 2i, –2 e 2
2.
3.
4. a) e
b)
,
e
c) ,
,
e
e
d) ,
,
e
e)
e
5.
Pág. 119
1. A 2. A 3. C 4. B5. B 6. B 7. B 8. B9. D 10. A 11. A 12. A13. E 14. C 15. C 16. A17. D 18. C 19. C 20. A21.E 22. E 23. E 24. C
25. B 26. E 27. D 28. A29. A
Unidade VIIIPolinômios
TEMA 28
POLINÔMIOS
Pág. 128
1. a) 4. b) 3, se a ≠ 0; 2 se a = 0c) 2, se a ≠ 3; 1, se a = 3.d) 1.
e) 0 f) 2, se a ≠ 0;
1, se a = 0 e b ≠ 0;0, se a = b = 0 e c ≠ 0;não se define grau se a = b = c = 0.
2. a) S = 0 e t = 64b) S = -18 e t = 4c) S = 32 e t = 0d) S = 6 e t = 25
3. a) -8; 0; 0; 4.b) -1 e 2c) k = 1d) k = 8e) k = -4 f) k = 5 g) a = 3 e b = 1.
4. a) a = 1; b = -2; c = -1b) a = 4; b = -8; c = 4.
TEMA 29
POLINÔMIOS IDÊNTICOS E OPERAÇÕESCOM POLINÔMIOS
Pág. 129
1. a) a = 5; b = 3; c = –3b) c = ± 1; b = 3; c = ± 3c) a = –3; b = 4d) a = 0 ou a = 1
2. a) (x – 1)2 – (x – 4)2
b) (x + 3)2 – (x – 1)2
c)
d)
131
1. a) P(x) = 5x2 – 3x + 5b) P(x) = 3x2 – 2x – 1
c) P(x) = x2
2. m = 2 e n = 4
TEMA 30
DIVISÃO DE POLINÔMIOS (PARTE I)
Pág. 132
1. x2 + 5x – 1 2. 3x – 23. 2x + 3 4. zero
TEMA 31
DIVISÃO DE POLINÔMIOS (PARTE II)
Pág. 133
1. Q(x) = x2 – x + 9 e R(x) = –12x2. x2 + x + 2
3. x –
Pág. 135
1. 332. 13. não é divisível.4. m = 3 e n = –75. (x – 2)
TEMA 32
DIVISÃO DE POLINÔMIOS (PARTE III)
Pág. 136
1. a) Q(x) = 5x3 – 4x2 +2x –3 e R = 1b) Q(x) = x4 –+ x3 + 2x2 – x + 2 e R = 0
175
Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios
c) Q(x) = x2 – x + 1 e R = 4
d) Q(x) = x3 – 3x2 + 9x – 27 e R = 72
2. –2
Pág. 136
POLINÔMIOS
1. c 6. e 11. b 16. e
2. d 7. a 12.e 17. b
3. e 8. c 13. c 18. b
4. e 9. b 14. e 19. d
5. a 10. c 15. e
POLINÔMIOS - OPERAÇÕES
1. b 10. e 19. b 28. c
2. c 11. a 20. e 29. d
3. d 12. b 21. e 30. b
4. d 13. e 22. e 31. e
5. d 14. b 23. a 32. b
6. d 15. c 24. e 33. a
7. a 16. b 25. c 34. c
8. c 17. d 26. c 35. e
9. e 18. c 27. c 36. e
UNIDADE IXEquaçãoes algébricas
TEMA 33
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Pág. 143
1. (x – 4).(x + 2).(x – 6)
2. (x – 3)(x + 5)(x + i )(x – i )
3. –2i, 2i, –2 e 2
4. 1, i , –i
TEMA 34
MULTIPLICIDADE DAS RAÍZES E RAÍZES COMPLEXAS
Pág. 146
1. a) 1b) 3c) 2
2. a) 3b) 3
Pág. 147
1. 52. (x – 2)(x – 1 – 5i)(x – 1 + 5i) = 03. {–2, –1, 3 – 2i, 3 + 2i} 4. –i e i
TEMA 35
RAÍZES RACIONAIS
Pág. 148
1. – 4, –2, –1, 1, 2 e 4
2.
3. a) {–3, 2, 3}
b)
c)
4. 45. 4
6. a)
b) 2cm7. 58. 3dm
176
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 36
RELAÇÕES DE GIRARD
Pág. 151
1. a) 2
b) –13
c)10
2. m = –10, n = 31 e p = –30
3. 2x3 – 5x2 – 9x + 18 = 0
4. a)
b) 15, 74, 120
5. a) 440
b)45
c)
6. {–7, 1, 7}
7. {–5, –3, 2}
8. – 2, 2 e 6
Pág. 151
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS TEOREMA DA
DECOMPOSIÇÃO TEOREMA DE D' ALEMBERT
1. c 6. c 11. a 16. c
2. b 7. d 12. c 17. d
3. a 8. d 13. c
4. e 9. a 14. e
5. e 10. b 15. e
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS TEOREMA DAS
RAÍZES RACIONAIS E COMPLEXAS
1. e 5. c 9. a
2. e 6. b 10. d
3. d 7. d 11. b
4. d 8. a 12. a
EQUAÇÕES ALGÉBRICASRELAÇÕES DE GIRARD
1. b 6. d 11. d 16. a2. b 7. b 12. a 17. b3. c 8. a 13. a 18. d4. d 9. b 14. c 19. a5. b 10. b 15. b
177
Matemática Elementar IV – Respostas dos exercícios
CALCULU'S - O lado divertido e curioso da vida: paginas.terra.com.br/educacao/calculu .Acesso10/12/2006
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REFERÊNCIAS