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6 Física na Escola, v. 12, n. 2, 2011Determinação da velocidade do som no ar através do eco
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Este trabalho apresenta um experimento sim-ples e de fácil reprodução de determinação davelocidade do som no ar através do eco. Tubosde diferentes comprimentos são utilizados epara análise e coleta de dados utilizamos umprograma freeware de análise sonora. Os resul-tados obtidos conduziram a precisões e exati-dões inferiores a 1%, o que viabiliza sua implan-tação, em qualquer escola, como um bomrecurso didático na compreensão de fenômenoscorrelacionados a acústica.
Os estudantes dos cursos técnicosde radioterapia e/ou dos cursosdestinados a profissionais na área
de saúde, em geral encontram muitadificuldaede na compreensão dos conceitosfísicos correlacionados à formação deimagens médicas. De um lado pelaausência de conhecimentos prévios emdecorrência da pouca base adquirida nestaárea de conhecimento, de outro pelaausência de recursos didáticos disponíveisque lhes possibilitem uma maior interaçãocom a física envolvida na produção destasimagens.
O diagnóstico por imagem é bastanteamplo e envolve diferentes tipos de inte-rações e técnicas de tratamento e análise,tais como interação de radiações ionizan-tes com a matéria como as produzidas natomografia computadorizada; interaçãocom radiações na região de radiofrequên-cia em aparelhos de ressonância magnéticanuclear e interação de ondas ultra-sônicasem exames de ultra-sonografia. O experi-
mento proposto neste artigo permitetratar conceitualmente a produção deimagens ultra-sônicas e possibilita deter-minar de maneira simples a velocidade dosom no ar.
Resumo teórico
Características gerais
Em uma primeira análise podemosdizer que uma onda é um movimentooscilatório de uma dada grandeza físicaque se propaga no espaço e no tempo. Seesta onda necessitar de um meio para sepropagar, diz-se que é uma onda mecâni-ca, como por exemplo um pulso que sepropaga em uma corda. A Fig. 1 mostraa tela do simulador “Ondas em corda” doProject at the University of Colorado(Phet) [1], que representa uma onda trans-versal se propagando em uma corda.Temos, neste caso, um exemplo de ondatransversal em que a geração da onda sedá como o resultado da oscilação para
Marisa Almeida Cavalcante*,Renata Peçanha eVinicius Freitas LeiteGrupo de Pesquisa em Ensino de Física,Departamento de Física, PontifíciaUniversidade Católica de São Paulo,São Paulo, SP, Brasil*E-mail: [email protected]
Figura 1 - Simulador em Java do sítio PhET - Project at the University of Colorado,onde se pode alterar amplitude, frequência da oscilação, amortecimento e tensão dacorda.
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7Física na Escola, v. 12, n. 2, 2011 Determinação da velocidade do som no ar através do eco
cima e para baixo da extremidade esquerdado fio em um movimento harmônicosimples de amplitude A e com frequênciaf dada por
,(1)
onde λ representa o comprimento de ondae v a velocidade de propagação.
Podemos dizer que, para um movi-mento ondulatório, um efeito local podeestar associado a uma causa distante, ehá uma defasagem de tempo entre causae o efeito que depende das propriedadesdo meio e encontra sua expressão na velo-cidade da onda [2]. Assim se ψ(x, t) repre-senta a grandeza fisica que se propaga aolongo do eixo x com uma dada velocidadev, devemos ter que
. (2)
Para ondas transversais em fio homo-gêneo, submetido a uma força tensora Te tendo densidade linear μ, como o exem-plo do simulador da Fig. 1, a velocidadede propagação é dada pela relação
. (3)
No entanto, podemos gerar ummovimento ondulatório com propagaçãona mesma direção de oscilação e neste casotemos as chamadas ondas longitudinais.
Para compreender este tipo de movi-mento ondulatório vamos considerar aFig. 2, relativa a um aplicativo em Javado curso em física do Prof. Angel FrancoGarcia [3], que representa uma propaga-ção longitudinal. Podemos ver tanto afunção senoidal que representa o desloca-mento do pistão ao longo do eixo hori-zontal e das demais partículas no interiordo tubo, como também o deslocamentodas partículas ao longo do tubo (eixo x)da posição destas partículas ao longo dotubo.
Fica fácil observar na Fig. 2 que ocomprimento de onda representa a distân-
cia entre os pontos de mesma fase. Quantomenor esta distância para uma mesmafrequência de oscilação, mais rapidamenteuma onda se propaga. Também é igual-mente fácil perceber que o movimento de“vai e vem” do pistão gera zonas de rare-fação e compressão destas partículas.Considerando y(x, t) a função que repre-senta o deslocamento das partículas nointerior do tubo da Fig. 2, podemos dizerque a pressão P é representada pela função
P(x, t) = PM sen (kx - wt - π/2), (4)
onde
PM = ρ.w.v.ym, (5)
com a função deslocamento dada por
y(x, t) = ym sen (kx - wt), (6)
onde ym corresponde ao deslocamento má-ximo das partículas (ou amplitude emrelação à posição de equilíbrio), k é o nú-mero de onda, dado por 2π/λ, w é a fre-quência angular, dada por 2π/T, ρ é a den-sidade do gás e v é a velocidade de pro-pagação da onda no meio.
Note que a onda de pressão (Eq. (4))está defasada de π/2, em relação à ondade deslocamento (Eq. (6)). Ou seja, quandoem um ponto (x) do tubo da Fig. 2 o des-locamento das partículas em relação àposição de equilíbrio, for máximo/nulo,o “excesso” de pressão naquele ponto, emrelação ao valor normal, será nulo/máximo. Isso, na prática, corresponde auma rarefação/compressão das partículasdo gás. Assim, o movimento de compres-são e rarefação provoca a movimentaçãodas moléculas presentes. Esse movimentoorganizado produz ondas longitudinaisque chamamos de ondas sonoras.
Velocidade de propagação deondas sonoras
A velocidade com a qual uma ondasonora percorre um meio, quando a va-riação da pressão não é muito grande, édada por
, (7)
onde ρ é a densidade do meio e Brepresenta o módulo de elasticidadedo meio e é dado por
,(8)
que corresponde à razão davariação de pressão pela variaçãorelativa no volume para um gásconfinado no interior de um tubocomo na Fig. 2. Como a propa-
gação do som se dá muito rapidamente,podemos considerar que o mecanismodesta propagação é adiabático [4], ou seja,não há trocas de calor entre as partículasque vibram e o ambiente. Desta forma po-demos dizer que
PVγ = constante, (9)
onde γ = Cp/CV, sendo Cp a capacidade calo-rífica do gás a pressão constante e CV acapacidade calorífica a volume constan-te.
Assim teremos que
. (10)
Levando a Eq. (10) na Eq. (9), teremos
B = -γP. (11)
Considerando um gás ideal, onde P = nRT/V, teremos na Eq. (7) para a velocidade dosom
. (12)
Para o ar, g é da ordem de 1,402;M0 = massa molecular para o ar, 29,0 ×10-3 kg /mol; R = constante universal dogases, 8,31 J /mol K e T = temperaturaabsoluta. Substituindo-se estes valores,teremos para a velocidade do som o valorda ordem de 330 m/s, para 0 °C.
A Eq. (12) mostra que a velocidadedo som, em qualquer gás, é diretamenteproporcional à raiz quadrada da tempe-ratura absoluta. Assim, se conhecermosa velocidade do som à temperatura T1,poderemos determinar a sua velocidade auma outra temperatura T2 através daequação (T1 e T2 em graus Kelvin)
. (13)
Se expressarmos a temperatura do gásem graus Celsius, obtemos a seguinte rela-ção para a velocidade do som no ar [5]
v = 330,4 + 0,59 T (m/s) (14)
Intensidade sonora
Considerando a Eq. (4) relativa à pro-pagação da “onda de pressão”, a intensi-dade sonora pode ser calculada pela relação
, (15)
onde PM corresponde à amplitude máximade pressão, ρ é densidade do meio e v avelocidade de propagação do som.
Como exemplo de ordem de grandeza,considere os seguintes dados: densidadedo ar da ordem de 1,2 g/cm3, velocidade
Figura 2 - Simulador em Java para ondas longi-tudinais. A função senoidal representa o desloca-mento do pistão e de todas as partículas no inte-rior do tubo.
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do som da ordem de 330 m/s e o menorsom audível, cuja potência é da ordem de0,0002 dinas/cm2. Substituindo-se osvalores na Eq. (14) teremos
I0 = 10-12 W/m2.
Por outro lado, a máxima intensidadesonora que o ouvido humano pode su-portar é da ordem de 1,0 W/m2, ou seja,1012 vezes maior I0. Como este intervalo édemasiadamente grande, utilizamos umabase logarítmica para indicar intensidadesonora, que é denominada decibel (dB). Aintensidade relativa Ir do som é, portanto,
, (16)
onde I0 corresponde a 10-12 W/m2. Assim,para uma intensidade máxima suportávelde 1,0 W/m2, teremos Ir = 120 dB.
Ondas sonoras e sua percepçãopelo ouvido humano
O movimento de compressão e rare-fação do ar provoca a movimentação desuas moléculas. Esse movimento organi-zado produz ondas longitudinais; assim,a energia usada para movimentação e pro-dução do som é transmitida pelo ar, demolécula para molécula, de maneira queo som atinge o nosso ouvido. A Fig. 3mostra um esquema morfofisiológico doouvido humano.
Em nosso ouvido, essas ondas atin-gem uma membrana chamada tímpano,que vibra com a mesma frequência das
ondas, transmitindo ao cérebro, atravésde impulsos elétricos, a sensação sonora.A percepção sonora está relacionada tantocom a intensidade do som quanto comsua frequência. Em geral, percebemos sonsacima de 0 dB com tolerância máxima até120 dB. Por outro lado, o ouvido humanoé sensibilizado em uma faixa de frequênciacompreendida entre 20 Hz e 20 kHz.
A curva da Fig. 4 [7] mostra o limiarda audição para diversas frequências.Observe que a região de máxima sensibi-lidade está compreendida entre 1000 e5000 Hz. Para realizar um teste online desensibilidade auditiva em função da fre-quência, recomendamos o vínculo dispo-nível na Ref. [8]. Neste teste percebe-se quesons graves são aqueles que apresentambaixa frequência, e sons agudos, alta fre-quência.
Frequências abaixo de 20 Hz são clas-sificadas como infra-som. O som decor-rente de infra-som é extremamente gravee, apesar de não serem ouvidas, suas vi-brações podem ser percebidas e até mesmoproduzir efeitos sobre as pessoas. Comoexemplos destas fontes sonoras temos osvulcões, avalanches e terremotos. A detec-ção destas ondas se dá através de sismó-grafos e pode, portanto, “prever” catás-trofes naturais. Alguns animais tambémutilizam este tipo de som para se comuni-carem, como, por exemplo, os elefantes[9]. Já para frequência acima do limitesuperior de audição (20 kHz) temos o ul-tra-som. O seu uso em baixa intensidade
possibilita transmitir energia através deum meio e obter informações, como, porexemplo, ensaios não-destrutivos de ma-teriais, medidas de propriedades elásticasdos materiais e diagnósticos médicos [10].As aplicações de alta intensidade têm comoobjetivo produzir alteração do meio atra-vés do qual a onda se propaga. A terapiamédica, atomização de líquidos, rupturade células biológicas, solda e homogenei-zação de materiais são alguns exemplosde aplicações com ultra-som. O uso doultra-som de baixa intensidade em medi-cina, para diagnóstico, se baseia na refle-xão das ondas ultra-sônicas. Convémnotar que o diagnóstico com ultra-som émais seguro do que a radiação ionizantecomo os raios-X, e por isso é preferívelem exames pré-natais. As vantagens dodiagnóstico com o ultra-som são sua se-gurança, sua conveniência por ser não-invasivo, além de sua capacidade emdetectar fenômenos não perceptíveis pelosraios-X.
Impedância acústica e a formaçãode imagens ultra-sônicas
O princípio básico de produção deimagem em equipamentos de ultra-sono-grafia é a produção de ecos. O princípiopulso-eco refere-se à emissão de um pulsocurto de ultra-som que atravessa os teci-dos [10]. Ao encontrar algum obstáculo,parte deste pulso será refletido e parte serátransmitida. O equipamento guarda otempo gasto entre a emissão do pulso e arecepção do eco, transformando-o emdistância percorrida e representando-o emuma tela. A calibração destes aparelhos
Figura 3 - Esquema morfofisiológico das principais estruturas doouvido [6].
Figura 4 - Curva de limiar de audição para diferentesfrequências.
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9Física na Escola, v. 12, n. 2, 2011 Determinação da velocidade do som no ar através do eco
utiliza um valor constante de velocidadedo som igual a 1540 m/s, que correspon-de à velocidade média de transmissão dosom através dos constituintes do corpohumano, uma vez que suas velocidadessão muito semelhantes, exceto a do ar(pulmão e intestino) e dos ossos.
No processo de interação som-tecido,uma grandeza que merece destaque é aimpedância acústica e sua consequenteatenuação. A impedância acústica de ummeio está relacionada com a resistênciaou dificuldade do meio à passagem dosom. Corresponde ao produto da densi-dade do material pela velocidade do somno mesmo. Quando o feixe sonoro atra-vessa uma interface entre dois meios coma mesma impedância acústica, não háreflexão e a onda é toda transmitida aosegundo meio. É a diferença de impedânciaacústica entre dois tecidos que define aquantidade de reflexão na interface, pro-movendo sua identificação na imagem.
A Tabela 1 [11] mostra diferentes osdiferentes valores de velocidade e de impe-dância acústica para alguns tecidos.
Por exemplo, um nódulo no fígado serámais facilmente identificado se sua im-pedância acústica for bastante diferentedo parênquima hepático ao redor, aocontrário, quanto mais próxima suaimpedância acústica do parênquimahepático normal, mais dificuldade tere-mos em identificá-lo, porque poucareflexão sonora ocorrerá. Resumindo,quanto maior a diferença de impedân-cia entre duas estruturas, maior será aintensidade de reflexão e mais facilmen-te podemos diferenciá-las na ima-gem [10].
Experimento realizado
O experimento consiste em utilizarum tubo fechado em uma de suas extre-midades de comprimento conhecido e pro-duzir um som em uma das extremidades.Um microfone colocado na extremidadeaberta do tubo registrará o som emitido eapós um determinado intervalo de temporegistrará o sinal decorrente do eco, pro-duzido pela reflexão deste sinal na extre-midade fechada do tubo. Para o registro eanálise deste sinal utilizamos um progra-ma de versão freeware de análise de som(Audacity), cuja versão 1.26 está dispo-nível no vínculo da Ref. [12]. Este progra-ma permite observar a evolução tempo-ral do sinal com resoluções na faixa de26 μs, mais do que suficientes para o expe-rimento proposto. Utilizamos tubos de196,50 cm; 393,38 cm e 589,19 cm, de-signados por tubo 1, 2 e 3, respectiva-mente. Para a produção do sinal sonoro
utilizamos uma chave de contato tipo telé-grafo, que permite a produção de umpulso de duração bastante pequena (me-nor que o tempo que se deseja determinar,≅ 10 ms). Para fechar a extremidade dostubos utilizamos um disco de PVC.
Cada tubo foi posicionado de modoque sua extremidade aberta ficasse emcontato com a chave, pela qual o sinalsonoro foi emitido, e com o microfonecapturamos tanto a emissão do sinalquanto a sua reflexão do som, comomostra a Fig. 5. Esse procedimento foi rea-lizado para os três tubos.
A gravação foi feita através do soft-ware Audacity, e a Fig. 6 mostra o testede som realizado antes da obtenção dosdados.
O programa também possui um edi-tor de “envelope de amplitude”, espectro-grama e uma janela para análise de fre-quências e áudio em geral. Assim, atravésdele foi possível reconhecer o sinalemitido, o eco, e suas propriedades: am-plitude, frequência e sua evolução com otempo.
Resultados
Verificamos inicialmente a forma depulso sonoro emitido pela chave tipo “telé-grafo” na ausência dos tubos, gerando osinal da Fig. 7. Este procedimento é neces-sário para observarmos o tempo total de“duração” deste sinal, que deve ser menordo que intervalo de tempo que desejamos
determinar (para o menor tubo,196,50 cm de comprimento que é ordemde 10 ms). A Fig. 7 mostra que a duraçãodeste sinal é pelo menos metade do valordo tempo que se deseja medir. Vale lembrarque, enquanto o eixo horizontal indica otempo em segundos, o vertical indica umagrandeza proporcional à amplitude dosom.
Posteriormente foram feitas as medi-das dos intervalos de tempo decorridosentre o sinal produzido e a detecção doeco para cada um dos tubos. É fácilperceber, nas Figs. 8, 9 e 10, que o efeitodo eco é evidenciado pelo aumento nosintervalos de tempo entre os dois sinais,uma vez que o sinal correspondente aoeco demora mais a aparecer para os tubosde maiores comprimentos.
Tabela 1 - Transmissão do ultra-som em alguns tecidos.
Material ρ (kg/m3) V (m/s) Z (kg/m2s)
Ar 1,29 331 (em CNTP) 426
Água 1000 1480 1,48 × 106
Cérebro 1020 1530 1,56 × 106
Músculo 1040 1580 1,64 × 106
Gordura 920 1450 1,33 × 106
Osso 1900 4040 7,67 × 106
Figura 5 - Os tubos foram sempre manti-dos na horizontal para facilitar a emissãoe gravação do sinal sonoro.
Figura 6 - Exemplo de um som qualquer para análise no Audacity.
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10 Física na Escola, v. 12, n. 2, 2011Determinação da velocidade do som no ar através do eco
Consideramos contribuição da incerteza tipo A para a medidade tempo bem como a correção de Studart [13] para grau deconfiança em 90%. Já para a incerteza na medida do comprimentoconsidera-se a incerteza da trena utilizada graduada em mm, ouseja, 0,5 mm. A Tabela 2 representa os dados obtidos.
Tabela 2 - Medidas experimentais nos tubos.
Intervalo entre sinal e captura do sinal do eco (ms)
Tubo 1 11,3 11,4
11,4 11,4
11,3 11,3
11,4 11,4
Tubo 2 22,8 22,8
22,7 22,7
22,6 22,8
22,7 22,8
Tubo 3 34,0 34,1
34,0 33,9
34,0 34,0
34,1
Com os valores fornecidos, foi calculado o valor da velocidadelevando em conta as medidas em cada tubo, gerando uma velocidadepara cada um deles, indicados na Tabela 3.
Tabela 3 - Velocidade no som.
Velocidade (m/s)
Tubo 1 346 (1)
Tubo 2 346,0 (0,9)
Tubo 3 346,4 (0,5)
Dos valores obtidos, comparando com velocidade da Eq. (14)para valor da temperatura medida de 27 (0,5) °C, que nos forneceum valor de 346,3 (0,3) m/s, verifica-se uma total compatibilidadenos resultados.
Disponibilizamos os arquivos sonoros para os tubos 1, 2 e 3,bem como o arquivo obtido na ausência dos tubos no blog dadisciplina Física Aplicada à Biologia e Medicina do curso de FísicaMédica da PUC/SP [14].
Considerações finais
O experimento proporciona de forma simples e de fácil repro-dução a determinação da velocidade do som no ar, com uma boamargem de precisão e exatidão, principalmente se levarmos emconta a simplicidade do aparato experimental. A possibilidade deutilização de um programa freeware de análise de som é tambémbastante interessante e viabiliza sua aplicação em qualquer insti-tuição de ensino. Outro fator de relevância é que permite-se aoestudante visualizar o fenômeno de reflexão sonora, tão importantepara a compreensão das imagens de ultra-sonografia. Estudosadicionais estão sendo realizados para verificarmos a dependênciada amplitude do sinal em função de diferentes parâmetros, taiscomo comprimento do tubo e material que constitui a sua extre-midade e que dá origem à reflexão. Tal estudo permitirá melhorcompreender a impedância acústica, bem como a atenuação dosinal, parâmetros importantes no processo de formação deimagens.
Figura 7 - Exemplo do sinal sonoro sem nenhum tubo.
Figura 8 - Sinal sonoro propagado e refletido dentro do tubo 1.
Figura 9 - Exemplo de sinal sonoro com o tubo 2.
Figura 10 - Exemplo de sinal sonoro com o tubo 3.
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11Física na Escola, v. 12, n. 2, 2011 Determinação da velocidade do som no ar através do eco
Referências
[1] Sítio do simulador “Onda em corda” doprojeto Phet da University of Coloradohttp://phet.colorado.edu/en/simula-tion/wave-on-a-string, acesso em 17/6/2011.
[2] A.P. French, Vibrações e Ondas (Editora daUnB, Brasília, 2001).
[3] Sítio do prof. Angel Franco Garcia, si-mulação “Ondas longitudinais”, http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/ondaArmonica/ondasArmonicas.html,acesso em 17/6/2011.
[4] Relatório para a determinação da velo-cidade do som no ar da Universidade deMaringá, disponível em http://w w w. e b a h . c o m . b r / c o n t e n t /ABAAABQLUAJ/relatorio-velocidade-som, acesso em 17/11/2011).
[5] M.A. Cavalcante e C.F.C. Tavolaro, Física
na Escola 4(1), 29 (2003).[6] Retirado de http://www. prof2000.pt/users/
eta/Ruido.htm, acesso em 18/6/2011.[7] Sítio “Ações integradas sobre o sentido da
audição”, Projeto Ciência Viva, Ministérioda Educação, Porto, Portugal. http://telecom.inescn.pt/research/audio/cienciaviva/, acesso em 18/7/2011.
[8] Teste percepção sonora online http://w w w. p h y s . u n s w. e d u . a u / ~ j w /hearing.html, acesso em 17/6/2011.
[9] Sítio relativo a um seminário realizado pelosalunos da Escola Superior de Educaçãodo Instituto Politécnico de Coimbra http://esec.pt/~pcarvalho/, acesso em 18/6/2011.
[10] Apostila ultra-sonografia do Departa-mento de Radiologia da Faculdade de Me-dicina da USP/SP. Disponível em http://www.hcnet.usp.br/inrad/departamento/graduacao/aula/apostilafisicausg.pdf,
acesso em 18/6/2011.[11] E. Okuno, I.L. Caldas e C. Chow, Física
para Ciências Biológicas e Biomédicas(Harper & Row do Brasil, São Paulo,1982).
[12] Sítio em que se pode baixar a versão 1.2.6do programa Audacity: http://xviiisnefnovastecnologias.blogspot.com/2009/01/sof tware-de-ana l i s e -sonora.html, acesso em 18/6/21011.
[13] Acesso à tabela de correção de Studart,http://labempucsp.blogspot.com/2011/03/tabela-de-student.html,acesso em 18/6/2011.
[14] Blog da disciplina de Física Aplicada aBiologia e Medicina do curso de FísicaMédica da PUC/SP - vínvulo para acessodo arquivo de dados: http://fambpucsp.blogspot.com/2011/01/arquivos-de-dados-para-experimento-de.html, acesso em 18/6/2011.
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