MARCELO FERREIRA DE SOUZA BEZERRA ARAÚJO
ESTUDO DE FUNDAÇÕES DO TIPO SAPATAS DE CONCRETO
ARMADO RÍGIDAS E FLEXÍVEIS CONSIDERANDO A
COMPRESSÃO SIMPLES, FLEXÃO NORMAL COMPOSTA E
FLEXÃO OBLÍQUA COMPOSTA.
NATAL-RN 2016
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
I
Marcelo Ferreira de Souza Bezerra Araújo
Estudo de fundações do tipo sapatas de concreto armado rígidas e flexíveis considerando a
compressão simples, flexão normal composta e flexão oblíqua composta.
NATAL - RN
2016
Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade
Monografia, submetido ao Departamento de
Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte como parte dos requisitos
necessários para obtenção do Título de Bacharel em
Engenharia Civil.
Orientador: Prof. Dr. José Neres da Silva Filho
Coorientador: Eng. Arthur da Silva Rebouças
Catalogação da Publicação na Fonte
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - Sistema de Bibliotecas Biblioteca Central Zila Mamede / Setor de Informação e Referência
Araújo, Marcelo Ferreira de Souza Bezerra.
Estudo de fundações do tipo sapatas de concreto armado rígidas e flexíveis considerando a compressão simples, flexão normal composta e flexão oblíqua composta / Marcelo Ferreira de Souza Bezerra Araújo. - 2016.
80 f. : il. Monografia (Graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do
Norte, Centro de Tecnologia, Departamento de Engenharia Civil. Natal, RN, 2016.
Orientador: Prof. Dr. José Neres da Silva Filho. Coorientador: Eng. Arthur da Silva Rebouças. 1. Engenharia civil – Monografia. 2. Concreto armado –
Monografia. 3. Fundações – Monografia. 4. Sapatas - Monografia. I. Silva Filho, José Neres da. II. Rebouças, Arthur da Silva. III. Título.
RN/UF/BCZM CDU 624
II
Marcelo Ferreira de Souza Bezerra Araújo
Estudo de fundações do tipo sapatas de concreto armado rígidas e flexíveis considerando à
compressão simples, flexão normal composta e flexão oblíqua composta. Trabalho de conclusão de curso na modalidade Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.
Aprovado em 17 de novembro de 2016:
___________________________________________________ Prof. Dr. José Neres da Silva Filho
Orientador (DEC-UFRN)
___________________________________________________ Eng. Arthur da Silva Rebouças
Co-orientador (CBTU)
___________________________________________________ Prof. Dr. Joel Araújo do Nascimento Neto
Avaliador Interno (DEC-UFRN)
___________________________________________________ Prof. MsC. Leonardo Henrique Borges de Oliveira
Avaliador Externo - UFERSA
Natal-RN 2016
III
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho a todos que me ajudaram nesta caminhada.
IV
AGRADECIMENTOS É difícil agradecer todas as pessoas que de algum modo, nos momentos serenos e/ou apreensivos, fizeram ou fazem parte da minha vida, por isso primeiramente agradeço à todos, que me ajudaram a chegar até aqui, de coração. Agradeço aos meus pais, Marcus Vinicius Almeida de Araújo e Maria do Carmo Ferreira de Souza Bezerra Araújo, pela determinação e luta na minha formação e dos meus irmãos, fazendo amparar os ensinamentos de meus avós. Agradeço aos meus irmãos, Thiago Ferreira de Souza Bezerra Araújo e Raphael Ferreira de Souza Bezerra Araújo, que por mais difícil que fossem as circunstâncias, sempre tiveram paciência e confiança. Agradeço aos meus colegas de classe e com certeza futuros excelentes profissionais, que sempre me ajudaram quando precisava. Não poderia deixar de agradecer, também, aos meus amigos que, através do companheirismo, dignidade, carinho, autenticidade e amizade, se fizeram atuantes de alguma forma nessa longa caminhada. Agradeço à todos os coordenadores do Curso de Engenharia Civil, que tive ao longo da graduação, por terem acreditado num sonho que agora está prestes a se realizar. Agradeço aos professores que desempenharam com dedicação as aulas ministradas. Agradeço ao meu querido orientador, José Neres da Silva Filho, que com paciência e pouco tempo disponível, conseguiu corrigir os meus textos e por ser um excelente professor e profissional, o qual me espelho. Agradeço ao meu co-orientador, Arthur da Silva Rebouças, que me ajudou nesta etapa final. Agradeço à todos os funcionários da Universidade Federal do Rio Grande do Norte que permitiram um melhor ambiente de aprendizado ao longo do processo de graduação. E finalmente agradeço a Deus, por proporcionar estes agradecimentos à todos que tornaram minha vida mais afetuosa, além de ter me dado uma família maravilhosa e amigos sinceros.
V
RESUMO ESTUDO DE FUNDAÇÕES DO TIPO SAPATAS DE CONCRETO ARMADO RÍGIDAS
E FLEXÍVEIS CONSIDERANDO À COMPRESSÃO SIMPLES, FLEXÃO NORMAL COMPOSTA E FLEXÃO OBLÍQUA COMPOSTA.
Autor: Marcelo Ferreira de Souza Bezerra Araújo Orientador: Dr. José Neres da Silva Filho Coorientador: Arthur da Silva Rebouças Departamento de Engenharia Civil – UFRN Natal, Novembro de 2016 A grande utilização de sapatas como elementos de fundação desperta a necessidade de se analisar e comparar os critérios especificados em normas brasileiras e internacionais sobre projetos de sapatas isoladas. Este trabalho dará enfoque no processo de dimensionamento de sapatas isoladas submetidas à compressão simples, flexão composta normal e oblíqua através das normas NBR 6118:2014 – “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento” , ACI-318:2014 – “Building Code Requirements for Structural Concrete“ e do boletim CEB:1970. Busca-se, assim, comparar as taxas de armadura principal e a quantidade de concreto utilizado através do dimensionamento pelas normas referidas. Obtendo-se, como resultado, qual a norma é a mais, ou menos, conservadora no que se refere ao dimensionamento de sapatas. Palavras Chave: Concreto Armado. Fundação. Sapata.
VI
ABSTRACT
STUDY OF FLEXIBLE AND RIGID FOOTINGS FOUDANTION MADE OF
REINFORCED CONCRETE CONSIDERING SIMPLE COMPRESSION, NORMAL
BENDING WITH COMPRESSION AND OBLIQUE BENDING WITH COMPRESSION. Author: Marcelo Ferreira de Souza Bezerra Araújo Supervisor: Dr. José Neres da Silva Filho Co-supervisor: Arthur da Silva Rebouças Civil Engineering Department, Federal University of Rio Grande do Norte Brazil, Natal, November 2016 The widespread utilization of footings as foundation awakens the urgency of reviewing and comparing different specified criteria in Brazilian and international standards used to project footings foundation. This study will focus on the design process of isolated footings submitted to simple compression, normal bending with compression and oblique bending with compression suggested by the following standards: NBR 6118:2014 - "Design of concrete structures - Procedure", ACI-318:2014 - "Building Code Requirements for Structural Concrete" and CEB bulletin:1970. Thus, this study seeks to compare the main reinforcement rates and the amount of concrete required through the design according to each standard. As result, it is obtained which standard is, in regard to footing’s design, the most and the less conservative Keywords: Footing. Reinforced Concrete. Foundation.
VII
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura1-Sapatacorrida.................................................................................................................................................5Figura2-Sapatacomvigaalavanca...............................................................................................................................5Figura3-Sapataisolada.................................................................................................................................................5Figura4-Sapataassociada.............................................................................................................................................5Figura5-Detalhesconstrutivos......................................................................................................................................6Figura6-Compressãosimples........................................................................................................................................7Figura7-Flexãonormalcomposta.................................................................................................................................7Figura8-Flexãooblíquacomposta.................................................................................................................................7Figura9-Dimensõesdasapata......................................................................................................................................8Figura10-Distribuiçãodetensõesparasapatasrígidas.............................................................................................11Figura11-Distribuiçãodetensõesparasapatasflexíveis............................................................................................12Figura12-Resumodasdistribuiçõesdetensões..........................................................................................................12Figura13-Núcleocentral..............................................................................................................................................14Figura14-ModelosBielasetirantes............................................................................................................................18Figura15-Solicitaçõesnasapata.................................................................................................................................19Figura16-Conedepunçãoemsapatarígida...............................................................................................................22Figura17–Bielasdecompressãoemsapatasrígidas..................................................................................................22Figura18-Representaçãodométododasbielas..........................................................................................................23Figura19-Cargasexcêntricas.......................................................................................................................................25Figura20-Áreasdeinfluência......................................................................................................................................26Figura21-Representaçãodequinhõesdecargatrapezoidais.....................................................................................27Figura22-SuperfíciescríticasCeC’..............................................................................................................................28Figura23-ValoresK......................................................................................................................................................29Figura24-SeçãodereferênciaS1.................................................................................................................................30Figura25-SeçãoS2.......................................................................................................................................................31Figura26-Áreaparacálculodoesforçocortante.........................................................................................................31Figura27-Seçãodereferenciaparacálculo.................................................................................................................34Figura28-Seçãocríticaparaverificaçãodoesforçocortante......................................................................................34Figura29-Exemplificaçãodo“cAB”..............................................................................................................................36Figura30-Representaçãodospontosdeobtençãodastensões..................................................................................40Figura31-Tensõesparacálculo...................................................................................................................................44Figura32-TensõesparaforçaesforçocortantepeloCEB:1970...................................................................................55Figura33-Representaçãoemplantadasapata...........................................................................................................83Figura34-Ábacoparadeterminaçãodastensões.......................................................................................................93
VIII
Figura35-Comparaçãodastaxasmédiasdearmaduraparacasosdesapatasrígidas..............................................94Figura36-Comparaçãodastaxasmédiasdearmaduraparacasosdesapatasflexíveis............................................94Figura37-Comparaçãoverificaçõessapatasrígidas...................................................................................................95Figura38-Comparaçãoverificaçõessapatasflexíveis.................................................................................................95Figura39-Comparaçãodopesodeaçomédio............................................................................................................96Figura40-Comparaçãodovolumedeconcretomédio................................................................................................96Figura41-Comparaçãopesodeaçomédioporm3deconcreto..................................................................................97
IX
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela1–Situações......................................................................................................................................................38Tabela2-Dimensõesemplantadassapatas...............................................................................................................39Tabela3-Posiçãodeaplicaçãodacargaverticalesuasexcentricidades....................................................................40Tabela4-Tensões.........................................................................................................................................................41Tabela5-Novasdimensõesemplantadassapatas.....................................................................................................42Tabela6-Novasexcentricidades..................................................................................................................................42Tabela7-Novastensõesnabase..................................................................................................................................43Tabela8–AlturasparasapatasrígidassegundoNBR6118:2014................................................................................44Tabela9-Tensõesdetraçãocaracterísticas.................................................................................................................45Tabela10-Armadurasnecessárias...............................................................................................................................45Tabela11-Verificaçãobielacomprimida.....................................................................................................................46Tabela12-EstabilidadedassapataspelaNBR6118:2014...........................................................................................47Tabela13-AlturasparasapatasflexíveissegundoNBR6118:2014.............................................................................48Tabela14–MomentosfletoresdeprojetopelaNBR6118:2014..................................................................................49Tabela15-ArmadurasnecessáriaspelaNBR6118:2014.............................................................................................49Tabela16-VerificaçãodabielapelaNBR6118:2014...................................................................................................50Tabela17-PunçãopelaNBR6118:2014.......................................................................................................................50Tabela18-PunçãopelaNBR6118:2014.......................................................................................................................51Tabela19–PunçãopelaNBR6118:2014......................................................................................................................51Tabela20-EstabilidadedassapataspelaNBR6118:2014...........................................................................................52Tabela21-AlturasparasapatasrígidassegundoCEB:1970........................................................................................53Tabela22–MomentosfletoresdeprojetopeloCEB:1970............................................................................................54Tabela23-ArmadurapeloCEB:1970............................................................................................................................54Tabela24-TensõesparaesforçocortanteparaCEB:1970............................................................................................56Tabela25-Dimensõesparaverificaçãodoesforçocortante.........................................................................................56Tabela26-VerificaçãoaoesforçocortanteCEB:1970..................................................................................................57Tabela27-AlturasparasapatasflexíveissegundoCEB:1970......................................................................................58Tabela28–MomentosfletoresdeprojetopeloCEB:1970............................................................................................58Tabela29-ArmadurapeloCEB:1970............................................................................................................................59Tabela30-TensõesparaesforçocortanteparaCEB:1970............................................................................................59Tabela31-Dimensõesparaverificaçãodoesforçocortante.........................................................................................60Tabela32-VerificaçãoaoesforçocortanteCEB:1970..................................................................................................60Tabela33-PunçãopeloCEB:1970................................................................................................................................61Tabela34-PunçãopeloCEB:1970................................................................................................................................61
X
Tabela35-PunçãopeloCEB:1970................................................................................................................................62Tabela36–PunçãopeloCEB:1970................................................................................................................................62Tabela37-AlturasparasapataspeloACI-318:2014....................................................................................................63Tabela38-MomentosdeprojetopeloACI-318:2014...................................................................................................64Tabela39-ArmadurapeloACI-318:2014.....................................................................................................................64Tabela40-TensõesparaesforçocortanteparaACI-318:2014......................................................................................65Tabela41-PunçãopeloACI-318:2014..........................................................................................................................66Tabela42-PunçãopeloACI-318:2014..........................................................................................................................66Tabela43-PunçãopeloACI-318:2014..........................................................................................................................67Tabela44-AlturasparasapataspeloACI-318:2014....................................................................................................68Tabela45–MomentosfletoresdeprojetopeloACI-318:2014.....................................................................................68Tabela46-ArmadurapeloACI-318:2014.....................................................................................................................69Tabela47-TensõesparaesforçocortanteparaACI-318:2014.....................................................................................69Tabela48-PunçãopeloACI-318:2014..........................................................................................................................70Tabela49-PunçãopeloACI-318:2014..........................................................................................................................70Tabela50-PunçãopeloACI-318:2014..........................................................................................................................71Tabela51–Comparaçãodataxamédiadearmaduraprincipalparasapatasrígidas.................................................72Tabela52–Comparaçãodataxamédiadearmaduraprincipalparasapatasflexíveis...............................................72Tabela53-Comparaçãoverificaçõessapatasrígidas...................................................................................................73Tabela54-Comparaçãoverificaçõessapatasflexíveis.................................................................................................74Tabela55-Comparaçãopesomédiodeaçoevolumemédiodeconcreto..................................................................75Tabela56-Comparaçãopesodeaçomédioporm3deconcreto..................................................................................76Tabela57-PilarP1........................................................................................................................................................83
XI
SIMBOLOGIA
SÍMBOLO SIGNIFICADO
!!
!!
!!
F!"#$"%
!!"
!!"
F!"#$ã!
F!
F!
F!"
!′!
M!"#$%
!!"
M!"#$
T!
T!
!!
!
V!"
!!
!!
Dimensão do pilar paralela à excentricidade da força
Dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força
Excentricidade na direção “x” da sapata
Força estabilizante em decorrência do atrito
Resistência à compressão de projeto do concreto
Resistência à compressão característica do concreto
Força estabilizante em decorrência da coesão do solo
Ação horizontal
Ação vertical
Ação vertical de projeto
Resistencia à compressão característica do concreto adotada pelo ACI-
318:2014
Momento estabilizante
Momento fletor de projeto aplicado
Momento desestabilizante
Esforço de tração na base da sapata na direção “x“
Esforço de tração na base da sapata na direção “y“
Perímetro do contorno crítico C
Perímetro do contorno crítico C’
Esforço esforço cortante resistente
Módulo de resistência plástica do perímetro crítico
Fator obtido através do ábaco de MONTOYA (1973)
XII
SIMBOLOGIA
SÍMBOLO SIGNIFICADO
!!"#
σ!Á!
σ!"#
τ!"#
τ!"!
τ!"
A
aP
Area
B
bP
C
c
d
h
h0
!
K
!
P
!
ρ
!
Tensão admissível do solo
Tensão máxima na base da sapata
Tensão mínima na base da sapata
Tensão cisalhante resistente referente a diagonais comprimidas do concreto
Tensão de cisalhamento resistente para dispensar armadura transversal
Tensão cisalhante solicitante de projeto
Dimensão em planta na direção “x“ da sapata
Dimensão em planta na direção “x“ do pilar
Área da base da sapata
Dimensão em planta na direção “y“ da sapata
Dimensão em planta na direção “y“ do pilar
Balanço da sapata
Coesão do solo
Altura útil
Altura maior da sapata
Altura menor da sapata
Momento de inércia
Coeficiente utilizado no cálculo do τ!"
Momento fletor aplicado característico
Peso próprio da sapata
Ângulo definido pela “Figura 9 - Dimensões da sapata”
Taxa de armadura
Ângulo de atrito do solo
XIII
SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1
1.1. Considerações Iniciais .............................................................................................. 1
1.2. Objetivo Geral ........................................................................................................... 1
1.3. Objetivos específicos ................................................................................................ 2
1.4. Justificativa ............................................................................................................... 2
1.5. Estrutura do Trabalho ............................................................................................... 2
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................................ 4
2.1. Generalidades .......................................................................................................... 4
2.2. Detalhes Construtivos .............................................................................................. 5
2.2.1. Dimensões mínimas .............................................................................................. 5
2.2.2. Profundidade mínima ............................................................................................ 6
2.3. Tipos de solicitações ................................................................................................ 7
2.4. Classificação quanto a rigidez .................................................................................. 7
2.4.1. Segundo a NBR 6118:2014 .................................................................................. 8
2.4.2. Segundo CEB:1970 ............................................................................................... 9
2.4.3. Segundo ACI-318:2014 ......................................................................................... 9
2.5. Dimensionamento geométricas ................................................................................ 9
2.5.1. Para cargas centradas ........................................................................................ 10
2.5.2. Para cargas excêntricas ...................................................................................... 11
2.6. Tensões na base .................................................................................................... 11
2.6.1. Núcleo central de inércia ..................................................................................... 13
2.6.2. Cálculo de tensão na base .................................................................................. 14
2.6.2.1. Ação centrada .................................................................................................. 14
XIV
2.6.2.2. Ação centrada com momento em uma direção ................................................ 14
2.6.2.3. Ação centrada com momento em duas direção ............................................... 16
2.7. Punção ................................................................................................................... 17
2.8. Modelos bielas e tirantes ........................................................................................ 17
2.9. Verificação da estabilidade .................................................................................... 18
2.9.1. Verificação da segurança ao tombamento .......................................................... 18
2.9.2. Verificação da segurança ao deslizamento ......................................................... 20
3. MÉTODOS DE DIMENSIONAMENTO ...................................................................... 21
3.1. NBR 6118:2014 ...................................................................................................... 21
3.1.1. Sapatas rígidas .................................................................................................... 21
3.1.1.1. Modelo de cálculo para armadura principal ..................................................... 22
3.1.1.2. Verificação da biela comprimida (compressão diagonal) ................................. 25
3.1.2. Sapatas flexíveis ................................................................................................. 26
3.1.2.1. Modelo de cálculo para armadura principal ..................................................... 26
3.1.2.2. Verificação da biela comprimida ...................................................................... 28
3.1.2.3. Verificação à punção ........................................................................................ 28
3.2. CEB:1970 ............................................................................................................... 30
3.2.1. Sapatas rígidas .................................................................................................... 30
3.2.1.1. Modelo de cálculo para armadura principal ..................................................... 30
3.2.1.2. Verificação ao esforço cortante ........................................................................ 31
3.2.2. Sapatas flexíveis ................................................................................................. 32
3.2.2.1. Modelo de cálculo para armadura principal ..................................................... 32
3.2.2.2. Verificação ao esforço cortante ........................................................................ 32
3.2.2.3. Verificação à punção ........................................................................................ 32
3.3. ACI-318:2014 ......................................................................................................... 33
3.3.1. Modelo de cálculo para armadura principal ........................................................ 33
XV
3.3.2. Verificação ao esforço cortante ........................................................................... 34
3.3.3. Verificação à punção ........................................................................................... 35
4. MODELOS TEÓRICOS ANALISADOS ..................................................................... 38
4.1. Situações ................................................................................................................ 38
5. DIMENSIONAMENTO ANALÍTICO ........................................................................... 39
5.1. Dimensionamento geométrico geral ....................................................................... 39
5.2. Dimensionamento pela NBR 6118:2014 ................................................................ 43
5.2.1. Para sapatas rígidas ............................................................................................ 43
5.2.1.1. Verificação da biela comprimida ...................................................................... 46
5.2.1.2. Verificação da estabilidade .............................................................................. 47
5.2.2. Para sapatas flexíveis ......................................................................................... 47
5.2.2.1. Verificação da biela comprimida ...................................................................... 50
De modo similar ao realizado no Tópico 5.2.1.1, têm-se: ................................................ 50
5.2.2.2. Verificação à punção ........................................................................................ 50
5.2.2.3. Verificação da estabilidade .............................................................................. 52
5.3. Dimensionamento pelo CEB:1970 ......................................................................... 53
5.3.1. Para sapatas rígidas ............................................................................................ 53
5.3.1.1. Verificação ao esforço cortante ........................................................................ 55
5.3.1.2. Verificação da estabilidade .............................................................................. 57
5.3.2. Para sapatas flexíveis ......................................................................................... 57
5.3.2.1. Verificação ao esforço cortante ........................................................................ 59
5.3.2.2. Verificação à punção ........................................................................................ 61
5.3.2.3. Verificação da estabilidade .............................................................................. 63
5.4. Dimensionamento pelo ACI-318:2014 ................................................................... 63
5.4.1. Dimensionamento adotando alturas das sapatas rígidas ................................... 63
5.4.1.1. Verificação ao esforço cortante ........................................................................ 65
XVI
5.4.1.2. Verificação à punção ........................................................................................ 66
5.4.1.3. Verificação da estabilidade .............................................................................. 67
5.4.2. Dimensionamento adotando alturas das sapatas flexíveis ................................. 67
5.4.2.1. Verificação ao esforço cortante ........................................................................ 69
5.4.2.2. Verificação à punção ........................................................................................ 70
5.4.2.3. Verificação da estabilidade .............................................................................. 71
6. ANÁLISE COMPARATIVA DOS RESULTADOS ...................................................... 72
7. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ........................... 77
7.1. Sugestões para trabalhos futuros .......................................................................... 78
8. REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 79
ANEXO A ......................................................................................................................... 81
ANEXO B ......................................................................................................................... 83
ANEXO C ......................................................................................................................... 93
ANEXO D ......................................................................................................................... 94
1
1. INTRODUÇÃO
1.1. Considerações Iniciais
O Brasil, por ser um país em desenvolvimento, ainda possui diversas áreas da engenharia que precisam ser desenvolvidas e ampliadas concomitantemente com o seu desenvolvimento econômico e social. Desde áreas que passam um pouco despercebidas por grande parte da população, a exemplo da cultura, a áreas de grande percepção, como a infraestrutura. No que concerne ao desenvolvimento da infraestrutura, pode-se afirmar que a realização de estudos em diversas áreas técnicas, a exemplo das engenharias, é peça fundamental para um mais rápido e melhor desenvolvimento da infraestrutura no país. Esse, por sua vez, está intrinsicamente ligado à qualidade da engenharia civil. A fim de proporcionar um aperfeiçoamento, no que diz respeito à qualidade e durabilidade das construções, esse trabalho foca-se no estudo analítico de fundações do tipo sapatas isoladas. O início do projeto estrutural de uma edificação dar-se início pela sondagem do terreno sobre o qual ela será erguida. A sondagem consiste na identificação das camadas do solo e da sua resistência, além de detectar a presença do lençol freático. Essas informações são fundamentais para que o calculista projete adequadamente as fundações. Essas, por sua vez, são elementos estruturais cuja função é transmitir as ações atuantes na estrutura à camada resistente do solo. Os elementos estruturais de fundações devem apresentar resistência adequada para suportar as tensões geradas pelos esforços solicitantes. Além disso, uma fundação deve transferir, de maneira segura, as ações da superestrutura ao solo, de modo que os recalques totais e diferenciais não ultrapassem os valores limites definidos por norma.
1.2. Objetivo Geral
A pesquisa tem como objetivo comparar e analisar o processo de dimensionamento de sapatas isoladas submetidas à compressão simples, flexão normal composta e flexão obliqua composta através das normas NBR 6118:2014 – “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”, ACI-318:2014 – “Building Code Requirements for Structural Concrete“ e do boletim CEB:1970.
2
1.3. Objetivos específicos
Os objetivos específicos são: Ø Fazer o dimensionamento geométrico de elementos de fundação tipo sapatas
isoladas; Ø Obter os esforços solicitantes pelos modelos analíticos correntes; Ø Fazer o dimensionamento e obter as taxas de armaduras principal pelas
normas NBR 6118:2014 – “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”, ACI-318:2014 – “Building Code Requirements for Structural Concrete“ e pelo boletim CEB:1970.
1.4. Justificativa
As sapatas representam uma das principais soluções utilizadas no Brasil como elemento fundação. A sua utilização quando associada à falta de conhecimento de dimensionamento pode ocasionar diversos problemas, dentre eles, destaca-se o problema relativo à integridade e estabilidade da edificação. Ainda assim, percebe-se que há uma considerável carência de novos estudos analíticos, numéricos e experimentais nesse âmbito, o que proporciona a manutenção de métodos e critérios antigos de dimensionamento. Nesse sentido, pretende-se analisar e comparar os critérios de dimensionamento de sapatas especificados nas normas NBR 6118:2014 – “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”, ACI-318:2014 – “Building Code Requirements for Structural Concrete“ e no boletim CEB:1970, a fim de identificar suas limitações e dar indicações para subsidiar a buscar por novos modelos analíticos para o dimensionamento de fundações em sapatas, levando em conta a segurança estrutural, a economia e a sua praticidade de execução.
1.5. Estrutura do Trabalho
O presente estudo estruturou-se em nove capítulos, a começar por este primeiro, o qual ressalta a relevância do estudo a ser feito.
3
O Capítulo 2 (dois) abordará as informações necessárias para entendimento do passo a passo do dimensionamento de sapata através das diferentes normas em questão. Esse capítulo tem o objetivo de apresentar os principais conceitos básicos relacionados ao tema em estudo, tal como: obtenção de tensões na base das sapatas, o núcleo central de inércia, efeito de punção, método de bielas e tirantes... Já o Capítulo 3 apresentará os métodos de dimensionamento através dos critérios específicos das respectivas normas, NBR 6118:2014 – “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento” , ACI-318:2014 – “Building Code Requirements for Structural Concrete“ e do boletim CEB:1970. O Capítulo 4 tratará de definir os modelos a serem dimensionados e que servirão como base para a análise comparativa das normas abordadas. No capítulo 5 será apresentado o completo dimensionamento dos modelos via as diferentes normas e métodos pré-estabelecidos. O Capítulo 6 apresentará a análise comparativa dos resultados fornecidos baseados nas normas. O Capítulo 7 tratará de apresentar as conclusões do estudo realizado. Para finalizar, o Capítulo 8 apresenta as referências bibliográficas.
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2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. Generalidades
Segundo CINTRA e AOKI (2011), em função do modo de transmissão dos esforços ao solo, as fundações classificam-se em:
• Fundação direta: Elemento de fundação em que a ação é transmitida majoritariamente pelas tensões distribuídas sob a base da fundação, e em que, normalmente, a profundidade de assentamento em relação ao nível do terreno confinante é inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação em planta. Deve-se atentar que qualquer resistência promovida pela pelo atrito lateral não deve ser considerada no cálculo da tensão admissível. Faz parte desse grupo as sapatas, radiers e tubulões.
• Fundação Indireta: Elemento de fundação que transmite as ações ao solo tanto pela sua superfície lateral (resistência de fuste) como, também, pela base da fundação (resistência de ponta). Em sua grande maioria apresenta uma resistência de fuste superior à resistência de ponta. Geralmente está assentada em profundidade superior ao dobro de sua menor dimensão em planta e no mínimo 3m. Neste tipo de fundação incluem-se as estacas.
De acordo com a NBR 6122:2010 (2010, p. 2), “sapatas são elementos de
fundação superficial, de concreto armado, dimensionados de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo emprego de armadura especialmente disposta para esse fim.". Esse tipo fundação direta caracteriza-se por ser um elemento tridimensional e ter a finalidade de transferir para o terreno as ações provenientes de pilares ou paredes. A área da base das sapatas deve ser dimensionada a partir da tensão admissível do solo, estabelecida através das devidas inspeções necessárias. O tema que se refere ao estudo geotécnico das fundações não será abordado neste estudo. Em decorrência da grande variabilidade do solo, local de assentamento e das cargas atuantes, surgiram diferentes tipos sapatas. Essas podem ser classificadas como
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corridas (Figura 1), viga alavanca (Figura 2), isoladas (Figura 3), associadas (Figura 4). Destaca-se que no estudo em questão apenas as sapatas isoladas serão abordadas.
Figura 1 - Sapata corrida
Figura 2 - Sapata com viga alavanca
Figura 3 - Sapata isolada
Figura 4 - Sapata associada
2.2. Detalhes Construtivos
2.2.1. Dimensões mínimas
Conforme a NBR 6122:2010 (item 7.7.1), as sapatas isoladas não devem ter dimensões, em planta, inferiores a 0,60 metros. Essa mesma norma, no item 7.7.3, determina a utilização de um lastro de concreto não estrutural, com no mínimo de 5 centímetros, sob a base da sapata com a função de regularizar o local de assentamento. Já o ACI-318:2014, apesar de não definir as dimensões mínimas em planta para os elementos de fundação em questão, estabelece uma altura mínima, relativa a h0 das sapatas, de 0,20 metros.
Fonte: Disponível em: <http://blog.construir.arq.br/fundacao_sapata/.> Acesso em: 15 de Maio de 2016
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CAMPOS (2015) determina que o valor de h0 satisfaça as seguintes condições:
h! cm ≥ h/320 !" (1)
Segundo CAMPOS (2015), deve-se atentar para que a altura do elemento de fundação seja suficiente para permitir a ancoragem da armadura proveniente do pilar. A fim de proporcionar uma economia no que se refere à utilização de concreto e fôrma, tornou-se comum executar sapatas com altura variando linearmente, sendo no encontro pilar-sapata a região de maior altura. De acordo com MONTOYA, MESEGUER e CABRÉ (1973 apud CAMPOS, 2015), o ângulo gerado a partir da variação de altura com a horizontal não deve ultrapassar 30°. Em sapatas de altura variável, deve haver um espaço, entre 3 a 10 centímetros, para apoio e vedação da fôrma do pilar no topo da sapata. A Figura 5 apresenta os detalhes construtivos citados.
Figura 5 - Detalhes construtivos
2.2.2. Profundidade mínima
Conforme a NBR 6122:2010, nas divisas com terreno vizinhos, salvo quando a fundação for assente sobre rocha, tal profundidade não deve ser inferior a 1,5 m. Em casos de obras cujas sapatas ou blocos estejam majoritariamente previstas com dimensões inferiores a 1,0 metro, essa profundidade mínima pode ser reduzida. Apesar disso, as normas NBR 6118:2014, ACI-318:2014 e o boletim CEB:1970, não
Fonte: Bastos (2012)
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estabelecem uma profundidade mínima de assentamento, apenas citam que essa tem que ser suficiente para conferir uma capacidade de suporte à estrutura ao longo da vida útil estabelecida para a edificação.
2.3. Tipos de solicitações
As sapatas podem estar solicitadas a compressão simples, porém, em muitas situações práticas, as cargas verticais provenientes dos pilares ou parede são aplicadas excentricamente em relação ao centro de gravidade das fundações. Dessa forma, verifica-se que as sapatas, em sua grande maioria, estarão solicitadas à flexão normal composta e flexão oblíqua composta. O tipo de carregamento, em conjunto com a classificação relativa à rigidez da fundação e do tipo de solo, são responsáveis por determinar como ocorrerá a distribuição de tensões sob a base da sapata.
Figura 6 - Compressão simples
Figura 7 - Flexão normal composta
Figura 8 - Flexão oblíqua composta
2.4. Classificação quanto a rigidez
Segundo MONTOYA (1973 apud CAMPOS, 2015) as sapatas, de acordo o seu comportamento estrutural e suas dimensões, podem ser classificadas em flexíveis ou rígidas. A classificação das sapatas, relativa a esse aspecto, é de grande importância, uma vez que direciona a forma como a distribuição de tensões na interface base da sapata com o solo deve ser considerada, bem como o procedimento ou método adotado durante dimensionamento estrutural. De acordo com ANDRADE (1989 apud SILVA e GIONGO, 2008), um fator determinante para a definição da rigidez de uma sapata é a resistência do solo. Sugere-
Fonte: Disponível em: <http://nova.fau.ufrj.br/material_didatico/FAE361-%20%20%20%20Aula.pdf> Acesso em: 20 de Maio de 2016
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se a utilização de sapatas flexíveis para pequenas solicitações e solos de baixa resistência, com tensão admissível abaixo de 150 kN/m2. Já em relação às sapatas rígidas, sugere-se a utilização dessas quando há solicitações consideráveis e um solo de relativa resistência.
2.4.1. Segundo a NBR 6118:2014
Conforme a NBR 6118:2014 (item 22.6.1), as sapatas são classificadas em:
• Sapata Rígida: h ≥ A− a!
3 → ! ≥ 33.7° (2)
• Sapata Flexível:
h < A− a!3 → ! < 33.7° (3)
Onde, "h" é a altura da sapata, "!" é a dimensão da sapata na direção calculada, "a!" é a altura da seção do pilar na mesma direção e "!" é o ângulo indicado na Figura 9. Vale salientar que a rigidez deve ser calculada em ambas as direções da sapata.
Figura 9 - Dimensões da sapata
Fonte: Bastos (2012)
9
2.4.2. Segundo CEB:1970
Apoiando-se em estudos realizados por MONTOYA (1973) e LEBELLE (1936), o CEB:1970 estabelece a classificação relativa a rigidez da seguinte maneira:
• Sapata Rígida: 0,5 ≤ tan! ≤ 1,5 → 26,6° ≤ β ≤ 56,3° (4) Ou A cm − a! cm
4 ≤ h cm ≤ 1,5 A cm − a! cm2
(5)
• Sapata Flexível: tan! < 0,5 → β < 26,6° (6) Ou h cm < A cm − a! cm
4 (7)
Onde, " tan! " é igual a "h/C", "h" é a altura da sapata, "!" é a dimensão da sapata na direção calculada, "a!" é a altura da seção do pilar na mesma direção e "C" é o balanço da sapata. A rigidez deve ser calculada em ambas as direções da sapata. Em caso de tan! > 1,5 → β > 56,3°, entende-se que o elemento de fundação tem que ser tratado como bloco de fundação, uma vez que o concreto, sem a presença de armadura de flexão, já resiste as tensões geradas.
2.4.3. Segundo ACI-318:2014
A norma americana, ACI-318:2014, não estabelece qualquer classificação referente a rigidez de sapatas. Assim, todas as sapatas são tratadas de uma única maneira.
2.5. Dimensionamento geométricas
Durante o processo de cálculo da área da base da sapata, o meio técnico sugere acrescentar à ação vertical em 5% para sapatas flexíveis e 10% para rígidas, apesar de a NBR 6122:2010 determinar a utilização de no mínimo 5% para qualquer tipo de fundação. Esse acréscimo é realizado para que o peso próprio da sapata seja levado em
10
consideração. BASTOS (2012) sugere que os valores de “A” e “B”, em centímetros, sejam múltiplos de 5. A NBR 6122:2010 (item 6.3), ARAÚJO (2013) e MORAES (1976) estabelecem que em situações onde o vento é a ação variável principal, os valores de tensão admissível em sapatas podem ser majorados em até 30% para a verificação da tensão máxima nas bordas. Segundo ALONSO (1983 apud SILVA e GIONGO, 2008), a escolha das dimensões em planta da sapata, “A“ e “B“, devem ser feitas de modo que:
• O centro de gravidade da sapata e do pilar coincidam; • Que a relação entre os lados “A“ e “B“ seja sempre menor ou igual a 2,5;
• Os balanços da sapata sejam semelhantes, promovendo, assim, a adoção de taxas de armaduras similares nas duas direções.
A seguinte equação é utilizada para obter os lados de sapatas com balaços iguais:
B = 12 !! − !! + 1
4 !! − !!! + !"#$
(8)
Onde, "Area" é área da base da sapata necessária.
2.5.1. Para cargas centradas
De acordo com a NBR 6122:2010, a área da fundação solicitada por cargas centradas deve ser tal que as tensões transmitidas ao terreno, admitidas uniformemente distribuídas, sejam menores ou iguais a tensão admissível ou tensão resistente de projeto do solo de apoio. Pode-se afirmar que as dimensões em planta, necessárias para uma sapata, será obtida da seguinte equação: Area = A ∙ B = F!
!!"# (9)
Onde, "F!" é ação vertical e "!!"#" é tensão admissível do solo.
11
2.5.2. Para cargas excêntricas
Em situações onde a fundação é solicitada por uma carga excêntrica, deve-se assegurar que a tensão máxima de borda seja menor ou igual à tensão admissível ou tensão resistente de projeto, bem como que mais de 2/3 da área da base da sapata esteja sob compressão. Em casos em que a ação do vento é a ação variável principal, pode-se utilizar a equação (9) para obter as dimensões da sapata. Posteriormente, deve-se verificar se a tensão na borda da sapata, calculada de acordo com o Tópico 2.6, é inferior a tensão admissível do solo acrescida de 30%.
2.6. Tensões na base
A partir da determinação da rigidez da fundação e da natureza do solo que servirá como base, pode-se, de maneira simplificada, ter prévia noção de como ocorrerá a distribuição de tensões ao longo da base da sapata. LEONHARDT e MÖNNING (1978 apud CAMPOS, 2015) e MONTOYA, MESEGUER E CABRÉ (1973 apud CAMPOS, 2015) comprovaram que as tensões na interface base da sapata-solo, em fundações rígidas e flexíveis sob a ação de cargas centradas, apresentam os seguintes formatos de distribuições apresentados nas Figuras 11 e 12 para sapatas rígidas e flexíveis.
Figura 10 - Distribuição de tensões para sapatas rígidas
Fonte: Campos (2015)
12
Figura 11 - Distribuição de tensões para sapatas flexíveis
A análise detalhada da distribuição de tensões, entretanto, é bastante complexa e apresentam, na maioria das vezes, apenas informações qualitativas sobre o real comportamento sapata-solo. Diante dessas considerações, sugere-se a adoção da hipótese de uma pressão no solo uniformemente distribuída ao longo da sapata, com exceção para sapatas assentadas sob rocha. Nesses casos, pode-se admitir a distribuição em forma de dois triângulos com o vértice no centro da sapata. Para sapatas rígidas, o vértice aponta para cima (tensão zero), enquanto que para sapatas flexíveis o vértice aponta para baixo (tensão máxima).
Figura 12 - Resumo das distribuições de tensões
Fonte: Campos (2015)
Fonte: Campos (2015)
13
De acordo com a NBR 6118:2014, é possível admitir essa simplificação da distribuição de tensões para sapatas rígidas. Por outro lado, a norma em questão cita que para sapatas flexíveis ou em casos extremos de fundação em rocha, mesmo com sapata rígida, essa hipótese deve ser revista. Como visto anteriormente, em caso de ação centrada, a adoção de uma distribuição de tensões uniforme pode ser feita, entretanto, em casos de ações excêntricas, o diagrama de tensões varia linearmente ao longo da direção da excentricidade. Uma fundação é solicitada à ação excêntrica quando apresenta:
• Um carregamento vertical cujo eixo não coincide com o centro de gravidade da superfície de contato da fundação com o solo;
• Carregamento horizontal situado fora do plano da base da fundação;
• Qualquer conjunto de carregamentos que gerem momentos na fundação.
2.6.1. Núcleo central de inércia
O núcleo central de inércia é definido como a região geométrica da seção transversal da sapata, que se nela for aplicada uma carga de compressão P, toda a seção apresentará apenas tensões de compressão. A medida que as excentricidades dos carregamentos aumentam, a carga de compressão P tende a sair do núcleo central de inércia, fazendo com que apenas uma determinada região da sapata fique sob compressão.
14
Figura 13 - Núcleo central
2.6.2. Cálculo de tensão na base
2.6.2.1. Ação centrada
A determinação da tensão na base de uma sapata submetida a uma ação centrada, assumindo a hipótese de distribuição uniforme é obtida da seguinte maneira: σ = F!
!"#$ (10)
Onde, "F!" é a ação vertical centrada e "Area" é área da base da sapata.
2.6.2.2. Ação centrada com momento em uma direção
O momento aplicado em uma direção pode ser analisado aplicando-se a ação vertical, que a priori era centrada, com uma excentricidade tal que proporcionasse o respectivo momento. Assim, a determinação da tensão na base de uma sapata submetida a uma ação com excentricidade em uma direção, assumindo as hipóteses já citadas, é obtida da seguinte maneira:
• Em caso da ação ser aplicada dentro do núcleo central de inércia:
Fonte: Silva e Giongo (2008)
15
Para o ponto de aplicação da ação se localizar dentro do núcleo central de inércia, a condição e < A/6 tem que ser satisfeita. Sendo, "!!" a excentricidade e "A” a dimensão da sapata na mesma direção da excentricidade. Utilizando-se da fórmula de flexão composta da Resistência dos Materiais, têm-se: σ = F!
!"#$ +! ∙ !! (11)
Onde, "F!" é a ação vertical, "Area" é área da base da sapata, "!" é o momento aplicado ou gerado por uma excentricidade, "!" é a distancia do eixo central ao ponto onde a tensão está sendo calculado e "!" é o momento de inércia da base da sapata. As tensões são dadas pela equação (12) abaixo: σ = F!
! ∙ ! 1± 6!!! (12)
Sendo a tensão máxima dada por: σ!Á! =
F!! ∙ ! 1+ 6 ∙ !!! (13)
E a mínima por: σ!"# =
F!! ∙ ! 1− 6!!! (14)
• Em caso da ação ser aplicada no limite do núcleo central de inércia: O valor da tensão máxima é obtido a partir da seguinte expressão: σ!Á! = 2 ∙ F!
! ∙ ! (15)
• Em caso da ação ser aplicada fora do núcleo central de inércia:
16
Para o ponto de aplicação da ação se localizar fora do núcleo central de inércia, a condição e > A/6 tem que ser satisfeita. Sendo, "e" a excentricidade e "A” a dimensão da sapata na mesma direção da excentricidade. Em ocasiões como esta, apenas uma parte da sapata estará sendo comprimida. Destaca-se que não ocorre tensão de tração na base da sapata, uma vez que o solo é incapaz de proporcionar tal efeito. O valor da tensão máxima é dado por: σ!Á! =
2F!3! !
2 − !! (16)
2.6.2.3. Ação centrada com momento em duas direção
De maneira análoga ao cálculo de tensões na base em sapatas com cargas excêntricas em apenas uma direção, têm-se: σ = F!
!"#$ +!! ∙ !! +!! ∙ !
! (17)
• Em caso da ação ser aplicada dentro ou no limite do núcleo central de inércia: Para o ponto de aplicação da ação se localizar dentro ou no limite do núcleo central de inércia, a seguinte condição tem que ser satisfeita: e!
! + e!! ≤ 1 6 (18)
A partir disso, encontra-se a tensão máxima e mínima através das seguintes expressões: σ!Á! =
F!! ∙ ! 1+ 6!!! + 6!!! σ!"# =
F!! ∙ ! 1− 6!!! − 6!!! (19) e (20)
• Em caso da ação ser aplicada fora do núcleo central de inércia:
17
MONTOYA (1973 apud BASTOS,2012), a fim de facilitar o processo de determinação da tensão máxima em situações como essa, desenvolveu o ábaco apresentado no Anexo C. A tensão máxima é dada por: σ!Á! =
F!!! ∙ ! ∙ ! (21)
Onde, "!!" é um fator encontrado através do ábaco de MONTOYA (1973).
2.7. Punção
Segundo CORDOVIL (1997), estabeleceu-se que a punção em peças estruturais de concreto armado seria o efeito de ruptura transversal, por cisalhamento, em torno de regiões relativamente pequenas submetidas a carregamentos localizados. A ruína por punção, normalmente, caracteriza-se pela ruptura do tipo frágil e pelo deslocamento vertical ao longo da superfície que parte da área carregada e se estende até a outra face. Segundo MORAES (1976), no cálculo de sapatas flexíveis, além do dimensionamento feito para as armaduras principais, é importante verificar a tensão de punção. Em casos específicos como de sapatas, CHUST e LIBÂNIO (2013) define que a superfície de ruptura, com forma de tronco de cone, apresenta uma inclinação de 45° em relação ao plano da base da sapata.
2.8. Modelos bielas e tirantes
De acordo com CARNEIRO e GIONGO (1991), “Os modelos de bielas e tirantes são representações discretas dos campos de tensão nos elementos estruturais de concreto armado. As bielas são idealizações das trajetórias de tensão de compressão no concreto, e os tirantes, campos de tensão de tração que podem ser absorvidos por uma ou várias camadas de armadura. O modelo idealizado, que é uma estrutura de barras, concentra todas as tensões em barras comprimidas e tracionadas ligando-as através de nós.“
A utilização dos ângulos das bielas entre 35° e 45° apresentam as melhores condições de dimensionamento, uma vez que são as mais parecidas com o real
18
encaminhamento das tensões e a proporcionam o dimensionamento mais econômico. Apesar disso, a NBR 6118:2014 (item 22.3.1) estabelece que a inclinação das bielas em relação a armadura longitudinal do elemento estrutural deve estar entre 29,7° e 63,4°. Ademais, a NBR 6118:2014 (item 22.3.1) afirma que em torno dos nós existirá um volume de concreto, designado como zona nodal, onde é verificada a resistência necessária para a transmissão das forças entre as bielas e os tirantes. A treliça idealizada é isostática e nos nós são concentradas as forças externas aplicadas ao elemento estrutural e as reações de apoio. Por fim, as verificações das bielas, tirantes e nós são efetuadas a partir das forças obtidas na análise da treliça isostática sob a ação do sistema auto equilibrado de forças ativas e reativas na treliça.
Figura 14 - Modelos Bielas e tirantes
2.9. Verificação da estabilidade
Em sapatas solicitadas a forças horizontais e/ou momentos, deve-se verificar a estabilidade no que se refere ao deslizamento e tombamento do elemento de fundação.
2.9.1. Verificação da segurança ao tombamento
BASTOS (2012) afirma que a verificação ao tombamento é feita comparando-se os momentos, em torno de um ponto 1 mostrado na Figura 15.
Fonte: Disponível em: http://www.slideshare.net/fawadnajam/ce-7252-lecture-7-strut-and-tie-models. Acesso em: 20 de agosto de 2016
19
Figura 15 - Solicitações na sapata
O momento de tombamento é dado por:
M!"#$ = M+ F! ∙ ℎ (22) Onde, "!" é o momento aplicado a sapata, "F!" é a força horizontal e "ℎ" é a altura da sapata.
Já o momento de estabilização é calculado a partir da seguinte equação:
M!"#$% = !! + P ∙ !2 (23)
Onde, "!!" é a ação vertical sob a sapata, "P" é o peso próprio da sapata e "!" é a
dimensão da sapata na direção a ser analisada. Conforme MONTOYA (1973 apud SILVA e GIONGO, 2008), para que haja
estabilidade em relação ao tombamento da sapata, a seguinte condição tem que ser satisfeita: γ!"#$ =
M!"#$%M!"#$
≥ 1,5 (24)
Fonte: Silva e Giongo (2008)
20
2.9.2. Verificação da segurança ao deslizamento
De acordo com BASTOS (2012), para se verificar a segurança ao deslizamento, deve-se, primeiramente, encontrar a parcela resistiva proporcionada pelo atrito entre a base da sapata e o solo e pela coesão do solo. F!"#$"% = !! + P tan 2
3! (25)
F!"#$ã! = ! 2
3 ! (26)
Onde, "!" é o ângulo de atrito entre o solo e o concreto, "c" é a coesão do solo e "!" é a dimensão da base em contato com o solo. Em seguida a condição subsequente tem que ser satisfeita: γ!"# =
F!"#$"% + F!"#$ã!F!
≥ 1,5 (27)
De maneira alternativa, pode-se verificar a segurança ao deslizamento da seguinte maneira: γ!"# =
!! + P tan!F!
≥ 1,5 (28)
De acordo com MORAES (1976), o valor de "!" deve ser menor ou igual ao ângulo de atrito interno do solo.
21
3. MÉTODOS DE DIMENSIONAMENTO
3.1. NBR 6118:2014
Apesar da NBR 6118:2014 não estabelecer critérios técnicos específicos para o dimensionamento de sapatas, a mesma propõe que seja feito verificações de segurança preconizados para vigas e lajes. Já no que concerne ao modelo de cálculo estabelecido, a NBR 6118:2014 afirma que para cálculo e dimensionamento de sapatas, devem ser utilizados modelos tridimensionais lineares ou modelos biela-tirante tridimensionais, podendo, quando for o caso, ser utilizados modelos de flexão.
3.1.1. Sapatas rígidas
Conforme a NBR 6118:2014, o comportamento estrutural das sapatas rígidas caracteriza-se pelo trabalho à flexão e ao cisalhamento nas duas direções, admitindo-se que, para ambas, a tração na flexão é uniformemente distribuída ao longo da respectiva largura, o que permite uma distribuição de armadura constante ao longo da largura da sapata. Cita-se, entretanto, que a compressão na flexão não segue essa mesma hipótese, uma vez que há concentração de tensões de compressão na região do pilar que se apoia na sapata. Além disto, a NBR 6118:2014 assegura que, em sapatas rígidas, não haverá ruptura por tração diagonal, mas, sim, por compressão diagonal verificada no seu item 19.5.3.1. Esse comportamento é justificado pelo fato do elemento de fundação, sapata, encontrar-se inteiramente dentro do cone hipotético de punção, como pode ser visto na Figura 16. Tendo isso em vista, apenas a verificação da biela comprimida (compressão diagonal) tem que ser feita para sapatas rígidas, dispensando-se, assim, a verificação ao esforço cortante e a punção.
22
Figura 16 - Cone de punção em sapata rígida
3.1.1.1. Modelo de cálculo para armadura principal
Como a norma brasileira não estabelece um modelo de cálculo específico para dimensionamento de sapata rígida, o presente trabalho irá se utilizar do método biela e tirante proposto por LEBELLE e GUERRIN (1955 apud CAMPOS, 2015). Esse método consiste na determinação dos esforços de tração na armadura para que, posteriormente, seja determinada a área de aço necessária. A Figura 17 representa as bielas de compressão existentes na sapata, como também as tensões de tração que devem ser resistidas através das barras de aço.
Figura 17 – Bielas de compressão em sapatas rígidas
Fonte: Bastos (2012)
Fonte: Bastos (2012)
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O cálculo dos esforços de tração na armadura, apresentado por CAMPOS (2015), inicia-se pelas seguintes equações obtidas por intermédio da Figura 18: dT = dN ∙ cos! (29) dF! = dN ∙ sen! ∴ dN = dF!
sen! (30)
Figura 18 - Representação do método das bielas
A partir da Figura 18, têm-se que "F!” é a ação vertical, "dT" é a tração infinitesimal na base da sapata, "d!" é a altura útil da sapata e "dN" é a tensão de compressão infinitesimal na biela de compressão.
Substituindo a equação (30) na (29), têm-se: dT = dF!
sin! ∙ cos! =dF!tan! = p ∙ dx !d!
(31)
Em seguida, a fim de obter o esforço de tração total, faz-se a seguinte integração:
T! =f!d!
!/!
!∙ ! ∙ !" = 1
2 ∙f!d!
!!4 − !!
(32)
T! =12 ∙f! (A− !!)
A ∙ d!!4 − !!
(33)
Fonte: Bastos (2012)
24
Desse modo, para x = 0, T! = T!á! T! =
12 ∙f! (A− !!)
A ∙ d!!4 − !!
(34)
Obtêm-se, assim, o valor da tração máxima na armadura:
T! =12 ∙F! A− !!
!! ∙ d!!4 → T! =
F! A− !!8 ∙ d
(35)
Pode-se, então, obter a área da seção transversal das armaduras por meio da seguinte equação: A!" =
T!"f!"
(36)
Para a outra direção tem-se: A!" =
T!"f!"
(37)
Em caso de cargas excêntricas, pode-se fazer, segundo ARAÚJO (2014), a análise cada uma das duas direções separadamente, de modo que, de acordo com a Figura 19, a tração na armadura é obtida a partir da equação (38).
T! =R!! x! − 0,25!!
! (38)
Onde, "x!", "d" e "R!!" são demonstrados na Figura 19. Pode-se, então, obter a área da armadura necessária por meio das expressões (36) e (37).
25
Figura 19 - Cargas excêntricas
3.1.1.2. Verificação da biela comprimida (compressão diagonal)
A NBR 6118:2014 (item 19.5.3.1) afirma que essa verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ou sem armadura. A verificação da biela comprimida é feito de maneira indireta através da tensão de cisalhamento e é verificada para uma superfície critica C que corresponde ao contorno do pilar. Pode-se afirmar que a compressão diagonal será atendida em caso de a tensão solicitante ser menor ou igual a resistente, como pode-se ver a seguir: τ!" ≤ τ!"! (39) A tensão resistente é dada por: τ!"! = 0,27 ∙ !! ∙ !!" (40) !! = 1− !!"
250 , !"# !!" !" !"#. (41)
Já a tensão de cisalhamento solicitante é: τ!" =
!!"!! ∙ !
(42)
Fonte: Adaptado de Araújo (2012)
26
Onde, "!!"" é força vertical solicitante de projeto, "!!"" é a resistência de calculo a compressão do concreto, "!!" é o perímetro do contorno crítico C (perímetro do pilar) e "!" é a altura útil ao longo do contorno crítico C.
3.1.2. Sapatas flexíveis
Conforme a NBR 6118:2014, as sapatas flexíveis caracterizam-se por trabalhar à flexão nas duas direções, entretanto nesse tipo de sapata, diferentemente das rígidas, não se pode admitir que a tração na flexão será uniformemente distribuída na largura. Deve-se, assim, avaliar a concentração de flexão junto ao pilar. Recomenda-se, durante o detalhamento da armadura, concentrar uma porcentagem da armadura total na região próxima ao pilar. Além disso, a NBR 6118:2014 preconiza que as sapatas flexíveis devem ser verificadas a punção.
3.1.2.1. Modelo de cálculo para armadura principal
Em decorrência da não citação de modelos específicos de dimensionamento para sapatas flexíveis pela na NBR 6118:2014, esse trabalho irá se utilizar do método clássico (método dos quinhões de carga) para determinação dos momentos fletores e esforço cortantes solicitantes na sapata. Segundo ANDRADE (1989 apud BASTOS, 2012), este modelo de cálculo deve ser aplicado em caso de sapatas flexíveis e consiste no cálculo do momento fletor no eixo central da sapata e do esforço cortante na seção que faceia o pilar. O cálculo desses esforços é realizado por meio da determinação de áreas de influência. Essas podem ser retangulares, triangulares ou trapezoidais, como pode ser visto na Figura 20.
Figura 20 - Áreas de influência
Fonte: Bastos (2012)
27
O dimensionamento utilizando-se de quinhões de cargas trapezoidais é o mais indicado, uma vez que, a partir dele, obtêm-se resultados mais precisos. O cálculo, a partir de áreas de influência retangulares, é considerado muito antieconômico, já que eleva consideravelmente os valores de momento fletor e de esforço cortante. Já através de quinhões de cargas triangulares, tem-se que os valores obtidos de momentos fletores e esforços esforço cortantes são muito similares aos observados quando se utiliza de quinhões de cargas trapezoidais. De acordo com a Figura 21 que representa os quinhões de cargas trapezoidais, tem-se que: M!"# =
!!"4
! − !!6 ∙ 2! + !!! + !!
+ !!6 (43)
De maneira análoga, obtêm-se o momento fletor na outra direção pela equação 43: M!"# =
!!"4
! − !!6 ∙ 2! + !!! + !!
+ !!6 (44)
Figura 21 - Representação de quinhões de carga trapezoidais
Com obtenção do momento fletor solicitante de projeto, torna-se possível o cálculo da área de armadura necessária. Em caso de sapatas solicitadas também a momentos, esse método torna-se incapaz de considerar diretamente a ação dos momentos uma vez que as expressões
Fonte: Bastos (2012)
28
foram desenvolvidas para casos de pressão na base uniforme. Entretanto, a fim de viabilizar o dimensionamento por este modelo, alguns autores como BASTOS (2012), estabelecem o seguinte critério para uniformizar a pressão na base:
σ!"#$ ≥0,8σ!á!
σ!á! + σ!í!2
(45)
3.1.2.2. Verificação da biela comprimida
A verificação à biela comprimida para sapatas flexíveis ocorre de maneira idêntica ao procedimento utilizado no item 3.1.1.2 deste trabalho. Uma vez que a sapata flexível satisfaça a verificação à punção, torna-se extremamente raro que este elemento de fundação não atenda a verificação à biela comprimida.
3.1.2.3. Verificação à punção
Em sapatas flexíveis deve-se verificar a possibilidade de ocorrer a ruptura do elemento estrutural por meio do fenômeno da punção. De acordo com a NBR 6118:2014 (item 19.5.3.2) a verificação à punção do elemento estrutural, sem armadura dimensionada para tal fim, ocorre na superfície crítica C’ e pode ser considerada atendida se: τ!" ≤ τ!"! (46)
Figura 22 - Superfícies críticas C e C’
Sendo τ!" calculado para o perímetro crítico C’. O valor de τ!" é obtido de tal forma:
Fonte: Bastos (2012)
29
τ!" =!!"! ∙ ! +
! ∙!!"!! ∙ !
(47)
Onde, "!!"" é força vertical solicitante de projeto, "!" é o perímetro do contorno crítico C’, "!" é a altura útil ao longo do contorno crítico C’, "!" é o coeficiente obtido através da Figura 23 e "!!" é calculado através das expressões (48) ou (49). A força
vertical solicitante de projeto pode ser reduzida pela ação da pressão do solo dentro do perímetro de controle.
Figura 23 - Valores K
Já o valor de "W!" deve ser obtido a partir das expressões a seguir:
!! =
!!!2 + !! ∙ !! + 4!! ∙ ! + 16!! + 2!"!! (!"#" !"#$% !"#$%&'($!)
(48)
!! = ! + 4!! (!"#" !"#$% !"#!$%&#) (49)
Onde, "D" é o diâmetro do pilar. Em caso de pilar interno com carregamento simétrico, ou seja, sem momento aplicado, a segunda parcela da expressão (47) torna-se nula. O valor da tensão de cisalhamento resistente (τ!"#) é calculado de tal maneira:
τ!"# = 0,13 1+ 20d 100ρ ∙ f!" !/! + 0,10σ!"
(50)
Onde, "ρ" é a taxa de armadura principal, "σ!"" é a tensão provocada pela
protensão, "d" é a altura útil ao longo do perímetro crítico C’ em centímetros e "f!"" é a
resistência característica do concreto em MPa. Destaca-se que a parcela 1+ !"! não
pode ser maior que 2.
Fonte: NBR 6118:2014, Tabela 19.2.
30
3.2. CEB:1970
3.2.1. Sapatas rígidas
O CEB:1970 recomenda que as sapatas rígidas sejam verificadas ao esforço cortante e dimensionadas para um determinado momento fletor solicitante. Para o CEB:1970, as sapatas serão consideradas rígidas uma vez que as expressões (4) e (5) sejam atendidas.
3.2.1.1. Modelo de cálculo para armadura principal
A armadura inferior é calculada em cada direção principal para um momento fletor solicitante localizado em uma seção de referencia S1, a qual encontra-se entre as faces do pilar e dista 0,15 a! da face do pilar na direção x e 0,15 b! da face do pilar na direção
y (Figura 24). Figura 24 - Seção de referência S1
O CEB:1970 não estabelece uma taxa de armadura mínima para as sapatas, entretanto, impõe que a relação entre as áreas de armaduras principais de cada direção seja maior ou igual a 1/5. Além disso, é definido que a altura útil "d" é limitada 1,5 ! Para dimensionamento das armaduras em caso de cargas excêntricas, deve-se utilizar a tensão média na borda.
Fonte: Silva e Giongo (2008)
31
3.2.1.2. Verificação ao esforço cortante
Já no que se refere a verificação da força esforço cortante, é adotado, para análise, uma seção S2 distante d/2 da face do pilar. O esforço cortante solicitante é obtido considerando-se a resultante das tensões no terreno que atua na área hachurada da Figura 26.
Figura 25 - Seção S2
Figura 26 - Área para cálculo do esforço cortante
O valor de b2 é obtido através da Equação (51): b! = b! + d (51)
Para que não haja ruptura por força esforço cortante, a seguinte condição tem que ser satisfeita: V!" ≤ V!" (52) Sendo, V!" obtido pela Equação (53) V!" =
0,474 ∙ !! ∙ d!γ!
∙ ! ∙ !!" (!"# !!" !" !"#) (53)
Onde, "!" é a taxa de armadura de tração na seção S2 e pode ser calculado por
! = !!!!∙!!
< 0,01, "!!" é a largura da seção critica em metros, "!!" é a altura útil da seção
critica em metros e "γ!" é o coeficiente de minoração da resistência concreto que, de acordo com o CEB:1970, é igual a 1,5.
Fonte: Silva e Giongo (2008)
32
3.2.2. Sapatas flexíveis
Para que a sapata seja considerada flexível, de acordo com o CEB:1970, as expressões (6) e (7) devem ser atendidas. Para esse tipo de sapata, além dos procedimentos realizados para sapatas rígidas, deve-se fazer a verificação ao puncionamento.
3.2.2.1. Modelo de cálculo para armadura principal
O CEB:1970 não estabelece um modelo de cálculo para armadura principal em sapatas flexíveis, entretanto, para critério de comparação, recomenda-se adotar o mesmo modelo utilizado para sapatas rígidas, o qual foi apresentado no tópico 3.2.1.1 deste trabalho.
3.2.2.2. Verificação ao esforço cortante
Para sapatas flexíveis, a verificação ao esforço cortante é feita de acordo com o tópico 3.2.1.2 deste presente trabalho.
3.2.2.3. Verificação à punção
A verificação à punção seguirá as recomendações propostas pelo CEB-91 relativas ao puncionamento. De acordo com estas recomendações, a punção não irá ocorrer se a tensão nominal atuante for menor ou igual à tensão nominal resistente no perímetro a 2d do perímetro do pilar. τ!" ≤ τ!" (54) Sendo: τ!" =
F!"! ∙ ! (55)
Onde, "F!"" é força vertical solicitante de projeto, "u" é o perímetro do contorno crítico C’ e "d" é a altura útil ao longo do contorno crítico C’. A força vertical solicitante de projeto pode ser reduzida pela ação da pressão do solo dentro do perímetro de controle.
33
Em caso de ações que apresentem excentricidade, o valor de F!" deve ser obtido a partir da expressão (56). F!" = F!" 1+ !!!"
!!"!!!
(56)
Onde, "!!"" do segundo termo é a força vertical solicitante de projeto sem que a excentricidade seja considerada, "!" é obtido através da Figura 23 e "!!" a partir das
expressões (48) e (49). Já a tensão limite é dada por: τ!" = 0,13 ε ∙ 100 ∙ ! ∙ !!"
!! ∙ 2 !!!
≤ 0,5!!"! (57)
Sendo:
ε = 1+ 200! (!"# ! !" !!)
(58)
!!"! = 0,6 ∙ 1− !!"250 ∙ !!" (59)
Onde, "!!" é a distância da face do pilar ao perímetro crítico a ser analisado.
3.3. ACI-318:2014
Como já citado anteriormente, a norma em questão não diferencia as sapatas quanto à rigidez. As sapatas dimensionadas por esse método, geralmente, não apresentam variação de altura de um ponto ao outro.
3.3.1. Modelo de cálculo para armadura principal
O ACI-318:2014 estabelece que o dimensionamento de sapatas possa ser feito através de um modelo que utiliza o momento fletor solicitante localizado na seção da face do pilar ou através de qualquer modelo bielas e tirantes que esteja de acordo com a norma americana. Esse trabalho irá utilizar o primeiro método citado para dimensionamento.
34
Figura 27 - Seção de referencia para cálculo
3.3.2. Verificação ao esforço cortante
Esta norma recomenda que a força esforço cortante em sapatas seja verificada para uma seção crítica localizada a uma distância "d" da face do pilar, como pode ser visto na Figura 28.
Figura 28 - Seção crítica para verificação do esforço cortante
Para que seja dispensada armadura transversal por conta do esforço cortante, a condição a seguir deve ser satisfeita: V!" ≤ V!" (60)
Fonte: Silva e Giongo (2008)
Fonte: Silva e Giongo (2008)
35
Onde: V!"# =
F!"! ∙ ! − a!2 − ! !"#" !"#$çã! ! (61)
V!"# =F!"! ∙ ! − b!
2 − ! !"#" !"#$çã! ! (62)
V!" = ! ∙ 0,166 ∙ ! ∙ !! ∙ ! ∙ !′! (63)
Sendo, "!" um fator redutor da resistência igual a 0,75 para esforço cortante, "!" um fator modificador que leva em consideração o tipo de concreto e assume o valor igual a 1 e "!′!" é a resistência característica do concreto adotada pelo ACI-318:2014. Souza e Bittencourt (2003) estabelece a seguinte relação entre o "!′!" e o "!!"": !′! = !!" − 2,04 (64)
3.3.3. Verificação à punção
Para que a sapata dispense armadura de punção, deve ser verificada a seguinte condição para o perímetro crítico localizado a "!/2" da face do pilar: τ!" ≤ τ!" (65) Sendo: τ!" =
F!"! ∙ ! (66)
Onde, "F!"" é força vertical solicitante de projeto, "u" é o perímetro do contorno crítico C’ que dista "d/2" da face do pilar e "d" é a altura útil ao longo do contorno crítico C’. A força vertical solicitante de projeto pode ser reduzida pela ação da pressão do solo dentro do perímetro de controle.
36
Em caso de cargas excêntricas, τ!" é obtido a partir da equação τ!" =
F!"! ∙ ! +
γ! ∙M!" ∙ !!"!!
(67)
Sendo: !! =
d(!! + !)!6 + (!! + !)d
!
6 + d(!! + !)(!! + !)!
6 (68)
γ! = 1− γ! (69)
γ! =1
1+ 23 ∙ !!
!!
≤ 1,0 (70)
Onde, "!!" é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, "!!" é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força, "!!" é igual "!! + d", "!!" é igual "!! + d" e "!!"” é exemplificado na Figura 29.
Figura 29 - Exemplificação do “c AB”
Fonte: ACI-318:2014 (2014)
37
A tensão resistente é obtida da seguinte maneira:
τ!" ≤
! ∙ 0,33 ∙ ! ∙ !′!! ∙ 0,17 ∙ 1+ 2
! ∙ ! ∙ !′!
! ∙ 0,083 ∙ 2+ !! ∙ !! ∙ ! ∙ !′!
(71)
Onde, "!" é a relação entre o maior lado e o menor lado do pilar, "!!" é uma constante que assume o valor de 40 para pilar no centro da sapata e "!" um fator redutor da resistência igual a 0,75 para esforço cortante.
38
4. MODELOS TEÓRICOS ANALISADOS
Neste capítulo, os modelos a serem analisados serão apresentados. Teve-se como base, para dimensionamento das sapatas, uma adaptação feita dos pilares dimensionados para um edifício de nove pavimentos exemplificado no livro PROJETO ESTRUTURAL DE EDIFÍCIOS DE CONCRETO ARMADO, ARAÚJO (2004). A fim de obter sapatas submetidas a flexão oblíqua composta, adicionou-se, aos pilares de canto, um momento aplicado na direção em que não há uma ação prévia similar. O valor adotado para tal momento será igual a 50% do valor do momento existente na outra direção. Afim de promover uma análise comparativa e representativa, serão utilizados 10 situações de pilares com o objetivo de dimensionar a fundação para cada uma delas. Para cada pilar serão realizados seis diferentes dimensionamentos de sapatas, sendo eles:
Ø Através da NBR 6118:2014, obtendo-se sapata rígida; Ø Através da NBR 6118:2014, obtendo-se sapata flexível; Ø Através do CEB:1970, obtendo-se sapata rígida; Ø Através do CEB:1970, obtendo-se sapata flexível; Ø Através do ACI-318:2014, atribuindo alturas iguais as das sapatas rígidas; Ø Através do ACI-318:2014, atribuindo alturas iguais as das sapatas flexíveis;
As considerações e características gerais são mostradas no Anexo A.
4.1. Situações Tabela 1 – Situações
SITUAÇÕES Pilares P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
ap - Dimensões em X (cm) 50 50 50 50 50 50 20 20 70 20
bp -Dimensões em Y (cm) 20 20 20 20 20 20 20 70 20 70
Fv - Carga vertical (kN) 826 729 855 1423 1100 1173 150 1655 1659 1555
Fh - Carga horizontal (kN) - - - 8 - 8 - 72 - 72
Mx - Momento em torno de X (kNm) 103 118 104 - - - - - 219 -
My - Momento em torno de Y (kNm) 51,5 - 52 13 - 13 - 151 - 151
Fonte: Autor (2016).
39
5. DIMENSIONAMENTO ANALÍTICO
Neste capítulo serão apresentados os resultados dos dimensionamentos analíticos utilizando a NBR 6118:2014, o CEB:1970 e o ACI-318:2014.
As sapatas, que não atenderam a verificação à punção e/ou ao esforço cortante neste capítulo, não tiveram a sua altura aumentada, como também não foram dimensionadas armaduras para combate à punção e ao cisalhamento.
Nas tabelas apresentadas no Capítulo 5 as células em verde e vermelho identificam, respectivamente, o atendimento ou não da verificação em questão.
5.1. Dimensionamento geométrico geral
Inicia-se o dimensionamento das dimensões em planta das sapatas através das equações (8) e (9).
Tabela 2 - Dimensões em planta das sapatas
Situações Classificação
quanto a rigidez
Área necessária
(m2)
Dimensões em planta das sapatas (cm) A - Dimensão na
direção X B - Dimensão na
direção Y P1 Rígida 2,019 160 130
Flexível 1,927 155 125 P2 Rígida 1,782 150 120
Flexível 1,701 150 120 P3 Rígida 2,090 165 135
Flexível 1,995 160 130 P4 Rígida 3,478 205 175
Flexível 3,320 200 170 P5 Rígida 2,689 180 150
Flexível 2,567 180 150 P6 Rígida 2,867 185 155
Flexível 2,737 185 155 P7 Rígida 0,367 65 65
Flexível 0,350 60 60 P8 Rígida 4,046 180 230
Flexível 3,862 175 225 P9 Rígida 4,055 230 180
Flexível 3,871 225 175 P10 Rígida 3,801 175 225
Flexível 3,628 170 220 Com as dimensões obtidas, encontra-se as excentricidades e, consequentemente, a posição de aplicação da carga vertical em relação ao núcleo central de inércia.
Fonte: Autor (2016).
40
Tabela 3 - Posição de aplicação da carga vertical e suas excentricidades
Situações Classificação
quanto a rigidez
Excentricidades (cm) Posição da aplicação da carga vertical em relação ao
núcleo central
e!! + e!! eA eB
P1 Rígida 5,668 11,336 Dentro do núcleo de inércia 0,123 Flexível 5,938 11,876 Dentro do núcleo de inércia 0,133
P2 Rígida 0,000 14,715 Dentro do núcleo de inércia 0,123 Flexível 0,000 15,416 Dentro do núcleo de inércia 0,128
P3 Rígida 5,529 11,058 Dentro do núcleo de inércia 0,115 Flexível 5,792 11,585 Dentro do núcleo de inércia 0,125
P4 Rígida 0,831 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,004 Flexível 0,870 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,004
P5 Rígida 0,000 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,000 Flexível 0,000 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,000
P6 Rígida 1,008 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,005 Flexível 1,055 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,006
P7 Rígida 0,000 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,000 Flexível 0,000 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,000
P8 Rígida 8,294 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,046 Flexível 8,689 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,050
P9 Rígida 0,000 12,001 Dentro do núcleo de inércia 0,067 Flexível 0,000 12,572 Dentro do núcleo de inércia 0,072
P10 Rígida 8,828 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,050 Flexível 9,248 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,054
Em seguida, encontra-se as tensões na base referentes aos pontos 1, 2, 3 e 4 representados na Figura 30.
Figura 30 - Representação dos pontos de obtenção das tensões
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Adaptado de Bastos (2012)
41
As tensões são encontradas utilizando-se das equações mostradas no Tópico 2.6.2 deste presente trabalho. Como a ação de vento foi tomada como variável principal, utiliza-se, como tensão máxima de borda permitida, o valor de 1,3 σ!"# = 5,85 !"#/!"!. As células em verde e vermelho nas Tabela 4 e
Tabela 7 identificam, respectivamente, os valores que são inferiores e superiores
à 1,3 σ!"#.
Tabela 4 - Tensões
Situações Classificação quanto à rigidez Tensões na base (kgf/cm2)
σ1 σ2 σ3 σ4 P1 Rígida 7,582 3,011 5,725 1,154
Flexível 8,057 2,954 5,999 0,896 P2 Rígida 7,733 1,177 7,733 1,177
Flexível 7,530 0,975 7,530 0,975 P3 Rígida 7,146 2,996 5,448 1,298
Flexível 7,561 2,946 5,686 1,071 P4 Rígida 4,469 4,469 4,257 4,257
Flexível 4,509 4,509 4,280 4,280 P5 Rígida 4,481 4,481 4,481 4,481
Flexível 4,278 4,278 4,278 4,278 P6 Rígida 4,647 4,647 4,353 4,353
Flexível 4,442 4,442 4,148 4,148 P7 Rígida 3,905 3,905 3,905 3,905
Flexível 4,375 4,375 4,375 4,375 P8 Rígida 5,613 5,613 3,182 3,182
Flexível 5,728 5,728 3,099 3,099 P9 Rígida 6,171 2,645 6,171 2,645
Flexível 6,331 2,517 6,331 2,517 P10 Rígida 5,659 5,659 3,029 3,029
Flexível 5,791 5,791 2,941 2,941 Tendo como base os valores da Tabela 4, verifica-se a necessidade de aumentar as dimensões em planta das situações P1, P2, P3 e P9. Obtêm-se, assim, novas dimensões e novas excentricidades, de forma que são feitas novas tabelas.
Fonte: Autor (2016).
42
Tabela 5 - Novas dimensões em planta das sapatas
Situações Classificação quanto à rigidez
Novas dimensões em planta da sapata (cm) A - Dimensão na
direção X B - Dimensão na
direção Y P1 Rígida 185 155
Flexível 185 155 P2 Rígida 170 140
Flexível 165 135 P3 Rígida 190 160
Flexível 185 155 P4 Rígida 205 175
Flexível 200 170 P5 Rígida 180 150
Flexível 180 150 P6 Rígida 185 155
Flexível 185 155 P7 Rígida 65 65
Flexível 60 60 P8 Rígida 180 230
Flexível 175 225 P9 Rígida 240 190
Flexível 235 185 P10 Rígida 175 225
Flexível 170 220
Tabela 6 - Novas excentricidades
Situações Classificação quanto à rigidez
Excentricidades (cm) Posição da aplicação da carga vertical em relação ao
núcleo central
e!! + e!! eA eB
P1 Rígida 5,668 11,336 Dentro do núcleo de inércia 0,104 Flexível 5,938 11,876 Dentro do núcleo de inércia 0,109
P2 Rígida 0,000 14,715 Dentro do núcleo de inércia 0,105 Flexível 0,000 15,416 Dentro do núcleo de inércia 0,114
P3 Rígida 5,529 11,058 Dentro do núcleo de inércia 0,098 Flexível 5,792 11,585 Dentro do núcleo de inércia 0,106
P4 Rígida 0,831 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,004 Flexível 0,870 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,004
P5 Rígida 0,000 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,000 Flexível 0,000 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,000
P6 Rígida 1,008 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,005 Flexível 1,055 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,006
P7 Rígida 0,000 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,000 Flexível 0,000 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,000
P8 Rígida 8,294 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,046 Flexível 8,689 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,050
P9 Rígida 0,000 12,001 Dentro do núcleo de inércia 0,063 Flexível 0,000 12,572 Dentro do núcleo de inércia 0,068
P10 Rígida 8,828 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,050 Flexível 9,248 0,000 Dentro do núcleo de inércia 0,054
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
43
Em seguida, determina-se as novas tensões nas bordas das sapatas, as quais devem ser inferior à 1,3 σ!"# = 5,85 !"#/!"!.
Tabela 7 - Novas tensões na base
Situações Classificação
quanto à rigidez
Tensões na base (kgf/cm2)
σ1 σ2 σ3 σ4 P1 Rígida 5,142 2,361 3,977 1,196
Flexível 4,998 2,217 3,833 1,052 P2 Rígida 5,494 1,244 5,494 1,244
Flexível 5,791 1,082 5,791 1,082 P3 Rígida 4,917 2,351 3,836 1,271
Flexível 5,123 2,315 3,947 1,139 P4 Rígida 4,469 4,469 4,257 4,257
Flexível 4,509 4,509 4,280 4,280 P5 Rígida 4,481 4,481 4,481 4,481
Flexível 4,278 4,278 4,278 4,278 P6 Rígida 4,647 4,647 4,353 4,353
Flexível 4,442 4,442 4,148 4,148 P7 Rígida 3,905 3,905 3,905 3,905
Flexível 4,375 4,375 4,375 4,375 P8 Rígida 5,613 5,613 3,182 3,182
Flexível 5,728 5,728 3,099 3,099 P9 Rígida 5,519 2,485 5,519 2,485
Flexível 5,641 2,373 5,641 2,373 P10 Rígida 5,659 5,659 3,029 3,029
Flexível 5,791 5,791 2,941 2,941
5.2. Dimensionamento pela NBR 6118:2014
5.2.1. Para sapatas rígidas
Primeiramente, faz-se o dimensionamento da altura necessária para que as sapatas sejam classificadas, segundo a NBR 6118:2014, como rígidas. BASTOS (2012) estabelece que a taxa de armadura deve ser encontrada a partir da seguinte equação: ρ = !!
! ∙ ! (72)
Fonte: Autor (2016).
44
Tabela 8 – Alturas para sapatas rígidas segundo NBR 6118:2014
PARA SAPATAS RÍGIDAS SEGUNDO NBR 6118:2014
Situações h - Altura mínima para ser
rígida (cm) h – Altura maior adotada (cm)
h0 - Altura menor (cm)
d - Altura útil (cm) Dir. A Dir. B
P1 45,000 45,000 75 25 69,750
P2 40,000 40,000 70 24 64,750
P3 46,667 46,667 75 25 69,750
P4 51,667 51,667 90 30 84,750
P5 43,333 43,333 75 25 69,750
P6 45,000 45,000 80 27 74,750
P7 15,000 15,000 25 20 19,750
P8 53,333 53,333 90 30 84,750
P9 56,667 56,667 100 34 94,750
P10 51,667 51,667 90 30 84,750
Para sapatas submetidas a cargas excêntricas, as tensões da base utilizadas para cálculo dos esforços de tração são obtidas para uma seção localizada no meio da sapata. Desse modo, torna-se necessário encontrar as tensões na base localizadas nos pontos 5, 6, 7, 8 e 9 apresentados na Figura 31. Obtêm-se, também, os valores de R1k e x1 utilizados na Equação (38).
Figura 31 - Tensões para cálculo
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Adaptado de Bastos (2012)
45
Tabela 9 - Tensões de tração características
Situações Tensões na base (kgf/cm2) R1k (kNm) x1 (cm)
σ5 σ6 σ7 σ8 σ9 Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 3,751 2,586 4,559 1,778 3,169 320,037 299,447 47,548 41,074
P2 3,369 3,369 5,494 1,244 3,369 286,393 310,223 42,500 37,797
P3 3,634 2,554 4,377 1,811 3,094 319,564 298,816 48,771 42,290
P4 4,469 4,257 4,363 4,363 4,363 452,664 381,780 51,455 43,750
P5 4,481 4,481 4,481 4,481 4,481 403,333 336,111 45,000 37,500
P6 4,647 4,353 4,500 4,500 4,500 423,026 348,730 46,498 38,750
P7 3,905 3,905 3,905 3,905 3,905 126,923 126,923 16,250 16,250
P8 5,613 3,182 4,397 4,397 4,397 450,471 505,694 46,822 57,500
P9 4,002 4,002 5,519 2,485 4,002 480,237 452,227 60,000 50,022
P10 5,659 3,029 4,344 4,344 4,344 437,635 488,714 45,667 56,250
Com os valores das tensões de tração características, calcula-se a armadura necessária a partir das tensões de tração de cálculo.
Tabela 10 - Armaduras necessárias
Situações Tensões características
de tração (kNm) Armadura necessária
por metro (cm2/m) Armadura total
(cm2) ρ - Taxa de armadura
Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 160,811 154,872 5,178 4,987 8,026 9,226 0,074% 0,071%
P2 132,692 157,132 4,273 5,060 5,982 8,601 0,066% 0,078%
P3 166,179 159,753 5,351 5,144 8,562 9,774 0,077% 0,074%
P4 208,066 174,560 6,700 5,621 11,725 11,523 0,079% 0,066%
P5 187,933 156,611 6,051 5,043 9,077 9,077 0,087% 0,072%
P6 192,401 157,453 6,195 5,070 9,603 9,379 0,083% 0,068%
P7 72,298 72,298 2,328 2,328 1,513 1,513 0,118% 0,118%
P8 222,295 238,676 7,158 7,685 16,463 13,834 0,084% 0,091%
P9 215,410 214,884 6,936 6,919 13,179 16,606 0,073% 0,073%
P10 209,997 223,453 6,762 7,195 15,214 12,592 0,080% 0,085%
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
46
5.2.1.1. Verificação da biela comprimida
De acordo com o Tópico 3.1.1.2, faz-se a Tabela 11.
Tabela 11 - Verificação biela comprimida
Situações u0 - Perímetro do contorno crítico C (cm) Fvd (kN) τSd (kN/cm2) τRd2
(kN/cm2) τRd2/τSd
P1 140 1156,400 0,118 0,648 5,472
P2 140 1020,600 0,113 0,648 5,756
P3 140 1197,000 0,123 0,648 5,286
P4 140 1992,200 0,168 0,648 3,859
P5 140 1540,000 0,158 0,648 4,109
P6 140 1642,200 0,157 0,648 4,129
P7 80 210,000 0,133 0,648 4,875
P8 180 2317,000 0,152 0,648 4,266
P9 180 2322,600 0,136 0,648 4,758
P10 180 2177,000 0,143 0,648 4,541
Fonte: Autor (2016).
47
5.2.1.2. Verificação da estabilidade
Seguindo os procedimentos descritos no Tópico 2.9, obtêm-se:
Tabela 12 - Estabilidade das sapatas pela NBR 6118:2014
Situações Verificação ao tombamento Verificação ao deslizamento
Mtomb (kNm) Mestab (kNm)
MestabMtomb Fatrito (kN) Fcoe (kN) Fh
(kN) Fatrito + Fcoe
Fh
P1 103,000 640,150 6,215 300,639 - - -
P2 118,000 510,300 4,325 265,334 - - -
P3 104,000 684,000 6,577 311,195 - - -
P4 20,200 1245,125 61,640 517,930 - 8 64,741
P5 - 825,000 - 400,367 - - -
P6 19,400 909,075 46,860 426,937 - 8 53,367
P7 - 48,750 - 54,596 - - -
P8 215,800 1489,500 6,902 602,371 - 72 8,366
P9 219,000 1576,050 7,197 603,827 - - -
P10 215,800 1360,625 6,305 565,974 - 72 7,861
5.2.2. Para sapatas flexíveis
Primeiramente, faz-se o dimensionamento da altura necessária para que as sapatas sejam classificadas, segundo a NBR 6118:2014, como flexíveis. Verifica-se que a sapata para a situação P7 sempre será considerada como rígida, uma vez que a altura mínima para sapatas (20 centímetros) é superior a altura máxima para que essa sapata seja flexível.
Fonte: Autor (2016).
48
Tabela 13 - Alturas para sapatas flexíveis segundo NBR 6118:2014
PARA SAPATAS FLEXÍVEIS SEGUNDO NBR 6118:2014
Situações h - Altura máxima para ser
flexível (cm) h – Altura
maior adotada (cm)
h0 - Altura menor (cm)
d - Altura
útil (cm) Dir. A Dir. B P1 45,000 45,000 33 20 27,750
P2 38,333 38,333 28 20 22,750
P3 45,000 45,000 33 20 27,750
P4 50,000 50,000 37 20 31,750
P5 43,333 43,333 32 20 26,750
P6 45,000 45,000 33 20 27,750
P8 51,667 51,667 38 20 32,750
P9 55,000 55,000 41 20 35,750
P10 50,000 50,000 37 20 31,750
De acordo com BASTOS (2012), a área de armadura total necessária para uma direção pode ser encontrada a partir da seguinte equação: A! =
M!0,85 ∙ ! ∙ !!"
(73)
Utilizando-se das equações (43), (44), (45) e (73), encontra-se a área de armadura total necessária.
Fonte: Autor (2016).
49
Tabela 14 – Momentos fletores de projeto pela NBR 6118:2014
Situações 0,8 σmáx σ!á! + σ!í!
2
Novas tensões adotadas na base
(kgf/cm2)
Nova força vertical característica adotada (kN)
Momentos de projeto nas direções (kNm)
σbase Fvk2 Dir. A Dir. B
P1 3,998 3,025 3,998 1146,429 203,682 174,729
P2 4,633 3,436 4,633 1031,916 159,614 134,389
P3 4,098 3,131 4,098 1175,183 208,791 179,111
P4 3,607 4,395 4,395 1494,150 291,294 252,760
P5 3,422 4,278 4,278 1155,000 198,558 169,609
P6 3,554 4,295 4,295 1231,650 218,823 187,717
P8 4,583 4,413 4,583 1804,371 308,629 383,236
P9 4,512 4,007 4,512 1961,776 439,326 357,193
P10 4,632 4,366 4,632 1732,553 286,817 357,985
Tabela 15 - Armaduras necessárias pela NBR 6118:2014
Situações Armadura total (cm2) ρ - Taxa de armadura
Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 19,851 17,029 0,462% 0,332%
P2 18,975 15,976 0,618% 0,426%
P3 20,349 17,456 0,473% 0,340%
P4 24,813 21,531 0,460% 0,339%
P5 20,075 17,148 0,500% 0,356%
P6 21,327 18,295 0,496% 0,356%
P8 25,487 31,648 0,346% 0,552%
P9 33,236 27,022 0,503% 0,322%
P10 24,432 30,494 0,350% 0,565%
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
50
5.2.2.1. Verificação da biela comprimida
De modo similar ao realizado no Tópico 5.2.1.1, têm-se:
Tabela 16 - Verificação da biela pela NBR 6118:2014
Situações u0 - Perímetro do contorno crítico C (cm) Fvd (kN) τSd (kN/cm2) τRd2 (kN/cm2) τRd2/τSd
P1 140 1156,400 0,298 0,648 2,177
P2 140 1020,600 0,320 0,648 2,022
P3 140 1197,000 0,308 0,648 2,103
P4 140 1992,200 0,448 0,648 1,446
P5 140 1540,000 0,411 0,648 1,576
P6 140 1642,200 0,423 0,648 1,533
P8 180 2317,000 0,393 0,648 1,649
P9 180 2322,600 0,361 0,648 1,795
P10 180 2177,000 0,381 0,648 1,701
5.2.2.2. Verificação à punção
De acordo com o Tópico 3.1.2.3, faz-se as seguintes tabelas: Tabela 17 - Punção pela NBR 6118:2014
Situações u - Perímetro do contorno crítico C' (cm) Fvd (kN) Mxd
(kNm) Myd (kNm) d* - Altura útil no contorno C' (cm)
P1 488,717 1156,400 144,200 72,100 17,061
P2 425,885 1020,600 165,200 0,000 16,420
P3 488,717 1197,000 145,600 72,800 17,061
P4 538,982 1992,200 0,000 18,200 17,357
P5 476,150 1540,000 0,000 0,000 16,873
P6 488,717 1642,200 0,000 18,200 17,061
P8 591,549 2317,000 0,000 211,400 17,537
P9 629,248 2322,600 306,600 0,000 17,550
P10 578,982 2177,000 0,000 211,400 17,357
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
51
Tabela 18 - Punção pela NBR 6118:2014
Situações Área dentro do perímetro C' (m2)
ΔFvd - Ação do solo dentro do perímetro C'
(kN) Fvd - ΔFvd
(kN) C1/C2
Dir. A Dir. B
P1 1,845 781,119 375,281 2,500 0,400
P2 1,387 667,460 353,140 2,500 0,400
P3 1,845 808,543 388,457 2,500 0,400
P4 2,256 1387,835 604,365 2,500 0,400
P5 1,748 1046,979 493,021 2,500 0,400
P6 1,845 1109,264 532,936 2,500 0,400
P8 2,667 1647,740 669,260 0,286 3,500
P9 3,033 1701,395 621,205 3,500 0,286
P10 2,550 1558,393 618,607 0,286 3,500
Tabela 19 – Punção pela NBR 6118:2014
Situações K Wp (cm2) τSd (kN/cm2) τRd1 (kN/cm2) τRd1/τSdDir. A Dir. B Dir. A Dir. B
P1 0,75 0,45 25508,920 22558,168 0,074 0,062 0,829
P2 0,75 0,45 19498,123 16889,849 0,077 0,067 0,865
P3 0,75 0,45 25508,920 22558,168 0,076 0,062 0,815
P4 0,75 0,45 30893,557 27668,823 0,067 0,062 0,923
P5 0,75 0,45 24242,760 21360,504 0,061 0,063 1,027
P6 0,75 0,45 25508,920 22558,168 0,067 0,063 0,940
P8 0,45 0,8 32046,486 38035,202 0,081 0,062 0,766
P9 0,8 0,45 42882,671 36551,477 0,078 0,061 0,783
P10 0,45 0,8 30608,823 36483,379 0,079 0,063 0,788
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
52
5.2.2.3. Verificação da estabilidade
De modo similar ao realizado no Tópico 5.2.1.2, têm-se:
Tabela 20 - Estabilidade das sapatas pela NBR 6118:2014
Situações Verificação ao tombamento Verificação ao deslizamento
Mtomb (kNm) Mestab (kNm)
MestabMtomb Fatrito (kN) Fcoe (kN) Fh (kN) Fatrito + Fcoe
Fh
P1 103,000 640,150 6,215 300,639 - - -
P2 118,000 492,075 4,170 265,334 - - -
P3 104,000 662,625 6,371 311,195 - - -
P4 15,960 1209,550 75,786 517,93 0 8 64,741
P5 - 825,000 - 400,367 - - -
P6 15,640 909,075 58,125 426,937 - 8 53,367
P8 178,360 1448,125 8,119 602,371 - 72 8,366
P9 219,000 1534,575 7,007 603,827 - - -
P10 177,640 1321,750 7,441 565,974 - 72 7,861
Fonte: Autor (2016).
53
5.3. Dimensionamento pelo CEB:1970
5.3.1. Para sapatas rígidas
Primeiramente, faz-se o dimensionamento da altura necessária para que as sapatas sejam classificadas, segundo o CEB:1970, como rígidas.
Tabela 21 - Alturas para sapatas rígidas segundo CEB:1970
PARA SAPATAS RÍGIDAS SEGUNDO CEB:1970
Situações
h - Altura mínima para
ser rígida (cm)
h – Altura maior
adotada (cm)
h0 - Altura menor (cm)
d - Altura útil (cm)
Dir. A Dir. B
P1 33,750 33,750 75 25 69,750
P2 30,000 30,000 70 24 64,750
P3 35,000 35,000 75 25 69,750
P4 38,750 38,750 90 30 84,750
P5 32,500 32,500 75 25 69,750
P6 33,750 33,750 80 27 74,750
P7 11,250 11,250 25 20 19,750
P8 40,000 40,000 90 30 84,750
P9 42,500 42,500 100 34 94,750
P10 38,750 38,750 90 30 84,750
De acordo com a Seção 3.2.1.1 deste estudo e com as Figuras (Figura 24 e Figura 31), consegue-se as seguintes tabelas:
Fonte: Autor (2016).
54
Tabela 22 – Momentos fletores de projeto pelo CEB:1970
Situações Tensões na base (kgf/cm2) Distância da borda à seção S1 (cm)
Momentos de projeto nas direções (kNm)
σ5 σ6 σ7 σ8 σ9 Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B
P1 3,751 2,586 4,559 1,778 3,169 75 70,5 228,117 292,395
P2 3,369 3,369 5,494 1,244 3,369 67,5 63 149,907 258,569
P3 3,634 2,554 4,377 1,811 3,094 77,5 73 243,580 309,090
P4 4,469 4,257 4,363 4,363 4,363 85 80,5 394,145 404,292
P5 4,481 4,481 4,481 4,481 4,481 72,5 68 246,452 260,169
P6 4,647 4,353 4,500 4,500 4,500 75 70,5 282,586 288,590
P7 3,905 3,905 3,905 3,905 3,905 25,5 25,5 11,513 11,513
P8 5,613 3,182 4,397 4,397 4,397 83 90,5 620,344 452,173
P9 4,002 4,002 5,519 2,485 4,002 95,5 88 483,703 715,401
P10 5,659 3,029 4,344 4,344 4,344 80,5 88 575,513 410,629
Tabela 23 - Armadura pelo CEB:1970
Situações Armadura total (cm2) ρ - Taxa de armadura
Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 8,845 11,337 0,082% 0,088%
P2 6,261 10,800 0,069% 0,098%
P3 9,445 11,985 0,085% 0,090%
P4 12,578 12,902 0,085% 0,074%
P5 9,556 10,088 0,091% 0,080%
P6 10,224 10,441 0,088% 0,076%
P7 1,577 1,577 0,123% 0,123%
P8 19,796 14,430 0,102% 0,095%
P9 13,807 20,420 0,077% 0,090%
P10 18,366 13,104 0,096% 0,088%
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
55
5.3.1.1. Verificação ao esforço cortante
Para obtenção da força esforço cortante na seção S2 de cada direção, deve-se, primeiro, encontrar as tensões nos pontos A, B, C, D, E, F e G, representados na Figura 32. Em seguida, utiliza-se a média das tensões em A, B, C e D para cálculo da tensão esforço cortante na direção A e, de maneira análoga, faz-se o mesmo procedimento para a direção B.
Figura 32 - Tensões para força esforço cortante pelo CEB:1970
Fonte: Adaptado de Bastos (2012)
56
A partir da seção 3.2.1.2, obtêm-se as seguintes tabelas:
Tabela 24 - Tensões paraesforço cortante para CEB:1970
Situações Tensões na base (kgf/cm2) - Direção A Tensões na base (kgf/cm2) - Direção B Tensões médias (kgf/cm2)
σD
σB σC σA σG σD σF σE Dir. A Dir. B P1 5,142 2,361 4,936 2,155 3,977 5,142 3,391 4,896 3,648 4,351
P2 5,494 1,244 5,494 1,244 5,494 5,494 4,656 5,494 3,369 5,285
P3 4,917 2,351 4,717 2,151 3,836 4,917 3,273 4,680 3,534 4,177
P4 4,469 4,469 4,433 4,433 4,257 4,469 4,257 4,427 4,451 4,353
P5 4,481 4,481 4,481 4,481 4,481 4,481 4,481 4,481 4,481 4,481
P6 4,647 4,647 4,599 4,599 4,353 4,647 4,353 4,590 4,623 4,485
P7 3,905 3,905 3,905 3,905 3,905 3,905 3,905 3,905 3,905 3,905
P8 5,613 5,613 5,105 5,105 3,182 5,613 3,182 5,215 5,359 4,298
P9 5,519 2,485 5,519 2,485 5,519 5,519 4,918 5,519 4,002 5,368
P10 5,659 5,659 5,131 5,131 3,029 5,659 3,029 5,248 5,395 4,241
Tabela 25 - Dimensões para verificação doesforço cortante
Situações B2 (cm) A2 (cm) C2A (cm)
C2B (cm)
d* - Altura útil na seção s2
(cm)
ρ2 - Taxa de armadura na seção S2
Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 89,750 119,750 32,625 32,625 43,917 0,130% 0,140%
P2 84,750 114,750 27,625 27,625 39,929 0,112% 0,159%
P3 89,750 119,750 35,125 35,125 44,839 0,132% 0,141%
P4 104,750 134,750 35,125 35,125 51,944 0,138% 0,121%
P5 89,750 119,750 30,125 30,125 42,923 0,148% 0,131%
P6 94,750 124,750 30,125 30,125 45,404 0,145% 0,124%
P7 39,750 39,750 12,625 12,625 17,556 0,138% 0,138%
P8 154,750 104,750 37,625 37,625 52,969 0,162% 0,151%
P9 114,750 164,750 37,625 37,625 57,965 0,125% 0,147%
P10 154,750 104,750 35,125 35,125 51,944 0,157% 0,144%
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
57
Na tabela a seguir as células em verde e vermelho identificam, respectivamente, o atendimento ou não da verificação ao esforço cortante das sapatas rígidas dimensionadas em acordo com o CEB:1970.
Tabela 26 - Verificação ao esforço cortante CEB:1970
Situações VSD - Esforço cortante de
projeto (kN) VRd (kN) VRd/VSd
Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 257,369 366,377 283,957 392,627 1,103 1,072
P2 181,781 346,204 226,347 365,262 1,245 1,055
P3 277,066 388,830 291,821 402,496 1,053 1,035
P4 381,676 437,209 404,503 486,921 1,060 1,114
P5 282,497 338,997 296,614 371,196 1,050 1,095
P6 301,121 348,722 327,711 399,115 1,088 1,145
P7 44,707 44,707 51,840 51,840 1,160 1,160
P8 646,937 406,050 660,368 431,393 1,021 1,062
P9 399,097 676,253 470,674 731,223 1,179 1,081
P10 594,797 363,704 636,833 412,875 1,071 1,135
5.3.1.2. Verificação da estabilidade
De modo similar ao realizado no Tópico 5.2.1.2, obtêm-se a mesma Tabela 12.
5.3.2. Para sapatas flexíveis
Para sapatas flexíveis, o procedimento de cálculo é similar ao das sapatas rígidas, acrescenta-se, apenas, a verificação à punção. Seguindo a lógica apresentada na seção 5.2.2, a sapata da situação P7 sempre será considerada como rígida. Desse modo, são obtidas as tabelas à seguir.
Fonte: Autor (2016).
58
Tabela 27 - Alturas para sapatas flexíveis segundo CEB:1970
PARA SAPATAS FLEXÍVEIS SEGUNDO CEB:1970
Situações
h - Altura máxima para ser flexível
(cm) h – Altura
maior adotada (cm)
h0 - Altura menor (cm)
d - Altura útil (cm)
Dir. A Dir. B
P1 33,750 33,750 33 20 27,750
P2 28,750 28,750 28 20 22,750
P3 33,750 33,750 33 20 27,750
P4 37,500 37,500 37 20 31,750
P5 32,500 32,500 32 20 26,750
P6 33,750 33,750 33 20 27,750
P8 38,750 38,750 38 20 32,750
P9 41,250 41,250 41 20 35,750
P10 37,500 37,500 37 20 31,750
Tabela 28 – Momentos fletores de projeto pelo CEB:1970
Situações Tensões na base (kgf/cm2) Distância da borda à seção S1 (cm)
Momentos de projeto nas direções (kNm)
σ5 σ6 σ7 σ8 σ9 Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B
P1 3,607 2,442 4,415 1,634 3,025 75 70,5 219,358 283,157
P2 3,436 3,436 5,791 1,082 3,436 65 60,5 136,711 243,936
P3 3,719 2,543 4,535 1,727 3,131 75 70,5 226,159 290,834
P4 4,509 4,280 4,395 4,395 4,395 82,5 78 363,921 372,974
P5 4,278 4,278 4,278 4,278 4,278 72,5 68 235,250 248,343
P6 4,442 4,148 4,295 4,295 4,295 75 70,5 270,147 275,472
P8 5,728 3,099 4,413 4,413 4,413 80,5 88 582,551 417,171
P9 4,007 4,007 5,641 2,373 4,007 93 85,5 447,175 675,872
P10 5,791 2,941 4,366 4,366 4,366 78 85,5 540,606 378,419
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
59
Tabela 29 - Armadura pelo CEB:1970
Situações Armadura total (cm2) ρ - Taxa de armadura
Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 21,379 27,597 0,497% 0,538%
P2 16,252 28,999 0,529% 0,773%
P3 22,042 28,345 0,512% 0,552%
P4 31,000 31,771 0,574% 0,500%
P5 23,785 25,109 0,593% 0,521%
P6 26,329 26,848 0,612% 0,523%
P8 48,108 34,450 0,653% 0,601%
P9 33,829 51,130 0,512% 0,609%
P10 46,050 32,235 0,659% 0,597%
5.3.2.1. Verificação ao esforço cortante
Seguindo procedimento idêntico ao realizado no Tópico 5.3.1.1, verificam-se as sapatas em questão ao esforço cortante de acordo com o CEB:1970.
Tabela 30 - Tensões paraesforço cortante para CEB:1970
Situações Tensões na base (kgf/cm2) - Direção A Tensões na base (kgf/cm2) - Direção B Tensões médias (kgf/cm2)
σD σB σC σA σG σD σF σE Dir. A Dir. B P1 4,998 2,217 4,660 1,879 3,833 4,998 2,870 4,594 3,438 4,074
P2 5,791 1,082 5,791 1,082 5,791 5,791 4,182 5,791 3,436 5,389
P3 5,123 2,315 4,782 1,974 3,947 5,123 2,975 4,716 3,548 4,190
P4 4,509 4,509 4,441 4,441 4,280 4,509 4,280 4,429 4,475 4,375
P5 4,278 4,278 4,278 4,278 4,278 4,278 4,278 4,278 4,278 4,278
P6 4,442 4,442 4,357 4,357 4,148 4,442 4,148 4,341 4,400 4,270
P8 5,728 5,728 4,810 4,810 3,099 5,728 3,099 5,014 5,269 4,235
P9 5,641 2,373 5,641 2,373 5,641 5,641 4,499 5,641 4,007 5,355
P10 5,791 5,791 4,799 4,799 2,941 5,791 2,941 5,025 5,295 4,174
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
60
Tabela 31 - Dimensões para verificação doesforço cortante
Situações B2 (cm) A2 (cm) C2A (cm)
C2B (cm)
d* - Altura útil na seção s2
(cm)
ρ2 - Taxa de armadura na seção S2
Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 47,750 77,750 53,625 53,625 25,078 0,550% 0,595%
P2 42,750 72,750 46,125 46,125 21,167 0,569% 0,830%
P3 47,750 77,750 53,625 53,625 25,078 0,567% 0,611%
P4 51,750 81,750 59,125 59,125 28,152 0,648% 0,564%
P5 46,750 76,750 51,625 51,625 24,281 0,653% 0,574%
P6 47,750 77,750 53,625 53,625 25,078 0,677% 0,579%
P8 102,750 52,750 61,125 61,125 28,947 0,739% 0,680%
P9 55,750 105,750 64,625 64,625 31,200 0,586% 0,697%
P10 101,750 51,750 59,125 59,125 28,152 0,744% 0,674%
Tabela 32 - Verificação ao esforço cortante CEB:1970
Situações VSD - Esforço cortante de
projeto (kN) VRd (kN) VRd/VSd
Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 398,665 563,777 177,484 300,541 0,445 0,533
P2 298,499 572,094 136,388 280,437 0,457 0,490
P3 411,443 579,882 180,215 304,588 0,438 0,525
P4 627,512 721,630 234,332 345,506 0,373 0,479
P5 462,108 554,530 183,330 282,293 0,397 0,509
P6 510,139 590,905 196,963 296,435 0,386 0,502
P8 1010,873 631,913 510,875 251,662 0,505 0,398
P9 668,256 1134,531 266,134 550,657 0,398 0,485
P10 960,806 585,280 493,636 238,955 0,514 0,408
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
61
5.3.2.2. Verificação à punção As tabelas a seguir são feitas em concordância com o Tópico 3.2.2.3 deste estudo.
Tabela 33 - Punção pelo CEB:1970
Situações u - Perímetro do contorno crítico C' (cm) Fvd (kN) Mxd (kNm) Myd (kNm) d* - Altura útil no
contorno C' (cm)
P1 488,717 1152,270 143,685 71,843 17,061
P2 425,885 1016,955 164,610 0,000 16,420
P3 488,717 1192,725 145,080 72,540 17,061
P4 538,982 1985,085 0,000 18,135 17,357
P5 476,150 1534,500 0,000 0,000 16,873
P6 488,717 1636,335 0,000 18,135 17,061
P8 591,549 2308,725 0,000 210,645 17,537
P9 629,248 2314,305 305,505 0,000 17,550
P10 578,982 2169,225 0,000 210,645 17,357
A partir das equações (48) e (56), consegue-se um novo valor para a ação vertical levando-se em conta os momentos aplicados.
Tabela 34 - Punção pelo CEB:1970
Situações K Wp (cm2) Novo FVd (kN) Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B
P1 0,75 0,45 25508,920 22558,168 1395,581
P2 0,75 0,45 19498,123 16889,849 1203,737
P3 0,75 0,45 25508,920 22558,168 1438,398
P4 0,75 0,45 30893,557 27668,823 2008,814
P5 0,75 0,45 24242,760 21360,504 1534,500
P6 0,75 0,45 25508,920 22558,168 1662,393
P8 0,45 0,8 32046,486 38035,202 2483,699
P9 0,8 0,45 42882,671 36551,477 2550,977
P10 0,45 0,8 30608,823 36483,379 2348,526
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
62
Tabela 35 - Punção pelo CEB:1970
Situações Área dentro do perímetro C' (m2)
ΔFvd - Ação do solo dentro do perímetro C'
(kN) Fvd - ΔFvd (kN) C1/C2
Dir. A Dir. B P1 1,845 778,329 617,252 2,500 0,400
P2 1,387 665,076 538,661 2,500 0,400
P3 1,845 805,655 632,743 2,500 0,400
P4 2,256 1382,879 625,936 2,500 0,400
P5 1,748 1043,240 491,260 2,500 0,400
P6 1,845 1105,303 557,090 2,500 0,400
P8 2,667 1641,856 841,844 0,286 3,500
P9 3,033 1695,319 855,658 3,500 0,286
P10 2,550 1552,827 795,699 0,286 3,500
Tabela 36 – Punção pelo CEB:1970
Situações τSd (kN/cm2) τRd (kN/cm2) τRd/τSd
P1 0,074 0,070 0,951
P2 0,077 0,072 0,934
P3 0,076 0,071 0,938
P4 0,067 0,071 1,055
P5 0,061 0,072 1,170
P6 0,067 0,072 1,072
P8 0,081 0,075 0,925
P9 0,077 0,071 0,918
P10 0,079 0,075 0,946
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
63
5.3.2.3. Verificação da estabilidade
De modo similar ao realizado no Tópico 5.2.2.3, obtêm-se a mesma Tabela 20.
5.4. Dimensionamento pelo ACI-318:2014
Como o ACI-318:2014 não define sapatas em rígidas e flexíveis, e ainda estabelece que o dimensionamento deve ser feito através do método da flexão, são realizados dois procedimentos de dimensionamento. O primeiro utiliza-se das dimensões em planta e da altura maior das sapatas dimensionadas nos Tópicos 5.2.1 e 5.3.1, enquanto que o segundo utiliza-se dos Tópicos 5.2.2 e 5.3.2 para obtenção dessas características.
5.4.1. Dimensionamento adotando alturas das sapatas rígidas
Inicia-se atribuindo as dimensões em planta e da altura maior das sapatas obtidas em 5.2.1 e 5.3.1.
Tabela 37 - Alturas para sapatas pelo ACI-318:2014
PARA SAPATAS SEGUNDO ACI-318:2014
Situações h – Altura
maior adotada (cm)
h0 - Altura menor (cm)
d - Altura útil (cm)
P1 75 75 66,250
P2 70 70 61,250
P3 75 75 66,250
P4 90 90 81,250
P5 75 75 66,250
P6 80 80 71,250
P7 25 25 16,250
P8 90 90 81,250
P9 100 100 91,250
P10 90 90 81,250
Posteriormente, em conformidade com o Tópico 3.3.1, obtêm-se os momentos de projeto e, consequentemente, as armaduras principais.
Fonte: Autor (2016).
64
Tabela 38 - Momentos de projeto pelo ACI-318:2014
Situações Tensões na base (kgf/cm2) Distância da borda à face do pilar (cm)
Momentos de projeto nas direções (kNm)
σ5 σ6 σ7 σ8 σ9 Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B
P1 3,751 2,586 4,559 1,778 3,169 67,5 67,5 174,840 253,629
P2 3,369 3,369 5,494 1,244 3,369 60 60 112,077 221,921
P3 3,634 2,554 4,377 1,811 3,094 70 70 188,033 268,927
P4 4,469 4,257 4,363 4,363 4,363 77,5 77,5 310,043 354,574
P5 4,481 4,481 4,481 4,481 4,481 65 65 187,449 224,939
P6 4,647 4,353 4,500 4,500 4,500 67,5 67,5 216,588 250,329
P7 3,905 3,905 3,905 3,905 3,905 22,5 22,5 8,482 8,482
P8 5,613 3,182 4,397 4,397 4,397 80 80 545,326 334,339
P9 4,002 4,002 5,519 2,485 4,002 85 85 362,585 631,570
P10 5,659 3,029 4,344 4,344 4,344 77,5 77,5 504,738 301,362
Tabela 39 - Armadura pelo ACI-318:2014
Situações Armadura total (cm2) ρ - Taxa de armadura
Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 7,138 10,354 0,070% 0,084%
P2 4,949 9,799 0,058% 0,094%
P3 7,676 10,978 0,072% 0,087%
P4 10,320 11,803 0,073% 0,071%
P5 7,652 9,183 0,077% 0,077%
P6 8,221 9,502 0,074% 0,072%
P7 1,412 1,412 0,134% 0,134%
P8 18,152 11,129 0,097% 0,076%
P9 10,747 18,719 0,062% 0,085%
P10 16,801 10,031 0,092% 0,071%
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
65
5.4.1.1. Verificação ao esforço cortante
Para a verificação ao esforço cortante será utilizado a tensão média na borda para cada direção (σ5 e σ7). De acordo com o Tópico 3.3.2, faz-se:
Tabela 40 - Tensões paraesforço cortante para ACI-318:2014
Situações Fvk para Esforço
cortante (kN) VSd - Esforço cortante de
projeto (kN) VRd (kN) VRd/VSd
Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 1075,627 1307,310 9,593 13,917 787,680 940,135 82,106 67,555
P2 Nãoocorrerupturaporesforçocortante,vistoqueaseçãoà“d”dafacedopilarencontra-seforadasapata
P3 1104,711 1330,500 28,781 41,162 813,089 965,544 28,251 23,457
P4 Nãoocorrerupturaporesforçocortante,vistoqueaseçãoà“d”dafacedopilarencontra-seforadasapata
P5 Nãoocorrerupturaporesforçocortante,vistoqueaseçãoà“d”dafacedopilarencontra-seforadasapata
P6 Nãoocorrerupturaporesforçocortante,vistoqueaseçãoà“d”dafacedopilarencontra-seforadasapata
P7 165,000 165,000 20,942 20,942 81,021 81,021 3,869 3,869
P8 Nãoocorrerupturaporesforçocortante,vistoqueaseçãoà“d”dafacedopilarencontra-seforadasapata
P9 Nãoocorrerupturaporesforçocortante,vistoqueaseçãoà“d”dafacedopilarencontra-seforadasapata
P10 Nãoocorrerupturaporesforçocortante,vistoqueaseçãoà“d”dafacedopilarencontra-seforadasapata
Fonte: Autor (2016).
66
5.4.1.2. Verificação à punção
De acordo com o Tópico 3.3.3, obtêm-se as seguintes tabelas: Tabela 41 - Punção pelo ACI-318:2014
Situações u - Perímetro do contorno crítico C' (cm) Fvd (kN) Mxd (kNm) Myd (kNm) d* - Altura útil no
contorno C' (cm)
P1 348,131 1090,320 135,960 67,980 66,250
P2 332,423 962,280 155,760 0,000 61,250
P3 348,131 1128,600 137,280 68,640 66,250
P4 395,254 1878,360 0,000 17,160 81,250
P5 348,131 1452,000 0,000 0,000 66,250
P6 363,838 1548,360 0,000 17,160 71,250
P7 131,051 198,000 0,000 0,000 16,250
P8 435,254 2184,600 0,000 199,320 81,250
P9 466,670 2189,880 289,080 0,000 91,250
P10 435,254 2052,600 0,000 199,320 81,250
Tabela 42 - Punção pelo ACI-318:2014
Situações Jc (cm4) b1 (cm) b2 (cm) γv CAB (cm)
Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 3,585E+07 2,081E+07 116,250 86,250 0,436 0,365 67,500 67,500
P2 2,858E+07 1,608E+07 111,250 81,250 0,438 0,363 60,000 60,000
P3 3,585E+07 2,081E+07 116,250 86,250 0,436 0,365 70,000 70,000
P4 6,597E+07 4,133E+07 131,250 101,250 0,432 0,369 77,500 77,500
P5 3,585E+07 2,081E+07 116,250 86,250 0,436 0,365 65,000 65,000
P6 4,441E+07 2,651E+07 121,250 91,250 0,435 0,366 67,500 67,500
P7 2,839E+05 2,839E+05 36,250 36,250 0,400 0,400 22,500 22,500
P8 4,410E+07 9,174E+07 101,250 151,250 0,353 0,449 80,000 80,000
P9 1,282E+08 6,538E+07 161,250 111,250 0,445 0,356 85,000 85,000
P10 4,410E+07 9,174E+07 101,250 151,250 0,353 0,449 77,500 77,500
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
67
Na tabela a seguir as células em verde e vermelho identificam, respectivamente, o atendimento ou não da verificação à punção das sapatas em questão pelo ACI-318:2014
Tabela 43 - Punção pelo ACI-318:2014
Situações Área
dentro do perímetro
C' (m2)
ΔFvd - Ação do solo
dentro do perímetro C'
(kN)
Fvd - ΔFvd (kN)
τRd1 (kN/cm2)
τRd2 (kN/cm2)
τRd3 (kN/cm2)
τSd (kN/cm2) τRd/τSd
P1 0,908 362,701 727,619 0,152 0,141 0,369 0,053 2,657
P2 0,823 394,714 567,566 0,152 0,141 0,359 0,049 2,888
P3 0,908 396,766 731,834 0,152 0,141 0,369 0,054 2,598
P4 1,187 727,824 1150,536 0,152 0,141 0,392 0,037 3,853
P5 0,908 542,127 909,873 0,152 0,141 0,369 0,039 3,584
P6 0,997 597,661 950,699 0,152 0,141 0,377 0,038 3,740
P7 0,126 76,740 121,260 0,152 0,236 0,267 0,057 2,678
P8 1,390 855,605 1328,995 0,152 0,123 0,363 0,050 2,452
P9 1,615 902,820 1287,060 0,152 0,123 0,377 0,044 2,830
P10 1,390 846,359 1206,241 0,152 0,123 0,363 0,046 2,656
5.4.1.3. Verificação da estabilidade
De modo idêntico ao realizado no Tópico 5.2.1.2, obtêm-se a mesma Tabela 12.
5.4.2. Dimensionamento adotando alturas das sapatas flexíveis
Inicia-se atribuindo as dimensões em planta e da altura maior das sapatas obtidas em 5.2.2 e 5.3.2.
Fonte: Autor (2016).
68
Tabela 44 - Alturas para sapatas pelo ACI-318:2014
PARA SAPATAS SEGUNDO ACI-318:2014
Situações h – Altura maior adotada (cm)
h0 - Altura menor (cm)
d - Altura útil (cm)
P1 33 33 24,250
P2 28 28 19,250
P3 33 33 24,250
P4 37 37 28,250
P5 32 32 23,250
P6 33 33 24,250
P7 20 20 11,250
P8 38 38 29,250
P9 41 41 32,250
P10 37 37 28,250
Posteriormente, em conformidade com o Tópico 3.3.1, obtêm-se os momentos fletores de projeto e, consequentemente, as armaduras principais.
Tabela 45 – Momentos fletores de projeto pelo ACI-318:2014
Situações Tensões na base (kgf/cm2) Distância da borda à face do pilar (cm)
Momentos de projeto nas direções (kNm)
σ5 σ6 σ7 σ8 σ9 Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B
P1 3,607 2,442 4,415 1,634 3,025 67,5 67,5 168,127 245,616
P2 3,436 3,436 5,791 1,082 3,436 57,5 57,5 101,231 208,497
P3 3,719 2,543 4,535 1,727 3,131 67,5 67,5 173,340 252,275
P4 4,509 4,280 4,395 4,395 4,395 75 75 284,591 326,296
P5 4,278 4,278 4,278 4,278 4,278 65 65 178,929 214,715
P6 4,442 4,148 4,295 4,295 4,295 67,5 67,5 207,055 238,950
P7 4,375 4,375 4,375 4,375 4,375 20 20 6,930 6,930
P8 5,728 3,099 4,413 4,413 4,413 77,5 77,5 510,911 306,163
P9 4,007 4,007 5,641 2,373 4,007 82,5 82,5 332,981 595,442
P10 5,791 2,941 4,366 4,366 4,366 75 75 472,949 275,527
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
69
Tabela 46 - Armadura pelo ACI-318:2014
Situações Armadura total (cm2) ρ - Taxa de armadura
Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 18,751 27,393 0,499% 0,611%
P2 14,222 29,293 0,547% 0,922%
P3 19,332 28,135 0,514% 0,627%
P4 27,245 31,238 0,567% 0,553%
P5 20,814 24,976 0,597% 0,597%
P6 23,092 26,649 0,614% 0,594%
P7 1,666 1,666 0,247% 0,247%
P8 47,240 28,309 0,718% 0,553%
P9 27,924 49,935 0,468% 0,659%
P10 45,278 26,378 0,729% 0,549%
5.4.2.1. Verificação ao esforço cortante De modo idêntico ao realizado no Tópico 5.4.1.1, faz-se:
Tabela 47 - Tensões para esforço cortante para ACI-318:2014
Situações
Fvk para esforço cortante (kN)
VSd - Esforço cortante de projeto (kN) VRd (kN) VRd/VSd
Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 1034,327 1266,010 319,188 466,300 288,321 344,125 0,903 0,738
P2 765,450 1289,894 234,228 482,421 199,341 243,639 0,851 0,505
P3 1066,399 1300,331 329,085 478,941 288,321 344,125 0,876 0,719
P4 1533,150 1494,150 473,053 542,376 368,383 433,392 0,779 0,799
P5 1155,000 1155,000 353,623 424,347 267,514 321,017 0,756 0,756
P6 1273,812 1231,650 393,092 453,645 288,321 344,125 0,733 0,759
P7 157,500 157,500 30,319 30,319 51,777 51,777 1,708 1,708
P8 2255,464 1737,750 820,860 491,899 504,825 392,642 0,615 0,798
P9 1741,950 2452,220 491,675 879,220 457,650 581,340 0,931 0,661
P10 2165,691 1632,750 786,146 457,986 476,731 368,383 0,606 0,804
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
70
5.4.2.2. Verificação à punção De acordo com o Tópico 3.3.3, obtêm-se as seguintes tabelas:
Tabela 48 - Punção pelo ACI-318:2014
Situações u - Perímetro do contorno crítico C' (cm) Fvd (kN) Mxd (kNm) Myd (kNm) d* - Altura útil no
contorno C' (cm)
P1 216,184 1090,320 135,960 67,980 24,250
P2 200,476 962,280 155,760 0,000 19,250
P3 216,184 1128,600 137,280 68,640 24,250
P4 228,750 1878,360 0,000 17,160 28,250
P5 213,042 1452,000 0,000 0,000 23,250
P6 216,184 1548,360 0,000 17,160 24,250
P7 115,343 198,000 0,000 0,000 11,250
P8 271,892 2184,600 0,000 199,320 29,250
P9 281,316 2189,880 289,080 0,000 32,250
P10 268,750 2052,600 0,000 199,320 28,250
Tabela 49 - Punção pelo ACI-318:2014
Situações Jc (cm4) b1 (cm) b2 (cm) γv CAB (cm)
Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B P1 2816886,252 1042960,861 74,250 44,250 0,463 0,340 67,500 67,500
P2 1751685,783 582940,080 69,250 39,250 0,470 0,334 57,500 57,500
P3 2816886,252 1042960,861 74,250 44,250 0,463 0,340 67,500 67,500
P4 3940949,377 1567905,236 78,250 48,250 0,459 0,344 75,000 75,000
P5 2575651,408 935036,955 73,250 43,250 0,465 0,339 65,000 65,000
P6 2816886,252 1042960,861 74,250 44,250 0,463 0,340 67,500 67,500
P7 121856,689 121856,689 31,250 31,250 0,400 0,400 20,000 20,000
P8 1961370,861 7545150,158 49,250 99,250 0,320 0,486 77,500 77,500
P9 9253887,814 2559241,330 102,250 52,250 0,483 0,323 82,500 82,500
P10 1787131,122 7027579,689 48,250 98,250 0,318 0,488 75,000 75,000
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
71
Na tabela a seguir as células em verde e vermelho identificam, respectivamente, o atendimento ou não da verificação à punção das sapatas em questão pelo ACI-318:2014.
Tabela 50 - Punção pelo ACI-318:2014
Situações Área
dentro do perímetro
C' (m2)
ΔFvd - Ação do solo
dentro do perímetro C'
(kN)
Fvd - ΔFvd (kN)
τRd1 (kN/cm2)
τRd2 (kN/cm2)
τRd3 (kN/cm2)
τSd (kN/cm2) τRd/τSd
P1 0,316 126,136 964,184 0,152 0,141 0,249 0,558 0,253
P2 0,264 126,484 835,796 0,152 0,141 0,224 0,730 0,194
P3 0,316 137,983 990,617 0,152 0,141 0,249 0,567 0,249
P4 0,360 220,958 1657,402 0,152 0,141 0,266 0,271 0,521
P5 0,305 182,131 1269,869 0,152 0,141 0,244 0,256 0,552
P6 0,316 189,303 1359,057 0,152 0,141 0,249 0,278 0,508
P7 0,095 57,943 140,057 0,152 0,236 0,226 0,108 1,413
P8 0,470 289,635 1894,965 0,152 0,123 0,242 0,490 0,252
P9 0,512 286,145 1903,735 0,152 0,123 0,253 0,511 0,242
P10 0,457 278,273 1774,327 0,152 0,123 0,238 0,500 0,247
5.4.2.3. Verificação da estabilidade
A verificação da estabilidade é idêntica a realizada no Tópico 5.2.2.3.
Fonte: Autor (2016).
72
6. ANÁLISE COMPARATIVA DOS RESULTADOS
A análise comparativa dos resultados basear-se-á nas taxas médias de armadura principal obtidas para sapatas rígidas e flexíveis através dos diferentes métodos de dimensionamento, nos respectivos volumes de concreto e aço utilizados para cada caso, como também no atendimento ou não das verificações necessárias para cada situação. Deve-se atentar que, ao longo deste capítulo, as comparações que se baseiem em taxas de armadura não levam em consideração a armadura transversal e de punção quando necessárias. As figuras citadas nesse capítulo são gráficos representativos mostrados no Anexo D. Inicialmente, faz-se a comparação das taxas médias de armadura principal obtidas pelos diferentes métodos de dimensionamento para os casos de sapata rígida. As taxas médias são obtidas através da média dos valores de taxa de armadura mostrados nas Tabelas (Tabela 10 Tabela 23 Tabela 39). Desse modo, consegue-se fazer a Tabela 51, a partir da qual, faz-se a Figura 35.
Tabela 51 – Comparação da taxa média de armadura principal para sapatas rígidas
Métodos NBR 6118:2014 CEB:1970 ACI-318:2014
Taxa média de armadura principal 0,081% 0,090% 0,083%
Observando a Figura 35, percebe-se, claramente, que, para as sapatas rígidas, os três métodos sugeridos resultaram em taxas de armadura principal bastante próximas. Entretanto, a pequena diferença existente pode ser justificada pela adoção de diferentes parâmetros, coeficientes e modelos de dimensionamentos. Em seguida, realiza-se o mesmo procedimento para comparação dos casos de sapatas consideradas flexíveis.
Tabela 52 – Comparação da taxa média de armadura principal para sapatas flexíveis
Métodos NBR 6118:2014 CEB:1970 ACI-318:2014
Taxa média de armadura principal 0,433% 0,575% 0,571%
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
73
Já para as sapatas flexíveis, pode-se dizer que o método dos quinhões de carga trapezoidais adotado por este estudo, para dimensionamento em conformidade com a NBR 6118:2014, resultou em taxas de armadura principal inferiores às dimensionadas conforme o CEB:1970 e ACI-318:2014. Esse resultado pode ser justificado uma vez que os métodos do CEB:1970 e ACI-318:2014 levam em conta a pressão que solo faz nos cantos das sapatas duas vezes, enquanto que através do método dos quinhões de carga trapezoidais leva-se em conta uma única vez. No que se refere a comparação das verificações necessárias, o método de análise comparativa será baseado na média das razões entre parâmetro resistente e parâmetro solicitante de cada critério de verificação. Para as sapatas rígidas, têm-se a seguinte tabela que indica as verificações realizadas para cada método de dimensionamento. as células em verde e vermelho identificam, respectivamente, o atendimento ou não da verificação em questão.
Tabela 53 - Comparação verificações sapatas rígidas
Situações NBR 6118:2014 CEB:1970 ACI-318:2014 – Primeiro procedimento
Biela Comprimida Esforço cortante Esforço cortante Punção
τRd2/τSd VRd/VSd Media VRd/VSd Media τRd/τSd Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B
P1 5,472 1,103 1,072 1,087 82,106 67,555 74,831 2,657
P2 5,756 1,245 1,055 1,150 - - - 2,888
P3 5,286 1,053 1,035 1,044 28,251 23,457 25,854 2,598
P4 3,859 1,060 1,114 1,087 - - - 3,853
P5 4,109 1,050 1,095 1,072 - - - 3,584
P6 4,129 1,088 1,145 1,116 - - - 3,740
P7 4,875 1,160 1,160 1,160 3,869 3,869 3,869 2,678
P8 4,266 1,021 1,062 1,042 - - - 2,452
P9 4,758 1,179 1,081 1,130 - - - 2,830
P10 4,541 1,071 1,135 1,103 - - - 2,656
Média das razões 4,705 1,103 1,095 1,099 38,075 31,627 34,851 2,994
Fonte: Autor (2016).
74
Visando facilitar o entendimento da análise comparativa, obtêm-se a Figura 37 a partir das médias das razões da Tabela 53. Fazendo uma análise do gráfico apresentado na Figura 37, percebe-se que as verificações mais próximas de não serem atendidas são referentes ao dimensionamento das sapatas rígidas através do CEB:1970. Em contrapartida, a NBR 6118:2014, dos métodos de dimensionamentos, foi a que apresentou maior distância no atendimento das verificações, isso porque deve-se levar em conta a necessidade de se atender a todas as verificações requeridas para cada método em questão. Pode-se justificar esse comportamento, pelo fato das normas/boletins adotarem diferentes verificações e seções para análise. Para as sapatas flexíveis, a Tabela 54 indica as verificações realizadas para cada método de dimensionamento. Nela, as células em verde e vermelho identificam, respectivamente, o atendimento ou não da verificação em questão.
Tabela 54 - Comparação verificações sapatas flexíveis
Situações
NBR 6118:2014 CEB:1970 ACI-318:2014 – Segundo procedimento
Biela Comprimida
Punção Esforço cortante Punção Esforço cortante Punção
τRd2/τSd τRd1/τSd VRd/VSd Media τRd/τSd VRd/VSd Media τRd/τSd Dir. A Dir. B Dir. A Dir. B
P1 2,177 0,829 0,445 0,533 0,489 0,951 0,903 0,738 0,821 0,253
P2 2,022 0,865 0,457 0,490 0,474 0,934 0,851 0,505 0,678 0,194
P3 2,103 0,815 0,438 0,525 0,482 0,938 0,876 0,719 0,797 0,249
P4 1,446 0,923 0,373 0,479 0,426 1,055 0,779 0,799 0,789 0,521
P5 1,576 1,027 0,397 0,509 0,453 1,170 0,756 0,756 0,756 0,552
P6 1,533 0,940 0,386 0,502 0,444 1,072 0,733 0,759 0,746 0,508
P7 - - - - - - 1,708 1,708 1,708 1,413
P8 1,649 0,766 0,505 0,398 0,452 0,925 0,615 0,798 0,707 0,252
P9 1,795 0,783 0,398 0,485 0,442 0,918 0,931 0,661 0,796 0,242
P10 1,701 0,788 0,514 0,408 0,461 0,946 0,606 0,804 0,705 0,247
Média das
razões 1,778 0,860 0,435 0,481 0,458 0,990 0,876 0,825 0,850 0,443
Fonte: Autor (2016).
75
Seguindo o raciocínio anteriormente apresentado, têm-se a Figura 38. Analisando o gráfico mostrado na Figura 38, identifica-se que, novamente, levando em conta o conjunto das verificações, o dimensionamento pela NBR 6118:2014 é o que apresenta maior proximidade de se atender a todas verificações necessárias. Em oposição a isso, os dimensionamentos em conformidade com o ACI-318:2014 e o CEB:1970 apresentam uma distância considerável para atingir o ponto de se atender a todas as verificações recomendadas por cada norma/boletim em questão. Pode-se justificar esse comportamento, pelo fato das normas/boletins adotarem diferentes verificações e seções para análise. Visando fazer uma comparação mais fiel a realidade, e utilizando-se das dimensões geométricas e das áreas de aço necessárias, obtêm-se a Tabela 55 que compara os pesos médios de aço (somente armadura principal) e concreto por sapata obtido a partir da média da 10 situações de sapatas quando dimensionadas a critério da rigidez e de acordo com a NBR 6118:2014, CEB:1970 e ACI-318:2014.
Tabela 55 - Comparação peso médio de aço e volume médio de concreto
Classificaçãoquanto
arigidez
NBR 6118:2014 CEB:1970 ACI-318:2014
Pesomédiodeaço(Kg)
Volumemédiode
concreto(m3)
Pesomédiodeaço(Kg)
Volumemédiodeconcreto
(m3)
Pesomédiodeaço(Kg)
Volumemédiodeconcreto
(m3)
Rígida 28,95961 1,55072 32,52963 1,55072 27,78879 2,55798
Flexível 64,92380 1,55072 87,08281 1,55072 72,34148 2,55798
Para melhor visualização das comparações do peso médio de aço e volume médio de concreto por sapata, faz-se os gráficos apresentados nas Figuras (Figura 39 e Figura 40). No que se refere ao peso de aço médio por sapata, percebe-se que o dimensionamento de acordo com o CEB:1970 proporcionou um maior peso de aço do que a NBR 6118:2014 e o ACI-318:2014, seja para as sapatas flexíveis ou rígidas. Além disso, destaca-se a grande diferença de peso de aço obtido entre o dimensionamento de sapatas rígidas e flexíveis.
Fonte: Autor (2016).
76
A diferença do volume médio de concreto entre o ACI-318:2014 e as demais normas/boletins em questão é ocasionada por ter sido adotada altura constante ao longo da sapata para o dimensionamento de acordo com o ACI-318:2014. Analisando a Figura 40, percebe-se, também, o acréscimo considerável de volume de concreto quando se utiliza sapata rígida ao invés de flexível. A partir da Tabela 55, faz-se a comparação entre o peso médio de aço por m3 de concreto. Essa comparação é mostrada através da Tabela 56 e da Figura 41.
Tabela 56 - Comparação peso de aço médio por m3 de concreto
ClassificaçãoquantoàrigidezNBR 6118:2014 CEB:1970 ACI 318:2014
Peso de aço médio por m3 de concreto (Kg/m3)
Rígida 18,675 20,977 10,863
Flexível 76,843 103,070 70,105
Percebe-se que o dimensionamento por meio do ACI 318:2014 é o que resulta na menor quantidade de aço por metro cúbico de concreto, entretanto, deve-se atentar para o fato que o dimensionamento em questão, através do ACI 318:20014, resultou em um maior volume de concreto a ser utilizado.
Fonte: Autor (2016).
77
7. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Após a finalização deste estudo, alguns observações devem ser feitas. Primeiro, pode-se afirmar que as recomendações técnicas na normalização brasileira sobre dimensionamento de sapatas não estabelecem qualquer método específico para dimensionamento, fazendo, assim, com que haja uma considerável falta de informação e de padrão no processo de dimensionamento de sapatas. Além disso, destaca-se que a NBR 6118:2014 – “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”, ACI-318:2014 – “Building Code Requirements for Structural Concrete“ e o boletim CEB:1970 não adotam critérios de dimensionamento e verificação específicos para sapatas. Utilizam-se de critérios pré-estabelecidos para dimensionamento e verificações de estruturas como lajes e vigas. Em segundo lugar, nota-se que as verificações recomendadas por cada norma/boletim em questão não apresentam um mesmo padrão de dimensionamento e verificação requeridas. Pode-se comprovar isso, ao observar as diferentes formas de verificação utilizadas para cada norma/boletim, a exemplo, pode-se citar a NBR 6118:2014 – “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento” que, para sapatas rígidas, recomenda apenas a verificação da biela comprimida enquanto que o CEB:1970 preconiza a verificação ao esforço cortante. Em relação ao dimensionamento das armaduras principais para sapatas rígidas, conclui-se que o método através da teoria de bielas e tirantes, adotado para dimensionamento em conformidade com a NBR 6118:2014, e o método proposto pelo ACI-318:2014 são os métodos menos conservadores no que se refere a quantidade de armadura principal necessitada. Já para as sapatas flexíveis, pode-se afirmar que o método trapezoidal dos quinhões de carga, adotado para dimensionamento de acordo com a NBR 6118:2014, é o menos conservador nesse aspecto, enquanto que o dimensionamento proposto pelo CEB:1970 é o mais. Em relação as verificações, este estudo permite inferir que a NBR 6118:2014 é, entre as normas/boletins estudados, a menos conservadora nesse aspecto, seguida do ACI-318:2014.
78
Assim, conclui-se que, de uma maneira geral, o dimensionamento em concordância com a NBR 6118:2014 apresentou resultados mais econômicos e menos conservadores quando comparado com as demais normas/boletins apresentadas (os) neste trabalho. O CEB:1970, por sua vez, foi a norma/boletim que demonstrou resultados mais conservadores. Para finalizar, conclui-se que, para solos rígidos e cargas solicitantes altas, deve-se adotar sapatas rígidas como opção de fundação, em detrimento de sapatas flexíveis.
7.1. Sugestões para trabalhos futuros
Após a realização desta pesquisa, tem-se a expectativa de que haja contribuições para outros estudos relacionados à fundações diretas em projetos de edifícios. Desta forma, alguns temas são sugeridos como forma de dar continuidade a esta pesquisa:
o Estudo e análise da formação das bielas e tirantes nas sapatas rígidas; o Comparação entre os esforços solicitantes obtidos pelos modelos analíticos de cálculo e modelos via Método dos Elementos Finitos (MEF);
o Estudo de fundações do tipo sapatas de concreto armado rígidas e flexíveis considerando à compressão simples, flexão normal composta e flexão oblíqua composta quando submetidas a pequenas cargas e assentada em solos frágeis;
o Análise da iteração solo-estruturas em fundações diretas de edifícios.
79
8. REFERÊNCIAS
ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2014: Projeto e execução de obras de concreto armado: Procedimento. Rio de Janeiro, 2014; ABNT - ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6122:2010: Projeto e execução de fundações. Rio de Janeiro, 2010; ACI 318. Building Code Requirements for Structural Concrete. American Concrete Institute, Farmington Hills, Michigan, 2014. ARAÚJO, José Milton De. Curso de concreto armado volume 4. Rio Grande do Sul, 2014. ARAÚJO, José Milton De. Projeto estrutural de edifícios de concreto armado. Rio Grande do Sul, 2004. Rodrigo; GIONGO, José Samuel. Cálculo da área da armadura transversal em elementos lineares de concreto armado submetidas à ação de força esforço cortante: análise comparativa entre os Modelos I e II da NBR 6118:2003. 50º Congresso Brasileiro de Concreto, Salvador, 2008. BASTOS, Paulo Sérgio Dos Santos. Estruturas de concreto III: notas de aula sapatas de fundação. Bauru, 2012. CAMPOS, João Carlos De. Elementos de fundações em concreto. São Paulo, 2015. CINTRA, José Carlos A.; AOKI, Nelson; ALBIERO, José Henrique. Fundações Diretas: projeto geotécnico. São Carlos, 2012.
80
COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. CEB-FIP MODEL CODE 2010: Final draft. Model Code Prepared by Special Activity Group 5. Lausanne, 2011. COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. Recommandations particulières au calcul et à l’exécution des semelles de fondation. Bulletin d’Information n.73. Paris, 1970. CORDOVIL, Fábio Armando Botelho. Lajes de concreto armado: punção. Florianópolis: Ed. da UFSC,1997. MORAES, Marcello Da Cunha. Estruturas de fundações. São Paulo, 1977. SILVA, Edja Laurindo Da. Análise dos modelos estruturais para determinação dos esforços resistentes em sapatas isoladas. Dissertação Para Obtenção Do Título De Mestre. São Carlos, 1998. SOUZA, Raphael Alves; BITTENCOURT, Túlio Nogueira. Definição de expressões visando relacionar f’c e fck. Artigo Científico. ENTECA, 2003. CARVALHO, Roberto Chust. ; PINHEIRO, Libânio Miranda. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: volume 2. São Paulo, 2013.
81
ANEXO A CONSIDERAÇÕES E CARACTERÍSTICAS GERAIS
As 10 situações em questão apresentarão as seguintes considerações e características:
Ø Resistência característica à compressão do concreto igual a 40 MPa; Ø O peso da sapata é levado em consideração multiplicando a ação vertical por
1,10 para sapatas rígidas e 1,05 para sapatas flexíveis; Ø Sapata assentada em solo arenoso compactado com ângulo de atrito igual à 30°
e sem coesão; Ø Tensão admissível do solo igual a 4,5 kgf/cm2; Ø Não será feito o dimensionamento das armaduras para esforço cortante e
punção; Ø Para verificação da estabilidade não será levado em conta o peso próprio das
sapatas, ação essa que é a favor da segurança; Ø Cobrimentos:
o Para a NBR 6118:2014 será considerado classe de agressividade ambiental 3, tendo, assim, cobrimento de 40 milímetros;
o Para o CEB:1970 será considerado ataque por cloreto proveniente da água do mar e de outras fontes, resultando, assim, em cobrimento de 40 milímetros;
o Para o ACI-318:2014 será considerado o concreto exposto permanentemente ao solo, ocasionando em cobrimento de 75 milímetros.
Ø O vento será considerado como ação variável principal; Ø A parcela da carga de vento representará 30% das cargas características; Ø Os coeficientes de majoração dos esforços serão:
o Para a NBR 6118:2014, iguais a 1,4 para cargas permanente e variáveis; o Para o CEB:1970, iguais a 1,35 para cargas permanentes e 1,5 para
variáveis; o Para o ACI-318:2014, iguais a 1,2 para cargas permanentes e 1,6 para
carga de vento.
82
Ø A altura útil, "!", adotada para cálculo será igual a altura, "ℎ", menos o cobrimento e 1,25 centímetros;
Ø Para cálculo através do ACI-318:2014 serão consideradas alturas constantes ao longo das sapatas (ℎ = ℎ!).
83
ANEXO B MEMÓRIA DE CÁLCULO PARA SITUAÇÃO P1 ATRAVÉS DA NBR 6118:2014
• Dados situação P1
Tabela 57 - Pilar P1
P1 ap - Dimensões em X (cm) 50
bp -Dimensões em Y (cm) 20
Fv - Carga vertical (kN) 826
Fh - Carga horizontal (kN) -
Mx - Momento em torno de X (kNm) 103
My - Momento em torno de Y (kNm) 51,5
Figura 33 - Representação em planta da sapata
• Cálculo da área da base da sapata:
Area = A ∙ B = F!!!"#
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
84
o Sapata rígida
Area = 826 ∙ 1,1450 = 2,019 !!
o Sapata flexível
Area = 826 ∙ 1,05450 = 1,927 !!
• Cálculo das dimensões em planta:
B = 12 !! − !! + 1
4 !! − !!! + !"#$
o Sapata rígida
B = 12 20− 50 + 1
4 20− 50 ! + 20190 = 127,88 !" ≅ 130 !"
A = 20190130 = 155,31 !" ≅ 160 !"
o Sapata flexível
B = 12 20− 50 + 1
4 20− 50 ! + 19270 = 124,64!" ≅ 125!"
A = 19270125 = 154,19 !" ≅ 155!"
• Cálculo das excentricidade:
! = MF!
o Sapata rígida
!! =5150
1,1 ∙ 826 = 5,668 !"
!! =103001,1 ∙ 826 = 11,336 !"
o Sapata flexível
!! =5150
1,05 ∙ 826 = 5,938 !"
85
!! =10300
1,05 ∙ 826 = 11,876 !"
• Posição da aplicação da carga vertical:
e!! + e!! ≤ 1
6 → !"#$%& !" !ú!"#$ !" !"é!"#$
o Sapata rígida 5,668160 + 11,336130 = 0,123 ≤ 1
6 → !"#$%& !" !ú!"#$ !" !"é!"#$
o Sapata flexível
5,938155 + 11,876125 = 0,133 ≤ 1
6 → !"#$%& !" !ú!"#$ !" !"é!"#$
• Tensão máxima:
σ!Á! =F!
! ∙ ! 1+ 6!!! + 6!!!
o Sapata rígida
σ!Á! =1,1 ∙ 826160 ∙ 130 1+ 6 ∙ 5,668160 + 6 ∙ 11,336130 = 7,582 !"#/!"!
Obs: Tensão obtida superior à 1,3 !!"# o Sapata flexível
σ!Á! =1,05 ∙ 826155 ∙ 125 1+ 6 ∙ 5,938155 + 6 ∙ 11,876125 = 8,057 !"#/!"!
Obs: Tensão obtida superior à 1,3 !!"#
• Atribuição dos novos valores para A e B: o Sapata rígida
B = 155 cm A = 185 cm
o Sapata flexível B = 155 cm A = 185 cm
86
• Posição da aplicação da carga vertical: e!! + e!! ≤ 1
6 → !"#$%& !" !ú!"#$ !" !"é!"#$
o Sapata rígida 5,668185 + 11,336155 = 0,104 ≤ 1
6 → !"#$%& !" !ú!"#$ !" !"é!"#$
o Sapata flexível
5,938185 + 11,876155 = 0,109 ≤ 1
6 → !"#$%& !" !ú!"#$ !" !"é!"#$
• Tensão na base:
σ = F!! ∙ ! 1± 6!!! ± 6!!!
o Sapata rígida
σ!(!Á!) =1,1 ∙ 826185 ∙ 155 1+ 6 ∙ 5,668185 + 6 ∙ 11,336155 = 5,142 !"#/!"!
σ! =1,1 ∙ 826185 ∙ 155 1+ 6 ∙ 5,668185 − 6 ∙ 11,336155 = 2,361 !"#/!"!
σ! =1,1 ∙ 826185 ∙ 155 1− 6 ∙ 5,668185 + 6 ∙ 11,336155 = 3,977 !"#/!"!
σ! =1,1 ∙ 826185 ∙ 155 1− 6 ∙ 5,668185 − 6 ∙ 11,336155 = 1,196 !"#/!"!
σ! =5,142+ 2,361
2 = 3,751 !"#/!"!
σ! =3,977+ 1,196
2 = 2,586 !"#/!"!
σ! =5,142+ 3,977
2 = 4,559 !"#/!"!
σ! =2,361+ 1,196
2 = 1,778 !"#/!"!
σ! =3,751+ 2,586+ 4,559+ 1,778
4 = 3,169 !"#/!"!
87
o Sapata flexível
σ!(!Á!) =1,05 ∙ 826185 ∙ 155 1+ 6 ∙ 5,938185 + 6 ∙ 11,876155 = 4,998 !"#/!"!
σ! =1,05 ∙ 826185 ∙ 155 1+ 6 ∙ 5,938185 − 6 ∙ 11,876155 = 2,217 !"#/!"!
σ! =1,05 ∙ 826185 ∙ 155 1− 6 ∙ 5,938185 + 6 ∙ 11,876155 = 3,833 !"#/!"!
σ! =1,05 ∙ 826185 ∙ 155 1− 6 ∙ 5,938185 − 6 ∙ 11,876155 = 1,052 !"#/!"!
σ! =4,998+ 2,217
2 = 3,607 !"#/!"!
σ! =3,833+ 1,052
2 = 2,442 !"#/!"!
σ! =4,998+ 3,833
2 = 4,415 !"#/!"!
σ! =2,217+ 1,052
2 = 1,634 !"#/!"!
σ! =3,607+ 2,442+ 4,415+ 1,634
4 = 3,025 !"#/!"!
• Altura
o Sapata rígida
h ≥ A− a!3 → !"# 6118: 2014
A cm − a! cm4 ≤ h cm ≤ 1,5 A cm − a! cm
2 → !"# 1970
h ≥ 185− 503 = 45 cm → !"# 6118: 2014
185− 504 ≤ h ≤ 185− 50
2 = 33,75 cm ≤ h ≤ 101,25 cm → !"# 1970
Altura adotada: h = 75 cm
88
o Sapata flexível
h < A− a!3 → !"# 6118: 2014
h < A− a!4 → !"# 1970
h < 185− 503 = 45 cm → !"# 6118: 2014
h < 185− 504 = 33,75 cm → !"# 1970
Altura adotada: h = 33 cm
• Dimensionamento NBR 6118:2014
o Sapata rígida Altura útil
d = 75− 4− 1,25 = 69,75 cm Tração característica
R!!,! = 3,169 ∙ 1852 +(3,751− 3,169) ∙ 1852
2 = 320,037 !"/!
R!!,! = 3,169 ∙ 1552 +(4,559− 3,169) ∙ 1552
2 = 299,447 !"/!
x!,! = 47,548 !"
y!,! = 41,074 !"
T! =R!! x! − 0,25!!
!
T! =R!! y! − 0,25!!
!
89
T!,! =320,037 47,548− 0,25 ∙ 50
69,75 = 160,812 !"/!
T!,! =299,447 41,074 − 0,25 ∙ 20
69,75 = 154,872 !"/!
Área de aço
A!",! =160,812 ∙ 1,450/1,15 = 5,178 !"!/!
A!",! =154,872 ∙ 1,450/1,15 = 4,987 !"!/!
A!"#,! = 5,178 ∙ 1,55 = 8,026 !"!
A!"#,! = 4,987 ∙ 1,85 = 9,226 !"!
ρ! =8,026
69,75 ∙ 1,55 = 0,074%
ρ! =9,226
69,75 ∙ 1,85 = 0,071%
Ø Verificação biela comprimida
τ!" =!!"!! ∙ !
u! = 2 ∙ !! + 2 ∙ !! = 2 ∙ 50 + 2 ∙ 20 = 140 cm
F!" = 1,4 ∙ 826 = 1156 !"
τ!" =1156
140 ∙ 69,75 = 0,118 !"/!"!
τ!"! = 0,27 ∙ 1− 40250 ∙ 401,4 = 6,48 !"# = 0,648 !"/!"!
o Sapata flexível
Altura útil
d = 33− 4− 1,25 = 27,75 cm
90
σ!"#$ ≥0,8σ!á! = 0,8 ∙ 4,998 = 3,996 !"#/!"!
σ!á! + σ!í!2 = 3,996+ 1,052
2 = 3,025 !"#/!"!
Nova força vertical característica
!!"! = 3,996 ∙ 155 ∙ 185 = 114643 kgf = 1146,43 kN Momento fletor de cálculo
M!"# =1146,43 ∙ 1,4
4185− 50
6 ∙ 2 ∙ 155+ 20155+ 20 + 506 = 203,682 !"#
M!"# =1146,43 ∙ 1,4
4155− 20
6 ∙ 2 ∙ 185+ 50185+ 50 + 206 = 174,729 !"#
Área de aço
A!",! =M!"#
0,85 ∙ ! ∙ !!"
A!",! =M!"#
0,85 ∙ ! ∙ !!"
A!",! =203,682
0,85 ∙ 27,75 ∙ 50/1,15 = 19,851 !"!
A!",! =174,729
0,85 ∙ 27,75 ∙ 50/1,15 = 17,029 !"!
ρ! =19,851
27,75 ∙ 155 = 0,462%
ρ! =17,029
27,75 ∙ 185 = 0,332%
Ø Verificação biela comprimida
τ!" =!!"!! ∙ !
u! = 2 ∙ !! + 2 ∙ !! = 2 ∙ 50 + 2 ∙ 20 = 140 cm
F!" = 1,4 ∙ 826 = 1156 !"
91
τ!" =1156
140 ∙ 27,75 = 0,298 !"/!"!
τ!"! = 0,27 ∙ 1− 40250 ∙ 401,4 = 6,48 !"# = 0,648 !"/!"!
Ø Verificação à punção
τ!" =!!"! ∙ ! +
! ∙!!"!! ∙ !
! = 2 ∙ !! + 2 ∙ !! + 2 ∙ π ∙ 2d = 2 ∙ 50+ 2 ∙ 20+ 2 ∙ π ∙ 2 ∙ 27,75 = 488,717 cm
!!" = 103 ∙ 1,4 = 144,2 kNm !!" = 51,5 ∙ 1,4 = 72,1 kNm
Área dentro do perímetro C’
!"#$ !! = !! ∙ !! + 2 ∙ !! ∙ 2d+ 2 ∙ !! ∙ 2d + π ∙ !! !"#$ !′ = 20 ∙ 50+ 2 ∙ 20 ∙ 2 ∙ 27,75+ 2 ∙ 50 ∙ 2 ∙ 27,75+ π ∙ 27,75! = 18450 c!!
Altura útil no perímetro C’
d = 20+33− 20 ∙ 135
2 − 2 ∙ 27,751352
− 4− 1,25 = 17,061 cm
Ação do solo dentro do perímetro C’
!!"#"$ = 18450 ∙ 3,025 ∙ 1,4 = 78111,9 !"# = 781,119 !" Ação vertical na punção
!!" = 1156− 781,119 = 375,281 !"
92
!"#" !"#.! → !!!!= 5020 = 2,5 → ! = 0,75
!"#" !"#.! → !!!!= 2050 = 0,4 → ! = 0,45
!! =!!!2 + !! ∙ !! + 4!! ∙ ! + 16!! + 2!"!! (!"#" !"#$% !"#$%&'($!)
!"#" !"#.! →!! =50!2 + 50 ∙ 20+ 4 ∙ 20 ∙ 27,75+ 16 ∙ 27,75! + 2! ∙ 27,75 ∙ 50
!"#" !"#.! →!! = 25508,92 c!!
!"#" !"#.! →!! =20!2 + 50 ∙ 20+ 4 ∙ 50 ∙ 27,75+ 16 ∙ 27,75! + 2! ∙ 27,75 ∙ 20
!"#" !"#.! →!! = 22558,17 c!!
τ!" =375,281
488,717 ∙ 17,061 +0,75 ∙ 7210
25508,92 ∙ 17,061+0,45 ∙ 14420
22558,17 ∙ 17,061 = 0,074 !"/!"!
τ!"# = 0,13 1+ 20d 100ρ ∙ f!" !/! + 0,10σ!"
τ!"# = 0,13 1+ 2017,061 100 ∙ 0,332% ∙ 40 !/! = 0,62 MPa = 0,062 !"/!"!
93
ANEXO C ÁBACO DE MONTOYA (1973)
Figura 34 - Ábaco para determinação das tensões
Fonte: Bastos (2012)
94
ANEXO D GRÁFICOS DA ANÁLISE COMPARATIVA
Figura 35 - Comparação das taxas médias de armadura para casos de sapatas rígidas
Figura 36 - Comparação das taxas médias de armadura para casos de sapatas flexíveis
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
95
Figura 37 - Comparação verificações sapatas rígidas
Figura 38 - Comparação verificações sapatas flexíveis
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
96
Figura 39 - Comparação do peso de aço médio
Figura 40 - Comparação do volume de concreto médio
Fonte: Autor (2016).
Fonte: Autor (2016).
97
Figura 41 - Comparação peso de aço médio por m3 de concreto
Fonte: Autor (2016).