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Page 1: Maquina sincrona steadystate

Sistema por unidade

𝑆𝑏 = π‘†π‘›π‘œπ‘šπ‘–π‘›π‘Žπ‘™ [𝑉𝐴]

𝑉𝑏 = π‘‰πœ‘β€²π‘π‘–π‘π‘œ [𝑉]

𝐼𝑏 = πΌπ‘π‘–π‘π‘œ [𝐴]

πœ”π‘ = πœ”π‘’π‘™Γ©π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘œ = 2 βˆ™ πœ‹ βˆ™ 60 [π‘Ÿπ‘Žπ‘‘ 𝑠⁄ ]

πœ†π‘ =𝑉𝑏

πœ”π‘ [π‘Šπ‘’π‘π‘’π‘Ÿ]

Portanto, as equaçáes para potΓͺncia e torque podem ser derivadas:

π‘†π‘π‘Žπ‘ π‘’ =3

2π‘‰π‘π‘Žπ‘ π‘’πΌπ‘π‘Žπ‘ π‘’

π‘‡π‘π‘Žπ‘ π‘’ =3

2

π‘‰π‘π‘Žπ‘ π‘’πΌπ‘π‘Žπ‘ π‘’

πœ”π‘π‘Žπ‘ π‘’ (𝑃2)⁄

=3

2

𝑃

2πœ†π‘π‘Žπ‘ π‘’πΌπ‘π‘Žπ‘ π‘’

𝑃

π‘†π‘π‘Žπ‘ π‘’=

32 (π‘£π‘žπ‘ π‘–π‘žπ‘  + 𝑣𝑑𝑠𝑖𝑑𝑠 + 2 βˆ™ 𝑣0𝑠𝑖0𝑠)

32

π‘‰π‘π‘Žπ‘ π‘’πΌπ‘π‘Žπ‘ π‘’

= (οΏ½Μ…οΏ½π‘žπ‘ π‘–οΏ½Μ…οΏ½π‘  + �̅�𝑑𝑠𝑖�̅�𝑠 + 2 βˆ™ οΏ½Μ…οΏ½0𝑠𝑖0̅𝑠)

𝑇𝑒

π‘‡π‘π‘Žπ‘ π‘’=

32

𝑃2 (πœ†π‘‘π‘ π‘–π‘žπ‘  βˆ’ πœ†π‘žπ‘ π‘–π‘‘π‘ )

32

𝑃2

πœ†π‘π‘Žπ‘ π‘’πΌπ‘π‘Žπ‘ π‘’

= (�̅�𝑑𝑠𝑖�̅�𝑠 βˆ’ οΏ½Μ…οΏ½π‘žπ‘ π‘–οΏ½Μ…οΏ½π‘ )

A equação dinÒmica de normalizada pode ser escrita:

1

πœ”π‘π‘Žπ‘ π‘’

π‘‘πœƒπ‘Ÿ

𝑑𝑑=

πœ”π‘Ÿ

πœ”π‘π‘Žπ‘ π‘’= οΏ½Μ…οΏ½π‘Ÿ

𝐽1

𝑃2⁄

π‘‘πœ”π‘Ÿπ‘‘π‘‘

π‘‡π‘π‘Žπ‘ π‘’=

𝐽1

𝑃2⁄

π‘‘πœ”π‘Ÿπ‘‘π‘‘

(π‘†π‘π‘Žπ‘ π‘’π‘ƒ2)

πœ”π‘π‘Žπ‘ π‘’β„

=π‘‡π‘šπ‘’π‘ βˆ’ 𝑇𝑒

π‘‡π‘π‘Žπ‘ π‘’

Definindo a constante de inércia 𝐻

𝐻 =

12 𝐽 (

πœ”π‘π‘Žπ‘ π‘’π‘ƒ

2⁄)

2

π‘†π‘π‘Žπ‘ π‘’

2π»π‘‘οΏ½Μ…οΏ½π‘Ÿ

𝑑𝑑= οΏ½Μ…οΏ½π‘šπ‘’π‘ βˆ’ �̅�𝑒

Page 2: Maquina sincrona steadystate

Como em condição normal de operação os Òngulos entre o campo do estator e o rotor são

diferentes, conhecido como Òngulo de carga, pode-se definir a equação dinÒmica a partir

deste Γ’ngulo:

𝛿 = πœ”π‘Ÿπ‘‘ βˆ’ πœ”π‘’π‘‘ + 𝛿0

𝑑𝛿

𝑑𝑑= πœ”π‘Ÿ βˆ’ πœ”π‘’ = πœ”π‘Ÿ βˆ’ 2πœ‹π‘“π‘’

𝑑2𝛿

𝑑𝑑2=

π‘‘πœ”π‘Ÿ

𝑑𝑑

2𝐻

πœ”π‘π‘Žπ‘ π‘’

𝑑2𝛿

𝑑𝑑2= οΏ½Μ…οΏ½π‘šπ‘’π‘ βˆ’ �̅�𝑒

MΓ‘quina em estado estacionΓ‘rio

Em condição estacionΓ‘ria, a velocidade do rotor serΓ‘ constante e igual a πœ”π‘’

π’—π‘žπ‘‘0𝑠 = βˆ’π‘Ÿπ‘ π’Šπ‘žπ‘‘0𝑠 + πœ”π‘Ÿπ€π‘‘π‘žπ‘ 

π’—β€²π‘žπ‘‘π‘Ÿ = π‘Ÿπ‘Ÿπ’Šβ€²π‘žπ‘‘π‘Ÿ

πœ†π‘žπ‘  = βˆ’πΏπ‘™π‘ π‘–π‘žπ‘  + πœ†π‘šπ‘ž

πœ†π‘‘π‘  = βˆ’πΏπ‘™π‘ π‘–π‘‘π‘  + πœ†π‘šπ‘‘

πœ†π‘˜π‘ž1 = πΏπ‘™π‘˜π‘ž1π‘–π‘˜π‘ž1 + πœ†π‘šπ‘ž

πœ†π‘˜π‘ž2 = πΏπ‘™π‘˜π‘ž2π‘–π‘˜π‘ž2 + πœ†π‘šπ‘ž

πœ†π‘“π‘‘ = 𝐿𝑙𝑓𝑑𝑖𝑓𝑑 + πœ†π‘šπ‘‘

πœ†π‘˜π‘‘ = πΏπ‘™π‘˜π‘‘π‘–π‘˜π‘‘ + πœ†π‘šπ‘‘

Ou, em explicitando as correntes:

π‘‰π‘žπ‘  = βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘žπ‘  βˆ’ πœ”π‘’πΏπ‘‘πΌπ‘‘π‘  + πœ”π‘’πΏπ‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘

𝑉𝑑𝑠 = βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘‘π‘  + πœ”π‘’πΏπ‘žπΌπ‘žπ‘ 

𝑉𝑓𝑑 = π‘Ÿπ‘“π‘‘πΌπ‘“π‘‘

onde:

𝐿𝑑 = 𝐿𝑙𝑠 + πΏπ‘šπ‘‘

πΏπ‘ž = 𝐿𝑙𝑠 + πΏπ‘šπ‘ž

ou, utilizando a reatΓ’ncia ao invΓ©s das indutΓ’ncias:

Page 3: Maquina sincrona steadystate

π‘‰π‘žπ‘  = βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘žπ‘  βˆ’πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘‘πΌπ‘‘π‘  +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘

𝑉𝑑𝑠 = βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘‘π‘  +πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘žπ‘ 

𝑉𝑓𝑑 = π‘Ÿπ‘“π‘‘πΌπ‘“π‘‘

Onde πœ”π‘ Γ© a velocidade angular elΓ©trica base utilizada para calcular as reatΓ’ncias.

A transformação de um conjunto balanceado de grandezas com mesma amplitude e defasados

de 120Β° pode ser realizada, para a referΓͺncia de Krause:

π‘“π‘Žπ‘  = √2𝑓𝑠cos (πœƒπ‘’π‘“)

𝑓𝑏𝑠 = √2𝑓𝑠cos (πœƒπ‘’π‘“ βˆ’2πœ‹

3)

𝑓𝑐𝑠 = √2𝑓𝑠 cos (πœƒπ‘’π‘“ +2πœ‹

3)

por tanto:

π‘“π‘žπ‘  = √2𝑓𝑠cos (πœƒπ‘’π‘“ βˆ’ πœƒπ‘Ÿ)

𝑓𝑑𝑠 = βˆ’βˆš2𝑓𝑠sen (πœƒπ‘’π‘“ βˆ’ πœƒπ‘Ÿ)

𝑓0𝑠 = 0

De acordo com a referΓͺncia de Rocha:

𝑓𝑑𝑠 = √2𝑓𝑠cos (πœƒπ‘’π‘“ βˆ’ πœƒπ‘Ÿ)

π‘“π‘žπ‘  = √2𝑓𝑠sen (πœƒπ‘’π‘“ βˆ’ πœƒπ‘Ÿ)

𝑓0𝑠 = 0

Expressando estes vetores em função do Γ’ngulo de carga, 𝛿 = πœƒπ‘Ÿ βˆ’ πœƒπ‘’π‘£, como πœ”π‘Ÿ = πœ”π‘’ em

condição estacionΓ‘ria, πœƒπ‘Ÿ = 𝛿 + πœƒπ‘’π‘£

π‘“π‘žπ‘  = √2𝑓𝑠cos (πœƒπ‘’π‘“(0) βˆ’ πœƒπ‘’π‘£(0) βˆ’ 𝛿)

𝑓𝑑𝑠 = βˆ’βˆš2𝑓𝑠sen (πœƒπ‘’π‘“(0) βˆ’ πœƒπ‘’π‘£(0) βˆ’ 𝛿)

𝑓0𝑠 = 0

ou:

π‘“π‘žπ‘  = 𝑅𝑒 (√2𝐹𝑠ej (πœƒπ‘’π‘“(0)βˆ’πœƒπ‘’π‘£(0))

eβˆ’j𝛿)

𝑓𝑑𝑠 = 𝑅𝑒 (π‘—βˆš2𝐹𝑠ej (πœƒπ‘’π‘“(0)βˆ’πœƒπ‘’π‘£(0))

eβˆ’j𝛿)

Page 4: Maquina sincrona steadystate

Assim, transformando o vetor para e referencial do rotor pode ser simplificado para:

√2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = πΉπ‘žπ‘  βˆ’ 𝑗𝐹𝑑𝑠

Γ‰ importante notar que οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘  e πœƒπ‘’π‘“ sΓ£o termos que fazem referΓͺncia Γ s variΓ‘veis de forma geral,

portanto:

οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘  = 𝐹𝑠ej(πœƒπ‘’π‘“(0)βˆ’πœƒπ‘’π‘£(0))

representa as variΓ‘veis do eixo π‘Žπ‘  referenciadas no instante zero de πœƒπ‘’π‘£ que serΓ‘ selecionado

tal que π‘£π‘Žπ‘  seja mΓ‘ximo para 𝑑 = 0. οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘  Γ© o vetor girante referenciado para um sistema

coordenado, referΓͺncia no vetor sΓ­ncrono e, que tambΓ©m gira Γ  velocidade sΓ­ncrona onde no

instante zero estΓ‘ localizado no eixo real:

π‘‰π‘žπ‘  βˆ’ 𝑗𝑉𝑑𝑠 = 𝑉𝑠 βˆ’ 𝑗0

PORQUE O FASOR DE KRAUSE E DO ONG UTILIZA O VALOR RMS DA VARIÁVEL.

onde o sobrescrito r que indica o referencial no rotor foi removido por simplicidade. Vale

salientar agora a diferenΓ§a entre as notaçáes escolhidas por Krause e SelΓͺnio, para Rocha o

vetor Γ© dado por:

√2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = 𝐹𝑑𝑠 + π‘—πΉπ‘žπ‘ 

PorΓ©m em ambos os casos, o eixo d Γ© referente ao caminho de menor relutΓ’ncia do circuito

magnético formado pelo rotor e estator, no caso a cabeça da sapata polar. Continuando a

formulação de acordo com Krause:

√2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = π‘‰π‘žπ‘  βˆ’ 𝑗𝑉𝑑𝑠

π‘‰π‘žπ‘  = βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘žπ‘  βˆ’πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘‘πΌπ‘‘π‘  +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘

𝑉𝑑𝑠 = βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘‘π‘  +πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘žπ‘ 

𝑉𝑓𝑑 = π‘Ÿπ‘“π‘‘πΌπ‘“π‘‘

√2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘žπ‘  βˆ’

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘‘πΌπ‘‘π‘  +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘ βˆ’ 𝑗 (βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘‘π‘  +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘žπ‘ )

Adcionando e subtratindo πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘‘π‘  no lado direito da equação:

√2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘žπ‘  βˆ’

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘‘πΌπ‘‘π‘  +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘ + π‘—π‘Ÿπ‘ πΌπ‘‘π‘  βˆ’ 𝑗

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘žπ‘  +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘‘π‘  βˆ’

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘‘π‘ 

√2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = βˆ’π‘Ÿπ‘ (πΌπ‘žπ‘  βˆ’ 𝑗𝐼𝑑𝑠) βˆ’ 𝑗

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘ž(πΌπ‘žπ‘  βˆ’ 𝑗𝐼𝑑𝑠) βˆ’

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘‘πΌπ‘‘π‘  +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘ +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘‘π‘ 

lembrando:

ERRATA – a equação 5.9-16 do Krause estΓ‘ invertida no livro pdf: π‘—βˆš2πΌπ‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = 𝐼𝑑𝑠 + π‘—πΌπ‘žπ‘ 

Page 5: Maquina sincrona steadystate

√2πΌπ‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = πΌπ‘žπ‘  βˆ’ 𝑗𝐼𝑑𝑠

√2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = βˆ’π‘Ÿπ‘ (√2πΌπ‘Žπ‘ e

βˆ’j𝛿) βˆ’ π‘—πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘ž(√2πΌπ‘Žπ‘ e

βˆ’j𝛿) βˆ’πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘‘πΌπ‘‘π‘  +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘ +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘‘π‘ 

οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘  = βˆ’(π‘Ÿπ‘  + π‘—πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘ž) πΌπ‘Žπ‘  +

1

√2[πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘ βˆ’

πœ”π‘’

πœ”π‘(𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠] ej𝛿

Definindo o ultimo termo com οΏ½ΜƒοΏ½π‘Ž:

οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘  = βˆ’(π‘Ÿπ‘  + π‘—πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘ž) πΌπ‘Žπ‘  + οΏ½ΜƒοΏ½π‘Ž

οΏ½ΜƒοΏ½π‘Ž =1

√2[�̃�𝑓𝑑 βˆ’

πœ”π‘’

πœ”π‘(𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠] ej𝛿

As equaçáes da mÑquina foram obtidas a partir dos fasores tensão e corrente da fase a, onde

para tal, deve ser garantido que no instante zero (0) o vetor corrente estΓ‘ passando pelo eixo

real. O diagrama fasorial da mΓ‘quina pode ser desenhado:

A corrente Γ© positiva quando saindo da mΓ‘quina, caracterizando a ação geradora. E razΓ£o πœ”π‘’

πœ”π‘ Γ©

para maior generalidade da mesma, podendo representar a mΓ‘quina em estado estacionΓ‘rio

para freqΓΌΓͺncias diferentes da nominal. Definindo a corrente positiva entrando na mΓ‘quina:

οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘  = (π‘Ÿπ‘  + π‘—πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘ž) πΌπ‘Žπ‘  +

1

√2[πœ”π‘’

πœ”π‘(𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠 +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘] ej𝛿

Page 6: Maquina sincrona steadystate

Pela notação adotada por SelΓͺnio:

√2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = 𝑉𝑑𝑠 + π‘—π‘‰π‘žπ‘ 

𝑉𝑑𝑠 = βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘‘π‘  +πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘žπ‘ 

π‘‰π‘žπ‘  = βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘žπ‘  βˆ’πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘‘πΌπ‘‘π‘  +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘

√2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘‘π‘  +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘žπ‘  βˆ’ π‘—π‘Ÿπ‘ πΌπ‘žπ‘  βˆ’ 𝑗

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘‘πΌπ‘‘π‘  + 𝑗

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘

Adcionando e subtratindo π‘—πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘‘π‘  no lado direito da equação:

√2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘‘π‘  +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘žπ‘  + 𝑗

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘‘π‘  βˆ’ 𝑗

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘‘π‘  βˆ’ π‘—π‘Ÿπ‘ πΌπ‘žπ‘  βˆ’ 𝑗

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘‘πΌπ‘‘π‘ 

+ π‘—πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘

√2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = βˆ’π‘Ÿπ‘ (𝐼𝑑𝑠 + π‘—πΌπ‘žπ‘ ) βˆ’ 𝑗

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘ž(𝐼𝑑𝑠+π‘—πΌπ‘žπ‘ ) + 𝑗

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘‘π‘  βˆ’ 𝑗

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘‘πΌπ‘‘π‘  + 𝑗

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘

√2πΌπ‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = 𝐼𝑑𝑠 + π‘—πΌπ‘žπ‘ 

√2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = βˆ’π‘Ÿπ‘ (√2πΌπ‘Žπ‘ e

βˆ’j𝛿) βˆ’ π‘—πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘ž(√2πΌπ‘Žπ‘ e

βˆ’j𝛿) + π‘—πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘‘π‘  βˆ’ 𝑗

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘‘πΌπ‘‘π‘  + 𝑗

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘

οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘  = βˆ’(π‘Ÿπ‘  + π‘—πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘ž) πΌπ‘Žπ‘  + 𝑗

1

√2[πœ”π‘’

πœ”π‘οΏ½ΜƒοΏ½π‘“π‘‘ βˆ’

πœ”π‘’

πœ”π‘(𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠] ej𝛿

Relacionando o vetor espacial e o fasor temporal, discussΓ£o obtida na pg. 276 do ONG. A

corrente do estator na forma vetorial Γ©:

π’Šπ‘†π‘† = πΌπ‘ž

𝑠 βˆ’ 𝑗𝑖𝑑𝑠 =

2

3(π‘–π‘Ž + 𝒂𝑖𝑏 + 𝒂2𝑖𝑐)

O sobrescrito denota as variΓ‘veis no referencial estacionΓ‘rio, transformada de Clarke (𝛽𝛼0). O

lado direito da igualdade pode ser simplificado para:

π’Šπ‘†π‘† = πΌπ‘ž

𝑠 βˆ’ 𝑗𝑖𝑑𝑠 = πΌπ‘šπ‘’π‘—πœ™π‘’π‘—πœ”π‘’π‘‘

O fasor RMS da corrente da fase a pode ser definido como:

οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘  =πΌπ‘š

√2π‘’π‘—πœ™ π‘œπ‘’

πΌπ‘š

√2 /Ο†

π’Šπ‘†π‘† = πΌπ‘ž

𝑠 βˆ’ 𝑗𝑖𝑑𝑠 = √2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ π‘’

π‘—πœ”π‘’π‘‘

Esta mesma notação é utilizada por Krause.

Page 7: Maquina sincrona steadystate

Torque em estado estacionΓ‘rio

π‘‰π‘žπ‘  = βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘žπ‘  βˆ’πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘‘πΌπ‘‘π‘  +

πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘šπ‘‘πΌπ‘“π‘‘

𝑉𝑑𝑠 = βˆ’π‘Ÿπ‘ πΌπ‘‘π‘  +πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘žπΌπ‘žπ‘ 

Reescrevendo em termos de quantidades RMS, tal como definido por ONG (pg. 277), na

referΓͺncia da mΓ‘quina como gerador.

οΏ½βƒ—βƒ—βƒ—οΏ½π‘žπ‘  = βˆ’π‘Ÿπ‘ οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘  βˆ’ 𝑋𝑑 �⃗�𝑑𝑠 + �⃗⃗⃗�𝑓𝑑

�⃗⃗⃗�𝑑𝑠 = βˆ’π‘Ÿπ‘ οΏ½βƒ—οΏ½π‘‘π‘  + π‘‹π‘žοΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘ 

A potΓͺncia total nas trΓͺs fases pode ser obtida por:

𝑺 = 3 βˆ™ π‘‰π‘žπ‘‘0𝑠 βˆ™ πΌπ‘žπ‘‘0π‘ βˆ— = 3(οΏ½βƒ—βƒ—βƒ—οΏ½π‘žπ‘  βˆ’ 𝑗�⃗⃗⃗�𝑑𝑠)(οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘  + 𝑗�⃗�𝑑𝑠)

𝑺 = 3(βˆ’π‘Ÿπ‘ οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘  βˆ’ 𝑋𝑑 �⃗�𝑑𝑠 + �⃗⃗⃗�𝑓𝑑 + π‘—π‘Ÿπ‘ οΏ½βƒ—οΏ½π‘‘π‘  βˆ’ π‘—π‘‹π‘žοΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘ )(οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘  + 𝑗�⃗�𝑑𝑠)

Subtraindo os termos relativos Γ s perdas por Joule, a expressΓ£o para a potΓͺncia

eletromagnΓ©tica Γ© dada por:

π‘ƒπ‘’π‘š = β„œ[3(βˆ’π‘‹π‘‘ �⃗�𝑑𝑠 + �⃗⃗⃗�𝑓𝑑 βˆ’ π‘—π‘‹π‘žοΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘ )(οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘  + 𝑗�⃗�𝑑𝑠)]

π‘ƒπ‘’π‘š = 3(βˆ’π‘‹π‘‘ οΏ½βƒ—οΏ½π‘‘π‘ οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘  + �⃗⃗⃗�𝑓𝑑 οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘  + π‘‹π‘žοΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘ οΏ½βƒ—οΏ½π‘‘π‘ ) = 3{�⃗⃗⃗�𝑓𝑑 οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘  + (π‘‹π‘ž βˆ’ 𝑋𝑑)οΏ½βƒ—οΏ½π‘‘π‘ οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘ }

𝑄𝑒 = β„‘[3(βˆ’π‘‹π‘‘ �⃗�𝑑𝑠 + �⃗⃗⃗�𝑓𝑑 βˆ’ π‘—π‘‹π‘žοΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘ )(οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘  + 𝑗�⃗�𝑑𝑠)]

𝑄𝑒 = 3(βˆ’π‘‹π‘‘ �⃗�𝑑𝑠2 + �⃗⃗⃗�𝑓𝑑 �⃗�𝑑𝑠 βˆ’ π‘‹π‘žοΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘ 

2 )

A expressΓ£o para o torque Γ© obtida, entΓ£o:

π‘‡π‘’π‘š =π‘ƒπ‘’π‘š

πœ”π‘…=

π‘ƒπ‘’π‘š

(πœ”π‘’

𝑃2

⁄ )

= 3(𝑃

2 βˆ™ πœ”π‘’) {�⃗⃗⃗�𝑓𝑑 οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘  + (π‘‹π‘ž βˆ’ 𝑋𝑑)οΏ½βƒ—οΏ½π‘‘π‘ οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘ }

DUVIDA – A equação 7.67 (pg. 277) do livro do ONG faz a seguinte igualdade:

π‘‡π‘’π‘š =π‘ƒπ‘’π‘š

πœ”π‘ π‘š= (

2

𝑃 βˆ™ πœ”π‘’)π‘ƒπ‘’π‘š

ou seja:

πœ”π‘ π‘š =𝑃

2πœ”π‘’? ? ? ? ? ? ?

A expressΓ£o pode ser reescrita em termos da tensΓ£o terminal, onde:

Page 8: Maquina sincrona steadystate

οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ eβˆ’j𝛿 = π‘‰π‘Žπ‘ cos(𝛿) βˆ’ π‘—π‘‰π‘Žπ‘ sen(𝛿) = οΏ½βƒ—βƒ—βƒ—οΏ½π‘žπ‘  βˆ’ 𝑗�⃗⃗⃗�𝑑𝑠

E substituindo a equação para

π‘ƒπ‘’π‘š = 3{�⃗⃗⃗�𝑓𝑑 οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘  + (π‘‹π‘ž βˆ’ 𝑋𝑑)οΏ½βƒ—οΏ½π‘‘π‘ οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘ }

[οΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘ 

�⃗�𝑑𝑠

] =

[ βˆ’

π‘Ÿπ‘ 

π‘Ÿπ‘ 2 + π‘‹π‘‘π‘‹π‘ž

𝑋𝑑

π‘Ÿπ‘ 2 + π‘‹π‘‘π‘‹π‘ž

βˆ’π‘‹π‘ž

π‘Ÿπ‘ 2 + π‘‹π‘‘π‘‹π‘ž

βˆ’π‘Ÿπ‘ 

π‘Ÿπ‘ 2 + π‘‹π‘‘π‘‹π‘ž]

[οΏ½βƒ—βƒ—βƒ—οΏ½π‘žπ‘  βˆ’ �⃗⃗⃗�𝑓𝑑

�⃗⃗⃗�𝑑𝑠

]

Desprezando a queda de tensΓ£o na resistΓͺncia:

[π‘°π‘žπ‘ 

𝑰𝑑𝑠] =

[ 0

1

π‘‹π‘ž

βˆ’1

𝑋𝑑0

]

[π‘½π‘žπ‘  βˆ’ 𝑬𝑓𝑑

𝑽𝑑𝑠]

π‘ƒπ‘’π‘š = 3{𝑬𝑓𝑑

𝑽𝑑𝑠

π‘‹π‘žβˆ’ (π‘‹π‘ž βˆ’ 𝑋𝑑)

π‘½π‘žπ‘  βˆ’ 𝑬𝑓𝑑

𝑋𝑑

𝑽𝑑𝑠

π‘‹π‘ž} = 3 {𝑬𝑓𝑑

𝑽𝑑𝑠

π‘‹π‘žβˆ’ (

1

π‘‹π‘‘βˆ’

1

π‘‹π‘ž) (π‘½π‘žπ‘  βˆ’ 𝑬𝑓𝑑)𝑽𝑑𝑠}

π‘ƒπ‘’π‘š = 3{𝑬𝑓𝑑

𝑽𝑑𝑠

π‘‹π‘žβˆ’ (

1

π‘‹π‘‘βˆ’

1

π‘‹π‘ž)π‘½π‘žπ‘ π‘½π‘‘π‘  + (

1

π‘‹π‘‘βˆ’

1

π‘‹π‘ž)𝑬𝑓𝑑𝑽𝑑𝑠}

π‘ƒπ‘’π‘š = 3{𝑬𝑓𝑑

𝑽𝑑𝑠

π‘‹π‘‘βˆ’ (

1

π‘‹π‘‘βˆ’

1

π‘‹π‘ž)π‘½π‘žπ‘ π‘½π‘‘π‘ }

π‘ƒπ‘’π‘š = 3{π‘¬π‘“π‘‘π‘½π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑sen(𝛿) +

π‘½π‘Žπ‘ 2

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) sen(2𝛿)}

π‘‡π‘’π‘š = 3(𝑃

2 βˆ™ πœ”π‘’) {

π‘¬π‘“π‘‘π‘½π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑sen(𝛿) +

π‘½π‘Žπ‘ 2

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) sen(2𝛿)}

𝑄𝑒 = 3(βˆ’π‘‹π‘‘ �⃗�𝑑𝑠2 + �⃗⃗⃗�𝑓𝑑 �⃗�𝑑𝑠 βˆ’ π‘‹π‘žοΏ½βƒ—οΏ½π‘žπ‘ 

2 )

𝑄𝑒 = 3 [βˆ’π‘‹π‘‘ (π‘½π‘žπ‘  βˆ’ 𝑬𝑓𝑑

𝑋𝑑)2

+ �⃗⃗⃗�𝑓𝑑

π‘½π‘žπ‘  βˆ’ 𝑬𝑓𝑑

π‘‹π‘‘βˆ’ π‘‹π‘ž (

𝑽𝑑𝑠

π‘‹π‘ž)

2

]

𝑄𝑒 = 3 [βˆ’π‘½π‘žπ‘ 

2 βˆ’ 2π‘½π‘žπ‘ π‘¬π‘“π‘‘ + 𝑬𝑓𝑑2

𝑋𝑑+

π‘½π‘žπ‘ π‘¬π‘“π‘‘ βˆ’ 𝑬𝑓𝑑2

π‘‹π‘‘βˆ’

𝑽𝑑𝑠2

π‘‹π‘ž]

𝑄𝑒 = 3 [βˆ’π‘‹π‘žπ‘½π‘Žπ‘ 

2 cos2(𝛿) βˆ’ π‘‹π‘žπ‘½π‘Žπ‘ π‘¬π‘“π‘‘π‘π‘œπ‘ (𝛿) + π‘‹π‘‘π‘½π‘Žπ‘ 2 sen2(𝛿)

π‘‹π‘‘π‘‹π‘ž]

𝑄𝑒 = 3 [π‘¬π‘“π‘‘π‘½π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑cos(𝛿) βˆ’

π‘‹π‘‘π‘½π‘Žπ‘ 2 sen2(𝛿) + π‘‹π‘žπ‘½π‘Žπ‘ 

2 cos2(𝛿)

π‘‹π‘‘π‘‹π‘ž]

𝑄𝑒 = 3π‘¬π‘“π‘‘π‘½π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑cos(𝛿) +

3

2π‘½π‘Žπ‘ 

2 (1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) cos(2𝛿) βˆ’

3

2π‘½π‘Žπ‘ 

2 (1

π‘‹π‘ž+

1

𝑋𝑑)

Page 9: Maquina sincrona steadystate

𝑄𝑒 = 3π‘¬π‘“π‘‘π‘½π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑cos(𝛿) +

3

2π‘½π‘Žπ‘ 

2 (𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž

π‘‹π‘žπ‘‹π‘‘) (cos2(𝛿) βˆ’ sen2(𝛿))

βˆ’3

2π‘½π‘Žπ‘ 

2 (𝑋𝑑 + π‘‹π‘ž

π‘‹π‘žπ‘‹π‘‘) (cos2(𝛿) + sen2(𝛿))

(𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)(cos2(𝛿) βˆ’ sen2(𝛿)) βˆ’ (𝑋𝑑 + π‘‹π‘ž)(cos2(𝛿) + sen2(𝛿))

2π‘‹π‘žπ‘‹π‘‘

(𝑋𝑑cos2(𝛿) βˆ’ 𝑋𝑑sen2(𝛿) βˆ’ π‘‹π‘žcos2(𝛿) + π‘‹π‘žsen2(𝛿)) βˆ’ (𝑋𝑑cos2(𝛿) + 𝑋𝑑sen2(𝛿) + π‘‹π‘žcos2(𝛿) + π‘‹π‘žsen

2(𝛿))

2π‘‹π‘žπ‘‹π‘‘

𝑋𝑑cos2(𝛿) βˆ’ 𝑋𝑑cos2(𝛿) βˆ’ 𝑋𝑑sen2(𝛿) βˆ’ 𝑋𝑑sen2(𝛿) βˆ’ π‘‹π‘žcos2(𝛿) βˆ’ π‘‹π‘žcos2(𝛿) + π‘‹π‘žsen2(𝛿) βˆ’ π‘‹π‘žsen

2(𝛿)

2π‘‹π‘žπ‘‹π‘‘

Que Γ© igual a:

βˆ’π‘‹π‘‘sen2(𝛿) + π‘‹π‘žcos

2(𝛿)

π‘‹π‘‘π‘‹π‘ž

Por tanto, a equação para a potΓͺncia reativa requerida, ou desenvolvida, pela mΓ‘quina Γ© dada

por:

𝑄𝑒 = 3π‘¬π‘“π‘‘π‘½π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑cos(𝛿) +

3

2(π‘½π‘Žπ‘ )

𝟐 (1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) cos(2𝛿) βˆ’

3

2(π‘½π‘Žπ‘ )

𝟐 (1

π‘‹π‘ž+

1

𝑋𝑑)

π‘ƒπ‘’π‘š = 3{π‘¬π‘“π‘‘π‘½π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑sen(𝛿) +

(π‘½π‘Žπ‘ )𝟐

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) sen(2𝛿)}

Os valores de tensΓ£o estΓ£o em valores de pico. Em termos de valores RMS.

𝑄𝑒 =3

2{πΈπ‘“π‘‘βˆš2π‘‰π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑cos(𝛿) +

(√2π‘‰π‘Žπ‘ )2

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) cos(2𝛿) βˆ’

(√2π‘‰π‘Žπ‘ )2

2(

1

π‘‹π‘ž+

1

𝑋𝑑)}

π‘ƒπ‘’π‘š =3

2{πΈπ‘“π‘‘βˆš2π‘‰π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑sen(𝛿) +

(√2π‘‰π‘Žπ‘ )2

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) sen(2𝛿)}

Dada a convenção geradora, o torque e potΓͺncia serΓ£o positivos para a mΓ‘quina trabalhando

como gerador, e negativos para esta operando como motor.

A equação acima estÑ expressa em termos RMS, para valores de pico, tal como utilizado por

Krause, aparece um termo 3

2 na frente:

π‘‡π‘’π‘š =3

2

𝑃

2

1

πœ”π‘{πΈπ‘“π‘‘βˆš2𝑉𝑠

𝑋𝑑sen(𝛿) +

(√2𝑉𝑠)2

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) sen(2𝛿)}

DUVIDA – tem um termo na equação 5.9-32 do Krause (pg. 213) que estΓ‘ estranho. (πœ”π‘’

πœ”π‘)βˆ’2

parece estar com um quadrado errado pois:

Page 10: Maquina sincrona steadystate

(1

πœ”π‘’πœ”π‘

π‘‹π‘ž

βˆ’1

πœ”π‘’πœ”π‘

𝑋𝑑

) = (

πœ”π‘’πœ”π‘

𝑋𝑑 βˆ’πœ”π‘’πœ”π‘

π‘‹π‘ž

(πœ”π‘’πœ”π‘

)2π‘‹π‘žπ‘‹π‘‘

) = (

πœ”π‘’πœ”π‘

(𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)

(πœ”π‘’πœ”π‘

)2π‘‹π‘žπ‘‹π‘‘

) =1πœ”π‘’πœ”π‘

(1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑)

= (πœ”π‘’

πœ”π‘)βˆ’1

(1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑)

Reescrevendo as equaçáes da mÑquina, na notação para gerador (torque positivo para

mΓ‘quina operando como gerador, 𝛿 positivo):

οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘  = (π‘Ÿπ‘  + π‘—π‘‹π‘ž)πΌπ‘Žπ‘  + οΏ½ΜƒοΏ½π‘Ž

√2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žeβˆ’j𝛿 = �̃�𝑓𝑑 βˆ’ (𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠

π‘‡π‘’π‘š =3

2

𝑃

2

1

πœ”π‘{πΈπ‘“π‘‘βˆš2𝑉𝑠

𝑋𝑑sen(𝛿) +

(√2𝑉𝑠)2

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) sen(2𝛿)}

Este conjunto de equação pode ser utilizado para saber como a mÑquina opera em estado

estacionΓ‘rio. PorΓ©m, como o sistema Γ© nΓ£o linear, serΓ‘ utilizado o mΓ©todo de Newton (fsolve

do Matlab). A equação do torque quando as perdas da mÑquina não são desprezadas é

π‘‡π‘’π‘š =3

2

𝑃

2

1

πœ”π‘{π‘Ÿπ‘ π‘‹π‘šπ‘‘πΌβ€²π‘“π‘‘

π‘Ÿπ‘ 2 + π‘‹π‘žπ‘‹π‘‘

(π‘‰π‘žπ‘ π‘Ÿ βˆ’ π‘‹π‘šπ‘‘πΌβ€²π‘“π‘‘ βˆ’

𝑋𝑑

π‘Ÿπ‘ π‘‰π‘‘π‘ 

π‘Ÿ )

+𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž

(π‘Ÿπ‘ 2 + π‘‹π‘žπ‘‹π‘‘)

2 [π‘Ÿπ‘ π‘‹π‘ž(π‘‰π‘žπ‘ π‘Ÿ βˆ’ π‘‹π‘šπ‘‘πΌβ€²π‘“π‘‘)

2+ 𝑉𝑑𝑠

π‘Ÿ (π‘Ÿπ‘ 2 βˆ’ π‘‹π‘žπ‘‹π‘‘)(π‘‰π‘žπ‘ 

π‘Ÿ βˆ’ π‘‹π‘šπ‘‘πΌβ€²π‘“π‘‘)

βˆ’ π‘Ÿπ‘ π‘‹π‘‘(π‘‰π‘‘π‘ π‘Ÿ )2]}

Utilizando os parΓ’metros de entrada οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ , �̃�𝑓𝑑 e π‘‡π‘šπ‘’π‘β„Ž. E formulando para o mΓ©todo resolver a

equação na forma: 𝐹(π‘₯) = 0, onde:

π‘₯ = [

πΌπ‘Žπ‘ 

|οΏ½ΜƒοΏ½π‘Ž|

𝛿

]

A diferença entre as duas equaçáes para o torque pode ser observada abaixo, esta foi

calculada para 𝑉𝑓𝑑 variando de 5 a 25 com o π‘‡π‘šπ‘’π‘β„Ž = 100 π‘π‘š.

Page 11: Maquina sincrona steadystate
Page 12: Maquina sincrona steadystate

Desta forma, pode-se determinar a tensão de excitação para a mÑquina operar com o fator de

potΓͺncia desejado para um determinado torque de carga.

Simulação do motor exemplo do simulink.

𝑆𝑛 = 111,9 [π‘˜π‘‰π΄]

π‘‰π‘…π‘€π‘†πœ‘πœ‘

= √3 βˆ™ 440 [π‘˜π‘‰] (π‘‘π‘’π‘›π‘ Γ£π‘œ π‘Ÿπ‘šπ‘  π‘“π‘Žπ‘ π‘’ βˆ’ π‘“π‘Žπ‘ π‘’)

π‘Ÿπ‘  = 0,26 [Ξ©] 𝐿′𝑙𝑓𝑑 = 2,1 Γ— 10βˆ’3 [H]

𝐿𝑙𝑠 = 1,14 Γ— 10βˆ’3 [H] π‘Ÿβ€²π‘˜π‘‘ = 0,0224 [Ξ©]

πΏπ‘šπ‘‘ = 13,7 Γ— 10βˆ’3 [H] πΏβ€²π‘™π‘˜π‘‘ = 1,4 Γ— 10βˆ’3 [H]

πΏπ‘šπ‘ž = 11,0 Γ— 10βˆ’3 [H] π‘Ÿβ€²π‘˜π‘ž1 = 0,02 [Ξ©]

π‘Ÿβ€²π‘“π‘‘ = 0,13 [Ξ©] πΏβ€²π‘™π‘˜π‘ž1 = 1,0 Γ— 10βˆ’3 [H]

π‘‡π‘’π‘š = βˆ’3

2

𝑃

2

1

πœ”π‘{πΈπ‘“π‘‘βˆš2𝑉𝑠

𝑋𝑑sen(𝛿) +

(√2𝑉𝑠)2

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) sen(2𝛿)}

οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘  = (π‘Ÿπ‘  + π‘—π‘‹π‘ž)πΌπ‘Žπ‘  + οΏ½ΜƒοΏ½π‘Ž

√2πΈπ‘Žeβˆ’j𝛿 = 𝐸𝑓𝑑 βˆ’ (𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠

Page 13: Maquina sincrona steadystate

Capacidade de Despacho de Geradores

Os limites de capacidade de gerador sΓ£o geralmente dados na forma de grΓ‘ficos de potΓͺncia

ativa por reativa. Para a determinação de tais grÑficos são observados os seguintes pontos:

Limite tΓ©rmico do estator (mΓ‘xima corrente terminal);

Limite térmico do rotor (mÑxima corrente de excitação);

Limite tΓ©rmico da turbina;

Limite de estabilidade;

Mínima corrente de excitação;

O limite tΓ©rmico do estator Γ© obtido, para uma dada tensΓ£o terminal, pela mΓ‘xima potΓͺncia

aparente:

(𝑉𝐴)2 = (οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ πΌπ‘Žπ‘ )2

= 𝑃2 + 𝑄2

O limite térmico do rotor é obtido pelos pontos de operação com corrente de excitação

constante. A mesma rotina do fsolve utilizada para calcular a mΓ‘quina em estado estacionΓ‘rio

pode ser utilizada para calcular o limite tΓ©rmico do gerador. PorΓ©m, esta deve ser modificada

devido ao limite de estabilidade da mΓ‘quina, onde um aumento no Γ’ngulo de carga nΓ£o

acarreta em um aumento do torque produzido.

Utilizando os parΓ’metros de entrada οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ , �̃�𝑓𝑑 e nΓ£o mais o π‘‡π‘šπ‘’π‘β„Ž. E formulando para o mΓ©todo

resolver a equação na forma: 𝐹(π‘₯) = 0, onde:

π‘₯ = [πΌπ‘Žπ‘ 

|οΏ½ΜƒοΏ½π‘Ž|

𝛿

] = [πΌπ‘Žπ‘ 

|οΏ½ΜƒοΏ½π‘Ž|]

Onde novamente na para a referΓͺncia no modo gerador:

οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘  = (π‘Ÿπ‘  + π‘—π‘‹π‘ž)πΌπ‘Žπ‘  + οΏ½ΜƒοΏ½π‘Ž

√2οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žeβˆ’j𝛿 = �̃�𝑓𝑑 βˆ’ (𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠

Page 14: Maquina sincrona steadystate

Esta formulação pode ser utilizada para encontrar a potΓͺncia desenvolvida pelo gerador, ou

absorvida no caso do motor, para diversos valores de Γ’ngulo de carga. A figura abaixo mostra

trΓͺs curvas, potΓͺncia aparente constante, excitação nula e constante em 𝑉𝑓𝑑 = 30 [𝑉].

O círculo de excitação mínima possui raio igual a 3

2

(√2π‘‰π‘Žπ‘ )2

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) esta centrado no ponto

3

2

(√2π‘‰π‘Žπ‘ )2

2(

1

π‘‹π‘ž+

1

𝑋𝑑). O circulo ilustrado mostra o valor obtido numericamente e pelo valor

teΓ³rico. Estes pontos sΓ£o obtidos dos valores de potΓͺncia ativa e reativa para excitação nula.

O limite teórico de estabilidade pode ser obtido para cada valor de excitação constante no

ponto onde a potΓͺncia ativa Γ© mΓ‘xima, ou mΓ­nima, em relação ao delta:

πœ•π‘ƒπ‘’π‘š

πœ•π›Ώ= 0

πœ•π‘ƒπ‘’π‘š

πœ•π›Ώ=

3

2{πΈπ‘“π‘‘βˆš2π‘‰π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑cos(𝛿) + (√2π‘‰π‘Žπ‘ )

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) cos(2𝛿)} = 0

πΈπ‘“π‘‘βˆš2π‘‰π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑cos(𝛿) = βˆ’(√2π‘‰π‘Žπ‘ )

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) cos(2𝛿)

πΈπ‘“π‘‘βˆš2π‘‰π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑cos(𝛿) = (√2π‘‰π‘Žπ‘ )

2(π‘‹π‘ž βˆ’ 𝑋𝑑

π‘‹π‘‘π‘‹π‘ž) (cos2(𝛿) βˆ’ sen2(𝛿))

Page 15: Maquina sincrona steadystate

(cos2(𝛿) βˆ’ sen2(𝛿))

cos(𝛿)= cos(𝛿) βˆ’ π‘‘π‘Žπ‘›(𝛿) =

𝐸𝑓𝑑

√2π‘‰π‘Žπ‘ 

(π‘‹π‘ž

π‘‹π‘ž βˆ’ 𝑋𝑑)

Utilizando a expansΓ£o dos termos trigonomΓ©tricos:

cos(𝛿) = 1 βˆ’π›Ώ2

2!+

𝛿4

4!βˆ’

𝛿6

6!+ β‹―+ (βˆ’1)𝑛

𝛿2𝑛

2𝑛!= βˆ‘

(βˆ’1)𝑛

(2𝑛)!

∞

𝑛=0

𝛿2𝑛

tan(𝛿) = 𝛿 βˆ’π›Ώ3

3+

2𝛿5

15+ β‹― = βˆ‘

𝐡2𝑛(βˆ’4)𝑛(1 βˆ’ 4𝑛)

(2𝑛)!

∞

𝑛=1

𝛿2π‘›βˆ’1

onde:

𝐡2𝑛 = (βˆ’1)𝑛+1(2𝑛)!

(2πœ‹)2𝑛 [1 +1

22𝑛+

1

32𝑛+

1

42𝑛+ β‹―]

NΓ£o deu muito certo, o Γ’ngulo para a mΓ‘xima potΓͺncia ativa serΓ‘ obtido de modo iterativo. Do

mesmo modo, o limite de estabilidade prΓ‘tico pode ser obtido para uma potΓͺncia igual a 0,9

da mÑxima, para um mesmo valor de excitação. A figura a seguir foi obtida a partir da mÑquina

dada como exemplo do simulink, 119kW.

Page 16: Maquina sincrona steadystate

Para a mΓ‘quina a pΓ³lo liso:

A potΓͺncia que a mΓ‘quina desenvolve, por fase, Γ© dada por:

𝑃 βˆ’ 𝑗𝑄 = οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ πΌπ‘Žπ‘  = π‘‰π‘Žπ‘ πΌπ‘Žπ‘ ejπœ‘

πΈπ‘Žej𝛿 = π‘‰π‘Žπ‘  + π‘—π‘‹π‘žπΌπ‘Žπ‘ ejπœ‘

πΈπ‘Ž =1

√2[𝐸𝑓𝑑 + √2(𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)πΌπ‘Žπ‘ π‘ π‘’π‘›(πœ‘ βˆ’ 𝛿)]

𝐸𝑓𝑑 + √2(𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)πΌπ‘Žπ‘ π‘ π‘’π‘›(πœ‘ βˆ’ 𝛿)

= √2π‘‰π‘Žπ‘ [π‘π‘œπ‘ (𝛿) βˆ’ 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝛿)] + √2π‘‹π‘žπΌπ‘Žπ‘ [βˆ’π‘ π‘’π‘›(πœ‘ βˆ’ 𝛿) + π‘—π‘π‘œπ‘ (πœ‘ βˆ’ 𝛿)]

Separando os termos reais e imaginΓ‘rios.

𝐸𝑓𝑑 + √2π‘‹π‘‘πΌπ‘Žπ‘ π‘ π‘’π‘›(πœ‘ βˆ’ 𝛿) = √2π‘‰π‘Žπ‘ π‘π‘œπ‘ (𝛿)

√2π‘‰π‘Žπ‘ π‘ π‘’π‘›(𝛿) = √2π‘‹π‘žπΌπ‘Žπ‘ π‘π‘œπ‘ (πœ‘ βˆ’ 𝛿)

πΌπ‘Žπ‘ ejπœ‘ = j

π‘‰π‘Žπ‘ 

π‘‹π‘žβˆ’ 𝑗

1

√2π‘‹π‘ž

[𝐸𝑓𝑑 βˆ’ (𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠]ej𝛿

Substituindo:

𝑃 βˆ’ 𝑗𝑄 = οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ πΌπ‘Žπ‘  = jπ‘‰π‘Žπ‘ 

2

π‘‹π‘žβˆ’ 𝑗

π‘‰π‘Žπ‘ 

√2π‘‹π‘ž

[𝐸𝑓𝑑 βˆ’ (𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠]ej𝛿

𝑃 βˆ’ 𝑗 (𝑄 +π‘‰π‘Žπ‘ 

2

π‘‹π‘ž) = βˆ’π‘—

π‘‰π‘Žπ‘ 

√2π‘‹π‘ž

[𝐸𝑓𝑑 βˆ’ (𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠]ej𝛿

Por tanto:

𝑃2 + (𝑄 +π‘‰π‘Žπ‘ 

2

π‘‹π‘ž)

2

= (π‘‰π‘Žπ‘ 

√2π‘‹π‘ž

[𝐸𝑓𝑑 βˆ’ (𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠])

2

Para a mΓ‘quina a pΓ³lo liso:

A potΓͺncia que a mΓ‘quina desenvolve, por fase, Γ© dada por:

𝑃 + 𝑗𝑄 = οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ πΌπ‘Žπ‘  = π‘‰π‘Žπ‘ πΌπ‘Žπ‘ ejπœ‘

πΈπ‘Žej𝛿 = π‘‰π‘Žπ‘  + π‘—π‘‹π‘ πΌπ‘Žπ‘ ejπœ‘

Substituindo πΌπ‘Žπ‘ ejπœ‘ na primeira equação por:

Page 17: Maquina sincrona steadystate

πΌπ‘Žπ‘ eβˆ’jπœ‘ =

πΈπ‘Žej𝛿

π‘—π‘‹π‘ βˆ’

π‘‰π‘Žπ‘ 

𝑗𝑋𝑠

𝑃 βˆ’ 𝑗𝑄 =π‘‰π‘Žπ‘ πΈπ‘Žej𝛿

π‘—π‘‹π‘ βˆ’

(π‘‰π‘Žπ‘ )2

𝑗𝑋𝑠= 𝑗

(π‘‰π‘Žπ‘ )2

π‘‹π‘ βˆ’ 𝑗

π‘‰π‘Žπ‘ πΈπ‘Žej𝛿

𝑋𝑠

𝑃 βˆ’ 𝑗 (𝑄 +(π‘‰π‘Žπ‘ )

2

𝑋𝑠) = βˆ’π‘—

π‘‰π‘Žπ‘ πΈπ‘Žej𝛿

𝑋𝑠

Ou, em termos do mΓ³dulo ao quadrado:

𝑃2 + (𝑄 +π‘‰π‘Žπ‘ 

2

𝑋𝑠)

2

= (π‘‰π‘Žπ‘ πΈπ‘Ž

𝑋𝑠)2

O que equivale a um cΓ­rculo com centro em 𝑄 = βˆ’π‘‰π‘Žπ‘ 2 𝑋𝑠⁄ e determina o limite de

aquecimento para o circuito de campo de mΓ‘quina.

Estas curvas de capacidade de despacho podem ser geradas tanto de modo numΓ©rico quanto

de modo direto, a partir das equaçáes:

𝑄𝑒 =3

2{πΈπ‘“π‘‘βˆš2π‘‰π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑cos(𝛿) +

(√2π‘‰π‘Žπ‘ )2

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) cos(2𝛿) βˆ’

(√2π‘‰π‘Žπ‘ )2

2(

1

π‘‹π‘ž+

1

𝑋𝑑)}

π‘ƒπ‘’π‘š =3

2{πΈπ‘“π‘‘βˆš2π‘‰π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑sen(𝛿) +

(√2π‘‰π‘Žπ‘ )2

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) sen(2𝛿)}

PorΓ©m, estas foram obtidas a partir do desprezo da resistΓͺncia de armadura, o que incorre em

erros dependendo do valor desta. A figura abaixo mostra este efeito.

Em vermelho esta a curva para excitação constante obtida a partir das equaçáes diretas. A

curva em azul, obtida numericamente por Newton, tende Γ  vermelha Γ  medida que a

resistΓͺncia tende a zero.

Page 18: Maquina sincrona steadystate

O primeiro modelo estudado serΓ‘ o gerador a vapor cujos parΓ’metros estΓ£o expostos na

pg. 220 de Krause.

Gerador a vapor trifΓ‘sico com 2 polos, 835 MVA, 26 kVrms de linha com fator de potΓͺncia

0,85. Para a mΓ‘quina em estado estacionΓ‘rio tΓͺm-se:

|𝑆| = 3|οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ ||πΌπ‘Žπ‘ |

Assim:

|πΌπ‘Žπ‘ | =|𝑆|

3|οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ |=

835 Γ— 106

3 βˆ™ (26 Γ— 103 √3⁄ )= 18,542 π‘˜π΄

A mΓ‘quina em regime nominal opera com fator de potΓͺncia de 0,85 (31,8Β°). Como a

corrente Γ© considerada positiva saindo dos terminais da mΓ‘quina, potΓͺncia reativa Γ©

entregue ao sistema quando a corrente estΓ‘ atrasada da tensΓ£o. Portanto:

πΌπ‘Žπ‘  = 18,542 /-31,8Β° kA

Assim, a tensão de excitação pode ser calculada por:

οΏ½ΜƒοΏ½π‘Ž = οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘  + (π‘Ÿπ‘  + π‘—πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘ž) πΌπ‘Žπ‘ 

=26 Γ— 103

√3/0π‘œ + (0,00243 + 𝑗

2πœ‹60

2πœ‹601,457)18,542/βˆ’31,8π‘œ

= 37,198/38,07π‘œ π‘˜π‘‰

Portanto, 𝛿 = 38,07π‘œ.

O valor de 𝐸′π‘₯𝑓𝑑 pode ser obtido a partir de πΌπ‘‘π‘ π‘Ÿ :

πΌπ‘‘π‘ π‘Ÿ = βˆ’βˆš2𝐼𝑠𝑠𝑒𝑛[πœƒπ‘’π‘–(0) βˆ’ πœƒπ‘’π‘£(0) βˆ’ 𝛿]

= βˆ’βˆš2|πΌπ‘Žπ‘ |𝑠𝑒𝑛[βˆ’31,8π‘œ βˆ’ 0 βˆ’ 38,07π‘œ]

= βˆ’βˆš2(18,542)𝑠𝑒𝑛(βˆ’69,87π‘œ)

= 24,62 π‘˜π΄

Pode-se entΓ£o calcular:

𝐸′π‘₯𝑓𝑑 =πœ”π‘’

πœ”π‘[√2|οΏ½ΜƒοΏ½π‘Ž| +

πœ”π‘’

πœ”π‘(𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠

π‘Ÿ ]

= √2(37,198) +πœ”π‘’

πœ”π‘(𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠

π‘Ÿ

= 52,605 π‘˜π‘‰

Page 19: Maquina sincrona steadystate

O torque em estado estacionΓ‘rio serΓ‘:

𝑇𝑒 =3

2

𝑃

2

1

πœ”π‘(𝐸′π‘₯π‘“π‘‘βˆš2|οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ |

(πœ”π‘’ πœ”π‘β„ )𝑋𝑑𝑠𝑒𝑛(𝛿))

𝑇𝑒 =3

2

1

2πœ‹ βˆ™ 60(52,605 Γ— 103√2(26 Γ— 103 √3⁄ )

1,4570,6166)

𝑇𝑒 = 1,8804 Γ— 106 π‘π‘š

ParΓ’metros da mΓ‘quina

As equaçáes obtidas de ONG para determinação dos parÒmetros da maquinal, porém de

acordo com a terminologia do Krause, para manter consistΓͺncia:

𝑋𝑙𝑠 = 𝑋0

π‘‹π‘šπ‘ž = π‘‹π‘ž βˆ’ 𝑋𝑙𝑠

π‘‹π‘šπ‘‘ = 𝑋𝑑 βˆ’ 𝑋𝑙𝑠

𝑋′𝑙𝑓𝑑 =π‘‹π‘šπ‘‘(𝑋′𝑑 βˆ’ 𝑋𝑙𝑠)

π‘‹π‘šπ‘‘ βˆ’ (𝑋′𝑑 βˆ’ 𝑋𝑙𝑠)

π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘‘ =π‘‹π‘šπ‘‘π‘‹β€²π‘™π‘“π‘‘(𝑋′′𝑑 βˆ’ 𝑋𝑙𝑠)

π‘‹π‘šπ‘‘π‘‹β€²π‘™π‘“π‘‘ βˆ’ (𝑋′′𝑑 βˆ’ 𝑋𝑙𝑠)(π‘‹π‘šπ‘‘ + 𝑋′𝑙𝑓𝑑)

π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘ž =π‘‹π‘šπ‘ž(π‘‹β€²β€²π‘ž βˆ’ 𝑋𝑙𝑠)

π‘‹π‘šπ‘ž βˆ’ (π‘‹β€²β€²π‘ž βˆ’ 𝑋𝑙𝑠)

As resistΓͺncias sΓ£o obtidas a partir das constantes de tempo de circuito aberto:

π‘Ÿβ€²π‘“π‘‘ =1

πœ”π‘πœβ€²π‘‘0(𝑋′𝑙𝑓𝑑 + π‘‹π‘šπ‘‘)

π‘Ÿβ€²π‘˜π‘‘ =1

πœ”π‘πœβ€²β€²π‘‘0

(π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘‘ + 𝑋′𝑑 βˆ’ 𝑋𝑙𝑠) =1

πœ”π‘πœβ€²β€²π‘‘0(π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘‘ +

π‘‹π‘šπ‘‘π‘‹β€²π‘™π‘“π‘‘

π‘‹π‘šπ‘‘ + 𝑋′𝑙𝑓𝑑)

π‘Ÿβ€²π‘˜π‘ž =1

πœ”π‘πœβ€²β€²π‘ž0(π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘ž + π‘‹π‘šπ‘ž)

Ou, por Krause:

π‘Ÿβ€²π‘˜π‘ž1 =1

πœ”π‘πœβ€²π‘ž0(π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘ž1 + π‘‹π‘šπ‘ž)

π‘Ÿβ€²π‘˜π‘ž2 =1

πœ”π‘πœβ€²β€²π‘ž0(π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘ž2 +

π‘‹π‘šπ‘žπ‘‹β€²π‘™π‘˜π‘ž1

π‘‹π‘šπ‘ž + π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘ž1)

Page 20: Maquina sincrona steadystate

Alternativamente, estes parΓ’metros podem ser obtidos a partir das constantes de tempo de

curto circuito:

π‘Ÿβ€²π‘“π‘‘ =1

πœ”π‘πœβ€²π‘‘(𝑋′𝑙𝑓𝑑 +

π‘‹π‘šπ‘‘π‘‹π‘™π‘ 

π‘‹π‘šπ‘‘ + 𝑋𝑙𝑠)

π‘Ÿβ€²π‘˜π‘‘ =1

πœ”π‘πœβ€²β€²π‘‘(π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘‘ +

π‘‹π‘šπ‘‘π‘‹π‘™π‘ π‘‹β€²π‘™π‘“π‘‘

π‘‹π‘šπ‘‘π‘‹π‘™π‘  + π‘‹π‘šπ‘‘π‘‹β€²π‘™π‘“π‘‘ + 𝑋𝑙𝑠𝑋′𝑙𝑓𝑑)

π‘Ÿβ€²π‘˜π‘ž =1

πœ”π‘πœβ€²β€²π‘ž(π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘ž2 +

π‘‹π‘šπ‘žπ‘‹π‘™π‘ 

π‘‹π‘šπ‘ž + 𝑋𝑙𝑠)

Ou, por Krause:

π‘Ÿβ€²π‘˜π‘ž1 =1

πœ”π‘πœβ€²π‘ž(π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘ž1 +

π‘‹π‘šπ‘žπ‘‹π‘™π‘ 

π‘‹π‘šπ‘ž + 𝑋𝑙𝑠)

π‘Ÿβ€²π‘˜π‘ž2 =1

πœ”π‘πœβ€²β€²π‘ž(π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘ž2 +

π‘‹π‘šπ‘žπ‘‹π‘™π‘ π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘ž1

π‘‹π‘šπ‘žπ‘‹π‘™π‘  + π‘‹π‘šπ‘žπ‘‹β€²π‘™π‘˜π‘ž1 + π‘‹π‘™π‘ π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘ž1)

πΈπ‘“π‘‘βˆš2π‘‰π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑cos(𝛿) +

(√2π‘‰π‘Žπ‘ )2

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) cos(2𝛿) =

(√2π‘‰π‘Žπ‘ )2

2(

1

π‘‹π‘ž+

1

𝑋𝑑)

π‘†π‘π‘Žπ‘ π‘’ =3

2{πΈπ‘“π‘‘βˆš2π‘‰π‘Žπ‘ 

𝑋𝑑sen(𝛿) +

(√2π‘‰π‘Žπ‘ )2

2(

1

π‘‹π‘žβˆ’

1

𝑋𝑑) sen(2𝛿)}

Page 21: Maquina sincrona steadystate

Motor C-231301

Um motor serΓ‘ analisado de acordo com a metodologia abordada atΓ© o momento para ver a

adequação do modelo com um equipamento real. Os dados do motor são:

𝑆𝑛 = 5800 [π‘˜π‘‰π΄]

π‘‰π‘…π‘€π‘†πœ‘πœ‘

= 13200 [𝑉] (π‘‘π‘’π‘›π‘ Γ£π‘œ π‘Ÿπ‘šπ‘  π‘“π‘Žπ‘ π‘’ βˆ’ π‘“π‘Žπ‘ π‘’)

𝑃 = 20 [𝑛º 𝑑𝑒 π‘π‘œπ‘™π‘œπ‘ ]

π‘π‘π‘Žπ‘ π‘’ =π‘†π‘π‘Žπ‘ π‘’

π‘‰π‘π‘Žπ‘ π‘’2 = 0,0333 [Ξ©]

Os parΓ’metros fornecidos foram:

π‘Ÿπ‘  = βˆ’ [pu]

π‘‹π‘ž = 0,93 [pu] = 0,031 [Ξ©] 𝑋𝑑 = 0,72 [pu] = 0,024 [Ξ©]

π‘‹β€²π‘ž = βˆ’ [pu] 𝑋′𝑑 = 0,37 [pu] = 0,0123 [Ξ©]

π‘‹β€²β€²π‘ž = 0,325 [pu] = 0,0108 [Ξ©] 𝑋′′𝑑 = 0,31 [pu] = 0,0103 [Ξ©]

𝑋0 = 0,08 [pu] = 0,0027 [Ξ©] 𝑋2 = 0,32 [pu] = 0,0107 [Ξ©]

De acordo com as fΓ³rmulas dadas pela literatura, a partir destes dados podem-se obter os

parÒmetros utilizados nas simulaçáes e anÑlises estÑticas.

𝑋𝑙𝑠 = 𝑋0

π‘‹π‘šπ‘ž = π‘‹π‘ž βˆ’ 𝑋𝑙𝑠 = 0,0283 [Ξ©]

π‘‹π‘šπ‘‘ = 𝑋𝑑 βˆ’ 𝑋𝑙𝑠 = 0,0213 [Ξ©]

𝑋′𝑙𝑓𝑑 =π‘‹π‘šπ‘‘(𝑋′𝑑 βˆ’ 𝑋𝑙𝑠)

π‘‹π‘šπ‘‘ βˆ’ (𝑋′𝑑 βˆ’ 𝑋𝑙𝑠)= 0,0175 [Ξ©]

π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘‘ =π‘‹π‘šπ‘‘π‘‹β€²π‘™π‘“π‘‘(𝑋′′𝑑 βˆ’ 𝑋𝑙𝑠)

π‘‹π‘šπ‘‘π‘‹β€²π‘™π‘“π‘‘ βˆ’ (𝑋′′𝑑 βˆ’ 𝑋𝑙𝑠)(π‘‹π‘šπ‘‘ + 𝑋′𝑙𝑓𝑑)= 0,0365 [Ξ©]

π‘‹β€²π‘™π‘˜π‘ž =π‘‹π‘šπ‘ž(π‘‹β€²β€²π‘ž βˆ’ 𝑋𝑙𝑠)

π‘‹π‘šπ‘ž βˆ’ (π‘‹β€²β€²π‘ž βˆ’ 𝑋𝑙𝑠)= 0,0113 [Ξ©]

Tentando estimar o valor das perdas, refletidas em π‘Ÿπ‘ :

𝑃𝑒𝑙𝑒 = π‘ƒπ‘š + 3π‘Ÿπ‘ (πΌπ‘Žπ‘ )2

𝑃𝑒𝑙𝑒 = 3π‘‰π‘Žπ‘ πΌπ‘Žπ‘ 

Pela eficiΓͺncia na condição nominal:

πœ‚ =π‘ƒπ‘š

𝑃𝑒𝑙𝑒= 0,975

Page 22: Maquina sincrona steadystate

π‘ƒπ‘š = πœ‚(π‘ƒπ‘š + 3π‘Ÿπ‘ πΌπ‘Žπ‘ 2 )

(1 βˆ’ πœ‚)π‘ƒπ‘š = 3 βˆ™ πœ‚ βˆ™ π‘Ÿπ‘  (π‘ƒπ‘š

2

πœ‚2

1

32π‘‰π‘Žπ‘ 2)

π‘Ÿπ‘  =3(1 βˆ’ πœ‚)πœ‚π‘‰π‘Žπ‘ 

2

π‘ƒπ‘š= 0.7322586 [Ξ©]

Para a mΓ‘quina operando com fator de potΓͺncia unitΓ‘rio, o Γ’ngulo de carga pode ser

calculado por:

𝛿 = π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘› (π‘‹π‘žπΌπ‘šπΌπ‘š

)

Desta forma, a excitação que mantΓ©m a mΓ‘quina com fator de potΓͺncia unitΓ‘rio pode ser

calculada por:

𝐸𝑓𝑑 =√2π‘‰π‘Žπ‘ 

2cos(𝛿)(𝑋𝑑 + π‘‹π‘ž

π‘‹π‘ž) βˆ’

√2π‘‰π‘Žπ‘ 

2cos(𝛿)(𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž

π‘‹π‘ž) cos(2𝛿)

Porém, esta tensão é mais bem encontrada a partir da simulação numérica, tal como a

utilizada para obter as curvas em V. Uma forma de facilitar a simulação é restringir o range

da variΓ‘vel para valores em torno do estimado.

Para a mΓ‘quina operando em regime nominal com fator de potΓͺncia unitΓ‘rio:

𝐸𝑓𝑑 = 14.582 [𝑉]

De acordo com a folha de dados, a tensão de excitação nesta condição é:

𝑉𝑓𝑑 =π‘Ÿπ‘“π‘‘

π‘‹π‘šπ‘‘πΈπ‘“π‘‘ = 88 [𝑉]

Verificar pos Efd estΓ‘ rebatido para o estator e Vfd foi obtido da folha de dados, por tanto

referido ao rotor.

Por tanto:

π‘Ÿπ‘“π‘‘ = 0,1540824 Ξ©

O que implica em:

πœβ€²π‘‘ =1

πœ”π‘π‘Ÿβ€²π‘“π‘‘(𝑋′𝑙𝑓𝑑 +

π‘‹π‘šπ‘‘π‘‹π‘™π‘ 

π‘‹π‘šπ‘‘ + 𝑋𝑙𝑠) = 0,2654633 𝑠𝑒𝑔.

Page 23: Maquina sincrona steadystate

Traçando as curvas em V e comparando com os valores obtidos da folha de dados.

Motor sΓ­ncrono com 20 polos, 5,8 MVA, 13,2 kVrms de linha com fator de potΓͺncia 1. Para a

mΓ‘quina em estado estacionΓ‘rio tΓͺm-se:

|𝑆| = 3|οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ ||πΌπ‘Žπ‘ |

Assim:

|πΌπ‘Žπ‘ | =|𝑆|

3|οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘ |=

5,8 Γ— 106

3 βˆ™ (13,2 Γ— 103 √3⁄ )= 253,6842 𝐴

Assim, a tensão de excitação pode ser calculada por:

οΏ½ΜƒοΏ½π‘Ž = οΏ½ΜƒοΏ½π‘Žπ‘  βˆ’ (π‘Ÿπ‘  + π‘—πœ”π‘’

πœ”π‘π‘‹π‘ž) πΌπ‘Žπ‘ 

=13,2 Γ— 103

√3/0π‘œ βˆ’ (𝑗0,031)253,68/0π‘œ

= 7,621 Γ— 103/βˆ’0,0591π‘œ π‘˜π‘‰

Portanto, 𝛿 = βˆ’0,0591π‘œ.

O valor de 𝐸′π‘₯𝑓𝑑 pode ser obtido a partir de πΌπ‘‘π‘ π‘Ÿ :

πΌπ‘‘π‘ π‘Ÿ = βˆ’βˆš2𝐼𝑠𝑠𝑒𝑛[πœƒπ‘’π‘–(0) βˆ’ πœƒπ‘’π‘£(0) βˆ’ 𝛿]

Page 24: Maquina sincrona steadystate

= βˆ’βˆš2|πΌπ‘Žπ‘ |𝑠𝑒𝑛[0 βˆ’ 0+0,0591π‘œ]

= βˆ’βˆš2(253,68)𝑠𝑒𝑛(0,0591π‘œ)

= βˆ’0,3702 𝐴

Pode-se entΓ£o calcular:

𝐸′π‘₯𝑓𝑑 =πœ”π‘’

πœ”π‘[√2|οΏ½ΜƒοΏ½π‘Ž| +

πœ”π‘’

πœ”π‘(𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠

π‘Ÿ ]

= √2(37,198) +πœ”π‘’

πœ”π‘(𝑋𝑑 βˆ’ π‘‹π‘ž)𝐼𝑑𝑠

π‘Ÿ

= 52,605 π‘˜π‘‰


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