Ajuda GeoGebra Manual Oficial da Verso 3.2 Markus Hohenwarter e Judith Hohenwarter www.geogebra.org

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Ajuda GeoGebra 3.2

Autores Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Judith Hohenwarter, judith@geogebra.org ltima modificao: 2009-03-24 Traduo e adaptao para portugus de Portugal Antnio Ribeiro, pontopi@gmail.com ltima modificao: 2009-05-04 GeoGebra Online Website: http://www.geogebra.org Help Search: http://www.geogebra.org/help/search.html

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Contedos

1. OQUEOGEOGEBRA?..........................................................................................................6

1.1. MltiplasVistasparaObjectosMatemticos...................................................................................61.1.1. ZonaGrfica.........................................................................................................................................61.1.2. ZonaAlgbrica.....................................................................................................................................71.1.3. FolhadeClculo...................................................................................................................................8

1.2. OGeoGebracomoFerramentaparaEnsinareAprenderMatemtica..............................................81.2.1. PersonalizaraInterfacedoUtilizador.................................................................................................81.2.2. ModificarPropriedadesdosObjectos...............................................................................................101.2.3. UsaroMenudeContexto.................................................................................................................10

1.3. OGeoGebracomoFerramentadeApresentao...........................................................................111.3.1. UsaraBarradeNavegao................................................................................................................111.3.2. UsaroProtocolodeconstruo........................................................................................................111.3.3. ModificarasConfiguraesdoGeoGebra.........................................................................................13

1.4. OGeoGebracomoFerramentadeAutor.......................................................................................131.4.1. OpesdeImpresso........................................................................................................................131.4.2. CriarImagensdaZonagrfica...........................................................................................................141.4.3. CriarPginasWebInteractivas..........................................................................................................15

2. ENTRADAGEOMTRICA.....................................................................................................16

2.1. NotasGerais.................................................................................................................................16

2.2. FerramentasdeConstruo..........................................................................................................162.2.1. FerramentasGerais...........................................................................................................................172.2.2. Pontos................................................................................................................................................182.2.3. Vectores.............................................................................................................................................192.2.4. Segmentos.........................................................................................................................................192.2.5. Semirectas.........................................................................................................................................202.2.6. Polgonos...........................................................................................................................................202.2.7. Rectas................................................................................................................................................202.2.8. SecesCnicas.................................................................................................................................222.2.9. ArcoseSectores................................................................................................................................232.2.10. Nmerosengulos.......................................................................................................................242.2.11. Booleano.......................................................................................................................................252.2.12. LugaresGeomtricos....................................................................................................................252.2.13. TransformaesGeomtricas.......................................................................................................262.2.14. Texto.............................................................................................................................................272.2.15. Imagens.........................................................................................................................................28

3. ENTRADAALGBRICA.........................................................................................................31

3.1. NotasGerais.................................................................................................................................31

3.2. EntradaDirecta.............................................................................................................................333.2.1. Nmerosengulos...........................................................................................................................33

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3.2.2. PontoseVectores..............................................................................................................................343.2.3. RectaseEixos....................................................................................................................................343.2.4. SecesCnicas.................................................................................................................................353.2.5. Funesdex......................................................................................................................................353.2.6. FuneseOperaesPrdefinidas..................................................................................................363.2.7. OperaeseVariveisBooleanas......................................................................................................373.2.8. ListasdeObjectoseOperaescomListas.......................................................................................383.2.9. MatrizeseOperaescomMatrizes.................................................................................................393.2.10. NmerosComplexoseOperaes................................................................................................40

3.3. Comandos....................................................................................................................................403.3.1. ComandosGerais...............................................................................................................................413.3.2. ComandosBooleanos........................................................................................................................413.3.3. Nmeros............................................................................................................................................423.3.4. ngulos..............................................................................................................................................463.3.5. Pontos................................................................................................................................................463.3.6. Vectores.............................................................................................................................................483.3.7. Segmentos.........................................................................................................................................493.3.8. Semirectas.........................................................................................................................................493.3.9. Polgonos...........................................................................................................................................493.3.10. Rectas............................................................................................................................................493.3.11. SecesCnicas............................................................................................................................513.3.12. Funes.........................................................................................................................................523.3.13. CurvasParamtricas.....................................................................................................................533.3.14. ArcoseSectores............................................................................................................................543.3.15. Texto.............................................................................................................................................563.3.16. LugaresGeomtricos....................................................................................................................583.3.17. ListaseSequncias.......................................................................................................................583.3.18. TransformaesGeomtricas.......................................................................................................623.3.19. ComandosdeEstatstica...............................................................................................................633.3.20. ComandosdeFolhadeClculo.....................................................................................................683.3.21. ComandosdeMatriz.....................................................................................................................68

4. ITEMSDEMENU....................................................................................................................69

4.1. MenuFicheiro..............................................................................................................................69

4.2. MenuEditar.................................................................................................................................71

4.3. MenuExibir..................................................................................................................................73

4.4. MenuOpes...............................................................................................................................74

4.5. MenuFerramentas.......................................................................................................................76

4.6. MenuJanela.................................................................................................................................77

4.7. MenuAjuda..................................................................................................................................77

5. RECURSOSESPECIAISDOGEOGEBRA............................................................................79

5.1. Animao.....................................................................................................................................795.1.1. AnimaoAutomtica.......................................................................................................................795.1.2. AnimaoManual..............................................................................................................................79

5.2. VisibilidadeCondicional................................................................................................................80

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5.3. FerramentasCriadaspeloUtilizador.............................................................................................81

5.4. CoresDinmicas...........................................................................................................................82

5.5. InterfaceJavaScript......................................................................................................................83

5.6. AtalhosdeTeclado.......................................................................................................................83

5.7. RtuloseLegendas.......................................................................................................................88

5.8. Layers...........................................................................................................................................89

5.9. Redefinir......................................................................................................................................90

5.10. TraoeLocus................................................................................................................................90

NDICE...............................................................................................................................................92

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1. O que o GeoGebra?

O GeoGebra um software de matemtica dinmica que junta geometria, lgebra e clculo. desenvolvido para aprender e ensinar matemtica nas escolas por Markus Hohenwarter e uma equipa internacional de programadores.

1.1. Mltiplas Vistas para Objectos Matemticos

O GeoGebra fornece trs diferentes vistas dos objectos matemticos: a Zona Grfica, a Zona Algbrica, ou numrica, e a Folha de Clculo. Elas permitem mostrar os objectos matemticos em trs diferentes representaoes: graficamente (e.g., pontos, grficos de funes), algebricamente (e.g., coordenadas de pontos, equaes) e nas clulas da folha de clculo. Assim, todas as representaes do mesmo objecto esto ligadas dinamicamente e adaptam-se automaticamente s mudanas realizadas em qualquer delas, independentemente da forma como esses objectos foram inicialmente criados.

1.1.1. Zona Grfica

Usando as ferramentas disponveis na Barra de Ferramentas, pode realizar construes geomtricas na Zona Grfica com o rato. Seleccione qualquer ferramenta na Barra de Ferramentas e leia a Ajuda da Ferramenta (a seguir barra de ferramentas) para ver como usar a ferramenta seleccionada. Cada objecto criado na Zona Grfica tem tambm uma representao na Zona Algbrica.

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Nota: Pode mover objectos na Zona Grfica arrastando-os com o rato. Ao mesmo tempo, as suas representaes algbricas so actualizadas automaticamente na Zona Algbrica. Cada cone na barra de ferramentas representa uma caixa de ferramentas que contm um conjunto de ferramentas similares. Para abrir uma caixa de ferramentas, tem que clicar na pequena flecha situada no canto inferior direito do respectivo cone. Sugesto: As ferramentas esto organizadas segundo a natureza dos objectos resultantes. Encontrar ferramentas que criam diferentes tipos de pontos na Caixa de Ferramentas de Ponto (cone ) e ferramentas que lhe permitem aplicar transformaes geomtricas na Caixa de Ferramentas de Transformao (cone ).

1.1.2. Zona Algbrica

Usando a Entrada de Comandos pode inserir directamente expresses algbricas no GeoGebra. Aps ter batido a tecla Enter, a expresso algbrica digitada aparece na Zona Algbrica e a respectiva representao grfica aparece na Zona Grfica. Por exemplo, inserindo f(x) = x^2 aparece a funo f na Zona Algbrica e o respectivo grfico na Zona Grfica. Na Zona Algbrica, os objectos matemticos so organizados em duas classes: objectos livres e objectos dependentes. Se criar um novo objecto sem que para tal use qualquer objecto existente, ele classificado como objecto livre. Se, pelo contrrio, o seu novo objecto for criado com recurso a objectos j existentes, ele classificado como objecto dependente. Sugesto: Se quiser esconder a representao algbrica de um objecto na Zona Algbrica pode especific-lo como um Objecto Auxiliar. Para isso, comece por clicar com o boto direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) na representao algbrica do objecto e seleccione Propriedades no Menu de Contexto que aparece. Depois, no separador Bsico do Dilogo de Propriedades pode especificar o objecto como Objecto auxiliar. Por defeito, os objectos auxiliares no so mostrados na Zona Algbrica, mas pode mudar esta configurao seleccionando o item Objectos auxiliares no menu Exibir. Note que tambm pode modificar objectos na Zona Algbrica. Para isso, comece por assegurar-se que tem a ferramenta Mover activada antes de fazer duplo clique com o boto esquerdo do rato sobre um objecto livre na Zona Algbrica. Depois, na caixa de texto que aparece, pode editar directamente a representao algbrica do objecto. Finalmente, aps ter batido a tecla Enter, a representao grfica do objecto ser adaptada automaticamente s alteraes que efectuou. Se fizer duplo clique com o boto esquerdo do rato sobre um objecto dependente na Zona Algbrica, aparece uma janela de dilogo que lhe permite redefinir o objecto. O GeoGebra tambm oferece uma vasta gama de comandos que podem ser inseridos no Campo de Entrada. Pode abrir a lista de comandos no lado direito da Barra de Comandos, clicando no boto Comando. Depois de seleccionar um comando nesta lista (ou digitar o seu nome directamente no Campo de Entrada),

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pode pressionar a tecla F1 para obter informao sobre a sntaxe e os argumentos requeridos para aplicar o correspondente comando.

1.1.3. Folha de Clculo

Na Folha de Clculo do GeoGebra, cada clula tem um nome especfico que permite identific-la directamente. Por exemplo, a clula na coluna A e linha 1 nomeada A1. Nota: O nome de uma clula pode ser usado em expresses e em comandos para identificar o contedo da clula correspondente. Nas clulas da folha de clculo pode inserir no s nmeros mas tambm todo o tipo de objectos matemticos suportados pelo GeoGebra (eg., coordenadas de pontos, funes, comandos). Se possvel, o GeoGebra mostra imediatamente na Zona Grfica a representao grfica do objecto inserido numa clula. O objecto toma o nome da clula usada para o criar (e.g., A5, C1). Nota: Por defeito, os objectos na folha de clculo so classificados como Objectos Auxiliares na Zona Algbrica. Pode exibir ou esconder estes Objectos Auxiliares marcando ou desmarcando o item Objectos Auxiliares no menu Exibir.

1.2. O GeoGebra como Ferramenta para Ensinar e Aprender Matemtica

1.2.1. Personalizar a Interface do Utilizador

A interface do utilizador do GeoGebra pode ser personalizada usando o menu Exibir. Por exemplo, pode esconder diferentes partes da interface (e.g., Zona Algbrica, Folha de Clculo, Barra de Comandos) desmarcando o correspondente item no menu Exibir.

Exibir e Esconder Objectos Pode exibir ou esconder objectos na Zona Grfica de vrias maneiras.

Pode usar a ferramenta Exibir/Esconder objectos para exibir ou esconder objectos.

Abra o Menu de Contexto e seleccione o item Exibir objecto para alterar o estado de visibilidade do objecto seleccionado.

Na Zona Algbrica, o cone esquerda de cada objecto mostra o seu estado de visibilidade corrente ( cisvel ou escondido). Pode clicar directamente no pequeno cone para alterar o estado de visibilidade do respective objecto.

Tambm pode usar a ferramenta Caixa para exibir/esconder objectos para exibir ou esconder um ou mais objectos.

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Personalizar a Zona Grfica Para ajustar a parte visvel da Zona Grfica, pode arrastar o respectivo fundo usando a ferramenta Mover a folha de desenho e os seguintes tipos de zoom:

Pode usar as ferramentas Ampliar e Reduzir para fazer zoom na Zona Grfica. Nota: A posio do clique determina o centro do zoom. Pode usar a roda do rato para fazer zoom na Zona Grfica. Pode usar atalhos de teclado para ampliar (Ctrl +) e para reduzir (Ctrl -). Depois de clicar com o boto direito do rato (MacOS: Ctrl - clique) num local vazio da Zona Grfica, aparece o Menu de Contexto que lhe permite fazer Zoom. Pode especificar um Rectngulo de Zoom clicando no boto direito do rato (MacOS: Cmd - clique) num local vazio da Zona Grfica e arrastando o rato para o canto oposto do desejado Rectngulo de Zoom. Liberte o boto do rato para terminar o Rectngulo de Zoom, o qual se ajustar automaticamente para preencher todo o espao na Zona Grfica.

Tambm pode exibir ou esconder os eixos coordenados e o quadriculado na Zona Grfica usando o menu Exibir. Nota: Uma outra maneira de exibir ou esconder os eixos coordenados ou o quadriculado consiste em clicar com o boto direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) no fundo da Zona Grfica e seleccionar os correspondentes items Eixos coordenados ou Quadriculado no Menu de Contexto que aparece.

Personalizar os Eixos Coordenados e o Quadriculado Os eixos coordenados e o quadriculado podem ser personalizados usando o Dilogo de Propriedades da Zona Grfica. Depois de clicar com o boto direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) no fundo da Zona Grfica, pode abrir esta janela de dilogo seleccionando Propriedades no Menu de Contexto da Zona Grfica.

No separador Eixos coordenados, pode, por exemplo, alterar o estilo da linha e as unidades dos eixos coordenados, e estabelecer a distncia das graduaes para um certo valor. Note que pode personalizar cada um dos eixos individualmente, clicando no separador EixoX ou EixoY. Alm disso, pode tambm alterar a razo entre os eixos e exibir ou esconder cada eixo individualmente. No separador Quadriculado, pode, por exemplo, alterar a cor e o estilo das linhas do quadriculado, e estabelecer a distncia entre estas linhas. Tambm pode escolher o quadriculado Isomtrico.

Nota: Para alterar a relao de escala entre os eixos pode simplesmente pressionar e segurar a tecla Shift (ou Ctrl) enquanto arrasta um dos eixos. Nota: O Dilogo de Propriedades da Zona Grfica diferente do Dilogo de Popriedades dos objectos.

Personalizar a Barra de Ferramentas A barra de ferramentas pode ser personalizada seleccionando Personalizar a barra de ferramentas no menu Ferramentas. Seleccione a ferramenta ou a caixa

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de ferramentas que pretende remover da barra de ferramentas, na lista do lado esquerdo da janela de dilogo que aparece, e clique no boto Remover >. Nota: Pode restaurar a barra de ferramentas padro clicando no boto Restaurar a barra de ferramentas padro que est situado no canto inferior esquerdo da janela de dilogo.

1.2.2. Modificar Propriedades dos Objectos

O Dilogo de Propriedades permite-lhe modificar propriedades de objectos (e.g., cor, estilo da linha, visibilidade). H vrias maneiras de abrir o Dilogo de Propriedades:

Clique com o boto direito do rato (MacOS: Ctrl - clique) num objecto e seleccione Propriedades no Menu de Contexto que aparece.

Seleccione o item Propriedades no menu Editar. Seleccione a ferramenta Mover e faa um duplo clique num objecto

situado na Zona Grfica. Na janela de dilogo Redefinir que aparece, clique no boto Propriedades

No Dilogo de Propriedades, os objectos so organizados por tipos (e.g., pontos, rectas, circunferncias) na lista do lado esquerdo, o que facilita o manuseamento de um largo nmero de objectos. Seleccione um ou mais objectos desta lista para modificar as respectivas propriedades. Nota: Clicando num cabealho da lista de objectos (e.g., Ponto) pode seleccionar todos os objectos desse tipo e ento modificar, em simultneo, as propriedades de todos esses objectos. Pode modificar as propriedades de objectos seleccionados usando os separadores no lado direito (e.g., Bsico, Cor, Estilo, Avanado). Nota: O conjunto de separadores que aparecem no lado direito do Dilogo de Propriedades depende dos objectos seleccionados na lista do lado esquerdo. Feche o Dilogo de Propriedades quando terminar as modificaes nas propriedades dos objectos.

1.2.3. Usar o Menu de Contexto

O Menu de Contexto permite uma maneira rpida de alterar o comportamento ou as propriedades avanadas de um objecto. Clique com o boto direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) num objecto para abrir o respectivo Menu de Contexto. Por exemplo, isto permite-lhe alterar a notao algbrica dos objectos (e.g., coordenadas polares ou cartesianas, equao implcita ou explcita) e aceder directamente a recursos como

Renomear, Apagar, Activar trao, Animar, ou Copiar para a entrada de comandos. Nota: Se abrir o Menu de Contexto para um ponto na Zona Grfica, isso d-lhe a opo Enviar trao para a folha de clculo (apenas se a Folha de Clculo

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estiver activada). Uma vez seleccionada, esta opo permite-lhe gravar as coordenadas de um ponto na Folha de Clculo se ele for movido. Seleccionando Propriedades no Menu de Contexto abre o Dilogo de Popriedades, no qual pode alterar as propriedades de todos os objectos em uso (e.g., cor, tamanho, espessura da linha, estilo da linha, preenchimento).

1.3. O GeoGebra como Ferramenta de Apresentao

1.3.1. Usar a Barra de Navegao

O GeoGebra oferece uma Barra de Navegao que lhe permite navegar atravs dos passos da construo de um ficheiro GeoGebra j preparado. Seleccione o item Barra de navegao para passos da construo no menu Exibir para mostrar a Barra de Navegao situada na base da Zona Grfica. A Barra de Navegao fornece um conjunto de botes de navegao e mostra o nmero dos passos da construo (e.g., 2 / 7 significa que est a mostrar o segundo de um total de sete passos da construo):

boto : vai para o primeiro passo boto : vai para o passo anterior boto : vai para o passo seguinte boto : vai para o passo final boto : Reproduzir: reproduz automaticamente todos os passos da construo Nota: Pode alterar a velocidade desta reproduo automtica usando a caixa de texto situada direita do boto Reproduzir. boto Pausa: pra automaticamente a reproduo Nota: Este boto s aparece depois de clicar no botoReproduzir. boto : Este boto abre o Protocolo de Construo.

1.3.2. Usar o Protocolo de construo

Pode aceder o Protocolo de Construo interactivo seleccionando o item Protocolo de construo no menu Exibir. uma tabela que mostra todos os passos da construo. O Protocolo de Construo permite-lhe refazer passo a passo uma construo j preparada, usando a Barra de Navegao situada na base da Zona Grfica.

Navegar e Modificar o Protocolo de Construo Pode usar o teclado para navegar no Protocolo de Construo:

Use a seta para cima do teclado para regredir um passo da construo. Use a seta para baixo do teclado para avanar um passo da construo. Use a tecla Home para regressar ao incio do protocolo da construo e a tecla End se quiser ir para o fim do protocolo da construo.

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Use a tecla Delete para apagar um passo da construo seleccionado. Nota: Isto pode afectar outros objectos que dependem do objecto/passo da construo seleccionado.

Tambm pode usar o rato para navegar no Protocolo de Construo:

Faa um clique duplo numa linha para seleccionar um passo da construo. Faa um clique duplo no cabealho de qualquer coluna se quiser ir para o incio do Protocolo de construo. Arraste e largue uma linha para mover um passo da construo para uma outra posio no Protocolo de Construo. Nota: Isto nem sempre possvel devido s dependncias entre os diferentes objectos. Clique com o boto direito numa linha para abrir o Menu de Contexto do objecto referente ao passo da construo seleccionado.

Nota: Pode inserir passos da construo em qualquer posio do Protocolo de Construo: Seleccione o passo da construo anterior ao novo passo que deseja inserir (eg., se quiser que o novo passo seja o quinto deve seleccionar o quarto). Deixe a janela do Protocolo de Construo aberta enquanto cria o novo objecto. Este novo passo da construo inserido imediatamente na posio escolhida no Protocolo de Construo. Usando a coluna Ponto de quebra no menu Exibir da janela do Protocolo de Construo, pode definir certos passos da construo como Pontos de quebra. Isto permite-lhe agrupar vrios objectos no mesmo passo. Quando navega atravs da sua construo usando a Barra de Navegao, os objectos assim agrupados so mostrados ao mesmo tempo. Nota: Pode activar ou desactivar as diferentes colunas do Protocolo de Construo usando o menu Exibir na janela do Protocolo de Construo.

Exportar o Ptotocolo de Construo como Pgina Web O GeoGebra permite-lhe exportar o Protocolo de Construo como pgina web. Primeiro, abra o Protocolo de Construo usando o menu Exibir. Depois, abra o menu Ficheiro que aparece na janela do Protocolo de Construo e seleccione o item Exportar como pgina web . Na janela de exportao do Protocolo de Construo pode inserir Ttulo, Autor, e Data da construo e escolher se quer ou no incluir a imagem da Zona Grfica e da Zona Algbrica. Alm disso, tambm pode escolher exportar o Protocolo de construo colorido. Isto significa que os objectos no protocolo de construo apresentam exactamente a cores dos correspondentes objectos na construo. Nota: O ficheiro HTML exportado pode ser aberto por qualquer browser (e.g. Firefox, Internet Explorer) e editado por muitos sistemas de processamento de texto (e.g. OpenOffice Writer).

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1.3.3. Modificar as Configuraes do GeoGebra

O GeoGebra permite-lhe alterar e gravar as suas configuraes favoritas usando o menu Opes. Por exemplo, pode alterar a Unidade angular de Grau para Radiano, ou alterar o Estilo dos pontos, Estilo do ngulo recto e Tamanho da caixa para xibir / esconder objectos. Alm disso, tambm pode alterar o modo como as coordenadas (Coordenadas) so mostradas no ecran e quais os objectos que so rotulados (Rotular). Por favor veja a seco sobre o Menu Opes para mais informaes. Pode gravar as suas configuraes preferidas seleccionando o item Gravar as configuraes actuais no menu Opes. Depois de as ter gravado, o GeoGebra lembrar-se- delas e usa-las- em cada novo ficheiro que criar. Nota: Pode restaurar as configuraes padro seleccionando Restaurar as configuraes padro no menu Opes. Nota: Se usar o GeoGebra como ferramenta de apresentao, deve aumentar o tamanho das fontes (menu Opes) de modo que a sua audincia possa facilmente ler textos e rtulos dos objectos.

1.4. O GeoGebra como Ferramenta de Autor

1.4.1. Opes de Impresso

Imprimir a Zona Grfica O GeoGebra permite-lhe imprimir a Zona Grfica das suas construes. Pode encontrar o correspondente item Previso da impresso ino menu Ficheiro. Na janela de dilogo Previso da impresso pode especificar Ttulo, Autor e Data para a construo. Alm disso, pode configurar a Escala da impresso (em cm) e alterar a orientao do papel usado (retrato ou paisagem). Nota: Para actualizar a previso da impresso depois de ter feito alteraes no texto, necessrio pressionar a tecla Enter.

Imprimir o Protocolo de Construo Se quiser imprimir o Protocolo de Construo deve abrir primeiro a janela do Protocolo de Construo usando o menu Exibir. Ento pode abrir a janela da Previso da impresso do protocolo de construo no menu Ficheiro desta nova janela. Tambm aqui, pode inserir Ttulo, Autor e Data ou alterar a Escala e a orientao do papel antes de imprimir o Protocolo de Construo. Nota: Usando o menu Exibir na janela do Protocolo de Construo, pode activar ou desactivar as diferentes colunas: Nome, Definio, Comando, lgebra e Ponto de quebra.

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1.4.2. Criar Imagens da Zona grfica

Gravar a Zona Grfica como Imagem Pode gravar a Zona Grfica das suas construes como imagem. Nota: A totalidade da Zona Grfica ser gravada como imagem. Se a sua construo no usa todo o espao disponvel, pode:

Usar as ferramentas Mover a folha de desenho, Ampliar, Reduzir para posicionar a sua construo no canto superior esquerdo da Zona Grfica. Depois, pode reduzir o tamanho da janela do GeoGebra arrastando um dos seus cantos com o rato. Pode usar o Rectngulo de Seleco para especificar que parte da Zona Grfica deve ser exportada e gravada como imagem. Pode criar pontos chamados Export_1 e Export_2, que so usados para definir diagonalmente cantos opostos do Rectngulo de Exportao. Nota: Os pontos Export1 e Export2 devem estar situados na rea visvel da Zona Grfica.

No menu Ficheiro, seleccione o item Exportar antes de clicar no item Zona Grfica como Imagem. Na janela de dilogo que aparece, pode especificar o Formato, a Escala (em cm) e a Resoluo (em dpi) da imagem que pretende exportar. Nota: O tamanho real da imagem exportada mostrado na janela de exportao, nas unidades centmetro e pixel. Por favor procure mais informao sobre os diferentes ficheiros de imagem na seco Exportar zona grfica como imagem.

Cpia da Zona Grfica para a rea de Transferncia Existem diferentes maneiras de copiar a Zona Grfica para a rea de transferncia do computador:

No menu Editar, pode seleccionar o item Cpia da zona grfica para a rea de transferncia. No menu Ficheiro, necessrio seleccionar o item Exportar antes de clicar no item Cpia da zona grfica para a rea de transferncia. Na janela de dilogo Exportar zona grfica como imagem (menu Ficheiro Exportar Zona grfica como imagem (png, eps) ) pode clicar no boto rea de transferncia.

A imagem da Zona Grfica copiada para a rea de transferncia tem o formato PNG (veja PNG). Esta imagem pode ser colada noutros documentos (e.g. documento word). Nota: Para exportar uma imagem da sua construo numa certa escala (em cm) use o item Zona grfica como imagem no menu Ficheiro, Exportar (veja Exportar zona grfica como imagem).

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1.4.3. Criar Pginas Web Interactivas

O GeoGebra permite-lhe criar pginas web interactivas, ditas Folhas de Trabalho Dinmicas, a partir dos ficheiros GeoGebra. No menu Ficheiro, seleccione o item Exportar e depois o item Folha de trabalho dinmica como pgina Web (html). Isto abre a janela de dilogo da Folha de trabalho dinmica:

No topo da janela de exportao pode inserir Ttulo, Autor, e Data da sua Folha de trabalho dinmica. O separador Geral permite-lhe adicionar algum texto antes e depois da construo dinmica (e.g., uma descrio da construo e algumas tarefas). Pode tambm determinar se a prpria construo deve aparecer no momento de abertura da pgina web ou se deve ser aberta clicando num boto. O separador Avanado permite-lhe alterar a funcionalidade da construo dinmica (e.g., exibir o cone para refazer a construo, pode abrir a janela da aplicao clicando duas vezes na zona grfica) bem como alterar a interface do utilizador mostrada na apliqueta interactiva (e.g., exibir a barra de ferramentas, modificar a altura e a largura). Nota: Se o tamanho da sua apliqueta demasiado grande para caber num ecran com resoluo padro (1024 x 768), pode querer redimension-la antes de a exportar como Folha de trabalho dinmica.

Nota: Vrios ficheiros so criados quando exporta a sua Folha de trabalho dinmica:

Ficheiro html (e.g. circunferncia.html) este ficheiro inclui a prpria folha de trabalho

Ficheiro GGB (e.g. circunferncia.ggb) este ficheiro inclui a sua construo GeoGebra

geogebra.jar (vrios ficheiros) estes ficheiros incluem o GeoGebra e tornam a sua folha de trabalho interactiva

Todos estes ficheiros (e.g. circunferncia.html, circunferncia.ggb e os ficheiros geogebra.jar) tm que estar numa mesma pasta (directrio) para que a construo dinmica funcione. O ficheiro HTML exportado (e.g. circunferncia.html) pode ser visto com qualquer browser (e.g. Mozilla, Internet Explorer, Safari). Para que a construo dinmica funcione, o seu computador tem que ter o Java instalado e activado. Pode obter o Java em http://java.com/pt_BR/download/index.jsp sem qualquer encargo. Se quiser usar a sua Folha de trabalho dinmica num computador da sua escola, pergunte ao administrador da rede local se tem o Java instalado nos computadores dessa rede. Nota: Pode editar o texto da sua Folha de trabalho dinmica com muitos processadores de texto (e.g. FrontPage, OpenOffice Writer), abrindo o ficheiro HTML exportado.

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2. Entrada Geomtrica

2.1. Notas Gerais

A Zona Grfica mostra a representao grfica dos objectos matemticos (e.g., pontos, vectores, segmentos, polgonos, funes, curvas, rectas, seces cnicas). Sempre que o cursor do rato colocado sobre um tal objecto, ele realado e aparece um texto que o descreve. Existem vrias ferramentas/modos para dizer ao GeoGebra como deve reagir ao clique do rato na Zona Grfica (veja a seco Ferramentas de Construo). Por exemplo, clicando na Zona Grfica pode criar um novo ponto (veja a ferramenta Novo Ponto), intersectar duas linhas (veja a ferramenta Intersectar duas linhas), ou criar uma circunferncia (veja a ferramenta Circunferncia dados o centro e um ponto).

2.2. Ferramentas de Construo

As seguintes ferramentas/modos de construo podem ser activadas clicando nos botes da Barra de Ferramentas. Pode clicar na pequena flecha situada no canto inferior direito de um cone para abrir um menu (Caixa de Ferramentas) que contm ferramentas do mesmo tipo. Nota: Com a maior parte das ferramentas pode facilmente criar novos pontos clicando em espaos vazios da Zona Grfica.

Seleccionar Objectos Para seleccionar um objecto deve clicar nele com o rato aps ter seleccionado a ferramenta Mover. Se quiser seleccionar vrios objectos ao mesmo tempo, deve definir um Rectngulo de Seleco: Seleccione a ferramenta Mover e clique na posio do primeiro canto do desejado Rectngulo de Seleco. Mantenha o boto esquerdo do rato pressionado e mova o ponteiro para a posio do canto diagonalmente oposto do desejado Rectngulo de Seleco. Aps ter libertado o boto do rato, todos os objectos dentro do Rectngulo de Seleco ficam seleccionados. Nota: Para seleccionar um conjunto de dois ou mais objectos, mantenha a tecla Ctrl (MacOS: Cmd) pressionada enquanto clica nesses objectos.

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Renomeao Rpida de Objectos Para renomear rapidamente um objecto clique nele com o boto direito do rato e abra o respectivo dilogo Renomear. Ento, reescreva o nome de tal objecto e clique no boto OK.

2.2.1. Ferramentas Gerais

Copiar estilo visual Esta ferramenta permite-lhe copiar propriedades visuais (e.g. cor, tamanho, estilo da linha) de um objecto para outros. Para o fazer, primeiro seleccione o objecto cujas propriedades pretende copiar. Depois, clique nos objectoss que herdaro essas propriedades.

Apagar Clique em qualquer objecto que queira apagar. Nota: Pode usar o boto Desfazer se apagar acidentalmente o ojecto errado.

Mover Arraste e largue objectos livres com o rato. Se seleccionar um objecto clicando nele no modo Mover, pode:

Apagar o objecto pressionando a tecla Delete Mover o objecto usando as setas do teclado (veja Animao Manual)

Nota: Pode activar a ferramenta Mover pressionando a tecla Esc.

Mover a folha de desenho Arraste e largue a folha de desenho na Zona Grfica para mover a rea visvel da folha de desenho. Nota: Tambm pode mover a folha de desenho mantendo pressionada a tecla Shift (ou Ctrl, no MS Windows) e arrastando-a com o rato em qualquer modo. Nota: Neste modo tambm pode alterar a relao de escala entre os eixos coordenados, arrastando cada um deles com o rato.

Gravar para a folha de clculo Esta ferramenta permite-lhe mover um objecto e gravar uma sequncia dos seus valores na Folha de Clculo. Esta ferramenta funciona para nmeros, pontos e vectores. Nota: Por defeito, o GeoGebra usa as primeiras duas colunas vazias na Folha de Clculo para gravar os valores dos objectos seleccionados.

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Relao entre dois objectos Seleccione dois objectos para obter informao sobre a sua relao numa janela que se abre (veja tambm o comando Relao).

Rodar em torno de um ponto Seleccione primeiro o ponto que o centro da rotao. Depois, pode rodar objectos livres em torno desse centro arrastando-os com o rato.

Exibir / Esconder rtulo Clique num objecto para exibir ou esconder o respectivo rtulo.

Exibir / Esconder objectos Seleccione os objectos que quer exibir ou esconder depois de activar esta ferramenta. Ento, mude para uma qualquer outra ferramenta para aplicar as alteraes na visibilidade desses objectos. Nota: Quando activa esta ferramenta, todos os objectos que podem ser escondidos so realados. Desta maneira, pode facilmente exibir/esconder outra vez os objectos desactivando a sua seleco antes de mudar para outra ferramenta.

Ampliar Clique em qualquer lugar da Zona Grfica para ampliar a sua construo (veja tambm Personalizar a Zona Grfica)

Reduzir Clique em qualquer lugar da Zona Grfica para reduzir a sua construo (veja tambm Personalizar a Zona Grfica)

2.2.2. Pontos

Novo ponto Clique na Zona Grfica para criar um novo ponto. Nota: As coordenadas do ponto so fixadas quando o boto do rato libertado. Clicando num segmento, recta, polgono, cnica, grfico de funo ou curva, pode criar um ponto nesse objecto (veja tambm o comando Ponto).

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Nota: Clicando na interseco de duas linha cria um ponto de interseco (veja tambm o comando Intersectar).

Ponto mdio ou centro Pode clicar em dois pontos ou num segmento para obter o respectivo ponto mdio. Tambm pode clicar numa seco cnica (eg., circunferncia) para criar o respectivo centro.

Intersectar duas linhas Os pontos de interseco de duas linhas podem ser criados de duas maneiras:

Se seleccionar duas linhas, todos os pontos de interseco so criados (se possvel).

Se clicar directamente sobre uma interseco de duas linhas, apenas um ponto de interseco criado.

Nota: Para segmentos, semirectas ou arcos, pode especificar se pretende ou no Permitir pontos de interseco exteriores no separador Bsico do Dilogo de Popriedades. Isto pode ser usado para obter pontos de interseco situados na extenso de tais linhas. Por exemplo, a extenso de um segmento ou semirecta uma recta.

2.2.3. Vectores

Vector definido por dois pontos Seleccione o ponto origem e depois o ponto extremidade do vector.

Vector aplicado num ponto Seleccione um ponto A e um vector v para criar um novo ponto B = A + v bem como o vector de A para B.

2.2.4. Segmentos

Segmento definido por dois pontos Seleccione dois pontos A e B para criar um segmento entre A e B. O comprimento do segmento aparece na Zona Algbrica.

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Segmento dados um ponto e o comprimento Clique num ponto A que o extremo inicial do segmento. Especifique o comprimento desejado no campo de texto da janela de dilogo que aparece. Nota: Esta ferramenta cria um segmento com comprimento a e ponto final B, o qual pode ser rodado em torno do ponto inicial A usando a ferramenta Mover.

2.2.5. Semirectas

Semirecta definida por dois pontos Seleccione um ponto A e depois um ponto B para criar a semirecta de origem A passando por B. A equao da recta correspondente aparece na Zona Algbrica.

2.2.6. Polgonos

Polgono Seleccione sucessivamente pelo menos trs pontos, os quais sero os vrtices do polgono. Depois, clique outra vez no primeiro ponto para fechar o polgono. A rea do polgono mostrada na Zona Algbrica.

Polgono regular Seleccione dois pontos A e B e especifique o nmero n de vrtices no campo de texto da janela de dilogo que aparece. Isto d-lhe um polgono regular com n vrtices (incluindo A e B).

2.2.7. Rectas

Bissectriz Uma bissectriz pode ser definida de duas maneiras:

Seleccionando trs pontos A, B e C produz a bissectriz do ngulo que tem vrtice B.

Seleccionando duas rectas (semirectas ou segmentos de recta) produz as bissectrizes dos dois ngulos formados por tal par de objectos ou respectivos prolongamentos.

Nota: Qualquer bissectriz tem vector director com comprimento 1.

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Recta de regresso Pode criar a recta de regresso de um conjunto de pontos usando duas maneiras diferentes:

Crie um Rectngulo de Seleco que contm todos os pontos do conjunto. Seleccione uma lista de pontos para criar a correspondente recta de

regresso.

Recta definida por dois pontos Seleccionando dois pontos A e B cria a recta que passa por A e B. O vector director desta recta (B - A).

Recta paralela Seleccionando uma recta g e um ponto A define a recta que passa por A paralelamente a g. A direco de tal paralela a direco da recta g.

Mediatriz Clique num segmento s ou em dois pontos A e B para criar a mediatriz. Nota: A direco da mediatriz equivalente ao vector perpendicular a s ou AB (veja tambm o comando Vector Perpendicular).

Recta perpendicular Seleccionando uma recta g e um ponto A cria a recta passando por A perpendicularmente recta g. Nota: A direco da perpendicular criada equivalente ao vector perpendicular recta g (veja tambm o comando Vector Perpendicular).

Recta polar ou diametral Esta ferramenta cria a recta polar ou a recta diametral de uma cnica:

Cria a polar seleccionando um ponto e uma cnica. Cria a diametral seleccionando uma recta (ou um vector) e uma cnica.

Tangentes As tangentes a uma cnica podem ser produzidas de duas maneiras:

Seleccionando um ponto A e uma cnica c produz todas as tangentes a c que passam e A.

Seleccionando uma recta g e uma cnica c produz todas as tangents a c que so paraelas recta g.

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Seleccionando um ponto A e uma funo f produz a recta tangente ao grfico

de f no ponto (x(A), f(x(A)). Nota: x(A) representa a abscissa do ponto A. Se o ponto A pretencer ao grfico de f ento a tangente passa por A.

2.2.8. Seces Cnicas

Circunferncia dados o centro e o raio Seleccione o centro M e insira a medida do raio no campo de texto da janela que aparece.

Circunferncia dados o centro e um ponto Seleccionando um ponto M e um ponto P define a circunferncia de centro M passando por P. Nota: O raio de tal circunferncia a distncia MP.

Circunferncia definida por trs pontos Seleccionando trs pontos A, B e C define a circunferncia que passa nestes trs pontos. Nota: Se os trs pontos pertencerem a uma recta, a circunferncia degenera nessa recta.

Compasso Seleccione um segmento ou dois pontos para especificar o raio. Depois, clique num ponto que ser o centro da circunferncia.

Cnica passando por cinco pontos Seleccionando cinco pontos produz a seco cnica que passa nesses pontos. Nota: Se quatro desses pontos estiverem numa recta, a cnica no definida.

Elipse Seleccione dois pontos que sero os focos da elipse. Depois, especifique um terceiro ponto que pertence elipse.

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Hiprbole Seleccione dois pontos que sero os focos da hiprbole. Depois, especifique um terceiro ponto que pretence hiprbole.

Parbola Seleccione um ponto e uma recta, a qual ser a directriz da parbola.

2.2.9. Arcos e Sectores

Nota: O valor algbrico de um arco o seu comprimento. O valor algbrico de um sector a sua area.

Arco circular dados o centro e dois pontos Primeiro, seleccione o centro M do arco circular. Depois, seleccione o ponto inicial A do arco e, finalmente, seleccione um ponto B que especifica o comprimento do arco. Nota: O ponto A pertence sempre ao arco circular mas o ponto B pode no pertencer a esse arco.

Sector circular dados o centro e dois pontos Primeiro, seleccione o centro M do sector circular. Depois, seleccione o ponto inicial A do sector e, finalmente, seleccione um ponto B que especifica o comprimento do arco do sector. Nota: O ponto A pretence sempre ao arco do sector mas o ponto B pode no pertencer a esse arco.

Arco circuncircular dados trs pontos Seleccionando trs pontos A, B e C cria um arco passando por esses pontos. O ponto A o ponto inicial do arco, B pretence ao arco e C o ponto final do arco.

Sector circuncircular dados trs pontos Seleccionando trs pontos A, B e C cria um sector circular passando por esses pontos. O ponto A o ponto inicial do arco do sector, B pretence ao arco e C o ponto final do arco.

Semicircunferncia dados dois pontos Seleccione dois pontos A eB para criar uma semicircunferncia de extremos A e B.

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2.2.10. Nmeros e ngulos

ngulo Esta ferramenta cria:

Um ngulo entre trs pontos cujo vrtice o segundo ponto seleccionado. Um ngulo entre dois segmentos. Um ngulo entre duas rectas. Um ngulo entre dois vectores. Todos os ngulos de um polgono.

Nota: Se o polgono for criado seleccionando os seus vrtices com orientao anti-horria, a ferramenta ngulo produz os ngulos internos do polgono, seno produz os correspondentes complementos para 360 graus.

Nota: Por defeito, os ngulos so criados com orientao anti-horria. Portanto, a ordem pela qual so seleccionados os objectos que definem os ngulos relevante para esta ferramenta. Se quiser limitar a amplitude dos ngulos a 180, desmarque Permitir ngulos reentrantes no separador Bsico do respectivo Dilogo de Popriedades.

ngulo com amplitude fixa Seleccione dois pontos A e B e especifique a medida da amplitude do ngulo no campo de texto da janela que aparece. Esta ferramenta cria um ponto C e um ngulo , onde o ngulo ABC.

rea Esta ferramenta fornece o valor numrico da rea de um polgono, de um crculo ou de uma elipse e mostra um texto dinmico na Zona Grfica.

Distncia, comprimento ou permetro Esta ferramenta fornece a distncia entre dois pontos, duas rectas ou entre um ponto e uma recta e mostra um texto dinmico na Zona Grfica. Tambm fornece o comprimento de um segmento, o permetro de um polgono e o permetro de uma circunferncia ou de uma elipse.

Selector Nota: No GeoGebra, um selector a representao grfica de um nmero livre ou de um ngulo livre. Pode criar um selector para qualquer nmero livre ou ngulo livre criados anteriormente exibindo esse objecto (veja Menu de Contexto; veja a ferramenta Exibir/Esconder objectos).

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Clique em qualquer espao livre da Zona Grfica para criar um selector para um nmero ou ngulo. A janela que aparece permite-lhe especificar o Nome, Intervalo [min, max] e Incremento do nmero ou do ngulo, bem como o Alinhamento e Largura do selector (em pixeis). A posio de um selector pode ser absoluta (significa que o selector no afectado pelo zoom, ficando sempre visvel na Zona Grfica) ou relativa ao sistema coordenado (veja o Dilogo de Propriedades do correspondente nmero ou ngulo). Nota: Na janela de dilogo de Selector pode inserir o smbolo do grau ou pi () para o intervalo e para o incremento, usando os seguintes atalhos de teclado:

Alt-O (MacOS: Ctrl-O) para o smbolo do grau Alt-P (MacOS: Ctrl-P) para o smbolo

Declive Esta ferramenta d-lhe o declive m de uma recta e mostra na Zona Grfica um tringulo rectngulo em que a razo entre a medida do cateto vertical e a medida do cateto horizontal o valor absoluto de m.

2.2.11. Booleano

Caixa para exibir/esconder objectos Clicando na Zona Grfica cria uma caixa booleana (veja Operaes e Variveis Booleanas) que lhe permite exibir ou esconder um ou mais objectos. Na janela de dilogo que aparece pode especificar quais os objectos que so afectados por essa caixa. Nota: pode seleccionar estes objectos da lista providenciada na janela de dilogo ou seleccion-los com o rato tanto na Zona Grfica como na Zona Algbrica.

2.2.12. Lugares Geomtricos

Locus Seleccione um ponto B que depende de um outro ponto A e cujo locus deve ser desenhado. Ento, clique no ponto A para criar o locus (ou lugar geomtrico) do ponto B. Nota: O ponto A tem que estar numa linha (recta, segmento, circunferncia, etc). Exemplo:

Escreva f(x) = x^2 2 x 1 na Entrada de Comandos. Coloque um novo ponto A no eixo das abcissas (veja a ferramenta Novo

Ponto; veja o comando Ponto). Crie o ponto B = (x(A), f'(x(A))) que depende do ponto A. Seleccione a ferramenta Locus e clique sucessivamente em B e em A.

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Arraste o ponto A ao longo do eixo das abscissas para ver o ponto B a descrever o locus.

2.2.13. Transformaes Geomtricas

As seguintes transformaes geomtricas funcionam para pontos, linhas rectas, cnicas, polgonos e imagens.

Homotetia de centro num ponto por um factor Seleccione o objecto da homotetia. Depois, clique num ponto para especificar o centro da homotetia e, finalmente, insira a razo da homotetia na janela de dilogo que aparece.

Reflexo numa recta Seleccione o objecto que pretende reflectir. Depois, clique numa recta (semirecta ou segmento de recta) para especificar o espelho/recta de reflexo.

Reflexo num ponto Seleccione o objecto que pretende reflectir. Depois, clique num ponto para especificar o espelho/ponto de reflexo.

Inverso numa circunferncia Esta ferramenta permite-lhe inverter um ponto numa circunferncia. Seleccione o ponto que pretende inverter. Depois, clique numa circunferncia para especificar a circunferncia de inverso (veja tambm o comando Reflexo).

Rodar em torno de um ponto com uma amplitude Seleccione o objecto que pretende rodar. Depois, clique num ponto para especificar o centro da rotao e, finalmente, insira a amplitude do ngulo da rotao na janela de dilogo que aparece.

Translao por um vector Seleccione o objecto que pretende transladar. Depois, clique no vector que define a translao.

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2.2.14. Texto

Inserir texto Com esta ferramenta pode criar na Zona Grfica textos estticos ou dinmicos e frmulas em LaTeX. Primeiro, especifique a localizao do texto usando uma das seguintes maneiras:

Clique num lugar vazio da Zona Grfica para criar um novo texto nesse lugar. Clique num ponto para criar um novo texto que fica anexado a esse ponto.

Depois, aparece uma janela de dilogo onde pode inserir o texto pretendido. Nota: Pode especificar a posio de um texto como absoluta no ecran ou relativa ao sistema coordenado usando o separador Bsico do Dilogo de Propriedades. Texto Esttico no depende de quaisquer objectos matemticos e no afectado pelas alteraes na construo. Texto Dinmico contm valores de objectos que so automaticamente adaptados s alteraes provocadas nesses objectos. Texto Misto uma combinao de texto esttico e texto dinmico. Para criar um texto dinmico pode inserir a parte esttica do texto usando o teclado (e.g., Ponto A =). Ento, clique no objecto cujo valor pretende mostrar no texto. Nota: O GeoGebra adiciona automaticamente a sntaxe ("Ponto A = " + A ) necessria para criar um texto Misto: aspas na parte esttica do texto e o smbolo mais (+) para ligar as diferentes partes do texto.

Insero Descrio Isto um texto esttico Texto esttico

"Ponto A = " + A Texto misto (duas partes) usando o valor do ponto A "a = " + a + "cm" Texto misto (trs partes) usando o valor do nmero a

Nota: Se um objecto com nome xx j existe e quiser criar um texto esttico usando esse nome deve inseri-lo entre aspas: ("xx"). De outro modo, o GeoGebra criar automaticamente um texto dinmico que lhe d o valor do objecto xx em vez do nome. Contudo, pode escrever sem aspas qualquer texto que no coincida com o nome de nenhum objecto. Nota: Num texto misto, a parte esttica tem que estar entre aspas. As diferentes partes de um texto (e.g., partes dinmica e esttica) tm que ser ligadas usando o smbolo mais (+).

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Frmulas LaTeX No GeoGebra tambm pode escrever frmulas em LaTex. Para fazer isso, active a caixa Frmula LaTeX na janela de dilogo da ferramenta Inserir Texto e insira a sua frmula usando sntaxe LaTeX. Nota: Para criar um texto esttico ou um texto que contm uma formula LaTeX deve inserir a parte esttica do texto e depois adicionar a frmula LaTeX entre um par de smbolos dollar ($). Exemplo: O comprimento da diagonal $\sqrt{ 2 }$. No menu situado direita da caixa Frmula LaTeX pode seleccionar a sntaxe para os smbolos mais comuns nas frmulas. Assim, insere o correspondente cdigo LaTeX no campo de texto e coloca o cursor do rato entre um par de chavetas. Se quiser criar um texto dinmico dentro da frmula, clique num objecto e o GeoGebra insere o respectivo nome, bem como a sntaxe para o texto misto. Alguns comandos LaTeX importantes so explicados na tabela seguinte. Por favor consulte qualquer documentao LaTeX para mais informaes.

LaTeX Resultado a \cdot b ba \frac{a}{b}

ba

\sqrt{x} x \sqrt[n]{x} n x \vec{v} \overline{AB} ABx^{2} 2x a_{1} 1a \sin\alpha + \cos\beta cossin + \int_{a}^{b} x dx ba xdx \sum_{i=1}^{n} i^2 =ni i1 2

2.2.15. Imagens

Inserir imagem Esta ferramenta permite-lhe inserir uma imagem na Zona Grfica: Primeiro, especifique a localizao da imagem usando uma das seguintes maneiras:

Clique na Zona Grfica para especificar a posio do canto inferior esquerdo da imagem.

Clique num ponto para o definir como canto inferior esquerdo da imagem. Ento, aparece um dilogo para abertura de ficheiro que lhe permite seleccionar

qualquer ficheiro de imagem que exista no seu computador.

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Nota: Aps ter seleccionado a ferramenta Inserir imagem, pode usar o atalho de teclado Alt-clique para colar uma imagem directamente da rea de transferncia para a Zona Grfica.

Propriedades das Imagens Posio A posio de uma imagem pode ser absoluta no ecran ou relativa ao sistema coordenado. Pode especificar isto no separador Bsico do Dilogo de Popriedades da imagem. Pode especificar at trs pontos para os cantos da imagem no separador Posio do Dilogo de Popriedades. Isto d-lhe flexibilidade para alterar a escala, rodar e at distorcer imagens.

Canto 1: posio do canto inferior esquerdo da imagem Canto 2: posio do canto inferior direito da imagem

Nota: Este canto controla a largura da imagem e s pode ser estabelecido se o Canto 1 j o estiver.

Canto 4: posio do canto superior esquerdo da imagem Nota: Este canto controla a altura da imagem e s pode ser estabelecido se o Canto 1 j o estiver.

Nota: Veja tambm o comando Canto. Exemplo: Crie trs pontos A, B e C para explorar os efeitos dos pontos de canto.

Estabelea, respectivamente, os pontos A e B como primeiro e segundo cantos de uma imagem escolhida por si. Arrastando os pontos A e B no modo

Mover pode explorar a influncia que eles tm. Estabelea, respectivamente, os pontos A e C como primeiro e quarto cantos

e veja agora como o arrastamento destes influencia a imagem. Finalmente, pode definir todos os trs cantos e ver como o arrastamento

destes distorce a imagem. Exemplo: J viu como influenciar a posio e o tamanho de uma imagem. Se quiser anexar a imagem a um ponto A e definir a sua largura como 5 unidades e a sua altura como 7 unidades, deve fazer o seguinte:

Defina o Canto 1 como sendo A Defina o Canto 2 como sendo A + (5, 0) Defina o Canto 4 como sendo A + (0, 7)

Nota: Se arrastar o ponto A no modo Mover, o tamanho da imagem no se altera.

Imagem de Fundo Pode especificar uma imagem como sendo Imagem de Fundo no separador Bsico do Dilogo de Popriedades. Uma imagem de fundo fica por detrs dos eixos coordenados e no pode ser seleccionada com o rato. Nota: Se tiver uma imagem definida como imagem de fundo e quiser alterar essa configurao, abra o Dilogo de Propriedades seleccionando Propriedades no menu Editar.

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Transparncia Uma imagem pode ser tornada transparente para ver outros objectos ou os eixos coordenados que esto por de trs dela. Pode estabelecer a transparncia de uma imagem especificando um valor para o Preenchimento entre 0 % e100 % no separador Estilo do Dilogo de Popriedades.

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3. Entrada Algbrica

3.1. Notas Gerais

A representao algbrica dos objectos matemticos (eg., valores, coordenadas ou equaes) mostrada na Zona Algbrica. Pode criar e modificar objectos usando a Entrada de Comandos situada na base do ecran do GeoGebra (veja as seces Entrada Directa e Comandos). Nota: Pressione sempre a tecla Enter aps ter inserido a definio de um objecto na Entrada de Comandos. Nota: Pressionando a tecla Enter em qualquer altura muda o foco da Zona Grfica para a Entrada de Comandos. Isto permite-lhe inserir expresses e comandos na Entrada de Comandos sem ter que primeiro clicar nesta com o rato.

Nomear Objectos Nota: Se no pretender nomear um objecto manualmente, o GeoGebra atribui os nomes de novos objectos por ordem alfabtica. Pode atribuir um certo nome a um objecto quando o cria usando a Entrada de Comandos:

Pontos: No GeoGebra, os pontos so sempre nomeados usando letras maisculas. Insira o nome (e.g., A, P) e o sinal de igualdade antes das coordenadas. Exemplos: C = (2, 4), P = (1; 180), Complexo = 2 + i Vectores: Para fazer a distino entre pontos e vectores, os vectors so designados por letras minsculas. Mais uma vez, insira o nome (e.g., v, u) e o sinal de igualdade antes das coordenadas do vector. Exemplos: v = (1, 3), u = (3; 90), complexo = 1 2i Rectas, circunferncias e seces cnicas: Qualquer destes objectos pode ser nomeado inserindo o nome e dois pontos antes da respectiva equao. Exemplos: g: y = x + 3, c: (x-1)^2 + (y 2)^2 = 4, hyp: x^2 y^2 = 2 Funes: Pode nomear uma funo inserindo, por exemplo, f(x) = ou g(x)= antes da sua expresso algbrica. Exemplos: h(x) = 2 x + 4, q(x)= x^2, trig(x) = sin(x)

Nota: Se no quiser atribuir manualmente um nome a um objecto, o GeoGebra atribui os nomes dos novos objectos por ordem alfabtica. Nota: Pode criar ndices nos nomes dos objectos usando um underscore. Por exemplo, A1 inserido como A_1 e SAB inserido como S_{AB}.

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Modificar Valores Existem duas maneiras de manipular o valor de um objecto livre:

Modificar o valor do objecto inserindo o seu nome e o novo valor na Entrada de Comandos (veja Entrada Directa). Exemplo: Se quiser alterar o valor de um nmero existente a = 3, insira a = 5 na Entrada de Comandos e depois pressione a tecla Enter.

Editar a representao algbrica: Active a ferramenta Mover e faa um duplo clique sobre o objecto na Zona Algbrica. Isto abre uma caixa de texto na qual pode editar o valor do objecto. Pressione a tecla Enter para aplicar as alteraes efectuadas.

Nota: O valor de um objecto livre pode ser alterado directamente mas o valor de um objecto dependente s pode ser influenciado alterando os objectos seus parentes ou redefinindo esse objecto dependente.

Mostrar Histrico da Entrada de Comandos Se quiser ver, passo a passo, os comandos inseridos anteriormente, coloque o cursor na Entrada de Comandos e use as teclas para cima e para baixo. Nota: Clique no pequeno boto situado esquerda da Entrada de Comandos para ver a ajuda relativa Entrada de Comandos.

Inserir o Nome, o Valor ou a Definio de um Objecto na Entrada de Comandos Inserir o nome de um objecto na Entrada de Comandos: Active a ferramenta Mover e seleccione o objecto cujo nome quer inserir na Entrada de Comandos. Depois pressione a tecla F5. Nota: O nome do objecto anexado expresso escrita na Entrada de Comandos antes de ter pressionado a tecla F5. Inserir o valor de um objecto na Entrada de Comandos: Existem duas maneiras de inserir o valor de um objecto (e.g., (1, 3), 3x 5y = 12) na Entrada de Comandos.

Clique com o boto direito do rato (MacOS: Ctrl-clique) no objecto e seleccione o item Copiar para a entrada de comandos no Menu de Contexto que aparece.

Active a ferramenta Mover e seleccione o objecto cujo valor quer inserir na Entrada de Comandos. Ento, pressione a tecla F4. Nota: O valor do objecto anexado expresso escrita na Entrada de Comandos antes de ter pressionado a tecla F4.

Inserir a definio de um objecto na Entrada de Comandos: Existem duas maneiras de inserir a definio de um objecto (e.g., A = (4, 2), c = Circunferncia[A, B]) na Entrada de Comandos.

Fazendo Alt clique no objecto, insere a respectiva definio e apaga tudo o que esteja escrito na Entrada de Comandos.

Active a ferramenta Mover e seleccione o objecto cuja definio pretende inserir na Entrada de Comandos. Ento, pressione a tecla F3.

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Nota: A definio do objecto anexada expresso escrita na Entrada de Comandos antes de ter pressionado a tecla F3.

3.2. Entrada Directa

O GeoGebra pode trabalhar com nmeros, ngulos, pontos, vectores, segmentos, rectas, seces cnicas, funes, curvas paramtricas, etc. Pode inserir estes objectos na Entrada de Comandos usando as suas coordenadas ou equaes e pressionando a tecla Enter.

3.2.1. Nmeros e ngulos

Nmeros Pode criar nmeros usando a Entrada de Comandos. Se inserir um nmero (e.g., 3), o GeoGebra atribui uma letra minscula como nome desse nmero. Se quiser dar ao nmero um nome especfico, pode inserir tal nome seguido do sinal de igualdade e do nmero (e.g., pode criar o nmero decimal r inserindo r = 5.32). Nota: No GeoGebra, nmeros e ngulos usam o ponto como separador decimal. Tambm pode usar a costante e a constante de Euler, e, para expresses e clculos, seleccionando-as no menu situado direita da Entrada de Comandos ou usando atalhos de teclado. Nota: Se a letra e ainda no estiver a ser usada como nome de um objecto existente, o GeoGebra reconhece-a como a constante de Euler se a quiser usar numa nova expresso.

ngulos Os ngulos so inseridos em graus () ou radianos (rad). A constante til se estiver a usar o radiano como unidade de medida e pode ser inserida como pi. Nota: Pode inserir o smbolo do grau () ou o smbolo usando os seguintes atalhos de teclado:

Alt-O (MacOS: Ctrl-O) para o smbolo de grau () Alt-P (MacOS: Ctrl-P) para o smbolo

Exemplo: Pode inserir um ngulo em graus (e.g., = 60) ou em radianos (e.g., = pi/3). Nota: O GeoGebra efectua todos os clculos internos em radianos. Para tais clculos, o smbolo nada significa mas a constante /180 usada para converter graus em radianos. Exemplo: Se a = 30 for um nmero, ento = a converte a no ngulo = 30, no alterando o valor numrico. Se inserir b = / , o ngulo convertido no nmero b = 30, mais uma vez sem alterao do valor numrico.

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Selectores e Teclas de Movimento Nmeros e ngulos livres podem ser mostrados como selectores na Zona Grfica (veja a ferramenta Selector). Usando as teclas de movimento (setas) ou as teclas + e -, pode alterar o valor de um nmero ou de um ngulo na Zona Algbrica ou na Zona Grfica (veja Animao Manual).

Limites do Intervalo de Variao Nmeros e ngulos livres podem ser limitados a um intervalo [min, max] usando o separador Selector do Dilogo de Popriedades (veja tambm a ferramenta Selector). Nota: Se um ngulo for dependente pode especificar a possibilidade de ele ser ou no reentrante no separador Bsico do Dilogo de Popriedades.

3.2.2. Pontos e Vectores

Pontos e vectores podem ser inseridos em coordenadas cartesianas ou polares (veja a seco Nmeros e ngulos). Note: As letras maisculas denotam pontos ao passo que as minsculas denotam vectores. Exemplos:

Para inserir um ponto P ou um vector v em coordenadas cartesianas escreva P = (1, 0) ou v = (0, 5).

Para usar coordenadas polares escreva P = (1; 0) or v = (5; 90). Nota: necessrio usar o ponto e vrgula para separar as duas coordenadas polares. Alm disso, se no inserir o smbolo do grau, o GeoGebra trata o ngulo como se ele tivesse sido inserido em radianos.

3.2.3. Rectas e Eixos

Rectas Pode inserir uma recta na forma de uma equao linear em x e y ou na forma paramtrica. Em ambos os casos, as variveis definidas previamente (e.g. nmeros, pontos, vectores) podem ser usadas nas equaes. Nota: Pode escrever o nome da recta no incio da insero, seguido por dois pontos Exemplos:

Escreva g: 3x + 4y = 2 para inserir a recta g como equao linear. Defina um parmetro t (e.g., t = 3) antes de inserir a recta g na forma

paramtrica usando g: X = (-5, 5) + t (4, -3). Defina primeiro os parmetros m = 2 and b = -1. Ento, pode inserir a

equao g: y = m*x + b para obter a recta g na forma reduzida.

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Eixos Os dois eixos coordenados esto disponveis nos comandos usando os nomes EixoX e EixoY. Exemplo: O comando Perpendicular[A, EixoX] constri a perpendicular ao eixo das abscissas passando pelo ponto A.

3.2.4. Seces Cnicas

Pode inserir uma seco cnica na forma de uma equao quadrtica em x e y. Variveis definidas previamente (e.g. nmeros, pontos, vectores) podem ser usadas na equao de uma cnica. Nota: O nome de uma seco cnica pode ser escrito no incio da insero, seguido por dois pontos. Exemplos:

Elipse el: el: 9 x^2 + 16 y^2 = 144 Hiprbole hyp: hip: 9 x^2 16 y^2 = 144 Parbola par: par: y^2 = 4 x Circunferncia k1: k1: x^2 + y^2 = 25 Circunferncia k2: k2: (x5)^2 + (y+2)^2 = 25

Nota: Se definir previamente dois parmetros a = 4 e b = 3, pode inserir uma elipse na forma el: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2.

3.2.5. Funes de x

Para inserir uma funo pode usar variveis previamente definidas (e.g. nmeros, pontos, vectores) e outras funes. Exemplos:

Funo f f(x) = 3 x^3 x^2 Funo g g(x) = tan(f(x)) Funo sem nome sin(3 x) + tan(x)

Todas as funes internas (e.g. sin, cos, tan) so descritas na seco Funes e Operaes Pr-definidas. No GeoGebra tambm pode usar comandos para obter, por exemplo, o Integral e a Derivada de uma funo. Nota: Tambm pode usar os comandos f'(x) or f''(x), para obter as 1, 2, derivadas de uma funo f(x) previamente definida. Exemplo: Defina a funo f como f(x) = 3 x^3 x^2. Ento, pode inserir g(x) = cos(f' (x + 2)) para obter a funo g.

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Alm disso, uma funo pode ser transladada por um vector (veja o comando Translao) e uma funo livre (no dependente de outros objectos) pode ser movida com o rato usando a ferramenta Mover.

Funo Restrita a um Intervalo Para restringir uma funo a um intervalo [a, b], pode usar o comando Funo.

3.2.6. Funes e Operaes Pr-definidas

Para inserir nmeros, coordenadas ou equaes, (veja a seco Entrada Directa) tambm pode usar as funes e operaes pr-definidas constantes na tabela seguinte. Note: As funes pr-definidas tm que ser inseridas usando parnteses curvos. No pode deixar espaos entre a funo e os parnteses.

Operao Inserir Adio + Subtraco - Multiplicao * ou espao Produto escalar * ou espao Diviso / Exponenciao ^ ou 2 Factorial ! Funo Gamma gamma( ) Parnteses ( ) Abcissa x( ) Ordenada y( ) Valor absoluto abs( ) Sinal sgn( ) Raiz quadrada sqrt( ) Raiz cbica cbrt( ) Nmero aleatrio entre 0 e 1 random( ) Funo exponential exp( ) ou x Logaritmo (base e) ln( ) ou log( ) Logaritmo (base 2) ld( ) Logaritmo (base 10) lg( ) Co-seno cos( ) Seno sin( ) Tangente tan( ) Arco-co-seno acos( ) Arco-seno asin( ) Arco-tangente atan( ) Co-seno hiperblico cosh( ) Seno hiperblico sinh( ) Tangente hiperblica tanh( ) Arco-co-seno hiperblico acosh( ) Arco-seno hiperblico asinh( )

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Operao Inserir Arco-tangente hiperblico atanh( ) Maior inteiro menor ou igual floor( ) Menor inteiro maior ou igual ceil( ) Arredondar round( )

Exemplos: No GeoGebra, tambm pode efectuar clculos com pontos e vectores:

Pode criar o ponto mdio M de dois pontos A e B inserindo M = (A + B) / 2 na Entrada de Comandos.

Pode calcular o comprimento c de um vector v usando c = sqrt(v * v)

3.2.7. Operaes e Variveis Booleanas

Pode usar as variveis booleanas true (verdadeiro) ou false (falso). Por exemplo, escreva a = true ou b = false na Entrada de Comandos e depois pressione a tecla Enter.

Caixa para Exibir/Esconder Objectos e Teclas de Movimento Variveis booleanas livres podem ser mostradas na Zona Grfica como caixas para exibir/esconder objectos (veja a ferramenta Caixa para Exibir/Esconder objectos). Usando as teclas de movimento (setas) tambm pode alterar o valor de uma varivel booleana na Zona Algbrica (veja Animao Manual). Nota: Tambm pode usar variveis booleanas como nmeros (valor 0 ou 1). Isto permite-lhe usar uma caixa para exibir/esconder objectos como interruptor de um selector animado, iniciando ou parando a animao. Se, por exemplo, o booleano se chamar b, nas propriedades do selector insira b no campo Velocidade. Neste caso, o boto de animao s mostrado na Zona Grfica se existir tambm um selector animado com velocidade esttica (i.. no dinmica).

Operaes Booleanas Pode usar as seguintes operaes boleanas no GeoGebra, copiando-as da lista abaixo para a Entrada de Comandos ou inserindo-as directamente com o teclado: Lista Teclado Exemplo Objectos

Igual == a b ou a == b nmeros, pontos, rectas, cnicas a, b Diferente != a b ou a != b nmeros, pontos, rectas, cnicas a, b Menor < < a < b nmeros a, b Maior > > a > b nmeros a, b Menor ou igual = b nmeros a, b E && a b booleanos a, b Ou || a b booleanos a, b

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Lista Teclado Exemplo Objectos No ! a ou !a booleano a Paralela a b rectas a, b Perpendicular a b rectas a, b

3.2.8. Listas de Objectos e Operaes com Listas

Usando chavetas pode criar uma lista de vrios objectos (e.g. pontos, segmentos, circunferncias). Exemplos:

L = {A, B, C} d-lhe a lista constituda pelos pontos A, B e C definidos previamente.

L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} d-lhe a lista constituida pelos mesmos trs pontos mas agora expressos pelas respectivas coordenadas cartesianas. Nota: Por defeito, os elementos desta lista no so mostrados na Zona Grfica.

Comparar Listas de Objectos Pode comparar duas listas de objectos:

lista1 == lista2: Verifica se as duas listas so iguais e retorna true (verdadeiro) ou false (falso) como resultado.

lista1 != lista2: Verifica se as duas listas so diferentes e retorna true (verdadeiro) ou false (falso) como resultado.

Aplicar Operaes e Funes a Listas Nota: Se aplicar operaes e funes pr-definidas a listas, obter como resultado uma nova lista. Exemplos de Adio e Subtraco:

Lista1 + Lista2: Adiciona os correspondentes elementos das duas listas. Nota: As duas listas devem ter o mesmo comprimento, isto , o mesmo nmero de elementos. Lista + Nmero: Adiciona o nmero a cada elemento da lista. Lista1 Lista2: Subtrai os elementos da segunda lista dos correspondentes elementos da primeira lista. Nota: As listas devem ter o mesmo comprimento. Lista Nmero: Subtrai o nmero de cada elemento da lista.

Exemplos de Multiplicao e Diviso:

Lista1 * Lista2: Multiplica os correspondents elementos das duas listas. Nota: As listas devem ter o mesmo comprimento.

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Nota: Se duas listas tiverem matrizes compatveis usada a multiplicao de matrizes. Lista * Nmero: Multiplica cada elemento da lista pelo nmero. Lista1 / Lista2: Divide cada elemento da primeira lista pelo correspondente elemento da segunda lista. Nota: As listas devem ter o mesmo comprimento. Lista / Nmero: Divide cada elemento da lista pelo nmero. Number / Lista: Divide o nmero por cada element da lista.

Outros exemplos:

Lista^2: Eleva ao quadrado cada elemento da lista. sin(Lista): Aplica a funo seno a cada element da lista.

3.2.9. Matrizes e Operaes com Matrizes

O GeoGebra tambm suporta matrizes. Uma matriz representada como uma lista de listas, sendo que cada uma destas ltimas representa uma linha da matriz.

Exemplo: A lista {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} representa a matrix .

Operaes com Matrizes Exemplos de adio e subtraco:

Matriz + Matriz: Adiciona os correspondentes elementos de duas matrizes compatveis. Matriz Matriz: Subtrai os correspondentes elementos de duas matrizes compatveis.

Exemplos de Multiplicao:

Matriz * Nmero: Multiplica cada elemento da matriz por um dado nmero. Matriz * Matriz: Usa a habitual multiplicao de matrizes para calcular a matriz produto. Nota: As linhas da primeira matriz e as colunas da segunda matriz devem ter o mesmo nmero de elementos. Exemplo: {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}} * {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}} d-lhe a matriz {{9, 12, 15}, {19, 26, 33}, {29, 40, 51}}. 2x2 Matriz * Ponto (ou Vector): Multiplica a matriz pelo ponto/vector e d-lhe um ponto como resultado. Exemplo: {{1, 2}, {3, 4}} * (3, 4) d-he o ponto A = (11, 25). 3x3 Matriz * Ponto (ou Vector): Multiplica a matriz pelo ponto/vector e d-lhe um ponto como resultado. Exemplo: {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * (1, 2) d-lhe o ponto A = (8, 20). Nota: Este um caso especial para transformaes afins onde so usadas coordenadas homogneas: (x, y, 1) para um ponto e (x, y, 0) para um vector. Portanto, este exemplo equivalente a: {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {0, 0, 1}} * {1, 2, 1}.

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Outros exemplos: (veja a seco Comandos de Matriz):

Determinante[Matriz]: Calcula o determinante da matriz dada. Inversa[Matriz]: Inverte a matriz dada. Transposta[Matriz]: Transpe a matriz dada.

3.2.10. Nmeros Complexos e Operaes

O GeoGebra no suporta nmeros complexos directamente, mas pode usar pontos para simular operaes com nmeros complexos. Exemplo: Se inserir 3+4i na Entrada de Comandos, obtm o ponto (3, 4) na Zona Grfica. As coordenadas deste ponto so mostradas na Zona Algbrica como 3+4i. Nota: Pode representar qualquer ponto como nmero complexo na Zona Algbrica. Abra o Dilogo de Propriedades para o ponto e, no separador lgebra, seleccione Nmero complexo na lista de formatos de Coordenadas. Se a unidade imaginria i ainda no estiver definida, ela ser reconhecida como o par ordenado i = (0, 1) ou o nmero complexo 0 + 1i. Portanto, pode usar a letra i para inserir nmeros complexos na Entrada de Comandos (e.g., q = 3 + 4i). Exemplos de adio e subtraco:

(2 + 1i) + (1 2i) d-lhe o nmero complexo 3 1i. (2 + 1i) - (1 2i) e d-lhe o nmero complexo 1 + 3i.

Exemplos de multiplicao e diviso:

(2 + 1i) * (1 2i) d-lhe o nmero complexo 4 3i. (2 + 1i) / (1 2i) e d-lhe o nmero complexo 0 + 1i.

Nota: Se A e B so dois pontos, A/B faz a diviso complexa. Nota: A multiplicao usual (2, 1)*(1, -2)d-lhe o produto escalar dos dois vectores. Outros exemplos: O GeoGebra tambm reconhece expresses envolvendo nmeros reais e nmeros complexos.

3 + (4 + 5i) d o nmero complexo 7 + 5i. 3 - (4 + 5i) d o nmero complexo -1 - 5i. 3 / (0 + 1i) d o nmero complexo 0 - 3i. 3 * (1 + 2i) d o nmero complexo 3 + 6i.

3.3. Comandos

Usando comandos pode criar novos objectos ou modificar objectos j existentes. Nota: O resultado de um comando pode ser nomeado inserindo um rtulo seguido do smbolo de igualdade, =. No exemplo abaixo, o novo ponto nomeado S.

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Exemplo: Para obter o ponto de interseco de duas rectas g e h pode inserir S = Intersectar[g, h] (veja o comando Intersectar). Nota: Tambm pode usar um ndice no nome de um objecto: A1 inserido como A_1 enquanto que SAB criado usando s_{AB}.

Autocompletamento de Comandos Quando insere um comando na Entrada de Comandos do GeoGebra, o software tenta completar automaticamente o comando. Isto significa que depois de escrever as primeiras duas letras do comando na Entrada de Comandos, o GeoGebra sugere o primeiro comando de uma lista alfabtica que comea com essas letras.

Para aceitar a sugesto e posicionar o cursor dentro dos parnteses rectos, bata a tecla Enter. Se o comando sugerido automaticamente no for aquele que deseja, continue a escrever e o GeoGebra adaptar as sugestes s letras que escrever.

3.3.1. Comandos Gerais

PassoDaConstruo PassoDaConstruo[]: Retorna o corrente passo do Protocolo de Construo

como um nmero PassoDaConstruo[Objecto]: Retorna o passo do Protocolo de Construo

para o objecto dado como um nmero

Apagar Apagar[Objecto]: Apaga o objecto e todos os objectos que dele dependem

Relao Relao[Objecto a, Objecto b]: Mostra uma caixa de mensagem que lhe d

informao sobre a relao entre os objectos a e b. Nota: Este comando permite-lhe saber se dois objectos so iguais, se um ponto est numa recta ou numa cnica, ou se uma recta tangente ou secante a uma cnica.

3.3.2. Comandos Booleanos

Se Se[Condio, Objecto]: Fornece uma cpia do objecto se o valor da condio

true, ou um objecto indefinido se o valor da condio false. Se[Condio, Objecto a, Objecto b]: Fornece uma cpia do objecto a se o

valor da condio true, ou uma cpia do objecto b se o valor da condio false.

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Definido Definido[Objecto]: Retorna true ou false, conforme o objecto ou no definido.

Inteiro Inteiro[Nmero]: Retorna true ou false conforme o nmero ou no inteiro.

3.3.3. Nmeros

RazoAfim RazoAfim[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Retorna a razo afim de trs

pontos colineares A, B e C, onde C = A + * AB

rea rea[Ponto A, Ponto B, Ponto C, ...]: Fornece a rea do polgono

definido pelos pontos A, B, C, rea[Cnica c]: Fornece a rea da seco cnica c (circunferncia ou elipse) Nota: Para calcular a rea entre os grficos de duas funes deve usar o comando Integral.

PassoEixo PassoEixoX[]: Retorna o tamanho corrente do passo para o eixo das abcissas PassoEixoY[]: Retorna o tamanho corrente do passo para o eixo das ordenadas Nota: Juntamente com os comandos Canto e Sequncia, os comandos PassoEixo

permitem-lhe criar eixos personalizados (veja tambm a seco Personalizar os eixos Coordenados e o Quadriculado).

CoeficienteBinomial CoeficienteBinomial[Nmero n, Nmero r]: Calcula o coeficiente binomial,

isto , o nmero de combinaes com r elementos tomados de um conjunto com n elementos.

Permetro Permetro[Cnica]: Retorna o permetro de uma seco cnica

Nota: Isto s faz sentido se a cnica for uma circunferncia ou uma elipse.

RazoDupla RazoDupla[Ponto A, Ponto B, Ponto C, Ponto D]: Calcula a razo

cruzada de quarto pontos colineares A, B, C e D, onde = RazoAfim[B, C, D] / RazoAfim[A, C, D]

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Curvatura Curvatura[Ponto, Funo]: Calcula a curvatura do grfico de uma funo no

ponto dado Curvatura[Ponto, Curva]: Calcula a curvatura de uma curva no ponto dado

Distncia Distncia[Ponto A, Ponto B]: Fornece a distncia entre dois pontos A e B Distncia[Ponto, Recta]: Fornece a distncia entre o ponto e a recta Distncia[Recta g, Recta h]: Fornece a distncia entre g e h.

Nota: A distncia entre rectas concorrentes nula. Este comando tem interesse apenas para rectas paralelas.

ComprimentoDoSemiEixoMaior ComprimentoDoSemiEixoMaior[Cnica]: Retorna o comprimento do semi-eixo

maior de uma seco cnica.

ComprimentoDoSemiEixoMenor ComprimentoDoSemiEixoMenor[Cnica]: Retorna o comprimento do semi-eixo

menor de uma seco cnica

MDC MDC[Nmero a, Nmero b]: Calcula o mximo divisor comum dos nmeros a e b MDC[Lista de nmeros]: Calcula o mximo divisor comum da lista de nmeros

Quociente Quociente[Inteiro a, Inteiro b]: Calcula o quociente inteiro da diviso do

nmero inteiro a pelo nmero inteiro b

Integral Integral[Funo, Nmero a, Nmero b]: Retorna o integral definido de uma

funo no intervalo [a , b]. Nota: Este comando tambm desenha a rea entre o grfico da funo e o eixo das abcissas.

Integral[Funo f, Funo g, Nmero a, Nmero b]: Fornece o integral definido da diferena f(x) - g(x) no intervalo [a, b]. Nota: Este comando tambm desenha a rea entre os grficos das duas funes f e g.

Nota: Veja Integral Indefinido

Iterao Iterao[Funo, Nmero x0, Nmero n]: Itera a funo n vezes usando o

valor inicial x0 dado.

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Exemplo: Aps definir f(x) = x^2 , o comando Iterao[f, 3, 2] d o resultado (32)2 = 81.

MMC MMC[Nmero a, Nmero b]: Calcula o mnimo mltiplo comum de dois nmeros

a e b MMC[Lista de nmeros]: Calcula o mnimo mltiplo comum dos elementos da

lista

Comprimento Comprimento[Vector]: Fornece o comprimento do vector dado Comprimento[Ponto A]: Fornece o comprimento do vector posio do ponto A Comprimento[Funo, Nmero x1, Nmero x2]: Fornece o comprimento do

grfico da funo no intervalo [x1, x2] Comprimento[Funo f, Ponto A, Ponto B]: Fornece o comprimento do

grfico da funo entre os pontos A e B Nota: Se os pontos A e B dados no pertencerem ao grfico da funo, este comando fornece o comprimento do grfico da funo entre os pontos C e D, onde C = (x(A), f(x(A)) e D = (x(B), f(x(B))

Comprimento[Curva, Nmero t1, Nmero t2]: Fornece o comprimento da curva entre os valores dos parmetros t1 e t2

Comprimento[Curva c, Ponto A, Ponto B]: Fornece o comprimento da curva c entre os pontos A e B pertencentes curva

Comprimento[Lista]: Fornece o comprimento da lista, isto , o nmero de elementos da lista.

ExcentricidadeLinear ExcentricidadeLinear[Cnica]: Calcula a excentridade linear da seco

cnica Nota: A excentridade linear a distncia entre o centro da cnica e o seu foco, ou um dos seus dois focos.

SomaInferior SomaInferior[Funo, Nmero a, Nmero b, Nmero n]: Fornece a

soma inferior da funo dada no intervalo [a, b] com n rectngulos Nota: Este comando tambm desenha os n rectngulos.

Mnimo e Mximo Mnimo[Nmero a, Nmero b]: Fornece o mnimo dos dois nmeros a e b Mximo[Nmero a, Nmero b]: Fornece o mximo dos dois nmeros a e b

Resto Resto[Inteiro a, Inteiro b]: Fornece o resto quando o inteiro a dividido

pelo inteiro b

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Parmetro Parmetro[Parbola]: Retorna o parmetro da parbola, isto , a distncia entre

o foco e a directriz

Permetro Permetro[Polgono]: Retorna o permetro do polgono

Raio Raio[Circunferncia]: Retorna o raio da circunferncia

Comandos Aleatrios AleatrioInteiro[inteiro min, inteiro max]: Gera um nmero inteiro

aleatrio entre os nmeros inteiros min e max (incusive) AleatrioBinomial[Nmero n de tentativas, Probabilidade p]: Gera

um nmero aleatrio de uma distribuio binomial com n tentativas e probabilidade p

AleatrioNormal[Mdia, Desvio padro]: Gera um nmero aleatrio de uma distribuio normal com uma dada mdia e um dado desvio padro

AleatrioPoisson[Mdia]: Gera um nmero aleatrio de uma distribuio de Poisson com uma dada mdia

Declive Declive[Recta]: Retorna o declive de uma dada recta Nota: Este comando tambm desenha o tringulo rectngulo no qual a razo entre a

medida do cateto vertical e a medida do cateto horizontal o valor absoluto do declive. O tamanho deste tringulo pode ser alterado no separador Estilo do Dilogo de Popriedades, mantendo-se a proporo entre as medidas dos catetos

SomaTrapezoidal SomaTrapezoidal[Funo, Nmero a, Nmero b, Nmero n de

trapzios]: Calcula a soma trapezoidal da funo no intervalo [a, b] usando n trapzios.

Nota: Este comando tambm desenha os n trapzios.

SomaSuperior SomaSuperior[Funo, Nmero a, Nmero b, Nmero n]: Calcula a soma

superior da funo no intervalo [a, b] usando n rectngulos. Nota: Este comando tambm desenha os n rectngulos.

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3.3.4. ngulos

ngulo ngulo[Vector v1, Vector v2]: Retorna o ngulo entre dois vectores v1 e v2

(entre 0 e 360), de v1 para v2, no sentido directo (anti-horrio) ngulo[Recta g, Recta h]: Retorna o ngulo entre os vectores directores das

duas rectas g e h (entre 0 e 360) ngulo[Ponto A, Ponto B, Ponto C]: Retorna o ngulo entre os dois

vectores B-A e C-B (entre 0 and 360), de B-A para C-B, no sentido directo, sendo B o seu vrtice.

ngulo[Ponto A, Ponto B, ngulo ]: Retorna o ngulo com amplitude e vrtice B, desenhado a partir de A no sentido directo. Nota: O ponto Rotao[A, , B] tambm criado.

ngulo[Cnica c]: Retorna o ngulo entre o vector u = (1,0) e o vector v director do eixo principal de c, de u para v, no sentido directo (veja o comando Eixos)

ngulo[Vector]: Retorna o ngulo entre o vector (1,0) e o vector dado ngulo[Ponto]: Retorna o ngulo entre o vector (1,0) e o vector posio do ponto

dado ngulo[Nmero]: Converte o nmero dado no ngulo que tem esse nmero como

medida em radianos (resultado entre 0 e 2pi) ngulo[Polgono]: Cria todos os ngulos de um polgono, no sentido positivo.

Nota: Se o polgono for criado com orientao anti-horria, obtm os ngulos internos. Se o polgono for criado com orientao horria, obtm os complementos para 360, a no ser que nas propriedades dos ngulos tenha desmarcado a caixa Permitir ngulos reentran