M ATE M TI C A

1.a Srie Ensino MdioManual do Professor

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AUTOR Angel Panads Rubi Professor de Matemtica da rede particular de ensino. Licenciado em Matemtica, pela UFMG.

COAUTORA PEDAGGICA Luciana Maria Tenuta de Freitas Professora de cursos de formao de professores de Matemtica. Licenciada e Bacharel em Matemtica, pela UFMG. Mestre em Ensino de Matemtica, pela PUC Minas.

SUMRIOApresentao da Coleo .............................................................................. 3 Distribuio dos contedos do segmento...........................................................11 Apresentao do livro da 1. srie do Ensino Mdio ..............................................15 Sees do livro .........................................................................................16 Competncias e habilidades .........................................................................19 Distribuio anual dos contedos da srie e planejamento semestral ........................20 LGEBRA DAS FUNES Captulo 1 A linguagem dos nmeros e dos conjuntos ............................................22 Sequncia didtica ....................................................................................22 Orientaes didtico-metodolgicas ................................................................23 Comentrios das questes ............................................................................24 Captulo 2 A linguagem das funes e dos grficos .............................................33 Sequncia didtica ....................................................................................33 Orientaes didtico-metodolgicas ................................................................35 Comentrios das questes ............................................................................36 Captulo 3 Funes algbricas elementares .....................................................42 Sequncia didtica ....................................................................................42 Orientaes didtico-metodolgicas ................................................................43 Comentrios das questes ............................................................................45 Captulo 4 Exponencial e logaritmo ..............................................................52 Sequncia didtica ....................................................................................52 Orientaes didtico-metodolgicas ................................................................54 Comentrios das questes ............................................................................55 LGEBRA DAS EQUAES E DAS INEQUAES - PARTE 1 Captulo 1 Estudo geral das equaes algbricas em .................................................... 65 Sequncia didtica ....................................................................................65 Orientaes didtico-metodolgicas ................................................................66 Comentrios das questes ............................................................................68 Texto complementar ..................................................................................78 Referncias .............................................................................................80

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APRESENTAO DA COLEOA proposta da Coleo de Matemtica para o Ensino Mdio leva em conta as orientaes constantes nos seguintes documentos bsicos: Matrizes Curriculares de Referncia para o SAEB, publicadas pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais (INEP). Orientaes Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio (PCNEM), publicadas pela Secretaria de Educao Bsica do MEC (SEB/MEC).

PRESSUPOSTOS DIDTICO-PEDAGGICOSA velocidade cada vez maior com que ocorrem a evoluo tecnolgica e a produo do conhecimento, bem como a facilidade crescente de acesso a novos conhecimentos e tecnologias so fatos marcantes do nosso tempo. Eles devem ser levados em conta em todo o processo educativo e, em particular, no ensino de Matemtica.

Desenvolvendo a habilidade de pensarEssa nova realidade requer, cada vez mais, indivduos capazes de buscar o conhecimento, elabor-lo e encontrar, baseando-se nele, respostas novas a novos problemas e desafios. Em outras palavras, precisamos de indivduos que tenham a habilidade de pensar, que pressupe diversas competncias, entre as quais: curiosidade e autonomia na busca do conhecimento (autoaprendizagem); capacidade de aplicar conhecimentos e experincias anteriores para enfrentar, de forma criativa, situaes novas; capacidade de tomar decises e escolher racionalmente entre vrias alternativas, com base em fatos e dados.

Pressupe-se, portanto, que todo o processo ensino-aprendizagem deva estar voltado para o desenvolvimento dessas habilidades. Essa preocupao permeia toda a nossa proposta, tanto no desenvolvimento do texto como na escolha das atividades propostas.

A contribuio da MatemticaDentro desse enfoque, a Matemtica ocupa um lugar importante. Ela desempenha, ao mesmo tempo, os seguintes papis: instrumental, como ferramenta para ampliao e formalizao do conhecimento em geral; funcional, em suas aplicaes prticas em situaes do dia a dia; formativo, no desenvolvimento das competncias essenciais, tais como: abstrair, deduzir, refletir, interpretar, confrontar, fazer analogias, inferir, intuir, analisar, sintetizar, extrapolar e projetar.

O papel do contedo nessa abordagemNa perspectiva aqui adotada, o contedo deixa de ser um fim em si mesmo e passa a ser um meio, que propicia o desenvolvimento de processos mentais essenciais, tais como abstrao, generalizao, demonstrao, argumentao e comunicao. Como o trabalho visa ao estabelecimento do maior nmero possvel de relaes entre os conhecimentos e as capacidades que vo sendo construdos, a fixao do conhecimento significa o estabelecimento permanente de relaes, o que implica passar por pontos j percorridos de uma rede de conhecimentos que vai sendo construda e fortalecida. A sistematizao concebida como uma forma de organizao de um sistema de interpretao e de representao do saber matemtico, no qual cada elemento se relaciona ao todo. Em razo disso, a nfase passa a ser maior nas ideias, nos porqus, na anlise qualitativa, e menor na utilizao de simbolismos, regras, frmulas ou esquemas;

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as atividades so mais centradas no pensar, e a automatizao de algoritmos e regras prticas do tipo assim que se faz passam a ser meras ferramentas utilizadas em determinadas situaes; perde o sentido a preocupao de esgotar o contedo da srie a qualquer custo; passa a ser menos importante o resultado de um problema do que o processo intelectual que conduz sua soluo; a repetio e a imitao cedem lugar ao incentivo criatividade, curiosidade, iniciativa e explorao do pensamento matemtico.

A contextualizao do contedoNo processo educativo, o nvel de aprendizagem tanto maior quanto maior for, para o aluno, o significado dos contedos trabalhados. Foi-se o tempo em que a matemtica era tratada simplesmente como a cincia da formalizao das estruturas, da teorizao, da sistematizao, do raciocnio lgico formal. Sem desconsiderar esses atributos, essencial que o desenvolvimento da teoria matemtica parta, sempre que possvel, de situaes vivenciadas pelo aluno, de suas experincias, expectativas e questionamentos. necessrio que a percepo intuitiva preceda a conceituao formal e a representao simblica. Por isso, sempre que possvel, a teoria apresentada com base em situaes que levem o aluno a analisar, experimentar, investigar e, apoiado em suas prprias observaes, estabelecer generalizaes. Num mundo que valoriza cada vez mais o carter holstico do conhecimento, preciso tambm trabalhar os contedos de Matemtica interligados com outras disciplinas. Com isso, medida que estabelece relaes, o aluno atribui significado ao contedo matemtico. Alm disso, no se pode desvincular o contedo de sua construo histrica. A produo do conhecimento est relacionada evoluo histrica do homem nos aspectos polticos, sociais e econmicos. preciso que o aluno perceba a dimenso humana da matemtica, e se sinta motivado a criar novas alternativas e estratgias para a resoluo de problemas pertinentes a seu tempo e espao.

A resoluo de problemas e o ensino de MatemticaDe acordo com Polya (1985), a resoluo de problemas a atividade matemtica mais prxima do centro do pensamento e, por isso, deve ser encarada como a espinha dorsal do ensino de Matemtica em nvel secundrio. Segundo Charnay (1996), os conhecimentos no se empilham, no se acumulam, mas passam de estados de equilbrio a estados de desequilbrio, no transcurso dos quais os conhecimentos anteriores so questionados. Sendo assim, uma situao-problema aquela em que o conhecimento velho aponta para uma primeira soluo, mas no suficiente para resolv-la. A resoluo de um problema exige a construo de um conhecimento novo. Para tanto, necessrio que a situao proposta: apresente um desafio de tal forma que as estratgias conhecidas no sejam suficientes para resolver o problema; tenha sentido no campo de conhecimento do aluno, de forma a permitir que ele imagine uma estratgia de resoluo, mesmo que no seja a mais correta nem a mais econmica; seja suficientemente aberta para que haja diferentes estratgias vlidas de resoluo e possa haver o confronto e a discusso que levem os alunos a tirar concluses.

Em nosso trabalho, as atividades propostas aos alunos procuram explorar, sistematicamente, os processos mentais relevantes que ocorrem no processo de resoluo de problemas. Para isso, buscamos propor atividades diversificadas, abertas e significativas, possibilitando aos alunos, de maneira criativa, explorar, propor e confrontar diversas formas de resoluo.

Empreendedorismo e ticaDe acordo com Drucker (1985), um dos grandes pensadores modernos na rea de Administrao, empreender uma ao de criar algo novo, diferente, que provoque mudana ou transformao de valores. O mesmo pensador afirma, ainda: O carter e a integridade, por si s, nada realizam. Mas sua ausncia aniquila tudo o mais. Cada vez mais a humanidade requer indivduos empreendedores e que adotem procedimentos ticos em sua relao consigo mesmos, com os outros e com o mundo.

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Por isso, propomos que o desenvolvimento de esprito empreendedor e de atitudes ticas sejam a tnica do trabalho em sala de aula. Assim, destacamos a necessidade de nfase em atividades que possibilitem ao aluno o desenvolvimento de: PROCEDIMENTOS que concretizem os saberes tericos, por meio de sua utilizao para compreender e explicar fatos, fenmenos e situaes, resolver problemas reais, inovar e empreender; ATITUDES ticas, que explicitem o compromisso com a defesa da vida, o respeito dignidade humana, a participao e a corresponsabilidade na transformao social. O indivduo empreendedor tem iniciativa e curiosidade, assume riscos com responsabilidade, estabelece metas, compromete-se com elas, persistente, tenta fazer sempre o melhor e usa seus erros e tropeos como motivao para o crescimento. O indivduo tico preserva uma atitude de respeito em relao a si mesmo, ao outro e vida, reconhece e aceita as limitaes pessoais, convive com as diferenas, respeita valores e crenas, sente-se responsvel e participante como ser social. possvel ensinar algum a ser empreendedor ou a ser tico? O segredo est na forma de tratamento dos contedos e de conduo das atividades de aprendizagem. preciso que o professor crie um ambiente favorvel para que o aluno desenvolva aquelas caractersticas, inerentes ao indivduo empreendedor e tico. Para isso, devem-se enfatizar atividades que envolvam a identificao, a formulao e a resoluo de problemas, com base no diagnstico de situaes; a tomada de decises, definindo-se o que relevante e quais so as estratgias mais adequadas no enfrentamento de um problema concreto; a autodireo, nas iniciativas de realizar tarefas de investigao; a imaginao, na escolha criativa de recursos, mtodos e explicaes alternativas a questes investigadas; a integrao e a sntese de ideias, experincias e informaes de diferentes fontes e reas de conhecimento; o trabalho cooperativo ou em grupo, abrangendo distribuio de tarefas, avaliao crtica do trabalho de cada um, como indivduo e como parte do grupo; a comunicao interpessoal, confrontando as prprias ideias com as de outros, por meio da escrita e de outras formas de representao.

Mais adiante, neste manual, voc encontrar algumas consideraes sobre os vrios tipos de atividades propostas em nossa Coleo, bem como sugestes de metodologias a serem desenvolvidas no dia a dia do trabalho escolar. Voc vai identificar, ento, que tanto as atividades quanto as metodologias sugeridas levam em conta os pressupostos acima enumerados.

CONSIDERAES SOBRE O TEXTO E AS ATIVIDADESNa elaborao do texto de nossa Coleo, procuramos atender aos pressupostos didtico-pedaggicos anteriormente citados.

Aspectos gerais do textoProcuramos utilizar, em todo o texto, uma linguagem clara, objetiva e atrativa para o aluno. De maneira geral, demos preferncia clareza da linguagem, abrindo mo do rigor excessivo das definies. Muitas vezes, privilegiamos a percepo intuitiva no lugar das demonstraes formais. Buscamos valorizar mais o entendimento e a percepo das ideias, evitando o excesso de simbolismos. O texto procura manter um dilogo constante com o aluno, por meio de perguntas e questionamentos a respeito do contedo trabalhado (seo Refletindo).

Introduzindo novos conceitosNa introduo dos vrios conceitos, buscamos sempre partir da problematizao, de situaes concretas, chegando de forma natural conceituao, baseando-nos em concluses estabelecidas pelo aluno no dilogo com o texto, com o colega e com as atividades.

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APRESENTAODesenvolvendo a autonomia de aprendizagemPropomos que o professor incentive seu aluno a desenvolver a habilidade de aprender por meio da leitura do texto matemtico, estudando diretamente no seu livro, individualmente ou em pequenos grupos. Para isso, deve-se abrir mo, muitas vezes, da aula expositiva. Num primeiro momento, o aluno que ainda no teve a oportunidade de vivenciar situaes dessa natureza provavelmente enfrentar algumas dificuldades. Cabe ao professor, nessa proposta, o papel de organizar o processo e orientar o aluno. Com o tempo, a evoluo ser notada. Defendemos, tambm, que o livro didtico no deve necessariamente esgotar o contedo. Ao contrrio, ele deve deixar espao para a participao efetiva do aluno. Muitas vezes, alguns tpicos no so abordados diretamente no texto. Eles aparecem nas atividades: apresenta-se ao aluno a informao ou o conceito e, em seguida, solicita-se dele uma aplicao imediata ou uma inferncia. essencial, ainda, que o aluno no se limite ao uso de seu livro-texto. importante que ele tenha contato com diferentes abordagens de um mesmo contedo para que possa construir, com maior riqueza e consistncia, seus prprios conceitos.

A contextualizao e a interdisciplinaridadeNa introduo dos vrios tpicos, procuramos problematizar sempre com base em situaes reais, ligadas de alguma forma ao dia a dia do aluno ou a questes que lhe digam respeito. Buscamos associar os contedos s suas aplicaes prticas e dar a ele, dentro do possvel, um enfoque multidisciplinar. Nesse aspecto, trabalhamos com muitas situaes ligadas a contedos especficos de Fsica, Qumica, Biologia e Geografia, por exemplo. Procuramos ainda abordar, tanto no texto como em algumas atividades propostas, aspectos histricos ligados ao contedo. O enfoque histrico torna o contedo mais dinmico e mostra a contribuio da Matemtica no processo evolutivo do homem e da Cincia.

Consideraes sobre as atividades propostasProcuramos dar uma menor nfase a atividades que exigem apenas automatizao ou aplicao direta de frmulas ou algoritmos. A maioria das atividades propostas procura favorecer o desenvolvimento de habilidades, levando o aluno a pensar, comparar, pesquisar, criar, extrapolar, generalizar, criticar, de preferncia com base em situaes novas e significativas. As atividades aparecem a cada momento entremeando o texto. Elas abrangem vrias sees, cada uma com caractersticas e objetivos bem definidos. Podem ser desenvolvidas individualmente ou em grupo, de acordo com o tipo de atividade, com as convenincias do professor e com as caractersticas da turma. Mais adiante, neste manual, apresentaremos as vrias sees que compem os captulos, destacando os objetivos de cada uma delas e apresentando orientaes gerais de como podem ser trabalhadas.

SUGESTES METODOLGICASAula expositivaA aula expositiva ainda muito utilizada no dia a dia da sala de aula. Por isso, preciso buscar, em seus aspectos positivos, a melhor forma de conduzi-la. Nesse enfoque, seguem algumas consideraes. A aula expositiva favorece a integrao constante entre professor e aluno. Adotando uma atitude dialgica, o professor poder torn-la altamente produtiva. Cabe ao professor incentivar os alunos a elaborar e propor perguntas e questionamentos, valorizando as colocaes que fizerem. Esses momentos podem se constituir, inclusive, em ricas oportunidades para levantamento de conhecimentos prvios. importante mesclar a exposio terica participativa com atividades em que o aluno trabalhe de forma mais ativa, individual ou coletivamente. A postura do professor fundamental nesse processo, como aquele que levanta questes e incentiva o debate, propiciando os avanos.

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APRESENTAOEstudo individual ou em grupoO desenvolvimento da autonomia de aprendizagem , conforme j salientamos, um objetivo permanente a ser perseguido. O mundo de hoje requer indivduos independentes, criativos e pesquisadores, que saibam como buscar o conhecimento e as informaes. O livro-texto pode ser de grande valia nessa tarefa. Sugerimos que se alternem momentos de estudo individual e de estudo em grupo. As duas modalidades podem ocorrer numa mesma atividade. Veja um exemplo de como isso poderia ser feito. Escolha um tpico do contedo que voc considere adequado para a atividade. Elabore um roteiro de estudo, com as orientaes gerais para o desenvolvimento do trabalho individual. Inclua orientaes metodolgicas do tipo destaque as partes mais importantes do texto, sintetize as ideias centrais, anote as dvidas ou desacordos com o texto e levante questes. Pea ao aluno que elabore um pequeno texto, explicitando, com palavras prprias, a sntese do contedo estudado. Forme pequenos grupos (sugerimos de trs alunos) e pea que discutam, com base nos textos elaborados individualmente, as ideias centrais do contedo trabalhado. Proponha uma discusso em classe sobre o tema, solicitando a participao de todos na sntese das ideias.

Trabalho em grupoA compreenso do indivduo como um ser social um aspecto fundamental na formao do aluno. importante que ele perceba, na prtica, a riqueza e a consistncia dos resultados do trabalho cooperativo. Em vista disso, cabe ao professor criar momentos de trabalho em grupo, principalmente na sala de aula. Apresentamos, a seguir, algumas sugestes. Faa um revezamento dos grupos, pelo menos de uma etapa letiva para a outra. Defina um monitor para cada grupo, num sistema de revezamento. Alm de propiciar uma oportunidade de crescimento, a atuao de um monitor pode liberar voc para o atendimento a alunos que apresentem dificuldades especficas. Estabelea, com a ajuda dos alunos, as regras bsicas para que a produtividade seja maior: clarear os objetivos, definir as responsabilidades, estabelecer os prazos e formas de desenvolvimento do trabalho, etc. Proponha que cada grupo faa uma autoavaliao, analisando o empenho e a participao de cada um, a produtividade do grupo, a eficcia na consecuo dos objetivos propostos, os ganhos do grupo e de cada um de seus componentes. Pea que cada grupo compartilhe com os demais os resultados de seu trabalho e avaliao. A diversidade das experincias grupais vivenciadas de grande riqueza.

Metodologia de resoluo de problemasNo trabalho em sala de aula, muito importante enfatizar os aspectos metodolgicos inerentes habilidade de resolver problemas. So pequenos passos, cada um deles representado por perguntas simples e objetivas. Utilize-as, ao trabalhar a resoluo de problemas com seus alunos, orientando-os com relao importncia de cada passo. O quadro a seguir apresenta uma sntese dos passos sugeridos por Polya (1985).

PASSOS DA METODOLOGIA DE RESOLUO DE PROBLEMAS 1 - Clarear os dados e o objetivo O que eu tenho? O que eu quero? Qual a incgnita?

PERGUNTAS

2 - Relacionar os dados com o objetivo

Que relaes existem entre os dados e o objetivo? O que a incgnita tem a ver com os dados? Em que e de que forma os dados vo impactar meu objetivo? Que frmulas e relaes conheo que relacionem dados e objetivo?

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3 - Definir um plano de ao

Como devo comear? O que devo fazer primeiro? Qual deve ser o prximo passo? Isso vai me levar a algum resultado importante? O plano est consistente? Conduz de fato ao meu objetivo? Ser preciso redirecionar o plano? A soluo obtida faz sentido? Est no domnio da incgnita? possvel testar a soluo? Esse mesmo raciocnio pode ser aplicado a outros problemas correlatos?

4 - Executar o plano

5 - Discutir a soluo obtida

Criao de problemasUma atividade muito rica consiste em levar o aluno a formular problemas, apoiado em uma situao proposta. Esse tipo de atividade aparece na seo Criando do livro-texto. A criao pode ser individual ou em grupo. Posteriormente, h um compartilhamento dos problemas com outro colega ou grupo, de forma que cada um resolve e critica os do outro. Normalmente, obtm-se resultados surpreendentes em termos de envolvimento e criatividade. No final da atividade, os problemas mais criativos podem ser apresentados para toda a classe, para discusso.

Produo de textos matemticosAs sees Refletindo e Investigando sugerem a produo, pelo aluno, de textos matemticos. No primeiro caso, com base em perguntas e questionamentos ao longo do texto; no segundo, explicitando concluses obtidas mediante uma atividade investigativa. O objetivo do trabalho com produo de textos, acompanhado de discusses, propiciar ao aluno a oportunidade de se expressar, criando um ponto de entrada no seu sistema cognitivo, desestabilizando-o, para que, ao restabelecer o equilbrio, incorpore novos conhecimentos e habilidades. Em primeiro lugar, sua postura como professor que vai determinar o sucesso desse trabalho. Cabe a voc incentivar o aluno a se expressar com confiana, oralmente ou por escrito. O respeito entre os colegas de fundamental importncia para que todos possam fazer suas colocaes e defender seus argumentos com naturalidade e sem medo. Mais do que a preocupao com a linguagem matemtica absolutamente correta, esteja atento s ideias matemticas que esto sendo discutidas e faa as intervenes no momento adequado, na busca da construo do conhecimento matemtico. Sugerimos que os textos sejam redigidos individualmente ou em dupla, na sala de aula ou em casa, de acordo com cada realidade. Todas as questes levantadas devem ser abordadas, e as afirmaes feitas devem ser sempre acompanhadas de argumentos matemticos corretos que as justifiquem. O estilo de cada um deve ser respeitado. Por isso, no imponha restries ao tamanho do texto; ele determinado por quem o est produzindo: o aluno. Para fazer a correo, pea a um aluno que leia o que escreveu. Os colegas, atentos, podem fazer intervenes, bem como voc, professor, a quem cabe levantar questes e estimular as discusses, garantindo um clima de respeito na turma. Cada aluno responsvel pela correo do seu texto, apoiado nas discusses. Portanto, sua postura como algum que busca a aprendizagem fundamental nesse processo. As discusses podem ser muito ricas, levando formao da habilidade de argumentao e propiciando ao professor perceber exatamente em que pontos deve atuar na construo dos conhecimentos matemticos envolvidos. Fique atento evoluo de cada aluno, criando estratgias de observao e registro durante todo o processo. Pelo menos uma vez em cada etapa, faa uma avaliao de produo de texto valendo pontos. Clareie, para os alunos, os critrios de avaliao dos textos produzidos. Sugerimos que essa avaliao leve em conta os seguintes itens: criatividade, consistncia da argumentao, coerncia, correo dos conceitos, entre outros. Ao avaliar os textos, anote os conceitos equivocados para serem discutidos posteriormente. nesse processo dialtico que ocorre a aprendizagem, e no na mera constatao de que o aluno acertou ou errou. Entretanto, todas as oportunidades de correo de conceitos equivocados devem ser aproveitadas. Valorizar o processo no significa permitir a formao de conceitos errados.

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ProjetosO trabalho com projetos vem ganhando espao na sala de aula, a cada dia. Com base em questes reais e de interesse especfico, um tema escolhido e explorado em todas as suas possveis abordagens. O trabalho pode ser unidisciplinar ou multidisciplinar, sendo esta ltima modalidade, evidentemente, mais rica. A metodologia de projetos propicia alto grau de envolvimento dos alunos, que se tornam produtores do prprio conhecimento. O desenvolvimento de um projeto inclui vrias fases: definio do tema a ser trabalhado; definio dos objetivos; definio das questes a serem investigadas dentro do tema; distribuio das tarefas; desenvolvimento dos trabalhos, individualmente ou em grupo; apresentao e sntese dos resultados; avaliao.

Em todo o processo, cabe ao professor exercer o papel de facilitador e orientador, levantando questes que levem os alunos a avanar na abordagem do tema proposto. Para um aprofundamento sobre a Pedagogia de projetos, sugerimos a seguinte bibliografia: CAVALCANTI, Zlia. A didtica dos projetos. Salvador: Mimeo, s/d. FAZENDA, Ivani C. Interdisciplinaridade: Um projeto em parceria. So Paulo: Loyola, 1993. HERNNDEZ, Fernando. Transgresso e mudana na educao: os projetos de trabalho. Porto Alegre: Artmed,1998. HERNNDEZ, Fernando. Cultura visual, mudana educativa e projeto de trabalho. Porto Alegre: Artmed, 2000. HERNNDEZ, Fernando; VENTURA, Montserrat. A organizao do currculo por projetos de trabalho. Porto Alegre: Artmed, 1998. LEITE, Lcia Helena Alvarez. Pedagogia de Projetos: interveno no presente. Revista Presena Pedaggica, v. 2, n 08. Belo Horizonte: Dimenso, Mar./Abr., 1996. NOGUEIRA, Nilbo Ribeiro. Pedagogia dos projetos: uma jornada interdisciplinar rumo ao desenvolvimento das mltiplas inteligncias. So Paulo: rica, 2001. SANTOM, Jurjo T. Globalizao e interdisciplinaridade: o currculo integrado. Porto Alegre: Artes Mdicas, 1998.

AVALIAO DA APRENDIZAGEM EM MATEMTICAA avaliao uma importante etapa no processo ensino/aprendizagem. Para o aluno, ela um indicador de sua evoluo no desenvolvimento das competncias e habilidades pretendidas. Para o professor, uma oportunidade de reavaliar procedimentos, corrigir rumos, rever posies e tomar decises que promovam o aperfeioamento do projeto educativo. A avaliao da aprendizagem no deve se constituir num momento especial que ocorre apenas como fechamento de um captulo ou de uma etapa letiva. Ao contrrio, deve ser um processo contnuo, de constante diagnstico, propiciando, a todo momento, o redirecionamento do trabalho educativo. Os instrumentos de avaliao devem ser consistentes e compatveis com as finalidades e os objetivos propostos, contemplando as competncias e habilidades a serem desenvolvidas, de acordo com o projeto pedaggico. Devem tambm ser diversificados, para que as informaes sobre o desenvolvimento do aluno sejam reais e consistentes, varrendo o conjunto dos objetivos perseguidos. Finalmente, devem ser coerentes com o tipo de informao pretendido e com o nvel de desenvolvimento e maturidade do aluno. Apoiados em nossas crenas em relao ao processo educativo, j expostas na introduo deste manual, consideramos que as atividades de avaliao devem contemplar a compreenso dos conceitos e sua aplicao em situaes novas; a resoluo de situaes-problema em que as ideias matemticas sejam aplicadas; a anlise de situaes abertas, que admitam mltiplos caminhos e formas de resoluo;

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a criao e formulao de problemas, por parte do aluno; o desenvolvimento do processo de investigao matemtica; a exposio das ideias matemticas, oralmente ou por escrito; a valorizao do trabalho cooperativo.

Assim, alm das tradicionais provas individuais, h uma gama muito grande de instrumentos que podem e devem ser utilizados no processo de avaliao. Cada professor deve definir os instrumentos mais adequados sua realidade, usando sua criatividade e levando em conta o nvel de maturidade e de conhecimento de seus alunos. Algumas possibilidades so apresentadas a seguir.

Prova em duplasPropicia o debate, o confronto de ideias e o desenvolvimento das capacidades de argumentar e de ouvir o colega. Alm disso, favorece a valorizao e o aprendizado do trabalho cooperativo.

Prova com consultaDesenvolve habilidades de busca da informao, seleo de fontes de pesquisa, coleta de dados e aplicao dos dados e das informaes na resoluo de problemas. Pode ser individual ou em dupla, dependendo do assunto trabalhado e dos objetivos pretendidos.

Criao do texto matemticoPropicia a expresso na linguagem matemtica, o desenvolvimento da capacidade de comunicao e de sntese e a formalizao de conceitos. Esse instrumento pode ser aplicado por meio das sees Refletindo, Criando e Investigando.

Atividade de investigaoPropicia a construo de conceitos matemticos, com base na experimentao, na investigao e na pesquisa, bem como o desenvolvimento da capacidade de conjeturar, argumentar, estabelecer leis gerais e sintetizar. A atividade pode ser individual, mas muito mais rica quando desenvolvida em grupo, uma vez que enseja o confronto e a troca de ideias.

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DISTRIBUIO DOS CONTEDOS DO SEGMENTO1. SRIE DO ENSINO MDIO LIVRO 1 lgebra das funesCaptulo 1 A linguagem dos nmeros e dos conjuntos Conjuntos numricos Reta real Intervalos reais Operaes com conjuntos e intervalos reais Contando os elementos de um conjunto Porcentagem O conceito de funo Componentes de uma funo Funes reais Anlise do comportamento de uma funo Composta de funes Uma funo gerando outras funes Inversa de uma funo bijetora Funo linear: a proporcionalidade direta Funo recproca: a proporcionalidade inversa Estudo da funo afim Juros simples Estudo da funo quadrtica Estudo da funo modular Operao potenciao Funo exponencial Juros compostos Crescimento e decrescimento exponencial Logaritmo Sistemas de logaritmos Propriedades operatrias dos logaritmos Funes logartmicas Os logaritmos em problemas de crescimento e decrescimento Funes e equaes algbricas em Primeiras propriedades da igualdade em Equaes e grficos Equaes de 1. grau Equaes de 2. grau Equaes redutveis a 1. e 2. graus Equaes modulares Equaes exponenciais Equaes logartmicas

Captulo 2 A linguagem das funes e dos grficos

Captulo 3 Funes algbricas elementares

Captulo 4 Exponencial e logaritmo

lgebra das equaes e das inequaes Parte 1

Captulo 1 Estudo geral das equaes algbricas em

1. SRIE DO ENSINO MDIO LIVRO 2 lgebra das equaes e das inequaes Parte 2 Desigualdades e inequaes em Inequaes e grficos Inequaes de 1. grau Inequaes de 2. grau Inequaes exponenciais Inequaes logartmicas Inequaes-produto e inequaes-quociente Inequaes modulares

Captulo 1 Estudo geral das inequaes algbricas em

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TrigonometriaCaptulo 1 Introduo trigonometria na circunferncia ngulos e arcos na circunferncia Ciclo trigonomtrico Seno e cosseno no ciclo trigonomtrico Reduo ao 1. quadrante Resoluo de tringulos Funes peridicas Estudo grfico da funo seno Estudo grfico da funo cosseno Funes compostas com seno e cosseno Outras funes trigonomtricas Funes trigonomtricas inversas Identidades e equaes trigonomtricas Identidades trigonomtricas elementares Equaes trigonomtricas elementares Inequaes trigonomtricas elementares Mtodo geral para resoluo de equaes trigonomtricas Adio e subtrao de arcos Arco duplo Transformao em produto

Captulo 2 Estudo geral das funes trigonomtricas

Captulo 3 Identidades, equaes e inequaes trigonomtricas

2. SRIE DO ENSINO MDIO LIVRO 1 lgebra das progresses e das matrizes Sequncia ou sucesso numrica Progresses Termo geral da P.A. e da P.G. Soma dos n primeiros termos de uma P.A. Soma dos n primeiros termos de uma P.G. Somas convergentes numa P.G. infinita O conceito de matriz Tipos especiais de matrizes Igualdade de matrizes Transposta de uma matriz Operaes elementares com matrizes Multiplicao de matrizes Determinante de uma matriz quadrada Propriedades dos determinantes Regra de Cramer na resoluo de sistemas Inversa de uma matriz quadrada Equao linear Sistema linear Classificao dos sistemas lineares Sistema linear escalonado Sistemas equivalentes Escalonamento de um sistema

Captulo 1 Progresses aritmticas e geomtricas

Captulo 2 Matrizes e determinantes

Captulo 3 Sistemas lineares

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Contagem e probabilidade Princpios de contagem Agrupamentos ordenados ou no ordenados Permutaes simples Arranjos simples Combinaes simples Distino entre os tipos de agrupamentos Fatorial de um nmero natural Permutaes com elementos repetidos Nmeros combinatrios e tringulo de Pascal Binmio de Newton Experimento aleatrio Espao amostral e evento Probabilidade de um evento Probabilidade condicional Probabilidade da unio de dois eventos Probabilidade de eventos sucessivos

Captulo 1 Clculo combinatrio

Captulo 2 Noes de probabilidade

2. SRIE DO ENSINO MDIO LIVRO 2 Geometria no espaoCaptulo 1 Relaes e reas em figuras planas Semelhana de tringulos Teorema de Pitgoras Polgonos e circunferncia Relaes mtricas nos polgonos regulares reas das principais figuras planas Espao, plano, reta e ponto Posies relativas de duas retas Posies relativas de reta e plano Posies relativas de dois planos Conceito geral de distncia no espao Noes sobre poliedros Prisma definio e elementos Cilindro definio e elementos Diagonais e rea da superfcie do cubo Diagonais e rea da superfcie do paraleleppedo retngulo reas no prisma reto reas no cilindro reto Conceito de volume Volumes do prisma e do cilindro Pirmide definio e elementos Cone definio e elementos A pirmide, o cone e o teorema de Pitgoras reas e volume na pirmide reas e volume no cone Tronco de pirmide Tronco de cone Esfera e superfcie esfrica rea da superfcie esfrica Volume da esfera rea do fuso e volume da cunha Inscrio e circunscrio de slidos na esfera

Captulo 2 Geometria espacial de posio

Captulo 3 Prisma e cilindro

Captulo 4 Pirmide e cone

Captulo 5 Esfera e suas partes

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3. SRIE DO ENSINO MDIO LIVRO 1 Geometria analtica Posies relativas de duas retas no plano Perpendicularidade de retas Distncias no plano ngulos em retas paralelas ngulos no tringulo Segmentos e pontos notveis no tringulo Lugares geomtricos Posies relativas de reta e circunferncia Distncia na reta real Consideraes sobre o plano cartesiano Distncia no plano Ponto mdio de um segmento no plano Baricentro de um tringulo rea de um tringulo Inclinao de uma reta Equao da reta Outras formas da equao da reta Retas paralelas e retas concorrentes ngulo entre duas retas Retas perpendiculares Distncia de um ponto a uma reta Equao da circunferncia Posies relativas de duas circunferncias Posies relativas de reta e circunferncia Reta tangente por um ponto da circunferncia Retas tangentes por um ponto exterior circunferncia Cnicas Estudo da elipse Estudo da hiprbole Estudo da parbola A unidade imaginria O conjunto dos nmeros complexos Igualdade, oposto e conjugado de um complexo Operaes com complexos Plano complexo Mdulo e argumento de um complexo Forma trigonomtrica ou polar de um complexo Multiplicao e diviso na forma polar Potncias e razes na forma polar Polinmio de varivel complexa Diviso de polinmios Diviso com divisor de 1. grau Teorema fundamental da lgebra (T.F.A.) Razes inteiras e racionais Razes imaginrias Relaes de Girard Conceitos bsicos de Estatstica Distribuio de frequncias Medidas de tendncia central Medindo a disperso dos dados

Captulo 1 Tpicos de geometria plana

Captulo 2 Geometria analtica do ponto e da reta

Captulo 3 Geometria analtica da circunferncia e das cnicas

lgebra dos complexos

Captulo 1 Nmeros complexos

Captulo 2 Polinmios e equaes algbricas

Estatstica M A T 14Captulo 1 Noes de Estatstica

APRESENTAO DO LIVRO DA 1. SRIE DO ENSINO MDIONo livro de Matemtica da 1. srie do Ensino Mdio, trabalhamos, basicamente, com as funes algbricas elementares e as funes trigonomtricas. Partimos do pressuposto de que o aluno deve trazer, do Ensino Fundamental, as noes bscas de clculo numrico e algbrico, alm de dominar as principais relaes envolvendo as figuras planas. A primeira unidade trata da lgebra das funes. No primeiro captulo, retomamos os conjuntos numricos (naturais, inteiros, racionais e reais), de forma que o aluno tenha uma viso global e comparativa entre as vrias categorias numricas, com nfase especial nos nmeros e intervalos reais e sua representao na reta real. As operaes com nmeros e intervalos so tratadas como preparao para o estudo posterior das inequaes algbricas. O clculo percentual, assunto j trabalhado em sries anteriores, explorado tambm, agora, com enfoque mais aprofundado, de acordo com o nvel de maturidade do aluno. No segundo captulo, estudamos as funes de forma geral, envolvendo os conceitos de domnio, imagem, estudo grfico do comportamento das funes, funo composta e inversa. No terceiro captulo, tratamos das funes algbricas elementares, com destaque para as funes polinomiais de 1. e 2. graus e seu estudo grfico. Aproveitando o estudo da proporcionalidade direta, associado funo linear, retomamos os problemas relativos a operaes de juros simples. Iniciamos o quarto captulo explorando a operao potenciao e suas propriedades, num enfoque revisional, mas permitindo ao aluno estabelecer novas relaes nessa operao, o que contribuir para o trabalho com exponenciais e logaritmos. Em seguida, estudamos as funes exponenciais e logartmicas, analisando seus grficos e propriedades, bem como suas inmeras aplicaes prticas, incluindo juros compostos. A segunda unidade trata da lgebra das equaes e das inequaes. No captulo nico da parte 1, damos um tratamento geral resoluo de equaes algbricas, exponenciais e logartmicas, incluindo sua anlise grfica. Inicialmente, retomamos a resoluo de equaes algbricas, sistemas simples e problemas de 1. e 2. graus, agora com maior nvel de profundidade, utilizando, inclusive, os recursos da fatorao e artifcios algbricos, como a mudana de varivel. Ao final, fazemos o estudo das equaes exponenciais e logartmicas, utilizando os recursos gerais de resoluo de equaes. No captulo nico da parte 2, que se encontra no livro 2, enfocamos inicialmente a resoluo de todos os tipos de inequaes algbricas, incluindo sua anlise grfica. Depois, estudamos a resoluo das inequaes exponenciais e logartmicas. A terceira unidade trabalha com a Trigonometria na circunferncia. Quando necessrio, relacionamos os conceitos novos com as definies das razes trigonomtricas no tringulo retngulo. No primeiro captulo, introduzimos o ciclo trigonomtrico e o clculo das funes trigonomtricas, incluindo reduo ao 1. quadrante e arcos de mais de uma volta. Tratamos, tambm, da resoluo de tringulos, principalmente os no retngulos, por meio da aplicao das leis dos senos e dos cossenos. No segundo captulo, fazemos um estudo grfico completo das funes trigonomtricas elementares, bem como das funes compostas de funes trigonomtricas com funes polinomiais de 1. grau. No terceiro captulo, procedemos ao estudo das relaes, identidades, equaes e inequaes trigonomtricas.

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SEES DO LIVROPara atender aos pressupostos didtico-pedaggicos explicitados na introduo deste manual, o texto bsico dos livros de Matemtica do Ensino Mdio formado por diversas sees, recorrentes em todos os captulos. Cada uma delas possui objetivos didtico-pedaggicos bem definidos e integrados. Para cada uma das sees, apresentamos, a seguir, uma breve descrio; sua frequncia e localizao dentro de cada captulo; uma sntese dos objetivos educacionais pretendidos; algumas sugestes de como trabalhar a seo em sala de aula.

IntroduoDescrio: Inicialmente, prope uma situao-problema. Em seguida, apresenta os temas a serem trabalhados no captulo, abordando seus aspectos histricos, bem como sua importncia e suas aplicaes no mbito da Matemtica e das Cincias em geral. Localizao / frequncia: Aparece na pgina introdutria do captulo. Em determinado ponto do captulo, mais frente, a situao-problema retomada e trabalhada, com base nas habilidades e competncias desenvolvidas. Objetivos: Despertar a curiosidade e a motivao; associar o contedo s suas aplicaes prticas; perceber o conhecimento como um elemento dinmico, com base na sua evoluo histrica e de suas correlaes com a prpria Matemtica e com as outras cincias. Orientaes gerais para o professor: Explore a situao-problema apresentada e os aspectos histricos abordados. D ao aluno a oportunidade de se manifestar e explicitar seus conhecimentos prvios sobre o assunto, tomando-os como gancho para a motivao e o ponto de partida para o desenvolvimento do trabalho.

RefletindoDescrio: Mantm um dilogo contnuo com o aluno, por meio de perguntas e questionamentos que problematizam o contedo trabalhado. Localizao / frequncia: Surge a todo momento, permeando o texto, sempre que o contedo sugere algo polmico ou interessante que possa motivar uma reflexo. Objetivos: Levar o aluno a refletir criticamente sobre o contedo; interagir com o texto didtico; elaborar pequenos textos matemticos; expressar-se verbalmente na linguagem matemtica; desenvolver o processo de argumentao matemtica; estabelecer relaes envolvendo os conceitos trabalhados. Orientaes gerais para o professor: Separe alguns momentos de sua aula para explorar as reflexes sugeridas nesta seo. Os alunos podem se expressar verbalmente, com seu apoio e sua orientao. Podem, tambm, expressar-se por escrito, produzindo pequenos textos, individualmente ou em duplas. Cabe a voc, professor, criar momentos de discusso coletiva em que os alunos possam expressar suas ideias para a turma, comparando suas produes e validando suas concluses. natural que, no incio, os alunos se sintam inibidos e demonstrem dificuldades em se expressar utilizando a linguagem matemtica. Com o tempo, no entanto, certamente voc observar uma grande evoluo e se surpreender. Enfatize sempre a fora da argumentao matemtica, como ferramenta de reflexo e de validao. Crie estratgias de observao e registro, que propiciem o acompanhamento da evoluo de cada aluno e da turma como um todo.

InvestigandoDescrio: Prope problemas abertos, que levam construo de conceitos matemticos novos para os alunos, com base na experimentao, na investigao ou na pesquisa. Localizao / frequncia: Aparece de uma a trs vezes em cada captulo, entremeando o texto.

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Objetivos: Desenvolver processos matemticos, tais como intuio, argumentao, comunicao, generalizao e demonstrao; valorizar a busca constante da informao e do conhecimento; utilizar os diversos recursos tecnolgicos (livros, calculadora, Internet) como fonte de pesquisa e de investigao; elaborar conjecturas e estabelecer leis gerais com base na investigao; comunicar, oralmente ou por escrito, as estratgias utilizadas e as concluses e leis gerais inferidas. Orientaes gerais para o professor: Em cada captulo, desenvolva pelo menos uma atividade investigativa. No processo, oriente seus alunos sobre as vrias fases da investigao: anotar regularidades, fazer conjecturas, formular hipteses e test-las, para a posterior formalizao das concluses, baseando-se na argumentao matemtica. Em certos casos, o uso da calculadora pode ser de grande valia, tanto na percepo de regularidades numricas, quanto na formulao de hipteses e verificao de resultados. A utilizao da calculadora ajuda a priorizar o raciocnio qualitativo, reduzindo o tempo e a energia gastos com operaes repetitivas, e dando mais tempo para processos mentais mais complexos. Nas atividades de pesquisa sobre personagens histricos e situaes reais, incentive o uso sistemtico da Internet. No final da atividade, o aluno ou grupo deve sintetizar suas concluses, verbalmente ou por escrito. So vlidas, no caso, as mesmas observaes colocadas nas orientaes para a seo Refletindo.

CriandoNum mundo em que a informao pode ser acessada num simples toque digital, mais importante que saber as respostas certas saber formular as perguntas adequadas. Descrio: Prope ao aluno a criao de questes, em geral envolvendo o contedo trabalhado, com base em uma situao proposta, em artigos ou reportagens encontrados na mdia (Internet, TV, rdio, etc.). Localizao / frequncia: Aparece de uma a trs vezes em cada captulo, entremeando o texto. Objetivos: Elaborar questes baseando-se em situaes reais; desenvolver a criatividade e o esprito crtico; desenvolver a habilidade de relacionar dados numa situao concreta; expressar-se de forma adequada na linguagem matemtica. Orientaes gerais para o professor: Em cada captulo, desenvolva pelo menos uma das atividades de criao propostas. A criao de problemas pode ser feita individualmente ou em pequenos grupos. Posteriormente, sugerimos que cada aluno ou grupo compartilhe, com outro colega ou grupo, os problemas criados. Cada grupo resolve e faz uma anlise crtica dos problemas criados pelo outro grupo. Essa anlise deve contemplar, necessariamente, a adequao do texto matemtico. Nas primeiras atividades de criao, as dificuldades so naturais. Com o tempo, no entanto, voc perceber resultados cada vez mais surpreendentes em termos de envolvimento e criatividade. Promova situaes em que os alunos possam eleger os problemas mais criativos, apresentando e discutindo solues para os mesmos.

Raciocnio lgico e numricoDescrio: Prope questes de raciocnio lgico, numrico e espacial, sem utilizao da lgica formal. Algumas vezes, essas questes tm relao direta com o contedo trabalhado, mas, em geral, essa relao no existe. Localizao / frequncia: Aparece de trs a cinco vezes em cada captulo, entremeando o texto. Objetivos: Quebrar o formalismo do texto e do contedo; perceber a Matemtica em seus aspectos ldicos e curiosos; trabalhar os nmeros inteiros e as sequncias numricas, investigando regularidades e situaes operacionais curiosas; desenvolver o raciocnio lgico e espacial; inferir relaes com base em informaes dadas, utilizando a lgica intuitiva. Orientaes gerais para o professor: De tempos em tempos, reserve um pequeno espao de tempo de sua aula para desafiar seus alunos a resolverem problemas desta seo. Eles podem se constituir em grande fonte de motivao, pelo seu carter ldico e desafiador. Pea a alguns alunos que exponham, para a classe, o raciocnio utilizado na resoluo do problema. Certamente, a lgica que cada um usar no ser a mesma. Assim, a classe perceber que h vrios caminhos e mltiplas interpretaes para um mesmo problema. Sugira que seus alunos tragam para a classe outros desafios lgicos, por meio de pesquisa na Internet, por exemplo. Incentive-os a se divertirem com quebracabeas numricos ou mostre-lhes a beleza de jogos estratgicos, como o xadrez.

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Questes resolvidasDescrio: Apresenta a resoluo de questes e problemas envolvendo os conceitos trabalhados. Localizao / frequncia: Surge a todo momento, permeando o texto, sempre que um conceito ou uma regra geral so apresentados. Objetivos: Exemplificar a aplicao de um algoritmo especfico; conhecer situaes prticas de aplicao do contedo; perceber formas diversificadas de raciocnio em problemas prticos. Orientaes gerais para o professor: Normalmente, nossos alunos abrem o livro didtico e vo direto aos exerccios. Em geral, a exposio terica, com os exemplos e questes resolvidas, so relegadas a um segundo plano. Oriente seus alunos sobre a importncia do livro didtico como fonte de estudo. Mostre a eles que o domnio dos conceitos e das relaes entre eles condio fundamental para um aprendizado consistente.

Questes propostasDescrio: Prope exerccios, questes e problemas sobre o contedo trabalhado, obedecendo a um grau crescente de dificuldade. Localizao / frequncia: Aparece a todo momento, permeando o texto, no final de cada seo ou grupo de sees correlatas. Objetivos: Dominar algoritmos e regras bsicas; resolver problemas tericos e prticos; analisar e resolver situaes-problema envolvendo o contedo trabalhado; relacionar os temas desenvolvidos com outros temas da Matemtica ou de disciplinas afins; analisar e discutir situaes novas, envolvendo os conceitos trabalhados. Orientaes gerais para o professor: Procuramos dar uma nfase menor a questes que exigem apenas a automatizao ou a aplicao direta de frmulas e algoritmos. Entretanto, elas tm sua importncia e aparecem principalmente em momentos em que a repetio condio essencial para a fixao de processos. A maioria das questes propostas envolve atividades significativas apresentadas por meio de problemas, levando o aluno a comparar, pesquisar, criar, extrapolar, generalizar, criticar, de preferncia a partir de situaes novas e com significado real. Para isso, buscamos propor problemas abertos e diversificados, com foco em situaes reais ou simuladas, propiciando aos alunos fazer uso de diferentes tipos de raciocnio, dando espao para a criatividade e permitindo respostas alternativas.

Questes de reviso e aprofundamentoDescrio: Prope questes sobre o contedo trabalhado, retirados dos mais recentes exames vestibulares das principais escolas superiores do Brasil e de provas do Exame Nacional do Ensino Mdio (Enem). Localizao / frequncia: Aparece no final de cada captulo. Objetivos: Trabalhar o contedo estudado em situaes novas; promover a reviso dos contedos; aprofundar os conhecimentos a partir da resoluo de problemas com grau de dificuldade crescente; familiarizar-se com as ltimas tendncias dos vestibulares e com as questes das provas do Enem. Orientaes gerais para o professor: A resoluo dos testes de vestibulares e do Enem propicia uma boa reviso e um aprofundamento do contedo do captulo. As questes aparecem ordenadas de acordo com o grau de dificuldade.

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COMPETNCIAS E HABILIDADESCOMPETNCIA 1Dominar a leitura, a interpretao e a produo de textos, nas mais diversas formas, incluindo os termos caractersticos da expresso matemtica (numrica, grfica, geomtrica, lgica, algbrica, probabilstica), a fim de se comunicar de maneira precisa e rigorosa. HABILIDADE 1: Ler, articular e interpretar smbolos e cdigos em diferentes linguagens e representaes: sentenas, equaes, esquemas, diagramas, tabelas e grficos. HABILIDADE 2: Reconhecer e utilizar adequadamente, na forma oral e na escrita, smbolos, cdigos e nomenclatura de linguagem cientfica. HABILIDADE 3: Consultar, analisar e interpretar textos e comunicaes, veiculados em diferentes meios. HABILIDADE 4: Analisar, argumentar e posicionar-se criticamente em relao a temas da Economia, da Cincia e da Tecnologia. HABILIDADE 5: Elaborar comunicaes escritas para relatar, analisar, questionar e sistematizar eventos, fenmenos e experimentos.

COMPETNCIA 2Desenvolver a capacidade de enfrentamento de situaes complexas, de acordo com modos prprios da atividade matemtica, como a explorao sistemtica de alternativas, a preciso na linguagem, a flexibilidade para modificar o ponto de vista ou a perseverana na busca de solues. HABILIDADE 1: Identificar, em dada situao-problema, as informaes ou variveis relevantes e elaborar possveis estratgias para resolv-la. HABILIDADE 2: Identificar fenmenos naturais ou grandezas em dado domnio do conhecimento cientfico, estabelecer relaes, identificar regularidades, invariantes e transformaes. HABILIDADE 3: Selecionar e utilizar instrumentos de clculo, representar dados e utilizar escalas, fazer estimativas, elaborar hipteses e interpretar os resultados. HABILIDADE 4: Reconhecer, utilizar, interpretar e propor modelos explicativos para fenmenos ou sistemas naturais ou tecnolgicos. HABILIDADE 5: Articular, integrar e sistematizar fenmenos e teorias dentro de uma cincia, entre as vrias cincias e reas do conhecimento.

COMPETNCIA 3Contextualizar as cincias no mbito sociocultural, na forma de anlise crtica das ideias e dos recursos da rea e das questes do mundo que podem ser respondidas ou transformadas por meio do pensar e do conhecimento matemtico. HABILIDADE 1: Compreender a cincia e a tecnologia como partes integrantes da cultura humana contempornea. HABILIDADE 2: Reconhecer e avaliar o carter tico do conhecimento cientfico e tecnolgico, suas relaes com as cincias, seu papel na vida humana, sua presena no mundo cotidiano e seus impactos na vida social, e utilizar esse conhecimento no exerccio da cidadania.

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DISTRIBUIO ANUAL DOS CONTEDOS DA SRIE E PLANEJAMENTO SEMESTRAL1.O SEMESTRE N.O DE AULAS

lgebra das funes Conjuntos numricos Reta real Intervalos reais Operaes com conjuntos e intervalos reais Contando os elementos de um conjunto Porcentagem O conceito de funo Componentes de uma funo Funes reais Anlise do comportamento de uma funo Composta de funes Uma funo gerando outras funes Inversa de uma funo bijetora Funo linear: a proporcionalidade direta Funo recproca: a proporcionalidade inversa Estudo da funo afim Juros simples Estudo da funo quadrtica Estudo da funo modular Operao potenciao Funo exponencial Juros compostos Crescimento e decrescimento exponencial Logaritmo Sistemas de logaritmos Propriedades operatrias dos logaritmos Funes logartmicas Os logaritmos em problemas de crescimento e decrescimento

1. A linguagem dos nmeros e dos conjuntos

16 aulas

2. A linguagem das funes e dos grficos

16 aulas

3. Funes algbricas elementares

20 aulas

4. Exponencial e logaritmo

20 aulas

lgebra das equaes e das inequaes Parte 1 Funes e equaes algbricas em Primeiras propriedades da igualdade em Equaes e grficos Equaes de 1. grau Equaes de 2. grau Equaes redutveis a 1. e 2. graus Equaes modulares Equaes exponenciais Equaes logartmicas

1. Estudo geral das equaes algbricas em

16 aulas

20

2.O SEMESTRE

lgebra das equaes e das inequaes Parte 2 Desigualdades e inequaes em Inequaes e grficos Inequaes de 1. grau Inequaes de 2. grau Inequaes exponenciais Inequaes logartmicas Inequaes-produto e inequaes-quociente Inequaes modulares

N.O DE AULAS

1. Estudo geral das inequaes algbricas em

20 aulas

Trigonometria ngulos e arcos na circunferncia Ciclo trigonomtrico Seno e cosseno no ciclo trigonomtrico Reduo ao 1. quadrante Resoluo de tringulos Funes peridicas Estudo grfico da funo seno Estudo grfico da funo cosseno Funes compostas com seno e cosseno Outras funes trigonomtricas Funes trigonomtricas inversas Identidades e equaes trigonomtricas Identidades trigonomtricas elementares Equaes trigonomtricas elementares Inequaes trigonomtricas elementares Mtodo geral para resoluo de equaes trigonomtricas Adio e subtrao de arcos Arco duplo Transformao em produto

1. Introduo trigonometria na circunferncia

18 aulas

2. Estudo geral das funes trigonomtricas

12 aulas

3. Identidades, equaes e inequaes trigonomtricas

18 aulas

PREVISO DO TOTAL DE AULAS POR SEMANA: 4 AULAS SUGESTO DE INSTRUMENTOS DE AVALIAO Provas individuais. Provas em dupla. Atividades de investigao e produo de texto (em grupo), com base na seo Investigando. Atividades de criao de problemas e produo de texto (individual ou em dupla), com base na seo Criando. Atividades de produo de pequenos textos, com base na seo Refletindo. Projetos.

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UNIDADE LGEBRA DAS FUNES CAPTULO 1 A LINGUAGEM DOS NMEROS E DOS CONJUNTOSSEQUNCIA DIDTICATempo previsto: 4 semanasObjetivosespecficos Caracterizar e identificar nmeros naturais, inteiros, racionais e reais. Representar nmeros e intervalos na reta real. Operar com nmeros, conjuntos e intervalos reais. Identificar e generalizar padres numricos e geomtricos. Comparar nmeros reais, com ou sem uso de calculadora. Fazer estimativas de medidas. Resolver problemas envolvendo determinao do nmero de elementos de um conjunto. Resolver problemas prticos de porcentagem e de aumentos e descontos percentuais. Analisar e resolver situaes-problema envolvendo o conceito de nmero. Resolver problemas prticos envolvendo o conceito de nmero. Propor questes e problemas com base em situaes que envolvam o conceito de nmero. Identificar dados relevantes e utilizar as alternativas mais adequadas para resolver problemas sobre nmeros. Analisar dados numricos e organiz-los em suas vrias formas de representao. Inferir resultados matemticos novos, com base na experimentao, na investigao e na pesquisa. Produzir pequenos textos, com base em reflexes e atividades de investigao sobre o contedo do captulo. Participar de discusses, trabalhos em grupos ou projetos de trabalho sobre o contedo do captulo, contribuindo de forma efetiva, argumentando de forma consistente e respeitando divergncias.

Conceitos fundamentais: Conjuntos numricos; Operaes com nmeros, conjuntos e intervalos; Porcentagem

SEMANA

CONTEDOA linguagem dos nmeros e dos conjuntos Conjuntos numricos Reta real Intervalos reais Operaes com conjuntos e intervalos reais

ESTRATGIAS DE ENSINOLeitura, pelos alunos, da introduo do captulo; anlise da situao-problema proposta, com interveno do professor. Explorao do tpico Conjuntos numricos e discusso das sees Refletindo, relativas a esse tpico. Atividade de investigao e produo de texto: pesquisa sobre nmeros importantes (seo Investigando, pgina 12). Explorao do tpico Reta real. Explorao do tpico Intervalos reais e discusso da seo Refletindo relativa a esse tpico. Estudo, pelos alunos, individualmente ou em grupo, do tpico Operaes com conjuntos e intervalos, sob orientao do professor. Fechamento do tema, com sntese do contedo e anlise das sees Refletindo relativas a esse tpico.

1.a

2.

a

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SEMANA

CONTEDOContando os elementos de um conjunto

ESTRATGIAS DE ENSINOExplorao do tpico Contando os elementos de um conjunto e retomada da situao-problema proposta na introduo (ver questo 53). Atividade de investigao e produo de texto: Investigao de propriedades das operaes com conjuntos envolvendo o complementar, conhecidas como Leis de Morgan (seo Investigando, pgina 20). Explorao dos subtpicos Conceito de porcentagem e Clculo percentual, do tpico Porcentagem, e discusso da seo Refletindo, pgina 21. Atividade de criao e produo de texto: criao de um problema envolvendo anlise de grfico de barras (seo Criando, pgina 22). Explorao dos demais subtpicos do tpico Porcentagem e discusso das sees Refletindo, relativas a esses subtpicos. Criao de um problema envolvendo aumentos e descontos percentuais, com base em anncio da mdia (seo Criando, pgina 24). Discusso de algumas das questes propostas e das questes da seo Raciocnio lgico e numrico, identificando e clareando dvidas e fixando a aprendizagem do contedo trabalhado.

3.a Porcentagem

Porcentagem

4.a Contedo do captulo

ORIENTAES DIDTICO-METODOLGICASExplore a evoluo dos conjuntos numricos, com base nas necessidades operacionais que forem surgindo com o tempo. importante destacar o fato de que cada nova categoria numrica que surge no substitui, mas amplia o universo numrico. Na primeira seo Refletindo, pgina 9, o objetivo destacar a insuficincia dos naturais. No conjunto dos naturais, as operaes subtrao e diviso no so sempre definidas. Na segunda seo Refletindo, pgina 9, importante analisar o fato de k e k serem simtricos, no havendo como distinguir o positivo e o negativo. Observe que, no caso k = 0, ambos so nulos. A questo 4 retoma essa anlise. Explore com os alunos o que significa representar um conjunto por enumerao. Destaque, tambm, o papel do universo numrico na determinao de conjuntos por enumerao. Enfatize os significados dos sinais (+), () e (*) quando acompanham os conjuntos numricos. O papel de cada um retirar algum tipo de nmero do conjunto. Aproveite a questo 3 para explorar as relaes de pertinncia e incluso. Os conceitos de antecessor, sucessor e de nmeros consecutivos so explorados na 1. seo de questes propostas. Enfatize a insuficincia dos inteiros para a operao diviso. Associe a palavra racional a razo, e a letra Q, a quociente. Trabalhe a transformao de dzimas em fraes de forma operacional, como proposto no texto. Se achar oportuno, discuta posteriormente as regras prticas pertinentes. Discuta a necessidade da introduo dos irracionais, associada principalmente insuficincia dos racionais na definio da operao radiciao. A seo Investigando, pgina 12, pode ensejar pesquisas e discusses interessantes e ricas a respeito de nmeros importantes na matemtica. Gaste um bom tempo trabalhando com o diagrama dos conjuntos numricos. Apoiado nele, o aluno ter, com certeza, uma viso mais consistente a respeito de como os conjuntos numricos foram sendo construdos. O objetivo das questes 25 e 26 analisar os resultados das operaes com irracionais, que tanto podem ser racionais como irracionais. Analise essa questo junto com a turma. Na questo 28, discutimos a praticidade de se tomarem valores aproximados, principalmente quando trabalhamos com medidas. Ao mesmo tempo, incentivamos o uso de calculadora para efetuar esses clculos. Discuta com os alunos o erro cometido, quando se tomam valores aproximados de uma medida.

M A T 23

A representao e a interpretao de intervalos reais na reta devem ser bastante exploradas. D nfase especial interseo de intervalos, como preparao para a resoluo de sistemas de inequaes. O objetivo das questes 31 e 33 relacionar a reta real com as relaes de desigualdade no conjunto dos reais. Na questo 34, trabalhamos o uso das desigualdades na linguagem matemtica. A retomada das operaes com conjuntos tem dois objetivos: desenvolver as operaes com intervalos reais, principalmente a interseo, e auxiliar na resoluo de problemas que envolvem determinao do nmero de elementos de um conjunto. O objetivo da questo 46 relacionar sentenas matemticas com a linguagem dos conjuntos e sua localizao em diagramas de conjuntos. Na seo Investigando, pgina 20, pretende-se que o aluno chegue, pela investigao, principalmente usando diagramas, igualdade (A B) (B A) = (A B) (A B), e s leis de Morgan, dadas por c(A B) = cA c B e c(A B) = cA cB. Optamos por trabalhar problemas de porcentagem neste captulo. Trata-se de um tema muito importante, que j foi explorado em sries anteriores. Agora, o assunto retomado num grau de profundidade maior, discutindo, inclusive, aumentos e descontos sucessivos. D nfase porcentagem como uma razo que compara numerador com o denominador, sendo este ltimo o referencial de comparao. Essa percepo muito importante para que o conceito de porcentagem seja bem assimilado. importante que o aluno consiga efetuar mentalmente clculos percentuais simples, sem ter de recorrer sempre calculadora. As relaes todo 100%, metade 50%, quarta parte 25%, etc., trabalhadas na seo Refletindo, pgina 21, so muito importantes. Em geral, os alunos costumam tentar resolver todos os problemas de porcentagem utilizando regra de trs. Discuta essa questo com eles. A regra de trs pode, de fato, ser til e prtica na resoluo de problemas mais simples. No entanto, problemas mais complexos demandam a utilizao dos conceitos bsicos da porcentagem. Nesse aspecto, leve-os a perceber, por meio de questionamentos e discusses, a importncia das operaes multiplicao e diviso. Os conceitos de fator de aumento e de reduo devem ser trabalhados com muita nfase. Tome como referncia o nmero 1 (100%). Mais que 1 equivale ao fator de aumento (1 + i); menos que 1, ao fator de reduo (1 i). Ao trabalhar com aumentos e descontos sucessivos, leve-os a perceber que, no lugar de adicionar ou subtrair percentuais, o correto multiplicar fatores de aumento e de desconto. Para um aprofundamento sobre o contedo deste captulo, sugerimos os seguintes livros: DAVIS, Harold T. Tpicos de histria da matemtica Computao. So Paulo: Atual, 1993. GUNDLACH, Bernard. Tpicos de histria da matemtica Nmeros e numerais. So Paulo: Atual, 1993. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemtica elementar. So Paulo: Atual, 1995. v. 1. LIMA, Elon Lages et al. A matemtica do Ensino Mdio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. v. 1 (Coleo do professor de Matemtica.). LIMA, Elon Lages. Meu professor de matemtica (e outras histrias). Rio de Janeiro: SBM, 1991. (Coleo do professor de Matemtica.). LIMA, Elon Lages et al. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2003. (Coleo do professor de Matemtica.). MACHADO, Nilson J. Matemtica por assunto. So Paulo: Scipione, 1991. v. 1.

COMENTRIOS DAS QUESTESQ8. a) Se os nmeros so n, n + 1, n + 2 e n + 3, n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 78 4n + 6 = 78 n = 18 os nmeros so 18, 19, 20 e 21. b) Se os nmeros so n, n + 2 e n + 4, n + n + 2 + n + 4 = 105 3n + 6 = 105 n = 33 os nmeros so 33, 35 e 37

M A T 24

Q9. a) So 87 23 + 1 = 65 nmeros. b) Como o primeiro mpar, h 32 pares. c) H 33 mpares. d) A menor soma 23 + 24 = 47. A maior 86 + 87 = 173. As possveis somas vo de 47 a 173. So 173 47 + 1 = 127 somas diferentes. e) A menor soma possvel 23 + 24 + 25 = 72. A maior possvel 85 + 86 + 87 = 258. As possveis somas vo de 72 a 258. So 258 72 + 1 = 187 somas diferentes.

Q10. a) De 1 a 9 so 9.1 = 9 dgitos De 10 a 99 so 90.2 = 180 dgitos De 100 a 256 so 157.3 = 471 dgitos Total: 9 + 180 + 471 = 660 dgitos b) At a pgina 99, so 189 dgitos. Restam 930 189 = 741 dgitos para pginas com trs dgitos. No caso, so 741/3 = 247 pginas com trs dgitos. O total de pginas 99 + 247 = 346 c) At a pgina 99, so 189 dgitos, que mltiplo de 3. O total de dgitos das pginas com trs dgitos , obviamente, mltiplo de 3. Logo, o total geral de dgitos mltiplo de 3. Q11. Nmero racional o nmero obtido com base na diviso de dois inteiros; pode ser representado na forma fracionria ou decimal. Q12. c) S os decimais exatos e as dzimas peridicas so racionais. Q14. a) 0,5 =

b) 3,888...

=

c)

=

=

=

d)

=

=

e)

=

=

.

f) Q17. a) O produto igual a

=2

b) O produto igual a Q18. Se saiu com x reais, ela ficou com Na farmcia, gastou 24 R$ 24,00

x = 90

b) 0,00003 =

c) 2,25 =

Q19. Se o numerador p e o denominador q, temos: e p + q = 84. Resolvendo o sistema, p = 36 e q = 48

d) 0,042 =

e) 0,222... = f) 1,151515... = 1 +

a frao Q20. a)

g) 2,333... = 2 + h) 0,00121212... = 12 1 = 9900 825

pode ser, por exemplo, x =

ou x =

ou x =

i) 5,2666 = x 52,6666... = 10x 9x = 47,4 x= 47, 4 474 79 = = 9 90 15

b)

Por exemplo, y =

=

ou y =

ou y =

Q16. a) =

Q21. Nmero racional resultado da diviso de dois inteiros; nmero irracional no pode ser obtido da diviso de dois inteiros. O conjunto dos reais a unio dos conjuntos dos racionais e dos irracionais.

M A T 25

Q25. a) a + b = 3 b) c) ac = 2 Q27. a) =

, irracional

d) cd = 1, racional e) c + d = 4, racional

2, racional + 3, irracional

b)

c)

Q41. a) {0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9} b) {2, 6, 9} c) {4, 7} d) {0, 3, 4, 7} e) {0, 2, 3, 5, 6} {0, 3, 4, 7} = {0, 3} f) {1, 4, 7, 8, 9} {1, 2, 5, 6, 8, 9} = = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} g) {0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9} = {4, 7} h) {0, 2, 3, 5, 6} {1, 5, 8} = {5} i) {0, 3} {0, 3} = {0, 3} j) {0, 2, 3, 5, 6, 9} {0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9} = = {0, 2, 3, 5, 6, 9} k) {0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9} {1, 4, 7, 8} = {0, 2, 3, 5, 6, 9} l) {0, 2, 3, 5, 6} {0, 3} = {0, 3} Q42. A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {3,2, 1, 0, 1, 2, 3}; C = {3, 4, 5, 6, ...} a) {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6, ...} = {3, 2, 1, 0, 1, 2} b) {..., 2, 1, 0, 1, 2} {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3} = = {3, 2, 1, 0, 1, 2} c) {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...} = {..., 7, 6, 5, 4} d) {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3} {3, 4} = {3, 2, 1, 0, 1, 2} Q44. a) A B = ], 5] ]3, 7] = ]3, 5] b) B C = ]3, 7] ]1, +[ = ]3, +[ c) C B = ]1, +[ ]3, 7] = ]7, +[ d) e) f) A = ], 5] = ]5, +[ C B = ], 1] ]3, 7] = ]3, 1] (A B) = ], 3] = ]3, +[

d) e) f) =

g)

=

Q29. b) x2 = = 6 + 2 5 2 (6 + 2 5 )(6 2 5 ) + 6 2 5 = = 12 = 12 8 = 4

Q30. a) O denominador de cada frao, a partir da segunda, a soma do numerador com o denominador da frao anterior. O numerador de cada frao a soma dos denominadores da frao anterior e da prpria frao. Logo, Q31. e

g) (A B) C = ], 7] ]1, +[ = ], 1] h) B (C A) = ]3, 7] ]5, +[ = ]5, 7] i) (B C) A = ]3, +[ ]5, +[ = ]5, +[ Q45.

Como a < b < c, temos a = =

,b=

ec=

Q39. a= 1 0,732; b = + 1 2,732 a + b = 2 3,464; a b = 2; ab = 2; 2 0,2679; =2+ 3,732

As oito regies do diagrama foram numeradas de 1 a 8. a) (A B) C a unio das regies 1, 2 e 3. b) B (A C) a unio das regies 2, 3 e 6. c) (A B) C a unio das regies 1, 3 e 8. d) A (B C) a unio das regies 1, 2, 3, 4 e 5.

M A T 26

ab 0 D = {x / x < 2/3} d) 2x + 1 0, x + 3 0 e 4x2 1 0 D = {x / x > 1/2 e x 1/2} Q25. a) v(27) = 20 300 = 200 3 = 346 346 m/s b) 20 t + 273 = 340 t + 273 = 17 t = 16 16 oC

Q31. h) Para 6 t 16, tvm = Para 16 t 24, tvm = Q32. c) Importaes: Exportaes: Q33. d) Soma = 1,72; mdia: 1,72/12 = 0,143 0,143% e) 0,9956.1,0026.0,9926 = 0,9908 0,92% f) 0, 05 = 0 ,119 reduo de 88,1% 0, 42 127, 7 48, 3 = 13 , 23 bilhes/ano 93 153 73, 2 = 13 , 3 bilhes/ano 93 30 20 = 1 1 m/s2 16 6 0 30 = 3, 75 3,75 m/s2 24 16

b) x 5 0 e x + 1 0 D = {x / x 5}

Q26. f(4) = 0 4 + n = 0 n = 4 f(0) = 2 n/m = 2 m = 2 1 + n 5 = 5 = 5 a = 1 f(1) = a + m a + 2 Q28. a) 2x 5 = 0 x = 5/2 b) x2 + x 6 = 0 x = 3 ou x = 2 c) x2 1 = 0 x = 1 ou x = 1 d) Para x < 0, 9 x2 = 0 x = 3 Para x 0, x2 + 5x = 0 x = 0 Q29. f(2) = 4 2m + n = 15 e f(5) = 25 5m + n = 0. Resolvendo o sistema, m = 2 e n = 15 f(x) = x2 2x 15 a outra raiz 3 tvm = f(5) f(1) 0 (12) = =2 5 (1) 6

Q37. a) g(f(1)) = g(3) = 8 b) f(g(3)) = f(8) = 66 c) g(g(2)) = g(5) = 14 d) f(k 2) = (k 2)2 + 2 = k2 4k + 6 e) g(f(g(1))) = g(f(4)) = g(18) = 53 Q39. a) g(g(x)) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3 b) g(f(x)) = g(x2 1) = 2(x2 1) + 1 = 2x2 1 c) h(g(x)) = h(2x + 1) = 2x + 1 1 2x = 2(2 x + 1) + 3 4 x + 5

Q30. a) D = ]8, +[; Im = [3, +[; zeros: 0 e 5; decrescente 8 < x 4 e crescente x 4; mnimo = 3; no tem mximo; y > 0 8 < x < 0 ou x > 5 e y < 0 0 < x < 5 b) D = Im = ], +[; zeros: 5, 1 e 6 crescente x 3 ou x 4; decrescente 3 x 4; no tem mximo nem mnimo; y > 0 5 < x < 1 ou x > 6; y < 0 x < 5 ou 1 < x < 6 c) D = [8, +[; Im = ], 7]; zero: 7 crescente 2 x 0; decrescente x 0; constante 8 x 2; mximo = 7; no tem mnimo; y > 0 8 x < 7 e y < 0 x > 7 d) D = ], 3] ]3, 8]; Im = ], 8]; zeros: 6 e 5; crescente x 3; decrescente 3 < x 8; mximo = 8; no tem mnimo; y > 0 6 < x 3 ou 3 < x < 5; y < 0 x < 6 ou 5 < x 8

d) f(g(x)) = f(2x + 1) = (2x + 1)2 1 = 4x2 + 4x x 1 1 x 4 2x + 3 e) h(h(x)) = = x 1 2 + 3 8x + 7 2x + 3 f) f(g(m)) = 4m2 + 4m = 0 m = 0 ou m = 1 Q40. a) x = 1 f(3) = 3.1 1 = 2 b) x = 4 f(2) = 3.(4) 1 = 13 c) x + 2 = k x = k 2 f(k) = 3(k 2) 1 = 3k 7 d) f(x) = 3x 7 e) f(f(x)) = f(3x 7) = 3(3x 7) 7 = 9x 28 f) f(x 1) = 3(x 1) 7 = 5 3x = 15 x = 5 Q41. a) g(f(x)) = 2.f(x) + 1 = 4x2 1 f(x) = 2x2 1 b) f(2x 5) = 10x + 3. Fazendo 2x 5 = k x = f(k) = 10. k+5 2

k+5 + 3 = 5k + 28 f(x) = 5x + 28 2

M A T 37

c) 3x 2 = k x =

k+2 k+2 k + 2 +1 f(k) = 9. 12 3 3 3

2

b)

y 4 3 5 1 4 7 x D = [5, 7]; Im = [4, 4]

f(k) = k2 3 f(x) = x2 3 d) 2x + 3 = k x = k3 k3 1 = 2k 7 g(k) = 4 2 2

g(f(x)) = 2.f(x) 7 = 6x + 5 f(x) = 3x + 6 Q42. f(g(x)) = g(f(x)) 2(kx + 6) + k = k(2x + k) + 6 2kx + k + 12 = 2kx + k2 + 6 k2 k 6 = 0 k = 2 ou k = 3 Q43. a) f(x) = (x)2 5 = x2 5 = f(x) f par b) f(x) = (x)2 3.(x) = x2 + 3x, distinto de f(x) e distinto de f(x) f no par nem mpar. c) f(x) = 5x 5x = f(x) f mpar d) f(x) = 2.(x) + (x) 2 = 2x x 2, distinto de f(x)2 2

c)

y 6 5 1 2 3 7 x D = [5, 7]; Im = [2, 6]

Q47. a) g(1) = 3.f(2) 2 = 3(2) 2 = 8 b) f(4) = 2 g(f(4)) = g(2) = 3.f(3) 2 = 3.(2) 2 = 8 c) g(0) = 3.f(1) 2 = 3.(1) 2 = 5 f(g(0)) = f(5) = 2 Q49. b) a

2 3 4 6

f

6 5 8 4

b

e distinto de f(x) f no par nem mpar. e) f(x) = 3 x + 3 x ( x) + 22

=

3 x + 3 x x +22

= f(x) f par

Q44. a) x = 1 f(1) = 2.f(1) + 3 f(1) = 3 b) x = 2 f(5) = 2.f(2) + 3 = 2.3 + 3 = 9 x = 5 f(11) = 2.f(5) + 3 = 2.9 + 3 = 21 Q45. a) 1 1 y 3 x Im = ] ,1] b) 2 0 Im = ] , 2] Q46. a) y 3 5 1 7 x D = [5, 7]; Im = [2, 2] y 6 x d) c) 4 2 2 Im = ] , 2] y 2 4 x 4 Im = [ 4, + [ x y

e) f(6) = 4, f 1(6) = 2; f(4) = 8; f 1(4) = 6 Q50. a) f 1: x = 2y + 3 y = f 1(x) = b) f 1: x = x 3 2

4 3y 4 2x 2x = 4 3y y = f 1(x) = 2 3

c) f 1: x = y3 + 1 y3 = x 1 y = f 1(x) = 3 x 1 d) f 1: x = 3 y + 2 y + 2 = x3 y = f 1(x) = x3 2 e) f 1: x = y 1 xy + 2x = y 1 y xy = 2x + 1 y+2 2x + 1 (x 1, y 2) 1 x

y(1 x) = 2x + 1 y = f 1(x) = f) f 1: x =

3x + 1 1 xy 3x = 1 y = f 1(x) = x y 3

(x 0, y 3) g) f 1: x = 3 y 1 3 y = x + 1 y = f 1(x) = (x + 1)3 Q52. a) Quando a pedra atinge o solo, h = 0 t = 4 o movimento da pedra ocorre para 0 t 4

M A T 38

b) 80 0

h

4

t

2 a) A = 152 4. x A = 225 2x2 2 b) A = 212,5 225 2x2 = 212,5 2x2 = 12,5 x2 = 6,25 x = 2,5

Q64.

c) f injetora e sobrejetora 80 h d) h = 80 5t t = 80 h t = f 1(h) = 5 52 2

Q65. f(0) = c = 0 e f(1) = 1 + b + c = 2 b = 1 f(x) = x2 + x f(2/3) = 4/9 2/3 = 2/9 (alternativa d) Q66. x02 4x0 + 6 = x0 x02 5x0 + 6 = 0 pontos fixos x0 = 2 ou x0 = 3 Q67. 7 7 f = ; f(1) = 1; 31 31 24 1 3 f(3,14) = 3,14; f = = 2 2 3 6 O maior elemento f(3,14) = 3,14. (alternativa c) Q68. f(0,5) = 1/3; f(f(0,5)) = f(1/3) = 2/4 = 1/2 g(0,5) = 1 1 = = 2 (alternativa a) f(f(0, 5)) 1/ 2

e) 4 0 Q53. F=

t

80 h

9C + 160 5F 160 5F = 9C + 160 C = 5 9

Q56. m + n = 45 n = 45 m. A rea plantada um retngulo de lados m e n m = 45 2m. A(m) = m(45 2m) = 2m2 + 45m (alternativa b) Q58. Porcentagem entre 50,51 e 75 pontos: 3,2% + 11,9% + 10,6% 0,1% = 25,6% 25,6% de 26 018 = 6 660 (alternativa a) Q59. A afirmao (I) falsa. Foram 12 000 pessoas. A afirmao (II) falsa. O percentual foi de 8,7%. A afirmao (III) verdadeira. A mdia foi 3 286. (alternativa b) Q60. Se f dada por y = x2 + 1, f 1 dada por x = y2 + 1 y = g(x) = Q61. h(1/2) = 2 h1(2) = 1/2 f(h1(2)) = f(1/2) = 47/8 e h(f(2)) = h(2) = 5 f(h1(2)) + h(f(2)) = 47/8 + 5 = 7/8 (alternativa e) Q62. 72 igual a 20% de 360. Logo, a parte destinada ao abono seria 20% de 43 bilhes = 8,6 bilhes e o valor real previsto para o abono 8,6 bilhes + 0,2 bilhes, ou seja, 8,8 bilhes (alternativa a). Q63. h(f(2)) = h(1) = 3 11 + h(f(2)) = 11 3 = 8 (alternativa c) x 1 (alternativa d)

Q69. Fazendo x = 1, g(1) = 3.f(1) = 3.0 = 0 a raiz de g 1 (alternativa a) Q70. As afirmativas (I) e (II) so verdadeiras. A afirmativa (III) falsa. O correto seria g(f(x)) = 2(3x 5) (alternativa d) Q71. f((3)3) + f(1) + f(0) = 1 + (2) + 4 = 3 (alternativa b) Q73. r(10) = 20 + 2 = 22 e A = pr2 = 484p (alternativa b) Q74. Total depositado: 4.82 = 328 Se x o total de retiradas, 328 x = 0,5 + 0,7 0,8 0,9 x = 329,5 (alternativa d) Q75. h(0) = 6 inicialmente, a altura da gua de 6 m. Como se trata de um paraleleppedo retngulo, o volume de gua proporcional altura. Deve ser2 t t h(t) = 1,5 6 1 = 1,5 1 = 0, 25 12 12 t 1 = 0,5 t = 6 6 horas (alternativa a) 12 2

M A T 39

Q77. t2 4t + 10 = t + 10 t2 5t = 0 t = 0 ou t = 5 Inicialmente, as aes tinham o mesmo valor e tero novamente o mesmo valor em 5 meses, quando valem R$ 15,00 (alternativa a) Q78. g(1) = f(0) = 1; g(1/2) = f(3/2) = 2; g(2) = f(3) = 0; g(7/2) = f(9/2) = 2 g(1) + g(1/2) + g(2) + g(7/2) = 1 2 + 0 + 2 = 1 (alternativa b) Q79. x = 0 f(3) = 3f(0) 6 15 = 3f(0) 6 f(0) = 7 x = 3 f(0) = 3f(3) 6 7 = 3f(3) 6 f(3) = 13/3 f(0) f(3) = 7 13/3 = 8/3 (alternativa a) Q80. Para x = 3, f(1) = 3f(3) + 23 a = 3/4 + 1/8 = 7/8 a2 = 49/64 (alternativa e) k 1 h(3x + 1) = 2x 5. Fazendo 3x + 1 = k, x = 3 k 1 2k 17 h(x) = 2k 17 5= h(k) = 2. 3 3 3 2.g(x) 17 = 1 2x 2g(x) = 20 6x h(g(x)) = 3 g(x) = 10 3x (alternativa b) Q82. a) g(x) + h(x) = f(x) + f( x) f(x) f( x) 2f(x) = f(x) + = 2 2 2 Q81.

2(x + 1) 1, se x < 3 d) f(g(x)) = 2g(x) 1 = 2.5 1, se x 3 2 x + 1, se x < 3 f(g(x) = 9 , se x 3 2 x , se x < 2 f(x) + 1, se f(x) < 3 g(f(x)) = g(f(x)) = 5 , se x 2 5 , se f(x) 3 Q84. Se f par e g mpar, para todo x, f(x) = f(x) e g(x) = g(x). Se h(x) = f(x).g(x), h(x) = f(x).g(x) = f(x).[g(x)] = h(x) h mpar a afirmao (I) verdadeira. Se h(x) = f(g(x)), h(x) = f(g(x)) = f(g(x)) = f(g(x)) = h(x) h par a afirmao (II) verdadeira Se h(x) = g(f(x)), h(x) = g(f(x)) = g(f(x)) = h(x) h par a afirmao (III) falsa apenas (I) e (II) so verdadeiras (alternativa d) Q85. g(0) = 1 d = 1 f(1) = 3 a + b = 3 g(1) = 3 c + d = 3 c = 2 f(g(0)) = 9 f(d) = 9 ad + b = 9 a + b = 9 Por resoluo de sistema, a = 3 e b = 6 f(0) = b = 6 (01) verdadeira. b + d = 6 + 1 = 7 (02) verdadeira. c = 2 < 0 (04) verdadeira. g(f(1)) = g(a + b) = g(9) = 9c + d = 17 (08) falsa. g(2) = 2c + d = 5 (16) verdadeira. Soma = 1 + 2 + 4 + 16 = 23 Q86. x O grfico de y = f obtido expandindo-se o grfico de 2 y = f(x) na horizontal, com o domnio multiplicado por 2 (o domnio seria [4, 8]). x O grfico de y = f o simtrico do grfico anterior, 2 em relao ao eixo das abscissas. x Finalmente, o grfico de y = 1 f obtido do ltimo 2 grfico, deslocando-o uma unidade para cima. Assim, o grfico pedido o da alternativa a.

f( x) + f(x) b) g(x) = = g(x) g par. 2 f( x) f(x) h(x) = = h(x) h mpar. 2 c) Dada uma funo f, determinam-se as funes g e h, como definidas acima. d) f(x) = x2 + 3x + 5 as duas funes (g par e h mpar) cuja soma a funo f so g(x) =2 2 f(x) + f( x) x 3x + 5 + x + 3x + 5 = x2 + 5 e = 2 2

h(x) =

f(x) f( x) x 3x + 5 x 3x 5 = 3x = 2 22 2

Q83. a) Para x < 3, 2x 1 = x + 1 x = 2 Para x 3, 2x 1 = 5 x = 3 b) f(g(x)) = 2g(x) 1 = 5 g(x) = 3 x + 1 = 3 x = 2 c) g(f(x)) = f(x) + 1 = 2 f(x) = 1 2x 1 = 1 x = 1

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Raciocnio lgico e numricoPgina 33 Se ela est no degrau do meio, pressupe-se que o nmero de degraus mpar. Se no total so 2n 1 degraus, o do meio de posio n. Logo, n 3 + 7 4 + 8 = 2n 1 n = 9 e o nmero de degraus 17. Pgina 36 A letra oposta a X a letra O. A oposta a B a letra A. A oposta a K a letra V. Pgina 39 Como h 4 nmeros por linha, dividindo 596 por 4, obtemos quociente 149 e resto 0. Logo, o nmero 596 o ltimo elemento da linha L149, e est na coluna D. Pgina 44 Grupo I: Ana, Carlos, Fbio e Graa Grupo II: Bia, Diva e Elena. Pgina 47 Com uma pesagem, podem-se montar sacos de 12 quilos, equilibrando-se a balana com 12 quilos em cada prato. Aps essa pesagem, podem-se obter, numa segunda pesagem, sacos de 6 quilos, equilibrando-se a balana com 6 quilos de cada lado, e tambm sacos de 18 quilos, juntando 12 quilos com 6 quilos.

Pgina 35-A O grfico tem infinitos pontos. Eles foram ligados porque a varivel x pertence a dois intervalos de nmeros reais, que so conjuntos contnuos. A primeira parte uma reta porque, no caso, a funo polinomial de 1.o grau. A segunda parte do grfico um arco de parbola. Pgina 35-B A real B > 0 B A real A 0 e B 0 B A real B 0 3 B3

A real B 0 B A A real 0 B B

3

A real B 0 B

Pgina 37-A Quando a pedra cai, a velocidade crescente; quando jogada para cima, a velocidade decrescente. Pgina 37-B Pretende-se que o aluno d exemplos grficos de funes que apresentam ou no mximo ou mnimo, envolvendo as vrias situaes possveis. Pgina 38 A taxa de variao s depende dos dois extremos do intervalo. Pgina 40 A composio de funes no comutativa. Em geral, dadas duas funes reais f e g, f(g(x)) g(f(x)). Pgina 41 Para a funo h(x) = f(x) 2, o grfico se deslocaria duas unidades para baixo. O conjunto imagem de g [0, 4] e o de h, [4, 0]. Pgina 42-A Para a funo h(x) = f(x 2), o grfico se deslocaria duas unidades para a direita. O domnio da funo g [6, 2] e da funo h, [2, 6]. No caso, o conjunto imagem se mantm. Pgina 42-B Para 0 < k < 1, haveria uma compresso vertical. O grfico ficaria mais achatado. Na expanso ou compresso verticais, o domnio da funo se mantm, mas o conjunto imagem se modifica, quando ele limitado. O grfico de h(x) = f(x)/2 seria obtido do grfico de f, comprimido verticalmente, sendo que seu conjunto imagem seria [1, 1].

RefletindoPgina 31 A representao por frmula muito til no sentido de propiciar clculo imediato de imagens. A representao por grfico permite uma visualizao melhor das propriedades e do comportamento da funo. Os grficos de barras so adequados para estabelecer comparaes entre os valores representados pelas barras; os de setores, para comparar a participao percentual de cada setor; o de linhas, para visualizao de aspectos de crescimento e decrescimento; o cartesiano, para representar variveis contnuas. Pgina 34 O contradomnio o conjunto dos valores que a varivel dependente pode, em princpio, assumir. O conjunto imagem o conjunto dos valores que ela assume, de fato, na funo. O conjunto imagem est contido no contradomnio, podendo ser igual a ele.

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Pgina 43 Se fosse 0 < k < 1, haveria uma expanso horizontal. A expanso ou a compresso horizontal mudam o domnio, mas mantm o conjunto imagem. O grfico da funo h(x) = f(x/2) seria obtido do grfico de f, expandido horizontalmente, sendo que seu domnio seria [8, 8]. Pgina 45 O objetivo que o aluno explore o fato de que funes no injetoras ou no sobrejetoras no so invertveis. Pgina 46 A condio x 2 para a funo f (e y 2 para sua inversa) se impe pelo fato de x = 2 anular o denominador da funo f. A condio y 5 para f (e x 5 para sua inversa) se explica porque 5 no imagem de f. De fato, 5x 1 = 5 5x 1 = 5x 10, equao que no tem x2 soluo.

Investigando

Pgina 47 Com base nessa investigao, pretende-se que o aluno chegue a importantes relaes envolvendo inversa e composta de funes: (f o g)1(x) = (g1 o f 1)(x); (g o f)1(x) = (f 1 o g1)(x) (f o f1)(x) = x; (g o g1)(x) = x

CAPTULO 3 FUNES ALGBRICAS ELEMENTARESSEQUNCIA DIDTICATempo previsto: 5 semanasObjetivosespecficos Reconhecer funes polinomiais de 1. e de 2. grau e funes modulares. Reconhecer a funo linear e a funo recproca, associadas proporcionalidade direta e inversa, respectivamente. Identificar proporcionalidade direita ou inversa em funes dadas por tabelas, frmulas ou grficos. Resolver problemas prticos de juros simples. Construir e analisar grficos de funes afins, quadrticas e modulares. Obter frmulas de funes afins e quadrticas, com base em situaes prticas. Identificar funes afins e quadrticas em fenmenos fsicos. Calcular mximos e mnimos em funes quadrticas e em problemas prticos. Calcular mdulos de nmeros reais. Aplicar as propriedades do mdulo de um nmero real. Resolver problemas prticos envolvendo funes afins, quadrticas e modulares. Analisar e resolver situaes-problema envolvendo anlise de funes afins, quadrticas e modulares. Propor e analisar questes e problemas envolvendo funes afins, quadrticas e modulares. Identificar dados relevantes e utilizar as alternativas mais adequadas para resolver problemas sobre funes afins, quadrticas e modulares. Inferir resultados matemticos novos, com base na experimentao, na investigao e na pesquisa. Produzir pequenos textos, com base em reflexes e atividades de investigao sobre o contedo do captulo. Participar de discusses, trabalhos em grupo ou projetos de trabalho sobre o contedo do captulo, contribuindo de forma efetiva, argumentando de forma consistente e respeitando divergncias.

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Conceitos fundamentais: Funo polinomial de 1. grau; Funo polinomial de 2. grau; Funo modular; Proporcionalidade; Grfico de funo.

SEMANA

CONTEDOFunes algbricas elementares Funo linear: a proporcionalidade direta Funo recproca: a proporcionalidade inversa Estudo da funo afim Estudo da funo afim

ESTRATGIAS DE ENSINOLeitura, pelos alunos, da introduo do captulo; anlise da situao-problema proposta, com interveno do professor. Explorao dos tpicos Funo linear e Funo recproca e discusso das sees Refletindo, relativas a esses dois tpicos.

1.a

Introduo do tpico Estudo da funo afim.

2.a Juros simples Juros simples Estudo da funo quadrtica Estudo da funo quadrtica

Continuao da explorao do tpico Estudo da funo afim e discusso das sees Refletindo, relativas a esse tpico. Atividade de criao e produo de texto: criao de um problema com base em grfico envolvendo funes afins. Estudo pelos alunos, individualmente ou em grupo, do tpico Juros simples, sob orientao do professor. Fechamento do tema, com a formalizao dos conceitos e a discusso da seo Refletindo, pgina 61. Introduo do tpico Estudo da funo quadrtica. Continuao da explorao do tpico Estudo da funo quadrtica e discusso das sees Refletindo, relativas a esse tpico. Retomada da situao-problema da introduo do captulo (ver questo proposta 43). Desenvolvimento de um projeto interdisciplinar Matemtica/ Fsica/Qumica sobre o tema As funes no estudo dos movimentos. Explorao do tpico Estudo da funo modular e discusso das sees Refletindo, relativas a esse tpico. Atividade de investigao e produo de texto: investigao sobre as propriedades do mdulo, com base no conceito de distncia na reta real (seo Investigando, pgina 69). Discusso de algumas das questes propostas e das questes da seo Raciocnio lgico e numrico, propostas no captulo, identificando e clareando dvidas e fixando a aprendizagem do contedo trabalhado.

3.

a

4.a Estudo da funo modular

5.a Contedo do captulo

ORIENTAES DIDTICO-METODOLGICASSugerimos fazer a introduo dos vrios tipos de funo com base em situaes prticas, evitando apresent-las diretamente, pela sua forma geral. No estudo das funes linear e afim, costuma-se chamar o coeficiente a de coeficiente angular. Entretanto, essa denominao s tem sentido quando as variveis da funo so adimensionais, ou seja, so nmeros reais puros, sem unidade de medida. Optamos por cham-lo de taxa de variao, o que destaca o verdadeiro significado daquele coeficiente. Um estudo grfico muito rico da funo afim pode ser feito com o auxlio dos programas Winplot e Geogebra, disponveis na Internet. Por meio deles, podem ser feitas simulaes, analisando-se detalhes da variao do grfico, medida que os coeficientes da funo vo sendo modificados. Explore a funo recproca como representao da proporcionalidade inversa, contrapondo-a funo linear, que indica a proporcionalidade direta. A funo recproca aparece com frequncia no estudo de fenmenos naturais. fundamental destacar uma diferena importante entre as funes linear e afim. Na primeira, h uma proporcionalidade entre y e x. Na segunda, uma proporcionalidade entre y e x. exatamente essa proporcionalidade entre a variao de y e a variao de x que identifica a funo afim. Ao trabalhar com as funes linear e recproca, leve os alunos a analisarem o que ocorre com y quando x dobra, qunado se reduz metade, quando aumenta 20%, etc. Essa anlise fundamental na percepo quantitativa das frmulas que representam fenmenos naturais.

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A seo Criando, pgina 60, uma boa oportunidade de os alunos, individualmente ou em grupo, analisarem e relacionarem grficos de duas funes de 1.o grau, com base em uma situao concreta. O clculo de juros simples, em funo do tempo, uma aplicao simples e interessante da funo de 1. grau. Explore, no caso, a importncia de a taxa ser definida na mesma unidade em que aparece o tempo: taxa anual, tempo em anos; taxa mensal, tempo em meses; etc. Se necessrio, faa uma breve reviso sobre equao de 2. grau. Leve os alunos a perceberem que a equao um caso particular da funo, em que se considera y = 0. D nfase interpretao dos coeficientes da funo quadrtica, relacionando-os a aspectos especficos da parbola. Sugerimos tambm, nesse caso, a utilizao dos programas Winplot e Geogebra, que propiciam a visualizao das diferentes posies e dos deslocamentos da parbola, com base na variao dos coeficientes da funo. Ao final deste Manual, apresentamos uma sugesto de atividade para ser trabalhada com os alunos no laboratrio de informtica. Para obter a frmula da abscissa do vrtice, analise tambm a situao particular em que a funo quadrtica tem razes reais. No caso, a projeo do vrtice no eixo das abscissas o ponto mdio entre as razes. Como a soma das razes b/a, a abscissa do vrtice a metade dessa soma, ou seja, b/2a. Na primeira seo Refletindo, pgina 63, sugere-se ao aluno fazer essa anlise. Trabalhe especialmente problemas prticos de aplicao de mximos e mnimos, como o da introduo do captulo. Explore bem o conceito de simtrico, antes do conceito de mdulo. Entendendo o primeiro, fica bem mais fcil perceber o segundo. Explore o quadro de simtricos no incio da seo Mdulo de um nmero real. A tendncia do alu